\input style
\chapno=3\subchno=3\chapnotrue
S6--S9), ����� ����~$\floor{{1\over 2}\prod (2c_j+1)}$,  �
��~$\prod(2c_j+1)$, °� ��� ������¼ ����� ���� ¾�̺� � °���� ���¾����,
� ��¾��� ����˹ ���û���� ͻ����� ������µ���.)

��������� ���º� ������ ������¼�~$S$ � ����²��, ����� $a=3141592621$,
$m=10^{10}$, $n=3$. � °��.~2 � ������ ������� �����°�����~$Q$ �~$R$,
�����¾�����˵ �� Ȱ��~S1. ������������ �¸� ������ �����²��� �����~A
������õ� �������� $10^{29}$~���ǰ��, �¾ ��ž��� �� ��Ϻ�� �������.
߾��� ȵ�¸ �µ��Ƹ� �� Ȱ���~S2--S5 ͻ������ ������~$Q$ �~$R$ �°��
������� ����ȵ (��.~������~7 °��.~2), �, �������� �����~A, µ���� �
�¾� ����� ����ǵ~$\abs{x_1}\le 3$, $\abs{x_2}\le 3$, $\abs{x_3}\le 14$.
԰�̽��ȵ� ü���ȵ��� � ������� �����~B �������� ��� � ������~8: �
�����Ƶ~$Q$ (������~7) �������ϵ� �¾����~3 � �¾����~2, ������~3 �
������~2, ��µ� 3~���� ��Ǹ°�� �¾����~3 �� �¾��ư~1 � °��� ��� ����
������~3 �� ������~1. � �����Ƶ~$R$ ��Ǹ°�� �¾����~2 �� �¾��ư~3, ��µ�
��Ǹ°�� ������~2 �� ������~3, ��¾� �������ϵ� ��� ���� �¾����~1 �
�¾����~3, � ������~1 ����� ���
{\def\cell#1{\vcenter{\halign{\hfil$\mathstrut##$\cr#1}}}
 \def\ncell#1{\cell{#1}\qquad}
 \def\lpar{\Bigg(}%\left(\vphantom{\cell{\cr\cr}}
 \def\rpar{\Bigg)\hfill}%\left(\vphantom{\cell{\cr\cr}}
\htable{ⰱ��ư 2}
{������ ������¼� S}
{$#$\bskip&$\displaystyle#$\bskip&&\hfil$\displaystyle#$\bskip\cr
\noalign{
\hrule
\embedpar{������ \hfil ܰ���ư~$Q$ \hfil}
\hrule
}
  1.
 &
  \lpar
 &
  \cell{
   1\,00000\,00000\,00000\,00000\cr
   -31415\,92621\,00000\,00000\cr
   36783\,50359\,00000\,00000\cr
  }
 &
  \cell{
   -31415\,92621\,00000\,00000\cr
   9869\,60419\,63216\,49642\cr
   -11555\,87834\,52871\,00939\cr
   }
 &
  \cell{
   36783\,50359\,00000\,00000\cr
   -11555\,87834\,52871\,00939\cr
   13530\,26136\,35554\,28882\cr
  }
 &
  \rpar
 \cr
 \noalign{\smallskip}
  \vdots
 &
  \multispan{4}\hfill$\vdots$\hfill
 \cr
 \noalign{\smallskip}
  7.
 &
  \lpar
 &
  \ncell{
   1160\,62418\cr
   -110\,45623\cr
   324\,06810\cr
  }
 &
 \ncell{
   -110\,45623\cr
   189\,42062\cr
   -70\,72864\cr
  }
 &
  \ncell{
    324\,06810\cr
    -70\,72864\cr
    99\,86024\cr
  }
 &
  \rpar
 \cr
 \noalign{\smallskip}
  8.
 &
  \lpar
 &
  \ncell{
   114\,95774\cr
   126\,21707\cr
   24\,48738\cr
  }
 &
  \ncell{
   126\,21707\cr
   147\,82358\cr
   29\,13160\cr
  }
 &
  \ncell{
   24\,48738\cr
   29\,13160\cr
   99\,86024\cr
  }
 &
  \rpar
 \cr
\noalign{
\hrule
\vskip 5mm
\hrule
\embedpar{������ \hfil ܰ���ư~$R$ \hfil}
\hrule
}
  1.
 &
  \lpar
 &
  \cell{
    23399\,86555\,98770\,78523\cr
    31415\,92621\,00000\,00000\cr
    -36783\,50359\,00000\,00000\cr
  }
 &
  \cell{
    31415\,92621\,00000\,00000\cr
    1\,00000\,00000\,00000\,00000\cr
    0\cr
   }
 &
  \cell{
   -36783\,50359\,00000\,00000\cr
   0\cr
   1\,00000\,00000\,00000\,00000\cr
  }
 &
  \rpar
 \cr
 \noalign{\smallskip}
  \vdots
 &
  \multispan{4}\hfill$\vdots$\hfill
 \cr
 \noalign{\smallskip}
  7.
 &
  \lpar
 &
  \ncell{
   13913\,04805\,78992\cr
   -11890\,71034\,30888\cr
   -53572\,76149\,67948\cr
  }
 &
  \ncell{
   -11890\,71034\,30888\cr
   10880\,07572\,69932\cr
   46294\,02921\,32522\cr
  }
 &
  \ncell{
   -53572\,76149\,67948\cr
   46294\,02921\,32522\cr
   2\,07645\,57301\,67787\cr
  }
 &
  \rpar
 \cr
 \noalign{\smallskip}
  8.
 &
  \lpar
 &
  \ncell{
    13913\,04805\,78992\cr
    -11890\,71034\,30888\cr
    57\,09301\,99916\cr
  }
 &
  \ncell{
    -11890\,71034\,30888\cr
    10880\,07572\,69932\cr
    -258\,17754\,30074\cr
  }
 &
  \ncell{
    57\,09301\,99916\cr
    -258\,17754\,30074\cr
    1062\,71591\,61243\cr
  }
 &
  \rpar
 \cr
}}%
%% 122
���� �������ϵ� � ������~3. �¾ ü���Ȱ��~$Q$ �~$R$, °� �¾, ��������
�����~A, µ���� ��°���� ��������� ���ǵ���~$\abs{x_1}\le 3$,
$\abs{x_2}\le 3$, $\abs{x_3}\le 1$, �¾�� ���¸ ������½˹ �����ü. �
����²�� ���������� ��¾� �������� �� Ȱ���~S6--S9, ��¾�˹ ��ž���
�������Ƹ�~$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=0$, ����������� �������̽��
���ǵ���~$x^TQx=1034718$. �¸ ��Ǹ������ ����� �˻� �� ������� � �������
���¾�̽�� ��Ǹ���µ�̽�� ��ȸ��� �� ������̺� ǰ���, ž�� � ��ǰ�� ����ǰ
�˳�ϴ��� ���̼� ���ȸµ�̽�.

῵�����̽˹ µ�� �����˵ ��ϲ���� � �°�̵ �.~ھ��� � �.~ܰ�ĵ�����
(R.~R.~Coveyou, R.~D.~MacPherson, Fourier Analysis of Uniform Random
Number Generators, {\sl JACM,\/} {\bf 14} (1967), 100--119). � �¾� �°�̵
������ ������¼, � ��ɽ��¸ ������˹ ������¼�~$S$, �� �����ǵ����
������̺� �»�ǽ��� ������� �������������� �� Ȱ��~S4.

\excercises
\ex[�20] �˲���µ ���½�ȵ���~(2) ��~(1).

\ex[�20] �����������, �¾~$0\le s_1$~\dots, $s_n<m$, �˲���µ
���½�ȵ���~(1) ��~(2).

\ex[�22] (a)~����� $F(t)$~���������� ��� Ƶ��� ���ǵ���~$t$, $0\le t < m$,
 � ������� �� ����������� ���ȸ���� �� ��� Ƶ�˵ Ǹ��� � �������
ľ��û�~$F(t)=F(t\bmod m)$. �����~$f(s)$---�������������� ���̵
�ý�Ƹ�~$F(t)$, ������������ � ���²���²�� �~(1) ���~$n=1$. ݰ���µ
�������������� ���̵ �ý�Ƹ�~$F(t+1)$, ������� ��� ǵ���~$f(s)$.

(b)~ݰ���µ �������������� ���̵ �ü��~$\sum_{0\le k < m} F(k)G(t-k)$,
������� ��� ǵ��� �������������� ���̵~$F$ �~$G$.

\rex[�22] �����~$X_0$, $X_1$, $X_2$,~\dots---�������ǵ����
���������µ�̽���� Ƶ��� Ǹ��� � ��������~$m$, °���, �¾~$0\le X_k<m$, �
�����~$f(s_1, s_2)$---�ý�Ƹ�, ������������ ľ��û��~(4). ������µ
ǵ���~$f$ �����½���� ¾��, �¾~$X_{k+1}<X_k$ � �¾� ���������µ�̽��¸.
(����¸µ ������̺� �������� ��� �²��, �¾�� ϲ�� �˻� �����°�����
����ĸƸ���� ��� ������ ǰ�½�� ���ǵ���~$f$.)

\ex[�23] �����~$X_0$, $X_1$, $X_2$,~\dots---�������ǵ���� ���������µ�̽����
Ƶ��� Ǹ��� � ������ �������~$m$ � °���, �¾~$0\le X_k<m$. ������µ ǵ���
�ý�Ƹ�~$F$, �������ϵ��� ���½�ȵ����~(3), � �ý�Ƹ�~$f$, �������ϵ���
���½�ȵ����~(4), �ü��~$\sum_{0\le k <m} X_k X_{k+1}$, �����°�������
������ ǰ��� ľ��û� ��� ����ĸƸ��° ���������µ�̽�� �������Ƹ� (ľ��û�~(3.3.2-23)).

\rex[�28] Ծ����µ µ�����~3.3.3P, �����̷��~(8) � ���û�°� ÿ�.~4.

