\input style
\chapter{2. sostoyaniya i ih harakteristika}

v TECHENIE MNOGIH STOLETIJ CHELOVEK OPERIRUET
NATURALXNYMI CHISLAMI. mNE PREDSTAVLYAETSYA, CHTO V
DOISTORICHESKIE VREMENA, KOGDA PERED NASHIMI PREDKAMI
VPERVYE ZABREZZHILO PONYATIE CHISLA, ONI IZOBRETALI
INDIVIDUALXNYE IMENA DLYA KAZHDOGO CHISLA, NA KOTOROE
U NIH OBNARUZHIVALASX POTREBNOSTX SOSLATXSYA. iM
PRIHODILOSX IMETX IMENA DLYA CHISEL TOCHNO TAK ZHE, KAK
MY IMEEM IMENA "ODIN, DVA, TRI, CHETYRE I TAK
DALEE".

eTO POISTINE "IMENA" V TOM SMYSLE, CHTO PRI
ISSLEDOVANII POSLEDOVATELXNOSTI "ODIN, DVA, TRI"
NIKAKOE PRAVILO NE POMOZHET NAM UMOZAKLYUCHITX, CHTO
SLEDUYUSHCHIM IMENEM BUDET "CHETYRE". vY, KONECHNO ZHE,
DOLZHNY |TO \emph{ZNATX}. (v TOM VOZRASTE, KOGDA YA
VPOLNE UDOVLETVORITELXNO UMEL SCHITATX ---
PO-GOLLANDSKI,--- MNE PRISHLOSX UCHITXSYA SCHETU 
PO-ANGLIJSKI I VO VREMYA |KZAMENA SAMOE IZOSHCHRENNOE
ZNANIE SLOV "SEMX" I "DEVYATX" NE SMOGLO POMOCHX MNE
USTANOVITX, KAK PISATX SLOVO "VOSEMX", NE GOVORYA UZH
O TOM, KAK PROIZNOSITX EGO.)

oCHEVIDNO, CHTO TAKOE NESISTEMATIZIROVANNOE
RAZNOOBRAZIE POZVOLYAET NAM VYDELYATX INDIVIDUALXNO
TOLXKO VESXMA OGRANICHENNOE KOLICHESTVO RAZLICHNYH
CHISEL. chTOBY IZBEZHATX PODOBNOGO OGRANICHENIYA, KAZHDYJ
YAZYK V CIVILIZOVANNOM MIRE VVODIT (BOLEE ILI MENEE)
SISTEMATIZIROVANNOE IMENOVANIE NATURALXNYH CHISEL,
I OBUCHENIE  SCHETU  V  ZNACHITELXNOJ STEPENI SVODITSYA
K  OBNARUZHENIYU   SISTEMY,   LEZHASHCHEJ V OSNOVE |TOGO
IMENOVANIYA. kOGDA REBENOK UCHITSYA SCHITATX DO TYSYACHI,
EMU NE PRIHODITSYA ZAUCHIVATX NAIZUSTX |TU TYSYACHU
IMEN (V IH TOCHNOM PORYADKE!); ON RUKOVODSTVUETSYA
OPREDELENNYMI PRAVILAMI: NASTUPAET MOMENT, KOGDA
REBENOK UZNAET, KAK PEREHODITX OT LYUBOGO CHISLA K
SLEDUYUSHCHEMU, NAPRIMER OT "CHETYRESTA DVADCATX DEVYATX"
K "CHETYRESTA TRIDCATX".

lEGKOSTX OBRASHCHENIYA S CHISLAMI SILXNO ZAVISIT OT VYBRANNOJ
NAMI DLYA NIH SISTEMATIZACII. gORAZDO TRUDNEE
USTANOVITX, CHTO
$$
\eqalign{
\hbox{DYUZHINA DYUZHIN} &= \hbox{GROSS} \cr
\hbox{ODINNADCATX PLYUS DVENADCATX} &= \hbox{DVADCATX TRI}\cr
XLVII+IV&=LI\cr
}
$$
CHEM USTANOVITX, CHTO
$$
\eqalign{
12\times12&=144 \cr
11+12&=23 \cr
47+4&=51\cr
}
$$
TAK KAK POSLEDNIE TRI OTVETA MOZHNO POLUCHITX,
PRIMENIV PROSTOJ NABOR PRAVIL, KOTORYMI MOZHET
RUKOVODSTVOVATXSYA LYUBOJ VOSXMILETNIJ REBENOK.

