\input style

�¾ ϲ����� �˻� �¼�ǵ�� ������������ ���������� ᰹����� ��κ����� 
[{\sl Amer.~J.~Math.,\/} {\bf 4} (1881), 39--40], ��¾�˹ ������ ���ü�˵ 
��������� � ���̷� ¾��, �¾ �������� Ƹ���~$d$ �����ǰ���� � 
�����½�����~$\log_{10}(1+1/d)$. �� �� ���˹ ����� ������������� ����� 
��� ������ �˻ ͼ����ǵ��� ������ �.~ѵ�ľ���� 
[{\sl Proc.\ Amer.\ Philosophical Soc.,\/} {\bf 78} (1938), 551], 
��¾�˹ �� ���� � ����º� ��κ����. 
ѵ�ľ�� ��ȸ�, �¾ �¾ ����˹ ����� �������, � ������ ��� 
"������� ������̽�� Ǹ���". �� ò����, �¾ �¾� ����� ������������� 
�������� Ƹ�� ϲ�ϵ��� ��µ�²���˼ �����²��� ¾�� �������, ��� ����ɸ 
��¾���� �� �����˲��� Ǹ��� � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ��.

���� �� ���̼�� ��������̽�� ������µ�̽�� Ǹ���~$u$, ¾ ��� �������� 
Ƹ��� �������ϵ��� ���ǵ����~$(\log_{10} u) \bmod 1$. � ������, �������� 
Ƹ��� ����ȵ~$d$ ¾��� � ¾�̺� ¾���, �����
\EQ[1]
{
 (\log_{10} u) \bmod 1 < \log_{10} d,
}
°� ���~$10 f_u = 10^{(\log_{10} u)\bmod 1}$.

԰���, ���� � ��� ���� �����-���� "���ǰ����" ������µ�̽�� Ǹ���~$U$, 
�˱������� � ���²���²�� � ����¾�˼ ���ü�˼ ��������������, ¸�� µ�, 
�¾ �����ǰ���� � �������, ¾ ����� �������, �¾ 
Ǹ���~$(\log_{10} U) \bmod 1$ �ô�� ���������� ������������ ����� �û�� 
� �����Ƶ� ��� �� ������� ���� �¾ �¾ �ô�� �ǵ�� ž��ȵ� �����������. 
(н�����ǽ˼ ������� �� �������, �¾ ����Ǹ��~$U \bmod 1$, $U^2 \bmod 1$, 
$\sqrt{U+\pi}\bmod 1$ �~�.~�.\ °��� ���������� ������������. �� ò�����, 
�¾ ������ �û�º� �����������½� �� ��ɵ�²� �� �¾� �� ����� ���Ǹ��.) 
ỵ����µ�̽�, ����� ��������²�~\eqref[1], �������� Ƹ���� �ô�� 
�����ư � �����½�����, ������~$\log_{10} 2 \approx 30.103\%$, ������ � 
�����½�����, ������~$\log_{10} 3 - \log_{10} 2 \approx 17.609\%$, 
� ����ɵ ����~$r$---��������̽�� ��ɵ�²����� Ǹ���, �����ǵ���� �����~$1$ 
�~$10$, ¾ ��������µ�̽� �~$\log_{10} r$ ���� ���ǰ�� �� ������ ����� 
��������²�~$10 f_U \le r$.

��ó�� ������ ��������� �¾� �����---�¾ �������, �¾ ���ǰ���� 
����Ǹ��~$U$ ������ ��ϲ������ � ���ǰ���� ¾Ǻ� �� ������ļ�ǵ���� 
������� (�.~�.\ �¾ ��� ����Ƹ� �� ������ļ�ǵ���� ������� 
����������½�). Ե��²�µ�̽�, ����¾Ͻ�� �� ������ ���ư ������ļ�ǵ���� 
������� �� ����Ƹ�, ���������ɵ� Ǹ���~$U$, 
������Ƹ����̽�~$(\log_{10} U) \bmod 1$. � ���ǰ� ü������� � ������� ������� 
µ���� �������� ����� ��Ǹ�����ϼ�, ��������˼� ��� ����ɸ ������ļ�ǵ���� 
�������, � ��Ǹ�����ϼ� � ���µ�� � ������ɵ� ¾Ǻ��.

�� İ��, �¾ ������˵ Ƹ��� ����� µ����Ƹ� ���� ������ȸ��, ����õ� 
���¾Ͻ�� ����� � ����; ������ ��������� �¾�� İ��� ����µ�ȸ� ��¾�� 
�Ƶ��� "������� �ȸ���" �������
%% 272
��� ��Ǹ������ � ������ɵ� ¾Ǻ��. �½���µ�̽�� �ȸ��� ���ǽ� ����˲����� 
������̺� ����ȵ�, ǵ� ���������.