\ex[�40] �˲���µ ľ��û�, ��������ɸ� ���°¾ǽ� ��ĵ�¸��� ��Ǹ�����
¾ǽ�� ���ǵ��� �����½��¸ ¾��, �¾~$X_{k+2}<X_{k+1}<X_k$ ���
�������� ������ͽ½�� ���������µ�̽��¸ � ��������̽˼ ��������.
[\emph{㺰�����.} � ������� ��¾���, �����̷õ��� � ÿ�.~6, � ���û�°°
ÿ�.~3.3.3-20 �° ����Ǹ�� ����� ���� ϲ�� �������� ǵ��� ����ɵ��˵
�ü�� Ե�������. װ����µ, �¾ ����ǰ ���̽� ������ϵ���, ���� ��
���̷������� ��������������� ���̵.]

\ex[M22] ݰ���µ ��������� ����¾� ��������� �ü��~$\sum_{0\le k < m} X_k X_{k+1}$
��� �������� ������ͽ½�� ���������µ�̽��¸ � ��������̽˼
��������, �����̷�� ���û�°� ÿ�.~5, � °��� ľ��û�~(8).

\ex[��30] (�.~�����.) װ���� $n\times n\hbox{-�����ư}$~$A$. Ծ����µ, �¾
��ɵ�²õ� ���û���� Ƶ��Ǹ�����˹ ���¾�~$x$, °���, �¾~$Ax\cdot Ax \le
\left({4\over 3}\right)^{(n-1)/2} (\det A)^{2/n}$.
%% 123
[\emph{㺰�����.} ὰǰ�� ��������, �¾ ��� ����~$\varepsilon>0$
��ɵ�²õ� Ƶ��Ǹ������� �����ư~$U$, ��µ������� ��¾��� �����~$1$, �
������������~$AUx\cdot AUx$ ��ž����� � $\varepsilon\hbox{-�����½��¸}$
��������̽�� ������ ������� �� ���ǵ���
���~$(x_1, x_2,~\ldots, x_n)=(1, 0, 0,~\ldots, 0)$. װµ� �������� ��ɵ�
�²�������� ���úƸ�� ��~$n$, �������~$Ax\cdot Ax$ �
����~$\alpha(x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_n x_n)^2+g(x_2,~\ldots, x_n)$,
��� $g$~���²���²õ� $(n-1)\times(n-1)\hbox{-�����Ƶ}$~$A'$.]

\ex[��30] (ھ��� � ܰ�ĵ����). �����~$X_0$, $X_1$, $X_2$,
~\dots---���������µ�̽���� Ƶ��� Ǹ���, ����ɸ� � ��������~$0\le X_k <m$;
�� ���²���²õ� �������������� ���̵~$f(s_1,~\dots, s_n)$, ������������
ľ��û��~(4). �����~$U_k=X_k/m$, a~$V_0$, $V_1$, $V_2$,
~\dots---���������µ�̽���� ����������� ��¸��� ���ǰ���� ����²�µ�̽��
Ǹ���, ���������� �������������� �����~$0$ �~$1$;
$\lambda$---Ǹ���, ����ȵ�~$1$, �~$W_k=(U_k+\lambda V_k) \bmod 1$.
(⵿���~$W_k$---�¾ ���ǰ��˼ ������� "���������˵" � ��������~$\lambda$
ǻ��� ���������µ�̽��¸~$U_k$.) ޿������� ����ĸƸ���� ���̵ �α��
���������µ�̽��¸ ����²�µ�̽�� Ǹ��� �����~$0$ �~$1$ ���
$$
\lim_{N\to\infty}{1\over N}\sum_{0\le k < N}\exp(2\pi i (s_1
U_k+\cdots+s_n U_{k+n-1})).
$$
������µ ����ĸƸ���� ���̵ ���������µ�̽��¸~$\<W_k>$ ǵ���
����ĸƸ���� ���̵ ���������µ�̽��¸~$\<X_k>$.

\ex[�10] ���������~(8) �����˲���, �¾ ���ǵ���~$c$ � ��������
������ͽ½�� ���������µ�̽��¸ � ��������̽˼ �������� �� ���ϵ� ��
����ĸƸ���� ���̵, � �����ϵ� ���� "���ü���" ������������ Ǹ���~$f(s_1,
~\dots, s_n)$. ��ó��� �������, ������½�� ���ǵ���~$f(s_1,~\ldots, s_n)$
�� ������� ��~$c$. ݾ ����� �� �˱����~$c$ °�, �¾�� �����ǰ��˹ ��ĵ��
����� �����~$f(s_1,~\dots, s_n)$ ý��¾����� �� "���¸��������˼" ��ĵ�¾�
��ó�� �����~$f(s'_1,~\ldots, s'_n)$?

\ex[��23] Ծ����µ, �� �����̷�� ��������ǵ���� ���ü��¾�, �¾ �α��
��ȵ��� "��������~(b)", �ľ��û��������� � ����ý�µ~C µ��°, ������ ����
������������ ��ȵ���� ���µ�� ���������~(28).

\ex[��30] � µ��µ ��°��� � µ�� �����̽� ����˹ ������: �˻� �������
���ǰ����� �������������, �¾, ����~$A$---��������̽�� ������������� �����ư
����²�µ�̽�� Ǹ���, �ý�Ƹ�~(18) \emph{�����} �����ü, ��¾�˹
\emph{���¸������} �� ����¾��� Ƶ��Ǹ������� ���¾��~$x$.
\medskip
\item{(a)} Ծ����µ, �¾ �������Ȱ� ������ �����ư ����Ǹ��~(18),
���°� �� ���� ���û��˼ Ƶ��Ǹ�����˼ ���¾���~$x$, ���¸������ ���
����¾���~$x$, ����~$A$---������������� �����ư.

\item{(b)}~߾����µ, �¾, ����~$A$---����������� �����ư, °����
���û����� Ƶ��Ǹ�������� ���¾��, �� ��¾��� ���¸������ �������Ȱ�
������ �����ư~(18), ����� �� ��ɵ�²�����.

\rex[24] �˿����µ ���ǽ�� ������¼~S ���~$m=100$, $a=41$, $n=3$.
װ����µ ����°���~"$1000$" �� Ȱ��~S3 Ǹ����~"$3$".

\ex[�18] �¾ ����������, ���� �����Ƹ� "$k\asg n$" � ���Ƶ
Ȱ��~S1 �������� ��~"$\asg 1$"?

\ex[�25] ݵ �����ǵ�� (ž�� �¾�� �ɵ �� ����δ�����), �¾
������¼~S ����� ��Ƹ�������, ���¾��� �������ǽ�� Ǹ��� ��� Ȱ��~S2--S5.
߾����µ, �¾ �¾ ����� �������¸ ¾��� � ¾�̺� ¾���, ����� ���
���������µ�̽�� �˿������� $n$~��� Ȱ��~S4 �� �����ž��� ��������������
(�.~�.\ ��� �����Ƹ�~|TRANS|).

\rex[�28] ܾ��ĸƸ�ùµ ������¼~S °�, �¾�� ����� ��Ǹ������~$q$ � ���
�������ϻ�� �� ����� Ƶ��� Ǹ���~$s_1$,~\dots, $s_n$,
ô����²����ɸ�~(11) ���~$s_1^2+\cdots+s_n^2=q$. [\emph{㺰�����.}
л����¼~S ������ϵ� ¾�̺� ���ǵ���~$Q$ �~$R$ ��~(19), �� ��~$A$ �~$B$.
���� ��������� ���ǵ���~$A$ �/���~$B$ ��� �˿������� ������¼�,
��-��������, �� ���Ⱥ�� ��ô�� �ô�� ����Ǹ�� ���ǵ���~$s_1$,~\dots, $s_n$.]

\ex[�25] ݰ���µ $3\times 3\hbox{-�������}$~$A$, °���, �¾ ����~$Q=A^TA$
�~$R=Q^{-1}$, ¾ Ȱ��~S2--S5 ������¼�~S ������� �� �����ǰ��� ����ž��� �
Ȱ��~S6
%% 124
(°� �¾ ��Ǹ������ ������� �� �����������). [\emph{㺰�����.} ����������
"�������¾��˵ �������", �.~�.\ �������, ͻ������ ��¾��� �����
���~$a+b\delta_{ij}$; ��.~�~ÿ�.~1.2.3-39.]

\ex[�20] ߾����µ, �¾ ���������µ�̽���� 丱����Ǹ${}\bmod m$
��ö�� ���Ÿ� ��¾ǽ���� ���ǰ���� Ǹ���, ñ����ȸ��, �¾ ���²���²��ɰ�
�ý�Ƹ�~$f(s_1, s_2, s_3)$, ������������ �~(4), ����� ����ȸ�
�����ǰ�¾½˵ ����������.

\rex[�24] ��Ǹ���µ ����ĸƸ���� ���̵~$f(s_1,~\dots, s_n)$ ���
�������� ������ͽ½�� ���������µ�̽��¸, ������������ ����Ǹ����~$X_0=1$,
$c=0$, $m=2^e\ge 8$ �~$a \bmod 8=5$. ޱ�ô�µ, ��� ����ɸ�� ��������̽˹
µ�� ��� �¾�� ¸�� ���Ǹ��� ���ǰ���� Ǹ��� (����������˹ � µ��µ ¾�̺�
��� �������� ������ͽ½�� ���������µ�̽��µ� � \emph{��������̽˼}
��������, ¾��� ��� � ������������ ����� ���������µ�̽��¸ ����� ������� �����~$m/4$).

\ex[�25] ��������µ ����˴�ɵ� ÿ��������, �Ǹ°�, �¾~$a\bmod 8=3$.

\rex[�30] ߾�����µ ������¼, ������˹ ������¼�~S, �� �����ǵ���� ¾��,
�¾ � ��� �����̷õ��� ��������������~$U$, ��� ��¾���� ���
���û��˵ ����������̽˵ ͻ������ ��ž����� � \emph{�¾��Ƶ}~$k$, � �� �
\emph{������}~$k$, ��� �~(25). ������µ �¾� ��¾� � ������¼��~S.
߾����µ, �¾ � �¾� ������¼� ����Ǹ��~$\prod (2c_j+1)$  � Ȱ��~S3
������� �� ò���Ǹ������ �� ����� �µ��Ƹ� � ��ó��.

