\input style \chapnotrue\chapno=3\subchno=3\subsubchno=3 Œ…œ˜…‰ —…Œ~$(a+6)/m$. โŽ—Ž… ‡€—…ˆ… ŒŽ†Ž ””…Š’ˆ‚Ž ‚›—ˆ‘‹ˆ’œ ‘ ŽŒŽ™œž ‚›€†…ˆŸ~(17), ˆ‘Ž‹œ‡“Ÿ ‹…ŒŒ›~B ˆ~C. \proofend จ‡ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ~(40) ‚›’…Š€ž’ …ŠŽ’Ž›… ‡€‘‹“†ˆ‚€ž™ˆ… “ŽŒˆ€ˆŸ ‘‹…„‘’‚ˆŸ. ขŽ-…‚›•, ŽŽ „ŽŠ€‡›‚€…’, —’Ž €„Ž ˆ‡…ƒ€’œ Œ€‹›• ‡€—…ˆ‰~$a$. แ „“ƒŽ‰ ‘’ŽŽ›, Ž‹œ˜ˆ… ‡€—…ˆŸ~$a$ …™… … ƒ€€’ˆ“ž’ ’ŽƒŽ, —’Ž ŠŽ…‹Ÿ–ˆŸ “„…’ Œ€‹€, Š€Š ›‹Ž ŽŠ€‡€Ž ‚ ˆŒ……~1; Ž˜ˆŠ€ ‚›€†…ˆŸ~(40) ŒŽ†…’ „Ž‘’ˆƒ€’œ~$a/m$, ˆ ’Žƒ„€ ˆ Ž‹œ˜ˆ• ‡€—…ˆŸ•~$a/m$ ˆ‹ˆ†…ˆ… ‘’€Ž‚ˆ’‘Ÿ ‹Ž•ˆŒ. ฅ‘‹ˆ~$a\approx\sqrt{m}$, ‡€—…ˆŸ ŠŽ””ˆ–ˆ…’€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‰ ŠŽ…‹Ÿ–ˆˆ Žƒ€ˆ—…› ‚…‹ˆ—ˆŽ‰~$2/\sqrt{m}$. แŽŽ’Ž˜…ˆ…~(40) ŽŒŽƒ€…’ ˆ ˆ ‚›Ž… ‡€—…ˆŸ~$c$. คŽ ‘ˆ• Ž Œ› ‡€‹ˆ Ž’Ž‘ˆ’…‹œŽ~$c$ ’Ž‹œŠŽ Ž„Ž: —ˆ‘‹€~$c$ ˆ~$m$ „Ž‹†› ›’œ, ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›Œˆ. ฅ‘‹ˆ, ŠŽŒ… ’ŽƒŽ, $$ \eqalign{ {c\over m} \approx {1\over 2}-{1\over 6}\sqrt{3}&\approx 0.21132\,48654\,051871 \approx \cr &\approx {\it (0.15414\,54272\,33746\,34354\,55716)}_8, \cr } \eqno(41) $$ ŠŽ””ˆ–ˆ…’ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‰ ŠŽ…‹Ÿ–ˆˆ “„…’ …Ž‹œ˜ˆŒ, ’€Š Š€Š ŠŽˆ “€‚…ˆŸ~$1-6x+6x^2=0$ €‚›~${1\over 2}\pm{1\over 6}\sqrt{3}$. ํ’ˆŒ Šˆ’…ˆ…Œ ŒŽ†Ž Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ, …‘‹ˆ Ž’‘“’‘’‚“ž’ „“ƒˆ… ‘ŽŽ€†…ˆŸ Ž’Ž‘ˆ’…‹œŽ ‚›Ž€~$c$. คŽ ‘ˆ• Ž …—œ ˜‹€ Ž ŠŽ…‹Ÿ–ˆˆ Œ…†„“~$X_n$ ˆ~$X_{n+1}$. ฆ…‹€’…‹œŽ ’€Š†… ˆŒ…’œ ˆ‡Š“ž ŠŽ…‹Ÿ–ˆž Œ…†„“~$X_n$ ˆ~$X_{n+2}$, ˆ ‚ŽŽ™… ›‹Ž › …‹Ž•Ž, …‘‹ˆ › ŠŽ…‹Ÿ–ˆŸ Œ…†„“~$X_n$ ˆ~$X_{n+t}$ ›‹€ ˆ‡ŠŽ‰, ‘Š€†…Œ, „‹Ÿ~$1\le t \le 10$. เ€…… ›‹Ž ŽŠ€‡€Ž (‘Œ.\ ”ŽŒ“‹“~(3.2.1-6)), —’Ž $$ X_{n+t}=(a_t X_n+c_t) \bmod m, \eqno(42) $$ ƒ„… $$ a_t=a^t \bmod m, \qquad c_t=(a^t-1)c/(a-1)\bmod m. \eqno(43) $$ \emph{แ ŽŒŽ™œž Ž„‚…„…›• ‚›˜… ”ŽŒ“‹ ŒŽ†Ž ‚›—ˆ‘‹ˆ’œ ŠŽ””ˆ–ˆ…’ ŠŽ…‹Ÿ–ˆˆ Œ…†„“~$X_n$ ˆ~$X_{n+t}$, …‘‹ˆ ‚Œ…‘’Ž~$a$ ˆ~$c$ Ž„‘’€‚ˆ’œ~$a_t$ ˆ~$c_t$.} ชŽ…—Ž, $c_t$ “†… … “„…’ “„Ž‚‹…’‚ŽŸ’œ “‘‹Ž‚ˆž~(41), Ž ‘ ’ˆŒ ˆ„…’‘Ÿ ‘Œˆˆ’œ‘Ÿ. ฏˆ‹ˆ†…Ž… ‚›€†…ˆ…~(40) ‚…‚›… Ž‹“—ˆ‹ เ.~ชŽ‚ž ({\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 72--74) ‚ …‡“‹œ’€’… “‘…„…ˆŸ Ž ‚‘…Œ \emph{„…‰‘’‚ˆ’…‹œ›Œ —ˆ‘‹€Œ}~$x$ Œ…†„“~$0$ ˆ~$m$, € … ’Ž‹œŠŽ Ž –…‹›Œ ‡€—…ˆŸŒ (‘Œ.~“.~21). ฌ…’Ž„›, Ž‡‚Ž‹Ÿž™ˆ… Ž‹“—ˆ’œ ’Ž—›‰ …‡“‹œ’€’, ›‹ˆ Ž‡„…… €‡‚ˆ’› ฌ.~ฃˆ…ƒ…ŽŒ ({\sl Math. Comp.,\/} {\bf 15} (1961), 383--389) ˆ ก.~๏‘‘ŽŽŒ ({\sl BIT,\/} {\bf 4} (1964), 6--27). ข ˆ• ”ŽŒ“‹€• ‘“ŒŒ› ค…„…Šˆ„€ … ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€‹ˆ‘œ. ๏‘‘Ž ‘Ž‘’€‚ˆ‹ ’€‹ˆ–› „‹Ÿ ŠŽ””ˆ–ˆ…’€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‰ ŠŽ…‹Ÿ–ˆˆ, Ž, Š ‘Ž†€‹…ˆž, Ž €‘‘Œ€’ˆ‚€‹ ‘‹ˆ˜ŠŽŒ Ž‘’›… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ, %%102 Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ ŠŽ’Ž›Œˆ … …ŠŽŒ…„“…’‘Ÿ. ฎ ŽŠ€‡€‹ €ˆŒ…, —’Ž ŠŽ””ˆ–ˆ…’ ŠŽ…‹Ÿ–ˆˆ Œ…†„“~$X_n$ ˆ~$X_{n+t}$ Œ…œ˜…~$0.000003$ „‹Ÿ „€’—ˆŠ€ ‘~$m=2^{35}$, $a=2^{24}+5$, $c=1$ ˆ ‚‘…•~$t\le 2500$. แ ŽŒŽ™œž ‘…Š’€‹œŽƒŽ ’…‘’€ (‘Œ.~.~3.3.4) ŒŽ†Ž ŽŠ€‡€’œ, —’Ž Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ ’ˆŒ „€’—ˆŠŽŒ … ‘‹…„“…’; ’…Œ … Œ……… …‡“‹œ’€’ ๏‘‘Ž€---•ŽŽ˜…… ‘‚ˆ„…’…‹œ‘’‚Ž ’ŽƒŽ, —’Ž “ ‚›€ŽƒŽ €“ƒ€„ „€’—ˆŠ€, Ž‘Ž‚€ŽƒŽ € ‹ˆ…‰ŽŒ ŠŽƒ“’ŽŒ Œ…’Ž„… ˆ Ž‹€„€ž™…ƒŽ ‚›‘ŽŠŽ‰ ŒŽ™Ž‘’œž, ŒŽ†Ž Ž†ˆ„€’œ ˆ‡Š“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œ“ž ŠŽ…‹Ÿ–ˆž. [\emph{ง€Œ…—€ˆ….} ๏‘‘Ž ’€Š†… Ž‹“—ˆ‹ ”ŽŒ“‹› „‹Ÿ ŠŽ””ˆ–ˆ…’€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‰ ŠŽ…‹Ÿ–ˆˆ ‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’Ÿ• ‘~$c=0$ ˆ ŒŽ†ˆ’…‹…Œ, Ž…‘…—ˆ‚€ž™ˆŒ Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›‰ …ˆŽ„ ˆ~$m=2^e$. ํ’ˆ …‡“‹œ’€’› ‚ ‘“™Ž‘’ˆ €€‹Žƒˆ—› €‘‘ŒŽ’…›Œ ‚ ’Ž‰ Šˆƒ…; ‘Œ.