\input style
\chapno=4\subchno=2\subsubchno=1\chapnotrue
Ѿ��ȸ��²� �ñ����Ƹ� � ��°��� �������� ��� ������ � ���µ�� � ������ɵ� 
¾Ǻ�� �����Ͻ� �� "µŽ�ǵ���� ����½˼ ��������", �����������ϵ�˼ 
�����ǽ˼� ���������µ�ϼ� ���, �� ���ǰ���� � �ñ����Ƹ� �¸� �������� � 
�º��¾� ��µ������. ߾���� ����������� ��ȵ ����� ��.~R.~H.~Stark,
D.~�.~McMillan, {\sl Math.~Comp.,\/} {\bf 5} (1951), 86--92, ��� 
������� ��������� ��� �������Ƹ� �� �����̽�-�µ������ �������²�;
D.~McCracken, Digital Computer Programming, New York, Wiley, 1957, 121--131;  
J.~W.~Carr~III, {\sl CACM,\/} {\bf 2} (May, 1959), 10--15;
W.~G.~Wadey, {\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 129--139; D.~E.~Knuth, {\sl JACM,\/} 
{\bf 8} (1961), 119--128; O.~Kesner, {\sl CACM,\/} {\bf 5} (1962), 269--271; 
F.~�.~Brooks, K.~E.~Iverson, Automatic data processing, New York, Wiley, 1963,
184--199. ޱ�ö����� ���ļ�¸ǵ���� �����Ƹ� � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ�� 
� ¾Ǻ� ������ ��������-ͻ������ɸ�� ����� ���¸ � �°�̵ 
�.~�.~�ͼ������ "Floating-point operation" � �������� "Planning a Computer 
System", [ed.~by~W.~Buchholz, New York, McGrow-Hill, 1962,92--121]. 
Ծ�����µ�̽˵ ��˻�� �� ��µ������ �~�.~4.2.2.

\excercises
\ex[10] ڰ� �ô�� �˳�ϴ��� Ǹ��� в������ � ���¾Ͻ��� ߻����, ���� �� 
�����°���� � ���� ǵ���������ϴ��� Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ�� �� 
���������~$100$ � ����º��~$50$? (ؼ���� °���� �˻� �� �����°������ � 
��ȸ��~\MIX{} (��� �~\eqref[5]), ���� �� ������ ���° ����ϻ��~$100$.)

\ex[12] �����������, �¾ ������µ��~$e$ ����� � ��µ�����~$0\le e \le E$; 
������ �������ȵ� � �������ȵ� ������µ�̽˵ ���ǵ���, ��¾�˵ ����� 
���� �������� ��� $p\hbox{-����ϴ�˵}$ Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ�� �� 
���������~$b$ � ����º��~$q$? ڰ���� �������ȵ� � �������ȵ� 
������µ�̽˵ ���ǵ���, ��¾�˵ ����� ���� �����°����� � ���� 
\emph{���������������} °��� Ǹ���?

\ex[20] ߾����µ, �¾ ���� �� ����°�� � �������������˼� 
����ǽ˼� Ǹ����� � ������ɵ� ¾Ǻ��, ¾ ��ɵ�²õ� ������ ������� 
ò���Ǹ�� ¾ǽ���� ��� ò���ǵ��� ������ �����̷õ��� ����¸: 
$p\hbox{-����ϴ���}$ ������� ǰ��� ����� �����°����� ��� ����ɸ ����� 
���� $p-1$~����ϴ�� ��ȸ����� �����, ���� ����-���� ü���ȸ�� ��µ���� 
���ǵ��� ������µ��. 

\rex[15] �����~$b=10$, $p=8$. ڰ��� ���û�°� ���� ������¼~A ��� 
�����Ƹ�~$(50, +.98765432) \oplus (49, +.33333333)$? 
Ի� �����Ƹ�~$(53, -.99987654) \oplus (54, +.10000000)$? 
Ի� �����Ƹ�~$(45, -.50000001) \oplus (54, +.10000000)$?

\ex[M23] Ծ����µ, �¾ ����� Ȱ����~A5 �~A6 ������¼�~A �����, �� ������� 
���û�°°, �����¸�� ��������� �����Ƹ�: ����~$f_u$ �~$f_v$ ����� ��������˹ 
����, ¾ ��������~$f_v$ ��~$\sign(f_v)b^{-p-2}\floor{b^{p+2}\abs{f_v}}$; 
���� �����~$f_u$ �~$f_v$ ���¸���������, ¾ ��������~$f_v$ 
��~$\sign(f_v)b^{-p-2}\ceil{b^{p+2}\abs{f_v}}$. (��ĵ�� �¾� �����Ƹ� 
���¾�� � "��������"~$f_v$ �� $p+2$~����ϴ��, �¾�� �������������� ����� 
��������, ����ž����� ��� �˿������� �������� � Ȱ��~A6.)

\ex[22] 㴰ǽ� �� ���� �������� ������~38--40 ���������~A 
�����-�����²����� ��������~"|SLC 5|"?

