\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=2\subsubchno=2
{\sl ዓ���~1:\/}~$e_w=e_u$. (�.~���.~4~(i).) �����~$U+V=W+R$, ���
\EQ{
 R\equiv V \pmod{b^d}, \qquad -{1\over 2}b^d \le R < {1 \over 2}b^d.
}
�����~$U'=\round(W-V, p) = \round(U-R, p)$. ����� �������� ��� ���������. 
{\sl ዓ���~(1a):\/}~$R=-{1\over 2}b^d$. ⎃��~$U'=U+b^d$,
\ctable{
# & # & # \cr
  \fpalignex(i){u&u&u&u&u&u&u&u&0&0}{&&v&v&v&v&v&v&v&v}{w&w&w&w&w&w&w&w&0&0}
& \fpalignex(ii){u&u&u&u&u&u&u&u&0&0}{&&v&v&v&v&v&v&v&v}{w&w&w&w&w&w&w&0&0&0}
& \fpalignex(iii){u&u&u&u&u&u&u&u&0&0}{&&v&v&v&v&v&v&v&v}{w&w&w&w&w&w&w&w&w&0} \cr
}
\picture{���.~4.~ ��������� ������ ������������ ����������� ����� ��� ��������.}

\noindent $V'=V-R$, $U''=U$, $V''=V-R-b^d = V-{1\over2}b^d$. 
{\sl ዓ���~(1b):\/}~$R\ne -{1\over 2}b^d$. ⎃��~$U'=U$, $V'=V-R$, 
$U''=U$, $V''=V-R$.

{\sl ዓ���~2:\/}~$e_w=e_u+1$. (�.~���.~4~(ii).) �, ���~$V>0$ �~$d\le p$. 
�����~$U+V=W+R$, ���
\EQ{
 R\equiv V+b^d U_0 \pmod{b^{d+1}}, \qquad -{1\over2}\le R < {1\over 2}b^{d+1},
}
a~$U_0$---�������� �������� �����~$f_u$. ፎ�� ���������� ���������. {\sl 
ዓ���~(2a):\/}~$U-R\ge b^{d+p}-{1\over2}b^d$. 
  ���~$U-R \le b^{d+p}-b^d+{1\over 2}b^{d+1}$, ������ ����������� 
���������~$U'=b^{d+p}=U-R+Q$,  ���~
\EQ{
 Q\equiv V \pmod{b^{d+1}}, \qquad -{1\over2}b^{d+1}<Q\le{1\over2}b^{d+1}.
}
ዅ����������, $V''=V-Q$. 
{\sl ዓ���~(2b):\/}~$b^{d+p}-{1\over2}b^d>U-R\ge b^{d+p-1}-{1\over 2}b^{d-1}$. 
⎃��~$U'=U-R+Q$, ���
\EQ{
 Q\equiv V \pmod{b^d}, \qquad -{1\over 2}b^d<Q\le {1\over 2} b^d,
}
�~$V''=V-Q$. 
{\sl ዓ���~(2c):\/}~$b^{d+p-1}-{1\over2}b^{d-1}>U-R$. 풎� ������
����������. 풎 ��������, �����~$d=0$. � ����~$d>0$, ��~$R>0$, ��� 
���~$U+V>W$ �~$U-R\ge W-V-R+1>b^{d+p}-(b^p-1)-{1\over2}b^{d+1}+1\ge b^{d+p-1}$, 
� �� �������� � ������������.
%% 252
璎��, �������, ��������� ������ ������~2, �� ������ 
���������~$V'=\round(V-R, p)$. ����� $V-R$~�������� �� ����� 
$p+1$~��������, ������ $d$~�������� �������� ���� ����� ����, ��� ��� 
����~$d\ne 0$, ��~$V'=V-R$, $U''=U$. ���� ��~$d=0$, �� 
�����������~$V'=V-R$, �� ����������� ���� ������, �����~$V'=b^{p+d}$, � � 
���� ��������� ������ ����� ����� �� ��������� ��������, ����� 
$W$~��������� ���� ������������ ��������~$2b^{p+d}$; �����~$U''=b^{p+d}$ 
�~$b>3$.

