\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=0
\subchap{����������� ������� ���������} %%4.1
�, ����� ������� �� �˿���ϵ� ���ļ�¸ǵ���� ����²��, µ��� ��Ϸ��� �
µ�, ����� ������� �� �����°��ϵ� Ǹ���, � ��¾�˼� ����°��; ���¾��
��ȵ ���ǵ��� ���ļ�¸�� ��µ�²���� ��ǰ�� � ���ö����� ����Ƹ����̽��
�������� �����°������ Ǹ���.

߾��Ƹ����� �����°������ � \emph{����������} (��� \emph{�� ���������})
$b$ �������ϵ��� ��������
\EQ[1]{
(\ldots{}a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots)_b=\ldots+a_3b^3+a_2b^2+a_1b^1+a_0+a_{-1}b^{-1}+a_{-2}b^{-2}+\ldots;
}
��������, $(530.3)_6=5\cdot6^2+2\cdot6^1+0+3\cdot6^{-1}=192{1\over2}$.
ݰȰ �����Ƹ����� ����¸ǽ�� ���µ�� �Ǹ������---�¾, ���ü�����,
¾� ǰ�½˹ ���ǰ�, ����� $b$~����� ����¸ � ����� ���ǵ���~$a$
�˱������� �� "����¸ǽ�� Ƹ��"~$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$,
$8$, $9$; � �¾� ���ǰ� ������~$b$ �~\eqref[1] ����� ��������.

����µ�ȵ� ����ɵ��� ����¸ǽ�� ���µ�� �Ǹ������ ����ǰ����, ����� �
��ǵ�²�~$b$ ����� �α�� Ƶ��� Ǹ���, ����ȵ� �������, � Ǹ���~$a$---�¾
Ƶ�˵ Ǹ��� �� ��µ�����~$0\le a_k<b$. ⰺ ����ǰ���� �°����½˵
����ǽ��~($b=2$), ����ǽ��~($b=3$), ǵ²���ǽ��~($b=4$),
��µ��ǽ��~($b=5$),~\dots{} ���µ�� �Ǹ������. Ѿ��� ��ɾ, � ��ǵ�²�~$b$
����� �˻� �� ����� ��������̽�� Ǹ���, � Ǹ���~$a$ �˱����� ��
��������̽��� ������� ��������� ������²� Ǹ���; ��� �� ò����, �¾
�������� � ����¾�˼ ��µ����˼ ���ðƸϼ.

�Ǻ�, �¾�ɰ� �����~$a_0$ �~$a_{-1}$ �~\eqref[1], ���˲�����
\emph{����Ƹ�����} (��� \emph{�������µ�̽��}) ¾Ǻ��. (� ���ǰ�~$b=10$
�� ���˲��� °��� ����¸ǽ�� ¾Ǻ��, � ���ǰ�~$b=2$---����ǽ�� ¾Ǻ��
�~�.~�.) � ����������� �������\note{1}%
{����� н����.---{\sl ����. �����.\/}} ����¾ ����Ƹ����� ¾Ǻ�
ǰ�¾ �����̷��� �������\note{2}%
{�Ǻ� ����¾ ����¾� ���µ����� �ž��� � ÿ���������� � � ��� � ��Ϸ� �
���������������� ������¼�ǵ���� Ϸ˺�� ����������������
"������������� �����ž������" ¸�� �����, ������� ��� ��/1.---{\sl ����. �����.\/}}.

����~$a$ �~\eqref[1] ���˲��� \emph{Ƹ�����} �����°������. ����~$a_k$ �
�\'���ȸ�~$k$ ���˲��� "����� ���Ǹ���", ǵ� Ƹ���~$a_k$  � ����ȸ�~$k$;
���²���²���� ����� ����� (\emph{�������}, ��� \emph{��������}) Ƹ���
���˲��� \emph{�������� ���Ǹ��� Ƹ����,} � ����� ������ (\emph{Ų��¾���})---%
%% 202
\emph{�������� ���Ǹ���}. � �°����½�� ����ǽ�� ���µ�� ����ǽ˵
Ƹ��� ǰ�¾ ���˲��� \emph{��°��}. � �°����½�� ȵ�½��ưµ��ǽ��
���µ�� (� ���������� ȵ�½��ư��) ȵ�½��ưµ��ǽ˵ Ƹ��� �� �û� ��
��½��ư¸ ������ǰ�� ���ǽ� °�:
\EQ{
 |0|, |1|, |2|, |3|, |4|, |5|, |6|, |7|, |8|, |9|, |A|, |B|, |C|, |D|, |E|, |F|.
}

��¾��� �����¸� �������� �����°������ Ǹ���---�¾ ò����µ�̽��Ȱ� �������,
����²�� ��¾��� �����ž��� ��������̽� � �����¸�� ����� Ƹ������Ƹ�.
�����������, ������, ��� ��¾��� �� ���� ������������, �� �������¸��
������ �¾Ȼ� �� �� ��ȵ� ������� µ��; µ� �� ����� �ô�� ������� ����
�������� �������� �� �����¾�.