షü�����, ����� ����������� �²�������, �¾ ���������˵ ��ȵ 
Ͳ���¸ǵ���� ������ �� �����˲��� �ľ��û���������� ������. ޽� ¾�̺� 
ú��˲��� ������������˵ ���Ǹ�� ¾��, �¾ ��������� �������� Ƹ�� ������ 
°����, ������ ��� ���� �� ����� ����. ��ó�� ���ž� � ������� �������� 
Ƹ�� �˻ ��������� �.~�.~߸��ͼ�� �~�.~�ͼ������ 
[{\sl Ann Math. Stat.,\/} {\bf 32} (1961), 1223--1230]. 
�����~$p(r)$---�����½���� ¾��, �¾~$10 f_U \le r$,  ���~$1\le r \le 10$, 
�~$f_U$---��������������� ������� ǰ��� ���ǰ��˼ ������� �˱������� 
���������������� Ǹ���~$U$ � ������ɵ� ¾Ǻ��. ���� �������� � ���ǰ���� 
����Ǹ��� � ����̽�� ����, ¾ �� 
����ǰ��, �¾ ��� ���������� � ��������̽�� �����ư�, � ���� �� �� 
��������, ������, ����������� ����� ��� ������, ¾ ������ �� �� 
�ý�����°�̽�� ĸ��ǵ���� ���¾Ͻ��� ����� �� ��ó�� ���ǵ���. 
����������� ���¾��, �¾ ���-��� Ǹ��� �� ��������� �������� 
��������� ü������˼� �� ����¾�˹ ���¾Ͻ�˹ �����µ��~$c$; ��Ȱ 
��������� ���ǰ���� ����Ǹ� � ������ɵ� ¾Ǻ�� ������ ����� �¾�� 
�������������� ��°���� �� ��ɵ�²� ����������, °� �¾ 
�����½��¸~$p(r)$ �� ������ ����������.

㼽������ ���� Ǹ��� ��~$c$ ������ɰ��~$(\log_{10} U) \bmod 1$ 
�~$(\log_{10} U + \log_{10} c) \bmod 1$. ݰ�°� ������ �˲��¸ ľ��û�, 
����˲��ɸ� ������� �������������; �� ����� �Ǹ°��, �¾~$1 \le c \le 10$. 
߾ �����������
\EQ
{
 p(r) = \hbox{�����½����} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r).
}
ᾳ����� ��ȵ�� �������������, ����� °���
\EQ{
\eqalignno{
 p(r) &= \hbox{�����½����} ((\log_{10} U + \log_{10} c ) \bmod 1  \le \log_{10} r) = \cr
      &= \cases
       {
        \hbox{�����½����} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r - \log_{10} c \cr
        \hbox{��� } (\log_{10} U) \bmod 1 \ge 1 - \log_{10} c) , & ����~$c \le r$, \cr
        \hbox{�����½����} (1-\log_{10} c \le (\log_{10} U) \bmod 1 \le  1 + \log_{10} r - \log_{10} c),  & ����~$c \ge r$, \cr
       }\cr
      &= \cases 
       {
         p (r/c) + 1 - p(10/c), & ����~$c \le r$,\cr
         p(10r/c) - p(10/c),    & ����~$c \ge r$.\cr
       } & (2) \cr
 }
}
��������� µ���� �ý�Ƹ�~$p(r)$ ����� ��µ�����~$1 \le r \le 10$, 
�������~$p(10^n r) = p(r)+n$; ¾��� ����� ������~$10/c$ ��~$d$ �� ����� 
�������� ���½�ȵ���~\eqref[2] � ����
\EQ[3]
{
 p(rd) = p(r) + p(d).
}
���� ��ȵ ������������� �� ��������½��¸ ������������� �½���µ�̽� 
ü������� �� ��������̽˹ ���¾Ͻ�˹ �����µ�� �����, ¾ 
���½�ȵ���~\eqref[3] ������ �˿�������� ��� ����~$r > 0$
%% 273
�~$1 \le d \le 10$. ط ¾�� �¾~$p(1)=0$, $p(10)=1$, ����õ�, �¾
\EQ{
 \displaylines{
  1 = p(10) = p((\root n \of {10})^n) = p(\root n \of {10}) + p((\root n \of {10})^{n-1})= \cr
    = \ldots = np(\root n \of {10}); \cr 
 }
}
���δ� �� �����ǰ��, �¾ ��� ���� ������µ�̽�� Ƶ���~$m$ �~$n$ 
����������� ������²�~$p(10^{m/n})=m/n$. ���� �������µ�̽� �����������,
�¾�� �������������~$p$ �˻� ������˲�˼, ¾ �� ���ž��� � 
������²�~$p(r)=\log_{10} r$, � �¾ � ���� �ö�˹ ��� �����.

