\input style
\chapno=5\subchno=2\chapnotrue
\subchap{optimal'naya sortirovka} % 5.3

tEPERX, KOGDA MY PROANALIZIROVALI TAKOE MNOZHESTVO METODOV VNUTRENNEJ
SORTIROVKI, PRISHLO VREMYA OBRATITXSYA K BOLEE OBSHCHEMU VOPROSU: \emph{KAKOJ
METOD VNUTRENNEJ SORTIROVKI NAILUCHSHIJ?} sUSHCHESTVUET LI TAKOJ VERHNIJ PREDEL
SKOROSTI SORTIROVKI, KOTOROGO BY NE MOG DOSTICHX NI ODIN PROGRAMMIST, KAK
BY ISKUSEN ON NI BYL?

rAZUMEETSYA, NAILUCHSHEGO VOZMOZHNOGO SPOSOBA SORTIROVKI \emph{NET}; MY DOLZHNY
TOCHNO OPREDELITX, CHTO PONIMATX POD SLOVOM "NAILUCHSHIJ", NO NE SUSHCHESTVUET
NAILUCHSHEGO VOZMOZHNOGO SPOSOBA OPREDELITX SLOVO "NAILUCHSHIJ". aNALOGICHNYE
VOPROSY OB OPTIMALXNOSTI ALGORITMOV MY OBSUZHDALI V P.~4.3.3, 4.6.3
I~4.6.4, GDE RASSMATRIVALOSX UMNOZHENIE S VYSOKOJ TOCHNOSTXYU I VYCHISLENIE
POLINOMOV. v KAZHDOM SLUCHAE, DLYA TOGO CHTOBY VYPOLNYALISX USLOVIYA
"DOSTATOCHNOSTI", T.~E.\ CHTOBY ZADACHA STALA RAZRESHIMOJ, NEOBHODIMO BYLO
SFORMULIROVATX DOVOLXNO PROSTOE OPREDELENIE ALGORITMA, "NAILUCHSHEGO IZ
VOZMOZHNYH". i V KAZHDOM SLUCHAE PERED NAMI VSTAVALI INTERESNEJSHIE ZADACHI,
NASTOLXKO SLOZHNYE, CHTO ONI DO SIH POR POLNOSTXYU NE RESHENY. tAK ZHE OBSTOIT
DELO I S SORTIROVKOJ: BYLI POLUCHENY NEKOTORYE INTERESNYE REZULXTATY, NO
OSTALOSX ESHCHE MNOGO INTRIGUYUSHCHIH VOPROSOV, NA KOTORYE DO SIH POR NET OTVETOV.

iZUCHENIE VNUTRENNEGO MEHANIZMA METODOV SORTIROVKI OBYCHNO BYLO NAPRAVLENO
NA MINIMIZACIYU CHISLA SRAVNENIJ KLYUCHEJ PRI SORTIROVKE $n$~|LEMENTOV, ILI
SLIYANII $m$~|LEMENTOV S $n$~|LEMENTAMI, ILI VYBORE
$t\hbox{-Go}$~NAIBOLXSHEGO |LEMENTA IZ NEUPORYADOCHENNOGO NABORA
$n$~|LEMENTOV. v P.~5.3.1, 5.3.2 I~5.3.3 |TI VOPROSY OBSUZHDAYUTSYA V OBSHCHEM
SLUCHAE; V P.~5.3.4 RASSMATRIVAYUTSYA ANALOGICHNYE VOPROSY S INTERESNYM
OGRANICHENIEM: POSLEDOVATELXNOSTX SRAVNENIJ DOLZHNA BYTX, PO SUSHCHESTVU,
ZARANEE FIKSIROVANA. nEKOTORYE DRUGIE TIPY INTERESNYH TEORETICHESKIH
VOPROSOV, SVYAZANNYH S OPTIMALXNOJ SORTIROVKOJ, MOZHNO NAJTI V UPRAZHNENIYAH
K P.~5.3.4 I V OBSUZHDENII VNESHNEJ SORTIROVKI V P.~5.4.4.

%% 219

\subsubchap{sORTIROVKA S MINIMALXNYM CHISLOM SRAVNENIJ} % 5.3.1

oCHEVIDNO, MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ KLYUCHEJ, NEOBHODIMOE DLYA SORTIROVKI
$n$~|LEMENTOV, RAVNO~\emph{NULYU,} POSKOLXKU, KAK MY VIDELI, SUSHCHESTVUYUT
METODY PORAZRYADNOJ SORTIROVKI, V KOTORYH VOOBSHCHE NE VYPOLNYAETSYA SRAVNENIJ.
 v SAMOM DELE, MOZHNO NAPISATX \MIX-PROGRAMMY, SPOSOBNYE SORTIROVATX I NE
SODERZHASHCHIE TEM NE MENEE NI ODNOJ KOMANDY USLOVNOGO
PEREHODA! (sM.~UPR.~5-6 V NACHALE |TOJ GLAVY.) mY TAKZHE VSTRECHALISX S
NESKOLXKIMI METODAMI SORTIROVKI, KOTORYE, PO SUSHCHESTVU, BYLI OSNOVANY NA
SRAVNENII KLYUCHEJ, NO VREMYA RABOTY KOTORYH NA DELE OPREDELYALOSX DRUGIMI
FAKTORAMI, TAKIMI, KAK PEREMESHCHENIE DANNYH, VSPOMOGATELXNYE OPERACII I~T.~D.

pO|TOMU YASNO, CHTO PODSCHET CHISLA SRAVNENIJ---NE EDINSTVENNYJ SPOSOB
IZMERITX |FFEKTIVNOSTX METODA SORTIROVKI. oDNAKO V LYUBOM SLUCHAE
NEBEZYNTERESNO PROVESTI TSHCHATELXNOE ISSLEDOVANIE CHISLA SRAVNENIJ,
POSKOLXKU TEORETICHESKOE IZUCHENIE |TOGO VOPROSA POZVOLIT NAM S POLXZOJ DLYA
DELA PRONIKNUTX VO VNUTRENNYUYU PRIRODU PROCESSOV SORTIROVKI, A TAKZHE
POMOZHET OTTOCHITX MASTERSTVO DLYA RESHENIYA BOLEE PRAKTICHESKIH ZADACH,
KOTORYE MOGUT VSTATX PERED NAMI V BUDUSHCHEM.

chTOBY ISKLYUCHITX PORAZRYADNUYU SORTIROVKU, GDE SOVSEM NE VYPOLNYAETSYA
SRAVNENIJ, OGRANICHIMSYA OBSUZHDENIEM METODOV SORTIROVKI, OSNOVANNYH TOLXKO
NA ABSTRAKTNOM LINEJNOM OTNOSHENII PORYADKA "$<$" MEZHDU KLYUCHAMI,
RASSMOTRENNOM V NACHALE |TOJ GLAVY. dLYA PROSTOTY MY TAKZHE OGRANICHIM SVOE
OBSUZHDENIE SLUCHAEM \emph{RAZLICHNYH} KLYUCHEJ, A |TO ZNACHIT, CHTO PRI LYUBOM
SRAVNENII KLYUCHEJ~$K_i$ I~$K_j$ VOZMOZHNY LISHX DVA ISHODA: LIBO~$K_i<K_j$,
LIBO~$K_i>K_j$. (rASPROSTRANENIE |TOJ TEORII NA OBSHCHIJ SLUCHAJ, KOGDA
DOPUSKAYUTSYA RAVNYE KLYUCHI, SM.~V UPR.~OT~3 DO~12.)

zADACHU SORTIROVKI POSREDSTVOM SRAVNENIJ MOZHNO SFORMULIROVATX TAKZHE
DRUGIMI |KVIVALENTNYMI SPOSOBAMI. eSLI ESTX $n$~GRUZOV I VESY S DVUMYA
CHASHAMI, TO KAKOVO MINIMALXNOE CHISLO VZVESHIVANIJ, NEOBHODIMOE DLYA TOGO,
CHTOBY RASPOLOZHITX GRUZY PO PORYADKU V SOOTVETSTVII S VESOM, ESLI V KAZHDOJ
CHASHE VESOV POMESHCHAETSYA TOLXKO ODIN GRUZ? iLI ZHE, ESLI V NEKOTOROM TURNIRE
UCHASTVUYUT $n$~IGROKOV, TO KAKOVO NAIMENXSHEE CHISLO IGR, DOSTATOCHNOE DLYA
TOGO, CHTOBY RASPREDELITX MESTA MEZHDU SOREVNUYUSHCHIMISYA V PREDPOLOZHENII, CHTO
SILY IGROKOV MOZHNO LINEJNO UPORYADOCHITX (NICHEJNYE REZULXTATY NE DOPUSKAYUTSYA).

mETODY SORTIROVKI $n$~|LEMENTOV, UDOVLETVORYAYUSHCHIE UKAZANNYM OGRANICHENIYAM,
MOZHNO PREDSTAVITX POSREDSTVOM STRUKTURY RASSHIRENNOGO BINARNOGO DEREVA,
TAKOGO, KAK POKAZANO NA RIS.~34. kAZHDYJ \emph{VNUTRENNIJ UZEL}
(IZOBRAZHENNYJ V VIDE KRUZHOCHKA) SODERZHIT
%%220
DVA INDEKSA "$i:j$" I OZNACHAET SRAVNENIE KLYUCHEJ~$K_i$
I~$K_j$. lEVOE PODDEREVO |TOGO UZLA SOOTVETSTVUET POSLEDUYUSHCHIM SRAVNENIYAM,
KOTORYE NEOBHODIMO VYPOLNITX, ESLI~$K_i<K_j$, A PRAVOE PODDEREVO---TEM
DEJSTVIYAM, KOTORYE NEOBHODIMO PREDPRINYATX V SLUCHAE~$K_i>K_j$. kAZHDYJ
\emph{VNESHNIJ UZEL} DEREVA (IZOBRAZHENNYJ V VIDE PRYAMOUGOLXNIKA) SODERZHIT
PERESTANOVKU $a_1$ $a_2$~\dots $a_n$
\picture{rIS.~34. dEREVO SRAVNENIJ DLYA SORTIROVKI TREH |LEMENTOV.}
MNOZHESTVA~$\set{1, 2,~\ldots, n}$, OBOZNACHAYUSHCHUYU TOT FAKT, CHTO
BYLO USTANOVLENO UPORYADOCHENIE
$$
K_{a_1}<K_{a_2}<\ldots<K_{a_n}.
$$
(eSLI VZGLYANUTX NA PUTX OT KORNYA K |TOMU VNESHNEMU UZLU, TO KAZHDOE IZ
$n-1$~SOOTNOSHENIJ $K_{a_i}<K_{a_{i+1}}$, GDE~$1\le i < n$, BUDET
REZULXTATOM NEKOTOROGO SRAVNENIYA~$a_i:a_{i+1}$ ILI~$a_{i+1}:a_i$ NA |TOM PUTI.)

tAK, NA RIS.~34 PREDSTAVLEN METOD SORTIROVKI, SOGLASNO KOTOROMU NUZHNO
SNACHALA SRAVNITX~$K_1$ S~$K_2$; ESLI~$K_1>K_2$, TO PRODOLZHATX (DVIGAYASX
PO PRAVOMU PODDEREVU) SRAVNIVATX~$K_2$ S~$K_3$, A ZATEM, ESLI~$K_2<K_3$,
SRAVNITX~$K_1$ S~$K_3$; NAKONEC, ESLI~$K_1>K_3$, STANOVITSYA YASNO,
CHTO~$K_2<K_3<K_1$. rEALXNYJ ALGORITM SORTIROVKI OBYCHNO BUDET TAKZHE
PEREMESHCHATX KLYUCHI PO FAJLU, NO NAS INTERESUYUT TOLXKO SRAVNENIYA, PO|TOMU MY
IGNORIRUEM VSE PEREMESHCHENIYA DANNYH. pRI SRAVNENII~$K_i$ S~$K_j$ V |TOM
DEREVE VSEGDA IMEYUTSYA V VIDU \emph{ISHODNYE} KLYUCHI~$K_i$ I~$K_j$, A NE TE
KLYUCHI, KOTORYE MOGLI ZANYATX~$i\hbox{-YU}$ I~$j\hbox{-YU}$ POZICII V FAJLE
V REZULXTATE PEREMESHCHENIYA ZAPISEJ.

vOZMOZHNY I IZBYTOCHNYE SRAVNENIYA; NAPRIMER, NA RIS.~35 NET NEOBHODIMOSTI
SRAVNIVATX~$3:1$, POSKOLXKU IZ NERAVENSTV~$K_1<K_2$ I~$K_2<K_3$
SLEDUET~$K_1<K_3$. nIKAKAYA PERESTANOVKA NE MOZHET SOOTVETSTVOVATX LEVOMU
PODDEREVU UZLA~$\elnode{3:1}$ NA RIS.~35, TAK CHTO |TA CHASTX ALGORITMA
NIKOGDA NE BUDET VYPOLNYATXSYA! pOSKOLXKU NAS INTERESUET MINIMALXNOE CHISLO
SRAVNENIJ, TO MOZHNO SCHITATX, CHTO IZBYTOCHNYH SRAVNENIJ NE PROIZVODITSYA;
S |TOGO MOMENTA MY BUDEM IMETX DELO SO STRUKTUROJ RASSHIRENNOGO
%%221
BINARNOGO DEREVA, V KOTOROM KAZHDOMU VNESHNEMU UZLU SOOTVETSTVUET
NEKOTORAYA PERESTANOVKA. vSE PERESTANOVKI ISHODNYH KLYUCHEJ VOZMOZHNY, I
KAZHDAYA PERESTANOVKA OPREDELYAET EDINSTVENNYJ PUTX OT KORNYA K VNESHNEMU
UZLU; OTSYUDA VYTEKAET, CHTO \emph{V DEREVE SRAVNENIJ DLYA SORTIROVKI
$n$~|LEMENTOV BEZ IZBYTOCHNYH SRAVNENIJ IMEETSYA ROVNO $n!$~VNESHNIH UZLOV.}

\picture{rIS. 35.            pRIMER IZBYTOCHNOGO SRAVNENIYA.}

\section oPTIMIZACIYA V NAIHUDSHEM SLUCHAE. pERVAYA ESTESTVENNYM
OBRAZOM VOZNIKAYUSHCHAYA ZADACHA---NAJTI DEREVXYA SRAVNENIJ, MINIMIZIRUYUSHCHIE
\emph{MAKSIMALXNOE} CHISLO VYPOLNYAEMYH SRAVNENIJ. (pOZZHE MY RASSMOTRIM
\emph{SREDNEE} CHISLO SRAVNENIJ.)

pUSTX $S(n)$---MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ, DOSTATOCHNOE DLYA SORTIROVKI
$n$~|LEMENTOV. eSLI VSE VNUTRENNIE UZLY V DEREVE SRAVNENIJ RASPOLAGAYUTSYA NA
UROVNYAH $<k$, TO OCHEVIDNO, CHTO V DEREVE NE MOZHET BYTX BOLEE $2^k$~UZLOV.
sLEDOVATELXNO, POLAGAYA~$k=S(n)$, IMEEM
$$
n!\le 2^{S(n)}.
$$
pOSKOLXKU $S(n)$---CELOE CHISLO, TO MOZHNO ZAPISATX |TU FORMULU  INACHE,
POLUCHIV NIZHNYUYU OCENKU:
$$
S(n)\ge \ceil{\log_2 n!}.
\eqno(1)
$$
zAMETIM, CHTO PO FORMULE sTIRLINGA
$$
\ceil{\log_2 n!}=n\log_2 n-n/(\ln 2)+{1\over2}\log_2 n+O(1);
\eqno(2)
$$
SLEDOVATELXNO, NEOBHODIMO VYPOLNITX OKOLO $n\log_2 n$~SRAVNENIJ.

sOOTNOSHENIE~(1) CHASTO NAZYVAYUT "TEORETIKO-INFORMACIONNOJ NIZHNEJ OCENKOJ",
POSKOLXKU SPECIALIST V OBLASTI TEORII INFORMACII SKAZAL BY, CHTO V PROCESSE
SORTIROVKI PROVERYAETSYA $(\log_2 n!)$~"BITOV INFORMACII"; KAZHDOE SRAVNENIE
DAET NE BOLEE  ODNOGO "BITA INFORMACII". tAKIE DEREVXYA, KAK NA RIS.~34,
NAZYVAYUT TAKZHE "VOPROSNIKAMI" ("questionnaires"), A IH MATEMATICHESKIE
SVOJSTVA ISSLEDOVANY V KNIGE kLODA pIKARA Th\'eorie des questionnaires
(Paris: Gauthier-Villars, 1965).
%%222
iZ VSEH RASSMOTRENNYH NAMI METODOV SORTIROVKI TRI METODA TREBUYUT MENXSHE
VSEGO SRAVNENIJ: BINARNYE VSTAVKI (SR.~S~P.~5.2.1), VYBOR IZ DEREVA
(SR.~S~P.~5.2.3) I PROSTOE DVUHPUTEVOE SLIYANIE, KAK ONO OPISANO V
ALGORITME~5.2.4L. nETRUDNO VIDETX, CHTO MAKSIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ DLYA
METODA BINARNYH VSTAVOK RAVNO
$$
B(n)=\sum_{1\le k\le n} \ceil{\log_2 k}=n\ceil{\log_2 n}-2^{\ceil{\log_2 n}}+1
\eqno(3)
$$
(SR.~S~UPR.~1.2.4-42), A MAKSIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ DLYA
ALGORITMA~5.2.4L PRIVEDENO V UPR.~5.2.4-14. oKAZYVAETSYA (SM.~P.~5.3.3),
 CHTO DLYA VYBORA IZ DEREVA VERHNYAYA OCENKA CHISLA SRAVNENIJ LIBO TAKAYA ZHE,
KAK DLYA BINARNYH VSTAVOK, LIBO TAKAYA ZHE, KAK DLYA DVUHPUTEVOGO SLIYANIYA, V
ZAVISIMOSTI OT TOGO, KAK STROITSYA DEREVO. vO VSEH TREH SLUCHAYAH IMEEM
ASIMPTOTICHESKOE ZNACHENIE~$n\log_2 n$; OB�EDINYAYA VERHNYUYU I NIZHNYUYU OCENKI
DLYA~$S(n)$, DOKAZHEM, CHTO
$$
\lim_{n\to\infty} {S(n)\over n\log_2 n}=1.
\eqno(4)
$$
tAKIM OBRAZOM, MY POLUCHILI PRIBLIZHENNUYU FORMULU DLYA~$S(n)$, ODNAKO
ZHELATELXNO IMETX BOLEE TOCHNUYU INFORMACIYU. v SLEDUYUSHCHEJ TABLICE PRIVEDENY
ZNACHENIYA UKAZANNYH VYSHE VELICHIN PRI MALYH~$n$:
\ctable{
\hfill$#$\bskip && \hfill$#$\bskip\cr
               n=1 & 2 & 3 & 4 & 5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17\cr
\ceil{\log_2 n!}=0 & 1 & 3 & 5 & 7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 26 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49\cr
            B(n)=0 & 1 & 3 & 6 & 8 & 11 & 14 & 17 & 21 & 25 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49 & 54\cr
            L(n)=0 & 1 & 3 & 5 & 9 & 11 & 14 & 17 & 25 & 27 & 30 & 33 & 38 & 41 & 45 & 49 & 65\cr
}
zDESX~$B(n)$ I~$L(n)$ OTNOSYATSYA SOOTVETSTVENNO K BINARNYM VSTAVKAM I
SLIYANIYU SPISKOV. mOZHNO POKAZATX, CHTO~$B(n)\le L(n)$ PRI LYUBOM~$n$ (SM.~UPR.~2).

kAK VIDNO IZ PRIVEDENNOJ VYSHE TABLICY, $S(4)=5$, NO~$S(5)$ MOZHET RAVNYATXSYA
LIBO~7, LIBO~8. v REZULXTATE SNOVA PRIHODIM K ZADACHE, POSTAVLENNOJ V
NACHALE~\S~5.2. kAKOV NAILUCHSHIJ SPOSOB SORTIROVKI PYATI |LEMENTOV? vOZMOZHNA
LI SORTIROVKA PYATI |LEMENTOV PRI POMOSHCHI VSEGO SEMI SRAVNENIJ?

tAKAYA SORTIROVKA VOZMOZHNA, NO SAM SPOSOB NAJTI NE TAK PROSTO. nACHINAEM TAK
ZHE, KAK PRI SORTIROVKE CHETYREH |LEMENTOV POSREDSTVOM SLIYANIJ, SRAVNIVAYA
SPERVA~$K_1:K_2$, ZATEM~$K_3:K_4$, A ZATEM NAIBOLXSHIE |LEMENTY OBEIH PAR.
eTI SRAVNENIYA POROZHDAYUT KONFIGURACIYU, KOTORUYU MOZHNO IZOBRAZITX DIAGRAMMOJ
\picture{rIS. STR. 222}
%%223
POKAZYVAYUSHCHEJ, CHTO~$a<b<d$ I~$c<d$. (dLYA PREDSTAVLENIYA IZVESTNYH
OTNOSHENIJ PORYADKA MEZHDU |LEMENTAMI UDOBNO VOSPOLXZOVATXSYA NAPRAVLENNYMI
GRAFAMI, TAKIMI, KAK |TOT, GDE NERAVENSTVO~$x<y$ SCHITAETSYA IZVESTNYM
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA NA GRAFE ESTX PUTX OT~$x$ K~$y$.) tEPERX
VSTAVLYAEM PYATYJ |LEMENT~$K_5=e$ V SOOTVETSTVUYUSHCHEE MESTO SREDI~$\set{a, b, d}$;
DLYA |TOGO TREBUYUTSYA VSEGO DVA SRAVNENIYA, POSKOLXKU MOZHNO SRAVNITX
EGO SNACHALA S~$b$, A ZATEM S~$a$ ILI~$d$. tAKIM OBRAZOM, OSTAETSYA ODNA IZ
CHETYREH VOZMOZHNOSTEJ:
\picture{p.223}
I V KAZHDOM SLUCHAE DOSTATOCHNO ESHCHE DVUH SRAVNENIJ, CHTOBY VSTAVITX~$c$ V
CEPOCHKU OSTALXNYH |LEMENTOV, MENXSHIH~$d$. tAKOJ SPOSOB SORTIROVKI PYATI
|LEMENTOV VPERVYE OBNARUZHIL g.~b.~dEMUT [Ph.~D.~thesis, Stanford
University (Oct., 1956). 41--43].

\section sORTIROVKA VSTAVKAMI I SLIYANIEM. iZYASHCHNOE OBOBSHCHENIE IZLOZHENNOGO
VYSHE METODA PRINADLEZHIT lESTERU fORDU~ML.\ I~sELMERU~m.~dZHONSONU.
pOSKOLXKU ONO OB�EDINYAET NEKOTORYE OSOBENNOSTI DVUH SPOSOBOV SORTIROVKI:
POSREDSTVOM SLIYANIJ I POSREDSTVOM VSTAVOK, TO MY NAZOVEM |TOT METOD
\dfn{SORTIROVKOJ VSTAVKAMI I SLIYANIEM.} rASSMOTRIM, NAPRIMER, ZADACHU
SORTIROVKI 21~|LEMENTA. nACHATX MOZHNO SO SRAVNENIJ DESYATI PAR
KLYUCHEJ~$K_1:K_2$, $K_3:K_4$,~\dots, $K_{19}:K_{20}$, ZATEM SLEDUET
OTSORTIROVATX VSTAVKAMI I SLIYANIEM BOLXSHIE |LEMENTY PAR. v REZULXTATE
POLUCHIM KONFIGURACIYU
\picture{223.2}
ANALOGICHNUYU~(5). sLEDUYUSHCHIJ SHAG SOSTOIT V TOM, CHTOBY VSTAVITX
|LEMENT~$b_3$ V POSLEDOVATELXNOSTX~$\set{b_1, a_1, a_2}$, A ZATEM~$b_2$---V
POSLEDOVATELXNOSTX OSTALXNYH |LEMENTOV, MENXSHIH~$a_2$, PRIHODIM K KONFIGURACII
\picture{223.3}
nAZOVEM VERHNIE |LEMENTY \dfn{GLAVNOJ CEPOCHKOJ.} eLEMENT~$b_5$
MOZHNO VSTAVITX V GLAVNUYU CEPOCHKU ZA TRI SRAVNENIYA (SRAVNIV EGO SNACHALA
S~$c_4$, ZATEM S~$c_2$ ILI~$c_6$ I~T.~D.); ZATEM ESHCHE ZA TRI SRAVNENIYA
MOZHNO PEREMESTITX V GLAVNUYU CEPOCHKU~$b_4$, CHTO PRIVODIT
%%224
K KONFIGURACII
\picture{224.1}
sLEDUYUSHCHIJ SHAG RESHAYUSHCHIJ; YASNO LI VAM, CHTO DELATX DALXSHE? pRI POMOSHCHI VSEGO
CHETYREH SRAVNENIJ VSTAVLYAEM~$b_{11}$ (A \emph{NE}~$b_7$) V GLAVNUYU CEPOCHKU.
 pOSLE |TOGO |LEMENTY~$b_{10}$, $b_9$, $b_8$, $b_7$, $b_6$ (IMENNO V TAKOM
PORYADKE) MOZHNO VSTAVITX V NUZHNOE MESTO V GLAVNOJ CEPOCHKE NE BOLEE CHEM ZA
CHETYRE SRAVNENIYA KAZHDYJ.

aKKURATNYJ PODSCHET CHISLA TREBUEMYH SRAVNENIJ POKAZYVAET, CHTO 21~|LEMENT
MOZHNO OTSORTIROVATX NE BOLEE CHEM ZA $10+22+2+2+3+3+4+4+4+4+4+4=66$~SHAGOV.
pOSKOLXKU
$$
2^{65}<21!<2^{66},
$$
YASNO TAKZHE, CHTO I V LYUBOM DRUGOM SLUCHAE NEOBHODIMO NE MENEE 66~SRAVNENIJ;
SLEDOVATELXNO,
$$
S(21)=66.
\eqno(10)
$$
(pRI SORTIROVKE BINARNYMI VSTAVKAMI PONADOBILOSX BY 74~SRAVNENIYA.)

v OBSHCHEM SLUCHAE SORTIROVKA VSTAVKAMI I SLIYANIEM DLYA $n$~|LEMENTOV
VYGLYADIT SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM:
\medskip
\item{i)}~pROIZVESTI SRAVNENIYA $\floor{n/2}$~NEPERESEKAYUSHCHIHSYA
PAR |LEMENTOV. (eSLI $n$~NECHETNO, TO ODIN |LEMENT NE UCHASTVUET V SRAVNENIYAH.)

\item{ii)}~oTSORTIROVATX $\floor{n/2}$~B\'OLXSHIH |LEMENTOV PAR,
NAJDENNYH V SHAGE~(i), VSTAVKAMI I SLIYANIEM.

\item{iii)}~dLYA |LEMENTOV VVEDEM OBOZNACHENIYA $a_1$, $a-2$,~\dots,
$a_{\floor{n/2}}$, $b_1$, $b_2$,~\dots, $b_{\ceil{n/2}}$, KAK V~(7),
GDE~$a_1\le a_2 \le\ldots\le a_{\floor{n/2}}$ I~$b_i\le a_i$
PRI~$1\le i \le \floor{n/2}$; NAZOVEM~$b_1$ I VSE |LEMENTY~$a$ "GLAVNOJ
CEPOCHKOJ". nE TROGAYA |LEMENTOV~$b_j$ PRI~$j>\ceil{n/2}$, VSTAVITX
BINARNYMI VSTAVKAMI V GLAVNUYU CEPOCHKU OSTALXNYE |LEMENTY~$b$ V SLEDUYUSHCHEM
PORYADKE:
$$
b_3, b_2; b_5, b_4; b_{11}, b_{10},~\dots, b_6; b_{t_k}, b_{t_k-1},~\ldots,
b_{t_{k-1}+1};~\ldots\,.
\eqno(11)
$$
nAM HOTELOSX BY OPREDELITX
POSLEDOVATELXNOSTX~$(t_1, t_2, t_3, t_4,~\ldots)=(1, 3, 5, 11,~\ldots)$,
UCHASTVUYUSHCHUYU V~(11), TAKIM OBRAZOM, CHTOBY KAZHDYJ IZ |LEMENTOV~$b_{t_k}$,
$b_{t_k-1}$,~\dots, $b_{t_{k-1}+1}$ MOZHNO BYLO VSTAVITX V GLAVNUYU CEPOCHKU
NE BOLEE, CHEM ZA $k$~SRAVNENIJ. oBOBSHCHAYA~(7), (8) I~(9), POLUCHIM DIAGRAMMU
\picture{224.2}
%%225
GDE GLAVNAYA CEPOCHKA DO~$a_{t_k-1}$~VKLYUCHITELXNO SODERZHIT
$2t_{k-1}+(t_k-t_{k-1}-1)$~|LEMENTOV. eTO CHISLO DOLZHNO BYTX MENXSHE~$2^k$;
DLYA NAS LUCHSHE VSEGO POLOZHITX EGO RAVNYM~$2^k-1$, I TOGDA
$$
t_{k-1}+t_k=2^k.
\eqno(12)
$$
pOSKOLXKU~$t_1=1$, TO DLYA UDOBSTVA MOZHNO POLOZHITX~$t_0=1$; TOGDA, SUMMIRUYA
GEOMETRICHESKUYU PROGRESSIYU, NAJDEM
$$
\eqalignno{
t_k=2^k-t_{k-1}&=2^k-2^{k-1}+t_{k-2}=\ldots\cr
\ldots&= 2^k-2^{k-1}+\cdots+(-1)^k2^0=(2^{k+1}+(-1)^k)/3. & (13)\cr
}
$$
(lYUBOPYTNO, CHTO TOCHNO TAKAYA ZHE POSLEDOVATELXNOSTX VOZNIKLA PRI IZUCHENII
ALGORITMA VYCHISLENIYA NAIBOLXSHEGO OBSHCHEGO DELITELYA DVUH CELYH CHISEL; SR.~S~UPR.~4.5.2-27.)


pUSTX $F(n)$---CHISLO SRAVNENIJ, NEOBHODIMYH DLYA SORTIROVKI P |LEMENTOV
VSTAVKAMI I SLIYANIEM. yaSNO, CHTO
$$
F(n)=\floor{n/2}+F(\floor{n/2})+G(\ceil{n/2}),
\eqno(14)
$$
GDE FUNKCIYA~$G$ OPISYVAET KOLICHESTVO RABOTY, VYPOLNYAEMOJ V SHAGE~(iii).
eSLI~$t_{k-1}\le m \le t_k$, TO, SUMMIRUYA PO CHASTYAM, POLUCHAEM
$$
\eqalignno{
G(m)&=\sum_{1\le j <k} j(t_j-t_{j-1})+k(m-t_{k-1})=\cr
&=km-(t_0+t_1+\cdots+t_{k-1}). & (15)\cr
}
$$
pOLOZHIM
$$
w_k=t_0+t_1+\cdots+t_{k-1}=\floor{2^{k+1}/3},
\eqno(16)
$$
I TOGDA $(w_0, w_1, w_2, w_3, w_4,~\ldots)=(0, 1, 2, 5, 10, 21,~\ldots)$.
v UPR.~13 POKAZANO, CHTO
$$
F(n)-F(n-1)=k \rem{TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA $w-k<n\le w_{k+1}$},
\eqno(17)
$$
A POSLEDNEE USLOVIE |KVIVALENTNO NERAVENSTVAM
$$
\displaylines{
{2^{k+1}\over 3} < n \le {2^{k+2}\over 3},\cr
k+1<\log_2 (3n)\le k+2;\cr
}
$$
SLEDOVATELXNO,
$$
F(n)-F(n-1)=\ceil{\log_2\left({3\over4}n\right)}.
\eqno(18)
$$
(eTOJ FORMULOJ MY OBYAZANY a.~aDXYANU [Ph.~D.~thesis, Univ.~of~Minnesota
(1969), 38--42].) oTSYUDA VYTEKAET, CHTO FUNKCIYA~$F$ VYRAZHAETSYA UDIVITELXNO
PROSTOJ FORMULOJ:
$$
F(n)=\sum_{1\le k\le n} \ceil{\log_2\left({3\over4}k\right)},
\eqno(19)
$$
%%226
KOTORAYA OCHENX POHOZHA NA SOOTVETSTVUYUSHCHUYU FORMULU~(3) DLYA BINARNYH VSTAVOK.
v "ZAMKNUTOM VIDE" |TU SUMMU MOZHNO NAJTI V UPR.~14.

vOSPOLXZOVAVSHISX~(19), NETRUDNO POSTROITX TABLICU ZNACHENIJ
FUNKCII~$F(n)$; IMEEM
\ctable{
\hfill$#$&$\hbox{}#$\hfill\bskip && \hfill$#$\bskip\cr
               n&=1 &  2 &  3 &  4 &  5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17\cr
 \ceil{\log_2n!}&=0 &  1 &  3 &  5 &  7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 26 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49\cr
            F(n)&=0 &  1 &  3 &  5 &  7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 26 & 30 & 34 & 38 & 42 & 46 & 50\cr
\noalign{\smallskip}
              n&=18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33\cr
\ceil{\log_2n!}&=53 & 57 & 62 & 66 & 70 & 75 & 80 & 84 & 89 & 94 & 98 &103 &108 &113 &118 &123\cr
           F(n)&=54 & 58 & 62 & 66 & 71 & 76 & 81 & 86 & 91 & 96 &101 &106 &111 &116 &121 &126\cr
}
zAMETIM, CHTO PRI~$1\le n\le 11$ I~PRI~$20 \le n \le 21$ $F(n)=\ceil{\log_2n!}$;
TAKIM OBRAZOM, PRI |TIH ZNACHENIYAH SORTIROVKA VSTAVKAMI I SLIYANIEM OPTIMALXNA:
$$
S(n)=\ceil{\log_2 n!}=F(n) \rem{PRI $1\le n \le 11$ I~$20\le n \le 21$}.
\eqno (20)
$$

zADACHU NAHOZHDENIYA FUNKCII~$S(n)$ POSTAVIL gUGO shTEJNGAUZ VO VTOROM IZDANII
SVOEJ KLASSICHESKOJ KNIGI Mathematical Snapshots   (Oxford   University
Press,   1950),   38--39\note{1}%
{eSTX PEREVOD PERVOGO IZDANIYA |TOJ KNIGI: mATEMATICHESKIJ KALEJDOSKOP, m.,
gOSTEHIZDAT, 1949.---{\sl pRIM. PEREV.\/}
}). oN OPISAL BINARNYE VSTAVKI, KOTORYE YAVLYAYUTSYA NAILUCHSHIM SPOSOBOM
SORTIROVKI $n$~|LEMENTOV PRI USLOVII, CHTO $n\hbox{-J}$~|LEMENT NE
RASSMATRIVAETSYA DO TEH POR, POKA NE OTSORTIROVANY PERVYE $n-1$~|LEMENTOV;
I ON SDELAL PREDPOLOZHENIE O TOM, CHTO METOD BINARNYH VSTAVOK OPTIMALEN I V
OBSHCHEM SLUCHAE. nESKOLXKO LET SPUSTYA [{\sl Calcutta Math.~Soc.\ Golden
Jubilee Commemoration,\/} 2 (1959), 323--327] ON SOOBSHCHIL, CHTO DVOE EGO
KOLLEG, s.~tRIBULA I s.~pIN, "NEDAVNO" OPROVERGLI EGO PREDPOLOZHENIE I
NASHLI ZNACHENIYA~$S(n)$ PRI~$n\le11$. vEROYATNO, tRIBULA I pIN NEZAVISIMO
PRISHLI K SORTIROVKE VSTAVKAMI I SLIYANIEM, PO KOTOROJ VSKORE POYAVILASX
PUBLIKACIYA l.~r.~fORDA I~s.~m.~dZHONSONA [{\sl AMM,\/} {\bf 66} (1950), 387--389].

pOSLE IZOBRETENIYA SORTIROVKI VSTAVKAMI I SLIYANIEM PERVYM NEIZVESTNYM
ZNACHENIEM FUNKCII~$S(n)$ STALO~$S(12)$. iZ TABL.~1 VIDNO, CHTO CHISLO~$12!$
DOVOLXNO BLIZKO K~$2^29$, PO|TOMU SUSHCHESTVOVANIE 29-SHAGOVOJ PROCEDURY
SORTIROVKI 12~|LEMENTOV VESXMA MALOVEROYATNO. dLYA RESHENIYA |TOGO VOPROSA
mARKOM u|LSOM BYL PREDPRINYAT ISCHERPYVAYUSHCHIJ POISK (ZANYAVSHIJ NA
VYCHISLITELXNOJ MASHINE mANIAK~II OKOLO~60~CH.), KOTORYJ POKAZAL,
CHTO~$S(12)=30$
[Proc. IFIP Congress 65, 2 (1965), 497--498]. iTAK, PROCEDURA VSTAVOK I
SLIYANIJ OKAZYVAETSYA OPTIMALXNOJ I PRI~$n=12$.