~“.~3.2.1 2-9.] แ“ŒŒ› ค…„…Šˆ„€~$\sigma(h, k, c)$ ˆ ‡€ŠŽ ‚‡€ˆŒŽ‘’ˆ („‹Ÿ —€‘’ŽƒŽ ‘‹“—€Ÿ~$c=0$) ›‹ˆ ‚…‚›… €‘‘ŒŽ’…› เ.~ค…„…Šˆ„ŽŒ ‚~1892~ƒ.\ ‚ …ƒŽ €Ž’…, Ž‘‚Ÿ™…Ž‰ ‹‹ˆ’ˆ—…‘ŠˆŒ ”“Š–ˆŸŒ. ํ’€ ”“Š–ˆŸ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€‹€‘œ ŒŽƒˆŒˆ €‚’Ž€Œˆ; ‘ˆ‘ŽŠ ‹ˆ’…€’“› Ž „€ŽŒ“ ‚ŽŽ‘“ ŒŽ†Ž €‰’ˆ ‚ €Ž’€• ใ.~คˆ’…€ [{\sl Journal f\"ur die reine und angewandte Mathematik,\/} {\bf 201} (1959), 37--70], € ’€Š†… ฃ.~เ€„…Œ€•…€ ˆ~ํ.~ใ€‰’Œ€ [{\sl American Journal of Mathematics,\/} {\bf 63} (1941), 377--407]. ฅ™… …‘ŠŽ‹œŠŽ \emph{€ˆŽ›•} ’…‘’Ž‚ “„…’ Žˆ‘€Ž ‚ “€†…ˆŸ• Š ’ŽŒ“ €‡„…‹“. ฃ‹€‚›‰ ‚›‚Ž„, ŠŽ’Ž›‰ ‘‹…„“…’ ˆ‡ ˆ•, ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ‘‹…„“ž™…Œ: \emph{ŒŽ†ˆ’…‹œ ‚ ‹ˆ…‰ŽŒ ŠŽƒ“’ŽŒ Œ…’Ž„… „Ž‹†… ›’œ „Ž‘’€’Ž—Ž ‚…‹ˆŠ.} แŒ. ’€Š†… “.~3.3.4-7, ƒ„… ˆ‚Ž„ˆ’‘Ÿ „€‹œ…‰˜…… €‡‚ˆ’ˆ… ’…Ž…Œ›~P. \excercises (ฏฅเข ๏ ็ แโ์) \ex[ฌ07] ฎฎŸ‘ˆ’…, Ž—…Œ“ ‚›€†…ˆ…~(7) €‚Ž —ˆ‘‹“ ‡€—…ˆ‰~$x$, „‹Ÿ ŠŽ’Ž›•~$s(x)U_{n+1}>\cdots>U_{n+t-1}$ ‚ ’Ž—Ž‘’ˆ €‚€ $$ {1\over t!}\left(1+{1\over a}\right)\ldots\left(1+{t-2\over a}\right). $$ ช€ŠŽ‚€ ‘…„ŸŸ „‹ˆ€ “›‚€ž™…ƒŽ Ÿ„€ —ˆ‘…‹, €—ˆ€ž™…ƒŽ‘Ÿ ‘Ž ‘‹“—€‰Ž ‚›€ŽƒŽ Œ…†„“ “‹…Œ ˆ …„ˆˆ–…‰ —ˆ‘‹€~$U_n$? \rex[M25] ฏ“‘’œ~$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$---„…‰‘’‚ˆ’…‹œ›… —ˆ‘‹€, ˆ—…Œ~$0\le\alpha<\beta\le1$, $0\le \gamma<\delta\le 1$. ช€ŠŽ‚€ ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’ŽƒŽ, —’Ž~$\alpha\le x < \beta$ ˆ~$\gamma\le s(x)<\delta$, …‘‹ˆ ‚›Ž‹…› …„Ž‹Ž†…ˆŸ “.~22? (ํ’Ž €€‹Žƒ “.~19 „‹Ÿ „…‰‘’‚ˆ’…‹œ›• —ˆ‘…‹.) \ex[M21] เ€‘‘ŒŽ’ˆŒ „€’—ˆŠ, Ž‘Ž‚€›‰ € Œ…’Ž„… ไˆŽ€——ˆ ‘~$U_{n+1}=\{U_n+U_{n-1}\}$. ฏ…„Ž‹€ƒ€Ÿ, —’Ž~$U_1$ ˆ~$U_2$ ‚›ˆ€ž’‘Ÿ …‡€‚ˆ‘ˆŒŽ ‘‹“—€‰›Œ Ž€‡ŽŒ Œ…†„“ “‹…Œ ˆ …„ˆˆ–…‰, €‰„ˆ’… ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’ŽƒŽ, —’Ž~$U_1U_1<\ldotsU_{k+1}$. แ€‚ˆ’… …‡“‹œ’€’ ‘ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž™ˆŒˆ ‚…ŽŸ’Ž‘’ŸŒˆ „‹Ÿ ‘‹“—€‰Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. \rex[M35] ค‹Ÿ ‹ˆ…‰ŽƒŽ ŠŽƒ“’ŽƒŽ „€’—ˆŠ€ ŒŽ™Ž‘’ˆ~$2$ ‚›Ž‹Ÿ…’‘Ÿ “‘‹Ž‚ˆ…~$X_{n-1}-2X_n+X_{n+1}\equiv (a-1)c \pmod{m}$ (‘Œ.~”ŽŒ“‹“~(3.2.1.3-5)). เ€‘‘ŒŽ’ˆ’… „€’—ˆŠ, ŠŽ’Ž›‰ Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ……›‚›Œ €€‹ŽƒŽŒ, Ž‹Ž†ˆ‚~$U_{n+1}=\{\alpha+2U_n-U_{n-1}\}$. โ€Š †… Š€Š ‚ “.~26, €‡„…‹ˆ’… …„ˆˆ—›‰ Š‚€„€’ %% 105 € —€‘’ˆ, „ŽŠ€‡›‚€ž™ˆ… ‚Ž‡ŒŽ†›… ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ Œ…†„“~$U_{n-1}$, $U_n$ˆ~$U_{n+1}$ „‹Ÿ Š€†„Ž‰ €›~$(U_{n-1}, U_n)$. แ“™…‘’‚“…’ ‹ˆ ‡€—…ˆ…~$\alpha$, ˆ ŠŽ’ŽŽŒ Š€†„Ž… ˆ‡ ˜…‘’ˆ ‚Ž‡ŒŽ†›• ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ‰ Œ…†„“ ’ˆŒˆ —ˆ‘‹€Œˆ Ž‘“™…‘’‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‘ ‚…ŽŸ’Ž‘’œž~$1/6$, …‘‹ˆ~$U_{n-1}$ ˆ~$U_n$ ‚›ˆ€ž’‘Ÿ ‘‹“—€‰Ž ‚ …„ˆˆ—ŽŒ Š‚€„€’…? \subsubchap{แ…Š’€‹œ›‰ ’…‘’} % 3.3.4 ข€†›‰ ’…‘’ „‹Ÿ Ž‚…Šˆ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ Ž‹“—…›• € ํขฌ —ˆ‘‹Ž‚›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ‘”ŽŒ“‹ˆŽ‚€‹ˆ ‚ 1965~ƒ.\ เ.~ชŽ‚ž ˆ~เ.