{\sl ዓ���~3:\/}~$e_w<e_u$. (�.~���. 4~(iii).) �����~$V<0$. 
{\sl ዓ���~(3a):\/}~$d\le 1$. ⎃��~$U+V=W$, ��� ���~$U'=U''=U$, $V'=V''=V$. 
{\sl ዓ���~(3b):\/}~$d>1$. ⎃��~$e_w=e_u-1$ �~$U+V=W+R$, ���
\EQ{
 R \equiv V \pmod{b^{d-1}}, \quad -{1\over 2}b^{d-1}\le R < {1\over2}b^{d-1}.
}
풎� ������ ���������� ������~1, �� �����, ����� ���� ��� �������� 
���������~$R$ ������. �����~$U'=U$, $V'=V-R$, $U''=U$, $V''=V-R$. \endmark

ⅎ����~A �������� ����� �������� ������������ �������� �������� � ������� 
��������� ������, �� ��� �� �������������� �������� �������� �����������.
ዅ������ ������� ������� ����� �����������.

\proclaim ⅎ����~B. � �������������� �������~A � ��� 
�������~\eqref[43] ����������� ���������
\EQ[48]{
 u+v = (u\oplus v) + ((u\ominus u') \oplus (v\ominus v'')).
}

\proof ������������ ������ �� �������, ��������� ��� �������������� 
�������~A, �� ��������� ������������, ���
\EQ{
 \eqalign{
                     u\ominus u' = u-u', & \quad v\ominus v' = v-v',\cr
                   u\ominus u'' = u-u'', & \quad v\ominus v'' = v-v'',\cr
  ((u\ominus u') \oplus (v \ominus v'')) &= ((u-u')+(v-v''))=\cr
                                         &= ((u-u'')+(v-v'))=\cr
                                         &= ((u\ominus u'')\oplus (v\ominus v')),\cr
 }
}
��������� ������ �� ���� ������� ����� ����� �������� 
��� $p\hbox{-���������}$ ����� � ��������� ������, ��� ������� 
����������. ��������, � ������~2 �����~$U-U'=R-Q \equiv O \pmod{b^d}$, 
� �� ������ ������~$\abs{R}<b^p$. ���������� ������ ��������������� 
��������� � ��������~A, �������� ������������ �����������.
\proofend

ⅎ����~B ���� ��� \emph{����� ������� ��� ��������} �����~$u+v$ 
�~$u\oplus v$ � �������� �������, ������� ��������� ������ ���������� 
��� ������ �������� ����������� �������� ��� ���������� � ��������� 
������. ������� ����� ����� ���������
%% 253
�������� ���������� ����������� �������� � ������� � ��������� ������, 
���������� ����������� �����~$(u\ominus u')\oplus(v\ominus v'')$.  
爒�����, ������� ����������� ��������� �� ����� �������� �������������� 
������~A �~B, ������, ����� ������������ ��������� ���� ������� �������
\EQ{
 u\oplus v = \round (u+v, p).
}
���� �� ���� ��������� �������� ����� � ��������� ������ �� ������������ 
����� ���������� ������, ��, ����� �� �����  �� ���� ����������, ��� 
�������������� ����� �� ����������� ����� �������, � ��������, � ������ �� 
��������� ��.

ⅎ����~B ���� �� �������, ���� �� �� ������������ ���������� � 
��������� ����� ������ ����������, �.~�.~���� �� � 
������������~\eqref[11]--\eqref[15] �� ����������\note{1}%
{����~$\trunc$---�� ����������� truncation (��������).---{\sl ����.\ ���.}}%
~$\trunc(x, p)$ ������~$\round(x, �)$; �������~$\trunc(x, p)$ ������ �� 
�������~$\round(x, p)$ ���~$x>0$ � ��� ���� ��������, ��� 
��������~$1\over2$, ������������ �~\eqref[9], ���������� �����.

ⅎ�����~B �� ������������ �� ����� ������ ����, ��������,
\EQ{
 (20, +.10000001)\oplus (10, -.10000001)=(20, +.10000000),
}
����� �������� �����~$u+v$ �~$u\oplus v$ ������ ���� �� ����� �������� ��� 
����� � ��������� ������. ���� �� �������� ������������� �����-���� ���� 
��������, �� ��� ������������� ������ �������� � ������� ����� 
���������~4.2.1A ��� ����������� ���������� �� ����� ����� ����� �� 
���������, ��� �������~A �~B �������� �������, �� ������������ ��� ���� 
��������~$\oplus$ ��������� �� ����� ����� ��������� ��� 
��������������� �������.

