\input style
\chapno=5\subchno=2\chapnotrue
\subchap{юяЄшьры№эр▀ ёюЁЄшЁютър} % 5.3

ЄЕПЕРЬ, КОГДА МЫ ПРОАНАЛИЗИРОВАЛИ ТАКОЕ МНОЖЕСТВО МЕТОДОВ ВНУТРЕННЕЙ
СОРТИРОВКИ, ПРИШЛО ВРЕМЯ ОБРАТИТЬСЯ К БОЛЕЕ ОБЩЕМУ ВОПРОСУ: \emph{КАКОЙ
МЕТОД ВНУТРЕННЕЙ СОРТИРОВКИ НАИЛУЧШИЙ?} ёУЩЕСТВУЕТ ЛИ ТАКОЙ ВЕРХНИЙ ПРЕДЕЛ
СКОРОСТИ СОРТИРОВКИ, КОТОРОГО БЫ НЕ МОГ ДОСТИЧЬ НИ ОДИН ПРОГРАММИСТ, КАК
БЫ ИСКУСЕН ОН НИ БЫЛ?

ЁАЗУМЕЕТСЯ, НАИЛУЧШЕГО ВОЗМОЖНОГО СПОСОБА СОРТИРОВКИ \emph{НЕТ}; МЫ ДОЛЖНЫ
ТОЧНО ОПРЕДЕЛИТЬ, ЧТО ПОНИМАТЬ ПОД СЛОВОМ "НАИЛУЧШИЙ", НО НЕ СУЩЕСТВУЕТ
НАИЛУЧШЕГО ВОЗМОЖНОГО СПОСОБА ОПРЕДЕЛИТЬ СЛОВО "НАИЛУЧШИЙ". рНАЛОГИЧНЫЕ
ВОПРОСЫ ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ АЛГОРИТМОВ МЫ ОБСУЖДАЛИ В П.~4.3.3, 4.6.3
И~4.6.4, ГДЕ РАССМАТРИВАЛОСЬ УМНОЖЕНИЕ С ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТЬЮ И ВЫЧИСЛЕНИЕ
ПОЛИНОМОВ. т КАЖДОМ СЛУЧАЕ, ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ ВЫПОЛНЯЛИСЬ УСЛОВИЯ
"ДОСТАТОЧНОСТИ", Т.~Е.\ ЧТОБЫ ЗАДАЧА СТАЛА РАЗРЕШИМОЙ, НЕОБХОДИМО БЫЛО
СФОРМУЛИРОВАТЬ ДОВОЛЬНО ПРОСТОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГОРИТМА, "НАИЛУЧШЕГО ИЗ
ВОЗМОЖНЫХ". ш В КАЖДОМ СЛУЧАЕ ПЕРЕД НАМИ ВСТАВАЛИ ИНТЕРЕСНЕЙШИЕ ЗАДАЧИ,
НАСТОЛЬКО СЛОЖНЫЕ, ЧТО ОНИ ДО СИХ ПОР ПОЛНОСТЬЮ НЕ РЕШЕНЫ. ЄАК ЖЕ ОБСТОИТ
ДЕЛО И С СОРТИРОВКОЙ: БЫЛИ ПОЛУЧЕНЫ НЕКОТОРЫЕ ИНТЕРЕСНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, НО
ОСТАЛОСЬ ЕЩЕ МНОГО ИНТРИГУЮЩИХ ВОПРОСОВ, НА КОТОРЫЕ ДО СИХ ПОР НЕТ ОТВЕТОВ.

шЗУЧЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО МЕХАНИЗМА МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ ОБЫЧНО БЫЛО НАПРАВЛЕНО
НА МИНИМИЗАЦИЮ ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ КЛЮЧЕЙ ПРИ СОРТИРОВКЕ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИЛИ
СЛИЯНИИ $m$~ЭЛЕМЕНТОВ С $n$~ЭЛЕМЕНТАМИ, ИЛИ ВЫБОРЕ
$t\hbox{-Гo}$~НАИБОЛЬШЕГО ЭЛЕМЕНТА ИЗ НЕУПОРЯДОЧЕННОГО НАБОРА
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ. т П.~5.3.1, 5.3.2 И~5.3.3 ЭТИ ВОПРОСЫ ОБСУЖДАЮТСЯ В ОБЩЕМ
СЛУЧАЕ; В П.~5.3.4 РАССМАТРИВАЮТСЯ АНАЛОГИЧНЫЕ ВОПРОСЫ С ИНТЕРЕСНЫМ
ОГРАНИЧЕНИЕМ: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СРАВНЕНИЙ ДОЛЖНА БЫТЬ, ПО СУЩЕСТВУ,
ЗАРАНЕЕ ФИКСИРОВАНА. эЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ТИПЫ ИНТЕРЕСНЫХ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ
ВОПРОСОВ, СВЯЗАННЫХ С ОПТИМАЛЬНОЙ СОРТИРОВКОЙ, МОЖНО НАЙТИ В УПРАЖНЕНИЯХ
К П.~5.3.4 И В ОБСУЖДЕНИИ ВНЕШНЕЙ СОРТИРОВКИ В П.~5.4.4.

%% 219

\subsubchap{ёОРТИРОВКА С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ} % 5.3.1

юЧЕВИДНО, МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ КЛЮЧЕЙ, НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ, РАВНО~\emph{НУЛЮ,} ПОСКОЛЬКУ, КАК МЫ ВИДЕЛИ, СУЩЕСТВУЮТ
МЕТОДЫ ПОРАЗРЯДНОЙ СОРТИРОВКИ, В КОТОРЫХ ВООБЩЕ НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ СРАВНЕНИЙ.
 т САМОМ ДЕЛЕ, МОЖНО НАПИСАТЬ \MIX-ПРОГРАММЫ, СПОСОБНЫЕ СОРТИРОВАТЬ И НЕ
СОДЕРЖАЩИЕ ТЕМ НЕ МЕНЕЕ НИ ОДНОЙ КОМАНДЫ УСЛОВНОГО
ПЕРЕХОДА! (ёМ.~УПР.~5-6 В НАЧАЛЕ ЭТОЙ ГЛАВЫ.) ьЫ ТАКЖЕ ВСТРЕЧАЛИСЬ С
НЕСКОЛЬКИМИ МЕТОДАМИ СОРТИРОВКИ, КОТОРЫЕ, ПО СУЩЕСТВУ, БЫЛИ ОСНОВАНЫ НА
СРАВНЕНИИ КЛЮЧЕЙ, НО ВРЕМЯ РАБОТЫ КОТОРЫХ НА ДЕЛЕ ОПРЕДЕЛЯЛОСЬ ДРУГИМИ
ФАКТОРАМИ, ТАКИМИ, КАК ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ДАННЫХ, ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ И~Т.~Д.

яОЭТОМУ ЯСНО, ЧТО ПОДСЧЕТ ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ---НЕ ЕДИНСТВЕННЫЙ СПОСОБ
ИЗМЕРИТЬ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДА СОРТИРОВКИ. юДНАКО В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ
НЕБЕЗЫНТЕРЕСНО ПРОВЕСТИ ТЩАТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ,
ПОСКОЛЬКУ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ЭТОГО ВОПРОСА ПОЗВОЛИТ НАМ С ПОЛЬЗОЙ ДЛЯ
ДЕЛА ПРОНИКНУТЬ ВО ВНУТРЕННЮЮ ПРИРОДУ ПРОЦЕССОВ СОРТИРОВКИ, А ТАКЖЕ
ПОМОЖЕТ ОТТОЧИТЬ МАСТЕРСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ БОЛЕЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ,
КОТОРЫЕ МОГУТ ВСТАТЬ ПЕРЕД НАМИ В БУДУЩЕМ.

ўТОБЫ ИСКЛЮЧИТЬ ПОРАЗРЯДНУЮ СОРТИРОВКУ, ГДЕ СОВСЕМ НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ
СРАВНЕНИЙ, ОГРАНИЧИМСЯ ОБСУЖДЕНИЕМ МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ, ОСНОВАННЫХ ТОЛЬКО
НА АБСТРАКТНОМ ЛИНЕЙНОМ ОТНОШЕНИИ ПОРЯДКА "$<$" МЕЖДУ КЛЮЧАМИ,
РАССМОТРЕННОМ В НАЧАЛЕ ЭТОЙ ГЛАВЫ. фЛЯ ПРОСТОТЫ МЫ ТАКЖЕ ОГРАНИЧИМ СВОЕ
ОБСУЖДЕНИЕ СЛУЧАЕМ \emph{РАЗЛИЧНЫХ} КЛЮЧЕЙ, А ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО ПРИ ЛЮБОМ
СРАВНЕНИИ КЛЮЧЕЙ~$K_i$ И~$K_j$ ВОЗМОЖНЫ ЛИШЬ ДВА ИСХОДА: ЛИБО~$K_i<K_j$,
ЛИБО~$K_i>K_j$. (ЁАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭТОЙ ТЕОРИИ НА ОБЩИЙ СЛУЧАЙ, КОГДА
ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ, СМ.~В УПР.~ОТ~3 ДО~12.)

чАДАЧУ СОРТИРОВКИ ПОСРЕДСТВОМ СРАВНЕНИЙ МОЖНО СФОРМУЛИРОВАТЬ ТАКЖЕ
ДРУГИМИ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ СПОСОБАМИ. хСЛИ ЕСТЬ $n$~ГРУЗОВ И ВЕСЫ С ДВУМЯ
ЧАШАМИ, ТО КАКОВО МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ВЗВЕШИВАНИЙ, НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ ТОГО,
ЧТОБЫ РАСПОЛОЖИТЬ ГРУЗЫ ПО ПОРЯДКУ В СООТВЕТСТВИИ С ВЕСОМ, ЕСЛИ В КАЖДОЙ
ЧАШЕ ВЕСОВ ПОМЕЩАЕТСЯ ТОЛЬКО ОДИН ГРУЗ? шЛИ ЖЕ, ЕСЛИ В НЕКОТОРОМ ТУРНИРЕ
УЧАСТВУЮТ $n$~ИГРОКОВ, ТО КАКОВО НАИМЕНЬШЕЕ ЧИСЛО ИГР, ДОСТАТОЧНОЕ ДЛЯ
ТОГО, ЧТОБЫ РАСПРЕДЕЛИТЬ МЕСТА МЕЖДУ СОРЕВНУЮЩИМИСЯ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО
СИЛЫ ИГРОКОВ МОЖНО ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧИТЬ (НИЧЕЙНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ НЕ ДОПУСКАЮТСЯ).

ьЕТОДЫ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ УКАЗАННЫМ ОГРАНИЧЕНИЯМ,
МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ ПОСРЕДСТВОМ СТРУКТУРЫ РАСШИРЕННОГО БИНАРНОГО ДЕРЕВА,
ТАКОГО, КАК ПОКАЗАНО НА РИС.~34. ъАЖДЫЙ \emph{ВНУТРЕННИЙ УЗЕЛ}
(ИЗОБРАЖЕННЫЙ В ВИДЕ КРУЖОЧКА) СОДЕРЖИТ
%%220
ДВА ИНДЕКСА "$i:j$" И ОЗНАЧАЕТ СРАВНЕНИЕ КЛЮЧЕЙ~$K_i$
И~$K_j$. ыЕВОЕ ПОДДЕРЕВО ЭТОГО УЗЛА СООТВЕТСТВУЕТ ПОСЛЕДУЮЩИМ СРАВНЕНИЯМ,
КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМО ВЫПОЛНИТЬ, ЕСЛИ~$K_i<K_j$, А ПРАВОЕ ПОДДЕРЕВО---ТЕМ
ДЕЙСТВИЯМ, КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМО ПРЕДПРИНЯТЬ В СЛУЧАЕ~$K_i>K_j$. ъАЖДЫЙ
\emph{ВНЕШНИЙ УЗЕЛ} ДЕРЕВА (ИЗОБРАЖЕННЫЙ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА) СОДЕРЖИТ
ПЕРЕСТАНОВКУ $a_1$ $a_2$~\dots $a_n$
\picture{ЁИС.~34. фЕРЕВО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ СОРТИРОВКИ ТРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ.}
МНОЖЕСТВА~$\set{1, 2,~\ldots, n}$, ОБОЗНАЧАЮЩУЮ ТОТ ФАКТ, ЧТО
БЫЛО УСТАНОВЛЕНО УПОРЯДОЧЕНИЕ
$$
K_{a_1}<K_{a_2}<\ldots<K_{a_n}.
$$
(хСЛИ ВЗГЛЯНУТЬ НА ПУТЬ ОТ КОРНЯ К ЭТОМУ ВНЕШНЕМУ УЗЛУ, ТО КАЖДОЕ ИЗ
$n-1$~СООТНОШЕНИЙ $K_{a_i}<K_{a_{i+1}}$, ГДЕ~$1\le i < n$, БУДЕТ
РЕЗУЛЬТАТОМ НЕКОТОРОГО СРАВНЕНИЯ~$a_i:a_{i+1}$ ИЛИ~$a_{i+1}:a_i$ НА ЭТОМ ПУТИ.)

ЄАК, НА РИС.~34 ПРЕДСТАВЛЕН МЕТОД СОРТИРОВКИ, СОГЛАСНО КОТОРОМУ НУЖНО
СНАЧАЛА СРАВНИТЬ~$K_1$ С~$K_2$; ЕСЛИ~$K_1>K_2$, ТО ПРОДОЛЖАТЬ (ДВИГАЯСЬ
ПО ПРАВОМУ ПОДДЕРЕВУ) СРАВНИВАТЬ~$K_2$ С~$K_3$, А ЗАТЕМ, ЕСЛИ~$K_2<K_3$,
СРАВНИТЬ~$K_1$ С~$K_3$; НАКОНЕЦ, ЕСЛИ~$K_1>K_3$, СТАНОВИТСЯ ЯСНО,
ЧТО~$K_2<K_3<K_1$. ЁЕАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ СОРТИРОВКИ ОБЫЧНО БУДЕТ ТАКЖЕ
ПЕРЕМЕЩАТЬ КЛЮЧИ ПО ФАЙЛУ, НО НАС ИНТЕРЕСУЮТ ТОЛЬКО СРАВНЕНИЯ, ПОЭТОМУ МЫ
ИГНОРИРУЕМ ВСЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ДАННЫХ. яРИ СРАВНЕНИИ~$K_i$ С~$K_j$ В ЭТОМ
ДЕРЕВЕ ВСЕГДА ИМЕЮТСЯ В ВИДУ \emph{ИСХОДНЫЕ} КЛЮЧИ~$K_i$ И~$K_j$, А НЕ ТЕ
КЛЮЧИ, КОТОРЫЕ МОГЛИ ЗАНЯТЬ~$i\hbox{-Ю}$ И~$j\hbox{-Ю}$ ПОЗИЦИИ В ФАЙЛЕ
В РЕЗУЛЬТАТЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ЗАПИСЕЙ.

тОЗМОЖНЫ И ИЗБЫТОЧНЫЕ СРАВНЕНИЯ; НАПРИМЕР, НА РИС.~35 НЕТ НЕОБХОДИМОСТИ
СРАВНИВАТЬ~$3:1$, ПОСКОЛЬКУ ИЗ НЕРАВЕНСТВ~$K_1<K_2$ И~$K_2<K_3$
СЛЕДУЕТ~$K_1<K_3$. эИКАКАЯ ПЕРЕСТАНОВКА НЕ МОЖЕТ СООТВЕТСТВОВАТЬ ЛЕВОМУ
ПОДДЕРЕВУ УЗЛА~$\elnode{3:1}$ НА РИС.~35, ТАК ЧТО ЭТА ЧАСТЬ АЛГОРИТМА
НИКОГДА НЕ БУДЕТ ВЫПОЛНЯТЬСЯ! яОСКОЛЬКУ НАС ИНТЕРЕСУЕТ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО
СРАВНЕНИЙ, ТО МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО ИЗБЫТОЧНЫХ СРАВНЕНИЙ НЕ ПРОИЗВОДИТСЯ;
С ЭТОГО МОМЕНТА МЫ БУДЕМ ИМЕТЬ ДЕЛО СО СТРУКТУРОЙ РАСШИРЕННОГО
%%221
БИНАРНОГО ДЕРЕВА, В КОТОРОМ КАЖДОМУ ВНЕШНЕМУ УЗЛУ СООТВЕТСТВУЕТ
НЕКОТОРАЯ ПЕРЕСТАНОВКА. тСЕ ПЕРЕСТАНОВКИ ИСХОДНЫХ КЛЮЧЕЙ ВОЗМОЖНЫ, И
КАЖДАЯ ПЕРЕСТАНОВКА ОПРЕДЕЛЯЕТ ЕДИНСТВЕННЫЙ ПУТЬ ОТ КОРНЯ К ВНЕШНЕМУ
УЗЛУ; ОТСЮДА ВЫТЕКАЕТ, ЧТО \emph{В ДЕРЕВЕ СРАВНЕНИЙ ДЛЯ СОРТИРОВКИ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ БЕЗ ИЗБЫТОЧНЫХ СРАВНЕНИЙ ИМЕЕТСЯ РОВНО $n!$~ВНЕШНИХ УЗЛОВ.}

\picture{ЁИС. 35.            яРИМЕР ИЗБЫТОЧНОГО СРАВНЕНИЯ.}

\section юПТИМИЗАЦИЯ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ. яЕРВАЯ ЕСТЕСТВЕННЫМ
ОБРАЗОМ ВОЗНИКАЮЩАЯ ЗАДАЧА---НАЙТИ ДЕРЕВЬЯ СРАВНЕНИЙ, МИНИМИЗИРУЮЩИЕ
\emph{МАКСИМАЛЬНОЕ} ЧИСЛО ВЫПОЛНЯЕМЫХ СРАВНЕНИЙ. (яОЗЖЕ МЫ РАССМОТРИМ
\emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ.)

яУСТЬ $S(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ДОСТАТОЧНОЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ. хСЛИ ВСЕ ВНУТРЕННИЕ УЗЛЫ В ДЕРЕВЕ СРАВНЕНИЙ РАСПОЛАГАЮТСЯ НА
УРОВНЯХ $<k$, ТО ОЧЕВИДНО, ЧТО В ДЕРЕВЕ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ БОЛЕЕ $2^k$~УЗЛОВ.
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПОЛАГАЯ~$k=S(n)$, ИМЕЕМ
$$
n!\le 2^{S(n)}.
$$
яОСКОЛЬКУ $S(n)$---ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, ТО МОЖНО ЗАПИСАТЬ ЭТУ ФОРМУЛУ  ИНАЧЕ,
ПОЛУЧИВ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ:
$$
S(n)\ge \ceil{\log_2 n!}.
\eqno(1)
$$
чАМЕТИМ, ЧТО ПО ФОРМУЛЕ ёТИРЛИНГА
$$
\ceil{\log_2 n!}=n\log_2 n-n/(\ln 2)+{1\over2}\log_2 n+O(1);
\eqno(2)
$$
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, НЕОБХОДИМО ВЫПОЛНИТЬ ОКОЛО $n\log_2 n$~СРАВНЕНИЙ.

ёООТНОШЕНИЕ~(1) ЧАСТО НАЗЫВАЮТ "ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННОЙ НИЖНЕЙ ОЦЕНКОЙ",
ПОСКОЛЬКУ СПЕЦИАЛИСТ В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ СКАЗАЛ БЫ, ЧТО В ПРОЦЕССЕ
СОРТИРОВКИ ПРОВЕРЯЕТСЯ $(\log_2 n!)$~"БИТОВ ИНФОРМАЦИИ"; КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ
ДАЕТ НЕ БОЛЕЕ  ОДНОГО "БИТА ИНФОРМАЦИИ". ЄАКИЕ ДЕРЕВЬЯ, КАК НА РИС.~34,
НАЗЫВАЮТ ТАКЖЕ "ВОПРОСНИКАМИ" ("questionnaires"), А ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ИССЛЕДОВАНЫ В КНИГЕ ъЛОДА яИКАРА Th\'eorie des questionnaires
(Paris: Gauthier-Villars, 1965).
%%222
шЗ ВСЕХ РАССМОТРЕННЫХ НАМИ МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ ТРИ МЕТОДА ТРЕБУЮТ МЕНЬШЕ
ВСЕГО СРАВНЕНИЙ: БИНАРНЫЕ ВСТАВКИ (СР.~С~П.~5.2.1), ВЫБОР ИЗ ДЕРЕВА
(СР.~С~П.~5.2.3) И ПРОСТОЕ ДВУХПУТЕВОЕ СЛИЯНИЕ, КАК ОНО ОПИСАНО В
АЛГОРИТМЕ~5.2.4L. эЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЧТО МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ
МЕТОДА БИНАРНЫХ ВСТАВОК РАВНО
$$
B(n)=\sum_{1\le k\le n} \ceil{\log_2 k}=n\ceil{\log_2 n}-2^{\ceil{\log_2 n}}+1
\eqno(3)
$$
(СР.~С~УПР.~1.2.4-42), А МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ
АЛГОРИТМА~5.2.4L ПРИВЕДЕНО В УПР.~5.2.4-14. юКАЗЫВАЕТСЯ (СМ.~П.~5.3.3),
 ЧТО ДЛЯ ВЫБОРА ИЗ ДЕРЕВА ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ ЛИБО ТАКАЯ ЖЕ,
КАК ДЛЯ БИНАРНЫХ ВСТАВОК, ЛИБО ТАКАЯ ЖЕ, КАК ДЛЯ ДВУХПУТЕВОГО СЛИЯНИЯ, В
ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОГО, КАК СТРОИТСЯ ДЕРЕВО. тО ВСЕХ ТРЕХ СЛУЧАЯХ ИМЕЕМ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$n\log_2 n$; ОБоЕДИНЯЯ ВЕРХНЮЮ И НИЖНЮЮ ОЦЕНКИ
ДЛЯ~$S(n)$, ДОКАЖЕМ, ЧТО
$$
\lim_{n\to\infty} {S(n)\over n\log_2 n}=1.
\eqno(4)
$$
ЄАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ПОЛУЧИЛИ ПРИБЛИЖЕННУЮ ФОРМУЛУ ДЛЯ~$S(n)$, ОДНАКО
ЖЕЛАТЕЛЬНО ИМЕТЬ БОЛЕЕ ТОЧНУЮ ИНФОРМАЦИЮ. т СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ ПРИВЕДЕНЫ
ЗНАЧЕНИЯ УКАЗАННЫХ ВЫШЕ ВЕЛИЧИН ПРИ МАЛЫХ~$n$:
\ctable{
\hfill$#$\bskip && \hfill$#$\bskip\cr
               n=1 & 2 & 3 & 4 & 5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17\cr
\ceil{\log_2 n!}=0 & 1 & 3 & 5 & 7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 26 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49\cr
            B(n)=0 & 1 & 3 & 6 & 8 & 11 & 14 & 17 & 21 & 25 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49 & 54\cr
            L(n)=0 & 1 & 3 & 5 & 9 & 11 & 14 & 17 & 25 & 27 & 30 & 33 & 38 & 41 & 45 & 49 & 65\cr
}
чДЕСЬ~$B(n)$ И~$L(n)$ ОТНОСЯТСЯ СООТВЕТСТВЕННО К БИНАРНЫМ ВСТАВКАМ И
СЛИЯНИЮ СПИСКОВ. ьОЖНО ПОКАЗАТЬ, ЧТО~$B(n)\le L(n)$ ПРИ ЛЮБОМ~$n$ (СМ.~УПР.~2).

ъАК ВИДНО ИЗ ПРИВЕДЕННОЙ ВЫШЕ ТАБЛИЦЫ, $S(4)=5$, НО~$S(5)$ МОЖЕТ РАВНЯТЬСЯ
ЛИБО~7, ЛИБО~8. т РЕЗУЛЬТАТЕ СНОВА ПРИХОДИМ К ЗАДАЧЕ, ПОСТАВЛЕННОЙ В
НАЧАЛЕ~\S~5.2. ъАКОВ НАИЛУЧШИЙ СПОСОБ СОРТИРОВКИ ПЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ? тОЗМОЖНА
ЛИ СОРТИРОВКА ПЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ ВСЕГО СЕМИ СРАВНЕНИЙ?

ЄАКАЯ СОРТИРОВКА ВОЗМОЖНА, НО САМ СПОСОБ НАЙТИ НЕ ТАК ПРОСТО. эАЧИНАЕМ ТАК
ЖЕ, КАК ПРИ СОРТИРОВКЕ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ ПОСРЕДСТВОМ СЛИЯНИЙ, СРАВНИВАЯ
СПЕРВА~$K_1:K_2$, ЗАТЕМ~$K_3:K_4$, А ЗАТЕМ НАИБОЛЬШИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОБЕИХ ПАР.
¤ТИ СРАВНЕНИЯ ПОРОЖДАЮТ КОНФИГУРАЦИЮ, КОТОРУЮ МОЖНО ИЗОБРАЗИТЬ ДИАГРАММОЙ
\picture{ЁИС. СТР. 222}
%%223
ПОКАЗЫВАЮЩЕЙ, ЧТО~$a<b<d$ И~$c<d$. (фЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИЗВЕСТНЫХ
ОТНОШЕНИЙ ПОРЯДКА МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ УДОБНО ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ НАПРАВЛЕННЫМИ
ГРАФАМИ, ТАКИМИ, КАК ЭТОТ, ГДЕ НЕРАВЕНСТВО~$x<y$ СЧИТАЕТСЯ ИЗВЕСТНЫМ
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА НА ГРАФЕ ЕСТЬ ПУТЬ ОТ~$x$ К~$y$.) ЄЕПЕРЬ
ВСТАВЛЯЕМ ПЯТЫЙ ЭЛЕМЕНТ~$K_5=e$ В СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МЕСТО СРЕДИ~$\set{a, b, d}$;
ДЛЯ ЭТОГО ТРЕБУЮТСЯ ВСЕГО ДВА СРАВНЕНИЯ, ПОСКОЛЬКУ МОЖНО СРАВНИТЬ
ЕГО СНАЧАЛА С~$b$, А ЗАТЕМ С~$a$ ИЛИ~$d$. ЄАКИМ ОБРАЗОМ, ОСТАЕТСЯ ОДНА ИЗ
ЧЕТЫРЕХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ:
\picture{p.223}
И В КАЖДОМ СЛУЧАЕ ДОСТАТОЧНО ЕЩЕ ДВУХ СРАВНЕНИЙ, ЧТОБЫ ВСТАВИТЬ~$c$ В
ЦЕПОЧКУ ОСТАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, МЕНЬШИХ~$d$. ЄАКОЙ СПОСОБ СОРТИРОВКИ ПЯТИ
ЭЛЕМЕНТОВ ВПЕРВЫЕ ОБНАРУЖИЛ у.~с.~фЕМУТ [Ph.~D.~thesis, Stanford
University (Oct., 1956). 41--43].

\section ёОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ. шЗЯЩНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ИЗЛОЖЕННОГО
ВЫШЕ МЕТОДА ПРИНАДЛЕЖИТ ыЕСТЕРУ ЇОРДУ~МЛ.\ И~ёЕЛМЕРУ~ь.~фЖОНСОНУ.
яОСКОЛЬКУ ОНО ОБоЕДИНЯЕТ НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДВУХ СПОСОБОВ СОРТИРОВКИ:
ПОСРЕДСТВОМ СЛИЯНИЙ И ПОСРЕДСТВОМ ВСТАВОК, ТО МЫ НАЗОВЕМ ЭТОТ МЕТОД
\dfn{СОРТИРОВКОЙ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ.} ЁАССМОТРИМ, НАПРИМЕР, ЗАДАЧУ
СОРТИРОВКИ 21~ЭЛЕМЕНТА. эАЧАТЬ МОЖНО СО СРАВНЕНИЙ ДЕСЯТИ ПАР
КЛЮЧЕЙ~$K_1:K_2$, $K_3:K_4$,~\dots, $K_{19}:K_{20}$, ЗАТЕМ СЛЕДУЕТ
ОТСОРТИРОВАТЬ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ БОЛЬШИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПАР. т РЕЗУЛЬТАТЕ
ПОЛУЧИМ КОНФИГУРАЦИЮ
\picture{223.2}
АНАЛОГИЧНУЮ~(5). ёЛЕДУЮЩИЙ ШАГ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ ВСТАВИТЬ
ЭЛЕМЕНТ~$b_3$ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\set{b_1, a_1, a_2}$, А ЗАТЕМ~$b_2$---В
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ОСТАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, МЕНЬШИХ~$a_2$, ПРИХОДИМ К КОНФИГУРАЦИИ
\picture{223.3}
эАЗОВЕМ ВЕРХНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ \dfn{ГЛАВНОЙ ЦЕПОЧКОЙ.} ¤ЛЕМЕНТ~$b_5$
МОЖНО ВСТАВИТЬ В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ ЗА ТРИ СРАВНЕНИЯ (СРАВНИВ ЕГО СНАЧАЛА
С~$c_4$, ЗАТЕМ С~$c_2$ ИЛИ~$c_6$ И~Т.~Д.); ЗАТЕМ ЕЩЕ ЗА ТРИ СРАВНЕНИЯ
МОЖНО ПЕРЕМЕСТИТЬ В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ~$b_4$, ЧТО ПРИВОДИТ
%%224
К КОНФИГУРАЦИИ
\picture{224.1}
ёЛЕДУЮЩИЙ ШАГ РЕШАЮЩИЙ; ЯСНО ЛИ ВАМ, ЧТО ДЕЛАТЬ ДАЛЬШЕ? яРИ ПОМОЩИ ВСЕГО
ЧЕТЫРЕХ СРАВНЕНИЙ ВСТАВЛЯЕМ~$b_{11}$ (А \emph{НЕ}~$b_7$) В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ.
 яОСЛЕ ЭТОГО ЭЛЕМЕНТЫ~$b_{10}$, $b_9$, $b_8$, $b_7$, $b_6$ (ИМЕННО В ТАКОМ
ПОРЯДКЕ) МОЖНО ВСТАВИТЬ В НУЖНОЕ МЕСТО В ГЛАВНОЙ ЦЕПОЧКЕ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА
ЧЕТЫРЕ СРАВНЕНИЯ КАЖДЫЙ.

рККУРАТНЫЙ ПОДСЧЕТ ЧИСЛА ТРЕБУЕМЫХ СРАВНЕНИЙ ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО 21~ЭЛЕМЕНТ
МОЖНО ОТСОРТИРОВАТЬ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА $10+22+2+2+3+3+4+4+4+4+4+4=66$~ШАГОВ.
яОСКОЛЬКУ
$$
2^{65}<21!<2^{66},
$$
ЯСНО ТАКЖЕ, ЧТО И В ЛЮБОМ ДРУГОМ СЛУЧАЕ НЕОБХОДИМО НЕ МЕНЕЕ 66~СРАВНЕНИЙ;
СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$$
S(21)=66.
\eqno(10)
$$
(яРИ СОРТИРОВКЕ БИНАРНЫМИ ВСТАВКАМИ ПОНАДОБИЛОСЬ БЫ 74~СРАВНЕНИЯ.)

т ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ
ВЫГЛЯДИТ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
\medskip
\item{i)}~яРОИЗВЕСТИ СРАВНЕНИЯ $\floor{n/2}$~НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ
ПАР ЭЛЕМЕНТОВ. (хСЛИ $n$~НЕЧЕТНО, ТО ОДИН ЭЛЕМЕНТ НЕ УЧАСТВУЕТ В СРАВНЕНИЯХ.)

\item{ii)}~юТСОРТИРОВАТЬ $\floor{n/2}$~Б\'ОЛЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПАР,
НАЙДЕННЫХ В ШАГЕ~(i), ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ.

\item{iii)}~фЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ ВВЕДЕМ ОБОЗНАЧЕНИЯ $a_1$, $a-2$,~\dots,
$a_{\floor{n/2}}$, $b_1$, $b_2$,~\dots, $b_{\ceil{n/2}}$, КАК В~(7),
ГДЕ~$a_1\le a_2 \le\ldots\le a_{\floor{n/2}}$ И~$b_i\le a_i$
ПРИ~$1\le i \le \floor{n/2}$; НАЗОВЕМ~$b_1$ И ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ~$a$ "ГЛАВНОЙ
ЦЕПОЧКОЙ". эЕ ТРОГАЯ ЭЛЕМЕНТОВ~$b_j$ ПРИ~$j>\ceil{n/2}$, ВСТАВИТЬ
БИНАРНЫМИ ВСТАВКАМИ В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ ОСТАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ~$b$ В СЛЕДУЮЩЕМ
ПОРЯДКЕ:
$$
b_3, b_2; b_5, b_4; b_{11}, b_{10},~\dots, b_6; b_{t_k}, b_{t_k-1},~\ldots,
b_{t_{k-1}+1};~\ldots\,.
\eqno(11)
$$
эАМ ХОТЕЛОСЬ БЫ ОПРЕДЕЛИТЬ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$(t_1, t_2, t_3, t_4,~\ldots)=(1, 3, 5, 11,~\ldots)$,
УЧАСТВУЮЩУЮ В~(11), ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ КАЖДЫЙ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ~$b_{t_k}$,
$b_{t_k-1}$,~\dots, $b_{t_{k-1}+1}$ МОЖНО БЫЛО ВСТАВИТЬ В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ
НЕ БОЛЕЕ, ЧЕМ ЗА $k$~СРАВНЕНИЙ. юБОБЩАЯ~(7), (8) И~(9), ПОЛУЧИМ ДИАГРАММУ
\picture{224.2}
%%225
ГДЕ ГЛАВНАЯ ЦЕПОЧКА ДО~$a_{t_k-1}$~ВКЛЮЧИТЕЛЬНО СОДЕРЖИТ
$2t_{k-1}+(t_k-t_{k-1}-1)$~ЭЛЕМЕНТОВ. ¤ТО ЧИСЛО ДОЛЖНО БЫТЬ МЕНЬШЕ~$2^k$;
ДЛЯ НАС ЛУЧШЕ ВСЕГО ПОЛОЖИТЬ ЕГО РАВНЫМ~$2^k-1$, И ТОГДА
$$
t_{k-1}+t_k=2^k.
\eqno(12)
$$
яОСКОЛЬКУ~$t_1=1$, ТО ДЛЯ УДОБСТВА МОЖНО ПОЛОЖИТЬ~$t_0=1$; ТОГДА, СУММИРУЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ, НАЙДЕМ
$$
\eqalignno{
t_k=2^k-t_{k-1}&=2^k-2^{k-1}+t_{k-2}=\ldots\cr
\ldots&= 2^k-2^{k-1}+\cdots+(-1)^k2^0=(2^{k+1}+(-1)^k)/3. & (13)\cr
}
$$
(ыЮБОПЫТНО, ЧТО ТОЧНО ТАКАЯ ЖЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВОЗНИКЛА ПРИ ИЗУЧЕНИИ
АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ ДВУХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ; СР.~С~УПР.~4.5.2-27.)


яУСТЬ $F(n)$---ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ СОРТИРОВКИ П ЭЛЕМЕНТОВ
ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ. ▀СНО, ЧТО
$$
F(n)=\floor{n/2}+F(\floor{n/2})+G(\ceil{n/2}),
\eqno(14)
$$
ГДЕ ФУНКЦИЯ~$G$ ОПИСЫВАЕТ КОЛИЧЕСТВО РАБОТЫ, ВЫПОЛНЯЕМОЙ В ШАГЕ~(iii).
хСЛИ~$t_{k-1}\le m \le t_k$, ТО, СУММИРУЯ ПО ЧАСТЯМ, ПОЛУЧАЕМ
$$
\eqalignno{
G(m)&=\sum_{1\le j <k} j(t_j-t_{j-1})+k(m-t_{k-1})=\cr
&=km-(t_0+t_1+\cdots+t_{k-1}). & (15)\cr
}
$$
яОЛОЖИМ
$$
w_k=t_0+t_1+\cdots+t_{k-1}=\floor{2^{k+1}/3},
\eqno(16)
$$
И ТОГДА $(w_0, w_1, w_2, w_3, w_4,~\ldots)=(0, 1, 2, 5, 10, 21,~\ldots)$.
т УПР.~13 ПОКАЗАНО, ЧТО
$$
F(n)-F(n-1)=k \rem{ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА $w-k<n\le w_{k+1}$},
\eqno(17)
$$
А ПОСЛЕДНЕЕ УСЛОВИЕ ЭКВИВАЛЕНТНО НЕРАВЕНСТВАМ
$$
\displaylines{
{2^{k+1}\over 3} < n \le {2^{k+2}\over 3},\cr
k+1<\log_2 (3n)\le k+2;\cr
}
$$
СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$$
F(n)-F(n-1)=\ceil{\log_2\left({3\over4}n\right)}.
\eqno(18)
$$
(¤ТОЙ ФОРМУЛОЙ МЫ ОБЯЗАНЫ р.~рДЬЯНУ [Ph.~D.~thesis, Univ.~of~Minnesota
(1969), 38--42].) юТСЮДА ВЫТЕКАЕТ, ЧТО ФУНКЦИЯ~$F$ ВЫРАЖАЕТСЯ УДИВИТЕЛЬНО
ПРОСТОЙ ФОРМУЛОЙ:
$$
F(n)=\sum_{1\le k\le n} \ceil{\log_2\left({3\over4}k\right)},
\eqno(19)
$$
%%226
КОТОРАЯ ОЧЕНЬ ПОХОЖА НА СООТВЕТСТВУЮЩУЮ ФОРМУЛУ~(3) ДЛЯ БИНАРНЫХ ВСТАВОК.
т "ЗАМКНУТОМ ВИДЕ" ЭТУ СУММУ МОЖНО НАЙТИ В УПР.~14.

тОСПОЛЬЗОВАВШИСЬ~(19), НЕТРУДНО ПОСТРОИТЬ ТАБЛИЦУ ЗНАЧЕНИЙ
ФУНКЦИИ~$F(n)$; ИМЕЕМ
\ctable{
\hfill$#$&$\hbox{}#$\hfill\bskip && \hfill$#$\bskip\cr
               n&=1 &  2 &  3 &  4 &  5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17\cr
 \ceil{\log_2n!}&=0 &  1 &  3 &  5 &  7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 26 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49\cr
            F(n)&=0 &  1 &  3 &  5 &  7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 26 & 30 & 34 & 38 & 42 & 46 & 50\cr
\noalign{\smallskip}
              n&=18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33\cr
\ceil{\log_2n!}&=53 & 57 & 62 & 66 & 70 & 75 & 80 & 84 & 89 & 94 & 98 &103 &108 &113 &118 &123\cr
           F(n)&=54 & 58 & 62 & 66 & 71 & 76 & 81 & 86 & 91 & 96 &101 &106 &111 &116 &121 &126\cr
}
чАМЕТИМ, ЧТО ПРИ~$1\le n\le 11$ И~ПРИ~$20 \le n \le 21$ $F(n)=\ceil{\log_2n!}$;
ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПРИ ЭТИХ ЗНАЧЕНИЯХ СОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ ОПТИМАЛЬНА:
$$
S(n)=\ceil{\log_2 n!}=F(n) \rem{ПРИ $1\le n \le 11$ И~$20\le n \le 21$}.
\eqno (20)
$$

чАДАЧУ НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИИ~$S(n)$ ПОСТАВИЛ уУГО °ТЕЙНГАУЗ ВО ВТОРОМ ИЗДАНИИ
СВОЕЙ КЛАССИЧЕСКОЙ КНИГИ Mathematical Snapshots   (Oxford   University
Press,   1950),   38--39\note{1}%
{хСТЬ ПЕРЕВОД ПЕРВОГО ИЗДАНИЯ ЭТОЙ КНИГИ: ьАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕЙДОСКОП, ь.,
уОСТЕХИЗДАТ, 1949.---{\sl яРИМ. ПЕРЕВ.\/}
}). юН ОПИСАЛ БИНАРНЫЕ ВСТАВКИ, КОТОРЫЕ ЯВЛЯЮТСЯ НАИЛУЧШИМ СПОСОБОМ
СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО $n\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ НЕ
РАССМАТРИВАЕТСЯ ДО ТЕХ ПОР, ПОКА НЕ ОТСОРТИРОВАНЫ ПЕРВЫЕ $n-1$~ЭЛЕМЕНТОВ;
И ОН СДЕЛАЛ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ О ТОМ, ЧТО МЕТОД БИНАРНЫХ ВСТАВОК ОПТИМАЛЕН И В
ОБЩЕМ СЛУЧАЕ. эЕСКОЛЬКО ЛЕТ СПУСТЯ [{\sl Calcutta Math.~Soc.\ Golden
Jubilee Commemoration,\/} 2 (1959), 323--327] ОН СООБЩИЛ, ЧТО ДВОЕ ЕГО
КОЛЛЕГ, ё.~ЄРИБУЛА И ё.~яИН, "НЕДАВНО" ОПРОВЕРГЛИ ЕГО ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ И
НАШЛИ ЗНАЧЕНИЯ~$S(n)$ ПРИ~$n\le11$. тЕРОЯТНО, ЄРИБУЛА И яИН НЕЗАВИСИМО
ПРИШЛИ К СОРТИРОВКЕ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ, ПО КОТОРОЙ ВСКОРЕ ПОЯВИЛАСЬ
ПУБЛИКАЦИЯ ы.~Ё.~ЇОРДА И~ё.~ь.~фЖОНСОНА [{\sl AMM,\/} {\bf 66} (1950), 387--389].

яОСЛЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ СОРТИРОВКИ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ ПЕРВЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ
ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ~$S(n)$ СТАЛО~$S(12)$. шЗ ТАБЛ.~1 ВИДНО, ЧТО ЧИСЛО~$12!$
ДОВОЛЬНО БЛИЗКО К~$2^29$, ПОЭТОМУ СУЩЕСТВОВАНИЕ 29-ШАГОВОЙ ПРОЦЕДУРЫ
СОРТИРОВКИ 12~ЭЛЕМЕНТОВ ВЕСЬМА МАЛОВЕРОЯТНО. фЛЯ РЕШЕНИЯ ЭТОГО ВОПРОСА
ьАРКОМ єЭЛСОМ БЫЛ ПРЕДПРИНЯТ ИСЧЕРПЫВАЮЩИЙ ПОИСК (ЗАНЯВШИЙ НА
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЕ ьАНИАК~II ОКОЛО~60~Ч.), КОТОРЫЙ ПОКАЗАЛ,
ЧТО~$S(12)=30$
[Proc. IFIP Congress 65, 2 (1965), 497--498]. шТАК, ПРОЦЕДУРА ВСТАВОК И
СЛИЯНИЙ ОКАЗЫВАЕТСЯ ОПТИМАЛЬНОЙ И ПРИ~$n=12$.

%%227

\htable{ЄАБЛИЦА 1}%
{чНАЧЕНИЯ ФАКТОРИАЛОВ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ}%
{\hfill$#$&$\hbox{}=#$\cr
1 & 1!\cr
10 &2!\cr
110 & 3!\cr
11000 & 4!\cr
1111000 & 5!\cr
1011010000 & 6!\cr
1001110110000 & 7!\cr
1001110110000000 & 8!\cr
1011000100110000000 & 9!\cr
1101110101111100000000 & 10!\cr
10011000010001010100000000 & 11!\cr
11100100011001111110000000000 & 12!\cr
101110011001010001100110000000000 & 13!\cr
1010001001101111110110010100000000000 & 14!\cr
10011000001110111011101110101100000000000 & 15!\cr
100110000011101110111011101011000000000000000 & 16!\cr
}

\section *сОЛЕЕ ПОДРОБНЫЙ АНАЛИЗ. ўТОБЫ БОЛЕЕ ТЩАТЕЛЬНО
ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ~$S(n)$, ВНИМАТЕЛЬНО ИЗУЧИМ ДИАГРАММЫ
ЧАСТИЧНОГО УПОРЯДОЧЕНИЯ, ТАКИЕ, КАК~(5). яОЛУЧЕННЫЕ ПОСЛЕ
НЕСКОЛЬКИХ СРАВНЕНИЙ СВЕДЕНИЯ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ НАПРАВЛЕННОГО ГРАФА.
 ¤ТОТ НАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ В СИЛУ ТРАНЗИТИВНОСТИ ОТНОШЕНИЯ~$<$ НЕ СОДЕРЖИТ
ЦИКЛОВ; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЕГО ВСЕГДА МОЖНО ИЗОБРАЗИТЬ ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ
ВСЕ ДУГИ ШЛИ СЛЕВА НАПРАВО;
ПОЭТОМУ УДОБНЕЕ УДАЛИТЬ ИЗ ДИАГРАММЫ СТРЕЛКИ. т РЕЗУЛЬТАТЕ ДИАГРАММА~(5)
ПРЕОБРАЗУЕТСЯ В
\picture{p.227}
яУСТЬ $G$---ТАКОЙ НАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ; ОБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ $T(G)$~ЧИСЛО
ПЕРЕСТАНОВОК, СОГЛАСУЮЩИХСЯ С~$G$, Т.~Е.~ЧИСЛО СПОСОБОВ ПОМЕТИТЬ ВЕРШИНЫ
ГРАФА~$G$ ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ~$\set{1, 2,~\ldots, n}$ ТАК, ЧТОБЫ ЧИСЛО В
ВЕРШИНЕ~$x$ БЫЛО МЕНЬШЕ ЧИСЛА В ВЕРШИНЕ~$y$, ЕСЛИ ДУГА~$x\to y$
ПРИНАДЛЕЖИТ~$G$. яРИМЕР ПЕРЕСТАНОВКИ, СОГЛАСУЮЩЕЙСЯ С~(21): $a=1$, $b=4$,
 $c=2$, $d=5$, $e=3$. ьЫ ИЗУЧИЛИ ФУНКЦИЮ~$T(G)$ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ~$G$ В
П.~5.1.4, ГДЕ БЫЛО ЗАМЕЧЕНО, ЧТО $T(G)$~ЕСТЬ ЧИСЛО СПОСОБОВ "ТОПОЛОГИЧЕСКИ
ОТСОРТИРОВАТЬ" ГРАФ~$G$.

яУСТЬ $G$---ГРАФ ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, КОТОРЫЙ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ПОСЛЕ
$k$~СРАВНЕНИЙ; ОПРЕДЕЛИМ \emph{ЭФФЕКТИВНОСТЬ} ГРАФА~$G$ ФУНКЦИЕЙ
$$
E(G)={n!\over 2^k T(G)}.
\eqno(22)
$$
%%228
(¤ТА ИДЕЯ ПРИНАДЛЕЖИТ ЇРАНКУ їУАНУ И~°ЕНЬ ыИНЮ.) ёТРОГО ГОВОРЯ,
ЭФФЕКТИВНОСТЬ НЕ ЕСТЬ ФУНКЦИЯ ЛИШЬ САМОГО ГРАФА~$G$---ОНА ЗАВИСИТ ОТ ТОГО
ПУТИ, КОТОРЫМ МЫ ПРИШЛИ К~$G$ В ПРОЦЕССЕ СОРТИРОВКИ, ОДНАКО НАМ УДОБНО
ДОПУСТИТЬ ЭТУ МАЛЕНЬКУЮ НЕТОЧНОСТЬ. тЫПОЛНИВ ЕЩЕ ОДНО СРАВНЕНИЕ НАД
ЭЛЕМЕНТАМИ~$i$ И~$j$, ПОЛУЧИМ ДВА ГРАФА~$G_1$, И~$G_2$: ОДИН---ДЛЯ
СЛУЧАЯ~$K_i<K_j$ И ДРУГОЙ---ДЛЯ СЛУЧАЯ~$K_i>K_j$. ▀СНО, ЧТО
$$
T(G)=T(G_1)+T(G_2).
$$
хСЛИ~$T(G_1)\ge T(G_2)$, ТО ИМЕЕМ
$$
\eqalignno{
T(G)&\le 2T(G_1),\cr
E(G_1)={n!\over 2^{k+1}T(G_1)} &={E(G)T(G)\over 2T(G_1)}\le E(G).&(23)\cr
}
$$
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ ПРИВОДИТ К ГРАФУ МЕНЬШЕЙ ИЛИ РАВНОЙ
ЭФФЕКТИВНОСТИ; НЕЛЬЗЯ УВЕЛИЧИТЬ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЗА СЧЕТ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СРАВНЕНИЙ.