%%227

\htable{tABLICA 1}%
{zNACHENIYA FAKTORIALOV V DVOICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA}%
{\hfill$#$&$\hbox{}=#$\cr
1 & 1!\cr
10 &2!\cr
110 & 3!\cr
11000 & 4!\cr
1111000 & 5!\cr
1011010000 & 6!\cr
1001110110000 & 7!\cr
1001110110000000 & 8!\cr
1011000100110000000 & 9!\cr
1101110101111100000000 & 10!\cr
10011000010001010100000000 & 11!\cr
11100100011001111110000000000 & 12!\cr
101110011001010001100110000000000 & 13!\cr
1010001001101111110110010100000000000 & 14!\cr
10011000001110111011101110101100000000000 & 15!\cr
100110000011101110111011101011000000000000000 & 16!\cr
}

\section *bOLEE PODROBNYJ ANALIZ. chTOBY BOLEE TSHCHATELXNO
ISSLEDOVATX FUNKCIYU~$S(n)$, VNIMATELXNO IZUCHIM DIAGRAMMY
CHASTICHNOGO UPORYADOCHENIYA, TAKIE, KAK~(5). pOLUCHENNYE POSLE
NESKOLXKIH SRAVNENIJ SVEDENIYA MOZHNO PREDSTAVITX V VIDE NAPRAVLENNOGO GRAFA.
 eTOT NAPRAVLENNYJ GRAF V SILU TRANZITIVNOSTI OTNOSHENIYA~$<$ NE SODERZHIT
CIKLOV; SLEDOVATELXNO, EGO VSEGDA MOZHNO IZOBRAZITX TAKIM OBRAZOM, CHTOBY
VSE DUGI SHLI SLEVA NAPRAVO;
PO|TOMU UDOBNEE UDALITX IZ DIAGRAMMY STRELKI. v REZULXTATE DIAGRAMMA~(5)
PREOBRAZUETSYA V
\picture{p.227}
pUSTX $G$---TAKOJ NAPRAVLENNYJ GRAF; OBOZNACHIM CHEREZ $T(G)$~CHISLO
PERESTANOVOK, SOGLASUYUSHCHIHSYA S~$G$, T.~E.~CHISLO SPOSOBOV POMETITX VERSHINY
GRAFA~$G$ CELYMI CHISLAMI~$\set{1, 2,~\ldots, n}$ TAK, CHTOBY CHISLO V
VERSHINE~$x$ BYLO MENXSHE CHISLA V VERSHINE~$y$, ESLI DUGA~$x\to y$
PRINADLEZHIT~$G$. pRIMER PERESTANOVKI, SOGLASUYUSHCHEJSYA S~(21): $a=1$, $b=4$,
 $c=2$, $d=5$, $e=3$. mY IZUCHILI FUNKCIYU~$T(G)$ DLYA RAZLICHNYH~$G$ V
P.~5.1.4, GDE BYLO ZAMECHENO, CHTO $T(G)$~ESTX CHISLO SPOSOBOV "TOPOLOGICHESKI
OTSORTIROVATX" GRAF~$G$.

pUSTX $G$---GRAF IZ $n$~|LEMENTOV, KOTORYJ MOZHNO POLUCHITX POSLE
$k$~SRAVNENIJ; OPREDELIM \emph{|FFEKTIVNOSTX} GRAFA~$G$ FUNKCIEJ
$$
E(G)={n!\over 2^k T(G)}.
\eqno(22)
$$
%%228
(eTA IDEYA PRINADLEZHIT fRANKU hUANU I~shENX lINYU.) sTROGO GOVORYA,
|FFEKTIVNOSTX NE ESTX FUNKCIYA LISHX SAMOGO GRAFA~$G$---ONA ZAVISIT OT TOGO
PUTI, KOTORYM MY PRISHLI K~$G$ V PROCESSE SORTIROVKI, ODNAKO NAM UDOBNO
DOPUSTITX |TU MALENXKUYU NETOCHNOSTX. vYPOLNIV ESHCHE ODNO SRAVNENIE NAD
|LEMENTAMI~$i$ I~$j$, POLUCHIM DVA GRAFA~$G_1$, I~$G_2$: ODIN---DLYA
SLUCHAYA~$K_i<K_j$ I DRUGOJ---DLYA SLUCHAYA~$K_i>K_j$. yaSNO, CHTO
$$
T(G)=T(G_1)+T(G_2).
$$
eSLI~$T(G_1)\ge T(G_2)$, TO IMEEM
$$
\eqalignno{
T(G)&\le 2T(G_1),\cr
E(G_1)={n!\over 2^{k+1}T(G_1)} &={E(G)T(G)\over 2T(G_1)}\le E(G).&(23)\cr
}
$$
sLEDOVATELXNO, KAZHDOE SRAVNENIE PRIVODIT K GRAFU MENXSHEJ ILI RAVNOJ
|FFEKTIVNOSTI; NELXZYA UVELICHITX |FFEKTIVNOSTX ZA SCHET DOPOLNITELXNYH SRAVNENIJ.

zAMETIM, CHTO ESLI~$G$ SOVSEM NE SODERZHIT DUG, TO~$k=0$ I~$T(G)=n!$,
T.~E.~NACHALXNAYA |FFEKTIVNOSTX RAVNA~1. eSLI ZHE GRAF~$G$ PREDSTAVLYAET
OKONCHATELXNYJ REZULXTAT SORTIROVKI, TO $G$~VYGLYADIT KAK OTREZOK PRYAMOJ,
I~$T(G)=1$. tAK, NAPRIMER, ESLI NAM NUZHNO POSTROITX PROCEDURU SORTIROVKI,
KOTORAYA BY SORTIROVALA PYATX |LEMENTOV ZA SEMX ILI MENEE SRAVNENIJ,
TO NEOBHODIMO POLUCHITX LINEJNYJ GRAF
\picture{228.1}
|FFEKTIVNOSTX KOTOROGO RAVNA~$5!/(2^7\times1)=120/128=15/16$. oTSYUDA
SLEDUET, CHTO VSE GRAFY, VOZNIKAYUSHCHIE V PROCESSE SORTIROVKI, DOLZHNY IMETX
|FFEKTIVNOSTX~$\ge{15\over16}$; ESLI BY POYAVILSYA
KAKOJ-NIBUDX GRAF MENXSHEJ |FFEKTIVNOSTI, TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ EGO
POTOMKOV TOZHE IMEL BY MENXSHUYU |FFEKTIVNOSTX, I MY BY V KONCE KONCOV PRISHLI
K LINEJNOMU GRAFU S |FFEKTIVNOSTXYU~$<{15\over16}$. v OBSHCHEM SLUCHAE |TO
RASSUZHDENIE POKAZYVAET, CHTO
VSE GRAFY, SOOTVETSTVUYUSHCHIE UZLAM DEREVA DLYA NEKOTOROJ PROCEDURY
SORTIROVKI $n$~|LEMENTOV, DOLZHNY IMETX |FFEKTIVNOSTX~$\ge n!/2^l$, GDE
$l+1$---CHISLO UROVNEJ V DEREVE. eTO ESHCHE ODIN SPOSOB DOKAZATELXSTVA
NERAVENSTVA~$S(n)\ge \ceil{\log_2 n!}$, HOTYA TAKOE RASSUZHDENIE NA SAMOM
DELE NE SILXNO OTLICHAETSYA OT PRIVEDENNOGO VYSHE.

gRAF~(21) IMEET |FFEKTIVNOSTX~1, POSKOLXKU~$T(G)=15$ I GRAF~$G$ BYL
POLUCHEN ZA TRI SRAVNENIYA. chTOBY VYYASNITX, KAKIE VERSHINY DOLZHNY UCHASTVOVATX
V SLEDUYUSHCHEM SRAVNENII, MOZHNO
%%229
POSTROITX \dfn{MATRICU SRAVNENIJ}
$$
C(G)=\bordermatrix{
  & a & b & c & d & e \cr
a&0& 15 & 10 & 15 & 11 \cr
b & 0 & 0 & 5 & 15 & 7 \cr
c & 5 & 10 & 0 & 15 & 9 \cr
d & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \cr
e & 4 & 8 & 6 & 12 & 0 \cr
},
\eqno(24)
$$
GDE~$C_{ij}$ ESTX~$T(G_1)$ DLYA GRAFA~$G_1$, POLUCHENNOGO IZ~$G$ PUTEM
DOBAVLENIYA DUGI~$i\to j$. eSLI MY, NAPRIMER, SRAVNIM~$K_c$ S~$K_e$, TO
15~PERESTANOVOK, SOGLASUYUSHCHIHSYA S~$G$, RASPADUTSYA NA DVE GRUPPY: $C_{ec}=6$,
 V KOTORYH $K_e<K_c$, I~$C_{ce}=9$, V KOTORYH~$K_c<K_e$. pOSLEDNIJ GRAF
IMEL BY
|FFEKTIVNOSTX~$15/(2 \times 9)={5\over6}<{15\over16}$, TAK CHTO |TO
SRAVNENIE NE MOZHET PRIVESTI K SEMISHAGOVOJ PROCEDURE SORTIROVKI.
sLEDUYUSHCHIM SRAVNENIEM, DLYA TOGO CHTOBY SOHRANITX
|FFEKTIVNOSTX~$\ge{15\over16}$, \emph{OBYAZANO} BYTX~$K_b:K_e$.

pONYATIE "|FFEKTIVNOSTX" OSOBENNO POLEZNO PRI RASSMOTRENII "SVYAZNYH
KOMPONENT" GRAFOV. vOZXMEM, NAPRIMER, GRAF
\picture{p.229.1}
ON SOSTOIT IZ DVUH KOMPONENT
\picture{p.229.2}
GDE NI ODNA DUGA NE SOEDINYAET~$G'$ I~$G''$; SLEDOVATELXNO, ON
BYL OBRAZOVAN PUTEM NESKOLXKIH SRAVNENIJ VERSHIN TOLXKO~$G'$ I NEZAVISIMO
NESKOLXKIH SRAVNENIJ VERSHIN TOLXKO~$G''$. v OBSHCHEM SLUCHAE PREDPOLOZHIM, CHTO
GRAF~$G=G'+G''$ NE SODERZHIT DUG, SVYAZYVAYUSHCHIH~$G'$ I~$G''$, GDE~$G'$
I~$G''$ IMEYUT SOOTVETSTVENNO~$n'$ I~$n''$ VERSHIN; LEGKO VIDETX, CHTO
$$
T(G)=\perm{n'+n''}{n'}T(G')T(G''),
\eqno(25)
$$
POSKOLXKU KAZHDAYA PERESTANOVKA, SOGLASUYUSHCHAYASYA S~$G$, POLUCHAETSYA PUTEM
VYBORA $n'$~|LEMENTOV, KOTORYE SCHITAYUTSYA PRINADLEZHASHCHIMI GRAFU~$G'$, I
POSLEDUYUSHCHEGO SOSTAVLENIYA PERESTANOVKI, SOGLASUYUSHCHEJSYA S~$G'$, I NEZAVISIMO,
PERESTANOVKI, SOGLASUYUSHCHEJSYA S~$G''$. pUSTX VNUTRI~$G'$ VYPOLNENO~$k'$
SRAVNENIJ, A VNUTRI $G''$---%
%%230
SOOTVETSTVENNO $k''$~SRAVNENIJ; POLUCHAEM OSNOVNOJ REZULXTAT
$$
E(G)={(n'+n'')!\over 2^{k'+k''}T(G)}
={n'!\over 2^{k'}T(G')}\cdot{n''!\over 2^{k''}T(G'')}=E(G')E(G''),
\eqno(26)
$$
POKAZYVAYUSHCHIJ, CHTO MEZHDU |FFEKTIVNOSTXYU GRAFA I |FFEKTIVNOSTYAMI EGO
KOMPONENT SUSHCHESTVUET PROSTAYA SVYAZX. pO|TOMU MY MOZHEM OGRANICHITX NASHE
RASSMOTRENIE GRAFAMI, IMEYUSHCHIMI TOLXKO ODNU KOMPONENTU.

tEPERX PREDPOLOZHIM, CHTO~$G'$ I~$G''$---ODNOKOMPONENTNYE GRAFY, I MY HOTIM
SVYAZATX IH VMESTE, SRAVNIV VERSHINU~$x$ GRAFA~$G'$ S VERSHINOJ~$y$
GRAFA~$G''$. nUZHNO VYYASNITX, NASKOLXKO |FFEKTIVNYM POLUCHITSYA GRAF. dLYA
|TOJ CELI NAM NEOBHODIMA FUNKCIYA, KOTORUYU MOZHNO OBOZNACHITX CHEREZ
$$
\left({p\atop m}<{q\atop n}\right),
\eqno(27)
$$
RAVNAYA PO OPREDELENIYU CHISLU PERESTANOVOK, SOGLASUYUSHCHIHSYA S GRAFOM
\picture{p.230}
tAKIM OBRAZOM, $\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)$ ESTX
PROIZVEDENIE~$\perm{m+n}{m}$ NA VEROYATNOSTX TOGO, CHTO
$p\hbox{-J}$~NAIMENXSHIJ |LEMENT IZ MNOZHESTVA $m$~CHISEL MENXSHE
$q\hbox{-GO}$~NAIMENXSHEGO |LEMENTA IZ NEZAVISIMO VYBRANNOGO
MNOZHESTVA $n$~CHISEL. v UPR.~17 POKAZANO, CHTO
FUNKCIYU~$\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)$ MOZHNO VYRAZITX CHEREZ
BINOMIALXNYE KO|FFICIENTY DVUMYA SPOSOBAMI:
$$
\eqalignno{
\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)&=\sum_{0\le k <q}
\perm{m-p+n-k}{m-p}\perm{p-1+1}{p-1}=\cr
&=\sum_{p\le j \le m}\perm{n-q+m-j}{n-q}\perm{q-1+j}{q-1}.&(29)\cr
}
$$
(mEZHDU PROCHIM, ALGEBRAICHESKI NIKOIM OBRAZOM NE OCHEVIDNO, CHTO |TI DVE SUMMY
PROIZVEDENIJ BINOMIALXNYH KO|FFICIENTOV DOLZHNY BYTX RAVNY.) iMEEM TAKZHE FORMULY
$$
\eqalignno{
\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)+\left({q\atop n}<{p\atop m}\right) &=\perm{m+n}{m}, &(30)\cr
\left({q\atop n}<{p\atop m}\right)&=\left({m+1-p\atop m}<{n+1-q\atop n}\right). &(31)\cr
}
$$

%%231
dLYA YASNOSTI RASSMOTRIM DVA GRAFA
\picture{p.231}
nETRUDNO POKAZATX PROSTYM PERECHISLENIEM, CHTO~$T(G')=42$ I~$T(G'')=5$; TAK
CHTO ESLI~$G$---GRAF S~11~VERSHINAMI, SODERZHASHCHIJ~$G'$ I~$G''$ V KACHESTVE SVOIH
KOMPONENT, TO PO FORMULE~(25)
$T(G)=\perm{11}{4}\cdot 42 \cdot 5=69~300$. eTO CHISLO PERESTANOVOK
SLISHKOM VNUSHITELXNO, CHTOBY IH MOZHNO BYLO VYPISATX I, TAKIM OBRAZOM,
 VYYASNITX, V SKOLXKIH IZ NIH $x_i < y_j$ DLYA VSEH~$i$ I~$j$. oDNAKO |TO
VYCHISLENIE MENEE CHEM ZA CHAS MOZHNO PRODELATX VRUCHNUYU SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM.
pOSTROIM MATRICY~$A(G')$ I~$A(G'')$, GDE~$A_{ik}$---CHISLO PERESTANOVOK,
SOGLASUYUSHCHIHSYA S~$G'$ (ILI~$G''$), V KOTORYH~$x_i$ (ILI~$y_i$) RAVNO~$k$.
tOGDA CHISLO PERESTANOVOK, SOGLASUYUSHCHIHSYA S~$G$, V KOTORYH~$x_i$
MENXSHE~$y_j$, ESTX SUMMA PO VSEM~$p$ I~$q$, $1\le p \le 7$, $1\le q \le 4$,
 PROIZVEDENIJ $(ip)\hbox{-GO}$~|LEMENTA MATRICY~$A(G')$ NA~$\left({p\atop
7}<{q\atop 4}\right)$ I NA $(jq)\hbox{-J}$~|LEMENT MATRICY~$A(G'')$. iNACHE
GOVORYA, NUZHNO VYCHISLITX PROIZVEDENIE MATRIC~$A(G')\cdot L \cdot A(G'')^T$,
 GDE~$L_{pq}=\left({p\atop 7}<{q\atop 4}\right)$. oNO RAVNO
{\def\pmatrix#1{\left(\vcenter{
\halign{
\hfill$\scriptstyle ##$&&\hfill$\quad\scriptstyle ##$\cr
#1
}}
\right)}
$$
\pmatrix{
21 & 16 &  5 &  0 &  0 &  0 &  0 \cr
 0 &  5 & 10 & 12 & 10 &  5 &  0 \cr
21 & 16 &  5 &  0 &  0 &  0 &  0 \cr
0  &  0 & 12 & 18 & 12 &  0 &  0 \cr
0  &  0 &  0 &  0 &  5 & 16 & 21 \cr
0  &  5 & 10 & 12 & 10 &  5 &  0 \cr
0  &  0 &  0 &  0 &  5 & 16 & 21 \cr
}
\pmatrix{
210 & 294 & 322 & 329 \cr
126 & 238 & 301 & 325 \cr
 70 & 175 & 265 & 315 \cr
 35 & 115 & 215 & 295 \cr
 15 &  65 & 155 & 260 \cr
  5 &  29 &  92 & 204 \cr
  1 &   8 &  36 & 120 \cr
}
\pmatrix{
2 & 3 & 0 & 0 \cr
2 & 2 & 0 & 1 \cr
1 & 0 & 2 & 2 \cr
0 & 0 & 3 & 2 \cr
}
=\pmatrix{
48169 & 42042 & 66858 & 64031 \cr
22825 & 16005 & 53295 & 46475 \cr
48169 & 42042 & 66858 & 64031 \cr
22110 & 14850 & 54450 & 47190 \cr
 5269 & 2442 & 27258 & 21131 \cr
22825 & 16005 & 53295 & 46475 \cr
 5269 & 2442 & 27258 & 21131 \cr
}.
$$
}
tAKIM OBRAZOM, "NAILUCHSHIJ" SPOSOB SOEDINITX~$G'$
S~$G''$---|TO SRAVNITX~$x_1$ S~$y_2$; V 42~042~SLUCHAYAH POLUCHIM~$x_1<y_2$ I
V~$69~300-42~042=27~258$~SLUCHAYAH---$x_1>y_2$. (v SILU SIMMETRII, PO
SUSHCHESTVU, K TEM ZHE REZULXTATAM PRIVELI BY SRAVNENIYA~$x_3$ S~$y_2$, $x_5$
S~$y_3$ ILI~$x_7$ S~$y_3$.) eFFEKTIVNOSTX POLUCHENNOGO GRAFA DLYA~$x_1<y_2$ RAVNA
$$
{69~300\over 84~084}E(G')E(G''),
$$
T.~E.~NE OSOBENNO VYSOKA; SLEDOVATELXNO, PO-VIDIMOMU, VOOBSHCHE NE STOIT NI V
ODNOM METODE SORTIROVKI PRIMENYATX SOEDINENIE~$G'$ S~$G''$! sMYSL |TOGO
PRIMERA V TOM, CHTO MY SMOGLI PRINYATX TAKOE RESHENIE, NE PROIZVODYA NEPOMERNO
BOLXSHIH VYCHISLENIJ.
%%232
eTIMI IDEYAMI MOZHNO VOSPOLXZOVATXSYA TAKZHE DLYA NEZAVISIMOGO PODTVERZHDENIYA
PRINADLEZHASHCHEGO mARKU u|LSU DOKAZATELXSTVA TOGO, CHTO~$S(12)=30$. nACHAV S
GRAFA, SODERZHASHCHEGO ODNU VERSHINU, MY MOZHEM POVTORYATX POPYTKI DOBAVLENIYA
SRAVNENIJ K ODNOMU IZ NASHIH GRAFOV~$G$ ILI K PARE KOMPONENT
GRAFA~$G'$ I~$G''$ S TAKIM RASCHETOM, CHTOBY OBA POLUCHENNYH GRAFA SODERZHALI~12
\picture{rIS.~36.                nEKOTORYE GRAFY I IH |FFEKTIVNOSTI,
POLUCHENNYE V NACHALE DLINNOGO DOKAZATELXSTVA NERAVENSTVA~$S(12)>29$.
}
ILI MENEE VERSHIN I OBLADALI |FFEKTIVNOSTXYU $\ge 12!/2^{29}\approx0.89221$.
vSYAKIJ RAZ, KAK |TO OKAZYVAETSYA VOZMOZHNYM, MY VYBIRAEM GRAF S MENXSHEJ
|FFEKTIVNOSTXYU I DOBAVLYAEM EGO K NASHEMU MNOZHESTVU, ESLI TOLXKO ON NE
YAVLYAETSYA IZOMORFNYM ODNOMU IZ UZHE VKLYUCHENNYH V MNOZHESTVO GRAFOV (ILI
DVOJSTVENNYM K NEMU, T.~E.~POLUCHAETSYA OBRASHCHENIEM OTNOSHENIYA PORYADKA).
eSLI OBA POLUCHENNYH GRAFA IMEYUT ODINAKOVUYU |FFEKTIVNOSTX, TO
PROIZVOLXNYM OBRAZOM VYBIRAETSYA ODIN IZ NIH. pERVYE 24~GRAFA, POLUCHENNYE
TAKIM SPOSOBOM, IZOBRAZHENY NA RIS.~36, GDE PRIVEDENY TAKZHE IH |FFEKTIVNOSTI.

pRI POMOSHCHI VYCHISLITELXNOJ MASHINY BYLO POSTROENO ROVNO 1594~GRAFA, PREZHDE
CHEM |TOT PROCESS ZAVERSHILSYA. pOSKOLXKU GRAF
%%233
NE BYL POLUCHEN, MOZHNO SDELATX VYVOD O TOM, CHTO~$S(12)>29$. vESXMA
PRAVDOPODOBNO, CHTO I DLYA DOKAZATELXSTVA NERAVENSTVA~$S(22)>70$ MOZHNO
PROIZVESTI ANALOGICHNYJ |KSPERIMENT ZA VPOLNE RAZUMNOE VREMYA, POSKOLXKU
$22!/2^{70}\approx 0.952$---|TO CHREZVYCHAJNO VYSOKAYA |FFEKTIVNOSTX DLYA
SORTIROVKI ZA 70~SHAGOV. (iZ 1594~NAJDENNYH GRAFOV S~12 ILI MENEE VERSHINAMI
VSEGO 92~IMEYUT STOLX VYSOKUYU |FFEKTIVNOSTX.)

pROMEZHUTOCHNYE REZULXTATY DAYUT VESKIE OSNOVANIYA PREDPOLOZHITX,
CHTO~$S(13)=33$, I, SLEDOVATELXNO, SORTIROVKA VSTAVKAMI I SLIYANIEM NE
OPTIMALXNA PRI~$n=13$. nO DO SIH POR NIKOMU NE UDALOSX OBNARUZHITX \emph{NI
ODNOGO} TAKOGO ZNACHENIYA~$n$, CHTO~$S(n)<F(n)$.

nAVERNYAKA MOZHNO DOKAZATX, CHTO~$S(16)<F(16)$, POSKOLXKU~$F(16)$---|TO KAK RAZ
TAKOE CHISLO SRAVNENIJ, KAKOE TREBUETSYA, CHTOBY SNACHALA OTSORTIROVATX
10~|LEMENTOV ZA $S(10)$~SHAGOV, A ZATEM POSREDSTVOM BINARNYH VSTAVOK
VSTAVITX PO ODNOMU OSTALXNYE SHESTX |LEMENTOV. nEPREMENNO DOLZHEN
SUSHCHESTVOVATX BOLEE HOROSHIJ SPOSOB!

\section sREDNEE CHISLO SRAVNENIJ. dO SIH POR MY RASSMATRIVALI PROCEDURY,
NAILUCHSHIE V TOM SMYSLE, CHTO ONI NE PLOHI V NAIHUDSHEM SLUCHAE; MY ISKALI
"MINIMAKSNYE" PROCEDURY, MINIMIZIRUYUSHCHIE \emph{MAKSIMALXNOE} CHISLO
SRAVNENIJ. pOISHCHEM TEPERX "MINISREDNIE" PROCEDURY, MINIMIZIRUYUSHCHIE
\emph{SREDNEE} CHISLO SRAVNENIJ V PREDPOLOZHENII, CHTO VHODNYE DANNYE
SLUCHAJNY, T.~E.~VSE PERESTANOVKI RAVNOVEROYATNY.

rASSMOTRIM ESHCHE RAZ IZOBRAZHENNOE NA RIS.~34 PREDSTAVLENIE PROCEDURY
SORTIROVKI V VIDE DEREVA. sREDNEE CHISLO SRAVNENII PO VSEM PERESTANOVKAM
DLYA |TOGO DEREVA RAVNO
$$
{2+3+3+3+3+2\over 6}=2{2\over3}.
$$
v OBSHCHEM SLUCHAE SREDNEE CHISLO SRAVNENIJ DLYA METODA SORTIROVKI ESTX
\emph{DLINA VNESHNEGO PUTI DEREVA,} DELENNAYA NA~$n$. (nAPOMNIM, CHTO DLINA
VNESHNEGO PUTI---|TO SUMMA VSEH RASSTOYANIJ OT KORNYA DO KAZHDOGO IZ VNESHNIH
UZLOV; SM.~P.~2.3.4.5.) iZ OBSUZHDENIYA V P.~2.3.4.5 LEGKO VIDETX, CHTO
MINIMUM DLINY VNESHNEGO PUTI DOSTIGAETSYA NA TAKOM BINARNOM DEREVE S
$N$~VNESHNIMI UZLAMI, U KOTOROGO IMEETSYA $2^q-N$~VNESHNIH UZLOV NA
UROVNE~$q-1$ I~$2N-2^q$ NA UROVNE~$q$, GDE~$q=\ceil{\log_2 N}$. (kORENX
NAHODITSYA NA NULEVOM UROVNE.) tAKIM OBRAZOM, MINIMALXNAYA DLINA
VNESHNEGO PUTI RAVNA
$$
(q-1)(2^q-N)+q(2N-2^q)=(q+1)N-2^q.
\eqno(33)
$$

iMEETSYA ESHCHE ODIN INTERESNYJ SPOSOB OHARAKTERIZOVATX MINIMALXNUYU DLINU
PUTI: \dfn{RASSHIRENNOE BINARNOE DEREVO IMEET MINIMALXNUYU
%%234
DLINU VNESHNEGO PUTI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SUSHCHESTVUET TAKOE
CHISLO~$l$, CHTO VSE VNESHNIE UZLY NAHODYATSYA NA UROVNYAH~$l$ I~$l+1$.}
(sM.~UPR.~20.)

eSLI POLOZHITX~$q=\log_2 N+\theta$, GDE~$0\le \theta < 1$, TO
FORMULA MINIMALXNOJ DLINY VNESHNEGO PUTI PRIMET VID
$$
N(\log_2 N+1+\theta-2^\theta).
\eqno(34)
$$
gRAFIK FUNKCII~$1+\theta-2^\theta$ IZOBRAZHEN NA RIS.~37;
PRI~$0<\theta<1$ ONA PRINIMAET POLOZHITELXNYE, NO OCHENX MALYE ZNACHENIYA, NE
PREVYSHAYUSHCHIE
$$
1-(1+\ln\ln 2)/(\ln 2)=0.08607~13320~55934+.
\eqno(35)
$$
\picture{rIS.~37.  fUNKCIYA $1+\theta-2^\theta$.}
tAKIM OBRAZOM, MINIMALXNAYA VOZMOZHNAYA SREDNYAYA DLINA PUTI, KOTORAYA
POLUCHAETSYA V REZULXTATE DELENIYA~(34) NA~$N$, NE MOZHET BYTX MENXSHE~$\log_2 N$
I BOLXSHE~$\log_2 N+0.0861$. (eTOT REZULXTAT VPERVYE POLUCHIL e.~gLISON V
NEOPUBLIKOVANNOJ ZAMETKE (1956).)

eSLI TEPERX POLOZHIM~$N=n!$, TO POLUCHIM NIZHNYUYU OCENKU SREDNEGO CHISLA
SRAVNENIJ PO VSEM SHEMAM SORTIROVKI. zAMETIM, CHTO OCENKA RAVNA~$\log_2
n!+O(1)=n\log_2 n-n/(\ln 2)+O(\log n)$.

pUSTX~$\bar F(n)$---SREDNEE CHISLO SRAVNENIJ, VYPOLNYAEMYH ALGORITMOM
SORTIROVKI VSTAVKAMI I SLIYANIEM; IMEEM
$$
\matrix{
\hfill n=1 & 2 & 3  &  4 & 5 & 6 & 7 & 8 \cr
{\hbox{\sl nIZHNYAYA OCENKA\/}}(33)=0 & 2 & 16 & 112 & 832 & 6896 & 62368 & 619904\cr
            \hfill n! \bar F(n) = 0& 2 & 16 & 112 & 832 & 6912 & 62784 & 623232\cr
}
$$
iTAK, SORTIROVKA VSTAVKAMI I SLIYANIEM OPTIMALXNA V OBOIH SMYSLAH PRI~$n
\ge 5$, ODNAKO PRI~$n=6$ PRI TAKOM METODE VYPOLNYAETSYA V
SREDNEM~$6912/720=9.6$~SRAVNENIYA VMESTO VOZMOZHNYH, SOGLASNO NIZHNEJ OCENKE,
$6896/720=9.577777\ldots$~SRAVNENIYA. nEMNOGO PODUMAV, NETRUDNO PONYATX,
POCHEMU |TO TAK: NEKOTORYE "UDACHNYE" PERESTANOVKI SHESTI |LEMENTOV
SORTIRUYUTSYA METODOM VSTAVOK I SLIYANIJ VSEGO ZA VOSEMX SRAVNENIJ, I TOGDA
DEREVO SRAVNENIJ IMEET VNESHNIE UZLY NA TREH, A NE NA DVUH UROVNYAH. iZ-ZA
|TOGO UVELICHIVAETSYA SUMMARNAYA DLINA PUTI. v UPR.~24 POKAZANO, CHTO MOZHNO
POSTROITX PROCEDURU SORTIROVKI SHESTI |LEMENTOV, TREBUYUSHCHUYU VSEGDA DEVYATX
ILI DESYATX SRAVNENIJ; SLEDOVATELXNO,
%%235
|TOT METOD PREVOSHODIT METOD VSTAVOK I SLIYANIJ V SREDNEM I NE
HUZHE NEGO V HUDSHEM SLUCHAE.

i.~sEZARI [thesis (Paris, 1968), R.~37] DOKAZAL, CHTO PRI~$n=7$ NE
SUSHCHESTVUET METODA SORTIROVKI, PRI KOTOROM BY DOSTIGALASX NIZHNYAYA
OCENKA~62368 DLINY VNESHNEGO PUTI. (iSPOLXZUYA REZULXTAT UPR.~22, |TOT
FAKT MOZHNO DOKAZATX VRUCHNUYU.) s DRUGOJ STORONY, ON POSTROIL PROCEDURY,
DLYA KOTORYH DOSTIGAETSYA NIZHNYAYA OCENKA~(33) PRI~$n=9$ ILI~10. vOOBSHCHE ZHE
ZADACHA MINIMIZACII SREDNEGO CHISLA SRAVNENIJ GORAZDO SLOZHNEE NAHOZHDENIYA
FUNKCII~$S(n)$. vPOLNE DAZHE VOZMOZHNO, CHTO PRI NEKOTORYH~$n$ VSE METODY,
MINIMIZIRUYUSHCHIE \emph{SREDNEE} CHISLO SRAVNENIJ, V HUDSHEM SLUCHAE TREBUYUT
\emph{BOLEE}~$S(n)$ SRAVNENIJ.

\excercises
\ex[20] nARISUJTE DEREVXYA SRAVNENIJ DLYA SORTIROVKI CHETYREH
|LEMENTOV METODAMI (a)~BINARNYH VSTAVOK; (b)~PROSTOGO DVUHPUTEVOGO SLIYANIYA.
 kAKOVY DLINY VNESHNIH PUTEJ DLYA |TIH DEREVXEV?

\ex[m24] dOKAZHITE, CHTO~$B(n)\le L(n)$, I NAJDITE VSE ZNACHENIYA~$n$,
PRI KOTORYH IMEET MESTO RAVENSTVO.

\ex[m22] eSLI DOPUSKAYUTSYA RAVNYE KLYUCHI, TO PRI SORTIROVKE TREH |LEMENTOV
VOZMOZHNY 13~ISHODOV:
$$
\displaylines{
\matrix{
K_1=K_2=K_3, & K_1=K_2<K_3, & K_1=K_3<K_2, \cr
K_2=K_3<K_1, & K_1<K_2=K_3, & K_2<K_1=K_3, \cr
K_3<K_1=K_2, & K_1<K_2<K_3, & K_1<K_3<K_2, \cr
}\cr
\matrix{
K_2<K_1<K_3, & K_2<K_3<K_1, & K_3<K_1<K_2, & K_3<K_2<K_1.\cr
}\cr
}
$$
oBOZNACHIM CHEREZ~$P_n$ CHISLO VOZMOZHNYH ISHODOV PRI SORTIROVKE $n$~|LEMENTOV,
 ESLI DOPUSKAYUTSYA RAVNYE KLYUCHI, TAK CHTO
$(P_0, P_1, P_2, P_3, P_4, P_5,~\ldots)=(1, 1, 3, 13, 75, 541,~\dots)$.
dOKAZHITE, CHTO PROIZVODYASHCHAYA FUNKCIYA~$P(z)=\sum_{n\ge 0} P_n z^n/n!$
RAVNA~$1/(2-e^z)$. \emph{uKAZANIE:} POKAZHITE, CHTO
$$
P_n=\sum_{k>0} \perm{n}{k} P_{n-k} \rem{PRI $n>0$.}
$$

\ex[vm27] (o.~a.~gROSS.) nAJDITE PREDEL POSLEDOVATELXNOSTI CHISEL~$P_n$ IZ
UPR.~3 PRI~$n\to\infty$. [\emph{vOZMOZHNOE UKAZANIE:} RASSMOTRITE CHASTICHNOE
RAZLOZHENIE V DROBX~$\ctg z$.]

\ex[16] eSLI DOPUSKAYUTSYA RAVNYE KLYUCHI, TO KAZHDOE SRAVNENIE MOZHET IMETX NE
DVA, A TRI REZULXTATA: $K_i<K_j$, $K_i=K_j$, $K_i>K_j$. v |TOJ
OBSHCHEJ SITUACII ALGORITMY SORTIROVKI MOZHNO PREDSTAVLYATX V VIDE
RASSHIRENNYH \emph{TERNARNYH} DEREVXEV, V KOTORYH KAZHDYJ VNUTRENNIJ
UZEL~$i:j$ IMEET TRI PODDEREVA: LEVOE, SREDNEE I PRAVOE, SOOTVETSTVUYUSHCHIE
TREM VOZMOZHNYM ISHODAM SRAVNENIYA.

nARISUJTE RASSHIRENNOE TERNARNOE DEREVO, OPREDELYAYUSHCHEE ALGORITM SORTIROVKI
DLYA~$n=3$, ESLI DOPUSKAYUTSYA RAVNYE KLYUCHI. v VASHEM DEREVE DOLZHNO BYTX
13~VNESHNIH UZLOV, SOOTVETSTVUYUSHCHIH 13~VOZMOZHNYM ISHODAM, PERECHISLENNYM V UPR.~3.

\rex[m22] pUSTX~$S'(n)$---MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ, NEOBHODIMYH
DLYA SORTIROVKI $n$~|LEMENTOV I VYYAVLENIYA VSEH RAVENSTV MEZHDU KLYUCHAMI,
ESLI KAZHDOE SRAVNENIE IMEET TRI VOZMOZHNYH REZULXTATA, KAK V UPR.~5.
nETRUDNO OBOBSHCHITX "TEORETIKO-INFORMACIONNOE" RASSUZHDENIE, PRIVEDENNOE V
TEKSTE,
%%236
I POKAZATX, CHTO~$S'(n)\ge \ceil{\log_3 P_n}$, GDE~$P_n$---FUNKCIYA, IZUCHENNAYA
V UPR.~3 I~4; DOKAZHITE, CHTO NA SAMOM DELE~$S'(n)=S(n)$.

\ex[20] nARISUJTE RASSHIRENNOE TERNARNOE DEREVO V SMYSLE UPR.~5
DLYA SORTIROVKI CHETYREH |LEMENTOV, ESLI IZVESTNO, CHTO VSE KLYUCHI RAVNY
LIBO~0, LIBO~1. (tAK, NAPRIMER, ESLI~$K_1<K_2$ I~$K_3<K_4$, TO PONYATNO,
CHTO~$K_1=K_3$ I~$K_2=K_4$!) dOBEJTESX MINIMALXNOGO CHISLA SRAVNENIJ V
SREDNEM, SCHITAYA, CHTO VSE $2^4$~VOZMOZHNYH ISHODNYH FAJLOV RAVNOVEROYATNY.

\ex[26] nARISUJTE RASSHIRENNOE TERNARNOE DEREVO, KAK V UPR.~7, DLYA
SORTIROVKI CHETYREH |LEMENTOV, ESLI IZVESTNO, CHTO VSE KLYUCHI RAVNY
LIBO~$-1$, LIBO~0, LIBO~$+1$. dOBEJTESX MINIMALXNOGO CHISLA SRAVNENIJ V
SREDNEM, SCHITAYA, CHTO VSE $3^4$~VOZMOZHNYH ISHODNYH FAJLOV RAVNOVEROYATNY.

\ex[m20] kAKOVO MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ V NAIHUDSHEM SLUCHAE
PRI SORTIROVKE $n$~|LEMENTOV, KAK V UPR.~7, KOGDA IZVESTNO, CHTO VSE
|LEMENTY RAVNY LIBO~0, LIBO~1?

\rex[m25] kAKOVO MINIMALXNOE \emph{SREDNEE} CHISLO SRAVNENIJ PRI SORTIROVKE
$n$~|LEMENTOV, KAK V UPR.~7, KOGDA IZVESTNO, CHTO VSE KLYUCHI RAVNY LIBO~0,
LIBO~1? rEZULXTAT PREDSTAVXTE V VIDE FUNKCII OT~$n$.

\ex[vm25] pUSTX~$S_m(n)$---MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ, NEOBHODIMOE V
NAIHUDSHEM SLUCHAE DLYA SORTIROVKI $n$~|LEMENTOV, KAK V UPR.~5, ESLI IZVESTNO,
 CHTO VSE KLYUCHI PRINADLEZHAT MNOZHESTVU~$\set{1, 2,~\ldots, m}$. [tAKIM
OBRAZOM, SOGLASNO UPR.~6,  $S_n(n)=S(n)$.] dOKAZHITE, CHTO~$S_m(n)$
STREMITSYA K~$n\log_2 m$ PRI FIKSIROVANNOM~$m$ I $n\to\infty$.

\rex[m25] (u.~g.~bURISIUS, OKOLO 1954~G.) pREDPOLOZHIM, CHTO RAVNYE
KLYUCHI MOGUT VSTRECHATXSYA, NO MY HOTIM PROSTO OTSORTIROVATX
|LEMENTY~$\set{K_1, K_2,~\ldots, K_n}$  TAK, CHTOBY OPREDELITX
PERESTANOVKU~$a_1\ a_2~\ldots a_n$, TAKUYU,
CHTO~$K_{a_1}\le K_{a_2} \le \ldots \le K_{a_n}$; NAM NE VAZHNO, IMEET LI
MESTO RAVENSTVO MEZHDU |LEMENTAMI~$K_{a_i}$ I~$K_{a_{i+1}}$.

bUDEM GOVORITX, CHTO DEREVO SRAVNENIJ \emph{SILXNO} SORTIRUET
POSLEDOVATELXNOSTX KLYUCHEJ, ESLI ONO SORTIRUET |TU POSLEDOVATELXNOSTX V
VYSHEUKAZANNOM SMYSLE, NEZAVISIMO OT TOGO, KAKOJ PUTX VYBIRATX V
UZLAH~$i:j$, DLYA KOTORYH~$K_i=K_j$. (dEREVO BINARNOE, A NE TERNARNOE.)

\medskip
\item{a)}~dOKAZHITE, CHTO DEREVO, NE SODERZHASHCHEE IZBYTOCHNYH SRAVNENIJ,
SILXNO SORTIRUET LYUBUYU POSLEDOVATELXNOSTX KLYUCHEJ TOGDA I TOLXKO TOGDA,
KOGDA ONO SORTIRUET LYUBUYU POSLEDOVATELXNOSTX RAZLICHNYH KLYUCHEJ.

\item{b)}~dOKAZHITE, CHTO DEREVO SRAVNENIJ SILXNO SORTIRUET LYUBUYU
POSLEDOVATELXNOSTX KLYUCHEJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO SILXNO
SORTIRUET LYUBUYU POSLEDOVATELXNOSTX NULEJ I EDINIC.
\medskip

\ex[m28] dOKAZHITE UTVERZHDENIE~(17).

\ex[m24] vYRAZITE SUMMU~(19) V "ZAMKNUTOM VIDE".

\ex[m21] oPREDELITE ASIMPTOTICHESKOE POVEDENIE FUNKCII~$B(n)$ I~$F(n)$ S
TOCHNOSTXYU DO~$O(\log n)$. [\emph{uKAZANIE:} POKAZHITE, CHTO V OBOIH SLUCHAYAH
KO|FFICIENT PRI~$n$ SODERZHIT FUNKCIYU, IZOBRAZHENNUYU NA RIS.~37.]

\ex[vm26] (f.~hUAN I sh.~lINX.) dOKAZHITE, CHTO PRI~$n\ge22$
VYPOLNYAETSYA NERAVENSTVO~$F (n) > \ceil{\log_2 n!}$.

\ex[m20] dOKAZHITE TOZHDESTVO~(29).

\ex[20] eSLI BY PROCEDURA, NACHALO KOTOROJ IZOBRAZHENO NA RIS.~36,
PORODILA GRAF
\picture{p.236}
S |FFEKTIVNOSTXYU~$12!/2^{29}$, TO BYLO LI BY TEM SAMYM DOKAZANO,
CHTO~$S(12) =29$?

\ex[40] pROVEDITE |KSPERIMENTY SO SLEDUYUSHCHIM |VRISTICHESKIM PRAVILOM RESHENIYA
OTNOSITELXNO TOGO, KAKUYU PARU KLYUCHEJ SRAVNIVATX SLEDUYUSHCHEJ
PRI KONSTRUIROVANII DEREVA SRAVNENIJ. pUSTX NA KAZHDOJ STADII SORTIROVKI
KLYUCHEJ~$\set{K_1,~\ldots, K_n}$ CHISLO KLYUCHEJ, O KOTORYH NA OSNOVANII
VYPOLNENNYH DO SIH POR SRAVNENIJ IZVESTNO, CHTO ONI~$\le K_i$, OBOZNACHAETSYA
CHEREZ~$u_i$, A CHISLO KLYUCHEJ, O KOTORYH IZVESTNO, CHTO ONI~$\ge K_i$,
OBOZNACHAETSYA CHEREZ~$v_i$, $1\le i\le n$.

%%237
pERENUMERUEM KLYUCHI TAK, CHTOBY POSLEDOVATELXNOSTX~$u_i/v_i$ STALA VOZRASTAYUSHCHEJ:
$u1/v_1 \le u_2/v_2 \le \ldots \le u_n/v_n$. tEPERX SRAVNIM~$K_i:K_{i+1}$,
GDE~$i$---INDEKS, MINIMIZIRUYUSHCHIJ VYRAZHENIE~$\abs{u_iv_{i+1}-u_{i+1}v_i}$.
(hOTYA |TOT METOD ISPOLXZUET GORAZDO MENXSHE INFORMACII, CHEM SODERZHITSYA V
POLNOJ MATRICE SRAVNENIJ, PODOBNOJ~(24), ON, KAK OKAZYVAETSYA, VO MNOGIH
SLUCHAYAH DAET OPTIMALXNYE REZULXTATY.)

\rex[m26] dOKAZHITE, CHTO RASSHIRENNOE BINARNOE DEREVO IMEET MINIMALXNUYU
DLINU VNESHNEGO PUTI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SUSHCHESTVUET TAKOE CHISLO~$l$,
 CHTO VSE VNESHNIE UZLY NAHODYATSYA NA UROVNYAH~$l$ I~$l+1$ (ILI, BYTX MOZHET,
TOLXKO NA UROVNE~$l$).

\edef\exref{\the\excerno}
\ex[m21] \dfn{vYSOTOJ} RASSHIRENNOGO BINARNOGO DEREVA NAZYVAETSYA
MAKSIMALXNYJ NOMER UROVNYA, NA KOTOROM ESTX VNESHNIE UZLY.
pUSTX~$x$---VNUTRENNIJ UZEL RASSHIRENNOGO BINARNOGO DEREVA; OBOZNACHIM
CHEREZ~$t(x)$ CHISLO VNESHNIH UZLOV-POTOMKOV UZLA~$x$, A CHEREZ~$l(x)$ KORENX
LEVOGO PODDEREVA UZLA~$x$. eSLI $x$---VNESHNIJ UZEL, TO POLOZHIM~$t(x)=1$.
dOKAZHITE, CHTO RASSHIRENNOE BINARNOE DEREVO IMEET MINIMALXNUYU VYSOTU SREDI
VSEH BINARNYH DEREVXEV S TEM ZHE CHISLOM UZLOV TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
DLYA VSEH EGO VNUTRENNIH UZLOV~$x$  VYPOLNYAETSYA NERAVENSTVO
$$
\abs{t(x)-2t(l(x))}\le2^{\ceil{\log_2 t(x)}}-t(x).
$$

\ex[m24] pRODOLZHENIE UPR.~\exref. dOKAZHITE, CHTO BINARNOE DEREVO
IMEET MINIMALXNUYU DLINU VNESHNEGO PUTI SREDI VSEH BINARNYH DEREVXEV S TEM
ZHE CHISLOM UZLOV TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLYA VSEH EGO VNUTRENNIH
UZLOV~$x$ VYPOLNYAYUTSYA NERAVENSTVA
$$
\abs{t(x)-2t(l(x))}\le 2^{\ceil{\log_2 t(x)}}-t(x) \hbox{ I }
\abs{t(x)-2t(l(x))}\le t(x)-2^{\floor{\log_2 t(x)}}.
$$
[tAK, NAPRIMER, ESLI~$t(x)=67$, TO DOLZHNO BYTX~$t(l(x))=32$, 33, 34
ILI~35. eSLI NUZHNO PROSTO MINIMIZIROVATX VYSOTU DEREVA, TO, SOGLASNO
PREDYDUSHCHEMU UPRAZHNENIYU, DOSTATOCHNO, CHTOBY~$3\le t(l(x))\le 64$.]