\ex[M21] ڰ��� ��������� ����ž���� ��������¸ � ������¼�~A, �¾�� �� 
������Ǹ��� �˴��� ������̽� ���ó������� ���������������� ���û�°°,
���� ���� �ž��˵ ����˵ �� �������������? (Ỿ�� "������̽� ���ó����˹" 
����ǰ��, �¾ ���û�°� ����� ���������� ��������� ¾ǽ���� � $p$~����ϴ�� 
� �������������, �¾ �ž��˵ ����˵~$u$ �~$v$ � ¾ǽ��¸ 
�����~$f_u\times b^{e_u-q}$
%% 242
�~$f_v\times b^{e_v-q}$ ���²���²����, ž��, ���� �����, � �� 
�������������. � ǰ�½��¸, $u$ ���~$v$ ����� ����� �û���� ������� ǰ��� 
� �ǵ�� ����ȸ� ������µ���, � °��� ������� � ���µ��µ ������� 
ÿ�������� ������������� �� ��� ����˹ �û�.)

\ex[25] �������µ ������� �ž���� ���ǵ���, ��� ��¾��� 
������������~|FADD|  � ���������~A �� ������Ǹ���� ����ǵ��� "������̽� 
���ó������� ���������������� �²�°" � ������ ÿ�.~7.

\ex[�24] (�.~ڰŰ�.) �����������, �¾ ��ǵ�������� ������µ�� �������� � 
���������� ���û�°�� ���ǵ��� �û� ��� ������-���� ú������ �� �ȸ���. 
�����̷�� ���̼�����ϴ�˵ ����¸ǽ˵ Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ�� � ����º�� 
�û� � ������µ���~$e$  � ��µ�����~$-50\le e < 50$, �����µ °��� 
������µ�̽˵ ���ǵ���~$a$, $b$, $c$, $d$ �~$y$, ��� ��¾��� �˿�������� 
���½�ȵ���~\eqref[11].

\ex[M15] �������µ ������ ��������������� ���̼�����ϴ��� ����¸ǽ�� Ǹ��� 
� ������ɵ� ¾Ǻ��~$u$ �~$v$, � ���Ƶ��� �������� ��¾��� �����ž��� 
������������ ��� ���ó�����.

\rex[M20] ԰�µ ������ ��������������� ���̼�����ϴ��� ����¸ǽ��  Ǹ��� � 
������ɵ� ¾Ǻ��~$u$ �~$v$, � ���Ƶ��� ü������� ��¾��� �����ž��� 
������������ ��� ���ó�����.

\ex[M25] Ծ����µ, �¾ ������������ ��� ���ó����� �� ����� �����ž���� � 
ž�� �˿������� İ�� ���������Ƹ� ��� ������� Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��.

\rex[�23] ܸ�µ� ��Ȼ��˹ ������ɸ� ������� ����ĸƸ����� �����, 
�������ɸ� �~\eqref[13] � µ�, �¾�� ����������� \emph{��������} 
������µ�̽�� Ǹ���~$u$ � ������ɵ� ¾Ǻ�� �� Ƶ��� Ǹ���~$\floor{u}$ � 
ĸ����������� ¾Ǻ�� � �������������, �¾~$0<u<b^3$:
\EQ{
  |FSUB~ONEHALF;|\quad |FADD~FUDGE|;\quad |SUB~FUDGE.|
}
(״��� |ONEHALF|---�����°������~$1/2$ � ���� Ǹ��� � ������ɵ� 
¾Ǻ��.) ճ� ���� �����˲����� �� ¾� ����δ����, �¾ $u-1/2$ ���ó�ϵ��� 
��~$\floor{u}$. ޴���� ����� �� �����ö��, �¾ �° ���� ����°�� �� ������.
� ǵ� �˻� �ȸ���? ݵ� �� ��ó��� ��¾��, ��¾�˼ �� �� ��� ������̷�������?

\ex[23] ݰ��ȸµ \MIX-������������, ��¾���, �ô�Ǹ ��������� � 
��������̽��� Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��, �������������� � ��������~|A| � �� 
��Ϸ�µ�̽� ����������������, ���������˲��� ��� � ������ȵ� Ƶ��� Ǹ���, 
�����°������� � ľ��� � ĸ����������� ¾Ǻ�� (��� ��°���������, �¾ �¾ 
Ǹ��� ���Ⱥ�� ������ �� ������½�� ����Ǹ��, �¾�� °��� �������������� 
�˻� ��������).

\rex[28] ݰ��ȸµ \MIX-������������, ��¾��� ����� �˻� �� �����̷����� � 
��ǵ°��� � ��ó��� �������������� �¾�� �������İ ��� 
��Ǹ������~$u\fmod{1}$, �.~�.~��� �����������~$u-\floor{u}$,  � ���ǰ� 
����� Ǹ���~$u$ ������ � ľ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��. �ö��, �¾�� ����Ǹ��� 
������̽� ���ó����˹ ���û�°� (� ������ ÿ�.~7); �������µ�̽�, 
����~$u$---�ǵ�� ����� ����ưµ�̽�� Ǹ���, ¾ $u\fmod{1}$~�ô�� ���ó���� 
°��� �������, �¾ ���û�°� �������� ����˼~$1$ (ž�� �� �����������~$u\fmod{1}$ 
���� ��ɵ�²����� Ǹ���, ������ \emph{����ȵ�} �������).

\ex[��21] (ྱ��� �.~Ἰ�.) ష����°�µ ������¼ ��Ǹ������ ��ɵ�²����� 
� ������ ǰ�µ� ������������ Ǹ���~$(a+bi)/(c+di)$ �� ������˼ � ľ��� � 
������ɵ� ¾Ǻ�� ��ɵ�²���˼ ���ǵ��ϼ~$a$, $b$, $c$ �~$d$. ޱ����µ�� 
��� ��Ǹ������~$c^2+d^2$, °� ��� ��� �¾� ����� ���������� ������������, 
����~$\abs{c}$ ���~$\abs{d}$ �������� ����� ������½��� ����� �� 
��������̽��� �����¸���� � ľ��� � ������ɵ� ¾Ǻ�� ���ǵ���.

