\input style
\chapter{0 abstrakciya ispolneniya}

aBSTRAKCIYA ISPOLNENIYA LEZHIT V OSNOVE VSEGO PONYATIYA "ALGORITMA" NASTOLXKO 
GLUBOKO, CHTO OBYCHNO EE SCHITAYUT SAMO SOBOJ RAZUMEYUSHCHEJSYA I OSTAVLYAYUT BEZ
VNIMANIYA. eE NAZNACHENIE V TOM, CHTOBY SOPOSTAVLYATX MEZHDU SOBOJ RAZLICHNYE 
VYCHISLENIYA. iNACHE GOVORYA, ONA PREDOSTAVLYAET NAM SPOSOB OSMYSLIVANIYA
KONKRETNOGO VYCHISLENIYA KAK |LEMENTA BOLXSHOGO KLASSA RAZLICHNYH VYCHISLENIJ; 
MY MOZHEM OTVLECHXSYA OT VZAIMNYH OTLICHIJ |LEMENTOV TAKOGO KLASSA I,
RUKOVODSTVUYASX OPREDELENIEM KLASSA V CELOM, VYSKAZYVATX UTVERZHDENIYA, 
PRIMENIMYE K KAZHDOMU EGO |LEMENTU, A SLEDOVATELXNO, SPRAVEDLIVYE I DLYA
KONKRETNOGO VYCHISLENIYA, KOTOROE MY HOTIM RASSMATRIVATX.

chTOBY RAZ�YASNITX, CHTO PODRAZUMEVAETSYA POD "VYCHISLENIEM", YA OPISHU SEJCHAS 
NEVYCHISLITELXNUYU KONSTRUKCIYU "POLUCHENIYA" (YA PREDNAMERENNO NE UPOTREBLYAYU 
TERMINA "VYCHISLENIE"), NAPRIMER, NAIBOLXSHEGO OBSHCHEGO DELITELYA CHISEL 111 I 259. 
oNA SOSTOIT IZ DVUH KARTONNYH KARTOCHEK, RASPOLOZHENNYH ODNA POVERH DRUGOJ. 
nA VERHNEJ KARTOCHKE NAPISAN TEKST "$\nod(111,259)=$".  chTOBY POLUCHITX OT 
KONSTRUKCII OTVET, MY PODNIMAEM VERHNYUYU KARTOCHKU I KLADEM EE SLEVA OT NIZHNEJ, 
NA KOTOROJ TEPERX MOZHNO PROCHESTX TEKST "37".

pROSTOTA KARTOCHNOJ KONSTRUKCII YAVLYAETSYA BOLXSHIM DOSTOINSTVOM, NO ONA OMRACHAETSYA 
DVUMYA NEDOSTATKAMI --- MELKIM I KRUPNYM. mELKIJ NEDOSTATOK SOSTOIT V TOM, CHTO 
HOTYA |TU KONSTRUKCIYU MOZHNO V SAMOM DELE ISPOLXZOVATX DLYA POLUCHENIYA NAIBOLXSHEGO 
OBSHCHEGO DELITELYA CHISEL 111  I 259, NO POMIMO |TOGO ONA MALO NA CHTO PRIGODNA. 
oDNAKO KRUPNYJ NEDOSTATOK V TOM, CHTO, KAK BY TSHCHATELXNO MY NI PROVERYALI
USTROJSTVO KONSTRUKCII, NASHA VERA V TO, CHTO ONA VYRABATYVAET PRAVILXNYJ OTVET, 
MOZHET OSNOVYVATXSYA TOLXKO NA NASHEM DOVERII K EE SOZDATELYU: ON MOG OSHIBITXSYA 
LIBO PRI PROEKTIROVANII SVOEJ MASHINY, LIBO PRI IZGOTOVLENII NASHEGO KONKRETNOGO
|KZEMPLYARA.