��� �¾ ����ö�����, ��������, � ñ���µ�̽�� ����˴�ɸ�, ��� ¾�� � 
����²�µ�̽��¸ �� �˴�������� ������� ��������. �� ������������, �¾ 
��ɵ�²õ� ����� ����ɵ� � ������ ���������������� ϲ����� ������������� 
Ǹ���~$F(u)$, °���, �¾ �����½���� ¾��, �¾ ������ ��������̽�� 
Ǹ���~$U$ �� ������ž���~$u$, �����~$F(u)$ � �¾
\EQ[4]
{
 p(r) = \sum_m (F(10^m r) - F(10^m)),
}
��� �ü��������� ���������� �� ���� ���ǵ��ϼ~$-\infty < m < \infty$.  ط 
��ȵ�� ����ö����� ��µ����, �¾ ¾���
\EQ{
 p(r) = \log_{10} r.
}
�����̷�� µ �� ������, �� ����� "��������", �¾
\EQ[5]
{
 \sum_m (F(b^m r) - F(b^m)) = \log_b r
}
���~$1 \le r \le b$ ��� ��Ϻ��� Ƶ���� Ǹ���~$b \ge 2$. ݾ �ý�Ƹ� 
�������������~$F$, ��¾��� ô����²��ϻ� �� �¾�� ������²� ��� 
���� °���~$b$ �~$r$, �� ��ɵ�²õ�! "ڰ���-¾ � ������� ������� �����!"

޴�� �� �������� �˹¸ �� �¾�� ����ô����� ���¾�� � ¾�, �¾�� 
������������� ������ļ�ǵ���� �����~$p(r) = \log_{10} r$ ���� ��� �ǵ�� 
ž��ȵ� \emph{�����������} � ��¸����� �������������. Ҿ������, �¾ �¾ 
��¸���� ������������� ��� ���ȸ����� ��������� �����ϵ���, �°������ � 
µǵ���� ������� ��� ���ȸ� � ���ȸ� ������������; � ���� �������� 
���������~$10$ ��������̽˼ ����������~$b$, ��ȵ ����������� µ� ����� 
¾ǽ� (� �α�� ����˹ ������ �������), ǵ� ����ȵ~$b$. ��ó��, �����̽� 
��������µ�̽˹ ������ ��ȵ��� ��������, ��Ϸ���˹ � �º���� �� 
�����Ƹ������ ����¸� �ý�Ƹ� �������������, ��������� �.~�.~�͹�� 
[{\sl AMM,\/}  {\bf 76} (1969), 342--348].

Ҹ¸����˵ ����ö����� ���������� ����ư, ��-��������, �� � ���� ���� 
���̷� �������� ô����²���µ�̽˼ �����������, °� �¾ ����õ� ���̼� 
������µ�̽� �½��¸�� � ��������˼ ���� ��Ǹ�����ϼ (��� �� 
�������������� �������� ��µ��¸ǵ����� ������ � �������� ���ø¸����, 
�� ����������̽�� ����¸� µ���� �����½��µ�). ��������� ����¾ 
������������� ������� ������������� ������²� ��ɵ�²����� Ǹ��� �������������
%% 274
�°�ȸ� ���ǰɸ� Ƹ�� \emph{������µ�̽�� Ƶ���} Ǹ���. ������������ 
�¾� µ�� ������ǰ��� ��µ�����, � �� ¾�̺� ��¾��,  �¾ ��� ��������� 
����¾�˹ ���� �� ������������� �����½��µ� ��� ������, �����°������� � 
ľ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��, ��  °��� � ��¾��, �¾ ��� ��ö�� ���̼� 
���Ǹµ�̽˼ ��������  ¾��, ��� ��ǵ°�� ��¾�� ������½�� ��µ��¸�� � 
��¾���� �������.

Ҿ ���� ��������ɸ� ����ö������~$r$ �ô�� ������ǰ�� ĸ����������� 
��ɵ�²����� Ǹ���, $1 \le r \le 10$; �� ����°���� ���� ���ü��� 
�����������~$p(r)$ ��� "�����½��¸" ¾��, �¾ 
�����°������~$10^{e_N} \cdot f_N$ "���ǰ�����" ������µ�̽��� Ƶ���� 
Ǹ���~$N$ ô����²��ϵ� ��������²�~$10 f_N < r$.

Ի� ��ǰ�� ������õ� ���¸ ��� �����½����, �����̷�� ������̽˹ ����ž�, 
�������ǽ� ¾�� ��� �� �������ϻ�~"Pr" �~\S~3.5. 㴾��˹ ������ 
��������������� �¾ ����������� ���¾�� � ������ɵ�:
\EQ[6]{
 P_0(n)=\cases{
  1, & ����~$n=10^e \cdot f$, ���~$10 f < r$, �.~�.\ ����~$(\log_{10} n) \bmod 1 < \log_{10} r$;\cr
  0  & � ���¸���� ���ǰ�.\cr
 }
}

�°�, ���������µ�̽���� $P_0(1)$, $P_0(2)$,~\dots{} ���� �������ǽ��  
���������µ�̽���� �û�� � ������, ���ǵ� ������� ���²���²��� ���ǰϼ, 
�����ɸ� ����� � ���ǵ��� �����½��¸. �� ����� ����°���� "���������" ��� 
���������µ�̽����, �������
\EQ[7]
{
 P_1(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_0(k).
}
��µ�²���� �������~$\lim_{n\to\infty} P_1(n)$ � ��ǵ�²� ������� 
"�����½��¸"~$p(r)$; ������ °� �� � ������� �~\S~3.5.