������ ������, ���, ��������� "��������� ����������" ������� �� ����� 
����� �������, �� ����� ������� ���� � ���, ����� � ��������� �������� 
������ ������� ��������� �� �������� ���� ����� �����, ���� ��� �������� 
�������.  �� �������� ��������� ��������� ������ ��� �������������� 
��� ��� ��������� ������� ������ ������� ������ ������������. ������ 
����������� ���� ���� ������������ ����������, ��� ����� ������ ��������. 
���� ��� �������, ��� �������� ������������~|FADD| ���������~4.2.1A, 
���� �� �� ��������� ����������� ��������� ���������� � ��������� ����� 
�������, �������� ��, ������, �� ���� ���������, ��� ����� ������� ����� 
�������� �� �����, ��� ��� ����. � ���� ����� �� � "������ �� ������" � 
�� � ���, ����� � ������� ��������� �������� ������������� ������� 
����������; �� ����� ���������� ����� ����� ������ � ���������������: 
\emph{�������� ������������
%% 254
������ ������ ����������, �������, ��������� ��� �������� ������������� 
������� �������� �������������� �������.} 
�������� �������~$u\oplus v = \round(u+v, p)$, ��������, �������� ����� 
�������� "������������", � ���� �������� ������, ����� ��������� 
�������������� ������ �������������� ���������� ��� �� �����. �� ���������� 
������-���� �������� � ������ ���������� ���������, ���������� ���������� 
���������� ���� �� ������ ��������. ���� ��������� ������������, ������� 
���������,---���, �������, ������������ ������� �������� ������.

\section{�.~�������������� �������� ��� ������������������ ������� � 
��������� ������}. � ��������� ������������ ���� ����� � ��������� ������ 
����� ���������� ������: ���� ������������ ������������ �� ��� ������� 
�������� ����������� �����������, ���������� ��� ������ ������� ��������,
���� ������������� �� ��� ������������ ������� ����� ��������� � 
��� ������, ��� ��� ���� ������� ��������� �������� ���������� �� ����� 
������, ��� ��� ���� �� ����� ����. ����� ��, ���������� ��������� 
��������~$(1,+.31428571)\ominus (1,+.31415927)$,  ��������~$(-2, +.12644000)$, 
�� ������ ���������� � ������������ ������� ���������� 
��������� ��������.  �� ���������� ����������� ��, ���� �� �� �������� 
����� � ����~$(1, +.00012644)$.

������� ������ � ������ ����� ���������� � ��� ��������� ����� ����� 
����������� �������������� � ��������� ������ ��������, �������� ����� 
�������� � ���������� ������ � ������� ��������� ������� ����������, � 
���� �� ����� ������ ���������� ��
\EQ{
 (27, +.00060225)\hbox{ � }(-23,+.00010545)
}
��������������, � ��~$(24,+.60225000)$ �~$(-26,+.10545000)$. ���� �� 
������ �������, ���� �� �� ����� �������� ���� ������� ������ ��� ������ 
������ � ����������������� �����, ������� �� �������� ������� �������� 
��������, � ���� �� � �������� ������ ������� ���������� � ���, ������ 
�������� ������. � ���������, ��� ������ ������� ��������, ���� 
������������� ����������������� ���������� � ����� ������ ��� �������� 
��������� �������� ������ ����. ��������, �� ����� ������� � ������� 
�������� �����������, ��� ������������ ����� �������� �� ���������� ������ 
�����~$(0, +.00063507)$, � �� ����� �����~$(27,+.00060225)$. (���������� 
����� ������� �� � ���, ����� ������� �� �����, ��� ����� ��������� 
�����-���� ������ ���������� ����� ����� ��� ������������ 
���� ��������������� ����������; ���� � ���, ��� ����� ��������� ������� 
���������� � �������� ���������� ���������� ��� ���������
%% 255
����������, ����� �������� �������� �� ������� ����
�� �������.)

������� ����������������� ���������� ������ � ������� � ���������: 
�����~$l_u$---���������� �����, ������� � ������ ������� ����� 
��������~$u=(e_u, f_u)$, ��� ��� $l_u$~���� ���������� ����� �����~$\le p$, 
��� ��������~$\abs{f_u}<b^{-l_u}$. ⎃�� �������� � ��������� 
����������� � �������� ��� ��, ��� � � ���������~4.2.1A, �� ��� 
�����������, ��� ��� ������ ����������. ㌍������ � ������� ����������� � 
�������� ��� ��, ��� � ���������~4.2.1M, �� ��� �����������, ��� ����� 
������� ������ ��� �����, ��� ��� ������� ����� ������ ����� ���������� 
� �������� �~$\max(l_u, l_v)$~�����. �� �������� �� �� ������� 
�������������� � ��� ������������ ���������� �������.