\ex[10] v TEKSTE DOKAZANO [SM.~FORMULU~(34)], CHTO SREDNEE CHISLO
SRAVNENIJ, VYPOLNYAEMYH LYUBYM METODOM SORTIROVKI $n$~|LEMENTOV, NE MOZHET
BYTX MENXSHE~$\ceil{\log_2 n!}\approx n\log_2 n$. oDNAKO PRI SORTIROVKE
VSTAVKAMI V NESKOLXKO SPISKOV (ALGORITM~5.2.1m) ZATRACHIVAETSYA V SREDNEM
VSEGO $O(n)$~EDINIC VREMENI. chEM |TO OB�YASNYAETSYA?

\ex[27] (k. pIKAR.) pOSTROJTE TAKOE DEREVO SORTIROVKI DLYA SHESTI
|LEMENTOV, CHTOBY VSE EGO VNESHNIE UZLY RASPOLAGALISX NA UROVNYAH~10 I~11.

\ex[11] eSLI BY SUSHCHESTVOVALA PROCEDURA SORTIROVKI SEMI |LEMENTOV,
NA KOTOROJ DOSTIGALSYA MINIMUM SREDNEGO CHISLA SRAVNENIJ, VYCHISLYAEMYJ PRI
POMOSHCHI FORMULY~(34), TO SKOLXKO VNESHNIH UZLOV BYLO BY NA UROVNE~13
SOOTVETSTVUYUSHCHEGO DEREVA?

\ex[m42] nAJDITE PROCEDURU SORTIROVKI DLYA SEMI |LEMENTOV, MINIMIZIRUYUSHCHUYU
SREDNEE CHISLO VYPOLNYAEMYH SRAVNENIJ.

\rex[20] pUSTX IZVESTNO, CHTO KONFIGURACII ($K_1<K_2<K_3$, $K_1<K_3<K_2$,
 $K_2<K_1<K_3$,  $K_2<K_3<K_1$,   $K_3<K_1<K_2$,  $K_3<K_2<K_1$)
VSTRECHAYUTSYA S VEROYATNOSTYAMI SOOTVETSTVENNO ($.01$, $.25$, $.01$, $.24$,
$.25$, $.24$). nAJDITE DEREVO SRAVNENIJ, KOTOROE BY SORTIROVALO TAKIE TRI
|LEMENTA S NAIMENXSHIM SREDNIM CHISLOM SRAVNENIJ.

\ex[40] nAPISHITE MIX-PROGRAMMU, KOTORAYA SORTIRUET 5~ODNOSLOVNYH KLYUCHEJ ZA
MINIMALXNO VOZMOZHNOE VREMYA, POSLE CHEGO OSTANAVLIVAETSYA. (sM.~OSNOVNYE
PRAVILA V NACHALE~\S~5.2.)

\ex[m25] (s.~m.~ch|JZ.) pUSTX $a_1$ $a_2$~\dots $a_n$---PERESTANOVKA
MNOZHESTVA~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. dOKAZHITE, CHTO LYUBOJ ALGORITM, KOTORYJ
RASPOZNAET, YAVLYAETSYA LI DANNAYA PERESTANOVKA CHETNOJ ILI NECHETNOJ
(T.~E.~SODERZHIT LI ONA CHETNOE ILI NECHETNOE CHISLO INVERSIJ), I OSNOVANNYJ
ISKLYUCHITELXNO NA SRAVNENIYAH |LEMENTOV~$a$, DOLZHEN VYPOLNITX NE MENEE
$n\log_2 n$~SRAVNENIJ, HOTYA ON IMEET VSEGO DVA VOZMOZHNYH ISHODA.
%%238

\ex[m23] \exhead(oPTIMALXNAYA OBMENNAYA SORTIROVKA.) lYUBOJ ALGORITM
OBMENNOJ SORTIROVKI V SMYSLE OPREDELENIYA, DANNOGO V P.~5.2.2, MOZHNO
PREDSTAVITX V VIDE \dfn{DEREVA SRAVNENIJ-OBMENOV,} A IMENNO V VIDE
STRUKTURY BINARNOGO DEREVA, VNUTRENNIE UZLY KOTOROGO IMEYUT
VID~$\elnode{i:j}$, GDE~$i<j$, I INTERPRETIRUYUTSYA SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM:
"ESLI~$K_i\le K_j$, TO PRODVINUTXSYA PO LEVOJ VETVI DEREVA; ESLI~$K_i>K_j$,
TO POMENYATX MESTAMI ZAPISI~$i$ I~$j$ I PRODVINUTXSYA PO PRAVOJ
VETVI DEREVA"   pO DOSTIZHENII VNESHNEGO UZLA DOLZHNY VYPOLNYATXSYA
USLOVIYA~$K_1\le K_2\le \ldots\le K_n$. tAKIM OBRAZOM, DEREVO
SRAVNENIJ-OBMENOV OTLICHAETSYA OT DEREVA SRAVNENIJ TEM, CHTO ONO OPISYVAET NE
TOLXKO OPERACII SRAVNENIYA, NO I OPERACII PEREMESHCHENIYA DANNYH.

oBOZNACHIM CHEREZ~$S_e(n)$ MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ-OBMENOV,
NEOBHODIMYH V NAIHUDSHEM SLUCHAE DLYA SORTIROVKI |LEMENTOV PRI POMOSHCHI
DEREVA SRAVNENIJ-OBMENOV. dOKAZHITE, CHTO~$S_e(n)\le S(n)+n-1$.

\ex[m38] pRODOLZHENIE UPR.~30. dOKAZHITE, CHTO~$S_e(5)=8$.

\ex[m42] pRODOLZHENIE UPR.~31. iSSLEDUJTE ZNACHENIYA FUNKCII~$S_e(n)$ PRI
MALYH~$n>5$.

\ex[M30] (t.~n.~hIBBARD.) \dfn{vESHCHESTVENNOZNACHNYM DEREVOM POISKA}
PORYADKA~$x$ S RAZRESHENIEM~$\delta$ NAZYVAETSYA RASSHIRENNOE BINARNOE DEREVO,
KAZHDYJ UZEL KOTOROGO SODERZHIT NEOTRICATELXNOE DEJSTVITELXNOE ZNACHENIE,
TAKOE, CHTO (i)~ZNACHENIE V LYUBOM VNESHNEM UZLE~$\le \delta$; (ii)~ZNACHENIE
V LYUBOM VNUTRENNEM UZLE~$\le $ SUMMY ZNACHENIJ DVUH EGO SYNOVEJ;
(iii)~ZNACHENIE V KORNE RAVNO~$x$. \dfn{dLINA VZVESHENNOGO PUTI} TAKOGO
DEREVA OPREDELYAETSYA KAK SUMMA PO VSEM VNESHNIM UZLAM NOMEROV UROVNEJ |TIH
UZLOV, UMNOZHENNYH NA SODERZHASHCHIESYA V NIH ZNACHENIYA.

dOKAZHITE, CHTO VESHCHESTVENNOZNACHNOE DEREVO POISKA PORYADKA~$x$ S
RAZRESHENIEM~1 IMEET MINIMALXNUYU SREDI VSEH TAKIH DEREVXEV TOGO ZHE
PORYADKA I S TEM ZHE RAZRESHENIEM DLINU VZVESHENNOGO PUTI TOGDA I TOLXKO TOGDA,
 KOGDA V~(ii) IMEET MESTO RAVENSTVO I DLYA VSEH PAR ZNACHENIJ~$x_0$ I~$x_1$,
PRINADLEZHASHCHIH UZLAM-BRATXYAM, VYPOLNYAYUTSYA SLEDUYUSHCHIE USLOVIYA: (iv)~NE
SUSHCHESTVUET CELOGO CHISLA~$k\ge 0$, TAKOGO, CHTO~$x_0<2^k<x_1$
ILI~$x_1 < 2^k < x_0$; (v)~$\ceil{x_0}-x_0+\ceil{x_1}-x_1<1$.
(v CHASTNOSTI, ESLI
$x$---CELOE CHISLO, TO IZ USLOVIYA~(v) SLEDUET, CHTO VSE ZNACHENIYA V
DEREVE---CELYE, A USLOVIE~(iv) |KVIVALENTNO REZULXTATU UPR.~22.)

dOKAZHITE TAKZHE, CHTO SOOTVETSTVUYUSHCHAYA DLINA VZVESHENNOGO PUTI
RAVNA~$x\ceil{\log_2 x}+\ceil{x}-2^{\ceil{\log_2 x}}$.

\ex[m50] oPREDELITE TOCHNYE ZNACHENIYA FUNKCII~$S(n)$ DLYA
BESKONECHNOGO MNOZHESTVA ARGUMENTOV~$n$.

\subsubchap{*sLIYANIE S MINIMALXNYM CHISLOM SRAVNENIJ}%%5.3.2
rASSMOTRIM TEPERX VOPROS, IMEYUSHCHIJ OTNOSHENIE K PREDYDUSHCHEMU PUNKTU: KAKOV
NAILUCHSHIJ SPOSOB SLIYANIYA UPORYADOCHENNOGO MNOZHESTVA $m$~|LEMENTOV S
UPORYADOCHENNYM MNOZHESTVOM $n$~|LEMENTOV? oBOZNACHIM |LEMENTY SLIVAEMYH
MNOZHESTV CHEREZ
$$
\eqalignno{
A_1 &< A_2 < \ldots < A_m, \cr
B_1 &< B_2 < \ldots < B_n. & (1) \cr
}
$$
kAK I V P.~5.3.1, BUDEM PREDPOLAGATX, CHTO VSE $m+n$~|LEMENTOV RAZLICHNY.
eLEMENTY~$A$ SREDI |LEMENTOV~$B$ MOGUT RASPOLAGATXSYA
$\perm{m+n}{m}$~SPOSOBAMI; TAKIM OBRAZOM, IZ RASSUZHDENIYA, KOTORYM MY %%239
VOSPOLXZOVALISX V ZADACHE O SORTIROVKE, SLEDUET, CHTO NEOBHODIMO VYPOLNITX
PO KRAJNEJ MERE
$$
\ceil{\log_2 \perm{m+n}{m}}
\eqno(2)
$$
SRAVNENIJ. eSLI POLOZHITX~$m=\alpha n$ I USTREMITX~$n$ K~$\infty$,
OSTAVIV~$\alpha$ NEIZMENNYM, TO PO FORMULE sTIRLINGA
$$
\log_2 \perm{\alpha n+n}{\alpha n}= n \left((1+\alpha)\log_2 (1+\alpha)
-\alpha\log_2\alpha\right)-{1\over2}\log_2 n+O(1).
\eqno(3)
$$
oBYCHNAYA PROCEDURA SLIYANIYA (ALGORITM~5.2.4m) VYPOLNYAET V HUDSHEM SLUCHAE $m+n-1$~SRAVNENIJ.

oBOZNACHIM CHEREZ~$M(m, n)$ FUNKCIYU, ANALOGICHNUYU~$S(n)$, A IMENNO
MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ, ZAVEDOMO DOSTATOCHNOE DLYA SLIYANIYA
$m$~|LEMENTOV S $n$~|LEMENTAMI. iZ TOLXKO CHTO SDELANNOGO NABLYUDENIYA
SLEDUET, CHTO
$$
\ceil{\log_2\perm{m+n}{m}}\le M(m,n)\le m+n-1  \rem{PRI VSEH $m, n\ge1$.}
\eqno(4)
$$
fORMULA~(3) POKAZYVAET, NASKOLXKO DALEKO MOGUT OTSTOYATX DRUG OT DRUGA
NIZHNYAYA I VERHNYAYA OCENKI. pRI~$\alpha=1$ (T.~E.~$m=n$)
NIZHNYAYA OCENKA RAVNA~$2n-{1\over 2}\log_2 n+O(1)$, TAK CHTO OBE
OCENKI---VELICHINY ODNOGO PORYADKA, NO RAZNOSTX MEZHDU NIMI MOZHET BYTX SKOLX
UGODNO VELIKA. pRI~$\alpha=0.5$ $\left(\hbox{T.~E.~$m={1\over2}n$}\right)$
NIZHNYAYA OCENKA RAVNA
$$
{3\over2}n \left(\log_2 3 -{2\over3}\right)+O(\log n),
$$
CHTO SOSTAVLYAET PRIMERNO~$\log_2 3-{2\over3}\approx 0.918$ OT VERHNEJ OCENKI.
s UBYVANIEM~$\alpha$ RAZNICA MEZHDU VERHNEJ I NIZHNEJ OCENKAMI
VSE UVELICHIVAETSYA, POSKOLXKU STANDARTNYJ ALGORITM SLIYANIYA RAZRABOTAN
GLAVNYM OBRAZOM DLYA FAJLOV S~$m\approx n$.

pRI~$m=n$ ZADACHA O SLIYANII IMEET VESXMA PROSTOE RESHENIE;
NEVERNOJ OKAZYVAETSYA NE VERHNYAYA, A \emph{NIZHNYAYA} OCENKA~(4). sLEDUYUSHCHUYU
TEOREMU NEZAVISIMO DOKAZALI r.~l.~gR|HEM I~r.~m.~kARP PRIMERNO V 1968~G.

\proclaim tEOREMA~M. pRI~$m\ge 1$ SPRAVEDLIVO RAVENSTVO~$M(m,m)=2m-1$.

\proof rASSMOTRIM KAKOJ-NIBUDX ALGORITM, KOTORYJ OSUSHCHESTVLYAET SLIYANIE
|LEMENTOV~$A_1<\ldots<A_m$ S~$B_1<\ldots<B_m$. pRI SRAVNENII
|LEMENTOV~$A_i:B_j$ VYBEREM VETVX~$A_i<B_j$, ESLI~$i<j$, I VETVX~$A_i>B_j$,
 ESLI~$i\ge j$. sLIYANIE DOLZHNO ZAVERSHITXSYA
%%240
KONFIGURACIEJ
$$
B_1<A_1<B_2<A_2<\ldots<B_m<A_m,
\eqno(5)
$$
POSKOLXKU ONA SOGLASUETSYA SO VSEMI VYBRANNYMI VETVYAMI. i KAZHDOE IZ
$2m-1$~SRAVNENIJ $B_1:A_1$, $A_1:B_2$, $B_2:A_2$,~\dots, $B_m:A_m$ DOLZHNO
BYTX VYPOLNENO YAVNO, INACHE NASHLISX BY PO MENXSHEJ MERE DVE KONFIGURACII, NE
PROTIVORECHASHCHIE IZVESTNYM FAKTAM. eSLI BY MY, NAPRIMER, NE SRAVNILI~$A_1$
S~$B_2$, TO KONFIGURACIYA
$$
B_1<B_2<A_1<A_2<\ldots<B_m<A_m
$$
BYLA BY NEOTLICHIMA OT~(5).
\proofend

pROSTAYA MODIFIKACIYA |TOGO DOKAZATELXSTVA DAET ANALOGICHNUYU FORMULU
$$
M(m, m+1)=2m \rem{PRI $m\ge 0$.}
\eqno  (6)
$$

\section nAHOZHDENIE NIZHNIH OCENOK. tEOREMA~M POKAZYVAET, CHTO
"TEORETIKO-INFORMACIONNAYA" NIZHNYAYA OCENKA~(2) MOZHET SKOLX UGODNO DALEKO
OTSTOYATX OT ISTINNOJ NIZHNEJ GRANICY; TAKIM OBRAZOM, METOD DOKAZATELXSTVA
TEOREMY~M DAET NAM ESHCHE ODIN SPOSOB NAHOZHDENIYA NIZHNIH OCENOK. tAKOJ METOD
DOKAZATELXSTVA CHASTO RASSMATRIVAETSYA KAK POROZHDENIE \dfn{DXYAVOLA,} NEKOEGO
ZLOGO DUHA, KOTORYJ PYTAETSYA PRINUDITX ALGORITM RABOTATX KAK MOZHNO
MEDLENNEE. kOGDA ALGORITM SLIYANIYA RESHAET SRAVNITX |LEMENTY~$A_i:B_j$,
DXYAVOL TAK OPREDELYAET SUDXBU SRAVNENIYA, CHTO VYNUZHDAET ALGORITM IZBRATX
NAIBOLEE TRUDNYJ PUTX. eSLI BY MY SMOGLI PRIDUMATX PODHODYASHCHEGO DXYAVOLA, TO
SMOGLI BY UBEDITXSYA V TOM, CHTO VSYAKIJ PRAVILXNYJ ALGORITM SLIYANIYA DOLZHEN
VYPOLNITX DOVOLXNO MNOGO SRAVNENIJ. (nEKOTORYE NAZYVAYUT EGO NE DXYAVOLOM,
A "ORAKULOM" ILI "DEMONOM"; ODNAKO ZHELATELXNO IZBEGATX TAKIH TERMINOV V
|TOM KONTEKSTE, POSKOLXKU SLOVO "ORAKUL" IMEET SOVSEM DRUGOE ZNACHENIE V
TEORII REKURSIVNYH FUNKCIJ, A SLOVO "DEMON" UPOTREBLYAETSYA V DRUGOM SMYSLE
V TERMINOLOGII, SVYAZANNOJ S ISKUSSTVENNYM INTELLEKTOM.)

mY BUDEM ISPOLXZOVATX \dfn{DXYAVOLOV S OGRANICHENNYMI VOZMOZHNOSTYAMI,}
PROIZVOL KOTORYH LIMITIROVAN ZARANEE ZADANNYMI REZULXTATAMI NEKOTORYH
SRAVNENIJ. v METODE SLIYANIYA, NAHODYASHCHEMSYA POD VOZDEJSTVIEM DXYAVOLA S
OGRANICHENNYMI VOZMOZHNOSTYAMI, OGRANICHENIYA SCHITAYUTSYA NEIZVESTNYMI I PO|TOMU
VYPOLNYAYUTSYA VSE NEOBHODIMYE SRAVNENIYA DAZHE V TOM SLUCHAE, KOGDA IH
REZULXTATY PREDOPREDELENY. nAPRIMER, V DOKAZATELXSTVE TEOREMY~M MY
OGRANICHILI VSE REZULXTATY SRAVNENIJ USLOVIEM~(5), TEM NE MENEE V ALGORITME
SLIYANIYA NELXZYA VOSPOLXZOVATXSYA |TIM OBSTOYATELXSTVOM, CHTOBY IZBEZHATX HOTYA
BY ODNOGO SRAVNENIYA.

oGRANICHENIYA, KOTORYE MY BUDEM ISPOLXZOVATX V SLEDUYUSHCHEM OBSUZHDENII,
OTNOSYATSYA K LEVOMU I PRAVOMU KONCAM FAJLOV. lEVYE OGRANICHENIYA OBOZNACHAYUTSYA
SIMVOLAMI
%%241
{\narrower
\item{$\cdot$}~(NET OGRANICHENIYA SLEVA),

\item{$\backslash$}~(REZULXTATY VSEH SRAVNENIJ NE DOLZHNY PROTIVORECHITX
USLOVIYU~$A_1< B_1$),

\item{$/$}~(REZULXTATY VSEH SRAVNENIJ NE DOLZHNY PROTIVORECHITX USLOVIYU~$A_1>B_1$).
\smallskip
}
\noindent pRAVYE OGRANICHENIYA OBOZNACHAYUTSYA SIMVOLAMI

{\narrower
\item{$\cdot$}~(NET OGRANICHENIYA SPRAVA),

\item{$\backslash$}~(REZULXTATY VSEH SRAVNENIJ NE DOLZHNY PROTIVORECHITX
USLOVIYU~$A_m<B_n$),

\item{$/$}~(REZULXTATY VSEH SRAVNENIJ NE DOLZHNY PROTIVORECHITX
USLOVIYU~$A_m>B_n$).
\medskip
}

\noindent sUSHCHESTVUET DEVYATX TIPOV DXYAVOLOV, OBOZNACHAEMYH
SIMVOLAMI~$\nabla M\phi$, GDE~$\nabla$---LEVOE OGRANICHENIE, A~$\phi$---PRAVOE.
nAPRIMER, DXYAVOL~"$\backslash M \backslash$" DOLZHEN GOVORITX,
CHTO~$A_1<B_j$ I~$A_i<B_n$; DXYAVOL~"$.M.$" NE PODCHINYAETSYA NIKAKIM
OGRANICHENIYAM. pRI NEKOTORYH MALYH ZNACHENIYAH~$m$ I~$n$ DXYAVOLY S
OGRANICHENNYMI VOZMOZHNOSTYAMI NEKOTORYH TIPOV MOGUT NE SUSHCHESTVOVATX;
PRI~$m=1$, OCHEVIDNO, NE MOZHET BYTX DXYAVOLA~"$\backslash M /$".

zAJMEMSYA TEPERX POSTROENIEM VESXMA SLOZHNOGO, NO CHREZVYCHAJNO KOVARNOGO
DXYAVOLA DLYA SLIYANIJ. oN NE VSEGDA POROZHDAET OPTIMALXNYE REZULXTATY, NO
DAET NIZHNIE OCENKI, KOTORYE OHVATYVAYUT MNOZHESTVO INTERESNYH SLUCHAEV.
pREDPOLOZHIM, ZADANY~$m$ I~$n$, A TAKZHE LEVYE I PRAVYE OGRANICHENIYA~$\nabla$
I~$\phi$, I PUSTX DXYAVOLA SPRASHIVAYUT, KOTORYJ IZ DVUH |LEMENTOV~$A_i$
I~$B_j$ BOLXSHE. dXYAVOL MOZHET, VOOBSHCHE GOVORYA, PRIMENITX SHESTX STRATEGIJ
SVEDENIYA ZADACHI K SLUCHAYU MENXSHEGO ZNACHENIYA~$m+n$:

{\medskip\narrower
{\sl sTRATEGIYA~$A(k, l)$ DLYA~$i\le k \le m$ I~$1\le l \le j$.\/} oTVETITX,
CHTO~$A_i<B_j$, I POTREBOVATX, CHTOBY POSLEDUYUSHCHIE OPERACII OSUSHCHESTVLYALI
SLIYANIYA~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ S~$\set{B_1,~\ldots, B_{l-1}}$
I~$\set{A_{k+1},~\ldots, A_m}$ S~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$. tOGDA
POSLEDUYUSHCHIE SRAVNENIYA~$A_p:B_q$ DADUT REZULXTATY: $A_p<B_q$, ESLI~$p\le k$
I~$q\ge l$, I~$A_p>B_q$, ESLI~$p>k$ I~$q<l$; ONI BUDUT UPRAVLYATXSYA
DXYAVOLOM~$(k, l-1, \nabla, .)$, ESLI~$p\le k$ I~$q<l$, I
DXYAVOLOM~$(m-k, n+1-l,., \phi)$, ESLI~$p>k$ I~$q\ge l$.

{\sl sTRATEGIYA~$B(k, l)$ DLYA~$i\le k \le m$ I~$1\le l < j$\/}. oTVETITX,
CHTO~$A_i<B_j$, I POTREBOVATX, CHTOBY POSLEDUYUSHCHIE OPERACII OSUSHCHESTVLYALI
SLIYANIYA~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ S~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
I~$\set{A_{k+1},~\ldots, A_m}$ S~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$ PRI
USLOVII~$A_k<B_l<A_{k+1}$. (zAMETIM, CHTO~$B_l$ UCHASTVUET V OBOIH SPISKAH,
PODLEZHASHCHIH SLIYANIYU. uSLOVIE~$A_k<B_l<A_{k+1}$ OBESPECHIVAET TAKOE POLOZHENIE,
 PRI KOTOROM SLIYANIE ODNOJ PARY FAJLOV NE MOZHET DATX NIKAKOJ INFORMACII,
KOTORAYA BY POMOGLA PRI SLIYANII DRUGOJ PARY.) tOGDA POSLEDUYUSHCHIE
SRAVNENIYA~$A_p:B_q$ DADUT REZULXTATY: $A_p<B_q$,
ESLI~$p\le k$
%%242
I~$q\ge l$, I~$A_p>B_q$, ESLI~$p>k$ I~$q\le l$; ONI BUDUT
UPRAVLYATXSYA DXYAVOLOM~$(k, l, \nabla, \backslash)$, ESLI~$p\le k$ I~$q\le
l$, I
DXYAVOLOM~$(m-k, n+1-l, /, \phi)$, ESLI~$p>k$ I~$q\le l$.

{\sl sTRATEGIYA~$C(k, l)$ DLYA~$i<k\le m$ I~$1\le l \le j$.\/} oTVETITX,
CHTO~$A_i<B_j$, I POTREBOVATX, CHTOBY POSLEDUYUSHCHIE OPERACII OSUSHCHESTVLYALI
SLIYANIYA~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ S~$\set{B_1,~\ldots, B_{l-1}}$
I~$\set{A_k,~\ldots, A_m}$ S~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$ PRI
USLOVII~$B_{l-1}<A_k<B_l$. (aNALOGICHNO STRATEGII~B, NO FAJLY~$A$ I~$B$
MENYAYUTSYA ROLYAMI.)

{\sl sTRATEGIYA~$A'(k, l)$ DLYA~$1\le k \le i$ I~$j\le l \le n$.\/} oTVETITX,
 CHTO~$A_i>B_j$, I POTREBOVATX, CHTOBY POSLEDUYUSHCHIE OPERACII OSUSHCHESTVLYALI
SLIYANIYA~$\set{A_1,~\ldots, A_{k-1}}$ S~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
I~$\set{A_k,~\ldots, A_m}$ S~$\set{B_{l+1},~\ldots, B_n}$.
(aNALOGICHNO STRATEGII~A.)

{\sl sTRATEGIYA~$B'(k, l)$ DLYA~$1\le k \le i$ I~$j<l\le n$.\/} oTVETITX,
CHTO~$A_i>B_j$, I POTREBOVATX, CHTOBY POSLEDUYUSHCHIE OPERACII OSUSHCHESTVLYALI
SLIYANIYA~$\set{A_1,~\ldots, A_{k-1}}$ S~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
I~$\set{A_k,~\ldots, A_m}$ S~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$ PRI
USLOVII~$A_{k-1}<B_l<A_k$. (aNALOGICHNO STRATEGII~B.)

{\sl sTRATEGIYA~$C'(k, l)$ DLYA~$1\le k \le i$ I~$j\le l \le n$.\/} oTVETITX,
 CHTO~$A_i>B_j$, I POTREBOVATX, CHTOBY POSLEDUYUSHCHIE OPERACII OSUSHCHESTVLYALI
SLIYANIYA~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ S~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
I~$\set{A_k, ~\ldots, A_m}$ S~$\set{B_{l+1},~\ldots, B_n}$ PRI
USLOVII~$B_l<A_k<B_{l+1}$. (aNALOGICHNO STRATEGII~C.)
\medskip}

iZ-ZA NALAGAEMYH OGRANICHENIJ PRIVEDENNYE VYSHE STRATEGII NE MOGUT
PRIMENYATXSYA V NEKOTORYH SLUCHAYAH, KOTORYE MY ZDESX PRIVODIM:
\ctable{
\bskip\hfill$#$\hfill\bskip&\bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr
\hbox{sTRATEGIYA} & \hbox{nE DOLZHNA PRIMENYATXSYA, ESLI}\cr
A(k, 1), B(k, 1), C(k, 1) &     \nabla=/ \cr
A'(1,l), B'(1,l), C'(1,l) &  \nabla=\backslash \cr
A(m, l), B(m, l), C(m, l) &\phi=/ \cr
A'(k, n), B'(k, n), C'(k, n) & \phi= \backslash \cr
}

oBOZNACHIM CHEREZ~$\nabla M \phi(m, n)$ MAKSIMALXNUYU NIZHNYUYU OCENKU, KOTORUYU
MOZHNO POLUCHITX PRI POMOSHCHI DXYAVOLA IZ OPISANNOGO VYSHE KLASSA. eSLI PERVOE
SRAVNENIE ESTX~$A_i:B_j$, TO KAZHDAYA  STRATEGIYA, ESLI ONA PRIMENIMA, DAET
NERAVENSTVA, SVYAZYVAYUSHCHIE
%%243
|TI DEVYATX FUNKCIJ, A IMENNO
$$
\eqalign{
A(k, l): & \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M.(k, l-1) +.M\phi(m-k, n+1-l);\cr
B(k, l): & \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M\backslash(k, l)+/M\phi(m-k, n+1-l);\cr
C(k, l): & \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M/(k,l-1)+\backslash M\phi(m+1-k, n+1-l);\cr
A'(k, l):& \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M.(k-1, l)+.M\phi(m+1-k, n-l);\cr
B'(k, l):& \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M\backslash(k-1, l)+/M\phi(m+1-k,n+1-l);\cr
C'(k, l):& \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M/(k, l)+\backslash M\phi(m+1-k, n-l).\cr
}
$$
pRI FIKSIROVANNYH~$i$ I~$j$ DXYAVOL PRIMET TU STRATEGIYU,
KOTORAYA MAKSIMIZIRUET NIZHNYUYU OCENKU, ZADAVAEMUYU PRAVYMI
CHASTYAMI NERAVENSTV; TAKIM OBRAZOM, $\nabla M_\phi(m, n)$~ESTX MINIMUM |TIH
NIZHNIH OCENOK PO VSEM~$1\le i\le m$ I~$1\le j \le n$. eSLI~$m$ ILI~$n$
RAVNY NULYU, TO I ZNACHENIE FUNKCII~$\nabla M_\phi(m, n)$ RAVNO~0.

pUSTX, NAPRIMER, $m=2$ I~$n=3$, A NASH DXYAVOL NE OGRANICHEN. eSLI PERVYM
VYPOLNYAETSYA SRAVNENIE~$A_1:B_1$, TO DXYAVOL MOZHET PRINYATX STRATEGIYU~$A'(1,
1)$, V REZULXTATE CHEGO POTREBUYUTSYA ESHCHE $.M.(0, 1)+.M.(2, 2)=3$~SRAVNENIYA.
eSLI PERVYM VYPOLNYAETSYA SRAVNENIE~$A_1:B_3$, TO ON MOZHET VYBRATX
STRATEGIYU~$B(1, 2)$, TOGDA POTREBUYUTSYA ESHCHE~$.M\backslash(1, 2)+/M.(1,
2)=4$~SRAVNENIYA. nEZAVISIMO OT TOGO, KAKOVO BYLO PERVOE SRAVNENIE,
DXYAVOL GARANTIRUET VYPOLNENIE ESHCHE PO KRAJNEJ MERE 3~SRAVNENIJ.
sLEDOVATELXNO, $.M.(2, 3)=4$.

nE TAK PROSTO VYPOLNITX |TI VYCHISLENIYA VRUCHNUYU, NO PRI POMOSHCHI evm MOZHNO
DOVOLXNO BYSTRO POLUCHITX TABLICY FUNKCIJ~$\nabla M\phi$. eTI FUNKCII
OBLADAYUT NEKOTORYMI OCHEVIDNYMI SVOJSTVAMI SIMMETRII
$$
/M.(m, n)=.M\backslash(m, n)=\backslash M.(n, m)=.M/(n, m),
\eqno (7)
$$
POZVOLYAYUSHCHIMI SVESTI NASHI DEVYATX FUNKCIJ VSEGO LISHX K CHETYREM:
$$
.M.(m, n), \quad  /M.(m, n), \quad  /M\backslash (m, n)\hbox{ I }/M/(m, n).
$$
v TABL.~1 PRIVEDENY ZNACHENIYA DLYA VSEH~$m, n \le 10$. nASH DXYAVOL DLYA
SLIYANIJ OPREDELEN TAKIM OBRAZOM, CHTO
$$
.M.(m, n)\le M(m, n)\rem{ PRI VSEH $m, n\ge 0$.}
\eqno  (8)
$$
eTO SOOTNOSHENIE SODERZHIT V KACHESTVE CHASTNOGO SLUCHAYA TEOREMU~M, POSKOLXKU
PRI~$\abs{m-n}\le 1$ NASH DXYAVOL IZBERET PROSTUYU STRATEGIYU |TOJ TEOREMY.

%%244
\htable{tABLICA 1}%
{nIZHNIE OCENKI DLYA SLIYANIJ, VYPOLNENNYH PRI UCHASTII "DXYAVOLA"}
{\strut\hfill$#$&&\bskip\hfill$#$\bskip\cr
  &\multispan{10}\hfill$.M.(m,n)$\hfill     &   & \multispan{10}\hfill$/M.(m,n)$\hfill\cr
  & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\cr
\noalign{\hrule}
 1& 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 1\cr
 2& 2 & 3 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 7 & 7 & & 1 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6 & 7 & 7 & 2\cr
 3& 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & & 1 & 3 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & 3\cr
 4& 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &10 &11 &11 & & 1 & 4 & 5 & 7 & 8 & 9 & 9 &10 &10 &11 & 4\cr
 5& 3 & 5 & 7 & 8 & 9 &10 &11 &12 &12 &13 & & 1 & 4 & 6 & 8 & 9 &10 &11 &12 &12 &13 & 5\cr
 6& 3 & 6 & 7 & 9 &10 &11 &12 &13 &14 &15 & & 1 & 4 & 6 & 8 &10 &11 &12 &13 &14 &14 & 6\cr
 7& 3 & 6 & 8 &10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 & & 1 & 4 & 7 & 9 &10 &12 &13 &14 &15 &16 & 7\cr
 8& 4 & 6 & 8 &10 &12 &13 &14 &15 &16 &17 & & 1 & 5 & 7 & 9 &11 &13 &14 &15 &16 &17 & 8\cr
 9& 4 & 7 & 9 &11 &12 &14 &15 &16 &17 &18 & & 1 & 5 & 8 &10 &11 &13 &15 &16 &17 &18 & 9\cr
10& 4 & 7 & 9 &11 &13 &15 &16 &17 &18 &19 & & 1 & 5 & 8 &10 &12 &14 &15 &17 &18 &19 &10\cr
\noalign{\smallskip}
m &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &m \cr
\noalign{\smallskip}
&\multispan{10}\hfill$/M\backslash(m,n)$\hfill& &\multispan{10}\hfill$/M/(m,n)$\hfill\cr
 1&-\infty& 2& 2& 3& 3& 3& 3& 4& 4& 4& & 1 & 1 & 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\cr
 2&-\infty& 2& 4& 4& 5& 5& 6& 6& 7& 7& & 1 & 3 & 3& 4& 4& 4& 4& 5& 5  5& 2\cr
 3&-\infty& 2& 4& 6& 6& 7& 8& 8& 8& 9& & 1 & 3 & 5& 5& 6& 6& 7& 7& 8& 8& 3\cr
 4&-\infty& 2& 5& 6& 8& 8& 9&10&10&11& & 1 & 4 & 5& 7& 7& 8& 9& 9& 9&10& 4\cr
 5&-\infty& 2& 5& 7& 8&10&10&11&12&13& & 1 & 4 & 6& 7& 9& 9&10&11&11&12& 5\cr
 6&-\infty& 2& 5& 7& 9&10&12&13&14&14& & 1 & 4 & 6& 8& 9&11&11&12&13&14& 6\cr
 7&-\infty& 2& 5& 8&10&11&12&14&15&16& & 1 & 4 & 7& 9&10&11&13&14&15&15& 7\cr
 8&-\infty& 2& 6& 8&10&12&13&15&16&17& & 1 & 5 & 7& 9&11&12&14&15&16&17& 8\cr
 9&-\infty& 2& 6& 9&10&12&14&16&17&18& & 1 & 5 & 8& 9&11&13&15&16&17&18& 9\cr
10&-\infty& 2& 6& 9&11&13&15&16&18&19& & 1 & 5 & 8&10&12&14&15&17&18&19&10\cr
\noalign{\hrule}
  &      1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9&10&n& 1 & 2 & 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9&10\cr
}

rASSMOTRIM TEPERX NESKOLXKO PROSTYH SOOTNOSHENIJ, KOTORYM UDOVLETVORYAET FUNKCIYA~$M$:
$$
\eqalignno{
M(m, n) &=   M(n,m), &  (9)\cr
M(m, n) &\le M(m, n+1),& (10)\cr
M(k+m,n)&\le M(k,n)+M(m, n), & (11)\cr
M(m, n) &\le \max(M(m,n-1)+1, M(m-1, n)+1),& (12)\cr
M(m, ni)&\le \max(M(m, n-2)+1, M(m-1, n)+2) \rem{PRI $m\ge1$, $n\le2$.} & (13)\cr
}
$$
sOOTNOSHENIE~(12) SLEDUET IZ OBYCHNOJ PROCEDURY SLIYANIYA, ESLI NACHATX SO
SRAVNENIYA |LEMENTOV~$A_1:B_1$. sOOTNOSHENIE~(13) VYVODITSYA ANALOGICHNO,
TOLXKO V PERVUYU OCHEREDX SRAVNIVAYUTSYA~$A_1:B_2$; ESLI~$A_1>B_2$, TO NUZHNO
ESHCHE $M(m, n-2)$~SRAVNENIJ, ESLI ZHE~$A_1<B_2$, TO MOZHNO VSTAVITX~$A_1$ V
SOOTVETSTVUYUSHCHEE MESTO I
SLITX~$\set{A_2,~\ldots, A_m}$ S~$\set{B_1,~\ldots, B_n}$. nETRUDNO VIDETX,
 CHTO NERAVENSTVA ~(12) I~(13) MOZHNO OBOBSHCHITX:
$$
M(m,n)\le\max(M(m,n-k)+1,\quad M(m-1, n)+1+\ceil{\log_2 k})
\rem{PRI $m\ge 1$, $n\ge k$,}
\eqno(14)
$$
%% 245
VYPOLNIV SNACHALA SRAVNENIE~$A_1:B_k$, I PRIMENIV BINARNYJ POISK V
SLUCHAE~$A_1<B_k$.

oKAZYVAETSYA, $M(m, n)=.M.(m, n)$ PRI VSEH~$m, n \le 10$, TAK CHTO V TABL.~1
V DEJSTVITELXNOSTI PRIVEDENY OPTIMALXNYE ZNACHENIYA DLYA SLIYANIJ. eTO MOZHNO
DOKAZATX, PRIMENYAYA SOOTNOSHENIYA~(9)--(14), A TAKZHE SPECIALXNYE POSTROENIYA
DLYA~$(m, n)= (2, 8)$, $(3, 6)$ I~$(5, 9)$, KOTORYE PRIVODYATSYA V UPR.~8, 9 I~10.

s DRUGOJ STORONY, TAKOJ DXYAVOL NE VSEGDA DAET NAILUCHSHUYU VOZMOZHNUYU NIZHNYUYU
OCENKU; PROSTEJSHIJ PRIMER: $m=3$, $n=11$, KOGDA~$.M.(3, 11)=9$,
A~$M(3, 11)=10$. chTOBY PONYATX, GDE ZHE V |TOM SLUCHAE NASH DXYAVOL "PROMAHNULSYA",
NUZHNO IZUCHITX MOTIVY, NA KOTORYH OSNOVANY EGO RESHENIYA; PRI DALXNEJSHEM
TSHCHATELXNOM ISSLEDOVANII OBNARUZHIVAETSYA, CHTO ESLI~$(i, j)\ne (2, 6)$, TO
DXYAVOL MOZHET OTYSKATX STRATEGII, TREBUYUSHCHIE 10~SRAVNENIJ;
ESLI ZHE~$(i, j)=(2, 6)$, TO NI ODNA STRATEGIYA NE
PREVOSHODIT STRATEGII~$A(2, 4)$, KOTORAYA  PRIVODIT K NIZHNEJ
OCENKE~$1+.M.(2, 3)+.M.(1, 8)=9$. nEOBHODIMO, NO NE DOSTATOCHNO, CHTOBY
PROCESS ZAKANCHIVALSYA SLIYANIEM~$\set{A_1, A_2}$
S~$\set{B_1, B_2, B_3}$ I~$\set{A_3}$ S~$\set{B_4,~\ldots, B_{11}}$; TAKIM
OBRAZOM, NIZHNYAYA OCENKA V |TOM SLUCHAE OKAZYVAETSYA NE TOCHNOJ.

aNALOGICHNO MOZHNO POKAZATX, CHTO~$.M.(2, 38)=10$, V TO VREMYA KAK~$M(2, 38)=11$;
ZNACHIT, NASH DXYAVOL NE DOSTATOCHNO ISKUSEN, CHTOBY SPRAVITXSYA SO
SLUCHAEM~$m=2$. oDNAKO SUSHCHESTVUET BESKONECHNYJ KLASS ZNACHENIJ, DLYA KOTORYH
ON RABOTAET BEZUPRECHNO.