ݾ � ������ ���ǰ� �¾� ������ �� ��ɵ�²õ�. ���������,  ��������, ������������µ�̽����
\EQ{
 P_1(s),\; P_1(10s),\; P_1(100s),\; \ldots,\; P_1(10^n s),\; \ldots,
}
���~$s$---����¾��� ��ɵ�²����� Ǹ���, $1 \le s \le 10$. ����~$s \le r$, ¾ 
�� �����
\EQ
{
 \eqalignno{
  P_1(10^n s) &= {1 \over 10^n s} ( \ceil{r} -1 + \ceil{10 r} - 10 + \cdots 
                 + \ceil{10^{n-1} r} - 10^{n-1} + \floor{10^n s} + 1 - 10^n) = \cr
              &= {1 \over 10^n s} (r(1+10+\cdots+10^{n-1})+O(n)+\floor{10^n s} 
                 - 1 - 10 - \cdots - 10^n) = \cr
%% ��������� ������ ������:  "\right)", ���¾ ��°��� ������ �˱���� ��� ������µ���²�
              &= {1 \over 10^n s} \left({1\over 9} (10^n r - 10^{n+1}) 
                 + \floor{10^n s}\right)+O(n), & (8) \cr
 }
}
%% 275
��� � ����¸ǽ�� ������~$r=r_0.r_1r_2\ldots\,$. ���~$n\to\infty$ 
�ý�Ƹ�~$P_1(10^n s)$ ���������, °��� �������, � ������̽��� 
���ǵ���~$1+(r-10)/9s$. ��Ǹ������, ����������� ��ȵ ��� ���ǰ�~$s \le r$,
����� ����ĸƸ������ °��� �������, �¾�� ��� ��������� ����� � ���~$s > r$; 
��� �¾� $\floor{10^n s}+1$~��������� ��~$\ceil{10^n r}$, °� �¾ 
���~$s \ge r$ �� ����Ǹ� ������̽�� ���ǵ���, ������~$10(r-1)/9s$. 
[�.\ J.\ Franel Naturforschende Gesellschaft, Vierteljahrsschrift, {\bf 62} 
(Z\"urich, 1917), 286--295.]

�°�, ���������µ�̽����~$P_1(n)$ �������� ������������µ�̽����, ������ 
��¾��� ��� ������°���~$s$ ��~$1$ ��~$r$, � ��µ� ��~$r$ ��~$10$ ���ǰ�� 
������°�� ��~$(r-1)/9$ ��~$10(r-1)/9r$, � ��µ� ñ˲��� ����� 
��~$(r-1)/9$. ���δ� �����, �¾ ���������µ�̽����~$P_1(n)$ �� ����� 
������� � �¾~$P_1(n)$ �� ���Ⱥ�� ž��ȵ� ����������� � ��ȵ�� 
��������������� �²���~$\log_{10} r$!

ⰺ ���~$P_1(n)$ �� � ǵ�� �� ���������, ����� ����°���� �ɵ ��� 
�����̷����� �� �� ����, �¾ � �~\eqref[7], �¾�� "�����������" ��������� 
��� ������� � ��������� ��ȵ� ���������µ�̽��¸. Ҿ��ɵ �������
\EQ[9]
{
 P_{m+1}(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_m(k).
}
⾳�� $P_{m+1}(n)$~�ô�� ���ϲ���� µ����Ƹ� � ����� ������̽��� ���������,
������~$P_m(n)$. ߾��°���� ���Ǹ�� ���������~$P_{m+1}(n)$ ��� 
����ȸ�~$n$. ޿��, �������µ��˹ ���� ��� ������������ ǰ�½��� 
���ǰ�~$m=0$, �������˲���, �¾ �¾�� �������� � 
���� ������������µ�̽����~$P_{m+1}(10^n s)$. ؼ���� �� �¾� ��¸ �� 
� ������� ������ɸ� ���û�°�.