 �� �������, ��� ����������������� ���������� �� �����
\EQ{
\eqalignno{
 e_{u\oplus v}, e_{u\ominus v}&=\max(e_u, e_v)+(0\hbox{ ��� }1),                   &(49)\cr
                e_{u\otimes v}&=e_u+e_v-q-\min(l_u, l_v)-(0\hbox{ ��� }1),         &(50)\cr
                e_{u\oslash v}&=e_u-e_v+q-l_u+l_v+\max(l_u, l_v)+(0\hbox{ ��� }1). &(51)\cr
}
}
����� ������ ���������� �������� ����, �� � �������� ���������� �������� 
����������������� ���� (����� ���������� "��������� ������� ����"); ��� 
��������, ��� � ���������������� ��������� ����� ���� � �� ����� ����, �� 
�� ������ �� ����� �� ����� ��� �������� �����!

��� ������������� �������������� �������� ��� ������������������ ������� 
� ��������� ������ �������~\eqref[18]--\eqref[21], ���������������� ���� 
��� ������� ������, ��������� ���� �������. ������ ������ ����� ��������
\EQ[52]{
 \delta_u={1\over2} b^{e_u-q-p} \rem{���~$u=(e_u, f_u)$.}
}
풀 �������� ������� �� ������������� �����~$u$, � �� �� 
��� ��������~$b^{e_u-q}f_u$. ⎃�� ������~\eqref[18]--\eqref[21] �� ����� 
�����������
\EQ{
 \eqalignno{
         \abs{u\oplus v -(u+v)}&\le \delta_{u\oplus v},  &(53)\cr
        \abs{u\ominus v -(u-v)}&\le \delta_{u\ominus v}, &(54)\cr
  \abs{u\otimes v -(u\times v)}&\le \delta_{u\otimes v}, &(55)\cr
        \abs{u\oslash v -(u/v)}&\le \delta_{u\oslash v}. &(56)\cr
 }
}
품 ����������� �������� ������� ���������� ������� ����������, � ��� 
��������� ��� � ���������������, ��� � � ����������������� ���������; 
�������� �������� ����� ����� ������ ������� ������ ������� � ����������� 
���������� ���������� ������ �������� (�����������~\eqref[49]--\eqref[51]).

���������~$\prec$, $\sim$, $\succ$ �~$\approx$, ������������ ���� ���� 
�~\eqref[24]--\eqref[27], ��������� ����� � ��� ����������������� �����. 
� ��������
%% 256
������� ������������� ���� ��������� ������� ������������ ����� 
��������������� ��� �������� ����������������� ������� (����������� 
������~\eqref[41]): ��� ���������� ������� ����������~$\varepsilon$
\EQ[57]{
 (u\oplus v)\oplus w \approx u \oplus (v\oplus w)\,(\varepsilon).
}
�����
\EQ{
 \eqalign{
  \abs{(u\oplus v)\oplus w - (u+v+w)} &\le \abs{(u\oplus v)\oplus w - ((u\oplus v)+w)}+\abs{u\oplus v - (u+v)}\le\cr
                                      &\le \delta_{(u\oplus v)\oplus w}+\delta_{u\oplus v} \le \cr
                                      &\le 2\delta_{(u\oplus v)\oplus w}.\cr
 }
}
����������� ������� ����������� � ���~$\abs{u\oplus (v\oplus w) - (u+v+w)}$. 
�� ���������~$e_{(u\oplus v)\oplus w}=\max(e_u, e_v, e_w)+(0,1 \hbox{ ��� }2)$, 
��~$\delta_{(u\oplus v)\oplus w}\le b^2\delta_{u\oplus(v\oplus w)}$. 
ዅ����������, \eqref[57] ����� ���~$\varepsilon \ge 2b^{2-p}$;  � ����� ������ 
������ ��������������� �������� ����������������� ������� �� ����� ��������, 
��� �������� ���������������.

ዅ���� �����������, ��� ���������� ����������������� ������� �� � ���� 
���� �� ����� ������� ��������; ������� �������, ��� ����������� ����� 
����������� �������� ������ �������������� (��������, �������� �������� 
����� ����� �������������� ���������� ������� ��� ���������� 
$n\hbox{-�}$~������� ����� ��� ��������~$n$), � ���������� ��� ������ 
��������, ����� � ���� ���������� ������ ��������� ��������, � �� ����� 
��� � ���������� ��� ���������������� ���������� � ���������������� ���������� 
�� ������� ����� ������ ����������.