чАМЕТИМ, ЧТО ЕСЛИ~$G$ СОВСЕМ НЕ СОДЕРЖИТ ДУГ, ТО~$k=0$ И~$T(G)=n!$,
Т.~Е.~НАЧАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАВНА~1. хСЛИ ЖЕ ГРАФ~$G$ ПРЕДСТАВЛЯЕТ
ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ СОРТИРОВКИ, ТО $G$~ВЫГЛЯДИТ КАК ОТРЕЗОК ПРЯМОЙ,
И~$T(G)=1$. ЄАК, НАПРИМЕР, ЕСЛИ НАМ НУЖНО ПОСТРОИТЬ ПРОЦЕДУРУ СОРТИРОВКИ,
КОТОРАЯ БЫ СОРТИРОВАЛА ПЯТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ЗА СЕМЬ ИЛИ МЕНЕЕ СРАВНЕНИЙ,
ТО НЕОБХОДИМО ПОЛУЧИТЬ ЛИНЕЙНЫЙ ГРАФ
\picture{228.1}
ЭФФЕКТИВНОСТЬ КОТОРОГО РАВНА~$5!/(2^7\times1)=120/128=15/16$. юТСЮДА
СЛЕДУЕТ, ЧТО ВСЕ ГРАФЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ПРОЦЕССЕ СОРТИРОВКИ, ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ
ЭФФЕКТИВНОСТЬ~$\ge{15\over16}$; ЕСЛИ БЫ ПОЯВИЛСЯ
КАКОЙ-НИБУДЬ ГРАФ МЕНЬШЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ, ТО ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ОДИН ИЗ ЕГО
ПОТОМКОВ ТОЖЕ ИМЕЛ БЫ МЕНЬШУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ, И МЫ БЫ В КОНЦЕ КОНЦОВ ПРИШЛИ
К ЛИНЕЙНОМУ ГРАФУ С ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ~$<{15\over16}$. т ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЭТО
РАССУЖДЕНИЕ ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО
ВСЕ ГРАФЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УЗЛАМ ДЕРЕВА ДЛЯ НЕКОТОРОЙ ПРОЦЕДУРЫ
СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ ЭФФЕКТИВНОСТЬ~$\ge n!/2^l$, ГДЕ
$l+1$---ЧИСЛО УРОВНЕЙ В ДЕРЕВЕ. ¤ТО ЕЩЕ ОДИН СПОСОБ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
НЕРАВЕНСТВА~$S(n)\ge \ceil{\log_2 n!}$, ХОТЯ ТАКОЕ РАССУЖДЕНИЕ НА САМОМ
ДЕЛЕ НЕ СИЛЬНО ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ ПРИВЕДЕННОГО ВЫШЕ.

уРАФ~(21) ИМЕЕТ ЭФФЕКТИВНОСТЬ~1, ПОСКОЛЬКУ~$T(G)=15$ И ГРАФ~$G$ БЫЛ
ПОЛУЧЕН ЗА ТРИ СРАВНЕНИЯ. ўТОБЫ ВЫЯСНИТЬ, КАКИЕ ВЕРШИНЫ ДОЛЖНЫ УЧАСТВОВАТЬ
В СЛЕДУЮЩЕМ СРАВНЕНИИ, МОЖНО
%%229
ПОСТРОИТЬ \dfn{МАТРИЦУ СРАВНЕНИЙ}
$$
C(G)=\bordermatrix{
  & a & b & c & d & e \cr
a&0& 15 & 10 & 15 & 11 \cr
b & 0 & 0 & 5 & 15 & 7 \cr
c & 5 & 10 & 0 & 15 & 9 \cr
d & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \cr
e & 4 & 8 & 6 & 12 & 0 \cr
},
\eqno(24)
$$
ГДЕ~$C_{ij}$ ЕСТЬ~$T(G_1)$ ДЛЯ ГРАФА~$G_1$, ПОЛУЧЕННОГО ИЗ~$G$ ПУТЕМ
ДОБАВЛЕНИЯ ДУГИ~$i\to j$. хСЛИ МЫ, НАПРИМЕР, СРАВНИМ~$K_c$ С~$K_e$, ТО
15~ПЕРЕСТАНОВОК, СОГЛАСУЮЩИХСЯ С~$G$, РАСПАДУТСЯ НА ДВЕ ГРУППЫ: $C_{ec}=6$,
 В КОТОРЫХ $K_e<K_c$, И~$C_{ce}=9$, В КОТОРЫХ~$K_c<K_e$. яОСЛЕДНИЙ ГРАФ
ИМЕЛ БЫ
ЭФФЕКТИВНОСТЬ~$15/(2 \times 9)={5\over6}<{15\over16}$, ТАК ЧТО ЭТО
СРАВНЕНИЕ НЕ МОЖЕТ ПРИВЕСТИ К СЕМИШАГОВОЙ ПРОЦЕДУРЕ СОРТИРОВКИ.
ёЛЕДУЮЩИМ СРАВНЕНИЕМ, ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ СОХРАНИТЬ
ЭФФЕКТИВНОСТЬ~$\ge{15\over16}$, \emph{ОБЯЗАНО} БЫТЬ~$K_b:K_e$.

яОНЯТИЕ "ЭФФЕКТИВНОСТЬ" ОСОБЕННО ПОЛЕЗНО ПРИ РАССМОТРЕНИИ "СВЯЗНЫХ
КОМПОНЕНТ" ГРАФОВ. тОЗЬМЕМ, НАПРИМЕР, ГРАФ
\picture{p.229.1}
ОН СОСТОИТ ИЗ ДВУХ КОМПОНЕНТ
\picture{p.229.2}
ГДЕ НИ ОДНА ДУГА НЕ СОЕДИНЯЕТ~$G'$ И~$G''$; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОН
БЫЛ ОБРАЗОВАН ПУТЕМ НЕСКОЛЬКИХ СРАВНЕНИЙ ВЕРШИН ТОЛЬКО~$G'$ И НЕЗАВИСИМО
НЕСКОЛЬКИХ СРАВНЕНИЙ ВЕРШИН ТОЛЬКО~$G''$. т ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО
ГРАФ~$G=G'+G''$ НЕ СОДЕРЖИТ ДУГ, СВЯЗЫВАЮЩИХ~$G'$ И~$G''$, ГДЕ~$G'$
И~$G''$ ИМЕЮТ СООТВЕТСТВЕННО~$n'$ И~$n''$ ВЕРШИН; ЛЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО
$$
T(G)=\perm{n'+n''}{n'}T(G')T(G''),
\eqno(25)
$$
ПОСКОЛЬКУ КАЖДАЯ ПЕРЕСТАНОВКА, СОГЛАСУЮЩАЯСЯ С~$G$, ПОЛУЧАЕТСЯ ПУТЕМ
ВЫБОРА $n'$~ЭЛЕМЕНТОВ, КОТОРЫЕ СЧИТАЮТСЯ ПРИНАДЛЕЖАЩИМИ ГРАФУ~$G'$, И
ПОСЛЕДУЮЩЕГО СОСТАВЛЕНИЯ ПЕРЕСТАНОВКИ, СОГЛАСУЮЩЕЙСЯ С~$G'$, И НЕЗАВИСИМО,
ПЕРЕСТАНОВКИ, СОГЛАСУЮЩЕЙСЯ С~$G''$. яУСТЬ ВНУТРИ~$G'$ ВЫПОЛНЕНО~$k'$
СРАВНЕНИЙ, А ВНУТРИ $G''$---%
%%230
СООТВЕТСТВЕННО $k''$~СРАВНЕНИЙ; ПОЛУЧАЕМ ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
$$
E(G)={(n'+n'')!\over 2^{k'+k''}T(G)}
={n'!\over 2^{k'}T(G')}\cdot{n''!\over 2^{k''}T(G'')}=E(G')E(G''),
\eqno(26)
$$
ПОКАЗЫВАЮЩИЙ, ЧТО МЕЖДУ ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ ГРАФА И ЭФФЕКТИВНОСТЯМИ ЕГО
КОМПОНЕНТ СУЩЕСТВУЕТ ПРОСТАЯ СВЯЗЬ. яОЭТОМУ МЫ МОЖЕМ ОГРАНИЧИТЬ НАШЕ
РАССМОТРЕНИЕ ГРАФАМИ, ИМЕЮЩИМИ ТОЛЬКО ОДНУ КОМПОНЕНТУ.

ЄЕПЕРЬ ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО~$G'$ И~$G''$---ОДНОКОМПОНЕНТНЫЕ ГРАФЫ, И МЫ ХОТИМ
СВЯЗАТЬ ИХ ВМЕСТЕ, СРАВНИВ ВЕРШИНУ~$x$ ГРАФА~$G'$ С ВЕРШИНОЙ~$y$
ГРАФА~$G''$. эУЖНО ВЫЯСНИТЬ, НАСКОЛЬКО ЭФФЕКТИВНЫМ ПОЛУЧИТСЯ ГРАФ. фЛЯ
ЭТОЙ ЦЕЛИ НАМ НЕОБХОДИМА ФУНКЦИЯ, КОТОРУЮ МОЖНО ОБОЗНАЧИТЬ ЧЕРЕЗ
$$
\left({p\atop m}<{q\atop n}\right),
\eqno(27)
$$
РАВНАЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛУ ПЕРЕСТАНОВОК, СОГЛАСУЮЩИХСЯ С ГРАФОМ
\picture{p.230}
ЄАКИМ ОБРАЗОМ, $\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)$ ЕСТЬ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ~$\perm{m+n}{m}$ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО
$p\hbox{-Й}$~НАИМЕНЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ ИЗ МНОЖЕСТВА $m$~ЧИСЕЛ МЕНЬШЕ
$q\hbox{-ГО}$~НАИМЕНЬШЕГО ЭЛЕМЕНТА ИЗ НЕЗАВИСИМО ВЫБРАННОГО
МНОЖЕСТВА $n$~ЧИСЕЛ. т УПР.~17 ПОКАЗАНО, ЧТО
ФУНКЦИЮ~$\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)$ МОЖНО ВЫРАЗИТЬ ЧЕРЕЗ
БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ДВУМЯ СПОСОБАМИ:
$$
\eqalignno{
\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)&=\sum_{0\le k <q}
\perm{m-p+n-k}{m-p}\perm{p-1+1}{p-1}=\cr
&=\sum_{p\le j \le m}\perm{n-q+m-j}{n-q}\perm{q-1+j}{q-1}.&(29)\cr
}
$$
(ьЕЖДУ ПРОЧИМ, АЛГЕБРАИЧЕСКИ НИКОИМ ОБРАЗОМ НЕ ОЧЕВИДНО, ЧТО ЭТИ ДВЕ СУММЫ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДОЛЖНЫ БЫТЬ РАВНЫ.) шМЕЕМ ТАКЖЕ ФОРМУЛЫ
$$
\eqalignno{
\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)+\left({q\atop n}<{p\atop m}\right) &=\perm{m+n}{m}, &(30)\cr
\left({q\atop n}<{p\atop m}\right)&=\left({m+1-p\atop m}<{n+1-q\atop n}\right). &(31)\cr
}
$$

%%231
фЛЯ ЯСНОСТИ РАССМОТРИМ ДВА ГРАФА
\picture{p.231}
эЕТРУДНО ПОКАЗАТЬ ПРОСТЫМ ПЕРЕЧИСЛЕНИЕМ, ЧТО~$T(G')=42$ И~$T(G'')=5$; ТАК
ЧТО ЕСЛИ~$G$---ГРАФ С~11~ВЕРШИНАМИ, СОДЕРЖАЩИЙ~$G'$ И~$G''$ В КАЧЕСТВЕ СВОИХ
КОМПОНЕНТ, ТО ПО ФОРМУЛЕ~(25)
$T(G)=\perm{11}{4}\cdot 42 \cdot 5=69~300$. ¤ТО ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК
СЛИШКОМ ВНУШИТЕЛЬНО, ЧТОБЫ ИХ МОЖНО БЫЛО ВЫПИСАТЬ И, ТАКИМ ОБРАЗОМ,
 ВЫЯСНИТЬ, В СКОЛЬКИХ ИЗ НИХ $x_i < y_j$ ДЛЯ ВСЕХ~$i$ И~$j$. юДНАКО ЭТО
ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕНЕЕ ЧЕМ ЗА ЧАС МОЖНО ПРОДЕЛАТЬ ВРУЧНУЮ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ.
яОСТРОИМ МАТРИЦЫ~$A(G')$ И~$A(G'')$, ГДЕ~$A_{ik}$---ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК,
СОГЛАСУЮЩИХСЯ С~$G'$ (ИЛИ~$G''$), В КОТОРЫХ~$x_i$ (ИЛИ~$y_i$) РАВНО~$k$.
ЄОГДА ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК, СОГЛАСУЮЩИХСЯ С~$G$, В КОТОРЫХ~$x_i$
МЕНЬШЕ~$y_j$, ЕСТЬ СУММА ПО ВСЕМ~$p$ И~$q$, $1\le p \le 7$, $1\le q \le 4$,
 ПРОИЗВЕДЕНИЙ $(ip)\hbox{-ГО}$~ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ~$A(G')$ НА~$\left({p\atop
7}<{q\atop 4}\right)$ И НА $(jq)\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ~$A(G'')$. шНАЧЕ
ГОВОРЯ, НУЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ~$A(G')\cdot L \cdot A(G'')^T$,
 ГДЕ~$L_{pq}=\left({p\atop 7}<{q\atop 4}\right)$. юНО РАВНО
{\def\pmatrix#1{\left(\vcenter{
\halign{
\hfill$\scriptstyle ##$&&\hfill$\quad\scriptstyle ##$\cr
#1
}}
\right)}
$$
\pmatrix{
21 & 16 &  5 &  0 &  0 &  0 &  0 \cr
 0 &  5 & 10 & 12 & 10 &  5 &  0 \cr
21 & 16 &  5 &  0 &  0 &  0 &  0 \cr
0  &  0 & 12 & 18 & 12 &  0 &  0 \cr
0  &  0 &  0 &  0 &  5 & 16 & 21 \cr
0  &  5 & 10 & 12 & 10 &  5 &  0 \cr
0  &  0 &  0 &  0 &  5 & 16 & 21 \cr
}
\pmatrix{
210 & 294 & 322 & 329 \cr
126 & 238 & 301 & 325 \cr
 70 & 175 & 265 & 315 \cr
 35 & 115 & 215 & 295 \cr
 15 &  65 & 155 & 260 \cr
  5 &  29 &  92 & 204 \cr
  1 &   8 &  36 & 120 \cr
}
\pmatrix{
2 & 3 & 0 & 0 \cr
2 & 2 & 0 & 1 \cr
1 & 0 & 2 & 2 \cr
0 & 0 & 3 & 2 \cr
}
=\pmatrix{
48169 & 42042 & 66858 & 64031 \cr
22825 & 16005 & 53295 & 46475 \cr
48169 & 42042 & 66858 & 64031 \cr
22110 & 14850 & 54450 & 47190 \cr
 5269 & 2442 & 27258 & 21131 \cr
22825 & 16005 & 53295 & 46475 \cr
 5269 & 2442 & 27258 & 21131 \cr
}.
$$
}
ЄАКИМ ОБРАЗОМ, "НАИЛУЧШИЙ" СПОСОБ СОЕДИНИТЬ~$G'$
С~$G''$---ЭТО СРАВНИТЬ~$x_1$ С~$y_2$; В 42~042~СЛУЧАЯХ ПОЛУЧИМ~$x_1<y_2$ И
В~$69~300-42~042=27~258$~СЛУЧАЯХ---$x_1>y_2$. (т СИЛУ СИММЕТРИИ, ПО
СУЩЕСТВУ, К ТЕМ ЖЕ РЕЗУЛЬТАТАМ ПРИВЕЛИ БЫ СРАВНЕНИЯ~$x_3$ С~$y_2$, $x_5$
С~$y_3$ ИЛИ~$x_7$ С~$y_3$.) ¤ФФЕКТИВНОСТЬ ПОЛУЧЕННОГО ГРАФА ДЛЯ~$x_1<y_2$ РАВНА
$$
{69~300\over 84~084}E(G')E(G''),
$$
Т.~Е.~НЕ ОСОБЕННО ВЫСОКА; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПО-ВИДИМОМУ, ВООБЩЕ НЕ СТОИТ НИ В
ОДНОМ МЕТОДЕ СОРТИРОВКИ ПРИМЕНЯТЬ СОЕДИНЕНИЕ~$G'$ С~$G''$! ёМЫСЛ ЭТОГО
ПРИМЕРА В ТОМ, ЧТО МЫ СМОГЛИ ПРИНЯТЬ ТАКОЕ РЕШЕНИЕ, НЕ ПРОИЗВОДЯ НЕПОМЕРНО
БОЛЬШИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.
%%232
¤ТИМИ ИДЕЯМИ МОЖНО ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТАКЖЕ ДЛЯ НЕЗАВИСИМОГО ПОДТВЕРЖДЕНИЯ
ПРИНАДЛЕЖАЩЕГО ьАРКУ єЭЛСУ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТОГО, ЧТО~$S(12)=30$. эАЧАВ С
ГРАФА, СОДЕРЖАЩЕГО ОДНУ ВЕРШИНУ, МЫ МОЖЕМ ПОВТОРЯТЬ ПОПЫТКИ ДОБАВЛЕНИЯ
СРАВНЕНИЙ К ОДНОМУ ИЗ НАШИХ ГРАФОВ~$G$ ИЛИ К ПАРЕ КОМПОНЕНТ
ГРАФА~$G'$ И~$G''$ С ТАКИМ РАСЧЕТОМ, ЧТОБЫ ОБА ПОЛУЧЕННЫХ ГРАФА СОДЕРЖАЛИ~12
\picture{ЁИС.~36.                эЕКОТОРЫЕ ГРАФЫ И ИХ ЭФФЕКТИВНОСТИ,
ПОЛУЧЕННЫЕ В НАЧАЛЕ ДЛИННОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВА~$S(12)>29$.
}
ИЛИ МЕНЕЕ ВЕРШИН И ОБЛАДАЛИ ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ $\ge 12!/2^{29}\approx0.89221$.
тСЯКИЙ РАЗ, КАК ЭТО ОКАЗЫВАЕТСЯ ВОЗМОЖНЫМ, МЫ ВЫБИРАЕМ ГРАФ С МЕНЬШЕЙ
ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ И ДОБАВЛЯЕМ ЕГО К НАШЕМУ МНОЖЕСТВУ, ЕСЛИ ТОЛЬКО ОН НЕ
ЯВЛЯЕТСЯ ИЗОМОРФНЫМ ОДНОМУ ИЗ УЖЕ ВКЛЮЧЕННЫХ В МНОЖЕСТВО ГРАФОВ (ИЛИ
ДВОЙСТВЕННЫМ К НЕМУ, Т.~Е.~ПОЛУЧАЕТСЯ ОБРАЩЕНИЕМ ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА).
хСЛИ ОБА ПОЛУЧЕННЫХ ГРАФА ИМЕЮТ ОДИНАКОВУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ, ТО
ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОБРАЗОМ ВЫБИРАЕТСЯ ОДИН ИЗ НИХ. яЕРВЫЕ 24~ГРАФА, ПОЛУЧЕННЫЕ
ТАКИМ СПОСОБОМ, ИЗОБРАЖЕНЫ НА РИС.~36, ГДЕ ПРИВЕДЕНЫ ТАКЖЕ ИХ ЭФФЕКТИВНОСТИ.

яРИ ПОМОЩИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ БЫЛО ПОСТРОЕНО РОВНО 1594~ГРАФА, ПРЕЖДЕ
ЧЕМ ЭТОТ ПРОЦЕСС ЗАВЕРШИЛСЯ. яОСКОЛЬКУ ГРАФ
%%233
НЕ БЫЛ ПОЛУЧЕН, МОЖНО СДЕЛАТЬ ВЫВОД О ТОМ, ЧТО~$S(12)>29$. тЕСЬМА
ПРАВДОПОДОБНО, ЧТО И ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВА~$S(22)>70$ МОЖНО
ПРОИЗВЕСТИ АНАЛОГИЧНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ЗА ВПОЛНЕ РАЗУМНОЕ ВРЕМЯ, ПОСКОЛЬКУ
$22!/2^{70}\approx 0.952$---ЭТО ЧРЕЗВЫЧАЙНО ВЫСОКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ДЛЯ
СОРТИРОВКИ ЗА 70~ШАГОВ. (шЗ 1594~НАЙДЕННЫХ ГРАФОВ С~12 ИЛИ МЕНЕЕ ВЕРШИНАМИ
ВСЕГО 92~ИМЕЮТ СТОЛЬ ВЫСОКУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ.)

яРОМЕЖУТОЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДАЮТ ВЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ПРЕДПОЛОЖИТЬ,
ЧТО~$S(13)=33$, И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, СОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ НЕ
ОПТИМАЛЬНА ПРИ~$n=13$. эО ДО СИХ ПОР НИКОМУ НЕ УДАЛОСЬ ОБНАРУЖИТЬ \emph{НИ
ОДНОГО} ТАКОГО ЗНАЧЕНИЯ~$n$, ЧТО~$S(n)<F(n)$.

эАВЕРНЯКА МОЖНО ДОКАЗАТЬ, ЧТО~$S(16)<F(16)$, ПОСКОЛЬКУ~$F(16)$---ЭТО КАК РАЗ
ТАКОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, КАКОЕ ТРЕБУЕТСЯ, ЧТОБЫ СНАЧАЛА ОТСОРТИРОВАТЬ
10~ЭЛЕМЕНТОВ ЗА $S(10)$~ШАГОВ, А ЗАТЕМ ПОСРЕДСТВОМ БИНАРНЫХ ВСТАВОК
ВСТАВИТЬ ПО ОДНОМУ ОСТАЛЬНЫЕ ШЕСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ. эЕПРЕМЕННО ДОЛЖЕН
СУЩЕСТВОВАТЬ БОЛЕЕ ХОРОШИЙ СПОСОБ!

\section ёРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ. фО СИХ ПОР МЫ РАССМАТРИВАЛИ ПРОЦЕДУРЫ,
НАИЛУЧШИЕ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ОНИ НЕ ПЛОХИ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ; МЫ ИСКАЛИ
"МИНИМАКСНЫЕ" ПРОЦЕДУРЫ, МИНИМИЗИРУЮЩИЕ \emph{МАКСИМАЛЬНОЕ} ЧИСЛО
СРАВНЕНИЙ. яОИЩЕМ ТЕПЕРЬ "МИНИСРЕДНИЕ" ПРОЦЕДУРЫ, МИНИМИЗИРУЮЩИЕ
\emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ
СЛУЧАЙНЫ, Т.~Е.~ВСЕ ПЕРЕСТАНОВКИ РАВНОВЕРОЯТНЫ.

ЁАССМОТРИМ ЕЩЕ РАЗ ИЗОБРАЖЕННОЕ НА РИС.~34 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОЦЕДУРЫ
СОРТИРОВКИ В ВИДЕ ДЕРЕВА. ёРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИИ ПО ВСЕМ ПЕРЕСТАНОВКАМ
ДЛЯ ЭТОГО ДЕРЕВА РАВНО
$$
{2+3+3+3+3+2\over 6}=2{2\over3}.
$$
т ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ МЕТОДА СОРТИРОВКИ ЕСТЬ
\emph{ДЛИНА ВНЕШНЕГО ПУТИ ДЕРЕВА,} ДЕЛЕННАЯ НА~$n$. (эАПОМНИМ, ЧТО ДЛИНА
ВНЕШНЕГО ПУТИ---ЭТО СУММА ВСЕХ РАССТОЯНИЙ ОТ КОРНЯ ДО КАЖДОГО ИЗ ВНЕШНИХ
УЗЛОВ; СМ.~П.~2.3.4.5.) шЗ ОБСУЖДЕНИЯ В П.~2.3.4.5 ЛЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО
МИНИМУМ ДЛИНЫ ВНЕШНЕГО ПУТИ ДОСТИГАЕТСЯ НА ТАКОМ БИНАРНОМ ДЕРЕВЕ С
$N$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ, У КОТОРОГО ИМЕЕТСЯ $2^q-N$~ВНЕШНИХ УЗЛОВ НА
УРОВНЕ~$q-1$ И~$2N-2^q$ НА УРОВНЕ~$q$, ГДЕ~$q=\ceil{\log_2 N}$. (ъОРЕНЬ
НАХОДИТСЯ НА НУЛЕВОМ УРОВНЕ.) ЄАКИМ ОБРАЗОМ, МИНИМАЛЬНАЯ ДЛИНА
ВНЕШНЕГО ПУТИ РАВНА
$$
(q-1)(2^q-N)+q(2N-2^q)=(q+1)N-2^q.
\eqno(33)
$$

шМЕЕТСЯ ЕЩЕ ОДИН ИНТЕРЕСНЫЙ СПОСОБ ОХАРАКТЕРИЗОВАТЬ МИНИМАЛЬНУЮ ДЛИНУ
ПУТИ: \dfn{РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ
%%234
ДЛИНУ ВНЕШНЕГО ПУТИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЕ
ЧИСЛО~$l$, ЧТО ВСЕ ВНЕШНИЕ УЗЛЫ НАХОДЯТСЯ НА УРОВНЯХ~$l$ И~$l+1$.}
(ёМ.~УПР.~20.)

хСЛИ ПОЛОЖИТЬ~$q=\log_2 N+\theta$, ГДЕ~$0\le \theta < 1$, ТО
ФОРМУЛА МИНИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ ВНЕШНЕГО ПУТИ ПРИМЕТ ВИД
$$
N(\log_2 N+1+\theta-2^\theta).
\eqno(34)
$$
уРАФИК ФУНКЦИИ~$1+\theta-2^\theta$ ИЗОБРАЖЕН НА РИС.~37;
ПРИ~$0<\theta<1$ ОНА ПРИНИМАЕТ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ, НО ОЧЕНЬ МАЛЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, НЕ
ПРЕВЫШАЮЩИЕ
$$
1-(1+\ln\ln 2)/(\ln 2)=0.08607~13320~55934+.
\eqno(35)
$$
\picture{ЁИС.~37.  ЇУНКЦИЯ $1+\theta-2^\theta$.}
ЄАКИМ ОБРАЗОМ, МИНИМАЛЬНАЯ ВОЗМОЖНАЯ СРЕДНЯЯ ДЛИНА ПУТИ, КОТОРАЯ
ПОЛУЧАЕТСЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ ДЕЛЕНИЯ~(34) НА~$N$, НЕ МОЖЕТ БЫТЬ МЕНЬШЕ~$\log_2 N$
И БОЛЬШЕ~$\log_2 N+0.0861$. (¤ТОТ РЕЗУЛЬТАТ ВПЕРВЫЕ ПОЛУЧИЛ ¤.~уЛИСОН В
НЕОПУБЛИКОВАННОЙ ЗАМЕТКЕ (1956).)

хСЛИ ТЕПЕРЬ ПОЛОЖИМ~$N=n!$, ТО ПОЛУЧИМ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ СРЕДНЕГО ЧИСЛА
СРАВНЕНИЙ ПО ВСЕМ СХЕМАМ СОРТИРОВКИ. чАМЕТИМ, ЧТО ОЦЕНКА РАВНА~$\log_2
n!+O(1)=n\log_2 n-n/(\ln 2)+O(\log n)$.

яУСТЬ~$\bar F(n)$---СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ АЛГОРИТМОМ
СОРТИРОВКИ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ; ИМЕЕМ
$$
\matrix{
\hfill n=1 & 2 & 3  &  4 & 5 & 6 & 7 & 8 \cr
{\hbox{\sl эИЖНЯЯ ОЦЕНКА\/}}(33)=0 & 2 & 16 & 112 & 832 & 6896 & 62368 & 619904\cr
            \hfill n! \bar F(n) = 0& 2 & 16 & 112 & 832 & 6912 & 62784 & 623232\cr
}
$$
шТАК, СОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ ОПТИМАЛЬНА В ОБОИХ СМЫСЛАХ ПРИ~$n
\ge 5$, ОДНАКО ПРИ~$n=6$ ПРИ ТАКОМ МЕТОДЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ В
СРЕДНЕМ~$6912/720=9.6$~СРАВНЕНИЯ ВМЕСТО ВОЗМОЖНЫХ, СОГЛАСНО НИЖНЕЙ ОЦЕНКЕ,
$6896/720=9.577777\ldots$~СРАВНЕНИЯ. эЕМНОГО ПОДУМАВ, НЕТРУДНО ПОНЯТЬ,
ПОЧЕМУ ЭТО ТАК: НЕКОТОРЫЕ "УДАЧНЫЕ" ПЕРЕСТАНОВКИ ШЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ
СОРТИРУЮТСЯ МЕТОДОМ ВСТАВОК И СЛИЯНИЙ ВСЕГО ЗА ВОСЕМЬ СРАВНЕНИЙ, И ТОГДА
ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ ИМЕЕТ ВНЕШНИЕ УЗЛЫ НА ТРЕХ, А НЕ НА ДВУХ УРОВНЯХ. шЗ-ЗА
ЭТОГО УВЕЛИЧИВАЕТСЯ СУММАРНАЯ ДЛИНА ПУТИ. т УПР.~24 ПОКАЗАНО, ЧТО МОЖНО
ПОСТРОИТЬ ПРОЦЕДУРУ СОРТИРОВКИ ШЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ, ТРЕБУЮЩУЮ ВСЕГДА ДЕВЯТЬ
ИЛИ ДЕСЯТЬ СРАВНЕНИЙ; СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
%%235
ЭТОТ МЕТОД ПРЕВОСХОДИТ МЕТОД ВСТАВОК И СЛИЯНИЙ В СРЕДНЕМ И НЕ
ХУЖЕ НЕГО В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ.

ш.~ёЕЗАРИ [thesis (Paris, 1968), Р.~37] ДОКАЗАЛ, ЧТО ПРИ~$n=7$ НЕ
СУЩЕСТВУЕТ МЕТОДА СОРТИРОВКИ, ПРИ КОТОРОМ БЫ ДОСТИГАЛАСЬ НИЖНЯЯ
ОЦЕНКА~62368 ДЛИНЫ ВНЕШНЕГО ПУТИ. (шСПОЛЬЗУЯ РЕЗУЛЬТАТ УПР.~22, ЭТОТ
ФАКТ МОЖНО ДОКАЗАТЬ ВРУЧНУЮ.) ё ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ОН ПОСТРОИЛ ПРОЦЕДУРЫ,
ДЛЯ КОТОРЫХ ДОСТИГАЕТСЯ НИЖНЯЯ ОЦЕНКА~(33) ПРИ~$n=9$ ИЛИ~10. тООБЩЕ ЖЕ
ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ СРЕДНЕГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ ГОРАЗДО СЛОЖНЕЕ НАХОЖДЕНИЯ
ФУНКЦИИ~$S(n)$. тПОЛНЕ ДАЖЕ ВОЗМОЖНО, ЧТО ПРИ НЕКОТОРЫХ~$n$ ВСЕ МЕТОДЫ,
МИНИМИЗИРУЮЩИЕ \emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ ТРЕБУЮТ
\emph{БОЛЕЕ}~$S(n)$ СРАВНЕНИЙ.

\excercises
\ex[20] эАРИСУЙТЕ ДЕРЕВЬЯ СРАВНЕНИЙ ДЛЯ СОРТИРОВКИ ЧЕТЫРЕХ
ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОДАМИ (a)~БИНАРНЫХ ВСТАВОК; (b)~ПРОСТОГО ДВУХПУТЕВОГО СЛИЯНИЯ.
 ъАКОВЫ ДЛИНЫ ВНЕШНИХ ПУТЕЙ ДЛЯ ЭТИХ ДЕРЕВЬЕВ?

\ex[ь24] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$B(n)\le L(n)$, И НАЙДИТЕ ВСЕ ЗНАЧЕНИЯ~$n$,
ПРИ КОТОРЫХ ИМЕЕТ МЕСТО РАВЕНСТВО.

\ex[ь22] хСЛИ ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ, ТО ПРИ СОРТИРОВКЕ ТРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ
ВОЗМОЖНЫ 13~ИСХОДОВ:
$$
\displaylines{
\matrix{
K_1=K_2=K_3, & K_1=K_2<K_3, & K_1=K_3<K_2, \cr
K_2=K_3<K_1, & K_1<K_2=K_3, & K_2<K_1=K_3, \cr
K_3<K_1=K_2, & K_1<K_2<K_3, & K_1<K_3<K_2, \cr
}\cr
\matrix{
K_2<K_1<K_3, & K_2<K_3<K_1, & K_3<K_1<K_2, & K_3<K_2<K_1.\cr
}\cr
}
$$
юБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ~$P_n$ ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ ПРИ СОРТИРОВКЕ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ,
 ЕСЛИ ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ, ТАК ЧТО
$(P_0, P_1, P_2, P_3, P_4, P_5,~\ldots)=(1, 1, 3, 13, 75, 541,~\dots)$.
фОКАЖИТЕ, ЧТО ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ~$P(z)=\sum_{n\ge 0} P_n z^n/n!$
РАВНА~$1/(2-e^z)$. \emph{єКАЗАНИЕ:} ПОКАЖИТЕ, ЧТО
$$
P_n=\sum_{k>0} \perm{n}{k} P_{n-k} \rem{ПРИ $n>0$.}
$$

\ex[ть27] (ю.~р.~уРОСС.) эАЙДИТЕ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ~$P_n$ ИЗ
УПР.~3 ПРИ~$n\to\infty$. [\emph{тОЗМОЖНОЕ УКАЗАНИЕ:} РАССМОТРИТЕ ЧАСТИЧНОЕ
РАЗЛОЖЕНИЕ В ДРОБЬ~$\ctg z$.]

\ex[16] хСЛИ ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ, ТО КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ МОЖЕТ ИМЕТЬ НЕ
ДВА, А ТРИ РЕЗУЛЬТАТА: $K_i<K_j$, $K_i=K_j$, $K_i>K_j$. т ЭТОЙ
ОБЩЕЙ СИТУАЦИИ АЛГОРИТМЫ СОРТИРОВКИ МОЖНО ПРЕДСТАВЛЯТЬ В ВИДЕ
РАСШИРЕННЫХ \emph{ТЕРНАРНЫХ} ДЕРЕВЬЕВ, В КОТОРЫХ КАЖДЫЙ ВНУТРЕННИЙ
УЗЕЛ~$i:j$ ИМЕЕТ ТРИ ПОДДЕРЕВА: ЛЕВОЕ, СРЕДНЕЕ И ПРАВОЕ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ
ТРЕМ ВОЗМОЖНЫМ ИСХОДАМ СРАВНЕНИЯ.

эАРИСУЙТЕ РАСШИРЕННОЕ ТЕРНАРНОЕ ДЕРЕВО, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ АЛГОРИТМ СОРТИРОВКИ
ДЛЯ~$n=3$, ЕСЛИ ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ. т ВАШЕМ ДЕРЕВЕ ДОЛЖНО БЫТЬ
13~ВНЕШНИХ УЗЛОВ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ 13~ВОЗМОЖНЫМ ИСХОДАМ, ПЕРЕЧИСЛЕННЫМ В УПР.~3.

\rex[ь22] яУСТЬ~$S'(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМЫХ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ И ВЫЯВЛЕНИЯ ВСЕХ РАВЕНСТВ МЕЖДУ КЛЮЧАМИ,
ЕСЛИ КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ ТРИ ВОЗМОЖНЫХ РЕЗУЛЬТАТА, КАК В УПР.~5.
эЕТРУДНО ОБОБЩИТЬ "ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННОЕ" РАССУЖДЕНИЕ, ПРИВЕДЕННОЕ В
ТЕКСТЕ,
%%236
И ПОКАЗАТЬ, ЧТО~$S'(n)\ge \ceil{\log_3 P_n}$, ГДЕ~$P_n$---ФУНКЦИЯ, ИЗУЧЕННАЯ
В УПР.~3 И~4; ДОКАЖИТЕ, ЧТО НА САМОМ ДЕЛЕ~$S'(n)=S(n)$.

\ex[20] эАРИСУЙТЕ РАСШИРЕННОЕ ТЕРНАРНОЕ ДЕРЕВО В СМЫСЛЕ УПР.~5
ДЛЯ СОРТИРОВКИ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧТО ВСЕ КЛЮЧИ РАВНЫ
ЛИБО~0, ЛИБО~1. (ЄАК, НАПРИМЕР, ЕСЛИ~$K_1<K_2$ И~$K_3<K_4$, ТО ПОНЯТНО,
ЧТО~$K_1=K_3$ И~$K_2=K_4$!) фОБЕЙТЕСЬ МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ В
СРЕДНЕМ, СЧИТАЯ, ЧТО ВСЕ $2^4$~ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДНЫХ ФАЙЛОВ РАВНОВЕРОЯТНЫ.

\ex[26] эАРИСУЙТЕ РАСШИРЕННОЕ ТЕРНАРНОЕ ДЕРЕВО, КАК В УПР.~7, ДЛЯ
СОРТИРОВКИ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧТО ВСЕ КЛЮЧИ РАВНЫ
ЛИБО~$-1$, ЛИБО~0, ЛИБО~$+1$. фОБЕЙТЕСЬ МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ В
СРЕДНЕМ, СЧИТАЯ, ЧТО ВСЕ $3^4$~ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДНЫХ ФАЙЛОВ РАВНОВЕРОЯТНЫ.

\ex[ь20] ъАКОВО МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ
ПРИ СОРТИРОВКЕ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, КАК В УПР.~7, КОГДА ИЗВЕСТНО, ЧТО ВСЕ
ЭЛЕМЕНТЫ РАВНЫ ЛИБО~0, ЛИБО~1?

\rex[ь25] ъАКОВО МИНИМАЛЬНОЕ \emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ПРИ СОРТИРОВКЕ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ, КАК В УПР.~7, КОГДА ИЗВЕСТНО, ЧТО ВСЕ КЛЮЧИ РАВНЫ ЛИБО~0,
ЛИБО~1? ЁЕЗУЛЬТАТ ПРЕДСТАВЬТЕ В ВИДЕ ФУНКЦИИ ОТ~$n$.

\ex[ть25] яУСТЬ~$S_m(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМОЕ В
НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, КАК В УПР.~5, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО,
 ЧТО ВСЕ КЛЮЧИ ПРИНАДЛЕЖАТ МНОЖЕСТВУ~$\set{1, 2,~\ldots, m}$. [ЄАКИМ
ОБРАЗОМ, СОГЛАСНО УПР.~6,  $S_n(n)=S(n)$.] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$S_m(n)$
СТРЕМИТСЯ К~$n\log_2 m$ ПРИ ФИКСИРОВАННОМ~$m$ И $n\to\infty$.

\rex[ь25] (є.~у.~сУРИСИУС, ОКОЛО 1954~Г.) яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО РАВНЫЕ
КЛЮЧИ МОГУТ ВСТРЕЧАТЬСЯ, НО МЫ ХОТИМ ПРОСТО ОТСОРТИРОВАТЬ
ЭЛЕМЕНТЫ~$\set{K_1, K_2,~\ldots, K_n}$  ТАК, ЧТОБЫ ОПРЕДЕЛИТЬ
ПЕРЕСТАНОВКУ~$a_1\ a_2~\ldots a_n$, ТАКУЮ,
ЧТО~$K_{a_1}\le K_{a_2} \le \ldots \le K_{a_n}$; НАМ НЕ ВАЖНО, ИМЕЕТ ЛИ
МЕСТО РАВЕНСТВО МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ~$K_{a_i}$ И~$K_{a_{i+1}}$.

сУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ \emph{СИЛЬНО} СОРТИРУЕТ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КЛЮЧЕЙ, ЕСЛИ ОНО СОРТИРУЕТ ЭТУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ В
ВЫШЕУКАЗАННОМ СМЫСЛЕ, НЕЗАВИСИМО ОТ ТОГО, КАКОЙ ПУТЬ ВЫБИРАТЬ В
УЗЛАХ~$i:j$, ДЛЯ КОТОРЫХ~$K_i=K_j$. (фЕРЕВО БИНАРНОЕ, А НЕ ТЕРНАРНОЕ.)

\medskip
\item{a)}~фОКАЖИТЕ, ЧТО ДЕРЕВО, НЕ СОДЕРЖАЩЕЕ ИЗБЫТОЧНЫХ СРАВНЕНИЙ,
СИЛЬНО СОРТИРУЕТ ЛЮБУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КЛЮЧЕЙ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
КОГДА ОНО СОРТИРУЕТ ЛЮБУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ КЛЮЧЕЙ.

\item{b)}~фОКАЖИТЕ, ЧТО ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ СИЛЬНО СОРТИРУЕТ ЛЮБУЮ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КЛЮЧЕЙ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОНО СИЛЬНО
СОРТИРУЕТ ЛЮБУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ.
\medskip

\ex[ь28] фОКАЖИТЕ УТВЕРЖДЕНИЕ~(17).

\ex[ь24] тЫРАЗИТЕ СУММУ~(19) В "ЗАМКНУТОМ ВИДЕ".

\ex[ь21] юПРЕДЕЛИТЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ~$B(n)$ И~$F(n)$ С
ТОЧНОСТЬЮ ДО~$O(\log n)$. [\emph{єКАЗАНИЕ:} ПОКАЖИТЕ, ЧТО В ОБОИХ СЛУЧАЯХ
КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ~$n$ СОДЕРЖИТ ФУНКЦИЮ, ИЗОБРАЖЕННУЮ НА РИС.~37.]

\ex[ть26] (Ї.~їУАН И °.~ыИНЬ.) фОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИ~$n\ge22$
ВЫПОЛНЯЕТСЯ НЕРАВЕНСТВО~$F (n) > \ceil{\log_2 n!}$.

\ex[ь20] фОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВО~(29).

\ex[20] хСЛИ БЫ ПРОЦЕДУРА, НАЧАЛО КОТОРОЙ ИЗОБРАЖЕНО НА РИС.~36,
ПОРОДИЛА ГРАФ
\picture{p.236}
С ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ~$12!/2^{29}$, ТО БЫЛО ЛИ БЫ ТЕМ САМЫМ ДОКАЗАНО,
ЧТО~$S(12) =29$?

\ex[40] яРОВЕДИТЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ СО СЛЕДУЮЩИМ ЭВРИСТИЧЕСКИМ ПРАВИЛОМ РЕШЕНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНО ТОГО, КАКУЮ ПАРУ КЛЮЧЕЙ СРАВНИВАТЬ СЛЕДУЮЩЕЙ
ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ ДЕРЕВА СРАВНЕНИЙ. яУСТЬ НА КАЖДОЙ СТАДИИ СОРТИРОВКИ
КЛЮЧЕЙ~$\set{K_1,~\ldots, K_n}$ ЧИСЛО КЛЮЧЕЙ, О КОТОРЫХ НА ОСНОВАНИИ
ВЫПОЛНЕННЫХ ДО СИХ ПОР СРАВНЕНИЙ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ~$\le K_i$, ОБОЗНАЧАЕТСЯ
ЧЕРЕЗ~$u_i$, А ЧИСЛО КЛЮЧЕЙ, О КОТОРЫХ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ~$\ge K_i$,
ОБОЗНАЧАЕТСЯ ЧЕРЕЗ~$v_i$, $1\le i\le n$.

%%237
яЕРЕНУМЕРУЕМ КЛЮЧИ ТАК, ЧТОБЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$u_i/v_i$ СТАЛА ВОЗРАСТАЮЩЕЙ:
$u1/v_1 \le u_2/v_2 \le \ldots \le u_n/v_n$. ЄЕПЕРЬ СРАВНИМ~$K_i:K_{i+1}$,
ГДЕ~$i$---ИНДЕКС, МИНИМИЗИРУЮЩИЙ ВЫРАЖЕНИЕ~$\abs{u_iv_{i+1}-u_{i+1}v_i}$.
(їОТЯ ЭТОТ МЕТОД ИСПОЛЬЗУЕТ ГОРАЗДО МЕНЬШЕ ИНФОРМАЦИИ, ЧЕМ СОДЕРЖИТСЯ В
ПОЛНОЙ МАТРИЦЕ СРАВНЕНИЙ, ПОДОБНОЙ~(24), ОН, КАК ОКАЗЫВАЕТСЯ, ВО МНОГИХ
СЛУЧАЯХ ДАЕТ ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.)

\rex[ь26] фОКАЖИТЕ, ЧТО РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ
ДЛИНУ ВНЕШНЕГО ПУТИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЕ ЧИСЛО~$l$,
 ЧТО ВСЕ ВНЕШНИЕ УЗЛЫ НАХОДЯТСЯ НА УРОВНЯХ~$l$ И~$l+1$ (ИЛИ, БЫТЬ МОЖЕТ,
ТОЛЬКО НА УРОВНЕ~$l$).

\edef\exref{\the\excerno}
\ex[ь21] \dfn{тЫСОТОЙ} РАСШИРЕННОГО БИНАРНОГО ДЕРЕВА НАЗЫВАЕТСЯ
МАКСИМАЛЬНЫЙ НОМЕР УРОВНЯ, НА КОТОРОМ ЕСТЬ ВНЕШНИЕ УЗЛЫ.
яУСТЬ~$x$---ВНУТРЕННИЙ УЗЕЛ РАСШИРЕННОГО БИНАРНОГО ДЕРЕВА; ОБОЗНАЧИМ
ЧЕРЕЗ~$t(x)$ ЧИСЛО ВНЕШНИХ УЗЛОВ-ПОТОМКОВ УЗЛА~$x$, А ЧЕРЕЗ~$l(x)$ КОРЕНЬ
ЛЕВОГО ПОДДЕРЕВА УЗЛА~$x$. хСЛИ $x$---ВНЕШНИЙ УЗЕЛ, ТО ПОЛОЖИМ~$t(x)=1$.
фОКАЖИТЕ, ЧТО РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ ВЫСОТУ СРЕДИ
ВСЕХ БИНАРНЫХ ДЕРЕВЬЕВ С ТЕМ ЖЕ ЧИСЛОМ УЗЛОВ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ДЛЯ ВСЕХ ЕГО ВНУТРЕННИХ УЗЛОВ~$x$  ВЫПОЛНЯЕТСЯ НЕРАВЕНСТВО
$$
\abs{t(x)-2t(l(x))}\le2^{\ceil{\log_2 t(x)}}-t(x).
$$

\ex[ь24] яРОДОЛЖЕНИЕ УПР.~\exref. фОКАЖИТЕ, ЧТО БИНАРНОЕ ДЕРЕВО
ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ ДЛИНУ ВНЕШНЕГО ПУТИ СРЕДИ ВСЕХ БИНАРНЫХ ДЕРЕВЬЕВ С ТЕМ
ЖЕ ЧИСЛОМ УЗЛОВ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ДЛЯ ВСЕХ ЕГО ВНУТРЕННИХ
УЗЛОВ~$x$ ВЫПОЛНЯЮТСЯ НЕРАВЕНСТВА
$$
\abs{t(x)-2t(l(x))}\le 2^{\ceil{\log_2 t(x)}}-t(x) \hbox{ И }
\abs{t(x)-2t(l(x))}\le t(x)-2^{\floor{\log_2 t(x)}}.
$$
[ЄАК, НАПРИМЕР, ЕСЛИ~$t(x)=67$, ТО ДОЛЖНО БЫТЬ~$t(l(x))=32$, 33, 34
ИЛИ~35. хСЛИ НУЖНО ПРОСТО МИНИМИЗИРОВАТЬ ВЫСОТУ ДЕРЕВА, ТО, СОГЛАСНО
ПРЕДЫДУЩЕМУ УПРАЖНЕНИЮ, ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ~$3\le t(l(x))\le 64$.]

