\input style
� �������� ������������ ���� ����������. ��������� ��� ������ ��������
�������� ������� �������, �� ���� ������������, ���������� �� ���������~M,
��������� � ����� ����, ��� ������ ������ ������� � ����� ����������
�����������. �������������� ���������� ��������� ��������������
��������� ������� ������� �������� ���������� ��������� �����, ���
��� ����� �������� �� ���������.

�������������� ���������� � ������ ⅉ������, � ����� ����� ���������
������ �������, ������, ��� ������ ����������, ��� ����������� �����,
����� �������� �� ������ �.~������� ({\sl JACM,\/} {\bf 6} (1959), 376--383).

{\sl (5)~������������� ����������� �������������.\/} ��
����������� ���������� ������������� � ������� ������� ��������� �
����������� �����������, ������ �������. ���� $X$~����� �����
�������������, �� � ������� ������������� ��������� ��������
$$
Y=\mu+\sigma X
\eqno(24)
$$
������� �������� �����~$\mu$, � ����������� ����������~$\sigma$.
����� ����, ����~$X_1$ �~$X_2$---����������� ���������� ��������� ��������
�� ������� ��������� ���� � ��������� ����������� ����������� � ����
$$
Y_1=\mu_1+\sigma_1 X_1, \qquad
Y_2=\mu_2+\sigma_2(\rho X_1+\sqrt{1-\rho^2}X_2),
\eqno(25)
$$
��~$Y_1$ �~$Y_2$---\emph{���������} ��������� ��������, ��������������  ��
�������� ����������~$\mu_1$, $\mu_2$, ������������ ������������~$\sigma_1$,
$\sigma_2$ � ������������� ����������~$\rho$. (��������� �� ������~$n$
���������� ��.~�~���.~13.)

\section{D.~튑������������� �������������}. ������ ������ ��� ���������
�������---�������� � \emph{���������������� ��������������.}  �� ���������
�������� ������ ����� � �������, ��� ��������������� "����� ���������".
��������, ���� ������������� �������� �������� � ������� ������
$\mu$~������ ���� �����-�������, �� ���������� ������� ����� �����
����������������� �������� ������ ����� ���������������� ������������� ��
������� ���������~$\mu$. 풎 ������������� ������������ ��������
$$
F(x)=1-e^{-x/\mu}, \rem{$x\ge0$.}
\eqno(26)
$$
������ �������, ��� ���� $X$~����� ���������������� ������������� ��
������� ���������~$1$, �� $\mu X$~����������� �����������������
������������� �� �������~$\mu$. ������� ���������� �����������
������~$\mu=1$. ������ ������������ ��� ������.

{\sl (1)~��������������� �����.\/} �, ���~$y=F(x)=1-e^{-x}$
����� ����������� � ����~$x=F^{-1}(y)=-\ln(1-y)$. �������, ����������
%% 142
�����������~(6), ��������~$-\ln(1-U)$ ����� ���������������� �������������.
  ��� $1-U$~������������ ����������, ����~$U$---���������� ��������������
��������� �����, �� ��������� ��������
$$
X=-\ln U
\eqno(27)
$$
������������ ��������������� �� ������� ���������, ������ �������. (�
���������� ������� �������� ������~$U=0$.)

{\sl (2)~����� ��������� �����������.\/} ዅ������ �������� (��.~��������)
��������� �������� ��������������� �������������� ��������� �������� ���
������������� ������������ ���������.

\alg E.(튑������������� ������������� �� �������~$1$.) ������������
������� ��������~$P[j]$, $Q[j]$ ���~$j\ge 1$, ������������ ���������
$$
P[j]=1-{1\over e^j}, \quad
Q[j]={1\over e-1}\left({1\over1!}+{1\over2!}+\cdots+{1\over j!}\right).
\eqno(28)
$$

����� ������ �������������� ��������� ������������ �����, ������� �����
���������� � �������� �����.

\st[������ ������� �����.] 㑒�������~$j\asg1$. ���������� ���������
�����~$U_0$ �~$U_1$ � ����������~$X\asg -U_1$.

\st[����������� ���������?] ����~$U_0<Q[j]$, ������� �~\stp{4}.