pRI MEHANICHESKIH MANIPULYACIYAH NAD CHISLAMI
PREIMUSHCHESTVA DESYATICHNOJ SISTEMY SCHISLENIYA
PROYAVLYAYUTSYA GORAZDO BOLEE OTCHETLIVO. uZHE V
TECHENIE STOLETIJ MY RASPOLAGAEM MEHANICHESKIMI
SUMMATORAMI, POKAZYVAYUSHCHIMI OTVET V OKOSHKE,
POZADI KOTOROGO IMEETSYA NESKOLXKO KOLES S
DESYATXYU RAZLICHNYMI PoLoZHeNIYAMI, PRICHEM KAZHDOE
KOLESO V LYUBOM SVOEM POLOZHENII POKAZYVAET ODNU
DESYATICHNUYU CIFRU. (tEPERX UZHE UZHE NE YAVLYAETSYA
PROBLEMOJ POKAZATX "00000019", PRIBAVITX 4 I
ZATEM POKAZATX "00000023"; BYLO BY PROBLEMOJ ---
PO KRAJNEJ MERE ESLI POLXZOVATXSYA CHISTO
MEHANICHESKIMI SREDSTVAMI --- POKAZATX VMESTO
|TOGO "DEVYATNADCATX" I "DVADCATX TRI".)

sUSHCHESTVENNOE SVOJSTVO TAKOGO KOLESA SOSTOIT V TOM, CHTO ONO
OBLADAET DESYATXYU RAZLICHNYMI USTOJCHIVYMI
POLOZHENIYAMI. tERMINOLOGICHESKI |TO VYRAZHAETSYA
RAZNYMI SPOSOBAMI. nAPRIMER, KOLESO NAZYVAETSYA
"PEREMENNOJ S DESYATXYU ZNACHENIYAMI", I ESLI MY
HOTIM BOLXSHEJ TOCHNOSTI, TO DAZHE PERECHISLYAEM |TI
ZNACHENIYA: OT 0 DO 9. zDESX KAZHDOE "POLOZHENIE"
KOLESA OTOZHDESTVLYAETSYA SO "ZNACHENIEM"
PEREMENNOJ. kOLESO NAZYVAETSYA "PEREMENNOJ",
POTOMU CHTO, HOTYA EGO POLOZHENIYA I USTOJCHIVY,
KOLESO MOZHET POVERNUTXSYA V DRUGOE POLOZHENIE:
"ZNACHENIE" MOZHET IZMENITXSYA. (ya VYNUZHDEN
OTMETITX, CHTO |TOT TERMIN NEUDACHEN PO KRAJNEJ
MERE V DVUH OTNOSHENIYAH. vO-PERVYH, TAKOE KOLESO,
KOTOROE (POCHTI) VSEGDA NAHODITSYA V ODNOM IZ
SVOIH DESYATI POLOZHENIJ I, SLEDOVATELXNO, (POCHTI)
VSEGDA PREDSTAVLYAET NEKOE ZNACHENIE, YAVLYAETSYA
PONYATIEM, VESXMA OTLICHNYM OT TOGO, CHTO
MATEMATIKI NAZYVAYUT "PEREMENNOJ", POSKOLXKU, KAK
PRAVILO, MATEMATICHESKAYA PEREMENNAYA VOOBSHCHE NE
PREDSTAVLYAET
KAKOGO-LIBO KONKRETNOGO ZNACHENIYA. eSLI MY GOVORIM, CHTO
DLYA LYUBOGO CELOGO CHISLA $n$ UTVERZHDENIE
$n^2\ge0$ ISTINNO, TO ZDESX $n$ YAVLYAETSYA
PEREMENNOJ SOVSEM DRUGOGO RODA.
vO-VTORYH, V NASHEM KONTEKSTE MY ISPOLXZUEM TERMIN
"PEREMENNAYA" DLYA TOGO, CHTO SUSHCHESTVUET VO VREMENI
I CHXE ZNACHENIE, ESLI EGO NE TROGATX, OSTAETSYA
POSTOYANNYM! tERMIN "IZMENYAEMAYA KONSTANTA"
PODOSHEL BY LUCHSHE, NO MY NE STANEM VVODITX EGO, A
BUDEM PRIDERZHIVATXSYA PROCHNO USTANOVIVSHEJSYA
TRADICII.)