chTOBY PREODOLETX MENXSHEE ZATRUDNENIE, MY MOGLI BY RASSMOTRETX IZOBRAZHENIE NA 
OGROMNOM LISTE KARTONA BOLXSHOGO PRYAMOUGOLXNOGO MASSIVA IZ SETEVYH TOCHEK S
CELYMI KOORDINATAMI $x$ I $y$,  UDOVLETVORYAYUSHCHIMI OTNOSHENIYAM $0 \le x \le 500$ 
I $0\le y \le 500$. dLYA KAZHDOJ TAKOJ TOCHKI $(x, y)$ S POLOZHITELXNYMI 
KOORDINATAMI (T.~E. ZA ISKLYUCHENIEM TOCHEK NA OSYAH) MY  MOZHEM VYPISATX V 
SOOTVETSTVUYUSHCHEJ POZICII ZNACHENIE $\nod(x,y)$; PREDLAGAETSYA DVUMERNAYA TABLICA 
IZ $250\,000$ |LEMENTOV. s  TOCHKI ZRENIYA POLEZNOSTI |TO ZNACHITELXNOE 
USOVERSHENSTVOVANIE: VMESTO KONSTRUKCII, SPOSOBNOJ VYDAVATX NAIBOLXSHIJ
OBSHCHIJ DELITELX EDINICHNOJ PARY CHISEL, MY IMEEM TEPERX "KONSTRUKCIYU",  SPOSOBNUYU 
VYDAVATX NAIBOLXSHIJ OBSHCHIJ DELITELX LYUBOJ PARY IZ $250\,000$ RAZLICHNYH PAR 
CHISEL. eTO MNOGO, NO OSOBENNO RADOVATXSYA NECHEMU, TAK KAK UKAZANNYJ RANEE VTOROJ
NEDOSTATOK (POCHEMU MY DOLZHNY VERITX, CHTO KONSTRUKCIYA VYDAET PRAVILXNYJ OTVET?) 
POMNOZHILSYA NA TE ZHE SAMYE $250\,000$, I TEPERX OT NAS TREBUETSYA UZHE SOVSEM 
BEZGRANICHNOE DOVERIE K EE IZGOTOVITELYU. pO|TOMU PEREJDEM K RASSMOTRENIYU DRUGOJ 
KONSTRUKCII. nA TAKOM ZHE LISTE KARTONA S SETEVYMI TOCHKAMI NAPISANY TOLXKO 
CHISLA, PROBEGAYUSHCHIE ZNACHENIYA OT 1 DO 500 VDOLX OBEIH OSEJ. kROME TOGO, NACHERCHENY 
SLEDUYUSHCHIE PRYAMYE LINII:

1) VERTIKALXNYE LINII (S URAVNENIEM $x=\var{KONSTANTA}$);

2) GORIZONTALXNYE LINII (S URAVNENIEM $y=\var{KONSTANTA}$);

3) DIAGONALI (S URAVNENIEM $x+y=\var{KONSTANTA}$);

4) "LINIYA OTVETA" S URAVNENIEM $x=y$.

chTOBY RABOTATX NA |TOJ MASHINE, MY DOLZHNY SLEDOVATX SLEDUYUSHCHIM INSTRUKCIYAM 
("IGRATX PO SLEDUYUSHCHIM PRAVILAM"). kOGDA HOTIM NAJTI NAIBOLXSHIJ OBSHCHIJ DELITELX 
DVUH CHISEL $X$ I $Y$, MY POMESHCHAEM FISHKU --- TAKZHE POSTAVLYAEMUYU 
IZGOTOVITELEM --- V SETEVUYU TOCHKU S KOORDINATAMI $x=X$ I $y=Y$. kOLX SKORO
FISHKA NE NAHODITSYA NA "LINII OTVETA", RASSMATRIVAEM NAIMENXSHIJ RAVNOBEDRENNYJ
PRYAMOUGOLXNYJ TREUGOLXNIK, U KOTOROGO VERSHINA PRYAMOGO UGLA SOVPADAET S FISHKOJ, 
A ODIN IZ KONCOV GIPOTENUZY (LIBO NIZHE FISHKI, LIBO SLEVA OT NEE) NAHODITSYA NA 
ODNOJ IZ OSEJ. (pOSKOLXKU FISHKA NE LEZHIT NA LINII OTVETA, TAKOJ PRYAMOUGOLXNYJ
TREUGOLXNIK BUDET IMETX NA OSYAH TOLXKO ODNU VERSHINU.) zATEM FISHKA PEREMESHCHAETSYA 
V SETEVUYU TOCHKU, SOVPADAYUSHCHUYU S DRUGIM KONCOM GIPOTENUZY. tAKOE PEREMESHCHENIE 
POVTORYAETSYA DO TEH POR, POKA FISHKA NE DOSTIGNET LINII OTVETA. pOSLE |TOGO 
$x$-KOORDINATA (ILI  $y$-KOORDINATA) OKONCHATELXNOGO POLOZHENIYA FISHKI YAVLYAETSYA  
ISKOMYM OTVETOM.