���� ������ �������, �� ������� �� ���� ������ ����� ������� ������ 
"�� �������� �����" �� �������, � ������ ��� ����, ��� �������� ������ �� 
�������� ������������. 풎 ��������, ��� ������ ����� ��������� 
�������������� ��� ��������� ���� ����� ��������� �������. �����������, 
��������, ��� $x$~�������������� �����~$1/2$, � �����������, ��� � ����� 
�������� ���� �����������~$y=x+\delta$ � ���������� �������~$\delta$. ���� 
�� ����� ��������� ������������~$x(1-x)$, �� �� ����� �����~$y(1-y)$; 
����~$x={1\over2}+\varepsilon$, �� �� 
�������~$y(1-y)=x(1-x)-2\varepsilon\delta-\delta^2$. ���������
���������~$2\varepsilon$ ������ �����������! 풎 ������ ���� �� �������,
����� ��������� ������������ �������� ����� �������� � ������ ������� 
����������, ���� �������� �� �������� ������������. ����� ��������� 
������---��� ����������~$x\ominus x$, ������� ����� ���� ��������� � 
���������� ��������� ���������� �� ����, ��������� ������ ���� 
�����������~$x$, � �������� ��������.
�������������� ����������, ������� ���� ��� ���������� ����������������� 
�������, ����� ����� ���� ����� �����, ������
%% 257
�� ����������, ������� �������� ��� ���������� �������� ���������� � 
����� ����������, �� (��� ������) ���������� ��������� ������������ ��� 
�� �������������. ������� ����������� ������������� ���������� 
����������������� ������� ����������� �.~혅�������� � �.~������������ � 
�������� "Computers �nd Computing" [AMM Slaught Memorial Papers, 10 
(February, 1965), 47--59] � �.~혅�������� � �������� "Error in digital 
computation" [vol.~II. ed.~by~L.~B.~Rall, New York, Wiley, 1965, 3--37]. 
���������� ������ ���������� ����������� �������������� ������� � 
�������������� ��� �������, ��� � �������� ������ � ����������������� 
����� ���� ���� �.~혅�������� � {\sl JACM\/} [{\bf 11} (1964), 168--187].

������ ������ � �������� ������ ����������� ������ � ��� ���������� 
"������������" �������, � ������� ���������� ���������� � ������ ������� 
� ������ ������ ��� ������� �����.  , ��������, ���� ��������, 
���~$u_0\le u \le u_1$ �~$v_0\le v\le v_1$, ��~$u_0+v_0\le u+v \le u_1+v_1$, 
$u_0-v_1\le u-v \le u_1-v_0$ �  (� �������������, ��� $u_0$, $v_0$ ������������) 
$u_0v_0 \le uv \le u_1v_1$, $u_0/v_1\le u/v \le u_1/v_0$. ����������� ������� 
��� ������ ������� ���������� ���������������; ����������, ��������� ���������, 
�����~$v_0<0<v_1$, � �� �������� ������ ��~$v$. ���������� ���~$u_0$, $u_1$, 
$v_0$ �~$v_1$ ���������� � ��������������� ����������� (���� ��� ������ ������ 
� ����� ��� �������).  �� ���������� ���� ����� ������ �� ������, ��� �� 
�� ���������� � ������� ����������, � ��� ��� ��� ������������ ������ 
������ ������, ��� ����� ��������� ������ �������. ������ ����� 
����������� ������������� �������� ���� �� ����� ������������� ������ 
%% !!! ������ �����, �������������: -> �������������;
����� ������� �������������; ������� ����� ��������� ��������, ��������� 
� ����������� ������������ ��������� �������. �� ������ ���������� 
������������� ������ � ��������� ��� ����������� ��. ������ �.~����� 
[{\sl CACM,\/} {\bf 4} (1961), 319--320] 
� �.~耐��� [{\sl JACM,\/} {\bf 13} (1966), 386--403], 
� ����� ����� �.~���� "Interval analysis" 
[Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1966].

\section{C.~������� � ������������}. ������ ������������ 
��������� ���������� ���� ��������� �.~�.~������� 
�~�.~����������� [Optimale Rechengenauigkeit bei Rechenanlagen mit 
gleitendem Komma, {\sl Zeitschrift f\"ur angewandte Math.\ und Physik,\/} 
{\bf 4} (1953), 312--316]. ዅ������ ���������� ��������� ���� ����� 
������ ����� [J.~W.~Carr~III, Error analysis in floating-point arithmetic, 
{\sl CACM,\/} {\bf 2} (May, 1959), 10--15]. �.~����� [P.~C.~Fischer, 
Proc.\ ACM 13th Nat.\ Meeting, Urbana, Illinois, 1958, paper~39]. � 
����� ��.~X.~㈋������� "Rounding errors in algebraic processes" 
[Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1963] ��������, ��� ��������� 
������ ������� ������ �������������� �������������� �������� � ������� 
������ � ������� � ������� ������ ��������; ��. ����� ���
%% 258
���������� "The algebraic eigenvalue problem" [Oxford, Clarendon Press, 1965].