\proclaim tEOREMA~K.
$$
\eqalign{
M(m, m+2)&=2m+1  \rem{PRI $m\ge2$,}\cr
M(m, m+3)&=2m+2  \rem{PRI $m\ge4$,}\cr
M(m, m+4)&=2m+3 \rem{PRI $m\ge6$.}\cr
}
$$

\proof nA SAMOM DELE MY MOZHEM DOKAZYVATX |TI SOOTNOSHENIYA, ZAMENIV~$M$
NA~$.M.$; PRI MALYH OT |TI REZULXTATY BYLI POLUCHENY S POMOSHCHXYU evm, PO|TOMU
MOZHNO PREDPOLAGATX, CHTO~$m$ DOSTATOCHNO VELIKO. mOZHNO TAKZHE SCHITATX, CHTO
PERVOE SRAVNENIE ESTX~$A_i:B_j$, GDE~$i\le \ceil{m/2}$. eSLI~$j\le i$, TO
VOSPOLXZUEMSYA STRATEGIEJ~$A'(i,i)$; TOGDA POLUCHIM
$$
.M.(m, m+d)\ge1+.M.(i-1, i)+.M.(m+1-i, m+d-i)=2m+d-1,
$$
PRIMENIV INDUKCIYU PO~$d$, $d\le 4$. eSLI~$j>i$, TO
VOSPOLXZUEMSYA STRATEGIEJ~$A(i, i+1)$; PRIMENIV INDUKCIYU PO~$m$, POLUCHIM
$$
.M.(m,m+d)\ge 1+.M.(i, i)+.M.(m-i, m+d-i)=2m+d-1.
$$
\proofend % KONCEVOJ MARKER NE NA MESTE

pERVYE DVA UTVERZHDENIYA TEOREMY~K POLUCHILI f.~hUAN I~sh.~lINX V~1969~G. eTO
DOKAZATELXSTVO DAET OSNOVANIYA PREDPOLOZHITX,
%%246
CHTO $M(m, m+d)=2m+d-1$ PRI VSEH DOSTATOCHNO BOLXSHIH~$m$, GDE~$d$
FIKSIROVANO. (sR.~S~UPR.~6.)

\section vERHNIE OCENKI. rASSMOTRIM TEPERX \emph{VERHNIE} OCENKI
FUNKCII~$M(m, n)$; HOROSHIE VERHNIE OCENKI SOOTVETSTVUYUT
|FFEKTIVNYM ALGORITMAM SLIYANIYA.

pRI~$m=1$ ZADACHA SLIYANIYA |KVIVALENTNA ZADACHE VSTAVKI, KOGDA IMEETSYA
$n+1$~MEST MEZHDU |LEMENTAMI~$B_1$,~\dots,$B_n$, KUDA MOZHET POPASTX
|LEMENT~$A_1$. v |TOM SLUCHAE NETRUDNO VIDETX, CHTO \emph{LYUBOE} RASSHIRENNOE
BINARNOE DEREVO S $n+1$~VNESHNIMI UZLAMI ESTX DEREVO DLYA NEKOTOROGO METODA
SLIYANIYA! (sM.~UPR.~2.) sLEDOVATELXNO, MOZHNO VYBRATX OPTIMALXNOE BINARNOE
DEREVO, REALIZOVAV TEORETIKO-INFORMACIONNUYU NIZHNYUYU OCENKU
$$
1+\floor{\log_2 n}=M(1, n)=\ceil{\log_2(n+1)}.
\eqno(15)
$$
rAZUMEETSYA, BINARNYJ POISK~(P.~6.2.1)---PROSTEJSHIJ SPOSOB. POZVOLYAYUSHCHIJ
DOSTICHX |TOGO ZNACHENIYA.

sLUCHAJ~$m=2$ CHREZVYCHAJNO INTERESEN, NO ON GORAZDO SLOZHNEE. eGO POLNOSTXYU
ISSLEDOVALI r.~l.~gR|HEM, f.~k.~hUAN I~sh.~lINX (SM.~UPR.~11, 12, 13); IMEEM
$$
M(2, n)=\ceil{\log_2{7\over12}(n+1)}+\ceil{\log_2{14\over17}(n+1)}.
\eqno(16)
$$

mY VIDELI, CHTO PRI~$m=n$ OPTIMALXNA OBYCHNAYA PROCEDURA SLIYANIYA, A PRI~$m=1$
OPTIMALXNA DOVOLXNO SILXNO OTLICHAYUSHCHAYASYA OT NEE PROCEDURA BINARNOGO POISKA.
nAM ZHE NUZHEN NEKOTORYJ PROMEZHUTOCHNYJ METOD, OB�EDINYAYUSHCHIJ V SEBE LUCHSHIE
CHERTY ALGORITMOV OBYCHNOGO SLIYANIYA I BINARNOGO POISKA. fORMULA~(14) NAVODIT
NA MYSLX O SLEDUYUSHCHEM ALGORITME, KOTORYM MY OBYAZANY f.~k.~hUANU I~sh.~lINYU
[{\sl SIAM J.~Computing,\/} {\bf 1} (1972), 31--39].

\alg n.(bINARNOE SLIYANIE.)
\st eSLI~$m$ ILI~$n$ RAVNO~0, TO OSTANOVITXSYA.

eSLI~$m\le n$, TO USTANOVITX~$t\asg\floor{\log_2 (n/m)}$.

eSLI~$m>n$, USTANOVITX~$t\asg\floor{\log_2 (m/n)}$ I PEREJTI K~\stp{4}.

\st sRAVNITX~$A_m:B_{n+1-2^t}$. eSLI $A_m$~MENXSHE, TO USTANOVITX~$n\asg
n-2^t$ I VOZVRATITXSYA K SHAGU~\stp{1}.

\st vOSPOLXZOVAVSHISX METODOM BINARNOGO POISKA (KOTORYJ TREBUET ESHCHE ROVNO
$t$~SRAVNENIJ), VSTAVITX~$A_m$ V SOOTVETSTVUYUSHCHEE MESTO
SREDI~$\set{B_{n+1-2^t},~\ldots, B_n}$.  eSLI~$k$---MAKSIMALXNYJ INDEKS,
TAKOJ, CHTO~$B_k<A_m$, TO USTANOVITX~$m\asg m-1$ I~$n\asg k$. vOZVRATITXSYA
K~\stp{1}.

\st (shAGI~\stp{4} I~\stp{5} PODOBNY SHAGAM~\stp{2} I~\stp{3}, NO
PEREMENNYE~$m$, $n$, $A$, $B$ MENYAYUTSYA ROLYAMI.).
eSLI~$B_n<A_{m+1-2^t}$, TO USTANOVITX~$m\asg m-2^t$ I VOZVRATITXSYA K
SHAGU~\stp{1}.

%%247
\st vSTAVITX~$B_n$ V SOOTVETSTVUYUSHCHEE MESTO SREDI
|LEMENTOV~$A$. eSLI~$k$---MAKSIMALXNYJ INDEKS, TAKOJ, CHTO~$A_k<B_n$, TO
USTANOVITX~$m\asg k$ I~$n\asg n-1$. vOZVRATITXSYA K SHAGU~\stp{1}.
\algend

v KACHESTVE PRIMERA RABOTY |TOGO ALGORITMA V TABL.~2 POKAZAN PROCESS,
SLIYANIYA TREH KLYUCHEJ~$\set{087, 503, 512}$ S TRINADCATXYU KLYUCHAMI~$\set{061,
154,~\ldots, 908}$; V |TOM PRIMERE VYPOLNYAETSYA VOSEMX SRAVNENIJ.

{\catcode`\[=\active\def[{\hbox to 0pt{\hss$\{$}}
\catcode`\]=\active\def]{\hbox to 0pt{$\}$\hss}}
\catcode`\!=\active\def!#1 {\bf#1}
\htable{tABLICA~2}%
{pRIMER PRIMENENIYA METODA BINARNOGO SLIYANIYA}%
{$\scriptstyle\phantom{\{}#\phantom{\}}$\bskip&&$\scriptstyle\phantom{\{}#\phantom{\}}$\bskip\cr
\multispan{9}\hbox{a (SRAVNIVAYUTSYA VYDELENNYE |LEMENTY)} &\omit\span\hfill\hbox{v}\hfill &\multispan{8}\hfill\hbox{vYVOD}\cr
[087   & 503   & !512 ]&[061 & 154 & 170 & 275 & 426 & 509 & 612 &  653 & 677 &!703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & 603   & !512 ]&[061 & 151 & 170 & 275 & 426 & 509 & 612 & !653 & 677]&     &     &     & [703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & 503   & !512 ]&[061 & 154 & 170 & 275 & 426 &!509 & 612]&    &     &     &[653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & 503   & !512 ]&[061 & 154 & 170 & 275 & 426 & 509 &!612 ]&    &     &[653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & !503]&       &[061 & 154 & 170 & 275 & !426 & 509]&     &    &[512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & !503]&       &[061 & 154 & 170 & 275 & 426 & !509 ]&     &    &[512 & 612 & 653 & 677 & 793 & 765 & 897 & 908]\cr
[!087 ]&       &       &[061 & !154 & 170 & 275 & 426]&     &[503 & 509 & 512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[!087 ]&       &       &[!061 ]&     &[154 & 170 & 275 & 426 & 503 & 509 & 512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
       &       &       &[061 & 087 & 154 & 170 & 275 & 426 & 503 & 509 & 512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
}
}

pUSTX~$H(m,n)$---MAKSIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ, VYPOLNYAEMYH ALGORITMOM hUANA
I~lINYA. chTOBY VYCHISLITX~$H(m, n)$, MOZHNO PREDPOLOZHITX, CHTO~$k=n$ V SHAGE~H3
I~$k=m$ V SHAGE~H5, POSKOLXKU PRI POMOSHCHI INDUKCII PO~$n$ NETRUDNO
DOKAZATX,
CHTO~$H(m, n)\le H(m, n+1)$ PRI VSEH~$n\ge m$. tAKIM OBRAZOM, PRI~$m\le n$ IMEEM
$$
H(m, n)=\max(H(m,n-2^t)+1,  H(m-1, n)+t+1) \rem{PRI~$2^t m \le n < 2^{t+1}m$.}
\eqno  (17)
$$
zAMENIM~$n$ NA~$2n+\varepsilon$ ($\varepsilon=0$ ILI~1) I POLUCHIM
$$
H(m, 2n+\varepsilon)=
 \max(H(m, 2n+\varepsilon-2^{t+1})+1, H(m-1, 2n+\varepsilon)+t+2)
\rem{PRI~$2^t m \le n < 2^{t+1} m$.}
$$
oTSYUDA VYTEKAET, ESLI PRIMENITX INDUKCIYU PO~$n$, CHTO
$$
H(m, 2n+\varepsilon)=H(m, n)+m \rem{PRI~$m\le n$,  $\varepsilon=0$ ILI~1.}
\eqno (18)
$$
lEGKO VIDETX TAKZHE, CHTO~$H(m, n)=m+n-1$, ESLI~$m\le n < 2m$. sLEDOVATELXNO,
 MNOGOKRATNOE PRIMENENIE FORMULY~(18) DAST NAM OBSHCHUYU FORMULU
$$
H(m, n)=m+\ceil{n/2^t}-1+tm \rem{PRI~$m\le n$, $t=\ceil{\log_2(n/m)}$.}
\eqno (19)
$$
%%248

pOLAGAYA~$m=\alpha n$ I~$\theta=\log_2 (n/m)-t$, NAJDEM
$$
H(\alpha n, n)=\alpha n(1+2^\theta-\theta-\log_2 \alpha)+O(1)
\eqno (20)
$$
PRI~$n\to\infty$. iZ FORMUL~(5.3.1-35) IZVESTNO,
CHTO~$1.9139<1+2^\theta-\theta\le2$. sLEDOVATELXNO, (20)~MOZHNO SRAVNITX S
TEORETIKO-INFORMACIONNOJ NIZHNEJ OCENKOJ~(3). hUAN I lINX
DOKAZALI (SM.~UPR.~17), CHTO
$$
H(m, n) < \ceil{\log_2\perm{m+n}{m}}+\min(m, n).
\eqno(21)
$$
aLGORITM SLIYANIYA hUANA---lINYA, KOTORYJ MOZHNO BYLO BY NAZVATX ALGORITMOM
"BINARNOGO SLIYANIYA", NE VSEGDA OPTIMALEN, NO OBLADAET TEM NEOCENIMYM
DOSTOINSTVOM, CHTO EGO DOVOLXNO LEGKO ZAPROGRAMMIROVATX. oN SVODITSYA K
"DECENTRIROVANNOMU BINARNOMU POISKU" PRI~$m=1$ I K OBYCHNOJ PROCEDURE
SLIYANIYA PRI~$m\approx n$, TAK CHTO |TO ZOLOTAYA SEREDINA MEZHDU DVUMYA
UKAZANNYMI METODAMI. kROME TOGO, VO MNOGIH SLUCHAYAH ON \emph{YAVLYAETSYA}
OPTIMALXNYM (SM.~UPR.~16).

fORMULA~(18) NAVODIT NA MYSLX O TOM, CHTO I SAMA FUNKCIYA~$M$, BYTX MOZHET,
UDOVLETVORYAET NERAVENSTVU
$$
M(m, n)\le M(m, \floor{n/2})+m.
\eqno (22)
$$
eTO I V SAMOM DELE TAK (SM.~UPR.~19). tABLICY ZNACHENIJ FUNKCII~$M(m, n)$
POZVOLYAYUT PREDPOLOZHITX, CHTO, VOZMOZHNO, IMEYUT MESTO I DRUGIE SOOTNOSHENIYA,
TAKIE, KAK
$$
\displaylines{
\hfill M(m+1, n)\ge 1+M(m, n)\ge M(m, n+1) \rem{PRI $m\le n$;} \hfill\llap{(23)}\cr
\hfill M(m+1, n+1)\ge 2+M(m, n).            \hfill\llap{(24)}\cr
}
$$
NO V NASTOYASHCHEE VREMYA NE IZVESTNO NIKAKIH DOKAZATELXSTV |TIH NERAVENSTV.

\excercises
\ex[15] nAJDITE ODNO LYUBOPYTNOE SOOTNOSHENIE, KOTOROE SVYAZYVAET
FUNKCIYU~$M(m, n)$ I FUNKCIYU~$S$, OPREDELENNUYU V P.~5.3.1.
[\emph{uKAZANIE:} RASSMOTRITE~$S(m+n)$.]

\rex[22] pRI~$m=l$ LYUBOJ ALGORITM SLIYANIYA, NE SODERZHASHCHIJ IZBYTOCHNYH
SRAVNENIJ, OPREDELYAET RASSHIRENNOE BINARNOE DEREVO S
$\perm{m+n}{m}=n+1$~VNESHNIMI UZLAMI. dOKAZHITE, CHTO VERNO I OBRATNOE,
T.~E.~KAZHDOMU RASSHIRENNOMU  BINARNOMU DEREVU SOOTVETSTVUET NEKOTORYJ
ALGORITM SLIYANIYA S~$m=1$.

\ex[m24] dOKAZHITE, CHTO~$.M.(1, n)=M(1, n)$ PRI VSEH~$n$.

\ex[m44] sPRAVEDLIVO LI NERAVENSTVO~$.M.(m, n)\ge
\ceil{\log_2\perm{m+n}{m}}$ PRI
VSEH~$m$ I~$n$?

\ex[m30] dOKAZHITE, CHTO $.M.(m, n)\le .M\backslash (m, n+1)$.

\ex[m26] sFORMULIROVANNOE VYSHE DOKAZATELXSTVO TEOREMY~K TREBUET PROVERKI
BOLXSHOGO CHISLA SLUCHAEV S PRIVLECHENIEM evm. kAKIM OBRAZOM MOZHNO REZKO
SOKRATITX CHISLO TAKIH SLUCHAEV?

%%249
\ex[21] dOKAZHITE NERAVENSTVO~(11).

\rex[24] dOKAZHITE, CHTO~$M(2,8)\le 6$. dLYA |TOGO PRIDUMAJTE TAKOJ
ALGORITM SLIYANIYA DVUH |LEMENTOV S VOSEMXYU DRUGIMI, KOTORYJ BY VYPOLNYAL
NE BOLEE SHESTI SRAVNENIJ.

\ex[27] dOKAZHITE, CHTO TRI |LEMENTA MOZHNO SLITX S SHESTXYU |LEMENTAMI NE
BOLEE CHEM ZA SEMX SHAGOV.

\ex[33] dOKAZHITE, CHTO PYATX |LEMENTOV MOZHNO SLITX S DEVYATXYU NE BOLEE CHEM ZA
DVENADCATX SHAGOV. [\emph{uKAZANIE:} OPYT VVEDENIYA DXYAVOLA PODSKAZYVAET,
CHTO NACHATX NUZHNO SO SRAVNENIYA~$A_1:B_2$, ZATEM, ESLI~$A_1<B_2$, POPYTATXSYA
SRAVNITX~$A_5:B_8$.]

\ex[m40] (f.~hUAN, sh.~lINX.) pUSTX~$g_{2k}=\floor{2^k\cdot{17\over14}}$,
$g_{2k+1}=\floor{2^k\cdot{12\over 7}}$ PRI~$k\ge 0$, TAK
CHTO~$(g_0, g_1, g_2,~\ldots)=(1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 27, 38, 54, 77,~\ldots)$.
dOKAZHITE, CHTO DLYA SLIYANIYA DVUH |LEMENTOV S~$g_t$~|LEMENTAMI
TREBUETSYA V HUDSHEM SLUCHAE BOLEE CHEM $t$~SRAVNENIJ, ODNAKO SLITX DVA
|LEMENTA S~$g_t-1$ MOZHNO NE BOLEE CHEM ZA $t$~SHAGOV. [\emph{uKAZANIE:}
POKAZHITE, CHTO ESLI~$n\ge g_{t-1}$, I NUZHNO SLITX~$\set{A_1, A_2}$
S~$\set{B_1, B_2,~\ldots, B_n}$ ZA $t$~SRAVNENIJ, TO NAILUCHSHEE PERVOE
SRAVNENIE---|TO~$A_2:B_{g_{t-1}}$.]

\ex[m21] pUSTX~$R_n(i,j)$---NAIMENXSHEE CHISLO SRAVNENIJ, NEOBHODIMOE
DLYA SORTIROVKI RAZLICHNYH OB�EKTOV~$\set{\alpha, \beta, X_1, X_2,~\ldots, X_n}$,
ESLI ZADANY SOOTNOSHENIYA
$$
\alpha<\beta, \quad X_1<X_2<\ldots<X_n, \quad \alpha<X_{i+1}, \quad \beta > X_{n-j}.
$$
[uSLOVIE~$\alpha< X_{i+1}$ ILI~$\beta>X_{n-j}$ TERYAET SMYSL, ESLI~$i\ge n$
ILI~$j\ge n$. pO|TOMU~$R_n(n,n)=M(2, n)$.]

yaSNO, CHTO~$R_n(0, 0) = 0$. dOKAZHITE, CHTO
$$
R_n(i,j)=1+\min\left(\min_{1\le k \le i} \max(R_n(k-1, j), R_{n-k}(i-k, j)),
\min_{1\le k \le j} \max(R_n(i, k-1), R_{n-k}(i, j-k))\right)
$$
PRI $0\le i \le n$, $0\le j \le n$, $i+j>0$.

\ex[M42] (P.~l.~gR|HEM). pOKAZHITE, CHTO RESHENIE REKURRENTNOGO SOOTNOSHENIYA
IZ UPR.~12 MOZHNO VYRAZITX SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM. oPREDELIM FUNKCIYU~$G(x)$
PRI~$0<x<\infty$ TAKIMI PRAVILAMI:
$$
G(x)=\cases{
\mathstrut 1,  & $0<x\le {5\over 7}$;\cr
\mathstrut {1\over2}+{1\over8}G(8x-5), & ${5\over 7} < x \le {3\over 4}$;\cr
\mathstrut {1\over2}G(2x-1), & ${3\over4}<x\le 1$;\cr
\mathstrut 0, & $1\le x \le \infty$.
}
$$
(sM.~RIS.~38.) pOSKOLXKU~$R_n(i,j)=R_n(j,i)$ I TAK KAK~$R_n(0, j)=M(1, j)$,
 TO MOZHNO SCHITATX, CHTO~$1\le i \le j \le n$. pUSTX~$p=\floor{\log_2 i}$,
$q=\floor{\log_2 j}$, $r=\floor{\log_2 n}$ I~$t=n-2^r+1$. tOGDA
$$
R_n(i,j)=p+q+S_n(i,j)+T_n(i,j),
$$
GDE FUNKCII~$S_n$ I~$T_n$ PRINIMAYUT ZNACHENIYA~0 ILI~1:
$$
\eqalign{
S_n(i,j)&=1 \hbox{ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA $q<r$ ILI~$(i-2^p\ge u$ I~$j-2^r\ge u$);}\cr
T_n(i,j)&=1 \hbox{ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA $p<r$ ILI~$\left(t>{6\over7}2^{r-2}\hbox{ I } i-2^r\ge v \right)$,} \cr
}
$$
GDE~$u=2^pG(t/2^p)$ I~$v=2^{r-2}G(t/2^{r-2})$.
%%250

(eTO, BYTX MOZHET, SAMOE SLOZHNOE REKURRENTNOE SOOTNOSHENIE IZ VSEH, KOTORYE
KOGDA-LIBO BUDUT RESHENY!)

\ex[46] (hUAN I~lINX.) pUSTX~$h_{3k}=2^k+2^{k-1}-1$,
$h_{3k+1}=g_{2k}+g_{2k-3}+2^{k-2}$, $h_{3k+2}=2g_{2k}$ PRI~$k\ge 2$, ZA
ISKLYUCHENIEM~$h_8=9$, I NACHALXNYE ZNACHENIYA PODOBRANY TAK, CHTO~$(h_0, h_1,
h_2,~\ldots)=(1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 18, 23, 29, 38, 47, 59,
76,~\ldots)$.
zDESX~$g_k$---FUNKCIYA, KOTORAYA BYLA OPREDELENA V UPR.~11. dOKAZHITE (ILI
OPROVERGNITE), CHTO~$M(3, h_t)>t$, $M(3, h_t-1)\le t$ PRI VSEH~$t$.

\ex[12] v SHAGE~H1 ALGORITMA BINARNOGO SLIYANIYA MOZHET
POTREBOVATXSYA VYCHISLENIE ZNACHENIYA~$\floor{\log_2 (n/m)}$. kAK MOZHNO LEGKO
VYCHISLITX |TO ZNACHENIE, NE PRIMENYAYA OPERACIJ DELENIYA I VZYATIYA LOGARIFMA?

\picture{rIS.~38. fUNKCIYA gR|HEMA (SM.~UPR.~13).}

\ex[18] pRI KAKIH~$m$ I~$n$, $1\le m \le n \le 10$, OPTIMALEN ALGORITM
BINARNOGO SLIYANIYA hUANA I lINYA?

\ex[m25] dOKAZHITE NERAVENSTVO~(21). [\emph{uKAZANIE:} |TO NERAVENSTVO NE
OCHENX ZHESTKOE.]

\ex[m40] iSSLEDUJTE \emph{SREDNEE} CHISLO SRAVNENIJ, VYPOLNYAEMYH
ALGORITMOM BINARNOGO SLIYANIYA.

\rex[23] dOKAZHITE, CHTO FUNKCIYA~$M$ UDOVLETVORYAET NERAVENSTVU~(22).

\ex[20] pOKAZHITE, CHTO ESLI~$M(m, n+1) \le M(m+1, n)$ PRI VSEH~$m\le n$,
 TO~$M(m, n+1)\le 1+M(m, n)$ PRI VSEH~$m\le n$.

\ex[m47] dOKAZHITE ILI OPROVERGNITE SOOTNOSHENIYA~(23), (24).

\ex[m50] iSSLEDUJTE MINIMALXNOE \emph{SREDNEE} CHISLO SRAVNENIJ,
NEOBHODIMYH DLYA SLIYANIYA $m$~|LEMENTOV S $n$~|LEMENTAMI.

\ex[vm30] (e.~rEJNGOLXD.)
pUSTX~$\set{A_1,~\ldots, A_n}$ I~$\set{B_1,~\ldots, B_n}$---MNOZHESTVA,
SODERZHASHCHIE PO $n$~|LEMENTOV KAZHDOE. rASSMOTRITE ALGORITM, KOTORYJ PYTAETSYA
PROVERITX NALICHIE RAVENSTVA MEZHDU MNOZHESTVAMI ISKLYUCHITELXNO PUTEM
SRAVNENIJ NA RAVENSTVO |LEMENTOV |TIH MNOZHESTV. tAKIM OBRAZOM, ALGORITM
ZADAET VOPROSY TIPA~"$A_i=B_j$?" PRI NEKOTORYH~$i$ I~$j$ I VYBIRAET
DALXNEJSHIJ PUTX VYCHISLENIJ V ZAVISIMOSTI OT TOGO, BYL LI OTVET
POLOZHITELXNYM ILI OTRICATELXNYM.

oPREDELIV PODHODYASHCHEGO DXYAVOLA, DOKAZHITE, CHTO LYUBOJ TAKOJ ALGORITM
V NAIHUDSHEM DLYA SEBYA SLUCHAE VYNUZHDEN VYPOLNITX NE MENEE
${1\over2}n (n+1)$~SRAVNENIJ.

%%250
\subsubchap{* vYBOR S MINIMALXNYM CHISLOM SRAVNENIJ} % 5.3.3
pRI POISKE NAILUCHSHIH VOZMOZHNYH PROCEDUR DLYA VYBORA $t\hbox{-GO}$~|LEMENTA
V PORYADKE UBYVANIYA IZ $n$~|LEMENTOV MY VSTRECHAEMSYA S KLASSOM ZADACH,
PODOBNYH RASSMOTRENNYM V PREDYDUSHCHEM PUNKTE. iSTORIYA |TOGO VOPROSA
VOSHODIT K ZANIMATELXNOMU (HOTYA I SERXEZNOMU) OCHERKU PREPODOBNOGO
ch.~l.~dODZHSONA O TURNIRAH PO TENNISU, POYAVIVSHEMUSYA V St.~James's Gazette
1~AVGUSTA 1883~G. (STR.~5--6). dODZHSON, KOTORYJ, RAZUMEETSYA, BOLEE
IZVESTEN KAK lXYUIS k|RROL, RASSMATRIVAL NESPRAVEDLIVYE PRAVILA, PO
KOTORYM PRISUZHDALISX (I DO SIH POR PRISUZHDAYUTSYA) PRIZY V TURNIRAH PO
TENNISU. rASSMOTRIM, NAPRIMER, RIS.~39, GDE POKAZAN TIPICHNYJ TURNIR
"S VYBYVANIEM" MEZHDU 32~IGROKAMI, POMECHENNYMI $01$, $02$,~\dots, $32$. v
FINALE IGROK~$01$ ODERZHIVAET POBEDU NAD IGROKOM~$05$, PO|TOMU YASNO, CHTO
IGROK~$01$---CHEMPION I ZASLUZHIL PERVYJ PRIZ. nESPRAVEDLIVOSTX PROYAVLYAETSYA V
TOM, CHTO IGROK~$05$ OBYCHNO POLUCHAET VTOROJ PRIZ, HOTYA ON MOZHET I NE BYTX
VTORYM IGROKOM. vYIGRATX VTOROJ PRIZ MOZHNO, DAZHE ESLI IGRAESHX HUZHE
POLOVINY IGROKOV TURNIRA. v SAMOM DELE, KAK ZAMETIL dODZHSON, VTOROJ IGROK
VYIGRYVAET VTOROJ PRIZ V TOM I TOLXKO TOM SLUCHAE, ESLI PERVONACHALXNO ON I
CHEMPION NAHODILISX V PROTIVOPOLOZHNYH POLOVINAH TURNIRA; DLYA
$2^n$~IGROKOV |TO PROISHODIT S VEROYATNOSTXYU~$2^{n-1}/(2^n-1)$, TAK
CHTO POCHTI V POLOVINE SLUCHAEV VTOROJ PRIZ POLUCHAET NE TOT IGROK! eSLI
PROIGRAVSHIE V POLUFINALE (IGROKI~$25$ I~$17$ NA RIS.~39) SOREVNUYUTSYA ZA
TRETIJ PRIZ, TO VESXMA MALOVEROYATNO, CHTO TRETIJ IGROK POLUCHIT TRETIJ PRIZ.

pO|TOMU dODZHSON RESHIL NAJTI TAKOJ TURNIR, KOTORYJ PRAVILXNO OPREDELYAET
VTOROGO I TRETXEGO IGROKOV V PREDPOLOZHENII TRANZITIVNOSTI. (iNACHE GOVORYA,
 ESLI IGROK~$A$ POBEZHDAET IGROKA~$B$, A~$B$ POBEZHDAET~$C$, TO MOZHNO
SCHITATX, CHTO IGROK~$A$ POBEDIT~$C$). oN PRIDUMAL PROCEDURU, V KOTOROJ
PROIGRAVSHIM DAYUT SYGRATX ESHCHE NESKOLXKO IGR, POKA NE STANET
OPREDELENNO IZVESTNO, CHTO ONI HUZHE DRUGIH TREH IGROKOV. pRIMER
SHEMY dODZHSONA PRIVODITSYA NA RIS.~40, IZOBRAZHAYUSHCHEM DOPOLNITELXNYJ TURNIR,
 KOTORYJ SLEDUET PROVESTI VMESTE S TURNIROM, POKAZANNYM NA RIS.~39.
dELAETSYA POPYTKA ORGANIZOVATX VSTRECHI IGROKOV, U KOTORYH DO SIH POR BYLI
RAVNYE REZULXTATY, I ISKLYUCHITX MATCHI MEZHDU IGROKAMI, POBEZHDENNYMI ODNIM I
TEM ZHE CHELOVEKOM. nAPRIMER, IGROK~$16$ PROIGRYVAET~$11$, A
IGROK~$13$ PROIGRYVAET~$12$ V PERVOM TURE; POSLE TOGO KAK IGROK~$16$
PROIGRYVAET~$13$ VO VTOROM TURE, $16$~ISKLYUCHAETSYA, TAK KAK
TEPERX IZVESTNO, CHTO ON HUZHE, CHEM~$11$, $12$ I~$13$. v TRETXEM TURE MY
NE POZVOLYAEM NOMERU~$19$ IGRATX S~$21$, TAK KAK ONI OBA BYLI POBEZHDENY
%%252
\picture{rIS. 39. tURNIR 32~IGROKOV S VYBYVANIEM.}
%%253
\picture{rIS. 40. tENNISNYJ TURNIR lXYUISA k|RROLA (V DOPOLNENIE K TURNIRU
RIS.~39).}
%% 254
IGROKOM~$18$ I MY NE MOGLI BY AVTOMATICHESKI ISKLYUCHITX PROIGRAVSHEGO
VO VSTRECHE~$19$ S~$21$.

bYLO BY PRIYATNO SOOBSHCHITX, CHTO TURNIR lXYUISA k|RROLA OKAZALSYA OPTIMALXNYM,
NO, K SOZHALENIYU, |TO NE TAK. iZ ZAPISI V EGO DNEVNIKE OT 23~IYULYA 1883~G.
YAVSTVUET, CHTO ON SOSTAVIL |TOT OCHERK PRIMERNO ZA SHESTX CHASOV, I
CHUVSTVOVAL, CHTO, "POSKOLXKU TENNISNYJ SEZON PRIBLIZHAETSYA K KONCU, OCHERK
SLEDUET NAPISATX POBYSTREE, NE SLISHKOM UVLEKAYASX KACHESTVOM". v EGO
PROCEDURE DELAETSYA BOLXSHE SRAVNENIJ, CHEM NEOBHODIMO, I ONA NE
SFORMULIROVANA DOSTATOCHNO CHETKO, CHTOBY KVALIFICIROVATX EE KAK ALGORITM.
s DRUGOJ STORONY, V NEJ IMEYUTSYA NEKOTORYE OCHENX INTERESNYE ASPEKTY, ESLI
SUDITX S TOCHKI ZRENIYA PARALLELXNYH VYCHISLENIJ. oNA TAKZHE PREDSTAVLYAETSYA
OTLICHNYM RASPISANIEM TENNISNOGO TURNIRA, POSKOLXKU k|RROL VKLYUCHIL V NEE
NESKOLXKO DRAMATICHESKIH |FFEKTOV; NAPRIMER, ON OPREDELIL, CHTO DVA
FINALISTA DOLZHNY PROPUSTITX PYATYJ TUR I SYGRATX "DLINNYJ" MATCH V TURAH~6
I~7. oDNAKO ORGANIZATORY TURNIROV, PO-VIDIMOMU, SOCHLI |TO PREDLOZHENIE
IZLISHNE LOGICHNYM, I POTOMU SISTEMA k|RROLA, SKOREE VSEGO, NIKOGDA NE
ISPYTYVALASX. vMESTO |TOGO PRAKTIKUETSYA METOD "RASSEIVANIYA" BOLEE
SILXNYH IGROKOV, CHTOBY ONI POPALI V RAZNYE CHASTI DEREVA.

nA MATEMATICHESKOM SEMINARE V~1929--1930~G. gUGO shTEJNGAUZ POSTAVIL ZADACHU
NAHOZHDENIYA MINIMALXNOGO CHISLA TENNISNYH MATCHEJ, TREBUEMYH DLYA OPREDELENIYA
PERVOGO I VTOROGO IGROKOV V TURNIRE, ESLI IMEETSYA
$n >2$~IGROKOV. yu.~shREJER [{\sl Mathesis Polska,\/} {\bf 7} (1932),
154--160] PRIVEL PROCEDURU, TREBUYUSHCHUYU SAMOE BOLXSHEE
$n-2+\ceil{\log_2 n}$~MATCHEJ, ISPOLXZOVAV, PO SUSHCHESTVU, TOT ZHE METOD, CHTO
I PERVYE DVE STADII PROCESSA, KOTORYJ MY NAZVALI SORTIROVKOJ POSREDSTVOM
VYBORA IZ DEREVA (SM.~P.~5.2.3, RIS.~23), ODNAKO NE VYPOLNYAYA
DOPOLNITELXNYH SRAVNENIJ, SODERZHASHCHIH~$-\infty$. shREJER TAKZHE UTVERZHDAL,
CHTO $n-2+\ceil{\log_2 n}$---NAILUCHSHEE VOZMOZHNOE ZNACHENIE; NO EGO
DOKAZATELXSTVO BYLO OSHIBOCHNYM, KAK I ESHCHE ODNA POPYTKA DOKAZATELXSTVA,
PREDPRINYATAYA e.~sLUPECKI
[{\sl Colloquium Mathematician,\/} {\bf 2} (1951), 286--290].
pROSHLO 32~GODA, PREZHDE CHEM s.~s.~kISLICYNYM BYLO OPUBLIKOVANO PRAVILXNOE,
 HOTYA I OCHENX SLOZHNOE DOKAZATELXSTVO
[{\sl sIBIRSKIJ MATEMATICHESKIJ ZHURNAL,\/} {\bf 5} (1964), 557--564].
pUSTX~$V_t(n)$ DLYA~$1\le t \le n$ OBOZNACHAET MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ,
TREBUEMYH DLYA OPREDELENIYA $t\hbox{-GO}$ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENTA IZ
$n$~|LEMENTOV, I PUSTX $W_t(n)$~RAVNO NAIMENXSHEMU CHISLU SRAVNENIJ,
 NEOBHODIMYH DLYA OPREDELENIYA NAIBOLXSHEGO, VTOROGO,~\dots,
$t\hbox{-GO}$ |LEMENTOV VSEH SRAZU. iZ SOOBRAZHENIJ SIMMETRII IMEEM
$$
V_t(n)=V_{n+1-t}(n);
\eqno(1)
$$
%%255
OCHEVIDNO TAKZHE, CHTO
$$
\eqalignno{
V_1(n)&=W_1(n), & (2) \cr
V_t(n)&\le W_t(n), & (3) \cr
W_n(n)&=W_{n-1}(n)=S(n). & (4) \cr
}
$$

v P.~5.2.3 MY VIDELI, CHTO
$$
V_1(n)=n-1.
\eqno(5)
$$
eSTX UDIVITELXNO PROSTOE DOKAZATELXSTVO |TOGO FAKTA, POSKOLXKU KAZHDYJ
UCHASTNIK TURNIRA, KROME CHEMPIONA, DOLZHEN PROIGRATX PO KRAJNEJ MERE ODNU
IGRU! oBOBSHCHAYA |TU IDEYU I ISPOLXZUYA "DXYAVOLA", MY MOZHEM BEZ OSOBOGO TRUDA
DOKAZATX TEOREMU shREJERA---kISLICYNA.

\proclaim tEOREMA~S. pRI~$n\ge 2$ SPRAVEDLIVO
RAVENSTVO~$V_2(n)=W_2(n)=n-2+\ceil{\log_2 n}$.

\proof pREDPOLOZHIM, CHTO V TURNIRE, GDE S POMOSHCHXYU NEKOTOROJ DANNOJ
PROCEDURY DOLZHEN OPREDELITXSYA VTOROJ IGROK, UCHASTVUYUT $n$~IGROKOV, I
PUSTX~$a_j$---CHISLO IGROKOV, PROIGRAVSHIH~$j$ ILI BOLXSHE MATCHEJ. oBSHCHEE
CHISLO SYGRANNYH MATCHEJ BUDET TOGDA RAVNO~$a_1+a_2+a_3+\ldots\,$. mY NE
MOZHEM OPREDELITX VTOROGO IGROKA, NE VYYAVIV ZAODNO I CHEMPIONA (SM.~UPR.~2),
 PO|TOMU IZ PREDYDUSHCHIH RASSUZHDENIJ~$a_1=n-1$. dLYA ZAVERSHENIYA
DOKAZATELXSTVA POKAZHEM, CHTO VSEGDA SUSHCHESTVUET POSLEDOVATELXNOSTX
REZULXTATOV MATCHEJ, KOTORAYA PRIVODIT K~$a_2\ge \ceil{\log_2 n}-1$.

pREDPOLOZHIM, CHTO K KONCU TURNIRA CHEMPION SYGRAL $p$~IGR I POBEDIL
$p$~IGROKOV; ODNIM IZ NIH BYL VTOROJ IGROK, A OSTALXNYE DOLZHNY PROIGRATX
PO KRAJNEJ MERE ESHCHE PO ODNOMU RAZU, PO|TOMU~$a_2\ge p-1$. iTAK, MY MOZHEM
ZAKONCHITX DOKAZATELXSTVO, POSTROIV DXYAVOLA, PREDOPREDELYAYUSHCHEGO REZULXTATY
IGR TAKIM OBRAZOM, CHTOBY CHEMPIONU PRISHLOSX SYGRATX PO KRAJNEJ MERE ESHCHE
S~$\ceil{\log_2 n}$~DRUGIMI UCHASTNIKAMI TURNIRA.

pUSTX DXYAVOL SCHITAET, CHTO IGROK~$A$ LUCHSHE, CHEM~$B$, ESLI~$A$ RANEE NE
PROIGRYVAL, A~$B$ HOTYA BY ODNAZHDY PROIGRAL, ILI ESLI OBA NE PROIGRYVALI,
NO $B$~VYIGRAL K |TOMU MOMENTU MENXSHE MATCHEJ, CHEM~$A$. pRI DRUGIH
OBSTOYATELXSTVAH DXYAVOL MOZHET PRINIMATX PROIZVOLXNOE RESHENIE, NE
PROTIVORECHASHCHEE NEKOTOROMU CHASTICHNOMU UPORYADOCHENIYU.

rASSMOTRIM REZULXTATY ZAVERSHENNOGO TURNIRA, MATCHI
KOTOROGO PREDOPREDELYALISX TAKIM DXYAVOLOM. mY SKAZHEM, CHTO "$A$
PREVOSHODIT $B$" TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA~$A=B$ ILI
$A$~PREVOSHODIT IGROKA, KOTORYJ PERVYM POBEDIL~$B$. (tOLXKO PERVOE
PORAZHENIE IGROKA SUSHCHESTVENNO V |TOM OTNOSHENII, POSLEDUYUSHCHIE EGO
IGRY IGNORIRUYUTSYA. v SOOTVETSTVII S USTROJSTVOM DXYAVOLA LYUBOJ IGROK,
\emph{PERVYM} POBEDIVSHIJ KAKOGO-TO, NI V ODNOJ IZ PREDYDUSHCHIH VSTRECH NE
DOLZHEN IMETX PORAZHENIJ. oTSYUDA SLEDUET, CHTO
%%256
IGROK, KOTORYJ VYIGRAL SVOI PERVYE $p$~MATCHEJ, PREVOSHODIT NA OSNOVANII
|TIH $p$~IGR NE BOLEE $2^p$~IGROKOV. (eSLI~$p=0$, |TO OCHEVIDNO, ESLI ZHE
$p>0$, TO $p\hbox{-J}$~MATCH BYL SYGRAN PROTIV IGROKA, KOTORYJ LIBO RANEE
POTERPEL PORAZHENIE, LIBO PREVOSHODIT NE BOLEE~$2^{p-1}$~IGROKOV.) chEMPION
PREVOSHODIT VSEH, PO|TOMU ON DOLZHEN BYL SYGRATX NE MENEE
$\ceil{\log_2 n}$~MATCHEJ.
\proofend

tAKIM OBRAZOM, ZADACHA NAHOZHDENIYA VTOROGO V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENTA
POLNOSTXYU RESHENA V MINIMAKSNOM SMYSLE. v UPR.~6 POKAZANO, CHTO MOZHNO DATX
PROSTUYU FORMULU DLYA MINIMALXNOGO CHISLA SRAVNENIJ, NEOBHODIMYH DLYA
VYYAVLENIYA VTOROGO |LEMENTA MNOZHESTVA, ESLI IZVESTNO PROIZVOLXNOE
CHASTICHNOE UPORYADOCHENIE |LEMENTOV.

