\input style
\chapnotrue\chapno=3\subchno=3\subsubchno=1
��� \dfn{ͼ����ǵ���� �ý�Ƹ� �������������~$F_n(x)$:}
$$
F_n(x)={\hbox{Ǹ��� °��� $X_1$, $X_2$,~\dots, $X_n$, ��¾�˵~$\le x$} \over n}.
\eqno(10)
$$
ݰ ���.~4 �������� ��� ͼ����ǵ���� �ý�Ƹ� ������������� (���¸���̽˵ 
�����, ������ ������, �� ϲ������ ǰ���� ���ĸ��~$F_n(x)$). ⰼ �� 
���������� � ��¸��˵ �ý�Ƹ� �������������~$F(x)$. ��� ò���ǵ���~$n$ 
�ý�Ƹ�~$F_n(x)$ ������ ��� ����� ¾ǽ� ����������������~$F(x)$.

���µ��� ھ���������---Ἰ����� (��-���µ���) ����� �����̷����� � µ� 
���ǰ��, ����� �ý�Ƹ�~$F(x)$ �� ����� ���Ǻ��. ޽ ������� �� 
\emph{������¸ �����~$F(x)$ �~$F_n(x)$.} ߻�ž� ���Ǹ� ���ǰ���� Ǹ��� 
�ô�� ������ ͼ����ǵ���� �ý�Ƹ� �������������, ���ž 
�������������ɸ�~$F(x)$. ݰ ���.~4,~b �������� ������, ����� 
���ǵ���~$X_i$ ���Ⱥ�� ������, °� �¾ ������ ͼ����ǵ���� �ý�Ƹ� 
������������� ���ž��� ���Ⱥ�� �����. ݰ ���.~4,~c �����°���� �ɵ �ôȸ� 
���ǰ�; ����, �¾ °��� ����ȸ� ���ž������ �����~$F_n(x)$ �~$F(x)$ ������ 
���������½�; ��-���µ��� ������ ú�����, ������̺� ��� ���������½�.

Ի� �¾�� ľ��������� ������ɸ� �°¸�¸��:
$$
\eqalign{
 K_n^+&=\sqrt{n}\max_{-\infty<x<+\infty}(F_n(x)-F(x));\cr
 K_n^-&=\sqrt{n}\max_{-\infty<x<+\infty}(F(x)-F_n(x)).\cr
}
\eqno(11)
$$
״��� $K_n^+$~�����˲���, ������ ��������̽�� �º������� ��� 
���ǰ�~$F_n>F$, �~$K_n^-$---������ ��������̽�� �º������� ��� 
���ǰ�~$F_n<F$. � ��������, ���������� �� ���.~4, ���ǵ��� �¸� 
�°¸�¸� ������ɸ�:
$$
\matrix{
          & a     & b     & c     \cr
 K_{20}^+ & 0.492 & 0.134 & 0.313 \cr
 K_{20}^- & 0.536 & 1.027 & 2.101 \cr
}
\eqno(12)
$$

[\emph{װ��ǰ���.} ݰ��Ǹ� �����µ��~$\sqrt{n}$ � ľ��û�~(11) ����� 
���������� ������˼. ᾳ����� ÿ�.~6, ��� ĸ�����������~$x$ �°����½�� 
�º�������~$F_n(x)$ ��~$F(x)$ ������Ƹ����̽�~$1/\sqrt{n}$; �������µ�̽�, 
�����µ��~$\sqrt{n}$ ������õ� �°¸�¸��~$K_n^+$ �~$K_n^-$ °��� �������, 
�¾�� �°����½�� �º������� �� �������� ��~$n$.]

⵿��� �����, ��� � � ���ǰ� ���µ���~$\chi^2$, ���¸ ���ǵ���~$K_n^+$ 
�~$K_n^-$ � "���Ƶ�¸�̽��" °���Ƶ, �¾�� ����������, ����� �� ��� 
������� ��� ������ ���Ǹ�����. � �¾� Ƶ��� ��� ����� ����Ǹ�~$K_n^+$ 
�~$K_n^-$ ����� ������̷������� °��.~2. ݰ������, �����½���� ¾��, �¾ 
$K_{30}^-$ ����ȵ ǵ�~$0.8036$, �����~25\%. � �»�Ǹ� �� °����� ��� 
���µ���~$\chi^2$, ��¾��� ����� ���̷������� ¾�̺� ��� ����ȸ�~$n$, � 
�¾� °���Ƶ ���������� ¾ǽ˵ ���ǵ���
%% 62
\picture{���.~4. ������� ͼ����ǵ���� �������������.}
%% 63

\htable{ⰱ��ư~2}%
{ݵ��¾�˵ ����˵ ��� ������������� ����Ǹ�~$K_n^+$ �~$K_n^-$}%
{$#$\hfil\bskip&&\bskip\hfil$#$\hfil\bskip\cr
 \noalign{
  \embedpar{\noindent(Ի�~$n>30$ ��������� µ���¸ǵ��� �� ����������˵ 
   ��µ�����Ƹ���˵ ľ��û�, ¾ǽ˵ ¾�̺� ���~$n=\infty$)}
 }
     & p=99\%  & p=95\%  & p=75\% & p=50\% & p=25\% & p=5\% & p=1\%\cr
n=1  & 0.01000 & 0.05000 & 0.2500 & 0.5000 & 0.7500 & 0.9500 & 0.9900\cr
n=2  & 0.01400 & 0.06749 & 0.2929 & 0.5176 & 0.7071 & 1.0980 & 1.2728\cr
n=3  & 0.01699 & 0.07919 & 0.3112 & 0.5147 & 0.7539 & 1.1017 & 1.3589\cr
n=4  & 0.01943 & 0.08789 & 0.3202 & 0.5110 & 0.7642 & 1.1304 & 1.3777\cr
n=5  & 0.02152 & 0.09471 & 0.3249 & 0.5245 & 0.7674 & 1.1392 & 1.4024\cr
n=6  & 0.02336 & 0.1002  & 0.3272 & 0.5319 & 0.7703 & 1.1463 & 1.4144\cr
n=7  & 0.02501 & 0.1048  & 0.3280 & 0.5364 & 0.7755 & 1.1537 & 1.4246\cr
n=8  & 0.02650 & 0.1086  & 0.3280 & 0.5392 & 0.7797 & 1.1586 & 1.4327\cr
n=9  & 0.02786 & 0.1119  & 0.3274 & 0.5411 & 0.7825 & 1.1624 & 1.4388\cr
n=10 & 0.02912 & 0.1147  & 0.3297 & 0.5426 & 0.7845 & 1.1658 & 1.4440\cr
n=11 & 0.03028 & 0.1172  & 0.3330 & 0.5439 & 0.7863 & 1.1688 & 1.4484\cr
n=12 & 0.03137 & 0.1193  & 0.3357 & 0.5453 & 0.7880 & 1.1714 & 1.4521\cr
n=15 & 0.03424 & 0.1244  & 0.3412 & 0.5500 & 0.7926 & 1.1773 & 1.4606\cr
n=20 & 0.03807 & 0.1298  & 0.3461 & 0.5547 & 0.7975 & 1.1839 & 1.4698\cr
n=30 & 0.04354 & 0.1351  & 0.3509 & 0.5605 & 0.8036 & 1.1916 & 1.4801\cr
     & 0.07089 & 0.1601  &  0.3793 & 0.5887 & 0.8326 & 1.2239 & 1.5174 \cr
n>30 & -{0.15\over \sqrt n} & -{0.14\over \sqrt n} & -{0.15\over \sqrt n} 
     & -{0.15\over \sqrt n} & -{0.16\over \sqrt n} & -{0.17\over \sqrt n} & -{0.20\over \sqrt n}\cr
}
��� ����~$n$, °� �¾ ��-���µ��� ����� ��������� ��� �α��~$n$.

���û�~(11) �� ������� ��� ��ȸ���� ���ǵ¾�, °� ��� ����õ��� �������� 
��������̽�� ����� �������ǽ��� ������²� Ǹ���! ޴���� ¾� İ��, 
�¾~$F(x)$---��ñ˲��ɰ� �ý�Ƹ�, a $F_n(x)$~����� ����ǽ�� Ǹ��� ���Ǻ��, 
������ϵ� ���������� �°¸�¸��~$K_n^+$ �~$K_n^-$ � ������� ������ɵ�� 
����¾�� ������¼�:

{\sl 谳~1.\/} ޿���������� �˱���ǽ˵ ���ǵ���~$X_1$, $X_2$,~\dots, $X_n$.

{\sl 谳~2.\/} ׽�ǵ���~$X_i$ ������������� � ���ϴ�� ������°��� °�, 
�¾��~$X_1\le X_2 \le \ldots \le X_n$. (��ĵ�¸��˵ ������¼�, 
���¸����� �ô�� ����������� � ��.~5.)

%% 64
{\sl 谳~3.\/}~�ö�˵ ��� �°¸�¸�� ��Ǹ������� µ���� �� ľ��û��
$$
\eqalign{
 K_n^+&=\sqrt{n}\max_{1\le j \le n}\left({j\over n}-F(X_j)\right),\cr
 K_n^-&=\sqrt{n}\max_{1\le j \le n}\left(F(X_j)-{j-1\over n}\right).\cr
}
\eqno(13)
$$

ᴵ���� �������ɸ� �˱�� Ǹ��� ����°���~$n$ � ������ ���ǰ� ������̺� 
���ǵ, ǵ� ��� ����µ � ���µ����~$\chi^2$, ž�� ����¾�˵ ��ô���¸ 
�����������. ���� ��¸���� ������������� ���ǰ���� ����Ǹ�~$X_j$ �� 
�²�ǰ�� �ý�Ƹ�~$F(x)$, � ����˲����� �����-¾ ��ó�� �ý�Ƹ��~$G(x)$, 
������õ��� ������µ�̽� ����� ����°���, �¾�� ô��¾��������, 
�¾~$G(x)\ne F(x)$; $n$~������ ���� ���¾�̺� ����ȸ�, �¾�� �°�� 
����½˼ �����Ǹ� �����~$G_n(x)$ �~$F_n(x)$. � ��ó�� �¾����, ��� 
����ȸ�~$n$ ������� µ����Ƹ� � ���������� �����̽�� �º������� �� 
���ǰ����� ���������. ⰺ�� �º������� �������� ������µ�̽� � 
����ȸ��²� ���������� ���ǰ���� Ǹ��� ��� ����µ �� 
��Ǹ���µ�̽�� ��ȸ���. � �¾� ¾Ǻ� ������ �˻� �� ������� 
\emph{ü���ȸ��}~$n$. �� İ�� �¾ ��� $n$~���û�°¾� ����°��� ���� 
���������, �¾�� ��¾� ����������� � ���ϴ�� ������°���, °��� 
�����ϵ� ��� � ����� ü���ȸ��~$n$. � ��ǵ�²� �������������� 
��ȵ��� ����� �����~$n$ ����˼, ������, $1000$ � ��Ǹ����� 
���°¾ǽ� ����� ���ǵ���~$K_{1000}^+$ � �����̷������� ������ ǰ�µ� ���ǰ���� ���������µ�̽��¸:
$$
 K_{1000}^+(1), \quad K_{1000}^+(2), \quad \ldots, \quad K_{1000}^+(r).
 \eqno(14)
$$
� \emph{�¸�} Ǹ���� ����� \emph{�����} ��������� ��-���µ���. ⵿��� ö� 
$F(x)$---�ý�Ƹ� ������������� ���~$K_{1000}^+$, ���ǵ� ��� �������ϵ��� 
ͼ����ǵ���� �ý�Ƹ�� �������������~$F_r(x)$, ����������� �� ���ǰ��˼ 
���ǵ��ϼ~(14). � �ǰ����, �ý�Ƹ� �������������~$F(x)$ �ǵ�� ����°: ��� 
����ȸ� ���ǵ����~$n$, �������� $n=1000$, ������������� ���~$K_n^+$ ž��Ⱦ 
�����������õ��� �ý�Ƹ��
$$
F_{\infty}(x)=1-e^{-2x^2}, \rem{$x \ge 0$}.
\eqno(15)
$$
��� ��������� �½������ � �~$K_n^-$, °� ���~$K_n^+$ �~$K_n^-$ ����� ���� 
���������. \emph{ⰺ�� ���ž�, ����� ���ǰ�� ���µ��� ��������½� 
������ϵ��� ��� �½���µ�̽� ������ȸ�~$n$, � ��µ� ��� ���û�°�� 
�������������, ����� ǵ�� ��-���µ���  ������ϵ��� ���¾���, ������ϵ� 
��ϲ��� ��� �����̽˵, °� � ������̽˵ �º������� �� ��������� ������ 
�������������.}

߾��˹ ͺ��������� (ž�� ������� ����ȵ�� ������) �˻ �������� ��¾��� � 
ž�� ������ ��� ���¾�ɵ� ������. ��� "�������ȵ� ��~5", �������˹ � 
������ɵ� �������, ������ϻ�� �~$1000$ ���������� �������������� ���ǰ���� 
Ǹ���. ߾��Ǹ����
%% 65
200~Ǹ��� $X_1$, $X_2$,~\dots, $X_{200}$, �½���µ�̽� ��¾��� 
��������������, �¾ ��� ������������ � ���²���²�� � �ý�Ƹ��~$F(x)=x^5$ 
($0\le x \le 1$). ��� ���û�°�� �˻� ��������� �� 20~��ÿ� �� 10~Ǹ���, � 
��� ������ ��ÿ�� ��Ǹ��ϻ��� �°¸�¸��~$K_{10}^+$. ߾ ����ǵ��˼ °��� 
������� 20~���ǵ��ϼ~$K_{10}^+$ �˻� ��������� ͼ����ǵ���� �������������, 
����������˵ �� ���.~4; ������� ����˵ ���²���²��� �������������� 
�ý�Ƹ� ������������� ��� �°¸�¸��~$K_{10}^+$. ݰ ���.~4,~a 
�����°����� ͼ����ǵ���� ������������� ���~$K_{10}^+$, ���²���²��ɵ� 
���������µ�̽��¸ ���ǰ���� Ǹ���
$$
\eqalign{
 Y_{n+1}&=(3141592653Y_n+2718281829) \bmod 2^{35},\cr
     U_n&=Y_n/2^{35}.\cr
}
$$
��� ���������µ�̽���� ����� �������� ô����²���µ�̽��. ��.~4,~b 
���²���²õ� ���������µ�̽��¸, ����ǵ���� ��¾��� 丱����Ǹ; ����� 
����δ����� �º������� \emph{������̽���} Ű���µ��, �.~�.\ ����� ��������,
�¾ ���ǵ���~$X_n$ ��� µ�° "�������ȵ� ��~5" �� ���Ǹ������ 
�������������~$F(x)=x^5$. ݰ ���.~4,~c ��������� ���û�°�� �������� 
���������µ�̽��¸, ���̷��ɵ��� ������ ������� ������¼�:
$$
 Y_{n+1}=((2^{18}+1)Y_n+1)\bmod 2^{35}, \quad U_n=Y_n/2^{35}.
$$

൷û�°�� ���������� ��-���µ��� � �¸� ����˼ �˻� ö� ��������� �~(12). 
ޱ��ɰ��� � °��.~2 �~$n=20$, ����ǰ��, �¾ ���ǵ���~$K_{20}^+$ 
�~$K_{20}^-$ � ���ǰ�~(b) ������ �������µ�̽� (��� �������� ���¸ 
��~$95\hbox{-}$ �~$12\%\hbox{-�˵}$ ������), �� �� ���¾�̺� ���Ÿ, �¾�� 
����� �˻� � ò���������� �±������ ��� ���������µ�̽����. 
׽�ǵ���~$K_{20}^-$ ��� ���ǰ�~(c), ����������, ���ô� �� �������, °� �¾ 
µ�� "�������ȵ� ��~5" ����������� �����˲��� ������������� �¾�� ���Ǹ�� 
���ǰ���� Ǹ���.

� ��������� ͺ��������µ ��-���µ��� ������ ��ϲ���� ������̽˵ �º������� 
�� ���ǰ����� ��������� �ö�, ǵ� �����̽˵, °� ��� ������ ��ÿ�� 
���¾ϻ� ����� �� 10~����°���. ���� �� �˻� ���¾ 20~��ÿ� �� 
1000~����°���, �º������� � ���ǰ�~(b) �˻� �� ����� ���Ǹµ�̽˼. Ի� 
��������Ƹ� �¾�� ��-���µ��� �˻ �������� \emph{�����} �� ���� ����˼, �� 
��¾�˼ ��������� ���ĸ�� �� ���.~4. ��� �¾� ����Ǹ���� ������ɸ� ���û�°��:
$$
\matrix{
           & a     & b     & c \cr
 K_{200}^+ & 0.477 & 1.537 & 2.819 \cr
 K_{200}^- & 0.817 & 0.194 & 0.058 \cr
}
\eqno(16)
$$
⵿��� ö� �� ���� ��������������� ��ϲ����� ������̽˵ �º������� �� 
��������� ������ �������������, ��¾�˹ ���� ��¾� 丱����Ǹ. ۾���̽˵ 
�º������� � ���ǰ�~(c) ����˲����� ������ ��~$n=1\,000\,000$, °� �¾ 
���~$n=200$ �������� � ������̽�� �º�������� �� ���ž�����.

%%   66
���µ��� ھ���������---Ἰ����� �����ǰ����, °��� �������, � ������ɵ�. � 
������� $n$~\emph{����������� ����°���} ����ǰ���� ���ǵ���~$X_1$,~\dots, 
$X_n$ ���ǰ���� ����Ǹ�� � \emph{������˲���} �ý�Ƹ�� 
�������������~$F(x)$. ($F(x)$~������ ���� ¸�� �ý�Ƹ�, ������������ �� 
���.~3,~b �~3,~c, �.~�.\ ��� ���Ǻ�� ��� �� ���.~3,~a.) װµ� � ������� 
���Ƶ����, ��������� ����� ľ��û��~(13), ��Ǹ������� �°¸�¸��~$K_n^+$ 
�~$K_n^-$. �¸ �°¸�¸�� ������ ���� ������������ � ���²���²�� � °��.~2.

⵿��� ����� �������� ���µ��� ھ���������---Ἰ����� �~$\chi^2$. ������ 
����� ����õ� ����¸��, �¾ ��-���µ���� ����� ���̷������� \emph{� 
��ǵ°��� �} ���µ����~$\chi^2$, �¾�� ����Ǹ�� ������ ���Ƶ����, ǵ� 
��¾� ad hoc, ÿ��Ͻ��˹ ��� �����ȵ��� �������� ���µ���~$\chi^2$. (�¾ 
���Ǹ�, �¾ ��ɵ�²õ� ����� �����ȵ��˹ ������, ������ ���������� ���� 
��������, �¾�� ��������, ��� ����� ���û�°¾� �������� 
"�������µ�̽˼�".) �����������, �¾ � ������� ���µ���~$\chi^2$ �˻� 
���������� ������°��, ������, 10~������ �ǰ�º�� ���ǰ���� 
���������µ�̽��¸, � ���û�°µ ǵ�� �˻� ����ǵ�� ���ǵ���~$V_1$, $V_2$,~\dots, 
$V_{10}$. ޱ�ǽ˹ ����ǵ� ����ǵ�²� �������µ�̽� ����ȸ� ��� 
����� ���ǵ���~$V$---�� ���ȸ� ������ ������� (ž�� � ͺ�������̽�� ���ǰ�� 
�� �ô�� ����°��, � \emph{�ǵ��} ����ȸ� ��� \emph{�ǵ��} ���˵ ���ǵ��� 
����� ��ö��� ú������� �� ¾, �¾ ������ ���������µ�̽���� 
�������� ���Ⱥ�� ����� �����̽�� �º�������). ׽�Ǹµ�̽� ���ȵ 
��������� �� �¸� 10~���ǵ��ϼ ͼ����ǵ���� �ý�Ƹ� ������������� � 
�������� �� � µ���¸ǵ���� �ý�Ƹ�� �������������, ��¾��� ����� ����Ǹ�� 
� ������� °��.~1. ߾��� ����������� �°¸�¸�~$K_{10}^+$ �~$K_{10}^-$ 
ľ����õ��� ����ǰµ�̽�� �ö����� �� ��ž�� �������� ���������µ�̽��¸ � 
������� ���µ���~$\chi^2$. ���~10 ��� ���� 100~���ǵ���� ��� �¾ ����� 
����� ������� ���ǽ��, �����̷�� ���ĸǵ���� ��¾��; ��� ����ȵ� Ǹ��� 
���ǵ���~$V$ ������õ��� ������������ ��� ��ȸ����� ���ǵ° 
�������������~$\chi^2$. �¼�¸�, �¾ \emph{��� 20~¾ǵ� �� ���.~4,~c 
�������� � ��µ���� ����� $5\hbox{-}$ �~$95\%\hbox{-�˼�}$ �����ϼ�,} °� 
�¾ \emph{������} �� ��� � �´��̽��¸ �� ����� ��������������� ��� 
�������µ�̽��; ������ �ü������ ͼ����ǵ���� ������������� ϲ�� �� 
��������� � µ���¸ǵ����.

