\input style

ల������� �������������� ���������µ�̽���� ϲ�ϵ��� 1-��������������.
װ��¸�, �¾ ����~$k>1$, ¾ $k\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽����
������ $(k-1)\hbox{-������������}$, ������̺� � ���½�ȵ���~\eqref[5] �����
��������~$u_k=0$ �~$v_k=1$. � ǰ�½��¸, �α�� 4-��������������
���������µ�̽���� ϲ�ϵ��� °��� � 3-��������������, 2-�������������� �
���������� ��������������. Ի� �������� ���������µ�̽��¸ ����� ��°����
���¸ �������ȵ�~$k$, °���, �¾ ���������µ�̽����
$k\hbox{-������������}$. �¾ �������� ��� � ������ɵ�� �����������.

\proclaim ޿���������~C. ߾�������µ�̽���� ���˲�����
$\infty\hbox{-��������������}$, ���� ��� $k\hbox{-������������}$, ������
�� �� �˻� ������µ�̽�� Ƶ���~$k$.

Ծ ��� ��� �� ������������� "���������µ�̽��¸ �� ���ø�µ�����~$[0, 1)$",
�.~�.~���������µ�̽��¸ ����²�µ�̽�� Ǹ���, ������������� �����
�û�� � �����Ƶ�. � �� ����ö����� ��������� � � ���������µ�̽��¸ Ƶ���
Ǹ���. �ô�� ��������, �¾ ���������µ�̽����~$\<X_n>=X_0$, $X_1$, $X_2$,~\dots{}
���� "$b\hbox{-�ǽ��}$ ���������µ�̽����", ���� ������ ��~$X_n$
���� ���� �� Ƶ��� Ǹ���~$0$, $1$,~\dots, $b-1$. ⰺ�� �������, 2-�ǽ��
(����ǽ��) ���������µ�̽���� �����°��ϵ� ����� ���������µ�̽����
�û�� � ������.

װ��¸�, �¾ "$b\hbox{-�ǽ��}$ Ǹ���"~$x_1x_2\ldots{}x_k$ ���� ����¾�˹
ÿ��ϴ�ǵ��˹ ����� $k$~Ƶ��� Ǹ���, ���ǵ�~$0\le x_j < b$, ���~$1\le j \le k$.

\proclaim ޿���������~D. ݰ����� $b\hbox{-�ǽ��}$ ���������µ�̽����
$k\hbox{-��������������}$, ����
\EQ[6]{
\Pr(X_n X_{n+1} \ldots X_{n+k-1}=x_1x_2\ldots x_k)=1/b^k
}
��� ���� $b\hbox{-�ǽ��}$ Ǹ���~$x_1x_2\ldots{}x_k$.

ط �¾�� ����������� ����, �¾ ����~$U_0$, $U_1$,~\dots{} ����
$k\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽���� ��~$[0, 1)$, ¾~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} ϲ�ϵ��� $k\hbox{-��������������}$
$b\hbox{-�ǽ��}$ ���������µ�̽�����. (� ����� ����, ����
��������~$u_j=x_j/b$, $v_j=(x_j+1)/b$, $X_n=\floor{bU_n}$, ¾ ľ��û�~\eqref[5]
������¸��� �~\eqref[6].) Ѿ��� ¾��, ���� $b\hbox{-�ǽ��}$ ���������µ�̽����
$k\hbox{-������������}$, ��� °��� $(k-1)\hbox{-������������}$: ����
������� �����½��¸ $b\hbox{-�ǽ��}$ Ǹ���~$x_1\ldots{}x_{k-1}0$,
$x_1\ldots{}x_{k-1}1$,~\dots, $x_1\ldots{}x_{k-1}(b-1)$, ����Ǹ���
$$
\Pr(X_n \ldots{} X_{n+k-2}=x_1\ldots x_{k-1})=1/b^{k-1}.
$$
(ҵ���½��¸ �����������ɸ��� ����¸� ����¸���, ��.~ÿ�.~5.) ߾�¾��
����� �������� � $\infty\hbox{-��������������}$ $b\hbox{-�ǽ��}$
���������µ�̽��¸, ��������� �� �������ǽ� �����������~C.

�����°������ ����²�µ�̽��� ������µ�̽��� Ǹ��� � $b\hbox{-�ǽ��}$
���µ�� �Ǹ������ ����� ������������� ��� $b\hbox{-�ǽ��}$ ���������µ�̽����.
%% 162
ⰺ, ��������, Ǹ���~$\pi$ ���²���²õ�
����¸ǽ�� ���������µ�̽��¸~$3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,\ldots\,$.
������������, �¾ �° ���������µ�̽���� $\infty\hbox{-������������}$, ��
���¾ ���� �� ���� ��������, �¾ ��� ž�� �� 1-������������.