ݰ������ ������ ������� �����°������ Ǹ���, ��¾�˵ �� ��� ��� �����
����δ��� � �����¸���� Ƹ������Ƹ��, �������� �� �����̷������ ��ÿ�
����Ƶ� ��� ��ǵ� ������ �~�.~�., ���ǽ� � �������µ�̽˼� �����ȵ��ϼ�
�½���µ�̽� ������ ����¾��� ����Ⱦ� ��Ǻ� ��� ��ÿ��, ������ �� ��¸ ���
����¸ �����¾�, ����� �����¾� ���Ƹ��̽��� ���� ��� �����������˼ �
���Ƹ��̽�� ���µ. ߾����˵ ���µ�� ��µ�²���� �������� � �������� ������
�������� �����°������ Ǹ��� � ���̼����� ľ���, °���, ��� ����������,
�����������, ���ǵ����\note{1}%
{� ���ǵ���� Ǹ������ ���µ�� ���ž��� � �°������Ͻ����
Ǹ����˵ ������ǵ���, �����̷����ȸ��� �����˼ ������� � ���������ǵ����
Ƶ���.---{\sl ����. �����.\/}},
��°����� � ������� Ǹ���, �� �¸ ������ǵ��� ������ǰ��� ��ô���� ���
�˿������� ���ļ�¸ǵ���� ����²��, �� �����ǵ���� ����µ�ȸ� ���ǰ��.

��������ȸ��� ��¾������ ��µ��¸�� � ����ư¾� �¾��¸� ȸ�����
������������ ������� ����������� °���ǵ�, ��������� ��ŵ������� ��
ѻ����� Ҿ�¾��, ��������, �¾ �������Ͻ� ������ϻ� � ����²�µ�̽��¸ ���
�����ǽ˵ ���µ�� �����°������ Ǹ���. ����, �����̷����ȸ��� ���
������������ ������� ����¾�, �����˲����� ��� ����ɸ ������ǵ���
���������� �� ��ÿ��������� �� ����º��, ��½ϼ �~�.~�., ý������������ ��
����� ������ Ƹ������Ƹ� ܵ����°���; ����ȸ� Ǹ��� ����������� �����
�����. ھ��� �� ����������� ��µ��¸��� ���ž������ ������������� �����
��ô�˵ ��µ��¸ǵ���� ����Ǹ, ��� ȸ���� ������ϻ� ȵ�¸����µ��ǽ��
����Ƹ����� ���µ�� �Ǹ������ (�� ��������� ȵ��̴����), ��¾��� �˻�
ž��Ⱦ �����° ö� �� ������� �� ������� 1750~�.\ ��~�.~�. �° Ǹ������
���µ�� �˻� ý����̽�� � ¾� �½�ȵ���, �¾ ��� �˻� İ�¸ǵ��� ľ����
�����°������ � ������ɵ� ¾Ǻ�� � ���ɵ��˼ ������µ���; �ö�˹
����°��˹ �����µ��, �.~�.\ �µ���� ȵ�¸����¸, ��������� ����������
�� ���µ��° °� �¾ ��������, ��� Ǹ��� �� ������ $2$, $120$, $7200$,
$1/30$ �~�.~�.\ �����˲�����
%% 203
��������˼ �������. �° ���µ�� �˻� � ���������¸ ô���� ���
�˿������� ü������� � ������� ��� ����ɸ ��������µ�̽�� °����, °�
��� ������������ ���ϴ��� ����� �� ���ϻ� �� �²��; ° �� ���� �����������
�˽� � ������ļ�ǵ���� �������. ��������� �¾� ����������� ���µ��
������ ����� ��ö��� ������ɸ� �����ǵ��� �� ������� °����:
�������~$30$ ����~$15$ (�¾ ����� ���Ǹ°�� °��� ��� "�������~$1/2$ �����~$1/4$");
Ǹ���, ����½�� �~$81=(1\ 21)_{60}$, �����~$(44\ 26\ 40)_{60}$; �������
�¾�� ���������� Ǹ��� �����~$(32\ 55\ 18\ 31\ 6\ 40)_{60}$. � �������Ͻ
�˻ ����˹ ������ ��� �û�, �� ��-�� �� ��������� ������ɵ� ¾Ǻ� �û�
�����̷������ ¾�̺� ������ Ǹ��� � ������� � ������� ������ ����Ƹ� ���
������ǵ��� ����°��. ޱ ��µ������ ��¾��� �����¸� ������ �����������
��µ��¸�� ����� ���Ǹ°�� � �.~ݾ��������� [The exact sciences in
antiquity, Princeton University Press, 1952] � �.~�.~Ұ�~���~Ұ�����
[����ö���ɰ��� ��ú�, 丷��³��, 1959].

߾��Ƹ����� �����°������ Ǹ��� � ĸ����������� ¾Ǻ��, ��-��������,
�����˵ �˻� �����¾ �����ư�� ������� ���� � 浽����̽�� м����� �����
2000~��� ¾�� �����; �� ���µ�� �Ǹ������ � ����������~$20$ �˻�
���°¾ǽ� �����������°, �������� � �½�ȵ��� ������ ���������ǵ����
İ�¾� � ����������� ���. ޴���� ��������� �������µ�� ý��¾���� ���¸
��� ��¾��ǵ���� � ���ǽ˵ µ���� ����, ���¾�� �� �� �����, ������̺�
������ �������û��� ��� � ���ļ�¸��; ������� ����¾�˵ °�����
ü������� ���Ƹ��̽��� �����ǵ���, �� �������½� ������� �������� �������
[��.\ J.~Eric~S.~Thompson, {\sl Contributions to Amer. Antropology and History,\/}
Carnegie Inst.\ of Washington, {\bf 7}  (1942), 37--62].

