\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=2\subsubchno=2
{\sl ёЛУЧАЙ~1:\/}~$e_w=e_u$. (ёМ.~РИС.~4~(i).) чДЕСЬ~$U+V=W+R$, ГДЕ
\EQ{
 R\equiv V \pmod{b^d}, \qquad -{1\over 2}b^d \le R < {1 \over 2}b^d.
}
шМЕЕМ~$U'=\round(W-V, p) = \round(U-R, p)$. фАЛЕЕ ВОЗМОЖНЫ ДВА ПОДСЛУЧАЯ. 
{\sl ёЛУЧАЙ~(1a):\/}~$R=-{1\over 2}b^d$. ЄОГДА~$U'=U+b^d$,
\ctable{
# & # & # \cr
  \fpalignex(i){u&u&u&u&u&u&u&u&0&0}{&&v&v&v&v&v&v&v&v}{w&w&w&w&w&w&w&w&0&0}
& \fpalignex(ii){u&u&u&u&u&u&u&u&0&0}{&&v&v&v&v&v&v&v&v}{w&w&w&w&w&w&w&0&0&0}
& \fpalignex(iii){u&u&u&u&u&u&u&u&0&0}{&&v&v&v&v&v&v&v&v}{w&w&w&w&w&w&w&w&w&0} \cr
}
\picture{ЁИС.~4.~ тОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАИ ВЫРАВНИВАНИЯ ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ ПРИ СЛОЖЕНИИ.}

\noindent $V'=V-R$, $U''=U$, $V''=V-R-b^d = V-{1\over2}b^d$. 
{\sl ёЛУЧАЙ~(1b):\/}~$R\ne -{1\over 2}b^d$. ЄОГДА~$U'=U$, $V'=V-R$, 
$U''=U$, $V''=V-R$.

{\sl ёЛУЧАЙ~2:\/}~$e_w=e_u+1$. (ёМ.~РИС.~4~(ii).) ▀СНО, ЧТО~$V>0$ И~$d\le p$. 
шМЕЕМ~$U+V=W+R$, ГДЕ
\EQ{
 R\equiv V+b^d U_0 \pmod{b^{d+1}}, \qquad -{1\over2}\le R < {1\over 2}b^{d+1},
}
a~$U_0$---НАИМЕНЕЕ ЗНАЧИМАЯ ЦИФРА~$f_u$. ёНОВА РАССМОТРИМ ПОДСЛУЧАИ. {\sl 
ёЛУЧАЙ~(2a):\/}~$U-R\ge b^{d+p}-{1\over2}b^d$. 
ЄАК КАК~$U-R \le b^{d+p}-b^d+{1\over 2}b^{d+1}$, ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ 
РАВЕНСТВО~$U'=b^{d+p}=U-R+Q$,  ГДЕ~
\EQ{
 Q\equiv V \pmod{b^{d+1}}, \qquad -{1\over2}b^{d+1}<Q\le{1\over2}b^{d+1}.
}
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, $V''=V-Q$. 
{\sl ёЛУЧАЙ~(2b):\/}~$b^{d+p}-{1\over2}b^d>U-R\ge b^{d+p-1}-{1\over 2}b^{d-1}$. 
ЄОГДА~$U'=U-R+Q$, ГДЕ
\EQ{
 Q\equiv V \pmod{b^d}, \qquad -{1\over 2}b^d<Q\le {1\over 2} b^d,
}
И~$V''=V-Q$. 
{\sl ёЛУЧАЙ~(2c):\/}~$b^{d+p-1}-{1\over2}b^{d-1}>U-R$. ¤ТОТ СЛУЧАЙ
НЕВОЗМОЖЕН. ¤ТО ОЧЕВИДНО, КОГДА~$d=0$. р ЕСЛИ~$d>0$, ТО~$R>0$, ТАК 
ЧТО~$U+V>W$ И~$U-R\ge W-V-R+1>b^{d+p}-(b^p-1)-{1\over2}b^{d+1}+1\ge b^{d+p-1}$, 
И МЫ ПРИХОДИМ К ПРОТИВОРЕЧИЮ.
%% 252
ўТОБЫ, НАКОНЕЦ, ЗАВЕРШИТЬ АНАЛИЗ СЛУЧАЯ~2, МЫ ДОЛЖНЫ 
ВЫЧИСЛИТЬ~$V'=\round(V-R, p)$. чДЕСЬ $V-R$~СОДЕРЖИТ НЕ БОЛЕЕ 
$p+1$~РАЗРЯДОВ, ПРИЧЕМ $d$~НАИМЕНЕЕ ЗНАЧИМЫХ ЦИФР РАВНЫ НУЛЮ, ТАК ЧТО 
ЕСЛИ~$d\ne 0$, ТО~$V'=V-R$, $U''=U$. хСЛИ ЖЕ~$d=0$, ТО 
ОБЯЗАТЕЛЬНО~$V'=V-R$, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТОГО СЛУЧАЯ, КОГДА~$V'=b^{p+d}$, И В 
ЭТОМ ПОСЛЕДНЕМ СЛУЧАЕ ИМЕЕТ МЕСТО ТА НЕОБЫЧНАЯ СИТУАЦИЯ, КОГДА 
$W$~ПРИНИМАЕТ СВОЕ МАКСИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$2b^{p+d}$; ЗДЕСЬ~$U''=b^{p+d}$ 
И~$b>3$.

{\sl ёЛУЧАЙ~3:\/}~$e_w<e_u$. (ёМ.~РИС. 4~(iii).) чДЕСЬ~$V<0$. 
{\sl ёЛУЧАЙ~(3a):\/}~$d\le 1$. ЄОГДА~$U+V=W$, ТАК ЧТО~$U'=U''=U$, $V'=V''=V$. 
{\sl ёЛУЧАЙ~(3b):\/}~$d>1$. ЄОГДА~$e_w=e_u-1$ И~$U+V=W+R$, ГДЕ
\EQ{
 R \equiv V \pmod{b^{d-1}}, \quad -{1\over 2}b^{d-1}\le R < {1\over2}b^{d-1}.
}
¤ТОТ СЛУЧАЙ АНАЛОГИЧЕН СЛУЧАЮ~1, НО ПРОЩЕ, ВВИДУ ТОГО ЧТО ИНТЕРВАЛ 
ИЗМЕНЕНИЯ~$R$ МЕНЬШЕ. шМЕЕМ~$U'=U$, $V'=V-R$, $U''=U$, $V''=V-R$. \endmark

ЄЕОРЕМА~A ВЫЯВЛЯЕТ НЕКОЕ СВОЙСТВО РЕГУЛЯРНОСТИ ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, НО ОНА НЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ ОСОБЕННО ПОЛЕЗНЫМ РЕЗУЛЬТАТОМ.
ёЛЕДУЮЩАЯ ТЕОРЕМА ГОРАЗДО БОЛЕЕ СУЩЕСТВЕННА.