߾����õ� ���������������� �������˵ ����¸� ����� �������� � ���ǰ�,
����� $k$~����� ��������. � 1000000-�������������� ����ǽ��
���������µ�̽��¸ �ô�� ���������� �������, ���¾�ɸ� �� �������� �û��!
н�����ǽ� �¾��, � 1000000-�������������� ��~$[0, 1)$ ���������µ�̽��¸
�ô�� ���������� ������� ������ � �������, ���¾�ɸ� �� Ǹ���, ������ ��
��¾��� ����ȵ ��������. ������, °��� ������� �ô�� ���������� � �������
¾�̺� � $(1/2)^{1000000}$~���� ���ǰ��, �� ����� ¾, �¾ ���
\emph{��ɵ�²���.} షü�����, ¾ �� ����� ����� ���� � � �α�� ��¸���
���ǰ���� ���������µ�̽��¸, ���� ����� � ���� ��ȵ ���ø¸���� ����¸�
"��¸��� ���ǰ�����". ۵��� ���� �����°����, ����� ����Ƹ� �˷����
°��� ����� �� �������� "��¸��� ���ǰ����" Ǹ���, �����̷�����˹ �
��Ǹ���µ�̽�� ͺ��������µ; ��������� ������ ��������� ��� ������ ��
���Ǹ� ���ǰ���� Ǹ���! � ��ó�� �¾����, ���� �
���������µ�̽��¸ Ǹ��� ������� �� ���������� ����� �� ��������~$U$,
������ �� ��¾��� ����ȵ~$1/2$, ��� �� ���ǰ��� � �� �ô�� ��������
��� ��ó�� µ���¸ǵ��� ��������� ����������, � ��¾��� �ž��˼� ����˼�
��ö�� ������ǰ��� �����˵ �����~$U$. ߾��¾�����, ����� �������, �¾ �
\emph{��¸��� ���ǰ���� ���������µ�̽��¸ ������ �������²�����
�����̽�� �����ǰ������.} ۾���̽�� �����ǰ������ ����ž���� � �����
�����������, �� �������¸�� � ��ó��. �� �˽ö���� �����Ǹ��, �¾
\emph{�� ���� ���������µ�̽���� "���ǰ����" Ǹ��� �� ����� �²�ǰ��
���������ϼ, �����ϲ�ϵ�˼ ����� ���������ϼ�.}

�ǽ� °� �� ������� ��������� �²�������, �¾ �� �� ����� �ô��� � ¾�,
���ǰ��� �� \emph{����ǽ��} ���������µ�̽����;
������ �������� ���������µ�̽���� ��ǵ� �� �ö� �α�� ��ó��. �¸
����������� ϲ������ ����ϼ� ���º������� �� ��¸ ���������� ���������
����������� ���ǰ����¸, �� ������������ �� �¾�� ������ ���-°�� ��
����õ�. ܾ��� ���� °��� ����������� ���ǰ����¸ ��� �������ǽ��
���������µ�̽��µ� ����²�µ�̽�� Ǹ���, �¾ ���²���²��ɰ� µ����
(�������ɸ� ������� ��µ����¸��������) �ô�� ���̼� ��ĵ�¸��� ���
������������ µ� ���ǽ�� ����ǽ�� ���������µ�̽��µ� ��Ƹ����̽��
Ǹ���, ��¾�˵ ����ǰ���� �� ��Ǹ���µ�̽�� ��ȸ��. Ѿ��� ¾��, � �¾�
������� �ô�� ��������, �¾ ��ɵ�²õ� ������̺� ���Ȱ�ɸ� �������
�������� ����������� ���ǰ����¸ ����ǽ�� ���������µ�̽��µ�.

\section{B. $\infty\hbox{-������������˵}$ ���������µ�̽��¸}. ط����� �
���¾� ���� µ���� $\infty\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽��µ�.
ݰ� ��������
%% 163
���̷������� ����¾�˼� ���û�°°�� ���ȵ� ��µ��¸��, °� �¾ �����
�������������� �������²� Ǹ°µ�� � ��µ������ ����� ��µ��¸ǵ����� �������.

Ҿ-������, ����ɸ� �����������~A, ������̺� ������, ĸ�������ɸ� � �¾�
�����������, ��ɵ�²õ� �� ��� ���� ���������µ�̽��µ�. Ҳ���� �����������
\EQ[7]{
\Prsup(S(n))=\lim_{n\to\infty} \sup (\nu(n)/n),\quad
\Prsub(S(n))=\lim_{n\to\infty}\inf(\nu(n)/n).
}
⵿��� ����Ǹ��~$\Pr(S(n))$, ���� ��� ����� �����, ϲ�ϵ��� ��ɸ�
���ǵ���� ����Ǹ�~$\Prsub(S(n))$ �~$\Prsup(S(n))$.