Ұ���� �����Ǹ� ����� ���µ��ϼ� ھ���������---Ἰ����� �~$\chi^2$ 
�����ǰ���� � ¾�, �¾ ����˹ �� ��� ������ϵ��� � ������������ϼ, �� 
����ɸ� ���Ǻ��, � ¾ ����� ��� �¾���---� ����ǽ� ���¾Ͻ�˼ ������������ϼ 
(°� ��� ��� ���û�°�� ������� �� $k$~��µ�����). ⰺ�� �������, �����¸ 
���������� �¸� ���µ���� �����ǽ�. ������, ���µ���~$\chi^2$ ����� 
��������� � ��� ������˲��� �������������, ���� ��������� ��� 
������� �����������~$F(x)$ �� $k$~ǰ�µ� � ���������� �����Ƹϼ� � 
�������� ������� ��µ�����. ����, ��������, �� ž¸� ��������,
������������ �� ���ǵ���~$U_1$, $U_2$,~\dots, $U_n$ ���������� �����
%% 67
�û�� � �����Ƶ�, �.~�.\ ���²���²õ� �� �� ������������� 
�ý�Ƹ�~$F(x)=x$ ���~$0\le x \le 1$, �ô�� ��µ�²���� ��������� 
��-���µ���. ݾ ����� °��� ��������� ��µ���� ��~$0$ ��~$1$ ��~$k=100$ 
������ ǰ�µ�, ����Ǹ°��, ����̺� � ������ �� ��� �������� ���ǵ���~$U$, 
����� ǵ�� �����̷����� ���µ���~$\chi^2$ � 99~�µ���ϼ� �������. � 
���¾�ɵ� ����� �� ��ɵ�²õ� ���°¾ǽ� ������������ µ���¸ǵ���� 
���û�°¾�, ��������ɸ� ���������� ��ĵ�¸����¸ �¸� ���� ���µ����. 
в¾� �����ö�� �������, � ��¾��� ��-���µ��� ��ϲ�ϻ �º������� �� 
���ǰ����¸ ����� ϲ�²����, ǵ� ���µ���~$\chi^2$, � °��� � ������� 
���¸����������� Ű���µ��. ����, ��������, ��µ�����, �� ��¾�˵ 
����������� �������¾�~$(0, 1)$, ����ü������� ��~$0$ ��~$99$ � 
�º������� �� ������� ���ǵ��� ������µ�̽� � ��µ������~$0$--$49$ � 
����ưµ�̽� � ��µ������~$50$--$99$, ¾ ͼ����ǵ���� 
�ý�Ƹ� ������������� �ô�� ���Ǹµ�̽� ����ȵ ��~$F(x)$, ǵ� ����� �˻� 
�� ������������ �� ���ǵ���~$\chi^2$. ݾ ���� �º������� ������µ�̽� � 
��µ������~$0$, $2$,~\dots, $98$ � ����ưµ�̽� � ��µ������~$1$, $3$,~\dots, 
$99$, ¾ ͼ����ǵ���� �ý�Ƹ� ������������� �ô�� ������� ����� 
�~$F(x)$. ���δ� �����, �¾ Ű���µ� ���������õ��� �º������� ������̺� 
�����ǵ�. Ի� $200$~Ǹ���, �� ��¾�˼ ��������� ���ĸ�� �� ���.~4, 
���µ���~$\chi^2$ �~$k=10$ ���� ���ǵ���~$V$, ����˵~$9.4$, $17.7$ 
�~$39.3$; � �¾� ������½�� ���ǰ� ����ǵ��˵ ���ǵ��� ������ �������� � 
µ��, ��¾�˵ ���� ��-���µ��� (��.~(16)). Ի� ������˲��� ������������� 
��-���µ��� �������� ����������˼� ������ɵ�²���, °� ��� 
���µ���~$\chi^2$ �� ����������� ����� ����������˹ Ű���µ� � 
����õ� �½���µ�̽� ����ȸ� ���ǵ���~$n$.

ؽµ����� °��� ����������, ��� ��������� ���û�°�� �������� ȵ�¸ 
������ ���Ǹ��� ���ǰ���� Ǹ���, ���������˵ �� ���.~2, ���� ����¾ 
���µ���~$\chi^2$ �����̷����� ��-���µ���. �¸ ���û�°�� �˻� ����ǵ�� 
���~$n=200$ � ������� ���µ��� "�������ȵ� ��~$t$" ���~$1\le t \le 5$; 
�������¾�~$(0, 1)$ ������ϻ�� ��~$10$~������ ǰ�µ�. ߾ ��� ����� 
��Ǹ����� �°¸�¸��~$K_{200}^+$  �~$K_{200}^-$ � ����ǵ��˵ ���û�°�� 
�����°���� � ¾� �� ����, ��� �� ���.~2 (�¼�ǰ�, ����� ���ǵ��� ��ž��� 
�� �������~$99\%$ �~�.~�.). �¾ ������� �� ���.~5. �¼�¸�, �¾ ���Ǹ�~D 
(��¾� ۵����), �ô� �� ���.~5, ���̼� ����, � ¾ ����� ��� ���û�°�� 
������º� \emph{µ� �� ����� ������} �� ���µ���~$\chi^2$ �� �����ö��� 
������� �º�������. ԰�Ǹ�~E (��¾� 丱����Ǹ), ��������, �� ���.~5 
�˳�ϴ�� ������̺� ���ȵ. ���ȸ� ���Ǹ��~A �~B ô����²����� ���� 
���µ��ϼ. ���Ǹ�� ���ž������ ����� ���.~2 �~5 �����ǰ���� � ������ 
�ǵ���� � ¾�, �¾ (a)~Ǹ��� ����°���~$200$ �� ����� ���� �����°¾ǽ� 
������; (b)~���������� ���û�°¾� �� "������˵", "�������µ�̽˵" � 
"������ �������µ�̽˵" ���� �� ���� �����̽� �������µ�̽�.

(�˻� �� ����������������� �������� ۵���� � ¾�, �¾ ��
%% 68
�����̷���� � 1948~�.\ "���ž�" ���Ǹ� ���ǰ���� Ǹ���, ��¾�� �¾ � 
������ ������½�� ���ǰ� �¾ �˻� ������ �������. ܰȸ�� ENIAC ����°�� 
� ��������̽�� ������ � ����������������� �������²�� �����°Ƹ����� 
������. ۵��� ��°����� °��� �����, ��� ��¾��� ���������� ������ �� �ü��¾���
\picture{��.~5. ൷û�°�� ���������� ��-���µ��� � µ� �� ����˼, �¾ � �� ���.~2.}
���¾Ͻ�� ü�������� ��~$23$ �� ���û�~$10^8+1$; ���������� �ü��¾�� 
�����ϻ��� ����˵ ������̺� ��������ý�. ܽ���µ��~$23$ ���Ⱥ�� ���, �¾�� 
°��� ���������µ�̽���� ����� �˻� �Ǹ°�� ���ǰ����: �������Ƹ� ����� 
������ɸ�� ���������²���� ��ó �� ��ó�� Ǹ����� ��� °��� �����µ�� 
���Ⱥ�� ������. ݾ �������¾� ������� ����� ����ɵ��ϼ� � �ü��¾��,
�������ɵ�� ���ǰ���� Ǹ���, �˻ ������µ�̽� ����� �, ����� ¾��, ��� 
����� ���ϻ��. ⰺ �¾ İ�¸ǵ��� �����µ�� �˻ �����~$23^k$, 
���~$k$---����Ⱦ�, �������ɵ��� Ǹ���!)

\section {C. ��¾���, ���������ĸ� � µ����}. ���µ���~$\chi^2$ �˻ 
��������� ڰ���� ߸������ � 1900~�. ({\sl Philosophical Magazine,\/} 
Series~5, {\bf 50}, 157--175). �° ����° ߸����� �Ǹ°���� ����� �� 
�������������ɸ� � ����������� �°¸�¸��, °� ��� �� ��� 
��ǵ�²� ͺ��������°�̽�� ���û�°¾� �������ϻ��� ����¾ �� ¾��, 
��� ��� �˳�ϴ�� �� ���ĸ��. � ����� �°�̵ ߸���� �������� ������̺� 
��µ������ �������� ��������̽��� �����̷������ �°¸�¸��.
%% 68
޽ ������� °���, �¾ � ����¾��� ���ǰ�� �û�º� (�� ��¾��� �� 
ͺ��������¸����� � ܾ�µ-ڰ��� � µǵ��� ���� ������ � 1892~�.) ������ 
���û�°��, ���¾�̺� ������� �� ������� ���ǵ���, �¾ ��� ������̽�� 
�������²� �û�º� ��� ����� �� ���ɵ�²����� �� ǰɵ, ǵ� ���� ��� 
��~$10^{29}$. ޱɵ� ���ö����� ���µ���~$\chi^2$ � ��ȸ���� ���������ĸ� 
���������� � �������� �°�̵ �.~ھ��ͽ� (W.~G.~Cochran, {\sl Annals of 
Mathematical Statistics,\/} {\bf 23} (1952), 315--345).

ط����� � �����ɵ���� ���� µ����, ������� � ������ ���µ���~$\chi^2$. 
�ǽ�� �����½���� ¾��, �¾~$Y_1=y_1$,~\dots, $Y_k=y_k$ �����, ��� ����� 
������,
$$
{n! \over y_1! \ldots y_k!} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}.
\eqno(17)
$$
���� ������������, �¾ $Y_s$~����� ������������� �ð����� � ���½�����
$$
{e^{-np_s} (np_s)^{y_s} \over y_s!}
$$
� ���ǰ��˵ ����Ǹ��~$Y_s$ ����������, ¾ �����½���� ���ɵ�²����� 
���ǵ���~$(y_1,~\ldots, y_k)$ �����
$$
\prod_{1\le s \le k} {e^{-np_s} (np_s)^{y_s} \over y_s!},
$$
� �ü��~$Y_1+\cdots+Y_k$ �ô�� �����~$n$ � �����½�����
$$
\sum_{
\scriptstyle y_1+\cdots+y_k=n \atop
\scriptstyle y_1, \ldots, y_k \ge 0
}\prod_{1\le s \le k} {e^{-np_s}(np_s)^{y_s}\over y_s!}={e^{-n}n^n\over n!}.
$$
���� ����������� ����δ���� �������~$Y_1+\cdots+Y_k=n$, � � 
\emph{��°�̽��} �Ǹ°�� ���ǰ��˵ ����Ǹ�� ���������˼�, ¾ �����½���� 
¾��, �¾~$(Y_1,~\ldots, Y_k)=(y_1,~\ldots, y_k)$, �ô�� �����
$$
 \left(\prod_{1\le s\le k} {e^{np_s}(np_s)^{y_s}\over y_s!}\right)
 \bigg/ \left({e^{-n}n^n\over n!}\right),
$$
�¾ ��������� �~(17). \emph{ܾ���, �������µ�̽�, �Ǹ°��, �¾ ���ǰ��˵ 
����Ǹ��~$Y$ ����� ������������� �ð����� � ����������,  � �����²���˼ 
������ǵ����, �¾ �� �ü�� ĸ���������.}

ޱ����Ǹ�
$$
Z_s={Y_s-np_s \over \sqrt{np_s}},\quad
V=Z_1^2+\cdots+Z_k^2.
\eqno(18)
$$
�������~$Y_1+\cdots+Y_k=n$ ����� �������� � ����
$$
\sqrt{p_1}Z_1+\cdots+\sqrt{p_k}Z_k=0.
\eqno(19)
$$
%% 70
��������� $(k-1)\hbox{-������}$ ���������²�~$S$ ���¾���~$(Z_1,~\ldots,  Z_k)$, 
��� ��¾��� �˿���ϵ��� �������~(19). ��� ����ȸ� 
���ǵ����~$n$ ���ǰ��˵ ����Ǹ��~$Z_s$ ��������µ�̽� ������̽� 
(��.~ÿ�.~1.2.10-16), °� �¾ �����½���� �˱��� ¾Ǻ�, 
����������ɵ� ͻ����°����� ������~$dZ_2~\ldots{} dZ_k$ �~$S$ 
\emph{�����������} ������Ƹ����̽�~$\exp(-(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2)$. 
(ؼ���� �¾� ������ � �˲��� �������� � ¾��, �¾ ���µ���~$\chi^2$ 
ϲ�ϵ��� ���� ����������Ƹ��, ������������ ��� ����ȸ�~$n$.) ⵿��� 
�����½���� ¾��, �¾~$V\le v$, �����
$$
{\displaystyle\int_{\scriptstyle (Z_1,\ldots, Z_k)\hbox{ � } S\atop\scriptstyle\hbox{ � } Z_1^2+\cdots+Z_k^2\le v} \exp(-(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2)\,dz_2\ldots dz_k 
\over
\displaystyle\int_{(Z_1,\ldots, Z_k)\hbox{ � } S} \exp(-(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2) \,dz_2\ldots dz_k
}.
\eqno(20)
$$
ⰺ ��� ���������~(19) ���ž��� ǵ��� ��ǰ�� ��������� � $k\hbox{-������}$ 
���������²�, ��µ���������� � �������µ�� ���������� �� ������ �ĵ�� � 
$(k-1)\hbox{-������}$ ���������²� � Ƶ����� � ��ǰ�� ���������. 
��������������� � ����ɵ��˼ ������˼ ��������°� � ��������~$\chi$ � 
ó����~$\omega_1$,~\dots, $\omega_{k-2}$ ľ��û�~(20) ���������� � ����
$$
{\displaystyle\int_{\chi^2 \le v} e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2} f(\omega_1,~\ldots, \omega_{k-2}) \, d\chi\, d\omega_1\ldots d\omega_{k-2}
 \over
 \displaystyle\int e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2} f(\omega_1, \ldots, \omega_{k-2})\, d\chi\, d\omega_1\ldots d\omega_{k-2}
};
$$
�ý�Ƹ�~$f$ ���������� � ÿ�.~15. ��� ��µ���������� �� ó���~$\omega_1$,~\dots,
$\omega_{k-2}$ � Ǹ���µ�� � �������µ�� ��ϲ�ϵ��� �����µ��, �� 
��¾�˹ ����� �����¸��. � ���Ƶ ���ƾ� ����ǰ���� ľ��û�
$$
{\displaystyle\int_0^{\sqrt{v}} e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2}\, d\chi
\over
\displaystyle\int_0^\infty e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2}\,d\chi
},
\eqno(21)
$$
����������� �����°����ɰ� �����½���� ¾��, �¾~$V\le v$.

� �¾� �˲��� ������ ������ǵ� ǵ���~$\chi$, ��� � ��������̽�� ����µ 
߸�����; ���δ� ���µ���~$\chi^2$ � ����Ǹ� ���� ��������. 
߾��°����~$t=\chi^2/2$, ����� �������� ��µ����� ǵ��� �������� 
�����-�ý�Ƹ�, ��¾��� ö� �����̷������� � �.~1.2.11.3:
$$
\lim_{n\to\infty} P\{V\le v\}=\gamma\left({k-1\over 2}, 
{v\over2}\right)\bigg/\Gamma\left({k-1\over 2}\right).
\eqno(22)
$$
ⰺ��� ����������� �������������~$\chi^2$ � $(k-1)$~�µ���ϼ� �������.

%% 71

ߵ������ µ���� � ��-���µ���. � 1933~�.\ �.~�.~ھ�������� ��������� 
���µ���, ��������˹ �� �°¸�¸��
$$
K_n=\sqrt{n}\max_{-\infty<x<+\infty}\abs{F_n(x)-F(x)}=\max(K_n^+, K_n^-).
\eqno(23)
$$
����� �ϴ� ����ĸ��Ƹ� �¾�� ���µ���, ��������� � 1939~�.\ 
�.~�.~Ἰ����˼, �˻� � °, ��¾��� �����̷õ��� � �¾� ����� � ��������� 
�� ������̽�� ��Ǹ������~$K_n^+$ �~$K_n^-$. ��ɵ�²õ� ��ȸ���� 
������²� �����������µ� �¾�� ���µ���, �� µ �� ���, ��¾�˵ 
�����̷���~$K_n^+$ �~$K_n^-$, �������� ô���� ��� ��ȸ���� ���ǵ¾�. 
��ǵ��˲��ɸ� ����� ��µ������ �� ��-���µ��� � ��� ����ɵ��ϼ, ����ǰ� 
��ȸ��˹ ������ ��µ������, ���������� � ����µ ԰������ 
({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 28} (1957), 823--838). 
ఱ�° ����.\ ԰������ ���������ǵ�� �����˼ ������� ��� ���Ƹ����¾� � 
������ �����¸.

������ ǵ� ��ǰ�� ���ǵ��� �������������~$K_n^+$ �~$K_n^-$, �ľ��û��õ� 
������ɵ� �ý�����°�̽�� �²��������. \dfn{����~$X$---���ǰ���� ����Ǹ�� � 
������˲��� �ý�Ƹ�� �������������~$F(x)$, ¾~$F(X)$---���ǰ���� Ǹ���, 
���������� �������������� �����~$0$ �~$1$.} Ի� ������µ���²� �¾�� 
���°¾ǽ� ���������, �¾ ���~$0\le y \le 1$ ��������²�~$F(X)\le y$ 
����������� � �����½�����~$y$. ط ������˲���¸~$F(x)$ ����õ�, 
�¾~$F(x_0)=y$ ��� ������-¾~$x_0$. ߾�¾�� �����½���� ¾��, 
�¾~$F(X)\le y$, ���� �����½���� �˿������� ��������²�~$X\le x_0$. 
߾ ����������� �° �����½���� ����~$F(x_0)$, �.~�.\ �����~$y$.