\proclaim ЄЕОРЕМА~B. т ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ ТЕОРЕМЫ~A И ПРИ 
УСЛОВИИ~\eqref[43] СПРАВЕДЛИВО ТОЖДЕСТВО
\EQ[48]{
 u+v = (u\oplus v) + ((u\ominus u') \oplus (v\ominus v'')).
}

\proof ЁАССМАТРИВАЯ КАЖДЫЙ ИЗ СЛУЧАЕВ, ВОЗНИКШИХ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ 
ТЕОРЕМЫ~A, МЫ НЕИЗМЕННО ОБНАРУЖИВАЕМ, ЧТО
\EQ{
 \eqalign{
                     u\ominus u' = u-u', & \quad v\ominus v' = v-v',\cr
                   u\ominus u'' = u-u'', & \quad v\ominus v'' = v-v'',\cr
  ((u\ominus u') \oplus (v \ominus v'')) &= ((u-u')+(v-v''))=\cr
                                         &= ((u-u'')+(v-v'))=\cr
                                         &= ((u\ominus u'')\oplus (v\ominus v')),\cr
 }
}
ПОСКОЛЬКУ КАЖДУЮ ИЗ ЭТИХ ВЕЛИЧИН МОЖНО ТОЧНО ВЫРАЗИТЬ 
КАК $p\hbox{-РАЗРЯДНОЕ}$ ЧИСЛО С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, БЕЗ ВСЯКОГО 
ОКРУГЛЕНИЯ. эАПРИМЕР, В СЛУЧАЕ~2 ИМЕЕМ~$U-U'=R-Q \equiv O \pmod{b^d}$, 
И ВО ВСЯКОМ СЛУЧАЕ~$\abs{R}<b^p$. ъОМБИНИРУЯ ТЕПЕРЬ ВЫШЕПРИВЕДЕННЫЕ 
ТОЖДЕСТВА С ТЕОРЕМОЙ~A, ПОЛУЧАЕМ ДОКАЗЫВАЕМОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ.
\proofend

ЄЕОРЕМА~B ДАЕТ НАМ \emph{ЯВНУЮ ФОРМУЛУ ДЛЯ РАЗНОСТИ} МЕЖДУ~$u+v$ 
И~$u\oplus v$ В ТЕРМИНАХ ВЕЛИЧИН, КОТОРЫЕ ДОПУСКАЮТ ПРЯМОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 
ПРИ ПОМОЩИ ОПЕРАЦИЙ ОДНОКРАТНОЙ ТОЧНОСТИ НАД ВЕЛИЧИНАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ. яОЭТОМУ ЧАСТО МОЖНО УВЕЛИЧИТЬ
%% 253
ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОДНОКРАТНОЙ ТОЧНОСТИ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, 
НАКАПЛИВАЯ ПОПРАВОЧНЫЕ ЧЛЕНЫ~$(u\ominus u')\oplus(v\ominus v'')$.  
ўИТАТЕЛЬ, КОТОРЫЙ СТАРАТЕЛЬНО ПРОСЛЕДИЛ ЗА ВСЕМИ ДЕТАЛЯМИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 
ТЕОРЕМ~A И~B, ПОЙМЕТ, СКОЛЬ ЗНАЧИТЕЛЬНЫЕ УПРОЩЕНИЯ ДАЛО ПРОСТОЕ ПРАВИЛО
\EQ{
 u\oplus v = \round (u+v, p).
}
хСЛИ БЫ НАША ПРОГРАММА СЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ НЕ ОБЕСПЕЧИВАЛА 
ЭТОГО РЕЗУЛЬТАТА ВСЕГДА, ТО, СКОЛЬ БЫ РЕДКИ  НИ БЫЛИ ИСКЛЮЧЕНИЯ, ВСЕ 
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СТАЛО БЫ НЕСРАВНЕННО БОЛЕЕ СЛОЖНЫМ, А ВОЗМОЖНО, И ПРОСТО НЕ 
ПРОХОДИЛО БЫ.

ЄЕОРЕМА~B БЫЛА БЫ НЕВЕРНА, ЕСЛИ БЫ МЫ ИСПОЛЬЗОВАЛИ АРИФМЕТИКУ С 
УРЕЗАНИЕМ ЧИСЛА ВМЕСТО ОКРУГЛЕНИЯ, Т.~Е.~ЕСЛИ БЫ В 
СООТНОШЕНИЯХ~\eqref[11]--\eqref[15] МЫ ПОДСТАВИЛИ\note{1}%
{эИЖЕ~$\trunc$---ОТ АНГЛИЙСКОГО truncation (УРЕЗАНИЕ).---{\sl яРИМ.\ РЕД.}}%
~$\trunc(x, p)$ ВМЕСТО~$\round(x, Р)$; ФУНКЦИЯ~$\trunc(x, p)$ ПОХОЖА НА 
ФУНКЦИЮ~$\round(x, p)$ ПРИ~$x>0$ С ТЕМ ЛИШЬ ОТЛИЧИЕМ, ЧТО 
ВЕЛИЧИНА~$1\over2$, ФИГУРИРУЮЩАЯ В~\eqref[9], ЗАМЕНЯЕТСЯ НУЛЕМ.

ЄЕОРЕМОЙ~B НЕ ОХВАТЫВАЛИСЬ БЫ ТОГДА СЛУЧАИ ТИПА, НАПРИМЕР,
\EQ{
 (20, +.10000001)\oplus (10, -.10000001)=(20, +.10000000),
}
КОГДА РАЗНОСТЬ МЕЖДУ~$u+v$ И~$u\oplus v$ НЕЛЬЗЯ БЫЛО БЫ ТОЧНО ВЫРАЗИТЬ КАК 
ЧИСЛО С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ. хСЛИ БЫ УРЕЗАНИЕ ПРОИЗВОДИЛОСЬ КАКИМ-ЛИБО ИНЫМ 
СПОСОБОМ, ТО ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТАКОГО УРЕЗАНИЯ В СРЕДНЕЙ ЧАСТИ 
АЛГОРИТМА~4.2.1A БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ НЕЗАВИСИМО ОТ ЗНАКА ЧИСЕЛ МОГЛО БЫ 
СЛУЧИТЬСЯ, ЧТО ТЕОРЕМЫ~A И~B ОСТАЛИСЬ ВЕРНЫМИ, НО ПОЛУЧАЮЩАЯСЯ ПРИ ЭТОМ 
ОПЕРАЦИЯ~$\oplus$ ОКАЗАЛАСЬ БЫ МНОГО МЕНЕЕ ДОСТУПНОЙ ДЛЯ 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ьНОГИЕ ДУМАЮТ, ЧТО, ПОСКОЛЬКУ "ПЛАВАЮЩАЯ АРИФМЕТИКА" НЕТОЧНА ПО САМОЙ 
СВОЕЙ ПРИРОДЕ, НЕ БУДЕТ НИКАКОЙ БЕДЫ В ТОМ, ЧТОБЫ В НЕКОТОРЫХ ДОВОЛЬНО 
РЕДКИХ СЛУЧАЯХ ВЫПОЛНЯТЬ ЕЕ ОПЕРАЦИИ ЧУТЬ МЕНЕЕ ТОЧНО, ЕСЛИ ЭТО ОКАЖЕТСЯ 
УДОБНЫМ. ЄАКАЯ ПОЛИТИКА СБЕРЕГАЕТ НЕСКОЛЬКО ЦЕНТОВ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ 
¤ть ИЛИ НЕБОЛЬШОЙ ПРОЦЕНТ ОБЩЕГО ВРЕМЕНИ РАБОТЫ ПОДПРОГРАММЫ. юДНАКО 
ПРОВЕДЕННОЕ НАМИ ВЫШЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО ТАКОЙ ПОДХОД ОШИБОЧЕН. 
фАЖЕ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО СКОРОСТЬ ПОДПРОГРАММЫ~|FADD| ПРОГРАММЫ~4.2.1A, 
ЕСЛИ БЫ МЫ ДОПУСТИЛИ ВОЗМОЖНОСТЬ НЕВЕРНОГО ОКРУГЛЕНИЯ В НЕБОЛЬШОМ ЧИСЛЕ 
СЛУЧАЕВ, ВОЗРОСЛА БЫ, СКАЖЕМ, НА ПЯТЬ ПРОЦЕНТОВ, ВСЕ РАВНО ГОРАЗДО ЛУЧШЕ 
ОСТАВИТЬ ЕЕ ТАКОЙ, КАК ОНА ЕСТЬ. ш ДЕЛО ЗДЕСЬ НЕ В "ПОГОНЕ ЗА БИТАМИ" И 
НЕ В ТОМ, ЧТОБЫ В СРЕДНЕЙ ПРОГРАММЕ ПОЛУЧАТЬ ФАНТАСТИЧЕСКИ ХОРОШИЕ 
РЕЗУЛЬТАТЫ; НА КАРТУ ПОСТАВЛЕНО НЕЧТО БОЛЕЕ ВАЖНОЕ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ: 
\emph{ЧИСЛОВЫЕ ПОДПРОГРАММЫ
%% 254
ДОЛЖНЫ ДАВАТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ, КОТОРЫЕ, НАСКОЛЬКО ЭТО ВОЗМОЖНО УДОВЛЕТВОРЯЮТ 
ПРОСТЫМ ПОЛЕЗНЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ЗАКОНАМ.} 
ъЛЮЧЕВАЯ ФОРМУЛА~$u\oplus v = \round(u+v, p)$, НАПРИМЕР, ВЫРАЖАЕТ НЕКОЕ 
СВОЙСТВО "РЕГУЛЯРНОСТИ", И ЭТИМ РЕШАЕТСЯ ВОПРОС, СТОИТ ПРОВОДИТЬ 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ИЛИ НЕ СТОИТ. эЕ РАСПОЛАГАЯ 
КАКИМИ-ЛИБО ЛЕЖАЩИМИ В ОСНОВЕ СВОЙСТВАМИ СИММЕТРИИ, ДОКАЗЫВАТЬ ИНТЕРЕСНЫЕ 
РЕЗУЛЬТАТЫ БЫЛО БЫ КРАЙНЕ НЕУДОБНО. сЫТЬ ДОВОЛЬНЫМ ИНСТРУМЕНТОМ, КОТОРЫМ 
РАБОТАЕШЬ,---ЭТО, КОНЕЧНО, СУЩЕСТВЕННОЕ УСЛОВИЕ УСПЕШНОЙ РАБОТЫ.