װ ������̺� ����� �� ����� ��� ����� ������ϻ� ��� ����� ���ļ�¸ǵ����
��Ǹ������ ������ ������������� �����, � ��¾��� �����̷������� �����
�/��� ���̺� �� �����, ����ȵ� �ϴ� ��� �¾����, ��µ�²���˼ �������
���²���²����ȸ� ��ȵ� ����¸ǽ�� ���µ��. ݰ�, ��������, ���������
ô���µ�̽˼, �¾ ¾� �� ���˹ ����Ƹ���˹ ����Ƹ� �� �˻ �������� ��� ���
������ Ǹ���---���� �� °� ����˺�� ��������� ���ǵ�� � ����¸ǽ�� ���µ��
��� ����ɸ �������Ȱ � �ü���; �� ����Ȱ� �������� ��Ǹ������ �� �����
(������ ¾��� ü��� �� ���, �, ����� ¾��, ��Ǹ������ �� ����� ������
���ö�˼ ����������� °���� �������� � ü�������) �������, �����½�,
������ � ñ�������, �¾ ������ ���� ������������, �¾ ��Ǹ������ �����
ô����� ���������, "ư����� �� �ü���". � ¾ �� ����� ���ǵ���� ���������
�����̷����� ��� ������ ������ ȵ�¸����µ��ǽ�� ����Ƹ����� ���µ��
�Ǹ������, ǵ�� ��� ���Ǹ���� � �������Ͻ.

ݰȰ ����¸ǽ�� ���µ��, �»�ǰ�ɰ��� �� ����� ������� ľ�� � ������
�ǵ���� ����Ǹ�� ����Ƹ����� ¾Ǻ� ����µ
%% 204
� �������� �û� ��� ������ǵ��� ���¾� ����Ƹ�, �����˵ ��ϲ����� �
�������. �ǽ�� ��° ������������� �¾� ���µ�� �������½�; ����
��������� ������������, �¾ �¾ ������Ȼ� �������� � 6~�.~�.~�.
ؽ������� ��ú� ¾�� �������, �������� ����������, �»�ǰ���� ���̼�
������� �������. � �������� ������ �� ��ȵ�ȸ� �� ��� ��������� �ú������,
�����̷����ȸ� ��� ���µ�� �Ǹ������, Ǹ��� �����˲����� � ����½��
���ϴ�� (� �������� ���Ǹ��� Ƹ���� ������), �� ������ �°�� ��������
����������� �������� ���Ǹ��� Ƹ��� �����.

޺��� 750~�.~�.~�.\ ��������� ����Ƹ�� ����¸ǽ�� ���ļ�¸��
���������������� � ߵ����, ����� �� �������� Ϸ˺ �˻� ����������
������̺� ������ �����; ����� ���¸�� �¾�� ������� ���� � �����
��������������� �ú�����, ������� ��¾��� �� ���������� ��ñ������� �
������� {\sl AMM\/} [{\bf 15}, (1918), 99--108]. ������ ����� �¾��
���-������ ������� �� �������� ���� �ú�����²� �� �¾�� ��������. (ڰ�
�¼�ǰ���� � ��.~1, �� ��� ����� ������Ȼ� ��ȵ ����� "������¼".) ڽ���
���-������ �˻� ���������� �� ���˽� � ������� ���̽�� ���Ͻ�� ��
۵������ ߸�������� (丱����Ǹ), ��� ����� �� ���ļ�¸�� (1202~�.) �
���� �ǵ���� �˳���� ��Ȱ���� ���� � ��������������� ����-�������� Ǹ��� �
ղ����. ؽµ����� �¼�¸��, �¾ � ���û�°µ �¸� ���� ���������---�
�������° �� �������� � � ��������� �� ���˽�---���ϴ�� ��������� Ǹ���
(����� �������) �� ���������, ž�� ����� ����� ������ ������, � ������ �
��������� ����� �������. ߾������� �������� ��������ɵ�� ���Ƶ���
��������������� ����¸ǽ�� ������ǵ��� � ���ļ�¸�� �� ���� ղ���� �
������ �~1200 ��~1600~�.\ ���� � ����� [David Eugene Smith, History of
mathematics, {\bf 1}, Boston, Gihn and Co., 1923], ��.~6 �~8.

Ե��¸ǽ�� ���µ�� �Ǹ������ ������ϻ��� ���ǰ�� ¾�̺� � Ƶ�˼ Ǹ����, �
��� ������ �� �����̷�������. �������� ���������, ��¾�˼ ���ž������
����°�� � ����ϼ� ��� ���°������ ���� ��������� ���� � ��ó�� °����,
���������� ���̷������� ������ǵ��ϼ� �¾����� (�������¾�� ���ǵ�����
���������), ��������˼� �� ȵ�¸����µ��ǽ�� ������. �° ���µ�� ������
�� ��ȸ� ���� � ��ȸ� �����ư� ó��� ("�������, ������ � ���ý��"), �
°��� � �����ư� �������---�ô����°� �������ǰ�̽�� ȵ�¸����µ��ǽ��
���µ�� �������Ͻ. ߵ��˵ ����������� ��µ��¸��, ����� �� ���ž������
����� ���� � ��Ƶ�˼� Ǹ�����, °��� ���̷�������
ȵ�¸����µ��ǽ˼� ����ϼ�; 丱����Ǹ, ��������, �������� � ��ǵ�²�
������������� ����� ���������~$x^3+2x^2+10x=20$ ���ǵ���
\EQ{
 1^{\circ}\, 22'\, 7''\, 42'''\, 33^{IV}\, 4^V\, 40^{VI}.
}

�����̷������ ����¸ǽ�� ������ǵ��� ��� �������, ����� �~�.~�.\ �������
������µ�̽� ������ȸ� ������������, ��, ����ǽ�, ����˲ � �����Ƹ��
������ ��ô��, � ����� ¾��, ȵ�¸����µ��ǽ˵
%% 205
����� ����� ������ɵ�²� ����� ����¸ǽ˼� � ¾�, �¾ °���
Ǹ���, ���~$1/3$, ��������� ¾ǽ�� ������ � ����¾� ����.