\proclaim ۵���~Q. Ի� ��������̽��� Ƶ���� Ǹ���~$m \ge 1$ � 
��������̽��� ��ɵ�²������ Ǹ���~$\varepsilon > 0$ �������� °��� 
�ý�Ƹ�~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ � °��� Ƶ��� Ǹ���~$N_m(\varepsilon)$, �¾ 
���~$n > N_m(\varepsilon)$ �~$1 \le s \le 10$ �˿�������� ��������²�
\EQ[10]
{
 \displaynarrow{
  \abs{P_m(10^n s) - Q_m(s)} < \varepsilon, \hbox{ ����~$s \le r$,}\cr
  \abs{P^m(10^n s) - (Q_m(s)+R_m(s))} < \varepsilon, \hbox{ ����~$s>r$.}\cr
 }
}
԰���, �ý�Ƹ�~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ ô����²����� ���½�ȵ��ϼ
\EQ[11]
{
 \eqalign{
  Q_m(s) &= {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt
            +\int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt + {1\over 9}\int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt\right);\cr
  R_m(s) &= {1\over s} \int_r^s R_{m-1}(t)\,dt;\cr
  Q_0(s) &= 1, \quad R_0(s)= -1.\cr
 }
}
%% 276

\proof ��������� �ý�Ƹ�~$Q_m(s)$, $R_m(s)$, ����������˵ 
ľ��û���~\eqref[11], � ������� 
\EQ[12]{
 S_m(t)=\cases{
         Q_m(t), & $t \le r$, \cr
  Q_m(t)+R_m(t), & $t > r$.   \cr
 }
}
Ծ����� ����� ���úƸ�� ��~$m$.

����� ���ǰ��~$m=1$; ¾���~$Q_1(s)=(1/s)(1+(s-1)+(r-10)/9)= 1+(r-10)/9s$ 
�~$R_1(s)=(r-s)/s$. ط~\eqref[8] ��ž���, �¾
\EQ{
 \abs{P_1(10^n s) - S_1(s)} = O(n)/10^n;
}
�¾ �����˲��� ����� ���~$m=1$.

���~$m > 1$ �����
\EQ{
P_m(10^n s) = 
 {1\over s} \left( 
   \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} 
   \sum_{10^j \le k < 10^{j+1}} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) 
   + \sum_{10^n \le k \le 10^n s} {1\over 10^n} P_{m-1}(k) 
 \right).
}
�� ž¸� �Ƶ���� ��� ����Ǹ��. ష�����
\EQ[13]{
 \abs{
  \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) 
  - \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} S_{m-1} 
      \left({k \over 10^j}\right)
 }
}
����ȵ~$(q-1)\varepsilon$, �����~$1 \le q \le 10$ 
�~$j > N_{m-1}(\varepsilon)$,  � ������̺� �ý�Ƹ�~$S_{m-1}(t)$ ������˲�� � 
��¾�� ��µ����õ�� �� ฼���, ¾ ��������
\EQ[14]
{
 \abs{ 
  \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1 \over 10^j} S_{m-1} 
    \left({k\over 10^j}\right) -\int_1^q S_{m-1}(t)\,dt
 }
}
����ȵ~$\varepsilon$ ��� ����~$j$, ����ȸ� ����¾���� Ǹ���~$N$, �� 
������ɵ�� ��~$q$. �� ����� �˱����~$N$ ����ȸ�, 
ǵ�~$N_{m-1}(\varepsilon)$. ỵ����µ�̽�, ���~$n > N$ ��������
\EQ[15]{
 \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} 
 \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt+\int_1^s S_{m-1}(t)\,dt\right)}
}
������ǵ�� ����Ǹ���
\EQ{
 \sum_{0 \le j \le N} {M \over 10^{n-j}}+\sum_{N<j<n} {10 \varepsilon \over 10^{n-j}} + 10 \varepsilon,
}
����~$M$ ��� ����~$j$ ��ö�� ���Ž�� �����Ƶ� ��� �ü��~$\hbox{\eqref[13]}+\hbox{\eqref[14]}$.
ݰ�����, �ü��~$\sum_{0\le j < n} (1/10^{n-j})$, ĸ�������ɰ� �~\eqref[15],
�����~%
%% 277
$(1-1/10^n)/9$. ߾�¾�� ��������
\EQ{
 \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt + \int_1^s S_{m-1}(t)\,dt \right) }
}
�°������� ����ȵ~$(10/9) (10\varepsilon)$ ��� ���°¾ǽ� ����ȸ�~$n$. 
᾿��°���� �¾ �~\eqref[10] �~\eqref[11], �����, �¾ ��� ��������.
\proofend

���� �����~Q---�²�������� � ��ɵ�²������ �������
\EQ[16]
{
 \lim_{n\to\infty} P_m(10^n s) = S_m(s).
}
޴���� ����� ¾�� �¾ �ý�Ƹ�~$S_m(s)$ �� ��°���� ���¾Ͻ��� ��� 
���������~$s$, ������
\EQ{
 \lim_{n\to\infty} P_m(n),
}
��¾�˹ ��� �� ���� ��ȵ� �������� "�����½�����", �� ��ɵ�²õ� �� ��� 
������~$m$. � ������ȵ��� ���ðƸ� ���� �����°������
\picture{��.~5.   ҵ���½���� ¾��, �¾ �°�Ȱ� ���ǰɰ� Ƹ��� ����� 1.}
���.~5, ���������ɸ� ���ǵ���~$S_m(s)$ ��� �����~$m$ �~$r=2$.