��������� � ���� ������ ���������~$\prec$, $\sim$, $\succ$, $\approx$  
������������ �����, ��������������� �.~���~������������� [Numerical 
analysis as an independent science, {\sl BIT,\/} {\bf 6} (1966), 66--81]. 
����������� ���� �������~A �~B ������� ���������� �������� ������������ 
㋅ ������� [{\sl BIT,\/} {\bf 5} (1965), 37--50, 251--255]. �.\ ����� 
[W.~Kahan, {\sl CACM,\/} {\bf 8} (1965), 40].

� ������ ���������� ����������������� ����� � ��������� ������ ��������� 
�.~�.~����� � �.~��������� � ���������� ���� ������, � ���������� �� 
����������� ��.~�.~������ �� ������������ ������������ (1953~�.). 
����������� ������ ����� ����  �������������� ������ MANIAC~III �� ������� 
����������� ���������� ����� �����, ��.~R.~L.~Ashenhurst, N.~Metropolis,
{\sl JACM,\/} {\bf 6} (1959), 415--428; 
{\sl IEEE Transactions on Electronic Computers,\/} {\bf EC-12} (1963), 896--901; 
R.~L.~Ashenhurst, Proc.\ Spring Joint Computer Conf., {\bf 21} (1962), 195--202. 
�� ������ ������ ������  ���������� ����������������� ���������� ��.\ ����� 
H.~L.~Gray, 
C.~Harrison, Jr., Proc.\ Eastern Joint Computer Conf., {\bf 16} (1959), 244--248, 
� W.~G.~Wadey, {\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 129--139.

\excercises
(� ���� ������� ��������������, ���� �� ��������� ���������, ��� �������� 
 ����������� ��� ���������������� ������� � ��������� ������.)

\ex[M18] ��������, ��� ���������~\eqref[7] ������� �� 
�����������~\eqref[2]--\eqref[6].

\ex[M20] ��������� ���������~\eqref[2]--\eqref[8], ��������, 
���~$(u\oplus x)\oplus (v\oplus y) \ge u \oplus v$, ������ �� �� 
����~$x\ge 0$ �~$y\ge 0$.

\ex[M20] ������� ��������������� ���������� ����� � ��������� ������ $u$, 
$v$ �~$w$, ��� �������
\EQ{
 u \otimes (v \otimes w) \ne (u \otimes v) \otimes w,
}
������ �� ��� ����� �� ���� ���������� �� ���������� �� ������������, 
�� ������������ ����������.

\ex[10] ����� �� ����� ����� � ��������� ������~$u$, $v$ �~$w$, ��� 
������� ��� ����������~$u \times (v \times w)$ ����������� �� ������������ 
����������, � ��� ����������~$(u \otimes v) \otimes w$ �� �����������?

\ex[�20] ����������� �� ���������~$u \oslash v = u \otimes (1 \oslash v)$ 
��� ���� ����� � ��������� ������~$u$ �~$v\ne 0$, ��� ������� �� ��������� 
�� ������������, �� ������������ ����������?

\ex[�22] ��� ������� �� ��������� ���� ����������� ��������, �����������  
�� ��� ������������ ��� ���� ����� � ��������� ������~$u$. 
(a)~$0\ominus (0 \ominus u) =  u$;  (b)~$1\oslash (1\oslash u) = u$.

\ex[M20] ��������, ��� ���~$\delta_p(x)$, ������������� 
������������~\eqref[16],  ����������� �����������~\eqref[17].

\rex[20] �����~$\varepsilon=0.0001$; ����� �� �����������~$u\prec 
v(\varepsilon)$, $u\sim v(\varepsilon)$, $u\succ v(\varepsilon)$, 
$u\approx v(\varepsilon)$  ����������� ��� ��������� ��� ��������������� 
���������� ����� � ��������� ������ � ��������~$0$?
{
\medskip\narrower
\item{a)}$u=(1,+.31415927)$, $v=(1,+.31416000)$;
\item{b)}$u=(0, +.99997000)$, $v=(1,+.10000039)$;
\item{c)}$u=(24, +.60225200)$, $v=(27, +.00060225)$;
\item{d)}$u=(24, +.60225200)$, $v=(31, +.00000006)$;
\item{e)}$u=(24, +.60225200)$, $v=(32, +.00000000)$.
\medskip
}

%% 259
\ex[M22] �������� �����������~\eqref[36] � ���������, ������ 
���������� ������ ������� ��~$u\approx w(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$.

