\input style

��� ������� ���� �������� ������������ ���������� 񀉌���� 휞������ 
[{\sl Amer.~J.~Math.,\/} {\bf 4} (1881), 39--40], ������� ������ �������� 
��������� � ������ ����, ��� �������� �����~$d$ ����������� � 
������������~$\log_{10}(1+1/d)$. � �� ����� ����� ������������� ����� 
��� ������ ��� ����������� ������ �.~ᅍ������ 
[{\sl Proc.\ Amer.\ Philosophical Soc.,\/} {\bf 78} (1938), 551], 
������� �� ���� � ������� 휞�����. 
ᅍ���� �����, ��� ��� ������ ����� �������, � ������ ��� 
"������� ���������� �����". � ������, ��� ���� ����� ������������� 
�������� ���� �������� ������������ ���������� ���� �������, ��� ������ 
�������� �� ���������� ����� � ������� � ��������� ������.

呋� �� ������� ������������ ������������� �����~$u$, �� ��� �������� 
����� ������������ ���������~$(\log_{10} u) \bmod 1$. � ������, �������� 
����� ������~$d$ ����� � ������ �����, �����
\EQ[1]
{
 (\log_{10} u) \bmod 1 < \log_{10} d,
}
��� ���~$10 f_u = 10^{(\log_{10} u)\bmod 1}$.

䀋��, ���� � ��� ���� �����-���� "���������" ������������� �����~$U$, 
���������� � ������������ � ��������� �������� ��������������, ���� ���, 
��� ����������� � �������, �� ����� �������, ��� 
�����~$(\log_{10} U) \bmod 1$ ����� ���������� ������������ ����� ����� 
� �������� ��� �� ������� ���� ��� ��� ����� ����� ������� �����������. 
(����������� ������� �� �������, ��� ��������~$U \bmod 1$, $U^2 \bmod 1$, 
$\sqrt{U+\pi}\bmod 1$ �~�.~�.\ ����� ���������� ������������. � �������, 
��� ������ ������� �������������� �� �������� �� ���� �� ����� �������.) 
񋅄���������, ����� �����������~\eqref[1], �������� ������ ����� 
������� � ������������, ������~$\log_{10} 2 \approx 30.103\%$, ������ � 
������������, ������~$\log_{10} 3 - \log_{10} 2 \approx 17.609\%$, 
� ������ ����~$r$---������������ ������������ �����, ����������� �����~$1$ 
�~$10$, �� �������������� �~$\log_{10} r$ ���� ������� �� ������ ����� 
�����������~$10 f_U \le r$.

䐓��� ������ ��������� ���� �����---��� �������, ��� ��������� 
��������~$U$ ������ ���������� � ��������� ����� �� ��������������� 
������� (�.~�.\ ��� ��� ������� �� ��������������� ������� 
�������������). 䅉����������, ���������� �� ������ ����� ��������������� 
������� �� �������, ������������ �����~$U$, 
���������������~$(\log_{10} U) \bmod 1$. � ������ ��������� � ������� ������� 
������ �������� ����� ������������, ����������� ��� ������ ��������������� 
�������, � ������������ � ������� � ��������� ������.

� ����, ��� �������� ����� ����� ��������� ���� ����������, ������� 
��������� ����� � ����; ������ ��������� ����� ����� ���������� ������ 
������ "������� ������" �������
%% 272
��� ���������� � ��������� ������. ���������� ������ ������ ����������� 
��������� �������, ��� ���������.

����������, ����� ����������� ����������, ��� ����������� ���� 
������������� ������ �� ���������� ����������������� ������.  ������ 
��������� �������������� ������� ����, ��� ��������� �������� ���� ������ 
������, ������ ��� ���� �� ����� ����. 䐓��� ������ � ������� �������� 
���� ��� ��������� �.~�.~����� �~�.~��������� 
[{\sl Ann Math. Stat.,\/} {\bf 32} (1961), 1223--1230]. 
��~$p(r)$---����������� ����, ���~$10 f_U \le r$,  ���~$1\le r \le 10$, 
�~$f_U$---��������������� ������� ����� ��������� ������� ���������� 
���������������� �����~$U$ � ��������� ������. 呋� �������� � ��������� 
��������� � �������� ����, �� �� 
��������, ��� ��� ���������� � ������������ ��������, � ���� �� �� 
��������, ������, ����������� ����� ��� ������, �� ������ �� �� 
��������������� ���������� ���������� ����� �� ������ ��������. 
�������� �������, ��� ���-��� ����� �� ��������� �������� 
��������� ����������� �� ��������� ���������� ���������~$c$; ���� 
��������� ��������� ������� � ��������� ������ ������ ����� ����� 
�������������� �������� �� �������� ����������, ��� ��� 
�����������~$p(r)$ �� ������ ����������.