�� ������, �¾ �� $k\hbox{-��������������}$ ��~$[0, 1)$
���������µ�̽��¸ ����� ����Ǹ�� $k\hbox{-��������������}$
$b\hbox{-�ǽ��}$ ���������µ�̽����, ���� $U$~�������� ��~$\floor{bU}$.
ݰȰ ������ µ����� �����˲���, �¾ ����½�� �²�������� °��� �����������.

\proclaim ⵾����~A. ����� $\<U_n>=U_0$, $U_1$,
$U_2$,~\dots---���������µ�̽���� ��~$[0, 1)$. ����
$$
\<\floor{b_jU_n}>=\floor{b_jU_0}, \floor{b_jU_1}, \floor{b_jU_2},~\ldots
$$
ϲ�ϵ��� $k\hbox{-��������������}$ $b_j\hbox{-�ǽ��}$ ���������µ�̽�����
��� �α��� Ƶ����~$b_j$, ����������ɵ�� �������ǽ��
���������µ�̽��¸~$1<b_1<b_2<b_3<\ldots$, ¾ $\<U_n>$~����
$k\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽����.

� ��ǵ�²� ������� ���������� �¾� µ����� �������~$b_j=2^j$.
߾�������µ�̽���� $\floor{2^jU_0}$, $\floor{2^jU_1}$,~\dots{} ���� ��
�¾ ����, ��� ���������µ�̽���� ������ $j$~��¾� ����ǽ���
�����°������~$U_0$, $U_1$,~$\ldots\,$. ���� ��� °���
���������µ�̽��¸ Ƶ��� Ǹ��� $k\hbox{-������������}$ � ������
�����������~D, ¾ ���������µ�̽���� ����²�µ�̽�� Ǹ���~$U_0$, $U_1$,~\dots{}
������ ���� $k\hbox{-������������}$ � ������ �����������~B.

\proof[µ�����~A] ���� ���������µ�̽����~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} $k\hbox{-������������}$, �� ����¸����¸
�����½��µ� ����õ�, �¾ ���½�ȵ���~\eqref[5] ����������� ��� �������, �¾
$u_j$ �~$v_j$ ϲ������ ��Ƹ����̽˼� Ǹ����� �� �������µ���~$b$.
����� µ���� $u_j$, $v_j$---�α˵ ����²�µ�̽˵ Ǹ���, a $u'_j$,
$v'_j$---��Ƹ����̽˵ Ǹ��� �� �������µ���~$b$, °���, �¾
$$
u'_j\le u_j < u'_j+1/b,\quad v'_j \le v_j < v'_j+1/b.
$$
���� $S(n)$ ������Ǹ� ������ɵ� �²��������:
$$
u_1 \le U_n < v_1, \ldots, u_k \le U_{n+k-1} < v_k.
$$
%% 164
�� �����
$$
\eqalign{
\Prsup(S(n))&\le \Pr\left(u'_1 \le U_n < v'_1+{1\over b},~\ldots, u'_k\le
U_{n+k-1} < v'_k+{1\over b}\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1+{1\over b}\right)\ldots\left(v'_k-u'_k+{1\over b}\right);\cr
\Prsub(S(n))&\ge \Pr\left(u'_1+{1\over b}\le U_n < v'_1, \ldots,
u'_k+{1\over b} \le U_{n+k-1} < v'_k\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1-{1\over b}\right)\ldots \left(v'_k-u'_k-{1\over b}\right).\cr
}
$$
װ��¸�, �¾~$\abs{(v'_j-u'_j\pm 1/b)-(v_j-u_j)}\le 2/b$. ݵ������²�
����������� ��� ����~$b=b_j$. ���~$j\to\infty$ �����~$b_j\to\infty$ �,
°��� �������,
$$
\eqalign{
(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)&\le \Prsub(S(n))\le \cr
 &\le\Prsup(S(n))\le (v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k).\cr
}
$$
\proofend

ỵ���ɰ� µ����� ����ö�� ������˼ ��ô���
������������ $k\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽��µ�.

\proclaim ⵾����~B. ����� $\<U_n>$---$k-\hbox{��������������}$ ��~$[0, 1)$
���������µ�̽����, �~$f(x_1, x_2,~\dots, x_k)$---��µ����õ��� � ������
฼��� �ý�Ƹ� $k$~����������; ¾���
\EQ[8]{
\lim_{n\to\infty} {1\over n} \sum_{0\le j < n} f(U_j, U_{j+1},~\dots, U_{j+k-1})
 =\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, x_2,~\dots, x_k)\, dx_1\ldots dx_k.
}

\proof ط ����������� $k\hbox{-��������������}$
���������µ�̽��¸ ����õ�, �¾ �¾� ���û�°� ���������� � ǰ�½��
���ǰ�, �����
\EQ[9]{
 f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
  1, & ����~$u_1\le x_1 < v_1$,~\dots, $u_k\le x_k < v_k$,\cr
  0  & � ���¸���� ���ǰ�.\cr
 }
}
׽�Ǹ�, ���½�ȵ���~\eqref[8] �����������, ����~$f=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_mf_m$,
��� $f_j$~ϲ������ �ý�Ƹϼ� ����~\eqref[9]. ��ó��� �������, ���½�ȵ���~\eqref[8]
�����������, ����~$f$---"��ÿ��ǰ°� �ý�Ƹ�", ���¾Ͻ��� ������ ������
ǰ�¸ �����ǽ��� $k\hbox{-�������}$ �ñ�, ����ǵ���� ���������� �¾�� �ñ�
��������ϼ�, ��������̽˼� ��������½˼ ��ϼ.

����� µ����~$f$---�α�� ��µ����õ��� � ������ ฼��� �ý�Ƹ�. �� ����� (��
����������� ��µ����õ���¸ � ������ ฼���), �¾ ����~$\varepsilon$---�α��
������µ�̽�� Ǹ���, ¾ ��ɵ�²��� ��ÿ��ǰ�˵ �ý�Ƹ�~$\fsub$ �~$\fsup$,
°���, �¾~$\fsub(x_1,~\ldots, x_k)\le f(x_1,~\ldots, x_k)\le \fsup(x_1,~\ldots, x_k)$,
%% 164
� ������¸ ����� ��µ������� ��~$\underline{f}$, $f$ �~$\overline{f}$ �ô��
����ȵ~$\varepsilon$. ߾����̺� (8)~����������� ���~$\underline{f}$
�~$\overline{f}$ �
$$
\eqalign{
{1\over n}\sum_{0\le j < n} \underline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n} f(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})\le\cr
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n}\overline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1}),\cr
}
$$
�� ����ǰ��, �¾ (8)~����������� °��� � ���~$f$.
\proofend

� ��ǵ�²� ������� ���������� �¾� µ����� ���������� \emph{��������
�����°�����,} ��������� � �.~3.3.2. ����� $(p_1, p_2,~\ldots, p_k)$ ����
�α�� �����°����� Ǹ���~$1$, $2$,~\dots, $k$. �� ž¸� ��������, �¾
\EQ[10]{
\Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\ldots<U_{n+p_k-1})={1\over k!}.
}

Ի� �¾�� �����������, �¾ ���������µ�̽����~$\<U_k>$
$k\hbox{-������������}$, � �������
$$
f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
 1, & ���� $x_{p_1}\le x_{p_2}\le\cdots\le x_{p_k}$,\cr
 0  & � ���¸���� ���ǰ�.\cr
}
$$
ؼ���
$$
\eqalign{
 \Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\cdots<U_{n+p_k-1})&=\cr
  &=\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, \ldots, x_k)\,dx_1 \ldots dx_k\cr
  &=\int_0^1\,dx_{p_k} \int_0^{x_{p_k}} \ldots \int_0^{x_{p_3}}\,dx_{p_2}
    \int_0^{x_{p_2}}\,dx_{p_1}={1\over k!}\cr
}
$$

\proclaim ỵ��²��~P. ���� ���������µ�̽���� $k\hbox{-������������}$
��~$[0, 1)$, ¾ ��� ô����²��ϵ� �������� �����°����� ���ϴ��~$k$ �
������ ���½�ȵ���~\eqref[10].\endmark

ܾ��� °��� ��������, �¾ ��� ô����²��ϵ� \emph{µ��� ���������µ�̽��
�������Ƹ�.}

\proclaim ỵ��²��~S. ���� ���������µ�̽���� $(k+1)\hbox{-������������}$
��~$[0, 1)$, ¾ ����ĸƸ��� ���������µ�̽�� �������Ƹ� �����~$U_n$
�~$U_{n+k}$ ��������� � �û�:
$$
\lim_{n\to\infty}{{1\over n}\sum U_jU_{j+k}-\left({1\over n}\sum U_j\right)
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)\over \sqrt{\left({1\over n}\sum U_j^2-
 \left({1\over n}\sum U_j\right)^2\right)\left({1\over n}\sum U_{j+k}^2-
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)^2\right)}}=0.
$$
(Ի� ���� �ü��������� �����~$0\le j < n$.)