\st[��������������.] 㑒�������~$j\asg j+1$. ���������� ���������
�����~$U_j$; ����~$X>U_j$, ����������~$X\asg U_j$. ��������� ������� � ����~\stp{2}.

\st[������ ����� �����.] (�� ��� ��������� ������� ����� ��������������
����������, $X$, � ������ �������� � ���� ��������������� ����� �����,
����� ��������� ����������.) ���������� ����� ��������� �����~$U$ �
����������~$j\asg 1$.

\st[ᄅ���� �� ��������?] ����~$U<P[j]$, �������� �������������.

\st[�������� ��~1.] 㑒�������~$j\asg j+1$, $X\asg X+1$ � ��������� � ����~\stp{5}.
\algend

璎�� �������� �������������� ������, �������������� �������������~$X$ �
������ ����~E4. ����~$n$---������������� ��������~$j$, ��
�����~$X=\min(U_1, U_2,~\ldots, U_n)$, ���~$U_1$, $U_2$,~\dots,
$U_n$---����������� ��������� �����; ������� ����������� ����, ���~$X\le x$,
����~$p_n(x)=1-(1-x)^n$. ����������� ����, ���~$n$---�������������
��������, �����~$Q[n]-Q[n-1]=1/(e-1)n!$. ������� ������ �����������
�������~$X\le x$ �����
$$
\sum_{n\ge 1} {p(x)\over (e-1)n!}={e\over e-1}(1-e^{-x}), \rem{$0\le x\le 1$.}
$$
%% 143
����������, ��� ������������ �����~E4--E6 �� �������, ���~$\floor{X}\le m$
� ������������~$P[m+1]$. ������������, ����������� ����, ���~$m\le X \le m+x$, ����
$$
(P[m+1]-P[m])\left({e\over e-1}(1-e^{-x}\right)=e^{-m}-e^{-(m+x)},
\rem{$0\le x \le 1$.}
$$
풎 ����������, ��� $X$~����� �������������~$F(x)=1-e^{-x}$ ���~$0\le x<\infty$.

풎� �������� �������� �������. � ������� ����~E2 �~E5 ����������� ������
$1.582$~��� � ������ $2.582$~��������� ����� ����������� ��� ���������
����� ���������������� ��������� ��������. 풎 ����� ��������� �����������
�������, ��� ���������� ��������� ������ ���������� �����. ����������
����������� ������ ���������� � ������
[�.~Sibuya, {\sl Ann.\ Inst.\ Stat.\ Math.,\/} {\bf 13} (1962), 231--237].

{\sl (3)~����� ��������������---�����---������.\/} ���
����������� ������������� (��� � ��� ������ ������) ���������� �����
������� �����, ���������� �� ���������� ������� ��������� �����������.
������ ����������� � {\sl CACM,\/} {\bf 7} (1964), 298--300.

\section{E.~������ ����������� �������������}. �� ���������� ����� �������
��������� ������ �������������, ������� ������ �������� ����� ����� ��
��������, � ������ ������������� ��������������� ��������� ������� �
������� ��� ��������� ��� �������.

{\sl $\chi^2$-�������������\/} � $\nu$~��������� �������, ������� �����
�������� �����-�������������� �������~$\nu/2$. �� �����
$$
F(x)={1\over 2^{\nu/2} \Gamma(\nu/2)} \int_0^x t^{\nu/2-1}e^{-t/2}\,dt, \rem{$x\ge0$}.
\eqno(29)
$$
����~$\nu=2k$, ���~$k$---����� �����, �������~$X=2(Y_1+Y_2+\cdots+Y_k)$,
���~$Y_i$---����������� ��������������� �������������� ��������� ��������,
�� ������� ���������~$1$ ������. ����~$\nu=2k+1$,
�������~$X=2(Y_1+\cdots+Y_k)+Z^2$, ���~$Y_i$---�� �� ��������,
a~$Z$---����������� ��������� �������������� ��������� ��������
(�������~$0$, ���������~$1$). ��� �������������� ��.~���.~16. �������, ���,
����~$Y_1$,~\dots, $Y_k$ ��������� ��������������� �������, ���
�����������~$Y_1+\cdots+Y_k=-\ln(U_1\ldots{}U_k)$ ��������� ���������
������ ���� ��������.