~ฌ€Š”…‘Ž. ํ’Ž’ ’…‘’ ‡€Œ…—€’…‹… ’…Œ, —’Ž ‚‘… ˆ‡‚…‘’›… ‹Ž•ˆ… „€’—ˆŠˆ, Ž‘Ž‚€›… € ‹ˆ…‰ŽŒ ŠŽƒ“’ŽŒ Œ…’Ž„…, ›‹ˆ ˆŒ \emph{‡€€ŠŽ‚€›,} ‚ ’Ž ‚…ŒŸ, Š€Š ‚‘… •ŽŽ˜ˆ… „€’—ˆŠˆ Ž˜‹ˆ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œŽ! ก…‡“‘‹Ž‚Ž, ’Ž €ˆŽ‹…… ‘Ž‚…˜…›‰ ˆ‡ ˆŒ…ž™ˆ•‘Ÿ ’…‘’Ž‚, ‚ ‘‚Ÿ‡ˆ ‘ —…Œ Ž ‡€‘‹“†ˆ‚€…’ Ž‘ŽŽƒŽ ‚ˆŒ€ˆŸ. แ…Š’€‹œ›‰ ’…‘’ Ž‹€„€…’ ‘‚Ž‰‘’‚€Œˆ Š€Š "Œˆˆ—…‘Šˆ•", ’€Š ˆ "’…Ž…’ˆ—…‘Šˆ•" ’…‘’Ž‚, €‘‘ŒŽ’…›• ‚ …„›„“™ˆ• €‡„…‹€•. ช€Š ˆ ‚ ’…Ž…’ˆ—…‘Šˆ• ’…‘’€•, ‚ …Œ €‘‘Œ€’ˆ‚€ž’‘Ÿ ‚…‹ˆ—ˆ›, “‘…„…›… Ž ‚‘…Œ“ …ˆŽ„“. แ „“ƒŽ‰ ‘’ŽŽ›, „‹Ÿ Ž‹“—…ˆŸ …‡“‹œ’€’Ž‚ ˆ‘›’€ˆ‰ ’…“ž’‘Ÿ Œ€˜ˆ›… €‘—…’›, —’Ž „…‹€…’ …ƒŽ Ž•Ž†ˆŒ € Œˆˆ—…‘Šˆ… ’…‘’›. ฎŽ‘Ž‚€ˆ… ’ŽƒŽ ’…‘’€ ’…“…’ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆŸ Œ€’…Œ€’ˆŠˆ ‚ ‡€—ˆ’…‹œ›• „Ž‡€•. ็ˆ’€’…‹ž …‡ Ž‘ŽŽ‰ ‘Š‹ŽŽ‘’ˆ Š Œ€’…Œ€’ˆŠ… …ŠŽŒ…„“…’‘Ÿ ……‰’ˆ ŸŒŽ Š Ž„“Š’“~D „€ŽƒŽ “Š’€, ƒ„… ˆ‚Ž„ˆ’‘Ÿ Žˆ‘€ˆ… ‚Ž‹… ŠŽŠ…’ŽƒŽ ‘…Š’€‹œŽƒŽ ’…‘’€. \section{A.~โ…ŽˆŸ, ‹…†€™€Ÿ ‚ Ž‘Ž‚… ’…‘’€}. ฌ€’…Œ€’ˆ—…‘ŠˆŒ ŽŽ‘Ž‚€ˆ…Œ ‘…Š’€‹œŽƒŽ ’…‘’€ ‘‹“†ˆ’ "ŠŽ…—Ž… …Ž€‡Ž‚€ˆ… ไ“œ…" ”“Š–ˆˆ, Ž…„…‹…Ž‰ € ŠŽ…—ŽŒ ŒŽ†…‘’‚…. ฎ„ŽŒ…›‰ ‘‹“—€‰ ŠŽ…—ŽƒŽ …Ž€‡Ž‚€ˆŸ ไ“œ… “†… ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€‹‘Ÿ ‚ …„›„“™…Œ €‡„…‹… ˆ „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚… ‹…ŒŒ›~3.3.3~B; €‘‘ŒŽ’ˆŒ ’……œ ’…•ˆŠ“ …Ž€‡Ž‚€ˆŸ ไ“œ… ‚ Ž™…Œ ‘‹“—€…. ค‹Ÿ ‹žŽ‰ ˆˆŒ€ž™…‰ ŠŽŒ‹…Š‘›… ‡€—…ˆŸ ”“Š–ˆˆ~$F(t_1, t_2,~\ldots, t_n)$, Ž…„…‹…Ž‰ „‹Ÿ ‚‘…• ŠŽŒˆ€–ˆ‰ –…‹›• —ˆ‘…‹~$t_k$, ƒ„…~$0\le t_k < m$ ˆ~$1\le k \le n$, ‚‚…„…Œ \dfn{…Ž€‡Ž‚€ˆ… ไ“œ…} $$ f(s_1, s_2, \ldots, s_n)= \sum_{0\le t_1,\ldots, t_n2425$. ฌˆˆŒ€‹œŽ… …“‹…‚Ž… ‡€—…ˆ…~$s_1^2+s_2^2+s_3^2+s_4^2$, „‹Ÿ ŠŽ’ŽŽƒŽ $$ s_1+3141592621s_2+3141592621^2s_3+3141592621^3s_4 \equiv 0 \pmod{10^{10}}, $$ ˆŒ……’ Œ…‘’Ž ˆ~$s_1=52$, $s_2=-203$, $s_3=-54$, $s_4=125$, ’€Š —’Ž $$ \nu_4=\sqrt{62454} \approx 249.9. $$ โ…Ž‚€ˆ… …‡€‚ˆ‘ˆŒŽ‘’ˆ \emph{—…’‚…ŽŠ} Žˆ†€…’ ’Ž—Ž‘’œ „Ž 8~„‚Žˆ—›• ‡€ŠŽ‚ („‹Ÿ Ž‹œ˜ˆ‘’‚€ ˆ‹Ž†…ˆ‰ ’ŽƒŽ ‚Ž‹… „Ž‘’€’Ž—Ž). ง€—…ˆŸ~$\nu_n$ „‹Ÿ~$n=5$, $6$,~\dots{} Œ……… ‚€†›, ’€Š Š€Š ‚Ÿ„ ‹ˆ …‡€‚ˆ‘ˆŒŽ‘’œ Ÿ’…ŽŠ ‚‘…ƒ„€ „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ …Ž•Ž„ˆŒ€. ญ€ˆŒ…, ˆ Ž‚…Š… ‘…ˆ‰ (‘Œ.~.~3.3.2) …„ŠŽ “—ˆ’›‚€ž’‘Ÿ „€†… —…’‚…Šˆ. (ฏˆ €‘‘ŒŽ’…ˆˆ ‘…„ˆ• Ž ‚‘…Œ“ …ˆŽ„“, Š€Š ‚ €˜…Œ ‘‹“—€…, ‘‹…„“…’ ‘Ž‹ž„€’œ Ž‘’ŽŽ†Ž‘’œ, Ž’ŽŒ“ ………ƒ€’œ —…’‚…Š€Œˆ ‚ ‘…Š’€‹œŽŒ ’…‘’… … ‘’Žˆ’; Ž„€ŠŽ €‘…„…‹…ˆ… %% 111 Ÿ’…ŽŠ ‚Ÿ„ ‹ˆ ŒŽ†…’ Ž€„Žˆ’œ‘Ÿ, ‚Ž ‚‘ŸŠŽŒ ‘‹“—€… ˆ~$m<2^{40}$.) ค‹Ÿ €‘‘Œ€’ˆ‚€…ŒŽƒŽ „€’—ˆŠ€~$s_1=-8$, $s_2=-14$, $s_3=6$, $s_4=-18$, $s_5=34$ ˆ $$ \eqalign{ \nu_5 &= \sqrt{1776} \approx 42.2, \cr \nu_6&=\sqrt{542}\approx 23.3.\cr } $$ โ€Š Š€Š ˆŠ’Ž … ‡€…’, Š€ŠŽ‚› €ˆ‹“—˜ˆ… „Ž‘’ˆ†ˆŒ›… ‡€—…ˆŸ~$\nu_n$, ’“„Ž ’Ž—Ž Ž…„…‹ˆ’œ, Š€Šˆ… ‡€—…ˆŸ~$\nu_n$ ŒŽ†Ž ‘—ˆ’€’œ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œ›Œˆ. ฏ…„‘’€‚‹Ÿ…’‘Ÿ €‡“Œ›Œ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ ‚ Š€—…‘’‚… Œ…› ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ Žฎ…Œ ‹‹ˆ‘Žˆ„€ ‚ $n\hbox{-Œ…ŽŒ}$ Ž‘’€‘’‚…, Ž…„…‹…ŽƒŽ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…Œ~$(x_1 m-x_2a-x_3a^2-\cdots-x_na^{n-1})^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le \nu_n^2$, ’€Š Š€Š ’Ž’ Žฎ…Œ ŽŽ–ˆŽ€‹… ‚…ŽŸ’Ž‘’ˆ Ž€„€ˆŸ ‚ ‹‹ˆ‘Žˆ„ ’Ž—…Š~$(x_1, x_2,~\ldots, x_n)$---\emph{–…‹Ž—ˆ‘‹…›•} …˜…ˆ‰ “€‚…ˆ‰~(11). โ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, „‹Ÿ Ž…„…‹…ˆŸ ””…Š’ˆ‚Ž‘’ˆ ŒŽ†ˆ’…‹Ÿ~$a$ ‚ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘ Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›Œ …ˆŽ„ŽŒ Œ› …„‹€ƒ€…Œ ‚›—ˆ‘‹Ÿ’œ ‚…‹ˆ—ˆ“ $$ C_n={\pi^{n/2}\nu_n^n \over (n/2)!m}. \eqno(15) $$ $\bigl($~ข ’Ž‰ ”ŽŒ“‹… $$ \left({n\over 2}\right)!=\left({n\over2}\right) \left({n\over2}-1\right) \ldots \left({1\over2}\right)\sqrt{\pi} \rem{„‹Ÿ …—…’›•~$n$.}\bigr) \eqno(16) $$ โ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, $$ C_1=2\nu_1/m, \quad C_2=\pi\nu_2^2/m, \quad C_3={4\over3}\pi_3^3/m, C_4={1\over2}\pi^2\nu_4^4/m \rem{ˆ ’. „.