󌍎����� ���� ����� ��~$c$ ����������~$(\log_{10} U) \bmod 1$ 
�~$(\log_{10} U + \log_{10} c) \bmod 1$. 퀑��� ������ ������� �������, 
����������� ������� �������������; �� ����� �������, ���~$1 \le c \le 10$. 
� �����������
\EQ
{
 p(r) = \hbox{�����������} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r).
}
񎃋���� ������ �������������, ����� �����
\EQ{
\eqalignno{
 p(r) &= \hbox{�����������} ((\log_{10} U + \log_{10} c ) \bmod 1  \le \log_{10} r) = \cr
      &= \cases
       {
        \hbox{�����������} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r - \log_{10} c \cr
        \hbox{��� } (\log_{10} U) \bmod 1 \ge 1 - \log_{10} c) , & ����~$c \le r$, \cr
        \hbox{�����������} (1-\log_{10} c \le (\log_{10} U) \bmod 1 \le  1 + \log_{10} r - \log_{10} c),  & ����~$c \ge r$, \cr
       }\cr
      &= \cases 
       {
         p (r/c) + 1 - p(10/c), & ����~$c \le r$,\cr
         p(10r/c) - p(10/c),    & ����~$c \ge r$.\cr
       } & (2) \cr
 }
}
������ ������ �������~$p(r)$ ����� ���������~$1 \le r \le 10$, 
�������~$p(10^n r) = p(r)+n$; ����� ����� ������~$10/c$ ��~$d$ �� ����� 
�������� �����������~\eqref[2] � ����
\EQ[3]
{
 p(rd) = p(r) + p(d).
}
呋� ���� ������������� �� �������������� ������������� ������������ 
��������� �� ������������ ���������� ��������� �����, �� 
�����������~\eqref[3] ������ ����������� ��� ����~$r > 0$
%% 273
�~$1 \le d \le 10$. � ���� ���~$p(1)=0$, $p(10)=1$, �������, ���
\EQ{
 \displaylines{
  1 = p(10) = p((\root n \of {10})^n) = p(\root n \of {10}) + p((\root n \of {10})^{n-1})= \cr
    = \ldots = np(\root n \of {10}); \cr 
 }
}
������ �� ���������, ��� ��� ���� ������������� �����~$m$ �~$n$ 
����������� ���������~$p(10^{m/n})=m/n$. 呋� ������������� �����������,
����� �������������~$p$ ���� �����������, �� �� �������� � 
���������~$p(r)=\log_{10} r$, � ��� � ���� ������ ��� �����.

���� ��� �����������, ��������, � ������������ ����������, ��� ���� � 
���������������� �� ����������� ������� ��������. � ������������, ��� 
���������� ����� ������� � ������ ���������������� ������� ������������� 
�����~$F(u)$, �����, ��� ����������� ����, ��� ������ ������������ 
�����~$U$ �� �����������~$u$, �����~$F(u)$ � ���
\EQ[4]
{
 p(r) = \sum_m (F(10^m r) - F(10^m)),
}
��� ������������ ���������� �� ���� ���������~$-\infty < m < \infty$.  � 
������ ����������� ��������, ��� �����
\EQ{
 p(r) = \log_{10} r.
}
葏������ �� �� ������, �� ����� "��������", ���
\EQ[5]
{
 \sum_m (F(b^m r) - F(b^m)) = \log_b r
}
���~$1 \le r \le b$ ��� ������� ������ �����~$b \ge 2$. � ������� 
�������������~$F$, ������� ������������� �� ����� ��������� ��� 
���� �����~$b$ �~$r$, �� ����������! "ꀊ��-�� � ������� ������� �����!"

� �� �������� ����� �� ����� ����������� ������� � ���, ����� 
������������� ��������������� �����~$p(r) = \log_{10} r$ ���� ��� ����� 
������� \emph{�����������} � ��������� �������������. ⎇�����, ��� ��� 
�������� ������������� ��� ���������� ⑅������ ����������, ��������� � 
�������� ������� ��� ������ � ������ ������������; � ���� �������� 
���������~$10$ ������������ ����������~$b$, ���� ����������� ��� ����� 
����� (� ����� ������ ������ �������), ��� ������~$b$. 䐓���, �������� 
��������������� ������ ������� ��������, ��������� � ������� �� 
������������� ������� ������� �������������, ��������� �.~�.~𝉌� 
[{\sl AMM,\/}  {\bf 76} (1969), 342--348].

