\input style

ЁАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ 1-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ.
чАМЕТИМ, ЧТО ЕСЛИ~$k>1$, ТО $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ВСЕГДА $(k-1)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, ПОСКОЛЬКУ В СООТНОШЕНИИ~\eqref[5] МОЖНО
ПОЛОЖИТЬ~$u_k=0$ И~$v_k=1$. т ЧАСТНОСТИ, ЛЮБАЯ 4-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ ТАКЖЕ И 3-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ, 2-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ. фЛЯ ЗАДАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МОЖНО ПЫТАТЬСЯ
НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ~$k$, ТАКОЕ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$. ¤ТО ПРИВОДИТ НАС К СЛЕДУЮЩЕМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ.

\proclaim юПРЕДЕЛЕНИЕ~C. яОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАЗЫВАЕТСЯ
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, ЕСЛИ ОНА $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, КАКОВО
БЫ НИ БЫЛО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЦЕЛОЕ~$k$.

фО СИХ ПОР МЫ РАССМАТРИВАЛИ "ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА ПОЛУИНТЕРВАЛЕ~$[0, 1)$",
Т.~Е.~ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, РАСПОЛОЖЕННЫХ МЕЖДУ
НУЛЕМ И ЕДИНИЦЕЙ. ЄЕ ЖЕ РАССУЖДЕНИЯ ПРИЛОЖИМЫ И К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ
ЧИСЕЛ. сУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<X_n>=X_0$, $X_1$, $X_2$,~\dots{}
ЕСТЬ "$b\hbox{-ИЧНАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ", ЕСЛИ КАЖДОЕ ИЗ~$X_n$
ЕСТЬ ОДНО ИЗ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ~$0$, $1$,~\dots, $b-1$. ЄАКИМ ОБРАЗОМ, 2-ИЧНАЯ
(ДВОИЧНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ.

чАМЕТИМ, ЧТО "$b\hbox{-ИЧНОЕ}$ ЧИСЛО"~$x_1x_2\ldots{}x_k$ ЕСТЬ НЕКОТОРЫЙ
УПОРЯДОЧЕННЫЙ НАБОР $k$~ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, ПРИЧЕМ~$0\le x_j < b$, ГДЕ~$1\le j \le k$.

\proclaim юПРЕДЕЛЕНИЕ~D. эАЗОВЕМ $b\hbox{-ИЧНУЮ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, ЕСЛИ
\EQ[6]{
\Pr(X_n X_{n+1} \ldots X_{n+k-1}=x_1x_2\ldots x_k)=1/b^k
}
ДЛЯ ВСЕХ $b\hbox{-ИЧНЫХ}$ ЧИСЕЛ~$x_1x_2\ldots{}x_k$.

шЗ ЭТОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЯСНО, ЧТО ЕСЛИ~$U_0$, $U_1$,~\dots{} ЕСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НА~$[0, 1)$, ТО~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} ЯВЛЯЕТСЯ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$
$b\hbox{-ИЧНОЙ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ. (т САМОМ ДЕЛЕ, ЕСЛИ
ПОЛОЖИТЬ~$u_j=x_j/b$, $v_j=(x_j+1)/b$, $X_n=\floor{bU_n}$, ТО ФОРМУЛА~\eqref[5]
ПРЕВРАТИТСЯ В~\eqref[6].) сОЛЕЕ ТОГО, ЕСЛИ $b\hbox{-ИЧНАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, ОНА ТАКЖЕ $(k-1)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$: ЕСЛИ
СЛОЖИТЬ ВЕРОЯТНОСТИ $b\hbox{-ИЧНЫХ}$ ЧИСЕЛ~$x_1\ldots{}x_{k-1}0$,
$x_1\ldots{}x_{k-1}1$,~\dots, $x_1\ldots{}x_{k-1}(b-1)$, ПОЛУЧИТСЯ
$$
\Pr(X_n \ldots{} X_{n+k-2}=x_1\ldots x_{k-1})=1/b^{k-1}.
$$
(тЕРОЯТНОСТИ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ СОБЫТИЙ АДДИТИВНЫ, СМ.~УПР.~5.) яОЭТОМУ
МОЖНО ГОВОРИТЬ О $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ $b\hbox{-ИЧНОЙ}$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ОПРЕДЕЛИВ ЕЕ АНАЛОГИЧНО ОПРЕДЕЛЕНИЮ~C.

яРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА В $b\hbox{-ИЧНОЙ}$
СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК $b\hbox{-ИЧНУЮ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
%% 162
ЄАК, НАПРИМЕР, ЧИСЛО~$\pi$ СООТВЕТСТВУЕТ
ДЕСЯТИЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,\ldots\,$.
яРЕДПОЛАГАЮТ, ЧТО ЭТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, НО
НИКТО ПОКА НЕ СМОГ ДОКАЗАТЬ, ЧТО ОНА ХОТЯ БЫ 1-РАСПРЕДЕЛЕНА.