%% 166

\proof ط µ�����~B ����õ�, �¾ ����Ǹ��
$$
{1\over n}\sum U_jU_{j+k},\quad
{1\over n}\sum U_j^2,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}^2,\quad
{1\over n}\sum U_j,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}
$$
���~$n\to\infty$ ��������� ���²���²���� � ��������~$1/4$, $1/3$, $1/3$,
$1/2$, $1/2$.
\proofend

��������� µ���� ����¾�˵ ����� ��ɸ� �����²� ���������µ�̽��µ�. ��
���������� �����²� $k\hbox{-��������������¸}$ ��� ���� ��ÿ� ��~$k$
�¾�ɸ� �ϴ�� ͻ����¾� ���������µ�̽��¸. ݰ������, ���������µ�̽����
ϲ�ϵ��� $\hbox{2-��������������}$ ¾��� � ¾�̺� ¾���, ����� ¾Ǻ�
$$
(U_0, U_1),\quad
(U_1, U_2),\quad
(U_2, U_3),\quad
(U_3, U_4),\quad
(U_4, U_5),\quad\ldots
$$
���������� ������������ � �����ǽ�� ������µ. ޴���� ������ ��������, �¾
���� ¾ǵ�, ����˵ ǵ��� ����, �� �ô�� ���������� ������������. ���
�¾� �����°ǰ ¾ǵ� $(U_{2n-1}, U_{2n})$ � ����¾��� �����¸ �����
���������������� ¾Ǻ���~$(U_{2n}, U_{2n+1})$. ����, ��������, �¾
�������ǵ���� ����ǽ�� ���������µ�̽����
\EQ[11]{
\<X_n>=0,0,0,1, \; 0,0,0,1,\; 1,1,0,1,\; 1,1,0,1,\; 0,0,0,1,\;\ldots
}
� ��������, ����˼~16, \hbox{3-������������}, ������ �
������������µ�̽��¸ ͻ����¾� � ǵ½˼� �������� $\<X_{2n}>=0$, $0$,
$0$, $0$, $1$, $0$, $1$, $0$,~\dots{} � ��� ���� ����ȵ �û��, ǵ� ������,
� ¾ ����� ��� � ������������µ�̽��¸ ͻ����¾� � ��ǵ½˼�
�������� $\<X_{2n+1}>=0$, $1$, $0$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$,~\dots{} � ���
���� ����ȵ ������, ǵ� �û��.

ط ������������ ��ȵ ������� ����õ�, �¾ ����
���������µ�̽����~$\<U_n>$ $\infty\hbox{-������������}$, ¾ ������ ��
�ǵ�����, �¾ ������������µ�̽���� $\<U_{2n}>=U_0$, $U_2$, $U_4$, $U_6$,~\dots{}
$\infty\hbox{-������������}$ ��� ���� 1-������������. �� ò����,
������, �¾~$\<U_{2n}>$ ����²�µ�̽� $\infty\hbox{-������������}$ � �¾
����������� ���� ����� ���̽�� �²��������.

\proclaim ޿���������~E. Ӿ�����, �¾
���������µ�̽����~$\<U_n>$ $(m, k)\hbox{-pac���������}$ ��~$[0, 1)$, ����
$$
\Pr(u_1\le U_{mn+j}<v1, u_2\le U_{mn+j+1}<v_2, \ldots, u_k\le U_{mn+j+k-1}<v_k)=(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)
$$
��� �α�� �˱��� ����²�µ�̽�� Ǹ���~$u_r$, $v_r$, °���, �¾~$0\le
u_r<v_r\le 1$, ���~$1\le r \le k$ � ��� ���� Ƶ���~$j$, °���, �¾~$0\le j < m$.

� ǰ�½�� ���ǰ�~$m=1$ �� �����������~E ����õ�,
�¾~$\<U_n>$---$k\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽����; �����~$m=2$,
�¾ ���Ǹ�, �¾ ��ÿ�� �� $k$~ͻ����¾�, ��Ǹ���ɸ��� � ͻ����° � ǵ½˼
�������, ������ ����� °��� �� ���½����, ��� � ��Ǹ���ɸ��� � ��ǵ½���
������, � �.~�.