{\sl (2)~����-�������������\/} �~$\nu_1$ �~$\nu_2$ ��������� �������,
������������ ��������:
$$
F(x)={\Gamma((\nu_1+\nu_2)/2)\over \Gamma(\nu_1/2)\Gamma(\nu_2/2)}
\int_0^x t^{\nu_1/2-1}(1-t)^{\nu_2/2-1}\,dt, \rem{$0\le x \le 1$.}
\eqno(30)
$$
%% 144
�����~$Y_1$ �~$Y_2$ ���������� � ����� $\chi^2$-������������� �~$\nu_1$,
$\nu_2$~��������� ������� ��������������. ��������~$X\asg Y_1/(Y_1+Y_2)$.

������ �����, ������� �������� ������������ � ��� �������~$\nu_1$
�~$\nu_2$, �������� � ����������~$Y_1\asg U_1^{2/\nu_1}$,
$Y_2\asg U_2^{2/\nu_2}$ � ����������� � ������ ������������� ����� �������� ��
��� ���, ���� �� ����� ��������� �����������~$Y_1+Y_2\le 1$. �������,
$X\asg Y_1/(Y_1+Y_2)$. [�.~M.~D.~J\"ohnk, {\sl Metrika,\/} {\bf 8} (1964), 5--15.]
��-�������, ����~$\nu_1=2k_1$, a~$\nu_2=2k_2$---��� ������ �����
�����, �� ����� ����������~$X$ ��� $k_1\hbox{-�}$ �� ������� ���������� ��
$k_1+k_2-1$~����������� ��������� �����.

{\sl (3)~$F$-�������������\/} (������������� ��������� ���������)
�~$\nu_1$ �~$\nu_2$~��������� ������� ������������ ���
$$
F(x)={\nu_1^{\nu_1/2}\nu_2^{\nu_2/2}\Gamma((\nu_1+\nu_2)/2) \over \Gamma(\nu_1/2)\Gamma(\nu_2/2)}
\int_0^x t^{\nu_1/2-1}(\nu_2+\nu_1t)^{-\nu_1/2-\nu_2/2}\,dt, \rem{$x\ge0$.}
\eqno(31)
$$

�����~$Y_1$ �~$Y_2$---����������� ��������� ��������,
������� $\chi^2$-������������� �~$\nu_1$, $\nu_2$~��������� �������
��������������. �������~$X\asg Y_1\nu_2/Y_2\nu_1$,
���~$X\asg\nu_2 Y/\nu_1(1-Y)$, ��� $Y$~����� ����-�������������~(30).

{\sl(4) $t$-�������������\/} �~$\nu$~��������� ������� ������������ ���
$$
F(x)={\Gamma((\nu+1)/2)\over \sqrt{\pi\nu}\Gamma(\nu/2)} \int_{-\infty}^x (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}\,dt.
\eqno(32)
$$
�����~$Y_1$---��������� �������������� ��������� �������� (�������~$0$,
���������~$1$), �����~$Y_2$---����������� ��~$Y_1$ ��������� ��������,
������� $\chi^2$-������������� � $\nu$~��������� �������. �������~$X\asg Y_1/\sqrt{Y_2/\nu}$.

{\sl (5)~ዓ������ ����� �� $n$-������ ����� � ���������
��������.\/} �����~$X_1$, $X_2$,~\dots, $X_n$---����������� ����������
��������� �������� (�������~$0$, ���������~$1$). ዓ������ ����� ��
��������� ����� ����� ����������
$$
(X_1/r, X_2/r, \ldots, X_n/r), \rem{��� $r=\sqrt{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$.}
\eqno (33)
$$
�������, ��� ���� $X_i$~����������� � ������� ������ �������� ���������
(��������~P), �� ������ ��� � ���������� �� ����� ��� �����������
��������~$X_1$ �~$X_2$ �~$X_1^2+X_2^2=-2\ln S$ (� ������������
���������~P). 풎 �������� ������� �������, ������������ ���
����������~$r$. Ꮠ����������� ������ ����������� �� ���� �����, ���
������� ������������� �����~$(X_1,~\dots, X_n)$ ����� ���������, ���������
������ �� ���������� �� ������.
%% 145
������� �������� ����� ����� �� ��������� ����� ����� �����������
�������������. ����� ������� ��� ��������� ��.~�������.