яОПРОБУЕМ ПРОАНАЛИЗИРОВАТЬ ВВЕДЕННЫЕ ПОНЯТИЯ БОЛЕЕ ПОДРОБНО В СЛУЧАЕ,
КОГДА $k$~РАВНО МИЛЛИОНУ. т 1000000-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ДВОИЧНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БУДУТ ПОПАДАТЬСЯ ОТРЕЗКИ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ МИЛЛИОНА НУЛЕЙ!
рНАЛОГИЧНО ЭТОМУ, В 1000000-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НА~$[0, 1)$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
БУДУТ ПОПАДАТЬСЯ ОТРЕЗКИ ДЛИНОЙ В МИЛЛИОН, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ЧИСЕЛ, КАЖДОЕ ИЗ
КОТОРЫХ МЕНЬШЕ ПОЛОВИНЫ. яРАВДА, ТАКИЕ ОТРЕЗКИ БУДУТ ПОПАДАТЬСЯ В СРЕДНЕМ
ТОЛЬКО В $(1/2)^{1000000}$~ДОЛЕ СЛУЧАЕВ, НО ВАЖНО ТО, ЧТО ОНИ
\emph{СУЩЕСТВУЮТ.} ЁАЗУМЕЕТСЯ, ТО ЖЕ САМОЕ МОЖЕТ БЫТЬ И В ЛЮБОЙ ИСТИННО
СЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ЕСЛИ ИМЕТЬ В ВИДУ НАШЕ ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ
"ИСТИННО СЛУЧАЙНОГО". ыЕГКО СЕБЕ ПРЕДСТАВИТЬ, КАКУЮ РЕАКЦИЮ ВЫЗОВЕТ
ТАКОЙ НАБОР ИЗ МИЛЛИОНА "ИСТИННО СЛУЧАЙНЫХ" ЧИСЕЛ, ИСПОЛЬЗОВАННЫЙ В
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ; ВОЗНИКНУТ ВЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ДЛЯ ЖАЛОБЫ НА
ДАТЧИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ! ё ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ЕСЛИ В
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ НИКОГДА НЕ ПОПАДАЮТСЯ СЕРИИ ИЗ МИЛЛИОНА~$U$,
КАЖДОЕ ИЗ КОТОРЫХ МЕНЬШЕ~$1/2$, ОНА НЕ СЛУЧАЙНА И НЕ БУДЕТ ГОДИТЬСЯ
ДЛЯ ДРУГИХ ТЕОРЕТИЧЕСКИ ВОЗМОЖНЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ, В КОТОРЫХ ВХОДНЫМИ ДАННЫМИ
СЛУЖАТ ЧРЕЗВЫЧАЙНО ДЛИННЫЕ СЕРИИ~$U$. яОДЫТОЖИВАЯ, МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО В
\emph{ИСТИННО СЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДОЛЖНА ПРИСУТСТВОВАТЬ
ЛОКАЛЬНАЯ НЕСЛУЧАЙНОСТЬ.} ыОКАЛЬНАЯ НЕСЛУЧАЙНОСТЬ НЕОБХОДИМА В ОДНИХ
ПРИЛОЖЕНИЯХ, НО НЕДОПУСТИМА В ДРУГИХ. ьЫ ВЫНУЖДЕНЫ ЗАКЛЮЧИТЬ, ЧТО
\emph{НИ ОДНА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ "СЛУЧАЙНЫХ" ЧИСЕЛ НЕ МОЖЕТ ОТВЕЧАТЬ
ТРЕБОВАНИЯМ, ПРЕДоЯВЛЯЕМЫМ ВСЕМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ.}

ЄОЧНО ТАК ЖЕ ИМЕЮТСЯ ОСНОВАНИЯ УТВЕРЖДАТЬ, ЧТО МЫ НЕ МОЖЕМ СУДИТЬ О ТОМ,
СЛУЧАЙНА ЛИ \emph{КОНЕЧНАЯ} ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ;
КАЖДАЯ ЗАДАННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НИЧЕМ НЕ ХУЖЕ ЛЮБОЙ ДРУГОЙ. ¤ТИ
СООБРАЖЕНИЯ ЯВЛЯЮТСЯ КАМНЯМИ ПРЕТКНОВЕНИЯ НА ПУТИ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЕЗНОГО
ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОСТИ, НО БЕСПОКОИТЬСЯ ПО ЭТОМУ ПОВОДУ ВСЕ-ТАКИ НЕ
СЛЕДУЕТ. ьОЖНО ДАТЬ ТАКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОСТИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ЧТО СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ТЕОРИЯ
(НАДЛЕЖАЩИМ ОБРАЗОМ ИНТЕРПРЕТИРОВАННАЯ) БУДЕТ ВЕСЬМА ЭФФЕКТИВНА ПРИ
РАССМОТРЕНИИ ТЕХ ОБЫЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ, КОТОРЫЕ ПОЛУЧАЮТСЯ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЕ. сОЛЕЕ ТОГО, В ЭТОМ
РАЗДЕЛЕ БУДЕТ ПОКАЗАНО, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ НЕСКОЛЬКО ВНУШАЮЩИХ ДОВЕРИЕ
СПОСОБОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОСТИ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

\section{B. $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ}. шЗЛОЖИМ В
СЖАТОМ ВИДЕ ТЕОРИЮ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.
эАМ ПРИДЕТСЯ
%% 163
ПОЛЬЗОВАТЬСЯ НЕКОТОРЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ, ТАК ЧТО ДАЛЕЕ
ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ ЗНАКОМСТВО ЧИТАТЕЛЯ С МАТЕРИАЛОМ КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

тО-ПЕРВЫХ, ОБОБЩИМ ОПРЕДЕЛЕНИЕ~A, ПОСКОЛЬКУ ПРЕДЕЛ, ФИГУРИРУЮЩИЙ В ЭТОМ
ОПРЕДЕЛЕНИИ, СУЩЕСТВУЕТ НЕ ДЛЯ ВСЕХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. тВЕДЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
\EQ[7]{
\Prsup(S(n))=\lim_{n\to\infty} \sup (\nu(n)/n),\quad
\Prsub(S(n))=\lim_{n\to\infty}\inf(\nu(n)/n).
}
ЄЕПЕРЬ ВЕЛИЧИНА~$\Pr(S(n))$, ЕСЛИ ОНА ИМЕЕТ СМЫСЛ, ЯВЛЯЕТСЯ ОБЩИМ
ЗНАЧЕНИЕМ ВЕЛИЧИН~$\Prsub(S(n))$ И~$\Prsup(S(n))$.