\rex[�25] (�.~�����.) �� ��������� ��� ���������� �������������� �������� 
��� ������� � ��������� ������ ���������� ��� ������� ����������, � 
���������� ��������� ��������� ��� ���� ��� ���������� ��������� 
$p$~�������� $2p\hbox{-����������}$ ������������~$f_u f_v$. ( �� 
�������; ����~$f_u f_v < 1/b$, �� ��-�� ����������� ������������ �������� 
�������� ����� ������ ����������� �����.) ��������, ��� ��� �������� � 
������ ������������ ���������, �.~�.\ ��� ���������� ����� ������������� 
��������������� ����� � ��������� ������ $u$, $v$, $w$, ���~$u<v$, ��~$u 
\otimes w > v \otimes w$.

\rex[�28]{������ ���� ����� ������������ ��� ������� ������ ����� 
� ��������� ������ ������ ���, �� ����� �� ��������� ������� 
��������������� �������������� ����� (��.\ \S~4.1). ������� �����~$f$ 
�������������� ����� ���������, ��� � ������, � 
���������~$(0.100\ldots 0)_2 = 1/2\le f \le 1-2^{-p}=(0.111\ldots 1)_2$, 
�� ������� �����~$f$ \emph{��������������} ����� ����� � 
���������~$(1.000\ldots 0)_2 = -1 \le f \le -1/2 -2^{-p}=(1.011\ldots 1)_2$.
ዎ����� � ��������� ����� ��������� ��� ������ ������ ����������������� 
��������� ���������~4.2.1A: ����������� ����������� �������� ����������, 
�� �������� ������ �������� ����� ��� ��������, ����� ����������� �����, 
��� ����� �� ������ $p$~�������� ����� ���������� ���, � ����� ����� 
"���������" ���������, �������� ������� � $(p+1)\hbox{-�}$~������, � ����� 
����������� ��� �������, ����� ������ $p$~�����, ��������� � ������ 
������������ ��� ���������� �������������� ����������. 
��������, ��������~$(2,0.11111111)\ominus (6,0.10000000)$ ���� �� ��������� 
������� � ����~$(6, 1.100011111111)$, ������������� � ����~$(5, 1.00011111111)$ 
� ����� ��������� ��~$(5,1.00100000)$. ���� �� �� ����� � ��������������� 
�������, �� �������� ��
\EQ{
 (6,0.10000000) \ominus  (2,0.11111111) =(5,0.111000000);
}
��� ���������� �����, ������ � ��������������� ������, ��� ��� 
�����������~\eqref[7] ����������� ��� ������� ������.
\hiddenpar
������� ��� �����~$u$ �~$v$, �������������� � �������������� �������� ����,
��� ������� ���������~\eqref[7] \emph{��} ����������� � ��� ������� � 
���� ���������� �� ���������� �� ������������, �� ������������ ����������.
}

\ex[�15] ������~\eqref[45] ������� ��~\eqref[44]?

\rex[�25]{��������� ����� ���������������� (� ���� ��������� ����������) 
���������� ������ ���������� ��� ���������� � ��������� ������ � �� ����� 
������� ��� ������ ���������� � ������ �������. ���� ��������� ��������� 
�������� ��� ������ �������, �� �����, �������, ����������� �� � ���� 
����� � ��������� ������, � ���� �������� ���������� ��� �������  � 
��������� ������ ������������� �������� 
������������~\eqref[11]--\eqref[14] ����� ������, ��, ��� �� �����, 
\emph{���} ��� �������� ����������� �������, ��� ������� ��� �������� � 
����� ��������� ������ ������������� � $p\hbox{-���������}$ �����. 
ዅ����������, ���� �� �������, ��� ����� �� ������� ������, �� ����� 
����������, �������� ��� �������� ����� �����, �� �������� ����������,
��������� � �������� ����������.
\hiddenpar
�� �����������, ��� ����������� ����� ����������, �������� �� $m$~������ 
�������~$n$, ���~$m$ �~$n\ne 0$---����� �����. ����������� �����, ��� � 
����� ������������, ��� � � ���.~4.2.1-15, ���� ������������, ������� 
���������~$\round (u \bmod 1, p) = u \ellmod 1$ ��� ������ �����~$u$ � 
��������� ������. ���� �� ������� �������� ����������, �������� ��~$m$ 
�������~$n$, ��� �� �������� � ���, ����� ��������� ��� ������ ���������� 
������������, ����� �� ���������~$((m\oslash ) \ellmod 1)=0$. �� ���������,
������, ��� ������ ���������� � ����������� ��� ���������� � ��������� 
������ ������� ��� �������� �������������.
\hiddenpar
������� ��������������� ����������� �� �������� ��������� ����� 
�����~$n\ne 0$ �~$m$, ��� ������� $m$~����� �������~$n$ � ��� � ������ ��� 
������,                                                      
%% 260
�����~$(m\oslash n) \ellmod 1=0$. ������� �������, ��������, ��� ����~$m$ 
�~$n$ �� ������� ������, �� ���� �������� ��������.
}