dRUGOJ SPOSOB TERMINOLOGICHESKI OTRAZITX SUSHCHNOSTX
TAKOGO KOLESA, KOTOROE (POCHTI) VSEGDA NAHODITSYA
V ODNOM IZ DESYATI RAZLICHNYH POLOZHENIJ ILI
"SOSTOYANIJ", SOSTOIT V TOM, CHTOBY POSTAVITX
|TOMU KOLESU V SOOTVETSTVIE "PROSTRANSTVO
SOSTOYANIJ IZ DESYATI TOCHEK". zDESX KAZHDOE
SOSTOYANIE (POLOZHENIE) SVYAZYVAETSYA S "TOCHKOJ", A
SOBRANIE |TIH TOCHEK NAZYVAETSYA --- V
SOOTVETSTVII S MATEMATICHESKOJ TRADICIEJ
--- PROSTRANSTVOM ILI, ESLI  MY HOTIM BOLXSHEJ
TOCHNOSTI, "PROSTRANSTVOM SOSTOYANIJ". vMESTO TOGO
CHTOBY GOVORITX, CHTO PEREMENNAYA OBLADAET (POCHTI)
VSEGDA ODNIM IZ SVOIH VOZMOZHNYH ZNACHENIJ, MY
MOZHEM TEPERX VYRAZITX TO ZHE, SKAZAV, CHTO
SISTEMA, SOSTOYASHCHAYA IZ EDINSTVENNOJ PEREMENNOJ,
NAHODITSYA (POCHTI) VSEGDA V ODNOJ IZ TOCHEK SVOEGO
PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ. pROSTRANSTVO SOSTOYANIJ
OPISYVAET STEPENX SVOBODY SISTEMY; BOLXSHE EJ
NEKUDA PEREHODITX.

oTVLECHEMSYA TEPERX OT OTDELXNO VZYATOGO KOLESA I
SOSREDOTOCHIM NASHE VNIMANIE NA REGISTRE S VOSEMXYU
TAKIMI KOLESAMI V STROKE. pOSKOLXKU KAZHDOE IZ
|TIH KOLES NAHODITSYA V ODNOM IZ DESYATI RAZLICHNYH
SOSTOYANIJ, |TOT REGISTR, RASSMOTRENNYJ KAK
CELOE, NAHODITSYA V ODNOM IZ 100 000 000
VOZMOZHNYH RAZLICHNYH SOSTOYANIJ, KAZHDOE IZ KOTORYH
ESTESTVENNO IDENTIFICIRUETSYA CHISLOM (A TOCHNEE,
STROKOJ IZ VOSXMI CIFR), POKAZYVAEMYM V OKOSHKE.

eSLI ZADANY SOSTOYANIYA VSEH KOLES, TO SOSTOYANIE
REGISTRA V CELOM ODNOZNACHNO OPREDELENO; I
OBRATNO, PO LYUBOMU SOSTOYANIYU REGISTRA V CELOM
ODNOZNACHNO OPREDELYAETSYA SOSTOYANIE KAZHDOGO
OTDELXNOGO KOLESA. v |TOM SLUCHAE MY GOVORIM (V
PREDYDUSHCHEJ GLAVE NAMI UZHE ISPOLXZOVAN |TOT
TERMIN), CHTO POLUCHAEM (ILI STROIM) PROSTRANSTVO
SOSTOYANIJ REGISTRA V CELOM, FORMIRUYA "DEKARTOVO
PROIZVEDENIE" PROSTRANSTV SOSTOYANIJ VOSXMI
OTDELXNYH KOLES. oBSHCHEE CHISLO TOCHEK V |TOM
PROSTRANSTVE SOSTOYANIJ YAVLYAETSYA PROIZVEDENIEM
CHISEL TOCHEK V TEH PROSTRANSTVAH SOSTOYANIJ, IZ
KOTORYH ONO POSTROENO (IMENNO PO|TOMU ONO
NAZYVAETSYA DEKARTOVYM \emph{PROIZVEDENIEM}).