\section{т.~рРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НЕНОРМАЛИЗОВАННЫМИ ЧИСЛАМИ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ}. ъ СТРАТЕГИИ НОРМАЛИЗАЦИИ ВСЕХ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ 
МОЖНО ОТНОСИТЬСЯ ДВОЯКО: ЛИБО БЛАГОСКЛОННО ВОСПРИНИМАТЬ ЕЕ КАК ПОПЫТКУ 
ПОЛУЧИТЬ МИНИМАЛЬНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ, ДОСТИЖИМЫЕ ДЛЯ ДАННОЙ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ,
ЛИБО РАССМАТРИВАТЬ ЕЕ КАК ПОТЕНЦИАЛЬНО ОПАСНУЮ ЛИНИЮ ПОВЕДЕНИЯ В 
ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ПРИ ЭТОМ ИМЕЕТСЯ ТЕНДЕНЦИЯ ВЫДАВАТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ ЗА БОЛЕЕ 
ТОЧНЫЕ, ЧЕМ ОНИ ЕСТЬ НА САМОМ ДЕЛЕ. ъОГДА МЫ, НОРМАЛИЗУЯ РЕЗУЛЬТАТ 
ОПЕРАЦИИ~$(1,+.31428571)\ominus (1,+.31415927)$,  ПОЛУЧАЕМ~$(-2, +.12644000)$, 
МЫ ТЕРЯЕМ ИНФОРМАЦИЮ О МАКСИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ НЕТОЧНОСТИ 
ПОСЛЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ. ЄАКАЯ ИНФОРМАЦИЯ СОХРАНИЛАСЬ БЫ, ЕСЛИ БЫ МЫ ОСТАВИЛИ 
ОТВЕТ В ВИДЕ~$(1, +.00012644)$.

тХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ЗАДАЧЕ ЧАСТО НЕИЗВЕСТНЫ С ТОЙ ТОЧНОСТЬЮ КАКАЯ МОЖЕТ 
ДОПУСКАТЬСЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ эАПРИМЕР, ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛА 
рВОГАДРО И ПОСТОЯННОЙ яЛАНКА С ВОСЕМЬЮ ЗНАЧАЩИМИ ЦИФРАМИ НЕИЗВЕСТНЫ, И 
БЫЛО БЫ БОЛЕЕ УДОБНО ОБОЗНАЧАТЬ ИХ
\EQ{
 (27, +.00060225)\hbox{ И }(-23,+.00010545)
}
СООТВЕТСТВЕННО, А НЕ~$(24,+.60225000)$ И~$(-26,+.10545000)$. сЫЛО БЫ 
ВЕСЬМА ПРИЯТНО, ЕСЛИ БЫ МЫ МОГЛИ ЗАДАВАТЬ НАШИ ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ КАЖДОЙ 
ЗАДАЧИ В НЕНОРМАЛИЗОВАННОЙ ФОРМЕ, КОТОРАЯ БЫ ОТРАЖАЛА СТЕПЕНЬ ПРИНЯТОЙ 
ТОЧНОСТИ, И ЕСЛИ БЫ В ВЫХОДНЫХ ДАННЫХ ИМЕЛАСЬ ИНФОРМАЦИЯ О ТОМ, КАКОВА 
ТОЧНОСТЬ ОТВЕТА. ъ НЕСЧАСТЬЮ, ЭТО УЖАСНО ТРУДНАЯ ПРОБЛЕМА, ХОТЯ 
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОЙ АРИФМЕТИКИ И МОЖЕТ ПОМОЧЬ НАМ ПОЛУЧИТЬ 
НЕКОТОРЫЕ УКАЗАНИЯ ТАКОГО РОДА. эАПРИМЕР, МЫ МОЖЕМ СКАЗАТЬ С БОЛЬШОЙ 
СТЕПЕНЬЮ УВЕРЕННОСТИ, ЧТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛА рВОГАДРО НА ПОСТОЯННУЮ яЛАНКА 
РАВНО~$(0, +.00063507)$, А ИХ СУММА РАВНА~$(27,+.00060225)$. (эАЗНАЧЕНИЕ 
ЭТОГО ПРИМЕРА НЕ В ТОМ, ЧТОБЫ НАВЕСТИ НА МЫСЛЬ, ЧТО МОЖНО ПРИПИСАТЬ 
КАКОЙ-ЛИБО ВАЖНЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СУММЕ ИЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЮ 
ЭТИХ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ; СУТЬ В ТОМ, ЧТО МОЖНО СОХРАНИТЬ НЕМНОГО 
ИНФОРМАЦИИ О ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ВЫЧИСЛЕНИЙ НАД НЕТОЧНЫМИ
%% 255
ВЕЛИЧИНАМИ, КОГДА ИСХОДНЫЕ ОПЕРАНДЫ НЕ ЗАВИСЯТ ОДИН
ОТ ДРУГОГО.)

яРАВИЛА НЕНОРМАЛИЗОВАННОЙ АРИФМЕТИКИ ПРОСТЫ И СОСТОЯТ В СЛЕДУЮЩЕМ: 
ПУСТЬ~$l_u$---КОЛИЧЕСТВО НУЛЕЙ, СТОЯЩИХ В НАЧАЛЕ ДРОБНОЙ ЧАСТИ 
ВЕЛИЧИНЫ~$u=(e_u, f_u)$, ТАК ЧТО $l_u$~ЕСТЬ НАИБОЛЬШЕЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО~$\le p$, 
ДЛЯ КОТОРОГО~$\abs{f_u}<b^{-l_u}$. ЄОГДА СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ 
ВЫПОЛНЯЮТСЯ В ТОЧНОСТИ ТАК ЖЕ, КАК И В АЛГОРИТМЕ~4.2.1A, ЗА ТЕМ 
ИСКЛЮЧЕНИЕМ, ЧТО ВСЕ СДВИГИ ОПУСКАЮТСЯ. єМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ВЫПОЛНЯЮТСЯ В 
ТОЧНОСТИ ТАК ЖЕ, КАК В АЛГОРИТМЕ~4.2.1M, ЗА ТЕМ ИСКЛЮЧЕНИЕМ, ЧТО ОТВЕТ 
СДВИНУТ ВПРАВО ИЛИ ВЛЕВО, ТАК ЧТО ДРОБНАЯ ЧАСТЬ ОТВЕТА БУДЕТ НАЧИНАТЬСЯ 
В ТОЧНОСТИ С~$\max(l_u, l_v)$~НУЛЕЙ. яО СУЩЕСТВУ ТЕ ЖЕ ПРАВИЛА 
ИСПОЛЬЗОВАЛИСЬ И ДЛЯ ТРАДИЦИОННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ВРУЧНУЮ.