��� �ý�Ƹ�~$S_m(s)$ � �� ���¾Ͻ��, °� �¾ �~$P_m(n)$ �� ��ɵ�²õ� 
�������, �� ����� �� ���.~5, �¾ ö� ���~$m=3$  ���ǵ���~$S_m(s)$ ��°���� 
��� ����� �ǵ�� ������� �~$\log_{10} 2 = 0.30103\ldots\,$. ỵ����µ�̽�, 
� ��� ���� ���̵��˵ ��������� ������������, �¾ �ý�Ƹ�~$S_m(s)$ �ǵ�� 
������ �~$\log_{10} r$ ��� ����ȸ�~$m$ � ���� �¾ ���������µ�̽���� 
�ý�Ƹ�~$\<S_m(s)>$  ���������� �ž����� � ���¾Ͻ��� �ý�Ƹ�~$\log_{10} r$.

ؽµ����� �������� ��� ����µ�� ϲ�˼ ��Ǹ�������~$Q_m(s)$  �~$R_m(s)$ ��� 
����~$m$, �¾ � �������� � ������µ���²� ������ɵ� µ�����.

%% 278

\proclaim ⵾����~F. Ի� ��Ϻ���~$\varepsilon>0$ �������� °��� Ǹ���~$N$, �¾
\EQ[17]{
 \abs{P_m(n) - \log_{10} r} < \varepsilon
}
���~$m$,~$n>N$.

\proof Ҳ��� �����~Q, �¾� ���û�°� �ô�� �������, ���� �� ������ 
��������, �¾ ��ɵ�²õ� °��� Ǹ���~$M$, ������ɵ� ��~$\varepsilon$, 
�¾ ��� ����~$s$ �� ��µ�����~$1 \le s \le 10$ � ����~$m > M$ ����������� 
��������²�
\EQ[18]
{
 \abs{Q_m(s) - \log_{10} r} < \varepsilon \hbox{ � } \abs{R_m(s)} < \varepsilon.
}

׽�ǵ���~$R_m$ ����ô�� ���������� �� ��������½�� ľ��û�~\eqref[11]. � 
����� ����, �����~$R_0(s)=-1$, $R_1(s)=-1+r/s$, 
$R_2(s) = -1 + (r/s)(1+\ln (s/r))$ � ����ɵ
\EQ[19]{
 R_m(s) = -1 + {r \over s} \left(1+{1\over 1!}\ln\left({s \over r}\right) + 
 {1\over 2!} \left(\ln \left({s\over r}\right)\right)^2+ \cdots + {1 \over (m-1)!} 
  \left( \ln\left({s\over r}\right)\right)^{m-1}\right).
}
Ի� ���ǵ���~$s$ �� ú�������� ��µ����� �° �ý�Ƹ� ���������� �ž����� �
\EQ{
 -1 + (r/s) \exp (\ln (s/r)) = 0.
}

ൺ�����½�� ľ��û�~\eqref[11] ���~$Q_m$ ��������� ���
\EQ[20]{
 Q_m(s) = {1\over s} \left( c_m + 1 + \int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt\right),
}
���
\EQ[21]{
 c_m = {1\over 9} \left( \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt + \int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt \right) -1.
}
ľ��û� ��� ��ɵ�� ǻ��� ���������µ�̽��¸, �������ϵ��� ��������½�� 
ľ��û��~\eqref[20], °��� ��ž����� ��� ��ô�; ���� �˿����� ���ǰ�� 
��������� ��� ������̺�� ������ ǻ����, ����������, ������ ��ɰ� ľ��û�, 
� �������� �� �� ���úƸ�;
�� ����Ǹ�, �¾
\EQ[22]{
 Q_m(s) = 1 + {1\over s} \left( c_m + {1\over 1!}c_{m-1}\ln s 
            + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \cdots + {1\over (m-1)!} (\ln s)^{m-1}\right).
}