kAK NAM UBEDITXSYA V TOM, CHTO |TA MASHINA BUDET VYDAVATX PRAVILXNYJ REZULXTAT? 
eSLI $(x, y)$ --- LYUBAYA IZ $249\,500$ TOCHEK NE NA LINII OTVETA 
I~$(x' y')$ --- TOCHKA, V KOTORUYU PEREDVINETSYA FISHKA ZA ODIN SHAG IGRY, TO 
LIBO~$x'=x$ I~$y'=y-x$, LIBO~$x'=x-y$ I~$y'=y$. nETRUDNO \emph{DOKAZATX}, CHTO
$\nod(x, y)=\nod(x',y')$. vAZHNYJ MOMENT ZDESX SOSTOIT V TOM, CHTO 
\emph{ODNO I TO ZHE} RASSUZHDENIE PRIMENYAETSYA ODINAKOVO VERNO K LYUBOMU IZ 
VOZMOZHNYH SHAGOV! kROME TOGO, --- I OPYATX-TAKI BEZ TRUDA --- MY MOZHEM 
\emph{DOKAZATX} DLYA LYUBOJ TOCHKI~$(x,y)$ GDE $x=y$ (T.E. $(x,y)$ YAVLYAETSYA 
ODNOJ IZ 500 TOCHEK NA LINII OTVETA), CHTO $\nod(x,y)=x$. i SNOVA VAZHNYJ MOMENT 
V TOM, CHTO \emph{ODINAKOVOE} RASSUZHDENIE PRIMENIMO K \emph{LYUBOJ} IZ 500 TOCHEK
NA LINII OTVETA. v-TRETXIH,--- I VNOVX |TO NE SOSTAVIT TRUDA --- NAM NUZHNO 
POKAZATX, CHTO PRI LYUBOM ISHODNOM POLOZHENII $(X, Y)$ KONECHNOE CHISLO SHAGOV V 
SAMOM DELE PERENESET FISHKU NA LINIYU OTVETA, I OPYATX VAZHNO OTMETITX, CHTO ODNO 
I TO ZHE RASSUZHDENIE ODINAKOVO PRIMENIMO K LYUBOMU IZ $250\,000$ ISHODNYH 
POLOZHENIJ $(X, Y)$. tRI PROSTYH RASSUZHDENIYA, PROSTRANNOSTX KOTORYH NE
ZAVISIT OT CHISLA SETEVYH TOCHEK: |TA MINIATYURA POKAZYVAET, NASKOLXKO VELIKI 
VOZMOZHNOSTI MATEMATIKI. eSLI OBOZNACHITX CHEREZ $(x, y)$ PROIZVOLXNOE POLOZHENIE 
FISHKI NA PROTYAZHENII IGRY, NACHATOJ V POLOZHENII $(X, Y)$, TO PERVAYA NASHA TEOREMA 
POZVOLYAET UTVERZHDATX, CHTO VO VREMYA |TOJ IGRY OTNOSHENIE $\nod(x, y) =\nod(X, Y)$
BUDET VSEGDA SPRAVEDLIVO, ILI --- VYRAZHAYASX NA SOOTVETSTVUSHCHEM 
ZHARGONE --- "ONO SOHRANYAET INVARIANTNOSTX". dALEE, VTORAYA TOREMA GLASIT, CHTO
MY MOZHEM INTERPRETIROVATX $x$-KOORDINATU OKONCHATELXNOGO POLOZHENIYA FISHKI KAK 
TREBUEMYJ OTVET, A TRETXYA TEOREMA GLASIT, CHTO TAKOE OKONCHATELXNOE POLOZHENIE 
SUSHCHESTVUET (T. E. BUDET DOSTIGNUTO ZA KONECHNOE CHISLO SHAGOV)  i |TIM ZAVERSHAETSYA 
ANALIZ TOGO, CHTO MY MOGLI BY NAZVATX "NASHEJ ABSTRAKTNOJ MASHINOJ".