�����~$Y_j=n F(X_j)$ ���~$1\le j \le n$. ⾳�� ����Ǹ��~$Y_j$ 
������������ ���������� �����~$0$ �~$n$; ��� ����������, �� 
�����ǵ���� ¾��, �¾~$Y_1\le Y_2 \le \ldots \le Y_n$ (�¾ ͺ�������½� 
����������~$X_1\le X_2\le\ldots\le X_n$, ��¾��� ����������� ��� ���ǵ°� 
�� ľ��û�~(13)). ���û�~(13) ����� ���������� µ���� ������ɸ� �������:
$$
K_n^+={1\over \sqrt{n}}\max(1-Y_1, 2-Y_2, \ldots, n-Y_n).
$$
����~$0\le t \le n$, ¾ �����½���� ��������²�~$K_n^+\le t/\sqrt{n}$ ���� 
�����½���� ¾��, �¾~$Y_j\ge j-t$ ���~$1\le j \le n$. ��� 
�����½���� ����ô�� �������� � ���� $n\hbox{-���½���}$ ��µ�����
$$
{\displaystyle
 \int_{\alpha_n}^n\,dY_n \int_{\alpha_{n-1}}^{Y_n}\,dY_{n-1}\ldots \int_{\alpha_1}^{Y_2}\,dY_1 
\over
 \displaystyle
 \int_0^n\,dY_n \int_0^{Y_n}\,dY_{n-1}\ldots \int_0^{Y_2}\,dY_1
}, \rem{��� $\alpha_j=\max(j-t, 0)$.}
\eqno(24)
$$
׽�����µ�� �¾�� ��������� �����~$n^n/n!$. Ե��²�µ�̽�, �ñ,
���������˹ �� ���¾���~$(Y_1, Y_2,~\ldots,  Y_n)$ �~$0\le Y_j<n$, �����
%% 72
�����~$n^n$; ��� ���� ��������� �� $n!$~������ ǰ�µ�, ���²���²��ɸ� 
���� �������˼ ÿ��ϴ�ǵ��ϼ~$Y_j$. ؽµ���� � Ǹ���µ�� ������̺� �������,
�� ��� ����� ����� ��������, �������˼ � ÿ�.~17; � ���û�°µ ����ǰ���� 
��ɰ� ľ��û�
$$
P\left\{ K_n^+\le {t\over \sqrt{n}}\right\}={t\over n^n}\sum_{0\le k \le t}\perm{n}{k}(k-t)^k(t+n-k)^{n-k-1}.
\eqno(25)
$$
������������~$K_n^-$ ¾ǽ� °��� ��. ���û�~(25) �˻� �����˵ ����ǵ�� 
Ѹ����ü�� � ⸽��; �� ����� �����̷����� � ���ǰ��, ��¾�˵ �� �Ų�ǵ�� � 
°��.~2.

� ��������̽�� ����µ Ἰ����� ��������, �¾
$$
\lim_{n\to\infty} P\{K_n^+\le s\}=1-e^{-2s^2} \rem{���~$s \ge 0$.}
\eqno (26)
$$
� ��ǵ°��� � ľ��û��~(25) �¾ ����
$$
\lim_{n\to\infty}{s\over\sqrt{n}}
\sum_{\sqrt{ns}<k\le n}\perm{n}{k}\left({k\over n}-{s\over\sqrt{n}}\right)^k \left({s\over\sqrt{n}}+1-{k\over n}\right)^{n-k-1}=e^{-2s^2}, 
 \rem{$s\ge 0$.}
\eqno(27)
$$
ݾ �������� �¾ ������̽�� ���½�ȵ��� �ǵ�� ��ô��. ݰ������ 
ͻ����°���� ������µ���²� ����������� ��»� 
({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 32} (1961), 499--505). 
޽� �������� �� ������ɵ� ������. � ���û�°µ ����¾���� ò���ǵ��� � 
ü���ȵ���~$\alpha$ �~(24) �������� ���Ƹ��̽˼ ������� 
����ĸƸ������˵ �°¸�¸��, ��� ��¾��� �����½��¸ ��Ǹ������� ¾ǽ�, 
� ��µ� �����˲�����, �¾ ��� ���Ž��, °� � ������ ������� ��������� 
�~$e^{-2s^2}$.

\excercises
\ex[00] ڰ��� ������ �� °����� �������������~$\chi^2$ ���� �����̷����� 
��� ���������, �� ���Ⱥ�� �� ������ ���ǵ���~$V=7{7\over 48}$ �~(5)?

\ex[20] ޿�������� �����½����~$p_s$ ��ϲ����� �ü��~$s$ ���~$2\le s \le 12$ 
��� �������� ���� ���µ�, ���������� ������ɸ� �������: � ����� �� 
���~$1$, � � ��ó��~$6$ �˿����� ����� ����� ǰɵ, ǵ� �α�� ��ó�� ���ǵ���.

\rex[23] ھ�¸, �������˵ � ����˴�ɵ� ÿ��������, ��������� 
144~����. �˻� ����ǵ�� ������ɸ� ���û�°��:
\ctable{
 $#$\hfil\bskip&&\bskip\hfil$#$\bskip\cr
   s & 2 & 3 &  4 &  5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 & 11& 12\cr
 Y_s & 2 & 6 & 10 & 16 & 18 & 32 & 20 & 13 & 16 & 9 &  2\cr
}

�������µ � \emph{�¸�} ���ǵ��ϼ ���µ���~$\chi^2$, ���̷���� 
�����½���ϼ�~(1), �.~�.\ �����������, �¾ ���¸ ������̽˵. ߾������ �� � 
°��� ���ǰ� ���µ���~$\chi^2$ ����������, �¾ ���¸ ��������̽˵? ���� 
���, ¾ �������µ ��ǵ��.

\rex[23] ݰ ����� ���� ��¾� ����Ǹ� ���û�°��~(9) � ͺ��������µ~1,
���¸��� ���¸, ���� �� ��¾��� ������̽��, � �� ��ó�� �˿����� 
¾�̺�~$1$ ���~$6$ � ����˼� �����½���ϼ�. ��Ǹ���µ ��� �¾�� ���ǰ� 
�����½��¸, ��¾�˵ �������~(1), � � ������� ���µ���~$\chi^2$ ��������µ,
���²���²��� �� ���û�°�� ͺ��������° °���� �������²� ���µ�.

%% 73

\ex[22] �����~$F(x)$---����������� �������������, ������������ �� ���.~3,b. 
��Ǹ���µ~$K^+_{20}$ �~$K^-_{20}$ ��� ������ɸ�~20 ͺ��������°�̽�� ���ǵ���:
$$
\matrix{
 0.414, & 0.732, & 0.236, & 0.162, & 0.259, & 0.442, & 0.189, & 0.693, & 0.098, & 0,302, \cr
 0.442, & 0.434, & 0.141, & 0.017, & 0.318, & 0.869, & 0.772, & 0.678, & 0.354, & 0.718. \cr
}
$$
޿������µ � ������� ������� �� �¸� ���� ���µ����, ���²���²��� 
�� ͺ��������°�̽˵ ����˵ ������������ �������������.

\ex[�20] ��������� �ý�Ƹ�~$F_n(x)$, ������������ ľ��û��~(10), 
��� ĸ�����������~$x$. ڰ���� �����½����, �¾~$F_n(x)=s/n$ ��� ��������� 
Ƶ����~$s$? ڰ���� ������� ���ǵ���~$F_n(x)$? ڰ���� ������������¸ǽ�� �º�������?

\ex[�15] ߾����µ, �¾~$K^+_n$ �~$K^-_n$ �� ����� ���� ����ưµ�̽˼�. ڰ����
�������ȵ� ��������� ���ǵ���~$K^+_n$?

\ex[00] � µ��µ �˻ ������ ͺ���������, � ��¾��� � ���û�°µ 
������º� ���������µ�̽��¸ ���ǰ���� Ǹ��� �˻� ����ǵ�� 20~���ǵ��� 
�°¸�¸��~$K^+_{10}$. �¸ ����˵, ����������˵ �� ���.~4, �˻� 
����������� � ������� ��-���µ���. ߾ǵ�� ��� �¾� �����̷������� 
°���ǽ˵ ���ǵ��� ���~$n=20$, � �� ���~$n=10$?

\rex[20] � ��������� � µ��µ ͺ��������µ �� ���ĸ� ���������� 
20~���ǵ���~$K^+_{10}$, ��Ǹ������� � ������� µ�° "�������ȵ� ��~5", 
��¾�˹ ������ϻ�� � ����˼ ǰ��ϼ ���ǰ���� ���������µ�̽��¸. ܾ��� 
�˻� �� ��Ǹ����� °��� ���²���²��ɸ� 20~���ǵ���~$K^-_{10}$; °� ��� 
������������� �°¸�¸�~$K^+_{10}$ �~$K^-_{10}$ ���������, ����� �˻� �� 
���������� ��� 40~���ǵ��� (20~���ǵ���~$K^+_{10}$ � 
20~���ǵ���~$K^-_{10}$ � ��������� � ��� ��-���µ���, ��Ǹ����~$K^+_{40}$ 
�~$K^-_{40}$. ޱ�ô�µ ���¾���²� �¾� ����.

\rex[20] �����������, �¾ ���û�°�� $n$~����°��� ������°�� � 
������� ���µ���~$\chi^2$ � ����ǵ�� ���ǵ���~$V$. װµ� µ �� 
$n$~���û�°¾� �������˲����� �ɵ ��� (����ǰ����, ��µ�²����, ¾ �� 
�����), ����� ǵ�� ����˵ ����� µ�¾� ������������ � ��������������� ��� 
����˹ µ�� � Ǹ���� ����°���~$2n$ (��� �¾� ����Ȱ���� ���������� 
�����������¸ ����°���). ڰ��� ��Ϸ� ������� ����� �¾�˼ � ����˼ ���ǵ����~$V$?

\ex[20] �ȸµ ÿ�.~10, ������� ���µ���~$\chi^2$ �� ���µ��� ��.

\ex[M26] ����� ��� ���������� ���µ���~$\chi^2$ � ���û�°°� 
$n$~����°��� ��������������, �¾ $p_s$---�����½���� ��������� � 
��µ�����~$s$. Ծ���¸�, �¾ � ����²�µ�̽��¸ �����½���� ��������� � 
��µ�����~$s$ �����~$q_s\ne p_s$ (��.~ÿ�.~3). ھ��ǽ�, ����µ�̽�, �¾�� 
���µ���~$\chi^2$ �������� �����ö���, �¾ �������ǰ�̽�� ������������� 
�˻� ������˼. ߾����µ, �¾ ��� ���°¾ǽ� ����ȸ�~$n$ �¾ 
����²�µ�̽� �ô�� �����ö���. Ծ����µ °��� �������ǽ˹ ���û�°� ��� ��-���µ���.

\ex[�24] ߾����µ, �¾ ľ��û�~(13) ͺ�������½� ľ��û�~(11).

\rex[��26] ����� ����Ǹ��~$Z_s$ ������ ����������~(18). ߾����µ 
���������²���� � ������� ľ��û� �µ������, �¾ ����������� 
������ɵ� ������²� ��� ����������̽��� �������������:
$$
n'p_1^{Y_1}\ldots p_k^{Y_k}/Y_1!\ldots Y_k! = 
e^{-V/2}/\sqrt{(2n\pi)^{k-1}p_1\ldots p_k}+O(n^{-k/2}),
$$
���� $Z_1$, $Z_2$,~\dots, $Z_k$ ������ǵ�� ���~$n\to\infty$. (ⰺ�� ���ž� 
������ϵ� ���������� ���µ���~$\chi^2$, ����ȵ �������� �� ����������� � 
������� ����ȵ �˺�����, ǵ� ��� ���ž��, �����̷������� � µ��µ.)

\ex[��24] ޱ�ǽ� ������˵ ���������� � ��ü����� ���������²� �������� 
��������ϼ�~$x=r\cos\theta$ �~$y=r\sin\theta$. ��� ��µ���������� 
�����̷õ��� ������²�~$dx\,dy=r\,dr\,d\theta$. � ��ɵ� ���ǰ� ��� 
$n\hbox{-�������}$ ���������²� ����� ��������
$$
\eqalign{
 x_k &=r\sin\theta_1\ldots\sin\theta_{k-1}\cos\theta_k,\rem{$1\le k <n$,}\cr
 x_n &=r\sin\theta_1\ldots\sin\theta_{n-1}.\cr
}
$$
%% 74
߾����µ, �¾ � �¾� ���ǰ�
$$
 dx_1\,dx_2\,\ldots\,dx_n=\abs{r^{n-1}\sin^{n-2}\theta_1 \ldots \sin\theta_{n-2}\, dr \,d\theta_1\, \ldots \,d\theta_{n-1}}.
$$

\ex[��35] ޱ��ɸµ µ�����~1.2.11.3A °�, �¾�� ���������� ���ǵ���
$$
\gamma(x+1, x+z\sqrt{2x}+y)/\Gamma(x+1)
$$
��� ����ȸ�~$x$ � ĸ�����������~$y$, $z$. ޿��¸µ ǻ���~$O(1/x)$. � 
������� ����ǵ����� ���û�°° �����µ ������������ ��ȵ���~$t$ ���������
$$
\gamma\left({\nu\over 2}, {t\over 2}\right) \bigg/ \Gamma\left({\nu\over 2}\right)=p
$$
��� ����ȸ�~$\nu$ � ĸ�����������~$p$; °��� ������� �ô�� ������� 
���������� �����¾¸ǵ���� ľ��û, ����������� � °��.~1. 
(\emph{㺰�����:} ��.~ÿ�.~1.2.11.3-8.)

\ex[��26] �����~$t$---����¾��� ����²�µ�̽�� Ǹ���, � ����� ���~$0\le k \le n$
$$
P_{nk}(x)=\int_{n-t}^x\,dx_n \int_{n-1-t}^{x_n}\, dx_{n-1} \ldots 
 \int_{k+1-t}^{x_{k+2}}\,dx_{k+1} \int_0^{x_k+1}\, dx_k \ldots 
 \int_0^{x_2}\, dx_1,
$$
�~$P_{00}(x)=1$. Ծ����µ ������ɸ� ���½�ȵ���:
{\medskip\narrower
\item{a)}$\displaystyle 
 P_{nk}(x)=\int_n^{x+t}\, dx_n \int_{n-1}^{x_n}\, dx_{n-1} \ldots 
 \int_{k+1}^{x_{k+2}}\,dx_{k+1} \int_t^{x_k+1}\,dx_k \ldots \int_x^{x_2}\,dx_1;
$
 \hiddenpar
\item{b)}$\displaystyle 
 P_{n0}(x)=(x+t)^n/n!-(x+t)^{n-1}/(n-1)!;
$
 \hiddenpar
\item{c)}$\displaystyle 
 P_{nk}(x)-P_{n(k-1)}(x)={(k-t)^k\over k!}P_{(n-k)0}(x-k) \rem{��� $1\le k \le n$;}
$
 \hiddenpar
\item{d)}����Ǹµ ����� ľ��û� ���~$P_{nk}(x)$ � �����̷ùµ �� ��� �˲��� ľ��û�~(24).
\medskip}

\ex[M20] ԰�µ "����¾�" ����������, ��ǵ�� ������������� ����Ǹ�~$K^+_n$ 
�~$K^-_n$ ���������.

\ex[��48] ష����°�µ ���µ���, ������˵ ���µ��� ھ���������-Ἰ�����, 
��� ����������� �������������~$F(x_1,~\ldots, x_r)=P\{X_1\le x_1,~\ldots, X_r\le x_r\}$. (޽� ����� ������������, ��������, � ��Ϸ� � µ�¾�  
�������� �����, �����������˼ � ������ɵ� �ý�µ.)

\ex[��50] ߾��Ǹµ ���̽����� ��ľ���Ƹ� �� �����¾¸ǵ���� ���ǵ��� 
����Ǹ�� � ����� ǰ�¸ ������²�~(27) ��� ����ȸ�~$n$. [\emph{װ��ǰ���.} 
������ǵ���� ����˵ �����˲���, �¾ �° ����Ǹ�� ����ȵ~$e^{-2s^2}$ ��� 
�α��~$n$, �� ¾ǽ� �¾ �������½�. ᾳ����� ����µ ��»�, ��� ������ 
��ž������ ���-¾ �����~$\exp(-2s^2-(2s+s^3)/\sqrt{n})$ 
�~$\exp(-2s^2+3.83 s^3/\sqrt{n})$. ���������, ���������˵ � °��.~2 ��� 
����ȸ�~$n$, ����ǵ�� ͼ����ǵ��� �� ������ ������ǵ����� ������ ������; 
�˻� �� ������� ����Ǹ�� µ���¸ǵ��� ����� ������˵ ����˵.]

\ex[�40] ���, ��� �˻� ú����� � µ��µ, ���µ��� ھ���������- Ἰ����� 
������ϵ��� � µ� ���ǰ��, ����� �ý�Ƹ� �������������~$F(x)$ ������˲��,
�����, ����ǽ�, ����������� ��Ǹ�����~$K^+_n$ �~$K^-_n$ ��� 
������½�� �������������. �����������ùµ �����½��½�� ���������~$K^+_n$ 
�~$K^-_n$ ��� ������ ¸��� ������½�� �������������~$F(x)$. ������µ 
��ĵ�¸������ °���� µ�° � ���µ���~$\chi^2$  � ������½�� ���ǰ��.

\ex[��42] ޱ�ô�µ �����̷������ "�½�ȵ��� �������ȵ�� �������������" � 
��ǵ�²� ���µ���¸�� ���µ���~$\chi^2$ ��� �������� ���Ǹ��� ���ǰ���� 
Ǹ���; �������µ ͺ����������, �������� �¸ ��� ¸�� �°¸�¸�.

%% 75

\subsubchap{������ǵ���� µ���} %3.3.2
� �¾� �ý�µ �ô�� ������� ������ ¸��� ���Ƹ������������� µ�¾�, 
��¾�˵ ����������� ��� �������� ���ǰ����¸ Ǹ������ ���������µ�̽��µ�. 
޿������ ������� µ�° ���¾�� �� ���� ǰ�µ�: (a)~���º�� �����úƸ� �� 
���������� µ�° � (b)~��������� µ����, ����ɵ� � ������ µ�°. 
(�°µ�� � �����°¾ǽ�� ��µ��¸ǵ���� �����¾���� ����� ��� 
������� ���������� µ���¸ǵ���� ����ö�����. ݰ������, Ǹ°µ�� 
�� ����������� � ��µ��¸�� ����� ����µ�������� ���� �� 
���� �������¾��˵ ����Ǹ, ��������ɸ� �����, ���� ���� �� �� ���������� 
���������� ��������� ���Ǹ��� ���ǰ���� Ǹ���.)

ڰ��˹ µ�� ������ϵ��� � ���������µ�̽��¸ ���ǰ���� Ǹ���
$$
\<U_n>=U_0, U_1, U_2, \ldots\,,
\eqno(1)
$$
��¾�˵ ������ ���� ������������ ���������� ����� �û�� � �����Ƶ�. 
ݵ��¾�˵ µ��� ���������ǵ�� � ������ �ǵ���� ��� �������� Ƶ��Ǹ������� 
���������µ�̽��µ�, � �� ���������µ�̽��µ� ����²�µ�̽�� Ǹ��� 
¸��~(1). � �¾� ���ǰ� �������� ������������ ��������µ�̽�� ���������µ�̽����
$$
\<Y_n>=Y_0, Y_1, Y_2, \ldots\,,
\eqno(2)
$$
��¾��� �������ϵ��� ������ɸ� �������:
$$
Y_n=\floor{d U_n}.
\eqno(3)
$$
�ž��ɸ� � ��� ���������µ�̽���� Ƶ�˵ Ǹ��� ������������ ���������� 
�����~$0$ �~$d-1$, ���� Ǹ���~(1) ������������ ���������� �����~$0$ 
�~$1$. ׽�ǵ���~$d$ ����� ���� �α˼; ��������, �� ��ȸ��, ����°�ɵ� � 
����ǽ�� ���µ��, ����� �˱����~$d=64=2^6$; ¾���~$Y_n$ �ô�� ������������ 
ȵ���� �������� ���Ǹ�˼� ����ϴ��� � ����ǽ�� �����°������~$U_n$. 
�¾�� µ�� �˻ �����°��µ�̽˼, ���ǵ���~$d$ ������ ���� ���°¾ǽ� 
����ȸ�, �� �� ���Ⱥ��, �¾�� ��� �������Ƹ� µ�° �� ��ȸ�� �� 
��������� ����ô�����.

Ҳ�����˵ ����� ������ǵ���~$U_n$, $Y_n$ �~$d$ �ô�� �����̷������� � 
������ ������� ���������½�. ׽�ǵ���~$d$ ����� ���� ����˼ � ������ µ�°�.