ьЫ ВИДЕЛИ, ЧТО ИЗ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ НА~$[0, 1)$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННУЮ}$
$b\hbox{-ИЧНУЮ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ЕСЛИ $U$~ЗАМЕНИТЬ НА~$\floor{bU}$.
эАША ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО ОБРАТНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ ТАКЖЕ СПРАВЕДЛИВО.

\proclaim ЄЕОРЕМА~A. яУСТЬ $\<U_n>=U_0$, $U_1$,
$U_2$,~\dots---ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НА~$[0, 1)$. хСЛИ
$$
\<\floor{b_jU_n}>=\floor{b_jU_0}, \floor{b_jU_1}, \floor{b_jU_2},~\ldots
$$
ЯВЛЯЕТСЯ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ $b_j\hbox{-ИЧНОЙ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ
ДЛЯ ЛЮБОГО ЦЕЛОГО~$b_j$, ПРИНАДЛЕЖАЩЕГО БЕСКОНЕЧНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$1<b_1<b_2<b_3<\ldots$, ТО $\<U_n>$~ЕСТЬ
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.

т КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА ПРИМЕНЕНИЯ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ ПОЛОЖИМ~$b_j=2^j$.
яОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $\floor{2^jU_0}$, $\floor{2^jU_1}$,~\dots{} ЕСТЬ НЕ
ЧТО ИНОЕ, КАК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПЕРВЫХ $j$~БИТОВ ДВОИЧНОГО
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ~$U_0$, $U_1$,~$\ldots\,$. хСЛИ ВСЕ ТАКИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНЫ}$ В СМЫСЛЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ~D, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ~$U_0$, $U_1$,~\dots{}
ДОЛЖНА БЫТЬ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ В СМЫСЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~B.

\proof[ТЕОРЕМЫ~A] хСЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, ИЗ АДДИТИВНОСТИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛЕДУЕТ, ЧТО СООТНОШЕНИЕ~\eqref[5] СПРАВЕДЛИВО ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО
$u_j$ И~$v_j$ ЯВЛЯЮТСЯ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ~$b$.
яУСТЬ ТЕПЕРЬ $u_j$, $v_j$---ЛЮБЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, a $u'_j$,
$v'_j$---РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ~$b$, ТАКИЕ, ЧТО
$$
u'_j\le u_j < u'_j+1/b,\quad v'_j \le v_j < v'_j+1/b.
$$
ўЕРЕЗ $S(n)$ ОБОЗНАЧИМ СЛЕДУЮЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:
$$
u_1 \le U_n < v_1, \ldots, u_k \le U_{n+k-1} < v_k.
$$
%% 164
ьЫ ИМЕЕМ
$$
\eqalign{
\Prsup(S(n))&\le \Pr\left(u'_1 \le U_n < v'_1+{1\over b},~\ldots, u'_k\le
U_{n+k-1} < v'_k+{1\over b}\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1+{1\over b}\right)\ldots\left(v'_k-u'_k+{1\over b}\right);\cr
\Prsub(S(n))&\ge \Pr\left(u'_1+{1\over b}\le U_n < v'_1, \ldots,
u'_k+{1\over b} \le U_{n+k-1} < v'_k\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1-{1\over b}\right)\ldots \left(v'_k-u'_k-{1\over b}\right).\cr
}
$$
чАМЕТИМ, ЧТО~$\abs{(v'_j-u'_j\pm 1/b)-(v_j-u_j)}\le 2/b$. эЕРАВЕНСТВА
СПРАВЕДЛИВЫ ДЛЯ ВСЕХ~$b=b_j$. яРИ~$j\to\infty$ ИМЕЕМ~$b_j\to\infty$ И,
ТАКИМ ОБРАЗОМ,
$$
\eqalign{
(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)&\le \Prsub(S(n))\le \cr
 &\le\Prsup(S(n))\le (v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k).\cr
}
$$
\proofend

ёЛЕДУЮЩАЯ ТЕОРЕМА ПОСЛУЖИТ ОСНОВНЫМ ОРУДИЕМ
ИССЛЕДОВАНИЯ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

\proclaim ЄЕОРЕМА~B. яУСТЬ $\<U_n>$---$k-\hbox{РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ НА~$[0, 1)$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, И~$f(x_1, x_2,~\dots, x_k)$---ИНТЕГРИРУЕМАЯ В СМЫСЛЕ
ЁИМАНА ФУНКЦИЯ $k$~ПЕРЕМЕННЫХ; ТОГДА
\EQ[8]{
\lim_{n\to\infty} {1\over n} \sum_{0\le j < n} f(U_j, U_{j+1},~\dots, U_{j+k-1})
 =\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, x_2,~\dots, x_k)\, dx_1\ldots dx_k.
}