tEPERX NAM OSTAETSYA UBEDITXSYA V TOM, CHTO LIST, POSTUPIVSHIJ OT IZGOTOVITELYA, 
YAVLYAETSYA NA SAMOM DELE PRAVILXNOJ MODELXYU ABSTRAKTNOJ MASHINY. dLYA |TOGO NUZHNO 
PROVERITX NUMERACIYU VDOLX OBEIH OSEJ, A TAKZHE PROVERITX, PRAVILXNO LI PROVEDENY 
VSE PRYAMYE LINII. eTO NESKOLXKO ZATRUDNITELXNO, TAK KAK PREDSTOIT ISSLEDOVATX 
OB�EKTY, CHISLO KOTORYH PROPORCIONALXNO $N$, GDE $N$ (V NASHEM PRIMERE 
500) --- DLINA STORONY KVADRATA,  NO VSE ZHE PREDPOCHTITELXNEE, CHEM $N^2$, 
CHISLO VOZMOZHNYH VARIANTOV VYCHISLENIYA.

dRUGAYA MASHINA MOGLA BY RABOTATX NE S OGROMNYM LISTOM KARTONA, A S DVUMYA 
DEVYATIBITOVYMI REGISTRAMI, V KAZHDOM IZ KOTORYH MOZHNO ZAPOMNITX DVOICHNOE CHISLO
OT~0 DO~500. pRI |TOM MY MOGLI BY ISPOLXZOVATX ODIN REGISTR DLYA ZAPOMINANIYA 
ZNACHENIYA $x$-KOORDINATY, A DRUGOJ --- DLYA ZAPOMINANIYA ZNACHENIYA $y$-KOORDINATY, 
SOOTVETSTVUYUSHCHEJ "TEKUSHCHEMU POLOZHENIYU FISHKI". pEREMESHCHENIE TOGDA SOOTVETSTVUET
UMENXSHENIYU SODERZHIMOGO ODNOGO REGISTRA NA SODERZHIMOE DRUGOGO. mY MOGLI BY 
REALIZOVATX ARIFMETIKU SAMOSTOYATELXNO, NO, RAZUMEETSYA, LUCHSHE, ESLI MASHINA  
SMOZHET DELATX |TO ZA NAS. eSLI MY ZAHOTIM POLAGATXSYA NA POLUCHENNYJ OTVET, 
TO NAM NUZHNO UMETX UBEZHDATXSYA V TOM, CHTO MASHINA PRAVILXNO VYPOLNYAET OPERACII 
SRAVNENIYA I VYCHITANIYA. v UMENXSHENNOM MASSHTABE POVTORYAETSYA TA ZHE ISTORIYA: MY
VYVODIM EDINOZHDY I NA VSE SLUCHAI, T.E DLYA LYUBOJ PARY $n$-RAZRYADNYH DVOICHNYH 
CHISEL, URAVNENIYA DLYA USTROJSTVA DVOICHNOGO VYCHITANIYA, A ZATEM UDOSTOVERYAEMSYA 
V  TOM, CHTO NASHA FIZICHESKAYA MASHINA PRAVILXNO MODELIRUET |TO ABSTRAKTNOE 
USTROJSTVO. eSLI |TO USTROJSTVO PARALLELXNOGO VYCHITANIYA, TO CHISLO
PROVEROK --- PROPORCIONALXNOE CHISLU |LEMENTOV I IH 
VZAIMOSVYAZEJ --- PROPORCIONALXNO ZNACHENIYU $n=\log_2N$. v POSLEDOVATELXNOJ 
MASHINE SDELAN ESHCHE ODIN SHAG NA PUTI UPROSHCHENIYA OBORUDOVANIYA ZA SCHET RASHODA 
VREMENI.