ݰ� ��°���� ¾�̺� ��Ǹ����� ����ĸƸ����~$c_m$, ��¾�˵ � ���� 
ľ��û~\eqref[19], \eqref[21] �~\eqref[22] ô����²����� ���½�ȵ��ϼ
\EQ[23]{
 \displaynarrow{
      c_1 = (r-10)/9,\cr
  c_{m+1} = {1\over 9} 
            \left( 
                c_m \ln 10 + {1\over 2!}c_{m-1}(\ln 10)^2
                + \cdots + {1\over m!}c_1(\ln 10)^m 
                + r \left( 
                        1+ {1\over 1!} \ln {10\over r} 
                        + \cdots + {1\over m!} 
                           \left( \ln {10 \over r} \right)^m 
                    \right) 
                - 10 
            \right).\cr
 }
}
%% 279
�° ���������µ�̽���� ������� �ǵ�� �������, ������ � ����²�µ�̽��¸ 
�� ����� ��� ��ô� ����������� ��� ����ɸ ���������ɸ� �ý�Ƹ�. ߾�����
\EQ{
 C(z) = c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + \ldots \, .
}
Ҳ��� ������²�~$10^z = 1 + z\ln 10 + z^2 (1/2!) (\ln 10)^2 + \ldots\,$, 
�� �����ǰ��, �¾
\EQ{
c_{m+1} = {1\over 10}c_{m+1} + {9\over 10}c_{m+1} 
        = {1\over 10} \left(c_{m+1} + c_m \ln 10 + \cdots 
          + {1\over m!} c_1 (\ln 10)^m\right) + {r\over 10} 
            \left(1+\cdots+{1\over m!}\left(\ln {10\over r}\right)^m\right) - 1
}
���� ����ĸƸ��� ���~$z^{m+1}$ � ���������� �ý�Ƹ�
\EQ[24]{
 {1\over 10} C(z) 10^z + {rz \over 10} \left({10\over r}\right)^z 
  \left({1\over 1-z}\right) - {1\over 1-z}.
}
�¾ ������� �˿���ϵ��� ��� ���� ���ǵ���~$m$, °� �¾~\eqref[24]  ������ 
���������~$C(z)$, � �� ����ǰ�� ϲ��� ľ��û�
\EQ[25]{
 C(z) = { -z \over 1-z} \left( {(10/r)^{z-1} -1 \over 10^{z-1}-1}\right).
}

�¾�� �����ȸ�� ��� ������, ��� ���� ���Ǹ�� �����¾¸ǵ���� �����²� 
����ĸƸ��¾�~$C(z)$. ����� � ������� � ������²�~\eqref[25] ��������� 
���~$z \to 1$ �~$\ln (10/r) / \ln 10 = 1 - \log_{10} r$,  �ºô� ����õ�, �¾
\EQ[26]{
 C(z) + {1 - \log_{10} r \over 1 - r} = R(z)
}
���� �����¸ǵ���� �ý�Ƹ� ����������� ����������~$z$ � ��ó�
\EQ{
 \abs{z} < \abs{1+{2 \pi i \over \ln 10}}.
}
� ǰ�½��¸, ���������� �ý�Ƹ�~$R(z)$ �ž����� ���~$z=1$, °� �¾ �� 
����ĸƸ���� ��������� � �û�. �¾ �����˲���, �¾ ����ĸƸ���� 
�ý�Ƹ�~$C(z)$ ����� ���� ��� ����ĸƸ���� �ý�Ƹ�~$(\log_{10} r - 1)/(1-z)$, 
°� �¾
\EQ{
 \lim_{m \to \infty} c_m = \log_{10} r -1.
}

ݰ�����, �����°���� �¾� ���û�°� � ľ��û��~\eqref[22], ����ǰ��, �¾ 
$Q_m(s)$~��������� �
\EQ{
 1 + { \log_{10} r -1 \over s} \left( 1+ \ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \ldots \right) 
 = \log_{10} r
}
���������� �� �������~$1 \le s \le 10$. 
\proofend

�°�, �� �������� ��ϼ˼ ��Ǹ������� ��� ������ļ�ǵ���� ����� ��� Ƶ��� 
Ǹ���, ���ǵ� ������������ �����ö���, �¾, ž�� �� ��ö�� �ǵ�� ž��ȸ� 
������������ ��� ��������
%% 280
������������ ���������, � ¾ǽ��¸ �� ������� �� ���¸������. н�����ǽ˵ 
���û�°�� ��� ��ó��: ������������� �˻� ��ñ�������� �.~���� � 
X.~�����Ƶ� [Nature, {\bf 155} (Jan.~13, 1945), 52--53]. Ծ����µ���²� 
�����~Q � µ�����~F, ��¾�˵ �˻� ����� ���������, �����°����� ����� 
ÿ��ɵ��˹ � ����ɵ��˹ ������� ����ö�����, ����������ɸ� ѵ�¸ Զ�� 
仵Ÿ���� [{\sl AMM,\/} {\bf 73} (1966), 1056--1061]. ��ó�� ��µ����˹ 
���ž� � ������������ϼ, ��Ϸ���˼ � ������ɵ� ¾Ǻ��, �˻ 
��������� ������~�.~ھ�ŵ���� [{\sl Math. Comp.,\/} {\bf 19} (1965), 143--144].

\excercises
\ex[13] ����~$u$ �~$v$---����¸ǽ˵ Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ��, ����ɸ� ���� � 
¾� �� ����, ¾ ������, �������� °���ư� �ø��, ������������ ���ǵ��� 
�����½��¸ ¾��, �¾ ��� ��Ǹ������ ���ǵ���~$u \oplus v$ ���������� 
������������ ������� ǰ�¸?