ЄАКИМ ОБРАЗОМ, ДЛЯ НЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ МЫ ИМЕЕМ
\EQ{
\eqalignno{
 e_{u\oplus v}, e_{u\ominus v}&=\max(e_u, e_v)+(0\hbox{ ИЛИ }1),                   &(49)\cr
                e_{u\otimes v}&=e_u+e_v-q-\min(l_u, l_v)-(0\hbox{ ИЛИ }1),         &(50)\cr
                e_{u\oslash v}&=e_u-e_v+q-l_u+l_v+\max(l_u, l_v)+(0\hbox{ ИЛИ }1). &(51)\cr
}
}
ъОГДА ИТОГОМ ВЫЧИСЛЕНИЙ ЯВЛЯЕТСЯ НУЛЬ, ТО В КАЧЕСТВЕ РЕЗУЛЬТАТА ВЫДАЕТСЯ 
НЕНОРМАЛИЗОВАННЫЙ НУЛЬ (ЧАСТО НАЗЫВАЕМЫЙ "ВЕЛИЧИНОЙ ПОРЯДКА НУЛЬ"); ЭТО 
ОЗНАЧАЕТ, ЧТО В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ РЕЗУЛЬТАТ МОЖЕТ БЫТЬ И НЕ РАВЕН НУЛЮ, НО 
МЫ ПРОСТО НЕ ЗНАЕМ НИ ОДНОЙ ЕГО ЗНАЧАЩЕЙ ЦИФРЫ!

яРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ НАД НЕНОРМАЛИЗОВАННЫМИ ЧИСЛАМИ 
С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ФОРМУЛЫ~\eqref[18]--\eqref[21], ИСПОЛЬЗОВАВШИЕСЯ НАМИ 
ДЛЯ АНАЛИЗА ОШИБОК, ПЕРЕСТАЮТ БЫТЬ ВЕРНЫМИ. тВЕДЕМ ТЕПЕРЬ НОВУЮ ВЕЛИЧИНУ
\EQ[52]{
 \delta_u={1\over2} b^{e_u-q-p} \rem{ДЛЯ~$u=(e_u, f_u)$.}
}
¤ТА ВЕЛИЧИНА ЗАВИСИТ ОТ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЛА~$u$, А НЕ ОТ 
ЕГО ЗНАЧЕНИЯ~$b^{e_u-q}f_u$. ЄОГДА ВМЕСТО~\eqref[18]--\eqref[21] МЫ ИМЕЕМ 
НЕРАВЕНСТВА
\EQ{
 \eqalignno{
         \abs{u\oplus v -(u+v)}&\le \delta_{u\oplus v},  &(53)\cr
        \abs{u\ominus v -(u-v)}&\le \delta_{u\ominus v}, &(54)\cr
  \abs{u\otimes v -(u\times v)}&\le \delta_{u\otimes v}, &(55)\cr
        \abs{u\oslash v -(u/v)}&\le \delta_{u\oslash v}. &(56)\cr
 }
}
¤ТИ НЕРАВЕНСТВА ЯВЛЯЮТСЯ ПРОСТЫМ СЛЕДСТВИЕМ ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ, И ОНИ 
ПРИМЕНИМЫ КАК К НОРМАЛИЗОВАННЫМ, ТАК И К НЕНОРМАЛИЗОВАННЫМ ВЕЛИЧИНАМ; 
ОСНОВНОЕ РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТИПАМИ АНАЛИЗА ОШИБОК СОСТОИТ В ОПРЕДЕЛЕНИИ 
ПОКАЗАТЕЛЯ РЕЗУЛЬТАТА КАЖДОЙ ОПЕРАЦИИ (СООТНОШЕНИЯ~\eqref[49]--\eqref[51]).

юТНОШЕНИЯ~$\prec$, $\sim$, $\succ$ И~$\approx$, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ НАМИ ВЫШЕ 
В~\eqref[24]--\eqref[27], СОХРАНЯЮТ СМЫСЛ И ДЛЯ НЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ ЧИСЕЛ. 
т КАЧЕСТВЕ
%% 256
ПРИМЕРА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТИХ ОТНОШЕНИЙ ДОКАЖЕМ ПРИБЛИЖЕННЫЙ ЗАКОН 
АССОЦИАТИВНОСТИ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ НЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ ВЕЛИЧИЕ (АНАЛОГИЧНЫЙ 
ЗАКОНУ~\eqref[41]): ДЛЯ ПОДХОДЯЩИМ ОБРАЗОМ ВЫБРАННОГО~$\varepsilon$
\EQ[57]{
 (u\oplus v)\oplus w \approx u \oplus (v\oplus w)\,(\varepsilon).
}
шМЕЕМ
\EQ{
 \eqalign{
  \abs{(u\oplus v)\oplus w - (u+v+w)} &\le \abs{(u\oplus v)\oplus w - ((u\oplus v)+w)}+\abs{u\oplus v - (u+v)}\le\cr
                                      &\le \delta_{(u\oplus v)\oplus w}+\delta_{u\oplus v} \le \cr
                                      &\le 2\delta_{(u\oplus v)\oplus w}.\cr
 }
}
рНАЛОГИЧНАЯ ФОРМУЛА СПРАВЕДЛИВА И ДЛЯ~$\abs{u\oplus (v\oplus w) - (u+v+w)}$. 
эО ПОСКОЛЬКУ~$e_{(u\oplus v)\oplus w}=\max(e_u, e_v, e_w)+(0,1 \hbox{ ИЛИ }2)$, 
ТО~$\delta_{(u\oplus v)\oplus w}\le b^2\delta_{u\oplus(v\oplus w)}$. 
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, \eqref[57] ВЕРНО ПРИ~$\varepsilon \ge 2b^{2-p}$;  С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ 
ЗАКОНА АССОЦИАТИВНОСТИ СЛОЖЕНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ ВЕЛИЧИН НЕ СТОЛЬ ОШИБОЧНО, 
КАК СЛОЖЕНИЕ НОРМАЛИЗОВАННЫХ.

ёЛЕДУЕТ ПОДЧЕРКНУТЬ, ЧТО АРИФМЕТИКА НЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ ВЕЛИЧИН НИ В КОЕЙ 
МЕРЕ НЕ МОЖЕТ СЛУЖИТЬ ПАНАЦЕЕЙ; ИМЕЮТСЯ ПРИМЕРЫ, ГДЕ УКАЗЫВАЕМАЯ ТАКОЙ 
АРИФМЕТИКОЙ ТОЧНОСТЬ БОЛЬШЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ (НАПРИМЕР, СЛОЖЕНИЕ БОЛЬШОГО 
ЧИСЛА МАЛЫХ ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО ОДИНАКОВЫХ ВЕЛИЧИН ИЛИ НАХОЖДЕНИЕ 
$n\hbox{-Й}$~СТЕПЕНИ ЧИСЛА ДЛЯ БОЛЬШОГО~$n$), И СУЩЕСТВУЕТ ЕЩЕ БОЛЬШЕ 
ПРИМЕРОВ, КОГДА В ЭТОЙ АРИФМЕТИКЕ ДАЕТСЯ НЕВЫСОКАЯ ТОЧНОСТЬ, В ТО ВРЕМЯ 
КАК В АРИФМЕТИКЕ НАД НОРМАЛИЗОВАННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ПОЛУЧАЛИСЬ 
БЫ ГОРАЗДО БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