tEPERX YA POPYTAYUSX, HOTX BY DLYA SVOEGO SOBSTVENNOGO PROSVESHCHENIYA, ULOVITX 
OSNOVNOJ SMYSL PRIVEDENNOGO PRIMERA.

vMESTO TOGO CHTOBY RASSMATRIVATX ODINOCHNUYU PROBLEMU VYCHISLENIYA 
$\nod (111, 259)$, MY OBOBSHCHILI EE I PODOSHLI KAK K CHASTNOMU SLUCHAYU BOLEE 
SHIROKOGO KLASSA PpoBLeM VYCHISLENIYA $\nod(X, Y)$, sTOIT OTMETITX, CHTO MY MOGLI  
BY OBOBSHCHITX PROBLEMU VYCHISLENIYA $\nod(111, 259)$ PO-RAZNOMU: MOZHNO BYLO
BY RASSMATRIVATX |TU ZADACHU KAK CHASTNYJ SLUCHAJ INOGO, BOLEE SHIROKOGO KLASSA 
ZADACH, NAPRIMER VYCHISLENIYA $\nod(111,259)$, $\nok(111,259)$, $111\times259$, 
$111+259$, $111/259$, $111-259$, $111^{259}$, DNYA NEDELI DLYA 111-GO DNYA 
259-GO GODA NASHEJ |RY I T. D. v REZULXTATE MOG BY POYAVITXSYA "PROCESSOR 
DLYA~111 I~259", I DLYA TOGO, CHTOBY ON VYDAL UPOMYANUTYJ VYSHE OTVET, NAM 
SLEDOVALO BY DATX NA EGO VHOD KOMANDU "nod, POZHALUJSTA". vMESTO |TOGO MY 
PREDLOZHILI "nod-VYCHISLITELX", KOTOROMU DLYA POLUCHENIYA |TOGO OTVETA POTREBUETSYA 
ZADATX NA VHOD PARU CHISEL "111, 259" I |TO SOVSEM DRUGAYA MASHINA!

dRUGIMI SLOVAMI, KOGDA TREBUETSYA VYRABOTATX ODIN ILI NESKOLXKO REZULXTATOV, 
OBYCHNAYA PRAKTIKA SOSTOIT V TOM,  CHTOBY OBOBSHCHITX PROBLEMU I RASSMATRIVATX |TI
REZULXTATY KAK CHASTNYE SLUCHAI NEKOEGO BOLEE SHIROKOGO KLASSA. oDNAKO MALO 
RADOSTI, ESLI OGRANICHITXSYA UTVERZHDENIEM, CHTO LYUBOJ PREDMET YAVLYAETSYA CHASTNYM 
SLUCHAEM CHEGO-TO BOLEE OBSHCHEGO. eSLI MY HOTIM SLEDOVATX |TOMU PODHODU, TO NA 
NAS VOZLAGAYUTSYA DVE OBYAZANNOSTI:

\medskip
\item{1.} mY DOLZHNY IMETX POLNUYU YASNOSTX OTNOSITELXNO SPOSOBA OBOBSHCHENIYA, 
T.~E. DOLZHNY TSHCHATELXNO VYBRATX I YAVNO OPREDELITX BOLEE SHIROKIJ KLASS, POSKOLXKU
NASHI RASSUZHDENIYA DOLZHNY PRIMENYATXSYA KO VSEMU |TOMU KLASSU.