%% !!! 璎 ��� �� �����: w) [... ����� �������� ����?...] (\varepsilon)
\ex[�27] ������� ���������� ��������~$\varepsilon$, ��� 
�������~$(u\otimes v) \otimes w \approx u \otimes (v \otimes w) \; (\varepsilon)$ 
� ������, ����� ������������ \emph{�����������������} 
���������. (풎---��������� �����������~\eqref[41], ��������� 
����������������� ��������� ����� �� ���������� �� ����������������, ���� 
������� ������~$u$, $v$ �~$w$ �������������.)

\ex[�24] (X.~�����.) ������ �� ����������� ������� ����� ���������  ����� 
����� ��� ��������� �������? (����� �������, ������� �� �� 
�����������~$u\le v$ �����������~$u \le (u \oplus v) \otimes 2 \le v$?)

\ex[��23] �����������, ���~$u$ �~$v$---������������ �����, ���������� � 
���������� �������������� � ����������~$0 < u_0 - \delta  \le u < u_0 + \delta$ 
�~$0 < v_0 - \varepsilon \le v \le v_0 + \varepsilon$. (a)~������ ������� 
�������� ������������~$uv$? (b)~������ ������� �������� ��������~$u/v$? 
[품 ������� ����� ��������� � ������� � ������ ����������� ������� 
��������� ���������� �������� ��������� � �������.]

\ex[28] �������� \MIX-������������~|FCMP|, ������� ���������� �����  ����� 
�����~$u$ �~$v$ � ����� � ��������� ������, ����������� ��������������  � 
����~|ACC| � � ��������~|A|, � ������������� ��������� ��������� � 
��������� "������", "�����" ��� "������" � ������������ � ���, ����� 
��~$u \prec v$, $u \sim v$ ���~$u \succ v(\varepsilon)$; ��� ���� 
$\varepsilon$~�������� � ����~|EPSILON| ��� ��������������� �������� � 
����� � ��������� ������, ������ ��������������, ��� ����� ����������� 
����� �� �����.

\ex[�40]. ᓙ������� �� � ���������� ����������������� ������� 
���������� �����~$\varepsilon$, �����, ���
\EQ{
 u \otimes (v\otimes w) \approx (u \otimes v) \otimes (u \otimes w)\; (\varepsilon)?
}

\subsubchap{*���������� � ������� ���������} %% 4.2.3
�� ��� ��� �� �������� �� ���������� ����� � ��������� ������ "����������� 
��������", ��� �� �������� ��������, ���  �������������� � ����� � 
��������� ������ ��������, � �������� �� ��������, ����� ��������� � 
����� �������� �����. ���� ���������� ����������� �������� �� ������������ 
����������� ��� ����� ������������ ��������, �� �������� ����� ��������� 
��� ������ ������� ���������������� ���������, ��������� ��� 
������������� ������� ����� ��� ��� ������ ���� ������. 厒� ����� 
�������� ���������� ���������� �������� �� ��������� �~\S~4.3, ����� ����� 
�������� �������� ����� ������ � ����������� ������� ��������; � 
����������� ������� �������� ��������� ����������� ������, ����������� 
����������� ��� ������ ������� ��������; ����� ����, ���������� � ������� 
��������� ������� ������� �����, ������� ��������������� ��������, ��� 
��� ��� ������ ��� �� ������� ����������� ��������, ����������� 
����������������� ������ ������ ������, �� ��������� ��������� ������� ��������.

��� ���������� �������������� �������� ��� ������� � ��������� ������ 
������� �������� ���������� ����� ������ � ��-
%% 261
\bye