хСТЬ ВАЖНАЯ ПРИЧИНА, ПО КОТОРОЙ НИ ОДИН ПРЯМОЙ МЕТОД АНАЛИЗА ОШИБОК 
"ПО ОПЕРАЦИИ ЗАРАЗ" НЕ НАДЕЖЕН, А ИМЕННО ТОТ ФАКТ, ЧТО ОПЕРАНДЫ ОБЫЧНО НЕ 
ЯВЛЯЮТСЯ НЕЗАВИСИМЫМИ. ¤ТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО ОШИБКИ ИМЕЮТ ТЕНДЕНЦИЮ 
КОМПЕНСИРОВАТЬ ИЛИ УСИЛИВАТЬ ДРУГ ДРУГА НЕОБЫЧНЫМ ОБРАЗОМ. яРЕДПОЛОЖИМ, 
НАПРИМЕР, ЧТО $x$~ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО РАВНО~$1/2$, И ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО У ЭТОГО 
ЗНАЧЕНИЯ ЕСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЕ~$y=x+\delta$ С АБСОЛЮТНОЙ ОШИБКОЙ~$\delta$. хСЛИ 
МЫ ХОТИМ ВЫЧИСЛИТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЕ~$x(1-x)$, ТО МЫ МОЖЕМ НАЙТИ~$y(1-y)$; 
ЕСЛИ~$x={1\over2}+\varepsilon$, ТО МЫ 
ПОЛУЧИМ~$y(1-y)=x(1-x)-2\varepsilon\delta-\delta^2$. сЛАГОДАРЯ
МНОЖИТЕЛЮ~$2\varepsilon$ ОШИБКА УМЕНЬШИЛАСЬ! ¤ТО ТОЛЬКО ОДИН ИЗ СЛУЧАЕВ,
КОГДА УМНОЖЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МОЖЕТ ПРИВЕСТИ К ВЕСЬМА ТОЧНОМУ 
РЕЗУЛЬТАТУ, ЕСЛИ ОПЕРАНДЫ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ НЕЗАВИСИМЫМИ. сОЛЕЕ ОЧЕВИДНЫЙ 
ПРИМЕР---ЭТО ВЫЧИСЛЕНИЕ~$x\ominus x$, КОТОРОЕ МОЖЕТ БЫТЬ ВЫПОЛНЕНО С 
АБСОЛЮТНОЙ ТОЧНОСТЬЮ НЕЗАВИСИМО ОТ ТОГО, НАСКОЛЬКО ПЛОХИМ БЫЛО 
ПРИБЛИЖЕНИЕ~$x$, С КОТОРОГО НАЧИНАЛИ.
фОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ, КОТОРУЮ ДАЕТ НАМ АРИФМЕТИКА НЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ 
ВЕЛИЧИН, ЧАСТО МОЖЕТ БЫТЬ БОЛЕЕ ВАЖНА, НЕЖЕЛИ
%% 257
ТА ИНФОРМАЦИЯ, КОТОРАЯ ТЕРЯЕТСЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ОБШИРНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В 
ТАКОЙ АРИФМЕТИКЕ, НО (КАК ОБЫЧНО) НЕОБХОДИМО СОБЛЮДАТЬ ОСТОРОЖНОСТЬ ПРИ 
ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИИ. яРИМЕРЫ ПРАВИЛЬНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АРИФМЕТИКИ 
НЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ ВЕЛИЧИН ОБСУЖДАЛИСЬ Ё.~¤ШЕНХ╕РСТОМ И э.~ьЕТРОПОЛИСОМ В 
СБОРНИКЕ "Computers Аnd Computing" [AMM Slaught Memorial Papers, 10 
(February, 1965), 47--59] И Ё.~¤ШЕНХ╕РСТОМ В СБОРНИКЕ "Error in digital 
computation" [vol.~II. ed.~by~L.~B.~Rall, New York, Wiley, 1965, 3--37]. 
эАДЛЕЖАЩИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СТАНДАРТНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С 
ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ КАК ВХОДНЫХ, ТАК И ВЫХОДНЫХ ДАННЫХ В НЕНОРМАЛИЗОВАННОЙ 
ФОРМЕ БЫЛИ ДАНЫ Ё.~¤ШЕНХ╕РСТОМ В {\sl JACM\/} [{\bf 11} (1964), 168--187].

фРУГОЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ СВЯЗАН С ТАК НАЗЫВАЕМЫМ 
"ИНТЕРВАЛЬНЫМ" МЕТОДОМ, В КОТОРОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОВОДЯТСЯ С УЧЕТОМ ВЕРХНЕЙ 
И НИЖНЕЙ ОЦЕНОК ДЛЯ КАЖДОГО ЧИСЛА. ЄАК, НАПРИМЕР, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, 
ЧТО~$u_0\le u \le u_1$ И~$v_0\le v\le v_1$, ТО~$u_0+v_0\le u+v \le u_1+v_1$, 
$u_0-v_1\le u-v \le u_1-v_0$ И  (В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО $u_0$, $v_0$ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫ) 
$u_0v_0 \le uv \le u_1v_1$, $u_0/v_1\le u/v \le u_1/v_0$. рНАЛОГИЧНЫЕ ПРАВИЛА 
ДЛЯ ДРУГИХ СЛУЧАЕВ ПОЛУЧАЮТСЯ НЕПОСРЕДСТВЕННО; РАЗУМЕЕТСЯ, ВОЗНИКАЮТ ТРУДНОСТИ, 
КОГДА~$v_0<0<v_1$, А МЫ ПЫТАЕМСЯ ДЕЛИТЬ НА~$v$. тЫЧИСЛЕНИЯ НАД~$u_0$, $u_1$, 
$v_0$ И~$v_1$ ПРОВОДЯТСЯ С СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОКРУГЛЕНИЕМ (ВНИЗ ДЛЯ НИЖНИХ ГРАНИЦ 
И ВВЕРХ ДЛЯ ВЕРХНИХ). ЄАКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛИШЬ ВДВОЕ БОЛЬШЕ ПО ОБоЕМУ, ЧЕМ ТЕ 
ЖЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ОБЫЧНОЙ АРИФМЕТИКЕ, И ТАК КАК ОНИ ОБЕСПЕЧИВАЮТ ТОЧНУЮ 
ОЦЕНКУ ОШИБКИ, ОНИ МОГУТ ОКАЗАТЬСЯ ВЕСЬМА ЦЕННЫМИ. юДНАКО ВВИДУ 
ЗАВИСИМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДРУГ ОТ ДРУГА ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 
%% !!! СКОРЕЕ ВСЕГО, ПЕССИМИСТИЧНЫ: -> ПЕССИМИСТИЧНЫ;
ЧАСТО СЛИШКОМ ПЕССИМИСТИЧНЫ; ИМЕЮТСЯ ТАКЖЕ НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ 
С ПРИМЕНЕНИЕМ ИТЕРАЦИОННЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. яО ПОВОДУ ОБСУЖДЕНИЯ 
ИНТЕРВАЛЬНОГО МЕТОДА И НЕКОТОРЫХ ЕГО МОДИФИКАЦИЙ СМ. СТАТЬИ ¤.~уИББА 
[{\sl CACM,\/} {\bf 4} (1961), 319--320] 
И с.~°АРТРА [{\sl JACM,\/} {\bf 13} (1966), 386--403], 
А ТАКЖЕ КНИГУ Ё.~ьУРА "Interval analysis" 
[Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1966].

\section{C.~шСТОРИЯ И БИБЛИОГРАФИЯ}. яЕРВОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 
ПЛАВАЮЩЕЙ АРИФМЕТИКИ БЫЛО ВЫПОЛНЕНО Ї.~ы.~сАУЭРОМ 
И~ъ.~чАМЕЛЬЗОНОМ [Optimale Rechengenauigkeit bei Rechenanlagen mit 
gleitendem Komma, {\sl Zeitschrift f\"ur angewandte Math.\ und Physik,\/} 
{\bf 4} (1953), 312--316]. ёЛЕДУЮЩАЯ ПУБЛИКАЦИЯ ПОЯВИЛАСЬ ЛИШЬ ПЯТЬЮ 
ГОДАМИ ПОЗЖЕ [J.~W.~Carr~III, Error analysis in floating-point arithmetic, 
{\sl CACM,\/} {\bf 2} (May, 1959), 10--15]. ёМ.~ТАКЖЕ [P.~C.~Fischer, 
Proc.\ ACM 13th Nat.\ Meeting, Urbana, Illinois, 1958, paper~39]. т 
КНИГЕ фЖ.~X.~єИЛКИНСОНА "Rounding errors in algebraic processes" 
[Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1963] ПОКАЗАНО, КАК ПРИМЕНЯТЬ 
МЕТОДЫ АНАЛИЗА ОШИБОК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ К АНАЛИЗУ 
ОШИБОК В ЗАДАЧАХ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОПЕРАЦИЙ; СМ. ТАКЖЕ ЕГО
%% 258
МОНОГРАФИЮ "The algebraic eigenvalue problem" [Oxford, Clarendon Press, 1965].