\item{2.} mY  DOLZHNY VYBRATX ("IZOBRESTI", ESLI VAM UGODNO) TAKOE OBOBSHCHENIE, 
KOTOROE OKAZHETSYA POLEZNYM DLYA NASHIH CELEJ.
\medskip

v NASHEM PRIMERE YA, RAZUMEETSYA, OTDAYU PREDPOCHTENIE "nod-VYCHISLITELYU", A 
NE "PROCESSORU DLYA~111 I~259", I SRAVNENIE |TIH DVUH KONSTRUKCIJ DAET NAM
NAMEK NA TO, KAKIE HARAKTERISTIKI DELAYUT OBOBSHCHENIE "POLEZNYM DLYA NASHIH CELEJ". 
mASHINA, KOTORAYA PO KOMANDE MOZHET VYRABATYVATX V KACHESTVE OTVETA
ZNACHENIYA VSEH VIDOV ZABAVNYH FUNKCIJ OT 111 I~259, STANOVITSYA VSE BOLEE 
NEUDOBNOJ DLYA PROVERKI PO MERE TOGO, KAK RASTET NABOR FUNKCIJ. v |TOM YAVNYJ
KONTRAST S NASHIM "nod-VYCHISLITELEM".

nod-VYCHISLITELX BYL BY STOLX ZHE PLOH, ESLI BY ON PREDSTAVLYAL SOBOJ TABLICU 
IZ $250\,000$ ZAPISEJ, SODERZHASHCHIH "ZAGOTOVLENNYE" OTVETY. eGO HARAKTERNOE
OTLICHIE V TOM, CHTO ON MOZHET BYTX ZADAN V FORME KOMPAKTNOGO NABORA 
"PRAVIL IGRY", KOTORYJ, ESLI IGRATX V SOOTVETSTVII S |TIMI PRAVILAMI, 
OBESPECHIT VYDACHU NUZHNOGO OTVETA.

oGROMNYJ VYIGRYSH SOSTOIT V TOM, CHTO EDINOE RASSUZHDENIE PRIMENITELXNO K |TIM 
PRAVILAM POZVOLYAET NAM DOKAZYVATX SUSHCHESTVENNYE UTVERZHDENIYA O REZULXTATAH
LYUBOGO VARIANTA IGRY. eTO DOSTIGAETSYA CENOJ TOGO, CHTO PRI KAZHDOM 
IZ $250\,000$ KONKRETNYH PRIMENENIJ |TIH PRAVIL MY POLUCHAEM OTVET "NE SRAZU": 
KAZHDYJ RAZ IGRA DOLZHNA BYTX SYGRANA V SOOTVETSTVII S PRAVILAMI!

tOT FAKT, CHTO MY V SOSTOYANII DATX STOLX KOMPAKTNUYU FORMULIROVKU PRAVIL IGRY, 
KOGDA EDINOE RASSUZHDENIE POZVOLYAET NAM VYVODITX ZAKLYUCHENIYA O LYUBYH
VARIANTAH IGRY, NEPOSREDSTVENNO SVYAZAN S SISTEMATIZIROVANNYM RASPOLOZHENIEM 
$250\,000$ UZLOVYH TOCHEK. mY OKAZALISX BY BESPOMOSHCHNYMI, ESLI BY LIST KARTONA 
SODERZHAL BESPORYADOCHNYJ SLUCHAJNYJ RAZBROS TOCHEK, ISKLYUCHAYUSHCHIJ KAKUYU-LIBO
SISTEMATIZACIYU. v NASHEM SLUCHAE MY MOGLI BY RAZDELITX SVOYU FISHKU NA DVE 
POLOVINKI I DVIGATX ODNU POLOVINKU VNIZ, POKA ONA NE LYAZHET NA GORIZONTALXNUYU 
OSX, A DRUGUYU POLOVINKU VLEVO, POKA ONA NE LYAZHET NA VERTIKALXNUYU OSX. vMESTO 
TOGO CHTOBY VOSPROIZVODITX S ODNOJ FISHKOJ 250 000 VOZMOZHNYH POLOZHENIJ, MY MOGLI 
DOBITXSYA TOGO ZHE S DVUMYA FISHKAMI, DLYA KAZHDOJ IZ KOTORYH NUZHNO TOLXKO 500 
VOZMOZHNYH POLOZHENIJ, T.~E. VSEGO 1000 POLOZHENIJ V OBSHCHEJ SLOZHNOSTI. mY BY 
DOSTIGLI TOGO ZHE UROVNYA V $250\,000$ POZICIJ, ISPOLXZUYA TO OBSTOYATELXSTVO, 
CHTO LYUBOE IZ 500 POLOZHENIJ ODNOJ POLOVINKI FISHKI MOZHET KOMBINIROVATXSYA  S 
LYUBYM IZ 500 POLOZHENIJ DRUGOJ POLOVINKI: CHISLO POLOZHENIJ NERAZDELENNOJ FISHKI 
RAVNO PROIZVEDENIYU CHISLA POLOZHENIJ ODNOJ POLOVINKI NA CHISLO POLOZHENIJ
DRUGOJ. nA PRINYATOM ZHARGONE MY GOVORIM, CHTO "OBSHCHEE PROSTRANSTVO SOSTOYANIJ 
RASSMATRIVAETSYA KAK DEKARTOVO PROIZVEDENIE  PROSTRANSTV SOSTOYANIJ
PEREMENNYH $x$ I~$y$".