\ex[10] т ТЕКСТЕ ДОКАЗАНО [СМ.~ФОРМУЛУ~(34)], ЧТО СРЕДНЕЕ ЧИСЛО
СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ ЛЮБЫМ МЕТОДОМ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, НЕ МОЖЕТ
БЫТЬ МЕНЬШЕ~$\ceil{\log_2 n!}\approx n\log_2 n$. юДНАКО ПРИ СОРТИРОВКЕ
ВСТАВКАМИ В НЕСКОЛЬКО СПИСКОВ (АЛГОРИТМ~5.2.1ь) ЗАТРАЧИВАЕТСЯ В СРЕДНЕМ
ВСЕГО $O(n)$~ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ. ўЕМ ЭТО ОБоЯСНЯЕТСЯ?

\ex[27] (ъ. яИКАР.) яОСТРОЙТЕ ТАКОЕ ДЕРЕВО СОРТИРОВКИ ДЛЯ ШЕСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ, ЧТОБЫ ВСЕ ЕГО ВНЕШНИЕ УЗЛЫ РАСПОЛАГАЛИСЬ НА УРОВНЯХ~10 И~11.

\ex[11] хСЛИ БЫ СУЩЕСТВОВАЛА ПРОЦЕДУРА СОРТИРОВКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТОВ,
НА КОТОРОЙ ДОСТИГАЛСЯ МИНИМУМ СРЕДНЕГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ, ВЫЧИСЛЯЕМЫЙ ПРИ
ПОМОЩИ ФОРМУЛЫ~(34), ТО СКОЛЬКО ВНЕШНИХ УЗЛОВ БЫЛО БЫ НА УРОВНЕ~13
СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ДЕРЕВА?

\ex[ь42] эАЙДИТЕ ПРОЦЕДУРУ СОРТИРОВКИ ДЛЯ СЕМИ ЭЛЕМЕНТОВ, МИНИМИЗИРУЮЩУЮ
СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ВЫПОЛНЯЕМЫХ СРАВНЕНИЙ.

\rex[20] яУСТЬ ИЗВЕСТНО, ЧТО КОНФИГУРАЦИИ ($K_1<K_2<K_3$, $K_1<K_3<K_2$,
 $K_2<K_1<K_3$,  $K_2<K_3<K_1$,   $K_3<K_1<K_2$,  $K_3<K_2<K_1$)
ВСТРЕЧАЮТСЯ С ВЕРОЯТНОСТЯМИ СООТВЕТСТВЕННО ($.01$, $.25$, $.01$, $.24$,
$.25$, $.24$). эАЙДИТЕ ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ, КОТОРОЕ БЫ СОРТИРОВАЛО ТАКИЕ ТРИ
ЭЛЕМЕНТА С НАИМЕНЬШИМ СРЕДНИМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ.

\ex[40] эАПИШИТЕ MIX-ПРОГРАММУ, КОТОРАЯ СОРТИРУЕТ 5~ОДНОСЛОВНЫХ КЛЮЧЕЙ ЗА
МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОЕ ВРЕМЯ, ПОСЛЕ ЧЕГО ОСТАНАВЛИВАЕТСЯ. (ёМ.~ОСНОВНЫЕ
ПРАВИЛА В НАЧАЛЕ~\S~5.2.)

\ex[ь25] (ё.~ь.~ўЭЙЗ.) яУСТЬ $a_1$ $a_2$~\dots $a_n$---ПЕРЕСТАНОВКА
МНОЖЕСТВА~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. фОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБОЙ АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ
РАСПОЗНАЕТ, ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ДАННАЯ ПЕРЕСТАНОВКА ЧЕТНОЙ ИЛИ НЕЧЕТНОЙ
(Т.~Е.~СОДЕРЖИТ ЛИ ОНА ЧЕТНОЕ ИЛИ НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО ИНВЕРСИЙ), И ОСНОВАННЫЙ
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО НА СРАВНЕНИЯХ ЭЛЕМЕНТОВ~$a$, ДОЛЖЕН ВЫПОЛНИТЬ НЕ МЕНЕЕ
$n\log_2 n$~СРАВНЕНИЙ, ХОТЯ ОН ИМЕЕТ ВСЕГО ДВА ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДА.
%%238

\ex[ь23] \exhead(юПТИМАЛЬНАЯ ОБМЕННАЯ СОРТИРОВКА.) ыЮБОЙ АЛГОРИТМ
ОБМЕННОЙ СОРТИРОВКИ В СМЫСЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ДАННОГО В П.~5.2.2, МОЖНО
ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ \dfn{ДЕРЕВА СРАВНЕНИЙ-ОБМЕНОВ,} А ИМЕННО В ВИДЕ
СТРУКТУРЫ БИНАРНОГО ДЕРЕВА, ВНУТРЕННИЕ УЗЛЫ КОТОРОГО ИМЕЮТ
ВИД~$\elnode{i:j}$, ГДЕ~$i<j$, И ИНТЕРПРЕТИРУЮТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
"ЕСЛИ~$K_i\le K_j$, ТО ПРОДВИНУТЬСЯ ПО ЛЕВОЙ ВЕТВИ ДЕРЕВА; ЕСЛИ~$K_i>K_j$,
ТО ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ ЗАПИСИ~$i$ И~$j$ И ПРОДВИНУТЬСЯ ПО ПРАВОЙ
ВЕТВИ ДЕРЕВА"   яО ДОСТИЖЕНИИ ВНЕШНЕГО УЗЛА ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНЯТЬСЯ
УСЛОВИЯ~$K_1\le K_2\le \ldots\le K_n$. ЄАКИМ ОБРАЗОМ, ДЕРЕВО
СРАВНЕНИЙ-ОБМЕНОВ ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ ДЕРЕВА СРАВНЕНИЙ ТЕМ, ЧТО ОНО ОПИСЫВАЕТ НЕ
ТОЛЬКО ОПЕРАЦИИ СРАВНЕНИЯ, НО И ОПЕРАЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ДАННЫХ.

юБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ~$S_e(n)$ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ-ОБМЕНОВ,
НЕОБХОДИМЫХ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ
ДЕРЕВА СРАВНЕНИЙ-ОБМЕНОВ. фОКАЖИТЕ, ЧТО~$S_e(n)\le S(n)+n-1$.

\ex[ь38] яРОДОЛЖЕНИЕ УПР.~30. фОКАЖИТЕ, ЧТО~$S_e(5)=8$.

\ex[ь42] яРОДОЛЖЕНИЕ УПР.~31. шССЛЕДУЙТЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ~$S_e(n)$ ПРИ
МАЛЫХ~$n>5$.

\ex[M30] (Є.~э.~їИББАРД.) \dfn{тЕЩЕСТВЕННОЗНАЧНЫМ ДЕРЕВОМ ПОИСКА}
ПОРЯДКА~$x$ С РАЗРЕШЕНИЕМ~$\delta$ НАЗЫВАЕТСЯ РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО,
КАЖДЫЙ УЗЕЛ КОТОРОГО СОДЕРЖИТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ,
ТАКОЕ, ЧТО (i)~ЗНАЧЕНИЕ В ЛЮБОМ ВНЕШНЕМ УЗЛЕ~$\le \delta$; (ii)~ЗНАЧЕНИЕ
В ЛЮБОМ ВНУТРЕННЕМ УЗЛЕ~$\le $ СУММЫ ЗНАЧЕНИЙ ДВУХ ЕГО СЫНОВЕЙ;
(iii)~ЗНАЧЕНИЕ В КОРНЕ РАВНО~$x$. \dfn{фЛИНА ВЗВЕШЕННОГО ПУТИ} ТАКОГО
ДЕРЕВА ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КАК СУММА ПО ВСЕМ ВНЕШНИМ УЗЛАМ НОМЕРОВ УРОВНЕЙ ЭТИХ
УЗЛОВ, УМНОЖЕННЫХ НА СОДЕРЖАЩИЕСЯ В НИХ ЗНАЧЕНИЯ.

фОКАЖИТЕ, ЧТО ВЕЩЕСТВЕННОЗНАЧНОЕ ДЕРЕВО ПОИСКА ПОРЯДКА~$x$ С
РАЗРЕШЕНИЕМ~1 ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ СРЕДИ ВСЕХ ТАКИХ ДЕРЕВЬЕВ ТОГО ЖЕ
ПОРЯДКА И С ТЕМ ЖЕ РАЗРЕШЕНИЕМ ДЛИНУ ВЗВЕШЕННОГО ПУТИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
 КОГДА В~(ii) ИМЕЕТ МЕСТО РАВЕНСТВО И ДЛЯ ВСЕХ ПАР ЗНАЧЕНИЙ~$x_0$ И~$x_1$,
ПРИНАДЛЕЖАЩИХ УЗЛАМ-БРАТЬЯМ, ВЫПОЛНЯЮТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ УСЛОВИЯ: (iv)~НЕ
СУЩЕСТВУЕТ ЦЕЛОГО ЧИСЛА~$k\ge 0$, ТАКОГО, ЧТО~$x_0<2^k<x_1$
ИЛИ~$x_1 < 2^k < x_0$; (v)~$\ceil{x_0}-x_0+\ceil{x_1}-x_1<1$.
(т ЧАСТНОСТИ, ЕСЛИ
$x$---ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, ТО ИЗ УСЛОВИЯ~(v) СЛЕДУЕТ, ЧТО ВСЕ ЗНАЧЕНИЯ В
ДЕРЕВЕ---ЦЕЛЫЕ, А УСЛОВИЕ~(iv) ЭКВИВАЛЕНТНО РЕЗУЛЬТАТУ УПР.~22.)

фОКАЖИТЕ ТАКЖЕ, ЧТО СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ДЛИНА ВЗВЕШЕННОГО ПУТИ
РАВНА~$x\ceil{\log_2 x}+\ceil{x}-2^{\ceil{\log_2 x}}$.

\ex[ь50] юПРЕДЕЛИТЕ ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ~$S(n)$ ДЛЯ
БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА АРГУМЕНТОВ~$n$.

\subsubchap{*ёЛИЯНИЕ С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ}%%5.3.2
ЁАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ ВОПРОС, ИМЕЮЩИЙ ОТНОШЕНИЕ К ПРЕДЫДУЩЕМУ ПУНКТУ: КАКОВ
НАИЛУЧШИЙ СПОСОБ СЛИЯНИЯ УПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА $m$~ЭЛЕМЕНТОВ С
УПОРЯДОЧЕННЫМ МНОЖЕСТВОМ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ? юБОЗНАЧИМ ЭЛЕМЕНТЫ СЛИВАЕМЫХ
МНОЖЕСТВ ЧЕРЕЗ
$$
\eqalignno{
A_1 &< A_2 < \ldots < A_m, \cr
B_1 &< B_2 < \ldots < B_n. & (1) \cr
}
$$
ъАК И В П.~5.3.1, БУДЕМ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО ВСЕ $m+n$~ЭЛЕМЕНТОВ РАЗЛИЧНЫ.
¤ЛЕМЕНТЫ~$A$ СРЕДИ ЭЛЕМЕНТОВ~$B$ МОГУТ РАСПОЛАГАТЬСЯ
$\perm{m+n}{m}$~СПОСОБАМИ; ТАКИМ ОБРАЗОМ, ИЗ РАССУЖДЕНИЯ, КОТОРЫМ МЫ %%239
ВОСПОЛЬЗОВАЛИСЬ В ЗАДАЧЕ О СОРТИРОВКЕ, СЛЕДУЕТ, ЧТО НЕОБХОДИМО ВЫПОЛНИТЬ
ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ
$$
\ceil{\log_2 \perm{m+n}{m}}
\eqno(2)
$$
СРАВНЕНИЙ. хСЛИ ПОЛОЖИТЬ~$m=\alpha n$ И УСТРЕМИТЬ~$n$ К~$\infty$,
ОСТАВИВ~$\alpha$ НЕИЗМЕННЫМ, ТО ПО ФОРМУЛЕ ёТИРЛИНГА
$$
\log_2 \perm{\alpha n+n}{\alpha n}= n \left((1+\alpha)\log_2 (1+\alpha)
-\alpha\log_2\alpha\right)-{1\over2}\log_2 n+O(1).
\eqno(3)
$$
юБЫЧНАЯ ПРОЦЕДУРА СЛИЯНИЯ (АЛГОРИТМ~5.2.4ь) ВЫПОЛНЯЕТ В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ $m+n-1$~СРАВНЕНИЙ.

юБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ~$M(m, n)$ ФУНКЦИЮ, АНАЛОГИЧНУЮ~$S(n)$, А ИМЕННО
МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ЗАВЕДОМО ДОСТАТОЧНОЕ ДЛЯ СЛИЯНИЯ
$m$~ЭЛЕМЕНТОВ С $n$~ЭЛЕМЕНТАМИ. шЗ ТОЛЬКО ЧТО СДЕЛАННОГО НАБЛЮДЕНИЯ
СЛЕДУЕТ, ЧТО
$$
\ceil{\log_2\perm{m+n}{m}}\le M(m,n)\le m+n-1  \rem{ПРИ ВСЕХ $m, n\ge1$.}
\eqno(4)
$$
ЇОРМУЛА~(3) ПОКАЗЫВАЕТ, НАСКОЛЬКО ДАЛЕКО МОГУТ ОТСТОЯТЬ ДРУГ ОТ ДРУГА
НИЖНЯЯ И ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКИ. яРИ~$\alpha=1$ (Т.~Е.~$m=n$)
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА РАВНА~$2n-{1\over 2}\log_2 n+O(1)$, ТАК ЧТО ОБЕ
ОЦЕНКИ---ВЕЛИЧИНЫ ОДНОГО ПОРЯДКА, НО РАЗНОСТЬ МЕЖДУ НИМИ МОЖЕТ БЫТЬ СКОЛЬ
УГОДНО ВЕЛИКА. яРИ~$\alpha=0.5$ $\left(\hbox{Т.~Е.~$m={1\over2}n$}\right)$
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА РАВНА
$$
{3\over2}n \left(\log_2 3 -{2\over3}\right)+O(\log n),
$$
ЧТО СОСТАВЛЯЕТ ПРИМЕРНО~$\log_2 3-{2\over3}\approx 0.918$ ОТ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ.
ё УБЫВАНИЕМ~$\alpha$ РАЗНИЦА МЕЖДУ ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ОЦЕНКАМИ
ВСЕ УВЕЛИЧИВАЕТСЯ, ПОСКОЛЬКУ СТАНДАРТНЫЙ АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ РАЗРАБОТАН
ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ ДЛЯ ФАЙЛОВ С~$m\approx n$.

яРИ~$m=n$ ЗАДАЧА О СЛИЯНИИ ИМЕЕТ ВЕСЬМА ПРОСТОЕ РЕШЕНИЕ;
НЕВЕРНОЙ ОКАЗЫВАЕТСЯ НЕ ВЕРХНЯЯ, А \emph{НИЖНЯЯ} ОЦЕНКА~(4). ёЛЕДУЮЩУЮ
ТЕОРЕМУ НЕЗАВИСИМО ДОКАЗАЛИ Ё.~ы.~уРЭХЕМ И~Ё.~ь.~ъАРП ПРИМЕРНО В 1968~Г.

\proclaim ЄЕОРЕМА~M. яРИ~$m\ge 1$ СПРАВЕДЛИВО РАВЕНСТВО~$M(m,m)=2m-1$.

\proof ЁАССМОТРИМ КАКОЙ-НИБУДЬ АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ ОСУЩЕСТВЛЯЕТ СЛИЯНИЕ
ЭЛЕМЕНТОВ~$A_1<\ldots<A_m$ С~$B_1<\ldots<B_m$. яРИ СРАВНЕНИИ
ЭЛЕМЕНТОВ~$A_i:B_j$ ВЫБЕРЕМ ВЕТВЬ~$A_i<B_j$, ЕСЛИ~$i<j$, И ВЕТВЬ~$A_i>B_j$,
 ЕСЛИ~$i\ge j$. ёЛИЯНИЕ ДОЛЖНО ЗАВЕРШИТЬСЯ
%%240
КОНФИГУРАЦИЕЙ
$$
B_1<A_1<B_2<A_2<\ldots<B_m<A_m,
\eqno(5)
$$
ПОСКОЛЬКУ ОНА СОГЛАСУЕТСЯ СО ВСЕМИ ВЫБРАННЫМИ ВЕТВЯМИ. ш КАЖДОЕ ИЗ
$2m-1$~СРАВНЕНИЙ $B_1:A_1$, $A_1:B_2$, $B_2:A_2$,~\dots, $B_m:A_m$ ДОЛЖНО
БЫТЬ ВЫПОЛНЕНО ЯВНО, ИНАЧЕ НАШЛИСЬ БЫ ПО МЕНЬШЕЙ МЕРЕ ДВЕ КОНФИГУРАЦИИ, НЕ
ПРОТИВОРЕЧАЩИЕ ИЗВЕСТНЫМ ФАКТАМ. хСЛИ БЫ МЫ, НАПРИМЕР, НЕ СРАВНИЛИ~$A_1$
С~$B_2$, ТО КОНФИГУРАЦИЯ
$$
B_1<B_2<A_1<A_2<\ldots<B_m<A_m
$$
БЫЛА БЫ НЕОТЛИЧИМА ОТ~(5).
\proofend

яРОСТАЯ МОДИФИКАЦИЯ ЭТОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ДАЕТ АНАЛОГИЧНУЮ ФОРМУЛУ
$$
M(m, m+1)=2m \rem{ПРИ $m\ge 0$.}
\eqno  (6)
$$

\section эАХОЖДЕНИЕ НИЖНИХ ОЦЕНОК. ЄЕОРЕМА~M ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО
"ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННАЯ" НИЖНЯЯ ОЦЕНКА~(2) МОЖЕТ СКОЛЬ УГОДНО ДАЛЕКО
ОТСТОЯТЬ ОТ ИСТИННОЙ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ; ТАКИМ ОБРАЗОМ, МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ТЕОРЕМЫ~M ДАЕТ НАМ ЕЩЕ ОДИН СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ НИЖНИХ ОЦЕНОК. ЄАКОЙ МЕТОД
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЧАСТО РАССМАТРИВАЕТСЯ КАК ПОРОЖДЕНИЕ \dfn{ДЬЯВОЛА,} НЕКОЕГО
ЗЛОГО ДУХА, КОТОРЫЙ ПЫТАЕТСЯ ПРИНУДИТЬ АЛГОРИТМ РАБОТАТЬ КАК МОЖНО
МЕДЛЕННЕЕ. ъОГДА АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ РЕШАЕТ СРАВНИТЬ ЭЛЕМЕНТЫ~$A_i:B_j$,
ДЬЯВОЛ ТАК ОПРЕДЕЛЯЕТ СУДЬБУ СРАВНЕНИЯ, ЧТО ВЫНУЖДАЕТ АЛГОРИТМ ИЗБРАТЬ
НАИБОЛЕЕ ТРУДНЫЙ ПУТЬ. хСЛИ БЫ МЫ СМОГЛИ ПРИДУМАТЬ ПОДХОДЯЩЕГО ДЬЯВОЛА, ТО
СМОГЛИ БЫ УБЕДИТЬСЯ В ТОМ, ЧТО ВСЯКИЙ ПРАВИЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ ДОЛЖЕН
ВЫПОЛНИТЬ ДОВОЛЬНО МНОГО СРАВНЕНИЙ. (эЕКОТОРЫЕ НАЗЫВАЮТ ЕГО НЕ ДЬЯВОЛОМ,
А "ОРАКУЛОМ" ИЛИ "ДЕМОНОМ"; ОДНАКО ЖЕЛАТЕЛЬНО ИЗБЕГАТЬ ТАКИХ ТЕРМИНОВ В
ЭТОМ КОНТЕКСТЕ, ПОСКОЛЬКУ СЛОВО "ОРАКУЛ" ИМЕЕТ СОВСЕМ ДРУГОЕ ЗНАЧЕНИЕ В
ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ, А СЛОВО "ДЕМОН" УПОТРЕБЛЯЕТСЯ В ДРУГОМ СМЫСЛЕ
В ТЕРМИНОЛОГИИ, СВЯЗАННОЙ С ИСКУССТВЕННЫМ ИНТЕЛЛЕКТОМ.)

ьЫ БУДЕМ ИСПОЛЬЗОВАТЬ \dfn{ДЬЯВОЛОВ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ,}
ПРОИЗВОЛ КОТОРЫХ ЛИМИТИРОВАН ЗАРАНЕЕ ЗАДАННЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ НЕКОТОРЫХ
СРАВНЕНИЙ. т МЕТОДЕ СЛИЯНИЯ, НАХОДЯЩЕМСЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ДЬЯВОЛА С
ОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ, ОГРАНИЧЕНИЯ СЧИТАЮТСЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ И ПОЭТОМУ
ВЫПОЛНЯЮТСЯ ВСЕ НЕОБХОДИМЫЕ СРАВНЕНИЯ ДАЖЕ В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ИХ
РЕЗУЛЬТАТЫ ПРЕДОПРЕДЕЛЕНЫ. эАПРИМЕР, В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ~M МЫ
ОГРАНИЧИЛИ ВСЕ РЕЗУЛЬТАТЫ СРАВНЕНИЙ УСЛОВИЕМ~(5), ТЕМ НЕ МЕНЕЕ В АЛГОРИТМЕ
СЛИЯНИЯ НЕЛЬЗЯ ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ЭТИМ ОБСТОЯТЕЛЬСТВОМ, ЧТОБЫ ИЗБЕЖАТЬ ХОТЯ
БЫ ОДНОГО СРАВНЕНИЯ.

юГРАНИЧЕНИЯ, КОТОРЫЕ МЫ БУДЕМ ИСПОЛЬЗОВАТЬ В СЛЕДУЮЩЕМ ОБСУЖДЕНИИ,
ОТНОСЯТСЯ К ЛЕВОМУ И ПРАВОМУ КОНЦАМ ФАЙЛОВ. ыЕВЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ОБОЗНАЧАЮТСЯ
СИМВОЛАМИ
%%241
{\narrower
\item{$\cdot$}~(НЕТ ОГРАНИЧЕНИЯ СЛЕВА),

\item{$\backslash$}~(РЕЗУЛЬТАТЫ ВСЕХ СРАВНЕНИЙ НЕ ДОЛЖНЫ ПРОТИВОРЕЧИТЬ
УСЛОВИЮ~$A_1< B_1$),

\item{$/$}~(РЕЗУЛЬТАТЫ ВСЕХ СРАВНЕНИЙ НЕ ДОЛЖНЫ ПРОТИВОРЕЧИТЬ УСЛОВИЮ~$A_1>B_1$).
\smallskip
}
\noindent яРАВЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ОБОЗНАЧАЮТСЯ СИМВОЛАМИ

{\narrower
\item{$\cdot$}~(НЕТ ОГРАНИЧЕНИЯ СПРАВА),

\item{$\backslash$}~(РЕЗУЛЬТАТЫ ВСЕХ СРАВНЕНИЙ НЕ ДОЛЖНЫ ПРОТИВОРЕЧИТЬ
УСЛОВИЮ~$A_m<B_n$),

\item{$/$}~(РЕЗУЛЬТАТЫ ВСЕХ СРАВНЕНИЙ НЕ ДОЛЖНЫ ПРОТИВОРЕЧИТЬ
УСЛОВИЮ~$A_m>B_n$).
\medskip
}

\noindent ёУЩЕСТВУЕТ ДЕВЯТЬ ТИПОВ ДЬЯВОЛОВ, ОБОЗНАЧАЕМЫХ
СИМВОЛАМИ~$\nabla M\phi$, ГДЕ~$\nabla$---ЛЕВОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ, А~$\phi$---ПРАВОЕ.
эАПРИМЕР, ДЬЯВОЛ~"$\backslash M \backslash$" ДОЛЖЕН ГОВОРИТЬ,
ЧТО~$A_1<B_j$ И~$A_i<B_n$; ДЬЯВОЛ~"$.M.$" НЕ ПОДЧИНЯЕТСЯ НИКАКИМ
ОГРАНИЧЕНИЯМ. яРИ НЕКОТОРЫХ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ~$m$ И~$n$ ДЬЯВОЛЫ С
ОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ МОГУТ НЕ СУЩЕСТВОВАТЬ;
ПРИ~$m=1$, ОЧЕВИДНО, НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ДЬЯВОЛА~"$\backslash M /$".

чАЙМЕМСЯ ТЕПЕРЬ ПОСТРОЕНИЕМ ВЕСЬМА СЛОЖНОГО, НО ЧРЕЗВЫЧАЙНО КОВАРНОГО
ДЬЯВОЛА ДЛЯ СЛИЯНИЙ. юН НЕ ВСЕГДА ПОРОЖДАЕТ ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, НО
ДАЕТ НИЖНИЕ ОЦЕНКИ, КОТОРЫЕ ОХВАТЫВАЮТ МНОЖЕСТВО ИНТЕРЕСНЫХ СЛУЧАЕВ.
яРЕДПОЛОЖИМ, ЗАДАНЫ~$m$ И~$n$, А ТАКЖЕ ЛЕВЫЕ И ПРАВЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ~$\nabla$
И~$\phi$, И ПУСТЬ ДЬЯВОЛА СПРАШИВАЮТ, КОТОРЫЙ ИЗ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ~$A_i$
И~$B_j$ БОЛЬШЕ. фЬЯВОЛ МОЖЕТ, ВООБЩЕ ГОВОРЯ, ПРИМЕНИТЬ ШЕСТЬ СТРАТЕГИЙ
СВЕДЕНИЯ ЗАДАЧИ К СЛУЧАЮ МЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ~$m+n$:

{\medskip\narrower
{\sl ёТРАТЕГИЯ~$A(k, l)$ ДЛЯ~$i\le k \le m$ И~$1\le l \le j$.\/} юТВЕТИТЬ,
ЧТО~$A_i<B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_{l-1}}$
И~$\set{A_{k+1},~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$. ЄОГДА
ПОСЛЕДУЮЩИЕ СРАВНЕНИЯ~$A_p:B_q$ ДАДУТ РЕЗУЛЬТАТЫ: $A_p<B_q$, ЕСЛИ~$p\le k$
И~$q\ge l$, И~$A_p>B_q$, ЕСЛИ~$p>k$ И~$q<l$; ОНИ БУДУТ УПРАВЛЯТЬСЯ
ДЬЯВОЛОМ~$(k, l-1, \nabla, .)$, ЕСЛИ~$p\le k$ И~$q<l$, И
ДЬЯВОЛОМ~$(m-k, n+1-l,., \phi)$, ЕСЛИ~$p>k$ И~$q\ge l$.

{\sl ёТРАТЕГИЯ~$B(k, l)$ ДЛЯ~$i\le k \le m$ И~$1\le l < j$\/}. юТВЕТИТЬ,
ЧТО~$A_i<B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
И~$\set{A_{k+1},~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$ ПРИ
УСЛОВИИ~$A_k<B_l<A_{k+1}$. (чАМЕТИМ, ЧТО~$B_l$ УЧАСТВУЕТ В ОБОИХ СПИСКАХ,
ПОДЛЕЖАЩИХ СЛИЯНИЮ. єСЛОВИЕ~$A_k<B_l<A_{k+1}$ ОБЕСПЕЧИВАЕТ ТАКОЕ ПОЛОЖЕНИЕ,
 ПРИ КОТОРОМ СЛИЯНИЕ ОДНОЙ ПАРЫ ФАЙЛОВ НЕ МОЖЕТ ДАТЬ НИКАКОЙ ИНФОРМАЦИИ,
КОТОРАЯ БЫ ПОМОГЛА ПРИ СЛИЯНИИ ДРУГОЙ ПАРЫ.) ЄОГДА ПОСЛЕДУЮЩИЕ
СРАВНЕНИЯ~$A_p:B_q$ ДАДУТ РЕЗУЛЬТАТЫ: $A_p<B_q$,
ЕСЛИ~$p\le k$
%%242
И~$q\ge l$, И~$A_p>B_q$, ЕСЛИ~$p>k$ И~$q\le l$; ОНИ БУДУТ
УПРАВЛЯТЬСЯ ДЬЯВОЛОМ~$(k, l, \nabla, \backslash)$, ЕСЛИ~$p\le k$ И~$q\le
l$, И
ДЬЯВОЛОМ~$(m-k, n+1-l, /, \phi)$, ЕСЛИ~$p>k$ И~$q\le l$.

{\sl ёТРАТЕГИЯ~$C(k, l)$ ДЛЯ~$i<k\le m$ И~$1\le l \le j$.\/} юТВЕТИТЬ,
ЧТО~$A_i<B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_{l-1}}$
И~$\set{A_k,~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$ ПРИ
УСЛОВИИ~$B_{l-1}<A_k<B_l$. (рНАЛОГИЧНО СТРАТЕГИИ~B, НО ФАЙЛЫ~$A$ И~$B$
МЕНЯЮТСЯ РОЛЯМИ.)

{\sl ёТРАТЕГИЯ~$A'(k, l)$ ДЛЯ~$1\le k \le i$ И~$j\le l \le n$.\/} юТВЕТИТЬ,
 ЧТО~$A_i>B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_{k-1}}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
И~$\set{A_k,~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_{l+1},~\ldots, B_n}$.
(рНАЛОГИЧНО СТРАТЕГИИ~A.)

{\sl ёТРАТЕГИЯ~$B'(k, l)$ ДЛЯ~$1\le k \le i$ И~$j<l\le n$.\/} юТВЕТИТЬ,
ЧТО~$A_i>B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_{k-1}}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
И~$\set{A_k,~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$ ПРИ
УСЛОВИИ~$A_{k-1}<B_l<A_k$. (рНАЛОГИЧНО СТРАТЕГИИ~B.)

{\sl ёТРАТЕГИЯ~$C'(k, l)$ ДЛЯ~$1\le k \le i$ И~$j\le l \le n$.\/} юТВЕТИТЬ,
 ЧТО~$A_i>B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
И~$\set{A_k, ~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_{l+1},~\ldots, B_n}$ ПРИ
УСЛОВИИ~$B_l<A_k<B_{l+1}$. (рНАЛОГИЧНО СТРАТЕГИИ~C.)
\medskip}

шЗ-ЗА НАЛАГАЕМЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ ПРИВЕДЕННЫЕ ВЫШЕ СТРАТЕГИИ НЕ МОГУТ
ПРИМЕНЯТЬСЯ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ, КОТОРЫЕ МЫ ЗДЕСЬ ПРИВОДИМ:
\ctable{
\bskip\hfill$#$\hfill\bskip&\bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr
\hbox{ёТРАТЕГИЯ} & \hbox{эЕ ДОЛЖНА ПРИМЕНЯТЬСЯ, ЕСЛИ}\cr
A(k, 1), B(k, 1), C(k, 1) &     \nabla=/ \cr
A'(1,l), B'(1,l), C'(1,l) &  \nabla=\backslash \cr
A(m, l), B(m, l), C(m, l) &\phi=/ \cr
A'(k, n), B'(k, n), C'(k, n) & \phi= \backslash \cr
}

юБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ~$\nabla M \phi(m, n)$ МАКСИМАЛЬНУЮ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ, КОТОРУЮ
МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ПРИ ПОМОЩИ ДЬЯВОЛА ИЗ ОПИСАННОГО ВЫШЕ КЛАССА. хСЛИ ПЕРВОЕ
СРАВНЕНИЕ ЕСТЬ~$A_i:B_j$, ТО КАЖДАЯ  СТРАТЕГИЯ, ЕСЛИ ОНА ПРИМЕНИМА, ДАЕТ
НЕРАВЕНСТВА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ
%%243
ЭТИ ДЕВЯТЬ ФУНКЦИЙ, А ИМЕННО
$$
\eqalign{
A(k, l): & \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M.(k, l-1) +.M\phi(m-k, n+1-l);\cr
B(k, l): & \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M\backslash(k, l)+/M\phi(m-k, n+1-l);\cr
C(k, l): & \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M/(k,l-1)+\backslash M\phi(m+1-k, n+1-l);\cr
A'(k, l):& \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M.(k-1, l)+.M\phi(m+1-k, n-l);\cr
B'(k, l):& \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M\backslash(k-1, l)+/M\phi(m+1-k,n+1-l);\cr
C'(k, l):& \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M/(k, l)+\backslash M\phi(m+1-k, n-l).\cr
}
$$
яРИ ФИКСИРОВАННЫХ~$i$ И~$j$ ДЬЯВОЛ ПРИМЕТ ТУ СТРАТЕГИЮ,
КОТОРАЯ МАКСИМИЗИРУЕТ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ, ЗАДАВАЕМУЮ ПРАВЫМИ
ЧАСТЯМИ НЕРАВЕНСТВ; ТАКИМ ОБРАЗОМ, $\nabla M_\phi(m, n)$~ЕСТЬ МИНИМУМ ЭТИХ
НИЖНИХ ОЦЕНОК ПО ВСЕМ~$1\le i\le m$ И~$1\le j \le n$. хСЛИ~$m$ ИЛИ~$n$
РАВНЫ НУЛЮ, ТО И ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ~$\nabla M_\phi(m, n)$ РАВНО~0.

яУСТЬ, НАПРИМЕР, $m=2$ И~$n=3$, А НАШ ДЬЯВОЛ НЕ ОГРАНИЧЕН. хСЛИ ПЕРВЫМ
ВЫПОЛНЯЕТСЯ СРАВНЕНИЕ~$A_1:B_1$, ТО ДЬЯВОЛ МОЖЕТ ПРИНЯТЬ СТРАТЕГИЮ~$A'(1,
1)$, В РЕЗУЛЬТАТЕ ЧЕГО ПОТРЕБУЮТСЯ ЕЩЕ $.M.(0, 1)+.M.(2, 2)=3$~СРАВНЕНИЯ.
хСЛИ ПЕРВЫМ ВЫПОЛНЯЕТСЯ СРАВНЕНИЕ~$A_1:B_3$, ТО ОН МОЖЕТ ВЫБРАТЬ
СТРАТЕГИЮ~$B(1, 2)$, ТОГДА ПОТРЕБУЮТСЯ ЕЩЕ~$.M\backslash(1, 2)+/M.(1,
2)=4$~СРАВНЕНИЯ. эЕЗАВИСИМО ОТ ТОГО, КАКОВО БЫЛО ПЕРВОЕ СРАВНЕНИЕ,
ДЬЯВОЛ ГАРАНТИРУЕТ ВЫПОЛНЕНИЕ ЕЩЕ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ 3~СРАВНЕНИЙ.
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, $.M.(2, 3)=4$.

эЕ ТАК ПРОСТО ВЫПОЛНИТЬ ЭТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВРУЧНУЮ, НО ПРИ ПОМОЩИ ¤ть МОЖНО
ДОВОЛЬНО БЫСТРО ПОЛУЧИТЬ ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ~$\nabla M\phi$. ¤ТИ ФУНКЦИИ
ОБЛАДАЮТ НЕКОТОРЫМИ ОЧЕВИДНЫМИ СВОЙСТВАМИ СИММЕТРИИ
$$
/M.(m, n)=.M\backslash(m, n)=\backslash M.(n, m)=.M/(n, m),
\eqno (7)
$$
ПОЗВОЛЯЮЩИМИ СВЕСТИ НАШИ ДЕВЯТЬ ФУНКЦИЙ ВСЕГО ЛИШЬ К ЧЕТЫРЕМ:
$$
.M.(m, n), \quad  /M.(m, n), \quad  /M\backslash (m, n)\hbox{ И }/M/(m, n).
$$
т ТАБЛ.~1 ПРИВЕДЕНЫ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ВСЕХ~$m, n \le 10$. эАШ ДЬЯВОЛ ДЛЯ
СЛИЯНИЙ ОПРЕДЕЛЕН ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТО
$$
.M.(m, n)\le M(m, n)\rem{ ПРИ ВСЕХ $m, n\ge 0$.}
\eqno  (8)
$$
¤ТО СООТНОШЕНИЕ СОДЕРЖИТ В КАЧЕСТВЕ ЧАСТНОГО СЛУЧАЯ ТЕОРЕМУ~M, ПОСКОЛЬКУ
ПРИ~$\abs{m-n}\le 1$ НАШ ДЬЯВОЛ ИЗБЕРЕТ ПРОСТУЮ СТРАТЕГИЮ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ.

%%244
\htable{ЄАБЛИЦА 1}%
{эИЖНИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛИЯНИЙ, ВЫПОЛНЕННЫХ ПРИ УЧАСТИИ "ДЬЯВОЛА"}
{\strut\hfill$#$&&\bskip\hfill$#$\bskip\cr
  &\multispan{10}\hfill$.M.(m,n)$\hfill     &   & \multispan{10}\hfill$/M.(m,n)$\hfill\cr
  & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\cr
\noalign{\hrule}
 1& 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 1\cr
 2& 2 & 3 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 7 & 7 & & 1 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6 & 7 & 7 & 2\cr
 3& 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & & 1 & 3 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & 3\cr
 4& 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &10 &11 &11 & & 1 & 4 & 5 & 7 & 8 & 9 & 9 &10 &10 &11 & 4\cr
 5& 3 & 5 & 7 & 8 & 9 &10 &11 &12 &12 &13 & & 1 & 4 & 6 & 8 & 9 &10 &11 &12 &12 &13 & 5\cr
 6& 3 & 6 & 7 & 9 &10 &11 &12 &13 &14 &15 & & 1 & 4 & 6 & 8 &10 &11 &12 &13 &14 &14 & 6\cr
 7& 3 & 6 & 8 &10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 & & 1 & 4 & 7 & 9 &10 &12 &13 &14 &15 &16 & 7\cr
 8& 4 & 6 & 8 &10 &12 &13 &14 &15 &16 &17 & & 1 & 5 & 7 & 9 &11 &13 &14 &15 &16 &17 & 8\cr
 9& 4 & 7 & 9 &11 &12 &14 &15 &16 &17 &18 & & 1 & 5 & 8 &10 &11 &13 &15 &16 &17 &18 & 9\cr
10& 4 & 7 & 9 &11 &13 &15 &16 &17 &18 &19 & & 1 & 5 & 8 &10 &12 &14 &15 &17 &18 &19 &10\cr
\noalign{\smallskip}
m &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &m \cr
\noalign{\smallskip}
&\multispan{10}\hfill$/M\backslash(m,n)$\hfill& &\multispan{10}\hfill$/M/(m,n)$\hfill\cr
 1&-\infty& 2& 2& 3& 3& 3& 3& 4& 4& 4& & 1 & 1 & 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\cr
 2&-\infty& 2& 4& 4& 5& 5& 6& 6& 7& 7& & 1 & 3 & 3& 4& 4& 4& 4& 5& 5  5& 2\cr
 3&-\infty& 2& 4& 6& 6& 7& 8& 8& 8& 9& & 1 & 3 & 5& 5& 6& 6& 7& 7& 8& 8& 3\cr
 4&-\infty& 2& 5& 6& 8& 8& 9&10&10&11& & 1 & 4 & 5& 7& 7& 8& 9& 9& 9&10& 4\cr
 5&-\infty& 2& 5& 7& 8&10&10&11&12&13& & 1 & 4 & 6& 7& 9& 9&10&11&11&12& 5\cr
 6&-\infty& 2& 5& 7& 9&10&12&13&14&14& & 1 & 4 & 6& 8& 9&11&11&12&13&14& 6\cr
 7&-\infty& 2& 5& 8&10&11&12&14&15&16& & 1 & 4 & 7& 9&10&11&13&14&15&15& 7\cr
 8&-\infty& 2& 6& 8&10&12&13&15&16&17& & 1 & 5 & 7& 9&11&12&14&15&16&17& 8\cr
 9&-\infty& 2& 6& 9&10&12&14&16&17&18& & 1 & 5 & 8& 9&11&13&15&16&17&18& 9\cr
10&-\infty& 2& 6& 9&11&13&15&16&18&19& & 1 & 5 & 8&10&12&14&15&17&18&19&10\cr
\noalign{\hrule}
  &      1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9&10&n& 1 & 2 & 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9&10\cr
}

ЁАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ НЕСКОЛЬКО ПРОСТЫХ СООТНОШЕНИЙ, КОТОРЫМ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ФУНКЦИЯ~$M$:
$$
\eqalignno{
M(m, n) &=   M(n,m), &  (9)\cr
M(m, n) &\le M(m, n+1),& (10)\cr
M(k+m,n)&\le M(k,n)+M(m, n), & (11)\cr
M(m, n) &\le \max(M(m,n-1)+1, M(m-1, n)+1),& (12)\cr
M(m, ni)&\le \max(M(m, n-2)+1, M(m-1, n)+2) \rem{ПРИ $m\ge1$, $n\le2$.} & (13)\cr
}
$$
ёООТНОШЕНИЕ~(12) СЛЕДУЕТ ИЗ ОБЫЧНОЙ ПРОЦЕДУРЫ СЛИЯНИЯ, ЕСЛИ НАЧАТЬ СО
СРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ~$A_1:B_1$. ёООТНОШЕНИЕ~(13) ВЫВОДИТСЯ АНАЛОГИЧНО,
ТОЛЬКО В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ СРАВНИВАЮТСЯ~$A_1:B_2$; ЕСЛИ~$A_1>B_2$, ТО НУЖНО
ЕЩЕ $M(m, n-2)$~СРАВНЕНИЙ, ЕСЛИ ЖЕ~$A_1<B_2$, ТО МОЖНО ВСТАВИТЬ~$A_1$ В
СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МЕСТО И
СЛИТЬ~$\set{A_2,~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_n}$. эЕТРУДНО ВИДЕТЬ,
 ЧТО НЕРАВЕНСТВА ~(12) И~(13) МОЖНО ОБОБЩИТЬ:
$$
M(m,n)\le\max(M(m,n-k)+1,\quad M(m-1, n)+1+\ceil{\log_2 k})
\rem{ПРИ $m\ge 1$, $n\ge k$,}
\eqno(14)
$$
%% 245
ВЫПОЛНИВ СНАЧАЛА СРАВНЕНИЕ~$A_1:B_k$, И ПРИМЕНИВ БИНАРНЫЙ ПОИСК В
СЛУЧАЕ~$A_1<B_k$.

юКАЗЫВАЕТСЯ, $M(m, n)=.M.(m, n)$ ПРИ ВСЕХ~$m, n \le 10$, ТАК ЧТО В ТАБЛ.~1
В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ПРИВЕДЕНЫ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ СЛИЯНИЙ. ¤ТО МОЖНО
ДОКАЗАТЬ, ПРИМЕНЯЯ СООТНОШЕНИЯ~(9)--(14), А ТАКЖЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
ДЛЯ~$(m, n)= (2, 8)$, $(3, 6)$ И~$(5, 9)$, КОТОРЫЕ ПРИВОДЯТСЯ В УПР.~8, 9 И~10.

ё ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ТАКОЙ ДЬЯВОЛ НЕ ВСЕГДА ДАЕТ НАИЛУЧШУЮ ВОЗМОЖНУЮ НИЖНЮЮ
ОЦЕНКУ; ПРОСТЕЙШИЙ ПРИМЕР: $m=3$, $n=11$, КОГДА~$.M.(3, 11)=9$,
А~$M(3, 11)=10$. ўТОБЫ ПОНЯТЬ, ГДЕ ЖЕ В ЭТОМ СЛУЧАЕ НАШ ДЬЯВОЛ "ПРОМАХНУЛСЯ",
НУЖНО ИЗУЧИТЬ МОТИВЫ, НА КОТОРЫХ ОСНОВАНЫ ЕГО РЕШЕНИЯ; ПРИ ДАЛЬНЕЙШЕМ
ТЩАТЕЛЬНОМ ИССЛЕДОВАНИИ ОБНАРУЖИВАЕТСЯ, ЧТО ЕСЛИ~$(i, j)\ne (2, 6)$, ТО
ДЬЯВОЛ МОЖЕТ ОТЫСКАТЬ СТРАТЕГИИ, ТРЕБУЮЩИЕ 10~СРАВНЕНИЙ;
ЕСЛИ ЖЕ~$(i, j)=(2, 6)$, ТО НИ ОДНА СТРАТЕГИЯ НЕ
ПРЕВОСХОДИТ СТРАТЕГИИ~$A(2, 4)$, КОТОРАЯ  ПРИВОДИТ К НИЖНЕЙ
ОЦЕНКЕ~$1+.M.(2, 3)+.M.(1, 8)=9$. эЕОБХОДИМО, НО НЕ ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ
ПРОЦЕСС ЗАКАНЧИВАЛСЯ СЛИЯНИЕМ~$\set{A_1, A_2}$
С~$\set{B_1, B_2, B_3}$ И~$\set{A_3}$ С~$\set{B_4,~\ldots, B_{11}}$; ТАКИМ
ОБРАЗОМ, НИЖНЯЯ ОЦЕНКА В ЭТОМ СЛУЧАЕ ОКАЗЫВАЕТСЯ НЕ ТОЧНОЙ.

рНАЛОГИЧНО МОЖНО ПОКАЗАТЬ, ЧТО~$.M.(2, 38)=10$, В ТО ВРЕМЯ КАК~$M(2, 38)=11$;
ЗНАЧИТ, НАШ ДЬЯВОЛ НЕ ДОСТАТОЧНО ИСКУСЕН, ЧТОБЫ СПРАВИТЬСЯ СО
СЛУЧАЕМ~$m=2$. юДНАКО СУЩЕСТВУЕТ БЕСКОНЕЧНЫЙ КЛАСС ЗНАЧЕНИЙ, ДЛЯ КОТОРЫХ
ОН РАБОТАЕТ БЕЗУПРЕЧНО.

\proclaim ЄЕОРЕМА~K.
$$
\eqalign{
M(m, m+2)&=2m+1  \rem{ПРИ $m\ge2$,}\cr
M(m, m+3)&=2m+2  \rem{ПРИ $m\ge4$,}\cr
M(m, m+4)&=2m+3 \rem{ПРИ $m\ge6$.}\cr
}
$$

\proof эА САМОМ ДЕЛЕ МЫ МОЖЕМ ДОКАЗЫВАТЬ ЭТИ СООТНОШЕНИЯ, ЗАМЕНИВ~$M$
НА~$.M.$; ПРИ МАЛЫХ ОТ ЭТИ РЕЗУЛЬТАТЫ БЫЛИ ПОЛУЧЕНЫ С ПОМОЩЬЮ ¤ть, ПОЭТОМУ
МОЖНО ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО~$m$ ДОСТАТОЧНО ВЕЛИКО. ьОЖНО ТАКЖЕ СЧИТАТЬ, ЧТО
ПЕРВОЕ СРАВНЕНИЕ ЕСТЬ~$A_i:B_j$, ГДЕ~$i\le \ceil{m/2}$. хСЛИ~$j\le i$, ТО
ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СТРАТЕГИЕЙ~$A'(i,i)$; ТОГДА ПОЛУЧИМ
$$
.M.(m, m+d)\ge1+.M.(i-1, i)+.M.(m+1-i, m+d-i)=2m+d-1,
$$
ПРИМЕНИВ ИНДУКЦИЮ ПО~$d$, $d\le 4$. хСЛИ~$j>i$, ТО
ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СТРАТЕГИЕЙ~$A(i, i+1)$; ПРИМЕНИВ ИНДУКЦИЮ ПО~$m$, ПОЛУЧИМ
$$
.M.(m,m+d)\ge 1+.M.(i, i)+.M.(m-i, m+d-i)=2m+d-1.
$$
\proofend % КОНЦЕВОЙ МАРКЕР НЕ НА МЕСТЕ

яЕРВЫЕ ДВА УТВЕРЖДЕНИЯ ТЕОРЕМЫ~K ПОЛУЧИЛИ Ї.~їУАН И~°.~ыИНЬ В~1969~Г. ¤ТО
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДАЕТ ОСНОВАНИЯ ПРЕДПОЛОЖИТЬ,
%%246
ЧТО $M(m, m+d)=2m+d-1$ ПРИ ВСЕХ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИХ~$m$, ГДЕ~$d$
ФИКСИРОВАНО. (ёР.~С~УПР.~6.)