ߵ��˼�, �¾ �°� ����°�� � ����Ǹ����, ͺ�������½˼� ����¸ǽ˼ ����ϼ,
�˻� ��°����� ��µ��¸�� (��¾�˵ ������� �� ���̷�������
ȵ�¸����µ��ǽ�� ���µ���), ž�� �� Ǹ������ ���µ�� (��� �û�) � �� �˻�
�������ǰ�̽� ����Ƹ����� ���µ��� � ������� ������ �����. ڸ°�����
������� ����� � ��� �˻� ����¸ǽ˼�, °� �¾ �� �ý-Ƕ� (ü�� ����� 500~�.)
���� �������� ����������� Ǹ���~$\pi$ ��� "$3$~ǰ��, $1$~Ƕ�,
$5$~�ý�, $1$~�ͽ, $5$~��, $9$~Ű�, $2$~�Ͼ, $7$~��". ״��� ǰ�,~\dots,
��---������� �����; $1$~�� (������� ȵ������ ��¸) ����� $1/10$~�Ͼ
�~�.~�. �����̷������ °��� ��ž��� �� ����¸ǽ˵ ������ ����Ǹ�� �����̽�
ȸ����� ��������������� � ڸ°� ��Ǹ��� �������� � 1250~�. � ��¸���
����Ƹ����� ���µ�� ����¸ǽ˵ ����� �����˵ ��ϲ������ � ����°µ ��
���ļ�¸��, ���������� � ԰����� �������½˼ ��µ��¸���, ��������ȸ���
"���-㺻�����" ("ղ������"). ޽ ���� ������~${}'$ ��� ������ǵ���
����¸ǽ�� ¾Ǻ� � ú���� ��������� ��� ����¾��� ������ �
������������ ������½�� � �ñ�ǵ���� ������; �� �� �� ���ϻ, �¾ Ƶ��� �
������� ǰ�¸ Ǹ��� ����� ü������ ������������. ճ� ����° �� �°��
��ɵ�����½��, � ǵ��� ���� ����� ����¸ǽ˵ ����� �˻� ������ �º����
���������� ��µ��¸��� ���-ڰȸ, ü��ȸ� ����� 1436~�. л�-ڰȸ �˻ ������
������˼ ��Ǹ���µ���, ��¾�˹ ��� ������ɵ� ���ǵ��� ���~$2\pi$,
�������ɵ� 16~������̽��, ����¸ǽ�� ������:
\btable{
 \strut\hfil$#$\bskip\hfil&&\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil\cr
 \omit 浻�� & \omit ǰ��� \hfil& \multispan{16}\vrule\bskip \hfil ������� ǰ���\hfil\cr
 \noalign{\hrule}
 0 & 6 & 2 & 8 & 3 & 1 & 8 & 5 & 3 & 0 & 7 & 1 & 7 & 9 & 5 & 8 & 6 & 5 \cr
}
�¾ �˻� ������ȸ� ������������ ��� Ǹ���~$\pi$ �� µ� ���, ���� �ô����
��� 浹��� ����� ������ ��ô�� � ������ �~1596 ��~1610~�.\ �� ��Ǹ����
35~����¸ǽ�� ������. ᰼˵ ������ �� �����½�� �������� ����¸ǽ�� ������
� ղ���� �����ö��� � ����� µ��µ~15~�., ���, ��������,
$153.5$~ü�������� ��~$16.25$ � � �²�µ ����ǰ����~$2494.375$; �¾
������� °� "����ƺ�� ��¾���". � 1525~�.\ ����¾� �ô���� �� ӵ������
�����¾�µ�̽� �º�˻ ����¸ǽ˵ �����; ��� ����° °��� ��°����
�������½��. �����ð �̵� ���������� �� �� ���� ����� � 1579~�.
ݰ�����, ����°� �� ���ļ�¸��, ��������˹ Ḽ���� �µ����� ��
ݸ���������, � ���� �ǵ���� ���������� � 1585~�.\ ���ȵ�ȸ� � ����
����¸ǽ�� ������, �������°�� ȸ����� ���û�������.

ճ� ����° � ����������ȵ� ������ �º��¸� ������ļ�� ������� � ¾��, �¾
� 17~�.\ ����¸ǽ˵ ����� �°�� ��ɵ������˼� � ղ����. [԰�̽��ȸ�
���������¸ � ��˻�� �� ��µ������
%% 206
����� ���¸ � ������: D.~�.~Smith, History of Mathematics, {\bf 2},
Boston, Ginn and Co., 1925, 228--247, � C.~B.~Boyer, History of
Mathematics, New York, Wiley, 1968\note{1}%
{�. °��� ����� �.~�.~������� "���º�� �ǵ�� ��¾��� ��µ��¸��", "ݰú�",
 �., 1950.---{\sl ����. �����.\/}}.]