\proof шЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛЕДУЕТ, ЧТО ЭТОТ РЕЗУЛЬТАТ СПРАВЕДЛИВ В ЧАСТНОМ
СЛУЧАЕ, КОГДА
\EQ[9]{
 f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
  1, & ЕСЛИ~$u_1\le x_1 < v_1$,~\dots, $u_k\le x_k < v_k$,\cr
  0  & В ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ.\cr
 }
}
чНАЧИТ, СООТНОШЕНИЕ~\eqref[8] СПРАВЕДЛИВО, ЕСЛИ~$f=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_mf_m$,
ГДЕ $f_j$~ЯВЛЯЮТСЯ ФУНКЦИЯМИ ВИДА~\eqref[9]. фРУГИМИ СЛОВАМИ, СООТНОШЕНИЕ~\eqref[8]
СПРАВЕДЛИВО, ЕСЛИ~$f$---"СТУПЕНЧАТАЯ ФУНКЦИЯ", ПОСТОЯННАЯ ВНУТРИ КАЖДОЙ
ЧАСТИ ЕДИНИЧНОГО $k\hbox{-МЕРНОГО}$ КУБА, ПОЛУЧЕННОЙ РАЗБИЕНИЕМ ЭТОГО КУБА
ПЛОСКОСТЯМИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ.

яУСТЬ ТЕПЕРЬ~$f$---ЛЮБАЯ ИНТЕГРИРУЕМАЯ В СМЫСЛЕ ЁИМАНА ФУНКЦИЯ. ьЫ ЗНАЕМ (ИЗ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В СМЫСЛЕ ЁИМАНА), ЧТО ЕСЛИ~$\varepsilon$---ЛЮБОЕ
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, ТО СУЩЕСТВУЮТ СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ~$\fsub$ И~$\fsup$,
ТАКИЕ, ЧТО~$\fsub(x_1,~\ldots, x_k)\le f(x_1,~\ldots, x_k)\le \fsup(x_1,~\ldots, x_k)$,
%% 164
И РАЗНОСТИ МЕЖДУ ИНТЕГРАЛАМИ ОТ~$\underline{f}$, $f$ И~$\overline{f}$ БУДУТ
МЕНЬШЕ~$\varepsilon$. яОСКОЛЬКУ (8)~СПРАВЕДЛИВО ДЛЯ~$\underline{f}$
И~$\overline{f}$ И
$$
\eqalign{
{1\over n}\sum_{0\le j < n} \underline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n} f(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})\le\cr
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n}\overline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1}),\cr
}
$$
МЫ ПОЛУЧАЕМ, ЧТО (8)~СПРАВЕДЛИВО ТАКЖЕ И ДЛЯ~$f$.
\proofend

т КАЧЕСТВЕ ПЕРВОГО ПРИЛОЖЕНИЯ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ РАССМОТРИМ \emph{ПРОВЕРКУ
ПЕРЕСТАНОВОК,} ОПИСАННУЮ В П.~3.3.2. яУСТЬ $(p_1, p_2,~\ldots, p_k)$ ЕСТЬ
ЛЮБАЯ ПЕРЕСТАНОВКА ЧИСЕЛ~$1$, $2$,~\dots, $k$. ьЫ ХОТИМ ПОКАЗАТЬ, ЧТО
\EQ[10]{
\Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\ldots<U_{n+p_k-1})={1\over k!}.
}

фЛЯ ЭТОГО ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_k>$
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, И ПОЛОЖИМ
$$
f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
 1, & ЕСЛИ $x_{p_1}\le x_{p_2}\le\cdots\le x_{p_k}$,\cr
 0  & В ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ.\cr
}
$$
шМЕЕМ
$$
\eqalign{
 \Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\cdots<U_{n+p_k-1})&=\cr
  &=\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, \ldots, x_k)\,dx_1 \ldots dx_k\cr
  &=\int_0^1\,dx_{p_k} \int_0^{x_{p_k}} \ldots \int_0^{x_{p_3}}\,dx_{p_2}
    \int_0^{x_{p_2}}\,dx_{p_1}={1\over k!}\cr
}
$$

\proclaim ёЛЕДСТВИЕ~P. хСЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$
НА~$[0, 1)$, ТО ОНА УДОВЛЕТВОРЯЕТ ПРОВЕРКЕ ПЕРЕСТАНОВОК ПОРЯДКА~$k$ В
СМЫСЛЕ СООТНОШЕНИЯ~\eqref[10].\endmark

ьОЖНО ТАКЖЕ ПОКАЗАТЬ, ЧТО ОНА УДОВЛЕТВОРЯЕТ \emph{ТЕСТУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ
КОРРЕЛЯЦИИ.}

\proclaim ёЛЕДСТВИЕ~S. хСЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $(k+1)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$
НА~$[0, 1)$, ТО КОЭФФИЦИЕНТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ~$U_n$
И~$U_{n+k}$ СТРЕМИТСЯ К НУЛЮ:
$$
\lim_{n\to\infty}{{1\over n}\sum U_jU_{j+k}-\left({1\over n}\sum U_j\right)
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)\over \sqrt{\left({1\over n}\sum U_j^2-
 \left({1\over n}\sum U_j\right)^2\right)\left({1\over n}\sum U_{j+k}^2-
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)^2\right)}}=0.
$$
(фЛЯ ВСЕХ СУММИРОВАНИЙ ЗДЕСЬ~$0\le j < n$.)