\section{F.~������ ���������� �������������}. ������ ������, �
������������� �������������� ��������� �������, �����������
������ ������������� ��������, ��������� ������, ��������� � ������ �����
�������. �� ��������� �� ���� ������������� ����� ����� ��� ������������
����������, ��� ����������� ������������ ������������.

{\sl (1)~�������������� �������������.\/} ���� ��������� �������
���������� � ������������~$p$, �����~$N$ ����������� ���������,
�����������, ����� ��� ������� ��������� (��� ����� ��������� �����
���������), ����������� ��������������� �������������. �� �����~$N=1$ �
������������~$p$, $N=2$ � ������������~$(1-p)p$,~\dots, $N=n$ �
������������~$(1-p)^{n-1}p$. (� �������� ��� �� �� ��������, � ������� ��
����������� ��� "�������� ����������" �~�.~3.3.2; ��� ���������, ����� ��
������������, ������� ��� ����������� ������������ ����� � ����������
����� �������, �������� ����~P1--P3 � ������ �������� ���������.)

��� ��������� �������� ��������� �������� � ����� ��������������, �����
$p$~����, ���� ������� �������:
$$
N=\ceil{\ln U/\ln (1-p)}.
\eqno (34)
$$
璎�� ��������� ��, ��������, ���~$\ceil{\ln U/\ln(1-p)}=n$ ����� � ������
�����, �����~$n-1<\ln U/\ln (1-p)\le n$, �.~�.~$(1-p)^{n-1}>U\ge (1-p)^n$,
� ��� ���������� � ������������~$p(1-p)^{n-1}$, ��� � ����������� ��������.

瀑���� ������~$p=1/2$ ��� ����� ������������ �� �������� ������, ��� ���
�������~(34) ������������ �~$N=\ceil{-\log_2 U}$, �.~�.~$N$ �� �������
������, ��� ����� ������ ������� �������� � �������� �������������~$U$.

{\sl (2)~������������ �������������~$(t, p)$.\/} ���� ���������
������� ���������� � ������������~$p$, � �� ��������
$t$~����������� ���������, ������ �����~$N$ ������������ ��� ���� �������
�����~$n$ � ������������~$\perm{t}{n}p^n(1-p)^{t-n}$ (��.~�.~1.2.10). ���
����� ������������� ��� ������-���� ������� ������, ������������~(34).
������ �� ����� �� ������������ �� ��������������, ��� ���� $N_1$~�����
������������ �������������~$(t_1, p)$ � ����, ����������, $N_2$~�����
������������ �������������~$(t_2, p)$, �� $N_1+N_2$~����� ������������
�������������~$(t_1+t_2, p)$. ����� $t$~������,
%%146
������������ ������������� ����������� ����������� ����������
�������������� �� �������~$tp$ � ������������������
�����������~$\sqrt{tp(1-p)}$. �. ����� �����, ������������� � ���.~25.

{\sl (3)~������������� ��������\/} �� ������� ���������~$\mu$. 풎
������������� ��� �� ������� � ���������������� ��������������,
��� ������������ � ��������������. ��� ������������� ����� ���������� �
������� ������� �������, ������ �� ������� ����� ��������� � ����� ������.
��������, ����� ���������� � ������� �����-������ ����� �������������
��������. ����������� ����, ���~$N=n$, �����
$$
e^{-\mu}\mu^n/n!, \rem{$n\ge0$.}
\eqno(35)
$$

����~$N_1$, $N_2$---����������� ������������� ��������� �������� ��
��������~$\mu_1$, $\mu_2$, �� ����������� ����, ���~$N_1+N_2=n$, �����
$$
\sum_{0\le k \le n}{e^{-\mu_1}\mu_1^k\over k!} {e^{-\mu_2}\mu_2^{n-k}\over (n-k)!}
={e^{-(\mu_1+\mu_2)}(\mu_1+\mu_2)^n\over n!}.
$$
 �� �������, $N_1+N_2$~����� ������������� �������� �� ������� ���������~$(\mu_1+\mu_2)$.

�����������, ��� �� ����� �������� ����� ������������, ��������������
�������� ������������� ��������� ������� �� �������~$\mu$, ���
$\mu$~�������� ��� ����� � ������������.

\alg Q.(������������� �������� � ������������~$\mu$.)