\ex[40] (Զ�� ھ��.) ��������µ ��������� ���� ���ȸ����� ��µ����� 
��������� Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��: �����̷õ��� ����������� �����°������,
��� ��¾��� ¾ǽ���� ������� ǰ�¸ ü���Ȱ����, ����� ����Ǹ�� ������µ�� 
������°��.

%% 243

\subsubchap{�ǽ���� �˿������� ���ļ�¸ǵ���� ����²�� � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ��} % 4.2.2
��Ǹ������ ��� Ǹ����� � ľ��� � ������ɵ� ¾Ǻ�� ��¾ǽ� �� ����� ����� 
�������, � ����ô�� �¾�� ��ô�ǽ� ��������� ��, �¾�� ��Ǹ�����˵ 
�²��� ���¸ Ƶ����� ���¾ϻ� �� "�ü�". ޴�� �� ������� ������� 
Ǹ�������� ������� ���¾�� � ����������� �µ���� ¾ǽ��¸ ���û�°¾� µ� 
��� ���� Ǹ������� ��¾���; �δ� ����ǰ���� � �������� "�µ���� �������": 
�� �� �����, �� ����� �µ���� ����� ������ ���û�°°� ��Ǹ������ �� ���. 
߾�̷���µ��-����Ǻ� ��Ȱ�� ��� ��������, ������� ������µ�� ��� 
�������ȸ���� ��¾��µ��; ��� ������� �Ǹ°��, �¾ ��� Ƹ��� 
����ǰ°����� �²�° ϲ������ ���ǰɸ��. � ���̷���µ��� ���, ��ȵ���� 
���η��, ���ž� ��ϼ� ���¸��������˹: ��� ��������� ���������, �¾ �� 
�²��� ���¸ ������������. ܽ���� �� ���̵���� ��µ��¸��� ��°���� 
������ ���������������� ���������µ�̽���� �����Ƹ� � ������ɵ� ¾Ǻ��, ��,
�����ö��, �¾ ����ǰ ���Ⱥ�� ��ô��, ���ǰ�� µ�, �¾ ô����²��ϻ��� 
������������˼� ����ö����ϼ�.

߾���� ������������ ��¾��� ������� �ȸ��� ��ž���, ���ü�����, �� ����� 
���¾�ɵ� �����, ������ ����¾�˵ �� Ű���µ���¸� �ȸ���, ��������ɸ� 
��� ��Ǹ������� � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ��, �� � �¾� �ý�µ ����������. 
ݰȰ Ƶ��---��������, ��� �˿������ �����Ƹ� � ������ɵ� ¾Ǻ�� °��� 
�������, �¾�� �����Ǹ��, ������̺� �¾ ��������, ���ü�˹ ������ 
����Ǹ�� �ȸ���.

����¾� (�� ���°¾ǽ� ������˹) ������ �Ű���µ�������� ��������� 
�����Ƹ� ������ɵ� ���ļ�¸�� ������� �� ����¸� "���ǰɸ� Ƹ��" ��� 
\dfn{�½���µ�̽�� �ȸ���.} ���� �� �����°��ϵ� ¾ǽ�� ��ɵ�²����� 
Ǹ���~$x$ � ��� �������²��, �����������~$\widehat x=x(1+\varepsilon)$, ¾ 
����Ǹ��~$\varepsilon=(\widehat x-x)/x$ ���˲����� �½���µ�̽�� �ȸ���� 
�����������. ��ñ� ������, � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ�� �����Ƹ� ü������� 
� ������� �� ���Ⱥ�� ò���Ǹ���� �½���µ�̽�� �ȸ���, �� ��Ǹ°��� 
���¸ ������ ����Ǹ� (� ��������~$u\oplus v$, ���~$u$ ���¸ �����~$-v$) 
����� ò���Ǹ�� �� ���Ǹµ�̽�. �°�, � ��� ���� ��ɵ� 
"ͼ����ǵ����" �������: ��ɵ�²����� ��µ�� ¾ǽ��¸ ����� ������� �� 
�������� � ��Ǹ°��� ú�������� ����, �� �� �� ü������� � �������.

޴��� �� �����²�� � ��������� ����������¸ �������� � ���µ�� � ������ɵ� 
¾Ǻ�� ϲ�ϵ��� ����ȵ��� ������ ����Ƹ�¸����¸:
\EQ[1]{
 (u\oplus v)\oplus w \ne u \oplus (v \oplus w) \rem{��� ����¾���~$u$, $v$, $w$.}
}
%% 244
ݰ������:
\EQ{
 \eqalign{
   (11111113.\oplus -11111111.)\oplus 7.5111111  & = 2.0000000 \oplus 7.5111111\cr
                                                 & = 9.5111111;\cr
  11111113. \oplus (-11111111. \oplus 7.5111111) & = 11111113. \oplus -11111103.\cr
                                                 & = 10.000000.\cr
 }
}
(��� ������� �¾�� �ý�° ���������� � ���̼�����ϴ��� ����¸ǽ�� 
������ɵ� ���µ�� � �����°������� ������µ��� �������²�� ��ϼ��� 
ú������ ���° ������������ ����¸ǽ�� ¾Ǻ�. ݰ������, �¾, ��� � � 
�.~4.2.1, �������~$\oplus$, $\ominus$, $\otimes$, $\oslash$ �����̷����� 
��� ������ǵ��� �����Ƹ� � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ��, ���²���²��ɸ� 
¾ǽ˼ �����Ƹϼ~$+$, $-$, $\times$, $/$.)