%% 166

\proof шЗ ТЕОРЕМЫ~B СЛЕДУЕТ, ЧТО ВЕЛИЧИНЫ
$$
{1\over n}\sum U_jU_{j+k},\quad
{1\over n}\sum U_j^2,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}^2,\quad
{1\over n}\sum U_j,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}
$$
ПРИ~$n\to\infty$ СТРЕМЯТСЯ СООТВЕТСТВЕННО К ПРЕДЕЛАМ~$1/4$, $1/3$, $1/3$,
$1/2$, $1/2$.
\proofend

ЁАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ НЕКОТОРЫЕ БОЛЕЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. ьЫ
ОПРЕДЕЛИЛИ СВОЙСТВО $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ}$ ДЛЯ ВСЕХ ГРУПП ИЗ~$k$
СТОЯЩИХ РЯДОМ ЭЛЕМЕНТОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. эАПРИМЕР, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ЯВЛЯЕТСЯ $\hbox{2-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ТОЧКИ
$$
(U_0, U_1),\quad
(U_1, U_2),\quad
(U_2, U_3),\quad
(U_3, U_4),\quad
(U_4, U_5),\quad\ldots
$$
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ В ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ. юДНАКО ВПОЛНЕ ВОЗМОЖНО, ЧТО
ПАРЫ ТОЧЕК, ВЗЯТЫЕ ЧЕРЕЗ ОДНУ, НЕ БУДУТ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ. яРИ
ЭТОМ НЕДОСТАЧА ТОЧЕК $(U_{2n-1}, U_{2n})$ В НЕКОТОРОЙ ОБЛАСТИ МОЖЕТ
КОМПЕНСИРОВАТЬСЯ ТОЧКАМИ~$(U_{2n}, U_{2n+1})$. ▀СНО, НАПРИМЕР, ЧТО
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДВОИЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
\EQ[11]{
\<X_n>=0,0,0,1, \; 0,0,0,1,\; 1,1,0,1,\; 1,1,0,1,\; 0,0,0,1,\;\ldots
}
С ПЕРИОДОМ, РАВНЫМ~16, \hbox{3-РАСПРЕДЕЛЕНА}, ОДНАКО В
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ С ЧЕТНЫМИ НОМЕРАМИ $\<X_{2n}>=0$, $0$,
$0$, $0$, $1$, $0$, $1$, $0$,~\dots{} В ТРИ РАЗА БОЛЬШЕ НУЛЕЙ, ЧЕМ ЕДИНИЦ,
В ТО ВРЕМЯ КАК В ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ С НЕЧЕТНЫМИ
НОМЕРАМИ $\<X_{2n+1}>=0$, $1$, $0$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$,~\dots{} В ТРИ
РАЗА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦ, ЧЕМ НУЛЕЙ.

шЗ ПРИВЕДЕННОГО ВЫШЕ ПРИМЕРА СЛЕДУЕТ, ЧТО ЕСЛИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_n>$ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, ТО СОВСЕМ НЕ
ОЧЕВИДНО, ЧТО ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $\<U_{2n}>=U_0$, $U_2$, $U_4$, $U_6$,~\dots{}
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ ИЛИ ДАЖЕ 1-РАСПРЕДЕЛЕНА. ьЫ УВИДИМ,
ОДНАКО, ЧТО~$\<U_{2n}>$ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ И ЧТО
СПРАВЕДЛИВО ДАЖЕ БОЛЕЕ СИЛЬНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ.

\proclaim юПРЕДЕЛЕНИЕ~E. уОВОРЯТ, ЧТО
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_n>$ $(m, k)\hbox{-pacПРЕДЕЛЕНА}$ НА~$[0, 1)$, ЕСЛИ
$$
\Pr(u_1\le U_{mn+j}<v1, u_2\le U_{mn+j+1}<v_2, \ldots, u_k\le U_{mn+j+k-1}<v_k)=(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)
$$
ПРИ ЛЮБОМ ВЫБОРЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ~$u_r$, $v_r$, ТАКИХ, ЧТО~$0\le
u_r<v_r\le 1$, ПРИ~$1\le r \le k$ И ДЛЯ ВСЕХ ЦЕЛЫХ~$j$, ТАКИХ, ЧТО~$0\le j < m$.

т ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ~$m=1$ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~E СЛЕДУЕТ,
ЧТО~$\<U_n>$---$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ; КОГДА~$m=2$,
ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО ГРУППЫ ИЗ $k$~ЭЛЕМЕНТОВ, НАЧИНАЮЩИЕСЯ С ЭЛЕМЕНТА С ЧЕТНЫМ
НОМЕРОМ, ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ ТАКУЮ ЖЕ ПЛОТНОСТЬ, КАК И НАЧИНАЮЩИЕСЯ С НЕЧЕТНОГО
НОМЕРА, И Т.~Д.