} $$ กŽ‹œ˜ˆ… ‡€—…ˆŸ~$C_n$ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž’ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ, Œ€‹›…---Ž’‘“’‘’‚ˆž ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ. ข ’€‹.~1 …„‘’€‚‹…› ‡€—…ˆŸ „‹Ÿ …ŠŽ’Ž›• ’ˆˆ—›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ($C_1$ ‚‘…ƒ„€ €‚Ž~$2$). ค€’—ˆŠˆ, …„‘’€‚‹…›… ‚ ‘’ŽŠ€•~1--4 ’Ž‰ ’€‹ˆ–›, ›‹ˆ “†… €‘‘ŒŽ’…› ‚ .~3.3.1 (‘Œ.~ˆ‘.~2 ˆ~5). ใ „€’—ˆŠŽ‚~1 ˆ~2 ‘‹ˆ˜ŠŽŒ Œ€‹ ŒŽ†ˆ’…‹œ. ฎ—…œ ‹Ž•Ž‰ „€’—ˆŠ~3 „€…’ •ŽŽ˜…… ‡€—…ˆ…~$C_2$, Ž Ž—…œ ‹Ž•ˆ…~$C_3$ ˆ~$C_4$; „‹Ÿ …ƒŽ~$\nu_3=6$ ˆ~$\nu_4=2$. ใ „€’—ˆŠ€~4 "‘‹“—€‰›‰" ŒŽ†ˆ’…‹œ; ’Ž’ „€’—ˆŠ “‘…˜Ž Ž˜…‹ ˆ‘›’€ˆŸ ‘ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆ…Œ Œˆˆ—…‘Šˆ• ’…‘’Ž‚, Ž ‡€—…ˆŸ~$C_2$, $C_3$ ˆ~$C_4$ “ …ƒŽ … Ž—…œ ‚…‹ˆŠˆ. ค€’—ˆŠ~7 Œ› ’Ž‹œŠŽ —’Ž €‘‘Œ€’ˆ‚€‹ˆ; Ÿ„ŽŒ ‘ ˆŒ …„‘’€‚‹…› „€’—ˆŠˆ ‘ ‹ˆ‡ŠˆŒˆ €€Œ…’€Œˆ. ฎ’Œ…’ˆŒ, —’Ž ŒŽ†ˆ’…‹œ~$3141592221$ ˆ‚Ž„ˆ’ Š €ŽŒ€‹œŽ ˆ‡ŠŽŒ“ ‡€—…ˆž~$C_3$ (‘Œ.~‘’ŽŠ“~5), Ž„€ŠŽ ˆ ’ŽŒ †… ‡€—…ˆˆ~$a$ ‘~$m=2^{35}$ (‘Œ. \ ‘’ŽŠ“~9) Ž‹“—€ž’‘Ÿ •ŽŽ˜ˆ… …‡“‹œ’€’›. %% 112 \htable{โ€‹ˆ–€ 1}% {ญ…ŠŽ’Ž›… …‡“‹œ’€’›, Ž‹“—…›… ˆ ŽŒŽ™ˆ ‘…Š’€‹œŽƒŽ ’…‘’€}% {\hfil$#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\hfil\cr แ’ŽŠ€ & a & m & C_2 & C_3 & C_4 \cr \noalign{\hrule} 1 & 23 & 10^8+1 & 0.000017 & 0.00051 & 0.014 \cr 2 & 2^7+1 & 2^{35} & 0.000002 & 0.00026 & 0.040 \cr 3 & 2^{18}+1 & 2^{35} & 3.14 & 0.000000002 & 0.000000003 \cr 4 & 3141592653 & 2^{35} & 0.27 & 0.13 & 0.11 \cr 5 & 3141592221 & 10^{10} & 1.35 & 0.06 & 4.67 \cr 6 & 3141592421 & 10^{10} & 2.69 & 0.35 & 0.54 \cr 7 & 3141592621 & 10^{10} & 1.44 & 0.43 & 1.91 \cr 8 & 3141592821 & 10^{10} & 0.16 & 2.90 & 0.34 \cr 9 & 3141592221 & 2^{35} & 1.24 & 1.69 & 1.11 \cr 10 & 3141592621 & 2^{35} & 3.02 & 0.17 & 1.25 \cr 11 & 2718281821 & 2^{35} & 2.59 & 1.15 & 1.75 \cr 12 & 2^{23}+2^{12}+5 & 2^{35} & 0.015 & 2.78 & 0.066 \cr 13 & 2^{23}+2^{13}+5 & 2^{35} & 0.015 & 1.48 & 0.066 \cr 14 & 2^{23}+2^{14}+5 & 2^{35} & 1.12 & 1.66 & 0.066 \cr 15 & 2^{22}+2^{13}+5 & 2^{35} & 0.75 & 0.30 & 0.066 \cr 16 & 2^{24}+2^{13}+5 & 2^{35} & 0.0008 & 2.92 & 0.066 \cr 17 & 5^{13} & 2^{35} & 3.03 & 0.61 & 1.84 \cr 18 & 5^{15} & 2^{35} & 2.02 & 4.12 & 4.04 \cr & \hbox{\emph{ข…•ŸŸ ƒ€ˆ–€ ‘Žƒ‹€‘Ž}~(13):} \span & 3.63 & 5.90 & 9.86 \cr } ใ „€’—ˆŠŽ‚~12--16 ‚ „‚Žˆ—ŽŒ …„‘’€‚‹…ˆˆ~$a$ ‚‘…ƒŽ Ž 4~…„ˆˆ–›; ˆ…Œ‹…Œ›Œ ŒŽ†Ž ‘—ˆ’€’œ ’Ž‹œŠŽ „€’—ˆŠ~14, Ž ˆ “ …ƒŽ Ž„Ž‡ˆ’…‹œŽ ˆ‡ŠŽ… ‡€—…ˆ…~$C_4$. ฏŽ ‘’€ŽŒ“ ‘Ž‚€„…ˆž ‚‘… ’ˆ 5~„€’—ˆŠŽ‚ „€ž’ Ž„ˆ€ŠŽ‚Ž… ‡€—…ˆ…~$C_4$; Ž‹…… ’ŽƒŽ, ‚Ž ‚‘…• ‘‹“—€Ÿ•~$s_1=-125$, $s_2=75$, $s_3=15$, $s_4=1$! ช“œ…‡›Œ Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ’€Š†… €‹ˆ—ˆ… “ „€’—ˆŠ€~16 ‚›‘ŽŠŽƒŽ ‡€—…ˆŸ~$C_3$ ˆ ˆ‡ŠŽŒ~$C_2$; ‚ ’ŽŒ ‘‹“—€…~$\nu_2=\nu_3$, ’€Š Š€Š ŒˆˆŒ“Œ ˆ~$n=3$ „Ž‘’ˆƒ€…’‘Ÿ ˆ~$s_1=-2043$, $s_2=2047$, $s_3=0$. ข „€’—ˆŠ€•~17 ˆ~18 ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€› ŒŽ†ˆ’…‹ˆ, ŠŽ’Ž›… ˆ’…‘ˆ‚Ž ˆŒ…Ÿ‹ˆ‘œ ‘ ’…• Ž, Š€Š ˆ• …„‹Ž†ˆ‹€ ฎ.~โ€“‘‘Šˆ ‚ €—€‹… 50-• ƒŽ„Ž‚. ฏŽ ‘‹“—€‰ŽŒ“ ‘Ž‚€„…ˆž €ˆŽ‹…… Ž“‹Ÿ›‰ ŒŽ†ˆ’…‹œ~$5^{15}$ „€…’ €ˆ‹“—˜ˆ… …‡“‹œ’€’› ˆ‡ ‚‘…• ‘‹“—€…‚, ŽŠ€‡€›• ‚ ’€‹.~1. เ…‡“‹œ’€’›, ˆ‚…„…›… ‚ ’€‹.~1, ˆ Ž‘‹…„“ž™ˆ‰ Ž›’ €Ž’› ‘ ŒŽƒˆŒˆ ˆ‡ …„‘’€‚‹…›• ‡„…‘œ „€’—ˆŠŽ‚ Ž‡‚Ž‹Ÿž’ ‘Š€‡€’œ, —’Ž ŒŽ†ˆ’…‹œ~$a$ \emph{“‘…˜Ž Ž˜…‹ ‘…Š’€‹œ›‰ ’…‘’}, …‘‹ˆ Š€†„Ž… ˆ‡~$C_2$, $C_3$ ˆ~$C_4\ge 0.1$; …‘‹ˆ ‚‘… Žˆ Ž‹œ˜… (ˆ‹ˆ €‚›) …„ˆˆ–›, ’Ž ŒŽ†Ž ‘—ˆ’€’œ, —’Ž ‘…Š’€‹œ›‰ ’…‘’ Ž‰„… ‘ ‹…‘ŠŽŒ. ฏ…†„… —…Œ …ŠŽŒ…„Ž‚€’œ „€’—ˆŠ „‹Ÿ Ž™…ƒŽ Ž‹œ‡Ž‚€ˆŸ, ŒŽ†Ž ‚›—ˆ‘‹ˆ’œ ’€Š†…~$C_5$, $C_6$ ˆ~’.