тВЕДЕННЫЕ В ЭТОМ ПУНКТЕ ОТНОШЕНИЯ~$\prec$, $\sim$, $\succ$, $\approx$  
СОРОДСТВЕИНЫ ИДЕЯМ, ПРОВОЗГЛАШЕННЫМ р.~ВАН~тЕЙНГААРДЕНОМ [Numerical 
analysis as an independent science, {\sl BIT,\/} {\bf 6} (1966), 66--81]. 
яРИВЕДЕННЫЕ ВЫШЕ ТЕОРЕМЫ~A И~B НАВЕЯНЫ НЕКОТОРЫМИ БЛИЗКИМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ 
єЛЕ ь╕ЛЛЕРА [{\sl BIT,\/} {\bf 5} (1965), 37--50, 251--255]. ёМ.\ ТАКЖЕ 
[W.~Kahan, {\sl CACM,\/} {\bf 8} (1965), 40].

т ПОЛЬЗУ АРИФМЕТИКИ НЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ВЫСТУПИЛИ 
Ї.~ы.~сАУЭР И ъ.~чАМЕЛЬЗОН В УПОМЯНУТОЙ ВЫШЕ СТАТЬЕ, И НЕЗАВИСИМО ЕЕ 
ИСПОЛЬЗОВАЛ фЖ.~т.~ъАРРОМ ИЗ ьИЧИГАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА (1953~Г.). 
эЕСКОЛЬКИМИ ГОДАМИ ПОЗЖЕ БЫЛА  СПРОЕКТИРОВАНА МАШИНА MANIAC~III СО СХЕМНОЙ 
РЕАЛИЗАЦИЕЙ АРИФМЕТИКИ ОБОИХ ТИПОВ, СМ.~R.~L.~Ashenhurst, N.~Metropolis,
{\sl JACM,\/} {\bf 6} (1959), 415--428; 
{\sl IEEE Transactions on Electronic Computers,\/} {\bf EC-12} (1963), 896--901; 
R.~L.~Ashenhurst, Proc.\ Spring Joint Computer Conf., {\bf 21} (1962), 195--202. 
яО ПОВОДУ ДРУГИХ РАННИХ  ОБСУЖДЕНИЙ НЕНОРМАЛИЗОВАННОЙ АРИФМЕТИКИ СМ.\ ТАКЖЕ 
H.~L.~Gray, 
C.~Harrison, Jr., Proc.\ Eastern Joint Computer Conf., {\bf 16} (1959), 244--248, 
И W.~G.~Wadey, {\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 129--139.

\excercises
(т ЭТИХ ЗАДАЧАХ ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЕСЛИ НЕ ОГОВОРЕНО ПРОТИВНОЕ, ЧТО ДЕЙСТВИЯ 
 ВЫПОЛНЯЮТСЯ НАД НОРМАЛИЗОВАННЫМИ ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ.)

\ex[M18] фОКАЖИТЕ, ЧТО ТОЖДЕСТВО~\eqref[7] СЛЕДУЕТ ИЗ 
СООТНОШЕНИЙ~\eqref[2]--\eqref[6].

\ex[M20] шСПОЛЬЗУЯ ТОЖДЕСТВА~\eqref[2]--\eqref[8], ДОКАЖИТЕ, 
ЧТО~$(u\oplus x)\oplus (v\oplus y) \ge u \oplus v$, КАКОВЫ БЫ НИ 
БЫЛИ~$x\ge 0$ И~$y\ge 0$.

\ex[M20] эАЙДИТЕ ВОСЬМИРАЗРЯДНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ $u$, 
$v$ И~$w$, ДЛЯ КОТОРЫХ
\EQ{
 u \otimes (v \otimes w) \ne (u \otimes v) \otimes w,
}
ПРИЧЕМ НИ ПРИ ОДНОМ ИЗ ЭТИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕ ПРОИСХОДИТ НИ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ, 
НИ ИСЧЕЗНОВЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ.

\ex[10] ьОЖНО ЛИ НАЙТИ ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ~$u$, $v$ И~$w$, ДЛЯ 
КОТОРЫХ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ~$u \times (v \times w)$ ПРОИСХОДИЛО БЫ ИСЧЕЗНОВЕНИЕ 
ПОКАЗАТЕЛЯ, А ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ~$(u \otimes v) \otimes w$ НЕ ПРОИСХОДИЛО?

\ex[ь20] тЫПОЛНЯЕТСЯ ЛИ РАВЕНСТВО~$u \oslash v = u \otimes (1 \oslash v)$ 
ДЛЯ ВСЕХ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ~$u$ И~$v\ne 0$, ДЛЯ КОТОРЫХ НЕ ВОЗНИКАЕТ 
НИ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ, НИ ИСЧЕЗНОВЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ?

\ex[ь22] фЛЯ КАЖДОГО ИЗ СЛЕДУЮЩИХ ДВУХ СООТНОШЕНИЙ ВЫЯСНИТЕ, ВЫПОЛНЯЕТСЯ  
ЛИ ОНО ТОЖДЕСТВЕННО ДЛЯ ВСЕХ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ~$u$. 
(a)~$0\ominus (0 \ominus u) =  u$;  (b)~$1\oslash (1\oslash u) = u$.

\ex[M20] фОКАЖИТЕ, ЧТО ДЛЯ~$\delta_p(x)$, ОПРЕДЕЛЕННОГО 
СООТНОШЕНИЕМ~\eqref[16],  СПРАВЕДЛИВО НЕРАВЕНСТВО~\eqref[17].

\rex[20] яУСТЬ~$\varepsilon=0.0001$; КАКОЕ ИЗ СООТНОШЕНИЙ~$u\prec 
v(\varepsilon)$, $u\sim v(\varepsilon)$, $u\succ v(\varepsilon)$, 
$u\approx v(\varepsilon)$  ВЫПОЛНЯЕТСЯ ДЛЯ СЛЕДУЮЩИХ ПАР ВОСЬМИРАЗРЯДНЫХ 
ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ С ИЗБЫТКОМ~$0$?
{
\medskip\narrower
\item{a)}$u=(1,+.31415927)$, $v=(1,+.31416000)$;
\item{b)}$u=(0, +.99997000)$, $v=(1,+.10000039)$;
\item{c)}$u=(24, +.60225200)$, $v=(27, +.00060225)$;
\item{d)}$u=(24, +.60225200)$, $v=(31, +.00000006)$;
\item{e)}$u=(24, +.60225200)$, $v=(32, +.00000000)$.
\medskip
}

%% 259
\ex[M22] фОКАЖИТЕ УТВЕРЖДЕНИЕ~\eqref[36] И ОБоЯСНИТЕ, ПОЧЕМУ 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ НЕЛЬЗЯ УСИЛИТЬ ДО~$u\approx w(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$.