%% 167

эЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ОПРЕДЕЛЕНИЮ~E, ОЧЕВИДНЫ:
$$
\eqalignno{
 &(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ } (m, \kappa)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА ПРИ } 1\le \kappa \le k.  & (12)\cr
 &(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ }(d, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА ДЛЯ ВСЕХ ДЕЛИТЕЛЕЙ~$d$ ЧИСЛА~$m$.} & (13)\cr
}
$$

рНАЛОГИЧНО ТОМУ, КАК ЭТО СДЕЛАНО ВЫШЕ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ~D), МОЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ
ПОНЯТИЕ $(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ $b\hbox{-ИЧНОЙ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
фОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ~A ПРИ ЭТОМ ОСТАЕТСЯ В СИЛЕ И ДЛЯ $(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ}$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

шЗ СЛЕДУЮЩЕЙ ТЕОРЕМЫ, ВО МНОГИХ ОТНОШЕНИЯХ УДИВИТЕЛЬНОЙ, ВЫТЕКАЕТ, ЧТО
СВОЙСТВО $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ}$ ЯВЛЯЕТСЯ ГОРАЗДО БОЛЕЕ СИЛЬНЫМ,
ЧЕМ МЫ МОГЛИ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ВВОДЯ ЭТО ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

\proclaim ЄЕОРЕМА~C. (р. эИВЕН И X. ЎУКЕРМАН.)
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ
$(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ ДЛЯ ЛЮБЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ~$m$ И~$k$.

\proof фОСТАТОЧНО ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ ДЛЯ $b\hbox{-ИЧНЫХ}$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, С ПОМОЩЬЮ ТОЛЬКО ЧТО УПОМЯНУТОГО ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ~A.
сОЛЕЕ ТОГО, МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО $m=k$, ПОСКОЛЬКУ, ВСЛЕДСТВИЕ
УТВЕРЖДЕНИЙ~\eqref[12] И~\eqref[13], ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ
$(m, k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, ЕСЛИ ОНА $(mk, mk)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$.

ЄАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ДОКАЖЕМ, ЧТО \emph{ЛЮБАЯ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$
$b\hbox{-ИЧНАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $X_0$, $X_1$,~\dots{}
$(m, m)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ ДЛЯ ВСЕХ ЦЕЛЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ~$m$.} яРИВЕДЕМ
УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ОПУБЛИКОВАННОГО эИВЕНОМ И ЎУКЕРМАНОМ
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 1} (1951), 103--109).

фОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ОСНОВАНО НА ВАЖНОЙ ИДЕЕ, ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ВО МНОГИХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЯХ: "хСЛИ ЗНАЧЕНИЯ СУММЫ $m$~ВЕЛИЧИН И СУММЫ ИХ
КВАДРАТОВ НЕ ПРОТИВОРЕЧАТ ГИПОТЕЗЕ О ТОМ, ЧТО ЭТИ $m$~ВЕЛИЧИН РАВНЫ, ТО
ЭТА ГИПОТЕЗА ВЕРНА". ёИЛЬНУЮ ФОРМУ ЭТОГО ПРИНЦИПА ДАЕТ

\proclaim ыЕММА~E. яУСТЬ ЗАДАНЫ $m$~ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЧИСЕЛ
$\<y_{jn}>=y_{j0}$, $y_{j1}$, $y_{j2}$,~\dots, ГДЕ~$1\le j \le m$.
яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО
\EQ[14]{
 \eqalign{
  \lim_{n\to\infty} (y_{1n}+y_{2n}+\cdots+y_{mn}) &= m\alpha,\cr
  \lim_{n\to\infty} \sup (y_{1n}^2+y_{2n}^2+\cdots+y_{mn}^2)&\le m\alpha^2.\cr
 }
}
ЄОГДА ДЛЯ КАЖДОГО~$j$ СУЩЕСТВУЕТ~$\lim_{n\to\infty} y_{jn}$, И ОН РАВЕН~$\alpha$.

эЕОБЫЧАЙНО ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭТОЙ ЛЕММЫ ДАНО В УПР.~9.\endmark
%% 168

ЄЕПЕРЬ ПРОДОЛЖИМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ~C. яУСТЬ $x=x_1x_2\ldots{}x_m$
ЕСТЬ $b\hbox{-ИЧНОЕ}$ ЧИСЛО. сУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО $x$~\emph{ПОЯВЛЯЕТСЯ} НА
$p\hbox{-М}$~МЕСТЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,
ЕСЛИ~$X_{p-m+1}X_{p-m+2}\ldots{}X_p=x$. яУСТЬ $\nu_j(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ ЧИСЛО
ПОЯВЛЕНИЙ~$x$ НА $p\hbox{-М}$~МЕСТЕ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО~$p<n$ И~$p\bmod m=j$.
яУСТЬ~$y_{jn}=\nu_j(n)/n$. ьЫ ХОТИМ ПОКАЗАТЬ, ЧТО
\EQ[15]{
 \lim_{n\to\infty} y_{jn} = 1/mb^m.
}

яРЕЖДЕ ВСЕГО ЗАМЕТИМ, ЧТО
\EQ[16]{
\lim_{n\to\infty}(y_{0n}+y_{1n}+\cdots+y_{(m-1)n})=1/b^m,
}
ПОСКОЛЬКУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $m\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$. шСПОЛЬЗУЯ ЛЕММУ~E И
СООТНОШЕНИЕ~\eqref[16], МЫ ДОКАЖЕМ ТЕОРЕМУ, ЕСЛИ СУМЕЕМ ПОКАЗАТЬ, ЧТО
\EQ[17]{
 \lim_{n\to\infty} \sup (y_{0n}^2+y_{1n}^2+\cdots+y_{(m-1)n}^2)\le 1/mb^{2m}.
}