Բ��ǽ�� ���µ�� �Ǹ������ ����� ���� ����²����� ��µ������ ��¾���.
ط���½�, �¾ ������ �����¸��˵ �������, ��ɵ�²��ɸ� � ��ȵ �����,
�����̷��� ����ǽ��, ��� "������", ���µ�� �ǵ° (��ÿ������� �� �����, �
�� �� ��µ���� ��� ����º��), �� �˻� �� ������˼ �������, �¾ ���
��Ǹ����� � ���¾�ɵ� ����ǽ�� ���µ�� �Ǹ������, °� ��� ��� ��
�˴����� ���Ƹ��̽˼ ������� �µ����� ������. ؽµ����˵ ���������¸ �
�����¸���� ��Ǹ���µ�̽�� ���µ��� ����� ���¸ � �°�̵ б��Ű��
᰹�������� "The diffusion of counting practices" [{\sl Univ.\ Calif.\
Publ.\ in Math.,\/} {\bf 3} (1960), 215--300]. ��ó�� "�����¸��˹" ������
��ɵ�²���� ����ǽ�� ���µ��---�¾ �����Ƹ���˵ ������ǵ��� ���
���µ�̽��¸ ��� � �÷˺�.

� �������� ฽��\note{2}%
{ݰ���� �� ����� ��� �������ư---����������� ����¾���� ฽�� (�.~�.~Rhind).
���ȵ� ������úƸ�� �������° �¾�� �������� �º�˲����� �������
"ܰµ��¸�� � ����������� ����" ("ܸ�", �., 1967).--- {\sl ����. ���.\/}}
(ճ����, ����� 1650~�.~��~�.~�.), ����� �� ������ �����½�� ���������̽��
��µ��¸ǵ���� ���ü��¾�, ������ϵ��� ����¸ǽ� �����¸�������� �ŵ��
�����°������ Ǹ���, �� � ��� �� ��������, ��� �˿������ �����Ƹ�
ü������� � ������� ���������µ�̽�� ô������ � ��������. �° ���Ƶ����
�� ��ɵ�²� ������ �������� �� ����ǽ�� �����°������ Ǹ���, ž��
����ǽ�� ���µ�� �Ǹ������ ���Ƹ��̽� � �� ���������.

� 17~�.\ ������¸ǽ˵ �Ǹ������ �°������� ������¾� ������������ �
ղ����. � µǵ��� ������ ��� ��������� �� ���ǰ� � ���ǰ� �����̷�����
ȵ�¸����µ��ǽ�� ���ļ�¸�� ��� ��� Ƶ��� Ǹ���, °� � ��� ������� ǰ�µ�,
�����˼ ������� ��� �˿������� ü�������; ��. ����� Զ��� Ұ�����
"Treatise of algebra" [Oxford, 1685], 18--22, 30. �� İ��, �¾
\emph{�α��} ������µ�̽�� Ǹ��� ����� ��ö��� ���������� ���µ��
�Ǹ������, �˻, ��-��������, �����˵ ��ñ������� � ����µ ѻ���
߰����� "De numeris multiplicibus", ���������� ����� 1658~�.\ [��.\
�.~Pascal, Euvres Compl\`etes, Paris, \'Editions de Seuil, 1963, 84--89].
߰����� �����: "Denaria enim ex institute hominum, non ex
necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane satis inepte, posita
est", �.~�.: "Ե��¸ǽ�� ���µ�� ���������---�����̽� �����ü��, ����ǽ�,---�
���²���²�� � �δ����� ���ǰϼ�, � ����� �� ���������ϼ�
��µ�²����� ����ž�����¸, ��� ������� �ü��� ����ȸ��²� �δ��". ޽
�²������, �¾ �˻� �� ����µ�̽� �����¸ � ������ưµ��ǽ�� ���µ��, �
��������� ������� �������� �������¸
%% 207
������ưµ��ǽ��� Ǹ��� ��~$9$. �²���ǽ�� ���µ�� �Ǹ������ � �ϴ�
�ñ����Ƹ� ��Ǹ��� � 1673~�.\ ��������� ��Ű�� Ұ�����. ߾�������
���ö����� ���ļ�¸�� �� ��������� ������ư�� �˻� ��������� Զ��ð
Զ���͹��� [Duodecimal arithmetick, London, 1687].