\section тЕРХНИЕ ОЦЕНКИ. ЁАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ \emph{ВЕРХНИЕ} ОЦЕНКИ
ФУНКЦИИ~$M(m, n)$; ХОРОШИЕ ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ СООТВЕТСТВУЮТ
ЭФФЕКТИВНЫМ АЛГОРИТМАМ СЛИЯНИЯ.

яРИ~$m=1$ ЗАДАЧА СЛИЯНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНА ЗАДАЧЕ ВСТАВКИ, КОГДА ИМЕЕТСЯ
$n+1$~МЕСТ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ~$B_1$,~\dots,$B_n$, КУДА МОЖЕТ ПОПАСТЬ
ЭЛЕМЕНТ~$A_1$. т ЭТОМ СЛУЧАЕ НЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЧТО \emph{ЛЮБОЕ} РАСШИРЕННОЕ
БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С $n+1$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ ЕСТЬ ДЕРЕВО ДЛЯ НЕКОТОРОГО МЕТОДА
СЛИЯНИЯ! (ёМ.~УПР.~2.) ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, МОЖНО ВЫБРАТЬ ОПТИМАЛЬНОЕ БИНАРНОЕ
ДЕРЕВО, РЕАЛИЗОВАВ ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННУЮ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ
$$
1+\floor{\log_2 n}=M(1, n)=\ceil{\log_2(n+1)}.
\eqno(15)
$$
ЁАЗУМЕЕТСЯ, БИНАРНЫЙ ПОИСК~(П.~6.2.1)---ПРОСТЕЙШИЙ СПОСОБ. ПОЗВОЛЯЮЩИЙ
ДОСТИЧЬ ЭТОГО ЗНАЧЕНИЯ.

ёЛУЧАЙ~$m=2$ ЧРЕЗВЫЧАЙНО ИНТЕРЕСЕН, НО ОН ГОРАЗДО СЛОЖНЕЕ. хГО ПОЛНОСТЬЮ
ИССЛЕДОВАЛИ Ё.~ы.~уРЭХЕМ, Ї.~ъ.~їУАН И~°.~ыИНЬ (СМ.~УПР.~11, 12, 13); ИМЕЕМ
$$
M(2, n)=\ceil{\log_2{7\over12}(n+1)}+\ceil{\log_2{14\over17}(n+1)}.
\eqno(16)
$$

ьЫ ВИДЕЛИ, ЧТО ПРИ~$m=n$ ОПТИМАЛЬНА ОБЫЧНАЯ ПРОЦЕДУРА СЛИЯНИЯ, А ПРИ~$m=1$
ОПТИМАЛЬНА ДОВОЛЬНО СИЛЬНО ОТЛИЧАЮЩАЯСЯ ОТ НЕЕ ПРОЦЕДУРА БИНАРНОГО ПОИСКА.
эАМ ЖЕ НУЖЕН НЕКОТОРЫЙ ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ МЕТОД, ОБоЕДИНЯЮЩИЙ В СЕБЕ ЛУЧШИЕ
ЧЕРТЫ АЛГОРИТМОВ ОБЫЧНОГО СЛИЯНИЯ И БИНАРНОГО ПОИСКА. ЇОРМУЛА~(14) НАВОДИТ
НА МЫСЛЬ О СЛЕДУЮЩЕМ АЛГОРИТМЕ, КОТОРЫМ МЫ ОБЯЗАНЫ Ї.~ъ.~їУАНУ И~°.~ыИНЮ
[{\sl SIAM J.~Computing,\/} {\bf 1} (1972), 31--39].

\alg э.(сИНАРНОЕ СЛИЯНИЕ.)
\st хСЛИ~$m$ ИЛИ~$n$ РАВНО~0, ТО ОСТАНОВИТЬСЯ.

хСЛИ~$m\le n$, ТО УСТАНОВИТЬ~$t\asg\floor{\log_2 (n/m)}$.

хСЛИ~$m>n$, УСТАНОВИТЬ~$t\asg\floor{\log_2 (m/n)}$ И ПЕРЕЙТИ К~\stp{4}.

\st ёРАВНИТЬ~$A_m:B_{n+1-2^t}$. хСЛИ $A_m$~МЕНЬШЕ, ТО УСТАНОВИТЬ~$n\asg
n-2^t$ И ВОЗВРАТИТЬСЯ К ШАГУ~\stp{1}.

\st тОСПОЛЬЗОВАВШИСЬ МЕТОДОМ БИНАРНОГО ПОИСКА (КОТОРЫЙ ТРЕБУЕТ ЕЩЕ РОВНО
$t$~СРАВНЕНИЙ), ВСТАВИТЬ~$A_m$ В СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МЕСТО
СРЕДИ~$\set{B_{n+1-2^t},~\ldots, B_n}$.  хСЛИ~$k$---МАКСИМАЛЬНЫЙ ИНДЕКС,
ТАКОЙ, ЧТО~$B_k<A_m$, ТО УСТАНОВИТЬ~$m\asg m-1$ И~$n\asg k$. тОЗВРАТИТЬСЯ
К~\stp{1}.

\st (°АГИ~\stp{4} И~\stp{5} ПОДОБНЫ ШАГАМ~\stp{2} И~\stp{3}, НО
ПЕРЕМЕННЫЕ~$m$, $n$, $A$, $B$ МЕНЯЮТСЯ РОЛЯМИ.).
хСЛИ~$B_n<A_{m+1-2^t}$, ТО УСТАНОВИТЬ~$m\asg m-2^t$ И ВОЗВРАТИТЬСЯ К
ШАГУ~\stp{1}.

%%247
\st тСТАВИТЬ~$B_n$ В СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МЕСТО СРЕДИ
ЭЛЕМЕНТОВ~$A$. хСЛИ~$k$---МАКСИМАЛЬНЫЙ ИНДЕКС, ТАКОЙ, ЧТО~$A_k<B_n$, ТО
УСТАНОВИТЬ~$m\asg k$ И~$n\asg n-1$. тОЗВРАТИТЬСЯ К ШАГУ~\stp{1}.
\algend

т КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА РАБОТЫ ЭТОГО АЛГОРИТМА В ТАБЛ.~2 ПОКАЗАН ПРОЦЕСС,
СЛИЯНИЯ ТРЕХ КЛЮЧЕЙ~$\set{087, 503, 512}$ С ТРИНАДЦАТЬЮ КЛЮЧАМИ~$\set{061,
154,~\ldots, 908}$; В ЭТОМ ПРИМЕРЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ВОСЕМЬ СРАВНЕНИЙ.

{\catcode`\[=\active\def[{\hbox to 0pt{\hss$\{$}}
\catcode`\]=\active\def]{\hbox to 0pt{$\}$\hss}}
\catcode`\!=\active\def!#1 {\bf#1}
\htable{ЄАБЛИЦА~2}%
{яРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ}%
{$\scriptstyle\phantom{\{}#\phantom{\}}$\bskip&&$\scriptstyle\phantom{\{}#\phantom{\}}$\bskip\cr
\multispan{9}\hbox{р (СРАВНИВАЮТСЯ ВЫДЕЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ)} &\omit\span\hfill\hbox{т}\hfill &\multispan{8}\hfill\hbox{тЫВОД}\cr
[087   & 503   & !512 ]&[061 & 154 & 170 & 275 & 426 & 509 & 612 &  653 & 677 &!703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & 603   & !512 ]&[061 & 151 & 170 & 275 & 426 & 509 & 612 & !653 & 677]&     &     &     & [703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & 503   & !512 ]&[061 & 154 & 170 & 275 & 426 &!509 & 612]&    &     &     &[653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & 503   & !512 ]&[061 & 154 & 170 & 275 & 426 & 509 &!612 ]&    &     &[653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & !503]&       &[061 & 154 & 170 & 275 & !426 & 509]&     &    &[512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & !503]&       &[061 & 154 & 170 & 275 & 426 & !509 ]&     &    &[512 & 612 & 653 & 677 & 793 & 765 & 897 & 908]\cr
[!087 ]&       &       &[061 & !154 & 170 & 275 & 426]&     &[503 & 509 & 512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[!087 ]&       &       &[!061 ]&     &[154 & 170 & 275 & 426 & 503 & 509 & 512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
       &       &       &[061 & 087 & 154 & 170 & 275 & 426 & 503 & 509 & 512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
}
}

яУСТЬ~$H(m,n)$---МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ АЛГОРИТМОМ їУАНА
И~ыИНЯ. ўТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ~$H(m, n)$, МОЖНО ПРЕДПОЛОЖИТЬ, ЧТО~$k=n$ В ШАГЕ~H3
И~$k=m$ В ШАГЕ~H5, ПОСКОЛЬКУ ПРИ ПОМОЩИ ИНДУКЦИИ ПО~$n$ НЕТРУДНО
ДОКАЗАТЬ,
ЧТО~$H(m, n)\le H(m, n+1)$ ПРИ ВСЕХ~$n\ge m$. ЄАКИМ ОБРАЗОМ, ПРИ~$m\le n$ ИМЕЕМ
$$
H(m, n)=\max(H(m,n-2^t)+1,  H(m-1, n)+t+1) \rem{ПРИ~$2^t m \le n < 2^{t+1}m$.}
\eqno  (17)
$$
чАМЕНИМ~$n$ НА~$2n+\varepsilon$ ($\varepsilon=0$ ИЛИ~1) И ПОЛУЧИМ
$$
H(m, 2n+\varepsilon)=
 \max(H(m, 2n+\varepsilon-2^{t+1})+1, H(m-1, 2n+\varepsilon)+t+2)
\rem{ПРИ~$2^t m \le n < 2^{t+1} m$.}
$$
юТСЮДА ВЫТЕКАЕТ, ЕСЛИ ПРИМЕНИТЬ ИНДУКЦИЮ ПО~$n$, ЧТО
$$
H(m, 2n+\varepsilon)=H(m, n)+m \rem{ПРИ~$m\le n$,  $\varepsilon=0$ ИЛИ~1.}
\eqno (18)
$$
ыЕГКО ВИДЕТЬ ТАКЖЕ, ЧТО~$H(m, n)=m+n-1$, ЕСЛИ~$m\le n < 2m$. ёЛЕДОВАТЕЛЬНО,
 МНОГОКРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ~(18) ДАСТ НАМ ОБЩУЮ ФОРМУЛУ
$$
H(m, n)=m+\ceil{n/2^t}-1+tm \rem{ПРИ~$m\le n$, $t=\ceil{\log_2(n/m)}$.}
\eqno (19)
$$
%%248

яОЛАГАЯ~$m=\alpha n$ И~$\theta=\log_2 (n/m)-t$, НАЙДЕМ
$$
H(\alpha n, n)=\alpha n(1+2^\theta-\theta-\log_2 \alpha)+O(1)
\eqno (20)
$$
ПРИ~$n\to\infty$. шЗ ФОРМУЛ~(5.3.1-35) ИЗВЕСТНО,
ЧТО~$1.9139<1+2^\theta-\theta\le2$. ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, (20)~МОЖНО СРАВНИТЬ С
ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННОЙ НИЖНЕЙ ОЦЕНКОЙ~(3). їУАН И ыИНЬ
ДОКАЗАЛИ (СМ.~УПР.~17), ЧТО
$$
H(m, n) < \ceil{\log_2\perm{m+n}{m}}+\min(m, n).
\eqno(21)
$$
рЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ їУАНА---ыИНЯ, КОТОРЫЙ МОЖНО БЫЛО БЫ НАЗВАТЬ АЛГОРИТМОМ
"БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ", НЕ ВСЕГДА ОПТИМАЛЕН, НО ОБЛАДАЕТ ТЕМ НЕОЦЕНИМЫМ
ДОСТОИНСТВОМ, ЧТО ЕГО ДОВОЛЬНО ЛЕГКО ЗАПРОГРАММИРОВАТЬ. юН СВОДИТСЯ К
"ДЕЦЕНТРИРОВАННОМУ БИНАРНОМУ ПОИСКУ" ПРИ~$m=1$ И К ОБЫЧНОЙ ПРОЦЕДУРЕ
СЛИЯНИЯ ПРИ~$m\approx n$, ТАК ЧТО ЭТО ЗОЛОТАЯ СЕРЕДИНА МЕЖДУ ДВУМЯ
УКАЗАННЫМИ МЕТОДАМИ. ъРОМЕ ТОГО, ВО МНОГИХ СЛУЧАЯХ ОН \emph{ЯВЛЯЕТСЯ}
ОПТИМАЛЬНЫМ (СМ.~УПР.~16).

ЇОРМУЛА~(18) НАВОДИТ НА МЫСЛЬ О ТОМ, ЧТО И САМА ФУНКЦИЯ~$M$, БЫТЬ МОЖЕТ,
УДОВЛЕТВОРЯЕТ НЕРАВЕНСТВУ
$$
M(m, n)\le M(m, \floor{n/2})+m.
\eqno (22)
$$
¤ТО И В САМОМ ДЕЛЕ ТАК (СМ.~УПР.~19). ЄАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ~$M(m, n)$
ПОЗВОЛЯЮТ ПРЕДПОЛОЖИТЬ, ЧТО, ВОЗМОЖНО, ИМЕЮТ МЕСТО И ДРУГИЕ СООТНОШЕНИЯ,
ТАКИЕ, КАК
$$
\displaylines{
\hfill M(m+1, n)\ge 1+M(m, n)\ge M(m, n+1) \rem{ПРИ $m\le n$;} \hfill\llap{(23)}\cr
\hfill M(m+1, n+1)\ge 2+M(m, n).            \hfill\llap{(24)}\cr
}
$$
НО В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ НЕ ИЗВЕСТНО НИКАКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ЭТИХ НЕРАВЕНСТВ.

\excercises
\ex[15] эАЙДИТЕ ОДНО ЛЮБОПЫТНОЕ СООТНОШЕНИЕ, КОТОРОЕ СВЯЗЫВАЕТ
ФУНКЦИЮ~$M(m, n)$ И ФУНКЦИЮ~$S$, ОПРЕДЕЛЕННУЮ В П.~5.3.1.
[\emph{єКАЗАНИЕ:} РАССМОТРИТЕ~$S(m+n)$.]

\rex[22] яРИ~$m=l$ ЛЮБОЙ АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ, НЕ СОДЕРЖАЩИЙ ИЗБЫТОЧНЫХ
СРАВНЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕТ РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С
$\perm{m+n}{m}=n+1$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ. фОКАЖИТЕ, ЧТО ВЕРНО И ОБРАТНОЕ,
Т.~Е.~КАЖДОМУ РАСШИРЕННОМУ  БИНАРНОМУ ДЕРЕВУ СООТВЕТСТВУЕТ НЕКОТОРЫЙ
АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ С~$m=1$.

\ex[ь24] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$.M.(1, n)=M(1, n)$ ПРИ ВСЕХ~$n$.

\ex[ь44] ёПРАВЕДЛИВО ЛИ НЕРАВЕНСТВО~$.M.(m, n)\ge
\ceil{\log_2\perm{m+n}{m}}$ ПРИ
ВСЕХ~$m$ И~$n$?

\ex[ь30] фОКАЖИТЕ, ЧТО $.M.(m, n)\le .M\backslash (m, n+1)$.

\ex[ь26] ёФОРМУЛИРОВАННОЕ ВЫШЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ~K ТРЕБУЕТ ПРОВЕРКИ
БОЛЬШОГО ЧИСЛА СЛУЧАЕВ С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ ¤ть. ъАКИМ ОБРАЗОМ МОЖНО РЕЗКО
СОКРАТИТЬ ЧИСЛО ТАКИХ СЛУЧАЕВ?

%%249
\ex[21] фОКАЖИТЕ НЕРАВЕНСТВО~(11).

\rex[24] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$M(2,8)\le 6$. фЛЯ ЭТОГО ПРИДУМАЙТЕ ТАКОЙ
АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ С ВОСЕМЬЮ ДРУГИМИ, КОТОРЫЙ БЫ ВЫПОЛНЯЛ
НЕ БОЛЕЕ ШЕСТИ СРАВНЕНИЙ.

\ex[27] фОКАЖИТЕ, ЧТО ТРИ ЭЛЕМЕНТА МОЖНО СЛИТЬ С ШЕСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАМИ НЕ
БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА СЕМЬ ШАГОВ.

\ex[33] фОКАЖИТЕ, ЧТО ПЯТЬ ЭЛЕМЕНТОВ МОЖНО СЛИТЬ С ДЕВЯТЬЮ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА
ДВЕНАДЦАТЬ ШАГОВ. [\emph{єКАЗАНИЕ:} ОПЫТ ВВЕДЕНИЯ ДЬЯВОЛА ПОДСКАЗЫВАЕТ,
ЧТО НАЧАТЬ НУЖНО СО СРАВНЕНИЯ~$A_1:B_2$, ЗАТЕМ, ЕСЛИ~$A_1<B_2$, ПОПЫТАТЬСЯ
СРАВНИТЬ~$A_5:B_8$.]

\ex[ь40] (Ї.~їУАН, °.~ыИНЬ.) яУСТЬ~$g_{2k}=\floor{2^k\cdot{17\over14}}$,
$g_{2k+1}=\floor{2^k\cdot{12\over 7}}$ ПРИ~$k\ge 0$, ТАК
ЧТО~$(g_0, g_1, g_2,~\ldots)=(1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 27, 38, 54, 77,~\ldots)$.
фОКАЖИТЕ, ЧТО ДЛЯ СЛИЯНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ С~$g_t$~ЭЛЕМЕНТАМИ
ТРЕБУЕТСЯ В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ БОЛЕЕ ЧЕМ $t$~СРАВНЕНИЙ, ОДНАКО СЛИТЬ ДВА
ЭЛЕМЕНТА С~$g_t-1$ МОЖНО НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА $t$~ШАГОВ. [\emph{єКАЗАНИЕ:}
ПОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$n\ge g_{t-1}$, И НУЖНО СЛИТЬ~$\set{A_1, A_2}$
С~$\set{B_1, B_2,~\ldots, B_n}$ ЗА $t$~СРАВНЕНИЙ, ТО НАИЛУЧШЕЕ ПЕРВОЕ
СРАВНЕНИЕ---ЭТО~$A_2:B_{g_{t-1}}$.]

\ex[ь21] яУСТЬ~$R_n(i,j)$---НАИМЕНЬШЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМОЕ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ РАЗЛИЧНЫХ ОБоЕКТОВ~$\set{\alpha, \beta, X_1, X_2,~\ldots, X_n}$,
ЕСЛИ ЗАДАНЫ СООТНОШЕНИЯ
$$
\alpha<\beta, \quad X_1<X_2<\ldots<X_n, \quad \alpha<X_{i+1}, \quad \beta > X_{n-j}.
$$
[єСЛОВИЕ~$\alpha< X_{i+1}$ ИЛИ~$\beta>X_{n-j}$ ТЕРЯЕТ СМЫСЛ, ЕСЛИ~$i\ge n$
ИЛИ~$j\ge n$. яОЭТОМУ~$R_n(n,n)=M(2, n)$.]

▀СНО, ЧТО~$R_n(0, 0) = 0$. фОКАЖИТЕ, ЧТО
$$
R_n(i,j)=1+\min\left(\min_{1\le k \le i} \max(R_n(k-1, j), R_{n-k}(i-k, j)),
\min_{1\le k \le j} \max(R_n(i, k-1), R_{n-k}(i, j-k))\right)
$$
ПРИ $0\le i \le n$, $0\le j \le n$, $i+j>0$.

\ex[M42] (P.~ы.~уРЭХЕМ). яОКАЖИТЕ, ЧТО РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНОГО СООТНОШЕНИЯ
ИЗ УПР.~12 МОЖНО ВЫРАЗИТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. юПРЕДЕЛИМ ФУНКЦИЮ~$G(x)$
ПРИ~$0<x<\infty$ ТАКИМИ ПРАВИЛАМИ:
$$
G(x)=\cases{
\mathstrut 1,  & $0<x\le {5\over 7}$;\cr
\mathstrut {1\over2}+{1\over8}G(8x-5), & ${5\over 7} < x \le {3\over 4}$;\cr
\mathstrut {1\over2}G(2x-1), & ${3\over4}<x\le 1$;\cr
\mathstrut 0, & $1\le x \le \infty$.
}
$$
(ёМ.~РИС.~38.) яОСКОЛЬКУ~$R_n(i,j)=R_n(j,i)$ И ТАК КАК~$R_n(0, j)=M(1, j)$,
 ТО МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО~$1\le i \le j \le n$. яУСТЬ~$p=\floor{\log_2 i}$,
$q=\floor{\log_2 j}$, $r=\floor{\log_2 n}$ И~$t=n-2^r+1$. ЄОГДА
$$
R_n(i,j)=p+q+S_n(i,j)+T_n(i,j),
$$
ГДЕ ФУНКЦИИ~$S_n$ И~$T_n$ ПРИНИМАЮТ ЗНАЧЕНИЯ~0 ИЛИ~1:
$$
\eqalign{
S_n(i,j)&=1 \hbox{ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА $q<r$ ИЛИ~$(i-2^p\ge u$ И~$j-2^r\ge u$);}\cr
T_n(i,j)&=1 \hbox{ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА $p<r$ ИЛИ~$\left(t>{6\over7}2^{r-2}\hbox{ И } i-2^r\ge v \right)$,} \cr
}
$$
ГДЕ~$u=2^pG(t/2^p)$ И~$v=2^{r-2}G(t/2^{r-2})$.
%%250

(¤ТО, БЫТЬ МОЖЕТ, САМОЕ СЛОЖНОЕ РЕКУРРЕНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ ИЗ ВСЕХ, КОТОРЫЕ
КОГДА-ЛИБО БУДУТ РЕШЕНЫ!)

\ex[46] (їУАН И~ыИНЬ.) яУСТЬ~$h_{3k}=2^k+2^{k-1}-1$,
$h_{3k+1}=g_{2k}+g_{2k-3}+2^{k-2}$, $h_{3k+2}=2g_{2k}$ ПРИ~$k\ge 2$, ЗА
ИСКЛЮЧЕНИЕМ~$h_8=9$, И НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОДОБРАНЫ ТАК, ЧТО~$(h_0, h_1,
h_2,~\ldots)=(1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 18, 23, 29, 38, 47, 59,
76,~\ldots)$.
чДЕСЬ~$g_k$---ФУНКЦИЯ, КОТОРАЯ БЫЛА ОПРЕДЕЛЕНА В УПР.~11. фОКАЖИТЕ (ИЛИ
ОПРОВЕРГНИТЕ), ЧТО~$M(3, h_t)>t$, $M(3, h_t-1)\le t$ ПРИ ВСЕХ~$t$.

\ex[12] т ШАГЕ~H1 АЛГОРИТМА БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ МОЖЕТ
ПОТРЕБОВАТЬСЯ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ~$\floor{\log_2 (n/m)}$. ъАК МОЖНО ЛЕГКО
ВЫЧИСЛИТЬ ЭТО ЗНАЧЕНИЕ, НЕ ПРИМЕНЯЯ ОПЕРАЦИЙ ДЕЛЕНИЯ И ВЗЯТИЯ ЛОГАРИФМА?

\picture{ЁИС.~38. ЇУНКЦИЯ уРЭХЕМА (СМ.~УПР.~13).}

\ex[18] яРИ КАКИХ~$m$ И~$n$, $1\le m \le n \le 10$, ОПТИМАЛЕН АЛГОРИТМ
БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ їУАНА И ыИНЯ?

\ex[ь25] фОКАЖИТЕ НЕРАВЕНСТВО~(21). [\emph{єКАЗАНИЕ:} ЭТО НЕРАВЕНСТВО НЕ
ОЧЕНЬ ЖЕСТКОЕ.]

\ex[ь40] шССЛЕДУЙТЕ \emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ
АЛГОРИТМОМ БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ.

\rex[23] фОКАЖИТЕ, ЧТО ФУНКЦИЯ~$M$ УДОВЛЕТВОРЯЕТ НЕРАВЕНСТВУ~(22).

\ex[20] яОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$M(m, n+1) \le M(m+1, n)$ ПРИ ВСЕХ~$m\le n$,
 ТО~$M(m, n+1)\le 1+M(m, n)$ ПРИ ВСЕХ~$m\le n$.

\ex[ь47] фОКАЖИТЕ ИЛИ ОПРОВЕРГНИТЕ СООТНОШЕНИЯ~(23), (24).

\ex[ь50] шССЛЕДУЙТЕ МИНИМАЛЬНОЕ \emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ,
НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ СЛИЯНИЯ $m$~ЭЛЕМЕНТОВ С $n$~ЭЛЕМЕНТАМИ.

\ex[ть30] (¤.~ЁЕЙНГОЛЬД.)
яУСТЬ~$\set{A_1,~\ldots, A_n}$ И~$\set{B_1,~\ldots, B_n}$---МНОЖЕСТВА,
СОДЕРЖАЩИЕ ПО $n$~ЭЛЕМЕНТОВ КАЖДОЕ. ЁАССМОТРИТЕ АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ ПЫТАЕТСЯ
ПРОВЕРИТЬ НАЛИЧИЕ РАВЕНСТВА МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ПУТЕМ
СРАВНЕНИЙ НА РАВЕНСТВО ЭЛЕМЕНТОВ ЭТИХ МНОЖЕСТВ. ЄАКИМ ОБРАЗОМ, АЛГОРИТМ
ЗАДАЕТ ВОПРОСЫ ТИПА~"$A_i=B_j$?" ПРИ НЕКОТОРЫХ~$i$ И~$j$ И ВЫБИРАЕТ
ДАЛЬНЕЙШИЙ ПУТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОГО, БЫЛ ЛИ ОТВЕТ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ИЛИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ.

юПРЕДЕЛИВ ПОДХОДЯЩЕГО ДЬЯВОЛА, ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБОЙ ТАКОЙ АЛГОРИТМ
В НАИХУДШЕМ ДЛЯ СЕБЯ СЛУЧАЕ ВЫНУЖДЕН ВЫПОЛНИТЬ НЕ МЕНЕЕ
${1\over2}n (n+1)$~СРАВНЕНИЙ.

%%250
\subsubchap{* тЫБОР С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ} % 5.3.3
яРИ ПОИСКЕ НАИЛУЧШИХ ВОЗМОЖНЫХ ПРОЦЕДУР ДЛЯ ВЫБОРА $t\hbox{-ГО}$~ЭЛЕМЕНТА
В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ МЫ ВСТРЕЧАЕМСЯ С КЛАССОМ ЗАДАЧ,
ПОДОБНЫХ РАССМОТРЕННЫМ В ПРЕДЫДУЩЕМ ПУНКТЕ. шСТОРИЯ ЭТОГО ВОПРОСА
ВОСХОДИТ К ЗАНИМАТЕЛЬНОМУ (ХОТЯ И СЕРЬЕЗНОМУ) ОЧЕРКУ ПРЕПОДОБНОГО
ў.~ы.~фОДЖСОНА О ТУРНИРАХ ПО ТЕННИСУ, ПОЯВИВШЕМУСЯ В St.~James's Gazette
1~АВГУСТА 1883~Г. (СТР.~5--6). фОДЖСОН, КОТОРЫЙ, РАЗУМЕЕТСЯ, БОЛЕЕ
ИЗВЕСТЕН КАК ыЬЮИС ъЭРРОЛ, РАССМАТРИВАЛ НЕСПРАВЕДЛИВЫЕ ПРАВИЛА, ПО
КОТОРЫМ ПРИСУЖДАЛИСЬ (И ДО СИХ ПОР ПРИСУЖДАЮТСЯ) ПРИЗЫ В ТУРНИРАХ ПО
ТЕННИСУ. ЁАССМОТРИМ, НАПРИМЕР, РИС.~39, ГДЕ ПОКАЗАН ТИПИЧНЫЙ ТУРНИР
"С ВЫБЫВАНИЕМ" МЕЖДУ 32~ИГРОКАМИ, ПОМЕЧЕННЫМИ $01$, $02$,~\dots, $32$. т
ФИНАЛЕ ИГРОК~$01$ ОДЕРЖИВАЕТ ПОБЕДУ НАД ИГРОКОМ~$05$, ПОЭТОМУ ЯСНО, ЧТО
ИГРОК~$01$---ЧЕМПИОН И ЗАСЛУЖИЛ ПЕРВЫЙ ПРИЗ. эЕСПРАВЕДЛИВОСТЬ ПРОЯВЛЯЕТСЯ В
ТОМ, ЧТО ИГРОК~$05$ ОБЫЧНО ПОЛУЧАЕТ ВТОРОЙ ПРИЗ, ХОТЯ ОН МОЖЕТ И НЕ БЫТЬ
ВТОРЫМ ИГРОКОМ. тЫИГРАТЬ ВТОРОЙ ПРИЗ МОЖНО, ДАЖЕ ЕСЛИ ИГРАЕШЬ ХУЖЕ
ПОЛОВИНЫ ИГРОКОВ ТУРНИРА. т САМОМ ДЕЛЕ, КАК ЗАМЕТИЛ фОДЖСОН, ВТОРОЙ ИГРОК
ВЫИГРЫВАЕТ ВТОРОЙ ПРИЗ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ПЕРВОНАЧАЛЬНО ОН И
ЧЕМПИОН НАХОДИЛИСЬ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ПОЛОВИНАХ ТУРНИРА; ДЛЯ
$2^n$~ИГРОКОВ ЭТО ПРОИСХОДИТ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ~$2^{n-1}/(2^n-1)$, ТАК
ЧТО ПОЧТИ В ПОЛОВИНЕ СЛУЧАЕВ ВТОРОЙ ПРИЗ ПОЛУЧАЕТ НЕ ТОТ ИГРОК! хСЛИ
ПРОИГРАВШИЕ В ПОЛУФИНАЛЕ (ИГРОКИ~$25$ И~$17$ НА РИС.~39) СОРЕВНУЮТСЯ ЗА
ТРЕТИЙ ПРИЗ, ТО ВЕСЬМА МАЛОВЕРОЯТНО, ЧТО ТРЕТИЙ ИГРОК ПОЛУЧИТ ТРЕТИЙ ПРИЗ.

яОЭТОМУ фОДЖСОН РЕШИЛ НАЙТИ ТАКОЙ ТУРНИР, КОТОРЫЙ ПРАВИЛЬНО ОПРЕДЕЛЯЕТ
ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ИГРОКОВ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ ТРАНЗИТИВНОСТИ. (шНАЧЕ ГОВОРЯ,
 ЕСЛИ ИГРОК~$A$ ПОБЕЖДАЕТ ИГРОКА~$B$, А~$B$ ПОБЕЖДАЕТ~$C$, ТО МОЖНО
СЧИТАТЬ, ЧТО ИГРОК~$A$ ПОБЕДИТ~$C$). юН ПРИДУМАЛ ПРОЦЕДУРУ, В КОТОРОЙ
ПРОИГРАВШИМ ДАЮТ СЫГРАТЬ ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ИГР, ПОКА НЕ СТАНЕТ
ОПРЕДЕЛЕННО ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ ХУЖЕ ДРУГИХ ТРЕХ ИГРОКОВ. яРИМЕР
СХЕМЫ фОДЖСОНА ПРИВОДИТСЯ НА РИС.~40, ИЗОБРАЖАЮЩЕМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ТУРНИР,
 КОТОРЫЙ СЛЕДУЕТ ПРОВЕСТИ ВМЕСТЕ С ТУРНИРОМ, ПОКАЗАННЫМ НА РИС.~39.
фЕЛАЕТСЯ ПОПЫТКА ОРГАНИЗОВАТЬ ВСТРЕЧИ ИГРОКОВ, У КОТОРЫХ ДО СИХ ПОР БЫЛИ
РАВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, И ИСКЛЮЧИТЬ МАТЧИ МЕЖДУ ИГРОКАМИ, ПОБЕЖДЕННЫМИ ОДНИМ И
ТЕМ ЖЕ ЧЕЛОВЕКОМ. эАПРИМЕР, ИГРОК~$16$ ПРОИГРЫВАЕТ~$11$, А
ИГРОК~$13$ ПРОИГРЫВАЕТ~$12$ В ПЕРВОМ ТУРЕ; ПОСЛЕ ТОГО КАК ИГРОК~$16$
ПРОИГРЫВАЕТ~$13$ ВО ВТОРОМ ТУРЕ, $16$~ИСКЛЮЧАЕТСЯ, ТАК КАК
ТЕПЕРЬ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОН ХУЖЕ, ЧЕМ~$11$, $12$ И~$13$. т ТРЕТЬЕМ ТУРЕ МЫ
НЕ ПОЗВОЛЯЕМ НОМЕРУ~$19$ ИГРАТЬ С~$21$, ТАК КАК ОНИ ОБА БЫЛИ ПОБЕЖДЕНЫ
%%252
\picture{ЁИС. 39. ЄУРНИР 32~ИГРОКОВ С ВЫБЫВАНИЕМ.}
%%253
\picture{ЁИС. 40. ЄЕННИСНЫЙ ТУРНИР ыЬЮИСА ъЭРРОЛА (В ДОПОЛНЕНИЕ К ТУРНИРУ
РИС.~39).}
%% 254
ИГРОКОМ~$18$ И МЫ НЕ МОГЛИ БЫ АВТОМАТИЧЕСКИ ИСКЛЮЧИТЬ ПРОИГРАВШЕГО
ВО ВСТРЕЧЕ~$19$ С~$21$.

сЫЛО БЫ ПРИЯТНО СООБЩИТЬ, ЧТО ТУРНИР ыЬЮИСА ъЭРРОЛА ОКАЗАЛСЯ ОПТИМАЛЬНЫМ,
НО, К СОЖАЛЕНИЮ, ЭТО НЕ ТАК. шЗ ЗАПИСИ В ЕГО ДНЕВНИКЕ ОТ 23~ИЮЛЯ 1883~Г.
ЯВСТВУЕТ, ЧТО ОН СОСТАВИЛ ЭТОТ ОЧЕРК ПРИМЕРНО ЗА ШЕСТЬ ЧАСОВ, И
ЧУВСТВОВАЛ, ЧТО, "ПОСКОЛЬКУ ТЕННИСНЫЙ СЕЗОН ПРИБЛИЖАЕТСЯ К КОНЦУ, ОЧЕРК
СЛЕДУЕТ НАПИСАТЬ ПОБЫСТРЕЕ, НЕ СЛИШКОМ УВЛЕКАЯСЬ КАЧЕСТВОМ". т ЕГО
ПРОЦЕДУРЕ ДЕЛАЕТСЯ БОЛЬШЕ СРАВНЕНИЙ, ЧЕМ НЕОБХОДИМО, И ОНА НЕ
СФОРМУЛИРОВАНА ДОСТАТОЧНО ЧЕТКО, ЧТОБЫ КВАЛИФИЦИРОВАТЬ ЕЕ КАК АЛГОРИТМ.
ё ДРУГОЙ СТОРОНЫ, В НЕЙ ИМЕЮТСЯ НЕКОТОРЫЕ ОЧЕНЬ ИНТЕРЕСНЫЕ АСПЕКТЫ, ЕСЛИ
СУДИТЬ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ. юНА ТАКЖЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ
ОТЛИЧНЫМ РАСПИСАНИЕМ ТЕННИСНОГО ТУРНИРА, ПОСКОЛЬКУ ъЭРРОЛ ВКЛЮЧИЛ В НЕЕ
НЕСКОЛЬКО ДРАМАТИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ; НАПРИМЕР, ОН ОПРЕДЕЛИЛ, ЧТО ДВА
ФИНАЛИСТА ДОЛЖНЫ ПРОПУСТИТЬ ПЯТЫЙ ТУР И СЫГРАТЬ "ДЛИННЫЙ" МАТЧ В ТУРАХ~6
И~7. юДНАКО ОРГАНИЗАТОРЫ ТУРНИРОВ, ПО-ВИДИМОМУ, СОЧЛИ ЭТО ПРЕДЛОЖЕНИЕ
ИЗЛИШНЕ ЛОГИЧНЫМ, И ПОТОМУ СИСТЕМА ъЭРРОЛА, СКОРЕЕ ВСЕГО, НИКОГДА НЕ
ИСПЫТЫВАЛАСЬ. тМЕСТО ЭТОГО ПРАКТИКУЕТСЯ МЕТОД "РАССЕИВАНИЯ" БОЛЕЕ
СИЛЬНЫХ ИГРОКОВ, ЧТОБЫ ОНИ ПОПАЛИ В РАЗНЫЕ ЧАСТИ ДЕРЕВА.

эА МАТЕМАТИЧЕСКОМ СЕМИНАРЕ В~1929--1930~Г. уУГО °ТЕЙНГАУЗ ПОСТАВИЛ ЗАДАЧУ
НАХОЖДЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА ТЕННИСНЫХ МАТЧЕЙ, ТРЕБУЕМЫХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПЕРВОГО И ВТОРОГО ИГРОКОВ В ТУРНИРЕ, ЕСЛИ ИМЕЕТСЯ
$n >2$~ИГРОКОВ. ■.~°РЕЙЕР [{\sl Mathesis Polska,\/} {\bf 7} (1932),
154--160] ПРИВЕЛ ПРОЦЕДУРУ, ТРЕБУЮЩУЮ САМОЕ БОЛЬШЕЕ
$n-2+\ceil{\log_2 n}$~МАТЧЕЙ, ИСПОЛЬЗОВАВ, ПО СУЩЕСТВУ, ТОТ ЖЕ МЕТОД, ЧТО
И ПЕРВЫЕ ДВЕ СТАДИИ ПРОЦЕССА, КОТОРЫЙ МЫ НАЗВАЛИ СОРТИРОВКОЙ ПОСРЕДСТВОМ
ВЫБОРА ИЗ ДЕРЕВА (СМ.~П.~5.2.3, РИС.~23), ОДНАКО НЕ ВЫПОЛНЯЯ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ~$-\infty$. °РЕЙЕР ТАКЖЕ УТВЕРЖДАЛ,
ЧТО $n-2+\ceil{\log_2 n}$---НАИЛУЧШЕЕ ВОЗМОЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ; НО ЕГО
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО БЫЛО ОШИБОЧНЫМ, КАК И ЕЩЕ ОДНА ПОПЫТКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА,
ПРЕДПРИНЯТАЯ х.~ёЛУПЕЦКИ
[{\sl Colloquium Mathematician,\/} {\bf 2} (1951), 286--290].
яРОШЛО 32~ГОДА, ПРЕЖДЕ ЧЕМ ё.~ё.~ъИСЛИЦЫНЫМ БЫЛО ОПУБЛИКОВАНО ПРАВИЛЬНОЕ,
 ХОТЯ И ОЧЕНЬ СЛОЖНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
[{\sl ёИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ,\/} {\bf 5} (1964), 557--564].
яУСТЬ~$V_t(n)$ ДЛЯ~$1\le t \le n$ ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ,
ТРЕБУЕМЫХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ $t\hbox{-ГО}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТА ИЗ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ, И ПУСТЬ $W_t(n)$~РАВНО НАИМЕНЬШЕМУ ЧИСЛУ СРАВНЕНИЙ,
 НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО, ВТОРОГО,~\dots,
$t\hbox{-ГО}$ ЭЛЕМЕНТОВ ВСЕХ СРАЗУ. шЗ СООБРАЖЕНИЙ СИММЕТРИИ ИМЕЕМ
$$
V_t(n)=V_{n+1-t}(n);
\eqno(1)
$$
%%255
ОЧЕВИДНО ТАКЖЕ, ЧТО
$$
\eqalignno{
V_1(n)&=W_1(n), & (2) \cr
V_t(n)&\le W_t(n), & (3) \cr
W_n(n)&=W_{n-1}(n)=S(n). & (4) \cr
}
$$

т П.~5.2.3 МЫ ВИДЕЛИ, ЧТО
$$
V_1(n)=n-1.
\eqno(5)
$$
хСТЬ УДИВИТЕЛЬНО ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭТОГО ФАКТА, ПОСКОЛЬКУ КАЖДЫЙ
УЧАСТНИК ТУРНИРА, КРОМЕ ЧЕМПИОНА, ДОЛЖЕН ПРОИГРАТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ОДНУ
ИГРУ! юБОБЩАЯ ЭТУ ИДЕЮ И ИСПОЛЬЗУЯ "ДЬЯВОЛА", МЫ МОЖЕМ БЕЗ ОСОБОГО ТРУДА
ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ °РЕЙЕРА---ъИСЛИЦЫНА.

\proclaim ЄЕОРЕМА~S. яРИ~$n\ge 2$ СПРАВЕДЛИВО
РАВЕНСТВО~$V_2(n)=W_2(n)=n-2+\ceil{\log_2 n}$.

\proof яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО В ТУРНИРЕ, ГДЕ С ПОМОЩЬЮ НЕКОТОРОЙ ДАННОЙ
ПРОЦЕДУРЫ ДОЛЖЕН ОПРЕДЕЛИТЬСЯ ВТОРОЙ ИГРОК, УЧАСТВУЮТ $n$~ИГРОКОВ, И
ПУСТЬ~$a_j$---ЧИСЛО ИГРОКОВ, ПРОИГРАВШИХ~$j$ ИЛИ БОЛЬШЕ МАТЧЕЙ. юБЩЕЕ
ЧИСЛО СЫГРАННЫХ МАТЧЕЙ БУДЕТ ТОГДА РАВНО~$a_1+a_2+a_3+\ldots\,$. ьЫ НЕ
МОЖЕМ ОПРЕДЕЛИТЬ ВТОРОГО ИГРОКА, НЕ ВЫЯВИВ ЗАОДНО И ЧЕМПИОНА (СМ.~УПР.~2),
 ПОЭТОМУ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ РАССУЖДЕНИЙ~$a_1=n-1$. фЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПОКАЖЕМ, ЧТО ВСЕГДА СУЩЕСТВУЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
РЕЗУЛЬТАТОВ МАТЧЕЙ, КОТОРАЯ ПРИВОДИТ К~$a_2\ge \ceil{\log_2 n}-1$.

яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО К КОНЦУ ТУРНИРА ЧЕМПИОН СЫГРАЛ $p$~ИГР И ПОБЕДИЛ
$p$~ИГРОКОВ; ОДНИМ ИЗ НИХ БЫЛ ВТОРОЙ ИГРОК, А ОСТАЛЬНЫЕ ДОЛЖНЫ ПРОИГРАТЬ
ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ЕЩЕ ПО ОДНОМУ РАЗУ, ПОЭТОМУ~$a_2\ge p-1$. шТАК, МЫ МОЖЕМ
ЗАКОНЧИТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПОСТРОИВ ДЬЯВОЛА, ПРЕДОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ
ИГР ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ ЧЕМПИОНУ ПРИШЛОСЬ СЫГРАТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ЕЩЕ
С~$\ceil{\log_2 n}$~ДРУГИМИ УЧАСТНИКАМИ ТУРНИРА.

яУСТЬ ДЬЯВОЛ СЧИТАЕТ, ЧТО ИГРОК~$A$ ЛУЧШЕ, ЧЕМ~$B$, ЕСЛИ~$A$ РАНЕЕ НЕ
ПРОИГРЫВАЛ, А~$B$ ХОТЯ БЫ ОДНАЖДЫ ПРОИГРАЛ, ИЛИ ЕСЛИ ОБА НЕ ПРОИГРЫВАЛИ,
НО $B$~ВЫИГРАЛ К ЭТОМУ МОМЕНТУ МЕНЬШЕ МАТЧЕЙ, ЧЕМ~$A$. яРИ ДРУГИХ
ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ ДЬЯВОЛ МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ ПРОИЗВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ, НЕ
ПРОТИВОРЕЧАЩЕЕ НЕКОТОРОМУ ЧАСТИЧНОМУ УПОРЯДОЧЕНИЮ.

ЁАССМОТРИМ РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАВЕРШЕННОГО ТУРНИРА, МАТЧИ
КОТОРОГО ПРЕДОПРЕДЕЛЯЛИСЬ ТАКИМ ДЬЯВОЛОМ. ьЫ СКАЖЕМ, ЧТО "$A$
ПРЕВОСХОДИТ $B$" ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$A=B$ ИЛИ
$A$~ПРЕВОСХОДИТ ИГРОКА, КОТОРЫЙ ПЕРВЫМ ПОБЕДИЛ~$B$. (ЄОЛЬКО ПЕРВОЕ
ПОРАЖЕНИЕ ИГРОКА СУЩЕСТВЕННО В ЭТОМ ОТНОШЕНИИ, ПОСЛЕДУЮЩИЕ ЕГО
ИГРЫ ИГНОРИРУЮТСЯ. т СООТВЕТСТВИИ С УСТРОЙСТВОМ ДЬЯВОЛА ЛЮБОЙ ИГРОК,
\emph{ПЕРВЫМ} ПОБЕДИВШИЙ КАКОГО-ТО, НИ В ОДНОЙ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВСТРЕЧ НЕ
ДОЛЖЕН ИМЕТЬ ПОРАЖЕНИЙ. юТСЮДА СЛЕДУЕТ, ЧТО
%%256
ИГРОК, КОТОРЫЙ ВЫИГРАЛ СВОИ ПЕРВЫЕ $p$~МАТЧЕЙ, ПРЕВОСХОДИТ НА ОСНОВАНИИ
ЭТИХ $p$~ИГР НЕ БОЛЕЕ $2^p$~ИГРОКОВ. (хСЛИ~$p=0$, ЭТО ОЧЕВИДНО, ЕСЛИ ЖЕ
$p>0$, ТО $p\hbox{-Й}$~МАТЧ БЫЛ СЫГРАН ПРОТИВ ИГРОКА, КОТОРЫЙ ЛИБО РАНЕЕ
ПОТЕРПЕЛ ПОРАЖЕНИЕ, ЛИБО ПРЕВОСХОДИТ НЕ БОЛЕЕ~$2^{p-1}$~ИГРОКОВ.) ўЕМПИОН
ПРЕВОСХОДИТ ВСЕХ, ПОЭТОМУ ОН ДОЛЖЕН БЫЛ СЫГРАТЬ НЕ МЕНЕЕ
$\ceil{\log_2 n}$~МАТЧЕЙ.
\proofend

ЄАКИМ ОБРАЗОМ, ЗАДАЧА НАХОЖДЕНИЯ ВТОРОГО В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТА
ПОЛНОСТЬЮ РЕШЕНА В МИНИМАКСНОМ СМЫСЛЕ. т УПР.~6 ПОКАЗАНО, ЧТО МОЖНО ДАТЬ
ПРОСТУЮ ФОРМУЛУ ДЛЯ МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ
ВЫЯВЛЕНИЯ ВТОРОГО ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО ПРОИЗВОЛЬНОЕ
ЧАСТИЧНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ.

\qsection р ЕСЛИ $t>2$? т УПОМЯНУТОЙ СТАТЬЕ ъИСЛИЦЫН ПОШЕЛ ДАЛЬШЕ. юН
РАССМОТРЕЛ БОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ~$t$, ДОКАЗАВ, ЧТО
$$
W_t(n)\le n-t+\sum_{n+1-t<j\le n} \ceil{\log_2 j} \rem{ПРИ~$n\ge t$.}
\eqno  (6)
$$

ьЫ ВИДЕЛИ, ЧТО ПРИ~$t=1$ И~$t=2$ ЭТА ФОРМУЛА ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ РАВЕНСТВО;
ПРИ~$t=3$ ОНА МОЖЕТ БЫТЬ СЛЕГКА УЛУЧШЕНА (СМ.~УПР.~21).