¤ТО НЕРАВЕНСТВО НЕ ОЧЕВИДНО, И, ЧТОБЫ ДОКАЗАТЬ ЕГО СПРАВЕДЛИВОСТЬ,
НЕОБХОДИМО ПРОВЕСТИ ДОВОЛЬНО ТОНКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. яУСТЬ~$q$ КРАТНО~$m$;
РАССМОТРИМ ВЫРАЖЕНИЕ
\EQ[18]{
 C(n)=\sum_{0\le j < m} \perm{\nu_j(n)-\nu_j(n-q)}{2}.
}
¤ТО ЧИСЛО ПАР ПОЯВЛЕНИЙ~$x$ НА МЕСТАХ~$p_1$, $p_2$ ПРИ УСЛОВИИ~$n-q\le p_1 < p_2 < n$
С~$p_2-p_1$, КРАТНЫМ~$m$. ЄЕПЕРЬ РАССМОТРИМ СУММУ
\EQ[19]{
 S_N=\sum_{1\le n \le N+q} C(n)
}
яРИ ВЫЧИСЛЕНИИ~$S_N$ КАЖДАЯ ПАРА ПОЯВЛЕНИЙ~$x$ НА МЕСТАХ~$p_1$, $p_2$ ПРИ
УСЛОВИИ~$p_1<p_2<p_1+q$ С~$p_2-p_1$, КРАТНЫМ~$m$, И С~$p_1\le N$
УЧИТЫВАЕТСЯ~$p_1+q-p_2$ РАЗ (ИМЕННО, КОГДА~$p_2<n\le p_1+q$), И ПАРЫ ТАКИХ
ПОЯВЛЕНИЙ С~$N<p_1<p_2<N+q$ СЧИТАЮТСЯ $N+q-p_2$~РАЗ.

яУСТЬ~$d_t(n)$ ЕСТЬ ЧИСЛО ПАР ПОЯВЛЕНИЙ~$x$ НА МЕСТАХ~$p_1$, $p_2$
ПРИ УСЛОВИИ~$p_1+t=p_2<n$. шЗ РАССУЖДЕНИИ, ПРИВЕДЕННЫХ ВЫШЕ, ИМЕЕМ
\EQ[20]{
 \sum_{0<t<q/m} (q-mt)d_{mt}(N+q)\ge S_n \ge \sum_{0<t<q/m}(q-mt)d_{mt}(N).
}
яЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $q\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
\EQ[21]{
 \lim_{N\to\infty}{1\over N}d_{mt}(N)=1/b^{2m}
}
%% 169
ДЛЯ ВСЕХ~$0<t<q/m$, И ПОЭТОМУ ИЗ~\eqref[20] ВЫТЕКАЕТ
\EQ[22]{
 \lim_{N\to\infty}{S_N\over N}=\sum_{0<t<q/m}(q-mt)/b^{2m}=q(q-m)/2mb^{2m}.
}
юТСЮДА, ПОСЛЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, УБЕДИМСЯ В СПРАВЕДЛИВОСТИ ТЕОРЕМЫ.

яО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
$$
2S_N=\sum_{1\le n \le N+q}\sum_{0\le j <m} ((\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2-(\nu_j(n)-\nu_j(n-q))),
$$
И ЕСЛИ МЫ УСТРАНИМ ЧЛЕНЫ, НЕ ВОЗВЕДЕННЫЕ В КВАДРАТ, ТО, ИСПОЛЬЗУЯ~\eqref[16],
ПОЛУЧИМ
\EQ[23]{
 \lim_{N\to\infty}{T_N\over N}=q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m,
}
ГДЕ
$$
T_N=\sum_{1\le n \le N+q} \sum_{0\le j <m} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2.
$$

яО НЕРАВЕНСТВУ
$$
{1\over r}\left(\sum_{1\le j \le r} a_j\right)^2\le \sum_{1\le j \le r} a_j^2
$$
(СР. С УПР.~1.2.3-30) ПОЛУЧАЕМ, ЧТО
\EQ[24]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m}{1\over N(N+q)}
 \left(\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\right)^2\le q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m.
}
шМЕЕМ ТАКЖЕ
$$
q\nu_j(N)\le \sum_{N<n\le N+q} \nu_j(n)=\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\le q\nu_j(N+q)
$$
И, ПОДСТАВЛЯЯ ЭТО В~\eqref[24], ПОЛУЧАЕМ
\EQ[25]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m} (\nu_j(N)/N)^2 \le (q-m)/qmb^{2m}+1/qb^m.
}
ьЫ ДОКАЗАЛИ СПРАВЕДЛИВОСТЬ ЭТОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ~$q$, КРАТНОГО~$m$, И
ЕСЛИ ТЕПЕРЬ УСТРЕМИТЬ~$q\to\infty$, ПОЛУЧИМ~\eqref[17], ТЕМ САМЫМ ЗАВЕРШИВ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

тОЗМОЖНО, ЧТО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИВЕДЕННОЕ В СТАТЬЕ фЖ.~ъАССЕЛСА
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 2} (1952), 555--557), ПРОЩЕ.
\proofend

эЕТРИВИАЛЬНОСТЬ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ ВИДНА ИЗ УПР.~29 И~30. шЗ НИХ ЖЕ СЛЕДУЕТ ТОТ
ФАКТ, ЧТО, КАК ПОКАЗАНО В~\eqref[25], ВЕРОЯТНОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С
$q\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ, ОТЛИЧАЮТСЯ ОТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
СВЯЗАННЫХ С $(m, m)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, НЕ БОЛЕЕ
%% 170
ЧЕМ НА ВЕЛИЧИНУ ПОРЯДКА~$1/\sqrt{q}$. фЛЯ СПРАВЕДЛИВОСТИ
ТЕОРЕМЫ НЕОБХОДИМО НЕОСЛАБЛЕННОЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ О $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОСТИ}$.