\ex[�50] ݵ������ �� ¾ �¾ � ������� �� ÿ�.~18 �������� Ƹ��
������¼�~S �˽ö��� �������ǽ� ���¾������, ��� "�����²������"
������¼� �� ÿ�.~22 ¾� �� ������ �� �����°��ϵ� ������� ��������. Ի�
ô���²� �ô�� ���˲��� ��������� ��¾� ������¼��~$S'$. ⰺ ���
������¼~$S'$ � ��ɽ��¸ ϲ�ϵ��� ������¼��~S, � ��¾��� �����ϻ���
���ϼ� �������~$Q$ �~$R$, °��� ��ɵ�²��� �������, ���°����ɸ�
��Ƹ��������� � �¾� ������¼. ���δ� ��µ���� ���� �������Ƹ� ����
��¾���. ݰ������, �� ����� �����̷����� ������¼~S, ���� �� ��
�����Ͻ��, ��µ� �������Ǹ���� �� ������¼~$S'$ �� µ� ���, ����
\emph{�¾�} �� �����Ͻ��, ��������� ��µ� ����� � ������¼�~S � �. �.

߾�̷���� °��� �������������˼ ������¼�� � ��������� ��²�����
�� Ȱ��~S3, �� ����� ��� �������Ƹ� ��Ǹ���µ�̽�� ���Ƶ���� ��������� �
����� �� ���� ���ðƸ�: (a)~��°����������� Ƹ��, � ��¾���, ����˹
�� ������¼��~S �~$S'$ ����¾�˼ ������� ����������� �����������~$Q$ �~$R$,
 °� �¾ ��Ǹ������ ������� �� ������ ������¸����, ��� (b)~�� ����ǰ��
�������~$Q$ �~$R$, �� ��¾�˵ �� ������ �� ������¼~S, �� ������¼~$S'$.

�¸ ����δ����, ��µ�²����, �������� � ���°����� ������ɸ� ����
��������, �� ��¾�˵ ������ ���� ��� �²��, ���� ��� �ö�� �����
��������� ô����²���µ�̽�� ��ȵ��� ��Ǹ���µ�̽�� ��������,
�ľ��û��������� � �¾� �������. ܾ��� �� ������������� ���ǰ�~(a)? ڰ�
����� ����� ������ ����°���~$\prod (2c_j+1)$ �� Ȱ��~S3 � ���ǰ�~(b)?
��ɵ�²õ� �� ��ɰ� ���Ƶ����
��Ǹ������~$\min\{\, x^TQx \mid \hbox{Ƶ�˵~$x\ne 0$}\,\}$ ��� ������µ�̽�
������������ �������~$Q$, ��¾��� �˻� �� ���ȵ, ǵ� ¾�̺� �¾ ���������
�������Ƹ� ������¼��~$S$ �~$S'$?

\emph{װ��ǰ���.} �¾��� �� ���°������� ��ȵ �������� ����� ����¸ �
������ɵ��: \emph{�����~$Q$---��������ǽ�� ������µ�̽� ������������
$n\times n\hbox{-�����ư}$ ����²�µ�̽�� Ǹ���, � ��¾��� ��������̽˵
ͻ������ �����~$1$, �~$\abs{q_{ij}}\le 1/2$ ���~$i\ne j$. �����~$R=Q^{-1}$,
a~$\abs{r_{ij}}\le (1/2) r_{jj}$ ���~$i\ne j$. ڰ�. ������ ����� ���� ���
�¸� �������� Ǹ���~$r_{11}$?} Ծ ��� ��� �� �����ǰ���� ������˵ �������,
��� ��¾���~$r_{11}\ge 2$. ���� ������� ��� ����������̽˵
ͻ������ �������~$Q$ ����˼�~$-1/n$, ¾ ����� ���¸, �¾~$r_{11}=2n/(n+1)$.
�¾� ������ �����˲���, �¾ ������� ���̷� ������������, �¾ ����°�° ��
Ȱ��~S3 ������ ���ǵ���, ����ȵ�~$3^n$, ��� ��������̽�� ������µ�̽�
������������ �������, ���� � ���ǰ� �������Ƹ� ������¼��~S �~$S'$. �
������� ���¸������~$\max r_{11}$ ���~$n=2$, �� �� ���~$n=3$.

\ex[�20] ������µ �������������� ���̵~$f(s_1,~\ldots, s_n)$, ��������
ľ��û��~(1), � \emph{���������Ƶ� �ý�Ƹ��} �� $n$~����������
���~$F(t_1,~\ldots, t_n)$, onpe��������
%% 125
���ǽ˼ �������:
$$
g(z_1, \ldots, z_n)=\sum_{0\le t_1 \ldots t_n<m} F(t_1, \ldots, t_n)z_1^{t_1}\ldots z_n^{t_n}.
$$

\ex[��28] (�.~ھ���.) �����������ùµ ��ü����� ��������������
���̵~$f(s_1, s_2)$ ��� ���������µ�̽��¸~(3.2.2-4) � ����ĸƸ��������
��¾�� �������� ������°. [\emph{㺰�����:} ����������� ������� �ü��
���~$\abs{f(s_1, s_2)}^2=f(s_1, s_2)\times f(-s_1, -s_2)$.]

\rex[�26] 絼� ����� ���ǵ��� ���ż������ �������������� ���̵~$f(s_1, s_2, s_3)$
���������µ�̽��¸~(3.2.2-8), ����ɵ� ����� �������~$p^2-1$, � ���ǰ�~$k=2$?

\rex[��24] (Զ.~ܰ������.) �����~$X_0$, $a$, $m$, $c$ ��������� ��������
������ͽ½�� ���������µ�̽����, �~$U_0$, $U_1$, $U_2$,~$\ldots=X_0/m$,
$X_1/m$, $X_2/m~\ldots\,$. �����������, �¾~$s_1$, $s_2$,~\dots,
$s_n$---Ƶ�˵" Ǹ���, ô����²����ɸ�~(11), ������µ ������ɸ� �²��������:
(a)~����˹ ����� $n$~Ǹ��� $(U_k, U_{k+1},~\ldots, U_{k+n-1})$ �������ϵ�
� $n\hbox{-������}$ ���������²� ¾Ǻ�, ������� �� ����� ��
������������µ�, ���������� ����������
$$
s_1 x_1 + s_2 x_2 +\cdots + s_n x_n=N+(s(a)-s(1))c/(a-1)m,
$$
���~$N$---Ƶ���, � $s(a)$~�������ϵ��� ľ��û��~(7). (b)~���¾Ͻ�� �����
��������� ��������ϼ� �����~$1/\sqrt{s_1^2+\cdots+s_n^2}$. (c)~����
°��� ������������µ�, ���������ɸ� $n\hbox{-����˹}$
�ñ~$0\le x_1,~\ldots, x_n<1$, �����~$\abs{s_1}+\cdots+\abs{s_n}-\delta$,
���~$\delta=1$, ����~$s_i s_j < 0$ ��� ����¾���~$i$, $j$, � ���¸����
���ǰ�~$\delta=0$.

\emph{װ��ǰ���.} ߾ ������ Ӹ�����, ���������µ�̽˵ ���ǰ��˵ ���¾��,
�������˲���˵ ������˼� ������ͽ½˼� ��¾����, "��°���� �����˼
������� � ����������". �¾ ÿ�������� ñ���µ�̽� ����������õ� ��ô���²�
�������� ������ͽ½�� ���������µ�̽��µ� ��� ���������� � ��¾��
ܾ�µ-ڰ���, ���� ����õ��� ������� �����ȵ���. ݰ������, ���ż���˵
���¾��~$(U_k, U_{k+1}, U_{k+2})$, �������˲���˵ ���Ǹ���~(14), ��� �����
� ��������̽�� ����������, ���¾�ɸ� ��ó �� ��ó� �� $1/\nu_3\approx 0.001$~������.

%% 126
\subchap{������ ���� ��������� ������� } % 3.4
�� ö� �����, ��� � ������� ��Ǹ���µ�̽�� ��ȸ�� �������˲���
���������µ�̽���� Ǹ���~$U_0$, $U_1$, $U_2$,~\dots, ��¾�˵ ����� ����
°�, ��� ���� �� �� �˱����� ���ǰ��� � ���������� �� ������²� Ǹ���,
���������� �������������� ����� �û�� � �����Ƶ�. Ի� ����¸ǵ����
���������� ǰ�¾ �˲��� �ö�� ���ǰ��˵ ����Ǹ�� � ��ó��� ������������ϼ�.
ݰ������, ���� �� ž¸� ������� �˱�� ����� $k$~�������˼� ���µ���¸����,
��� ����� ������������ ���ǰ��˵ \emph{Ƶ�˵ Ǹ���} ��~$1$ ��~$k$. ����
��� ����¾���� ������������� ��������� ���ǰ��˵ �������º� ������� �����
������-¾ ���������˼� ����¸ϼ�, ���̷����� ���ǰ��˼� ����Ǹ���� �
"ͺ������Ƹ��̽˼ ��������������". ؽ���� �� ����ɵ �� �ö������ �
���ǰ���� \emph{Ǹ����,} � ��µ���õ��� ���ǰ��˼� �����°�������
(����°������ $n$~ͻ����¾� � ���ǰ���� ���ϴ��) ��� ���ǰ��˼�
��ǵ°��ϼ� (�.~�.~���ǰ��˼ �˱���� $k$~ͻ����¾� �� $n$~���������).

� ����Ƹ�� �α�� �� �¸� ���ǰ���� ����Ǹ� ����� ����Ǹ�� � �������
���ǰ���� ���������� �������������� Ǹ���~$U_0$, $U_1$, $U_2$,~\dots%
\note{1}{
ݸ�� �����, ��� ��������� ����¾ � ���ǰ���� Ǹ����,
������ü������� ���ǰ��˵ Ǹ��� � ���������˼ �������������� �
��µ�����~$(0, 1)$.---{\sl ����. �����.\/}}. Ի� �¾�� ��ɵ�²õ� �ϴ ������
�������, ��ĵ�¸��� �����̷õ��� ��� ����µ �� ��Ǹ���µ�̽�� ��ȸ���,
ط�ǵ��� �¸� ������� ������ϵ� ������, ��� ����� ��������� ���ǰ��˵
Ǹ��� � �α�� ����������� ��¾�� ܾ�µ-ڰ���.