\section{A.~�������� �����������¸ (�������� ǰ�¾�)}. ߵ���� ����������, 
�����ϲ�ϵ��� � ���������µ�̽��¸~(1), �����ǰ���� � ¾�, �¾�� 
Ǹ���~$U_n$ �˻� ����²�µ�̽� ���������� ������������ ����� �û�� � 
�����Ƶ�. ��������� ������������� ����� ��ü� ���������: (a)~�~������� 
���µ��� ھ���������---Ἰ�����, ��ϲ~$F(x)=x$ ���~$0\le x \le 1$; 
(b)~�˱���� �����-���ô� ô����� ���ǵ���~$d$, ��������~$100$, �� ��ȸ��,
����°�ɵ� � ����¸ǽ��
%% 76
���µ��, ����~$64$ �~$128$ �� ��ȸ��, ����°�ɵ� � ����ǽ�� ���µ��, 
����� ǵ�� �����̷����� ���������µ�̽����~(2) ����¾~(1). װµ� ��� 
������� Ƶ����~$r$, $0\le r < d$, ����Ǹ°�� Ǹ��� ���ǵ���~$Y_j=r$ 
���~$0 \le j < n$ � ��������� ���µ���~$\chi^2$ �~$k=d$ � �����½���ϼ�~$p_s=1/d$.

ޱ��������� ����� ���ž��� ����� ���¸ � ����˴�ɵ� �������.

\section{B.~�������� �����}. ������ϵ��� ������������� � ������������� ��� 
������ɸ� ��ó �� ��ó�� ���ǰ���� Ǹ���. Ի� �¾�� ����Ǹ�˲�����, 
����̺� ��� �����ǰ���� ������ ����~$(Y_{2j}, Y_{2j+1})=(q, r)$ ���~$0 \le j < n$. 
ҵ��Ǹ��~$q$ �~$m$ ����� ��������� �α˵ ���ǵ��� ��~$0$ ��~$d$. 
װµ� ������ϵ��� ���µ���~$\chi^2$ � Ǹ���� ��µ�����~$k=d^2$ � ����˼� 
�����½���ϼ�~$1/d^2$ �� ���� ��µ������. ׽�ǵ���~$d$ �˱������� �� µ� 
�� �����������, �¾ � � ����˴�ɵ� µ�µ, �� � ������ ���ǰ� ��� ������ 
���� ������̺� ����ȵ, °� ��� ��������� ���µ���~$\chi^2$ ����õ� ��� 
���ǵ����~$n$, ��ɵ�²���� �����Ȱ�ɸ�~$k$ (������, �� ������� ���� 
���~$n>5d^2$).

�ǵ�����, �¾ ����� ����ɸ�� �¾� µ�� �� ������, ǵ²���� �~�.~�.\ 
(��.~ÿ�.~2); ������ ���ǵ���~$d$ ������ ���� ��� �¾� ����� ü���ȵ��, 
�¾�� Ǹ��� ��µ����� �� ����ǰ���� ���Ⱥ�� ����ȸ�. ߾�¾�� ��� 
����������� ǵ����� � ����� ͻ����¾� �����̷����� ����� ¾ǽ˵ µ���, 
°���, ��� "�������ȵ� ��~$t$" ��� �������� �������Ƹ� (��� �ô�� ������� ����).

�¼�¸�, �¾ � �¾� µ�µ � $n$~����°���� �����̷õ��� $2n$~Ǹ��� 
���������µ�̽��¸~(2). �˻� �� �ȸ���� ���°����� � ������ ���ǰ� 
����~$(Y_0, Y_1)$, $(Y_1, Y_2)$,~\dots, $(Y_{n-1}, Y_n)$; ����½� �� 
Ǹ°µ��, ��ǵ��? Ի� ���~$(Y_{2j+1}, Y_{2j+2})$ ����� �˻� �� ���°���� 
���Ƹ��̽˹ µ�� � ��������� ������ ���������µ�̽���� � ������� ����� 
µ�¾�. � ��ó�� �¾����, ��� ������� �ô, 
({\sl Annals af Mathematical Statistics,\/} {\bf 28}, (1957), 262--264), 
����~$d$---����¾� Ǹ���, �����̷����� ����~$(Y_0, Y_1)$, $(Y_1, Y_2)$,~\dots, 
$(Y_{n-1}, Y_n)$ � � ������� ���ǽ��� $\chi^2\hbox{-��¾��}$ ��Ǹ������� ��� 
�°¸�¸��~$V_2$, ���²���²��ɰ� �������� �����, \emph{°� �} �°¸�¸��~$V_1$ 
��� �������� �����������¸~$Y_0$, $Y_1$,~\dots, $Y_{n-1}$ � ����� � µ� �� 
���ǵ����~$d$, ¾ ��� ����ȸ�~$n$ ��������~$V_2-2V_1$ �ô�� ����� 
�������������~$\chi^2$ � $(d-1)^2$~�µ���ϼ� �������, ž��~$V_2$ � ������ 
���ǰ� ����� �������������, \emph{�»�ǽ��} �� �������������~$\chi^2$ � 
$d^2-1$~�µ���ϼ� �������.

\section{C.~�������� ��µ������}. � �¾� µ�µ ������ϵ��� ����� 
��µ������ ����� ��ϲ����ϼ� ���ǵ���~$U_j$, ����������ɸ� ����¾���� 
��������� �������. ����~$\alpha$ �~$\beta$---��� ����²�µ�̽�� Ǹ���, 
���ǵ�~$0\le\alpha<\beta\le 1$, ¾ ����Ǹ�˲����� ����� 
���������µ�̽��µ�~$U_j$, $U_{j+1}$,~\dots, $U_{j+r}$, � ��¾��� 
¾�̺�~$U_{j+r}$
%% 77
����� �����~$\alpha$ �~$\beta$. (ⰺ�� ���������µ�̽���� �� 
$r+1$~Ǹ��� �������ϵ� ��µ���� �����~$r$.)

\alg G.(��Ǹ������ ���� ��µ������.) ỵ���ɸ� ������¼ ������ϵ� 
���������� Ǹ��� ��µ������ �����~$0$, $1$,~\dots, $t-1$ � ������ Ǹ��� 
��µ������ ����ȵ� �����~($\ge t$) � ���������µ�̽��¸~(1). ��ǵ� 
������������ �� µ� ���, ���� �� �ô�� ���������������� ����� $n$~��µ������.
\picture{
 ��~ 6. ൰����Ƹ� �������� ��µ������ (������˵ ������¼� ����������� � ��� 
 �������Ƹ� µ�¾� ������µ�� �ÿ���� � �������� �� ����¾������).
}

\st[ݰǰ�̽�� ��°�����.] ��°������~$j\asg -1$, $s\asg 0$, � 
°���~$|COUNT|[r]\asg 0$ ���~$0\le r \le t$.

\st[$r=0$.] ��°������~$r\asg0$.

\st[$\alpha \le U_j < \beta$?] 㲵��Ǹ��~$j$ ��~$1$. ����~$U_j\ge\alpha$ 
�~$U_j<\beta$, �����¸ ��~\stp{5}.

\st[㲵��Ǹ��~$r$.] 㲵��Ǹ��~$r$ �� �������, ��µ� ��������� ��~\stp{3}.

\st[൳�����Ƹ� ����� ��µ�����.] (ޱ���ö�� ��µ���� �����~$r$.) 
���~$r\ge t$ ���������~$1$ �~$|COUNT|[t]$, � ���¸���� ���ǰ� 
���������~$1$ �~$|COUNT|[r]$.

\st[ޱ���ö��� $n$~��µ������?] ���������~$1$ �~$s$. ����~$s<n$, ��������� ��~\stp{2}.
\algend

߾��� �˿������� �¾�� ������¼� $k=t+1$~���ǵ��� $|COUNT|[0]$, 
$|COUNT|[1]$,~\dots, $|COUNT|[t]$ �������˲����� � ������� 
���µ���~$\chi^2$ � �����̷������� ������ɸ� ���ǵ��� �����½��µ�:
$$
p_0=p, \quad p_1=p(1-p), \quad p_2=p(1-p)^2, \quad \ldots, \quad p_{t-1}=p(1-p)^{t-1}, \quad p_t=p(1-p)^t. 
\eqno (4)
$$
״��� $p=\beta-\alpha$~����� �����½��¸ ¾��, �¾~$\alpha\le U_j<\beta$.  
׽�ǵ���~$n$ �~$t$ ���ǽ� �˱������� °��� �������, �¾�� 
������� ���ǵ���~$|COUNT|[r]$ �˻� �� ����ȵ~5.

��¾ �������� ����~$\alpha=0$, ����~$\beta=1$, �¾�� ÿ���¸��
Ȱ�~G3 ���������� ������¼�. ��½˵ 
���ǰ�~$(\alpha, \beta)=\left(0, {1\over 2} \right)$ 
%% 78
���~$\left({1\over 2}, 1\right)$ ������ ���˲��� ��������� �º������� �� 
�������� ���� ��� �����.

���û�~(4) ��� �����½��µ� �˲������ �����; �� ������°��ϵ� Ǹ°µ�� 
����������� ��������� �¾ �����¾�µ�̽�.
�¼�¸�, �¾ � ����������� ����� ������¼� ��Ǹ������� ����� ��������� 
Ǹ��� $n$~\emph{��µ������}; ���������µ�̽���� ��� �¾� ����� ����Ǹ���� 
��������̽�� �����. ܾ���, �������� ĸ��������� ����� ������ϵ��� 
���������µ�̽��¸ (��.~ÿ�.~5).

\section{D.~߾���-µ�� (�������� �������Ƹ�)}. � "������ǵ����" 
�����-µ�µ ��������������� $n$~��ÿ� �� ��¸ ������ɸ� ��ó �� ��ó�� 
Ƶ��� Ǹ���~$(Y_{5j}, Y_{5j+1}$,~\dots, $Y_{5j+4})$, $0\le j < n$. 
�˴������� ������ɸ� 7~¸��� �������Ƹ�:
\ctable{
 \hfil$#$\bskip&\bskip#\hfil\cr
 abcde & (��� ����˵),\cr
 aabcd & (���� ����),\cr
 aabbc & (��� ����),\cr
 aaabc & (��� ������ ����),\cr
 aaabb & (����˹ ����),\cr
 aaaab & (ǵ���� ������ ����),\cr
 aaaaa & (���� ������ ����).\cr
}
� ������� ���µ���~$\chi^2$ ������ϵ���, ���²���²��� �� 
ǰ�¾�� �������Ƹ� �����½���ϼ.

Ի� �����ǵ��� ���������������� ����µ�̽� ������̺� ÿ���¸�� �¾� µ��. 
���ȸ� ������������ ����� ��ö��� ����ǵ� ����ǵ�²� ����������ɸ� Ǹ��� 
� ������ ��µ��� ���� ��µ����� ��� �¾� ����� ��¸:
$$
\eqalign{
\hbox{5 ������}&=\hbox{��� ����˵;}\cr
\hbox{4 ������}&=\hbox{���� ����;}\cr
\hbox{3 ������}&=\hbox{��� ����, ��� ��� ������ ����;}\cr
\hbox{2 ������}&=\hbox{����˹ ���� ��� ǵ���� ������ ����;}\cr
\hbox{��� ������} &= \hbox{���� ������ ����.}\cr
}
$$
��� ��� �¾� ���¸ �� ��ôȰ����, � ������¼ ��ɵ�²���� ÿ��ɰ����.

� ��ɵ� ���ǰ� ����� ����������� $n$~��ÿ� ��~$k$ ������ɸ� ����ϴ Ǹ��� � 
����Ǹ�˲��� Ǹ��� ��ÿ�, � ��¾��� ������� $r$~������ Ǹ���. װµ� 
��������� ���µ���~$\chi^2$ � �����½���ϼ�
$$
p_r={d(d-1)\ldots(d-r+1) \over d^k} \Stir{k}{r}.
\eqno(5)
$$
(���� �¸������~$\Stir{k}{r}$ �˻� ���������� � �.~1.2.6; °� 
�� ��������� ľ��û�, �� ��¾�˼ �� ����� ���Ǹ°��.) ⰺ ��� ���~$r=1$ 
���~$2$ �����½����~$p_r$ �ǵ�� ����, �¸ ��µ����� ����� ����������.

%% 79
����������� ��ȵ ľ��û� ���~$p_r$ ����ǰ���� ������ɸ� �������. 
��Ǹ��ϵ���, ����̺� ��ÿ� �� $k$~Ǹ���, ������ �� ��¾��� ����� ��������� 
���ǵ��� ��~$0$ ��~$d-1$, �������� $r$~������ ͻ����¾�. װµ� ���û�°�� 
������� ��~$d^k$---��ɵ� ����ǵ�²� �����ǽ�� ��ÿ�. ⰺ ��� 
$d(d-1)\ldots(d-r+1)$~���� Ǹ��� �����ɵ��� �� $d$~ͻ����¾� ��~$r$, 
��°���� ¾�̺� ��������, �¾~$\Stir{k}{r}$---Ǹ��� ��������, ��¾�˼� 
����� ������������
$k$~ͻ����¾� �� $r$~��µ����ϼ. ޺��ǰµ�̽� ľ��û�~(5) �˲������ � 
������� ���û�°¾� ÿ�.~1.2.6-64.

\section{E.~��� ������µ�� �ÿ����}. �¾� µ�� � ¾�̺� �¾ 
�������˹ ��Ϸ��� ����� ����� �������� °� ��, ��� µ��� �������� 
��µ������ � �������� ǰ�¾�. �����̷õ��� ���������µ�̽����~$Y_0$, 
$Y_1$,~\dots{} � ������������ ����� ������¾�~$Y_{j+1}$, $Y_{j+2}$,~\dots, 
$Y_{j+r}$, ����ž����� ��� ¾��, �¾�� ������� "����˹ �����" Ƶ��� Ǹ��� 
��~$0$ ��~$d-1$. �¾ ����� ������� � ������� ������ɵ�� ������¼�.

\alg C.(൰����Ƹ� µ�° ������µ�� �ÿ����.) Ի� �������� 
���������µ�̽��¸ Ƶ��� Ǹ���~$Y_0$, $Y_1$,~\dots{} ($0\le Y_j<d$) �¾� 
������¼ �������ϵ� �����~$n$ ���������µ�̽�� ������¾� �� ¾�̺� �¾ 
�ľ��û���������� �������. ߾ ����ǰ��� ������ ������¼� �~$|COUNT|[r]$ 
���~$0\le r < t$ ��ž����� Ǹ��� ������¾� �����~$r$, � 
�~$|COUNT|[t]$---Ǹ��� ������¾� �����~$\ge t$.

\st[ݰǰ�̽�� ��°�����.] ��°������~$j\asg -1$, $s\asg 0$, � 
°���~$|COUNT|[r]\asg 0$ ���~$0\le r \le t$. 

\st[$q, r=0$.] ��°������~$q\asg r \asg 0$, � °���~$|OCCURS|[k]\asg 0$ 
���~$0\le k < d$. 

\st[ỵ���ɵ� ����°���.] 㲵��Ǹ��~$r$ �~$j$ ��~$1$. 
����~$|OCCURS|[Y_j]\ne0$, ���¾���� �¸ �����Ƹ�.

\st[߾��˹ �����?] ��°������~$|OCCURS|[Y_j]\asg 1$, $q\asg q+1$.
(ݰ ����˹ ������ �����ö��� $q$~������ ���ǵ���. ����~$q=d$, �¾ ���Ǹ�, 
�¾ ����ǵ� ����˹ �����.) ���~$q<d$ �����¸ ��~\stp{3}.

\st[൳�����Ƹ� ����� ������°.] ���~$r\ge t$ ���������~$1$ �~$|COUNT|[t]$,
� ���¸���� ���ǰ� ���������~$1$ �~$|COUNT|[r]$.

\st[ޱ���ö��� $n$~������¾�?] ���������~$1$ �~$s$. ����~$s<n$, 
��������� ��~\stp{2}.
\algend

������ �����̷������ �¾�� ������¼� �������� � ÿ�.~7. ܾ��� �����°���� 
����, �¾ ���� ���� � ����Ǹ��, �������ɵ� $d$~¸��� �ÿ����. ߾ ������ 
�ÿ��� ���������� � ������ ÿ������ � ��ȵ� ��� ��������, ���ǵ� 
������������ ��� ���ǰ��˼ �������. ܰ��Ǹ� ��� ���� �� µ� ���, ���� �� 
������� ����˹ �������� �ÿ����.

%% 80

ᾴ������� �ǵ�Ǹ���~$|COUNT|[d]$,  $|COUNT|[d+1]$,~\dots, $|COUNT|[t]$ 
�������˲����� � ������� ���µ���~$\chi^2$ �~$k=t-d+1$~�µ���ϼ� ������� 
����� ¾��, ��� ������¼~C �����ȸ� ������. ι²���²��ɸ� �����½��¸ �����:
$$
p_r={d!\over d^r}\Stir{r-1}{d-1}, 
\qquad d\le r<t, 
\qquad p_t=1-{d!\over d^{t-1}}\Stir{t-1}{d}.
\eqno(6)
$$
Ի� �˲��� �¸� ľ��û ���°¾ǽ� ����¸��, �¾, ��������~(5), �����½���� 
¾��, �¾ ������� �����~$r$ \emph{������˹,} �.~�.\ �������� �� ��� �� 
��������� $d$~���ǵ���, �����
$$
q_r=1-{d!\over d^r}\Stir{r}{d}.
$$
⾳�� ľ��û�~(6) ����ǰ���� ���������²���� �� 
���½�ȵ���~$p_r=q_{r-1}-q_r$, $d\le r < t$ �~$p_t=q_{t-1}$.

���û�, ��������ɸ� � ��Ϸ� � �����ǽ˼� \emph{����ɵ��ϼ�} �¾�� µ�°, 
����������� � ÿ�.~9 �~10, � °��� � ����µ �.~ľ�~赻����� 
({\sl AMM,\/} {\bf 61} (1954), 306--311).

\section{F.~�������� �����°�����}. ష����� ��ž���� ���������µ�̽���� 
�� $n$~��ÿ� �� $t$~ͻ����¾� � ������: 
$(U_{jt}$, $U_{jt+1}$,~\dots, $U_{jt+t-1})$, $0\le j < n$. � ������ ��ÿ�� 
�������� ����� $t!$~������¾� �½���µ�̽��� ������������ Ǹ���. 
߾��Ǹ�˲�����, ����̺� ��� �����ǰ���� ������ ������½�� �½���µ�̽�� 
������������, ����� ǵ�� ������ϵ��� 
���µ���~$\chi^2$ �~$k=t!$ � �����½���ϼ�~$1/t!$ ݰ������, ���~$t=3$ 
Ǹ��� ��µ����� ����� ȵ�¸: $U_{3j}<U_{3j+1}<U_{3j+2}$ 
���~$U_{3j}<U_{3j+2}<U_{3j+1}$ ���~\dots{} ���~$U_{3j+2}<U_{3j+1}<U_{3j}$. 
��� �¾� ��������������, �¾ ¾ǽ�� ������²� ���� Ǹ��� ����������: 
����²�µ�̽�, �����½���� °���� ����¸� ����� �û�.

��� �������Ƹ� �¾�� µ�° �� ��ȸ�� ô���� ������̷������� ������ɸ� 
������¼��, ��¾�˹ ��µ����� � ��� �� ����.

\alg P.(н���� �����°�����.) �α��� ������ ����������ɸ� 
ͻ����¾�~$(U_1,~\ldots, U_t)$ �°����� � ���²���²�� Ƶ��Ǹ������� 
�ý�Ƹ�~$f(U_1,~\ldots, U_t)$, °���, �¾
$$
0\le f(U_1, \ldots, U_t)<t!
$$
�~$f(U_1,~\ldots, U_t)=f(V_1,~\ldots, V_t)$ � ¾� � ¾�̺� ¾� ���ǰ�,
����� ͻ������ �~$(U_1,~\ldots, U_t)$ �~$(V_1,~\dots, V_t)$ ����������� � 
���������� ���ϴ��. � ��������� �����̷õ��� ��������µ�̽�� 
°���ư~$C[1]$,~\dots, $C[t]$.