\qsection a ESLI $t>2$? v UPOMYANUTOJ STATXE kISLICYN POSHEL DALXSHE. oN
RASSMOTREL BOLXSHIE ZNACHENIYA~$t$, DOKAZAV, CHTO
$$
W_t(n)\le n-t+\sum_{n+1-t<j\le n} \ceil{\log_2 j} \rem{PRI~$n\ge t$.}
\eqno  (6)
$$

mY VIDELI, CHTO PRI~$t=1$ I~$t=2$ |TA FORMULA PREDSTAVLYAET SOBOJ RAVENSTVO;
PRI~$t=3$ ONA MOZHET BYTX SLEGKA ULUCHSHENA (SM.~UPR.~21).

mY DOKAZHEM TEOREMU kISLICYNA, POKAZAV, CHTO PERVYE $t$~STADIJ \emph{VYBORA
IZ DEREVA} TREBUYUT NE BOLEE~$n-t+\sum_{n+1-t<j\le n}\ceil{\log_2 j}$
SRAVNENIJ (ISKLYUCHAYA VSE SRAVNENIYA, SODERZHASHCHIE~$-\infty$). iNTERESNO, CHTO
PRAVAYA CHASTX~(6) RAVNA~$B(n)$, KOGDA~$t=n-1$
I~$t=n$ [SM.~FORMULU~(5.3.1-3)]; SLEDOVATELXNO, VYBOR IZ DEREVA I
BINARNYE VSTAVKI PRIVODYAT K ODNOJ I TOJ ZHE VERHNEJ OCENKE DLYA ZADACHI
SORTIROVKI, HOTYA |TO SOVERSHENNO RAZLICHNYE METODY.

pUSTX~$\alpha$---RASSHIRENNOE BINARNOE DEREVO S $n$~VNESHNIMI UZLAMI
I~$\pi$---PERESTANOVKA MNOZHESTVA~$\set{1,2,~\ldots, n}$. pOMESTIM |LEMENTY
PERESTANOVKI~$\pi$ VO VNESHNIE UZLY SLEVA NAPRAVO V SIMMETRICHNOM PORYADKE I
ZAPOLNIM VNUTRENNIE UZLY V SOOTVETSTVII S PRAVILAMI TURNIRA S VYBYVANIEM
KAK PRI VYBORE IZ DEREVA. pOVTORNOE PRIMENENIE OPERACII VYBORA K
REZULXTIRUYUSHCHEMU DEREVU OPREDELYAET POSLEDOVATELXNOSTX~$c_{n-1}
c_{n-2}~\ldots c_1$, GDE $c_j$~ESTX CHISLO SRAVNENIJ, TREBUEMYH, CHTOBY.
PERENESTI |LEMENT~$j$ V KORENX DEREVA, POSLE TOGO KAK |LEMENT~$j+1$ BYL
ZAMENEN NA~$-\infty$. nAPRIMER, ESLI $\alpha$---DEREVO
\picture{p.256}
%%257
A~$\pi=5\ 3\ 1\ 4\ 2$,TO MY POLUCHAEM POSLEDOVATELXNYE DEREVXYA
\picture{p. 257.1}
eSLI ZHE $\pi=3\ 1\ 5\ 4\ 2$, TO POSLEDOVATELXNOSTX~$c_4c_3c_2c_1$
BUDET INOJ, IMENNO~$2\ 1\ 1\ 0$. lEGKO VIDETX, CHTO $c_1$~VSEGDA ESTX~0.

pUSTX~$\mu(\alpha, \pi)$---MULXTIMNOZHESTVO~$\set{c_{n-1}, c_{n-2},~\ldots,
c_1}$, OPREDELYAEMOE~$\alpha$ I~$\pi$. eSLI
\picture{p.257.2}
I ESLI |LEMENTY~1 I~2 NE SODERZHATSYA OBA LIBO V~$\alpha'$, LIBO
V~$\alpha''$, TO LEGKO VIDETX, CHTO
$$
\mu(\alpha, \pi)=(\mu(\alpha', \pi')+1)\uplus (\mu(\alpha'', \pi'')+1)\uplus\set{0}
\eqno(8)
$$
DLYA PODHODYASHCHIH PERESTANOVOK~$\pi'$ I~$\pi''$, GDE
$(\mu+1)$~OBOZNACHAET MULXTIMNOZHESTVO, POLUCHAEMOE PRIBAVLENIEM~1 K KAZHDOMU
|LEMENTU~$\mu$. s DRUGOJ STORONY, ESLI I |LEMENT~1, I |LEMENT~2
NAHODYATSYA V~$\alpha'$, IMEEM
$$
\mu(\alpha, \pi)=(\mu(\alpha', \pi')+\varepsilon)\uplus(\mu(\alpha'', \pi'')+1)\uplus\set{0},
$$
GDE $(\mu+\varepsilon)$~OBOZNACHAET KAKOE-NIBUDX MULXTIMNOZHESTVO,
POLUCHAEMOE PRIBAVLENIEM~1 K NEKOTORYM |LEMENTAM~$\mu$ I~0 K OSTALXNYM.
aNALOGICHNAYA FORMULA SPRAVEDLIVA, ESLI |LEMENTY~1 I~2 NAHODYATSYA
V~$\alpha''$. bUDEM GOVORITX, CHTO MULXTIMNOZHESTVO~$\mu_1$
MAZHORIRUET~$\mu_2$, ESLI~$\mu_1$ I~$\mu_2$ SODERZHAT RAVNOE CHISLO
|LEMENTOV I $k\hbox{-J}$ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENT~$\mu_1$ BOLXSHE ILI
RAVEN~$k\hbox{-GO}$ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENTA~$\mu_2$ DLYA VSEH~$k$.
oPREDELIM~$\mu(\alpha)$ KAK MAZHORANTU~$\mu(\alpha, \pi)$ PO VSEM
PERESTANOVKAM~$\pi$ V TOM SMYSLE, CHTO~$\mu(\alpha)$
MAZHORIRUET~$\mu(\alpha,\pi)$ PRI VSEH~$\pi$ I~$\mu(\alpha)=\mu(\alpha, \pi)$
PRI NEKOTOROM~$\pi$. pRIVEDENNYE VYSHE FORMULY POKAZYVAYUT, CHTO
\picture{p.257.3}
SLEDOVATELXNO, \dfn{$\mu(\alpha)$ ESTX MULXTIMNOZHESTVO VSEH RASSTOYANIJ
OT KORNYA DO VNUTRENNIH UZLOV~$\alpha$.}

%% 258

eSLI CHITATELX USLEDIL ZA HODOM NASHIH RASSUZHDENII, EMU DOLZHNO BYTX YASNO,
CHTO TEPERX MY GOTOVY DOKAZATX TEOREMU kISLICYNA~(6), POSKOLXKU
$W_t(n)$~MENXSHE ILI RAVNO $n-1$~PLYUS~$t-1$ NAIBOLXSHIH
|LEMENTOV~$\mu(\alpha)$, GDE $\alpha$---LYUBOE DEREVO, ISPOLXZUEMOE PRI
SORTIROVKE POSREDSTVOM VYBORA IZ DEREVA. mOZHNO VYBRATX V KACHESTVE~$\alpha$
POLNOE BINARNOE DEREVO S $n$~VNESHNIMI UZLAMI (SM.~P.~2.3.4.5); V |TOM SLUCHAE
$$
\eqalignno{
\mu(\alpha) &=\set{\floor{\log_2 1}, \floor{\log_2 2}, \ldots, \floor{\log_2(n-1)}}=\cr
&=\set{\ceil{\log_2 2}-1, \ceil{\log_2 3}-1, \ldots, \ceil{\log_2 n}-1}.
&(10) \cr
}
$$
mY POLUCHIM FORMULU~(6), ESLI RASSMOTRIM $t-1$~NAIBOLXSHIH |LEMENTOV |TOGO
MULXTIMNOZHESTVA.

tEOREMA kISLICYNA DAET HOROSHUYU VERHNYUYU OCENKU DLYA~$W_t(n)$; kISLICYN
OTMETIL, CHTO~$V_3(5)=6 < W_3(5)=7$, NO NE SMOG NAJTI V OBSHCHEM SLUCHAE LUCHSHUYU
OCENKU DLYA~$V_t(n)$. eTO BYLO SDELANO a.~aDXYANOM I~m.~sOBELEM, KOTORYE
ISPOLXZOVALI \emph{VYBOR S ZAMESHCHENIEM} VMESTO VYBORA IZ DEREVA
(SM.~P.~5.4.1). vYVEDENNAYA IMI FORMULA [Univ.\ of~Minnesota,
Dept.~of~statistics, report~121 (May, 1969)]
$$
V_t(n)\le n-t+(t-1)\ceil{\log_2 (n+2-t)}, \rem{$n\ge t$,}
\eqno(11)
$$
OTLICHAETSYA OT~(6) TEM, CHTO KAZHDYJ |LEMENT SUMMY V~(6) ZAMENEN NA
NAIMENXSHIJ |LEMENT.

tEOREMU aDXYANA I~sOBELYA MOZHNO DOKAZATX, VOSPOLXZOVAVSHISX SLEDUYUSHCHIM
POSTROENIEM. sNACHALA OBRAZUEM BINARNOE DEREVO DLYA TURNIRA S VYBYVANIEM
$n-t+2$~|LEMENTOV. (eTO TREBUET $n-t+1$~SRAVNENIJ.) nAIBOLXSHIJ |LEMENT
PREVOSHODIT $n-t+1$~DRUGIH |LEMENTOV, PO|TOMU ON NE MOZHET
BYTX~$t\hbox{-M}$ V PORYADKE UBYVANIYA. zAMENIM EGO VO VNESHNEM UZLE DEREVA
NA ODIN IZ $t-2$~|LEMENTOV, OSTAVSHIHSYA V REZERVE, I NAJDEM NAIBOLXSHIJ IZ
POLUCHIVSHIHSYA $n-t+2$~|LEMENTOV; |TO TREBUET NE BOLEE $\ceil{\log_2
(n+2-t)}$~SRAVNENIJ, POSKOLXKU PRIDETSYA ZANOVO VYCHISLITX TOLXKO ODIN
PUTX V DEREVE. pOVTORIM |TU OPERACIYU VSEGO $t-2$~RAZ, PO ODNOMU RAZU DLYA
KAZHDOGO |LEMENTA IZ REZERVA. nAKONEC, ZAMENIM TEKUSHCHIJ NAIBOLXSHIJ |LEMENT
NA~$-\infty$ I OPREDELIM NAIBOLXSHIJ IZ OSTAVSHIHSYA $n+1-t$~|LEMENTOV;
DLYA |TOGO POTREBUETSYA NE BOLEE $\ceil{\log_2 (n+2-t)}-1$~SRAVNENIJ,
I~$t\hbox{-J}$ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENT ISHODNOGO MNOZHESTVA POPADET V
KORENX DEREVA. sUMMIROVANIE SRAVNENIJ DAET~(11).

rAZUMEETSYA, MY DOLZHNY ZAMENITX~$t$ NA~$n+1-t$ V PRAVOJ CHASTI
SOOTNOSHENIYA~(11), ESLI $n+1-t$~DAET LUCHSHEE ZNACHENIE (KAK PRI~$n=6$, $t=3$).
 kAK NI STRANNO, NO |TA FORMULA DAET DLYA~$V_7(13)$ MENXSHUYU OCENKU, CHEM
DLYA~$V_6(13)$. vERHNYAYA OCENKA V~(11) TOCHNA DLYA~$n\le 6$, NO KOGDA~$n$
I~$t$ STANOVYATSYA BOLXSHIMI, MOZHNO POLUCHITX ZNACHITELXNO LUCHSHIE OCENKI
DLYA~$V_t(n)$.

%%259

nAPRIMER, MOZHNO ISPOLXZOVATX SLEDUYUSHCHIJ IZYASHCHNYJ METOD (PRINADLEZHASHCHIJ d|VIDU
dORENU), CHTOBY POKAZATX, CHTO~$V_4(8)\le12$. oBOZNACHIM |LEMENTY CHEREZ~$X_1,
~\ldots, X_8$; SNACHALA SRAVNIM~$X_1:X_2$, $X_3:X_4$ I DVUH POBEDITELEJ,
PRODELAEM TO ZHE DLYA~$X_5:X_6$, $X_7:X_8$, I IH POBEDITELEJ. pEREIMENUEM
|LEMENTY TAK, CHTOBY POLUCHITX~$X_1<X_2<X_4>X_3$, $X_5<X_6<X_8>X_7$, ZATEM
SRAVNIM~$X_2:X_6$;
V SILU SIMMETRII POLOZHIM~$X<2<X_6$, PO|TOMU IMEEM KONFIGURACIYU
\picture{p.259.1}
(tEPERX~$X_1$ I~$X_8$ VYSHLI IZ IGRY, I MY DOLZHNY NAJTI TRETIJ V PORYADKE
UBYVANIYA |LEMENT IZ~$\set{X_2,~\ldots, X_7}$.) sRAVNIM~$X_2:X_7$, I
OTBROSIM MENXSHIJ; V HUDSHEM SLUCHAE POLUCHIM~$X_2<X_7$, I NAM NADO NAJTI
TRETIJ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENT IZ
\picture{p.259.2}
eTO MOZHNO SDELATX ESHCHE ZA $V_3(5)-2=4$~SHAGA, TAK KAK PROCEDURA DLYA~$t=3$
I~$n=5$ V~(11) NACHINAETSYA SO SRAVNENIYA DVUH NEPERESEKAYUSHCHIHSYA PAR |LEMENTOV.

mOZHNO ISPOLXZOVATX DRUGIE TRYUKI PODOBNOGO VIDA, CHTOBY POLUCHITX REZULXTATY,
POKAZANNYE V TABL.~1; DO SIH POR NE VIDNO NIKAKOGO OBSHCHEGO METODA, I
ZNACHENIYA V TABLICE DLYA~$n\ge8$ MOGUT PRETERPETX IZMENENIYA. zAMETIM,
CHTO~$V_3(10)\le 14$, PO|TOMU (11)~NE VSEGDA DAET RAVENSTVO DLYA~$t=3$. tOT
FAKT, CHTO~$V_4(7)=10$, POKAZYVAET, CHTO SOOTNOSHENIE~(11) PRIVODIT K OSHIBKE
NA~2 UZHE PRI~$n=7$.

nEPLOHUYU NIZHNYUYU OCENKU V ZADACHE VYBORA POLUCHIL d|VID kIRKPATRIK
(Ph.~D.~thesis, Univ.\ of~Toronto, 1974]. pOSTROENNYJ IM DXYAVOL
DOKAZYVAET, CHTO
$$
V_t(n)>n+t-3+\sum_{0\le j\le t-2}\ceil{\log_2((n+2-t)/(t+j))},
\rem{$n\ge 2t-1$.}
\eqno(12)
$$
kIRKPATRIK TOCHNO USTANOVIL POVEDENIE FUNKCII~$V_t(n)$ PRI~$t=3$, DOKAZAV,
CHTO~$V_3(n)=n+\ceil{\log_2 ((n-1)/2.5)}+\ceil{\log_2((n-1)/4)}$ PRI
VSEH~$n\ge 50$ (SR.~S~UPR.~22).

\section lINEJNYJ METOD. eSLI $n$~NECHETNO I~$t=\ceil{n/2}$,
TO~$t\hbox{-J}$ V PORYADKE UBYVANIYA (I~$t\hbox{-J}$ V PORYADKE VOZRASTANIYA)
|LEMENT NAZYVAETSYA MEDIANOJ. v SOOTVETSTVII S~(11) MY MOZHEM NAJTI MEDIANU~$n$
%%260
{\catcode`\!=\active\def!{\hbox to 0 pt{${}^*$\hss}}
\htable{tABLICA 1}%
{nAILUCHSHIE IZ IZVESTNYH VERHNIH OCENOK DLYA $V_t(n)$}%
{\strut\bskip\hfill$#$\bskip&&\bskip\hfill$#$\bskip\cr
n  & V_1(n) & V_2(n) & V_3(n) & V_4(n) &  V_5(n) & V_6(n) & V_7(n) & V_8(n) & V_9(n) & V_{10}(n)\cr
\noalign{\hrule}
 1 & 0 \cr
 2 & 1 &  1 \cr
 3 & 2 &  3 & 2  \cr
 4 & 3 &  4 & 4  &  3 \cr
 5 & 4 &  6 & 6  &  6 &  4 \cr
 6 & 5 &  7 & 8  &  8 &  7 &  5 \cr
 7 & 6 &  8 & 10 & 10!& 10 &  8 &  6\cr
 8 & 7 &  9 & 11 & 12 & 12 & 11 &  9 & 7\cr
 9 & 8 & 11 & 12 & 14 & 15!& 14 & 12 & 11  &  8\cr
10 & 9 & 12 & 14!& 15 & 17 & 17 & 15 & 14! & 12 & 9 \cr
\noalign{\hrule}
\multispan{11}\hbox{$*$)~v |TIH SLUCHAYAH UPR.~10--12 DAYUT POSTROENIYA, POZVOLYAYUSHCHIE ULUCHSHITX~(11).}\cr
}}%
|LEMENTOV ZA $\approx {1\over2}n\log_2 n$~SRAVNENIJ, NO |TO LISHX PRIBLIZITELXNO
VDVOE BYSTREE SORTIROVKI, HOTYA NAM NUZHNA ZNACHITELXNO MENXSHAYA INFORMACIYA.
v TECHENIE NESKOLXKIH LET OB�EDINENNYE USILIYA RYADA ISSLEDOVATELEJ BYLI
NAPRAVLENY NA ULUCHSHENIE FORMULY~(11) DLYA BOLXSHIH ZNACHENIJ~$t$ I~$n$;
NAKONEC, V 1971~G. mANU|LX bLUM OTKRYL METOD, TREBUYUSHCHIJ TOLXKO
$O(n \log \log n)$~SHAGOV. pODHOD bLUMA K |TOJ ZADACHE DAL TOLCHOK K RAZVITIYU
NOVOGO KLASSA METODOV, KOTORYJ PRIVEL K SLEDUYUSHCHEMU POSTROENIYU, PRINADLEZHASHCHEMU
r.~rAJVESTU I~r.~tARXYANU.

\proclaim tEOREMA~L. eSLI~$n>32$, TO~$V_t(n)\le 15n-163$ PRI~$1\le t\le n$.

\proof kOGDA $n$~MALO, TEOREMA TRIVIALXNA, TAK
KAK~$V_t(n)\le S(n)\le 10n\le 15n-163$  DLYA~$32<n\le 2^{10}$. dOBAVIV
SAMOE BOLXSHEE 13~FIKTIVNYH |LEMENTOV~"$-\infty$", MOZHNO SCHITATX,
CHTO~$n=7(2q+1)$ PRI NEKOTOROM CELOM~$q\ge 73$. tEPERX DLYA
VYBORA $t\hbox{-GO}$ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENTA VOSPOLXZUEMSYA SLEDUYUSHCHIM
METODOM.
\medskip
{\sl shAG~1.\/}~rAZOBXEM |LEMENTY NA $2q+1$~GRUPP PO 7~|LEMENTOV V KAZHDOJ I
OTSORTIRUEM KAZHDUYU GRUPPU. eTO POTREBUET NE BOLEE $13(2q+ 1)$~SRAVNENIJ.

\smallskip
{\sl shAG~2.\/}~nAJDEM MEDIANU IZ $2q+1$~MEDIAN, POLUCHENNYH NA SHAGE~1, I
OBOZNACHIM EE~$x$. pROVEDYA INDUKCIYU PO~$q$, ZAMECHAEM, CHTO |TO TREBUET NE
BOLEE $V_{q+1}(2q+1)\le 30q-148$~SRAVNENIJ.

\smallskip
{\sl shAG~3.\/}~tEPERX $n-1$~|LEMENTOV, OTLICHNYH OT~$x$, RAZBIVAYUTSYA NA TRI
MNOZHESTVA (RIS.~41):
%%261
\medskip
$4q+3$~|LEMENTOV, O KOTORYH IZVESTNO, CHTO ONI BOLXSHE~$x$ (OBLASTX v);

$4q+3$~|LEMENTOV, O KOTORYH IZVESTNO, CHTO ONI MENXSHE~$x$ (OBLASTX s);

$6q$~|LEMENTOV, OTNOSHENIE KOTORYH K~$x$ NEIZVESTNO (OBLASTI A, D).
\medskip

\noindent vYPOLNIV DOPOLNITELXNO $4q$~SRAVNENIJ, MY MOZHEM V
TOCHNOSTI SKAZATX, KAKIE |LEMENTY IZ OBLASTEJ~a I~D MENXSHE~$x$. (sNACHALA MY
SRAVNIVAEM~$x$ SO SREDNIM |LEMENTOM KAZHDOJ TROJKI.)
\picture{rIS. 41.           aLGORITM VYBORA rAJVESTA I tARXYANA ($q=4$).}
\smallskip
{\sl shAG~4.\/}~tEPERX PRI NEKOTOROM~$r$ MY NASHLI $r$~|LEMENTOV,
BOLXSHIH~$x$, I~$n-1-r$~|LEMENTOV, MENXSHIH~$x$. eSLI~$t=r+1$, TO~$x$ I
BUDET OTVETOM; ESLI~$t<r+1$, TO NAM NUZHNO NAJTI $t\hbox{-J}$~|LEMENT V
PORYADKE UBYVANIYA IZ $r$~B\'OLXSHIH |LEMENTOV; I ESLI~$t>r+1$, TO NAM NUZHNO
NAJTI $(t-1-r)\hbox{-J}$~|LEMENT V PORYADKE UBYVANIYA IZ $n-1-r$~MENXSHIH
|LEMENTOV. sUTX DELA V TOM, CHTO~$r$ I~$n-1-r$ OBA MENXSHE ILI RAVNY~$10q+3$
(RAZMER OBLASTEJ~a I~D PLYUS~v ILI~s). iNDUKCIEJ PO~$q$ VYVODIM, CHTO |TOT
SHAG TREBUET NE BOLEE $15(10q+3)-163$~SRAVNENIJ.
\medskip

oBSHCHEE CHISLO SRAVNENIJ OKAZYVAETSYA NE BOLXSHE
$$
13(2q+1)+30q-148+4q+15(10q+3)-163=15(14q-6)-163.
$$
tAK KAK MY NACHALI S NE MENEE $14q-6$~|LEMENTOV, DOKAZATELXSTVO ZAVERSHENO.
\proofend

mETOD, ISPOLXZOVANNYJ V |TOM DOKAZATELXSTVE, NE VPOLNE SOVERSHENNYJ,
POSKOLXKU NA SHAGE~4 TERYAETSYA ZNACHITELXNAYA INFORMACIYA. tSHCHATELXNYE
ULUCHSHENIYA, PRODELANNYE v.~pRATTOM,
%%262
r.~rAJVESTOM I~r.~tARXYANOM, POKAZYVAYUT, CHTO KONSTANTU~15 MOZHNO UMENXSHITX
DO~$5.43$.

\section sREDNEE CHISLO. vMESTO MINIMIZACII \emph{MAKSIMALXNOGO} CHISLA
SRAVNENIJ MOZHNO ISKATX ALGORITM, KOTORYJ MINIMIZIRUET
\emph{SREDNEE} CHISLO SRAVNENIJ, PREDPOLAGAYA, CHTO PORYADOK SLUCHAEN. kAK
OBYCHNO, |TA ZADACHA ZNACHITELXNO TRUDNEE, I ONA VSE ESHCHE NE RESHENA DAZHE V
SLUCHAE~$t=2$. kLOD pIKAR UPOMYANUL |TU ZADACHU V SVOEJ
\picture{
  rIS.~42. pROCEDURA, KOTORAYA VYBIRAET VTOROJ |LEMENT
  IZ~$\set{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6}$, ISPOLXZUYA V SREDNEM
  $6{1\over2}$~SRAVNENIJ.
kAZHDAYA "SIMMETRICHNAYA" VETVX IDENTICHNA SVOEMU BRATU, ODNAKO IMENA
PERESTAVLENY SOOTVETSTVUYUSHCHIM OBRAZOM. vO VNESHNIH UZLAH ZAPISANO~$j\ k$,
ESLI IZVESTNO, CHTO $X_j$---VTOROJ, a $X_k$---NAIBOLXSHIJ |LEMENT; CHISLO
PERESTANOVOK, PRIVODYASHCHIH K |TOMU UZLU, ZAPISANO NEPOSREDSTVENNO POD NIM.
}
KNIGE Th\'eorie des Questionnaires (1965), SHIROKOE ISSLEDOVANIE BYLO
PREDPRINYATO mILTONOM sOBELEM [Univ.~of Minnesota, Dept.~of Statistics,
report~113 (November, 1968)].

sOBELX POSTROIL PROCEDURU, IZOBRAZHENNUYU NA RIS.~42, KOTORAYA NAHODIT
VTOROJ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENT IZ SHESTI  |LEMENTOV, V SREDNEM ISPOLXZUYA
TOLXKO $6{1\over2}$~SRAVNENIJ. v HUDSHEM
%%263
SLUCHAE TREBUETSYA 8~SRAVNENIJ, I |TO HUZHE, CHEM~$V_2(6)=7$;
NO VSE IZVESTNYE PROCEDURY DLYA |TOJ ZADACHI, TREBUYUSHCHIE NE
BOLEE 7~SRAVNENIJ, ISPOLXZUYUT V SREDNEM PO KRAJNEJ MERE
$6{2\over3}$~SRAVNENIJ. tAKIM OBRAZOM, VEROYATNO, NIKAKAYA PROCEDURA
NAHOZHDENIYA VTOROGO IZ SHESTI |LEMENTOV NE BUDET OPTIMALXNOJ ODNOVREMENNO
I KAK MINIMAKSNAYA, I KAK MINIMIZIRUYUSHCHAYA SREDNEE CHISLO SRAVNENIJ.

pUSTX $\bar V(n)$~OBOZNACHAET MINIMALXNOE SREDNEE CHISLO SRAVNENIJ,
NEOBHODIMYH DLYA OPREDELENIYA $t\hbox{-GO}$~|LEMENTA V PORYADKE UBYVANIYA IZ
$n$~|LEMENTOV. v SLEDUYUSHCHEJ TABLICE POKAZANY NAILUCHSHIE IZVESTNYE VERHNIE
OCENKI DLYA~$\bar V_2(n)$, VYCHISLENNYE sOBELEM:
{\catcode`\!=\active\def!#1,#2/#3.{#1{#2\over#2}}
$$
\vbox{
\halign{
\hfill$#$\bskip&&\bskip$#$\hfill\bskip\cr
n=2& 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \cr
\bar V_2(n)\le 1& !2,2/3. & 4 & !5,4/15. & !6,1/2. & !7,17/21. & 9 & !10,
1/15. & !11,4/135.\cr
}}
\eqno(13)
$$
}
sOBELX PREDPOLOZHIL, CHTO
$$
\bar V_2(n)\ge n-2+\floor{2\log_2 n}/2.
\eqno(14)
$$

r.~u.~fLOJD V 1970~G.\ OBNARUZHIL, CHTO MEDIANA $n$~|LEMENTOV
V SREDNEM MOZHET BYTX NAJDENA VSEGO ZA ${3\over2}n+O\left(n^{2\over3}\log
n\right)$~SRAVNENIJ. (sM.~UPR.~13.) fAKTICHESKI ON DOKAZAL, CHTO
$$
\bar V_t(n)\le n+t+f(n), \rem{GDE $\lim_{n\to\infty} f(n)/n=0$.}
\eqno(15)
$$

pREDPOLAGAETSYA, CHTO |TOT REZULXTAT YAVLYAETSYA NAILUCHSHEJ ASIMPTOTICHESKOJ
FORMULOJ, ODNAKO NIKAKOJ UDOVLETVORITELXNOJ NIZHNEJ OCENKI VSE ESHCHE NE NAJDENO.

\excercises
\ex[15] pOCHEMU V TURNIRE lXYUISA k|RROLA (RIS.~39 I~40) IGROK~$13$
VYBYVAET, NESMOTRYA NA TO CHTO ON VYIGRAL SVOJ MATCH V TRETXEM TURE?

\rex[m25] dOKAZHITE, CHTO POSLE TOGO, KAK MY NASHLI S POMOSHCHXYU
POSLEDOVATELXNOSTI SRAVNENIJ $t\hbox{-J}$ |LEMENT V PORYADKE UBYVANIYA IZ
$n$~|LEMENTOV, MY TAKZHE ZNAEM, KAKIE $t-1$~|LEMENTOV BOLXSHE NEGO I KAKIE
$n-t$~|LEMENTOV MENXSHE.

\ex[M21] dOKAZHITE, CHTO~$V_t(n)\ge V_t(n-1)+1$ PRI~$1\le t \le n$.

\ex[m20] dOKAZHITE, CHTO~$W_t(n)\ge\ceil{\log_2 n^{t\atop -}}$,
GDE~$n^{t\atop -}=n(n-1) \ldots (n+1-t)$.

\ex[10] dOKAZHITE, CHTO~$W_3(n)\le V_3(n)+1$.

\rex[m26] (r.~u.~fLOJD.) dANO $n$~RAZLICHNYH |LEMENTOV~$\set{X_1,~\ldots,
X_n}$ I OTNOSHENIYA~$X_i<X_j$ DLYA NEKOTORYH PAR~$(i, j)$. mY HOTIM NAJTI
VTOROJ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENT. eSLI IZVESTNO, CHTO~$X_i<X_j$
I~$X_i<X_k$ PRI~$j\ne k$, TO~$X_i$ NE MOZHET BYTX VTORYM |LEMENTOM, PO|TOMU
EGO MOZHNO ISKLYUCHITX. v REZULXTATE
%%264
OTNOSHENIYA BUDUT IMETX VID
\picture{p.264}
A IMENNO OBRAZUETSYA $m$~GRUPP |LEMENTOV, KOTORYE MOZHNO PREDSTAVITX
VEKTOROM~$(l_1, l_2,~\ldots, l_m)$; $j\hbox{-YA}$~GRUPPA SODERZHIT
$l_j+1$~|LEMENTOV, PRO ODIN IZ KOTORYH IZVESTNO, CHTO ON BOLXSHE OSTALXNYH.
 nAPRIMER, IZOBRAZHENNAYA KONFIGURACIYA MOZHET BYTX OPISANA VEKTOROM~$(3, 2,
4, 0, 1)$; ESLI NI ODNOGO OTNOSHENIYA NE IZVESTNO, TO IMEEM VEKTOR IZ $n$~NULEJ.

pUSTX~$f(l_1, l_2,~\ldots, l_m)$---MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ, NUZHNYH
DLYA OPREDELENIYA VTOROGO |LEMENTA TAKOGO CHASTICHNO UPORYADOCHENNOGO
MNOZHESTVA. dOKAZHITE, CHTO
$$
f(l_1, l_2,~\ldots, l_m)=m-2+\ceil{\log_2(2^{l_1}+2^{l_2}+\cdots+2^{l_m})}.
$$
[\emph{uKAZANIE.} pOKAZHITE, CHTO NAILUCHSHAYA STRATEGIJ VSEGDA SOSTOIT V TOM,
CHTOBY  SRAVNIVATX NAIBOLXSHIE |LEMENTY DVUH SAMYH MALENXKIH GRUPP, POKA NE
SVEDEM OT K EDINICE; ISPOLXZUJTE INDUKCIYU Po~$l_1+l_2+\cdots+l_m+2m$.]

\ex[m20] dOKAZHITE~(8).

\ex[m21] fORMULA kISLICYNA~(6) OSNOVANA NA SORTIROVKE POSREDSTVOM VYBORA
IZ DEREVA, ISPOLXZUYUSHCHEJ POLNOE BINARNOE DEREVO S $n$~VNESHNIMI UZLAMI.
mOZHET LI VYBOR IZ DEREVA, OSNOVANNYJ NA NEKOTOROM \emph{DRUGOM} DEREVE,
 DATX LUCHSHUYU OCENKU DLYA KAKIH-NIBUDX $t$ u~$n$?

\rex[20] nARISUJTE DEREVO SRAVNENIJ DLYA NAHOZHDENIYA MEDIANY PYATI
|LEMENTOV NE BOLEE CHEM ZA SHESTX SHAGOV, ISPOLXZUYA METOD VYBORA S
ZAMESHCHENIEM aDXYANA I~sOBELYA [SM.~(11)].

\ex[35] pOKAZHITE, CHTO MEDIANA SEMI |LEMENTOV MOZHET BYTX NAJDENA NE BOLEE
CHEM ZA 10~SHAGOV.

\ex[28] (aDXYAN I~sOBELX.) rASSHIRIV METOD dORENA, SFORMULIROVANNYJ V TEKSTE,
POKAZHITE, CHTO MEDIANA DEVYATI |LEMENTOV MOZHET BYTX NAJDENA NE BOLEE CHEM ZA
15~SHAGOV.

\ex[21] (aDXYAN I~sOBELX.) dOKAZHITE, CHTO~$V_3(n)\le V_3(n-1)+2$.
[\emph{uKAZANIE:} NACHNITE S UDALENIYA NAIMENXSHEGO IZ~$\set{X_1, X_2, X_3, X_4}$.]

\rex[vm28] (r.~u.~fLOJD.) pOKAZHITE, CHTO ESLI NACHATX S NAHOZHDENIYA
MEDIANY~$\set{X_1,~\ldots, X_{n^{2/3}}}$, ISPOLXZUYA REKURSIVNO
OPREDELENNYJ METOD, TO MOZHNO
NAJTI MEDIANU~$\set{X_1,~\ldots, X_n}$, VYPOLNIV V SREDNEM
${3\over2}n+O(n^{2/3}\log n)$~SRAVNENIJ.

\rex[20] (m.~sOBELX.) pOKAZHITE, CHTO, ISPOLXZOVAV NE BOLEE PYATI SRAVNENIJ,
 MOZHNO NAJTI DVA NAIBOLXSHIE |LEMENTA IZ~$\set{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5}$,
ESLI NE VAZHEN IH VZAIMNYJ PORYADOK.

\ex[22] (i.~pOL.) pREDPOLOZHIM, CHTO NAS INTERESUET MINIMIZACIYA
PROSTRANSTVA, A NE VREMENI. kAKOE MINIMALXNOE CHISLO SLOV PAMYATI
TREBUETSYA DLYA VYCHISLENIYA~$t\hbox{-GO}$ IZ $n$~|LEMENTOV, ESLI KAZHDYJ
|LEMENT ZANIMAET ODNO SLOVO I |LEMENTY VVODYATSYA V OSOBYJ REGISTR PO ODNOMU?

\rex[25] (i.~pOL.) pOKAZHITE, CHTO MY MOZHEM NAJTI ODNOVREMENNO MAKSIMUM I
MINIMUM MNOZHESTVA IZ $n$~|LEMENTOV, ISPOLXZOVAV NE BOLEE
$\ceil{{3\over2}n}-2$~SRAVNENIJ, I |TO CHISLO NE MOZHET BYTX UMENXSHENO.
[\emph{uKAZANIE.} lYUBAYA STADIYA TAKOGO ALGORITMA MOZHET BYTX PREDSTAVLENA
CHETVERKOJ~$(a, b, c, d)$, GDE $a$~|LEMENTOV VOOBSHCHE NE SRAVNIVALISX,
$b$~|LEMENTOV VYIGRYVALI, NO NIKOGDA NE PROIGRYVALI,
%%265
$c$~PROIGRYVALI, NO NIKOGDA NE VYIGRYVALI, $d$~KAK VYIGRYVALI,
TAK I PROIGRYVALI. pOSTROJTE PODHODYASHCHEGO DXYAVOLA.]

\ex[20] (r.~u.~fLOJD.) pOKAZHITE, CHTO MOZHNO VYBRATX $k$~NAIBOLXSHIH
I~$l$~NAIMENXSHIH |LEMENTOV MNOZHESTVA IZ $n$~|LEMENTOV, ISPOLXZOVAV NE BOLEE
$\ceil{{3\over2}n}-k-l+\sum_{n+1-k<j\le n}\ceil{\log_2 j}+\sum_{n+1-l<j\le n}\ceil{\log_2j}$~SRAVNENIJ.

\ex[m20] eSLI BY V DOKAZATELXSTVE TEOREMY~L BYLI ISPOLXZOVANY
GRUPPY RAZMERA~5, A NE~7, TO KAKAYA BY POLUCHILASX TEOREMA?

\ex[m44] nAJDITE TOCHNOE ZNACHENIE~$\bar V_2(6)$. mOZHET LI ONO DOSTIGATXSYA V
PROCEDURE, NIKOGDA NE VYPOLNYAYUSHCHEJ BOLEE SEMI SRAVNENIJ?

\ex[m47] dOKAZHITE (ILI OPROVERGNITE) PREDPOLOZHENIE sOBELYA~(13).

\ex[25] (s.~lIN.) dOKAZHITE, CHTO~$W_3(2^k+2)\le 2^k+2k$, ESLI~$k\ge3$.

\ex[24] (d|VID g.~kIRKPATRIK.) pOKAZHITE, CHTO V
SLUCHAE~$4\cdot2^k<n-1<5\cdot2^k$ VERHNYAYA OCENKA~(11) DLYA~$V_3(n)$ MOZHET
BYTX SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM UMENXSHENA NA~1: (i)~oBRAZUJTE CHETYRE "DEREVA S
VYBYVANIEM" RAZMERA~$2^k$. (ii)~nAJDITE MINIMALXNYJ IZ CHETYREH MAKSIMUMOV
I UDALITE VSE $2^k$~|LEMENTOV SOOTVETSTVUYUSHCHEGO DEREVA. (iii)~iSPOLXZUYA
NAKOPLENNUYU INFORMACIYU, POSTROJTE ODNO DEREVO S VYBYVANIEM
RAZMERA~$n-1-2^k$. (iv)~pRODOLZHAJTE, KAK PRI DOKAZATELXSTVE~(11).

\ex[m49] kAKOVO ASIMPTOTICHESKOE ZNACHENIE~$V_{\ceil{n/2}}(n)$ PRI~$n\to\infty$?

\ex[m48] kAKOVO ASIMPTOTICHESKOE ZNACHENIE~$\bar V_{\ceil{n/2}}(n)$
PRI~$n\to\infty$?