ܾ��� �����¸��, �¾ �����-���ô� �¾-���ô� ������µ� ���Ǹ�,
�������˲��ɸ� �¸ ��ó�� ���ǰ��˵ ����Ǹ�� \emph{���������²����,} �
�� � ������� ���ǰ���� Ǹ��� � ���������˼ ��������������. ����� ���ǰ�
���Ǹ�� "���ǰ���� ��¾�", ���������� � �.~3.2.2, �� ��� ��� �� �˻�
��������, �¾ �����-���� ������˹ ��ϼ�� ��¾� ����� ��������� ����� �˳���˼.

� ������ɵ� ������� �ô�� ������������, �¾~$U_0$, $U_1$,
$U_2$,~\dots---���ǰ���� ���������µ�̽���� ����²�µ�̽�� Ǹ���, ����������
�������������� ����� �û�� � �����Ƶ�. �ú���~$U$ ��� ������� �ô��
������ǰ�� µ��ɸ� ͻ����� �¾� ���������µ�̽��¸. �ô�� �Ǹ°��, �¾
�����~$U$ �������˲����� ���������� �� ¾��, ����������� �� ��� ��� ���
���. ޱ�ǽ� ���ǰ��˵ Ǹ��� �����°������� ��������˼ ����� �����
��Ǹ���µ�̽�� ��ȸ��,
%% 127
� �������������, �¾ ����¸ǽ�� ¾Ǻ� ����������� �����. ھ��ǽ�, ��
����� ���� Ǹ��� � ��ȸ�� �����°��ϵ��� � ������ǵ���� ¾ǽ�����. �
���� �° ¾ǽ���� �� �����-���� ���Ǹ�� �������� �����°¾ǽ��, ������
����� ���������� ������̺�~$U$ ����� Ǹ��� � ����� ������� ¾ǽ�����.

\subsubchap{�����˵ �������������}
� �¾� ������� �������˲����� � �������� �����½��
��¾��� ����ǵ��� ���ǰ���� ����Ǹ� ��� �����ǽ�� ������ �������������.
ܽ���� �� �¸� ��¾��� �������ǰ�̽� �˻� ���������� Զ���� ľ� ݵ������ �
��ǰ�� 50-� �����, � ��µ� ���µ����� û��Ȱ���� ��ó��� �δ̼�, ��������
Զ������ ܰ����̵�.

\section{A.~��ǰ��˹ �˱�� �� ����ǽ��� ������²�}. ����µ�ȸ� � ��������
��ɸ� ¸��� �������������, ����ž����� ��� ����¸��, ϲ������
������������� \emph{Ƶ��Ǹ�������} ���ǰ���� ����Ǹ�. 浻�� Ǹ��� ��~$0$
��~$7$ ����� ������� �� 3~��¾� �����~$U$ � ����ǽ�� ��Ǹ���µ�̽�� ��ȸ��.
 � �¾� ���ǰ� ��� ����õ� ����� �� \emph{����� �°�ȸ�} (�����) ����ϴ��
�����, °� ��� � ������ ���Ǹ��� ����ȸ� ����ϴ� �����°¾ǽ� ���ǰ���.
(�¾ ���ö������ �~�.~3.2.1.1.)

Ҿ��ɵ, �¾�� ����Ǹ�� ���ǰ���� Ǹ���~$X$ �����~$0$ �~$k-1$, �� �����
\emph{ü������}~$U$ ��~$k$ � ��������~$X=\floor{kU}$. Ի�~\MIX{} ����� ��������
$$
\vcenter{
\mixcode
LDA & U
MUL & K
\endmixcode
}
\eqno(1)
$$

߾��� ¾�� ��� �¸ ��� ������� �ô�� �˿������, ������� Ƶ��� Ǹ���
�������� � ��������~$A$. ���� ����õ��� ���ǰ���� Ƶ��� �����~$1$ �~$k$, ��
������ϵ� � ���û�°�� �������. [װ~(1) ������õ� �������~"|INCA~1|".]

�¾� ��¾� ���� ������ Ƶ��� Ǹ��� � ������ �����½�����. [ݵ����Ⱦ�
�ȸ����, �˷������ ����ǽ����� ������� ��ȸ����� ����� (��.~ÿ�.~2),
������ ����� ����������, ���� $k$~����, �������� ����~$k/m<1/10000$.] �
����� ��ɵ� ���ǰ� �� ����� �� ��žµ�� ��������� �����ǽ˼ Ƶ�˼ Ǹ����
����˵ ����. �����������, �¾ ���ǵ���~$X=x_1$ ������ ����ǰ���� �
�����½�����~$p_1$, $X=x_2$ � �����½�����~$p_2$,~\dots, �~$X=x_k$ �
�����½�����~$p_k$. �� ����� ������°�� ���������� ��������������
Ǹ���~$U$ � �������
$$
X=\cases{
x_1, & ����~$0\le U < p_1$;\cr
x_2, & ����~$p_1\le U<p_1+p_2$;\cr
\ldots\cr
x_k, & ����~$p_1+p_2+\cdots+p_{k-1}\le U < 1$.\cr
}
\eqno(2)
$$
(װ��¸�, �¾~$p_1+p_2+\cdots+p_k=1$.)
%% 128

��ɵ�²õ� ��¸���̽˹ ������ ���������~$U$ �
�����ǽ˼� ���ǵ��ϼ�~$p_1+p_2+\cdots+p_s$, ��� �¾ ����õ��� ���
��Ǹ������~(2); �¾ ���ö������ � �.~2.3.4.5. ܾ���
������̷������� °��� �������� "����� � °���Ƶ", ����ɵ��� � ����¾���
��ȸ���. � ǰ�½˼ ���ǰϼ ��������� ����� ��ĵ�¸��˵ ��¾��. ݰ������,
�¾�� ����Ǹ�� ���� �� �������ư¸ ���ǵ���~$2$, $3$,~\dots, $12$ �
���²���²��ɸ�� �����½���ϼ�~$1\over 36$, $2\over 36$,~\dots, $6\over
36$,~\dots, $2\over 36$, $1\over 36$, ����� �� ��Ǹ����� ��� �����������
���ǰ���� Ƶ��� Ǹ��� ��~$1$ ��~$6$, � ��µ� �� �������.

޴���� �� ���� �� ����Ǹ������� ��ȵ �������� �� ������ϵ� ��������̽�
������ �˱����~$x_1$,~\dots, $x_k$ � ������̽˼� �����½���ϼ�.
׽�Ǹµ�̽� ����� ��ĵ�¸��˹ ��� ����ȸ��²� ���ǰ�� ��¾�, ������ɸ�
������Ⱦ�� ò���ǵ��� ����¸, ��������������� � ÿ�.~20 �~21.

\section{B.~ޱɸ� ��¾�� ��� ������˲��� �������������}. ᰼�� ��ɵ�
������������� ����²�µ�̽�� ���ǰ���� ����Ǹ� ����˲����� � µ������
"�ý�Ƹ� �������������"~$F(x)$; �� ����õ�, �¾�� ���ǰ���� ����Ǹ��~$X$
��������� ���ǵ���, ����ȵ� ��� ������~$x$, � �����½�����~$F(x)$:
$$
F(x)= \hbox{�����½����} (X\le x).
\eqno (3)
$$
�° �ý�Ƹ� ������ ����¾��� ò���Ǹ������ �� �û� �� �������:
$$
F(x_1) \le F(x_2), \rem{����~$x_1\le x_2$; $F(-\infty)=0$, $F(+\infty)=1$.}
\eqno (4)
$$
������� �ý�Ƹ� ������������� ���������� � �.~3.3.1, ���.~3. ����~$F(x)$
������˲�� � ������ ������°�� (°� �¾~$F(x_1)<F(x_2)$, ����~$x_1<x_2$),
��� ��������� ��� ���ǵ��� ����� �û�� � �����Ƶ�, � ��ɵ�²õ� ����½��
�ý�Ƹ�~$F^{-1}(y)$, °���, �¾ ����~$0<y<1$, ¾
$$
y=F(x) \hbox{ ¾��� � ¾�̺� ¾���, ����� } x=F^{-1}(y).
\eqno (5)
$$
ޱɸ� ������ ��Ǹ������ ���ǰ���� ����Ǹ��~$X$ � ������˲��� ������
������°�ɵ� �ý�Ƹ�� �������������~$F(x)$ �����ǰ���� � ¾�, �¾ ��������
$$
X=F^{-1}(U).
\eqno(6)
$$

� ����� ����, �����½���� ¾��, �¾~$X\le x$, ϲ�ϵ��� �����½����� ¾��,
 �¾~$F^{-1}(U)\le x$, �.~�.\ �����½����� ����¸�~$U\le F(x)$, � ��� �����~$F(x)$.

⵿��� ����ǰ �������� � ����� �� ������� Ǹ�������� ������� ���
����������� ž��ȸ� ��¾��� ��Ǹ������~$F^{-1}(U)$ � ������ɵ��� ¾ǽ�����.
������˹ ������ ��ž��� �� ����� �¾� �����. ޴���� ��ɵ�²õ� �ϴ
������ ��Ƹ����̽�� �������,
%% 129
��������� ��� ��������� �¾�� ��ɵ�� ��¾��, � �� �� ����� ����������.