\st[ݰǰ�̽�� ��°�����.] ��°������~$r\asg t$. 

\st[޿�������� ������ü.] ޿�������� ��������̽�� �� 
���ǵ���~$\set{U_1,~\ldots, U_r}$. Ծ���¸� �¾~$U_s$. װµ� 
��°������~$C[r]\asg s-1$.
%% 81
\st[װ����.] ҷ������������~$U_r\xchg U_s$.

\st[㼵��ȵ���~$r$.] ��ǵ��� ��~$r$ �������. ����~$r>0$, ��������� ��~\stp{2}.

\st[��Ǹ������~$f$.] ������� ���ǵ��� �ý�Ƹ� ���������� �� ľ��û�
$$
\eqalignno{
f&=C[t]+tC[t-1]+t(t-1)C[t-2]+\cdots+t!C[1]=\cr
 &=(\ldots((C[1]\times2+C[2])\times3+C[3])\times4+\cdots+C[t-1])\times t+C[t]. \endmark & (7)\cr
}
$$
\algend

л����¼ �������� °��� �������, �¾
$$
0\le C[r]<r
\eqno(8)
$$
(��.~Ȱ�~P2) �, � ǰ�½��¸, $C[1]$ ������ ����� �û�. ⰺ ��� 
$C[r]$~����� ��������� $r$~�����ǽ�� ���ǵ���, ��ɵ� 
����ǵ�²� �����������µ� °�����~$C$ �����~$t!$. ط ľ��û~(7) �~(8) 
����� ������, �¾~$0\le f < t!$. � ����� ������ ������¼� 
����Ǹ��~$(U_1,~\ldots, U_t)$ �ô�� ����°����� � ���ϴ�� ������°���.

Ի� ������µ���²� ¾��, �¾ ���û�°�~$f$, ����ǵ��˹ � ������� 
������¼�~P, Ű���µ���õ� �����²���˼ ������� ���ϴ�� ���������� Ǹ��� 
� ��ž���� ���������µ�̽��¸~$(U_1,~\ldots, U_t)$, �������, �¾ �¾� 
������¼ ����� �����̷����� ��� ��ȵ��� ����½�� ����Ǹ. ����� ������ 
����¾��� ���ǵ���~$f$ �~$t$ ͻ����¾�~$(U_1,~\ldots, U_t)$, 
���ǵ�~$0\le f<t!$ �~$U_1<U_2<\ldots<U_t$. ��°�����~$C[t]\asg f \bmod t$, 
$C[t-1]\asg \floor{f/t}\bmod(t-1)$, $C[t-2]\asg \floor{\floor{f/t}/(t-1)}\bmod (t-2)$ 
�~�.~�., �˿�����, °��� �������, Ȱ�~P5 � ����½�� ���ϴ��. װµ� 
���������� ������~$U_1\xchg U_{C[1]+1}$, $U_2\xchg U_{C[2]+1}$,~\dots, 
$U_t\xchg U_{C[f]+1}$ � ú������� ���ϴ��. ۵��� ������, �¾ ��� �¾� 
������������� �������²�� �˿������� Ȱ��� P1--P4. �� İ��, �¾ 
���ǵ���~$f$ ������ϵ� ����°������ ��ž��˹ ���ϴ�� ���������µ�̽��¸, 
�����˲��� ������̽���� ������¼�~P.

\section{G. �������� �� ����¾������}. �¾� µ�� ��ϲ�ϵ� "��ñ˲����" � 
"��������°���", �.~�.\ ������������� ����� \emph{����¾����} 
������������µ�̽��µ� Ǹ��� � ��ž���� ���������µ�̽��¸.

� ��ǵ�²� ������� ���������� ���������µ�̽���� �� 
10~Ƹ�� "$1298536704$"; �¼�ǰ� ���¸���̽˼� ����ϼ� ��ǰ�� � 
����� ���������µ�̽��¸, � °��� ��� ���°, ���~$X_j>X_{j+1}$, ����Ǹ�
$$
\vert 1\, 2\, 9 \vert 8 \vert 5 \vert 3\, 6\, 7 \vert 0\, 4 \vert.
\eqno (9)
$$
״��� �˴����� ��� ��ñ˲��ɸ� ������������µ�̽��¸: ������ �����~3, 
��µ� ��� ��~1, �ɵ ���� �����~3 � ��µ�~2. л����¼ � ÿ�.~12 �����˲���, 
��� °�û������� ����� °��� ��������.
%% 82
� �»�Ǹ� �� µ�° ������µ�� �ÿ���� ��� �������� ��µ������ (��¾�˵ 
�� ������ �½�ȵ���� ��ž�� �� �¾� µ��) � ������ ���ǰ� \emph{�� ����õ� 
��������� ���µ���~$\chi^2$ ��� ������� ����ǵ���� ������,} °� ��� ��� 
\emph{�� ϲ������} ���������˼�. ߾��� �������� ������� ǰɵ ��ϲ�ϵ��� 
����º�� � ��������. ط-�� ������²�� �����������¸ ��ϼ�� ���������� 
���µ���~$\chi^2$ �°������� ��������˼. Ҽ��¾ �¾��, ����� ����������� 
���� �������� � ������� ������¼�, ���������� � ÿ�.~12, ��Ǹ��ϵ��� �°¸�¸��
$$
V={1\over n}\sum_{1\le i, j \le 6} 
(|COUNT|[i]-nb_i)(|COUNT|[j]-nb_j)a_{ij},
\eqno(10)
$$
��� ����ĸƸ����~$a_{ij}$ �~$b_i$ °����:
$$
\eqalign{
\pmatrix{
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16}\cr
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26}\cr
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36}\cr
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & a_{46}\cr
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & a_{56}\cr
a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66}\cr
}&=
\pmatrix{
 4529.4 & 9044.9 & 13568 &  18091 &  22615 &  27892\cr
 9044.9 &  18097 & 27139 &  36187 &  45234 &  55789\cr
  13568 &  27139 & 40721 &  54281 &  67852 &  83685\cr
  18091 &  36187 & 54281 &  72414 &  90470 &  11580\cr
  22615 &  45234 & 67852 &  90470 & 113262 & 139476\cr
  27892 &  55789 & 83685 & 111580 & 139476 & 172860\cr
},\cr
\pmatrix{
 b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & b_5 & b_6 \cr
} &=
\pmatrix{
 1\over 6 & 5\over 24 & 11\over 120 & 19 \over 720 & 29 \over 5040 & 1\over 840}.\cr
}
\eqno(11)
$$
(״��� ��������� ����������˵ ���ǵ��� ����ĸƸ��¾�; ¾ǽ˵ ���ǵ��� 
����� ��Ǹ����� �� ���������˼ ���� ľ��û��.) \emph{�°¸�¸��~$V$ �~(10) 
������ ����� ��� ����ȸ�~$n$ �������������~$\chi^2$ � ȵ���� {\rm (� �� 
�����)} �µ���ϼ� �������.} ׽�ǵ���~$n$ ������ ���� �����, ������, $4000$ 
��� ����ȵ. н�����ǽ˹ µ�� ������ϵ��� ��� ��������°�ɸ� ��������.

Ծ���̽� ����¾� � ����� ����¸ǽ˹ ������ �������� �� ����¾������ 
�������� � ÿ�.~14, �� �� Ǹ�¾ ��µ��¸ǵ���� ����������� �������� �ô�� 
��������� �¾� ���̼� �����˹ µ��.

�����ÿ�� � �˲��� ľ��û ��� ����. ����� ��� ������ �����°����� �� 
$n$~ͻ����¾� $Z_{pi}=1$, ���� � ����Ƹ�~$i$ ��Ǹ������ ������°�ɸ� 
������� � ������ �� �����~$p$, �~$Z_{pi}=0$ � ���¸���� ���ǰ�. � 
��ǵ�²� ������� ���������� ���������µ�̽����~(9) �~$n=10$. � ������ ���ǰ�
$$
Z_{11}=Z_{21}=Z_{31}=Z_{14}=Z_{15}=Z_{16}=Z_{26}=Z_{36}=Z_{19}=Z_{29}=1,
$$
� ��� ��°�̽˵~$Z$ �����~$0$. ⾳��
$$
R'_p=Z_{p1}+Z_{p2}+\cdots+Z_{pn}
\eqno(12
$$
%% 83
���� Ǹ��� �������� ����� �� �����~$p$, �
$$
R_p=R'_p-R'_{p+1}
\eqno(13)
$$
���� Ǹ��� ��������, ����� ��¾��� � ¾ǽ��¸ �����~$p$. ݰ� �ö�� 
��Ǹ����� ������� ���ǵ���~$R_p$, � °��� \dfn{�������Ƹ�}%
\note{1}{�� ��°��ϵ� ������ǵ��� ��¾�� ��� ��������, �������Ƹ� � �.~�.,
 ������ �������� 1-�� ¾�� (��.~�.~1.2.10).---{\sl ����. �����.\/}}
$$
\covar (R_p, R_q)=\mean ((R_p-\mean (R_p)) (R_q-\mean (R_q))),
$$
��¾��� ��ö�� ����� ���������������¸~$R_p$ �~$R_q$. ���������� ���� 
��������� �� ���� �������˼ $n!$~�����°������.

���û�~(12) �~(13) �����˲���, �¾ �����˵ ����Ǹ�� ����� �������� ǵ��� 
������� ���ǵ���~$Z_{pi}$ �~$Z_{pi}Z_{qj}$, ���¾�� � ��ǵ�²� ������� 
Ȱ�� ����ȵ� ������ɸ� ���½�ȵ��� (� �������������, �¾~$i<j$):
$$
\eqalign{
{1\over n!}\sum Z_{pi}&=\cases{
  (p+\delta_{i1})/(p+1)! & ���~$i\le n-p+1$;\cr
                       0 & � ���¸���� ���ǰ�;\cr
 }\cr
{1\over n!}\sum Z_{pi}Z_{qj}&=\cases{
                       (p+\delta_{i1})q/(p+1)!(q+1)! & ��� $i+p<j\le n-q+1$;\cr
 (p+\delta_{i1})/(p+1)!q!-(p+q+\delta_{i1})/(p+q+1)! & ���~$i+p=j\le n-q+1$;\cr 
                                                   0 & � ���¸���� ���ǰ�.\cr
 }
}
\eqno(14)
$$
�ü��������� ���������� ����� �� ���� �������˼ �����°������. �¾�� 
��������, ��� �˲������ �¸ ľ��û�, ���������� ���˹ �����˹ ���ǰ�, 
�����~$i+p=j\le n-q+1$ �~$i>1$. �¼�¸�, �¾~$Z_{pi}Z_{qj}$ ����� 
����~$0$, ����~$1$, °� �¾ �ü��������� �������� � ¾��, �¾�� 
�����Ǹ°�� ��� �����°�����~$U_1$, $U_2$,~\dots, $U_n$, � 
��¾���~$Z_{pi}=Z_{qj}=0$, � ������
$$
U_{i-1}>U_i<\ldots<U_{i+p-1}>U_{i+p}<\ldots<U_{i+p+q-1}.
\eqno(15)
$$
���� °��� �����°����� ����� ���������� � ������� ������ɸ� 
�����������: ��ɵ�²õ� $\perm{n}{p+1+q}$~�������� �˱��� ͻ����¾� 
���������µ�̽��¸, ú������� �~(15); �������
$$
(p+q+1)\perm{p+q}{p}-\perm{p+q+1}{p+1}-\perm{p+q+1}{1}+1
\eqno(16)
$$
%% 84
�������� ������������ �� � ���ϴ��, ú������� �~(15), (��.~ÿ�.~13) 
�~$(n-p-q-1)!$~�������� ������������ ��°�̽��
ͻ����¾�. ⰺ�� �������, ���� ü������~(16) 
��~$\perm{n}{p+q+1}\times(n-p-q-1)!$ � ����� ������� ��~$n!$ ����ǰ���� 
�����˹ ���û�°�.

ط ���½�ȵ���~(14) � ���û�°µ �����̽� ���������� �������������� 
����� ����Ǹ��
$$
\eqalignno{
\mean (R'_p)&=\mean (Z_{p1}+\cdots+Z_{pn})=\cr 
&=(n+1)p/(p+1)!-(p-1)/p!, \rem{$1\le p\le n$;} & (17)\cr
}
$$
$$
\eqalignno{
\covar(R'_pR_q) &=\mean(R'_pR'_q)-\mean (R'_p)\mean (R'_q)=\cr
&=\sum_{1\le i, j \le n} {1\over n!} \sum Z_{pi} Z_{pj}-\mean(R'_p)\mean(R'_q)=\cr
&=\cases{
\mean(R'_t)+f(p, q, n) & ��� $p+q\le n$;\cr
\mean(R'_t)-\mean(R'_p)\mean(R'_q) & ��� $p+q>n$;\cr
} & (18) \cr
}
$$
��� $t=\max(p,q)$, $s=p+q$ �
$$
\eqalignno{
f(p, q, n) &= (n+1)\left({s(1-pq)+pq\over (p+1)!(q+1)!}-{2s\over (s+1)!}\right)+\cr
           &+2\left({s-1\over s!}\right)+{(s^2-s-2)pq-s^2-p^2q^2+1\over (p+1)!(q+1)!}. &(19)\cr
}
$$
ھ��ǽ�, ���̷������� °��� �����˼ ���������� ��� �������Ƹ� �ǵ�� 
��ô����, �� ��ó��� ��ž�� ���. � ������� �¸� ľ��û ����� ��Ǹ�����
$$
\eqalign{
\mean(R_p)&=\mean(R'_p)-\mean(R'_{p+1}),\cr
\covar (R_p, R'_q)&=\covar(R'_p, R'_q)-\covar(R'_{p+1}, R'_q),\cr 
\covar(R_p, R_q)&=\covar(R_p, R'_q)-\covar(R_p, R'_{q+1}).\cr
}
\eqno(20)
$$
� ����µ Զ.~Ҿ��ľ��ư ({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 15} 
(1944), 163--165) ��������, �¾ ���~$n\to\infty$ 
������������� ����Ǹ�~$R_1$, $R_2$,~\dots, $R_{t-1}$, $R'_t$ ��������� � 
������̽��� �� ������� ���ǵ���� � �������Ƹ��, ���������˼� ��ȵ. ���δ� 
����õ�, �¾ ����� ���̷������� °��� µ�¾�. Ի� ������ 
���������µ�̽��¸ �� $n$~���ǰ���� Ǹ��� 
��Ǹ��ϵ���~$R_p$---Ǹ��� ����¾���� �������� �����~$p$, ���~$1\le p < t$, 
� °���~$R'_t$---Ǹ��� �������� �����~$\ge t$. Ҳ���� ������ǵ���
$$
\eqalign{
Q_1&=R_1-\mean(R_1), \ldots, Q_{t-1}=R_{t-1}-\mean(R_{t-1}),\cr
Q_t&=R'_t-\mean(R'_t).\cr
}
\eqno(21)
$$
%% 85
ޱ���õ� ������� �������Ƹ�~$C$, ������ǰ�, ��������, $C_{13}=\covar(R_1, R_3)$, 
¾��� ���~$C_{1t}=\covar(R_1, R'_t)$. ���~$t=6$ ����Ǹ�
$$
\eqalign{
C&= nC_1+C_2=\cr
 &= n\pmatrix{
   23 \over    180 &     -7 \over     360 &     -5 \over      336 &    -433 \over     60480 &      -13 \over        5670 &     -121 \over      181440 \cr
   -7 \over    360 &   2843 \over   20160 &   -989 \over    20160 &   -7159 \over    362880 &   -10019 \over     1814400 &    -1303 \over      907200 \cr
   -5 \over    336 &   -989 \over   20160 &  54563 \over   907200 &  -21311 \over   1814400 &   -62369 \over    19958400 &    -7783 \over     9979200 \cr
 -433 \over  60480 &  -7159 \over  362880 & -21311 \over  1814400 &  886657 \over  39916800 &  -257699 \over   239500800 &   -62611 \over   239500800 \cr
  -13 \over   5670 & -10019 \over 1814400 & -62369 \over 19958400 & -257699 \over 239500800 & 29874811 \over  5448643200 & -1407179 \over 21794572800 \cr
 -121 \over 181440 &  -1303 \over  907200 &  -7783 \over  9979200 &  -62611 \over 239500800 & -1407179 \over 21794572800 &  2134697 \over  1816214400 \cr
}+\cr
&+\pmatrix{
  83 \over 180   &   -29 \over    180 &    -11 \over      210 &     -41 \over     12096 &         91 \over       25920 &         41 \over       18144 \cr
 -29 \over 180   &  -305 \over   4032 &    319 \over    20160 &    2557 \over     72576 &      10177 \over      604800 &        413 \over       64800 \cr
 -11 \over 210   &   319 \over  20160 & -58747 \over   907200 &   19703 \over    604800 &     239471 \over    19958400 &      39517 \over     9979200 \cr
 -41 \over 12096 &  2557 \over  72576 &  19703 \over   604800 & -220837 \over   4435200 &    1196401 \over   239599800 &     360989 \over   239500800 \cr
  91 \over 25920 & 10177 \over 604800 & 239471 \over 19958400 & 1196401 \over 239500800 & -139126639 \over  7264857600 &    4577641 \over 10897286400 \cr
  41 \over 18144 &   413 \over  64800 &  39517 \over  9979200 &  360989 \over 239500800 &    4577641 \over 10897286400 & -122953057 \over 21794572800 \cr
}.\cr
}
\eqno(22)
$$
���~$n\ge 14$. װµ� ������ �������~$A=(a_{ij})$, ����½�� �����Ƶ~$C$,
� ��Ǹ����~$\sum_{1\le i,j \le t} Q_i Q_j a_{ij}$. ��� ����ȸ�~$n$ 
���û�°� ����� �������������~$\chi^2$ �~$t$~�µ���ϼ� �������.

����������� ����� �����ư~(11)---���û�°� ����ɵ��� �������~$C_1$, 
�����°������� � ����� ���ǰɸ�� Ƹ�����. ��� ����ȸ�~$n$ �����ư~$A$ 
�ô�� ����������� �����~$(1/n)C_1^{-1}$. Ե������ ����º� �������� 
ͻ������ �������, ����½�� �~$C_1$ ��� ��Ƹ����̽˵ Ǹ���, �� �¾ 
��������� � ���Ⱥ�� ����ȸ� ����Ǹ��� ö� ���~$t=4$. � ǰ�½�� ���ǰ� 
���~$n=1000$ ͻ������ �������~(11) ��������� �������� ��~1\% ���� ¾ǽ�� 
���ǵ���, ����ǵ���� � ���û�°µ ����ɵ��� �������~(22). �°����½˹ 
��¾� ����ɵ��� ������ ������ � �.~2.2.6, ÿ�.~18.

%%86

\section{H.~��� "�������ȵ� ��~$t$"}. 
�����~$V_j=\max(U_{tj}, U_{tj+1},~\ldots, U_{tj+t-1})$ ���~$0\le j < n$. 
�������� ���µ��� ھ���������-Ἰ����� � 
���������µ�̽��¸~$V_0$, $V_1$,~\dots, $V_{n-1}$, 
�������� � ��ǵ�²� µ���¸ǵ���� �ý�Ƹ� �������������~$F(x)=x^t$, 
($0\le x \le 1$). ܾ��� ����¾ �¾�� ��������� �� ������������� 
���������µ�̽����~$V_0^t$, $V_1^t$,~\dots, $V_{n-1}^t$.