\subsubchap{sETI SORTIROVKI} %5.3.4
v NASTOYASHCHEM PUNKTE MY BUDEM IZUCHATX KLASS METODOV SORTIROVKI,
UDOVLETVORYAYUSHCHIH NEKOTOROMU OGRANICHENIYU. iNTERES K TAKIM METODAM
OB�YASNYAETSYA V OSNOVNOM PRILOZHENIYAMI I SOLIDNOJ TEORETICHESKOJ OSNOVOJ.
eTO NOVOE OGRANICHENIE TREBUET, CHTOBY \emph{POSLEDOVATELXNOSTX SRAVNENIJ NE
ZAVISELA OT PREDYSTORII}%
\note{1}%
{v PERVOJ REDAKCII KNIGI AVTOR NAZYVAL TAKUYU POSLEDOVATELXNOSTX
ODNORODNOJ.---{\sl pRIM. RED.\/}}
V TOM SMYSLE, CHTO ESLI MY SRAVNIVAEM~$K_i$ I~$K_j$, TO POSLEDUYUSHCHIE
SRAVNENIYA DLYA SLUCHAYA~$K_i<K_j$ V TOCHNOSTI TE ZHE, CHTO I
DLYA SLUCHAYA~$K_i>K_j$, ODNAKO~$i$ I~$j$ MENYAYUTSYA ROLYAMI. nA
RIS.~43(A) IZOBRAZHENO DEREVO SRAVNENIJ, V KOTOROM |TO USLOVIE
VYPOLNENO. (zAMETIM, CHTO NA KAZHDOM UROVNE PROIZVODITSYA ODINAKOVOE
CHISLO SRAVNENIJ, PO|TOMU POSLE $m$~SRAVNENIJ IMEETSYA $2^m$~REZULXTATOV;
TAK KAK~$n!$ NE YAVLYAETSYA STEPENXYU~2, TO NEKOTORYE SRAVNENIYA BUDUT
IZLISHNIMI V TOM SMYSLE, CHTO ODNO IZ IH PODDEREVXEV NIKOGDA NE VSTRECHAETSYA
NA PRAKTIKE. iNYMI SLOVAMI, NA NEKOTORYH VETVYAH DEREVA PRIHODITSYA
VYPOLNYATX BOLXSHE SRAVNENIJ, CHEM NEOBHODIMO, CHTOBY SORTIROVKA BYLA
PRAVILXNOJ NA VSEH SOOTVETSTVUYUSHCHIH VETVYAH.)

tAK KAK KAZHDYJ PUTX TAKOGO DEREVA SVERHU DONIZU OPREDELYAET VSE DEREVO,
TO PODOBNUYU SHEMU SORTIROVKI PROSHCHE IZOBRAZHATX V VIDE \dfn{SETI,} KAK NA
RIS.~43(b). pRYAMOUGOLXNIKI V TAKOJ SETI PREDSTAVLYAYUT "KOMPARATORNYE
MODULI", IMEYUSHCHIE DVA VHODA (IZOBRAZHENNYE LINIYAMI, VHODYASHCHIMI V MODULX SVERHU)
%%266
\picture{rIS. 43. dEREVO SRAVNENIJ, V KOTOROM NE UCHITYVAETSYA PREDYSTORIYA,
(a) I SOOTVETSTVUYUSHCHAYA SETX~(b).}
%%267
I DVA VYHODA (IZOBRAZHENNYE LINIYAMI, VYHODYASHCHIMI VNIZ); LEVYJ VYHOD ESTX
MENXSHIJ IZ DVUH VHODOV, A PRAVYJ VYHOD---BOLXSHIJ IZ NIH. eLEMENT~$K'_1$ V
NIZHNEJ CHASTI SETI ESTX NAIMENXSHIJ IZ~$\set{K_1, K_2, K_3, K_4}$,
$K'_2$---VTOROJ V PORYADKE VOZRASTANIYA I~T.~D. nETRUDNO DOKAZATX, CHTO LYUBAYA
SETX SORTIROVKI SOOTVETSTVUET DEREVU SRAVNENIJ, OBLADAYUSHCHEMU SVOJSTVOM
NEZAVISIMOSTI OT PREDYSTORII (V UKAZANNOM VYSHE SMYSLE), I CHTO LYUBOE
TAKOE DEREVO SOOTVETSTVUET SETI KOMPARATORNYH MODULEJ.

mEZHDU PROCHIM ZAMETIM, CHTO S INZHENERNOJ TOCHKI ZRENIYA KOMPARATORNYJ MODULX
DOVOLXNO LEGKO IZGOTOVITX. pREDPOLOZHIM, NAPRIMER, CHTO PO LINIYAM SVYAZI V
MODULX POSTUPAYUT DVOICHNYE CHISLA PO ODNOMU BITU V EDINICU VREMENI, NACHINAYA
SO STARSHEGO. kAZHDYJ KOMPARATORNYJ MODULX IMEET TRI SOSTOYANIYA I
FUNKCIONIRUET SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM:
$$
\matrix{
\multispan{3}\hfill\hbox{mOMENT $t$}\hfill &\multispan{3}\hfill \hbox{mOMENT $(t+1)$}\hfill\cr
\hbox{sOSTOYANIE} & \hbox{vHODY}\hfill\span & \hbox{sOSTOYANIE} &\hbox{vYHODY}\hfill\span\cr
0                & 0 & 0                   & 0                & 0 & 0\cr
0                & 0 & 1                   & 1                & 0 & 1\cr
0                & 1 & 0                   & 2                & 0 & 1\cr
0                & 1 & 1                   & 0                & 1 & 1\cr
1                & x & y                   & 1                & x & y\cr
2                & x & y                   & 2                & y & x\cr
}
$$
pERVONACHALXNO VSE MODULI NAHODYATSYA V SOSTOYANII~0 I VYDAYUT~$00$. mODULX
PEREHODIT V SOSTOYANIE~1 ILI~2, KAK TOLXKO EGO VHODY STANUT RAZLICHNYMI.
chISLA, KOTORYE V MOMENT VREMENI~$t$ NACHALI POSTUPATX SVERHU V SETX,
SOOTVETSTVUYUSHCHUYU RIS.~43(b), NACHNUT V MOMENT~$t+3$ VYVODITXSYA SNIZU V
OTSORTIROVANNOM
\picture{rIS.~44. eSHCHE ODIN SPOSOB PREDSTAVLENIYA SORTIROVKI
POSLEDOVATELXNOSTI $\langle 4, 1, 3, 2\rangle$ POSREDSTVOM SETI,
IZOBRAZHENNOJ NA RIS.~43.}
PORYADKE, ESLI VKLYUCHITX SOOTVETSTVUYUSHCHIJ ZADERZHIVAYUSHCHIJ |LEMENT V
LINIYAH~$K'_1$ I~$K'_4$.

dLYA RAZRABOTKI TEORII SETEJ SORTIROVKI UDOBNO IZOBRAZHATX IH NESKOLXKO
INYM SPOSOBOM (RIS.~44). nA |TOM RISUNKE CHISLA POSTUPAYUT SLEVA, A
KOMPARATORNYE MODULI IZOBRAZHENY VERTIKALXNYMI SOEDINENIYAMI MEZHDU DVUMYA
PRYAMYMI; KAZHDYJ
%%268
KOMPARATOR VYZYVAET, ESLI NEOBHODIMO, PERESTANOVKU SVOIH VHODOV TAKIM
OBRAZOM, CHTO POSLE PROHOZHDENIYA KOMPARATORA BOLXSHEE CHISLO OKAZYVAETSYA NA
NIZHNEJ LINII. v PRAVOJ CHASTI DIAGRAMMY VSE CHISLA UPORYADOCHENY SVERHU VNIZ.

rANEE, IZUCHAYA OPTIMALXNUYU SORTIROVKU, MY UDELYALI OSNOVNOE VNIMANIE
MINIMIZACII CHISLA SRAVNENIJ, POCHTI (ILI SOVSEM)
\picture{rIS.~45. pOLUCHENIE $(n+1)$-|LEMENTNOGO SORTIROVSHCHIKA IZ
$n$-|LEMENTNOGO: (a)---VSTAVKA; (b)---VYBOR.}
NE UCHITYVAYA PEREMESHCHENIE DANNYH ILI SLOZHNOSTX STRUKTURY RESHENIJ METODA
SORTIROVKI. v |TOM OTNOSHENII SETI SORTIROVKI IMEYUT NEKOTOROE PREIMUSHCHESTVO,
TAK KAK DANNYE MOGUT HRANITXSYA V $n$~YACHEJKAH, A STRUKTURA RESHENIJ
"PRYAMOLINEJNA"; NET NEOBHODIMOSTI ZAPOMINATX REZULXTATY PREDYDUSHCHIH
SRAVNENIJ---PLAN NEIZMENEN I FIKSIROVAN ZARANEE. eSHCHE ODNIM VAZHNYM
\picture{rIS.~46. sETEVYE ANALOGI |LEMENTARNYH SHEM
VNUTRENNEJ SORTIROVKI, POLUCHENNYE MNOGOKRATNYM PRIMENENIEM OPERACII,
PREDSTAVLENNOJ NA RIS.~45: (a)---PROSTAYA VSTAVKA; (b)---METOD PUZYRXKA.}
PREIMUSHCHESTVOM SETEJ SORTIROVKI YAVLYAETSYA TO, CHTO CHASTX OPERACIJ MOZHNO
SOVMESTITX, ESLI VYPOLNYATX IH ODNOVREMENNO (NA PODHODYASHCHEJ MASHINE).
nAPRIMER, PYATX SHAGOV NA RIS.~43 I~44 SOKRASHCHAYUTSYA DO TREH, ESLI DOPUSTITX
ODNOVREMENNYE NEPEREKRYVAYUSHCHIESYA SRAVNENIYA, TAK KAK MOZHNO OB�EDINITX
PERVYE DVA I SLEDUYUSHCHIE DVA SHAGA; POZDNEE V DANNOM PUNKTE MY ISPOLXZUEM
%%269
|TO SVOJSTVO SETEJ SORTIROVKI. tAKIM OBRAZOM, SETI SORTIROVKI MOGUT BYTX
OCHENX POLEZNY, HOTYA VOZMOZHNOSTX POSTROENIYA |FFEKTIVNOJ SETI SORTIROVKI
$n$~|LEMENTOV PRI BOLXSHIH~$n$ VOVSE NE OCHEVIDNA; VOZMOZHNO, MY OBNARUZHIM,
CHTO DLYA PODDERZHANIYA ODNORODNOJ STRUKTURY RESHENIJ TREBUETSYA MNOGO
DOPOLNITELXNYH SRAVNENIJ.

iMEETSYA DVA PROSTYH SPOSOBA POSTROENIYA SETI SORTIROVKI. DLYA
$n+1$~|LEMENTOV, ESLI DANA SETX DLYA $n$~|LEMENTOV: S ISPOLXZOVANIEM LIBO
PRINCIPA \emph{VSTAVKI,} LIBO PRINCIPA \emph{VYBORA.} nA
\picture{rIS.~47. pRI PARALLELXNOM VYPOLNENII OPERACIJ PROSTAYA VSTAVKA
SOVPADAET S METODOM PUZYRXKA!}
RIS.~45(a) POKAZANO, KAK $(n+1)\hbox{-J}$~|LEMENT MOZHET BYTX VSTAVLEN NA
NUZHNOE MESTO POSLE TOGO, KAK PERVYE $n$~|LEMENTOV OTSORTIROVANY, A NA
RIS.~45(b) POKAZANO, KAK MOZHNO VYBRATX NAIBOLXSHIJ |LEMENT, PREZHDE CHEM
PEREJTI K SORTIROVKE OSTALXNYH. mNOGOKRATNOE PRIMENENIE RIS.~45(a) DAET
SETEVOJ ANALOG PROSTYH VSTAVOK (ALGORITM~5.2.1S), A MNOGOKRATNOE
PRIMENENIE RIS.~45(b) PRIVODIT K SETEVOMU ANALOGU METODA PUZYRXKA
(ALGORITM~5.2.2B). nA RIS.~46 IZOBRAZHENY SOOTVETSTVUYUSHCHIE SETI DLYA SHESTI
|LEMENTOV. iNTERESNO ZAMETITX, CHTO ESLI SZHATX KAZHDUYU SETX, CHTOBY
OBESPECHITX ODNOVREMENNYE OPERACII, TO OBA METODA SVEDUTSYA K ODNOJ I TOJ ZHE
"TREUGOLXNOJ" PROCEDURE S $(2n-3)$~STADIYAMI (RIS.~47).

lEGKO DOKAZATX, CHTO SETI, PREDSTAVLENNYE NA RIS.~43 I~44, BUDUT
SORTIROVATX LYUBOE MNOZHESTVO IZ CHETYREH CHISEL, POSKOLXKU PERVYE CHETYRE
KOMPARATORA NAPRAVLYAYUT NAIMENXSHIJ I NAIBOLXSHIJ |LEMENTY NA POLOZHENNYE IM
MESTA, A POSLEDNIJ KOMPARATOR RASPOLAGAET V TREBUEMOM PORYADKE OSTALXNYE
DVA |LEMENTA. oDNAKO NE VSEGDA TAK LEGKO SKAZATX, BUDET LI DANNAYA SETX
SORTIROVATX VSE VOZMOZHNYE VHODNYE POSLEDOVATELXNOSTI; NAPRIMER, SETI
\picture{p.269}
YAVLYAYUTSYA PRAVILXNYMI CHETYREH|LEMENTIYMI SETYAMI SORTIROVKI, NO
DOKAZATELXSTVO IH PRAVILXNOSTI NETRIVIALXNO. bYLO BY
%%270
DOSTATOCHNO PROVERITX KAZHDUYU $n$-|LEMENTNUYU SETX NA VSEH $n!$~PERESTANOVKAH
$n$~RAZLICHNYH CHISEL, NO FAKTICHESKI MY MOZHEM OBOJTISX ZNACHITELXNO MENXSHIM
KOLICHESTVOM PROVEROK.

\proclaim tEOREMA~Z. (pRINCIP NULEJ I EDINIC.) eSLI SETX S $n$~VHODAMI
SORTIRUET V NEUBYVAYUSHCHEM PORYADKE VSE $2^n$~POSLEDOVATELXNOSTEJ IZ~0 I~1, TO
ONA BUDET SORTIROVATX V NEUBYVAYUSHCHEM PORYADKE LYUBUYU POSLEDOVATELXNOSTX $n$~CHISEL.

\proof (eTO CHASTNYJ SLUCHAJ TEOREMY bURISIUSA, UPR.~5.3.1-12.)
eSLI~$f(x)$---LYUBAYA MONOTONNAYA FUNKCIYA, DLYA KOTOROJ~$f(x)\le f(y)$
PRI~$x\le y$, I ESLI DANNAYA SETX PREOBRAZUET~$\< x_1,~\ldots, x_n>$
V~$\<y_1,~\ldots, y_n>$, TO, KAK NETRUDNO VIDETX, |TA SETX
PREOBRAZUET~$\<f(x_1),~\ldots, f(x_n)>$ V~$\<f(y_1),~\ldots, f(y_n)>$.
eSLI~$y_i>y_{i+1}$ PRI NEKOTOROM~$i$, TO RASSMOTRIM MONOTONNUYU FUNKCIYU~$f$,
 KOTORAYA DLYA VSEH CHISEL $<y_i$ PRINIMAET ZNACHENIE~0, A DLYA VSEH
CHISEL~$\le y_1$---ZNACHENIE~1. eTA FUNKCIYA OPREDELYAET POSLEDOVATELXNOSTX NULEJ
I EDINIC~$\<f(x_1),~\ldots, f(x_n)>$, KOTORAYA NE SORTIRUETSYA DANNOJ SETXYU.
sLEDOVATELXNO, ESLI VSE POSLEDOVATELXNOSTI~0 I~1 PODDAYUTSYA SORTIROVKE,
TO BUDEM IMETX~$y_i\le y_{i+1}$ DLYA VSEH~$1\le i < n$.
\proofend

pRINCIP NULEJ I EDINIC DOVOLXNO POLEZEN DLYA POSTROENIYA SETEJ SORTIROVKI. v
KACHESTVE NETRIVIALXNOGO PRIMERA POLUCHIM OBOBSHCHENNYJ VARIANT "OBMENNOJ
SORTIROVKI SO SLIYANIEM" b|TCHERA (ALGORITM~5.2.2m). iDEYA SOSTOIT V TOM,
CHTOBY SORTIROVATX $m+n$~|LEMENTOV, "SORTIRUYA PERVYE~$m$ I POSLEDNIE~$n$
|LEMENTOV NEZAVISIMO I ZATEM PRIMENYAYA K REZULXTATU \dfn{$(m, n)$-SETX
SLIYANIYA.} pOSTROITX $(m, n)$-SETX SLIYANIYA MOZHNO PO INDUKCII:
{\medskip\narrower
\item{a)}~eSLI~$m=0$ ILI~$n=0$, TO SETX PUSTAYA. eSLI~$m=n=1$, TO SETX
SOSTOIT IZ EDINSTVENNOGO KOMPARATORNOGO MODULYA.

\item{b)}~eSLI~$mn>1$, TO OBOZNACHIM SLIVAEMYE POSLEDOVATELXNOSTI $\<x_1,
~\ldots, x_m>$ I~$\<y_1,~\ldots, y_n>$. sOLXEM "NECHETNYE
POSLEDOVATELXNOSTI"~$\<x_1, x_3,~\ldots, x_{2\ceil{m/2}-1}>$
I~$\<y_1, y_3,~\ldots, y_{2\ceil{n/2}-1}>$ I POLUCHIM OTSORTIROVANNYJ
REZULXTAT~$\<v_1, v_2,~\ldots, v_{\ceil{m/2}+\ceil{n/2}}>$;
SOLXEM "CHETNYE POSLEDOVATELXNOSTI"~$\<x_2, x_4,~\ldots, x_{2\floor{m/2}}>$
I~$\<y_2, y_4,~\ldots, y_{2\floor{n/2}}>$ I POLUCHIM OTSORTIROVANNYJ
REZULXTAT~$\<w_1, w_2,~\ldots, w_{\floor{m/2}+\floor{n/2}}>$. i NAKONEC,
PRIMENIM OPERACII SRAVNENIYA-OBMENA
$$
w_1:v_2, w_2:v_3, w_3:v_4, w_{\floor{m/2}+\floor{n/2}}:v^*
\eqno(1)
$$
K POSLEDOVATELXNOSTI
$$
\<v_1, w_1, v_2, w_2, v_3, w_3,~\ldots, v_{\floor{m/2}+\floor{n/2}},
w_{\floor{m/2}+\floor{n/2}}, v^*, v^{**}>;
\eqno(2)
$$
REZULXTAT BUDET OTSORTIROVAN. (!)
(zDESX~$v^*=v_{\floor{m/2}+\floor{n/2}+1}$ NE SUSHCHESTVUET, ESLI~$m$ I~$n$
OBA CHETNYE, I~$v^{**}=v_{\floor{m/2}+\floor{n/2}+2}$
%% 271
SUSHCHESTVUET, LISHX ESLI~$m$ I~$n$ OBA NECHETNYE; OBSHCHEE CHISLO KOMPARATORNYH
MODULEJ,   UKAZANNYH   V~(1),   RAVNO~$\floor{(m+n)-1)/2}$.)
\medskip}
\noindent nAZOVEM $(m, n)$-SETX SLIYANIYA b|TCHERA \dfn{CHETNO-NECHETNYM
SLIYANIEM.} pOSTROENNOE V SOOTVETSTVII S |TIMI PRINCIPAMI $(4,
7)$-SLIYANIE POKAZANO NA RIS.~48.

\picture{rIS. 48.         chETNO-NECHETNOE SLIYANIE DLYA~$m=4$ I~$n=7$.}

chTOBY DOKAZATX, CHTO |TA OCHENX STRANNAYA PROCEDURA DEJSTVITELXNO RABOTAET
PRI~$mn>1$, VOSPOLXZUEMSYA PRINCIPOM NULEJ I EDINIC I PROVERIM EE NA VSEH
POSLEDOVATELXNOSTYAH~0 I~1. pOSLE NACHALXNYH $m$-SORTIROVKI I $n$-SORTIROVKI
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<x_1,~\ldots, x_m>$ BUDET SOSTOYATX IZ $k$~NULEJ, ZA
KOTORYMI SLEDUYUT $m-k$~EDINIC, A
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<y_1,~\ldots, y_n>$---IZ $l$~NULEJ S
POSLEDUYUSHCHIMI $n-l$~EDINICAMI PRI NEKOTORYH~$k$ I~$l$.
sLEDOVATELXNO, POSLEDOVATELXNOSTX~$\<v_1, v_2,~\ldots>$ BUDET
SOSTOYATX IZ~$\ceil{k/2}+\ceil{l/2}$~NULEJ S POSLEDUYUSHCHIMI EDINICAMI,
A $\<w_1, w_2,~\ldots>$---IZ $\floor{k/2}+\floor{l/2}$~NULEJ S POSLEDUYUSHCHIMI
EDINICAMI. rESHAYUSHCHIM MOMENTOM DOKAZATELXSTVA YAVLYAETSYA TO, CHTO
$$
(\ceil{k/2}+\ceil{l/2})-(\floor{k/2}+\floor{l/2})=0, 1 \hbox{ ILI } 2.
\eqno(3)
$$
eSLI |TA RAZNOSTX RAVNA~0 ILI~1, TO POSLEDOVATELXNOSTX~(2) UZHE UPORYADOCHENA,
 A ESLI ONA RAVNA~2, TO ODNA IZ OPERACIJ SRAVNENIYA-OBMENA V~(1) STAVIT VSE
NA SVOI MESTA. dOKAZATELXSTVO ZAVERSHENO. (zAMETIM, CHTO PRINCIP NULEJ I
EDINIC SVODIT
$\perm{m+n}{m}$~SLUCHAEV V ZADACHE SLIYANIYA VSEGO LISHX K~$(m+1)(n+1)$,
KAZHDYJ IZ KOTORYH IZOBRAZHAETSYA DVUMYA PARAMETRAMI~$k$ I~$l$.)
pUSTX~$C(m, n)$---CHISLO KOMPARATORNYH MODULEJ, ISPOLXZUEMYH PRI
CHETNO-NECHETNOM SLIYANII $m$ I $n$~|LEMENTOV, NE SCHITAYA
%%272
NACHALXNYH $m$- I~$n$-SORTIROVOK; IMEEM
$$
C(m,n)=\cases{
mn, & ESLI $mn\le 1$;\cr
C(\ceil{m/2}, \ceil{n/2})+C(\floor{m/2}, \floor{n/2})+ \floor{(m+n-1)/2},
& ESLI $mn>1$.\cr
}
\eqno(4)
$$

v OBSHCHEM SLUCHAE |TO NE SLISHKOM PROSTAYA FUNKCIYA OT~$m$ I~$n$, ODNAKO,
ZAMETIV, CHTO~$C(1, n)=n$ I CHTO
$$
C(m+1, n+1)-C(m,n)=
=1+C(\floor{m/2}+1, \floor{n/2}+1)-C(\floor{m/2}, \floor{n/2}),
\rem{ESLI $mn\ge 1$},
$$
MY MOZHEM VYVESTI SOOTNOSHENIE
$$
C(m+1, n+1)-C(m,n)=t+2+\floor{n/2^{t+1}},
\rem{ESLI~$n\ge m \ge 1$ I~$t=\floor{\log_2 m}$.}
\eqno(5)
$$
sLEDOVATELXNO,
$$
C(m, m+r)=B(m)+m+R_m(r) \rem{PRI $m\ge0$, $r\ge0$,}
\eqno (6)
$$
GDE $B(m)$~ESTX FUNKCIYA
"BINARNOJ VSTAVKI"~$\sum_{1\le k\le m}\ceil{\log_2 k}$  IZ
SOOTNOSHENIYA~(5.3.1-3), A $R_m(r)$~OBOZNACHAET SUMMU PERVYH OT CHLENOV RYADA
$$
\floor{{r+0\over1}}+\floor{{r+1\over2}}+\floor{{r+2\over4}}+
\floor{{r+3\over4}}+\floor{{r+4\over8}}+\cdots+
\floor{{r+j\over2^{\floor{\log_2 j}+1}}}+\ldots\,.
\eqno(7)
$$
eSLI ZHE~$r=0$, POLUCHAEM VAZHNYJ CHASTNYJ SLUCHAJ
$$
C(m,m)=B(m)+m.
\eqno(8)
$$
kROME TOGO, ESLI~$t=\ceil{\log_2 m}$, TO
$$
\eqalign{
R_m(r+2^t) &= R_m(r)+1\cdot 2^{t-1}+2\cdot 2^{t-2}+\cdots+2^{t-1}\cdot2^0+m=\cr
&= R_m(r)+m+t\cdot 2^{t-1}.
}
$$
sLEDOVATELXNO, $C(m, n+2^t)-C(m, n)$~IMEET PROSTOJ VID
I
$$
C(m, n)=\left({t\over2}+{m\over 2^t}\right) n+O(1)\rem{ PRI
FIKSIROVANNOM~$m$, $n\to\infty$,  $t=\ceil{\log_2 m}$;}
\eqno (9)
$$
CHLEN~$O(1)$ STANOVITSYA V KONCE KONCOV PERIODICHESKOJ FUNKCIEJ OT~$n$ S
DLINOJ PERIODA~$2^t$. aSIMPTOTICHESKI PRI~$n\to\infty$ VELICHINA~$C(n, n)$
RAVNA~$n \log_2 n$ IZ~(8) I UPR.~5.3.1-15.

\section sETI S MINIMALXNYM CHISLOM SRAVNENIJ.
pUSTX~$\hat S(n)$---MINIMALXNOE CHISLO SRAVNENIJ, TREBUEMYH V SETI SORTIROVKI
DLYA $n$~|LEMENTOV; YASNO, CHTO~$\hat S(n)\ge S(n)$, GDE~$S(n)$---MINIMALXNOE
CHISLO SRAVNENIJ,
%%273
NEOBHODIMOE DLYA SORTIROVKI BEZ VSYAKIH OGRANICHENIJ (SM.~P.~5.3.1).
mY VIDELI, CHTO~$\hat S(4)=5=S(4)$, PO|TOMU NOVOE OGRANICHENIE NE VYZYVAET
POTERI |FFEKTIVNOSTI PRI~$n=4$;
NO UZHE PRI~$n=5$ OKAZYVAETSYA, CHTO~$\hat S(5)=9$, V TO VREMYA KAK~$S(5)=7$.
zADACHA OPREDELENIYA~$\hat S(n)$ KAZHETSYA ESHCHE BOLEE TRUDNOJ, CHEM ZADACHA
OPREDELENIYA~$S(n)$; DO SIH POR NEIZVESTNO DAZHE ASIMPTOTICHESKOE
POVEDENIE~$\hat S(n)$.

iNTERESNO PROSLEDITX ISTORIYU |TOJ ZADACHI, TAK KAK NA KAZHDYJ NOVYJ SHAG
PRIHODILOSX ZATRACHIVATX OPREDELENNYE USILIYA. sETI SORTIROVKI BYLI VPERVYE
ISSLEDOVANY p.~n.~aRMSTRONGOM, r.~dZH.~nELXSONOM I d.~dZH.~o'kONNOROM OKOLO
1954~G. [SM.~U.~S.~Patent 3029413]; ONI POKAZALI, CHTO~$\hat S(n+1)\le \hat
S(n)+n$. kAK SKAZANO V IH PATENTNOJ ZAYAVKE, "PRILOZHIV STARANIYA, MOZHNO
SKONSTRUIROVATX |KONOMICHNYE $n$-VHODNYE SORTIRUYUSHCHIE PEREKLYUCHATELI,
ISPOLXZUYA UMENXSHENNOE CHISLO DVUHVHODNYH SORTIRUYUSHCHIH PEREKLYUCHATELEJ"; ONI
PRIVELI PRIMERY KONSTRUKCIJ DLYA~$4\le n \le 8$, ISPOLXZOVAV
SOOTVETSTVENNO 5, 9, 12, 18 I 19~KOMPARATOROV. rABOTAYA DALEE NAD |TOJ
ZADACHEJ, nELXSON SOVMESTNO S r.~ch.~bOZE ESHCHE DO~1960~G. RAZRABOTALI OBSHCHUYU
PROCEDURU DLYA POSTROENIYA SETEJ SORTIROVKI, POKAZYVAYUSHCHUYU,
CHTO~$\hat S(2^n)\le3^n-2^n$ PRI VSEH~$n$,
PO|TOMU~$\hat S(n)=O(n^{\log_2 3})=O(n^{1.585})$. bOZE I~nELXSON OPUBLIKOVALI
SVOJ INTERESNYJ METOD V
{\sl JACM,\/} {\bf 9} (1962), 282--296, VYSKAZAV PREDPOLOZHENIE, CHTO |TO
NAILUCHSHIJ VOZMOZHNYJ REZULXTAT; t.~n.~hIBBARD [{\sl JACM,\/} {\bf 10}
(1963), 142--150] NASHEL ANALOGICHNYJ, NO NESKOLXKO BOLEE PROSTOJ METOD, V
KOTOROM ISPOLXZUETSYA TAKOE ZHE CHISLO SRAVNENIJ, PODKREPIV TEM SAMYM |TO
PREDPOLOZHENIE.

v 1964~G.\ r.~u.~fLOJD I~d.~e.~kNUT ISPOLXZOVALI NOVYJ PODHOD K |TOJ
ZADACHE, PRIVEDSHIJ IH K ASIMPTOTICHESKOJ OCENKE
VIDA~$\hat S(n)=O(n^{1+c/\sqrt{\log n}})$. rABOTAYA NEZAVISIMO, k.~e.~b|TCHER
OTKRYL OPISANNUYU VYSHE OBSHCHUYU STRATEGIYU SLIYANIYA; ISPOLXZUYA CHISLO
KOMPARATOROV, OPREDELYAEMOE KAK
$$
c(1)=0, c(n)=c(\ceil{n/2})+c(\floor{n/2})+C(\ceil{n/2}, \floor{n/2})
\rem{PRI $n\ge2$,}
\eqno (10)
$$
ON DOKAZAL, CHTO (SM.~UPR.~5.2.2-14)
$$
c(2^t)=(t^2-t+4)2^{t-2}-1,
$$
I OTSYUDA VYVEL, CHTO~$\hat S(n)=O(n(\log n)^2)$. kAK b|TCHER, TAK I fLOJD S
kNUTOM OPUBLIKOVALI SVOI KONSTRUKCII LISHX CHEREZ NEKOTOROE VREMYA [{\sl
Notices of the Amer.\ Math.\ Soc.,\/} {\bf 14} (1967), 283; Proc.\ AFIPS
Spring Joint Computer Conference, {\bf 32} (1968), 307--314].

%%274

kOE-KOMU UDALOSX SOKRATITX CHISLO KOMPARATOROV, ISPOLXZUEMYH V
KONSTRUKCII SLIYANIYA S OBMENAMI, PREDLOZHENNOJ b|TCHEROM; V SLEDUYUSHCHEJ TABLICE
POKAZANY DAILUCHSHIE IZ IZVESTNYH V NASTOYASHCHEE VREMYA VERHNIH OCENOK
DLYA~$\hat S(n)$:
$$
\matrix{
\hfill n=1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 &
16 \cr
\hfill c(n)=0 & 1 & 3 & 5 & 9 & 12 & 16 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53
& 59 & 63 \cr
\hfill \hat S(n)\le 0 & 1 & 3 & 5 & 9 & 12 & 16 & 19 & 25 & 29 & 35 & 39 &
46 & 51 & 56 & 60\cr
}
\eqno(11)
$$
tAK KAK~$\hat S(n)<c(n)$ PRI~$8<n\le 16$, TO OBMENNAYA SORTIROVKA SO
SLIYANIEM NEOPTIMALXNA PRI VSEH~$n>8$. eSLI~$n\le 8$, TO TAKAYA SORTIROVKA
|KVIVALENTNA PO KOLICHESTVU KOMPARATOROV KONSTRUKCII bOZE I~nELXSONA.
fLOJD I~kNUT DOKAZALI V 1964--1966~GG., CHTO UKAZANNYE ZNACHENIYA~$\hat S(n)$
\emph{TOCHNY} PRI~$n<8$ [SM.\ A Survey of Combinatorial Theory
(North-Holland, 1973), 163--172]; ZNACHENIYA~$\hat S(n)$ PRI~$n>8$ DO SIH
POR NEIZVESTNY.

kONSTRUKCII, PRIVODYASHCHIE K UKAZANNYM VYSHE ZNACHENIYAM DLYA~$\hat S(n)$,
IZOBRAZHENY NA RIS.~49. sETX PRI~$n=9$, OSNOVANNAYA NA INTERESNOM
TREHPUTEVOM SLIYANII, BYLA NAJDENA r.~u.~fLOJDOM V 1964~G.; USTANOVITX EE
SPRAVEDLIVOSTX MOZHNO PRI POMOSHCHI OBSHCHEGO PRINCIPA, OPISANNOGO V UPR.~27.
sETX PRI~$n=10$ V~1969~G.\ POSTROIL a.~vAKSMAN; ON RASSMATRIVAL VHODY
KAK PERESTANOVKI MNOZHESTVA~$\set{1, 2,~\ldots, 10}$ I PYTALSYA,
SOHRANYAYA NEKOTORUYU SIMMETRIYU, NASKOLXKO VOZMOZHNO UMENXSHITX CHISLO ZNACHENIJ,
KOTORYE MOGUT POYAVLYATXSYA V KAZHDOJ STROKE NA DANNOJ STADII.

v 1969~G. g.~shAPIRO NASHEL SETX SORTIROVKI 16~|LEMENTOV S 62~KOMPARATORAMI,
I |TO BYLO VESXMA NEOZHIDANNO, POSKOLXKU METOD b|TCHERA (63~SRAVNENIYA),
KAZALOSX, ISPOLXZUET VSE VOZMOZHNOSTI, ESLI $n$~YAVLYAETSYA STEPENXYU~2.
m.~u.~gRIN VSKORE POSLE TOGO, KAK ON OZNAKOMILSYA S KONSTRUKCIEJ shAPIRO,
POVERG VSEH V ESHCHE BOLXSHEE IZUMLENIE, NAJDYA SORTIROVKU S 60~SRAVNENIYAMI,
POKAZANNUYU NA RIS.~49. pERVAYA CHASTX KONSTRUKCII gRINA DOVOLXNO PROSTA DLYA
PONIMANIYA; POSLE TOGO KAK VYPOLNENY 32~OPERACII SRAVNENIYA-OBMENA SLEVA
OT PUNKTIRNOJ LINII, VSE PRYAMYE MOZHNO TAK POMETITX
16~PODMNOZHESTVAMI~$\set{a, b, c, d}$, CHTOBY PRO PRYAMUYU, POMECHENNUYU~$s$,
BYLO IZVESTNO, CHTO ONA SODERZHIT CHISLA, MENXSHIE ILI RAVNYE SODERZHIMOMU
PRYAMOJ, POMECHENNOJ~$t$, VSYAKIJ RAZ, KOGDA $s$~ESTX PODMNOZHESTVO~$t$.
sOSTOYANIE SORTIROVKI V |TOT MOMENT OBSUZHDAETSYA BOLEE PODROBNO V
UPR.~32. oDNAKO SRAVNENIYA, VYPOLNYAEMYE NA POSLEDUYUSHCHIH UROVNYAH, STANOVYATSYA
SOVERSHENNO ZAGADOCHNYMI, I DO SIH POR NIKTO NE ZNAET, KAK OBOBSHCHITX |TU
KONSTRUKCIYU, CHTOBY POLUCHITX STOLX ZHE |FFEKTIVNYE SETI DLYA BOLXSHIH ZNACHENIJ~$n$.

%%275

shAPIRO I gRIN OTKRYLI TAKZHE IZOBRAZHENNUYU NA RIS.~49 SETX DLYA~$n=12$.
hOROSHIE SETI DLYA~$n=11$, 13, 14 I~15 MOZHNO POLUCHITX, UDALIV NIZHNYUYU PRYAMUYU
SETI DLYA~$n+1$ VMESTE SO VSEMI KOMPARATORAMI, PODSOEDINENNYMI K |TOJ LINII.
\picture{rIS. 49.   eFFEKTIVNYE SETI SORTIROVKI.}

nAILUCHSHIE IZVESTNYE K NASTOYASHCHEMU MOMENTU SETI DLYA~$n\to\infty$ SM.~V
DOKTORSKOJ DISSERTACII d.~vAN~vORISA (Stanford University, 1971); EGO
SETI TREBUYUT ASIMPTOTICHESKI
%% 276
${1\over 4}n(\log_2 n)^2-\alpha n \log_2 n$~KOMPARATOROV,
GDE~$\alpha={1\over4}+{1\over6}\sum_{k\ge0}2^{-2^k-k}\approx0.356~852$.

\section sETI S MINIMALXNYM VREMENEM. v FIZICHESKIH REALIZACIYAH
SETEJ SORTIROVKI I NA PARALLELXNYH evm MOZHNO VYPOLNYATX NEPERESEKAYUSHCHIESYA
OPERACII SRAVNENIYA-OBMENA ODNOVREMENNO, PO|TOMU KAZHETSYA ESTESTVENNYM
POPYTATXSYA MINIMIZIROVATX VREMYA ZADERZHKI. pO NEKOTOROM RAZMYSHLENII
ZAKLYUCHAEM, CHTO VREMYA ZADERZHKI SETI SORTIROVKI RAVNO MAKSIMALXNOMU CHISLU
KOMPARATOROV, PRILEGAYUSHCHIH K KAKOMU-LIBO "PUTI" CHEREZ SETX,
ESLI OPREDELITX PUTX KAK TRAEKTORIYU LYUBOGO DVIZHENIYA SLEVA NAPRAVO,
\picture{rIS.~50.  vYPOLNENIE KAZHDOGO SRAVNENIYA V NAIBOLEE RANNIJ IZ
VOZMOZHNYH MOMENTOV.}
VOZMOZHNO, S PEREHODOM S ODNOJ PRYAMOJ NA DRUGUYU CHEREZ KOMPARATORY. u
KAZHDOGO KOMPARATORA MY MOZHEM POSTAVITX PORYADKOVYJ NOMER, UKAZYVAYUSHCHIJ
SAMYJ RANNIJ MOMENT, KOGDA MOZHET BYTX VYPOLNENO SRAVNENIE; |TOT NOMER NA
EDINICU BOLXSHE, CHEM MAKSIMALXNYJ NOMER U KOMPARATOROV, PREDSHESTVUYUSHCHIH
DANNOMU. (sM.~RIS.~50(a); V CHASTI~(b) |TOGO RISUNKA POKAZANA TA ZHE SETX,
 PERERISOVANNAYA TAK, CHTOBY KAZHDOE SRAVNENIE VYPOLNYALOSX V NAIBOLEE RANNIJ
VOZMOZHNYJ MOMENT.)

v OPISANNOJ VYSHE SETI b|TCHERA DLYA CHETNO-NECHETNOGO SLIYANIYA ZATRACHIVAETSYA
$T_b(m,n)$~EDINIC VREMENI, GDE~$T_b(m,0)=T_b(0, n)=0$, $T_B(1,1)=1$ I
$$
T_B(m, n)=1+\max(T_B(\floor{m/2}, \floor{n/2}),  T_B(\ceil{m/2}, \ceil{n/2}))
\rem{DLYA~$mn\ge 2$.}
$$
iSPOLXZUYA |TI SOOTNOSHENIYA, MOZHNO DOKAZATX PO INDUKCII,
CHTO~$T_B(m, n+1)\ge T_B(m,n)$;    SLEDOVATELXNO,    $T_B(m,
n)=1+T_B(\ceil{m/2}, \ceil{n/2})$ DLYA~$mn\ge2$, A OTSYUDA ZAKLYUCHAEM, CHTO
$$
T_B(m,n)=1+\ceil{\log_2 \max (m,n)} \rem{DLYA $mn\ge1$.}
\eqno  (12)
$$
tAKIM OBRAZOM, KAK POKAZANO V UPR.~5, METOD SORTIROVKI b|TCHERA IMEET VREMYA
ZADERZHKI
$$
\perm{1+\ceil{\log_2 n}}{2}.
\eqno(13)
$$
%%277

pUSTX $\hat T(n)$---MINIMALXNOE VREMYA ZADERZHKI, DOSTIZHIMOE V LYUBOJ SETI
SORTIROVKI $n$~|LEMENTOV. nEKOTORYE IZ OPISANNYH VYSHE SETEJ MOZHNO ULUCHSHITX,
 NE ISPOLXZOVAV DOPOLNITELXNYH KOMPARATOROV, TAK, CHTOBY ONI IMELI
MENXSHEE VREMYA ZADERZHKI, KAK
\picture{rIS.~51. sETI SORTIROVKI, KOTORYE NEOBYKNOVENNO BYSTRY,  ESLI
SRAVNENIYA VYPOLNYAYUTSYA PARALLELXNO.}
POKAZANO NA RIS.~51 DLYA~$n=6$ I~$n=9$, A V UPR.~7---DLYA~$n=10$. mOZHNO
POLUCHITX ESHCHE MENXSHEE VREMYA ZADERZHKI, ESLI DOBAVITX ODIN ILI DVA
DOPOLNITELXNYH MODULYA, KAK POKAZYVAYUT SETI DLYA~$n=10$, 12 I~16 NA RIS.~51.
eTI POSTROENIYA PRIVODYAT K SLEDUYU-
%%378
SHCHIM VERHNIM OCENKAM DLYA~$T(n)$ PRI UMERENNYH ZNACHENIYAH~$n$:
$$
\matrix{
           \hfill n=1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16\cr
\hfill \hat T(n)\le 0 & 1 & 3 & 3 & 5 & 5 & 6 & 6 & 7 &  7 &  8 &  8 &  9 &  9 &  9 &  9\cr
}
\eqno(14)
$$

iZVESTNO, CHTO PRIVEDENNYE ZDESX ZNACHENIYA TOCHNY PRI~$n\le 8$ (SM.~UPR.~4).
sETI NA RIS.~51 ZASLUZHIVAYUT TSHCHATELXNOGO IZUCHENIYA, POSKOLXKU VOVSE NE
OCHEVIDNO, CHTO ONI GODYATSYA DLYA SORTIROVKI; |TI SETI BYLI OTKRYTY
V~1969--1971~GG. g.~shAPIRO  ($n=6$, 9, 12) I~d.~vAN~vORISOM ($n=10$, 16).

\section sETI SLIYANIYA. pUSTX $\hat M(m, n)$~OBOZNACHAET MINIMALXNOE
CHISLO KOMPARATOROV, NEOBHODIMYH DLYA SETI, KOTORAYA SLIVAET
$m$~|LEMENTOV~$x_1~\le~\ldots \le x_m$ S~$n$~|LEMENTAMI~$y_1\le\ldots \le y_n$,
OBRAZUYA OTSORTIROVANNUYU POSLEDOVATELXNOSTX~$z_1\le \ldots \le z_{m+n}$.
k NASTOYASHCHEMU VREMENI NE OTKRYTO NI ODNOJ SETI SLIYANIYA,
KOTORAYA BYLA BY LUCHSHE CHETNO-NECHETNOGO SLIYANIYA, OPISANNOGO VYSHE;
SLEDOVATELXNO, FUNKCIYA~$C(m, n)$ V~(6) PREDSTAVLYAET NAILUCHSHUYU IZVESTNUYU
VERHNYUYU OCENKU DLYA~$\hat M(m, n)$.

r.~u.~fLOJD OBNARUZHIL INTERESNYJ SPOSOB, POZVOLYAYUSHCHIJ OPREDELITX
\emph{NIZHNIE} OCENKI V |TOJ ZADACHE SLIYANIYA.

\proclaim tEOREMA~F. pRI VSEH~$n\ge 1$ SPRAVEDLIVO
NERAVENSTVO~$\hat M (2n, 2n)\ge 2\hat M(n, n)+n$.