������ �����, ����~$X_1$ �~$X_2$---���������˵ ���ǰ��˵ ����Ǹ�� �
�ý�Ƹϼ� �������������~$F_1(x)$ �~$F_2(x)$, ¾
$$
\eqalign{
\max(X_1, X_2) & \rem{����� �������������~$F_1(x)F_2(x)$,}\cr
\min(X_1, X_2) & \rem{����� �������������~$F_1(x)+F_2(x)-F_1(x)F_2(x)$.}\cr
}
\eqno(7)
$$
(�.~ÿ�.~4.) ݰ������, ���ǰ���� Ǹ���~$U$ ����� �ý�Ƹ�
�������������~$F(x)=x$ ���~$0\le x < 1$. ����~$U_1$, $U_2$,~\dots,
$U_t$---���������˵ ���ǰ��˵ Ǹ���, ¾~$\max(U_1, U_2,~\ldots, U_t)$ �����
�ý�Ƹ� �������������~$F(x)=x^t$, $0\le x < 1$. �¾ ����� � ������ µ�°
"�������ȵ� ��~$t$", ���������� �~�.~3.3.2. װ��¸�, �¾ ����½�� �ý�Ƹ�
� �¾� ���ǰ� ����~$F^{-1}(y)=\root t \of{y}$. ⰺ�� �������, � ǰ�½��
���ǰ�~$t=2$ �� �����, �¾ ��� ľ��û�
$$
X=\sqrt{U} \hbox{ � } X=\max(U_1, U_2)
\eqno (8)
$$
�������� � ͺ�������½˼ ������������ϼ ���ǰ���� ����Ǹ��~$X$, ž�� ��
����˹ ����ϴ �¾ �� �ǵ�����. �� ��������� �� ����ž�����¸ ��Ǹ�����
������½˹ ������ �� ���ǰ���� ����Ǹ��.

ⰺ�� ������� �������ǽ� �����. �α�� ������¼, ��¾���� �� �ž�� ��������
���ǰ��˵ Ǹ���, �� ��ž�� �˴��� ���ǰ���� ����Ǹ�� � \emph{����¾�˼}
��������������. װ��ǰ �����ǰ���� � ����������� ��ɸ� ��¾��� ����������
������¼�, ���� �������� �ý�Ƹ� ������������� �� ��ž��.

߾�̷���� ���½�ȵ����~(7), ����� ����Ǹ�� \emph{������������} ����
�ý�Ƹ� �������������. ��ɵ�²õ� °��� ��¾� \emph{���ȸ�����} ����
�������������: �����������, �¾
$$
F(x)=pF_1(x)+(1-p)F_2(x), \rem{$0<p<1$.}
\eqno (9)
$$
�� ����� ��Ǹ����� ���ǵ��� ���ǰ���� ����Ǹ��~$X$ �
��������������~$F(x)$, ��������� ���ǰ�� ���ǰ���� Ǹ���~$U$. ����~$U<p$,
 �Ǹ°��, �¾ $X$~����� �������������~$F_1(x)$, ���� ��~$U\ge p$,
¾~$X$---���ǰ���� ����Ǹ�� � ��������������~$F_2(x)$.

�° ���Ƶ���� ����� ���� �ǵ�� �������, ���� $p$~������ � �����Ƶ,
�~$F_1(x)$---�������������, ��¾��� ����� ������������. ⾳��, �������� ��
¾ �¾ ������º� ���ǰ���� ���ǵ��� �� �������������~$F_2(x)$ ����� ����
����� ��ô������, ǵ� ��� ������ɵ���� ������� �������������~$F(x)$,
����� ��ô�˵ ��Ǹ������ ������ �ô�� ����������� �����, �
�����½�����~$(1-p)$. ݸ�� �� ò����, �¾ �° ���� � ����ž� �����̷õ���
��� ������̺�� ������ ���ǰ��.

\section{C.~ݾ����̽�� �������������}. \dfn{ݾ����̽�� ������������� ��
������� ���ǵ����, ����˼ �û�, � �°����½˼ �º��������, ����˼
%% 129
�����Ƶ,} ϲ�ϵ���, ��������, ������ȸ� �� ������������� ������˲��� �������������:
$$
F(x)={1\over \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}\,dt.
\eqno(10)
$$
Ի� ������º� ������̽� �������������� ���ǰ���� ����Ǹ� ��ɵ�²õ�
������̺� �������.

{\sl (1)~ܵ¾� �������� ���������.\/}

\alg �.(ܵ¾� �������� ��������� ��� ������̽��� �������������.) �¾�
������¼ ��Ǹ��ϵ� ��� ���������˵ ������̽� ������������˵ ���ǰ��˵
����Ǹ��~$X_1$ �~$X_2$ �� ��ü ������˼ ���������˼ ���ǰ��˼ Ǹ����~$U_1$ �~$U_2$.

\st[߾��Ǹ�� ���ǰ��˵ Ǹ���.] ������°�� ��� ����������� ���ǰ����
Ǹ���~$U_1$, $U_2$, ���������� �������������� ����� �û�� � �����Ƶ�.
��°������~$V_1\asg 2U_1-1$, $V_2\asg 2U_2-1$. (⵿���~$V_1$ �~$V_2$
���������� ������������ �����~$-1$ �~$+1$. Ի� ����ȸ��²� ��ȸ� � �¾�
������ �������¸µ�̽�� �����°����~$V_1$ �~$V_2$ � ľ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��.)

\st[��Ǹ�����~$S$.] ��°������~$S\asg V_1^2+V_2^2$.

\st[$S\ge 1$?] ����~$S\ge1$, ��������� � Ȱ��~\stp{1}. (谳� �~\stp{1}
��~\stp{3} � ������� �˿�������� $1.27$~��� ��� �°����½��
�º�������~$0.587$; ��.~ÿ�.~6).

\st[��Ǹ�����~$X_1$, $X_2$.] ���������~$X_1$, $X_2$ ���ǵ���, ��Ǹ�����˵
�� ľ��û��
$$
X_1=V_1\sqrt{-2\ln S\over S}, \qquad
X_2=V_2\sqrt{-2\ln S\over S}.
\eqno(11)
$$

�¾ � ���� ������ɸ��� ���ǵ��� ������̽� �������������� ���ǰ���� ����Ǹ�.
\algend

�¾�� ��������, �¾ ��¾� ¾ǵ�, ������̷õ��� ͻ����°���� �����¸ǵ����
����������. ���� �� Ȱ��~P3 $S<1$, ¾Ǻ� �������¸ � �����¾�˼�
��������°��~$(V_1, V_2)$ ϲ�ϵ��� \emph{���ǰ���� ¾Ǻ��, ����������
�������������� ������ �����ǽ��� ��ó�.} ߵ��ž�� � ������˼
��������°�~$V_1=R\cos\Theta$, $V_2=R\sin\Theta$, ��ž���~$S=R^2$,
$X_1=\sqrt{-2\ln S}\cos\Theta$, $X_2=\sqrt{-2\ln S}\sin\Theta$. �����̷��
°��� ������˵ ����������~$X_1=R'\cos\Theta'$, $X_2=R'\sin\Theta'$, ��
�����, �¾~$\theta'=\theta$ �~$R'=\sqrt{-2\ln S}$. ����, �¾~$R'$
�~$\Theta'$ ����������, °� ���~$R$ �~$\Theta$ ���������� ������ �����ǽ���
��ó�. ����� ¾��, $\Theta'$~���������� ������������ �����~$0$ �~$2\pi$, �
�����½���� ¾��, �¾~$R'\le r$, ����� �����½��¸ ����¸�---$2\ln S \le
r^2$, �.~�.\ �����½��¸ ����¸�~$S\ge e^{-r^2/2}$. ߾�������
�����~$1-e^{-r^2/2}$, ������̺�~$S=R^2$ ���������� ������������ �����
�û�� � �����Ƶ�.
%% 131
ҵ���½���� ¾��, �¾ $R'$~����� �����~$r$ �~$r+dr$, ����� ���¾��
����������� ��~$1-e^{-r^2/2}$, � ������~$re^{-r^2/2}dr$. ߾����˼ ��
������� �����½���� ���������~$\Theta'$ � ��µ���� �����~$\theta$
�~$\theta+d\theta$ ����~$(1/2\pi)d\theta$. ߾�¾�� �����½���� ¾��,
�¾~$X_1\le x_1$, �~$X_2\le x_2$, �����
$$
\eqalign{
\int_{\{\, (r,\theta) \mid r\cos\theta \le x_1, r\sin\theta\le x_2\,\}}{1\over 2\pi}e^{-r^2/2}r\,dr\,d\theta&=\cr
&={1\over 2\pi}\int_{\{\,(x,y) \mid x\le x_1, y\le x_2\,\}}e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy=\cr
&=\left(\sqrt{1\over 2\pi}\int_{-\infty}^{x_1}e^{-x^2/2}\,dx\right)\left(\sqrt{1\over 2\pi}\int_{-\infty}^{x_2}e^{-y^2/2}\,dy\right).\cr
}
$$

�¾ �����˲���, �¾~$X_1$ �~$X_2$ ���������� � ������̽� ������������, ���
� �����������. л����¼~P ���������� Զ.~Ѿ��, �.~ܰ���� �~Զ.~ܰ������.

{\sl (2)~ܵ¾� ܰ����̸ (��¾� ��ϼ�ó��̽���---�����---Ų��°).\/}

� �¾� ��¾�� �� �����̷õ� �������������
$$
F(x)=\sqrt{2\over\pi}\int_0^x e^{-t^2/2}\,dt \rem{$x\ge0$,}
\eqno(12)
$$
°� �¾ $F(x)$~ϲ�ϵ��� �ý�Ƹ�� ������������� \emph{���û�} ������̽��
���ǰ���� ����Ǹ��. ߾��� ��Ǹ������~$X$ � ���²���²�� � �¸�
�������������� �� ���ǵ��� ������˲����� ���ǰ��˹ ����, � ���û�°µ ��
����ǰ�� ������̽�� ���ǵ��� ������̽�� ���ǰ���� ����Ǹ��.

ޱɸ� ���ž� ܰ����̸, ��������ɸ� ��ĵ�¸��� �����̷����� ���ǰ��˵
Ǹ���, �ô�� ���������������� �� ������� �������������~(12). ط�ǰ� �¾�
ǰ�½˹ ������, �� ������������ ÷���� ������̺� ��ɸ� ��¾���.