vOZMOZHNOSTX ZAMENY ODNOJ FISHKI S DVUMERNOJ SVOBODOJ VYBORA POLOZHENIYA NA DVE 
POLOVINKI S ODNOMERNOJ SVOBODOJ ISPOLXZUETSYA V PREDLOZHENNOJ VYSHE 
DVUHREGISTROVOJ MASHINE. s TOCHKI ZRENIYA TEHNICHESKOJ REALIZACII |TO
PREDSTAVLYAETSYA VESXMA ZAMANCHIVYM: TREBUETSYA TOLXKO POSTROITX REGISTRY, 
SPOSOBNYE RAZLICHATX 500 RAZNYH SLUCHAEV ("ZNACHENIJ"), A ZA SCHET PROSTOGO
OB�EDINENIYA |TIH DVUH REGISTROV OBSHCHEE CHISLO RAZNYH SLUCHAEV VOZVODITSYA V 
KVADRAT! eTO PEREMNOZHITELXNOE PRAVILO POZVOLYAET NAM RAZLICHATX GROMADNOE CHISLO
VOZMOZHNYH OBSHCHIH SOSTOYANIJ S POMOSHCHXYU OGRANICHENNOGO CHISLA KOMPONENTOV, U KAZHDOGO 
IZ KOTORYH TOLXKO OGRANICHENNOE CHISLO VOZMOZHNYH SOSTOYANIJ. pO MERE
DOBAVLENIYA TAKIH KOMPONENTOV RAZMER PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ VOZRASTAET 
|KSPONENCIALXNO, NO NAM SLEDUET IMETX V VIDU, CHTO |TO DOPUSTIMO TOLXKO PRI
USLOVII, CHTO OBOSNOVANIE NASHEGO NOVOVVEDENIYA OSTAETSYA VESXMA KOMPAKTNYM; 
ESLI TAKOE OBOSNOVANIE TOZHE VOZRASTAET |KSPONENCIALXNO, TO VOOBSHCHE NET
NIKAKOGO SMYSLA SOZDAVATX TAKUYU MASHINU.