Ի� ����������� �¾�� µ�° ���°¾ǽ� ��������, �¾ $V_j$~������������ 
� ���²���²�� �~$F(x)=x^t$. ҵ���½���� ¾��, 
�¾~$\max(U_1, U_2,~\ldots, U_t)\le x$, ����� �����½��¸ ¾��, 
�¾~$U_1\le x$ \emph{�}~$U_2\le x$ \emph{�}~\dots{} \emph{�}~$U_t\le x$; 
�������µ�̽�, ��� ����� ������������ �������ð�̽�� 
�����½��µ�~$x\cdot x \cdot \ldots \cdot x = x^t$.

\section{I.~߾�������µ�̽�� �������Ƹ�}. ��Ǹ���� �°¸�¸��
$$
C={n(U_0U_1+\cdots+U_{n-2}U_{n-1}+U_{n-1}U_0)-(U_0+\cdots+U_{n-1})^2
\over n(U_0^2+\cdots+U_{n-1}^2)-(U_0+\cdots+U_{n-1})^2}.
\eqno(23)
$$
�¾ "����ĸƸ��� ���������µ�̽�� �������Ƹ�", ��¾�˹ ��ö�� ����� 
���������¸~$U_{j+1}$ ��~$U_j$. ��� �ǵ�� ����ȸ�~$n$ ��ɵ�²õ� ��¾�, 
��������ɸ� ����� ü���ȸ�� �����, ��¾��� ���¸��� �� ���ǵ�~$C$ 
(L.~P.~Schmid, {\sl CACM,\/} {\bf 8} (1965), 115).

ھ��ĸƸ���� �������Ƹ� ǰ�¾ ÿ����������� � �°¸�¸��. ���� ������� ��� 
������ ����Ǹ�~$U_0$, $U_1$,~\dots, $U_{n-1}$ �~$V_0$, $V_1$,~\dots, 
$V_{n-1}$, ¾ ����ĸƸ��� �������Ƹ� ����� ���� �������ϵ��� ������ɸ� �������:
$$
C={n\sum(U_j V_j)-(\sum U_j)(\sum V_j) \over
\sqrt{(n\sum U_j^2 - (\sum U_j)^2) (n\sum V_j^2 - (\sum V_j)^2)}}.
\eqno(24)
$$
�ü��������� � �¾� ľ��û� ���������� �� ����~$j$ � ��µ�����~$0\le j < n$. 
���û�~(23) ����ǰ���� � ǰ�½�� ���ǰ�~$V_j=U_{(j+1)\bmod n}$. 
[\emph{װ��ǰ���.} ׽�����µ�� ���������~(24) ����� �û� 
���~$U_0=U_1=\cdots=U_{n-1}$ ���~$V_0=V_1=\cdots=V_{n-1}$; �� �����ǰ�� 
�¾� ���ǰ� �� ������������.)

ھ��ĸƸ��� �������Ƹ� ������ ����� �����~$-1$ �~$+1$. ھ��� �� ����� �û� 
��� �ǵ�� ���, �¾ ��ö�� ú������� �� ������������� ����Ǹ�~$U_j$ �~$V_j$,
� ����� �� �����~$\pm 1$, �¸ ����Ǹ�� ��Ϸ��� ��ó � ��ó�� �������� 
������������, �.~�.\ ��� �α���~$j$ ����������� ������²�~$V_j=m \pm aU_j$ 
��� ����¾��� ���¾Ͻ���~$a$ �~$m$ (��.~ÿ�.~17).

ⰺ�� �������, ����µ�̽�, �¾�� ���ǵ���~$C$, ������������ ľ��û��~(23), 
�˻� ������ � �û�. � ����²�µ�̽��¸, ��-�� ¾��, �¾~$U_0U_1$ 
�~$U_1U_2$, ����ǽ�, �� ϲ������ ���������˼�, ����ĸƸ��� 
���������µ�̽�� �������Ƹ� �� ������ ���� � \emph{¾ǽ��¸} ����� �û� 
(��.~ÿ�.~18). "���ȸ�" ����� �Ǹ°�� ���ǵ���~$C$, ����ɵ� 
�����~$\mu_n-2\sigma_n$ �~$\mu_n+2\sigma_n$, ���
$$
\mu_n={-1\over (n-1)}, \quad 
\sigma_n={1\over n-1}\sqrt{n(n-3)\over n+1}, \rem{$n>2$.}
\eqno(25)
$$
%% 87
׽�ǵ���~$C$ ������ ��ž������ � �¸� �������� � 95\% ���� ���ǰ��.

���û�~(25) ���� ����� ����������µ�̽˹ Ű���µ�, °� ��� ¾ǽ�� 
�������������~$C$ � ¾� ���ǰ�, ����� $U$~������������ ����������, 
�������½�. ��ǰ� ������̽��� ������������� ����Ǹ�~$U$ ���������� � 
����µ �.~Ը����� ({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 15} 
(1944), 119--144). ޿�� �����˲���, �¾ �����̷������ ľ��û ��� 
��µ��¸ǵ����� �������� � ������������¸ǽ��� �º�������, 
���²���²��ɸ� ������̽��� �������������, �.~�.~ľ��û~(25), �� 
�������� � ����Ⱦ� �ȸ���. ط���½�, 
�¾~$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\sigma_n=1$; ��.~°��� �°��� н������� � 
㾺��� ({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 35} (1964), 1296--1303), 
� ��¾��� ����ǵ�� ����� ��ɸ� ���û�°�� � ���������µ�̽�� 
�������Ƹ� � \emph{���������} ���������µ�̽�����.

\section{J.~�������� ������������µ�̽��µ�}. ݵ����� ���Ƚ�� ��������� 
�������� °�, �¾ �� ����õ��� ����˹ ��� ����¾��� ������������ 
����ǵ�²� ���ǰ���� Ǹ���. ݰ������, ���� � ��������� ���� ��� ���ǰ��˵ 
����Ǹ��~$X$, $Y$ �~$Z$, ��� ����������� �� ���ǵ��� ����˹ ��� �ö�� 
�ô�� ������������ ��� ���ǰ���� Ǹ���. Ի� °��� ���������� �����, �¾�� 
���ǰ���� �˻� �α�� ���������µ�̽����, ����ǵ���� � ���û�°µ 
�˱��� ������� \emph{����̵��} Ǹ��� ��ž���� ���������µ�̽��¸. 
���� ��������� �����ȸ���� ����˹ ��� $q$~Ǹ���, ¾ � ������� µ�¾�, 
��������� ��ȵ, ����� ��������� �� ��ž���� ���������µ�̽����~$U_0$, 
$U_1$, $U_2$,~\dots, � � �´��̽��¸ ������ �� ������������µ�̽��µ�
$$
U_0, U_q, U_{2q}, \ldots; \quad 
U_1, U_{q+1}, U_{2q+1}, \ldots; \quad 
\ldots; \quad 
U_{q-1}, U_{2q-1},\ldots\,.
\eqno(26)
$$

޿�� �����˲���, �¾ ��� �����̷������ ��������� ������ͽ½��� ��¾�� 
Ű���µ���¸�� °��� ������������µ�̽��µ� ����¸ǵ��� ������� �� �˲��� 
�ö�, ǵ� � ��ž���� ���������µ�̽��¸, ����� ���ǰ��, �����~$q$ � 
Ǹ���, �����̷õ��� � ��ǵ�²� ���û�, �������� ���°¾ǽ� ����Ⱦ� ��ɸ� 
�����µ��. ⰺ, �� ��ȸ��� � ����ǽ�� ���ļ�¸��� ��� �����̷������ 
���ǵ���~$m$, ������ ������� �����, �� ����~$q<16$ ���˵ ���Ÿ� ���û�°�� 
����ǰ���� ���~$q=8$; �� ��ȸ��� � ����¸ǽ�� ���ļ�¸��� ����� ������� 
��ô����²���µ�̽�� ���û�°¾� ���~$q=10$. (�¾ ����� ��������� 
��ǰ�¸, ��ž�� �� ����¸� ��ɽ��¸ ���������µ�̽��¸, °� ��� °��� 
���ǵ���~$q$ �ô��, ����ɵ ������, �������� �� ��ɽ����.)

\section{K.~װ��ǰ��� ��¾��ǵ����� Ű���µ�� � ���̽��ȵ� ���ö�����}.
�°¸�¸ǵ���� ���µ��� ��������� ��µ�²���˼ ������� � ���Ƶ���
%% 88
���ǽ�� ������, ����� ��ϲ�ϻ��� ����ž������� "�������" ��� 
"�²�������" �����-���� ����µ��, ���������� ͺ��������°�̽�� ������. 
���ȸ�� ����� �����, �����ɵ���� �������� �� ���ǰ������ ������²����� 
���������µ�̽��µ� Ǹ���, ϲ������ ��� �°�̸ �.~ڵ������ 
�~�.~�ͱ���¾�-Ἰ° [{\sl Journal of the Royal Statistical Society,\/} 
{\bf 101} (1938), 147--166, � ���������� � �¾�� �������, {\bf 6} (1939), 51--61]. 
� �¸� ����°� ������� �������� ���ǰ���� Ƹ�� ��~$0$ ��~$9$, 
� �� ����²�µ�̽�� ���ǰ���� Ǹ���; ��� �¾� Ƶ�� ���������� �������� 
ǰ�¾�, �����, ��µ������, � °��� �����-µ�� (ž�� �������� 
����� ������������ �������). ڵ����� � �ͱ���¾�-Ἰ� �����̷����� °��� 
������������� µ�° ������µ�� �ÿ����, �� � ¾� ����, ��¾�˹ ������ � 
������ �����, �¾� µ�� �˻ ��������� �����ô�� � 1955~�.

��� �������� ����¾����¸ ����� �����̽� ��µ������ ��¾���. 
ߵ�����ǰ�̽� � ��� ���������������� ������������ ����� �������� ��� � 
������°�ɸ��, °� � ñ˲��ɸ�� Ǹ����� (�¸ ������� ǵ��������). ỵ�õ� 
�¼�¸��, �¾ �¾� µ��, °� �� ��� �������� �����°�����, �� ����õ�, 
�¾�� ���ǵ���~$U$ �˻� ������������ ����������; ����õ��� ¾�̺�, �¾�� 
�����½���� ¾��, �¾~$U_i=U_j$, ����ϻ��� �û� ���~$i\ne j$, °� �¾ 
�¸ µ��� ����� ��������� � ������ ¸��� ���ǰ���� ���������µ�̽��µ�. 
� �����¸���� ľ��� �¾� µ�� �����˵ �˻ ��������� � ����µ 
[J.~Bienaynie, {\sl Comptes Rendus,\/} {\bf 81} (Paris: Acad.\  Sciences, 1875), 417--423]. 
޺��� 60~��� ������ ڵ��ͺ � ܰ�-ڵ����� �������� ��� 
����ȸ� ������, �����ɵ��˵ �¾�� ������� [{\sl Proc.\ Royal Society 
Edinburgh,\/} {\bf 57} (1937), 228--240, 332--376]. � ��ǵ�²� ������� � 
��� �������� � ������� �������� �� ����¾������, �¾ ��������� ����ǵ�²� 
������� � ��������� � ������ �~1785~�.\ ��~1930~�.\ ������ 
���ǰ��˹ Ű���µ� (ž�� ��� ����������� ¾�̺� ������� � 
�°����½˵ �º������� �������� ����¾����¸). � µ� ��� �¾� µ�� 
�������ǵ��� �����̷������ �� ����¸��, �� ¾�̺� �~1944~�.\ 
�˻� ��������, �¾ ��������� ��� � ��ǵ°��� � ���µ����~$\chi^2$ 
���̷�. � ����µ ۵���� � Ҿ��ľ��ư [{\sl Annals of Mathematical 
Statistics,\/} {\bf 15} (1944), 58--69] �˻� ��������� ������̽�� 
ľ��û������ µ�° (� ǵ�����ɸ���� ��������� ������°��� � ñ˲����) 
� ú����� �ȸ��ǽ���� ��� �������ǰ�̽�� ľ��û������. Ұ����� µ�°, 
��������˹ � ������ �����, ����� ������������� ����� �������� ��� ¾�̺� � 
������°����, ��� ¾�̺� � ñ˲�����, �������� ô���� ��� �������Ƹ� �� 
��Ǹ���µ�̽�� ��ȸ��, ���¾�� ľ��û� ��� ��ó�� ������¾� �� 
���������� (��.~����� Barton~D.~E., Mallows~�.~L., {\sl Annals of Math.\ 
Statistics,\/} {\bf 36}  (1965), 236--260].

ط ���� ��������� ����� µ�¾� �������� ǰ�¾� � �������� ���������µ�̽�� 
�������Ƹ�---���˵ ����˵, � ¾� ������, �¾
%% 89
��� ����°��� � ������� �¸� µ�¾� ���¸ ��� ���Ǹ�� ���ǰ���� Ǹ��� 
���� ô����²���µ�̽˵ ���û�°��. Һ���Ƶ µ���¸ǵ���� ����������� 
�¾�� �ô�� ���� �~\S~3.5 (��.~ÿ�.~3.5-26). � ������µ�̽� ���̽˼ µ�°� 
�½������ �������� �� ����¾������: ���û�°�� ÿ�.~3.3.3-23, 24 
�����˲���, �¾ ��� �����°¾ǽ� ����ȸ� ���ǵ����~$m$ ���������µ�̽��¸,
����ǵ��˵ � ������� ��������� ������ͽ½��� ��¾��, ����� ����ȵ���� 
����� �������� ����¾����¸, °� �¾ �¾� µ�� ����������� �������.

ҵ���½�, � Ǹ°µ�� ��������� ������: \emph{"װǵ� °� ����� µ�¾�?".} 
ܾ��� ��������� ���ǰ»����, �¾ �� ����°��� ���Ǹ��� ���ǰ���� Ǹ��� 
���¸��� ����ȵ ��ȸ����� "�������, ǵ� �� ������º� ���ǰ���� Ǹ��� � 
���Ƶ��� ��ȵ��� ���������� �����! �¾ �������, ž�� ���ǰ� ����������� 
ò��ǵ��� ���������� ��������.

ݵ��ž������� ���°¾ǽ� �������������� ������ µ�¾� ��������½� 
�¼�ǰ���� � ��µ������. � ǰ�½��¸, ú��˲�����, �¾ ���������µ�̽��¸, 
����ǵ��˵ � ������� ����¾��� �����������µ� ��¾�� �������� ������°, 
ž��Ⱦ ���ž��� �������� ǰ�¾�, ��µ������, �������Ƹ�, �� ����˲����� 
�����ȵ��� ������˼� ��� �������� �����. ط���½�, �¾ ���Ǹ��, 
��������˵ �� �������� ������ͽ½�� ��¾��, ô����²����� ��� 
����� ���ǵ����~$m$ ������ µ�°�, �� �� ô����²����� �������� 
�� ����¾������, °� ��� ���� ���Ⱥ�� ���� �������� �����ǽ�� �����. ��� 
"�������ȵ� ��~$t$" °��� ������ϵ� ��ϲ��� ���Ÿ� ���Ǹ��, ��¾�˵ �� 
���� ��ó�� ¾ǵ� ������ ����� ���� ������ ���������.

ҵ���½�, �������� ���Ǹ��, �� ��¾��� ����ž���� ����¾������ �������� 
���Ǹ���, �����ǰ���� � ������ɵ�. ���� �¾-¾ ���̷õ��� �ö�� ���Ǹ��� 
���ǰ���� Ǹ���, ¾ ��� �α�� �������ü���� �� �ô�� ������ �¾� ���Ǹ�, � 
�� ���� ���������. �ö��, �¾�� ��¾� ���Ǹ�� ��� \emph{��������,} �¾ 
���ǰ��˵ Ǹ��� ô����²����� ���� ���������ϼ. � ��ó�� �¾����, ���� 
�� ��ȵµ ���Ǹ� ��� ����, � �� ��� ��ɵ�� ���̷������, ����� �� ���¸�� 
��� �� ��� ��������; �� ��Ϻ�� ���ǰ�, ���� �� ������ ����� �����-���� �� 
������¼��, ��������������� � �¾� �����, � ����Ⱦ� �����½����� �¾� 
���Ǹ� �ô�� ������ ô����²���µ�̽˼.

\excercises

\ex[10] ߾ǵ�� ��� �������� ����� (��.~�.~�) ����õ� �����̷����� 
����~$(Y_0, Y_1)$ $(Y_2, Y_3)$,~\dots, $(Y_{2n-2}, Y_{2n-1})$, � ��~$(Y_0, Y_1)$, 
$(Y_1, Y_2)$,~\dots, $(Y_{n-1}, Y_n)$? 

\ex[10] ߾����µ, ��� ����ɸ�� �������� ����� � ��� �� ������, ǵ²���� �~�.~�.

\rex[�20] Ế�̺� � ������� ������õ��� ��������� ���ǵ���~$U$ ��� 
�������� ��µ������ (������¼~G), ������ ǵ� �ô�� �����ö��� $n$~��µ������,
%% 90
� �������������, �¾ ���������µ�̽���� ����²�µ�̽� ���ǰ����? ڰ���� 
�°����½�� �º������� �¾� ����Ǹ��?

\ex[12] ߾����µ, �¾ ��� �������� ��µ������ ������� ���̷������� �����½���ϼ�~(4).

\ex[M23] ��� "������ǵ����" �������� ��µ������,  ��������� ڵ������� � 
�ͱ���¾�-Ἰ¾�, $N$~���ǵ���~$U$, �������ɸ� ��������, �����̷����� ��� 
���������� Ƹ���ǵ���� ���������µ�̽��¸, � ��¾��� $U_{N+j}$~���������  
�~$U_j$. ���� $n$~Ǹ��� ��~$U_0$,~\dots, $U_{N-1}$ �������� � 
��µ����~$\alpha\le U_j < \beta$, ¾ � Ƹ���ǵ���� ���������µ�̽��¸ 
������� $n$~��µ������. �����~$Z_r$---Ǹ��� ��µ������ �����~$r$, 
����~$0\le r<t$, �~$Z_t$---Ǹ��� ��µ������ �����~$\ge t$. ߾����µ, �¾ 
����Ǹ��~$V=\sum_{0\le r\le t} (Z_r-np_r)^2 \Big/ np_r$ ������ ����� 
���~$N\to\infty$ �������������~$\chi^2$ � $t$~�µ���ϼ� �������, ��� 
$p_r$~���������� ����������~(4).

\ex[40](X.~Ӹ������) н���� ǰ�¾� ��ϲ����� �����ǽ�� Ƹ�� � ����¸ǽ�� 
�����°������ Ǹ���~$e=2.71828\ldots$ ���� ��� ������ 2000~Ƹ�� 
���ǵ���~$\chi^2=1.06$. �¾ ú��˲��� �� ¾, �¾ ǰ�¾�� ����� ���Ǹµ�̽� 
����� � ������� ���ǵ��ϼ, ����˼~$200$, ǵ� ����� �˻� �� ������� ��� 
���ǰ����  ������������� (�����½���� ���ǵ���~$\chi^2\ge 1.15$ 
�����~$99.9\%$). ���� ��������� ¾� �� µ�� � ����˼ $10\,000$~Ƹ����, 
����ǰ���� ���ü��� ���ǵ���~$\chi^2=8.61$; �� İ�� �¾�� ������̽��� 
������������� ������ 2000~Ƹ�� ��°���� ô���µ�̽˼. ���������� �� ¾ �� 
����� ��� �����°������~$e$ � ���µ�� �Ǹ������ � ��ó�� ����������? 
(�.~{\sl AMM,\/} {\bf 72} (1965), 483--500.)

\ex[08] �������µ�������� µ�° ������µ�� �ÿ���� (������¼~C) ���~$d=3$ 
�~$n=7$ ��������� ���������µ�̽����: $1101221022120202001212201010201121$.
 ڰ���� ����� ���� ������������µ�̽��µ�?