\st[��������� ����������.] ���������~$p\asg e^{-\mu}$ �~$N\asg0$, $q\asg1$.
(厒� $e^{-\mu}$~������ ����������� � ������� ���������� � ���������
������ � ������������ ����������� ������������, ��������, ��������
������������ ����������� � ������������� ������, ��������� ������
������� � ���������� ��� ����������� �������� �~$p$ �~$q$.)

\st[�������� ��������� �����.] ���������� ��������� �����~$U$, ����������
�������������� �����~$0$ �~$1$.

\st[㌍�����.] 㑒�������~$q\asg qU$.

\st[���������, ������ ��~$e^{-\mu}$.] ����~$q\ge p$, ����������~$N\asg N+1$
� ��������� � ����~\stp{2}. � ��������� ������ ��������
������������� �������~$N$.
\algend

璎�� �������� �������������� ������, �������, ��� �����������
���������� �������������� ��������� �������� ������������� ��������
$$
U_1\ge p, \quad U_1U_2\ge p, \quad, \ldots, \quad U_1U_2\ldots U_n\ge p,
\quad U_1U_2\ldots U_{n+1}<p
$$
%% 147
� ������������
$$
p\left(\ln{1\over p}\right)^n\bigg/n! \rem{��� $0<p\le 1$.}
$$
�������� �������� ��~$n$, ����������� ��������������
$$
\int_p^1(p/u_1)(\ln (u_1/p))^{n-1}\,du_1/(n-1)!
$$
������� ������ ���������.

������ ����� ��������� ��������� ������� � �������������� ��������,
������������� �.~�����, ������� �� ������������� ����� ��������
������������. ��� ���� ��������� ����� ���������� ����������������, ���
��� ���������� ���������~Q, �� ��� ������� ������ ���������������� ���
����� ������� ����� �������.

\alg K.(������������� �������� � ������������~$\mu$.) ������������
��������������� �������~$M[1]<M[2]<\cdots<M[n]$, ��������� ����%
\note{1}{
� ���� ��������� $n$~�������� ������ �� ��, ��� � ���������� ������� �
�������� ���������� �����������; ��. ����.---{\sl ����. �����.\/}}.

\st[��������� ���������.] 㑒�������~$m\asg \mu$, $j\asg n$, $N\asg 0$.

\st[$m\ge M[j]$?] ����~$m<M[j]$, ������� � ����~\stp{5}.

\st[���������� ��� ��������~$M[j]$.] ���������� ��������~$X$ ���������
������������� ��������, ������� ������������� �������� �� �������~$M[j]$.
(풎 ����� ���������� �������, ��������� ������� ������������ ������� �
������������ � ����� ������� ��� ������������� �������������,
������������� � ���.~21.)

\st[��������~$N$, $m$.] 㑒�������~$m\asg m-M[j]$, $N\asg N+X$
� ��������� � ����~\stp{2}.

\st[㌅������~$j$.] ㌅������~$j$ ��~$1$. ����~$j>0$, ��������� �
����~\stp{2}, � ��������� ������ �������� �������������.
\algend

璎�� ������������ ���� ��������, �� ������ ��������� �����������
��������� ��� ������� ��������~$\mu$, �������� � �������~$M[1]$, $M[2]$,~\dots,
$M[n]$.

��������, �� ����� �� �������~$n=10$, �����
$$
\vcenter{\halign{
\hfil$#$&${}#$\hfil\bskip&&\bskip$#$\hfil\bskip\cr
   j&=1       & 2       & 3      & 4      & 5      & 6      & 7 & 8 & 9 & 10\cr
M[j]&=2^{-15} & 2^{-12} & 2^{-9} & 2^{-6} & 2^{-3} & 2^{-1} & 1 & 2 & 4 & \hfill 8 \cr
}}
\eqno(36)
$$
%% 148

풎� ����� ������������ ��� ������� ��������~$\mu$, ������~$\mu\ge50$.
���~$\mu<M[1]=2^{-15}$ ��������� �������� �����������~$N=0$, ��� ���
����������� ����, ���~$N>0$, �����~$1-e^{-\mu}$, �.~�.\ ������~$1\over 32\,000$.
������������� �������� ��� ����� ��������~$\mu$ ������������
����������� �����, ��� ��� ��� ���� ������������ ����� $N$~����� ��������
����. ⎋��� ��� ������������� �~$M[j]=4$ �~$8$ �� ������������ ����
������ �������� ����������� ������� ������� ��� ���������� ����~K3.