��� �� ����϶���� ���� �¾� Ϳ�Ÿ � ���ļ�¸�� ������ϻ��� ���¸
�����Ǹµ�̽� ����¸ǽ�� ���µ��, ���µ�� ��� � ����� ����� �����, ����
����ɵ �����-����, ��������� �� ������ ���½�� ����¸, � ������ �����˵
�����Ƹ� ��������� ���ϴ��� ������¸ � �������� ����Ǹ� ¸�� �ý¾�,
ȸ������� � ������. �°�, �¾��¸ϼ� �ÿ�� �Ǹ���� ��Ǹ����� �ü�� �
������¸ ����Ǹ�, ���������� � ���Ƹĸǵ���� �������� �����ư�
��� �����ư� ��� � �����, � �¾ İ�¸ǵ��� �˻� ���ļ�¸�� �
������¸ǽ�� ���µ�� �Ǹ������. ������� �������� ����ö�����, �
ǰ�½��¸, ��������������˵ � н���� ������� ��������� ������µ�,
��°�����ȸ��� �ɵ � 13~�.\ ��� ���� ����ȵ:
\ctable{
\hfil #&${}={}$#\hfil\cr
2 ������ & 1 �����¾�,\cr
2 �����¾İ & 1 ���°,\cr
2 ����� & 1 ����°,\cr
2 ������ & 1 ��»,\cr
2 ��»� & 1 ������,\cr
2 ������� & 1 ���,\cr
2 ���� & 1 ���ñ�ȵ��,\cr
2 ���ñ�ȵ�� & 1 ��ȵ��, ��� ĸ����,\cr
2 ĸ����� & 1 ���������,\cr
2 ���������� & 1 �������,\cr
2 ������� & 1 ž��ŵ�,\cr
2 ž��ŵ�� & 1 ����,\cr
2 ����� & 1 °�.\cr
}
ޱ���� ������¸, ��������˵ � ��������, ��»��, ����°�, ���°� �~�.~�.\note{1}%
{�����ž������ �������� �¸� ��� ������ �����̽� ������ǽ�: firkin,
��������, ����ǰ�� "�����̺�� ��Ǿ���"; tan---"����Ȱ� ��Ǻ�".---{\sl ����.\ �����.\/}},
�����˲����� �� ��ɵ�²� � ����ǽ�� ���µ��. ���� �����, �������˼�
������°µ�ϼ� ����ǽ�� ���ļ�¸�� �˻� ���������� ����¾������!

ݰ����̺� ���ǰ� �����½�, �����˵ ����ǽ�� ���µ�� �Ǹ������ ��ϲ�ϵ���
����� 1605~�.\ � �ϴ� ����ñ���������� �ú������ ⾼��� ������°
(1560--1621). �������---���̼� ²��ǵ���� ��ǽ����---����˻ � м����� �
��ǵ�²� �����°��µ�� ���� 㾻µ�� �͹��. ޽ ������� (����� �������
��ó���) �����̷õ�˵ �˽� ������ǵ��� ��� �½�ȵ��� "����ȵ" � "����ȵ";
�� �� ����¾�˼ ����������ϼ �� ������ǵ� �� �ñ�������� ������ �� �����
�º��¸�. ط���ǵ��� �� ��� ����¾� �� ����ǽ��
%% 208
���ļ�¸�� �˻� �������������� Զ���� �.~����� � {\sl Amer.\  J.\ Physics\/}
[{\bf 19} (1951), 452--454].

ߵ���� ��ñ���������� ���ö����� ����ǽ�� ���µ�� �Ǹ������ �����������
���������� ���ɵ����� �ð�� ڰ����ͻ� ۾�������; �¾ ������µ�̽�
���������½�� ����° [{\sl Mathesis Bicepts,\/} Campani\ae, {\bf 1} (1670), 45--48].
ڰ����ͻ� �����̽� �������� ���������� �����°������ Ǹ��� �
���µ��� �� ��������ϼ $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $12$
�~$60$, �� �� ������ ������� �������� ���ļ�¸ǵ���� �����Ƹ� �
������¸ǽ�� ���µ��� (�� �����ǵ���� �������̽�� �����Ƹ� ����������� �������).

ݰ�����, ���� �°��� �.~�.~۵����ư [{\sl Memoires de l'Academic Royale
des Sciences,\/} Paris, (1703), 110--116], � ��¾��� �����ϻ��� ����ǽ˵
�����Ƹ� ��������, ��Ǹ°���, ü������� � �������, ����²�µ�̽�
��������� � ����ǽ�� ���µ�� �����ɵ� ��������, � ������ �� ��� �°���
���ǽ� ��˻�����, ������ � �������� ���ļ�¸�� �� ���������~$2$. ۵����� �
����� �ǵ�� ǰ�¾ ����ɰ��� � ����ǽ�� ���µ�� �Ǹ������ [��.~W.~Ahrens,
Mathematische Unterhaltungen und Spiele, {\bf 1}, Leipzig, Teubner, 1910,
27--28]. ޽ �� ������������ �� ��� ����¸ǵ���� ��Ǹ������, ��
���ǵ������ �� �������� � µ���¸��-Ǹ������ �������������, °� ���
������������¸ ��������� Ǹ������ ���������µ�̽��µ� ǰ�¾ �������
���ǵ ��������� � ����ǽ�� ������, ������ � ����¸ǽ��; �� ����� °���
����� ���¸ǵ���� ����� � ¾� İ�µ, �¾ ��� �� ���µ �������� � �������
�û�� � ������. [�.\ Laplace, Th\'eorie analytique des Probabilit\'es,
$3^{\rm me}$~\'ed., Paris, 1820, cix].