\rex[ь25] (є.~ъАХАН.) эА НЕКОТОРОЙ ¤ть ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ 
НАД ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ПРОВОДИТСЯ БЕЗ ТОЧНОГО ОКРУГЛЕНИЯ, И 
ФАКТИЧЕСКИ ПРОГРАММА УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ ЭТОЙ ¤ть ИГНОРИРУЕТ ПОСЛЕДНИЕ 
$p$~РАЗРЯДОВ $2p\hbox{-РАЗРЯДНОГО}$ ПРОИЗВЕДЕНИЯ~$f_u f_v$. (ЄАКИМ 
ОБРАЗОМ; ЕСЛИ~$f_u f_v < 1/b$, ТО ИЗ-ЗА ПОСЛЕДУЮЩЕЙ НОРМАЛИЗАЦИИ НАИМЕНЕЕ 
ЗНАЧИМАЯ ЦИФРА ВСЕГДА ОКАЗЫВАЕТСЯ НУЛЕМ.) яОКАЖИТЕ, ЧТО ЭТО ПРИВОДИТ К 
УТРАТЕ МОНОТОННОСТИ УМНОЖЕНИЯ, Т.~Е.\ ЧТО СУЩЕСТВУЮТ ТАКИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ 
НОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ $u$, $v$, $w$, ЧТО~$u<v$, НО~$u 
\otimes w > v \otimes w$.

\rex[ь28]{тМЕСТО ТОГО ЧТОБЫ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДЛЯ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ ЧИСЕЛ 
С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ПРЯМОЙ КОД, МЫ МОГЛИ БЫ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ 
ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ КОДОМ (СМ.\ \S~4.1). фРОБНАЯ ЧАСТЬ~$f$ 
ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА НАХОДИТСЯ, КАК И РАНЬШЕ, В 
ИНТЕРВАЛЕ~$(0.100\ldots 0)_2 = 1/2\le f \le 1-2^{-p}=(0.111\ldots 1)_2$, 
НО ДРОБНАЯ ЧАСТЬ~$f$ \emph{ОТРИЦАТЕЛЬНОГО} ЧИСЛА ЛЕЖИТ В 
ИНТЕРВАЛЕ~$(1.000\ldots 0)_2 = -1 \le f \le -1/2 -2^{-p}=(1.011\ldots 1)_2$.
ёЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МОЖНО ВЫПОЛНЯТЬ ПРИ ПОМОЩИ ТАКОГО НЕПОСРЕДСТВЕННОГО 
ОБОБЩЕНИЯ АЛГОРИТМА~4.2.1A: ОБЕСПЕЧИВАЯ ДОСТАТОЧНУЮ ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ, 
МЫ ПОЛУЧАЕМ ВЕРНОЕ ЗНАЧЕНИЕ СУММЫ ИЛИ РАЗНОСТИ, ПОТОМ НОРМАЛИЗУЕМ ДРОБЬ, 
ТАК ЧТОБЫ ЕЕ ПЕРВЫЕ $p$~РАЗРЯДОВ ИМЕЛИ НАДЛЕЖАЩИЙ ВИД, А ПОСЛЕ ЭТОГО 
"ОКРУГЛЯЕМ" РЕЗУЛЬТАТ, ДОБАВЛЯЯ ЕДИНИЦУ В $(p+1)\hbox{-Й}$~РАЗРЯД, И ЗАТЕМ 
ОТБРАСЫВАЕМ ВСЕ РАЗРЯДЫ, КРОМЕ ПЕРВЫХ $p$~БИТОВ, ПРОИЗВОДЯ В СЛУЧАЕ 
ПЕРЕПОЛНЕНИЯ ПРИ ОКРУГЛЕНИИ ДЕНОРМАЛИЗАЦИЮ РЕЗУЛЬТАТА. 
эАПРИМЕР, РАЗНОСТЬ~$(2,0.11111111)\ominus (6,0.10000000)$ БЫЛА БЫ ВЫЧИСЛЕНА 
СНАЧАЛА В ВИДЕ~$(6, 1.100011111111)$, НОРМАЛИЗОВАНА К ВИДУ~$(5, 1.00011111111)$ 
И ЗАТЕМ ОКРУГЛЕНА ДО~$(5,1.00100000)$. тЗЯВ ТЕ ЖЕ ЧИСЛА В ПРОТИВОПОЛОЖНОМ 
ПОРЯДКЕ, МЫ ПОЛУЧИЛИ БЫ
\EQ{
 (6,0.10000000) \ominus  (2,0.11111111) =(5,0.111000000);
}
ЭТО ПРЕДЫДУЩИЙ ОТВЕТ, ВЗЯТЫЙ С ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ ЗНАКОМ, ТАК ЧТО 
СООТНОШЕНИЕ~\eqref[7] ВЫПОЛНЯЕТСЯ ДЛЯ ДАННОГО СЛУЧАЯ.
\hiddenpar
эАЙДИТЕ ДВА ЧИСЛА~$u$ И~$v$, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ДВОИЧНОМ КОДЕ,
ДЛЯ КОТОРЫХ РАВЕНСТВО~\eqref[7] \emph{НЕ} ВЫПОЛНЯЕТСЯ И ДЛЯ КОТОРЫХ В 
ХОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕ ПРОИСХОДИТ НИ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ, НИ ИСЧЕЗНОВЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ.
}

\ex[ь15] яОЧЕМУ~\eqref[45] СЛЕДУЕТ ИЗ~\eqref[44]?

\rex[ь25]{эЕКОТОРЫЕ ЯЗЫКИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ (И ДАЖЕ НЕКОТОРЫЕ КОМПЬЮТЕРЫ) 
ИСПОЛЬЗУЮТ ТОЛЬКО АРИФМЕТИКУ НАД ВЕЛИЧИНАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ И НЕ ИМЕЮТ 
СРЕДСТВ ДЛЯ ТОЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ. хСЛИ ТРЕБУЕТСЯ ВЫПОЛНЯТЬ 
ОПЕРАЦИИ НАД ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ, МЫ МОЖЕМ, КОНЕЧНО, ПРЕДСТАВИТЬ ИХ В ВИДЕ 
ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, И ЕСЛИ ОПЕРАЦИИ АРИФМЕТИКИ НАД ЧИСЛАМИ  С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ УДОВЛЕТВОРЯЮТ ОСНОВНЫМ 
ОПРЕДЕЛЕНИЯМ~\eqref[11]--\eqref[14] ЭТОГО ПУНКТА, ТО, КАК МЫ ЗНАЕМ, 
\emph{ВСЕ} ЭТИ ОПЕРАЦИИ ОКАЗЫВАЮТСЯ ТОЧНЫМИ, ПРИ УСЛОВИИ ЧТО ОПЕРАНДЫ И 
ОТВЕТ ДОПУСКАЮТ ТОЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В $p\hbox{-РАЗРЯДНОЙ}$ СЕТКЕ. 
ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПОКА МЫ УВЕРЕНЫ, ЧТО ЧИСЛА НЕ СЛИШКОМ ВЕЛИКИ, МЫ МОЖЕМ 
СКЛАДЫВАТЬ, ВЫЧИТАТЬ ИЛИ УМНОЖАТЬ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, НЕ ОПАСАЯСЬ НЕТОЧНОСТИ,
СВЯЗАННОЙ С ОШИБКАМИ ОКРУГЛЕНИЯ.
\hiddenpar
эО ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ПРОГРАММИСТ ХОЧЕТ ОПРЕДЕЛИТЬ, ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ $m$~ТОЧНЫМ 
КРАТНЫМ~$n$, ГДЕ~$m$ И~$n\ne 0$---ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. яРЕДПОЛОЖИМ ДАЛЕЕ, ЧТО В 
НАШЕМ РАСПОРЯЖЕНИИ, КАК И В УПР.~4.2.1-15, ЕСТЬ ПОДПРОГРАММА, КОТОРАЯ 
ВЫЧИСЛЯЕТ~$\round (u \bmod 1, p) = u \ellmod 1$ ДЛЯ ЛЮБОГО ЧИСЛА~$u$ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ. юДИН ИЗ ХОРОШИХ СПОСОБОВ ОПРЕДЕЛИТЬ, ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ~$m$ 
КРАТНЫМ~$n$, МОГ БЫ СОСТОЯТЬ В ТОМ, ЧТОБЫ ПРОВЕРИТЬ ПРИ ПОМОЩИ УПОМЯНУТОЙ 
ПОДПРОГРАММЫ, ВЕРНО ЛИ РАВЕНСТВО~$((m\oslash ) \ellmod 1)=0$. эЕ ИСКЛЮЧЕНО,
ОДНАКО, ЧТО ОШИБКИ ОКРУГЛЕНИЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ НАД ВЕЛИЧИНАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ СДЕЛАЮТ ЭТУ ПРОВЕРКУ НЕДОСТОВЕРНОЙ.
\hiddenpar
эАЙДИТЕ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ИНТЕРВАЛ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕЛЫХ 
ЧИСЕЛ~$n\ne 0$ И~$m$, ПРИ КОТОРЫХ $m$~БУДЕТ КРАТНЫМ~$n$ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ 
СЛУЧАЕ,                                                      
%% 260
КОГДА~$(m\oslash n) \ellmod 1=0$. фРУГИМИ СЛОВАМИ, ПОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$m$ 
И~$n$ НЕ СЛИШКОМ ВЕЛИКИ, ТО НАША ПРОВЕРКА ПРИГОДНА.
}