v ZAVISIMOSTI OT TOGO, CHTO NAS INTERESUET V |TOM
PREDMETE, MY LIBO RASSMATRIVAEM TAKOJ REGISTR
KAK EDINUYU PEREMENNUYU S $10^8$  RAZLICHNYMI
VOZMOZHNYMI ZNACHENIYAMI, LIBO KAK SOSTAVNUYU
PEREMENNUYU, SOSTAVLENNUYU IZ VOSXMI RAZLICHNYH
PEREMENNYH, NAZYVAEMYH "KOLESAMI", S DESYATXYU
ZNACHENIYAMI. eSLI MY INTERESUEMSYA TOLXKO
POKAZYVAEMYMI ZNACHENIYAMI, TO BUDEM, PO-VIDIMOMU,
RASSMATRIVATX REGISTR KAK NEDELIMOE PONYATIE,
TOGDA KAK INZHENER-|KSPLUATACIONNIK, KOTOROMU
NUZHNO ZAMENITX KOLESO SO SLOMANNYM ZUBCOM,
BUDET, KONECHNO RASSMATRIVATX REGISTR KAK
SOSTAVNOJ OB�EKT.

mY NABLYUDALI DRUGOJ PRIMER POSTROENIYA PROSTRANSTVA
SOSTOYANIJ KAK DEKARTOVA PROIZVEDENIYA BOLEE
MELKIH PROSTRANSTV SOSTOYANIJ, KOGDA OBSUZHDALI
ALGORITM eVKLIDA I OBNARUZHILI, CHTO POLOZHENIE
FISHKI GDE-TO NA LISTE MOZHNO POLNOSTXYU
IDENTIFICIROVATX S POMOSHCHXYU DVUH POLUFISHEK,
KAZHDAYA IZ KOTORYH NAHODITSYA GDE-TO NA SVOEJ OSI,
T. E. S POMOSHCHXYU KOMBINACII (A TOCHNEE,
UPORYADOCHENNOJ PARY) DVUH PEREMENYH "$x$" I
"$y$". (iDEYA IDENTIFIKACII POLOZHENIYA TOCHKI NA
PLOSKOSTI ZNACHENIYAMI EE KOORDINAT $x$ I $y$ IDET
OT dEKARTA, KOTORYJ RAZRABOTAL ANALITICHESKUYU
GEOMETRIYU I V CHESTX KOTOROGO NAZVANO DEKARTOVO
PROIZVEDENIE.) fISHKA NA LISTE BYLA VVEDENA DLYA
DEMONSTRACII TOGO FAKTA, CHTO RAZVIVAYUSHCHIJSYA
VYCHISLITELXNYJ PROCESS --- TAKOJ, KAK VYPOLNENIE
ALGORITMA eVKLIDA,--- MOZHNO RASSMATRIVATX KAK
SISTEMU, DVIZHUSHCHUYUSYA PO SVOEMU PROSTRANSTVU
SOSTOYANIJ. v SOOTVETSTVII S |TOJ METAFOROJ
NACHALXNOE SOSTOYANIE IMENUETSYA TAKZHE "ISHODNOJ
TOCHKOJ".

v |TOJ KNIGE MY BUDEM PREIMUSHCHESTVENNO --- A MOZHET
BYTX, DAZHE ISKLYUCHITELXNO --- ZANIMATXSYA
SISTEMAMI, PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ KOTORYH BUDUT
V KONECHNOM ITOGE RASSMATRIVATXSYA KAK NEKIE
DEKARTOVY PROIZVEDENIYA. rAZUMEETSYA, NE SLEDUET
USMATRIVATX V |TOM MOE MNENIE, BUDTO BY
PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ, POSTROENNYE S POMOSHCHXYU
DEKARTOVYH PROIZVEDENIJ, YAVLYAYUTSYA OBSHCHIM I
OKONCHATELXNYM RESHENIEM VSEH NASHIH PROBLEM; YA
OTLICHNO ZNAYU, CHTO |TO NE TAK. iZ DALXNEJSHEGO
STANET OCHEVIDNYM, POCHEMU ONI ZASLUZHIVAYUT STOLX
BOLXSHOGO NASHEGO VNIMANIYA I V TO ZHE VREMYA POCHEMU
|TO PONYATIE IGRAET STOLX GLAVENSTVUYUSHCHUYU ROLX VO
MNOGIH YAZYKAH PROGRAMMIROVANIYA.