~„. ค‹Ÿ ’ŽƒŽ —’Ž› “…„ˆ’œ‘Ÿ, —’Ž ŒŽ„“‹œ~$m$ „Ž‘’€’Ž—Ž ‚…‹ˆŠ „‹Ÿ Ž…‘…—…ˆŸ %% 113 ’…“…ŒŽ‰ ’Ž—Ž‘’ˆ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, €„Ž €€‹ˆ‡ˆŽ‚€’œ ‡€—…ˆŸ~$\nu_2$, $\nu_3$ ˆ~$\nu_4$; ˆ Œ€‹›•~$m$ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œ›… …‡“‹œ’€’›, Ž‹“—…›… ‘ ŽŒŽ™œž ‘…Š’€‹œŽƒŽ ’…‘’€, …™… … ƒ€€’ˆ“ž’ ˆƒŽ„Ž‘’ˆ „€’—ˆŠ€ „‹Ÿ €‘—…’Ž‚ Œ…’Ž„ŽŒ ฌŽ’…-ช€‹Ž ‘ ‚›‘ŽŠˆŒ €‡…˜…ˆ…Œ. \section{C.~ข›‚Ž„ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽƒŽ Œ…’Ž„€}. ฏˆ‚…„…›… ˆŒ…› ˆ‹‹ž‘’ˆ“ž’ ‘Ž‘Ž› ˆŒ……ˆŸ ‘…Š’€‹œŽƒŽ ’…‘’€. ฎ„€ŠŽ ‚ €˜ˆ• €‘‘“†„…ˆŸ• Ž‘’€…’‘Ÿ, ŠŽ…—Ž, ‘“™…‘’‚…›‰ Ž…‹: ‘“™…‘’‚“…’ ‹ˆ •Ž’œ Š€Š€Ÿ-ˆ“„œ ‚Ž‡ŒŽ†Ž‘’œ Ž…„…‹ˆ’œ ‡€—…ˆ…~$\nu_n$, ‡€’€—ˆ‚€Ÿ … ‘‹ˆ˜ŠŽŒ ŒŽƒŽ Œ€˜ˆŽƒŽ ‚…Œ…ˆ? ช€Š, €ˆŒ…, ŒŽ†Ž ‚›Ÿ‘ˆ’œ, —’Ž ˆŒ…Ž ‡€—…ˆŸŒ~$s_1=227$, $s_2=983$ ˆ~$s_3=130$ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“…’ ŒˆˆŒ“Œ ‘“ŒŒ›~$s_1^2+s_2^2+s_3^2$ ˆ ‘Ž‹ž„…ˆˆ “‘‹Ž‚ˆŸ~$s_1+3141592621s_2+3141592621^2s_3\equiv 0 \pmod{10^{10}}$? ฎ—…‚ˆ„Ž, —’Ž Ž Ž‘’ŽŒ ……Ž… … ŒŽ†…’ ›’œ ˆ …—ˆ. ฏŽ›’€…Œ‘Ÿ Ž’›‘Š€’œ Ž„•Ž„Ÿ™ˆ‰ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œ›‰ Œ…’Ž„ „‹Ÿ …˜…ˆŸ ’Ž‰ ‡€„€—ˆ. ฏ…†„… ‚‘…ƒŽ ……‰„…Œ Ž’ ’Ž‹œŠŽ —’Ž ˆ‚…„…Ž‰ ”ŽŒ“‹ˆŽ‚Šˆ, Žˆ€ž™…‰‘Ÿ € ”ŽŒ“‹›~(11) ˆ~(12), Š ‘‹…„“ž™…‰ Š‚ˆ‚€‹…’Ž‰ ‡€„€—…: Ž…„…‹ˆ’œ ŒˆˆŒ“Œ ‘“ŒŒ› $$ (x_1m-ax_2-a^2x_3-\cdots-a^{n-1}x_n)^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_n^2 \eqno(17) $$ ˆ –…‹›• ‡€—…ˆŸ•~$x_1$, $x_2$,~\dots, $x_n$, ˆ‡ ŠŽ’Ž›• •Ž’Ÿ › Ž„Ž … €‚Ž “‹ž. ก“„…’ ˆ’……‘Ž ˆ, ‚…ŽŸ’Ž, Ž‹…‡…… €‡€Ž’€’œ —ˆ‘‹…›‰ Œ…’Ž„ …˜…ˆŸ Ž‹…… Ž™…‰ ‡€„€—ˆ: \emph{Ž…„…‹ˆ’œ ŒˆˆŒ“Œ ‘“ŒŒ› $$ (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)^2+\cdots+(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n)^2 \eqno(18) $$ ˆ –…‹›• ‡€—…ˆŸ•~$x_1$,~\dots, $x_n$, ˆ‡ ŠŽ’Ž›• •Ž’Ÿ › Ž„Ž … €‚Ž “‹ž,} ˆ ˆ “‘‹Ž‚ˆˆ, —’Ž Œ€’ˆ–€ ŠŽ””ˆ–ˆ…’Ž‚~$A=(a_{ij})$ … ‚›Ž†„…€. ข›€†…ˆ…~(18) €‡›‚€…’‘Ÿ "Ž‹Ž†ˆ’…‹œŽ Ž…„…‹…Ž‰ Š‚€„€’ˆ—Ž‰ ”ŽŒŽ‰". ข „€‹œ…‰˜…Œ “Š‚€Œˆ~$x$, $y$,~\dots{} “„“’ ŽŽ‡€—€’œ‘Ÿ ‚…Š’Ž-‘’Ž‹–› $$ \pmatrix{ x_1\cr x_2\cr \vdots\cr x_n\cr }, \pmatrix{ y_1\cr y_2\cr \vdots\cr y_n\cr }, \ldots $$ "แŠ€‹ŸŽ… Žˆ‡‚…„…ˆ…" $x\cdot y = x_1 y_1+\cdots+x_ny_n$ ŒŽ†…’ ›’œ ‡€ˆ‘€Ž ‚ Œ€’ˆ—›• ŽŽ‡€—…ˆŸ• Š€Š~$x^Ty$, ƒ„… $T$~ŽŽ‡€—€…’ ‡€Œ…“ ‘’Ž‹–Ž‚ € ‘’ŽŠˆ, ˆ €ŽŽŽ’ (’€‘ŽˆŽ‚€ˆ…). ค‹Ÿ “„Ž‘’‚€ ‚‚…„…Œ ‘‹…„“ž™ˆ… Ž…„…‹…ˆŸ: $$ Q=A^TA, \quad B=A^{-1}, \quad R=Q^{-1}=BB^T. \eqno(19) $$ %% 113 ฏ“‘’œ $A_j$~ŽŽ‡€—€…’ $j\hbox{-‰}$~\emph{‘’Ž‹…–} Œ€’ˆ–›~$A$, €~$B_i$---$i\hbox{-ž}$~\emph{‘’ŽŠ“} Œ€’ˆ–›~$B$. โŽƒ„€ ˆŒ……Œ $$ B_i\cdot A_j=\delta_{ij}, \quad Q_{ij}=A_i\cdot A_j, \quad R_{ij}=B_i\cdot B_j. \eqno (20) $$ ญ€˜€ ‡€„€—€ ‘Ž‘’Žˆ’ ‚ ’ŽŒ, —’Ž› ŒˆˆŒˆ‡ˆŽ‚€’œ~(18), ’.~….\ ŒˆˆŒˆ‡ˆŽ‚€’œ~$(Ax)\cdot(Ax)=x^TA^TAx=x^TQx$ „‹Ÿ –…‹›• ‚…Š’ŽŽ‚~$x\ne0$. ฏ…†„… ‚‘…ƒŽ ‘„…‹€…Œ ‡€„€—“ ŠŽ…—Ž‰, ’.~….\ ŽŠ€†…Œ, —’Ž … €„Ž ……ˆ€’œ ‚‘… …‘ŠŽ…—Ž… ŒŽ†…‘’‚Ž ‚…Š’ŽŽ‚~$x$, —’Ž› €‰’ˆ ŒˆˆŒ“Œ. ฏ“‘’œ~$e_k$---‚…Š’Ž, $k\hbox{-Ÿ}$~ŠŽŒŽ…’€ ŠŽ’ŽŽƒŽ €‚€~$1$, € Ž‘’€‹œ›… “‹ž. โŽƒ„€ $$ x_k = e_k^T x = e_k^T B Ax = (B^T e_k)\cdot(Ax) = B_k\cdot (Ax) $$ ˆ, ‘Žƒ‹€‘Ž …€‚…‘’‚“ ่‚€–€, $$ (B_k\cdot (Ax))^2 \le (B_k\cdot B_k) ((Ax)\cdot(Ax))=R_{kk}(x^TQx). $$ แ‹…„Ž‚€’…‹œŽ, …‘‹ˆ~$x$---…“‹…‚Ž‰ ‚…Š’Ž, ŒˆˆŒˆ‡ˆ“ž™ˆ‰~$x^T Qx$, ’Ž $$ x_k^2\le R_{kk}(x^T Qx) \le R_{kk}(e_j^T Qe_j)=R_{kk}Q_{jj}, \rem{$1\le j$, $k\le n$.