\proof rASSMOTRIM SETX S~$\hat M(2n, 2n)$~KOMPARATORNYMI MODULYAMI,
SPOSOBNUYU SORTIROVATX VSE VHODNYE
POSLEDOVATELXNOSTI~$\<z_1,~\ldots, z_{4n}>$, TAKIE,
CHTO~$z_1\le z_3\le\ldots \le z_{4n-1}$  I~$z_2\le z_4\le\ldots\le z_{4n}$.
mY MOZHEM SCHITATX, CHTO KAZHDYJ MODULX
ZAMENYAET~$(z_i, z_j)$ NA~$(\min(z_i, z_j, \max(z_i, z_j))$ PRI
NEKOTORYH~$i<j$ (UPR.~16). iTAK, KOMPARATORY MOZHNO RAZDELITX NA TRI KLASSA:
{\medskip\narrower
\item{a)}~$i\le 2n$  I~$j\le 2n$;
\item{b)}~$i>2n$ I~$j>2n$;
\item{c)}~$i\le 2n$  I~$j>2n$.
\medskip}
kLASS~(a) DOLZHEN SODERZHATX PO KRAJNEJ MERE $\hat M(n, n)$~KOMPARATOROV,
TAK KAK $z_{2n+1}$, $z_{2n+2}$,~\dots, $z_{4n}$ MOGUT UZHE NAHODITXSYA
NA SVOIH MESTAH, KOGDA SLIYANIE NACHINAETSYA; ANALOGICHNO V KLASSE~(b) DOLZHNO
BYTX PO KRAJNEJ MERE $\hat M(n, n)$~KOMPARATOROV. kROME TOGO, KAK
POKAZYVAET VHODNAYA POSLEDOVATELXNOSTX~$\<0, 1, 0, 1,~\ldots, 0, 1>$,
KLASS~(c) SODERZHIT NE MENEE $n$~KOMPARATOROV, TAK KAK $n$~NULEJ DOLZHNY
PEREMESTITXSYA IZ~$\set{z_{2n+1},~\ldots, z_{4n}}$ V~$\set{z_1,~\ldots, z_{2n}}$.
\proofend

mNOGOKRATNOE PRIMENENIE TEOREMY~F DOKAZYVAET,
CHTO~$\hat M(2^m, 2^m)\ge{1\over2}(m+2) 2^m$; SLEDOVATELXNO,
$\hat M(n, n) \ge {1\over2}n \log_2 n+O(n)$.
%%279
sLIYANIE \emph{BEZ} SETEVOGO OGRANICHENIYA TREBUET LISHX $M(n,n)=2n-1$~SRAVNENIJ;
TAKIM OBRAZOM, MY DOKAZALI, CHTO SETEVOE SLIYANIE
SLOZHNEE PO SUSHCHESTVU, CHEM SLIYANIE VOOBSHCHE. chETNO-NECHETNOE SLIYANIE
POKAZYVAET, CHTO~$\hat M(n,n)\le C(n, n)= n\log_2 n+O(n)$, PO|TOMU
ASIMPTOTICHESKOE POVEDENIE~$\hat M(n, n)$ IZVESTNO S TOCHNOSTXYU DO
MNOZHITELYA~2. (tOCHNYE ZNACHENIYA~$\hat M(n, n)$ IZVESTNY DLYA~$n\le 5$;
SM.~UPR.~9.) a.~k.~yaO I~f.~f.~yaO DOKAZALI,
CHTO~$\hat M(2,n)=C(2, n)=\ceil{{3\over2}n}$
I~$\hat M(m, n)\ge{1\over2}n\log_2(m+1)$ PRI~$m<n$
[{\sl JACM,\/} BUDET OPUBLIKOVANO].

\section bITONNAYA SORTIROVKA. eSLI DOPUSTIMY ODNOVREMENNYE SRAVNENIYA, TO,
 KAK VIDNO IZ FORMULY~12, PRI CHETNO-NECHETNOM SLIYANII DLYA~$1\le m \le n$
VOZNIKAET ZADERZHKA NA~$\ceil{\log_2 (2n)}$~EDINIC VREMENI. b|TCHER NASHEL
DRUGOJ TIP SETI SLIYANIYA, NAZYVAEMOJ
\dfn{BITONNYM SORTIROVSHCHIKAM,} DLYA KOTOROGO VREMYA ZADERZHKI SNIZHAETSYA
DO~$\ceil{\log_2(m+n)}$, NO ON TREBUET BOLXSHE KOMPARATORNYH MODULEJ.

pOSLEDOVATELXNOSTX~$\<z_1,~\ldots, z_p>$ IZ $p$~CHISEL BUDEM
NAZYVATX \dfn{BITONNOJ,} ESLI~$z_1\ge\ldots\ge z_k\le\ldots\le z_p$ DLYA
NEKOTOROGO~$k$, $1\le k \le p$ (SRAVNITE |TO S OBYCHNYM OPREDELENIEM
"MONOTONNYH" POSLEDOVATELXNOSTEJ). bITONNYJ SORTIROVSHCHIK PORYADKA~$p$---|TO
KOMPARATORNAYA SETX, SPOSOBNAYA SORTIROVATX V NEUBYVAYUSHCHEM PORYADKE LYUBUYU
BITONNUYU POSLEDOVATELXNOSTX DLINY~$p$. zADACHA SLIYANIYA~$x_1\le\ldots\le
x_m$ S~$y_1\le\ldots\le y_n$ YAVLYAETSYA CHASTNYM SLUCHAEM ZADACHI BITONNOJ
SORTIROVKI, TAK KAK SLIYANIE MOZHNO OSUSHCHESTVITX, PRIMENIV K
POSLEDOVATELXNOSTI~$\<x_m,~\ldots, x_1, y_1,~\ldots,~y_n>$ BITONNYJ
SORTIROVSHCHIK PORYADKA~$m+n$.

zAMETIM, CHTO ESLI POSLEDOVATELXNOSTX~$\<z_1,~\ldots, z_p>$ BITONNAYA, TO
TAKOVYMI ZHE YAVLYAYUTSYA I VSE EE PODPOSLEDOVATELXNOSTI. vSKORE POSLE TOGO,
KAK b|TCHER OTKRYL SETI CHETNO-NECHETNOGO SLIYANIYA, ON OBNARUZHIL, CHTO
ANALOGICHNYM OBRAZOM MOZHNO POSTROITX BITONNYJ SORTIROVSHCHIK PORYADKA~$p$,
SNACHALA NEZAVISIMO SORTIRUYA BITONNYE
PODPOSLEDOVATELXNOSTI~$\<z_1, z_3, z_5,~\ldots>$
I~$\<z_2, z_4, z_6,~\ldots>$, A ZATEM VYPOLNYAYA
SRAVNENIYA-OBMENY~$z_1:z_2$, $z_3:z_4$,~$\ldots\,$.
(dOKAZATELXSTVO SM.~V~UPR.~10.) eSLI SOOTVETSTVUYUSHCHEE CHISLO KOMPARATORNYH
MODULEJ OBOZNACHITX CHEREZ~$C'(p)$, TO BUDEM IMETX
$$
C'(p)=C'(\ceil{p/2})+C'(\floor{p/2})+\floor{p/2} \rem{PRI $p\ge2$.}
\eqno (15)
$$
A VREMYA ZADERZHKI, OCHEVIDNO, RAVNO~$\ceil{\log_2 p}$. nA~RIS.~52 POKAZAN
BITONNYJ SORTIROVSHCHIK PORYADKA~7, POSTROENNYJ |TIM SPOSOBOM; ON MOZHET BYTX
ISPOLXZOVAN I KAK~$(3, 4)$, I KAK $(2, 5)\hbox{-SETX}$ SLIYANIYA S ZADERZHKOJ
V TRI EDINICY; CHETNO-NECHETNOE SLIYANIE DLYA~$m=2$ I~$n=5$ IMEET NA ODIN
KOMPARATOR MENXSHE, NO NA ODIN UROVENX ZADERZHKI BOLXSHE.

%%280

bITONNYJ SORTIROVSHCHIK b|TCHERA PORYADKA~$2^k$ OSOBENNO INTERESEN; ON
SOSTOIT IZ $k$~UROVNEJ PO $2^{k-1}$~KOMPARATOROV V KAZHDOM. zANUMERUEM
VHODNYE PRYAMYE~$z_0$, $z_1$,~\dots, $z_{2^k-1}$; PRI |TOM |LEMENT~2,
SRAVNIVAETSYA S~$z_j$ NA UROVNE~$l$ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DVOICHNYE
PREDSTAVLENIYA~$i$ I~$j$ RAZLICHAYUTSYA TOLXKO V $l\hbox{-M}$~BITE SLEVA. eTA
PROSTAYA STRUKTURA PRIVODIT K PARALLELXNOJ SETI SORTIROVKI, KOTORAYA TAK ZHE
BYSTRA, KAK OBMENNAYA SORTIROVKA
\picture{rIS.~52.   bITONNYJ SORTIROVSHCHIK b|TCHERA PORYADKA~7.}
SO SLIYANIEM (ALGORITM~5.2.2M), NO ZNACHITELXNO PROSHCHE DLYA REALIZACII.
(sM.~UPR.~11 I~13.)

eSLI~$m=n$, TO NETRUDNO VIDETX, CHTO I CHETNO-NECHETNOE SLIYANIE, I BITONNYJ
SORTIROVSHCHIK b|TCHERA OBESPECHIVAYUT ABSOLYUTNYJ MINIMUM VREMENI ZADERZHKI,
DOSTIZHIMOGO V LYUBOJ SETI SLIYANIYA.
\picture{rIS.~53. oDIN |LEMENT SLIVAETSYA S SHESTXYU DRUGIMI S
RAZVETVLENIEM, CHTOBY DOSTICHX MINIMALXNO VOZMOZHNOGO VREMENI ZADERZHKI.}
v $(n, n)$-SETI SLIYANIYA $n\hbox{-J}$ PO VELICHINE VYHOD (SCHITAYA OT
NAIMENXSHEGO) DOLZHEN ZAVISETX OT VSEH $2n$~VHODOV, I ESLI EGO
MOZHNO VYCHISLITX ZA $l$~SHAGOV, TO ON BUDET ZAVISETX NE BOLEE, CHEM OT
$2^l$~VHODOV; PO|TOMU~$2^l\ge 2n$, $l\ge \ceil{\log_2 (2n)}$.

eSLI~$m<n$, TO $n\hbox{-J}$~VYHOD $(m, n)$-SETI SLIYANIYA ZAVISIT
OT $2m+1$~VHODOV (SR.~S~UPR.~29), PO|TOMU TE ZHE RASSUZHDENIYA DAYUT
%%281
V |TOM SLUCHAE MINIMALXNOE VREMYA ZADERZHKI DLYA SLIYANIYA~$\ceil{\log_2(2m+l)}$.
 b|TCHER POKAZAL [Report GER-14122 (Akron, Ohio: Goodyear Aerospace
Corporation, 1968)], CHTO |TO MINIMALXNOE VREMYA ZADERZHKI DOSTIGAETSYA,
ESLI V SETI DOPUSKAETSYA RAZVETVLENIE, T.~E.~TAKOE RAZBIENIE LINIJ, CHTO
ODNO I TO ZHE CHISLO V ODNO I TO ZHE VREMYA ISPOLXZUETSYA NESKOLXKIMI
MODULYAMI. v KACHESTVE PRIMERA NA RIS.~53 IZOBRAZHENA (DLYA~$n=6$) SETX,
 KOTORAYA SLIVAET ODIN |LEMENT S $n$~DRUGIMI VSEGO S DVUMYA UROVNYAMI
ZADERZHKI. kONECHNO, SETI S RAZVETVLENIEM NE SOOTVETSTVUYUT NASHIM
SOGLASHENIYAM; DOVOLXNO LEGKO PONYATX, CHTO LYUBAYA $(1, n)\hbox{-SETX}$ SLIYANIYA
BEZ RAZVETVLENIYA DOLZHNA IMETX VREMYA ZADERZHKI~$\log_2(n+1)$ ILI BOLEE.
(sM.~UPR.~14.)

\section sETI VYBORA. sETI MOZHNO PRIMENITX TAKZHE I K ZADACHE
P.~5.3.3. pUSTX $\hat U_t(n)$~OBOZNACHAET MINIMALXNOE CHISLO KOMPARATOROV,
NEOBHODIMYH V SETI, KOTORAYA PEREMESHCHAET $t$~NAIBOLXSHIH IZ $n$~RAZLICHNYH
VHODOV NA $t$~OPREDELENNYH VYHODNYH PRYAMYH, ONI MOGUT RASPOLAGATXSYA NA
|TIH VYHODNYH PRYAMYH V PROIZVOLXNOM PORYADKE. pUSTX $\hat
V_t(n)$~OBOZNACHAET MINIMALXNOE KOLICHESTVO KOMPARATOROV, NUZHNOE DLYA
PEREMESHCHENIYA $t-\hbox{GO}$ V PORYADKE UBYVANIYA IZ $n$~RAZLICHNYH VHODOV NA
OPREDELENNUYU VYHODNUYU PRYAMUYU, I PUSTX $\hat W_t(n)$~OBOZNACHAET MINIMALXNOE
CHISLO KOMPARATOROV, TREBUEMYH DLYA PEREMESHCHENIYA $t$~NAIBOLXSHIH IZ
$n$~RAZLICHNYH VHODOV NA OPREDELENNYE $t$~VYHODNYH PRYAMYH V NEUBYVAYUSHCHEM
PORYADKE. nETRUDNO VIDETX (SM.~UPR.~17), CHTO
$$
\hat U_t(n)\le \hat V_t(n) \le \hat W_t(n).
\eqno(16)
$$

sNACHALA PREDPOLOZHIM, CHTO IMEETSYA $2t$~|LEMENTOV
$\<x_1,~\ldots, x_{2t}>$ I MY HOTIM VYBRATX $t$~NAIBOLXSHIH; v.~e.~aLEKSEEV
[{\sl kIBERNETIKA,\/} {\bf 5}, 5 (1969), 99--103] ZAMETIL, CHTO |TO MOZHET
BYTX VYPOLNENO, ESLI SNACHALA OTSORTIROVATX~$\<x_1,~\ldots, x_t>$
I~$\<x_{t+1},~\ldots, x_{2t}>$, A ZATEM SRAVNITX I POMENYATX MESTAMI
$$
x_1:x_{2t}, x_2:x_{2t-1},~\ldots, x_t:x_{t+1}.
\eqno(17)
$$
tAK KAK NI V ODNOJ IZ |TIH PAR NE MOZHET SODERZHATXSYA BOLEE ODNOGO IZ
NAIBOLXSHIH $t$~|LEMENTOV (POCHEMU?), TO PROCEDURA aLEKSEEVA DOLZHNA VYBRATX
$t$~NAIBOLXSHIH |LEMENTOV.

eSLI NAM NUZHNO VYBRATX $t$~NAIBOLXSHIH IZ $nt$~|LEMENTOV, TO MY MOZHEM
PRIMENITX |TU PROCEDURU $n-1$~RAZ (ISKLYUCHAYA KAZHDYJ RAZ $t$~|LEMENTOV);
SLEDOVATELXNO,
$$
\hat U_t(nt)\le (n-1)(2\hat S(t)+t).
\eqno(18)
$$

aLEKSEEV TAKZHE POLUCHIL INTERESNUYU \emph{NIZHNYUYU} OCENKU DLYA ZADACHI VYBORA.

%%282
\proclaim tEOREMA~A. $\hat U_t (n) \ge (n-t)\ceil{\log_2 (t+1)}$.

\proof uDOBNEE RASSMATRIVATX |KVIVALENTNUYU ZADACHU VYBORA
\emph{NAIMENXSHIH} $t$~|LEMENTOV. oKOLO KAZHDOJ PRYAMOJ KOMPARATORNOJ SETI
MOZHNO VYPISATX CHISLA~$(l, u)$, KAK POKAZANO NA RIS.~54, GDE~$l$ I~$u$
OBOZNACHAYUT SOOTVETSTVENNO MINIMALXNOE I
\picture{rIS.~54. oTDELENIE CHETYREH NAIBOLXSHIH OT CHETYREH
NAIMENXSHIH. (chISLA NAD PRYAMYMI ISPOLXZUYUTSYA V DOKAZATELXSTVE TEOREMY~A.)}
MAKSIMALXNOE ZNACHENIYA, KOTORYE MOGUT POYAVITXSYA V |TOM MESTE, ESLI VHODOM
SLUZHIT PERESTANOVKA~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. pUSTX~$l_i$ I~$l_j$---NIZHNIE
OCENKI NA PRYAMYH~$i$ I~$j$ PERED SRAVNENIEM~$x_i:x_j$, I PUSTX~$l'_i$
I~$l'_j$---SOOTVETSTVUYUSHCHIE NIZHNIE OCENKI POSLE |TOGO
\picture{rIS.~55. iNAYA INTERPRETACIYA SETI, IZOBRAZHENNOJ NA RIS.~54.}
SRAVNENIYA. oCHEVIDNO, CHTO~$l'_i=\min(l_i, l_j)$, A V UPR.~24 DOKAZYVAETSYA
(NEOCHEVIDNOE) SOOTNOSHENIE
$$
l'_j\le l_i+l_j.
\eqno  (19)
$$

tEPERX DADIM DRUGUYU INTERPRETACIYU DEJSTVIYA SETI (RIS.~55);
PREDPOLOZHIM, CHTO NA VSEH VHODNYH PRYAMYH SODERZHITSYA NULX,
%%283
A KAZHDYJ "KOMPARATOR" POMESHCHAET TEPERX NA VERHNYUYU PRYAMUYU MENXSHIJ IZ EGO
VHODOV, A NA NIZHNYUYU PRYAMUYU---BOLXSHIJ VHOD \emph{PLYUS ODIN.} pOLUCHAYUSHCHIESYA
CHISLA~$\<m_1, m_2,~\ldots, m_n>$ OBLADAYUT SVOJSTVOM
$$
2^{m_i}\ge l_i
\eqno(20)
$$
V LYUBOM MESTE SETI, TAK KAK |TO SVOJSTVO PERVONACHALXNO SPRAVEDLIVO I
SOHRANYAETSYA KAZHDYM KOMPARATOROM V SILU~(19). kROME TOGO, OKONCHATELXNOE
ZNACHENIE
$$
m_1+m_2+\cdots+m_n
$$
RAVNO OBSHCHEMU CHISLU KOMPARATOROV V SETI, TAK KAK KAZHDYJ KOMPARATOR
DOBAVLYAET K |TOJ SUMME EDINICU.

eSLI SETX VYBIRAET NAIMENXSHIE $t$~CHISEL, TO~$n-t$ IZ CHISEL~$l_i$ BOLXSHE
ILI RAVNY~$t+1$; SLEDOVATELXNO, $n-t$ IZ CHISEL~$m_i$ DOLZHNY BYTX~$\ge
\ceil{\log_2 (t+1)}$.
\proofend

nIZHNYAYA OCENKA V TEOREME~A OKAZYVAETSYA TOCHNOJ, ESLI~$t=1$ ILI~$t=2$
(SM.~UPR.~19). v TABL.~1 DANY ZNACHENIYA~$\hat U_t(n)$, $\hat
V_t(n)$ I~$\hat W_t(n)$ DLYA NEBOLXSHIH~$t$ I~$n$.

\htable{tABLICA~1}%
{sRAVNENIYA, NEOBHODIMYE DLYA SETEJ VYBORA ($\hat U_t(n)$, $\hat V_t(n)$, $\hat W_t(n)$)}%
{\strut\hfill$#$\hfill&&\bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr
 & t=1 & t=2 &  t=3 & t=4 & t=5 & t=6 \cr
\noalign{\hrule}
n=1 & (0,0,0)\cr
n=2 & (1,1,1)& (0,1,1)\cr
n=3 & (2,2,2)& (2,3,3)& (0,2,3)  \cr
n=4 & (3,3,3)& (4,5,5)& (3,5,5)  & (0,3,5)   \cr
n=5 & (4,4,4)& (6,7,7)& (6,7,8)  & (4,7,9)   & (0,4,9) \cr
n=6 & (5,5,5)& (8,9,9)& (8,10,10)& (8,10,12) & (5,9,12) & (0,5,12) \cr
\noalign{\hrule}
}

\excercises  (pervaya chast')
dALEE V NESKOLXKIH UPRAZHNENIYAH DANO BOLEE GLUBOKOE RAZVITIE TEORII SETEJ
SORTIROVKI, PO|TOMU BUDET UDOBNO VVESTI NEKOTORYE OBOZNACHENIYA. vMESTO
MODULYA SRAVNENIYA-OBMENA BUDEM PISATX~$[i:j]$. sETX S $n$~VHODAMI I
$r$~KOMPARATORNYMI MODULYAMI ZAPISHEM KAK~$[i_1:j_1]\,[i_2:j_2]\ldots[i_r:j_r]$,
GDE VSE~$i$ I~$j$ MENXSHE ILI RAVNY~$n$; DLYA KRATKOSTI BUDEM
NAZYVATX EE $n\hbox{-SETXYU}$. sETX NAZYVAETSYA \dfn{STANDARTNOJ,}
ESLI~$i_q<j_q$ DLYA~$1\le q \le r$. tAK, NAPRIMER, RIS.~44 OPISYVAET
STANDARTNUYU 4-SETX, OBOZNACHAEMUYU POSLEDOVATELXNOSTXYU
KOMPARATOROV~$[1:2]\, [3:4]\, [1:3]\, [2:4]\, [2:3]$.

nASHI SOGLASHENIYA V TEKSTE OB IZOBRAZHENII DIAGRAMM SETEJ POZVOLYAYUT RISOVATX
TOLXKO STANDARTNYE SETI; VSE KOMPARATORY~$[i:j]$ IZOBRAZHAYUTSYA PRYAMOJ
OT~$i$ K~$j$, GDE~$i<j$. eSLI NUZHNO NARISOVATX NESTANDARTNUYU SETX, TO
MOZHNO ISPOLXZOVATX \emph{STRELKU} OT~$i$ K~$j$, UKAZYVAYUSHCHUYU, CHTO BOLXSHEE
CHISLO NAPRAVLYAETSYA K OSTRIYU STRELKI. nAPRIMER, NA RIS.~56 IZOBRAZHENA
NESTANDARTNAYA SETX DLYA 16~|LEMENTOV S KOMPARATORAMI~$[1:2]\,[4:3]\,[5:6]\,
[8:7]$ I~T.~D. v UPR.~11 DOKAZYVAETSYA, CHTO |TO SETX SORTIROVKI.
eSLI~$x=\<x_1,~\ldots, x_n>$ ESTX $n\hbox{-VEKTOR}$, A $\alpha$~ESTX
$n\hbox{-SETX}$, TO ISPOLXZUEM OBOZNACHENIE~$x\alpha$ DLYA VEKTORA
CHISEL~$\<(x\alpha)_1,~\ldots,  (x\alpha)_n>$, POROZHDENNYH SETXYU. pOLOZHIM
TAKZHE DLYA KRATKOSTI~$a\lor b=\max(a, b)$,
%%284
$a\land b=\min(a, b)$, $\bar a=1-a$;
TOGDA~$(x[i:j])_i=x_i\land x_j$,
$(x[i:j])_j=x_i\lor x_j$ I~$(x[i:j])_k=x_k$ DLYA~$i\ne k \ne j$. bUDEM
GOVORITX, CHTO $\alpha$~YAVLYAETSYA \emph{SETXYU SORTIROVKI,} TOGDA I TOLXKO
TOGDA, KOGDA~$(x\alpha)_i\le(x\alpha)_{i+1}$ DLYA~$1\le i < n$ I VSEH~$x$.

sIMVOL~$e^{(i)}$ OBOZNACHAET VEKTOR, U KOTOROGO V POZICII~$i$ NAHODITSYA~1,
A V OSTALXNYH MESTAH~0; TAKIM OBRAZOM, $(e^{(i)})_j=\delta_{ij}$.
sIMVOL~$D_n$ OBOZNACHAET MNOZHESTVO VSEH $2^n$~$n\hbox{-MESTNYH}$ VEKTOROV
IZ~0 I~1, A $P_n$~OBOZNACHAET MNOZHESTVO VSEH $n!$~VEKTOROV, YAVLYAYUSHCHIHSYA
PERESTANOVKAMI~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. mY BUDEM ISPOLXZOVATX
OBOZNACHENIYA~$x\land y$ I~$x\lor y$ DLYA
VEKTOROV~$\<x_1\land y_1,~\ldots, x_n\land y_n>$
I~$\<x_1\lor y_1,~\ldots, x_n\lor y_n>$  I BUDEM PISATX~$x\le y$,
ESLI~$x_i\le y_i$ PRI VSEH~$i$.
tAKIM OBRAZOM, $x\le y$~TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA~$x\lor y= y$, I TOGDA
I TOLXKO TOGDA, KOGDA
\picture{rIS.~56. nESTANDARTNAYA SETX, OSNOVANNAYA NA BITONNOJ SORTIROVKE.}
$x\land y=x$. eSLI~$x$ I~$y$ LEZHAT V~$D_n$, TO BUDEM GOVORITX, CHTO
\dfn{$x$~POKRYVAET~$y$,} ESLI~$x=y\lor e^{(i)}\ne y$ PRI NEKOTOROM~$i$.
nAKONEC, DLYA VSEH~$x$ V~$D_n$ PUSTX~$\nu(x)$ BUDET CHISLOM EDINIC V $x$,
a~$\zeta(x)$---CHISLOM NULEJ; TAKIM OBRAZOM, $\nu(x)+\zeta(x)=n$.

\ex[20] nARISUJTE SETX CHETNO-NECHETNOGO SLIYANIYA DLYA~$m=3$ I~$n=5$.

\ex[22] pOKAZHITE, CHTO ALGORITMU SORTIROVKI v.~pRATTA
(SM.~UPR.~5.2.1-30) SOOTVETSTVUET SETX SORTIROVKI $n$~|LEMENTOV, IMEYUSHCHAYA
PRIBLIZITELXNO
$(\log_2 n) \times (\log_3 n)$~UROVNEJ ZADERZHKI. nARISUJTE TAKUYU SETX
DLYA~$n=12$.

\ex[M20] (k.~e.~b|TCHER.) nAJDITE PROSTOE SOOTNOSHENIE MEZHDU~$C(m,
m-1)$ I~$C(m,m)$.

\rex[m23] dOKAZHITE, CHTO~$\hat T(6) =5$.

\ex[m21] dOKAZHITE, CHTO VYRAZHENIE~(13) DEJSTVITELXNO OPREDELYAET
VREMYA ZADERZHKI DLYA SETI SORTIROVKI, OPISANNOJ SOOTNOSHENIYAMI~(10).

\ex[28] pUSTX~$T(n)$ BUDET MINIMALXNYM CHISLOM STADIJ, TREBUEMYH
DLYA SORTIROVKI S \emph{ODNOVREMENNYM VYPOLNENIEM NEPERESEKAYUSHCHIHSYA
SRAVNENIJ} (BEZ SETEVOGO OGRANICHENIYA); KAZHDOE TAKOE MNOZHESTVO SRAVNENIJ
MOZHET BYTX PREDSTAVLENO UZLOM, SODERZHASHCHIM MNOZHESTVO PAR~$i_1:j_1$,
$i_2:j_2$,~\dots, $i_r:j_r$, GDE VSE~$i_1$, $j_1$, $i_2$, $j_2$,~\dots,
$i_r$, $j_r$ RAZLICHNY; OT |TOGO UZLA OTHODIT VNIZ $2^r$~VETVEJ,
%%285
SOOTVETSTVUYUSHCHIH SLUCHAYAM
$$
\eqalign{
&\<{K_{i_1}<K_{j_1}, K_{i_2}<K_{j_2},\ldots, K_{i_r}<K_{j_r}}>;\cr
&\<{K_{i_1}>K_{j_1}, K_{i_2}<K_{j_2},\ldots, K_{i_r}<K_{j_r}}> \hbox{I~T.~D.}\cr
}
$$
dOKAZHITE, CHTO~$T(5) =T (6) = 5$.

\ex[25] pOKAZHITE, CHTO ESLI POSLEDNIJ KOMPARATOR SETI DLYA~$n=10$ NA~RIS.~49
POMESTITX NEPOSREDSTVENNO PERED VTORYM I TRETXIM S KONCA KOMPARATORAMI, TO
SETX PO-PREZHNEMU BUDET SORTIROVATX.

\ex[m20] dOKAZHITE, CHTO~$\hat M(m_1+m_2, n_1+n_2)\ge \hat M(m_1, n_1)+
\hat M(m_2, n_2)+\min(m_1, n_2)$ PRI~$m_1, m_2, n_1, n2\ge 0$.

\ex[m25] (r.~u.~fLOJD.) dOKAZHITE, CHTO~$\hat M(3,3)=6$, $\hat M(4,4)=9$,
$\hat M(5,5)=13$.

\ex[m22] dOKAZHITE, CHTO BITONNYJ SORTIROVSHCHIK b|TCHERA, KAK ON OPREDELEN V
TEKSTE PERED~(15), DEJSTVITELXNO RABOTAET. [\emph{uKAZANIE.} dOSTATOCHNO
DOKAZATX, CHTO BUDUT SORTIROVATXSYA VSE POSLEDOVATELXNOSTI, SOSTOYASHCHIE IZ
$k$~EDINIC, ZA KOTORYMI SLEDUYUT $l$~NULEJ, ZA KOTORYMI SLEDUYUT $n-k-l$~EDINIC.]

\ex[m23] dOKAZHITE, CHTO BITONNYJ SORTIROVSHCHIK b|TCHERA PORYADKA~$2^p$
BUDET SORTIROVATX NE TOLXKO POSLEDOVATELXNOSTI~$\<z_0, z_1,~\ldots,
z_{2^p-1}>$, DLYA KOTORYH $z_0 \ge \ldots\ge z_k \le \ldots\le z_{2^p-1}$,
NO TAKZHE I VSE POSLEDOVATELXNOSTI, DLYA KOTORYH $z_0\le \ldots \le z_k \ge
\ldots \ge z_{2^p-1}$. [kAK SLEDSTVIE |TOGO, SETX NA RIS.~56 BUDET
SORTIROVATX 16~|LEMENTOV, TAK KAK KAZHDAYA STADIYA SOSTOIT IZ BITONNYH
SORTIROVSHCHIKOV ILI OBRASHCHENNYH BITONNYH SORTIROVSHCHIKOV, PRIMENYAEMYH K
POSLEDOVATELXNOSTYAM, KOTORYE BYLI OTSORTIROVANY V PROTIVOPOLOZHNYH NAPRAVLENIYAH.]

\ex[m20] dOKAZHITE ILI OPROVERGNITE SLEDUYUSHCHEE UTVERZHDENIE:
ESLI~$x$ I~$y$---BITONNYE POSLEDOVATELXNOSTI RAVNOJ DLINY, TO
POSLEDOVATELXNOSTI~$x\lor y$ I~$x\land y$ TAKZHE BITONNYE.

\rex[24] (X.~s.~sTOUN). pOKAZHITE, CHTO SETX SORTIROVKI DLYA
$2^t$~|LEMENTOV MOZHNO POSTROITX PO SHEME, PROILLYUSTRIROVANNOJ DLYA~$t=4$ NA
RIS.~57. kAZHDYJ IZ $t^2$~SHAGOV |TOJ SHEMY SOSTOIT IZ "IDEALXNOGO
TASOVANIYA" PERVYH $2^{t-1}$~|LEMENTOV S POSLEDNIMI~$2^{t-1}$, ZA KOTORYM
SLEDUYUT OPERACII, VYPOLNYAEMYE ODNOVREMENNO NAD $2^{t-1}$~PARAMI SOSEDNIH
|LEMENTOV. kAZHDAYA IZ |TIH OPERACIJ OBOZNACHENA LIBO~"$0$" (NET OPERACII),
LIBO~"$+$" (STANDARTNYJ KOMPARATORNYJ MODULX), LIBO~"$-$" (OBRASHCHENNYJ
KOMPARATORNYJ MODULX). sORTIROVKA PROTEKAET V $t$~STADIJ PO $t$~SHAGOV
KAZHDAYA; NA POSLEDNEJ STADII VSE OPERACII SUTX~"$+$". v TECHENIE
STADII~$s$ PRI~$s<t$ MY VYPOLNYAEM $t-s$~SHAGOV, GDE VSE OPERACII SUTX~"$0$",
 A ZATEM VYPOLNYAEM $s$~SHAGOV, GDE NA KAZHDOM $q-\hbox{M}$~SHAGE POOCHEREDNO
VYPOLNYAYUTSYA $2^{q-1}$~OPERACIJ~"$+$" I ZATEM $2^{q-1}$~OPERACIJ~"$-$"
PRI~$q=1$, 2,~\dots, $s$.

[zAMETIM, CHTO |TA SHEMA SORTIROVKI MOZHET BYTX VYPOLNENA VESXMA
PROSTYM USTROJSTVOM, REALIZUYUSHCHIM ODIN SHAG "TASOVANIYA I OPERACIJ" I
PEREDAYUSHCHIM VYHOD OBRATNO NA VHOD. pERVYE TRI SHAGA NA RIS.~57 MOZHNO,
KONECHNO, USTRANITX, ONI OSTAVLENY, LISHX CHTOBY SDELATX SHEMU PONYATNEE.
sTOUN ZAMECHAET, CHTO TOT ZHE PRINCIP "TASOVANIYA/OPERACII" VSTRECHAETSYA V
NEKOTORYH DRUGIH ALGORITMAH, TAKIH, KAK BYSTROE PREOBRAZOVANIE fURXE
(SM.~P.~4.6.4).]

\ex[m20] dOKAZHITE, CHTO LYUBAYA $(1, n)\hbox{-SETX}$ SLIYANIYA BEZ
RAZVETVLENIYA DOLZHNA IMETX NE MENEE $\ceil{\log_2(n+1)}$~UROVNEJ ZADERZHKI.

\ex[20] nAJDITE NESTANDARTNUYU SETX SORTIROVKI CHETYREH |LEMENTOV,
SODERZHASHCHUYU TOLXKO PYATX KOMPARATORNYH MODULEJ.

\ex[M22] dOKAZHITE, CHTO SLEDUYUSHCHIJ ALGORITM PREOBRAZUET LYUBUYU
SETX SORTIROVKI~$[i_1:j_1]\cdots[i_r:j_r]$ V STANDARTNUYU SETX SORTIROVKI:
%% !!! OPREDELITX STILX, SVYAZANNYJ S ALGORITMOM
{\medskip\narrower
 \item{T1.}~pUSTX~$q$--- NAIMENXSHIJ INDEKS, TAKOJ, CHTO~$i_q>j_q$. eSLI TAKIH
INDEKSOV NET, TO OSTANOVITXSYA.
\item{T2.}~zAMENITX VSE VHOZHDENIYA~$i_q$ NA~$j_q$ I VSE VHOZHDENIYA~$j_q$
NA~$i_q$ VO VSEH KOMPARATORAH~$[i_s:j_s]$ DLYA~$q\le s \le r$. vERNUTXSYA K
SHAGU~T1.\endmark
\medskip}

\noindent nAPRIMER, SETX~$[4:1]\,[3:2]\,[1:3]\,[2:4]\,[1:2]\,[3:4]$
PREOBRAZUETSYA SNACHALA V~$[1:4]\,[3:2]\,[4:3]\,[2:1]\,[4:2]\,[3:1]$, ZATEM
V~$[1:4]\,[2:3]\,[4:2]\,[3:1]\,[4:3]\,[2:1]$, ZATEM
%%286
\picture{rIS.~57.~sORTIROVKA 16 |LEMENTOV S "IDEALXNYM TASOVANIEM".}
%%287
V~$[1:4]\,[2:3]\,[2:4]\,[3:1]\,[2:3]\,[4:1]$ I~T.~D., POKA NE POLUCHITSYA
STANDARTNAYA SETX~$[1:4]\,[2:3]\,[2:4]\,[1:3]\,[1:2]\,[3:4]$.

\ex[m25] pUSTX~$D_{tn}$ BUDET MNOZHESTVOM VSEH
$\perm{n}{t}$~POSLEDOVATELXNOSTEJ $\<x_1,~\ldots, x_n>$ IZ NULEJ I EDINIC,
IMEYUSHCHIH ROVNO $t$~EDINIC. dOKAZHITE, CHTO $\hat U_t(n)$~RAVNO MINIMALXNOMU
CHISLU KOMPARATOROV, KOTORYE NEOBHODIMY V SETI, SORTIRUYUSHCHEJ VSE
|LEMENTY~$D_{tn}$; CHTO $\hat V_t (n)$~RAVNO MINIMALXNOMU CHISLU
KOMPARATOROV, NUZHNYH DLYA SORTIROVKI~$D_{tn}\cup D_{(t-1)n}$; I CHTO $\hat
W_t(n)$~RAVNO MINIMALXNOMU CHISLU KOMPARATOROV, NUZHNYH DLYA
SORTIROVKI~$\bigcup_{0\le k \le t} D_{kn}$.

\rex[m20] dOKAZHITE, CHTO SETX, KOTORAYA OPREDELYAET MEDIANU $2t-1$~|LEMENTOV,
TREBUET NE MENEE~$(t-1)\ceil{\log_2(t+1)}+\ceil{\log_2 t}$
KOMPARATORNYH MODULEJ. [\emph{uKAZANIE:} SM. DOKAZATELXSTVO TEOREMY~A.]

\ex[m22] dOKAZHITE, CHTO~$\hat U_2(n)=2n-4$ I~$\hat V_2(n)=2n-3$ DLYA VSEH~$n\ge2$.

\ex[24] dOKAZHITE, CHTO~$\hat V_3(5)=7$.

\ex[M15] pUSTX~$\alpha$---LYUBAYA $n\hbox{-SETX}$, A~$x$ I~$y$---DVA
$n\hbox{-VEKTORA}$. dOKAZHITE, CHTO IZ~$x\le y$ SLEDUET~$x\alpha \le y\alpha$.

\ex[m15] dOKAZHITE, CHTO ESLI~$x$ I~$y$ SUTX $n\hbox{-VEKTORY}$
DEJSTVITELXNYH CHISEL, TO~$x\cdots y \le (x\alpha)\cdot(y\alpha)$.
(zDESX~$x\cdot y$---SKALYARNOE PROIZVEDENIE $x_1y_1+\cdots+x_ny_n$.)

\ex[m17]. pUSTX~$\alpha$ ESTX~$n\hbox{-SETX}$. dOKAZHITE, CHTO SUSHCHESTVUET
PERESTANOVKA~$p\in P_n$, TAKAYA, CHTO $(p\alpha)_i=j$ TOGDA I TOLXKO TOGDA,
KOGDA V~$D_n$~NAJDUTSYA VEKTORY~$x$, $y$, TAKIE, CHTO~$x$ POKRYVAET~$y$,
$(x\alpha)_i=1$,
$(y\alpha)_i=0$ I~$\zeta(y)=j$.

\rex[M21] (v.~e.~aLEKSEEV.) pUSTX~$\alpha$ ESTX~$n\hbox{-SETX}$; VVEDEM
OBOZNACHENIYA $l_k=\min\set{ (p\alpha)_k \mid p\in P_n}$,
$u_k=\max\set{(p\alpha)_k\mid p\in P_n}$ PRI~$1\le k \le n$ DLYA NIZHNEJ I
VERHNEJ GRANIC DIAPAZONA ZNACHENIJ, KOTORYE MOGUT POYAVLYATXSYA NA PRYAMOJ~$k$
VYHODA. pUSTX~$l'_k$ I~$u'_k$---ANALOGICHNO OPREDELENNYE VELICHINY DLYA
SETI~$\alpha'=\alpha[i:j]$. dOKAZHITE, CHTO~$l'_i=l_i\land l_j$,
$l'_j\le l_i+l_j$,
$u'_i\ge u_+u_j-(n+1)$, $u'_j=u_i\lor u_j$.  [\emph{uKAZANIE:} DLYA DANNYH
VEKTOROV~$x$ I~$y$ IZ~$D_n$, TAKIH,
CHTO~$(x\alpha)_i=(y\alpha)_j=0$, $\zeta(x)=l_i$, $\zeta(y)=l_j$, NAJDITE
VEKTOR~$z$ IZ~$D_n$, TAKOJ, CHTO~$(z\alpha')_j=0$, $\zeta(z)\le l_i+l_j$.]

\ex[M30] pUSTX~$l_k$ I~$u_k$ OPREDELENY, KAK V UPR.~24. dOKAZHITE, CHTO
MNOZHESTVO~$\set{(p\alpha)_k \mid  p\in P_n}$ SODERZHIT VSE CELYE CHISLA
MEZHDU~$l_k$ I~$u_k$ VKLYUCHITELXNO.

\ex[M24] (r.~u.~fLOJD.) pUSTX~$\alpha$ ESTX $n\hbox{-SETX}$. dOKAZHITE, CHTO
MNOZHESTVO~$D_n\alpha=\set{x\alpha \mid x\in D_n}$ MOZHET BYTX OPREDELENO,
IZ MNOZHESTVA~$P_n\alpha=\set{p\alpha \mid p\in P_n}$ I, OBRATNO,
$P_n\alpha$~MOZHET BYTX OPREDELENO IZ~$D_n\alpha$.

\rex[M20] pUSTX~$x$ I~$y$---VEKTORY, I PUSTX~$x\alpha$
I~$y\alpha$---OTSORTIROVANNYE VEKTORY. dOKAZHITE, CHTO~$(x\alpha)_i\le
(y\alpha)_j$ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLYA LYUBOJ SOVOKUPNOSTI
$j$~|LEMENTOV IZ~$y$ MOZHNO NAJTI SOVOKUPNOSTX $i$~|LEMENTOV IZ~$x$, TAKUYU,
CHTO LYUBOJ |LEMENT, VZYATYJ IZ~$x$, MENXSHE NEKOTOROGO |LEMENTA,
VZYATOGO IZ~$y$, ILI RAVEN EMU. iSPOLXZUJTE |TOT PRINCIP DLYA DOKAZATELXSTVA
TOGO, CHTO \emph{ESLI OTSORTIROVATX STROKI LYUBOJ MATRICY, A ZATEM
OTSORTIROVATX STOLBCY, TO STROKI OSTANUTSYA UPORYADOCHENNYMI.}

\rex[m20] sLEDUYUSHCHAYA DIAGRAMMA POKAZYVAET, KAK ZAPISATX FORMULY DLYA
SODERZHIMOGO VSEH LINIJ SETI SORTIROVKI CHEREZ EE VHODY:
\picture{p.287}
iSPOLXZUYA ZAKONY KOMMUTATIVNOSTI~$x\land y =y \land x$, $x\lor y = y \lor x$,
ZAKONY ASSOCIATIVNOSTI~$x\land (y\land z)=(x\land y) \land z$,
$x \lor (y \lor z) = (x \lor y) \lor z$, ZAKONY DISTRIBUTIVNOSTI
$x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)$,
$x\lor(y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)$, ZAKONY POGLOSHCHENIYA
$x\land (x\lor y)=x\lor(x\land y)=x$ I ZAKONY IDEMPOTENTNOSTI
$x\land x=x\lor x = x$, MY MOZHEM SVESTI FORMULY V PRAVOJ CHASTI |TOJ SETI
SOOTVETSTVENNO K~$(a \land b \land c \land d)$,
$(a\land b \land c) \lor (a\land b \land d) \lor (a\land c\land d) \lor (b \land c \land d)$,
$(a\land b) \lor (a \land c) \lor (a \land d) \lor (b \land c) \lor (b \land d) \lor (c \land d)$,
$a \lor b \lor c \lor d$. dOKAZHITE,
%%288
CHTO V OBSHCHEM SLUCHAE $t\hbox{-J}$ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENT
IZ~$\set{x_1,~\ldots, x_n}$ DAETSYA "|LEMENTARNOJ SIMMETRICHESKOJ FUNKCIEJ"
$$
\sigma_t(x_1,~\ldots, x_n)=
\bigvee \set{x_{i_1}\land x_{i_2}\land\ldots\land x_{i_t} \mid
1\le i_1 < i_2 < \ldots < i_t \le n}.
$$
[zDESX $\perm{n}{t}$~CHLENOV OB�EDINYAYUTSYA OPERACIEJ~$\vee$ VMESTE. tAKIM
OBRAZOM, ZADACHA
NAHOZHDENIYA SETI SORTIROVKI MINIMALXNOJ STOIMOSTI |KVIVALENTNA ZADACHE
VYCHISLENIYA |LEMENTARNYH SIMMETRICHESKIH FUNKCIJ S MINIMALXNYM CHISLOM
SHEM "I/ILI", GDE NA KAZHDOM SHAGE DVE VELICHINY~$\phi$ I~$\psi$ ZAMENYAYUTSYA
NA~$\phi\land\psi$ I~$\phi\lor\psi$.]