pREZHDE CHEM PRODOLZHITX RASSUZHDENIYA, OTMECHU ODNU
PROBLEMU, S KOTOROJ NAM PRIDETSYA STOLKNUTXSYA.
kOGDA MY oBRAZUEM PROSTRANSTVO SOSTOYANIJ, STROYA
DEKARTOVO PROIZVEDENIE, TO VOVSE NE OBYAZATELXNO,
CHTO NAM OKAZHUTSYA POLEZNYMI VSE EGO TOCHKI.
tIPICHNYM PRIMEROM |TOMU YAVLYAETSYA HARAKTERISTIKA
DNEJ DANNOGO GODA S POMOSHCHXYU PARY (MESYAC, DENX),
GDE "MESYAC" --- PEREMENNAYA S 12 ZNACHENIYAMI (OT
"YANV" DO "DEK"), A "DENX" --- PEREMENNAYA S 31
ZNACHENIYAMI (OT 1 DO 31). v |TOM SLUCHAE MY
OBRAZUEM PROSTRANSTVO SOSTOYANIJ IZ 372 TOCHEK,
TOGDA KAK NIKAKOJ GOD NE SODERZHIT BOLEE CHEM 366
DNEJ. chTO NAM DELATX, SKAZHEM, S PAROJ (IYUN, 31)?
lIBO MY ZAPRESHCHAEM EE, VVODYA PONYATIE "NEVOZMOZHNYH
DAT" I TEM SAMYM SOZDAVAYA V NEKOTOROM SMYSLE
VOZMOZHNOSTX VNUTRENNIH PROTIVORECHIJ V cISTEME,
LIBO MY RAZRESHAEM EE KAK DRUGOJ VARIANT IMENI
DLYA ODNOGO IZ "ISTINNYH" DNEJ, NAPRIMER,
PRIRAVNIVAYA EE K (IYUL,1). fENOMEN
"NEISPOLXZUEMYH TOCHEK PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ"
VOZNIKAET VSYAKIJ RAZ, KOGDA CHISLO RAZLICHNYH
VOZMOZHNYH ZNACHENIJ, KOTORYE MY ZHELAEM
RASPOZNAVATX, OKAZYVAETSYA PROSTYM CHISLOM.

sISTEMATIZACIYA, KOTORAYA AVTOMATICHESKI VVODITSYA,
KOGDA MY STROIM PROSTRANSTVO SOSTOYANIJ KAK
DEKARTOVO PROIZVEDENIE, POZVOLYAET NAM
IDENTIFICIROVATX OTDELXNO VZYATUYU TOCHKU.
nAPRIMER, YA MOGU UTVERZHDATX, CHTO MOJ DENX
ROZHDENIYA --- |TO (MAJ, 11). oDNAKO BLAGODARYA
dEKARTU NAM IZVESTEN TEPERX I DRUGOJ SPOSOB
FIKSACII |TOGO FAKTA: MOJ DENX ROZHDENIYA PRIHODITSYA 
NA TU DATU (MESYAC, DENX), KOTORAYA
SOOTVETSTVUET RESHENIYU URAVNENIYA%
\note{zDESX I DALEE V MATEMATICHESKIH FORMULAH
ISPOLXZUYUTSYA DLYA OBOZNACHENIYA LOGICHESKIH OPERACIJ SIMVOLY 
{\bf and} (KON�YUNKCIYA), {\bf or} (DIZ�YUNKCIYA) I {\bf non} 
(OTRICANIE).--- {\sl pRIM. PEREV.} }
$$
(\var{MESYAC}=\var{MAJ}) \and (\var{DENX} = 11)
$$

pRIVEDENNOE VYSHE URAVNENIE IMEET TOLXKO ODNO RESHENIE I
PO|TOMU PREDSTAVLYAET SOBOJ NESKOLXKO USLOZHNENNYJ
SPOSOB UKAZANIYA |TOGO EDINSTVENNOGO DNYA V GODU.
oDNAKO PREIMUSHCHESTVO ISPOLXZOVANIYA URAVNENIYA
SOSTOIT V TOM, CHTO ONO POZVOLYAET NAM
OHARAKTERIZOVATX MNOZHESTVO VSEH EGO RESHENIJ, I
TAKOE MNOZHESTVO MOZHET SODERZHATX ZNACHITELXNO
BOLXSHE CHEM ODNU TOCHKU. tRIVIALXNYM PRIMEROM
MOZHET SLUZHITX OPREDELENIE ROZHDESTVA:
$$
(\var{MESYAC}=\var{DEK}) \and ((\var{DENX}=25) \or (\var{DENX}=26))
$$
bOLEE PRIMECHATELXNYM PRIMEROM YAVLYAETSYA OPREDELENIE
MNOZHESTVA DAT, V KOTORYE VYPLACHIVAETSYA MOE
EZHEMESYACHNOE ZHALOVANXE:
$$
(\var{DENX}=23)
$$
I RAZUMEETSYA, |TO GORAZDO BOLEE KOMPAKTNOE
OPISANIE, CHEM PERECHISLENIE VIDA "(YANV, 23),
(FEV, 23), (MAR, 23)" I T. D.