ьЫ ДОКАЖЕМ ТЕОРЕМУ ъИСЛИЦЫНА, ПОКАЗАВ, ЧТО ПЕРВЫЕ $t$~СТАДИЙ \emph{ВЫБОРА
ИЗ ДЕРЕВА} ТРЕБУЮТ НЕ БОЛЕЕ~$n-t+\sum_{n+1-t<j\le n}\ceil{\log_2 j}$
СРАВНЕНИЙ (ИСКЛЮЧАЯ ВСЕ СРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ~$-\infty$). шНТЕРЕСНО, ЧТО
ПРАВАЯ ЧАСТЬ~(6) РАВНА~$B(n)$, КОГДА~$t=n-1$
И~$t=n$ [СМ.~ФОРМУЛУ~(5.3.1-3)]; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ВЫБОР ИЗ ДЕРЕВА И
БИНАРНЫЕ ВСТАВКИ ПРИВОДЯТ К ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ ДЛЯ ЗАДАЧИ
СОРТИРОВКИ, ХОТЯ ЭТО СОВЕРШЕННО РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ.

яУСТЬ~$\alpha$---РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С $n$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ
И~$\pi$---ПЕРЕСТАНОВКА МНОЖЕСТВА~$\set{1,2,~\ldots, n}$. яОМЕСТИМ ЭЛЕМЕНТЫ
ПЕРЕСТАНОВКИ~$\pi$ ВО ВНЕШНИЕ УЗЛЫ СЛЕВА НАПРАВО В СИММЕТРИЧНОМ ПОРЯДКЕ И
ЗАПОЛНИМ ВНУТРЕННИЕ УЗЛЫ В СООТВЕТСТВИИ С ПРАВИЛАМИ ТУРНИРА С ВЫБЫВАНИЕМ
КАК ПРИ ВЫБОРЕ ИЗ ДЕРЕВА. яОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИИ ВЫБОРА К
РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕМУ ДЕРЕВУ ОПРЕДЕЛЯЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$c_{n-1}
c_{n-2}~\ldots c_1$, ГДЕ $c_j$~ЕСТЬ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ТРЕБУЕМЫХ, ЧТОБЫ.
ПЕРЕНЕСТИ ЭЛЕМЕНТ~$j$ В КОРЕНЬ ДЕРЕВА, ПОСЛЕ ТОГО КАК ЭЛЕМЕНТ~$j+1$ БЫЛ
ЗАМЕНЕН НА~$-\infty$. эАПРИМЕР, ЕСЛИ $\alpha$---ДЕРЕВО
\picture{p.256}
%%257
А~$\pi=5\ 3\ 1\ 4\ 2$,ТО МЫ ПОЛУЧАЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ДЕРЕВЬЯ
\picture{p. 257.1}
хСЛИ ЖЕ $\pi=3\ 1\ 5\ 4\ 2$, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$c_4c_3c_2c_1$
БУДЕТ ИНОЙ, ИМЕННО~$2\ 1\ 1\ 0$. ыЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО $c_1$~ВСЕГДА ЕСТЬ~0.

яУСТЬ~$\mu(\alpha, \pi)$---МУЛЬТИМНОЖЕСТВО~$\set{c_{n-1}, c_{n-2},~\ldots,
c_1}$, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ~$\alpha$ И~$\pi$. хСЛИ
\picture{p.257.2}
И ЕСЛИ ЭЛЕМЕНТЫ~1 И~2 НЕ СОДЕРЖАТСЯ ОБА ЛИБО В~$\alpha'$, ЛИБО
В~$\alpha''$, ТО ЛЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО
$$
\mu(\alpha, \pi)=(\mu(\alpha', \pi')+1)\uplus (\mu(\alpha'', \pi'')+1)\uplus\set{0}
\eqno(8)
$$
ДЛЯ ПОДХОДЯЩИХ ПЕРЕСТАНОВОК~$\pi'$ И~$\pi''$, ГДЕ
$(\mu+1)$~ОБОЗНАЧАЕТ МУЛЬТИМНОЖЕСТВО, ПОЛУЧАЕМОЕ ПРИБАВЛЕНИЕМ~1 К КАЖДОМУ
ЭЛЕМЕНТУ~$\mu$. ё ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ЕСЛИ И ЭЛЕМЕНТ~1, И ЭЛЕМЕНТ~2
НАХОДЯТСЯ В~$\alpha'$, ИМЕЕМ
$$
\mu(\alpha, \pi)=(\mu(\alpha', \pi')+\varepsilon)\uplus(\mu(\alpha'', \pi'')+1)\uplus\set{0},
$$
ГДЕ $(\mu+\varepsilon)$~ОБОЗНАЧАЕТ КАКОЕ-НИБУДЬ МУЛЬТИМНОЖЕСТВО,
ПОЛУЧАЕМОЕ ПРИБАВЛЕНИЕМ~1 К НЕКОТОРЫМ ЭЛЕМЕНТАМ~$\mu$ И~0 К ОСТАЛЬНЫМ.
рНАЛОГИЧНАЯ ФОРМУЛА СПРАВЕДЛИВА, ЕСЛИ ЭЛЕМЕНТЫ~1 И~2 НАХОДЯТСЯ
В~$\alpha''$. сУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО МУЛЬТИМНОЖЕСТВО~$\mu_1$
МАЖОРИРУЕТ~$\mu_2$, ЕСЛИ~$\mu_1$ И~$\mu_2$ СОДЕРЖАТ РАВНОЕ ЧИСЛО
ЭЛЕМЕНТОВ И $k\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ~$\mu_1$ БОЛЬШЕ ИЛИ
РАВЕН~$k\hbox{-ГО}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТА~$\mu_2$ ДЛЯ ВСЕХ~$k$.
юПРЕДЕЛИМ~$\mu(\alpha)$ КАК МАЖОРАНТУ~$\mu(\alpha, \pi)$ ПО ВСЕМ
ПЕРЕСТАНОВКАМ~$\pi$ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО~$\mu(\alpha)$
МАЖОРИРУЕТ~$\mu(\alpha,\pi)$ ПРИ ВСЕХ~$\pi$ И~$\mu(\alpha)=\mu(\alpha, \pi)$
ПРИ НЕКОТОРОМ~$\pi$. яРИВЕДЕННЫЕ ВЫШЕ ФОРМУЛЫ ПОКАЗЫВАЮТ, ЧТО
\picture{p.257.3}
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, \dfn{$\mu(\alpha)$ ЕСТЬ МУЛЬТИМНОЖЕСТВО ВСЕХ РАССТОЯНИЙ
ОТ КОРНЯ ДО ВНУТРЕННИХ УЗЛОВ~$\alpha$.}

%% 258

хСЛИ ЧИТАТЕЛЬ УСЛЕДИЛ ЗА ХОДОМ НАШИХ РАССУЖДЕНИИ, ЕМУ ДОЛЖНО БЫТЬ ЯСНО,
ЧТО ТЕПЕРЬ МЫ ГОТОВЫ ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ ъИСЛИЦЫНА~(6), ПОСКОЛЬКУ
$W_t(n)$~МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНО $n-1$~ПЛЮС~$t-1$ НАИБОЛЬШИХ
ЭЛЕМЕНТОВ~$\mu(\alpha)$, ГДЕ $\alpha$---ЛЮБОЕ ДЕРЕВО, ИСПОЛЬЗУЕМОЕ ПРИ
СОРТИРОВКЕ ПОСРЕДСТВОМ ВЫБОРА ИЗ ДЕРЕВА. ьОЖНО ВЫБРАТЬ В КАЧЕСТВЕ~$\alpha$
ПОЛНОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С $n$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ (СМ.~П.~2.3.4.5); В ЭТОМ СЛУЧАЕ
$$
\eqalignno{
\mu(\alpha) &=\set{\floor{\log_2 1}, \floor{\log_2 2}, \ldots, \floor{\log_2(n-1)}}=\cr
&=\set{\ceil{\log_2 2}-1, \ceil{\log_2 3}-1, \ldots, \ceil{\log_2 n}-1}.
&(10) \cr
}
$$
ьЫ ПОЛУЧИМ ФОРМУЛУ~(6), ЕСЛИ РАССМОТРИМ $t-1$~НАИБОЛЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭТОГО
МУЛЬТИМНОЖЕСТВА.

ЄЕОРЕМА ъИСЛИЦЫНА ДАЕТ ХОРОШУЮ ВЕРХНЮЮ ОЦЕНКУ ДЛЯ~$W_t(n)$; ъИСЛИЦЫН
ОТМЕТИЛ, ЧТО~$V_3(5)=6 < W_3(5)=7$, НО НЕ СМОГ НАЙТИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЛУЧШУЮ
ОЦЕНКУ ДЛЯ~$V_t(n)$. ¤ТО БЫЛО СДЕЛАНО р.~рДЬЯНОМ И~ь.~ёОБЕЛЕМ, КОТОРЫЕ
ИСПОЛЬЗОВАЛИ \emph{ВЫБОР С ЗАМЕЩЕНИЕМ} ВМЕСТО ВЫБОРА ИЗ ДЕРЕВА
(СМ.~П.~5.4.1). тЫВЕДЕННАЯ ИМИ ФОРМУЛА [Univ.\ of~Minnesota,
Dept.~of~statistics, report~121 (May, 1969)]
$$
V_t(n)\le n-t+(t-1)\ceil{\log_2 (n+2-t)}, \rem{$n\ge t$,}
\eqno(11)
$$
ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ~(6) ТЕМ, ЧТО КАЖДЫЙ ЭЛЕМЕНТ СУММЫ В~(6) ЗАМЕНЕН НА
НАИМЕНЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ.

ЄЕОРЕМУ рДЬЯНА И~ёОБЕЛЯ МОЖНО ДОКАЗАТЬ, ВОСПОЛЬЗОВАВШИСЬ СЛЕДУЮЩИМ
ПОСТРОЕНИЕМ. ёНАЧАЛА ОБРАЗУЕМ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО ДЛЯ ТУРНИРА С ВЫБЫВАНИЕМ
$n-t+2$~ЭЛЕМЕНТОВ. (¤ТО ТРЕБУЕТ $n-t+1$~СРАВНЕНИЙ.) эАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ
ПРЕВОСХОДИТ $n-t+1$~ДРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ, ПОЭТОМУ ОН НЕ МОЖЕТ
БЫТЬ~$t\hbox{-М}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ. чАМЕНИМ ЕГО ВО ВНЕШНЕМ УЗЛЕ ДЕРЕВА
НА ОДИН ИЗ $t-2$~ЭЛЕМЕНТОВ, ОСТАВШИХСЯ В РЕЗЕРВЕ, И НАЙДЕМ НАИБОЛЬШИЙ ИЗ
ПОЛУЧИВШИХСЯ $n-t+2$~ЭЛЕМЕНТОВ; ЭТО ТРЕБУЕТ НЕ БОЛЕЕ $\ceil{\log_2
(n+2-t)}$~СРАВНЕНИЙ, ПОСКОЛЬКУ ПРИДЕТСЯ ЗАНОВО ВЫЧИСЛИТЬ ТОЛЬКО ОДИН
ПУТЬ В ДЕРЕВЕ. яОВТОРИМ ЭТУ ОПЕРАЦИЮ ВСЕГО $t-2$~РАЗ, ПО ОДНОМУ РАЗУ ДЛЯ
КАЖДОГО ЭЛЕМЕНТА ИЗ РЕЗЕРВА. эАКОНЕЦ, ЗАМЕНИМ ТЕКУЩИЙ НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ
НА~$-\infty$ И ОПРЕДЕЛИМ НАИБОЛЬШИЙ ИЗ ОСТАВШИХСЯ $n+1-t$~ЭЛЕМЕНТОВ;
ДЛЯ ЭТОГО ПОТРЕБУЕТСЯ НЕ БОЛЕЕ $\ceil{\log_2 (n+2-t)}-1$~СРАВНЕНИЙ,
И~$t\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ ИСХОДНОГО МНОЖЕСТВА ПОПАДЕТ В
КОРЕНЬ ДЕРЕВА. ёУММИРОВАНИЕ СРАВНЕНИЙ ДАЕТ~(11).

ЁАЗУМЕЕТСЯ, МЫ ДОЛЖНЫ ЗАМЕНИТЬ~$t$ НА~$n+1-t$ В ПРАВОЙ ЧАСТИ
СООТНОШЕНИЯ~(11), ЕСЛИ $n+1-t$~ДАЕТ ЛУЧШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ (КАК ПРИ~$n=6$, $t=3$).
 ъАК НИ СТРАННО, НО ЭТА ФОРМУЛА ДАЕТ ДЛЯ~$V_7(13)$ МЕНЬШУЮ ОЦЕНКУ, ЧЕМ
ДЛЯ~$V_6(13)$. тЕРХНЯЯ ОЦЕНКА В~(11) ТОЧНА ДЛЯ~$n\le 6$, НО КОГДА~$n$
И~$t$ СТАНОВЯТСЯ БОЛЬШИМИ, МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ЗНАЧИТЕЛЬНО ЛУЧШИЕ ОЦЕНКИ
ДЛЯ~$V_t(n)$.

%%259

эАПРИМЕР, МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ СЛЕДУЮЩИЙ ИЗЯЩНЫЙ МЕТОД (ПРИНАДЛЕЖАЩИЙ фЭВИДУ
фОРЕНУ), ЧТОБЫ ПОКАЗАТЬ, ЧТО~$V_4(8)\le12$. юБОЗНАЧИМ ЭЛЕМЕНТЫ ЧЕРЕЗ~$X_1,
~\ldots, X_8$; СНАЧАЛА СРАВНИМ~$X_1:X_2$, $X_3:X_4$ И ДВУХ ПОБЕДИТЕЛЕЙ,
ПРОДЕЛАЕМ ТО ЖЕ ДЛЯ~$X_5:X_6$, $X_7:X_8$, И ИХ ПОБЕДИТЕЛЕЙ. яЕРЕИМЕНУЕМ
ЭЛЕМЕНТЫ ТАК, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ~$X_1<X_2<X_4>X_3$, $X_5<X_6<X_8>X_7$, ЗАТЕМ
СРАВНИМ~$X_2:X_6$;
В СИЛУ СИММЕТРИИ ПОЛОЖИМ~$X<2<X_6$, ПОЭТОМУ ИМЕЕМ КОНФИГУРАЦИЮ
\picture{p.259.1}
(ЄЕПЕРЬ~$X_1$ И~$X_8$ ВЫШЛИ ИЗ ИГРЫ, И МЫ ДОЛЖНЫ НАЙТИ ТРЕТИЙ В ПОРЯДКЕ
УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ ИЗ~$\set{X_2,~\ldots, X_7}$.) ёРАВНИМ~$X_2:X_7$, И
ОТБРОСИМ МЕНЬШИЙ; В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ ПОЛУЧИМ~$X_2<X_7$, И НАМ НАДО НАЙТИ
ТРЕТИЙ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ ИЗ
\picture{p.259.2}
¤ТО МОЖНО СДЕЛАТЬ ЕЩЕ ЗА $V_3(5)-2=4$~ШАГА, ТАК КАК ПРОЦЕДУРА ДЛЯ~$t=3$
И~$n=5$ В~(11) НАЧИНАЕТСЯ СО СРАВНЕНИЯ ДВУХ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПАР ЭЛЕМЕНТОВ.

ьОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДРУГИЕ ТРЮКИ ПОДОБНОГО ВИДА, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ,
ПОКАЗАННЫЕ В ТАБЛ.~1; ДО СИХ ПОР НЕ ВИДНО НИКАКОГО ОБЩЕГО МЕТОДА, И
ЗНАЧЕНИЯ В ТАБЛИЦЕ ДЛЯ~$n\ge8$ МОГУТ ПРЕТЕРПЕТЬ ИЗМЕНЕНИЯ. чАМЕТИМ,
ЧТО~$V_3(10)\le 14$, ПОЭТОМУ (11)~НЕ ВСЕГДА ДАЕТ РАВЕНСТВО ДЛЯ~$t=3$. ЄОТ
ФАКТ, ЧТО~$V_4(7)=10$, ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО СООТНОШЕНИЕ~(11) ПРИВОДИТ К ОШИБКЕ
НА~2 УЖЕ ПРИ~$n=7$.

эЕПЛОХУЮ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ В ЗАДАЧЕ ВЫБОРА ПОЛУЧИЛ фЭВИД ъИРКПАТРИК
(Ph.~D.~thesis, Univ.\ of~Toronto, 1974]. яОСТРОЕННЫЙ ИМ ДЬЯВОЛ
ДОКАЗЫВАЕТ, ЧТО
$$
V_t(n)>n+t-3+\sum_{0\le j\le t-2}\ceil{\log_2((n+2-t)/(t+j))},
\rem{$n\ge 2t-1$.}
\eqno(12)
$$
ъИРКПАТРИК ТОЧНО УСТАНОВИЛ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ~$V_t(n)$ ПРИ~$t=3$, ДОКАЗАВ,
ЧТО~$V_3(n)=n+\ceil{\log_2 ((n-1)/2.5)}+\ceil{\log_2((n-1)/4)}$ ПРИ
ВСЕХ~$n\ge 50$ (СР.~С~УПР.~22).

\section ыИНЕЙНЫЙ МЕТОД. хСЛИ $n$~НЕЧЕТНО И~$t=\ceil{n/2}$,
ТО~$t\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ (И~$t\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ ВОЗРАСТАНИЯ)
ЭЛЕМЕНТ НАЗЫВАЕТСЯ МЕДИАНОЙ. т СООТВЕТСТВИИ С~(11) МЫ МОЖЕМ НАЙТИ МЕДИАНУ~$n$
%%260
{\catcode`\!=\active\def!{\hbox to 0 pt{${}^*$\hss}}
\htable{ЄАБЛИЦА 1}%
{эАИЛУЧШИЕ ИЗ ИЗВЕСТНЫХ ВЕРХНИХ ОЦЕНОК ДЛЯ $V_t(n)$}%
{\strut\bskip\hfill$#$\bskip&&\bskip\hfill$#$\bskip\cr
n  & V_1(n) & V_2(n) & V_3(n) & V_4(n) &  V_5(n) & V_6(n) & V_7(n) & V_8(n) & V_9(n) & V_{10}(n)\cr
\noalign{\hrule}
 1 & 0 \cr
 2 & 1 &  1 \cr
 3 & 2 &  3 & 2  \cr
 4 & 3 &  4 & 4  &  3 \cr
 5 & 4 &  6 & 6  &  6 &  4 \cr
 6 & 5 &  7 & 8  &  8 &  7 &  5 \cr
 7 & 6 &  8 & 10 & 10!& 10 &  8 &  6\cr
 8 & 7 &  9 & 11 & 12 & 12 & 11 &  9 & 7\cr
 9 & 8 & 11 & 12 & 14 & 15!& 14 & 12 & 11  &  8\cr
10 & 9 & 12 & 14!& 15 & 17 & 17 & 15 & 14! & 12 & 9 \cr
\noalign{\hrule}
\multispan{11}\hbox{$*$)~т ЭТИХ СЛУЧАЯХ УПР.~10--12 ДАЮТ ПОСТРОЕНИЯ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ УЛУЧШИТЬ~(11).}\cr
}}%
ЭЛЕМЕНТОВ ЗА $\approx {1\over2}n\log_2 n$~СРАВНЕНИЙ, НО ЭТО ЛИШЬ ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО
ВДВОЕ БЫСТРЕЕ СОРТИРОВКИ, ХОТЯ НАМ НУЖНА ЗНАЧИТЕЛЬНО МЕНЬШАЯ ИНФОРМАЦИЯ.
т ТЕЧЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ЛЕТ ОБоЕДИНЕННЫЕ УСИЛИЯ РЯДА ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ БЫЛИ
НАПРАВЛЕНЫ НА УЛУЧШЕНИЕ ФОРМУЛЫ~(11) ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ~$t$ И~$n$;
НАКОНЕЦ, В 1971~Г. ьАНУЭЛЬ сЛУМ ОТКРЫЛ МЕТОД, ТРЕБУЮЩИЙ ТОЛЬКО
$O(n \log \log n)$~ШАГОВ. яОДХОД сЛУМА К ЭТОЙ ЗАДАЧЕ ДАЛ ТОЛЧОК К РАЗВИТИЮ
НОВОГО КЛАССА МЕТОДОВ, КОТОРЫЙ ПРИВЕЛ К СЛЕДУЮЩЕМУ ПОСТРОЕНИЮ, ПРИНАДЛЕЖАЩЕМУ
Ё.~ЁАЙВЕСТУ И~Ё.~ЄАРЬЯНУ.

\proclaim ЄЕОРЕМА~L. хСЛИ~$n>32$, ТО~$V_t(n)\le 15n-163$ ПРИ~$1\le t\le n$.

\proof ъОГДА $n$~МАЛО, ТЕОРЕМА ТРИВИАЛЬНА, ТАК
КАК~$V_t(n)\le S(n)\le 10n\le 15n-163$  ДЛЯ~$32<n\le 2^{10}$. фОБАВИВ
САМОЕ БОЛЬШЕЕ 13~ФИКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ~"$-\infty$", МОЖНО СЧИТАТЬ,
ЧТО~$n=7(2q+1)$ ПРИ НЕКОТОРОМ ЦЕЛОМ~$q\ge 73$. ЄЕПЕРЬ ДЛЯ
ВЫБОРА $t\hbox{-ГО}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТА ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СЛЕДУЮЩИМ
МЕТОДОМ.
\medskip
{\sl °АГ~1.\/}~ЁАЗОБЬЕМ ЭЛЕМЕНТЫ НА $2q+1$~ГРУПП ПО 7~ЭЛЕМЕНТОВ В КАЖДОЙ И
ОТСОРТИРУЕМ КАЖДУЮ ГРУППУ. ¤ТО ПОТРЕБУЕТ НЕ БОЛЕЕ $13(2q+ 1)$~СРАВНЕНИЙ.

\smallskip
{\sl °АГ~2.\/}~эАЙДЕМ МЕДИАНУ ИЗ $2q+1$~МЕДИАН, ПОЛУЧЕННЫХ НА ШАГЕ~1, И
ОБОЗНАЧИМ ЕЕ~$x$. яРОВЕДЯ ИНДУКЦИЮ ПО~$q$, ЗАМЕЧАЕМ, ЧТО ЭТО ТРЕБУЕТ НЕ
БОЛЕЕ $V_{q+1}(2q+1)\le 30q-148$~СРАВНЕНИЙ.

\smallskip
{\sl °АГ~3.\/}~ЄЕПЕРЬ $n-1$~ЭЛЕМЕНТОВ, ОТЛИЧНЫХ ОТ~$x$, РАЗБИВАЮТСЯ НА ТРИ
МНОЖЕСТВА (РИС.~41):
%%261
\medskip
$4q+3$~ЭЛЕМЕНТОВ, О КОТОРЫХ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ БОЛЬШЕ~$x$ (ОБЛАСТЬ т);

$4q+3$~ЭЛЕМЕНТОВ, О КОТОРЫХ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ МЕНЬШЕ~$x$ (ОБЛАСТЬ ё);

$6q$~ЭЛЕМЕНТОВ, ОТНОШЕНИЕ КОТОРЫХ К~$x$ НЕИЗВЕСТНО (ОБЛАСТИ A, D).
\medskip

\noindent тЫПОЛНИВ ДОПОЛНИТЕЛЬНО $4q$~СРАВНЕНИЙ, МЫ МОЖЕМ В
ТОЧНОСТИ СКАЗАТЬ, КАКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИЗ ОБЛАСТЕЙ~р И~D МЕНЬШЕ~$x$. (ёНАЧАЛА МЫ
СРАВНИВАЕМ~$x$ СО СРЕДНИМ ЭЛЕМЕНТОМ КАЖДОЙ ТРОЙКИ.)
\picture{ЁИС. 41.           рЛГОРИТМ ВЫБОРА ЁАЙВЕСТА И ЄАРЬЯНА ($q=4$).}
\smallskip
{\sl °АГ~4.\/}~ЄЕПЕРЬ ПРИ НЕКОТОРОМ~$r$ МЫ НАШЛИ $r$~ЭЛЕМЕНТОВ,
БОЛЬШИХ~$x$, И~$n-1-r$~ЭЛЕМЕНТОВ, МЕНЬШИХ~$x$. хСЛИ~$t=r+1$, ТО~$x$ И
БУДЕТ ОТВЕТОМ; ЕСЛИ~$t<r+1$, ТО НАМ НУЖНО НАЙТИ $t\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ В
ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ $r$~Б\'ОЛЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ; И ЕСЛИ~$t>r+1$, ТО НАМ НУЖНО
НАЙТИ $(t-1-r)\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ $n-1-r$~МЕНЬШИХ
ЭЛЕМЕНТОВ. ёУТЬ ДЕЛА В ТОМ, ЧТО~$r$ И~$n-1-r$ ОБА МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНЫ~$10q+3$
(РАЗМЕР ОБЛАСТЕЙ~р И~D ПЛЮС~т ИЛИ~ё). шНДУКЦИЕЙ ПО~$q$ ВЫВОДИМ, ЧТО ЭТОТ
ШАГ ТРЕБУЕТ НЕ БОЛЕЕ $15(10q+3)-163$~СРАВНЕНИЙ.
\medskip

юБЩЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ОКАЗЫВАЕТСЯ НЕ БОЛЬШЕ
$$
13(2q+1)+30q-148+4q+15(10q+3)-163=15(14q-6)-163.
$$
ЄАК КАК МЫ НАЧАЛИ С НЕ МЕНЕЕ $14q-6$~ЭЛЕМЕНТОВ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО.
\proofend

ьЕТОД, ИСПОЛЬЗОВАННЫЙ В ЭТОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ, НЕ ВПОЛНЕ СОВЕРШЕННЫЙ,
ПОСКОЛЬКУ НА ШАГЕ~4 ТЕРЯЕТСЯ ЗНАЧИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ. ЄЩАТЕЛЬНЫЕ
УЛУЧШЕНИЯ, ПРОДЕЛАННЫЕ т.~яРАТТОМ,
%%262
Ё.~ЁАЙВЕСТОМ И~Ё.~ЄАРЬЯНОМ, ПОКАЗЫВАЮТ, ЧТО КОНСТАНТУ~15 МОЖНО УМЕНЬШИТЬ
ДО~$5.43$.

\section ёРЕДНЕЕ ЧИСЛО. тМЕСТО МИНИМИЗАЦИИ \emph{МАКСИМАЛЬНОГО} ЧИСЛА
СРАВНЕНИЙ МОЖНО ИСКАТЬ АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ МИНИМИЗИРУЕТ
\emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ПРЕДПОЛАГАЯ, ЧТО ПОРЯДОК СЛУЧАЕН. ъАК
ОБЫЧНО, ЭТА ЗАДАЧА ЗНАЧИТЕЛЬНО ТРУДНЕЕ, И ОНА ВСЕ ЕЩЕ НЕ РЕШЕНА ДАЖЕ В
СЛУЧАЕ~$t=2$. ъЛОД яИКАР УПОМЯНУЛ ЭТУ ЗАДАЧУ В СВОЕЙ
\picture{
  ЁИС.~42. яРОЦЕДУРА, КОТОРАЯ ВЫБИРАЕТ ВТОРОЙ ЭЛЕМЕНТ
  ИЗ~$\set{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6}$, ИСПОЛЬЗУЯ В СРЕДНЕМ
  $6{1\over2}$~СРАВНЕНИЙ.
ъАЖДАЯ "СИММЕТРИЧНАЯ" ВЕТВЬ ИДЕНТИЧНА СВОЕМУ БРАТУ, ОДНАКО ИМЕНА
ПЕРЕСТАВЛЕНЫ СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ. тО ВНЕШНИХ УЗЛАХ ЗАПИСАНО~$j\ k$,
ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧТО $X_j$---ВТОРОЙ, a $X_k$---НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ; ЧИСЛО
ПЕРЕСТАНОВОК, ПРИВОДЯЩИХ К ЭТОМУ УЗЛУ, ЗАПИСАНО НЕПОСРЕДСТВЕННО ПОД НИМ.
}
КНИГЕ Th\'eorie des Questionnaires (1965), ШИРОКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ БЫЛО
ПРЕДПРИНЯТО ьИЛТОНОМ ёОБЕЛЕМ [Univ.~of Minnesota, Dept.~of Statistics,
report~113 (November, 1968)].

ёОБЕЛЬ ПОСТРОИЛ ПРОЦЕДУРУ, ИЗОБРАЖЕННУЮ НА РИС.~42, КОТОРАЯ НАХОДИТ
ВТОРОЙ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ ИЗ ШЕСТИ  ЭЛЕМЕНТОВ, В СРЕДНЕМ ИСПОЛЬЗУЯ
ТОЛЬКО $6{1\over2}$~СРАВНЕНИЙ. т ХУДШЕМ
%%263
СЛУЧАЕ ТРЕБУЕТСЯ 8~СРАВНЕНИЙ, И ЭТО ХУЖЕ, ЧЕМ~$V_2(6)=7$;
НО ВСЕ ИЗВЕСТНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ ЭТОЙ ЗАДАЧИ, ТРЕБУЮЩИЕ НЕ
БОЛЕЕ 7~СРАВНЕНИЙ, ИСПОЛЬЗУЮТ В СРЕДНЕМ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ
$6{2\over3}$~СРАВНЕНИЙ. ЄАКИМ ОБРАЗОМ, ВЕРОЯТНО, НИКАКАЯ ПРОЦЕДУРА
НАХОЖДЕНИЯ ВТОРОГО ИЗ ШЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ НЕ БУДЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ ОДНОВРЕМЕННО
И КАК МИНИМАКСНАЯ, И КАК МИНИМИЗИРУЮЩАЯ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ.

яУСТЬ $\bar V(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ,
НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ $t\hbox{-ГО}$~ЭЛЕМЕНТА В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ. т СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ ПОКАЗАНЫ НАИЛУЧШИЕ ИЗВЕСТНЫЕ ВЕРХНИЕ
ОЦЕНКИ ДЛЯ~$\bar V_2(n)$, ВЫЧИСЛЕННЫЕ ёОБЕЛЕМ:
{\catcode`\!=\active\def!#1,#2/#3.{#1{#2\over#2}}
$$
\vbox{
\halign{
\hfill$#$\bskip&&\bskip$#$\hfill\bskip\cr
n=2& 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \cr
\bar V_2(n)\le 1& !2,2/3. & 4 & !5,4/15. & !6,1/2. & !7,17/21. & 9 & !10,
1/15. & !11,4/135.\cr
}}
\eqno(13)
$$
}
ёОБЕЛЬ ПРЕДПОЛОЖИЛ, ЧТО
$$
\bar V_2(n)\ge n-2+\floor{2\log_2 n}/2.
\eqno(14)
$$

Ё.~є.~ЇЛОЙД В 1970~Г.\ ОБНАРУЖИЛ, ЧТО МЕДИАНА $n$~ЭЛЕМЕНТОВ
В СРЕДНЕМ МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНА ВСЕГО ЗА ${3\over2}n+O\left(n^{2\over3}\log
n\right)$~СРАВНЕНИЙ. (ёМ.~УПР.~13.) ЇАКТИЧЕСКИ ОН ДОКАЗАЛ, ЧТО
$$
\bar V_t(n)\le n+t+f(n), \rem{ГДЕ $\lim_{n\to\infty} f(n)/n=0$.}
\eqno(15)
$$

яРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО ЭТОТ РЕЗУЛЬТАТ ЯВЛЯЕТСЯ НАИЛУЧШЕЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ
ФОРМУЛОЙ, ОДНАКО НИКАКОЙ УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНОЙ НИЖНЕЙ ОЦЕНКИ ВСЕ ЕЩЕ НЕ НАЙДЕНО.

\excercises
\ex[15] яОЧЕМУ В ТУРНИРЕ ыЬЮИСА ъЭРРОЛА (РИС.~39 И~40) ИГРОК~$13$
ВЫБЫВАЕТ, НЕСМОТРЯ НА ТО ЧТО ОН ВЫИГРАЛ СВОЙ МАТЧ В ТРЕТЬЕМ ТУРЕ?

\rex[ь25] фОКАЖИТЕ, ЧТО ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ НАШЛИ С ПОМОЩЬЮ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СРАВНЕНИЙ $t\hbox{-Й}$ ЭЛЕМЕНТ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ, МЫ ТАКЖЕ ЗНАЕМ, КАКИЕ $t-1$~ЭЛЕМЕНТОВ БОЛЬШЕ НЕГО И КАКИЕ
$n-t$~ЭЛЕМЕНТОВ МЕНЬШЕ.

\ex[M21] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$V_t(n)\ge V_t(n-1)+1$ ПРИ~$1\le t \le n$.

\ex[ь20] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$W_t(n)\ge\ceil{\log_2 n^{t\atop -}}$,
ГДЕ~$n^{t\atop -}=n(n-1) \ldots (n+1-t)$.

\ex[10] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$W_3(n)\le V_3(n)+1$.

\rex[ь26] (Ё.~є.~ЇЛОЙД.) фАНО $n$~РАЗЛИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ~$\set{X_1,~\ldots,
X_n}$ И ОТНОШЕНИЯ~$X_i<X_j$ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПАР~$(i, j)$. ьЫ ХОТИМ НАЙТИ
ВТОРОЙ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ. хСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧТО~$X_i<X_j$
И~$X_i<X_k$ ПРИ~$j\ne k$, ТО~$X_i$ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ВТОРЫМ ЭЛЕМЕНТОМ, ПОЭТОМУ
ЕГО МОЖНО ИСКЛЮЧИТЬ. т РЕЗУЛЬТАТЕ
%%264
ОТНОШЕНИЯ БУДУТ ИМЕТЬ ВИД
\picture{p.264}
А ИМЕННО ОБРАЗУЕТСЯ $m$~ГРУПП ЭЛЕМЕНТОВ, КОТОРЫЕ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ
ВЕКТОРОМ~$(l_1, l_2,~\ldots, l_m)$; $j\hbox{-Я}$~ГРУППА СОДЕРЖИТ
$l_j+1$~ЭЛЕМЕНТОВ, ПРО ОДИН ИЗ КОТОРЫХ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОН БОЛЬШЕ ОСТАЛЬНЫХ.
 эАПРИМЕР, ИЗОБРАЖЕННАЯ КОНФИГУРАЦИЯ МОЖЕТ БЫТЬ ОПИСАНА ВЕКТОРОМ~$(3, 2,
4, 0, 1)$; ЕСЛИ НИ ОДНОГО ОТНОШЕНИЯ НЕ ИЗВЕСТНО, ТО ИМЕЕМ ВЕКТОР ИЗ $n$~НУЛЕЙ.

яУСТЬ~$f(l_1, l_2,~\ldots, l_m)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НУЖНЫХ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВТОРОГО ЭЛЕМЕНТА ТАКОГО ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОГО
МНОЖЕСТВА. фОКАЖИТЕ, ЧТО
$$
f(l_1, l_2,~\ldots, l_m)=m-2+\ceil{\log_2(2^{l_1}+2^{l_2}+\cdots+2^{l_m})}.
$$
[\emph{єКАЗАНИЕ.} яОКАЖИТЕ, ЧТО НАИЛУЧШАЯ СТРАТЕГИЙ ВСЕГДА СОСТОИТ В ТОМ,
ЧТОБЫ  СРАВНИВАТЬ НАИБОЛЬШИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДВУХ САМЫХ МАЛЕНЬКИХ ГРУПП, ПОКА НЕ
СВЕДЕМ ОТ К ЕДИНИЦЕ; ИСПОЛЬЗУЙТЕ ИНДУКЦИЮ Пo~$l_1+l_2+\cdots+l_m+2m$.]

\ex[ь20] фОКАЖИТЕ~(8).

\ex[ь21] ЇОРМУЛА ъИСЛИЦЫНА~(6) ОСНОВАНА НА СОРТИРОВКЕ ПОСРЕДСТВОМ ВЫБОРА
ИЗ ДЕРЕВА, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЙ ПОЛНОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С $n$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ.
ьОЖЕТ ЛИ ВЫБОР ИЗ ДЕРЕВА, ОСНОВАННЫЙ НА НЕКОТОРОМ \emph{ДРУГОМ} ДЕРЕВЕ,
 ДАТЬ ЛУЧШУЮ ОЦЕНКУ ДЛЯ КАКИХ-НИБУДЬ $t$ u~$n$?

\rex[20] эАРИСУЙТЕ ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ МЕДИАНЫ ПЯТИ
ЭЛЕМЕНТОВ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА ШЕСТЬ ШАГОВ, ИСПОЛЬЗУЯ МЕТОД ВЫБОРА С
ЗАМЕЩЕНИЕМ рДЬЯНА И~ёОБЕЛЯ [СМ.~(11)].

\ex[35] яОКАЖИТЕ, ЧТО МЕДИАНА СЕМИ ЭЛЕМЕНТОВ МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНА НЕ БОЛЕЕ
ЧЕМ ЗА 10~ШАГОВ.

\ex[28] (рДЬЯН И~ёОБЕЛЬ.) ЁАСШИРИВ МЕТОД фОРЕНА, СФОРМУЛИРОВАННЫЙ В ТЕКСТЕ,
ПОКАЖИТЕ, ЧТО МЕДИАНА ДЕВЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНА НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА
15~ШАГОВ.

\ex[21] (рДЬЯН И~ёОБЕЛЬ.) фОКАЖИТЕ, ЧТО~$V_3(n)\le V_3(n-1)+2$.
[\emph{єКАЗАНИЕ:} НАЧНИТЕ С УДАЛЕНИЯ НАИМЕНЬШЕГО ИЗ~$\set{X_1, X_2, X_3, X_4}$.]

\rex[ть28] (Ё.~є.~ЇЛОЙД.) яОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ НАЧАТЬ С НАХОЖДЕНИЯ
МЕДИАНЫ~$\set{X_1,~\ldots, X_{n^{2/3}}}$, ИСПОЛЬЗУЯ РЕКУРСИВНО
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ МЕТОД, ТО МОЖНО
НАЙТИ МЕДИАНУ~$\set{X_1,~\ldots, X_n}$, ВЫПОЛНИВ В СРЕДНЕМ
${3\over2}n+O(n^{2/3}\log n)$~СРАВНЕНИЙ.

\rex[20] (ь.~ёОБЕЛЬ.) яОКАЖИТЕ, ЧТО, ИСПОЛЬЗОВАВ НЕ БОЛЕЕ ПЯТИ СРАВНЕНИЙ,
 МОЖНО НАЙТИ ДВА НАИБОЛЬШИЕ ЭЛЕМЕНТА ИЗ~$\set{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5}$,
ЕСЛИ НЕ ВАЖЕН ИХ ВЗАИМНЫЙ ПОРЯДОК.

\ex[22] (ш.~яОЛ.) яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО НАС ИНТЕРЕСУЕТ МИНИМИЗАЦИЯ
ПРОСТРАНСТВА, А НЕ ВРЕМЕНИ. ъАКОЕ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СЛОВ ПАМЯТИ
ТРЕБУЕТСЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ~$t\hbox{-ГО}$ ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ КАЖДЫЙ
ЭЛЕМЕНТ ЗАНИМАЕТ ОДНО СЛОВО И ЭЛЕМЕНТЫ ВВОДЯТСЯ В ОСОБЫЙ РЕГИСТР ПО ОДНОМУ?

\rex[25] (ш.~яОЛ.) яОКАЖИТЕ, ЧТО МЫ МОЖЕМ НАЙТИ ОДНОВРЕМЕННО МАКСИМУМ И
МИНИМУМ МНОЖЕСТВА ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗОВАВ НЕ БОЛЕЕ
$\ceil{{3\over2}n}-2$~СРАВНЕНИЙ, И ЭТО ЧИСЛО НЕ МОЖЕТ БЫТЬ УМЕНЬШЕНО.
[\emph{єКАЗАНИЕ.} ыЮБАЯ СТАДИЯ ТАКОГО АЛГОРИТМА МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНА
ЧЕТВЕРКОЙ~$(a, b, c, d)$, ГДЕ $a$~ЭЛЕМЕНТОВ ВООБЩЕ НЕ СРАВНИВАЛИСЬ,
$b$~ЭЛЕМЕНТОВ ВЫИГРЫВАЛИ, НО НИКОГДА НЕ ПРОИГРЫВАЛИ,
%%265
$c$~ПРОИГРЫВАЛИ, НО НИКОГДА НЕ ВЫИГРЫВАЛИ, $d$~КАК ВЫИГРЫВАЛИ,
ТАК И ПРОИГРЫВАЛИ. яОСТРОЙТЕ ПОДХОДЯЩЕГО ДЬЯВОЛА.]

\ex[20] (Ё.~є.~ЇЛОЙД.) яОКАЖИТЕ, ЧТО МОЖНО ВЫБРАТЬ $k$~НАИБОЛЬШИХ
И~$l$~НАИМЕНЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗОВАВ НЕ БОЛЕЕ
$\ceil{{3\over2}n}-k-l+\sum_{n+1-k<j\le n}\ceil{\log_2 j}+\sum_{n+1-l<j\le n}\ceil{\log_2j}$~СРАВНЕНИЙ.

\ex[ь20] хСЛИ БЫ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ~L БЫЛИ ИСПОЛЬЗОВАНЫ
ГРУППЫ РАЗМЕРА~5, А НЕ~7, ТО КАКАЯ БЫ ПОЛУЧИЛАСЬ ТЕОРЕМА?

\ex[ь44] эАЙДИТЕ ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$\bar V_2(6)$. ьОЖЕТ ЛИ ОНО ДОСТИГАТЬСЯ В
ПРОЦЕДУРЕ, НИКОГДА НЕ ВЫПОЛНЯЮЩЕЙ БОЛЕЕ СЕМИ СРАВНЕНИЙ?

\ex[ь47] фОКАЖИТЕ (ИЛИ ОПРОВЕРГНИТЕ) ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ ёОБЕЛЯ~(13).

\ex[25] (ё.~ыИН.) фОКАЖИТЕ, ЧТО~$W_3(2^k+2)\le 2^k+2k$, ЕСЛИ~$k\ge3$.

\ex[24] (фЭВИД у.~ъИРКПАТРИК.) яОКАЖИТЕ, ЧТО В
СЛУЧАЕ~$4\cdot2^k<n-1<5\cdot2^k$ ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА~(11) ДЛЯ~$V_3(n)$ МОЖЕТ
БЫТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ УМЕНЬШЕНА НА~1: (i)~юБРАЗУЙТЕ ЧЕТЫРЕ "ДЕРЕВА С
ВЫБЫВАНИЕМ" РАЗМЕРА~$2^k$. (ii)~эАЙДИТЕ МИНИМАЛЬНЫЙ ИЗ ЧЕТЫРЕХ МАКСИМУМОВ
И УДАЛИТЕ ВСЕ $2^k$~ЭЛЕМЕНТОВ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ДЕРЕВА. (iii)~шСПОЛЬЗУЯ
НАКОПЛЕННУЮ ИНФОРМАЦИЮ, ПОСТРОЙТЕ ОДНО ДЕРЕВО С ВЫБЫВАНИЕМ
РАЗМЕРА~$n-1-2^k$. (iv)~яРОДОЛЖАЙТЕ, КАК ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ~(11).

\ex[ь49] ъАКОВО АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$V_{\ceil{n/2}}(n)$ ПРИ~$n\to\infty$?

\ex[ь48] ъАКОВО АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$\bar V_{\ceil{n/2}}(n)$
ПРИ~$n\to\infty$?

\subsubchap{ёЕТИ СОРТИРОВКИ} %5.3.4
т НАСТОЯЩЕМ ПУНКТЕ МЫ БУДЕМ ИЗУЧАТЬ КЛАСС МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕКОТОРОМУ ОГРАНИЧЕНИЮ. шНТЕРЕС К ТАКИМ МЕТОДАМ
ОБоЯСНЯЕТСЯ В ОСНОВНОМ ПРИЛОЖЕНИЯМИ И СОЛИДНОЙ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ОСНОВОЙ.
¤ТО НОВОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ ТРЕБУЕТ, ЧТОБЫ \emph{ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СРАВНЕНИЙ НЕ
ЗАВИСЕЛА ОТ ПРЕДЫСТОРИИ}%
\note{1}%
{т ПЕРВОЙ РЕДАКЦИИ КНИГИ АВТОР НАЗЫВАЛ ТАКУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ОДНОРОДНОЙ.---{\sl яРИМ. РЕД.\/}}
В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ЕСЛИ МЫ СРАВНИВАЕМ~$K_i$ И~$K_j$, ТО ПОСЛЕДУЮЩИЕ
СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ~$K_i<K_j$ В ТОЧНОСТИ ТЕ ЖЕ, ЧТО И
ДЛЯ СЛУЧАЯ~$K_i>K_j$, ОДНАКО~$i$ И~$j$ МЕНЯЮТСЯ РОЛЯМИ. эА
РИС.~43(А) ИЗОБРАЖЕНО ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ, В КОТОРОМ ЭТО УСЛОВИЕ
ВЫПОЛНЕНО. (чАМЕТИМ, ЧТО НА КАЖДОМ УРОВНЕ ПРОИЗВОДИТСЯ ОДИНАКОВОЕ
ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ПОЭТОМУ ПОСЛЕ $m$~СРАВНЕНИЙ ИМЕЕТСЯ $2^m$~РЕЗУЛЬТАТОВ;
ТАК КАК~$n!$ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ~2, ТО НЕКОТОРЫЕ СРАВНЕНИЯ БУДУТ
ИЗЛИШНИМИ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ОДНО ИЗ ИХ ПОДДЕРЕВЬЕВ НИКОГДА НЕ ВСТРЕЧАЕТСЯ
НА ПРАКТИКЕ. шНЫМИ СЛОВАМИ, НА НЕКОТОРЫХ ВЕТВЯХ ДЕРЕВА ПРИХОДИТСЯ
ВЫПОЛНЯТЬ БОЛЬШЕ СРАВНЕНИЙ, ЧЕМ НЕОБХОДИМО, ЧТОБЫ СОРТИРОВКА БЫЛА
ПРАВИЛЬНОЙ НА ВСЕХ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ВЕТВЯХ.)

ЄАК КАК КАЖДЫЙ ПУТЬ ТАКОГО ДЕРЕВА СВЕРХУ ДОНИЗУ ОПРЕДЕЛЯЕТ ВСЕ ДЕРЕВО,
ТО ПОДОБНУЮ СХЕМУ СОРТИРОВКИ ПРОЩЕ ИЗОБРАЖАТЬ В ВИДЕ \dfn{СЕТИ,} КАК НА
РИС.~43(b). яРЯМОУГОЛЬНИКИ В ТАКОЙ СЕТИ ПРЕДСТАВЛЯЮТ "КОМПАРАТОРНЫЕ
МОДУЛИ", ИМЕЮЩИЕ ДВА ВХОДА (ИЗОБРАЖЕННЫЕ ЛИНИЯМИ, ВХОДЯЩИМИ В МОДУЛЬ СВЕРХУ)
%%266
\picture{ЁИС. 43. фЕРЕВО СРАВНЕНИЙ, В КОТОРОМ НЕ УЧИТЫВАЕТСЯ ПРЕДЫСТОРИЯ,
(a) И СООТВЕТСТВУЮЩАЯ СЕТЬ~(b).}
%%267
И ДВА ВЫХОДА (ИЗОБРАЖЕННЫЕ ЛИНИЯМИ, ВЫХОДЯЩИМИ ВНИЗ); ЛЕВЫЙ ВЫХОД ЕСТЬ
МЕНЬШИЙ ИЗ ДВУХ ВХОДОВ, А ПРАВЫЙ ВЫХОД---БОЛЬШИЙ ИЗ НИХ. ¤ЛЕМЕНТ~$K'_1$ В
НИЖНЕЙ ЧАСТИ СЕТИ ЕСТЬ НАИМЕНЬШИЙ ИЗ~$\set{K_1, K_2, K_3, K_4}$,
$K'_2$---ВТОРОЙ В ПОРЯДКЕ ВОЗРАСТАНИЯ И~Т.~Д. эЕТРУДНО ДОКАЗАТЬ, ЧТО ЛЮБАЯ
СЕТЬ СОРТИРОВКИ СООТВЕТСТВУЕТ ДЕРЕВУ СРАВНЕНИЙ, ОБЛАДАЮЩЕМУ СВОЙСТВОМ
НЕЗАВИСИМОСТИ ОТ ПРЕДЫСТОРИИ (В УКАЗАННОМ ВЫШЕ СМЫСЛЕ), И ЧТО ЛЮБОЕ
ТАКОЕ ДЕРЕВО СООТВЕТСТВУЕТ СЕТИ КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ.