� ���µ ��������� ������ ������ ����Ƹ�¸����¸ ����������� � ��ǰ�� 
�¾� ����� ����ǰ��� ������� ۰ ��� [���¾� ��~{\sl Math.~Gazette,\/} {\bf 12} 
(1924), 95], ���� ��� �½��¸ � ���ļ�¸�� � ���µ�� � ������ɵ� 
¾Ǻ��, ����� � ���� ������� ���� �������� ������. ܰµ��¸ǵ���� 
������ǵ��� ¸��~"$a_1+a_2+a_3$" ���~"$\sum_{1\le k \le n} a_k$" �� ������ 
������ ��ɵ�²� �������� �� ������������� �� ����Ƹ�¸����¸, °� �¾ 
����������� ������ ���� �������� ���µ��� �� ¾� �ǵ�, �� ������������ �� 
�� ��ϲ�� �������������� ������ ����Ƹ�¸����¸.

\section{�.~к�����¸ǵ���� ���ž�}. ��� ����� ����Ƹ�¸����¸ � �� �����,
����� �����°¸����¸
\EQ[2]{
 u \oplus v = v \oplus u
}
������ �˿��������, � �¾� ����� ����� ��ö��� ���̵��˼ ���Ƶ��ð�̽˼ 
�������̵� ��� ���������������� � ��� ������� ��������. �¾ ����������� 
�������˲��� ���, �¾ ����õ� ������ �������� ��ɵ�²���˵ ������, ��¾�˼ 
ô����²����� �����Ƹ�~$\oplus$, $\ominus$, $\otimes$ �~$\oslash$; �����, 
�� �ô�� �������ô�˼ °��� ������˲����: \emph{��������� ���ļ�¸ǵ���� 
�����Ƹ� � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ�� ����õ� ���°����� °��� �������, 
�¾�� ������ϻ��� ��������̽� ��������� Ǹ��� �°����½�� ��µ��¸ǵ����
�������.}

��������� µ���� ����¾�˵ �� ��ó�� �������� �������, ��¾�˵ 
����������� ��� ��������������� �����Ƹ� � ������ɵ� ¾Ǻ��, ��������� � 
����˴�ɵ� �ý�µ. ������ ����� �� �����
\EQ{
 \displaylinesno{
    u \ominus v = u \oplus - v ; & (3) \cr
  -(u \oplus v) = - u \oplus -v; & (4) \cr
     u \oplus v = 0 \hbox{~¾��� � ¾�̺� ¾���, �����~$v=-u$;}&(5)\cr
     u \oplus 0 = u. & (6) \cr
 }
}
%% 245
ط �¸� ������� ����� ����ǰ�� � ���̽��ȸ� ¾����²�; ��������,
\EQ[7]{
 u \ominus v = - (v \ominus u)
}
(��.~ÿ�.~1). �¸ ������ \emph{��} �˿���ϻ��� ��, ���� �� � ���µ�� � 
������ɵ� ¾Ǻ�� ��� ������� ǰ�µ� ��������� ����¾ ��ϼ��� ���� 
�����̷������ �������µ�̽˹ ���; ��.~ÿ�.~11. � �¾� ¾Ǻ� ������ ��ϼ�� 
��� ��� �����°������ Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ�� ����� ����¾��� 
µ���¸ǵ���� ������ɵ�²�.

⾶���²�~\eqref[2]--\eqref[6] ������� ���������²���� �� 
������¼�� �.~4.2.1. ỵ���ɵ� ������� ���� ����� �ǵ�����:
\EQ[8]{
 \hbox{����~$u \le v$, ¾~$u \oplus w \le v \oplus w$.}
}
�¾�� �������� ���, ������� �� �����������~$\round(x, p)={}$"$x$,  
���ó������ �� $p$~����ϴ��"${}={}$
\EQ[9]{
 \cases{
  b^{e-p}\floor{b^{p-e}x+{1\over2}}, & ����~$b^{e-1}\le x < b^e$,\cr
                                  0, & ����~$x=0$, \cr
   b^{e-p}\ceil{b^{p-e}x-{1\over2}}, & ����~$b^{e-1}\le -x < b^e$, \cr
 }
}
���~$x$---��ɵ�²����� Ǹ���, �~$p$---Ƶ��� ������µ�̽��. 
(��.~�~������¼��~4.2.1N, Ȱ�~N5.) װ��¸�, �¾ ����������� ������²�
\EQ[10]{
 \round (-x, p) = - \round (x, p);\qquad \round(bx, p)=b \round (x, p);
}
�, �����, � ���� �����������~�.~4.2.1, ����� ���¾ ����˵ ���½�ȵ���
\EQ{
 \eqalignno{
   u \oplus  v &= \round(u+v, p),       & (11)\cr
   u \ominus v &= \round(u-v, p),       & (12)\cr
   u \otimes v &= \round(u\times v, p), & (13)\cr
   u \oslash v &= \round(u/v, p)        & (14)\cr
 }
}
\emph{��� �������,} �¾ �� �����ž��� ������������ ��� ��ǵ�������� 
������µ���, �.~�.~��� �������, �¾ Ǹ���~$u+v$, $u-v$, $u \times v$ 
�~$u/v$ ����� � �����¸��� ��µ������. ߾�̷���� �¸� ����δ�����, 
����� ���� ����¾� ������µ���²� ���� ����Ǹ������� ��ȵ ¾����²,
����ǰ� � ¾����²�~\eqref[8], ϲ���ɵ��� �����²��� ¾�� İ�°, 
�¾ �ý�Ƹ�~$\round(x, p)$ �� ñ˲��� ��� ������°���~$x$.