iZ SKAZANNOGO VYSHE YAVSTVUET, CHTO STEPENX LEGKOSTI,
S KOTOROJ MY ISPOLXZUEM TAKIE URAVNENIYA DLYA
HARAKTERISTIKI MNOZHESTV SOSTOYANIJ, ZAVISIT OT
TOGO, NASKOLXKO MNOZHESTVA, KOTORYE MY HOTIM
OHARAKTERIZOVATX, "SOOTVETSTVUYUT" STRUKTURE
PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ, T. E. "SOOTVETSTVUYUT"
VVEDENNOJ SISTEME KOORDINAT. nAPRIMER, V
RASSMOTRENNOJ VYSHE SISTEME KOORDINAT BYLO BY
NESKOLXKO NEUDOBNO OHARAKTERIZOVATX MNOZHESTVO
DNEJ, KOTORYE PRIHODYATSYA NA TOT ZHE DENX NEDELI,
CHTO I (YANV, 1). vO MNOGIH SLUCHAYAH PROGRAMMISTU
PRIHODITSYA PRI RESHENII ZADACH VVODITX
PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ S PODHODYASHCHIMI DLYA EGO
CELEJ SISTEMAMI KOORDINAT; PRICHEM DOPOLNITELXNYE
TREBOVANIYA CHASTO VYNUZHDAYUT EGO VVODITX TAKZHE
PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ, V KOTORYH CHISLO TOCHEK VO
MNOGO RAZ BOLXSHE, CHEM CHISLO RAZLICHNYH VOZMOZHNYH
ZNACHENIJ, KOTORYE ON DOLZHEN RASPOZNAVATX.

dRUGOJ PRIMER ISPOLXZOVANIYA URAVNENIYA DLYA
HARAKTERISTIKI MNOZHESTVA SOSTOYANIJ VSTRECHALSYA
V NASHEM OPISANII KARTONNOJ MASHINY DLYA
VYCHISLENIYA $\nod(X, Y)$, GDE
$$
x=y
$$
HARAKTERIZUET VSE TOCHKI TOGO, CHTO MY NAZVALI "LINIEJ OTVETA";
|TO MNOZHESTVO KONECHNYH SOSTOYANIJ, T. E.
VYCHISLENIE PREKRASHCHAETSYA TOGDA I TOLXKO TOGDA,
KOGDA DOSTIGNUTO KAKOE-NIBUDX SOSTOYANIE,
UDOVLETVORYAYUSHCHEE URAVNENIYU $x=y$.

pOMIMO KOORDINAT PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ, T. E.
PEREMENNYH, V TERMINAH ZNACHENIJ KOTORYH
VYRAZHAETSYA HOD VYCHISLITELXNOGO PROCESSA, MY
VSTRECHALI V NASHIH URAVNENIYAH KONSTANTY (TAKIE,
KAK "MAJ" ILI "23"). kROME TOGO, MOZHNO
POLXZOVATXSYA TAK NAZYVAEMYMI "SVOBODNYMI
PEREMENNYMI", KOTORYE MOZHNO PREDSTAVITX SEBE KAK
"NESPECIFICIROVANNYE KONSTANTY". mY PRIMENYAEM IH
SPECIALXNO DLYA OBOZNACHENIYA SVYAZEJ RAZLICHNYH
SOSTOYANIJ, KOTORYE MOGUT VSTRECHATXSYA NA
POSLEDOVATELXNYH SHAGAH \emph{ODNOGO I TOGO ZHE}
VYCHISLITELXNOGO PROCESSA. nAPRIMER, VO VREMYA
NEKOEGO KONKRETNOGO VYPOLNENIYA ALGORITMA eVKLIDA
S NACHALXNOJ TOCHKOJ $(X, Y)$ VSE SOSTOYANIYA
$(x,y)$ BUDUT UDOVLETVORYATX FORMULE
$$
\nod(x,y)=\nod(X, Y) \and 0<x\le X \and 0<y\le Y
$$
zDESX $X$ I $Y$ NE YAVLYAYUTSYA TAKIMI PEREMENNYMI, KAK
$x$ I $y$. oNI PREDSTAVLYAYUT SOBOJ "IH NACHALXNYE
ZNACHENIYA". eTO KONSTANTY S TOCHKI ZRENIYA
KONKRETNOGO VYCHISLENIYA, NO ONI NE
SPECIFICIROVANY V TOM SMYSLE, CHTO MY MOGLI BY
ZAPUSTITX ALGORITM eVKLIDA S LYUBOJ TOCHKOJ SETKI
V KACHESTVE NACHALXNOGO POLOZHENIYA NASHEJ FISHKI.