−������� ����������� ���������� ������, ��-��������, �� � ���� ���� 
������ �������� ������������������ �����������, ��� ��� ������� ������ 
������������ ��������� � ���������� ���� ����������� (��� �� 
�������������� �������� ��������������� ������ � �������� �����������, 
�� �������������� ������� ������ ������������). ���������� ������ 
������������� ������� ������������� ��������� ������������ ����� �������������
%% 274
������� �������� ���� \emph{������������� �����} �����. 葑��������� 
���� ���� ����������� ���������, � �� ������ ������,  ��� ��� ��������� 
��������� ���� �� ������������� ������������ ��� ������, �������������� � 
����� � ��������� ������, ��  ����� � ������, ��� ��� ������ ������ 
������������ ��������  ����, ��� �������� ������ ���������� ���������� � 
�������� �������.

� ���� ����������� ������������~$r$ ����� ���������� ������������� 
������������ �����, $1 \le r \le 10$; �� ���������� ���� �������� 
�����������~$p(r)$ ��� "�����������" ����, ��� 
�������������~$10^{e_N} \cdot f_N$ "����������" �������������� ������ 
�����~$N$ ������������� �����������~$10 f_N < r$.

䋟 ������ ��������� ����� ��� �����������, ��������� ���������� �������, 
���������� ���� ��� �� ����������~"Pr" �~\S~3.5. 󄎁��� ������ 
��������������� ��� ����������� ������� � ���������:
\EQ[6]{
 P_0(n)=\cases{
  1, & ����~$n=10^e \cdot f$, ���~$10 f < r$, �.~�.\ ����~$(\log_{10} n) \bmod 1 < \log_{10} r$;\cr
  0  & � ��������� ������.\cr
 }
}

蒀�, ������������������ $P_0(1)$, $P_0(2)$,~\dots{} ���� �����������  
������������������ ����� � ������, ������ ������� ������������� �������, 
�������� ����� � �������� �����������. � ����� ���������� "���������" ��� 
������������������, �������
\EQ[7]
{
 P_1(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_0(k).
}
呒�������� �������~$\lim_{n\to\infty} P_1(n)$ � �������� ������� 
"�����������"~$p(r)$; ������ ��� �� � ������� �~\S~3.5.

� � ������ ������ ���� ������ �� ����������. ����������,  ��������, ���������������������
\EQ{
 P_1(s),\; P_1(10s),\; P_1(100s),\; \ldots,\; P_1(10^n s),\; \ldots,
}
���~$s$---��������� ������������ �����, $1 \le s \le 10$. 呋�~$s \le r$, �� 
�� �����
\EQ
{
 \eqalignno{
  P_1(10^n s) &= {1 \over 10^n s} ( \ceil{r} -1 + \ceil{10 r} - 10 + \cdots 
                 + \ceil{10^{n-1} r} - 10^{n-1} + \floor{10^n s} + 1 - 10^n) = \cr
              &= {1 \over 10^n s} (r(1+10+\cdots+10^{n-1})+O(n)+\floor{10^n s} 
                 - 1 - 10 - \cdots - 10^n) = \cr
%% ��������� ������ ������:  "\right)", ����� ������� ������ ������� ��� ��������������
              &= {1 \over 10^n s} \left({1\over 9} (10^n r - 10^{n+1}) 
                 + \floor{10^n s}\right)+O(n), & (8) \cr
 }
}
%% 275
��� � ���������� ������~$r=r_0.r_1r_2\ldots\,$. ~$n\to\infty$ 
�������~$P_1(10^n s)$ ���������, ����� �������, � ����������� 
��������~$1+(r-10)/9s$. ⛗�������, ����������� ���� ��� ������~$s \le r$,
����� �������������� ����� �������, ����� ��� ��������� ����� � ���~$s > r$; 
��� ���� $\floor{10^n s}+1$~��������� ��~$\ceil{10^n r}$, ��� ��� 
���~$s \ge r$ �� ������� ���������� ��������, ������~$10(r-1)/9s$. 
[�.\ J.\ Franel Naturforschende Gesellschaft, Vierteljahrsschrift, {\bf 62} 
(Z\"urich, 1917), 286--295.]

蒀�, ������������������~$P_1(n)$ �������� ���������������������, ������ 
������� ��� �����������~$s$ ��~$1$ ��~$r$, � ����� ��~$r$ ��~$10$ ������� 
���������� ��~$(r-1)/9$ ��~$10(r-1)/9r$, � ����� ������� ����� 
��~$(r-1)/9$. ��� �����, ��� ������������������~$P_1(n)$ �� ����� 
������� � ���~$P_1(n)$ �� ������� ������� ����������� � ������ 
��������������� ������~$\log_{10} r$!