% ex. 8
\rex[M22] Ế�̺� � ������� ���� ��������� ���ǵ���~$U$  � µ�µ 
������µ�� �ÿ���� (������¼~C) ��� ����ǵ��� $n$~������ �������, ���� 
���������µ�̽���� ���ǰ����?  ޿������µ °��� �°����½�� �º������� 
�¾� ����Ǹ��. (\emph{㺰�����:} ��.\  ľ��û�~1.2.9-28.)

% ex. 9
\ex[M21] ޱ��ɸµ µ�� ������µ�� �ÿ���� °�, �¾�� ���̽��ȸ� ����� 
������ɰ��� ����� ¾��, ��� ������� $w$~�����ǽ�� ���ǵ���, ���~$w\le 
d$---������µ�̽�� Ƶ��� Ǹ���. ڰ��� �����½��¸ ���� �����̷����� � �¾� 
���ǰ� ����¾~(6).

\ex[M23] �˿����µ ÿ�.~8 ��� ����ɵ����� µ�° ������µ�� �ÿ����, 

\ex[00] � �����°������~(9) ��� ������½�� ���������µ�̽��¸ �¼�ǵ�� 
������°�ɸ� �������; ������ ñ˲��ɸ� ������� ��� ¾� �� ���������µ�̽��¸?

\ex[22] װ���� $n$~�����ǽ�� Ǹ���~$U_0$, $U_1$,~\dots, $U_{n-1}$. 
װ��ȸµ ������¼, ��¾�˹ �������ϵ� ����� ���� �������� ������°��� � 
�¾� ���������µ�̽��¸. � ���û�°µ ������ ������¼� �~$|COUNT|[r]$ 
���~$1\le r \le 5$  ������ ��ž������ Ǹ��� �������� �����~$r$, � 
�~$|COUNT|[6]$---Ǹ��� �������� �����~$6$ ��� �����.

\ex[M23] ߾����µ, �¾~(16) ���� Ǹ��� �����°����� ¸��~(15) 
��~$p+q+1$~�����ǽ�� ͻ����¾�.

\ex[M15] ���� �� �ô�� "�˱���˲���" ͻ�����, ���������²���� ������ɸ� �� 
�������� ����¾����¸, °� �¾ � ���ǰ�~$X_j>X_{j+1}$ �ǵ������ ������� 
����¾����¸ ��ǽ���� �~$X_{j+2}$, ¾ ����� °��� �������� �ô�� 
���������˼� � ����� �ô�� ������̷������� ���ǽ˼ ���µ����~$\chi^2$ 
(����¾ ���̼� �������� ��¾��, ������������ � µ��µ). ڰ���� ������ ���� 
���²���²��ɸ� �����½��¸ ���� �������� ����¾����¸ ��� �¾�� 
ÿ��ɵ����� µ�°?

\ex[M20] ߾ǵ�� ���ǵ���~$V_0^t$, $V_1^t$,~\dots, $V_{n-1}^t$ � µ�µ 
"�������ȵ� ��~$t$" ������ ���� ������������ ���������� ����� �û�� � �����Ƶ�?

\rex[15] (a)~����� ����õ��� ��������� ��Ǹ������ ��� µ�° "�������ȵ� 
��~$t$" ��� ������ ���ǵ����~$t$. 
ޱ����Ǹ�~$Z_{jt}=\max (U_j, U_{j+1},~\ldots, U_{j+t-1})$. ��ô��� ��Ȼ��˹ 
�����ö�� �����ü�˹ ������ ����ž�� �� ���������µ�̽��¸~$Z_{0(t-1)}$,
%% 91
$Z_{1(t-1)}$,~\dots{} � 
���������µ�̽��¸~$Z_{0t}$, $Z_{1t}$,~\dots, ������ɸ� �������̽�� 
��Ǹ������. ߾����ùµ ���¸ �¾� ������.

(b)~޽ �� ��ȸ� �������� ��¾� "�������ȵ� ��~$t$" °�, 
�¾��~$V_j=\max(U_j,~\ldots, U_{j+t-1})$; ��ó��� �������, $V_j=Z_{jt}$, 
� 
%% ?? Z_{(t_j)t}
��~$V_j=Z_{(tj)t}$, ��� ú����� � µ��µ. ��� �¾� �� ����ö��� °�: 
\emph{���} ������ ����� ���������� �������������, ���¾�� µ�� ������ 
�°�� ¾�̺� ���̽��, ���� �����̷����� ���~$Z_{jt}$, $0\le j <n$, � �� 
���� �� ������ $t$~���ǵ���. ޴���� ��� �������� �����������¸ 
���ǵ���~$V_j^t$ ����Ǹ���� ������ ������� ���ǵ��� �°¸�¸��~$V$, ���ǵ� 
��� ò���ǵ���~$t$ ��� �°�������� �ɵ ����ȵ. ڰ� �¾ ����� ����Ǹ����?

\ex[�25]{(a)~װ���� ��������̽˵ Ǹ���~$X_1$,~\dots, $X_n$, $Y_1$,~\dots, 
$Y_n$, ���ǵ�
$$
\bar x = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} X_k, \qquad
\bar y = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} Y_k.
$$
ޱ����Ǹ�~$X'_k=X_k-\bar x$, $Y'_k=Y_k-\bar y$. ߾����µ, �¾ ����ĸƸ��� 
�������Ƹ�~$C$, ��Ǹ�����˹ �� ľ��û�~(24), �����
$$
\sum_{1\le k \le n} X'_k Y'_k \bigg/ \sqrt{\sum_{1\le k \le n} {X'_k}^2} 
\sqrt{\sum_{1\le k \le n}{Y'_k}^2}.
$$
 \hiddenpar
(b)~�����~$C=N/D$, ���~$N$ �~$D$---Ǹ���µ�� � �������µ�� ¾�̺� �¾ 
������������ ���������. ߾����µ, �¾~$N^2\le D^2$, �.~�.~$-1\le C \le +1$; 
����Ǹµ ľ��û� ��� ������¸~$D^2-N^2$. (\emph{㺰�����:} ��.~ÿ�.~1.2.3-30.)
 \hiddenpar
(c)~߾����µ, �¾ ���~$C=\pm1$ ���~$1\le k \le n$ ����� ���¸ °��� 
���¾Ͻ�˵~$a$, $b$, $m$ �� ��� ����˵ �û�, �¾~$a X_k+b Y_k=m$.
}

\ex[�20] (a)~߾����µ, �¾ ���~$n=2$ ����ĸƸ��� 
���������µ�̽�� �������Ƹ�~(23) \emph{������} �����~$-1$ (���� 
�������µ�� �� ����� �û�). (b)~߾����µ, �¾ ���~$n=3$ ����ĸƸ��� 
���������µ�̽�� �������Ƹ� ������ �����~$-{1\over2}$. (c)~߾����µ, �¾ 
�������µ�� �~(23) ����� �û� ¾��� � ¾�̺�
¾���, �����~$U_0=U_1=\cdots=U_{n-1}$.

\ex[�40] 絼� ����� ������� ���ǵ��� � �°����½�� �º������� 
����ĸƸ��° ���������µ�̽�� �������Ƹ�~(23), �����~$n=4$, � 
���ǵ���~$U$ ���������� � ������������ ���������� ����� �û�� � �����Ƶ�?

\ex[�50] ޿������µ ������������� ����ĸƸ��° ���������µ�̽�� 
�������Ƹ�~(23) ��� ��������̽��~$n$, �����������, �¾ ���ǰ��˵ 
����Ǹ��~$U_j$ ���������� � ������������ ���������� ����� �û�� � �����Ƶ�.

\ex[19] ڰ��� ���ǵ���~$f$ ���� ������¼~P ��� 
�����°�����~$(1, 2, 9, 8, 5, 3, 6, 7, 0, 4)$?

\ex[18] Ի� ����� �����°����� ������ Ƶ��� 
Ǹ���~$\set{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ������¼~P ���� ���ǵ���~$f=1024$?

\subsubchap{*⵾��¸ǵ���� µ���} %3.3.3
��� �α�� ���Ǹ� ���ǰ���� Ǹ��� ����� ��������� � ������� ��¾���, 
��������� � ����˴�ɵ� �ý�µ, ������� ���ȵ ����� "\dfn{�������˵} µ���",
�.~�.\ µ���¸ǵ���� ���û�°��, ��¾�˵ ��������� ������� �������, 
����� �ô�� ��ž� ����°��� ���Ǹ��. ⰺ��� ���� µ���¸ǵ���� ���û�°�� 
��������� ���Ǹµ�̽� ��ñ�� ������ ������� ���������� ���ǰ���� Ǹ���, 
ǵ� ͼ����ǵ���� ����˵, ����ǵ��˵ ��¾��� "���� � �ȸ���". ״��� �ô�� 
����� ��°�̽� ���ǵ�� ������˵ ������ͽ½˵ ���������µ�̽��¸;
%% 92
����, ������ ������ ���� ���ǰ��˵ Ǹ��� �ɵ
�� �� ������º�, �� ����� ����ȵ ������� ������̽� �˱���� ���ǵ���~$a$, 
$m$ �~$c$.

߾������� µ���� ��������� ������ͽ½��� ��¾�� �ǵ�� ��ô��, ž�� 
������������ ����ž� � �¾� �����¸ ���¸�� ô�����. ߾��ǵ��˵ �� ��� 
��� ���û�°�� �½������ �����˼ ������� � \emph{�°¸�¸ǵ����� ������� 
���������µ�̽��¸ �� ������ �������.} � °��� ���°����� ����ǰ ����� 
����� �� ��� ���� µ�¾�; ��������, ��� �������� �����������¸ 
������������� �� ���� ������� �ô�� ����ǰ���� ���Ⱥ�� ž��ȸ� 
���û�°��. ޴���� �������� �����, ��µ������, �����°����� �~�.~�.\ 
����� ����Ƚ� ��������� � �� ������ �������.

Ի� ��ǰ�� ������� ����¾� \emph{���������} �²��������, �����ɵ��� 
�������� �������� ������° �������� �����°����� ���� ��ȵ� ������ µ����� 
���¾�� � ¾�, �¾ ���� ���Ǹ� �������� ������� ��ɽ�����, ¾ �������� � 
�������� ���ǰ�� �ô�� �˿�������� ��������²�~$X_{n+1}<X_n$.

\proclaim ⵾����~P. �����~$X_0$, $a$, $c$ �~$m$ ���������� �������� 
������ͽ½�� ���������µ�̽���� � ��������̽˼ ��������; �����~$b=a-1$, 
a~$d$---�������ȸ� ��ɸ� ����µ��~$m$ �~$b$. ⾳�� �����½���� ¾��, 
�¾~$X_{n+1}<X_n$, �����~${1\over2}+r$, ���
$$
r=(2(c \bmod d)-d)/2m;
$$
�������µ�̽�, $\abs{r}<d/2m$.

�Ž���, ��¾��� �����̷õ��� ��� ������µ���²� �¾� µ�����, ��µ����� 
� ���� �� ����. ݰǽ�� � ¾��, �¾ ������
$$
s(x)=(ax+c)\bmod m.
\eqno(1)
$$
⾳��~$X_{n+1}=s(X_n)$ � ����õ��� ����Ǹ°�� Ǹ��� °��� Ƶ���~$x$,
�¾~$0\le x < m$ �~$s(x)<x$ (°� ��� ������ °��� Ǹ��� �����ǰ����, 
���-¾ � �������� �������). �� ž¸� ��������, �¾ �¾ Ǹ��� �����
$$
{1\over2}(m+2(c \bmod d)-d).
\eqno(2)
$$
���~$a=1$ µ����� �����������: ����� ������, �¾ � �¾� ���ǰ� $s(x)<x$ 
¾�̺� ���~$x+c\ge m$, � �¾ ����� ���¾ $c$~���.

\proclaim ۵���~A. �����~$\alpha$ u~$\beta$---����²�µ�̽˵ Ǹ���, 
�~$n$---Ƶ��� Ǹ���. � �¾� ���ǰ� 
$$
\eqalignno{
 &\alpha < n \le \beta \rem{¾��� � ¾�̺� ¾���, �����~$\floor{\alpha}<n\le\floor{\beta}$;} & (3)\cr
 &\alpha\le n < \beta  \rem{¾��� � ¾�̺� ¾���, �����~$\ceil{\alpha}\le n <\ceil{\beta}$.} & (4)\cr
}
$$

�¸ ľ��û� ������� ���������²���� �� ����������� "��¾���" � "����"; ��.~ÿ�.~1.2.4-3.\endmark
%% 93

Ի� �α��� Ƶ����~$x$,  $0\le x < m$,  ���������~$k(x)=\floor{(ax+c)/m}$; 
¾���~$s(x)=ax+c-k(x)m$ �~$k(x)\le(ax+c)/m$, �ºô� ����õ�, �¾ 
��������²�~$s(x)<x$ ͺ�������½�
$$
(k(x)m-c)/a \le x < (k(x)m-c)/b.
\eqno(5)
$$
԰���, �¸ ��������²� �����²���˼ ������� ����������~$k(x)$, ������̺� 
�� ��� ��µ���� ��������²�
$$
{ax+c\over m}\le k(x) < {bx+c\over m} < {ax+c\over m}+1.
$$

� ���²���²�� � ������~A ����� �²�������, �¾~$s(x)<x$ �~$0\le x <m$ 
¾��� � ¾�̺� ¾���, ����� �˿������ ���� �� �����������ǰ�ɸ� �������:
$$
\eqalignno{
 \hbox{(i)~} & \ceil{(km-c)/a}\le x < \ceil{(km-c)/b} \rem{��� ������-����~$k$, $0<k<a$;} & (6) \cr
\hbox{(ii)~} & \ceil{m-c/a} \le x < m. \cr
}
$$

���� °��� Ƶ���~$x$ �����
$$
m+\sum_{0<k\le b} \ceil{(km-c)/b}-\sum_{0<k\le a}\ceil{(km-c)/a}.
\eqno(7)
$$
⵾���� �ô�� ��������, ���� �� �������, �¾~(7) �����~(2). �ü�� � 
���������~(7) ����� ��Ǹ����� °�, ��� ������� � ÿ�.~1.2.4-37; �� 
������̷õ��� ��ó�� ��¾���, �¾�� ������������������ �ɵ ���� ������ 
��ȵ��� ����� °���� ¸��. 

޿������� ������ ����� ������ɸ� �ý�Ƹ�:
$$
\eqalignno{
 \delta(z)&=\floor{z}+1-\ceil{z}=\cases{
   1, & ���� $z$ Ƶ���;    \cr
   0, & ���� $z$ �� Ƶ���; \cr
 } & (8) \cr
((z))&=z-\floor{z}-{1\over2}+{1\over2}\delta(z)=z-\ceil{z}+{1\over2}-{1\over2}\delta(z). & (9)\cr
}
$$
߾������� �����°��ϵ� ����� "������������ �ý�Ƹ�", �����̷õ��� � 
µ���� �ϴ�� ���̵; �� ���ĸ� ������� �� ���.~7. ������ɵ�²� ������ � 
�ý�Ƹ��~$((z))$ �� ��������� �~$\floor{z}$ ���~$\ceil{z}$ ������������ 
µ�, �¾ ��� �������� �ϴ�� ��������
\picture{��.~7. ߸���������� �ý�Ƹ�~$((z))$.}
%% 94                      	
�����²:
$$
\eqalignno{
\dlp-z\drp &= -\dlp z \drp; & (10) \cr
\dlp z+n \drp &= \dlp z \drp z, \rem{���� $n$ Ƶ���;} & (11) \cr
\dlp z \drp + \dlp z+{1\over n}\drp+\cdots+\dlp z+{n-1\over n}\drp&=\dlp nz \drp,
  \rem{����~$n$---������µ�̽�� Ƶ��� Ǹ���} & (12)\cr
}
$$
(��.~ÿ�.~2). ܵ��� ������ǵ���, ����� �������������~(7) ������ɸ� �������:
$$
{1\over 2}\left(m-1+\sum_{0<k\le a}\delta\left({km-c\over a}\right)
-\sum_{0<k\le b}\delta\left({km-c\over b}\right)\right)
+\sum_{0<k\le a}\dlp{km-c\over a}\drp-\sum_{0<k\le b}\dlp{km-c\over b}\drp.
\eqno(13)
$$
ݰ ��� �° ľ��û� �ö� ¾�, � ��¾��� �� ��Ǹ����, �� � ����²�µ�̽��¸ 
��� �ž��ɸ� � ��� �ü�� ����� ��Ǹ�������. ⰺ ���~$m$ �~$a$ ������� 
������, �� �����, �¾ $(km-c)\bmod a$ ��������� � ������������ ���ϴ�� 
������ �� ���ǵ���~$0$, $1$,~\dots, $a-1$ ���~$0<k\le a$, °� �¾
$$
\sum_{0<k\le a}\delta\left({km-c\over a}\right)=1,\qquad
\sum_{0<k\le a}\dlp{km-c\over a}\drp=0.
$$
(������������� �¾��� ľ��û� ��µ���� �� ������²~(10) �~(11).) ԰���, 
���� Ǹ���~$m$ �~$b$---�� ������� �����˵, �~$c$ �~$b$---������� �����˵, 
¾~$(km-c)/b$ �� ����� ���� Ƶ�˼, ���¾�� �¾��� �ü�� �~(13) ��ǵ����. 
ݰ�����, ����� ���¾ ������²�
$$
\eqalign{
 \dlp {km-c\over b}\drp &=\dlp{km-d\floor{c/d}-c\bmod d \over b}\drp=\cr
                        &=\dlp{km/d-\floor{c/d}\over b/d}\drp-{c\bmod d \over b}+{1\over 2}\delta\left({km/d-\floor{c/d}\over b/d}\right),\cr
}
$$
°� ���~$0\le (c\bmod d)/b<1/(b/d)$. �ü��
$$
\sum_{0<k\le b} \dlp{km-c\over b}\drp
$$
�����, �������µ�̽�, ${1\over 2}d-c\bmod d$, °� ���~$m/d$ �~$b/d$ 
������� ������. ⵾����~P ��������.
\proofend

Ծ����µ���²� µ�����~P ����������õ� ��ô����� ����Ǹ \emph{���������} 
�������� ���ǰ���� Ǹ���, ������ ��� � ¾ �� ����� �����˲��� � �� 
�˿���������. ԰���, �� �¾� µ����� ����õ� �¾ ����¸ǵ��� ��� �α�� 
�˱���~$a$ �~$c$ ��������²�~$X_{n+1}<X_n$ �ô�� �˿�������� � �ö��� 
ǰ�¾¾�, �� ��Ϻ�� ���ǰ� �� ���� �������, ����� µ� ���ǰ��, �����~$d$ 
������. Ѿ��ȸ� ���ǵ���~$d$
%% 95
���²���²��� ����� ��ɽ��¸, �¾, ��� �� �����, ������µ�̽�.

ỵ���ɰ� µ����� ���� ����� ����˹ ���µ��� ��� �˱���~$a$ �~$c$; � ��� 
��������������� \emph{����ĸƸ��� ���������µ�̽�� �������Ƹ�} �� ������ 
�������. �¾� ����ĸƸ��� �˻ ��������� � �.~3.3.2 (��.\ ľ��û�~(23)):
$$
C=\left(m\sum_{0\le x < m} x s(x)-\left(\sum_{0\le x < m} x\right)^2\right)
\bigg/\left(m\sum_{0\le x<m}x^2-\left(\sum_{0\le x<m} x\right)^2\right).
\eqno(14)
$$
�����~$x'$---°��� ͻ�����, �¾~$s'(x)=0$. ⾳��
$$
s(x)=m\dlp{ax+c\over m}\drp+{m\over 2},
\rem{����~$x\ne x'$.}
\eqno(15)
$$
Ի� ÿ��ɵ��� ������ ľ��û ������̷õ��� ����� ������ �ý�Ƹ��, ��¾��� 
ǰ�¾ ��������� �� ������ ��µ��¸ǵ���� ����ǰ�:
$$
\sigma(h, k, c)=12\sum_{0\le j < k}\dlp{j\over k}\drp\dlp{hj+c\over k}\drp;
\eqno(16)
$$
��� ���˲����� \dfn{����ɵ���� �ü��� Ե�������.}

ⰺ ���
$$
\sum_{0\le x<m} x={m(m-1)\over 2} \quad\hbox{�}\quad
\sum_{0\le x<m} x^2={m(m-1)(2m-1)\over 6},
$$
¾ ľ��û�~(14) �����̽� ����¾ ������������� � ����
$$
C={m\sigma(a, m, c)-3+6(m-x'-c)\over m^2-1}.
\eqno(17)
$$
߾����̺�~$m$ ���ǽ� �ǵ�� ������, ����� �±������ ǻ��� ���ϴ��~$1/m$ � 
�������� ������������ ������²�
$$
C\approx \sigma(a, m, c)/m
\eqno(18)
$$
� �ȸ����, ����ȵ�~$6/m$ �� ������½�� ����Ǹ��.