v ZAKLYUCHENIE NEKOTORYE TERMINOLOGICHESKIE
ZAMECHANIYA. ya BUDU NAZYVATX TAKIE URAVNENIYA
"USLOVIYAMI" ILI "PREDIKATAMI". (ya MOG BY, A
VOZMOZHNO, I DOLZHEN BY RAZLICHATX |TI PONYATIYA,
ZAREZERVIROVAV TERMIN "PREDIKAT" DLYA FORMALXNOGO
VYRAZHENIYA, OBOZNACHAYUSHCHEGO "USLOVIE". tOGDA MY
IMELI BY VOZMOZHNOSTX SKAZATX, NAPRIMER, CHTO DVA
RAZNYH PREDIKATA "$x=y$" I "$y=x$" OBOZNACHAYUT
ODNO I TO ZHE USLOVIE. oDNAKO, ZNAYA SEBYA, YA NE
NADEYUSX PREUSPETX V TAKOJ MANERE IZLOZHENIYA.) ya
BUDU SCHITATX SINONIMICHNYMI TAKIE VYRAZHENIYA, KAK
"SOSTOYANIE, DLYA KOTOROGO PREDIKAT ISTINEN",
"SOSTOYANIE, KOTOROE UDOVLETVORYAET USLOVIYU",
"SOSTOYANIE, V KOTOROM USLOVIE UDOVLETVORYAETSYA",
"SOSTOYANIE, V KOTOROM USLOVIE SPRAVEDLIVO" I
T. D. eSLI SISTEMA ZAVEDOMO DOSTIGNET SOSTOYANIYA,
UDOVLETVORYAYUSHCHEGO USLOVIYU $P$, TO MY BUDEM
GOVORITX, CHTO SISTEMA ZAVEDOMO "OBESPECHIT
ISTINNOSTX $P$".

pREDPOLAGAETSYA, CHTO VSYAKIJ PREDIKAT OPREDELEN V
KAZHDOJ TOCHKE RASSMATRIVAEMOGO PROSTRANSTVA
SOSTOYANIJ: V KAZHDOJ TOCHKE ZNACHENIEM PREDIKATA
YAVLYAETSYA LIBO "ISTINA", LIBO "LOZHX", I PREDIKAT
SLUZHIT DLYA HARAKTERISTIKI MNOZHESTVA VSEH TOCHEK,
DLYA KOTORYH (ILI V KOTORYH) |TOT PREDIKAT
ISTINEN.

mY BUDEM NAZYVATX DVA PREDIKATA $P$ I $Q$ RAVNYMI
(FORMALXNO "$P=Q$"), ESLI ONI OBOZNACHAYUT ODNO I
TO ZHE USLOVIE, T.E HARAKTERIZUYUT ODNO I TO ZHE
MNOZHESTVO SOSTOYANIJ.

dVA PREDIKATA BUDUT IGRATX OSOBUYU ROLX, I MY
REZERVIRUEM DLYA NIH IMENA "$T$" I "$F$".

$T$ ---|TO PREDIKAT, KOTORYJ ISTINEN VO VSEH
TOCHKAH RASSMATRIVAEMOGO PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ;
EMU SOOTVETSTVUET POLNOE MNOZHESTVO SOSTOYANIJ.

$F$ --- PREDIKAT, KOTORYJ LOZHEN VO VSEH TOCHKAH
PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ; ON SOOTVETSTVUET PUSTOMU
MNOZHESTVU.

\bye