\ex[40] �������µ ���̽��ȸ� ͺ���������� �� ��������� � ��Ǹ°���� Ǹ��� 
� ������ɵ� ¾Ǻ�� ��� �¾ǽ���� °���� �ø��.

\ex[15] ݰ���µ, ��ž�� �� ������ļ�ǵ����� ������, �����½���� ¾��, �¾ 
��� ��ǰ�̽˵ Ƹ��� ����¸ǽ��� Ǹ��� � ������ɵ� ¾Ǻ�� ����~"$23$".

\ex[18] � µ��µ �¼�ǵ��, �¾ ��ǰ�̽˵ �������� ��µ������ 
�����̷õ��� °���� ������ļ�� ��������� � ����ȵ� �µ����, ǵ� 
��������� ��������. � ���� �� �� ����°�� ����¾ �¾�� � °���Ƶ� 
\emph{��¸������ļ��,} �.~�.~°���Ƶ�, ��¾��� ��� ������� 
���ǵ���~$\log_{10} x$ ú��˲��� ���ǵ���~$x$, ����� �������� �˻� �� 
¾��� ���˼� ���������˼�?

\rex[�20] �����������, �¾ ��ɵ�²����� Ǹ���~$U$ ���������� 
������������ � ��µ�����~$0 < U < 1$. ڰ���� ������������� �������� 
���Ǹ��� Ƹ���~$U$?

\ex[22] ���� �� ���� ����� ����ǽ�� ��� ��������� $n+1$~��¾�, ¾ �� ����� 
�� �����̷����� $p$~��¾� ��� �����°������ ������� ǰ�¸ ����ǽ�� Ǹ��� � 
������ɵ� ¾Ǻ��, ���� ��� ��� ����� � $n-p$~��¾� ��� ������µ��.  �¾ 
����ǰ��, �¾ ��µ���� ��������� �����°����� ���ǵ���, �.~�.\ �½�ȵ��� 
�������ȵ�� ������µ�̽��� ���������������� ���ǵ��� � �������ȵ��, �� 
��ɵ�²� �����~$2^{2^{n-p}}$. To �� ��ȸ���� ����� ����� �˻� �� 
�����̷����� � ��� �����°������ \emph{ȵ�½��ưµ��ǽ��} Ǹ��� � 
������ɵ� ¾Ǻ��, �˴���� $p+2$~��¾� ��� ������� ǰ�¸ 
($(p+2)/4$~ȵ�½��ưµ��ǽ�� Ƹ��) � $n-p-2$~��¾� ��� ������µ��; ¾��� 
��µ���� ��������� ���ǵ��� �˻ ��~$16^{2^{n-p-2}}=2^{2^{n-p}}$, �.~�.\ ¾� ��, 
�¾ � ����ȵ, ���ǵ� � ����ȸ� Ǹ���� ��¾� � ������� ǰ�¸. ܾ��� 
���������� ���ǰ»����, �¾ �� ����Ǹ�� �¾-¾ �� ��ǵ��, ������ ������� 
���������Ƹ� � ���ǰ� ���������~$16$ ������ � ¾� ������, �¾ ������� 
ǰ��� ����� ��������� �û� � ���� �������� ���Ǹ��� ��°�; °��� �������, 
�� ��� �� $p+2$~��¾� "���ǰɸ�".
 \hiddenpar
��ž�� �� ������ļ�ǵ����� ������, ������µ, ������ �����½���� ¾��, �¾ 
������� ǰ��� ������µ�̽��� ���������������� ȵ�½��ưµ��ǽ��� Ǹ��� � 
������ɵ� ¾Ǻ�� ����� � ¾ǽ��¸ $0$, $1$, $2$ �~$3$~�û���� 
�������� ���Ǹ��� ��°? �����˲���� �� ��µ�����, ���������� � �¾� �ý�µ,
���ô�µ ������ � ���¾���²�� ȵ�½��ưµ��ǽ�� ���µ�� � ��������� � ����ǽ��.

\ex[��28] Ծ����µ, �¾ �� ��ɵ�²õ� �ý�Ƹ� �������������~$F(u)$, 
ô����²����ɵ� ���½�ȵ���~\eqref[5] ��� ������� Ƶ���� Ǹ���~$b\ge 2$ � 
��� ���� ��ɵ�²����� ���ǵ���~$r$ �� ��µ�����~$1 \le r \le b$.

\ex[�23] �˿���ϵ��� �� ���½�ȵ���~\eqref[10] ���~$m=0$ ��� 
���²���²��ɸ� ������� �˱�������~$N_0(\varepsilon)$?

\ex[��24] �����~$\<x_n>$---������ǵ���� ���������µ�̽���� 
��ɵ�²����� Ǹ���, °���, �¾ 
������~$\lim_{n\to \infty} x_{\floor{10^n s}} = q(s)$ 
��ɵ�²õ� ��� ����~$s$ �� ��µ�-
%% 281

\bye