ؽµ����� �¼�¸��, �¾ ������ ���Ƶ�Ƹ� ����ưµ�̽�� �µ����� ������ ��
����Ƹ����� ¾Ǻ� �� �˻� �ɵ � µ ������� ��-���¾�ɵ�� ��������. ۵�����
������ ﺾ�� ѵ��û�� ��Ǹ�����~$\pi$ � ����ǽ�� ���µ�� �Ǹ������, �
ѵ��û�� "��ȸ�" ������, ��ϲ 35-���ǽ�� ����������� �~$\pi$, ü�����
��� ��~$10^{35}$, � ��µ� ������� ����ǵ���� Ƶ��� Ǹ��� � ����ǽ��
���µ��; �¾ � �˻ ��� �²��! Ի� ����ȵ�� ����°����� �����µ�� �¾
����ö����� �˳�ϴ��� �� °�: $\pi\approx 3.14$,
�~$(314)_{10}=(100111010)_2$, �������µ�̽�, $\pi$ � ����ǽ�� ���µ��
�Ǹ������ ����~$100111010$!\note{1}%
{�¾ ������ ��~$\pi$, �~$10^2\pi$! Ҿ� ����˵ Ƹ��� Ǹ���~$\pi$ � ����ǽ�� ���µ��:
$11.0010010000111111011\ldots\,$.---{\sl ����. ���.\/}}. (�.\ Leibniz,
Math.\ Schriften (ed.\ Gehrhardt), {\bf 3} [Halle, 1855], 97; ��-�� �ȸ���
� ��Ǹ������� ��� �� 118~��¾� � �²�µ �������.) 浻� ��Ǹ������ ѵ��û��
���¾ϻ�, ��-��������, � ¾�, �¾�� ��������, ����� �� �����ö��� � �¾�
�����°������~$\pi$ �����-���ô� �����˵ ������������¸.

貵����� ������ ڰ��~XII, ��µ��¸ǵ���� °���� ��¾����, ���� ���
���������� � ��µ��¸ǵ����� °���°�� ���Ǹ� �������, ��-��������, ��
���� ���� ������ �� ���� ������� ��¾���,
%% 209
����� 1717~�.\ ò����� ����� ���̼���ǽ�� ���ļ�¸��. Ế��� ����� �¾
�˻� ��� ����²����� ������µ���, ž�� �� � �����ǰ��� � ۵����Ƶ� �
1707~�.\ ڰ�� �ò�²����, �¾ ���������~$8$ ���~$64$ �˻� �� ����� ô���˼
��� ��Ǹ������, ǵ�~$10$, � ���ü˲�� � �������� � 貵Ƹ� ���̼���ǽ��
���ļ�¸��; ������ �� ����� � ��²�, °� � �� ����� ������¸ ��� ��ľ���.
(�.\ ��Ǹ����� Ҿ��µ��, {\bf 21} [Paris, E.~R.~DuMont, 1901], 49;
�.~Swedenborg, {\sl Gentleman's Magazine,\/} {\bf 24} (1754), 423--424.)

�������� 140~��� ������ �˴��ɸ��� ������������ ����������� �������,
Ȳ�� �� ��Ƹ����̽��¸ Զ�� ݸ����� ��ȸ� ������� �ɵ ���� Ȱ� � �����¸�
������ ڰ���~XII � ��������� ������ ���µ�� �ü���Ƹ�, ��� � �����,
���������� �� ȵ�½��ưµ��ǽ�� ���ļ�¸��. ޽ �����: "� �� ����� �
������ �� ��������� ����ÿ��� � ��ɸ�� ����ǽ�� ���µ�� � ���ļ�¸�� �
����������. � ����, �� ���� �¾���� �������; ���� ���
%% !! ��������� ��ľ���ĸ�
�� ô������ ñ����� ��� � �� ��������¸ � ������ǰ���� ������¸ ���
ǵ����ǵ�²�, �¾ �� ������� ǵ�¸ ��ȵ�� ���������, ��ȸ� �ǵ�˼ �
ĸ����İ�". ݸ����� �������°� ���Ƹ��̽˵ ������� ������������
ȵ�½��ưµ��ǽ�� Ǹ���; ��������, Ǹ���~$(|C0160|)_{16}$ ��������� Ǹ°��
"vybong, bysanton". ߾������� �° ���µ��, ��������� �� "¾���̽��
���µ���", �˻� ������� �~J.~Franklin Inst.\ [{\bf 46} (1863), 263--275,
337--348, 402--407]. н�����ǽ�� ���µ��, �� �����̷��ɰ� ���������~$8$,
�˻� ���������� �������� � ¾ �� ����� �������� �.~�͹�����
[{\sl Proc.\ Amer.\  Pharmaceutical Assoc.,\/} {\bf 8} (1859), 115--216;
{\sl Proc.\ Amer.\  Philosophical Soc.,\/} {\bf 24} (1887), 296--366].

��� ����� ȸ����� ���������� �����÷���� (�����ǵ����) ���µ�� ��� � �����
�˷���� � �� Ϳ��� �����Ǹ�����˵ ������ � ���¾���²�� ����¸ǽ�� ���ļ�¸��.

� ������� ۵����ư ����ǽ�� ���µ�� �Ǹ������ �°������� ž��Ⱦ �����½��
����������, � �.~�.~��Ǹ���� ������ ����� 20 ������ �����, �����ɵ���� ��
[{\sl AMM,\/} {\bf 25} (1918), 139--142]. ޽� ������ϻ��� �����˼ �������
��� ��Ǹ������ �µ�����, ��� �ô�� ��������� �~�.~4.6.3, � ��� �������
����¾��� ��� � �����������. Զ.~ߵ��� [{\sl Atti della R.\ Accademia
delle Scienze  di Torino,\/} {\bf 34} (1898), 47--55] �����̷���� ����ǽ��
���µ�� ��� ������ ��� "����ǵ�����" ��İ��° �� 256~��������.
Զ���� Ѿô�� [Special topics in theoretical arithmetic. Garden City, 1936, 49]
��������� ���µ�� ������ǵ��� ��� ȵ�½��ưµ��ǽ�� Ǹ���.