ъАК СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ~C МОЖНО ДОКАЗАТЬ, ЧТО
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ПРОВЕРКЕ
СЕРИЙ, ТЕСТУ "НАИБОЛЬШЕЕ ИЗ~$t$" И ПРОВЕРКЕ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ,
УПОМЯНУТЫМ В П.~3.3.2. эЕТРУДНО ПОКАЗАТЬ, ЧТО УДОВЛЕТВОРЯЮТСЯ
ТАКЖЕ ПРОВЕРКА ИНТЕРВАЛОВ, ПОКЕР-ТЕСТ (ПРОВЕРКА КОМБИНАЦИЙ) И ПРОВЕРКА НА
МОНОТОННОСТЬ (СМ.\ УПР.~С~12 ПО~14). яРОВЕРИТЬ ТЕСТ СОБИРАТЕЛЯ КУПОНОВ
ТРУДНЕЕ, ОДНАКО ОН ТАКЖЕ УДОВЛЕТВОРЯЕТСЯ (СМ.\  УПР.~15 И~16).

ёЛЕДУЮЩАЯ ТЕОРЕМА ГАРАНТИРУЕТ СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОСТЫХ
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

\proclaim ЄЕОРЕМА~F. (фЖ. ЇРЭНКЛИН.) яОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $U_0$, $U_1$,~\dots{}
НА~$[0, 1)$, ГДЕ
\EQ[26]{
 U_n=(\theta^n \bmod 1),
}
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ ДЛЯ ПОЧТИ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ~$\theta>1$. фРУГИМИ СЛОВАМИ, МНОЖЕСТВО
$$
\{\, \theta \mid \theta>1
\hbox{ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~\eqref[26] НЕ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$}
\,\}
$$
ИМЕЕТ МЕРУ НУЛЬ.

фОКАЗАТЕЛЬСТВА ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ И НЕКОТОРЫХ ЕЕ ОБОБЩЕНИЙ ПРИВЕДЕНЫ В
УПОМИНАЕМОЙ НИЖЕ СТАТЬЕ ЇРЭНКЛИНА.\endmark

ЇРЭНКЛИН ПОКАЗАЛ, ЧТО ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~\eqref[26] БЫЛА
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, $\theta$~ДОЛЖНО БЫТЬ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМ
ЧИСЛОМ. їОТЯ ИЗВЕСТНО, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~\eqref[26]
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ ДЛЯ \emph{ПОЧТИ ВСЕХ} ЧИСЕЛ~$\theta$, МЫ НЕ
ЗНАЕМ \emph{НИ ОДНОГО} КОНКРЕТНОГО~$\theta$, ДЛЯ КОТОРОГО ЭТО СПРАВЕДЛИВО.
ё ПОМОЩЬЮ ТРУДОЕМКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ С МНОГОКРАТНО УВЕЛИЧЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ БЫЛИ
ПОЛУЧЕНЫ СТЕПЕНИ~$(\pi^n \bmod 1)$ ПРИ~$n\le 10\,000$. ёТАРШИЕ 35~БИТОВ
КАЖДОГО ИЗ ЭТИХ ЧИСЕЛ БЫЛИ ЗАПИСАНЫ НА ДИСК И УСПЕШНО ИСПОЛЬЗОВАЛИСЬ КАК
ИСТОЧНИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. шНТЕРЕСНО, ЧТО ХОТЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ~F СЛЕДУЕТ, ЧТО
ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СТЕПЕНЕЙ~$(\pi^n \bmod 1)$
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, РАВНА~$1$, ОДНАКО, ПОСКОЛЬКУ МНОЖЕСТВО
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ НЕСЧЕТНО, МЫ НЕ МОЖЕМ ИЗ ЭТОГО ЗАКЛЮЧИТЬ, ЧТО ОНА
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$. ьОЖНО БЫТЬ УВЕРЕННЫМ В ТОМ, ЧТО В ТЕЧЕНИЕ
НАШЕЙ ЖИЗНИ НИКТО НЕ \emph{ДОКАЖЕТ,} ЧТО ЭТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
\emph{НЕ} ЯВЛЯЕТСЯ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$, ОДНАКО, ВОЗМОЖНО, ТАК
ОНО И ЕСТЬ НА САМОМ ДЕЛЕ. т СВЯЗИ С ИЗЛОЖЕННЫМ ВОЗНИКАЕТ ВОПРОС О ТОМ,
СУЩЕСТВУЕТ ЛИ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, КОТОРУЮ
МОЖНО ВЫПИСАТЬ В \emph{ЯВНОМ} ВИДЕ; ИНЫМИ СЛОВАМИ, \emph{СУЩЕСТВУЕТ ЛИ
АЛГОРИТМ, ПО КОТОРОМУ ДЛЯ ВСЕХ~$n\ge 0$ МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА~$U_n$, ТАК ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_n>$ БУДЕТ
$\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$?} юКАЗЫВАЕТСЯ, ТАКОЙ АЛГОРИТМ СУЩЕСТВУЕТ,
ЧТО ВИДНО, НАПРИМЕР, ИЗ СТАТЬИ АВТОРА "Construction
%% 171
\bye