�� ����� µ���� �˿����� �ɵ ������̺� ¾����², ��µ���ɸ� �� ú������� 
��ȵ ���½�ȵ���:
\EQ{
 \displaylines{
   u \otimes v = v \otimes u, (-u)\otimes v  = -(u\otimes v), 1\otimes v = v;\cr
   u \otimes v = 0 \hbox{ ¾��� � ¾�̺� ¾���, �����~$u=0$ ���~$v=0$;}\cr
 (-u)\oslash v = u \oslash (-v) = -(u \oslash v),  0 \oslash v =0,\cr
   u \oslash 1 = u, u \oslash u =1;\cr
 \hbox{����~$u\le v$, $w>0$, ¾~$u \otimes w \le v \otimes w$, $u \oslash w  \le v \oslash w$, $w \oslash u \ge w \oslash v$.}\cr
 }
}
%% 246
�°�, ���� �����Ƹ� � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ�� ��°������� � 
���²���²�� � ����������˼� ������ϼ�, ¾, �������� �� ��¾ǽ���� ����� 
�����Ƹ�, ������ϵ��� ������� ���û�������.

� ����������� ��ȵ ������Ƹ� ¾����², ���ü�����, ��� �� ��������� � 
����� ������²�� ������̺�� �����½�� ������� �������; ����� 
����Ƹ�¸����¸ ��� ü������� � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ�� �˿���ϵ��� �� 
������ ¾ǽ�, ��� �¾ �ô�� ����� �� ÿ�.~3, �¾ �� �������� ������ 
��������¸����¸, ��Ϸ˲��ɵ�� �����Ƹ�~$\otimes$ �~$\oplus$), ¾ �� ����� 
����Ȱ����, � ��� �¾� �����̽� ���Ǹµ�̽�. �����, ��������, 
$u=20000.000$, $v=-6.0000000$ �~$w=6.0000003$, ¾���
\EQ{
 \eqalign{
  (u\otimes v) \oplus (u\otimes w) &= 120000.00 \oplus 120000.01 =.010000000,\cr
             u \otimes (v\oplus w) &= 20000.000 \otimes .00000030000000 = .0060000000,\cr
 }
}
°� �¾
\EQ[15]{
 u\otimes (v\oplus w) \ne (u\otimes v) \oplus (u \otimes w).
}

н�����ǽ�, ����ô�� ú����� �������, �����~$2(u^2\oplus v^2)<(u\oplus v)^2$; 
������������������� ��Ǹ������ �������� ������¸ǽ��� �º������� 
��� �ϴ� ����δ���� �� ľ��û�
\EQ{
 \sigma =  {1\over n}\sqrt{n \sum_{1\le k \le n} x_k^2-\left(\sum_{1\le k \le n} x_k\right)^2}
}
����� ������¸ � �����ǵ��� ������½��� ����� �� ����ưµ�̽��� Ǹ���!

԰�� ���� ��������ǵ���� ������ �˿�������� �� ������ ������, �� ����� 
�����̷����� ��ȸ ��¾�� ��� ����������� ¾��, � ����� �µ����� ¾ǽ��¸ 
�˿���ϵ��� �����. ط �����������~$\round(x, p)$ ����õ�, �¾
\EQ[16]{
 \round(x, p)=x(1+\sigma_p(x)),
}
���
\EQ[17]{
 \abs{\sigma_p(x)}\le {1\over 2}b^{1-p}.
}
ỵ����µ�̽�, �� ������ ����� ��������
\EQ{
 \eqalignno{
   a\oplus b &= (a+b)(1+\delta_p(a+b)),              & (18)\cr
  a\ominus b &=(a-b)(1+\delta_p(a-b)),               & (19)\cr
  a\otimes b &= (a\times a) (1+\delta_p(a\times b)), & (20)\cr
  a\oslash b &=(a/b)(1+\delta_p(a/b)).               & (21)\cr
 }
}
״��� �����̽� �����˼ �������� ����� �Ƶ���� �½���µ�̽�� �ȸ��� 
��������������� ��Ǹ������ � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ��. 
���û�~\eqref[18]--\eqref[21] ��ö�� �����˼ �����ü��¾� ��� �Ƶ��� 
�ȸ��� � ���ļ�¸�� ��������������� Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��.