ьЕЖДУ ПРОЧИМ ЗАМЕТИМ, ЧТО С ИНЖЕНЕРНОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ
ДОВОЛЬНО ЛЕГКО ИЗГОТОВИТЬ. яРЕДПОЛОЖИМ, НАПРИМЕР, ЧТО ПО ЛИНИЯМ СВЯЗИ В
МОДУЛЬ ПОСТУПАЮТ ДВОИЧНЫЕ ЧИСЛА ПО ОДНОМУ БИТУ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ, НАЧИНАЯ
СО СТАРШЕГО. ъАЖДЫЙ КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ ИМЕЕТ ТРИ СОСТОЯНИЯ И
ФУНКЦИОНИРУЕТ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
$$
\matrix{
\multispan{3}\hfill\hbox{ьОМЕНТ $t$}\hfill &\multispan{3}\hfill \hbox{ьОМЕНТ $(t+1)$}\hfill\cr
\hbox{ёОСТОЯНИЕ} & \hbox{тХОДЫ}\hfill\span & \hbox{ёОСТОЯНИЕ} &\hbox{тЫХОДЫ}\hfill\span\cr
0                & 0 & 0                   & 0                & 0 & 0\cr
0                & 0 & 1                   & 1                & 0 & 1\cr
0                & 1 & 0                   & 2                & 0 & 1\cr
0                & 1 & 1                   & 0                & 1 & 1\cr
1                & x & y                   & 1                & x & y\cr
2                & x & y                   & 2                & y & x\cr
}
$$
яЕРВОНАЧАЛЬНО ВСЕ МОДУЛИ НАХОДЯТСЯ В СОСТОЯНИИ~0 И ВЫДАЮТ~$00$. ьОДУЛЬ
ПЕРЕХОДИТ В СОСТОЯНИЕ~1 ИЛИ~2, КАК ТОЛЬКО ЕГО ВХОДЫ СТАНУТ РАЗЛИЧНЫМИ.
ўИСЛА, КОТОРЫЕ В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ~$t$ НАЧАЛИ ПОСТУПАТЬ СВЕРХУ В СЕТЬ,
СООТВЕТСТВУЮЩУЮ РИС.~43(b), НАЧНУТ В МОМЕНТ~$t+3$ ВЫВОДИТЬСЯ СНИЗУ В
ОТСОРТИРОВАННОМ
\picture{ЁИС.~44. хЩЕ ОДИН СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОРТИРОВКИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ $\langle 4, 1, 3, 2\rangle$ ПОСРЕДСТВОМ СЕТИ,
ИЗОБРАЖЕННОЙ НА РИС.~43.}
ПОРЯДКЕ, ЕСЛИ ВКЛЮЧИТЬ СООТВЕТСТВУЮЩИЙ ЗАДЕРЖИВАЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ В
ЛИНИЯХ~$K'_1$ И~$K'_4$.

фЛЯ РАЗРАБОТКИ ТЕОРИИ СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ УДОБНО ИЗОБРАЖАТЬ ИХ НЕСКОЛЬКО
ИНЫМ СПОСОБОМ (РИС.~44). эА ЭТОМ РИСУНКЕ ЧИСЛА ПОСТУПАЮТ СЛЕВА, А
КОМПАРАТОРНЫЕ МОДУЛИ ИЗОБРАЖЕНЫ ВЕРТИКАЛЬНЫМИ СОЕДИНЕНИЯМИ МЕЖДУ ДВУМЯ
ПРЯМЫМИ; КАЖДЫЙ
%%268
КОМПАРАТОР ВЫЗЫВАЕТ, ЕСЛИ НЕОБХОДИМО, ПЕРЕСТАНОВКУ СВОИХ ВХОДОВ ТАКИМ
ОБРАЗОМ, ЧТО ПОСЛЕ ПРОХОЖДЕНИЯ КОМПАРАТОРА БОЛЬШЕЕ ЧИСЛО ОКАЗЫВАЕТСЯ НА
НИЖНЕЙ ЛИНИИ. т ПРАВОЙ ЧАСТИ ДИАГРАММЫ ВСЕ ЧИСЛА УПОРЯДОЧЕНЫ СВЕРХУ ВНИЗ.

ЁАНЕЕ, ИЗУЧАЯ ОПТИМАЛЬНУЮ СОРТИРОВКУ, МЫ УДЕЛЯЛИ ОСНОВНОЕ ВНИМАНИЕ
МИНИМИЗАЦИИ ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ, ПОЧТИ (ИЛИ СОВСЕМ)
\picture{ЁИС.~45. яОЛУЧЕНИЕ $(n+1)$-ЭЛЕМЕНТНОГО СОРТИРОВЩИКА ИЗ
$n$-ЭЛЕМЕНТНОГО: (a)---ВСТАВКА; (b)---ВЫБОР.}
НЕ УЧИТЫВАЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ДАННЫХ ИЛИ СЛОЖНОСТЬ СТРУКТУРЫ РЕШЕНИЙ МЕТОДА
СОРТИРОВКИ. т ЭТОМ ОТНОШЕНИИ СЕТИ СОРТИРОВКИ ИМЕЮТ НЕКОТОРОЕ ПРЕИМУЩЕСТВО,
ТАК КАК ДАННЫЕ МОГУТ ХРАНИТЬСЯ В $n$~ЯЧЕЙКАХ, А СТРУКТУРА РЕШЕНИЙ
"ПРЯМОЛИНЕЙНА"; НЕТ НЕОБХОДИМОСТИ ЗАПОМИНАТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРЕДЫДУЩИХ
СРАВНЕНИЙ---ПЛАН НЕИЗМЕНЕН И ФИКСИРОВАН ЗАРАНЕЕ. хЩЕ ОДНИМ ВАЖНЫМ
\picture{ЁИС.~46. ёЕТЕВЫЕ АНАЛОГИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СХЕМ
ВНУТРЕННЕЙ СОРТИРОВКИ, ПОЛУЧЕННЫЕ МНОГОКРАТНЫМ ПРИМЕНЕНИЕМ ОПЕРАЦИИ,
ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА РИС.~45: (a)---ПРОСТАЯ ВСТАВКА; (b)---МЕТОД ПУЗЫРЬКА.}
ПРЕИМУЩЕСТВОМ СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ ЯВЛЯЕТСЯ ТО, ЧТО ЧАСТЬ ОПЕРАЦИЙ МОЖНО
СОВМЕСТИТЬ, ЕСЛИ ВЫПОЛНЯТЬ ИХ ОДНОВРЕМЕННО (НА ПОДХОДЯЩЕЙ МАШИНЕ).
эАПРИМЕР, ПЯТЬ ШАГОВ НА РИС.~43 И~44 СОКРАЩАЮТСЯ ДО ТРЕХ, ЕСЛИ ДОПУСТИТЬ
ОДНОВРЕМЕННЫЕ НЕПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ СРАВНЕНИЯ, ТАК КАК МОЖНО ОБоЕДИНИТЬ
ПЕРВЫЕ ДВА И СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ШАГА; ПОЗДНЕЕ В ДАННОМ ПУНКТЕ МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ
%%269
ЭТО СВОЙСТВО СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ. ЄАКИМ ОБРАЗОМ, СЕТИ СОРТИРОВКИ МОГУТ БЫТЬ
ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНЫ, ХОТЯ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ СЕТИ СОРТИРОВКИ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ БОЛЬШИХ~$n$ ВОВСЕ НЕ ОЧЕВИДНА; ВОЗМОЖНО, МЫ ОБНАРУЖИМ,
ЧТО ДЛЯ ПОДДЕРЖАНИЯ ОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРЫ РЕШЕНИЙ ТРЕБУЕТСЯ МНОГО
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СРАВНЕНИЙ.

шМЕЕТСЯ ДВА ПРОСТЫХ СПОСОБА ПОСТРОЕНИЯ СЕТИ СОРТИРОВКИ. ДЛЯ
$n+1$~ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ ДАНА СЕТЬ ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ: С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛИБО
ПРИНЦИПА \emph{ВСТАВКИ,} ЛИБО ПРИНЦИПА \emph{ВЫБОРА.} эА
\picture{ЁИС.~47. яРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ВЫПОЛНЕНИИ ОПЕРАЦИЙ ПРОСТАЯ ВСТАВКА
СОВПАДАЕТ С МЕТОДОМ ПУЗЫРЬКА!}
РИС.~45(a) ПОКАЗАНО, КАК $(n+1)\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ МОЖЕТ БЫТЬ ВСТАВЛЕН НА
НУЖНОЕ МЕСТО ПОСЛЕ ТОГО, КАК ПЕРВЫЕ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ ОТСОРТИРОВАНЫ, А НА
РИС.~45(b) ПОКАЗАНО, КАК МОЖНО ВЫБРАТЬ НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ, ПРЕЖДЕ ЧЕМ
ПЕРЕЙТИ К СОРТИРОВКЕ ОСТАЛЬНЫХ. ьНОГОКРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ РИС.~45(a) ДАЕТ
СЕТЕВОЙ АНАЛОГ ПРОСТЫХ ВСТАВОК (АЛГОРИТМ~5.2.1S), А МНОГОКРАТНОЕ
ПРИМЕНЕНИЕ РИС.~45(b) ПРИВОДИТ К СЕТЕВОМУ АНАЛОГУ МЕТОДА ПУЗЫРЬКА
(АЛГОРИТМ~5.2.2B). эА РИС.~46 ИЗОБРАЖЕНЫ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СЕТИ ДЛЯ ШЕСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ. шНТЕРЕСНО ЗАМЕТИТЬ, ЧТО ЕСЛИ СЖАТЬ КАЖДУЮ СЕТЬ, ЧТОБЫ
ОБЕСПЕЧИТЬ ОДНОВРЕМЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ, ТО ОБА МЕТОДА СВЕДУТСЯ К ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ
"ТРЕУГОЛЬНОЙ" ПРОЦЕДУРЕ С $(2n-3)$~СТАДИЯМИ (РИС.~47).

ыЕГКО ДОКАЗАТЬ, ЧТО СЕТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ НА РИС.~43 И~44, БУДУТ
СОРТИРОВАТЬ ЛЮБОЕ МНОЖЕСТВО ИЗ ЧЕТЫРЕХ ЧИСЕЛ, ПОСКОЛЬКУ ПЕРВЫЕ ЧЕТЫРЕ
КОМПАРАТОРА НАПРАВЛЯЮТ НАИМЕНЬШИЙ И НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТЫ НА ПОЛОЖЕННЫЕ ИМ
МЕСТА, А ПОСЛЕДНИЙ КОМПАРАТОР РАСПОЛАГАЕТ В ТРЕБУЕМОМ ПОРЯДКЕ ОСТАЛЬНЫЕ
ДВА ЭЛЕМЕНТА. юДНАКО НЕ ВСЕГДА ТАК ЛЕГКО СКАЗАТЬ, БУДЕТ ЛИ ДАННАЯ СЕТЬ
СОРТИРОВАТЬ ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ ВХОДНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ; НАПРИМЕР, СЕТИ
\picture{p.269}
ЯВЛЯЮТСЯ ПРАВИЛЬНЫМИ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТИЫМИ СЕТЯМИ СОРТИРОВКИ, НО
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИХ ПРАВИЛЬНОСТИ НЕТРИВИАЛЬНО. сЫЛО БЫ
%%270
ДОСТАТОЧНО ПРОВЕРИТЬ КАЖДУЮ $n$-ЭЛЕМЕНТНУЮ СЕТЬ НА ВСЕХ $n!$~ПЕРЕСТАНОВКАХ
$n$~РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЕЛ, НО ФАКТИЧЕСКИ МЫ МОЖЕМ ОБОЙТИСЬ ЗНАЧИТЕЛЬНО МЕНЬШИМ
КОЛИЧЕСТВОМ ПРОВЕРОК.

\proclaim ЄЕОРЕМА~Z. (яРИНЦИП НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ.) хСЛИ СЕТЬ С $n$~ВХОДАМИ
СОРТИРУЕТ В НЕУБЫВАЮЩЕМ ПОРЯДКЕ ВСЕ $2^n$~ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ИЗ~0 И~1, ТО
ОНА БУДЕТ СОРТИРОВАТЬ В НЕУБЫВАЮЩЕМ ПОРЯДКЕ ЛЮБУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $n$~ЧИСЕЛ.

\proof (¤ТО ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ сУРИСИУСА, УПР.~5.3.1-12.)
хСЛИ~$f(x)$---ЛЮБАЯ МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ, ДЛЯ КОТОРОЙ~$f(x)\le f(y)$
ПРИ~$x\le y$, И ЕСЛИ ДАННАЯ СЕТЬ ПРЕОБРАЗУЕТ~$\< x_1,~\ldots, x_n>$
В~$\<y_1,~\ldots, y_n>$, ТО, КАК НЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЭТА СЕТЬ
ПРЕОБРАЗУЕТ~$\<f(x_1),~\ldots, f(x_n)>$ В~$\<f(y_1),~\ldots, f(y_n)>$.
хСЛИ~$y_i>y_{i+1}$ ПРИ НЕКОТОРОМ~$i$, ТО РАССМОТРИМ МОНОТОННУЮ ФУНКЦИЮ~$f$,
 КОТОРАЯ ДЛЯ ВСЕХ ЧИСЕЛ $<y_i$ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ~0, А ДЛЯ ВСЕХ
ЧИСЕЛ~$\le y_1$---ЗНАЧЕНИЕ~1. ¤ТА ФУНКЦИЯ ОПРЕДЕЛЯЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ
И ЕДИНИЦ~$\<f(x_1),~\ldots, f(x_n)>$, КОТОРАЯ НЕ СОРТИРУЕТСЯ ДАННОЙ СЕТЬЮ.
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЕСЛИ ВСЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~0 И~1 ПОДДАЮТСЯ СОРТИРОВКЕ,
ТО БУДЕМ ИМЕТЬ~$y_i\le y_{i+1}$ ДЛЯ ВСЕХ~$1\le i < n$.
\proofend

яРИНЦИП НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ ДОВОЛЬНО ПОЛЕЗЕН ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ. т
КАЧЕСТВЕ НЕТРИВИАЛЬНОГО ПРИМЕРА ПОЛУЧИМ ОБОБЩЕННЫЙ ВАРИАНТ "ОБМЕННОЙ
СОРТИРОВКИ СО СЛИЯНИЕМ" сЭТЧЕРА (АЛГОРИТМ~5.2.2ь). шДЕЯ СОСТОИТ В ТОМ,
ЧТОБЫ СОРТИРОВАТЬ $m+n$~ЭЛЕМЕНТОВ, "СОРТИРУЯ ПЕРВЫЕ~$m$ И ПОСЛЕДНИЕ~$n$
ЭЛЕМЕНТОВ НЕЗАВИСИМО И ЗАТЕМ ПРИМЕНЯЯ К РЕЗУЛЬТАТУ \dfn{$(m, n)$-СЕТЬ
СЛИЯНИЯ.} яОСТРОИТЬ $(m, n)$-СЕТЬ СЛИЯНИЯ МОЖНО ПО ИНДУКЦИИ:
{\medskip\narrower
\item{a)}~хСЛИ~$m=0$ ИЛИ~$n=0$, ТО СЕТЬ ПУСТАЯ. хСЛИ~$m=n=1$, ТО СЕТЬ
СОСТОИТ ИЗ ЕДИНСТВЕННОГО КОМПАРАТОРНОГО МОДУЛЯ.

\item{b)}~хСЛИ~$mn>1$, ТО ОБОЗНАЧИМ СЛИВАЕМЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ $\<x_1,
~\ldots, x_m>$ И~$\<y_1,~\ldots, y_n>$. ёОЛЬЕМ "НЕЧЕТНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ"~$\<x_1, x_3,~\ldots, x_{2\ceil{m/2}-1}>$
И~$\<y_1, y_3,~\ldots, y_{2\ceil{n/2}-1}>$ И ПОЛУЧИМ ОТСОРТИРОВАННЫЙ
РЕЗУЛЬТАТ~$\<v_1, v_2,~\ldots, v_{\ceil{m/2}+\ceil{n/2}}>$;
СОЛЬЕМ "ЧЕТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ"~$\<x_2, x_4,~\ldots, x_{2\floor{m/2}}>$
И~$\<y_2, y_4,~\ldots, y_{2\floor{n/2}}>$ И ПОЛУЧИМ ОТСОРТИРОВАННЫЙ
РЕЗУЛЬТАТ~$\<w_1, w_2,~\ldots, w_{\floor{m/2}+\floor{n/2}}>$. ш НАКОНЕЦ,
ПРИМЕНИМ ОПЕРАЦИИ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА
$$
w_1:v_2, w_2:v_3, w_3:v_4, w_{\floor{m/2}+\floor{n/2}}:v^*
\eqno(1)
$$
К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
$$
\<v_1, w_1, v_2, w_2, v_3, w_3,~\ldots, v_{\floor{m/2}+\floor{n/2}},
w_{\floor{m/2}+\floor{n/2}}, v^*, v^{**}>;
\eqno(2)
$$
РЕЗУЛЬТАТ БУДЕТ ОТСОРТИРОВАН. (!)
(чДЕСЬ~$v^*=v_{\floor{m/2}+\floor{n/2}+1}$ НЕ СУЩЕСТВУЕТ, ЕСЛИ~$m$ И~$n$
ОБА ЧЕТНЫЕ, И~$v^{**}=v_{\floor{m/2}+\floor{n/2}+2}$
%% 271
СУЩЕСТВУЕТ, ЛИШЬ ЕСЛИ~$m$ И~$n$ ОБА НЕЧЕТНЫЕ; ОБЩЕЕ ЧИСЛО КОМПАРАТОРНЫХ
МОДУЛЕЙ,   УКАЗАННЫХ   В~(1),   РАВНО~$\floor{(m+n)-1)/2}$.)
\medskip}
\noindent эАЗОВЕМ $(m, n)$-СЕТЬ СЛИЯНИЯ сЭТЧЕРА \dfn{ЧЕТНО-НЕЧЕТНЫМ
СЛИЯНИЕМ.} яОСТРОЕННОЕ В СООТВЕТСТВИИ С ЭТИМИ ПРИНЦИПАМИ $(4,
7)$-СЛИЯНИЕ ПОКАЗАНО НА РИС.~48.

\picture{ЁИС. 48.         ўЕТНО-НЕЧЕТНОЕ СЛИЯНИЕ ДЛЯ~$m=4$ И~$n=7$.}

ўТОБЫ ДОКАЗАТЬ, ЧТО ЭТА ОЧЕНЬ СТРАННАЯ ПРОЦЕДУРА ДЕЙСТВИТЕЛЬНО РАБОТАЕТ
ПРИ~$mn>1$, ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ПРИНЦИПОМ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ И ПРОВЕРИМ ЕЕ НА ВСЕХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ~0 И~1. яОСЛЕ НАЧАЛЬНЫХ $m$-СОРТИРОВКИ И $n$-СОРТИРОВКИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<x_1,~\ldots, x_m>$ БУДЕТ СОСТОЯТЬ ИЗ $k$~НУЛЕЙ, ЗА
КОТОРЫМИ СЛЕДУЮТ $m-k$~ЕДИНИЦ, А
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<y_1,~\ldots, y_n>$---ИЗ $l$~НУЛЕЙ С
ПОСЛЕДУЮЩИМИ $n-l$~ЕДИНИЦАМИ ПРИ НЕКОТОРЫХ~$k$ И~$l$.
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<v_1, v_2,~\ldots>$ БУДЕТ
СОСТОЯТЬ ИЗ~$\ceil{k/2}+\ceil{l/2}$~НУЛЕЙ С ПОСЛЕДУЮЩИМИ ЕДИНИЦАМИ,
А $\<w_1, w_2,~\ldots>$---ИЗ $\floor{k/2}+\floor{l/2}$~НУЛЕЙ С ПОСЛЕДУЮЩИМИ
ЕДИНИЦАМИ. ЁЕШАЮЩИМ МОМЕНТОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЯВЛЯЕТСЯ ТО, ЧТО
$$
(\ceil{k/2}+\ceil{l/2})-(\floor{k/2}+\floor{l/2})=0, 1 \hbox{ ИЛИ } 2.
\eqno(3)
$$
хСЛИ ЭТА РАЗНОСТЬ РАВНА~0 ИЛИ~1, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~(2) УЖЕ УПОРЯДОЧЕНА,
 А ЕСЛИ ОНА РАВНА~2, ТО ОДНА ИЗ ОПЕРАЦИЙ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА В~(1) СТАВИТ ВСЕ
НА СВОИ МЕСТА. фОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО. (чАМЕТИМ, ЧТО ПРИНЦИП НУЛЕЙ И
ЕДИНИЦ СВОДИТ
$\perm{m+n}{m}$~СЛУЧАЕВ В ЗАДАЧЕ СЛИЯНИЯ ВСЕГО ЛИШЬ К~$(m+1)(n+1)$,
КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ИЗОБРАЖАЕТСЯ ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ~$k$ И~$l$.)
яУСТЬ~$C(m, n)$---ЧИСЛО КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ
ЧЕТНО-НЕЧЕТНОМ СЛИЯНИИ $m$ И $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, НЕ СЧИТАЯ
%%272
НАЧАЛЬНЫХ $m$- И~$n$-СОРТИРОВОК; ИМЕЕМ
$$
C(m,n)=\cases{
mn, & ЕСЛИ $mn\le 1$;\cr
C(\ceil{m/2}, \ceil{n/2})+C(\floor{m/2}, \floor{n/2})+ \floor{(m+n-1)/2},
& ЕСЛИ $mn>1$.\cr
}
\eqno(4)
$$

т ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЭТО НЕ СЛИШКОМ ПРОСТАЯ ФУНКЦИЯ ОТ~$m$ И~$n$, ОДНАКО,
ЗАМЕТИВ, ЧТО~$C(1, n)=n$ И ЧТО
$$
C(m+1, n+1)-C(m,n)=
=1+C(\floor{m/2}+1, \floor{n/2}+1)-C(\floor{m/2}, \floor{n/2}),
\rem{ЕСЛИ $mn\ge 1$},
$$
МЫ МОЖЕМ ВЫВЕСТИ СООТНОШЕНИЕ
$$
C(m+1, n+1)-C(m,n)=t+2+\floor{n/2^{t+1}},
\rem{ЕСЛИ~$n\ge m \ge 1$ И~$t=\floor{\log_2 m}$.}
\eqno(5)
$$
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$$
C(m, m+r)=B(m)+m+R_m(r) \rem{ПРИ $m\ge0$, $r\ge0$,}
\eqno (6)
$$
ГДЕ $B(m)$~ЕСТЬ ФУНКЦИЯ
"БИНАРНОЙ ВСТАВКИ"~$\sum_{1\le k\le m}\ceil{\log_2 k}$  ИЗ
СООТНОШЕНИЯ~(5.3.1-3), А $R_m(r)$~ОБОЗНАЧАЕТ СУММУ ПЕРВЫХ ОТ ЧЛЕНОВ РЯДА
$$
\floor{{r+0\over1}}+\floor{{r+1\over2}}+\floor{{r+2\over4}}+
\floor{{r+3\over4}}+\floor{{r+4\over8}}+\cdots+
\floor{{r+j\over2^{\floor{\log_2 j}+1}}}+\ldots\,.
\eqno(7)
$$
хСЛИ ЖЕ~$r=0$, ПОЛУЧАЕМ ВАЖНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
$$
C(m,m)=B(m)+m.
\eqno(8)
$$
ъРОМЕ ТОГО, ЕСЛИ~$t=\ceil{\log_2 m}$, ТО
$$
\eqalign{
R_m(r+2^t) &= R_m(r)+1\cdot 2^{t-1}+2\cdot 2^{t-2}+\cdots+2^{t-1}\cdot2^0+m=\cr
&= R_m(r)+m+t\cdot 2^{t-1}.
}
$$
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, $C(m, n+2^t)-C(m, n)$~ИМЕЕТ ПРОСТОЙ ВИД
И
$$
C(m, n)=\left({t\over2}+{m\over 2^t}\right) n+O(1)\rem{ ПРИ
ФИКСИРОВАННОМ~$m$, $n\to\infty$,  $t=\ceil{\log_2 m}$;}
\eqno (9)
$$
ЧЛЕН~$O(1)$ СТАНОВИТСЯ В КОНЦЕ КОНЦОВ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ ОТ~$n$ С
ДЛИНОЙ ПЕРИОДА~$2^t$. рСИМПТОТИЧЕСКИ ПРИ~$n\to\infty$ ВЕЛИЧИНА~$C(n, n)$
РАВНА~$n \log_2 n$ ИЗ~(8) И УПР.~5.3.1-15.

\section ёЕТИ С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ.
яУСТЬ~$\hat S(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ТРЕБУЕМЫХ В СЕТИ СОРТИРОВКИ
ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ; ЯСНО, ЧТО~$\hat S(n)\ge S(n)$, ГДЕ~$S(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ
ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ,
%%273
НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ БЕЗ ВСЯКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ (СМ.~П.~5.3.1).
ьЫ ВИДЕЛИ, ЧТО~$\hat S(4)=5=S(4)$, ПОЭТОМУ НОВОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ НЕ ВЫЗЫВАЕТ
ПОТЕРИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИ~$n=4$;
НО УЖЕ ПРИ~$n=5$ ОКАЗЫВАЕТСЯ, ЧТО~$\hat S(5)=9$, В ТО ВРЕМЯ КАК~$S(5)=7$.
чАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ~$\hat S(n)$ КАЖЕТСЯ ЕЩЕ БОЛЕЕ ТРУДНОЙ, ЧЕМ ЗАДАЧА
ОПРЕДЕЛЕНИЯ~$S(n)$; ДО СИХ ПОР НЕИЗВЕСТНО ДАЖЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ
ПОВЕДЕНИЕ~$\hat S(n)$.

шНТЕРЕСНО ПРОСЛЕДИТЬ ИСТОРИЮ ЭТОЙ ЗАДАЧИ, ТАК КАК НА КАЖДЫЙ НОВЫЙ ШАГ
ПРИХОДИЛОСЬ ЗАТРАЧИВАТЬ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ УСИЛИЯ. ёЕТИ СОРТИРОВКИ БЫЛИ ВПЕРВЫЕ
ИССЛЕДОВАНЫ я.~э.~рРМСТРОНГОМ, Ё.~фЖ.~эЕЛЬСОНОМ И ф.~фЖ.~ю'ъОННОРОМ ОКОЛО
1954~Г. [СМ.~U.~S.~Patent 3029413]; ОНИ ПОКАЗАЛИ, ЧТО~$\hat S(n+1)\le \hat
S(n)+n$. ъАК СКАЗАНО В ИХ ПАТЕНТНОЙ ЗАЯВКЕ, "ПРИЛОЖИВ СТАРАНИЯ, МОЖНО
СКОНСТРУИРОВАТЬ ЭКОНОМИЧНЫЕ $n$-ВХОДНЫЕ СОРТИРУЮЩИЕ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛИ,
ИСПОЛЬЗУЯ УМЕНЬШЕННОЕ ЧИСЛО ДВУХВХОДНЫХ СОРТИРУЮЩИХ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЕЙ"; ОНИ
ПРИВЕЛИ ПРИМЕРЫ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ~$4\le n \le 8$, ИСПОЛЬЗОВАВ
СООТВЕТСТВЕННО 5, 9, 12, 18 И 19~КОМПАРАТОРОВ. ЁАБОТАЯ ДАЛЕЕ НАД ЭТОЙ
ЗАДАЧЕЙ, эЕЛЬСОН СОВМЕСТНО С Ё.~ў.~сОЗЕ ЕЩЕ ДО~1960~Г. РАЗРАБОТАЛИ ОБЩУЮ
ПРОЦЕДУРУ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ, ПОКАЗЫВАЮЩУЮ,
ЧТО~$\hat S(2^n)\le3^n-2^n$ ПРИ ВСЕХ~$n$,
ПОЭТОМУ~$\hat S(n)=O(n^{\log_2 3})=O(n^{1.585})$. сОЗЕ И~эЕЛЬСОН ОПУБЛИКОВАЛИ
СВОЙ ИНТЕРЕСНЫЙ МЕТОД В
{\sl JACM,\/} {\bf 9} (1962), 282--296, ВЫСКАЗАВ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ, ЧТО ЭТО
НАИЛУЧШИЙ ВОЗМОЖНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ; Є.~э.~їИББАРД [{\sl JACM,\/} {\bf 10}
(1963), 142--150] НАШЕЛ АНАЛОГИЧНЫЙ, НО НЕСКОЛЬКО БОЛЕЕ ПРОСТОЙ МЕТОД, В
КОТОРОМ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТАКОЕ ЖЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ПОДКРЕПИВ ТЕМ САМЫМ ЭТО
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ.

т 1964~Г.\ Ё.~є.~ЇЛОЙД И~ф.~¤.~ъНУТ ИСПОЛЬЗОВАЛИ НОВЫЙ ПОДХОД К ЭТОЙ
ЗАДАЧЕ, ПРИВЕДШИЙ ИХ К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКЕ
ВИДА~$\hat S(n)=O(n^{1+c/\sqrt{\log n}})$. ЁАБОТАЯ НЕЗАВИСИМО, ъ.~¤.~сЭТЧЕР
ОТКРЫЛ ОПИСАННУЮ ВЫШЕ ОБЩУЮ СТРАТЕГИЮ СЛИЯНИЯ; ИСПОЛЬЗУЯ ЧИСЛО
КОМПАРАТОРОВ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ КАК
$$
c(1)=0, c(n)=c(\ceil{n/2})+c(\floor{n/2})+C(\ceil{n/2}, \floor{n/2})
\rem{ПРИ $n\ge2$,}
\eqno (10)
$$
ОН ДОКАЗАЛ, ЧТО (СМ.~УПР.~5.2.2-14)
$$
c(2^t)=(t^2-t+4)2^{t-2}-1,
$$
И ОТСЮДА ВЫВЕЛ, ЧТО~$\hat S(n)=O(n(\log n)^2)$. ъАК сЭТЧЕР, ТАК И ЇЛОЙД С
ъНУТОМ ОПУБЛИКОВАЛИ СВОИ КОНСТРУКЦИИ ЛИШЬ ЧЕРЕЗ НЕКОТОРОЕ ВРЕМЯ [{\sl
Notices of the Amer.\ Math.\ Soc.,\/} {\bf 14} (1967), 283; Proc.\ AFIPS
Spring Joint Computer Conference, {\bf 32} (1968), 307--314].

%%274

ъОЕ-КОМУ УДАЛОСЬ СОКРАТИТЬ ЧИСЛО КОМПАРАТОРОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В
КОНСТРУКЦИИ СЛИЯНИЯ С ОБМЕНАМИ, ПРЕДЛОЖЕННОЙ сЭТЧЕРОМ; В СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ
ПОКАЗАНЫ ДАИЛУЧШИЕ ИЗ ИЗВЕСТНЫХ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ ВЕРХНИХ ОЦЕНОК
ДЛЯ~$\hat S(n)$:
$$
\matrix{
\hfill n=1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 &
16 \cr
\hfill c(n)=0 & 1 & 3 & 5 & 9 & 12 & 16 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53
& 59 & 63 \cr
\hfill \hat S(n)\le 0 & 1 & 3 & 5 & 9 & 12 & 16 & 19 & 25 & 29 & 35 & 39 &
46 & 51 & 56 & 60\cr
}
\eqno(11)
$$
ЄАК КАК~$\hat S(n)<c(n)$ ПРИ~$8<n\le 16$, ТО ОБМЕННАЯ СОРТИРОВКА СО
СЛИЯНИЕМ НЕОПТИМАЛЬНА ПРИ ВСЕХ~$n>8$. хСЛИ~$n\le 8$, ТО ТАКАЯ СОРТИРОВКА
ЭКВИВАЛЕНТНА ПО КОЛИЧЕСТВУ КОМПАРАТОРОВ КОНСТРУКЦИИ сОЗЕ И~эЕЛЬСОНА.
ЇЛОЙД И~ъНУТ ДОКАЗАЛИ В 1964--1966~ГГ., ЧТО УКАЗАННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ~$\hat S(n)$
\emph{ТОЧНЫ} ПРИ~$n<8$ [СМ.\ A Survey of Combinatorial Theory
(North-Holland, 1973), 163--172]; ЗНАЧЕНИЯ~$\hat S(n)$ ПРИ~$n>8$ ДО СИХ
ПОР НЕИЗВЕСТНЫ.

ъОНСТРУКЦИИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УКАЗАННЫМ ВЫШЕ ЗНАЧЕНИЯМ ДЛЯ~$\hat S(n)$,
ИЗОБРАЖЕНЫ НА РИС.~49. ёЕТЬ ПРИ~$n=9$, ОСНОВАННАЯ НА ИНТЕРЕСНОМ
ТРЕХПУТЕВОМ СЛИЯНИИ, БЫЛА НАЙДЕНА Ё.~є.~ЇЛОЙДОМ В 1964~Г.; УСТАНОВИТЬ ЕЕ
СПРАВЕДЛИВОСТЬ МОЖНО ПРИ ПОМОЩИ ОБЩЕГО ПРИНЦИПА, ОПИСАННОГО В УПР.~27.
ёЕТЬ ПРИ~$n=10$ В~1969~Г.\ ПОСТРОИЛ р.~тАКСМАН; ОН РАССМАТРИВАЛ ВХОДЫ
КАК ПЕРЕСТАНОВКИ МНОЖЕСТВА~$\set{1, 2,~\ldots, 10}$ И ПЫТАЛСЯ,
СОХРАНЯЯ НЕКОТОРУЮ СИММЕТРИЮ, НАСКОЛЬКО ВОЗМОЖНО УМЕНЬШИТЬ ЧИСЛО ЗНАЧЕНИЙ,
КОТОРЫЕ МОГУТ ПОЯВЛЯТЬСЯ В КАЖДОЙ СТРОКЕ НА ДАННОЙ СТАДИИ.

т 1969~Г. у.~°АПИРО НАШЕЛ СЕТЬ СОРТИРОВКИ 16~ЭЛЕМЕНТОВ С 62~КОМПАРАТОРАМИ,
И ЭТО БЫЛО ВЕСЬМА НЕОЖИДАННО, ПОСКОЛЬКУ МЕТОД сЭТЧЕРА (63~СРАВНЕНИЯ),
КАЗАЛОСЬ, ИСПОЛЬЗУЕТ ВСЕ ВОЗМОЖНОСТИ, ЕСЛИ $n$~ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ~2.
ь.~є.~уРИН ВСКОРЕ ПОСЛЕ ТОГО, КАК ОН ОЗНАКОМИЛСЯ С КОНСТРУКЦИЕЙ °АПИРО,
ПОВЕРГ ВСЕХ В ЕЩЕ БОЛЬШЕЕ ИЗУМЛЕНИЕ, НАЙДЯ СОРТИРОВКУ С 60~СРАВНЕНИЯМИ,
ПОКАЗАННУЮ НА РИС.~49. яЕРВАЯ ЧАСТЬ КОНСТРУКЦИИ уРИНА ДОВОЛЬНО ПРОСТА ДЛЯ
ПОНИМАНИЯ; ПОСЛЕ ТОГО КАК ВЫПОЛНЕНЫ 32~ОПЕРАЦИИ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА СЛЕВА
ОТ ПУНКТИРНОЙ ЛИНИИ, ВСЕ ПРЯМЫЕ МОЖНО ТАК ПОМЕТИТЬ
16~ПОДМНОЖЕСТВАМИ~$\set{a, b, c, d}$, ЧТОБЫ ПРО ПРЯМУЮ, ПОМЕЧЕННУЮ~$s$,
БЫЛО ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНА СОДЕРЖИТ ЧИСЛА, МЕНЬШИЕ ИЛИ РАВНЫЕ СОДЕРЖИМОМУ
ПРЯМОЙ, ПОМЕЧЕННОЙ~$t$, ВСЯКИЙ РАЗ, КОГДА $s$~ЕСТЬ ПОДМНОЖЕСТВО~$t$.
ёОСТОЯНИЕ СОРТИРОВКИ В ЭТОТ МОМЕНТ ОБСУЖДАЕТСЯ БОЛЕЕ ПОДРОБНО В
УПР.~32. юДНАКО СРАВНЕНИЯ, ВЫПОЛНЯЕМЫЕ НА ПОСЛЕДУЮЩИХ УРОВНЯХ, СТАНОВЯТСЯ
СОВЕРШЕННО ЗАГАДОЧНЫМИ, И ДО СИХ ПОР НИКТО НЕ ЗНАЕТ, КАК ОБОБЩИТЬ ЭТУ
КОНСТРУКЦИЮ, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ СТОЛЬ ЖЕ ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕТИ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ~$n$.

%%275

°АПИРО И уРИН ОТКРЫЛИ ТАКЖЕ ИЗОБРАЖЕННУЮ НА РИС.~49 СЕТЬ ДЛЯ~$n=12$.
їОРОШИЕ СЕТИ ДЛЯ~$n=11$, 13, 14 И~15 МОЖНО ПОЛУЧИТЬ, УДАЛИВ НИЖНЮЮ ПРЯМУЮ
СЕТИ ДЛЯ~$n+1$ ВМЕСТЕ СО ВСЕМИ КОМПАРАТОРАМИ, ПОДСОЕДИНЕННЫМИ К ЭТОЙ ЛИНИИ.
\picture{ЁИС. 49.   ¤ФФЕКТИВНЫЕ СЕТИ СОРТИРОВКИ.}

эАИЛУЧШИЕ ИЗВЕСТНЫЕ К НАСТОЯЩЕМУ МОМЕНТУ СЕТИ ДЛЯ~$n\to\infty$ СМ.~В
ДОКТОРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ ф.~тАН~тОРИСА (Stanford University, 1971); ЕГО
СЕТИ ТРЕБУЮТ АСИМПТОТИЧЕСКИ
%% 276
${1\over 4}n(\log_2 n)^2-\alpha n \log_2 n$~КОМПАРАТОРОВ,
ГДЕ~$\alpha={1\over4}+{1\over6}\sum_{k\ge0}2^{-2^k-k}\approx0.356~852$.

\section ёЕТИ С МИНИМАЛЬНЫМ ВРЕМЕНЕМ. т ФИЗИЧЕСКИХ РЕАЛИЗАЦИЯХ
СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ И НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ¤ть МОЖНО ВЫПОЛНЯТЬ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ
ОПЕРАЦИИ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА ОДНОВРЕМЕННО, ПОЭТОМУ КАЖЕТСЯ ЕСТЕСТВЕННЫМ
ПОПЫТАТЬСЯ МИНИМИЗИРОВАТЬ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ. яО НЕКОТОРОМ РАЗМЫШЛЕНИИ
ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ СЕТИ СОРТИРОВКИ РАВНО МАКСИМАЛЬНОМУ ЧИСЛУ
КОМПАРАТОРОВ, ПРИЛЕГАЮЩИХ К КАКОМУ-ЛИБО "ПУТИ" ЧЕРЕЗ СЕТЬ,
ЕСЛИ ОПРЕДЕЛИТЬ ПУТЬ КАК ТРАЕКТОРИЮ ЛЮБОГО ДВИЖЕНИЯ СЛЕВА НАПРАВО,
\picture{ЁИС.~50.  тЫПОЛНЕНИЕ КАЖДОГО СРАВНЕНИЯ В НАИБОЛЕЕ РАННИЙ ИЗ
ВОЗМОЖНЫХ МОМЕНТОВ.}
ВОЗМОЖНО, С ПЕРЕХОДОМ С ОДНОЙ ПРЯМОЙ НА ДРУГУЮ ЧЕРЕЗ КОМПАРАТОРЫ. є
КАЖДОГО КОМПАРАТОРА МЫ МОЖЕМ ПОСТАВИТЬ ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР, УКАЗЫВАЮЩИЙ
САМЫЙ РАННИЙ МОМЕНТ, КОГДА МОЖЕТ БЫТЬ ВЫПОЛНЕНО СРАВНЕНИЕ; ЭТОТ НОМЕР НА
ЕДИНИЦУ БОЛЬШЕ, ЧЕМ МАКСИМАЛЬНЫЙ НОМЕР У КОМПАРАТОРОВ, ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ
ДАННОМУ. (ёМ.~РИС.~50(a); В ЧАСТИ~(b) ЭТОГО РИСУНКА ПОКАЗАНА ТА ЖЕ СЕТЬ,
 ПЕРЕРИСОВАННАЯ ТАК, ЧТОБЫ КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ ВЫПОЛНЯЛОСЬ В НАИБОЛЕЕ РАННИЙ
ВОЗМОЖНЫЙ МОМЕНТ.)

т ОПИСАННОЙ ВЫШЕ СЕТИ сЭТЧЕРА ДЛЯ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОГО СЛИЯНИЯ ЗАТРАЧИВАЕТСЯ
$T_b(m,n)$~ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ, ГДЕ~$T_b(m,0)=T_b(0, n)=0$, $T_B(1,1)=1$ И
$$
T_B(m, n)=1+\max(T_B(\floor{m/2}, \floor{n/2}),  T_B(\ceil{m/2}, \ceil{n/2}))
\rem{ДЛЯ~$mn\ge 2$.}
$$
шСПОЛЬЗУЯ ЭТИ СООТНОШЕНИЯ, МОЖНО ДОКАЗАТЬ ПО ИНДУКЦИИ,
ЧТО~$T_B(m, n+1)\ge T_B(m,n)$;    СЛЕДОВАТЕЛЬНО,    $T_B(m,
n)=1+T_B(\ceil{m/2}, \ceil{n/2})$ ДЛЯ~$mn\ge2$, А ОТСЮДА ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО
$$
T_B(m,n)=1+\ceil{\log_2 \max (m,n)} \rem{ДЛЯ $mn\ge1$.}
\eqno  (12)
$$
ЄАКИМ ОБРАЗОМ, КАК ПОКАЗАНО В УПР.~5, МЕТОД СОРТИРОВКИ сЭТЧЕРА ИМЕЕТ ВРЕМЯ
ЗАДЕРЖКИ
$$
\perm{1+\ceil{\log_2 n}}{2}.
\eqno(13)
$$
%%277

яУСТЬ $\hat T(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ, ДОСТИЖИМОЕ В ЛЮБОЙ СЕТИ
СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ. эЕКОТОРЫЕ ИЗ ОПИСАННЫХ ВЫШЕ СЕТЕЙ МОЖНО УЛУЧШИТЬ,
 НЕ ИСПОЛЬЗОВАВ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ КОМПАРАТОРОВ, ТАК, ЧТОБЫ ОНИ ИМЕЛИ
МЕНЬШЕЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ, КАК
\picture{ЁИС.~51. ёЕТИ СОРТИРОВКИ, КОТОРЫЕ НЕОБЫКНОВЕННО БЫСТРЫ,  ЕСЛИ
СРАВНЕНИЯ ВЫПОЛНЯЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНО.}
ПОКАЗАНО НА РИС.~51 ДЛЯ~$n=6$ И~$n=9$, А В УПР.~7---ДЛЯ~$n=10$. ьОЖНО
ПОЛУЧИТЬ ЕЩЕ МЕНЬШЕЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ, ЕСЛИ ДОБАВИТЬ ОДИН ИЛИ ДВА
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ МОДУЛЯ, КАК ПОКАЗЫВАЮТ СЕТИ ДЛЯ~$n=10$, 12 И~16 НА РИС.~51.
¤ТИ ПОСТРОЕНИЯ ПРИВОДЯТ К СЛЕДУЮ-
%%378
ЩИМ ВЕРХНИМ ОЦЕНКАМ ДЛЯ~$T(n)$ ПРИ УМЕРЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ~$n$:
$$
\matrix{
           \hfill n=1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16\cr
\hfill \hat T(n)\le 0 & 1 & 3 & 3 & 5 & 5 & 6 & 6 & 7 &  7 &  8 &  8 &  9 &  9 &  9 &  9\cr
}
\eqno(14)
$$

шЗВЕСТНО, ЧТО ПРИВЕДЕННЫЕ ЗДЕСЬ ЗНАЧЕНИЯ ТОЧНЫ ПРИ~$n\le 8$ (СМ.~УПР.~4).
ёЕТИ НА РИС.~51 ЗАСЛУЖИВАЮТ ТЩАТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ, ПОСКОЛЬКУ ВОВСЕ НЕ
ОЧЕВИДНО, ЧТО ОНИ ГОДЯТСЯ ДЛЯ СОРТИРОВКИ; ЭТИ СЕТИ БЫЛИ ОТКРЫТЫ
В~1969--1971~ГГ. у.~°АПИРО  ($n=6$, 9, 12) И~ф.~тАН~тОРИСОМ ($n=10$, 16).

\section ёЕТИ СЛИЯНИЯ. яУСТЬ $\hat M(m, n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ
ЧИСЛО КОМПАРАТОРОВ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ СЕТИ, КОТОРАЯ СЛИВАЕТ
$m$~ЭЛЕМЕНТОВ~$x_1~\le~\ldots \le x_m$ С~$n$~ЭЛЕМЕНТАМИ~$y_1\le\ldots \le y_n$,
ОБРАЗУЯ ОТСОРТИРОВАННУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$z_1\le \ldots \le z_{m+n}$.
ъ НАСТОЯЩЕМУ ВРЕМЕНИ НЕ ОТКРЫТО НИ ОДНОЙ СЕТИ СЛИЯНИЯ,
КОТОРАЯ БЫЛА БЫ ЛУЧШЕ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОГО СЛИЯНИЯ, ОПИСАННОГО ВЫШЕ;
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ФУНКЦИЯ~$C(m, n)$ В~(6) ПРЕДСТАВЛЯЕТ НАИЛУЧШУЮ ИЗВЕСТНУЮ
ВЕРХНЮЮ ОЦЕНКУ ДЛЯ~$\hat M(m, n)$.

Ё.~є.~ЇЛОЙД ОБНАРУЖИЛ ИНТЕРЕСНЫЙ СПОСОБ, ПОЗВОЛЯЮЩИЙ ОПРЕДЕЛИТЬ
\emph{НИЖНИЕ} ОЦЕНКИ В ЭТОЙ ЗАДАЧЕ СЛИЯНИЯ.

\proclaim ЄЕОРЕМА~F. яРИ ВСЕХ~$n\ge 1$ СПРАВЕДЛИВО
НЕРАВЕНСТВО~$\hat M (2n, 2n)\ge 2\hat M(n, n)+n$.