��� ������� ��������~$\mu$ ����� ��������� �����������, �� ��������
������� ����� �������~$\sqrt{\mu}$. ��� ��������� ����� �������������
������������� �� ��� �����, ���� �� ������� ���������� �������������� �����������.

\excercises
\ex[10] ��� �� ���������� ������������ ��������� �����,
���������� �������������� ����� ���������� �������~$\alpha$ �~$\beta$ ($\alpha<\beta$)?

\ex[M16] �����������, ���~$mU$---��������� ����� ����� �����~$0$ �~$m-1$,
������� \emph{������} ����������� ����, ���~$\floor{kU}=r$, ����~$0\le r < k$.
᐀����� ��������� � ����������� ������������~$1/k$.

\rex[14] ��������, ��� ���������, ���� ����������~$U$ ��� ����� ����� �
������������ �� ���� ��������� ����� �����~$0$ �~$k-1$, \emph{����}~$U$
��~$k$ ������ ������������� � ������ ���������.  �� �������, (1)
������� �������� ���:
% �������� ������� CR, ��� ��� ������ ����� ����� ��� �������� � ���������
% � ���������� ���������� ������
$$
\vbox{
\mixcode
ENTA & 0 \cr
LDX  & U \cr
DIV  & K \cr
\endmixcode
}
$$
��������� �������� � ��������~$X$. 厐���� �� ��� �����?

\ex[�20] �������� ��� ����������� �~(7).

\rex[21] ���������� ����������� ����� ���������� ��������� �������� �
��������������~$px+qx^2+rx^3$, ���~$p\ge0$, $q\ge0$, $r\ge0$ �~$p+q+r=1$.

\rex[��21] ��������~$X$ ����������� ��������� �������.
{\medskip\narrower
{\sl "考~1.\/}~���������� ��� ��������� �����~$U$, $V$.
   %
{\sl 考~2.\/}~����~$U^2+V^2\ge1$, ��������� � ����~1, �����
����������~$X\asg U$."
\medskip}
\noindent ������ ������� �������������~$X$? ��� ����� ����� �����������
���~1? (���������� ������� � ������������������ ����������.)

\ex[M18] ���������, ������ � ������ �������� ��� ���������� ���������
������� ������� �������~$p_j$ ��������~$1/256$ �������� �
�������~$p_j=\floor{64 f(j/4)}/256$,  $1\le j \le 12$.

\ex[10] ����� ����� �������� ����� ��������������~$f_{13}$,~\dots,
$f_{24}$ � ������ �������� ������� � ��������~$f_1$,~\dots, $f_{12}$?
(������ ��� �����, ��� ����������� ������ ����~$(f_1, f_{13})$,
$(f_2, f_{14})$,~\dots{} � ���� ������� �������������?)

\ex[��10] ������ ������~$f(x)$ �� ���.~9 ������� ����� ���~$x<1$ � ����
���~$x>1$?

\ex[��21] �������� ������� ���~$a_j$, $b_j$ � �����������~(20). ��������
�����, ���~$E[j]=16/j$, ����~$1\le j \le 4$; $E[j]=1/(e^{j/16-1/32}-1)$,
����~$5\le j \le 12$.
%% 149

\rex[��27] ��������, ��� ����~M8--M9 � ���������~M ������������ ��������
��������� ��������, ��������������� ������ ����������� �������������,
�.~�.\ ���~$x\ge3$ ����������� ����, ���~$X<x$, �����
$$
\int_3^x e^{-t^2/2}\,dt\bigg/\int_3^{\infty} e^{-t^2/2}\,dt.
$$

\ex[��46] ������� ⅉ������~(22)---��� ��������� �����
����������� ���������, ��� ��� �� ����� ���� ������� ����������� ���������
�������~$9$ � �������~$F^{-1}(F_1(R))$. ����� �� ������������ ������ �������?