װ ������ ����������� ������ɵ� �����°������:
$$
F(x)=p_1F_1(x)+p_2F_2(x)+\cdots+p_nF_n(x),
\eqno(13)
$$
���~$F_1$, $F_2$,~\dots, $F_n$---����¾�˵ �������������. ��ǰ����
����Ǹ��~$X$ ¾��� �������ϵ��� �� �������������~$F_j$ �
�����½�����~$p_j$. ݵ��¾�˵ �� �������������~$F_j(x)$ ����� ���������
�����̽� ��ô�˼� ��� ��Ǹ������, �� �� ���ǽ� ��������� �� °�, �¾�� �
�¾� ���ǰ� �����½����~$p_j$ �˻� �ǵ�� ����. Ѿ��ȸ��²� �ý�Ƹ�
�������������~$F_j(x)$ �������� �ǵ�� �����˼�, �ô�Ǹ �������̽˼�
����ĸ��Ƹϼ� ������������ �������������. ܵ¾� � Ƶ��� ������ϵ�
��������� ������ǰ��� ��ĵ�¸��˵ ���������, °� ��� \emph{�������} �����
��Ǹ������ �ǵ�� ����.

%% 132

ܵ¾� ���ǵ ������, ���� ����� ���� � \emph{���������˼�} �ý�Ƹ�
������������� ����¾ ����� �������������. ޱ����Ǹ�
$$
f(x)=F'(x), \qquad f_j(x)=F'_j(x).
$$
�ý�Ƹ�~$f(x)$ �~$f_j(x)$ ���˲����� \dfn{���½���ϼ�} �¸� �����½��½��
�������������. ���������~(13) ��������õ��� �
$$
f(x)=p_1f_1(x)+p_2f_2(x)+\cdots+p_nf_n(x).
\eqno(14)
$$
ڰ����~$f_j(x)\ge0$, � ������ ���ɰ�� ��� ������~$f_j(x)$
�����~$1$. ߾�¾�� ��ɵ�²õ� ����°� ���ĸǵ���� ��µ����°Ƹ�
���½�ȵ���~(14). ߻�ɰ�� ��� ���ĸ���~$f(x)$ ������� �� $n$~ǰ�µ�,
������ �� ��¾��� ����� ���ɰ��~$p_j$ � ���²���²õ�~$f_j(x)$. ߾������µ
�� ���.~9, ��������ɸ� ���ðƸ� ��� ���ǰ�, ��¾�˼ �� ���ǰ� ��µ���õ���,
�����~$f(x)=F'(x)=\sqrt{(2/\pi)}e^{-x^2/2}$. ߻�ɰ�� ��� ������ �� ���ý��
��������� �� $n=37$~ǰ�µ�: $12$~�����̽�
\picture{��.~9. ��¾½�� �ý�Ƹ�, ���¾�ɰ� �� 37~ǰ�µ�. ��ǰ����
����Ǹ�� ��Ǹ��ϵ��� � ������� �¾�̺� ��� ������ ���ɰ�� ǰ�¸,
���²���²��ɵ� �� ǰ�¾µ.}
����ȸ� ��ϼ�ó��̽����,  ��¾�˵ ���²���²���~$p_1f_1(x)$,~\dots,
$p_{12}f_{12}(x)$, $12$~÷��� ������ȸ� ��ϼ�ó��̽����, ����˺��ɸ�
������ � ����˴�ɸ� � ���²���²��ɸ�~$p_{13}f_{13}(x)$,~\dots,
$p_{24}f_{24}(x)$, $12$~������������� ĸ���, �����°����ɸ�
�ý�Ƹ�~$p_{25}f_{25}(x)$,~\dots, $p_{36}f_{36}(x)$, � ��°�Ȱ���
ǰ���~$p_{37}f_{37}(x)$, ��������ɰ� �~$f(x)$ ���~$x\ge3$.

��ÿ��̺�~$f_1(x)$,~\dots, $f_{12}(x)$ ����˲��� \emph{���������˵
�������������.} ݰ������,  $f_3(x)$ �²�ǰ�� ���ǰ���� ����Ǹ��, �����-
%% 133
����� �������������� �����~$1/2$ �~$3/4$. �� ž¸� ����������~$p_1$, $p_2$,~\dots,
$p_{12}$ °�, �¾�� ��ĵ�¸��� �������˲��� ������̽˵ ���ǰ��˵
����Ǹ��. (�����������, �¾ �� ����� ���� � ����ǽ�� ��ȸ���; ���
����¸ǽ�� ������ϵ��� �������ǽ�� ���Ƶ����.) �˱���� �� ���½˼�, ������,
$1/256$. �¾ ����ǰ��, �¾ ���ɰ�� ���~$p_j f_j(x)$ �ô�� ���½�~$1/256$.
������ ������~$f_j(x)$ ������
$$
\floor{64 f(j/4)}/64 \rem{$1\le j \le 12$.}
$$

� °���Ƶ ���������� ����ǰ�ɸ��� ��� �¾� ���ǵ��� �����½��µ�:
$$
\matrix{
 p_1          & p_2         & p_3         & p_4         & p_5         & p_6         & p_7         & p_8        & p_9        & p_{10}     & p_{11}     & p_{12}     & (p_{13}+\cdots+p_{37}) \cr
 49 \over 256 & 45\over 256 & 38\over 256 & 30\over 256 & 23\over 256 & 16\over 256 & 11\over 256 & 6\over 256 & 4\over 256 & 2\over 256 & 1\over 256 & 0\over 256 & 31\over 256.\cr
}
\eqno(15)
$$

���δ� ����õ�, �¾ �������Ƹ� ����������� �������������~$F_1$,~\dots,
$F_{12}$ ������~$p_1+p_2+\cdots+p_{12}=88\%$~������� (88\%~���ɰ��
���~$f(x)$ �������� ����ȸ� ��ϼ�ó��̽���).

ܰ����̵� �˻ ��������� ��ĵ�¸��˹ ������ �˱��� �� 13~���������µ�,
�����°������� �~(15). ��� �������� ���ǰ���� ����ǽ�� Ƶ��� Ǹ��� �
�������º� ��~$0$ ��~$255$, ����ǽ�� �����°������ ��¾����
����~$b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8$, �� ����ÿ��� ������ɸ� �������:
$$
\vcenter{\halign{
#\bskip&\hfill$#$&${}#\quad$\hfill&{\vtop{\hsize=0.5\hsize\noindent#\par}}\cr
����&   0&\le b_1b_2b_3b_4 < 10,            & ��������~$X=A[b_1b_2b_3b_4]+{1\over4}U$;\cr
����&  40&\le b_1b_2b_3b_4b_5b_6<52,        & ��������~$X=B[b_1b_2b_3b_4b_5b_6]+{1\over4}U$;\cr
����& 208&\le b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8<225, & ��������~$X=C[b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8]+{1\over4}U$;\cr
����& 225&\le b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8,     & �������˲���~$X$, �����̷�� �������������~$F_{13}$,~\dots, $F_{37}$, ��� ����˲����� ����.\cr
}}
\eqno (16)
$$

״���~$A$, $B$, $C$---��������µ�̽˵ �������, ���������˵ � °��.~1,
a~$U$---���ǰ���� Ǹ��� (��~$0$ ��~$1$).

�¾�� ������, ��ǵ�� �° ���Ƶ���� ����°��, ����������, ��������,
���ǰ�~$j=4$. �ý�Ƹ�~$F_4(x)$---�¾ ����������� ������������� ���ǰ����
����Ǹ�� (�����~$3/4$ �~$1$), ��¾��� �����
���ǰ���� ����Ǹ��~$X={3\over4}+{1\over4}U$. ҵ���½���� ¾��, �¾
�¾ ������������� ������õ��� � ��������� ��ȵ ��¾��, °����:
${1\over16}\times\left(\hbox{Ǹ��� ���, ��¾��� "}{3\over4}\hbox{"�����ǰ����
� �������}~A\right)+{1\over 64}\times
(\hbox{�������ǽ�� Ǹ��� "��ϲ�����" � �������}~$B$)+
{1\over 256}\times  (\hbox{Ǹ��� "��ϲ�����" � �������}~C)$.
%% 134
\htable{ⰱ��ư~1}%
{ⰱ���� ��� ��ĵ�¸����� �˱��� �� 12 ���µ���¸� � ��¾��~(16)}
{$\displaystyle#\quad$\hfil&$\displaystyle#\quad$\hfil&$\displaystyle#$\hfil\cr
A[0]=0         & B[40]={1\over4} & C[208]=0\cr
A[1]=0         & B[41]={1\over4} & C[209]={1\over4}\cr
A[2]=0         & B[42]={1\over4} & C[210]={1\over2}\cr
A[3]={1\over4} & B[43]={1\over2} & C[211] ={1\over2}\cr
A[4]={1\over4} & B[44]={3\over4} & C[212]={3\over4}\cr
A[5]={1\over2} & B[45]={3\over4} & C[213]={3\over4}\cr
A[6]={1\over2} & B[46]={3\over4} & C[214]=1\cr
A[7]={3\over4} & B[47]=1         & C[215]=1\cr
A[8]=1         & B[48]={3\over2} & C[216]=1\cr
A[9]={5\over4} & B[49]={3\over2} & C[217]={3\over2}\cr
               & B[50]={7\over4} & C[218]={3\over2}\cr
               & B[51]=2         & C[219]={3\over2}\cr
               &                 & C[220]={7\over4}\cr
               &                 & C[221]={7\over4}\cr
               &                 & C[222]={9\over4}\cr
               &                 & C[223]={9\over4}\cr
               &                 & C[224]={5\over2}\cr
}
޽� �����~${1\over16}+{3\over 64}+{2\over 256}={30\over 256}=p_4$, °�
�¾ $F_4(x)$~�������õ��� � ������̽�� �����½�����. ھ��ǽ�, �˻� �� �ɵ
������� ������̷������� ��ó�� ��¾���:
$$
\displaylines{
\hbox{"����}~0\le b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8 < 225, \hbox{ �������� }\cr
X=T[b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8]+{1\over4}U\hbox{"}\cr
}
$$
����¾ ������ ���� ��������~(16). ״��� $T$~���������� �� °���Ƶ� ��
225~Ǹ���, 49 �� ��¾��� ����ϻ��� ��~"$0$", 45~Ǹ���
����ϻ��� ��~$1\over4$, 38~��� ���¾�ϻ��� ��~$1\over2$ �~�.~�. Ի�
��������� � ����˴�ɵ� ��¾�� �����̷õ��� ¾�̺� °���ư, �������ɰ�
39~����Ǹ�, � �� ��������� ���������, °� ���
��������~"$b_1b_2b_3b_4b_5b_6<52$?", �������� �� �����~$3/8$ ����� �������,
� ��������~"$b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8<225$?" ����õ� ¾�̺�
$3/16$~�������. �������� ����¸ � ��¾��, ��������~(16), �ɵ ���Ǹµ�̽��
� ��ɵ� ���ǰ�, ����� ������� ����ȵ 256~���������µ�.