\ex[M20] dANO, CHTO~$x_1\le x_2 \le x_3$ I~$y_1\le y_2 \le y_3 \le y_4 \le
y_5$ I CHTO~$z_1\le z_2 \le \ldots \le z_8$---REZULXTAT SLIYANIYA~$x$ S~$y$.
nAJDITE VYRAZHENIYA DLYA KAZHDOGO~$z$ CHEREZ~$x$ I~$y$, ISPOLXZUYA
OPERATORY~$\land$ I~$\lor$.

\ex[vm24] dOKAZHITE, CHTO LYUBAYA FORMULA, SODERZHASHCHAYA~$\land$, $\lor$ I
NEZAVISIMYE PEREMENNYE~$\set{x_1,~\ldots, x_n}$, MOZHET BYTX PRIVEDENA S
ISPOLXZOVANIEM TOZHDESTV IZ UPR.~28 K "KANONICHESKOJ"
FORME~$\tau_1\lor\tau_2\lor\ldots\lor\tau_k$, ZDESX~$k\ge1$ I
KAZHDYJ~$\tau_i$ IMEET VID~$\land \set{x_j \mid j \in S_i}$,
GDE~$S_i$---PODMNOZHESTVO~$\set{1,2,~\ldots, n}$ I NIKAKOE MNOZHESTVO~$S_i$ NE
VKLYUCHAETSYA V~$S_j$, ESLI~$i\ne j$. dOKAZHITE TAKZHE, CHTO DVE TAKIE
KANONICHESKIE FORMY RAVNY DLYA VSEH~$x_1$,~\dots, $x_n$ TOGDA I TOLXKO TOGDA,
 KOGDA ONI IDENTICHNY (S TOCHNOSTXYU DO PORYADKA).

\ex[m24] (r.~dEDEKIND, 1897.) pUSTX~$\delta_n$---CHISLO RAZLICHNYH
KANONICHESKIH FORM OT~$x_1$,~\dots, $x_n$ V SMYSLE UPR.~30 tAK,
$\delta_1=l$, $\delta_2=4$ I~$\delta_3=18$. chEMU RAVNO~$\delta_4$?

\ex[m28] (m.~u.~gRIN.) pUSTX~$G_1=\set{00, 01, 11}$; OPREDELIM~$G_{n+1}$
KAK MNOZHESTVO VSEH CEPOCHEK~$\theta\phi\psi\omega$, TAKIH, CHTO~$\theta$,
$\phi$, $\psi$, $\omega$ IMEYUT DLINU~$2^{n+1}$ I~$\theta\phi$,
$\psi\omega$, $\theta\psi$ I~$\phi\omega$ PRINADLEZHAT~$G_n$.
pUSTX~$\alpha$---SETX, SOSTOYASHCHAYA IZ CHETYREH PERVYH UROVNEJ 16-SORTIROVSHCHIKA,
IZOBRAZHENNOGO NA RIS.~48. pOKAZHITE, CHTO~$D_{16}\alpha=G_4$, I DOKAZHITE,
CHTO |TO MNOZHESTVO IMEET V TOCHNOSTI $\delta_4+2$~|LEMENTOV. (sM.~UPR.~31.)

\rex[m22] nE VSE $\delta_n$~FUNKCIJ OT~$\<x_1,~\ldots, x_n>$ IZ UPR.~31
MOGUT VSTRETITXSYA V KOMPARATORNYH SETYAH. a IMENNO DOKAZHITE, CHTO
FUNKCIYA~$(x_1\land x_2) \lor (x_2\land x_3) \lor (x_3\land x_4)$ NE MOZHET
BYTX REZULXTATOM NIKAKOJ KOMPARATORNOJ SETI OT~$\<x_1,~\ldots, x_n>$.

\ex[23] yaVLYAETSYA LI SLEDUYUSHCHAYA SETX SETXYU SORTIROVKI?
\picture{p.288}
\ex[20] dOKAZHITE, CHTO V LYUBOJ \emph{STANDARTNOJ SETI} SORTIROVKI DOLZHEN PO
KRAJNEJ MERE ODIN RAZ VSTRETITXSYA KAZHDYJ IZ KOMPARATOROV~$[i:i+1]$
PRI~$1\le i < n$.

\rex[22] sETX NA RIS.~47 SODERZHIT TOLXKO \emph{KRATCHAJSHIE}
SRAVNENIYA~$[i:i+1]$; BUDEM NAZYVATX TAKIE SETI \dfn{PRIMITIVNYMI,}
(a)~dOKAZHITE, CHTO PRIMITIVAAYA SETX SORTIROVKI DLYA $n$~|LEMENTOV DOLZHNA
IMETX NE MENEE $\perm{n}{2}$~KOMPARATOROV. [\emph{uKAZANIE:} RASSMOTRITE
INVERSII PERESTANOVKI.] (b)~(r.~u.~fLOJD, 1964.)
pUSTX~$\alpha$---PRIMITIVNAYA SETX DLYA $n$~|LEMENTOV, A~$x$---VEKTOR, TAKOJ,
CHTO~$(x\alpha)_i >(x\alpha)_j$ PRI NEKOTORYH~$i<j$. dOKAZHITE,
CHTO~$(y\alpha)_i>(y\alpha)_j$,
GDE~$y$---VEKTOR~$\<n, n-1,~\ldots, 1>$. (S)~v KACHESTVE SLEDSTVIYA~(b)
DOKAZHITE, CHTO PRIMITIVNAYA
%%288
SETX YAVLYAETSYA SETXYU SORTIROVKI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONA
SORTIRUET EDINSTVENNYJ VEKTOR~$\<n, n-1,~\ldots, 1>$!

\ex[m22] \dfn{chETNO-NECHETNAYA SORTIROVKA S TRANSPOZICIYAMI} DLYA $n$~CHISEL,
$n\ge 3$, |TO $n\hbox{-UROVNEVAYA}$ SETX S ${1\over2}n(n-1)$~KOMPARATORAMI,
NAPOMINAYUSHCHAYA KIRPICHNUYU KLADKU (RIS.~58). (eSLI $n$~CHETNO, IMEYUTSYA DVE
VOZMOZHNOSTI.) tAKUYU SORTIROVKU OSOBENNO LEGKO REALIZOVATX APPARATURNO, TAK
KAK POPEREMENNO VYPOLNYAYUTSYA TOLXKO DVA VIDA DEJSTVIJ. dOKAZHITE, CHTO TAKAYA
SETX DEJSTVITELXNO BUDET PRAVILXNOJ SETXYU SORTIROVKI. [\emph{uKAZANIE:} SM.~UPR.~36.]
\picture{rIS.~58.  chETNO-NECHETNAYA SORTIROVKA S TRANSPOZICIYAMI.}

\ex[29] mOZHNO DATX DRUGUYU INTERPRETACIYU SETYAM SORTIROVKI, SCHITAYA, CHTO NA
KAZHDOJ LINII NAHODITSYA MULXTIMNOZHESTVO IZ $m$~CHISEL, A NE ODNO CHISLO; PRI
|TOJ INTERPRETACII OPERACIYA~$[i:j]$ ZAMENYAET~$x_i$ I~$x_j$
SOOTVETSTVENNO NA~$x_i \upup x_j$ I~$x_i\dndn x_j$---NAIMENXSHIE~$m$ I
NAIBOLXSHIE~$m$ IZ~$2m$ CHISEL~$x_i\uplus x_j$. (rIS.~59 ILLYUSTRIRUET |TO
PRI~$m=2$.) eSLI~$a$ I~$b$ SUTX MULXTIMNOZHESTVA, SODERZHASHCHIE $m$~CHISEL
KAZHDOE, TO BUDEM GOVORITE, CHTO~$a \lflf b$ TOGDA
\picture{rIS.~59.  dRUGAYA INTERPRETACIYA SETI SORTIROVKI, PREDSTAVLENNOJ NA
RIS.~44: KAZHDYJ KOMPARATORNYJ MODULX VYPOLNYAET OPERACIYU SLIYANIYA.}
I TOLXKO TOGDA, KOGDA~$a \upup b=a$ (ILI, |KVIVALENTNO, $a \dndn b=b$;
NAIBOLXSHIJ |LEMENT~$a$ MENXSHE ILI RAVEN NAIMENXSHEMU |LEMENTU~$b$). tAKIM
OBRAZOM,
$a \upup b \lflf a \dndn b$.

pUSTX~$\alpha$ ESTX $n\hbox{-SETX}$, a~$x=\<x_1,~\ldots, x_n>$---VEKTOR, V
KOTOROM KAZHDAYA KOMPONENTA~$x_i$---MULXTIMNOZHESTVO IZ $m$~|LEMENTOV. dOKAZHITE,
CHTO ESLI~$(x\alpha)_i$ NE $\lflf (x\alpha)_j$ V OPISANNOJ INTERPRETACII,
TO V~$D_n$ NAJDETSYA VEKTOR~$y$, TAKOJ, CHTO $(y\alpha)_i=1$
I~$(y\alpha)_j=0$. [sLEDOVATELXNO, SETX SORTIROVKI $n$~|LEMENTOV
PREVRASHCHAETSYA V SETX SORTIROVKI $mn$~|LEMENTOV, ESLI ZAMENITX SRAVNENIYA
$m$-PUTEVYMI SLIYANIYAMI. nA RIS.~60 IZOBRAZHEN VOSXMI|LEMENTNYJ
SORTIROVSHCHIK, POSTROENNYJ IZ CHETYREH|LEMENTNOGO S ISPOLXZOVANIEM |TOGO
NABLYUDENIYA.]

\rex[m23] pOKAZHITE, CHTO V OBOZNACHENIYAH UPR.~38
$(x\upup y)\upup z=x\upup (y\upup z)$ I~$(x\dndn y)\dndn z=x\dndn(y\dndn
z)$, ODNAKO $(x\dndn y)\upup z)$ \emph{NE}  VSEGDA RAVNO~$(x\upup z)\dndn
(y\upup z)$ I~$(x\upup y)\dndn (x\upup z)\dndn (y\upup z)$ \emph{NE}
VSEGDA RAVNO SREDNIM $m$~|LEMENTAM~$x\uplus y \uplus z$. nAJDITE
PRAVILXNUYU FORMULU DLYA |TIH SREDNIH |LEMENTOV, ISPOLXZOVAV V NEJ $x$, $y$,
$z$, A TAKZHE OPERACII~$\upup$ I~$\dndn$.
%%290

\ex[M25] (r.~l.~gR|HEM.) kOMPARATOR~$[i:j]$ NAZYVAETSYA IZBYTOCHNYM V
SETI~$\alpha_1[i:j]\alpha_2$, ESLI LIBO~$(x\alpha_1)_i \le (x\alpha_1)_j$
DLYA VSEH VEKTOROV~$x$, LIBO~$(x\alpha_1)_i\ge (x\alpha_1)_j$ DLYA VSEH
VEKTOROV~$x$. dOKAZHITE, CHTO ESLI $\alpha$~YAVLYAETSYA SETXYU S
$r$~NEIZBYTOCHNYMI KOMPARATORAMI, TO NAJDUTSYA PO KRAJNEJ MERE
$r$~RAZLICHNYH UPORYADOCHENNYH
\picture{rIS.~60.   8-SORTIROVSHCHIK, POSTROENNYJ IZ 4-SORTIROVSHCHIKA S
ISPOLXZOVANIEM SLIYANIYA.}
PAR~$(i, j)$ RAZLICHNYH INDEKSOV, TAKIH, CHTO~$(x\alpha)_i\le (x\alpha)_j$
DLYA VSEH VEKTOROV~$x$. (sLEDOVATELXNO, SETX BEZ IZBYTOCHNYH KOMPARATOROV
SODERZHIT NE BOLEE $\perm{n}{2}$~MODULEJ.)

\rex[M27] (v.~e.~aLEKSEEV.) pUSTX~$\alpha=[i_1:j_1]\ldots[i_r:j_r]$ ESTX~$n\hbox{-SETX}$;
DLYA~$1\le s \le r$
OPREDELIM~$\alpha^s=[i'_1:j'_1]\ldots[i'_{s-1}:j'_{s-1}]\,
[i_s:j_s]\ldots[i_r:j_r]$, GDE~$i'_k$ I~$j'_k$ POLUCHENY IZ~$i_k$ I~$j_k$
ZAMENOJ~$i_s$ NA~$j_s$ I~$j_s$ NA~$i_s$ VEZDE, GDE ONI VSTRECHAYUTSYA.
nAPRIMER,
ESLI~$\alpha=[1:2]\,[3:4]\,[1:3]\,[2:4]\,[2:3]$, TO~$\alpha^4=[1:4]\,
[3:2]\,[1:3]\,[2:4]\,[2:3]$.
{\medskip\narrower
\item{a)}~dOKAZHITE, CHTO~$D_n\alpha=D_n(\alpha^s)$.
\item{b)}~dOKAZHITE, CHTO~$(\alpha^s)^t=(\alpha^t)^s$.
\item{c)}~\dfn{sOPRYAZHENIEM~$\alpha$} YAVLYAETSYA LYUBAYA SETX
VIDA~$(\ldots((\alpha^{s_1})^{s_2})\ldots)^{s_k}$. dOKAZHITE, CHTO
$\alpha$~IMEET NE BOLEE $2^{r-1}$~SOPRYAZHENIJ.
\item{d)}~pUSTX~$g_\alpha(x)=1$, ESLI~$x\in D_n\alpha$, I~$g_\alpha(x)=0$,
ESLI~$x\notin D_n\alpha$, I PUSTX
$$
f_\alpha(x)=(\bar x_{i_1}\lor x_{j_1})\land\ldots\land(\bar x_{i_r}\lor x_{j_r}).
$$
dOKAZHITE,
CHTO~$g_\alpha(x)=\bigvee\set{f_{\alpha'}(x)\mid \hbox{$\alpha'$ ESTX SOPRYAZHENIE~$\alpha$}}$.
\item{e)}~pUSTX~$G_\alpha$---NAPRAVLENNYJ GRAF S VERSHINAMI~$\set{1,~\ldots,
n}$ I DUGAMI~$i_s\to j_s$ DLYA~$1\le s \le r$. dOKAZHITE, CHTO A YAVLYAETSYA
SETXYU SORTIROVKI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLYA VSEH EE
SOPRYAZHENIJ~$\alpha'$ V~$G_{\alpha'}$ IMEETSYA ORIENTIROVANNYJ PUTX OT~$i$
DO~$i+1$ DLYA~$1\le i < n$. [eTO DOVOLXNO INTERESNOE USLOVIE,
POSKOLXKU~$G_\alpha$ NE ZAVISIT OT PORYADKA KOMPARATOROV V~$\alpha$.]
\medskip}

\rex[25] (d.~vAN vORIS.) dOKAZHITE, CHTO~$\hat S(n)\ge \hat
S(n-1)+\ceil{\log_2 n}$.

\ex[23] \dfn{pERESTANOVOCHNOJ SETXYU} NAZYVAETSYA POSLEDOVATELXNOSTX
MODULEJ~$[i_1:j_1]\ldots[i_r:j_r]$, GDE KAZHDYJ MODULX~$[i:j]$ MOZHET
USTANAVLIVATXSYA IZVNE V ODNO IZ DVUH SOSTOYANIJ: LIBO ON PEREDAET SVOI
VHODY BEZ IZMENENIJ, LIBO MENYAET MESTAMI~$x_i$ I~$x_j$ (NEZAVISIMO OT
ZNACHENIJ~$x_i$ I~$x_j$), I POSLEDOVATELXNOSTX MODULEJ DOLZHNA BYTX TAKOJ,
CHTO NA VYHODE MOZHNO POLUCHITX LYUBUYU PERESTANOVKU VHODOV PRI SOOTVETSTVUYUSHCHEJ
USTANOVKE MODULEJ. lYUBAYA SETX SORTIROVKI YAVLYAETSYA, OCHEVIDNO,
PERESTANOVOCHNOJ SETXYU, NO OBRATNOE NEVERNO. nAJDITE PERESTANOVOCHNUYU SETX
DLYA PYATI |LEMENTOV, IMEYUSHCHUYU TOLXKO VOSEMX MODULEJ.
%%291

\ex[46] iZUCHITE SVOJSTVA SETEJ SORTIROVKI, POSTROENNYH IZ
$m$-SORTIROVSHCHIKOV VMESTO 2-SORTIROVSHCHIKOV. (nAPRIMER, g.~shAPIRO POSTROIL SETX
DLYA SORTIROVKI 16~|LEMENTOV, ISPOLXZOVAV CHETYRNADCATX
4-SORTIROVSHCHIKOV. nAILUCHSHEE LI |TO RESHENIE? sUSHCHESTVUET LI DLYA VSEH
$m$~|FFEKTIVNYJ SPOSOB SORTIROVKI  $m^2$~|LEMENTOV S POMOSHCHXYU MODULEJ,
VYPOLNYAYUSHCHIH $m$-SORTIROVKU?)

\ex[48] nAJDITE, $(m, n)\hbox{-SETX}$ SLIYANIYA S CHISLOM KOMPARATOROV,
MENXSHIM~$C(m,n)$, ILI DOKAZHITE, CHTO TAKOJ SETI NE SUSHCHESTVUET.

\ex[48] nAJDITE $(m, n)\hbox{-SETX}$ SLIYANIYA MENXSHE, CHEM S
$\ceil{\log_2 (m+n)}$~UROVNYAMI ZADERZHKI, ILI DOKAZHITE, CHTO EE NE SUSHCHESTVUET.

\ex[48] iZUCHITE KLASS SHEM SORTIROVKI, KOTORYE MOGUT BYTX REALIZOVANY V
VIDE SHEM S IDEALXNYM TASOVANIEM, KAK NA RIS.~57, NO S
DRUGIM RASPOLOZHENIEM OPERACIJ~"$0$", "$+$" I~"$-$".

\ex[vm49] iSSLEDUJTE SVOJSTVA OPERACIJ~$\upup$ I~$\dndn$, OPREDELENNYH V
UPR.~38. mOZHNO LI OHARAKTERIZOVATX VSE TOZHDESTVA V |TOJ ALGEBRE KAKIM-LIBO
IZYASHCHNYM SPOSOBOM ILI VYVESTI VSE IH IZ KONECHNOGO NABORA TOZHDESTV? v
|TOM OTNOSHENII TAKIE TOZHDESTVA, KAK
$$
x\upup x \upup x = x \upup x \hbox{ ILI } x\upup (x\dndn (x\upup (x\dndn
y)))=x\upup(x\dndn y),
$$
KOTORYE IMEYUT MESTO TOLXKO DLYA~$m\le 2$, PREDSTAVLYAYUT OTNOSITELXNO
NEBOLXSHOJ INTERES; RASSMATRIVAJTE LISHX TOZHDESTVA, SPRAVEDLIVYE PRI \emph{VSEH}~$m$.

\ex[M49] kAKOVO ASIMPTOTICHESKOE POVEDENIE FUNKCII~$T(n)$, OPREDELENNOJ V
UPR.~B? mOZHET LI BYTX $T(n)<\hat T(n)$ PRI KAKOM-NIBUDX~$n$?

\ex[50] nAJDITE TOCHNOE ZNACHENIE~$\hat S(n)$ DLYA KAKOGO-LIBO~$n>8$.

\ex[m50] dOKAZHITE, CHTO ASIMPTOTICHESKOE ZNACHENIE~$\hat S(n)$ NE
ESTX~$O(n\log n)$.

\centerline{{\bf  uprazhneniya, (vtoraya chast')}}

sLEDUYUSHCHIE UPRAZHNENIYA IMEYUT DELO S RAZLICHNYMI TIPAMI OPTIMALXNYH ZADACH,
KASAYUSHCHIHSYA SORTIROVKI. pERVYE NESKOLXKO ZADACH OSNOVANY NA "INTERESNOM
"MNOGOGOLOVOCHNOM" OBOBSHCHENII METODA PUZYRXKA,
PREDLOZHENNOM f.~n.~aRMSTRONGOM I~r.~dZH.~nELXSONOM ESHCHE V~1954~G.
[sM.~U.~S.~Patents 3029413, 3034102.]
pUSTX~$1=h_1<h_2<\ldots<h_m=n$---VOZRASTAYUSHCHAYA POSLEDOVATELXNOSTX CELYH
CHISEL; BUDEM NAZYVATX EE "POSLEDOVATELXNOSTXYU GOLOVOK" DLINY~$m$ S
DIAPAZONOM~$n$. oNA BUDET ISPOLXZOVATXSYA PRI OPREDELENII METODOV
SORTIROVKI SPECIALXNOGO VIDA. sORTIROVKA ZAPISEJ~$R_1$~\dots{}$R_N$
OSUSHCHESTVLYAETSYA ZA NESKOLXKO PROHODOV, A KAZHDYJ PROHOD SOSTOIT IZ
$N+n-1$~SHAGOV. nA SHAGE~$j$ PRI~$j=1-n$, $2-n$,~\dots,.$N-1$
RASSMATRIVAYUTSYA ZAPISI~$R_{j+h[1]}$, $R_{j+h[2]}$,~\dots, $R_{j+h[m]}$,
KOTORYE V SLUCHAE NEOBHODIMOSTI PERESTAVLYAYUTSYA TAK, CHTOBY IH KLYUCHI
OKAZALISX UPORYADOCHENNYMI. (mY GOVORIM, CHTO~$R_{j+h[1]}\ldots{}R_{j+h[m]}$
NAHODYATSYA "POD GOLOVKAMI CHTENIYA-ZAPISI". eSLI~$j+h[k]$ LIBO~$<1$,
LIBO~$>N$, TO ZAPISX~$R_{j+h[k]}$ NE RASSMATRIVAETSYA, INACHE GOVORYA,
%%292
KLYUCHI~$K_0$, $K_{-1}$, $K_{-2}$,~\dots{} SCHITAYUTSYA RAVNYMI~$-\infty$,
a~$K_{N+1}$, $K_{N+2}$,~\dots{}---RAVNYMI~$+\infty$. pO|TOMU PRI~$j\le
-h[m-1]$ ILI~$j>N-h[2]$ SHAG~$j$ TRIVIALEN.)

nAPRIMER, V SLEDUYUSHCHEJ TABLICE POKAZAN ODIN PROHOD SORTIROVKI PRI~$m=3$,
$N=9$ I~$h_1=1$, $h_2=2$, $h_3=4$:
{\def\ul#1{\underline{#1}}\def\emp{\phantom{0}}
\ctable{
$#$\hfill && \bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr
& K_{-2} & K_{-1} & K_0 & K_1 & K_2 & K_3 & K_4 & K_5 & K_6 & K_7 & K_8 &
K_9 & K_{10} & K_{11} & K_{12}\cr
j=-3 &  \ul{\emp} & \ul{\emp} &               & \ul{3} & 1 & 4 & 5 & 9 & 2
& 6 & 8 & 7 \cr
j=-2 &                  & \ul{\emp}& \ul{\emp}& 3 & \ul{1} & 4 & 5 & 9 & 2
& 6 & 8 & 7 \cr
j=-1 &                  &               & \ul{\emp}&\ul{3} & 1 & \ul{4} &
5 & 9 & 2 & 6 & 8 & 7\cr
j=0  &                  &               &                &\ul{1} & \ul{3}
& 4 & \ul{5} &  9 & 2 & 6 & 8 & 7 \cr
j=1  &                  &                &                & 1 & \ul{3} &
\ul{4} & 5 & \ul{9} & 2 & 6 & 8 & 7 \cr
j=2  &                  &                 &                & 1  & 3 &
\ul{2} & \ul{4} & 9 & \ul{5} & 6 & 8 & 7 \cr
j=3  &                  &                  &                & 1  & 3 & 2 &
\ul{4} & \ul{6} & 5 &\ul{9} & 8 & 7 \cr
j=4  &                  &                  &                 & 1 & 3 & 2 &
4 & \ul{5} & \ul{6} & 9 & \ul{8} & 7 \cr
j=5  &                  &                  &                  & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & \ul{6} & \ul{7} & 8 & \ul{9}\cr
j=6  &                   &                 &                   & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & 6 & \ul{7} & \ul{8} & 9 & \ul{\emp} \cr
j=7  &                   &                  &                  & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & 6 & 7 & \ul{8} & \ul{9} & & \ul{\emp}\cr
j=8  &                   &                   &                 & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & \ul{9} & \ul{\emp}&  & \ul{\emp} \cr
}
}


zAMETIM, CHTO, ESLI~$m=2$, $h_1=1$ I~$h_2=2$, |TOT "MNOGOGOLOVOCHNYJ"
METOD SVODITSYA K METODU PUZYRXKA (ALGORITM~5.2.2B).

\ex[21] (dZHEJMS dUGUNDI.) dOKAZHITE, CHTO ESLI~$h[k+1]=h[k]+1$
PRI NEKOTOROM~$k$, $1\le k < m$, TO MNOGOGOLOVOCHNYJ SORTIROVSHCHIK,
OPREDELENNYJ VYSHE, OTSORTIRUET LYUBOJ VHODNOJ FAJL ZA KONECHNOE CHISLO
PROHODOV. nO
ESLI~$h[k+1]\ge h[k]+2$ PRI~$1\le k < m$, TO MOZHET SLUCHITXSYA, CHTO VHODNAYA
POSLEDOVATELXNOSTX \emph{NIKOGDA} NE STANET UPORYADOCHENNOJ.

\edef\exref{\the\excerno}
\rex[50] (aRMSTRONG I~nELXSON.) pUSTX~$h[k+1]\le h[k]+k$ PRI~$1\le k\le m$
I~$N\ge n-1$. dOKAZHITE, CHTO V TECHENIE PERVOGO PROHODA
NAIBOLXSHIE $n-1$~|LEMENTOV VSEGDA ZAJMUT SVOI OKONCHATELXNYE MESTA.
[\emph{uKAZANIE:} ISPOLXZUJTE PRINCIP NULEJ I EDINIC; DOKAZHITE, CHTO ESLI
SORTIRUETSYA POSLEDOVATELXNOSTX IZ NULEJ I EDINIC, PRICHEM EDINIC
MENXSHE~$n$, TO VSE GOLOVKI MOGUT CHITATX~1 LISHX V TOM SLUCHAE, KOGDA VSE
NULI LEZHAT SLEVA OT GOLOVOK.]

dOKAZHITE, CHTO ESLI GOLOVKI UDOVLETVORYAYUT SFORMULIROVANNYM USLOVIYAM, TO
SORTIROVKA BUDET ZAKONCHENA NE BOLEE, CHEM ZA
$\ceil{(N-1)/(n-1)}$~PROHODOV. sUSHCHESTVUET LI VHODNOJ FAJL, DLYA KOTOROGO
NEOBHODIMO ROVNO STOLXKO PROHODOV?

\ex[26] dOKAZHITE, CHTO PRI~$n=N$ PERVYJ PROHOD POMESTIT NAIMENXSHIJ  KLYUCH V
POZICIYU~$R_1$ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA~$h[k+1]\le 2h[k]$, $1\le k<m$.

\ex[34] (dZH.~hOPKROFT.) "sOVERSHENNYM SORTIROVSHCHIKOM"
$N$~|LEMENTOV NAZYVAETSYA MNOGOGOLOVOCHNYJ SORTIROVSHCHIK, KOTORYJ VSEGDA
ZAKANCHIVAET RABOTU ZA ODIN PROHOD. uPRAZHNENIE~\exref{} DOKAZYVAET, CHTO
POSLEDOVATELXNOSTX
$$
\<h_1, h_2, h_3, h_4,~\ldots, h_m>=\<1, 2, 4, 7,~\ldots, 1+\perm{m}{2}>.
$$
OBRAZUET SOVERSHENNYJ SORTIROVSHCHIK DLYA $N=\perm{m}{2}$~|LEMENTOV, ISPOLXZUYA
$m=(\sqrt{8N-7}+l)/2$~GOLOVOK. nAPRIMER, POSLEDOVATELXNOSTX
GOLOVOK~$\<1, 2, 4, 7, 11, 16, 22>$ YAVLYAETSYA SOVERSHENNYM SORTIROVSHCHIKOM DLYA
22~|LEMENTOV.

dOKAZHITE, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX GOLOVOK~$\<1, 2, 4, 7, 11, 16, 23>$
NA SAMOM DELE BUDET SOVERSHENNYM SORTIROVSHCHIKOM DLYA 23~|LEMENTOV.

\ex[49] oPREDELITE PRI ZADANNOM~$m$ NAIBOLXSHEE~$N$, DLYA KOTOROGO
SUSHCHESTVUET SOVERSHENNYJ SORTIROVSHCHIK S $m$~GOLOVKAMI. vERNO LI, CHTO~$N=O(m^2)$?
%%293

\ex[23] (v.~pRATT.) eSLI KAZHDAYA GOLOVKA~$h_k$ NAHODITSYA V
POLOZHENII~$2^{k-1}$  DLYA~$1\le k \le m$, TO SKOLXKO PROHODOV POTREBUETSYA
DLYA SORTIROVKI POSLEDOVATELXNOSTI NULEJ I
EDINIC~$z_1$ $z_2$~\dots{} $z_{2^{m-1}}$,
GDE $z_j=0$ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA $j$~YAVLYAETSYA STEPENXYU~2?

\ex[24] (oDNORODNAYA SORTIROVKA.) v DEREVE NA RIS.~34 V P.~5.3.1
SRAVNENIE~$2:3$ VYPOLNYAETSYA V OBOIH VETVYAH UROVNYA~1; A V KAZHDOJ VETVI
UROVNYA~2 VYPOLNYAETSYA SRAVNENIE~$1:3$, ESLI TOLXKO ONO NE YAVLYAETSYA
IZBYTOCHNYM. v OBSHCHEM SLUCHAE MY MOZHEM RASSMOTRETX KLASS ALGORITMOV
SORTIROVKI, ODNORODNYH
IMENNO V |TOM SMYSLE, PREDPOLAGAYA, CHTO~$M=\perm{N}{2}$
PAR~$\set{(a,b) \mid 1\le a<b\le N}$ VYSTROENY V POSLEDOVATELXNOSTX
$$
(a_1, b_2)\, (a_2, b_2)\ldots(a_M, b_M);
$$
MY MOZHEM POSLEDOVATELXNO VYPOLNYATX TE IZ SRAVNENIJ~$K_{a_1}:K_{b_1}$,
$K_{a_2}:K_{b_2}$,~\dots, REZULXTAT KOTORYH ESHCHE NE IZVESTEN. kAZHDAYA IZ
$M!$~RASSTANOVOK PAR~$(a,b)$ OPREDELYAET ALGORITM ODNORODNOJ SORTIROVKI.
iDEYA ODNORODNOJ SORTIROVKI PRINADLEZHIT X.~l.~bXYUSU [{\sl JACM,\/}{\bf 17}
(1970), 482--495], V RABOTE KOTOROGO BYLI PREDLOZHENY BLIZHAJSHIE NESKOLXKO
UPRAZHNENIJ.

dLYA FORMALXNOGO OPREDELENIYA ODNORODNOJ SORTIROVKI UDOBNO VOSPOLXZOVATXSYA
TEORIEJ GRAFOV. pUSTX~$G$---NAPRAVLENNYJ GRAF S VERSHINAMI~$\set{1, 2,~\ldots, N}$
I BEZ DUG. dLYA~$i=1$, 2,~\dots, $M$ MY DOBAVLYAEM DUGI K~$G$ SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM:
\medskip
{\sl sLUCHAJ~1.\/}~v~$G$ IMEETSYA PUTX OT~$a_i$ K~$b_i$.
dOBAVITX K~$G$ DUGU~$a_i\to b_i$.

{\sl sLUCHAJ~2.\/}~v~$G$ IMEETSYA PUTX OT~$b_i$ K~$a_i$.
dOBAVITX K~$G$ DUGU~$b_i\to a_i$.

{\sl sLUCHAJ~3.\/}~v~$G$ NET PUTI NI OT~$a_i$ K~$b_i$, NI OT~$b_i$ K~$a_i$.
sRAVNITX~$K_{a_i}:K_{b_i}$; ZATEM, ESLI~$K_{a_i}\le K_{b_i}$, DOBAVITX
K~$G$ DUGU~$a_i\to b_i$, ESLI ZHE~$K_{a_i}>K_{b_i}$, TO DOBAVITX
DUGU~$b_i\to a_i$.
\medskip

nAS INTERESUET GLAVNYM OBRAZOM CHISLO SRAVNENIJ KLYUCHEJ,
VYPOLNYAEMYH ALGORITMOM ODNORODNOJ SORTIROVKI, A NE MEHANIZM, S POMOSHCHXYU
KOTOROGO DEJSTVITELXNO USTRANYAYUTSYA IZBYTOCHNYE SRAVNENIYA; GRAF~$G$ NE
OBYAZATELXNO STROITX V YAVNOM VIDE---ZDESX ON ISPOLXZUETSYA TOLXKO DLYA
OPREDELENIYA ODNORODNOJ SORTIROVKI.

bUDEM TAKZHE RASSMATRIVATX \dfn{OGRANICHENNUYU ODNORODNUYU SORTIROVKU,}
PRI KOTOROJ V UKAZANNYH VYSHE SLUCHAYAH 1--3 UCHITYVAYUTSYA TOLXKO PUTI
DLINY~2. (aLGORITM OGRANICHENNOJ SORTIROVKI MOZHET VYPOLNYATX NEKOTORYE
IZBYTOCHNYE SRAVNENIYA, NO, KAK POKAZYVAET UPR.~59, ANALIZ OGRANICHENNOGO
SLUCHAYA NESKOLXKO PROSHCHE.)

dOKAZHITE, CHTO ALGORITM OGRANICHENNOJ ODNORODNOJ SORTIROVKI SOVPADAET S
ALGORITMOM ODNORODNOJ SORTIROVKI, KOGDA POSLEDOVATELXNOSTX PAR
LEKSIKOGRAFICHESKI UPORYADOCHENA:
$$
(1, 2)\, (1, 3)\, (1, 4)\ldots(1, N)\, (2, 3)\, (2, 4)\ldots(2, N)\ldots
(N-1, N).
$$
pOKAZHITE, CHTO NA SAMOM DELE OBA ALGORITMA |KVIVALENTNY "BYSTROJ
SORTIROVKE" (ALGORITM~5.2.2Q), ESLI VSE KLYUCHI RAZLICHNY I IZBYTOCHNYE
SRAVNENIYA BYSTROJ SORTIROVKI USTRANENY, KAK V UPR.~5.2.2-24. (nE OBRASHCHAJTE
VNIMANIYA NA PORYADOK, V KOTOROM DEJSTVITELXNO VYPOLNYAYUTSYA SRAVNENIYA V
BYSTROJ SORTIROVKE; UCHITYVAJTE TOLXKO, KAKIE PARY KLYUCHEJ SRAVNIVAYUTSYA.)

\ex[m38] dLYA ZADANNOJ, KAK V UPR.~58, POSLEDOVATELXNOSTI PAR~$(a_1,
b_1)$~\dots{}$(a_M, b_M)$ PUSTX~$c_i$ BUDET CHISLOM PAR~$(j, k)$, TAKIH,
CHTO~$j<k<i$
I~$(a_i,  b_i)$, $(a_j, b_j)$, $(a_k, b_k)$ OBRAZUYUT TREUGOLXNIK.
(a)~dOKAZHITE, CHTO SREDNEE CHISLO SRAVNENIJ, VYPOLNYAEMYH ALGORITMOM
OGRANICHENNOJ ODNORODNOJ SORTIROVKI, RAVNO~$\sum_{1\le i\le M} 2/(c_i+2)$.
(b)~iSPOLXZUJTE REZULXTAT~(a) I UPR.~58, CHTOBY OPREDELITX SREDNEE CHISLO
NEIZBYTOCHNYH SRAVNENIJ, VYPOLNYAEMYH BYSTROJ SORTIROVKOJ.
%%294
(c)~sLEDUYUSHCHAYA POSLEDOVATELXNOSTX PAR NAVEYANA SORTIROVKOJ SLIYANIEM (NO
NE |KVIVALENTNA EJ):
$$
(1, 2)\,(3, 4)\,(5, 6)\ldots (1, 3)\,(1, 4)\,(2, 3)\,(2, 4)\,(5, 7)\ldots
(1, 5)\,(1,6)\,(1, 7)\,(1, 8)\, (2, 5)~\ldots
$$
pRI ODNORODNOM METODE, OSNOVANNOM NA |TOJ POSLEDOVATELXNOSTI, BUDET
VYPOLNYATXSYA V SREDNEM BOLXSHE ILI MENXSHE SRAVNENIJ, CHEM PRI BYSTROJ SORTIROVKE?

\ex[m29] bYSTRAYA SORTIROVKA PROIZVODIT V NAIHUDSHEM SLUCHAE
$\perm{N}{2}$~SRAVNENIJ. vERNO LI, CHTO VSE ALGORITMY OGRANICHENNOJ
ODNORODNOJ SORTIROVKI (V SMYSLE UPR.~57) VYPOLNYAYUT $\perm{N}{2}$~SRAVNENIJ
V NAIHUDSHEM SLUCHAE?
\picture{rIS.~61. uSTROJSTVO, DLYA KOTOROGO STRATEGIYA METODA PUZYRXKA
YAVLYAETSYA OPTIMALXNOJ.}

\ex[m48] (X.~l.~bXYUS.) vERNO LI, CHTO BYSTRAYA SORTIROVKA IMEET
MINIMALXNOE SREDNEE CHISLO SRAVNENIJ SREDI VSEH ALGORITMOV (OGRANICHENNOJ)
ODNORODNOJ SORTIROVKI?

\ex[25] dOKTORSKAYA DISSERTACIYA gOVARDA b.~dEMUTA "Electronic Data Sorting"
(Stanford University: October 1956) BYLA, VEROYATNO, PERVOJ RABOTOJ, V
KOTOROJ SKOLXKO-NIBUDX DETALXNO RASSMATRIVALISX VOPROSY SLOZHNOSTI
VYCHISLENIJ. dEMUT RASSMOTREL NESKOLXKO ABSTRAKTNYH MODELEJ USTROJSTV
DLYA SORTIROVKI I NASHEL NIZHNIE I VERHNIE OCENKI SREDNEGO I MAKSIMALXNOGO
VREMENI VYPOLNENIYA, DOSTIZHIMOGO V KAZHDOJ MODELI. pROSTEJSHAYA EGO
MODELX---"CIKLICHESKAYA NEREVERSIVNAYA PAMYATX" (RIS.~61)---STANET TEMOJ |TOGO UPRAZHNENIYA.

rASSMOTRIM MASHINU, KOTORAYA SORTIRUET~$R_1$ $R_2$~\dots{} $R_N$  ZA RYAD
PROHODOV, GDE KAZHDYJ PROHOD SOSTOIT IZ SLEDUYUSHCHIH $N +1$~SHAGOV:
\medskip
{\sl shAG~1.\/}~uSTANOVITX $R\asg R_1$i. ($R$---|TO VNUTRENNIJ REGISTR MASHINY.)

{\sl shAG~$i$.\/}~($1<i\le N$):
LIBO (a)~USTANOVITX~$R_{i-1}\asg R$, $R\asg R_i$;

LIBO (b)~USTANOVITX $R_{i-1}\asg R_i$, OSTAVLYAYA~$R$ NEIZMENNYM.

{\sl shAG~$N+1$.\/} uSTANOVITX~$R_N\asg R$.
\medskip

zADACHA SOSTOIT V TOM, CHTOBY NAJTI TAKOJ METOD VYBORA MEZHDU
ALXTERNATIVAMI~(a) I~(b), CHTOBY MINIMIZIROVATX CHISLO PROHODOV, NUZHNYH
DLYA SORTIROVKI.

dOKAZHITE, CHTO METOD "PUZYRXKA" OPTIMALEN DLYA |TOJ MODELI. dRUGIMI SLOVAMI,
POKAZHITE, CHTO PRI STRATEGII, KOTORAYA VYBIRAET ALXTERNATIVU~(a), ESLI~$R\le
R_i$, I ALXTERNATIVU~(b), ESLI~$R>R_i$, DOSTIGAETSYA MINIMALXNOE CHISLO PROHODOV.

%% 295
\bye