\ex[��25] ������ ��������� $n$ ����������� ���������� ��������� �������
$X_1$, $X_2$,~\dots, $X_n$ �� �������~$0$ � ����������~$1$. ��������, ���
����� ���������~$b_j$ �~$a_{ij}$, $1\le j \le i \le n$, �����, ��� ����
$$
Y_1=b_1+a_{11}X_1, \quad Y_2=b_2+a_{21}X_1+a_{22}X_2, \quad\ldots, \quad
Y_n=b_n+a_{n1}X_1+a_{n2}X_2+\cdots+a_{nn}X_n,
$$
��~$Y_1$, $Y_2$,~\dots, $Y_n$---���������, ��������� ��������������
��������� �������� � �������� �������� ����������~$(c_{ij})$, � ������
��������� ��������~$Y_j$ ����� �������~$\mu_j$. (����������~$c_{ij}$
�������~$Y_i$ �~$Y_j$  ������������ ��� �������
��������~$(Y_i-\mu_i)(Y_j-\mu_j)$. � ���������, $c_{jj}$~��������
����������~$Y_j$, ��������� ������������������� ����������. �� ������
�������~$(c_{ij})$ ����� ���� �������� ����������, � ��������������,
�������, ��� ��� ����� ������ �������� ���� � ��� ������, ���� �������
������ ����������.)

\ex[M20] ����~$X$---��������� �������� � ����������� ��������
�������������~$F(x)$, �~$c$---���������, ������ �������������~$cX$?

\ex[��21] ����~$X_1$ �~$X_2$---����������� ��������� �������� � ���������
�������������~$F_1(x)$ �~$F_2(x)$ � �����������~$f_1(x)=F_1'(x)$,
$f_2(x)=F_2'(x)$, �� ������ ������� ������������� � ��������� �����������
��������� ��������~$X_1+X_2$?

\ex[��25] (a)~��������, ��� $\chi^2$-������������� � ����� ��������
�������---��� ������������� ���~$X^2$, ���~$X$---���������� ���������
�������� �� �������, ������ ����, � ����������, ������ �������.
(b)~��������, ��� $\chi^2$-������������� � ����� ��������� �������---���
���������������� ������������� �� �������~$2$. (c)~��������, ���
����~$X_1$ �~$X_2$---����������� ��������� ��������, �������
$\chi^2$-������������� �~$\nu_1$ � $\nu_2$~��������� �������, ��
$X_1+X_2$~����� $\chi^2$-������������� � $\nu_1+\nu_2$~��������� �������.

\rex[�24] ������ \emph{������� �������������}~$F(x)$ ��� ���������������
������������� � ������������~$p$? ������ \emph{������������
�������}~$G(z)$? 煌� ����� ������� � ������������������ ���������� �����
�������������?

\ex[�24] ���������� ����� ���������� ���������� ������ �����~$N$, ������,
��� ��� ��������� ��������~$n$ � ������������~$np^2(1-p)^{n-1}$, $n\ge0$.
(������ ������� ������������ ������, ����� $p$~����� ����.)

\ex[�22] (a)~�������, ������� ��� � ������� ����������� ���~E2 �
���������~E; ���� ����� ������������������ ����������? (b)~⎒ �� ������ ��� ����~E6.

\edef\exref{\the\excerno}
\rex[23] �����������, ��� �� ����� ��������� ��������� ��������
��������~$X$ � ����� ���������� ��������������:
$$
\vcenter{\halign{
\hfil$#$&\hfil${}#$\hfil\quad&&\hfil$#$\hfil\quad\cr
  \hbox{�������� }X=&x_1           & x_2          & x_3           & x_4          & x_5          & x_6 \cr
\hbox{�����������} =& 90 \over 512 & 81 \over 512 & 131 \over 512 & 10 \over 512 & 32 \over 512 & 168 \over 512 \cr
}}
$$

��������, ��� ����� ���������� ���������~$X$, ��������� ���������������
�������� ��������� �����~$b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8b_9$, ������������
���������� �������~(16)
%% 150
� ������� ��������������� ������, ���������� �� ����� 35~���������.