{\sl zAMECHANIE.} uBEDITELXNUYU ILLYUSTRACIYU K SKAZANNOMU VYSHE MOZHNO NAJTI 
V IZOBRETENII, VOZRAST KOTOROGO UZHE PREVYSIL DESYATX VEKOV: V DESYATICHNOJ
SISTEME SCHISLENIYA! oNA OBLADAET TEM POISTINE PLENITELXNYM SVOJSTVOM, CHTO 
CHISLO NEOBHODIMYH CIFR VOZRASTAET VSEGO LISHX PROPORCIONALXNO LOGARIFMU
MAKSIMALXNOGO IZ CHISEL, KOTORYE DOLZHNY BYTX PREDSTAVLENY. dVOICHNAYA SISTEMA 
SCHISLENIYA --- |TO TO, CHTO POLUCHAETSYA, KOGDA VY ZABYVAETE, CHTO NA KAZHDOJ RUKE 
IMEETSYA PO PYATI PALXCEV. {\sl(kONEC ZAMECHANIYA.)}

vYSHE MY ZANIMALISX ODNIM ASPEKTOM MNOZHESTVENNOSTI, A IMENNO BOLXSHIM CHISLOM 
POZICIJ FISHKI (= VOZMOZHNYH SOSTOYANIJ). iMEETSYA ESHCHE ODNA ANALOGICHNAYA
MNOZHESTVENNOSTX, A IMENNO BOLXSHOE CHISLO RAZLICHNYH IGR (= VYCHISLENIJ), 
KOTORYE MOGUT SOSTOYATXSYA V SOOTVETSTVII S NASHIMI PRAVILALAMI IGRY: PO ODNOJ
IGRE DLYA KAZHDOGO NACHALXNOGO POLOZHENIYA, ESLI GOVORITX TOCHNEE. nASHI PRAVILA IGRY 
YAVLYAYUTSYA OCHENX OBSHCHIMI V TOM SMYSLE, CHTO ONI PRIMENIMY K LYUBOMU NACHALXNOMU 
POLOZHENIYU. nO MY NASTAIVAEM NA KOMPAKTNOSTI OBOSNOVANIYA PRAVIL IGRY, A |TO
OZNACHAET, CHTO I SAMI PRAVILA DOLZHNY BYTX KOMPAKTNYMI. v NASHEM PRIMERE |TO 
DOSTIGALOSX SLEDUYUSHCHIM PRIEMOM: VMESTO PERECHISLENIYA "SDELAJ |TO, SDELAJ TO" 
MY ZADALI PRAVILA IGRY V VIDE PRAVIL DLYA VYPOLNENIYA "SHAGA" V  SOCHETANII S
KRITERIEM TOGO, DOLZHEN LI "SHAG" BYTX VYPOLNEN V SLEDUYUSHCHIJ RAZ. 
(nA SAMOM DELE SHAG DOLZHEN POVTORYATXSYA, POKA NE BUDET DOSTIGNUTO SOSTOYANIE, V
KOTOROM ON STANOVITSYA NEOPREDELENNYM.) iNACHE GOVORYA, DAZHE VSYU IGRU OT NACHALA 
DO KONCA MOZHNO PROIZVESTI S POMOSHCHXYU POVTORYAEMYH PRIMENENIJ ODNOGO
I TOGO ZHE "PODPRAVILA".

eTO OCHENX PRODUKTIVNYJ PRIEM. oDIN ALGORITM ZAKLYUCHAET V SEBE PROEKT 
OPREDELENNOGO KLASSA VYCHISLENIJ, KOTORYE MOGUT VYPOLNYATXSYA POD EGO 
UPRAVLENIEM; BLAGODARYA USLOVNOMU POVTORENIYU "SHAGA", VYCHISLENIYA
IZ TAKOGO KLASSA MOGUT IMETX RAZLICHNYE PROTYAZHENNOSTI. eTIM OB�YASNYAETSYA, 
KAK KOROTKIJ ALGORITM MOZHET ZANIMATX MASHINU V TECHENIE DLITELXNOGO VREMENI. 
s DRUGOJ STORONY, V |TOM MOZHNO USMOTRETX NACHALXNYJ NAMEK NA TO, ZACHEM NAM
MOGUT PONADOBITXSYA OSOBENNO BYSTRYE MASHINY.

mENYA ZAVORAZHIVAET MYSLX, CHTO |TA GLAVA MOGLA PISATXSYA ESHCHE V VREMENA, 
KOGDA eVKLID MOG SMOTRETX NA NEE IZ-ZA MOEGO PLECHA.
\bye