} \eqno(21) $$ ํ’Ž Ž‡€—€…’, —’Ž —ˆ‘‹Ž ‚…Š’ŽŽ‚~$x$, ŠŽ’Ž›… €„Ž €‘‘ŒŽ’…’œ ˆ Žˆ‘Š… ŒˆˆŒ“Œ€, Žƒ€ˆ—…Ž. ญ€ ‘€ŒŽŒ „…‹… Œ› Ž‹“—ˆ‹ˆ ‘‹…„“ž™ˆ‰ Ž‹…… Ž™ˆ‰ …‡“‹œ’€’. \proclaim ซ…ŒŒ€~A. ฅ‘‹ˆ $$ x=\pmatrix{ x_1\cr \vdots\cr x_n\cr } $$ ---…“‹…‚Ž‰ –…‹Ž—ˆ‘‹…›‰ ‚…Š’Ž ‘ ŒˆˆŒ€‹œ›Œ ‡€—…ˆ…Œ~$x^TQx$, a~$q$---‡€—…ˆ…~$y^TQ$ „‹Ÿ …ŠŽ’ŽŽƒŽ …“‹…‚ŽƒŽ –…‹Ž—ˆ‘‹…ŽƒŽ ‚…Š’Ž€~$y$, ’Ž $$ x_k^2\le R_{kk}q. \endmark \eqno(22) $$ ฎ—…‚ˆ„Ž, —’Ž €‚€Ÿ —€‘’œ~(22) ŒŽ†…’ ›’œ ‚‘… …™… ‘‹ˆ˜ŠŽŒ Ž‹œ˜Ž‰, —’Ž› Ž‘’Ž‰ ……Ž ›‹ €Š’ˆ—…‘Šˆ Ž‘“™…‘’‚ˆŒ, ’€Š —’Ž ’…“…’‘Ÿ Žˆ‡‚…‘’ˆ „€‹œ…‰˜ˆ… “‘Ž‚…˜…‘’‚Ž‚€ˆŸ. ฎ€’ˆŒ‘Ÿ Š Ž„ŽŒ“ ˆ‡ €ˆŽ‹…… Ž‘’›• ˆ ˜ˆŽŠŽ €‘Ž‘’€…›• ‚ Œ€’…Œ€’ˆŠ… ˆ…ŒŽ‚---Œ…’Ž„“ ‡€Œ…› ……Œ…›•. เ€‘‘ŒŽ’ˆŒ Ž„‘’€Ž‚Š“ ‚ˆ„€ $$ y=Ux, \eqno(23) $$ ƒ„…~$U$---–…‹Ž—ˆ‘‹…€Ÿ Œ€’ˆ–€, Ž…„…‹ˆ’…‹œ ŠŽ’ŽŽ‰~$\det U=\pm 1$. ํ’Ž Ž‡€—€…’, —’Ž …‘‹ˆ~$x$---‚…Š’Ž-‘’Ž‹…–, ‘Ž‘’ŽŸ™ˆ‰ ˆ‡ –…‹›• —ˆ‘…‹, ’Ž ’€ŠŽ‚ †… ˆ~$y$, ˆ Ž€’Ž, …‘‹ˆ ‚…Š’Ž~$y$ ‡€„€, ’Ž~$x$ ŒŽ†Ž Ž…„…‹ˆ’œ ˆ‡ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ~$x=U^{-1}y$. (ํ‹…Œ…’› Œ€’ˆ–›~$U^{-1}$ %% 115 “„“’ –…‹›Œˆ, ’€Š Š€Š Ž€ €‚€~$\adj (U)/\det(U)$.) แ‹…„Ž‚€’…‹œŽ, …‘‹ˆ ‚ Š€—…‘’‚…~$x$ ……€’œ ‚‘… –…‹Ž—ˆ‘‹…›… ‚…Š’Ž›, ’Ž ’Ž †… ŒŽ†…‘’‚Ž ‡€—…ˆ‰ Ž…†ˆ’ ˆ~$y=Ux$, ˆ Ž€’Ž; „€‹……, $y=0$ ’Ž‹œŠŽ ˆ~$x=0$. ฏŽ’ŽŒ“ ŒŽ†Ž ……‰’ˆ Ž’ ‡€„€—ˆ Ž ŒˆˆŒˆ‡€–ˆˆ~$(Ax)\cdot(Ax)$ „‹Ÿ –…‹›•~$x\ne0$ Š Š‚ˆ‚€‹…’Ž‰ ‡€„€—… Ž €•Ž†„…ˆˆ ŒˆˆŒ“Œ€~$(AU^{-1}y)\cdot(AU^{-1}y)$ „‹Ÿ –…‹›•~$y\ne0$. \proclaim ซ…ŒŒ€~B. ฏ“‘’œ~$U$---‹ž€Ÿ –…‹Ž—ˆ‘‹…€Ÿ Œ€’ˆ–€ ‘~$\det U=\pm1$, ˆ “‘’œ $$ A'=AU^{-1}, \quad B'=Ub, \quad Q'=(U^{-1})^T QU^{-1}, \quad R'=URU^T. \eqno(24) $$ ง€„€—€ ŒˆˆŒˆ‡€–ˆˆ, Ž…„…‹…€Ÿ Œ€’ˆ–€Œˆ~$A'$, $B'$, $Q'$, $R'$, ˆŒ……’ ’Ž †… ‘€ŒŽ… …˜…ˆ…, —’Ž ˆ ‡€„€—€, Ž…„…‹…€Ÿ Œ€’ˆ–€Œˆ~$A$, $B$, $Q$, $R$.\endmark โ……œ ŒŽ†Ž Ž…„…‹ˆ’œ ””…Š’ˆ‚›‰ ‘Ž‘Ž ‚›—ˆ‘‹…ˆŸ ŒˆˆŒ€‹œŽƒŽ ‡€—…ˆŸ ‘‹…„“ž™ˆŒ Ž€‡ŽŒ: ……‰’ˆ Ž’ ˆ‘•Ž„Ž‰ ‡€„€—ˆ Š „“ƒŽ‰ ‘ ŽŒŽ™œž Ž„•Ž„Ÿ™…‰ Œ€’ˆ–›~$U$ ˆ Ž‚’ŽŸ’œ ’Ž „Ž ’…• Ž, ŽŠ€ … Ž‹“—ˆ’‘Ÿ ‡€„€—€, „‹Ÿ ŠŽ’ŽŽ‰ …€‚…‘’‚Ž ‚ ‹…ŒŒ…~A Ž‡‚Ž‹Ÿ…’ Žˆ‡‚…‘’ˆ Ž‹›‰ ……Ž … ‘‹ˆ˜ŠŽŒ „ŽŽƒŽ‰ –…Ž‰. คŽ‘’€’Ž—Ž Ž‘’Ž‰ ˆ ˆƒŽ„Ž‰ „‹Ÿ €˜ˆ• –…‹…‰ Œ€’ˆ–…‰, Ž…„…‹ˆ’…‹œ ŠŽ’ŽŽ‰ €‚…~$1$, ŒŽ†…’ ‘‹“†ˆ’œ Œ€’ˆ–€ $$ \eqalign{ U&=\pmatrix{ 1 \cr & \ddots \cr & & 1 \cr c_1 & \ldots & c_{k-1} & 1 & c_{k+1} & \ldots & c_n \cr & & & & 1 \cr & & & & & \ddots \cr & & & & & & 1 \cr } \cr U^{-1}&=\pmatrix{ 1 \cr & \ddots \cr & & 1 \cr -c_1 & \ldots & -c_{k-1} & 1 & -c_{k+1} & \ldots & -c_n \cr & & & & 1 \cr & & & & & \ddots \cr & & & & & & 1 \cr } \cr } \eqno(25) $$ ƒ„…~$c_1$,~\dots, $c_n$---‹ž›… –…‹›… ‡€—…ˆŸ, $k$---”ˆŠ‘ˆŽ‚€Ž… –…‹Ž… —ˆ‘‹Ž. ข‘… ‹…Œ…’› Œ€’ˆ–, ŠŽŒ… “Š€‡€›•, €‚› “‹ž. ข ’ŽŒ ‘‹“—€… ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…~$y=Ux$ Ž‡€—€…’ Ž‘’Ž, —’Ž~$y_j=x_j$ „‹Ÿ~$j\ne k$ ˆ~$y_k=x_k+\sum_{j\ne k} c_j x_j$; …‡“‘‹Ž‚Ž, ’Ž €ˆŽ‹…… …‘’…‘’‚…›‰ ‘Ž‘Ž Ž„‘’€Ž‚Šˆ. ข›—ˆ‘‹ˆ’œ Žˆ‡‚…„…ˆŸ, ……—ˆ‘‹…›… %%116 ‚~(24), ‚ ’ŽŒ ‘‹“—€… Ž—…œ ‹…ƒŠŽ: $$ \eqalignter{ A'_j&=A_j-c_jA_k & \rem{„‹Ÿ~$j\ne k$, $A_k'=A_k$;}\cr B'_j&=B_j & \rem{„‹Ÿ~$j\ne k$, $B'_k=B_k+\sum_{j\ne k} c_j B_j$.}\cr } \eqno(26) $$ โ……œ “†Ž Ž„Ž€’œ Ž„•Ž„Ÿ™ˆ… –…‹›… ‡€—…ˆŸ~$k$ ˆ~$c_j$. ฏˆ ‹ž›•~$c_j$ ˆ –…‹›•~$k$ Œ€’ˆ–€~$U$ ‚~(25) ‚ ˆ–ˆ… Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‚Ž‹… ˆ…Œ‹…Œ›Œ …Ž€‡Ž‚€ˆ…Œ. ข ‘ŽŽ’‚…’‘’‚ˆˆ ‘~(21) †…‹€’…‹œŽ ‚›€’œ –…‹›… —ˆ‘‹€~$c_1$,~\dots, $c_{k-1}$, $c_{k+1}$,~\dots, $c_n$ ’€Š, —’Ž› \emph{„ˆ€ƒŽ€‹œ›… ‹…Œ…’›} Š€Š Œ€’ˆ–›~$Q'$, ’€Š ˆ~$R'$ ›‹ˆ Š€Š ŒŽ†Ž Œ…œ˜…. ข ‘‚Ÿ‡ˆ ‘ ’ˆŒ …‘’…‘’‚…Ž ‚Ž‡ˆŠ€ž’ „‚€ ‘‹…„“ž™ˆ• ‚ŽŽ‘€: \medskip \item{a)}\emph{ช€Š ‹“—˜… ‚‘…ƒŽ ‚›€’œ „…‰‘’‚ˆ’…‹œ›… —ˆ‘‹€~$c_j$ ˆ~$j\ne k$, —’Ž› ŒˆˆŒˆ‡ˆŽ‚€’œ ‡€—…ˆŸ „ˆ€ƒŽ€‹œ›• ‹…Œ…’Ž‚ Œ€’ˆ–›~$Q'=(U^{-1})^T Q U^{-1}$?} \item{b)}\emph{ช€Š ‹“—˜… ‚‘…ƒŽ ‚›€’œ „…‰‘’‚ˆ’…‹œ›… —ˆ‘‹€~$c_j$ ˆ~$j\ne k$, —’Ž› ŒˆˆŒˆ‡ˆŽ‚€’œ ‡€—…ˆŸ „ˆ€ƒŽ€‹œ›• ‹…Œ…’Ž‚ Œ€’ˆ–›~$R'=URU^T$?