\rex[24] ሒ����� � ���������� ���������� ��������� ��������������, ������
��� ������ ��� �� ������, ����� ��� ����������� ����� ���� � ��� �� �����
������� ���������, ���~$1/512$. �����������, ��� ����������� �
���������� ���������� ���� ��������, � � ���������������� ��� ������ ���� ������:
$$
\vcenter{\halign{
\hfil$#$&\hfil${}#$\hfil\quad&&\hfil$#$\hfil\quad\cr
  \hbox{�������� }X=& x_1                          & x_2                          & x_3                           & x_4                          & x_5                          & x_6 \cr
\hbox{�����������} =& {89 \over 512}+\varepsilon_1 & {80 \over 512}+\varepsilon_2 & {131 \over 512}+\varepsilon_3 & {10 \over 512}+\varepsilon_4 & {32 \over 512}+\varepsilon_5 & {168 \over 512}+\varepsilon_6 \cr
}}
$$
�����~$0\le +\varepsilon_j <{1\over 512}$
�~$+\varepsilon_1++\varepsilon_2+\varepsilon_3+\varepsilon_4+\varepsilon_5+\varepsilon_6={2\over 512}$.
��������, ��� ���������� ������� ��� ����� ��� ������� ����������
��������������� ����������
%% ?? U=\cdot b_1 b_2
�����~$U=b_1b_2\ldots b_t$, ��� $t$~������������ ������. ��� � �
���.~\exref, ����������� ������������ ��������������� �������,
���������� �� ����� 35~���������.

\ex[��46] ����� �� �������� ������ ������������� �������������
��� �������~$\mu$, ��������� ��������������� ���������� ���������
�������� � ������������ �� �����-������ ������� �������� � ����� �����,
��������� ��� ���� (�������� �����������) ��������� �� ��������� �������
�������. ����� �� �������� ������� ����������� ������������ ������������� ���
�������~$t$?

\let\npar=\par
\ex[��23] (��.~���~������.) 튂��������� �� ��������� ���
������� ��������� ��������� ��������~$X$ (�.~�.\ ����� �� ��������~$X$
����� ���� � �� �� �������������)?
{\medskip\narrower
{\sl �����~1.\/}~㑒�������~$X\asg \sin((\pi/2)U)$, ���~$U$---��������� �����.
 \npar
{\sl �����~2.\/}~���������� ��� ����������� ��������� �����~$U$, $V$
�, ����~$U^2+V^2\ge1$, ��������� �� �� �����, ���� �� �����
�����������~$U^2+V^2<1$. ⎃�� ��������~$X\asg \abs{U^2-V^2}/(U^2+V^2)$.
\medskip}

\ex[��40] (�.~㋀�, ��.~���~������.) �����~$V_0$---��������� �����
�����~$0$ �~$1$. ��������� ������������������~$\<V_n>$
������������~$V_{n+1}=4V_n\times(1-V_n)$. ⅏���, ���� ���������� ��������
��������� �����, ��������� ����� �������������~$\sin^2\pi U$,
���~$U$---���������� �������������� ��������� �����. ������� �������,
������� ������������� ������:
$$
F(x)={1\over \sqrt{2\pi}}\int_0^x {dx \over \sqrt{x(1-x)}}.
$$
� ����� ����, ���� �� �������~$V_n=\sin^2 \pi U_n$, �� ����,
���~$U_{n+1}=(2U_n)\bmod 1$. � �� ����, ��� ����� ��� �������������� �����
����� ��������� �������� ������������� (��.~\S~3.5), �������, ���
������������������~$U_n$ ���������� ��������������. �� ����
����������~$V_n$ ������������ � �������� ���������, ��� ���������,
����������� ���������, ��� ��� ����� �� �������� ����� ���� � ����� ��
������ ���������� (von Neumann, {\sl Collected Works,\/} Vol.~V, pp.~768--770).
��������� ������������� � ����������������� (��� ������
���������~$V_0$) ������������ ������������������~$\<V_n>$, ������������
����, ����� ���������� ���������� � �������� ���������. ������ ��
������������� �� ���������? ����� �� ���-������ ������������ ��� �����?

\ex[�25] ����� $X_1$, $X_2$~\dots, $X_5$---�������� �����, � ������ ��
�������� �������� ���������� ��������� ��������~$0$ ���~$1$ �
������������~$1/2$. ������ ����������� ����, ��� � ������ �������
���������~$X_1\lor (X_2\land (X_3\lor (X_4 \land X_5)))$ ��������~$1$.
ᄅ����� ���������.

%% 151
\bye