Ҿ����°�ɸ� ��µ��� � ��Ű��ǵ���� �������²�� ��� �˿�������
���ļ�¸ǵ���� �����Ƹ�, � ���������¸ ü�������, ������ �ϴ
���������µ��� � ���ǵ��� ����ǽ�� ���µ�� � �¾� ¾Ǻ� ������. ��������˹
��ǵ� �� �¸� ������������� ��� � �°�̵ "Բ��ǽ˵ ��Ǹ������"
�.~�.~主����� [{\sl J.\ of the Institute of Actuaries,\/} {\bf 67}
(1936), 187--221]; °� �� ����ɵ�� ������
%% 210
���������, ���¾ϲȵ��� ����� ���Ǹ°���� �� �� ��� µ�� ���Ƹ�. 主����
��Ǹ���� �������: "ھ��ǽ�� Ƶ�� [�¾� �°�̸] ���¾�� � ¾�, �¾��
ñ����� ���� Ƹ����������˹ ��� �º������� �� ����¸ǽ�� �ü���Ƹ� �
�������� �� ���̼���ǽ��\note{1}%
{� ��������� octonal, ��� � ������ 主�����, � �� octal, ��� �����¾ �
����������� ���������� Ϸ˺�. � ������ɵ� ����Ƶ ���� ���� � Ǹ°µ���
����������� ���������.---{\sl ����. ���.\/}}}".

ᾲ������˵ Ǹ°µ�� �°�̸ 主����� �ô��, ��������, ô������, �����ö��,
�¾ ���µ�� �Ǹ������ �� ���������~$8$ ���˲����� � ¾ ����� �
���²���²�� �� ����� ������ϼ� ����������� Ϸ˺� octonary ��� octonal,
¾ǽ� °� �� ��� ���µ�� �� ���������~$10$ ���˲����� ���ǰ� denary ���
decimal; ����� octal ��ϲ�ϵ��� � �������� ����������� Ϸ˺� ¾�̺� �
1961~�., ���ǵ� �������ǰ�̽�, ��-��������, ��� µ���� ��� �������� ����
����ü��� ͻ��������� ���� ������������� ������. Ỿ�� hexadecimal\note{2}%
{��½��ưµ��ǽ˹.---{\sl ����. �����.\/}},
�����ȵ��� � ��� Ϸ˺ �ɵ �����, �����°��ϵ� ����� ����� ���ǵ����� �
��¸������ ������\note{3}%
{Ҿ� �¸ �����: $\tilde\varepsilon\xi$---ȵ���, decimus---�����˹. {\sl
����. ���.\/}};
 ����� ���������µ�̽˼� µ������� �˻� �� senidenary\note{4}%
{Seni deni---ȵ�½��ư�� (\emph{���.}).---{\sl ���� ���.\/}}
��� sedecimal ��� ���� sexadecimal\note{5}%
{Sex---ȵ��� (\emph{���.}).---{\sl ����. ���.\/}},
�� ���������, �����ù, ���ǰ� �� ���Ⱥ�� ���������� ��� ����������¾�.

������˲���� �.~X.~�͹���, ����������� � ��ǵ�²� ������ �� Ϳ����ľ� �
�¾� �����, �����ǵ�� ��� ��� �� ������ ���������, ����ɵ���� ����µ ��
�°�̵� 主�����. ��ó�� ���Ȱµ�� �¾� ���Ƹ� ú���� �� ��ô���²�
���̼���ǽ�� ���µ�� ���
������� Ƶ���: "$5\%$~������ɰ���� �~$3.1463 \hbox{ per } 64$\note{6}%
{߾����̺� \% ��ȵ��� ��-��������� per cent (�� ��¸������ per centum), �
cent ($100$) �����ϵ��� ��~$64$.---{\sl ����. ���.\/}},
�¾ ���Ǹ� ö����".

�ϴ ��Ǹ���µ�̽�� ��ȸ�, ���������� �� ����ǽ�� ���µ�� �˻ ������ �
��ǰ�� ����ư��� ����� ��ȵ�� �¾��¸� �� ����Ƹ�; ��.\ ����º�
�.~���ĸ��ϻ� �~�.~Ұ��° � {\sl Comptes Rendus\/} [{\bf 197} (1933), 877;
{\bf 202} (1936), 1745--1747, 1970--1972].

ߵ��˵ ��Ǹ���µ�̽˵ �ŵ�� �� ͻ��������� ������ ������¸����� �
1937~�.\ Զ��~�.~�°�����, � ����˵ ������˵ ��Ǹ���µ�̽˵ �ŵ��
���������� � � ¾� �� ����---Զ����~�.~�¸���. ޱ� ��� � ����� �����°�
�����̷����� ����ǽ�� ���µ�� �Ǹ������, ž�� �¸��� ������ ����� �¾��
�������°� � ����ǽ˹ ��� "����-3" ��� ����¸ǽ�� Ƹ��. �������� � ¾ ��
����� ����� � ӵ������ ھ���� �÷� �������� ��Ű��ǵ���� ��Ǹ���µ�̽��
��ȸ��, ���������� �� ����ǽ�� �����°������ Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��;
��������²�� (1941~�.) �� ������� ��Ű��-
%% 211
\bye