%% 247

� ��ǵ�²� ������� ¸��ǽ�� ���Ƶ���� �Ƶ��� �ȸ��� ���������� ����� 
����Ƹ�¸����¸ ü�������. ڰ� �����˲��� ÿ�.~3, $(u\times v)\otimes w$, 
����ɵ ������, �� �����~$u\otimes (v\otimes w)$; �� ���ðƸ� � ������ 
���ǰ� ������� ���ȵ, ǵ� � ���ǰ� ������ ����Ƹ�¸����¸ 
��������~\eqref[1] � ������ ��������¸����¸~\eqref[15]. � ����� ����, 
�����~\eqref[17] �~\eqref[20] �����
\EQ{
 \eqalignter{
   (u\otimes v)\otimes w &= ((uv)(1+\delta_1))\otimes w &= uvw(1+\delta_1)(1+\delta_2),\cr
    u\otimes(v\otimes w) &= u\otimes((vw)(1+\delta_3))  &= uvw(1+\delta_3)(1+\delta_4)\cr
 }
}
��� ����¾���~$\delta_1$, $\delta_2$, $\delta_3$, $\delta_4$ ��� �������, 
�¾ �� �����ž��� ������������ ��� ��ǵ�������� ������µ��, 
���ǵ�~$\abs{\delta_j}\le {1\over2}b^{1-p}$ ��� �������~$j$.

ỵ����µ�̽�,
\EQ{
  {(u\otimes v)\otimes w \over u\otimes (v\otimes w)}
  ={(1+\delta_1)(1+\delta_2)\over (1+\delta_3)(1+\delta_4)}
  =1+\delta,
}
���
\EQ[22]{
  \abs{\delta}\le 2b^{1-p}/\left(1-{1\over2}b^{1-p}\right)^2.
}

⵼ ���˼ �� ��°������, �¾ $(u\otimes v)\otimes w$ \emph{��������µ�̽� 
�����}~$u\otimes (v\otimes w)$, �� �����ǵ���� µ� ���ǰ��, ����� 
�����ž��� ��ǵ�������� ��� ������������ ������µ��. �° ���ø¸���� 
���� "��������µ�̽��� ������²�" ����ö����� ����� ���������� ���ǵ���; 
����� �� ���ü�˼ ������� ���� ����� ¾ǽ�� ľ��û������ �¾�� �²��������?

�����������, �����̷��ɸ� ���ļ�¸ǵ���� �����Ƹ� � ���µ�� � ������ɵ� 
¾Ǻ��, ���¸ ������� �� �����˲��� ������� ���������, �� �˿���ϵ��� �� 
������²�~$u=v$ (��� �� ������� ���� �� ���� �� �����-���ô� ��°���� 
�¾ �������), °� ��� ������²� ϲ�ϵ��� ������̽� ���������½˼ 
����¸��. ݰ������, ���� �����̷õ��� ��������½�� ���½�ȵ���
\EQ{
  x_{n+1}=f(x_n),
}
� ��¾��� µ����, ���°� �� �����-¾ ������, �²�������, 
�¾ $x_n$~��������� � ����¾���� ������� ���~$n\to\infty$, ¾, ��� �������,
�˻� �� �ȸ���� ���������� ��Ǹ������, ���� ��� ����¾����~$n$ �� 
���ɵ�²���� ������²�~$x_{n+1}=x_n$, °� ��� ���������µ�̽����~$x_n$ 
����� ����� ���ó����� �������¾ǽ�� ���û�°¾� ��������� �������ǵ���� � 
����ȸ� ��������. షü�� ���������� ��Ǹ������ ���� �� µ� ���, ���� 
��� ����¾���� ���ž��ɸ� ������� �˱�������~$\delta$ �� �°��� 
����������� ��������²�~$\abs{x_{n+1}-x_n}<\delta$; �� °� ��� �� �� 
����� ������� ���ϴ�� ����Ǹ��~$x_n$, �ɵ ����� ������̽� ���������� 
��ϲ����� ��������²�
%%248
\EQ[23]{
  \abs{x_{n+1}-x_n}\le \varepsilon\abs{x_n};
}
Ǹ���~$\varepsilon$ ������� ���ǵ �˱���� �������. 
ι½�ȵ���~\eqref[23]---�¾ ��ó�� ������ ��������� ¾�� İ�°, �¾ 
Ǹ���~$x_{n+1}$ �~$x_n$ ��������µ�̽� �����; � ��ȵ ���ö����� �����˲���,
�¾ ��� ������������ ��Ǹ������ ��� Ǹ����� � ������ɵ� ¾Ǻ�� 
���½�ȵ��� "��������µ�̽��� ������²�" �˻� �� ����� �������, ǵ� 
�����Ƹ����� ���½�ȵ��� ������²�, ���� ¾�̺� ��� ô����� ���������� 
������ ���½�ȵ��� �������ɸ� �������.