} \medskip ข ‘‹“—€…~(a) „ˆ€ƒŽ€‹œ›… ‹…Œ…’› Œ€’ˆ–›~$Q'$, €‚›…~$A'_j\cdot A'_j$ ‘Žƒ‹€‘Ž~(20), “„“’ ˆ‡Œ……› …Ž€‡Ž‚€ˆ…Œ~$U$ ˆ ‚‘…•~$j\ne k$. ซ…ƒŠŽ ‚ˆ„…’œ, —’Ž ŒˆˆŒ“Œ ‚›€†…ˆŸ $$ \eqalign{ (A_j-c_jA_k)\cdot(A_j-c_jA_k)&=Q_{jj}-2c_jQ_{jk}+c_j^2Q_{kk}=\cr &=Q_{kk}(c_j-Q_{jk}/Q_{kk})^2+Q_{jj}-Q_{jk}^2/Q_{kk}\cr } $$ „Ž‘’ˆƒ€…’‘Ÿ ˆ $$ c_j=Q_{jk}/Q_{kk}. \eqno(27) $$ ฃ…ŽŒ…’ˆ—…‘Šˆ (ˆ‘.~8) ‡€„€—€ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’€ŠŽŒ ‚›Ž… ŠŽ””ˆ–ˆ…’€ ˆ ‚…Š’Ž…~$A_k$, —’Ž› ˆ ‚›—ˆ’€ˆˆ~$c_jA_k$ ˆ‡ ‚…Š’Ž€~$A_j$ …‡“‹œ’ˆ“ž™ˆ‰ ‚…Š’Ž~$A'_j$ ˆŒ…‹ ŒˆˆŒ€‹œ“ž „‹ˆ“. ค‹Ÿ ’ŽƒŽ €„Ž ‚›€’œ ’€ŠŽ…~$c_j$, —’Ž› $A'_j$~›‹Ž ……„ˆŠ“‹ŸŽ Š~$A_k$ (’.~….~$A'_j\cdot A'_k=Q'_{jk}=0$), € ’Ž „Ž‘’ˆƒ€…’‘Ÿ ‘ ŽŒŽ™œž~(27). ข ‘‹“—€…~(b) „ˆ€ƒŽ€‹œ›… ‹…Œ…’› Œ€’ˆ–~$R'$ ˆ~$R$ ‘Ž‚€„€ž’, ŠŽŒ…~$R'_{kk}=B'_k\cdot B'_k$. ง„…‘œ €Œ €„Ž ‚›€’œ~$c_j$ ’€Š, —’Ž› \picture{เˆ‘. 8. ฃ…ŽŒ…’ˆ—…‘Š€Ÿ ˆ’……’€–ˆŸ ‚›‚Ž„€ ”ŽŒ“‹› (27).} %% 117 ‚…Š’Ž~$B_k+\sum_{j\ne k} c_jB_j$ ˆŒ…‹ ŒˆˆŒ€‹œ“ž „‹ˆ“. ฃ…ŽŒ…’ˆ—…‘Šˆ ’Ž Ž‡€—€…’, —’Ž Œ› „Ž€‚‹Ÿ…Œ Š ‚…Š’Ž“~$B_k$ …ŠŽ’Ž›‰ ‚…Š’Ž, ‹…†€™ˆ‰ ‚ $(n-1)\hbox{-Œ…Ž‰}$ ƒˆ…‹Ž‘ŠŽ‘’ˆ, Ž…„…‹Ÿ…ŒŽ‰ ‚…Š’Ž€Œˆ~$\{\,B_j \mid j\ne k\,\}$. โ€Š †…, Š€Š ‚ ‘‹“—€…, ŽŠ€‡€ŽŒ € ˆ‘.~8, ŒˆˆŒ“Œ „Ž‘’ˆƒ€…’‘Ÿ, ŠŽƒ„€ $B'_k$~……„ˆŠ“‹Ÿ… ƒˆ…‹Ž‘ŠŽ‘’ˆ, $B'_k$~……„ˆŠ“‹Ÿ… ‚‘…Œ~$B'_j$ ˆ~$j\ne k$. โ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, …Ž•Ž„ˆŒŽ …˜ˆ’œ ‘ˆ‘’…Œ“ “€‚…ˆ‰~$B'_kB'_j=0$, ’.~…. $$ R_{kj}+\sum_{i\ne k} c_i R_{ij}=0, \rem{$1\le j \le n$, $j \ne k$.} \eqno(28) $$ แ’ŽƒŽ… „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž ’ŽƒŽ, —’Ž ‡€„€—€~(b) ‘‚Ž„ˆ’‘Ÿ Š …˜…ˆž “€‚…ˆ‰~(28), €‘‘ŒŽ’…Ž ‚ “.~12. โ……œ, ŠŽƒ„€ Ž… ‡€„€—ˆ~(a) ˆ~(b) …˜…›, Œ› …›‚€…Œ ‚ …ŠŽ’ŽŽŒ …„Ž“Œ…ˆˆ: ‚›ˆ€’œ ‹ˆ ‡€—…ˆŸ~$c$ ‚ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚ˆˆ ‘~(27), —’Ž› ŒˆˆŒˆ‡ˆŽ‚€’œ „ˆ€ƒŽ€‹œ›… ‹…Œ…’› Œ€’ˆ–›~$Q'$, ˆ‹ˆ ‚ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚ˆˆ ‘~(28), —’Ž› ŒˆˆŒˆ‡ˆŽ‚€’œ „ˆ€ƒŽ€‹œ›… ‹…Œ…’›~$R'$? ข ŽŽˆ• ‘‹“—€Ÿ• €‚€Ÿ —€‘’œ~(21) “’Ž—Ÿ…’‘Ÿ, Ž’ŽŒ“ …Ÿ‘Ž, Š€ŠŽ‰ ‚€ˆ€’ …„Ž—’ˆ’…‹œ……. ช ‘—€‘’œž, Ž’‚…’ —…‡‚›—€‰Ž Ž‘’: “‘‹Ž‚ˆŸ~(27) ˆ~(28) ‘Ž‚…˜…Ž Ž„ˆ€ŠŽ‚›! เ€‚…‘’‚Ž~$R'=(Q')^{-1}$ Ž‡€—€…’, —’Ž …„ˆ€ƒŽ€‹œ›… ‹…Œ…’› ‚ $k\hbox{-‰}$~‘’ŽŠ… ˆ $k\hbox{-Œ}$~‘’Ž‹–…~$Q'$ €‚› “‹ž ’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€, ŠŽƒ„€ €‚› “‹ž …„ˆ€ƒŽ€‹œ›… ‹…Œ…’› ‚ $k\hbox{-‰}$~‘’ŽŠ… ˆ~$k\hbox{-Œ}$~‘’Ž‹–… Œ€’ˆ–›~$R'$. ฏŽ’ŽŒ“ “ ‡€„€—~(a) ˆ~(b) Ž„Ž ˆ ’Ž †… …˜…ˆ…. ข …‡“‹œ’€’… ŽŠ€‡›‚€…’‘Ÿ, —’Ž ŒŽ†Ž ‘„…‹€’œ ŒˆˆŒ€‹œ›Œˆ Ž„Ž‚…Œ…Ž „ˆ€ƒŽ€‹œ›… ‹…Œ…’›~$Q$ ˆ~$R$. (ง€Œ…’ˆŒ, —’Ž Œ› ’Ž‹œŠŽ —’Ž Ž’Š›‹ˆ ‡€Ž‚Ž ’€Š €‡›‚€…Œ›‰ "Ž–…‘‘ Ž’ŽƒŽ€‹ˆ‡€–ˆˆ ่Œˆ„’€".) ชŽ…—Ž, € ‘€ŒŽŒ „…‹… “‘‹Ž‚ˆŸ~(a) ˆ~(b) ‚›Ž‹Ÿž’‘Ÿ ˆ …–…‹›• ‡€—…ˆŸ•~$c_j$, € Œ› ŒŽ†…Œ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ ‚ Œ€’ˆ–…~$U$ ’Ž‹œŠŽ –…‹›… ‡€—…ˆŸ. ฏˆ ’ŽŒ ‘„…‹€’œ~$A'_j$ ‚ ’Ž—Ž‘’ˆ ……„ˆŠ“‹Ÿ›Œ~$A'_k$ …‚Ž‡ŒŽ†Ž. ฅ‘‹ˆ, Ž„€ŠŽ, ‚›€’œ ‚ Š€—…‘’‚…~$c_j$ \emph{‹ˆ†€‰˜ˆ… Š~$Q_{jk}/Q_{kk}$ –…‹›… —ˆ‘‹€,} ’Ž ’Ž “„…’ €ˆ‹“—˜ˆŒ –…‹›Œ …˜…ˆ…Œ ‡€„€—ˆ~(a) ˆ ‹ˆ‡ŠˆŒ Š (Ž \emph{…} ‚‘…ƒ„€ €‚›Œ) €ˆ‹“—˜…Œ“ …˜…ˆž ‡€„€—ˆ~(b). ฏŽˆ‡‚Ž„Ÿ …Ž€‡Ž‚€ˆŸ ‚ˆ„€~(25) ˆ €‡›•~$k$ ˆ ˆ~$c_j$, €‚›• ‹ˆ†€‰˜…Œ“ –…‹ŽŒ“ Š~$Q_{jk}/Q_{kk}$, ŒŽ†Ž Ž†ˆ„€’œ, —’Ž Ž‘’……Ž ‚…•ŸŸ ƒ€ˆ–€, Ž…„…‹Ÿ…Œ€Ÿ ‚›€†…ˆ…Œ~(21), ‘“‘’ˆ’‘Ÿ „Ž “Ž‚Ÿ, ˆ ŠŽ’ŽŽŒ ‚Ž‡ŒŽ†… Ž‹›‰ ……Ž. ญ€ ’ŽŒ …„Ž‹Ž†…ˆˆ Ž‘Ž‚€ ˆ‚…„…›‰ ˆ†… €‹ƒŽˆ’Œ. ฏˆ €ˆ‘€ˆˆ €‘’ŽŸ™…‰ ƒ‹€‚› €‚’Ž Ž‚…‹ …‘ŠŽ‹œŠŽ ‘Ž’… Œ€˜ˆ›• €‘—…’Ž‚ Ž ’ŽŒ“ €‹ƒŽˆ’Œ“, ˆ—…Œ ‘•Ž„ˆŒŽ‘’œ ŽŠ€‡›‚€‹€‘œ ƒŽ€‡„Ž Ž‹…… ›‘’Ž‰, —…Œ Ž†ˆ„€‹Ž‘œ. คŽ‘’€’Ž—Ž ›‹Ž ˆŒ…ˆ’œ …Ž€‡Ž‚€ˆ…~(25) ‚‘…ƒŽ 21~€‡, —’Ž› ‚ ‚€ˆ€’€• ‘~$n=6$ ˆ ‘ ŽƒŽŒ›Œˆ ‡€—…ˆŸŒˆ ‹…Œ…’Ž‚ Œ€’ˆ–~$Q$ ˆ~$R$ Ž‘’€‚€‹Ž‘œ Œ……… 500~‘‹“—€…‚ „‹Ÿ ŸŒŽƒŽ ……Ž€. ข …‡“‹œ’€’… €‘—…’› € ํขฌ ‡€ˆŒ€‹ˆ ‚‘…ƒŽ …‘ŠŽ‹œŠŽ ‘…Š“„. %% 118 \section{D.