�������� ���������µ�̽�� �������Ƹ� �������� ��� �¾� � ����������� �ü�� 
Ե�������~$\sigma(a, m, c)$. 
��Ǹ������~$\sigma(a, m, c)$ ���������²���� �� ľ��û�~(16) ���� �� ���ɵ 
��ϼ��� ��Ǹ������ ����ĸƸ��° �������Ƹ�, ��, � �ǰ����, ��ɵ�²��� 
�����˵ ��¾�� �������� ����ǵ��� ���ǵ��� �ü� Ե�������.

\proclaim ۵���~B. ("װ��� ��������¸" ��� �ü� Ե�������.) ����~$0\le c < h$, 
$0\le c < k$ � Ǹ���~$h$ �~$k$ ������� �����˵, ¾
$$
\sigma(h, k, c)+\sigma(k, h, c)={h\over k}+{k\over h}+{1\over 
hk}+{6c^2\over hk}-3.
\eqno(19)
$$
%% 96
\proof �� ������°��ϵ� Ǹ°µ�� ��������, �¾ � �¸� �������������� �����������
$$
\sigma(h, k, c)+\sigma(k, h, c)=\sigma(h, k, 0)+\sigma(k, h, 0)+6c^2/hk
\eqno(20)
$$
(��.~ÿ�.~6). ⵿��� ���°¾ǽ� ����������� ¾�̺� ���ǰ�~$c=0$.

�������� ����������ɵ� �.~ڰ����� ������µ���²�, ���������� �� 
�����̷������ ����������� ������ �� �������. ��ɵ�²õ� ����� ����¾� 
������µ���²�, ������ɵ� ¾�̺� ͻ����°���� �����û�Ƹ� � �ü���� 
(��.~ÿ�.~7); ������ ���������˹ ���� ������ ����� ���Ǹµ���, °� ��� � 
��� �����̷õ��� µŽ���, ��¾��� ����� ���� ������� � � ��ó�� ����ǰ� °���� ¸��.

޿������� ��������~$f(x)$ �~$g(x)$ ������ɸ� �������:
$$
\eqalign{
f(x)&=1+x+\cdots+x^{k-1}=(x^k-1)/(x-1),\cr
g(x)&=x+2x^2+\cdots+(k-1)x^{k-1}=xf'(x)=\cr
&=kx^k/(x-1)-x(x^k-1)/(x-1)^2.\cr
}
\eqno(21)
$$
����~$\omega=e^{2\pi i/k}$---���������˹ ������ �µ����~$k$ �� ������� ¾, 
��������~(1.2.9-13),
$$
{1\over k}\sum_{0<j\le k} \omega^{jr}g(\omega^jx)=rx^r
\rem{��� $0\le r < k$.} 
\eqno (52)
$$
߾�����~$x=1$; ¾���~$g(\omega^j x)=k/(\omega^j-1)$ ���~$j\ne k$ 
�~$k(k-1)/2$ ���~$j=k$. ���δ� ����õ�, �¾
$$
r \bmod k \sum_{0<j<k} {\omega^{-jr}\over \omega^j-1}+{1\over2}(k-1),
\rem{����~$r$---Ƶ���.}
\eqno (23)
$$
(ⰺ ���, ��������~(22), ������ ǰ��� �����~$r$ ���~$0 \le r < k$ � ��� 
���������� �~$r$ ���½���~$k$ ��� �� �����ϵ���.) ỵ����µ�̽�,
$$
\left(\left({r\over k}\right)\right)=
{1\over k}\sum_{0<j<k}{\omega^{-jr}\over \omega^j-1}-{1\over 2k}+{1\over2} 
\delta\left({r\over k}\right).
\eqno(24)
$$
�° ������ ľ��û�, ��¾��� ����������� ��� �α�� Ƶ���~$r$, ������ϵ� 
����¸~$((r/k))$ � �ü��, ����ǰ�ɵ� ����� �µ����~$k$ �� �������; ��� 
�¾� ��������� Ƶ�˹ �ϴ ����� ���������µ�.
� ǰ�½��¸, ����� ���¾ ������ɰ� ľ��û�:
$$
\sigma(h, k, 0)+{3(k-1)\over k^2}=
{12\over k^2}\sum_{0<r<k}\sum_{0<i<k}\sum_{0<j<k}
{\omega^{-ir}\over\omega^i-1}{\omega^{-jh_r}\over \omega^j-1}.
\eqno(25)
$$
������ ǰ��� �¾� ľ��û� ����� ÿ���¸��, ������� �ü��������� ��~$r$; 
����~$s\bmod k \ne 0$, ¾~$\sum_{0\le r < k} \omega^{rs}=f(\omega^s)=0$. 
���û�~(25) �������� �
$$
\sigma(h, k, 0)+{3(k-1)\over k}=
{12\over k}\sum_{0<j<k}{1\over (\omega^{-j^h}-1)(\omega^j-1)}.
\eqno(26)
$$
%% 97
н�����ǽ�� ľ��û� � �������~$\omega$ ��~$\zeta=e^{2\pi i/h}$ ����������� 
���~$\sigma(k, h, 0)$.

Ҿ���� � ¾�, �¾ ������ ����ȵ � �ü��� �~(26), �� �ǵ�����; ������ 
��ɵ�²õ� ͻ����½˹ ������ ���̽��ȸ� ��������������, ��������˹ �� 
¾� İ�µ, �¾ ����˹ ǻ�� �ü�� ϲ�ϵ��� �ý�Ƹ��~$\omega^j$, $0<j<k$, � 
�� ��ɵ�²� �ü�������� ��� ����� �µ����~$k$ �� �������, �����~$1$. 
װ��¸�, �¾ ��� �α�� ����������ɸ� ����������� Ǹ���~$x_1$, $x_2$,~\dots,
$x_n$ ����������� ������ɵ� ������²�:
$$
\sum_{1<j\le n} {1\over 
(x_j-x_1)\ldots(x_j-x_{j-1})(x-x_j)(x_j-x_{j+1})\ldots (x_j-x_n)}={1\over (x-x_1)\ldots(x-x_n)},
\eqno(27)
$$
��¾��� ����õ� �� ���ǽ��� ���������� ������ ǰ�¸ �� ͻ����°��˵ 
�����. ԰���, ����~$q(x)=(x-y_1)(x-y_2)\ldots(x-y_m)$, ¾
$$
q'(y_j)=(y_j-y_1)\ldots(y_j-y_{j-1})(y_j-y_{j+1})\ldots(y_j-y_m).
\eqno(28)
$$
�¾ ������²� ǰ�¾ �����̷õ��� ��� ÿ��ɵ��� ��������� °���� ¸��, ��� 
����� ǰ���~(27). ����~$h$ �~$k$ ������� ������, ¾ ��� ���ǵ���~$\omega$, 
$\omega^2$,~\dots, $\omega^{k-1}$, $\zeta$, $\zeta^2$,~\dots, 
$\zeta^{h-1}$ �� ��������� ��ó � ��ó��. ỵ����µ�̽�, ����� 
�������������~(27) ��� ǰ�½˹ ���ǰ� 
��������~$(x-\omega)\ldots(x-\omega^{k-1})(x-\zeta)\ldots(x-\zeta^{h-1})=(x^k-1)(x^h-1)/(x-1)^2$, 
�ºô� ����õ� ������²�
$$
{1\over h}\sum_{0<j<h}{\zeta^j(\zeta^j-1)^2\over (\zeta^{ik}-1)(x-\zeta^j)}
+{1\over k}\sum_{0<j<k}{\omega^j(\omega^j-1)^2\over 
(\omega^{jh}-1)(x-\omega^j)}={(x-1)^2\over (x^h-1)(x^k-1)}.
\eqno(29)
$$
ط �¾�� ������²� ��µ���� ����� ��µ������ �����²��, � ��� �������� � 
Ƶ���� �ϴ� ���½�ȵ��� ��������¸ ��� �ü�, °���, ���~(26). ݰ������, 
���� ������ĵ���Ƹ������~(29) ������ ��~$x$ � ��������~$x=1$, ¾ ����Ǹ���
$$
{2\over h}\sum_{0<j<h}{\zeta^j(\zeta^j-1)^2\over (\zeta^{jk}-1)(1-\zeta^j)^3}
+{2\over k}\sum_{0<j<k}{\omega^j(\omega^j-1)^2\over (\omega^{jk}-1)(1-\omega^j)^3}=
{1\over 6}\left({h\over k}+{k\over h}+{1\over hk}\right)+{1\over2}-{1\over 2h} -{1\over 2k}.
$$
װ����� � �¸� �ü���~$j$ ��~$h-j$ �~$k-j$, ����Ǹ� [��.~(26)]
$$
{1\over6}\left(\sigma(k, h, 0)+{3(h-1)\over h}\right)
+{1\over6}\left(\sigma(h, k, 0)+{3(k-1)\over k}\right)
={1\over 6}\left({h\over k}+{k\over h}+{1\over hk}\right)+{1\over2}-{1\over 2h}-{1\over 2k},
$$
�¾ ͺ�������½� ����õ���� ���û�°��. 
\proofend
%%  98

\proclaim ۵���~C. ���� Ǹ���~$h$ �~$k$ ������� �����˵ �~$0<c<k$, ¾
$$
\sigma(h, k, c)=\sigma(h, k, c \bmod h)+{6r\over k}(c+c\bmod h-k)+d,
\eqno(30)
$$
���~$r=\floor{c/h}$, $d=0$ ���~$c\bmod h \ne 0$ �~$d=3$ ���~$c \bmod h=0$. 

\proof ��� �α��~$c$ �����
$$
\eqalignno{
\sigma(h, k, c+h)&=12\sum_{0\le j <k}\dlp{j\over k}\drp\dlp{hj+c+h\over k}\drp=\cr
&=12\sum_{0\le j <k} \dlp{j-1\over k}\drp \dlp{hj+c\over k}\drp=\cr
&=\sigma(h, k, c)+6\dlp{h+c\over k}\drp+6\dlp{c\over k}\drp, & (31)\cr
}
$$
°� ���, ��������~(9),
$$
\dlp{j-1\over k}\drp = \dlp{j\over k}\drp -{1\over k}+{1\over 2}\sigma 
\left({j+1\over k}\right)+{1\over 2}\sigma\left({j\over k}\right).
\eqno(32)
$$
����� µ����~$c_0=c\bmod h$, °� �¾~$0<c=c_0+rh<k$. ⾳��
$$
\eqalign{
 \sigma(h, k, c)&=\sigma(h, k, c_0)+12\sum_{0\le j <r}\dlp{c_0+hj\over k}\drp +6\dlp{c\over k}\drp -6\dlp{c_0\over k}\drp=\cr
                &=\sigma(h, k, c_0)+12\sum_{0\le j <r}\left({c_0+hj\over k}-{1\over 2}\right) +6\left({c\over k}-{1\over 2}\right)-6\left({c_0\over k}-{1\over 2}\right)+d.\cr
}
$$
����¾� �ü��������� �����Ȱ�� ������µ���²�.
\proofend

۵���~B �~C ��������� �ľ��û������� ��������� ��ĵ�¸���� ���Ƶ���� 
��Ǹ������~$\sigma(h, k, c)$ � ���ǰ�, �����~$h$ �~$k$ ������� ������.

{\sl 谳~1.\/}~Ծ������� (��� ��Ǹ°��) ���½˵~$k$ � (��)~$h$ �~$c$ (���� 
�¾ ����ž����), � µ� �¾�� ������¸ �� � 
��µ������~$-{k\over 2}<h\le {k\over 2}$, $-{k\over 2}<c\le {k\over 2}$
(��� � ��µ������~$0<h \le k$,  $0\le c < k$). ⰺ�� �����Ƹ� �������, 
��¾�� �¾ �� �����������
$$
\sigma(h\pm nk, k, c)=\sigma(h, k, c)=\sigma(h, k, c\pm nk).
\eqno(33)
$$

{\sl 谳~2.\/}~����~$h$ ���~$c$ ����ưµ�̽�, ������� �� ������µ�̽˼�, 
�����̷�� ������²�
$$
\eqalign{
\sigma(-h, k, c)&=-\sigma(h, k, c),\cr
\sigma(h, k, -c)&=\sigma(h, k, c).\cr
}
\eqno(34)
$$

{\sl 谳~3.\/} ����~$k=1$ ���~$k=2$, ¾~$\sigma(h, k, c)=0$ 
(°� ���~$\dlp j/1 \drp=\dlp j/2 \drp =0$). 

%% 99
{\sl 谳~4.\/}~����~$c>h$, ��������~$c$ ��~$c\bmod h$ � ������� 
���½�ȵ���~(30) �����~C.

{\sl 谳~5.\/}~⵿��� ����δ��� ������� �����~B, °� �¾ �����
$$
\sigma(h, k, c)=-3+{h\over k}+{k\over h}+{1+6c^2\over hk}-\sigma(k, h, c). 
\eqno (35)
$$
Ի� �����������~$\sigma(k, h, c)$ ��������� � Ȱ��~1.

���� ����ž����� �µ��Ƹ� ���ǽ� ��������; ���������µ�̽˵ 
���ǵ���~$h$ �~$k$ ����� ���� °� ��, ��� ���������µ�̽���� ���ǵ���, 
����ǰ���� ��� ����������� � ������� ������¼� ղ����� (��.~�.~4.5.2) 
�������ȵ�� ��ɵ�� ����µ��~$h$ �~$k$. ��������� ������̺� ��������.

\proclaim ������~1. ݰ�¸ ����ĸƸ��� ���������µ�̽�� �������Ƹ� ��� 
���ǰ�~$m=2^{35}$, $a=2^{34}+1$, $c=1$.

\solution ᾳ�����~(17), �����
$$
C=(2^{35}\sigma(2^{34}+1, 2^{35}, 1)-3+6(2^{35}-(2^{34}-1)-1))/(2^{70}-1). 
\eqno (36)
$$
�˿����� Ȱ��~1 �~2, ����ǰ��
$$
(\sigma(2^{34}+1, 2^{35}, 1)=-\sigma(2^{34}-1, 2^{35}, 1).
$$
ᾳ����� Ȱ��~5:
$$
\sigma(2^{34}-1, 2^{35}, 1)=-3+(2^{34}-1)/2^{35}+2^{35}/(2^{34}-1)
+7/2^{35}(2^{34}-1)-\sigma(2^{35}, 2^{34}-1, 1).
$$
ᾳ����� Ȱ��~1:
$$
\sigma(2^{35}, 2^{34}-1, 1)=\sigma(2, 2^{34}-1, 1).
$$
⵿��� Ȱ�~5 ����
$$
\sigma(2, 2^{34}-1, 1)=-3+2/(2^{34}-1)+(2^{34}-1)/2
+7/2(2^{34}-1)-\sigma(2^{34}-1, 2, 1)
$$
�
$$
\sigma(2^{34}-1, 2, 1)=0.
$$
� ���û�°µ ����ǰ��, �¾
$$
C={1\over 4}+\varepsilon, \rem{$\abs{\varepsilon}<2^{-67}$.}
\eqno(37)
$$
ⰺ�� �������Ƹ�, ����������, �����������. ھ��ǽ�, �¾� ���Ǹ� �������� 
���Ⱥ�� ����� ��ɽ�����; �� ö� �²����� ��� ����� ��� �����ǰ��˹.

\proclaim ������~2. ޿�������� ��������µ�̽� ����ĸƸ��� ���������µ�̽�� 
�������Ƹ� ���~$m=10^{10}$, $a=10001$, $b=2113248658$.

%% 100

\solution ⰺ ���~$C\approx \sigma(a, m,c)/m$, ������ ������ɸ� ��Ǹ������:
\EQ[38]{
 \eqalign{
 \sigma(10001, 10^{10}, 2113248653) &= \sigma(10001, 10^{10}, 7350)-6(211303)(7886743997)/10^{10};\cr
        \sigma(10001, 10^{10}, 7350)&\approx -3+10^{10}/10001-\sigma(10^{10}, 10001, 7350);\cr
        \sigma(10^{10}, 10001, 7350)&=\sigma(100, 10001, 7350)=\cr
                                    &=\sigma(100, 10001, 50)-6(73)(2601)/10001;\cr
              \sigma(100, 10001, 50)&\approx -3+10001/100+100/10001-\sigma(10001, 100, 50);\cr
              \sigma(10001, 100, 50)&=\sigma(1, 100, 50)=-50,02.\cr
                                   C&\approx(-3+999900,01-97,02-50,02+113,91-99895,60)/10^{10}=\cr
                                    &=-0,000000003172.\cr
  }
}

ⰺ�� ���ǵ���~$C$, ����ǽ�, ô����²��ϵ� �α˼ ���������ϼ. ݾ ��ɽ���� 
�¾�� ���Ǹ�� ����� �����~$3$, \emph{°� �¾, �������� �� ������²�� 
���������µ�̽�� �������Ƹ�, ��� ���̷� �Ǹ°�� ž��ȸ� ��¾ǽ���� 
���ǰ���� Ǹ���.} ������²�� �������Ƹ�--- ����ž�����, �� �� ���°¾ǽ�� �������!

\proclaim ������~3. �Ƶ���� ���������µ�̽�� �������Ƹ� ��� �α��~$a$, $m$, $c$.

ߵ���� İ�� ����������� ��ȵ ���ǵ¾� ����� ��������� � ��ɵ� ����. 
�����~$c_0=c\bmod a$.
$$
\eqalignno{
 \sigma(a, m, c)&=\sigma(a, m, c_0)+{6(c-c_0)\over am}(c+c_0-m)=\cr
                &=-3+{a\over m}+{m\over a}+{1\over am}+{6c^2\over am}-{6(c-c_0)\over a}-\sigma(m, a, c_0).&(39)\cr
}
$$
ᾳ����� ÿ�.~12, $\abs{\sigma(m, a, c_0)}<a$, ���¾��
\EQ[40]{
 C\approx {\sigma(a, m, c)\over m}\approx {1\over a}\left(1-6{c\over m}+6\left({c\over m}\right)^2\right).
}
��� �¾� �� ����������� ǻ�����
\EQ{
 {3\over m}\left(1-2{c_0\over a}+{a-x'-c\over m}\right)+{1\over m}\sigma(m, a, c_0)+O\left({1\over m^2}\right),
}
°� �¾ ����� �������, �¾ �����Ƚ���� ���������~\eqref[40] �� 
�����Ȱ��~$a/m$. ӻ���˹ ����� � �ȸ��� ���� ǻ��~$\sigma(m, a, c_0)/m$. 
߾��ǵ��˵ ���û�°�� ����� �ü�������� ������ɸ� �������.

\proclaim ⵾����~S. ھ��ĸƸ��� ���������µ�̽�� �������Ƹ� ��� �������� 
������ͽ½�� ���������µ�̽��¸ � ��������̽˼ �������� �������ϵ��� 
����������˼ ����������~\eqref[40] � �ȸ����,
%% 101
\bye