��ó��� �������, ¾� İ��, �¾ ������� ������²� ����Ǹ� � ���µ�� � 
������ɵ� ¾Ǻ�� ������ �ǵ�� ��������� ����, �������� � ����ž�����¸ 
����¸ ����� �����Ƹ� \emph{��������� ����Ǹ� � ������ɵ� ¾Ǻ��,} 
���������ǵ���� ��� �����ǵ��� �Ƶ��� �½���µ�̽�� ���ǵ��� ���� °��� 
����Ǹ�. �����°������� �������˼� ������ɸ� ����������� ��� Ǹ��� � 
������ɵ� ¾Ǻ��~$u=(e_n, f_n)$ �~$v=(e_v, f_v)$ �� ���������~$b$ � 
����º��~$q$:
\EQ{
 \eqalignno{
  u &\prec v(\varepsilon) \hbox{ ¾��� � ¾�̺� ¾���, �����~$v-u>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;}           &(24)\cr
  u &\sim v(\varepsilon) \hbox{ ¾��� � ¾�̺� ¾���, �����~$\abs{v-u}\le \varepsilon \max (b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;} &(25)\cr
  u &\succ v(\varepsilon) \hbox{ ¾��� � ¾�̺� ¾���, �����~$u-v>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;}           &(26)\cr
  u &\approx v(\varepsilon) \hbox{ ¾��� � ¾�̺� ¾���, �����~$\abs{v-u}\le\varepsilon\min(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$.} &(27)\cr
 }
}
ᾳ����� �¸� ����������ϼ, ��� �α�� ������ ���� ���ǵ���~$u$,~$v$ ����� 
�˿�������� � ¾ǽ��¸ ���� �� ���½�ȵ���~$u\prec v$ ("����������� ����ȵ"), 
$u\sim v$ ("��������µ�̽� �����") ���~$u\succ v$  ("����������� ����ȵ"). 
ι½�ȵ���~$u\approx v$---������̺� ����� ���̽��, ������~$u\sim v$, � ��� 
����� Ǹ°�� °�: "$u$ �� ��ɵ�²� �����~$v$". ��� �¸ ���½�ȵ��� �������� 
�������²�� ������µ�̽��� Ǹ���~$\varepsilon$, �������ɵ�� �µ���� 
���������������� �����������.

޴��� �� �������� ��¾�������� ����������� ����������� ���¾�� � ¾�, 
�¾�� �α��� Ǹ���~$u$ � ������ɵ� ¾Ǻ�� ���°���� � ���²���²�� 
������²�~$S(u)\set{x \mid \abs{x-u}\le \varepsilon b^{e_u-q}}$;
������²�~$S(u)$ �����°��ϵ� ����� �����ÿ����� ��ɵ�²����� Ǹ���, 
������������� ������~$u$, � ���������� ��� ����ɸ ������µ��~$u$. � 
µ������ �¸� ������² ���½�ȵ���~$u\prec v$ �˿���ϵ��� ¾��� � ¾�̺� 
¾���, �����~$S(u)<v$ �~$u<S(v)$; $u\sim v$ ¾��� � ¾�̺� ¾���, 
�����~$u\in S(v)$ ���~$v\in S(u)$; $u\succ v$ 
%% 249
¾��� � ¾�̺� ¾���, �����~$u>S(v)$ �~$S(u)>v$; $u\approx v$ ¾��� 
� ¾�̺� ¾���, �����~$u\in S(v)$ �~$v\in S(u)$. (״��� �� ������������,
�¾ ��������~$\varepsilon$, �������ɸ� �µ���� �����������, ĸ��������;
� ����� ��������� ������ ����� �˻� �������� � �����������~$S(u)$ ��~$\varepsilon$.)

Ҿ� ����¾�˵ �����²�� �� ����������� �����������:
\EQ{
 \displaylinesno{
  \hbox{����~$u\prec v(\varepsilon)$, ¾~$v\succ u(\varepsilon)$;}                                                  & (28)\cr
  \hbox{����~$u\approx v(\varepsilon)$, ¾~$u\sim v(\varepsilon)$;}                                                 & (29)\cr
  u\approx u(\varepsilon);                                                                                          & (30)\cr
  \hbox{����~$u\prec v(\varepsilon)$, ¾~$u<v$;}                                                                    & (31)\cr
  \hbox{����~$u\prec v(\varepsilon_1)$  �~$\varepsilon_1\ge \varepsilon_2$, ¾~$u\prec v(\varepsilon_2)$;}          & (32)\cr
  \hbox{����~$u\sim v(\varepsilon_1)$ �~$\varepsilon_1\le \varepsilon_2$, ¾~$u\sim v(\varepsilon_2)$;}             & (33)\cr
  \hbox{����~$u\approx v(\varepsilon_1)$  �~$\varepsilon_1\le \varepsilon_2$, ¾~$u\approx v(\varepsilon_2)$;}      & (34)\cr
  \hbox{����~$u\prec v(\varepsilon_1)$ �~$v\prec w(\varepsilon_2)$, ¾~$u\prec w(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$;}    & (35)\cr
  \hbox{����~$u\approx v(\varepsilon_1)$ �~$v\approx w(\varepsilon_2)$, ¾~$u\sim w(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$.} & (36)\cr
 }
}
԰���, ����� ��� ��ô� ��������, �¾
\EQ{
 \displaylinesno{
   \hbox{$\abs{u-v}\le \varepsilon\abs{u}$ �~$\abs{u-v}\le \varepsilon\abs{v}$ ������~$u\approx v(\varepsilon)$,} & (37)\cr
   \hbox{$\abs{u-v}\le\varepsilon\abs{u}$ ���~$\abs{u-v}\le\varepsilon\abs{v}$  ������~$u\sim v(\varepsilon)$}    & (38)\cr
 }
}
�, ����½�, ��� \emph{���������������} Ǹ���~$u$ �~$v$ ���~$\varepsilon<1$ 
\EQ{
 \displaylinesno{
   \hbox{$u\approx v(\varepsilon)$ ���ǵ�~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{u}$ �~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{v}$;} & (39)\cr
   \hbox{$u\sim v(\varepsilon)$  ���ǵ�~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{u}$ ���~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{v}$.} & (40)\cr
 }
}