�°µ�� ����õ� � �¾� ���µ ������� ��÷�, �¾�� �ɰµ�̽� ���Ǹ��
���� ��¾�, ���� �� �� ������, ��-�� ǵ�� �� ľ��û��~(16)
�������������~$F_j$ �˱������� � �����½���ϼ�~$p_j$ ���~$1\le j \le 12$.

������������~$F_{13}(x)$,~\dots, $F_{24}(x)$---°��� ���������˵, � � ����
����� ����ÿ��� �������ǽ�. ޽� ����� �����̽� ����� �����½����
%% 135
$\bigl($����¾��� Ǹ��� �����~$0$ �~${1\over256}\bigr)$, ���¾��
�������� ��ĵ�¸��� ��������� �¸ �����½��¸ � ������� ǰ�¸
��ȵ�� ������¼� ��� ������º� ������̽�� ���ǰ���� ����Ǹ�, ��¾�˹
�ô�� �����̷������� �� ���Ⱥ�� ǰ�¾ (��.~Ȱ�~M4 � ������¼�~M, ����).
�¸ ������������� �����°����� ����� �������� � ����ȸ� ��ϼ�ó��̽����,
��������ɸ� ��� ���ó����� �����½��µ� ���~(15). �� �����
$$
p_j+p_{j+12}={1\over4}f(j/4), \rem{$1\le j \le 12$}.
\eqno(12)
$$

⵿��� �������� � ������� � ��Ǹ������ ���ǰ���� ����Ǹ� ��� �������������
�������������~$F_{25}(x)$,~\dots, $F_{36}(x)$. ⸿�ǽ˹ ���ǰ� ���������
�� ���.~10. ھ���~$x<1$, ������ �˿ú��
\picture{
 ��.~10. �ý�Ƹ� ���½��¸ �����½��¸, ��� ��¾��� ��� ������º�
 ���ǰ���� Ǹ��� ����� ���� �����̷���� ������¼~L.
}
�����, � ���~$x>1$---����, �� � ����� ���ǰ�� ������ �ǵ�� ������ � ��ϼ��
����� � ����� ���� �������, ��� �������� �� ���ý��, ����� ��ü� ��ϼ˼�.

\alg L.(߾�¸ ������˵ ���½��¸.) �¾� ������¼ ����� �����̷����� ���
������º� ���ǵ��� ���ǰ���� ����Ǹ��~$X$ ��� �α�� ���½��¸
�������������~$f(x)$, ô����²����ɵ� ������ɸ� ������ϼ (��.~�~���.~10):
$$
\displaynarrow{
 f(x)=0 \rem{���~$x<s$ �~$x>s+h$;}\cr
 a-b(x-s)/h \le f(x) \le b-b(x-s)/h \rem{���~$s\le x \le s+h$.}\cr
}
\eqno(18)
$$

\st[߾��Ǹ��~$U\le V$.] ������°�� ��� ����������� ���ǰ���� Ǹ���~$U$,
$V$, ���������� �������������� ����� �û�� � �����Ƶ�. ����~$U>V$,
�������� ���°��~$U\xchg V$.

\st[����¾� ���ǰ�?] ����~$V\le a/b$, �����¸ �~\stp{4}.

%% 136

\st[߾��°���� �ɵ ���?] ����~$V>U+(1/b)f(s+hU)$, ��������� ����½� �
Ȱ��~\stp{1}. (����~$a/b$ ������ �~$1$, �¾� Ȱ� ������¼� �ô��
�����̷������� �� ���Ⱥ�� ǰ�¾.)

\st[��Ǹ�����~$X$.] ��°������~$X\asg s+hU$.
\algend

Ի� ������µ���²� ������̽��¸ ������¼� ����¸�, �¾, ����� �� ���ž���
� Ȱ��~L4, ¾Ǻ�~$(U, V)$---�¾ ���ǰ����
\picture{��. 11. ޱ����� "�����¸� ���û�°°" � ������¼� L.}
¾Ǻ� � ������µ, ������������ �� ���.~11, � ������~$0\le U\le V \le U+(1/b)f(s+hU)$.

�������~(18) �����¸����, �¾
$$
{a\over b}\le U+{1\over b}f(s+hU)\le 1.
$$
⵿��� �����½���� ¾��, �¾~$X\le s+hx$ ���~$0\le x \le 1$,
����� �½�ȵ��� ���ɰ�� ����� �� ���¸���̽�� �����~$U=x$ �� ���.~11 ��
���� ���ɰ��, �.~�.\
$$
\int_0^x{1\over b}f(s+hu)\,du\bigg/ \int_0^1{1\over b}f(s+hu)\,du=\int_s^{s+hx}f(v)\,dv;
$$
���¾�� $X$~����� �ö��� �������������.

�¾�� �����̷����� �¾� ������¼, ��� ����ž���� ����������~$a_j$, $b_j$,
$s_j$, $h$ ��� ���½��µ� �����½��µ�~$f_{j+24}(x)$ (���.~9). ݵ��ô��
������, �¾ ���~$1\le j \le 12$
$$
\displaynarrow{
f_{j+24}(x)={1\over p_j+24}\sqrt{2\over\pi}(e^{-x^2/2}-e^{-(j/4)^2/2}), \rem{$s_j\le x \le s_j+h$;}\cr
h={1\over4}; s_j=(j-1)/4;\cr
p_{j+24}=\sqrt{2\over\pi}\int_{s_j}^{s_j+h}(e^{-t^2/2}-e^{-(j/4)^2/2})\,dt.\cr
}
\eqno(19)
$$
%% 137
����� ¾��,
$$
\eqalignter{
 a_j&=f_{j+24}(s_j)                & \rem{���~$1\le j \le 4$,}\cr
 b_j&=f_{j+24}(s_j)                & \rem{���~$5\le j \le 12$;}\cr
 b_j&=-hf'_{j+24}(s_j+h)           & \rem{���~$1\le j \le 4$,}\cr
 a_j&=f_{j+24}(x_j)+(x_j-s_j)b_j/h & \rem{���~$5\le j \le 12$,}\cr
}
\eqno(20)
$$
���~$x_j$---������ ���������~$f'_{j+24}(x_j)=-b_j/h$.

߾������� �������������~$F_{37}(x)$ ������ �������������� ¾�̺� ���� ���
�� ǵ��������. ޽� �����̷õ��� ������, ����� ������
\picture{
 ��.~12. л����¼ "��ϼ�ó��̽��-����-Ų���" ��� ������º� ������̽�
 �������������� ���ǰ���� ����Ǹ�.
}
����Ǹ���� ���û�°�~$X\ge 3$. � �¾� ���ǰ� ����� ��������� ����ĸ��Ƹ�
������¼�~P, ��� �������� ���� (Ȱ��~�8---�9). ������°��ϵ� Ǹ°µ��
����������� ��������, �¾ ���������˹ ��¾� ¾ǵ�.

⵿��� �������� ���Ƶ���� ���������.

\alg M.(ܵ¾� ܰ����̸---ܰ������� ��� ������̽�� ���ǰ���� ����Ǹ�.) � �¾�
������¼� �����̷����� ����¾�˵ ��������µ�̽˵ °�����, ��������˵, ���
������ϻ��� � µ��µ (������� ��������� � °��.~1 �~2). л����¼
���������� ��� ����ǽ�� ��ȸ��, ��� ����¸ǽ�� ��ȸ�� �� �������� �������ǽ�.
%% 138
\htable{ⰱ��ư 2}%
{������� °����, �����̷õ��� � ������¼�~M%
\note{1}{ݰ ����¸�� ����˵ ��� °����~$P$, $Q$, $D$, $E$ ����õ� ������ � ����ȵ� ¾ǽ�����.}
}%
{\hfil$#$\bskip&\hfil\bskip$#$\bskip\hfil&&\hfil$#$&$#$\bskip\hfil\cr
 j &  S[j]     &  &P[j] &  & Q[j]&  &D[j]& & E[j] \cr
 1 &  0        & 0&.885 & 0&.881 & 0&.51 & 16 \cr
 2 &  1\over 4 & 0&.895 & 0&.885 & 0&.79 & 8\cr
 3 &  1\over 2 & 0&.910 & 0&.897 & 0&.90 & 5&.33\cr
 4 &  3\over 4 & 0&.929 & 0&.914 & 0&.98 & 4 \cr
 5 &  1        & 0&.945 & 0&.930 & 0&.99 & 3&.08 \cr
 6 &  5\over 4 & 0&.960 & 0&.947 & 0&.99 & 2&.44 \cr
 7 &  3\over 2 & 0&.971 & 0&.960 & 0&.98 & 2&.00 \cr
 8 &  7\over 4 & 0&.982 & 0&.974 & 0&.96 & 1&.67 \cr
 9 &  2        & 0&.987 & 0&.982 & 0&.95 & 1&.43 \cr
10 &  9\over 4 & 0&.991 & 0&.989 & 0&.93 & 1&.23 \cr
11 &  5\over 2 & 0&.994 & 0&.992 & 0&.94 & 1&.08 \cr
12 & 11\over 4 & 0&.997 & 0&.996 & 0&.94 & 0&.95 \cr
13 &  3        & 1&.000 \cr
}

\st[߾��Ǹ��~$U$.] ������°�� ���ǰ���� Ǹ���~$U=.b_0b_1b_2\ldots{} b_t$.
(״���~$b$---���� � ����ǽ�� �����°������~$U$. Ի� ž��ȵ� ¾ǽ��¸~$t$
������ ���� �� ����ȵ~24.) ��°������~$\psi\asg b_0$. (߾���
$\psi$~����������� ��� ����������� ����� ���û�°°.)