%% 167

ݵ��¾�˵ �����²� ���������µ�̽��µ�, ô����²����ɸ� �����������~E, �ǵ�����:
$$
\eqalignno{
 &(m, k)\hbox{-�������������� ���������µ�̽���� } (m, \kappa)\hbox{-������������ ��� } 1\le \kappa \le k.  & (12)\cr
 &(m, k)\hbox{-�������������� ���������µ�̽���� }(d, k)\hbox{-������������ ��� ���� ����µ���~$d$ Ǹ���~$m$.} & (13)\cr
}
$$

н�����ǽ� ¾��, ��� �¾ ������� ��ȵ (�����������~D), ����� ����������
����¸� $(m, k)\hbox{-��������������}$ $b\hbox{-�ǽ��}$ ���������µ�̽��¸.
Ծ����µ���²� µ�����~A ��� �¾� ��°���� � ���� � ��� $(m, k)\hbox{-��������������}$
���������µ�̽��µ�.

ط ������ɵ� µ�����, �� ������ �½�ȵ���� ô���µ�̽��, ��µ����, �¾
�����²� $\infty\hbox{-��������������¸}$ ϲ�ϵ��� ������� ����� ���̽˼,
ǵ� �� ����� ������������, ����� �¾ �����������.

\proclaim ⵾����~C. (�. ݸ��� � X. �ú�����.)
$\infty\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽���� ϲ�ϵ���
$(m, k)\hbox{-��������������}$ ��� �α�� ������µ�̽�� Ƶ���~$m$ �~$k$.

\proof Ծ�°¾ǽ� �������� µ����� ��� $b\hbox{-�ǽ��}$
���������µ�̽��µ�, � ������� ¾�̺� �¾ ÿ��Ͻ�¾�� ����ɵ��� µ�����~A.
Ѿ��� ¾��, ����� �Ǹ°��, �¾ $m=k$, ������̺�, ������²��
�²��������~\eqref[12] �~\eqref[13], ���������µ�̽���� ϲ�ϵ���
$(m, k)\hbox{-��������������}$, ���� ��� $(mk, mk)\hbox{-������������}$.

ⰺ�� �������, �� �������, �¾ \emph{�α�� $\infty\hbox{-��������������}$
$b\hbox{-�ǽ��}$ ���������µ�̽���� $X_0$, $X_1$,~\dots{}
$(m, m)\hbox{-������������}$ ��� ���� Ƶ��� ������µ�̽��~$m$.} ��������
ÿ��ɵ��˹ ������� ������µ���²�, ��ñ����������� ݸ����� � �ú�������
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 1} (1951), 103--109).

Ծ����µ���²� µ����� �������� �� ������ ����, �����̷õ��� �� ������
��µ��¸ǵ���� ����ö������: "���� ���ǵ��� �ü�� $m$~����Ǹ� � �ü�� ��
������¾� �� ���¸����ǰ� ����µ�� � ¾�, �¾ �¸ $m$~����Ǹ� �����, ¾
�° ����µ�� �����". ḻ̽�� ľ��� �¾�� ����Ƹ�� ����

\proclaim ۵���~E. ����� ������ $m$~���������µ�̽��µ� Ǹ���
$\<y_{jn}>=y_{j0}$, $y_{j1}$, $y_{j2}$,~\dots, ���~$1\le j \le m$.
�����������, �¾
\EQ[14]{
 \eqalign{
  \lim_{n\to\infty} (y_{1n}+y_{2n}+\cdots+y_{mn}) &= m\alpha,\cr
  \lim_{n\to\infty} \sup (y_{1n}^2+y_{2n}^2+\cdots+y_{mn}^2)&\le m\alpha^2.\cr
 }
}
⾳�� ��� �������~$j$ ��ɵ�²õ�~$\lim_{n\to\infty} y_{jn}$, � �� �����~$\alpha$.

ݵ���ǰ��� ����¾� ������µ���²� �¾� ����� ���� � ÿ�.~9.\endmark
%% 168

⵿��� ��������� ������µ���²� µ�����~C. ����� $x=x_1x_2\ldots{}x_m$
���� $b\hbox{-�ǽ��}$ Ǹ���. �ô�� ��������, �¾ $x$~\emph{��ϲ�ϵ���} ��
$p\hbox{-�}$~���µ ���������µ�̽��¸,
����~$X_{p-m+1}X_{p-m+2}\ldots{}X_p=x$. ����� $\nu_j(n)$~������ǰ�� Ǹ���
��ϲ�����~$x$ �� $p\hbox{-�}$~���µ ��� �������, �¾~$p<n$ �~$p\bmod m=j$.
�����~$y_{jn}=\nu_j(n)/n$. �� ž¸� ��������, �¾
\EQ[15]{
 \lim_{n\to\infty} y_{jn} = 1/mb^m.
}