� ��ǵ�²� ������� ���� �¸� ���½�ȵ��� ����� [��� � �~\eqref[22]]
\EQ{
  \eqalign{
%% ���������, ������̽� �� ���°���� ����˹ \abs
    \abs{(u\otimes v) \otimes w - u\otimes (v\otimes w)}&=\abs{u\otimes (v\otimes w)}\cdot \abs{{(1+\delta_1)(1+\delta_2)\over (1+\delta_3)(1+\delta_4)}-1}\le \cr
                                                        &\le {2b^{1-p}\over \left(1-{1\over 2}b^{1-p}\right)^2}\abs{u\otimes(v\otimes w)},\cr
  }
}
� ¾ �� ����� ��������²� �˿���ϵ���, ���� �������� 
���°��~$(u\otimes v) \otimes w$ �~$u\otimes (v\otimes w)$. ỵ����µ�̽�, 
�����~\eqref[27], ����������� ���½�ȵ���
\EQ[41]{
%% �¾ °��� �¾� (\varepsilon)? ׽�� �����ɵ�.
  (u\otimes v) \otimes w \approx u \otimes (v\otimes w) (\varepsilon)
}
���~$\varepsilon\ge 2b^{1-p}/(1-b^{1-p})^2$. ݰ������, ���~$b=10$ �~$p=8$ 
����� �����~$\varepsilon=0.00000021$. ⰺ�� �������, � ��� ������� 
�����̽� ž��ȸ� "����� ����Ƹ�¸����¸".

%% $\sim$ => $\sim$,
ι½�ȵ���~$\prec$, $\sim$, $\succ$ �~$\approx$ ������� ��� Ǹ������� 
������¼��, � ���¾�� ���ü�� ���� ������ǵ��� ��� ����������� ��������� 
Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ�� ���ϴ� � ����������� �˿������� ��� ���� 
���ļ�¸ǵ���� ����²��.

%% 250

⵿��� ����� �������Ǹ� ��ȵ �������� �� ������ � ��ž������ 
\emph{¾ǽ��} ���½�ȵ���, ��¾�˼ ô����²����� �����Ƹ� ��� ����Ǹ���� � 
������ɵ� ¾Ǻ��. ؽµ����� �¼�¸��, �¾ �������� � ��Ǹ°��� °��� 
����Ǹ� �� ��������� �˿����� �� ���� ������ �������¸��, °� ��� ��� 
ô����²����� ���������̽˼ ¾����²��, ľ��û��õ�˼ � µ������~A �~B.

\proclaim ⵾����~A. �����~$u$ �~$v$---�������������˵ Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��. 
⾳��
\EQ[42]{
  ((u\oplus v)\ominus u)+((u\oplus v)\ominus ((u\oplus v)\ominus u))=u\oplus v,
}
%% ��� ������� �¾ => ��� �������, �¾
��� �������, �¾ �� �����ž��� ������������ ��� ��ǵ�������� ������µ��.

\emph{װ��ǰ���.} �¾ �����̽� ���������� ¾����²� ����� ���������� � 
������ɵ� ����� ����¾� ����. ߾�����
\EQ[43]{
  \twocoleqalign{
     u'&=(u\oplus v)\ominus v,  & v' &=(u\oplus v)\ominus u ;\cr
    u''&=(u\oplus v)\ominus v', & v''&=(u\oplus v)\ominus u'.\cr
  }
}
ؽ�ø¸��� ����, �¾ $u'$ �~$u''$ ������ ���� ����������ϼ� �~$u$, �~$v'$ 
�~$v''$---����������ϼ� �~$v$. ⵾����~A �²�������, �¾
\EQ[44]{
  u\oplus v = u'+v'' = u''+v'.
}
�¾ ����� ���̽�� �²��������, ������ ¾����²�
\EQ[45]{
  u\oplus v = u' \oplus v'' = u'' \oplus v',
}
ϲ���ɵ��� �ɵ ����� �����²��� µ�����~A (��.~ÿ�.~12).

\proof Ҳ��� ��������ǽ��¸ ��ȸ� ������������� ���°¾ǽ� ��°������ 
�������������� ������²~\eqref[44] ��� �������~$u\ge\abs{v}$. � ��������ɵ� 
������µ���²� ô���� �ô�� �����̷����� �����ɵ���
\EQ[46]{
  d=e_u-e_v\ge 0, \qquad w=u\oplus v \ge 0
}
� ����°�� � Ƶ�˼� Ǹ����� ����¾ ������; ���� ����� ��¸����� 
�ú��~$x$ ������ǰ�� ��������������� ����Ǹ��~$(e_x, f_x)$ � ������ɵ� 
¾Ǻ��, ¾ ���²���²��ɰ� ��������� �ú��~$X$ �ô�� ������ǰ�� 
Ǹ���~$b^{p+e_x-e_v}f_x$. � ǰ�½��¸, $U=b^{p+d}f_u$,  $V=b^p f_v$;  �¸ 
����Ǹ��, ����� ��� �~$U'$, $V'$, $U''$, $V''$ �~$W$, ϲ������ Ƶ�˼� 
Ǹ�����, ����¸ǽ˵ ¾Ǻ� ��¾��� ��������� °��� �������, �¾~\eqref[44] 
ͺ�������½�
\EQ[47]{
  W=U'+V''=U''+V'.
}
⵿��� ������µ���²� �������� � �����̽� ���ǽ��� ������������ �ϴ� 
ǰ�½�� ���ǰ��.

%% 251

\bye