\st[Ѿ��Ⱦ� ��ϼ�ó��̽��?] ����~$b_1b_2b_3b_4<10$, ���
"$b_1b_2b_3b_4$"~������ǰ�� ����ǽ�� Ƶ��� Ǹ���~$8b_1+4b_2+2b_3+b_4$, ��°������
$$
X\asg A[b_1b_2b_3b_4]+.00b_5b_6\ldots{} b_t
$$
� �����¸ �~\stp{10}. ؽ�ǵ, ����~$b_1b_2b_3b_4b_5b_6<52$, ��°������
$$
X\asg B[b_1b_2b_3b_4b_5b_6]+.00b_7b_8\ldots{}b_t
$$
� �����¸ �~\stp{10}. ؽ�ǵ, ����~$b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8<225$, ��°������
$$
X\asg C[b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8]+.00b_9b_{10}\ldots{}b_t
$$
� �����¸ �~\stp{10}.

\st[ڻ�� ��� Ų���?] ݰ�¸ \emph{�������ȵ�} ���ǵ���~$j$, $1\le j \le 13$,
 ��� ��¾����~$b_1b_2\ldots{}b_t<P[j]$. ����~$j=13$, �����¸ � Ȱ��~\stp{8}.

\st[㷺�� ��ϼ�ó��̽��?] ����~$.b_1b_2\ldots{}b_t<Q[j]$, ������°��
����� ���ǰ���� Ǹ���~$U$, ��°������~$X\asg S[j]+{1\over 4}U$ � �����¸ �~\stp{10}.

%% 139

\st[߾��Ǹ��~$U\le V$.] ������°�� ��� ����� ���ǰ���� Ǹ���~$U$, $V$;
����~$U>V$, �������� �� ���°��~$U\xchg V$. (⵿��� �˿���ϵ���
������¼~L.) ��°������~$X\asg S[j]+{1\over4}U$.

\st[����¾� ���ǰ�?] ����~$V\le D[j]$, �����¸ �~\stp{10}.

\st[�ɵ ���� ����º�?] ����~$V>U+E[j](e^{-(X^2-S[j+1]^2)/2}-1)$, ���������
� Ȱ��~\stp{5}; � ���¸���� ���ǰ� �����¸ �~\stp{10}. (�¾� Ȱ�
�˿���ϵ��� � ����� �����½�����.)

\st[߾��Ǹ��~$U^2+V^2<1$.] ������°�� ��� ����� ���ǰ���� Ǹ���~$U$, $V$.
��°������~$W\asg U^2+V^2$. ����~$W\ge1$, ���¾���� �¾� Ȱ�.

\st[��Ǹ�����~$X\ge 3$.] ��°������~$T\asg\sqrt{(9-2\ln W)/W}$.
��°������~$X\asg U\times T$. ����~$X>3$, �����¸ �~\stp{10}; � ���¸����
���ǰ� ��°������~$X\asg V\times T$. ����~$X\ge3$, �����¸ �~\stp{10};
���ǵ ��������� � Ȱ��~\stp{8}. (߾������� �����ž��� � �������� ����
���ǰ��, ����� �˿���ϵ��� ����˹ Ȱ�.)

\st[��������� ����.] ����~$\psi=1$, ��°������~$X\asg -X$.
\algend

ҵ�� ������¼ ϲ�ϵ� ����� ���̼� ����½˹ ������ ��µ��¸ǵ���� µ����,
���¾ ���������� ������°µ�̽����� ����������°. �¾ ����������
��������Ƹ� ������²� ����������������.

ⰱ����~$A$, $B$ �~$C$ ö� �˻� �������. ��°�̽˵ °�����, ����ž���˵
��� ������¼�~$M$, �������� ������ɸ� �������;
$$
\eqalign{
S[j]&=(j-1)/4,  \rem{$1 \le j \le 13$}; \cr
P[j]&=p_1+p_2+\cdots+p_{12}+(p_{13}+p_{25})+\cdots+(p_{12+j}+p_{24+j}), \rem{$1\le j \le 12$; $P[13]=1$;}\cr
Q[j]&=P[j]-p_{24+j}, \rem{$1\le j \le 12$;} \cr
D[j]&=a_j/b_j, \rem{$1\le j \le 12$;}\cr
E[j]&=\sqrt{2\over\pi} e^{-(j/4)^2/2}/b_jp_{j+24}, \rem{$1\le j \le 12$.}\cr
}
\eqno(21)
$$
[ҵ��Ǹ��~$a_j$, $b_j$, $p_{j+24}$ ������������ �~(19) �~(20).]

� °��.~2 ���ǵ��� ���������� ¾�̺� � ������̺��� ���ǰɸ�� Ƹ�����, ��
� ���¾�ɵ� ��������� ��� ������ ����� ¾ǽ����, ���²���²����� �������
��ȸ����� �����. Ի� ���� ��������µ�̽�� °���� ������¼�~M ����õ��� 101~��ȸ���� �����.

�¾� ��¾� ������ǰ��� �����˹, °� ��� 88\%~������� ����°�� ¾�̺�
Ȱ��~M1, M2 �~M10, ��°�̽˵ �� Ȱ�� °��� �� ���Ⱥ�� �������˵. ݰ ���.~9
�� ��������� ��µ���� ��~$0$ ��~$3$ �� 12~ǰ�µ�. ���� �� �� ��������� ���
�� ����ȵ� Ǹ��� ǰ�µ�, ������~48, ������������ �� ����� �����˵ °�����,
�� ��¾ ���  �¾� � 97\%~���ǰ�� ��Ǹ������ ������Ǹ������ ¾�̺�
%%140
Ȱ����~M1, M2, M10. ߾��˵ °����� ��� ��� ����ǽ��, °� � ��� ����¸ǽ��
��ȸ� ���������� � �°�̵ ܰ����̸, ܰ������� � ���� ({\sl CACM,\/} {\bf 7}
(1964), 4--10). ⰼ ��� ͺ������ ����¸ �������°� �������µ�̽˹ �����,
��Ϸ���˹ � ������˲����� ǰ�µ� °����~$A$, $B$, $C$ �~$S$.)

{\sl (3)~ܵ¾� ⵹������.\/} ݾ����̽˵ ���ǰ��˵ ����Ǹ�� ����� ����Ǹ��
°��� ������ɸ� �������. ������°�� 12~����������� ���ǰ���� Ǹ���~$U_1$,
$U_2$,~\dots, $U_{12}$, ���������� �������������� ����� �û�� � �����Ƶ�.
߾�����~$R=(U_1+U_2+\cdots+U_{12}-6)/4$. ��Ǹ����
$$
X=((((a_9R^2+a_7)R^2+a_5)R^2+a_3)R^2+a_1)R,
\eqno (22)
$$
���
$$
\displaynarrow{
 a_1=3.94984\,6138, \quad a_3=0.25240\,8784,\cr
 a_5=0.07654\,2912,  \quad a_7=0.00835\,5968,\quad a_9=0.02989\,9776.\cr
}
\eqno (23)
$$
ⰺ��~$X$ �ô�� ž��ȸ� ������������ ��� ������̽�� ���ǰ���� ����Ǹ��.
ݸ����� �� ����ǰ���� ���Ⱥ�� ����ȸ� ���ǵ���~$X$, �� � �����½�����,
����ȵ�~$1/50000$, �������˲����� ���ǵ���, �����Ȱ�ɸ� µ, ��� ��¾�
����°�� ������̽�.

ܵ¾� ������� �� ¾�, �¾ $R$~����� \emph{��������µ�̽�} ������̽��
������������� �� ������� ���ǵ���� �û� � �°����½˼
�º��������~${1\over4}$. �����~$F_1(x)$---��¸���� ������������� ���~$R$,
a~$F(x)$---������̽�� �������������, �������ϵ��� ľ��û��~(10).
߾�����~$X=F^{-1}(F_1(R))$; °� ���~$F_1(R)$---���������� ��������������
���ǰ���� ����Ǹ��, $X$~�ô�� ������������ ������̽�. ���û�~(22)
�����°��ϵ� ����������� �ý�Ƹ�~$F^{-1}(F_1(R))$ ��������� �
�������º�~$\abs{R}\le 1$.

{\sl (4)~��������� ��¾���.\/} �� ������� ��� ��¾�� ���
������º� ������̽�� ���ǰ���� ����Ǹ�. ܵ¾� �������� ��������� �����̽�
�������˹, �� ������Ǹ���� ������½�� ¾ǽ����. ճ� �����
�����������������, ���� ���� �°����½˵ ��������� ��� ��Ǹ������
������½��� ����� � ������ļ�. ܵ¾� ⵹������ °��� ����� ����������õ���,
��� ���� �� �ö�� ��ó�� �����������. ߾�¾�� �� �ö������ � ����ȵ�
����¸. ܵ¾� �¾� ����������˹, ž�� ��� ����ȸ��²� ���������� ����
���°¾ǽ�� ¾ǽ���� (�ȸ��� �� �����Ȱ��~$2\times 10^{-4}$
���~$\abs{R}\le 1$). ܵ¾� ܰ����̸ ���Ǹµ�̽� ������� �α�� ��ó�� �
������� ��¾�� �������� ��������� ����� ������½�� ¾ǽ����. Ի� ����
����ž���� ������������ ������½��� �����, ������ļ� � ������µ�̽��
�ý�Ƹ� �, ����� ¾��, ��������µ�̽˵ °����� ��� 100--400~����°��.
߾�¾�� ���������� � ����¸ �����̽� �������. ޴���� �� ����ȸ� ��ȸ���
�������� ��¾��
%% 141
\bye