������ ����� ����¸�, �¾
\EQ[16]{
\lim_{n\to\infty}(y_{0n}+y_{1n}+\cdots+y_{(m-1)n})=1/b^m,
}
������̺� ���������µ�̽���� $m\hbox{-������������}$. �����̷�� �����~E �
���½�ȵ���~\eqref[16], �� ������� µ�����, ���� �ü��� ��������, �¾
\EQ[17]{
 \lim_{n\to\infty} \sup (y_{0n}^2+y_{1n}^2+\cdots+y_{(m-1)n}^2)\le 1/mb^{2m}.
}

�¾ ��������²� �� �ǵ�����, �, �¾�� �������� ��� ��������������,
����ž���� ������¸ �����̽� ¾���� ��������������. �����~$q$ ���½�~$m$;
���������� ���������
\EQ[18]{
 C(n)=\sum_{0\le j < m} \perm{\nu_j(n)-\nu_j(n-q)}{2}.
}
�¾ Ǹ��� ��� ��ϲ�����~$x$ �� ���°�~$p_1$, $p_2$ ��� �������~$n-q\le p_1 < p_2 < n$
�~$p_2-p_1$, ���½˼~$m$. ⵿��� ���������� �ü��
\EQ[19]{
 S_N=\sum_{1\le n \le N+q} C(n)
}
��� ��Ǹ������~$S_N$ ������ ���� ��ϲ�����~$x$ �� ���°�~$p_1$, $p_2$ ���
�������~$p_1<p_2<p_1+q$ �~$p_2-p_1$, ���½˼~$m$, � �~$p_1\le N$
�Ǹ�˲�����~$p_1+q-p_2$ ��� (������, �����~$p_2<n\le p_1+q$), � ���� °���
��ϲ����� �~$N<p_1<p_2<N+q$ �Ǹ°���� $N+q-p_2$~���.

�����~$d_t(n)$ ���� Ǹ��� ��� ��ϲ�����~$x$ �� ���°�~$p_1$, $p_2$
��� �������~$p_1+t=p_2<n$. ط ����ö�����, ����������� ��ȵ, �����
\EQ[20]{
 \sum_{0<t<q/m} (q-mt)d_{mt}(N+q)\ge S_n \ge \sum_{0<t<q/m}(q-mt)d_{mt}(N).
}
ߵ�����ǰ�̽�� ���������µ�̽���� $q\hbox{-������������}$, �������µ�̽�,
\EQ[21]{
 \lim_{N\to\infty}{1\over N}d_{mt}(N)=1/b^{2m}
}
%% 169
��� ����~$0<t<q/m$, � ���¾�� ��~\eqref[20] ��µ����
\EQ[22]{
 \lim_{N\to\infty}{S_N\over N}=\sum_{0<t<q/m}(q-mt)/b^{2m}=q(q-m)/2mb^{2m}.
}
���δ�, ����� ����¾��� ��������������, ñ������ � ������������¸ µ�����.

߾ �����������
$$
2S_N=\sum_{1\le n \le N+q}\sum_{0\le j <m} ((\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2-(\nu_j(n)-\nu_j(n-q))),
$$
� ���� �� �������� ǻ���, �� ���������˵ � �������, ¾, �����̷��~\eqref[16],
����Ǹ�
\EQ[23]{
 \lim_{N\to\infty}{T_N\over N}=q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m,
}
���
$$
T_N=\sum_{1\le n \le N+q} \sum_{0\le j <m} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2.
$$

߾ ��������²�
$$
{1\over r}\left(\sum_{1\le j \le r} a_j\right)^2\le \sum_{1\le j \le r} a_j^2
$$
(��. � ÿ�.~1.2.3-30) ����ǰ��, �¾
\EQ[24]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m}{1\over N(N+q)}
 \left(\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\right)^2\le q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m.
}
ؼ��� °���
$$
q\nu_j(N)\le \sum_{N<n\le N+q} \nu_j(n)=\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\le q\nu_j(N+q)
$$
�, ����°���� �¾ �~\eqref[24], ����ǰ��
\EQ[25]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m} (\nu_j(N)/N)^2 \le (q-m)/qmb^{2m}+1/qb^m.
}
�� �������� �������������� �¾� ľ��û� ��� ���ǰ�~$q$, ���½���~$m$, �
���� µ���� ���������~$q\to\infty$, ����Ǹ�~\eqref[17], µ� ���˼ �����ȸ�
������µ���²�.