\proof ЁАССМОТРИМ СЕТЬ С~$\hat M(2n, 2n)$~КОМПАРАТОРНЫМИ МОДУЛЯМИ,
СПОСОБНУЮ СОРТИРОВАТЬ ВСЕ ВХОДНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<z_1,~\ldots, z_{4n}>$, ТАКИЕ,
ЧТО~$z_1\le z_3\le\ldots \le z_{4n-1}$  И~$z_2\le z_4\le\ldots\le z_{4n}$.
ьЫ МОЖЕМ СЧИТАТЬ, ЧТО КАЖДЫЙ МОДУЛЬ
ЗАМЕНЯЕТ~$(z_i, z_j)$ НА~$(\min(z_i, z_j, \max(z_i, z_j))$ ПРИ
НЕКОТОРЫХ~$i<j$ (УПР.~16). шТАК, КОМПАРАТОРЫ МОЖНО РАЗДЕЛИТЬ НА ТРИ КЛАССА:
{\medskip\narrower
\item{a)}~$i\le 2n$  И~$j\le 2n$;
\item{b)}~$i>2n$ И~$j>2n$;
\item{c)}~$i\le 2n$  И~$j>2n$.
\medskip}
ъЛАСС~(a) ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ $\hat M(n, n)$~КОМПАРАТОРОВ,
ТАК КАК $z_{2n+1}$, $z_{2n+2}$,~\dots, $z_{4n}$ МОГУТ УЖЕ НАХОДИТЬСЯ
НА СВОИХ МЕСТАХ, КОГДА СЛИЯНИЕ НАЧИНАЕТСЯ; АНАЛОГИЧНО В КЛАССЕ~(b) ДОЛЖНО
БЫТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ $\hat M(n, n)$~КОМПАРАТОРОВ. ъРОМЕ ТОГО, КАК
ПОКАЗЫВАЕТ ВХОДНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<0, 1, 0, 1,~\ldots, 0, 1>$,
КЛАСС~(c) СОДЕРЖИТ НЕ МЕНЕЕ $n$~КОМПАРАТОРОВ, ТАК КАК $n$~НУЛЕЙ ДОЛЖНЫ
ПЕРЕМЕСТИТЬСЯ ИЗ~$\set{z_{2n+1},~\ldots, z_{4n}}$ В~$\set{z_1,~\ldots, z_{2n}}$.
\proofend

ьНОГОКРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ~F ДОКАЗЫВАЕТ,
ЧТО~$\hat M(2^m, 2^m)\ge{1\over2}(m+2) 2^m$; СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$\hat M(n, n) \ge {1\over2}n \log_2 n+O(n)$.
%%279
ёЛИЯНИЕ \emph{БЕЗ} СЕТЕВОГО ОГРАНИЧЕНИЯ ТРЕБУЕТ ЛИШЬ $M(n,n)=2n-1$~СРАВНЕНИЙ;
ТАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ДОКАЗАЛИ, ЧТО СЕТЕВОЕ СЛИЯНИЕ
СЛОЖНЕЕ ПО СУЩЕСТВУ, ЧЕМ СЛИЯНИЕ ВООБЩЕ. ўЕТНО-НЕЧЕТНОЕ СЛИЯНИЕ
ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО~$\hat M(n,n)\le C(n, n)= n\log_2 n+O(n)$, ПОЭТОМУ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ~$\hat M(n, n)$ ИЗВЕСТНО С ТОЧНОСТЬЮ ДО
МНОЖИТЕЛЯ~2. (ЄОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ~$\hat M(n, n)$ ИЗВЕСТНЫ ДЛЯ~$n\le 5$;
СМ.~УПР.~9.) р.~ъ.~▀О И~Ї.~Ї.~▀О ДОКАЗАЛИ,
ЧТО~$\hat M(2,n)=C(2, n)=\ceil{{3\over2}n}$
И~$\hat M(m, n)\ge{1\over2}n\log_2(m+1)$ ПРИ~$m<n$
[{\sl JACM,\/} БУДЕТ ОПУБЛИКОВАНО].

\section сИТОННАЯ СОРТИРОВКА. хСЛИ ДОПУСТИМЫ ОДНОВРЕМЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ, ТО,
 КАК ВИДНО ИЗ ФОРМУЛЫ~12, ПРИ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОМ СЛИЯНИИ ДЛЯ~$1\le m \le n$
ВОЗНИКАЕТ ЗАДЕРЖКА НА~$\ceil{\log_2 (2n)}$~ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ. сЭТЧЕР НАШЕЛ
ДРУГОЙ ТИП СЕТИ СЛИЯНИЯ, НАЗЫВАЕМОЙ
\dfn{БИТОННЫМ СОРТИРОВЩИКАМ,} ДЛЯ КОТОРОГО ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ СНИЖАЕТСЯ
ДО~$\ceil{\log_2(m+n)}$, НО ОН ТРЕБУЕТ БОЛЬШЕ КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ.

яОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<z_1,~\ldots, z_p>$ ИЗ $p$~ЧИСЕЛ БУДЕМ
НАЗЫВАТЬ \dfn{БИТОННОЙ,} ЕСЛИ~$z_1\ge\ldots\ge z_k\le\ldots\le z_p$ ДЛЯ
НЕКОТОРОГО~$k$, $1\le k \le p$ (СРАВНИТЕ ЭТО С ОБЫЧНЫМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ
"МОНОТОННЫХ" ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ). сИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК ПОРЯДКА~$p$---ЭТО
КОМПАРАТОРНАЯ СЕТЬ, СПОСОБНАЯ СОРТИРОВАТЬ В НЕУБЫВАЮЩЕМ ПОРЯДКЕ ЛЮБУЮ
БИТОННУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДЛИНЫ~$p$. чАДАЧА СЛИЯНИЯ~$x_1\le\ldots\le
x_m$ С~$y_1\le\ldots\le y_n$ ЯВЛЯЕТСЯ ЧАСТНЫМ СЛУЧАЕМ ЗАДАЧИ БИТОННОЙ
СОРТИРОВКИ, ТАК КАК СЛИЯНИЕ МОЖНО ОСУЩЕСТВИТЬ, ПРИМЕНИВ К
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<x_m,~\ldots, x_1, y_1,~\ldots,~y_n>$ БИТОННЫЙ
СОРТИРОВЩИК ПОРЯДКА~$m+n$.

чАМЕТИМ, ЧТО ЕСЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<z_1,~\ldots, z_p>$ БИТОННАЯ, ТО
ТАКОВЫМИ ЖЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ВСЕ ЕЕ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. тСКОРЕ ПОСЛЕ ТОГО,
КАК сЭТЧЕР ОТКРЫЛ СЕТИ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОГО СЛИЯНИЯ, ОН ОБНАРУЖИЛ, ЧТО
АНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ МОЖНО ПОСТРОИТЬ БИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК ПОРЯДКА~$p$,
СНАЧАЛА НЕЗАВИСИМО СОРТИРУЯ БИТОННЫЕ
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<z_1, z_3, z_5,~\ldots>$
И~$\<z_2, z_4, z_6,~\ldots>$, А ЗАТЕМ ВЫПОЛНЯЯ
СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНЫ~$z_1:z_2$, $z_3:z_4$,~$\ldots\,$.
(фОКАЗАТЕЛЬСТВО СМ.~В~УПР.~10.) хСЛИ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ЧИСЛО КОМПАРАТОРНЫХ
МОДУЛЕЙ ОБОЗНАЧИТЬ ЧЕРЕЗ~$C'(p)$, ТО БУДЕМ ИМЕТЬ
$$
C'(p)=C'(\ceil{p/2})+C'(\floor{p/2})+\floor{p/2} \rem{ПРИ $p\ge2$.}
\eqno (15)
$$
А ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ, ОЧЕВИДНО, РАВНО~$\ceil{\log_2 p}$. эА~РИС.~52 ПОКАЗАН
БИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК ПОРЯДКА~7, ПОСТРОЕННЫЙ ЭТИМ СПОСОБОМ; ОН МОЖЕТ БЫТЬ
ИСПОЛЬЗОВАН И КАК~$(3, 4)$, И КАК $(2, 5)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ С ЗАДЕРЖКОЙ
В ТРИ ЕДИНИЦЫ; ЧЕТНО-НЕЧЕТНОЕ СЛИЯНИЕ ДЛЯ~$m=2$ И~$n=5$ ИМЕЕТ НА ОДИН
КОМПАРАТОР МЕНЬШЕ, НО НА ОДИН УРОВЕНЬ ЗАДЕРЖКИ БОЛЬШЕ.

%%280

сИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК сЭТЧЕРА ПОРЯДКА~$2^k$ ОСОБЕННО ИНТЕРЕСЕН; ОН
СОСТОИТ ИЗ $k$~УРОВНЕЙ ПО $2^{k-1}$~КОМПАРАТОРОВ В КАЖДОМ. чАНУМЕРУЕМ
ВХОДНЫЕ ПРЯМЫЕ~$z_0$, $z_1$,~\dots, $z_{2^k-1}$; ПРИ ЭТОМ ЭЛЕМЕНТ~2,
СРАВНИВАЕТСЯ С~$z_j$ НА УРОВНЕ~$l$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ДВОИЧНЫЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ~$i$ И~$j$ РАЗЛИЧАЮТСЯ ТОЛЬКО В $l\hbox{-М}$~БИТЕ СЛЕВА. ¤ТА
ПРОСТАЯ СТРУКТУРА ПРИВОДИТ К ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СЕТИ СОРТИРОВКИ, КОТОРАЯ ТАК ЖЕ
БЫСТРА, КАК ОБМЕННАЯ СОРТИРОВКА
\picture{ЁИС.~52.   сИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК сЭТЧЕРА ПОРЯДКА~7.}
СО СЛИЯНИЕМ (АЛГОРИТМ~5.2.2M), НО ЗНАЧИТЕЛЬНО ПРОЩЕ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ.
(ёМ.~УПР.~11 И~13.)

хСЛИ~$m=n$, ТО НЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЧТО И ЧЕТНО-НЕЧЕТНОЕ СЛИЯНИЕ, И БИТОННЫЙ
СОРТИРОВЩИК сЭТЧЕРА ОБЕСПЕЧИВАЮТ АБСОЛЮТНЫЙ МИНИМУМ ВРЕМЕНИ ЗАДЕРЖКИ,
ДОСТИЖИМОГО В ЛЮБОЙ СЕТИ СЛИЯНИЯ.
\picture{ЁИС.~53. юДИН ЭЛЕМЕНТ СЛИВАЕТСЯ С ШЕСТЬЮ ДРУГИМИ С
РАЗВЕТВЛЕНИЕМ, ЧТОБЫ ДОСТИЧЬ МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОГО ВРЕМЕНИ ЗАДЕРЖКИ.}
т $(n, n)$-СЕТИ СЛИЯНИЯ $n\hbox{-Й}$ ПО ВЕЛИЧИНЕ ВЫХОД (СЧИТАЯ ОТ
НАИМЕНЬШЕГО) ДОЛЖЕН ЗАВИСЕТЬ ОТ ВСЕХ $2n$~ВХОДОВ, И ЕСЛИ ЕГО
МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ЗА $l$~ШАГОВ, ТО ОН БУДЕТ ЗАВИСЕТЬ НЕ БОЛЕЕ, ЧЕМ ОТ
$2^l$~ВХОДОВ; ПОЭТОМУ~$2^l\ge 2n$, $l\ge \ceil{\log_2 (2n)}$.

хСЛИ~$m<n$, ТО $n\hbox{-Й}$~ВЫХОД $(m, n)$-СЕТИ СЛИЯНИЯ ЗАВИСИТ
ОТ $2m+1$~ВХОДОВ (СР.~С~УПР.~29), ПОЭТОМУ ТЕ ЖЕ РАССУЖДЕНИЯ ДАЮТ
%%281
В ЭТОМ СЛУЧАЕ МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ ДЛЯ СЛИЯНИЯ~$\ceil{\log_2(2m+l)}$.
 сЭТЧЕР ПОКАЗАЛ [Report GER-14122 (Akron, Ohio: Goodyear Aerospace
Corporation, 1968)], ЧТО ЭТО МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ ДОСТИГАЕТСЯ,
ЕСЛИ В СЕТИ ДОПУСКАЕТСЯ РАЗВЕТВЛЕНИЕ, Т.~Е.~ТАКОЕ РАЗБИЕНИЕ ЛИНИЙ, ЧТО
ОДНО И ТО ЖЕ ЧИСЛО В ОДНО И ТО ЖЕ ВРЕМЯ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ НЕСКОЛЬКИМИ
МОДУЛЯМИ. т КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА НА РИС.~53 ИЗОБРАЖЕНА (ДЛЯ~$n=6$) СЕТЬ,
 КОТОРАЯ СЛИВАЕТ ОДИН ЭЛЕМЕНТ С $n$~ДРУГИМИ ВСЕГО С ДВУМЯ УРОВНЯМИ
ЗАДЕРЖКИ. ъОНЕЧНО, СЕТИ С РАЗВЕТВЛЕНИЕМ НЕ СООТВЕТСТВУЮТ НАШИМ
СОГЛАШЕНИЯМ; ДОВОЛЬНО ЛЕГКО ПОНЯТЬ, ЧТО ЛЮБАЯ $(1, n)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ
БЕЗ РАЗВЕТВЛЕНИЯ ДОЛЖНА ИМЕТЬ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ~$\log_2(n+1)$ ИЛИ БОЛЕЕ.
(ёМ.~УПР.~14.)

\section ёЕТИ ВЫБОРА. ёЕТИ МОЖНО ПРИМЕНИТЬ ТАКЖЕ И К ЗАДАЧЕ
П.~5.3.3. яУСТЬ $\hat U_t(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО КОМПАРАТОРОВ,
НЕОБХОДИМЫХ В СЕТИ, КОТОРАЯ ПЕРЕМЕЩАЕТ $t$~НАИБОЛЬШИХ ИЗ $n$~РАЗЛИЧНЫХ
ВХОДОВ НА $t$~ОПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫХОДНЫХ ПРЯМЫХ, ОНИ МОГУТ РАСПОЛАГАТЬСЯ НА
ЭТИХ ВЫХОДНЫХ ПРЯМЫХ В ПРОИЗВОЛЬНОМ ПОРЯДКЕ. яУСТЬ $\hat
V_t(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОМПАРАТОРОВ, НУЖНОЕ ДЛЯ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ $t-\hbox{ГО}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ $n$~РАЗЛИЧНЫХ ВХОДОВ НА
ОПРЕДЕЛЕННУЮ ВЫХОДНУЮ ПРЯМУЮ, И ПУСТЬ $\hat W_t(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ
ЧИСЛО КОМПАРАТОРОВ, ТРЕБУЕМЫХ ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ $t$~НАИБОЛЬШИХ ИЗ
$n$~РАЗЛИЧНЫХ ВХОДОВ НА ОПРЕДЕЛЕННЫЕ $t$~ВЫХОДНЫХ ПРЯМЫХ В НЕУБЫВАЮЩЕМ
ПОРЯДКЕ. эЕТРУДНО ВИДЕТЬ (СМ.~УПР.~17), ЧТО
$$
\hat U_t(n)\le \hat V_t(n) \le \hat W_t(n).
\eqno(16)
$$

ёНАЧАЛА ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИМЕЕТСЯ $2t$~ЭЛЕМЕНТОВ
$\<x_1,~\ldots, x_{2t}>$ И МЫ ХОТИМ ВЫБРАТЬ $t$~НАИБОЛЬШИХ; т.~х.~рЛЕКСЕЕВ
[{\sl ъИБЕРНЕТИКА,\/} {\bf 5}, 5 (1969), 99--103] ЗАМЕТИЛ, ЧТО ЭТО МОЖЕТ
БЫТЬ ВЫПОЛНЕНО, ЕСЛИ СНАЧАЛА ОТСОРТИРОВАТЬ~$\<x_1,~\ldots, x_t>$
И~$\<x_{t+1},~\ldots, x_{2t}>$, А ЗАТЕМ СРАВНИТЬ И ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ
$$
x_1:x_{2t}, x_2:x_{2t-1},~\ldots, x_t:x_{t+1}.
\eqno(17)
$$
ЄАК КАК НИ В ОДНОЙ ИЗ ЭТИХ ПАР НЕ МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬСЯ БОЛЕЕ ОДНОГО ИЗ
НАИБОЛЬШИХ $t$~ЭЛЕМЕНТОВ (ПОЧЕМУ?), ТО ПРОЦЕДУРА рЛЕКСЕЕВА ДОЛЖНА ВЫБРАТЬ
$t$~НАИБОЛЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ.

хСЛИ НАМ НУЖНО ВЫБРАТЬ $t$~НАИБОЛЬШИХ ИЗ $nt$~ЭЛЕМЕНТОВ, ТО МЫ МОЖЕМ
ПРИМЕНИТЬ ЭТУ ПРОЦЕДУРУ $n-1$~РАЗ (ИСКЛЮЧАЯ КАЖДЫЙ РАЗ $t$~ЭЛЕМЕНТОВ);
СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$$
\hat U_t(nt)\le (n-1)(2\hat S(t)+t).
\eqno(18)
$$

рЛЕКСЕЕВ ТАКЖЕ ПОЛУЧИЛ ИНТЕРЕСНУЮ \emph{НИЖНЮЮ} ОЦЕНКУ ДЛЯ ЗАДАЧИ ВЫБОРА.

%%282
\proclaim ЄЕОРЕМА~A. $\hat U_t (n) \ge (n-t)\ceil{\log_2 (t+1)}$.

\proof єДОБНЕЕ РАССМАТРИВАТЬ ЭКВИВАЛЕНТНУЮ ЗАДАЧУ ВЫБОРА
\emph{НАИМЕНЬШИХ} $t$~ЭЛЕМЕНТОВ. юКОЛО КАЖДОЙ ПРЯМОЙ КОМПАРАТОРНОЙ СЕТИ
МОЖНО ВЫПИСАТЬ ЧИСЛА~$(l, u)$, КАК ПОКАЗАНО НА РИС.~54, ГДЕ~$l$ И~$u$
ОБОЗНАЧАЮТ СООТВЕТСТВЕННО МИНИМАЛЬНОЕ И
\picture{ЁИС.~54. юТДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ НАИБОЛЬШИХ ОТ ЧЕТЫРЕХ
НАИМЕНЬШИХ. (ўИСЛА НАД ПРЯМЫМИ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ~A.)}
МАКСИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЯ, КОТОРЫЕ МОГУТ ПОЯВИТЬСЯ В ЭТОМ МЕСТЕ, ЕСЛИ ВХОДОМ
СЛУЖИТ ПЕРЕСТАНОВКА~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. яУСТЬ~$l_i$ И~$l_j$---НИЖНИЕ
ОЦЕНКИ НА ПРЯМЫХ~$i$ И~$j$ ПЕРЕД СРАВНЕНИЕМ~$x_i:x_j$, И ПУСТЬ~$l'_i$
И~$l'_j$---СООТВЕТСТВУЮЩИЕ НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ПОСЛЕ ЭТОГО
\picture{ЁИС.~55. шНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СЕТИ, ИЗОБРАЖЕННОЙ НА РИС.~54.}
СРАВНЕНИЯ. юЧЕВИДНО, ЧТО~$l'_i=\min(l_i, l_j)$, А В УПР.~24 ДОКАЗЫВАЕТСЯ
(НЕОЧЕВИДНОЕ) СООТНОШЕНИЕ
$$
l'_j\le l_i+l_j.
\eqno  (19)
$$

ЄЕПЕРЬ ДАДИМ ДРУГУЮ ИНТЕРПРЕТАЦИЮ ДЕЙСТВИЯ СЕТИ (РИС.~55);
ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО НА ВСЕХ ВХОДНЫХ ПРЯМЫХ СОДЕРЖИТСЯ НУЛЬ,
%%283
А КАЖДЫЙ "КОМПАРАТОР" ПОМЕЩАЕТ ТЕПЕРЬ НА ВЕРХНЮЮ ПРЯМУЮ МЕНЬШИЙ ИЗ ЕГО
ВХОДОВ, А НА НИЖНЮЮ ПРЯМУЮ---БОЛЬШИЙ ВХОД \emph{ПЛЮС ОДИН.} яОЛУЧАЮЩИЕСЯ
ЧИСЛА~$\<m_1, m_2,~\ldots, m_n>$ ОБЛАДАЮТ СВОЙСТВОМ
$$
2^{m_i}\ge l_i
\eqno(20)
$$
В ЛЮБОМ МЕСТЕ СЕТИ, ТАК КАК ЭТО СВОЙСТВО ПЕРВОНАЧАЛЬНО СПРАВЕДЛИВО И
СОХРАНЯЕТСЯ КАЖДЫМ КОМПАРАТОРОМ В СИЛУ~(19). ъРОМЕ ТОГО, ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ
ЗНАЧЕНИЕ
$$
m_1+m_2+\cdots+m_n
$$
РАВНО ОБЩЕМУ ЧИСЛУ КОМПАРАТОРОВ В СЕТИ, ТАК КАК КАЖДЫЙ КОМПАРАТОР
ДОБАВЛЯЕТ К ЭТОЙ СУММЕ ЕДИНИЦУ.

хСЛИ СЕТЬ ВЫБИРАЕТ НАИМЕНЬШИЕ $t$~ЧИСЕЛ, ТО~$n-t$ ИЗ ЧИСЕЛ~$l_i$ БОЛЬШЕ
ИЛИ РАВНЫ~$t+1$; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, $n-t$ ИЗ ЧИСЕЛ~$m_i$ ДОЛЖНЫ БЫТЬ~$\ge
\ceil{\log_2 (t+1)}$.
\proofend

эИЖНЯЯ ОЦЕНКА В ТЕОРЕМЕ~A ОКАЗЫВАЕТСЯ ТОЧНОЙ, ЕСЛИ~$t=1$ ИЛИ~$t=2$
(СМ.~УПР.~19). т ТАБЛ.~1 ДАНЫ ЗНАЧЕНИЯ~$\hat U_t(n)$, $\hat
V_t(n)$ И~$\hat W_t(n)$ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ~$t$ И~$n$.

\htable{ЄАБЛИЦА~1}%
{ёРАВНЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ СЕТЕЙ ВЫБОРА ($\hat U_t(n)$, $\hat V_t(n)$, $\hat W_t(n)$)}%
{\strut\hfill$#$\hfill&&\bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr
 & t=1 & t=2 &  t=3 & t=4 & t=5 & t=6 \cr
\noalign{\hrule}
n=1 & (0,0,0)\cr
n=2 & (1,1,1)& (0,1,1)\cr
n=3 & (2,2,2)& (2,3,3)& (0,2,3)  \cr
n=4 & (3,3,3)& (4,5,5)& (3,5,5)  & (0,3,5)   \cr
n=5 & (4,4,4)& (6,7,7)& (6,7,8)  & (4,7,9)   & (0,4,9) \cr
n=6 & (5,5,5)& (8,9,9)& (8,10,10)& (8,10,12) & (5,9,12) & (0,5,12) \cr
\noalign{\hrule}
}

\excercises  (яхЁтр▀ ўрёЄ№)
фАЛЕЕ В НЕСКОЛЬКИХ УПРАЖНЕНИЯХ ДАНО БОЛЕЕ ГЛУБОКОЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ СЕТЕЙ
СОРТИРОВКИ, ПОЭТОМУ БУДЕТ УДОБНО ВВЕСТИ НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ. тМЕСТО
МОДУЛЯ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА БУДЕМ ПИСАТЬ~$[i:j]$. ёЕТЬ С $n$~ВХОДАМИ И
$r$~КОМПАРАТОРНЫМИ МОДУЛЯМИ ЗАПИШЕМ КАК~$[i_1:j_1]\,[i_2:j_2]\ldots[i_r:j_r]$,
ГДЕ ВСЕ~$i$ И~$j$ МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНЫ~$n$; ДЛЯ КРАТКОСТИ БУДЕМ
НАЗЫВАТЬ ЕЕ $n\hbox{-СЕТЬЮ}$. ёЕТЬ НАЗЫВАЕТСЯ \dfn{СТАНДАРТНОЙ,}
ЕСЛИ~$i_q<j_q$ ДЛЯ~$1\le q \le r$. ЄАК, НАПРИМЕР, РИС.~44 ОПИСЫВАЕТ
СТАНДАРТНУЮ 4-СЕТЬ, ОБОЗНАЧАЕМУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ
КОМПАРАТОРОВ~$[1:2]\, [3:4]\, [1:3]\, [2:4]\, [2:3]$.

эАШИ СОГЛАШЕНИЯ В ТЕКСТЕ ОБ ИЗОБРАЖЕНИИ ДИАГРАММ СЕТЕЙ ПОЗВОЛЯЮТ РИСОВАТЬ
ТОЛЬКО СТАНДАРТНЫЕ СЕТИ; ВСЕ КОМПАРАТОРЫ~$[i:j]$ ИЗОБРАЖАЮТСЯ ПРЯМОЙ
ОТ~$i$ К~$j$, ГДЕ~$i<j$. хСЛИ НУЖНО НАРИСОВАТЬ НЕСТАНДАРТНУЮ СЕТЬ, ТО
МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ \emph{СТРЕЛКУ} ОТ~$i$ К~$j$, УКАЗЫВАЮЩУЮ, ЧТО БОЛЬШЕЕ
ЧИСЛО НАПРАВЛЯЕТСЯ К ОСТРИЮ СТРЕЛКИ. эАПРИМЕР, НА РИС.~56 ИЗОБРАЖЕНА
НЕСТАНДАРТНАЯ СЕТЬ ДЛЯ 16~ЭЛЕМЕНТОВ С КОМПАРАТОРАМИ~$[1:2]\,[4:3]\,[5:6]\,
[8:7]$ И~Т.~Д. т УПР.~11 ДОКАЗЫВАЕТСЯ, ЧТО ЭТО СЕТЬ СОРТИРОВКИ.
хСЛИ~$x=\<x_1,~\ldots, x_n>$ ЕСТЬ $n\hbox{-ВЕКТОР}$, А $\alpha$~ЕСТЬ
$n\hbox{-СЕТЬ}$, ТО ИСПОЛЬЗУЕМ ОБОЗНАЧЕНИЕ~$x\alpha$ ДЛЯ ВЕКТОРА
ЧИСЕЛ~$\<(x\alpha)_1,~\ldots,  (x\alpha)_n>$, ПОРОЖДЕННЫХ СЕТЬЮ. яОЛОЖИМ
ТАКЖЕ ДЛЯ КРАТКОСТИ~$a\lor b=\max(a, b)$,
%%284
$a\land b=\min(a, b)$, $\bar a=1-a$;
ТОГДА~$(x[i:j])_i=x_i\land x_j$,
$(x[i:j])_j=x_i\lor x_j$ И~$(x[i:j])_k=x_k$ ДЛЯ~$i\ne k \ne j$. сУДЕМ
ГОВОРИТЬ, ЧТО $\alpha$~ЯВЛЯЕТСЯ \emph{СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ,} ТОГДА И ТОЛЬКО
ТОГДА, КОГДА~$(x\alpha)_i\le(x\alpha)_{i+1}$ ДЛЯ~$1\le i < n$ И ВСЕХ~$x$.

ёИМВОЛ~$e^{(i)}$ ОБОЗНАЧАЕТ ВЕКТОР, У КОТОРОГО В ПОЗИЦИИ~$i$ НАХОДИТСЯ~1,
А В ОСТАЛЬНЫХ МЕСТАХ~0; ТАКИМ ОБРАЗОМ, $(e^{(i)})_j=\delta_{ij}$.
ёИМВОЛ~$D_n$ ОБОЗНАЧАЕТ МНОЖЕСТВО ВСЕХ $2^n$~$n\hbox{-МЕСТНЫХ}$ ВЕКТОРОВ
ИЗ~0 И~1, А $P_n$~ОБОЗНАЧАЕТ МНОЖЕСТВО ВСЕХ $n!$~ВЕКТОРОВ, ЯВЛЯЮЩИХСЯ
ПЕРЕСТАНОВКАМИ~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. ьЫ БУДЕМ ИСПОЛЬЗОВАТЬ
ОБОЗНАЧЕНИЯ~$x\land y$ И~$x\lor y$ ДЛЯ
ВЕКТОРОВ~$\<x_1\land y_1,~\ldots, x_n\land y_n>$
И~$\<x_1\lor y_1,~\ldots, x_n\lor y_n>$  И БУДЕМ ПИСАТЬ~$x\le y$,
ЕСЛИ~$x_i\le y_i$ ПРИ ВСЕХ~$i$.
ЄАКИМ ОБРАЗОМ, $x\le y$~ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$x\lor y= y$, И ТОГДА
И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
\picture{ЁИС.~56. эЕСТАНДАРТНАЯ СЕТЬ, ОСНОВАННАЯ НА БИТОННОЙ СОРТИРОВКЕ.}
$x\land y=x$. хСЛИ~$x$ И~$y$ ЛЕЖАТ В~$D_n$, ТО БУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО
\dfn{$x$~ПОКРЫВАЕТ~$y$,} ЕСЛИ~$x=y\lor e^{(i)}\ne y$ ПРИ НЕКОТОРОМ~$i$.
эАКОНЕЦ, ДЛЯ ВСЕХ~$x$ В~$D_n$ ПУСТЬ~$\nu(x)$ БУДЕТ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ В $x$,
a~$\zeta(x)$---ЧИСЛОМ НУЛЕЙ; ТАКИМ ОБРАЗОМ, $\nu(x)+\zeta(x)=n$.

\ex[20] эАРИСУЙТЕ СЕТЬ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОГО СЛИЯНИЯ ДЛЯ~$m=3$ И~$n=5$.

\ex[22] яОКАЖИТЕ, ЧТО АЛГОРИТМУ СОРТИРОВКИ т.~яРАТТА
(СМ.~УПР.~5.2.1-30) СООТВЕТСТВУЕТ СЕТЬ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИМЕЮЩАЯ
ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО
$(\log_2 n) \times (\log_3 n)$~УРОВНЕЙ ЗАДЕРЖКИ. эАРИСУЙТЕ ТАКУЮ СЕТЬ
ДЛЯ~$n=12$.

\ex[M20] (ъ.~¤.~сЭТЧЕР.) эАЙДИТЕ ПРОСТОЕ СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ~$C(m,
m-1)$ И~$C(m,m)$.

\rex[ь23] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat T(6) =5$.

\ex[ь21] фОКАЖИТЕ, ЧТО ВЫРАЖЕНИЕ~(13) ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЯЕТ
ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ ДЛЯ СЕТИ СОРТИРОВКИ, ОПИСАННОЙ СООТНОШЕНИЯМИ~(10).

\ex[28] яУСТЬ~$T(n)$ БУДЕТ МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТАДИЙ, ТРЕБУЕМЫХ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ С \emph{ОДНОВРЕМЕННЫМ ВЫПОЛНЕНИЕМ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ
СРАВНЕНИЙ} (БЕЗ СЕТЕВОГО ОГРАНИЧЕНИЯ); КАЖДОЕ ТАКОЕ МНОЖЕСТВО СРАВНЕНИЙ
МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО УЗЛОМ, СОДЕРЖАЩИМ МНОЖЕСТВО ПАР~$i_1:j_1$,
$i_2:j_2$,~\dots, $i_r:j_r$, ГДЕ ВСЕ~$i_1$, $j_1$, $i_2$, $j_2$,~\dots,
$i_r$, $j_r$ РАЗЛИЧНЫ; ОТ ЭТОГО УЗЛА ОТХОДИТ ВНИЗ $2^r$~ВЕТВЕЙ,
%%285
СООТВЕТСТВУЮЩИХ СЛУЧАЯМ
$$
\eqalign{
&\<{K_{i_1}<K_{j_1}, K_{i_2}<K_{j_2},\ldots, K_{i_r}<K_{j_r}}>;\cr
&\<{K_{i_1}>K_{j_1}, K_{i_2}<K_{j_2},\ldots, K_{i_r}<K_{j_r}}> \hbox{И~Т.~Д.}\cr
}
$$
фОКАЖИТЕ, ЧТО~$T(5) =T (6) = 5$.

\ex[25] яОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ ПОСЛЕДНИЙ КОМПАРАТОР СЕТИ ДЛЯ~$n=10$ НА~РИС.~49
ПОМЕСТИТЬ НЕПОСРЕДСТВЕННО ПЕРЕД ВТОРЫМ И ТРЕТЬИМ С КОНЦА КОМПАРАТОРАМИ, ТО
СЕТЬ ПО-ПРЕЖНЕМУ БУДЕТ СОРТИРОВАТЬ.

\ex[ь20] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat M(m_1+m_2, n_1+n_2)\ge \hat M(m_1, n_1)+
\hat M(m_2, n_2)+\min(m_1, n_2)$ ПРИ~$m_1, m_2, n_1, n2\ge 0$.

\ex[ь25] (Ё.~є.~ЇЛОЙД.) фОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat M(3,3)=6$, $\hat M(4,4)=9$,
$\hat M(5,5)=13$.

\ex[ь22] фОКАЖИТЕ, ЧТО БИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК сЭТЧЕРА, КАК ОН ОПРЕДЕЛЕН В
ТЕКСТЕ ПЕРЕД~(15), ДЕЙСТВИТЕЛЬНО РАБОТАЕТ. [\emph{єКАЗАНИЕ.} фОСТАТОЧНО
ДОКАЗАТЬ, ЧТО БУДУТ СОРТИРОВАТЬСЯ ВСЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ
$k$~ЕДИНИЦ, ЗА КОТОРЫМИ СЛЕДУЮТ $l$~НУЛЕЙ, ЗА КОТОРЫМИ СЛЕДУЮТ $n-k-l$~ЕДИНИЦ.]

\ex[ь23] фОКАЖИТЕ, ЧТО БИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК сЭТЧЕРА ПОРЯДКА~$2^p$
БУДЕТ СОРТИРОВАТЬ НЕ ТОЛЬКО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<z_0, z_1,~\ldots,
z_{2^p-1}>$, ДЛЯ КОТОРЫХ $z_0 \ge \ldots\ge z_k \le \ldots\le z_{2^p-1}$,
НО ТАКЖЕ И ВСЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ДЛЯ КОТОРЫХ $z_0\le \ldots \le z_k \ge
\ldots \ge z_{2^p-1}$. [ъАК СЛЕДСТВИЕ ЭТОГО, СЕТЬ НА РИС.~56 БУДЕТ
СОРТИРОВАТЬ 16~ЭЛЕМЕНТОВ, ТАК КАК КАЖДАЯ СТАДИЯ СОСТОИТ ИЗ БИТОННЫХ
СОРТИРОВЩИКОВ ИЛИ ОБРАЩЕННЫХ БИТОННЫХ СОРТИРОВЩИКОВ, ПРИМЕНЯЕМЫХ К
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ, КОТОРЫЕ БЫЛИ ОТСОРТИРОВАНЫ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ.]

\ex[ь20] фОКАЖИТЕ ИЛИ ОПРОВЕРГНИТЕ СЛЕДУЮЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:
ЕСЛИ~$x$ И~$y$---БИТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РАВНОЙ ДЛИНЫ, ТО
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$x\lor y$ И~$x\land y$ ТАКЖЕ БИТОННЫЕ.

\rex[24] (X.~ё.~ёТОУН). яОКАЖИТЕ, ЧТО СЕТЬ СОРТИРОВКИ ДЛЯ
$2^t$~ЭЛЕМЕНТОВ МОЖНО ПОСТРОИТЬ ПО СХЕМЕ, ПРОИЛЛЮСТРИРОВАННОЙ ДЛЯ~$t=4$ НА
РИС.~57. ъАЖДЫЙ ИЗ $t^2$~ШАГОВ ЭТОЙ СХЕМЫ СОСТОИТ ИЗ "ИДЕАЛЬНОГО
ТАСОВАНИЯ" ПЕРВЫХ $2^{t-1}$~ЭЛЕМЕНТОВ С ПОСЛЕДНИМИ~$2^{t-1}$, ЗА КОТОРЫМ
СЛЕДУЮТ ОПЕРАЦИИ, ВЫПОЛНЯЕМЫЕ ОДНОВРЕМЕННО НАД $2^{t-1}$~ПАРАМИ СОСЕДНИХ
ЭЛЕМЕНТОВ. ъАЖДАЯ ИЗ ЭТИХ ОПЕРАЦИЙ ОБОЗНАЧЕНА ЛИБО~"$0$" (НЕТ ОПЕРАЦИИ),
ЛИБО~"$+$" (СТАНДАРТНЫЙ КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ), ЛИБО~"$-$" (ОБРАЩЕННЫЙ
КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ). ёОРТИРОВКА ПРОТЕКАЕТ В $t$~СТАДИЙ ПО $t$~ШАГОВ
КАЖДАЯ; НА ПОСЛЕДНЕЙ СТАДИИ ВСЕ ОПЕРАЦИИ СУТЬ~"$+$". т ТЕЧЕНИЕ
СТАДИИ~$s$ ПРИ~$s<t$ МЫ ВЫПОЛНЯЕМ $t-s$~ШАГОВ, ГДЕ ВСЕ ОПЕРАЦИИ СУТЬ~"$0$",
 А ЗАТЕМ ВЫПОЛНЯЕМ $s$~ШАГОВ, ГДЕ НА КАЖДОМ $q-\hbox{М}$~ШАГЕ ПООЧЕРЕДНО
ВЫПОЛНЯЮТСЯ $2^{q-1}$~ОПЕРАЦИЙ~"$+$" И ЗАТЕМ $2^{q-1}$~ОПЕРАЦИЙ~"$-$"
ПРИ~$q=1$, 2,~\dots, $s$.

[чАМЕТИМ, ЧТО ЭТА СХЕМА СОРТИРОВКИ МОЖЕТ БЫТЬ ВЫПОЛНЕНА ВЕСЬМА
ПРОСТЫМ УСТРОЙСТВОМ, РЕАЛИЗУЮЩИМ ОДИН ШАГ "ТАСОВАНИЯ И ОПЕРАЦИЙ" И
ПЕРЕДАЮЩИМ ВЫХОД ОБРАТНО НА ВХОД. яЕРВЫЕ ТРИ ШАГА НА РИС.~57 МОЖНО,
КОНЕЧНО, УСТРАНИТЬ, ОНИ ОСТАВЛЕНЫ, ЛИШЬ ЧТОБЫ СДЕЛАТЬ СХЕМУ ПОНЯТНЕЕ.
ёТОУН ЗАМЕЧАЕТ, ЧТО ТОТ ЖЕ ПРИНЦИП "ТАСОВАНИЯ/ОПЕРАЦИИ" ВСТРЕЧАЕТСЯ В
НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ АЛГОРИТМАХ, ТАКИХ, КАК БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЇУРЬЕ
(СМ.~П.~4.6.4).]

\ex[ь20] фОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБАЯ $(1, n)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ БЕЗ
РАЗВЕТВЛЕНИЯ ДОЛЖНА ИМЕТЬ НЕ МЕНЕЕ $\ceil{\log_2(n+1)}$~УРОВНЕЙ ЗАДЕРЖКИ.

\ex[20] эАЙДИТЕ НЕСТАНДАРТНУЮ СЕТЬ СОРТИРОВКИ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ,
СОДЕРЖАЩУЮ ТОЛЬКО ПЯТЬ КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ.

\ex[M22] фОКАЖИТЕ, ЧТО СЛЕДУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ПРЕОБРАЗУЕТ ЛЮБУЮ
СЕТЬ СОРТИРОВКИ~$[i_1:j_1]\cdots[i_r:j_r]$ В СТАНДАРТНУЮ СЕТЬ СОРТИРОВКИ:
%% !!! ОПРЕДЕЛИТЬ СТИЛЬ, СВЯЗАННЫЙ С АЛГОРИТМОМ
{\medskip\narrower
 \item{T1.}~яУСТЬ~$q$--- НАИМЕНЬШИЙ ИНДЕКС, ТАКОЙ, ЧТО~$i_q>j_q$. хСЛИ ТАКИХ
ИНДЕКСОВ НЕТ, ТО ОСТАНОВИТЬСЯ.
\item{T2.}~чАМЕНИТЬ ВСЕ ВХОЖДЕНИЯ~$i_q$ НА~$j_q$ И ВСЕ ВХОЖДЕНИЯ~$j_q$
НА~$i_q$ ВО ВСЕХ КОМПАРАТОРАХ~$[i_s:j_s]$ ДЛЯ~$q\le s \le r$. тЕРНУТЬСЯ К
ШАГУ~T1.\endmark
\medskip}

\noindent эАПРИМЕР, СЕТЬ~$[4:1]\,[3:2]\,[1:3]\,[2:4]\,[1:2]\,[3:4]$
ПРЕОБРАЗУЕТСЯ СНАЧАЛА В~$[1:4]\,[3:2]\,[4:3]\,[2:1]\,[4:2]\,[3:1]$, ЗАТЕМ
В~$[1:4]\,[2:3]\,[4:2]\,[3:1]\,[4:3]\,[2:1]$, ЗАТЕМ
%%286
\picture{ЁИС.~57.~ёОРТИРОВКА 16 ЭЛЕМЕНТОВ С "ИДЕАЛЬНЫМ ТАСОВАНИЕМ".}
%%287
В~$[1:4]\,[2:3]\,[2:4]\,[3:1]\,[2:3]\,[4:1]$ И~Т.~Д., ПОКА НЕ ПОЛУЧИТСЯ
СТАНДАРТНАЯ СЕТЬ~$[1:4]\,[2:3]\,[2:4]\,[1:3]\,[1:2]\,[3:4]$.

\ex[ь25] яУСТЬ~$D_{tn}$ БУДЕТ МНОЖЕСТВОМ ВСЕХ
$\perm{n}{t}$~ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ $\<x_1,~\ldots, x_n>$ ИЗ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ,
ИМЕЮЩИХ РОВНО $t$~ЕДИНИЦ. фОКАЖИТЕ, ЧТО $\hat U_t(n)$~РАВНО МИНИМАЛЬНОМУ
ЧИСЛУ КОМПАРАТОРОВ, КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМЫ В СЕТИ, СОРТИРУЮЩЕЙ ВСЕ
ЭЛЕМЕНТЫ~$D_{tn}$; ЧТО $\hat V_t (n)$~РАВНО МИНИМАЛЬНОМУ ЧИСЛУ
КОМПАРАТОРОВ, НУЖНЫХ ДЛЯ СОРТИРОВКИ~$D_{tn}\cup D_{(t-1)n}$; И ЧТО $\hat
W_t(n)$~РАВНО МИНИМАЛЬНОМУ ЧИСЛУ КОМПАРАТОРОВ, НУЖНЫХ ДЛЯ
СОРТИРОВКИ~$\bigcup_{0\le k \le t} D_{kn}$.

\rex[ь20] фОКАЖИТЕ, ЧТО СЕТЬ, КОТОРАЯ ОПРЕДЕЛЯЕТ МЕДИАНУ $2t-1$~ЭЛЕМЕНТОВ,
ТРЕБУЕТ НЕ МЕНЕЕ~$(t-1)\ceil{\log_2(t+1)}+\ceil{\log_2 t}$
КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ. [\emph{єКАЗАНИЕ:} СМ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ~A.]

\ex[ь22] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat U_2(n)=2n-4$ И~$\hat V_2(n)=2n-3$ ДЛЯ ВСЕХ~$n\ge2$.

\ex[24] фОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat V_3(5)=7$.

\ex[M15] яУСТЬ~$\alpha$---ЛЮБАЯ $n\hbox{-СЕТЬ}$, А~$x$ И~$y$---ДВА
$n\hbox{-ВЕКТОРА}$. фОКАЖИТЕ, ЧТО ИЗ~$x\le y$ СЛЕДУЕТ~$x\alpha \le y\alpha$.

\ex[ь15] фОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$x$ И~$y$ СУТЬ $n\hbox{-ВЕКТОРЫ}$
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ТО~$x\cdots y \le (x\alpha)\cdot(y\alpha)$.
(чДЕСЬ~$x\cdot y$---СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ $x_1y_1+\cdots+x_ny_n$.)

\ex[ь17]. яУСТЬ~$\alpha$ ЕСТЬ~$n\hbox{-СЕТЬ}$. фОКАЖИТЕ, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ
ПЕРЕСТАНОВКА~$p\in P_n$, ТАКАЯ, ЧТО $(p\alpha)_i=j$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
КОГДА В~$D_n$~НАЙДУТСЯ ВЕКТОРЫ~$x$, $y$, ТАКИЕ, ЧТО~$x$ ПОКРЫВАЕТ~$y$,
$(x\alpha)_i=1$,
$(y\alpha)_i=0$ И~$\zeta(y)=j$.

\rex[M21] (т.~х.~рЛЕКСЕЕВ.) яУСТЬ~$\alpha$ ЕСТЬ~$n\hbox{-СЕТЬ}$; ВВЕДЕМ
ОБОЗНАЧЕНИЯ $l_k=\min\set{ (p\alpha)_k \mid p\in P_n}$,
$u_k=\max\set{(p\alpha)_k\mid p\in P_n}$ ПРИ~$1\le k \le n$ ДЛЯ НИЖНЕЙ И
ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦ ДИАПАЗОНА ЗНАЧЕНИЙ, КОТОРЫЕ МОГУТ ПОЯВЛЯТЬСЯ НА ПРЯМОЙ~$k$
ВЫХОДА. яУСТЬ~$l'_k$ И~$u'_k$---АНАЛОГИЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ
СЕТИ~$\alpha'=\alpha[i:j]$. фОКАЖИТЕ, ЧТО~$l'_i=l_i\land l_j$,
$l'_j\le l_i+l_j$,
$u'_i\ge u_+u_j-(n+1)$, $u'_j=u_i\lor u_j$.  [\emph{єКАЗАНИЕ:} ДЛЯ ДАННЫХ
ВЕКТОРОВ~$x$ И~$y$ ИЗ~$D_n$, ТАКИХ,
ЧТО~$(x\alpha)_i=(y\alpha)_j=0$, $\zeta(x)=l_i$, $\zeta(y)=l_j$, НАЙДИТЕ
ВЕКТОР~$z$ ИЗ~$D_n$, ТАКОЙ, ЧТО~$(z\alpha')_j=0$, $\zeta(z)\le l_i+l_j$.]

\ex[M30] яУСТЬ~$l_k$ И~$u_k$ ОПРЕДЕЛЕНЫ, КАК В УПР.~24. фОКАЖИТЕ, ЧТО
МНОЖЕСТВО~$\set{(p\alpha)_k \mid  p\in P_n}$ СОДЕРЖИТ ВСЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
МЕЖДУ~$l_k$ И~$u_k$ ВКЛЮЧИТЕЛЬНО.

\ex[M24] (Ё.~є.~ЇЛОЙД.) яУСТЬ~$\alpha$ ЕСТЬ $n\hbox{-СЕТЬ}$. фОКАЖИТЕ, ЧТО
МНОЖЕСТВО~$D_n\alpha=\set{x\alpha \mid x\in D_n}$ МОЖЕТ БЫТЬ ОПРЕДЕЛЕНО,
ИЗ МНОЖЕСТВА~$P_n\alpha=\set{p\alpha \mid p\in P_n}$ И, ОБРАТНО,
$P_n\alpha$~МОЖЕТ БЫТЬ ОПРЕДЕЛЕНО ИЗ~$D_n\alpha$.