%% !!! ўТО ЭТО ЗА ШТУКА: w) [... ЗДЕСЬ ПРОПУЩЕН ЗНАК?...] (\varepsilon)
\ex[ь27] эАЙДИТЕ ПОДХОДЯЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ~$\varepsilon$, ПРИ 
КОТОРОМ~$(u\otimes v) \otimes w \approx u \otimes (v \otimes w) \; (\varepsilon)$ 
В СЛУЧАЕ, КОГДА ИСПОЛЬЗУЕТСЯ \emph{НЕНОРМАЛИЗОВАННОЕ} 
УМНОЖЕНИЕ. (¤ТО---ОБОБЩЕНИЕ СООТНОШЕНИЯ~\eqref[41], ПОСКОЛЬКУ 
НЕНОРМАЛИЗОВАННОЕ УМНОЖЕНИЕ НИЧЕМ НЕ ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ НОРМАЛИЗОВАННОГО, ЕСЛИ 
ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ~$u$, $v$ И~$w$ НОРМАЛИЗОВАНЫ.)

\ex[ь24] (X.~сЬ╕РК.) тСЕГДА ЛИ ВЫЧИСЛЕННАЯ СРЕДНЯЯ ТОЧКА ИНТЕРВАЛА  ЛЕЖИТ 
МЕЖДУ ЕГО КОНЦЕВЫМИ ТОЧКАМИ? (шНЫМИ СЛОВАМИ, СЛЕДУЕТ ЛИ ИЗ 
НЕРАВЕНСТВА~$u\le v$ НЕРАВЕНСТВО~$u \le (u \oplus v) \otimes 2 \le v$?)

\ex[ть23] яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО~$u$ И~$v$---ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, НЕЗАВИСИМО И 
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ В ИНТЕРВАЛАХ~$0 < u_0 - \delta  \le u < u_0 + \delta$ 
И~$0 < v_0 - \varepsilon \le v \le v_0 + \varepsilon$. (a)~ъАКОВО СРЕДНЕЕ 
ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ~$uv$? (b)~ъАКОВО СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧАСТНОГО~$u/v$? 
[¤ТИ ВОПРОСЫ ИМЕЮТ ОТНОШЕНИЕ К ВОПРОСУ О ВЫБОРЕ ПРАВИЛЬНОГО СПОСОБА 
ОКРУГЛЯТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЕРАЦИЙ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.]

\ex[28] эАПИШИТЕ \MIX-ПОДПРОГРАММУ~|FCMP|, КОТОРАЯ СРАВНИВАЕТ МЕЖДУ  СОБОЙ 
ЧИСЛА~$u$ И~$v$ В ФОРМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, НАХОДЯЩИЕСЯ СООТВЕТСТВЕННО  В 
ПОЛЕ~|ACC| И В РЕГИСТРЕ~|A|, И УСТАНАВЛИВАЕТ ИНДИКАТОР СРАВНЕНИЯ В 
СОСТОЯНИЯ "МЕНЬШЕ", "РАВНО" ИЛИ "БОЛЬШЕ" В СООТВЕТСТВИИ С ТЕМ, БУДЕТ 
ЛИ~$u \prec v$, $u \sim v$ ИЛИ~$u \succ v(\varepsilon)$; ПРИ ЭТОМ 
$\varepsilon$~ХРАНИТСЯ В ПОЛЕ~|EPSILON| КАК НЕОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА В 
ФОРМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, ПРИЧЕМ ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО ТОЧКА РАСПОЛОЖЕНА 
СЛЕВА ОТ СЛОВА.

\ex[ь40]. ёУЩЕСТВУЕТ ЛИ В АРИФМЕТИКЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННЫХ ВЕЛИЧИН 
ПОДХОДЯЩЕЕ ЧИСЛО~$\varepsilon$, ТАКОЕ, ЧТО
\EQ{
 u \otimes (v\otimes w) \approx (u \otimes v) \otimes (u \otimes w)\; (\varepsilon)?
}

\subsubchap{*тЫЧИСЛЕНИЯ С ДВОЙНОЙ ТОЧНОСТЬЮ} %% 4.2.3
фО СИХ ПОР МЫ ГОВОРИЛИ ОБ АРИФМЕТИКЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ "ОДНОКРАТНОЙ 
ТОЧНОСТИ", ЧТО ПО СУЩЕСТВУ ОЗНАЧАЕТ, ЧТО  ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ В ФОРМЕ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ВЕЛИЧИНЫ, С КОТОРЫМИ МЫ РАБОТАЛИ, МОГЛИ ХРАНИТЬСЯ В 
ОДНОМ МАШИННОМ СЛОВЕ. хСЛИ АРИФМЕТИКА ОДНОКРАТНОЙ ТОЧНОСТИ НЕ ОБЕСПЕЧИВАЕТ 
ДОСТАТОЧНОЙ ДЛЯ НАШИХ ПОТРЕБНОСТЕЙ ТОЧНОСТИ, ТО ТОЧНОСТЬ МОЖНО УВЕЛИЧИТЬ 
ПРИ ПОМОЩИ СРЕДСТВ ПРОГРАММИСТСКОГО ХАРАКТЕРА, ИСПОЛЬЗУЯ ДЛЯ 
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КАЖДОГО ЧИСЛА ДВА ИЛИ БОЛЬШЕ СЛОВ ПАМЯТИ. їОТЯ ОБЩУЮ 
ПРОБЛЕМУ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ МЫ ОБСУЖДАЕМ В~\S~4.3, ИМЕЕТ СМЫСЛ 
ОТДЕЛЬНО ОБСУДИТЬ ЗДЕСЬ ВОПРОС О ВЫЧИСЛЕНИЯХ ДВОЙНОЙ ТОЧНОСТИ; К 
ВЫЧИСЛЕНИЯМ ДВОЙНОЙ ТОЧНОСТИ ПРИМЕНИМЫ СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ, ПРАКТИЧЕСКИ 
НЕПРИГОДНЫЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ БОЛЬШЕЙ ТОЧНОСТИ; КРОМЕ ТОГО, ВЫЧИСЛЕНИЯ С ДВОЙНОЙ 
ТОЧНОСТЬЮ РАЗУМНО СЧИТАТЬ ТЕМОЙ, ИМЕЮЩЕЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ, ТАК 
КАК ЭТО ПЕРВЫЙ ШАГ ЗА ПРЕДЕЛЫ ОДНОКРАТНОЙ ТОЧНОСТИ, ПОЗВОЛЯЮЩИЙ 
УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО РЕШАТЬ МНОГИЕ ЗАДАЧИ, НЕ ТРЕБУЮЩИЕ НЕПОМЕРНО ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ.

фЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НАД ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ 
ДВОЙНАЯ ТОЧНОСТЬ НЕОБХОДИМА ПОЧТИ ВСЕГДА В ОТ-
%% 261
\bye