Ҿ������, �¾ ������µ���²�, ����������� � �°�̵ Զ.~ڰ������
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 2} (1952), 555--557), ���ɵ.
\proofend

ݵ�������̽���� �¾� µ����� ����� �� ÿ�.~29 �~30. ط ��� �� ����õ� ¾�
İ��, �¾, ��� �������� �~\eqref[25], �����½��¸, ��Ϸ���˵ �
$q\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽�����, �»�ǰ���� �� �����½��µ�,
��Ϸ����� � $(m, m)\hbox{-��������������}$, �� �����
%% 170
ǵ� �� ����Ǹ�� ���ϴ��~$1/\sqrt{q}$. Ի� ������������¸
µ����� ����ž���� ������������� ������������� � $\infty\hbox{-��������������¸}$.

ڰ� �����²�� µ�����~C ����� ��������, �¾
$\infty\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽���� ô����²��ϵ� ��������
�����, µ��� "�������ȵ� ��~$t$" � �������� ������������µ�̽��µ�,
ÿ��Ͻ��˼ � �.~3.3.2. ݵ��ô�� ��������, �¾ ô����²�������
°��� �������� ��µ������, �����-µ�� (�������� �������Ƹ�) � �������� ��
����¾������ (��.\ ÿ�.~�~12 ��~14). ��������� µ�� ������µ�� �ÿ����
��ô���, ������ �� °��� ô����²��ϵ��� (��.\  ÿ�.~15 �~16).

ỵ���ɰ� µ����� �����¸�õ� ��ɵ�²������ �½���µ�̽� �������
$\infty\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽��µ�.

\proclaim ⵾����~F. (Զ. ��ͽ����.) ߾�������µ�̽���� $U_0$, $U_1$,~\dots{}
��~$[0, 1)$, ���
\EQ[26]{
 U_n=(\theta^n \bmod 1),
}
$\infty\hbox{-������������}$ ��� ���¸ ���� ����²�µ�̽��
Ǹ���~$\theta>1$. ��ó��� �������, ������²�
$$
\{\, \theta \mid \theta>1
\hbox{ � ���������µ�̽����~\eqref[26] �� $\infty\hbox{-������������}$}
\,\}
$$
����� ���� �û�.

Ծ����µ���²� �¾� µ����� � ����¾��� �� ����ɵ��� ��������� �
ÿ��������� ���� �°�̵ ��ͽ�����.\endmark

��ͽ���� �������, �¾ ��� ¾��, �¾�� ���������µ�̽����~\eqref[26] �˻�
$\infty\hbox{-������������}$, $\theta$~������ ���� �����Ƶ����½˼
Ǹ����. ��� �����½�, �¾ ���������µ�̽����~\eqref[26]
$\infty\hbox{-������������}$ ��� \emph{���¸ ����} Ǹ���~$\theta$, �� ��
����� \emph{�� ������} ������½���~$\theta$, ��� ��¾���� �¾ �����������.
� ������� ��ô������ ��Ǹ������ � ��������½� ò���ǵ���� ¾ǽ����� �˻�
����ǵ�� �µ����~$(\pi^n \bmod 1)$ ���~$n\le 10\,000$. �°�ȸ� 35~��¾�
������� �� �¸� Ǹ��� �˻� �������� �� ���� � ����Ƚ� �����̷������� ���
��¾ǽ�� ���ǰ���� Ǹ���. ؽµ�����, �¾ ž�� �� µ�����~F ����õ�, �¾
�����½���� ¾��, �¾ ���������µ�̽���� �µ�����~$(\pi^n \bmod 1)$
$\infty\hbox{-������������}$, �����~$1$, ������, ������̺� ������²�
����²�µ�̽�� Ǹ��� ���ǵ½�, �� �� ����� �� �¾�� �����Ǹ��, �¾ ���
$\infty\hbox{-������������}$. ܾ��� ���� ò�����˼ � ¾�, �¾ � µǵ���
��ȵ� ����� ���¾ �� \emph{�������,} �¾ �° ���������µ�̽����
\emph{��} ϲ�ϵ��� $\infty\hbox{-��������������}$, ������, ��������, °�
��� � ���� �� ����� ����. � ��Ϸ� � ��������˼ ��������� ������ � ¾�,
��ɵ�²õ� �� $\infty\hbox{-��������������}$ ���������µ�̽����, ��¾���
����� �˿����� � \emph{ϲ���} ����; ��˼� �������, \emph{��ɵ�²õ� ��
������¼, �� ��¾���� ��� ����~$n\ge 0$ ����� ��Ǹ����� ����²�µ�̽˵
Ǹ���~$U_n$, °� �¾ ���������µ�̽����~$\<U_n>$ �ô��
$\infty\hbox{-��������������}$?} ޺��˲�����, °��� ������¼ ��ɵ�²õ�,
�¾ �����, ��������, �� �°�̸ ��¾�� "Construction
%% 171
\bye