~เ…€‹ˆ‡€–ˆŸ ‘…Š’€‹œŽƒŽ ’…‘’€}. ฏˆ‚…„…Œ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œ“ž Ž–…„““, ‚›’…Š€ž™“ž ˆ‡ ‚‘…ƒŽ ‘Š€‡€ŽƒŽ ‚›˜…. \alg S.(แ…Š’€‹œ›‰ ’…‘’.) แ…Š’€‹œ›‰ ’…‘’ ˆŒ…Ÿ…’‘Ÿ „‹Ÿ Ž–…Šˆ ‚›Ž€ ŒŽ†ˆ’…‹Ÿ~$a$ ‚ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘ Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›Œ …ˆŽ„ŽŒ. (ขŽŽ‘ Ž €‘Ž‘’€…ˆˆ ’ŽƒŽ ’…‘’€ € „“ƒˆ… ‹ˆ…‰›… ŠŽƒ“’›… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ €‘‘ŒŽ’… ‚ “.~20 ˆ~21.) ชŽŒ… ‡€—…ˆŸ~$a$ ‡€„€…’‘Ÿ ’€Š†… ŒŽ„“‹œ~$m$. โ…‘’ Ž‚…Ÿ…’ ‘’€’ˆ‘’ˆ—…‘Š“ž …‡€‚ˆ‘ˆŒŽ‘’œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œ›• Ž’…‡ŠŽ‚ ˆ‡ $n$~—ˆ‘…‹. ็€™… ‚‘…ƒŽ ’…‘’ ˆŒ…Ÿ…’‘Ÿ ˆ~$n=2$, $3$, $4$ ˆ ˆŽƒ„€ ˆ …‘ŠŽ‹œŠŽ Ž‹œ˜ˆ• ‡€—…ˆŸ•~$n$. ข €‹ƒŽˆ’Œ… …„Ž‹€ƒ€…’‘Ÿ, —’Ž € ‚•Ž„… ‡€„€›~$a$, $m$ ˆ~$n$; ‚›—ˆ‘‹Ÿ…’‘Ÿ~$q=\nu_n^2$ (‘Œ.~(12)). จ‘Ž‹œ‡“ž’‘Ÿ $n\times n\hbox{-Œ€’ˆ–›}$~$Q$ ˆ~$R$ ˆ ‚‘ŽŒŽƒ€’…‹œ›… $n\hbox{-Œ…›…}$ ‚…Š’Ž›~$X$ ˆ~$c$. ข‘… Ž…€–ˆˆ ‘ –…‹›Œˆ —ˆ‘‹€Œˆ „Ž‹†› Žˆ‡‚Ž„ˆ’œ‘Ÿ ’Ž—Ž; „‹Ÿ ’ŽƒŽ ŒŽ†…’ Ž’…Ž‚€’œ‘Ÿ ˆ‚‹…—…ˆ… Ž…€–ˆ‰ ‘ Ž‚›˜…Ž‰ ’Ž—Ž‘’œž. กŽ‹…… Ž„ŽŽ ’Ž’ ‚ŽŽ‘ “„…’ €‘‘ŒŽ’… ˆ†…. \st[ญ€—€‹œ€Ÿ “‘’€Ž‚Š€.] ใ‘’€Ž‚ˆ’œ~$X[1]\asg1$, $X[k+1]\asg (aX[k])\bmod m$ „‹Ÿ~$1\le k < n$. ฅ‘‹ˆ Š€ŠŽ…-‹ˆŽ~$X[k]$ Ž‹œ˜…~$m/2$, “‘’€Ž‚ˆ’œ~$X[k]\asg X[k]-m$. ง€’…Œ ‘”ŽŒˆŽ‚€’œ Œ€’ˆ–› $$ \eqalign{ Q&=\pmatrix{ m^2 & -m X_2 & -m X_3 & \ldots & -m X_n \cr -m X_2 & 1+X_2^2 & X_2 X_3 & \ldots & X_2 X_n \cr -m X_3 & X_2 X_3 & 1+X_3^2 & \ldots & X_3 X_n \cr \vdots & & & & \vdots \cr -m X_n & X_2 X_n & X_3 X_n & \ldots & 1+X_n^2 \cr },\cr R&=\pmatrix{ \sum X_j^2 & m X_2 & m X_3 & \ldots & m X_n \cr m X_2 & m^2 & 0 & \ldots & 0 \cr m X_3 & 0 & m^2 & \ldots & 0 \cr \vdots & & & & \vdots \cr mX_n & 0 & 0 & \ldots & m^2 \cr }.\cr } \eqno(29) $$ ค‹Ÿ ’ŽƒŽ “‘’€Ž‚ˆ’œ~$Q[1, 1]\asg m^2$, $R[1, 1]\asg \sum_{1\le j \le n} X[j]^2$; „‹Ÿ~$1c[k]$, ……‰’ˆ €~\stp{9}. \st[ฏ……‰’ˆ Š ‘‹…„“ž™…Œ“~$k$.] ใ‘’€Ž‚ˆ’œ~$k\asg k+1$. ฅ‘‹ˆ~$k\le n$, “‘’€Ž‚ˆ’œ~$X[k]\asg -c[k]$ ˆ Ž‚’Žˆ’œ ˜€ƒ~\stp{8}. ฅ‘‹ˆ~$k>n$, “‘’€Ž‚ˆ’œ~$q'\asg \sum_{1\le i \le n} \sum_{1\le j \le n} X[i]X[j]Q[i,j]$, ˆ, …‘‹ˆ~$q'n$, ……‰’ˆ €~S6". ฎ„€ŠŽ, ‚Ž‡ŒŽ†Ž, —’Ž ’Ž ˆ‚…„…’ Š Ž—…œ „‹ˆŽŒ“ ……Ž“ € ˜€ƒ€•~S6--S9, Š€Š ŽŠ€‡€Ž ‚ “.~18. ข ’€ŠŽ‰ ‘ˆ’“€–ˆˆ ‡€—ˆ’…‹œ›Œˆ …ˆŒ“™…‘’‚€Œˆ Ž‹€„€ž’ ˆ…Œ›, ŠŽ’Ž›… Ž‘“†„€ž’‘Ÿ ‚ “.~22 ˆ~23.  ‹ƒŽˆ’Œ ‡€–ˆŠ‹ˆ‚€…’‘Ÿ ˆ~$n=2$, $a=1025$, $m=2^{46}$, •Ž’Ÿ Ž„Ž€Ÿ …“„€—€ ›‚€…’ …„ŠŽ. ข Ž„ŽŒ ˆ‡ Ž‘—ˆ’€›• €‚’ŽŽŒ ‘‹“—€…‚ ˆ~$n=6$ "Ž†ˆ„€…Œ€Ÿ „‹ˆ€ ……Ž€"~$\prod (2c_j+1)$ € ˜€ƒ…~S3 ˆˆŒ€‹€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ ‘‹…„“ž™ˆ… ‡€—…ˆŸ: $$ \eqalign{ &1\times 10^{43}, 6\times 10^{42}, 2\times 10^{42}, 9\times 10^{41}, 2\times 10^{41}, 6\times 10^{33}, 4\times 10^{33},\cr &1\times 10^{29}, 1\times 10^{20}, 6\times 10^{19}, 4\times 10^{18}, 9\times 10^{12}, 4\times 10^{10}, 3\times 10^{8},\cr &1\times 10^8, 8\times 10^7, 1\times 10^7, 7\times 10^6, 1.7\times 10^7, 1.8\times 10^7, 7\times 10^5,\cr &1\times 10^5, 5\times 10^4, 3825, 3825, 675.\cr } $$ โ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, ’€ ‚…‹ˆ—ˆ€ “Œ…œ˜€…’‘Ÿ Ž’~$10^{43}$ „Ž ‡€—…ˆŸ ˆ†…~$1000$, ˆ—…Œ … ŒŽŽ’ŽŽ: „‚€†„› ‡€—…ˆ… \emph{“‚…‹ˆ—ˆ‚€…’‘Ÿ.} ข…ŽŸ’Ž, „€‹œ…‰˜ˆ… ˆ’…€–ˆˆ …™… Ž‹œ˜… ‘ˆ‡Ÿ’ ‡€—…ˆ…~$675$, ’€Š —’Ž, Ž-‚ˆ„ˆŒŽŒ“, ŠŽ‘’€’“~$1000$ ‚ ˜€ƒ…~S3 ‘‹…„“…’ “Œ…œ˜ˆ’œ, ‘Š€†…Œ, „Ž~$100$. (\emph{ง€Œ…—€ˆ….} จ‘’ˆŽ… —ˆ‘‹Ž €ŽŽ‚~$X[1]$,~\dots, $X[n]$, ˆ‘›’€›• ‚ Ž‹ŽŒ ……Ž… (˜€ƒˆ %%121 \bye