\rex[M20] яУСТЬ~$x$ И~$y$---ВЕКТОРЫ, И ПУСТЬ~$x\alpha$
И~$y\alpha$---ОТСОРТИРОВАННЫЕ ВЕКТОРЫ. фОКАЖИТЕ, ЧТО~$(x\alpha)_i\le
(y\alpha)_j$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ДЛЯ ЛЮБОЙ СОВОКУПНОСТИ
$j$~ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ~$y$ МОЖНО НАЙТИ СОВОКУПНОСТЬ $i$~ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ~$x$, ТАКУЮ,
ЧТО ЛЮБОЙ ЭЛЕМЕНТ, ВЗЯТЫЙ ИЗ~$x$, МЕНЬШЕ НЕКОТОРОГО ЭЛЕМЕНТА,
ВЗЯТОГО ИЗ~$y$, ИЛИ РАВЕН ЕМУ. шСПОЛЬЗУЙТЕ ЭТОТ ПРИНЦИП ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ТОГО, ЧТО \emph{ЕСЛИ ОТСОРТИРОВАТЬ СТРОКИ ЛЮБОЙ МАТРИЦЫ, А ЗАТЕМ
ОТСОРТИРОВАТЬ СТОЛБЦЫ, ТО СТРОКИ ОСТАНУТСЯ УПОРЯДОЧЕННЫМИ.}

\rex[ь20] ёЛЕДУЮЩАЯ ДИАГРАММА ПОКАЗЫВАЕТ, КАК ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ ДЛЯ
СОДЕРЖИМОГО ВСЕХ ЛИНИЙ СЕТИ СОРТИРОВКИ ЧЕРЕЗ ЕЕ ВХОДЫ:
\picture{p.287}
шСПОЛЬЗУЯ ЗАКОНЫ КОММУТАТИВНОСТИ~$x\land y =y \land x$, $x\lor y = y \lor x$,
ЗАКОНЫ АССОЦИАТИВНОСТИ~$x\land (y\land z)=(x\land y) \land z$,
$x \lor (y \lor z) = (x \lor y) \lor z$, ЗАКОНЫ ДИСТРИБУТИВНОСТИ
$x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)$,
$x\lor(y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)$, ЗАКОНЫ ПОГЛОЩЕНИЯ
$x\land (x\lor y)=x\lor(x\land y)=x$ И ЗАКОНЫ ИДЕМПОТЕНТНОСТИ
$x\land x=x\lor x = x$, МЫ МОЖЕМ СВЕСТИ ФОРМУЛЫ В ПРАВОЙ ЧАСТИ ЭТОЙ СЕТИ
СООТВЕТСТВЕННО К~$(a \land b \land c \land d)$,
$(a\land b \land c) \lor (a\land b \land d) \lor (a\land c\land d) \lor (b \land c \land d)$,
$(a\land b) \lor (a \land c) \lor (a \land d) \lor (b \land c) \lor (b \land d) \lor (c \land d)$,
$a \lor b \lor c \lor d$. фОКАЖИТЕ,
%%288
ЧТО В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ $t\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ
ИЗ~$\set{x_1,~\ldots, x_n}$ ДАЕТСЯ "ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ"
$$
\sigma_t(x_1,~\ldots, x_n)=
\bigvee \set{x_{i_1}\land x_{i_2}\land\ldots\land x_{i_t} \mid
1\le i_1 < i_2 < \ldots < i_t \le n}.
$$
[чДЕСЬ $\perm{n}{t}$~ЧЛЕНОВ ОБоЕДИНЯЮТСЯ ОПЕРАЦИЕЙ~$\vee$ ВМЕСТЕ. ЄАКИМ
ОБРАЗОМ, ЗАДАЧА
НАХОЖДЕНИЯ СЕТИ СОРТИРОВКИ МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ ЭКВИВАЛЕНТНА ЗАДАЧЕ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ
СХЕМ "И/ИЛИ", ГДЕ НА КАЖДОМ ШАГЕ ДВЕ ВЕЛИЧИНЫ~$\phi$ И~$\psi$ ЗАМЕНЯЮТСЯ
НА~$\phi\land\psi$ И~$\phi\lor\psi$.]

\ex[M20] фАНО, ЧТО~$x_1\le x_2 \le x_3$ И~$y_1\le y_2 \le y_3 \le y_4 \le
y_5$ И ЧТО~$z_1\le z_2 \le \ldots \le z_8$---РЕЗУЛЬТАТ СЛИЯНИЯ~$x$ С~$y$.
эАЙДИТЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КАЖДОГО~$z$ ЧЕРЕЗ~$x$ И~$y$, ИСПОЛЬЗУЯ
ОПЕРАТОРЫ~$\land$ И~$\lor$.

\ex[ть24] фОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБАЯ ФОРМУЛА, СОДЕРЖАЩАЯ~$\land$, $\lor$ И
НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ~$\set{x_1,~\ldots, x_n}$, МОЖЕТ БЫТЬ ПРИВЕДЕНА С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТОЖДЕСТВ ИЗ УПР.~28 К "КАНОНИЧЕСКОЙ"
ФОРМЕ~$\tau_1\lor\tau_2\lor\ldots\lor\tau_k$, ЗДЕСЬ~$k\ge1$ И
КАЖДЫЙ~$\tau_i$ ИМЕЕТ ВИД~$\land \set{x_j \mid j \in S_i}$,
ГДЕ~$S_i$---ПОДМНОЖЕСТВО~$\set{1,2,~\ldots, n}$ И НИКАКОЕ МНОЖЕСТВО~$S_i$ НЕ
ВКЛЮЧАЕТСЯ В~$S_j$, ЕСЛИ~$i\ne j$. фОКАЖИТЕ ТАКЖЕ, ЧТО ДВЕ ТАКИЕ
КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ РАВНЫ ДЛЯ ВСЕХ~$x_1$,~\dots, $x_n$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
 КОГДА ОНИ ИДЕНТИЧНЫ (С ТОЧНОСТЬЮ ДО ПОРЯДКА).

\ex[ь24] (Ё.~фЕДЕКИНД, 1897.) яУСТЬ~$\delta_n$---ЧИСЛО РАЗЛИЧНЫХ
КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ ОТ~$x_1$,~\dots, $x_n$ В СМЫСЛЕ УПР.~30 ЄАК,
$\delta_1=l$, $\delta_2=4$ И~$\delta_3=18$. ўЕМУ РАВНО~$\delta_4$?

\ex[ь28] (ь.~є.~уРИН.) яУСТЬ~$G_1=\set{00, 01, 11}$; ОПРЕДЕЛИМ~$G_{n+1}$
КАК МНОЖЕСТВО ВСЕХ ЦЕПОЧЕК~$\theta\phi\psi\omega$, ТАКИХ, ЧТО~$\theta$,
$\phi$, $\psi$, $\omega$ ИМЕЮТ ДЛИНУ~$2^{n+1}$ И~$\theta\phi$,
$\psi\omega$, $\theta\psi$ И~$\phi\omega$ ПРИНАДЛЕЖАТ~$G_n$.
яУСТЬ~$\alpha$---СЕТЬ, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ЧЕТЫРЕХ ПЕРВЫХ УРОВНЕЙ 16-СОРТИРОВЩИКА,
ИЗОБРАЖЕННОГО НА РИС.~48. яОКАЖИТЕ, ЧТО~$D_{16}\alpha=G_4$, И ДОКАЖИТЕ,
ЧТО ЭТО МНОЖЕСТВО ИМЕЕТ В ТОЧНОСТИ $\delta_4+2$~ЭЛЕМЕНТОВ. (ёМ.~УПР.~31.)

\rex[ь22] эЕ ВСЕ $\delta_n$~ФУНКЦИЙ ОТ~$\<x_1,~\ldots, x_n>$ ИЗ УПР.~31
МОГУТ ВСТРЕТИТЬСЯ В КОМПАРАТОРНЫХ СЕТЯХ. р ИМЕННО ДОКАЖИТЕ, ЧТО
ФУНКЦИЯ~$(x_1\land x_2) \lor (x_2\land x_3) \lor (x_3\land x_4)$ НЕ МОЖЕТ
БЫТЬ РЕЗУЛЬТАТОМ НИКАКОЙ КОМПАРАТОРНОЙ СЕТИ ОТ~$\<x_1,~\ldots, x_n>$.

\ex[23] ▀ВЛЯЕТСЯ ЛИ СЛЕДУЮЩАЯ СЕТЬ СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ?
\picture{p.288}
\ex[20] фОКАЖИТЕ, ЧТО В ЛЮБОЙ \emph{СТАНДАРТНОЙ СЕТИ} СОРТИРОВКИ ДОЛЖЕН ПО
КРАЙНЕЙ МЕРЕ ОДИН РАЗ ВСТРЕТИТЬСЯ КАЖДЫЙ ИЗ КОМПАРАТОРОВ~$[i:i+1]$
ПРИ~$1\le i < n$.

\rex[22] ёЕТЬ НА РИС.~47 СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО \emph{КРАТЧАЙШИЕ}
СРАВНЕНИЯ~$[i:i+1]$; БУДЕМ НАЗЫВАТЬ ТАКИЕ СЕТИ \dfn{ПРИМИТИВНЫМИ,}
(a)~фОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИМИТИВААЯ СЕТЬ СОРТИРОВКИ ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ ДОЛЖНА
ИМЕТЬ НЕ МЕНЕЕ $\perm{n}{2}$~КОМПАРАТОРОВ. [\emph{єКАЗАНИЕ:} РАССМОТРИТЕ
ИНВЕРСИИ ПЕРЕСТАНОВКИ.] (b)~(Ё.~є.~ЇЛОЙД, 1964.)
яУСТЬ~$\alpha$---ПРИМИТИВНАЯ СЕТЬ ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, А~$x$---ВЕКТОР, ТАКОЙ,
ЧТО~$(x\alpha)_i >(x\alpha)_j$ ПРИ НЕКОТОРЫХ~$i<j$. фОКАЖИТЕ,
ЧТО~$(y\alpha)_i>(y\alpha)_j$,
ГДЕ~$y$---ВЕКТОР~$\<n, n-1,~\ldots, 1>$. (С)~т КАЧЕСТВЕ СЛЕДСТВИЯ~(b)
ДОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИМИТИВНАЯ
%%288
СЕТЬ ЯВЛЯЕТСЯ СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОНА
СОРТИРУЕТ ЕДИНСТВЕННЫЙ ВЕКТОР~$\<n, n-1,~\ldots, 1>$!

\ex[ь22] \dfn{ўЕТНО-НЕЧЕТНАЯ СОРТИРОВКА С ТРАНСПОЗИЦИЯМИ} ДЛЯ $n$~ЧИСЕЛ,
$n\ge 3$, ЭТО $n\hbox{-УРОВНЕВАЯ}$ СЕТЬ С ${1\over2}n(n-1)$~КОМПАРАТОРАМИ,
НАПОМИНАЮЩАЯ КИРПИЧНУЮ КЛАДКУ (РИС.~58). (хСЛИ $n$~ЧЕТНО, ИМЕЮТСЯ ДВЕ
ВОЗМОЖНОСТИ.) ЄАКУЮ СОРТИРОВКУ ОСОБЕННО ЛЕГКО РЕАЛИЗОВАТЬ АППАРАТУРНО, ТАК
КАК ПОПЕРЕМЕННО ВЫПОЛНЯЮТСЯ ТОЛЬКО ДВА ВИДА ДЕЙСТВИЙ. фОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКАЯ
СЕТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО БУДЕТ ПРАВИЛЬНОЙ СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ. [\emph{єКАЗАНИЕ:} СМ.~УПР.~36.]
\picture{ЁИС.~58.  ўЕТНО-НЕЧЕТНАЯ СОРТИРОВКА С ТРАНСПОЗИЦИЯМИ.}

\ex[29] ьОЖНО ДАТЬ ДРУГУЮ ИНТЕРПРЕТАЦИЮ СЕТЯМ СОРТИРОВКИ, СЧИТАЯ, ЧТО НА
КАЖДОЙ ЛИНИИ НАХОДИТСЯ МУЛЬТИМНОЖЕСТВО ИЗ $m$~ЧИСЕЛ, А НЕ ОДНО ЧИСЛО; ПРИ
ЭТОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ОПЕРАЦИЯ~$[i:j]$ ЗАМЕНЯЕТ~$x_i$ И~$x_j$
СООТВЕТСТВЕННО НА~$x_i \upup x_j$ И~$x_i\dndn x_j$---НАИМЕНЬШИЕ~$m$ И
НАИБОЛЬШИЕ~$m$ ИЗ~$2m$ ЧИСЕЛ~$x_i\uplus x_j$. (ЁИС.~59 ИЛЛЮСТРИРУЕТ ЭТО
ПРИ~$m=2$.) хСЛИ~$a$ И~$b$ СУТЬ МУЛЬТИМНОЖЕСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ $m$~ЧИСЕЛ
КАЖДОЕ, ТО БУДЕМ ГОВОРИТЕ, ЧТО~$a \lflf b$ ТОГДА
\picture{ЁИС.~59.  фРУГАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СЕТИ СОРТИРОВКИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА
РИС.~44: КАЖДЫЙ КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ ВЫПОЛНЯЕТ ОПЕРАЦИЮ СЛИЯНИЯ.}
И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$a \upup b=a$ (ИЛИ, ЭКВИВАЛЕНТНО, $a \dndn b=b$;
НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ~$a$ МЕНЬШЕ ИЛИ РАВЕН НАИМЕНЬШЕМУ ЭЛЕМЕНТУ~$b$). ЄАКИМ
ОБРАЗОМ,
$a \upup b \lflf a \dndn b$.

яУСТЬ~$\alpha$ ЕСТЬ $n\hbox{-СЕТЬ}$, a~$x=\<x_1,~\ldots, x_n>$---ВЕКТОР, В
КОТОРОМ КАЖДАЯ КОМПОНЕНТА~$x_i$---МУЛЬТИМНОЖЕСТВО ИЗ $m$~ЭЛЕМЕНТОВ. фОКАЖИТЕ,
ЧТО ЕСЛИ~$(x\alpha)_i$ НЕ $\lflf (x\alpha)_j$ В ОПИСАННОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ,
ТО В~$D_n$ НАЙДЕТСЯ ВЕКТОР~$y$, ТАКОЙ, ЧТО $(y\alpha)_i=1$
И~$(y\alpha)_j=0$. [ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, СЕТЬ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ
ПРЕВРАЩАЕТСЯ В СЕТЬ СОРТИРОВКИ $mn$~ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ ЗАМЕНИТЬ СРАВНЕНИЯ
$m$-ПУТЕВЫМИ СЛИЯНИЯМИ. эА РИС.~60 ИЗОБРАЖЕН ВОСЬМИЭЛЕМЕНТНЫЙ
СОРТИРОВЩИК, ПОСТРОЕННЫЙ ИЗ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНОГО С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭТОГО
НАБЛЮДЕНИЯ.]

\rex[ь23] яОКАЖИТЕ, ЧТО В ОБОЗНАЧЕНИЯХ УПР.~38
$(x\upup y)\upup z=x\upup (y\upup z)$ И~$(x\dndn y)\dndn z=x\dndn(y\dndn
z)$, ОДНАКО $(x\dndn y)\upup z)$ \emph{НЕ}  ВСЕГДА РАВНО~$(x\upup z)\dndn
(y\upup z)$ И~$(x\upup y)\dndn (x\upup z)\dndn (y\upup z)$ \emph{НЕ}
ВСЕГДА РАВНО СРЕДНИМ $m$~ЭЛЕМЕНТАМ~$x\uplus y \uplus z$. эАЙДИТЕ
ПРАВИЛЬНУЮ ФОРМУЛУ ДЛЯ ЭТИХ СРЕДНИХ ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗОВАВ В НЕЙ $x$, $y$,
$z$, А ТАКЖЕ ОПЕРАЦИИ~$\upup$ И~$\dndn$.
%%290

\ex[M25] (Ё.~ы.~уРЭХЕМ.) ъОМПАРАТОР~$[i:j]$ НАЗЫВАЕТСЯ ИЗБЫТОЧНЫМ В
СЕТИ~$\alpha_1[i:j]\alpha_2$, ЕСЛИ ЛИБО~$(x\alpha_1)_i \le (x\alpha_1)_j$
ДЛЯ ВСЕХ ВЕКТОРОВ~$x$, ЛИБО~$(x\alpha_1)_i\ge (x\alpha_1)_j$ ДЛЯ ВСЕХ
ВЕКТОРОВ~$x$. фОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ $\alpha$~ЯВЛЯЕТСЯ СЕТЬЮ С
$r$~НЕИЗБЫТОЧНЫМИ КОМПАРАТОРАМИ, ТО НАЙДУТСЯ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ
$r$~РАЗЛИЧНЫХ УПОРЯДОЧЕННЫХ
\picture{ЁИС.~60.   8-СОРТИРОВЩИК, ПОСТРОЕННЫЙ ИЗ 4-СОРТИРОВЩИКА С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛИЯНИЯ.}
ПАР~$(i, j)$ РАЗЛИЧНЫХ ИНДЕКСОВ, ТАКИХ, ЧТО~$(x\alpha)_i\le (x\alpha)_j$
ДЛЯ ВСЕХ ВЕКТОРОВ~$x$. (ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, СЕТЬ БЕЗ ИЗБЫТОЧНЫХ КОМПАРАТОРОВ
СОДЕРЖИТ НЕ БОЛЕЕ $\perm{n}{2}$~МОДУЛЕЙ.)

\rex[M27] (т.~х.~рЛЕКСЕЕВ.) яУСТЬ~$\alpha=[i_1:j_1]\ldots[i_r:j_r]$ ЕСТЬ~$n\hbox{-СЕТЬ}$;
ДЛЯ~$1\le s \le r$
ОПРЕДЕЛИМ~$\alpha^s=[i'_1:j'_1]\ldots[i'_{s-1}:j'_{s-1}]\,
[i_s:j_s]\ldots[i_r:j_r]$, ГДЕ~$i'_k$ И~$j'_k$ ПОЛУЧЕНЫ ИЗ~$i_k$ И~$j_k$
ЗАМЕНОЙ~$i_s$ НА~$j_s$ И~$j_s$ НА~$i_s$ ВЕЗДЕ, ГДЕ ОНИ ВСТРЕЧАЮТСЯ.
эАПРИМЕР,
ЕСЛИ~$\alpha=[1:2]\,[3:4]\,[1:3]\,[2:4]\,[2:3]$, ТО~$\alpha^4=[1:4]\,
[3:2]\,[1:3]\,[2:4]\,[2:3]$.
{\medskip\narrower
\item{a)}~фОКАЖИТЕ, ЧТО~$D_n\alpha=D_n(\alpha^s)$.
\item{b)}~фОКАЖИТЕ, ЧТО~$(\alpha^s)^t=(\alpha^t)^s$.
\item{c)}~\dfn{ёОПРЯЖЕНИЕМ~$\alpha$} ЯВЛЯЕТСЯ ЛЮБАЯ СЕТЬ
ВИДА~$(\ldots((\alpha^{s_1})^{s_2})\ldots)^{s_k}$. фОКАЖИТЕ, ЧТО
$\alpha$~ИМЕЕТ НЕ БОЛЕЕ $2^{r-1}$~СОПРЯЖЕНИЙ.
\item{d)}~яУСТЬ~$g_\alpha(x)=1$, ЕСЛИ~$x\in D_n\alpha$, И~$g_\alpha(x)=0$,
ЕСЛИ~$x\notin D_n\alpha$, И ПУСТЬ
$$
f_\alpha(x)=(\bar x_{i_1}\lor x_{j_1})\land\ldots\land(\bar x_{i_r}\lor x_{j_r}).
$$
фОКАЖИТЕ,
ЧТО~$g_\alpha(x)=\bigvee\set{f_{\alpha'}(x)\mid \hbox{$\alpha'$ ЕСТЬ СОПРЯЖЕНИЕ~$\alpha$}}$.
\item{e)}~яУСТЬ~$G_\alpha$---НАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ С ВЕРШИНАМИ~$\set{1,~\ldots,
n}$ И ДУГАМИ~$i_s\to j_s$ ДЛЯ~$1\le s \le r$. фОКАЖИТЕ, ЧТО А ЯВЛЯЕТСЯ
СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ДЛЯ ВСЕХ ЕЕ
СОПРЯЖЕНИЙ~$\alpha'$ В~$G_{\alpha'}$ ИМЕЕТСЯ ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПУТЬ ОТ~$i$
ДО~$i+1$ ДЛЯ~$1\le i < n$. [¤ТО ДОВОЛЬНО ИНТЕРЕСНОЕ УСЛОВИЕ,
ПОСКОЛЬКУ~$G_\alpha$ НЕ ЗАВИСИТ ОТ ПОРЯДКА КОМПАРАТОРОВ В~$\alpha$.]
\medskip}

\rex[25] (ф.~тАН тОРИС.) фОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat S(n)\ge \hat
S(n-1)+\ceil{\log_2 n}$.

\ex[23] \dfn{яЕРЕСТАНОВОЧНОЙ СЕТЬЮ} НАЗЫВАЕТСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
МОДУЛЕЙ~$[i_1:j_1]\ldots[i_r:j_r]$, ГДЕ КАЖДЫЙ МОДУЛЬ~$[i:j]$ МОЖЕТ
УСТАНАВЛИВАТЬСЯ ИЗВНЕ В ОДНО ИЗ ДВУХ СОСТОЯНИЙ: ЛИБО ОН ПЕРЕДАЕТ СВОИ
ВХОДЫ БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ, ЛИБО МЕНЯЕТ МЕСТАМИ~$x_i$ И~$x_j$ (НЕЗАВИСИМО ОТ
ЗНАЧЕНИЙ~$x_i$ И~$x_j$), И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МОДУЛЕЙ ДОЛЖНА БЫТЬ ТАКОЙ,
ЧТО НА ВЫХОДЕ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ЛЮБУЮ ПЕРЕСТАНОВКУ ВХОДОВ ПРИ СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ
УСТАНОВКЕ МОДУЛЕЙ. ыЮБАЯ СЕТЬ СОРТИРОВКИ ЯВЛЯЕТСЯ, ОЧЕВИДНО,
ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ СЕТЬЮ, НО ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО. эАЙДИТЕ ПЕРЕСТАНОВОЧНУЮ СЕТЬ
ДЛЯ ПЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ, ИМЕЮЩУЮ ТОЛЬКО ВОСЕМЬ МОДУЛЕЙ.
%%291

\ex[46] шЗУЧИТЕ СВОЙСТВА СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ, ПОСТРОЕННЫХ ИЗ
$m$-СОРТИРОВЩИКОВ ВМЕСТО 2-СОРТИРОВЩИКОВ. (эАПРИМЕР, у.~°АПИРО ПОСТРОИЛ СЕТЬ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ 16~ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗОВАВ ЧЕТЫРНАДЦАТЬ
4-СОРТИРОВЩИКОВ. эАИЛУЧШЕЕ ЛИ ЭТО РЕШЕНИЕ? ёУЩЕСТВУЕТ ЛИ ДЛЯ ВСЕХ
$m$~ЭФФЕКТИВНЫЙ СПОСОБ СОРТИРОВКИ  $m^2$~ЭЛЕМЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ МОДУЛЕЙ,
ВЫПОЛНЯЮЩИХ $m$-СОРТИРОВКУ?)

\ex[48] эАЙДИТЕ, $(m, n)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ С ЧИСЛОМ КОМПАРАТОРОВ,
МЕНЬШИМ~$C(m,n)$, ИЛИ ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКОЙ СЕТИ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

\ex[48] эАЙДИТЕ $(m, n)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ МЕНЬШЕ, ЧЕМ С
$\ceil{\log_2 (m+n)}$~УРОВНЯМИ ЗАДЕРЖКИ, ИЛИ ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЕЕ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

\ex[48] шЗУЧИТЕ КЛАСС СХЕМ СОРТИРОВКИ, КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ РЕАЛИЗОВАНЫ В
ВИДЕ СХЕМ С ИДЕАЛЬНЫМ ТАСОВАНИЕМ, КАК НА РИС.~57, НО С
ДРУГИМ РАСПОЛОЖЕНИЕМ ОПЕРАЦИЙ~"$0$", "$+$" И~"$-$".

\ex[ть49] шССЛЕДУЙТЕ СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ~$\upup$ И~$\dndn$, ОПРЕДЕЛЕННЫХ В
УПР.~38. ьОЖНО ЛИ ОХАРАКТЕРИЗОВАТЬ ВСЕ ТОЖДЕСТВА В ЭТОЙ АЛГЕБРЕ КАКИМ-ЛИБО
ИЗЯЩНЫМ СПОСОБОМ ИЛИ ВЫВЕСТИ ВСЕ ИХ ИЗ КОНЕЧНОГО НАБОРА ТОЖДЕСТВ? т
ЭТОМ ОТНОШЕНИИ ТАКИЕ ТОЖДЕСТВА, КАК
$$
x\upup x \upup x = x \upup x \hbox{ ИЛИ } x\upup (x\dndn (x\upup (x\dndn
y)))=x\upup(x\dndn y),
$$
КОТОРЫЕ ИМЕЮТ МЕСТО ТОЛЬКО ДЛЯ~$m\le 2$, ПРЕДСТАВЛЯЮТ ОТНОСИТЕЛЬНО
НЕБОЛЬШОЙ ИНТЕРЕС; РАССМАТРИВАЙТЕ ЛИШЬ ТОЖДЕСТВА, СПРАВЕДЛИВЫЕ ПРИ \emph{ВСЕХ}~$m$.

\ex[M49] ъАКОВО АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ~$T(n)$, ОПРЕДЕЛЕННОЙ В
УПР.~Б? ьОЖЕТ ЛИ БЫТЬ $T(n)<\hat T(n)$ ПРИ КАКОМ-НИБУДЬ~$n$?

\ex[50] эАЙДИТЕ ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$\hat S(n)$ ДЛЯ КАКОГО-ЛИБО~$n>8$.

\ex[ь50] фОКАЖИТЕ, ЧТО АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$\hat S(n)$ НЕ
ЕСТЬ~$O(n\log n)$.

\centerline{{\bf  єяЁрцэхэш▀, (тЄюЁр▀ ўрёЄ№)}}

ёЛЕДУЮЩИЕ УПРАЖНЕНИЯ ИМЕЮТ ДЕЛО С РАЗЛИЧНЫМИ ТИПАМИ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ,
КАСАЮЩИХСЯ СОРТИРОВКИ. яЕРВЫЕ НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ ОСНОВАНЫ НА "ИНТЕРЕСНОМ
"МНОГОГОЛОВОЧНОМ" ОБОБЩЕНИИ МЕТОДА ПУЗЫРЬКА,
ПРЕДЛОЖЕННОМ Ї.~э.~рРМСТРОНГОМ И~Ё.~фЖ.~эЕЛЬСОНОМ ЕЩЕ В~1954~Г.
[ёМ.~U.~S.~Patents 3029413, 3034102.]
яУСТЬ~$1=h_1<h_2<\ldots<h_m=n$---ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЦЕЛЫХ
ЧИСЕЛ; БУДЕМ НАЗЫВАТЬ ЕЕ "ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ГОЛОВОК" ДЛИНЫ~$m$ С
ДИАПАЗОНОМ~$n$. юНА БУДЕТ ИСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ МЕТОДОВ
СОРТИРОВКИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА. ёОРТИРОВКА ЗАПИСЕЙ~$R_1$~\dots{}$R_N$
ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ЗА НЕСКОЛЬКО ПРОХОДОВ, А КАЖДЫЙ ПРОХОД СОСТОИТ ИЗ
$N+n-1$~ШАГОВ. эА ШАГЕ~$j$ ПРИ~$j=1-n$, $2-n$,~\dots,.$N-1$
РАССМАТРИВАЮТСЯ ЗАПИСИ~$R_{j+h[1]}$, $R_{j+h[2]}$,~\dots, $R_{j+h[m]}$,
КОТОРЫЕ В СЛУЧАЕ НЕОБХОДИМОСТИ ПЕРЕСТАВЛЯЮТСЯ ТАК, ЧТОБЫ ИХ КЛЮЧИ
ОКАЗАЛИСЬ УПОРЯДОЧЕННЫМИ. (ьЫ ГОВОРИМ, ЧТО~$R_{j+h[1]}\ldots{}R_{j+h[m]}$
НАХОДЯТСЯ "ПОД ГОЛОВКАМИ ЧТЕНИЯ-ЗАПИСИ". хСЛИ~$j+h[k]$ ЛИБО~$<1$,
ЛИБО~$>N$, ТО ЗАПИСЬ~$R_{j+h[k]}$ НЕ РАССМАТРИВАЕТСЯ, ИНАЧЕ ГОВОРЯ,
%%292
КЛЮЧИ~$K_0$, $K_{-1}$, $K_{-2}$,~\dots{} СЧИТАЮТСЯ РАВНЫМИ~$-\infty$,
a~$K_{N+1}$, $K_{N+2}$,~\dots{}---РАВНЫМИ~$+\infty$. яОЭТОМУ ПРИ~$j\le
-h[m-1]$ ИЛИ~$j>N-h[2]$ ШАГ~$j$ ТРИВИАЛЕН.)

эАПРИМЕР, В СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ ПОКАЗАН ОДИН ПРОХОД СОРТИРОВКИ ПРИ~$m=3$,
$N=9$ И~$h_1=1$, $h_2=2$, $h_3=4$:
{\def\ul#1{\underline{#1}}\def\emp{\phantom{0}}
\ctable{
$#$\hfill && \bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr
& K_{-2} & K_{-1} & K_0 & K_1 & K_2 & K_3 & K_4 & K_5 & K_6 & K_7 & K_8 &
K_9 & K_{10} & K_{11} & K_{12}\cr
j=-3 &  \ul{\emp} & \ul{\emp} &               & \ul{3} & 1 & 4 & 5 & 9 & 2
& 6 & 8 & 7 \cr
j=-2 &                  & \ul{\emp}& \ul{\emp}& 3 & \ul{1} & 4 & 5 & 9 & 2
& 6 & 8 & 7 \cr
j=-1 &                  &               & \ul{\emp}&\ul{3} & 1 & \ul{4} &
5 & 9 & 2 & 6 & 8 & 7\cr
j=0  &                  &               &                &\ul{1} & \ul{3}
& 4 & \ul{5} &  9 & 2 & 6 & 8 & 7 \cr
j=1  &                  &                &                & 1 & \ul{3} &
\ul{4} & 5 & \ul{9} & 2 & 6 & 8 & 7 \cr
j=2  &                  &                 &                & 1  & 3 &
\ul{2} & \ul{4} & 9 & \ul{5} & 6 & 8 & 7 \cr
j=3  &                  &                  &                & 1  & 3 & 2 &
\ul{4} & \ul{6} & 5 &\ul{9} & 8 & 7 \cr
j=4  &                  &                  &                 & 1 & 3 & 2 &
4 & \ul{5} & \ul{6} & 9 & \ul{8} & 7 \cr
j=5  &                  &                  &                  & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & \ul{6} & \ul{7} & 8 & \ul{9}\cr
j=6  &                   &                 &                   & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & 6 & \ul{7} & \ul{8} & 9 & \ul{\emp} \cr
j=7  &                   &                  &                  & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & 6 & 7 & \ul{8} & \ul{9} & & \ul{\emp}\cr
j=8  &                   &                   &                 & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & \ul{9} & \ul{\emp}&  & \ul{\emp} \cr
}
}


чАМЕТИМ, ЧТО, ЕСЛИ~$m=2$, $h_1=1$ И~$h_2=2$, ЭТОТ "МНОГОГОЛОВОЧНЫЙ"
МЕТОД СВОДИТСЯ К МЕТОДУ ПУЗЫРЬКА (АЛГОРИТМ~5.2.2B).

\ex[21] (фЖЕЙМС фУГУНДИ.) фОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$h[k+1]=h[k]+1$
ПРИ НЕКОТОРОМ~$k$, $1\le k < m$, ТО МНОГОГОЛОВОЧНЫЙ СОРТИРОВЩИК,
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ВЫШЕ, ОТСОРТИРУЕТ ЛЮБОЙ ВХОДНОЙ ФАЙЛ ЗА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО
ПРОХОДОВ. эО
ЕСЛИ~$h[k+1]\ge h[k]+2$ ПРИ~$1\le k < m$, ТО МОЖЕТ СЛУЧИТЬСЯ, ЧТО ВХОДНАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ \emph{НИКОГДА} НЕ СТАНЕТ УПОРЯДОЧЕННОЙ.

\edef\exref{\the\excerno}
\rex[50] (рРМСТРОНГ И~эЕЛЬСОН.) яУСТЬ~$h[k+1]\le h[k]+k$ ПРИ~$1\le k\le m$
И~$N\ge n-1$. фОКАЖИТЕ, ЧТО В ТЕЧЕНИЕ ПЕРВОГО ПРОХОДА
НАИБОЛЬШИЕ $n-1$~ЭЛЕМЕНТОВ ВСЕГДА ЗАЙМУТ СВОИ ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ МЕСТА.
[\emph{єКАЗАНИЕ:} ИСПОЛЬЗУЙТЕ ПРИНЦИП НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ; ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ
СОРТИРУЕТСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИЗ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ, ПРИЧЕМ ЕДИНИЦ
МЕНЬШЕ~$n$, ТО ВСЕ ГОЛОВКИ МОГУТ ЧИТАТЬ~1 ЛИШЬ В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ВСЕ
НУЛИ ЛЕЖАТ СЛЕВА ОТ ГОЛОВОК.]

фОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ ГОЛОВКИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ СФОРМУЛИРОВАННЫМ УСЛОВИЯМ, ТО
СОРТИРОВКА БУДЕТ ЗАКОНЧЕНА НЕ БОЛЕЕ, ЧЕМ ЗА
$\ceil{(N-1)/(n-1)}$~ПРОХОДОВ. ёУЩЕСТВУЕТ ЛИ ВХОДНОЙ ФАЙЛ, ДЛЯ КОТОРОГО
НЕОБХОДИМО РОВНО СТОЛЬКО ПРОХОДОВ?

\ex[26] фОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИ~$n=N$ ПЕРВЫЙ ПРОХОД ПОМЕСТИТ НАИМЕНЬШИЙ  КЛЮЧ В
ПОЗИЦИЮ~$R_1$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$h[k+1]\le 2h[k]$, $1\le k<m$.

\ex[34] (фЖ.~їОПКРОФТ.) "ёОВЕРШЕННЫМ СОРТИРОВЩИКОМ"
$N$~ЭЛЕМЕНТОВ НАЗЫВАЕТСЯ МНОГОГОЛОВОЧНЫЙ СОРТИРОВЩИК, КОТОРЫЙ ВСЕГДА
ЗАКАНЧИВАЕТ РАБОТУ ЗА ОДИН ПРОХОД. єПРАЖНЕНИЕ~\exref{} ДОКАЗЫВАЕТ, ЧТО
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$$
\<h_1, h_2, h_3, h_4,~\ldots, h_m>=\<1, 2, 4, 7,~\ldots, 1+\perm{m}{2}>.
$$
ОБРАЗУЕТ СОВЕРШЕННЫЙ СОРТИРОВЩИК ДЛЯ $N=\perm{m}{2}$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗУЯ
$m=(\sqrt{8N-7}+l)/2$~ГОЛОВОК. эАПРИМЕР, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ГОЛОВОК~$\<1, 2, 4, 7, 11, 16, 22>$ ЯВЛЯЕТСЯ СОВЕРШЕННЫМ СОРТИРОВЩИКОМ ДЛЯ
22~ЭЛЕМЕНТОВ.

фОКАЖИТЕ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ГОЛОВОК~$\<1, 2, 4, 7, 11, 16, 23>$
НА САМОМ ДЕЛЕ БУДЕТ СОВЕРШЕННЫМ СОРТИРОВЩИКОМ ДЛЯ 23~ЭЛЕМЕНТОВ.

\ex[49] юПРЕДЕЛИТЕ ПРИ ЗАДАННОМ~$m$ НАИБОЛЬШЕЕ~$N$, ДЛЯ КОТОРОГО
СУЩЕСТВУЕТ СОВЕРШЕННЫЙ СОРТИРОВЩИК С $m$~ГОЛОВКАМИ. тЕРНО ЛИ, ЧТО~$N=O(m^2)$?
%%293

\ex[23] (т.~яРАТТ.) хСЛИ КАЖДАЯ ГОЛОВКА~$h_k$ НАХОДИТСЯ В
ПОЛОЖЕНИИ~$2^{k-1}$  ДЛЯ~$1\le k \le m$, ТО СКОЛЬКО ПРОХОДОВ ПОТРЕБУЕТСЯ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НУЛЕЙ И
ЕДИНИЦ~$z_1$ $z_2$~\dots{} $z_{2^{m-1}}$,
ГДЕ $z_j=0$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА $j$~ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ~2?

\ex[24] (юДНОРОДНАЯ СОРТИРОВКА.) т ДЕРЕВЕ НА РИС.~34 В П.~5.3.1
СРАВНЕНИЕ~$2:3$ ВЫПОЛНЯЕТСЯ В ОБОИХ ВЕТВЯХ УРОВНЯ~1; А В КАЖДОЙ ВЕТВИ
УРОВНЯ~2 ВЫПОЛНЯЕТСЯ СРАВНЕНИЕ~$1:3$, ЕСЛИ ТОЛЬКО ОНО НЕ ЯВЛЯЕТСЯ
ИЗБЫТОЧНЫМ. т ОБЩЕМ СЛУЧАЕ МЫ МОЖЕМ РАССМОТРЕТЬ КЛАСС АЛГОРИТМОВ
СОРТИРОВКИ, ОДНОРОДНЫХ
ИМЕННО В ЭТОМ СМЫСЛЕ, ПРЕДПОЛАГАЯ, ЧТО~$M=\perm{N}{2}$
ПАР~$\set{(a,b) \mid 1\le a<b\le N}$ ВЫСТРОЕНЫ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$$
(a_1, b_2)\, (a_2, b_2)\ldots(a_M, b_M);
$$
МЫ МОЖЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО ВЫПОЛНЯТЬ ТЕ ИЗ СРАВНЕНИЙ~$K_{a_1}:K_{b_1}$,
$K_{a_2}:K_{b_2}$,~\dots, РЕЗУЛЬТАТ КОТОРЫХ ЕЩЕ НЕ ИЗВЕСТЕН. ъАЖДАЯ ИЗ
$M!$~РАССТАНОВОК ПАР~$(a,b)$ ОПРЕДЕЛЯЕТ АЛГОРИТМ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ.
шДЕЯ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ ПРИНАДЛЕЖИТ X.~ы.~сЬЮСУ [{\sl JACM,\/}{\bf 17}
(1970), 482--495], В РАБОТЕ КОТОРОГО БЫЛИ ПРЕДЛОЖЕНЫ БЛИЖАЙШИЕ НЕСКОЛЬКО
УПРАЖНЕНИЙ.

фЛЯ ФОРМАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ УДОБНО ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ
ТЕОРИЕЙ ГРАФОВ. яУСТЬ~$G$---НАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ С ВЕРШИНАМИ~$\set{1, 2,~\ldots, N}$
И БЕЗ ДУГ. фЛЯ~$i=1$, 2,~\dots, $M$ МЫ ДОБАВЛЯЕМ ДУГИ К~$G$ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
\medskip
{\sl ёЛУЧАЙ~1.\/}~т~$G$ ИМЕЕТСЯ ПУТЬ ОТ~$a_i$ К~$b_i$.
фОБАВИТЬ К~$G$ ДУГУ~$a_i\to b_i$.

{\sl ёЛУЧАЙ~2.\/}~т~$G$ ИМЕЕТСЯ ПУТЬ ОТ~$b_i$ К~$a_i$.
фОБАВИТЬ К~$G$ ДУГУ~$b_i\to a_i$.

{\sl ёЛУЧАЙ~3.\/}~т~$G$ НЕТ ПУТИ НИ ОТ~$a_i$ К~$b_i$, НИ ОТ~$b_i$ К~$a_i$.
ёРАВНИТЬ~$K_{a_i}:K_{b_i}$; ЗАТЕМ, ЕСЛИ~$K_{a_i}\le K_{b_i}$, ДОБАВИТЬ
К~$G$ ДУГУ~$a_i\to b_i$, ЕСЛИ ЖЕ~$K_{a_i}>K_{b_i}$, ТО ДОБАВИТЬ
ДУГУ~$b_i\to a_i$.
\medskip

эАС ИНТЕРЕСУЕТ ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ КЛЮЧЕЙ,
ВЫПОЛНЯЕМЫХ АЛГОРИТМОМ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ, А НЕ МЕХАНИЗМ, С ПОМОЩЬЮ
КОТОРОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНО УСТРАНЯЮТСЯ ИЗБЫТОЧНЫЕ СРАВНЕНИЯ; ГРАФ~$G$ НЕ
ОБЯЗАТЕЛЬНО СТРОИТЬ В ЯВНОМ ВИДЕ---ЗДЕСЬ ОН ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ.

сУДЕМ ТАКЖЕ РАССМАТРИВАТЬ \dfn{ОГРАНИЧЕННУЮ ОДНОРОДНУЮ СОРТИРОВКУ,}
ПРИ КОТОРОЙ В УКАЗАННЫХ ВЫШЕ СЛУЧАЯХ 1--3 УЧИТЫВАЮТСЯ ТОЛЬКО ПУТИ
ДЛИНЫ~2. (рЛГОРИТМ ОГРАНИЧЕННОЙ СОРТИРОВКИ МОЖЕТ ВЫПОЛНЯТЬ НЕКОТОРЫЕ
ИЗБЫТОЧНЫЕ СРАВНЕНИЯ, НО, КАК ПОКАЗЫВАЕТ УПР.~59, АНАЛИЗ ОГРАНИЧЕННОГО
СЛУЧАЯ НЕСКОЛЬКО ПРОЩЕ.)

фОКАЖИТЕ, ЧТО АЛГОРИТМ ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ СОВПАДАЕТ С
АЛГОРИТМОМ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ, КОГДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПАР
ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕНА:
$$
(1, 2)\, (1, 3)\, (1, 4)\ldots(1, N)\, (2, 3)\, (2, 4)\ldots(2, N)\ldots
(N-1, N).
$$
яОКАЖИТЕ, ЧТО НА САМОМ ДЕЛЕ ОБА АЛГОРИТМА ЭКВИВАЛЕНТНЫ "БЫСТРОЙ
СОРТИРОВКЕ" (АЛГОРИТМ~5.2.2Q), ЕСЛИ ВСЕ КЛЮЧИ РАЗЛИЧНЫ И ИЗБЫТОЧНЫЕ
СРАВНЕНИЯ БЫСТРОЙ СОРТИРОВКИ УСТРАНЕНЫ, КАК В УПР.~5.2.2-24. (эЕ ОБРАЩАЙТЕ
ВНИМАНИЯ НА ПОРЯДОК, В КОТОРОМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ВЫПОЛНЯЮТСЯ СРАВНЕНИЯ В
БЫСТРОЙ СОРТИРОВКЕ; УЧИТЫВАЙТЕ ТОЛЬКО, КАКИЕ ПАРЫ КЛЮЧЕЙ СРАВНИВАЮТСЯ.)

\ex[ь38] фЛЯ ЗАДАННОЙ, КАК В УПР.~58, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПАР~$(a_1,
b_1)$~\dots{}$(a_M, b_M)$ ПУСТЬ~$c_i$ БУДЕТ ЧИСЛОМ ПАР~$(j, k)$, ТАКИХ,
ЧТО~$j<k<i$
И~$(a_i,  b_i)$, $(a_j, b_j)$, $(a_k, b_k)$ ОБРАЗУЮТ ТРЕУГОЛЬНИК.
(a)~фОКАЖИТЕ, ЧТО СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ АЛГОРИТМОМ
ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ, РАВНО~$\sum_{1\le i\le M} 2/(c_i+2)$.
(b)~шСПОЛЬЗУЙТЕ РЕЗУЛЬТАТ~(a) И УПР.~58, ЧТОБЫ ОПРЕДЕЛИТЬ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО
НЕИЗБЫТОЧНЫХ СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ БЫСТРОЙ СОРТИРОВКОЙ.
%%294
(c)~ёЛЕДУЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПАР НАВЕЯНА СОРТИРОВКОЙ СЛИЯНИЕМ (НО
НЕ ЭКВИВАЛЕНТНА ЕЙ):
$$
(1, 2)\,(3, 4)\,(5, 6)\ldots (1, 3)\,(1, 4)\,(2, 3)\,(2, 4)\,(5, 7)\ldots
(1, 5)\,(1,6)\,(1, 7)\,(1, 8)\, (2, 5)~\ldots
$$
яРИ ОДНОРОДНОМ МЕТОДЕ, ОСНОВАННОМ НА ЭТОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, БУДЕТ
ВЫПОЛНЯТЬСЯ В СРЕДНЕМ БОЛЬШЕ ИЛИ МЕНЬШЕ СРАВНЕНИЙ, ЧЕМ ПРИ БЫСТРОЙ СОРТИРОВКЕ?

\ex[ь29] сЫСТРАЯ СОРТИРОВКА ПРОИЗВОДИТ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ
$\perm{N}{2}$~СРАВНЕНИЙ. тЕРНО ЛИ, ЧТО ВСЕ АЛГОРИТМЫ ОГРАНИЧЕННОЙ
ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ (В СМЫСЛЕ УПР.~57) ВЫПОЛНЯЮТ $\perm{N}{2}$~СРАВНЕНИЙ
В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ?
\picture{ЁИС.~61. єСТРОЙСТВО, ДЛЯ КОТОРОГО СТРАТЕГИЯ МЕТОДА ПУЗЫРЬКА
ЯВЛЯЕТСЯ ОПТИМАЛЬНОЙ.}

\ex[ь48] (X.~ы.~сЬЮС.) тЕРНО ЛИ, ЧТО БЫСТРАЯ СОРТИРОВКА ИМЕЕТ
МИНИМАЛЬНОЕ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ СРЕДИ ВСЕХ АЛГОРИТМОВ (ОГРАНИЧЕННОЙ)
ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ?

\ex[25] фОКТОРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ уОВАРДА с.~фЕМУТА "Electronic Data Sorting"
(Stanford University: October 1956) БЫЛА, ВЕРОЯТНО, ПЕРВОЙ РАБОТОЙ, В
КОТОРОЙ СКОЛЬКО-НИБУДЬ ДЕТАЛЬНО РАССМАТРИВАЛИСЬ ВОПРОСЫ СЛОЖНОСТИ
ВЫЧИСЛЕНИЙ. фЕМУТ РАССМОТРЕЛ НЕСКОЛЬКО АБСТРАКТНЫХ МОДЕЛЕЙ УСТРОЙСТВ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ И НАШЕЛ НИЖНИЕ И ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ СРЕДНЕГО И МАКСИМАЛЬНОГО
ВРЕМЕНИ ВЫПОЛНЕНИЯ, ДОСТИЖИМОГО В КАЖДОЙ МОДЕЛИ. яРОСТЕЙШАЯ ЕГО
МОДЕЛЬ---"ЦИКЛИЧЕСКАЯ НЕРЕВЕРСИВНАЯ ПАМЯТЬ" (РИС.~61)---СТАНЕТ ТЕМОЙ ЭТОГО УПРАЖНЕНИЯ.

ЁАССМОТРИМ МАШИНУ, КОТОРАЯ СОРТИРУЕТ~$R_1$ $R_2$~\dots{} $R_N$  ЗА РЯД
ПРОХОДОВ, ГДЕ КАЖДЫЙ ПРОХОД СОСТОИТ ИЗ СЛЕДУЮЩИХ $N +1$~ШАГОВ:
\medskip
{\sl °АГ~1.\/}~єСТАНОВИТЬ $R\asg R_1$i. ($R$---ЭТО ВНУТРЕННИЙ РЕГИСТР МАШИНЫ.)

{\sl °АГ~$i$.\/}~($1<i\le N$):
ЛИБО (a)~УСТАНОВИТЬ~$R_{i-1}\asg R$, $R\asg R_i$;

ЛИБО (b)~УСТАНОВИТЬ $R_{i-1}\asg R_i$, ОСТАВЛЯЯ~$R$ НЕИЗМЕННЫМ.

{\sl °АГ~$N+1$.\/} єСТАНОВИТЬ~$R_N\asg R$.
\medskip

чАДАЧА СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ НАЙТИ ТАКОЙ МЕТОД ВЫБОРА МЕЖДУ
АЛЬТЕРНАТИВАМИ~(a) И~(b), ЧТОБЫ МИНИМИЗИРОВАТЬ ЧИСЛО ПРОХОДОВ, НУЖНЫХ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ.

фОКАЖИТЕ, ЧТО МЕТОД "ПУЗЫРЬКА" ОПТИМАЛЕН ДЛЯ ЭТОЙ МОДЕЛИ. фРУГИМИ СЛОВАМИ,
ПОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИ СТРАТЕГИИ, КОТОРАЯ ВЫБИРАЕТ АЛЬТЕРНАТИВУ~(a), ЕСЛИ~$R\le
R_i$, И АЛЬТЕРНАТИВУ~(b), ЕСЛИ~$R>R_i$, ДОСТИГАЕТСЯ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ПРОХОДОВ.

%% 295
\bye