� ���~$P_1(n)$ �� � ���� �� ���������, ����� ���������� ��� ��� 
������������ �� �� ����, ��� � �~\eqref[7], ����� "�����������" ��������� 
��� ������� � ��������� ����� ������������������. ⎎��� �������
\EQ[9]
{
 P_{m+1}(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_m(k).
}
򎃄� $P_{m+1}(n)$~����� ��������� ��������� � ����� ����������� ���������,
������~$P_m(n)$. ������� ������� ���������~$P_{m+1}(n)$ ��� 
�������~$n$. �, ������������� ���� ��� ������������ �������� 
������~$m=0$, ������������, ��� ����� �������� � 
���� ���������������������~$P_{m+1}(10^n s)$. 茅��� �� ���� ���� �� 
� ������� ��������� ���������.

\proclaim 녌��~Q. 䋟 ������������� ������ �����~$m \ge 1$ � 
������������� ������������� �����~$\varepsilon > 0$ �������� ����� 
�������~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ � ����� ����� �����~$N_m(\varepsilon)$, ��� 
���~$n > N_m(\varepsilon)$ �~$1 \le s \le 10$ ����������� �����������
\EQ[10]
{
 \displaynarrow{
  \abs{P_m(10^n s) - Q_m(s)} < \varepsilon, \hbox{ ����~$s \le r$,}\cr
  \abs{P^m(10^n s) - (Q_m(s)+R_m(s))} < \varepsilon, \hbox{ ����~$s>r$.}\cr
 }
}
䀋��, �������~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ ������������� ������������
\EQ[11]
{
 \eqalign{
  Q_m(s) &= {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt
            +\int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt + {1\over 9}\int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt\right);\cr
  R_m(s) &= {1\over s} \int_r^s R_{m-1}(t)\,dt;\cr
  Q_0(s) &= 1, \quad R_0(s)= -1.\cr
 }
}
%% 276

\proof ���������� �������~$Q_m(s)$, $R_m(s)$, ������������ 
���������~\eqref[11], � ������� 
\EQ[12]{
 S_m(t)=\cases{
         Q_m(t), & $t \le r$, \cr
  Q_m(t)+R_m(t), & $t > r$.   \cr
 }
}
䎊���� ����� ��������� ��~$m$.

�� �������~$m=1$; �����~$Q_1(s)=(1/s)(1+(s-1)+(r-10)/9)= 1+(r-10)/9s$ 
�~$R_1(s)=(r-s)/s$. �~\eqref[8] �������, ���
\EQ{
 \abs{P_1(10^n s) - S_1(s)} = O(n)/10^n;
}
��� ���������� ����� ���~$m=1$.

~$m > 1$ �����
\EQ{
P_m(10^n s) = 
 {1\over s} \left( 
   \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} 
   \sum_{10^j \le k < 10^{j+1}} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) 
   + \sum_{10^n \le k \le 10^n s} {1\over 10^n} P_{m-1}(k) 
 \right).
}
� ����� ������� ��� ��������. ��������
\EQ[13]{
 \abs{
  \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) 
  - \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} S_{m-1} 
      \left({k \over 10^j}\right)
 }
}
������~$(q-1)\varepsilon$, �����~$1 \le q \le 10$ 
�~$j > N_{m-1}(\varepsilon)$,  � ��������� �������~$S_{m-1}(t)$ ���������� � 
������ ������������ �� ������, �� ��������
\EQ[14]
{
 \abs{ 
  \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1 \over 10^j} S_{m-1} 
    \left({k\over 10^j}\right) -\int_1^q S_{m-1}(t)\,dt
 }
}
������~$\varepsilon$ ��� ����~$j$, ������� ���������� �����~$N$, �� 
���������� ��~$q$. � ����� �������~$N$ �������, 
���~$N_{m-1}(\varepsilon)$. 񋅄���������, ���~$n > N$ ��������
\EQ[15]{
 \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} 
 \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt+\int_1^s S_{m-1}(t)\,dt\right)}
}
���������� ���������
\EQ{
 \sum_{0 \le j \le N} {M \over 10^{n-j}}+\sum_{N<j<n} {10 \varepsilon \over 10^{n-j}} + 10 \varepsilon,
}
����~$M$ ��� ����~$j$ ������ ������� �������� ��� �����~$\hbox{\eqref[13]}+\hbox{\eqref[14]}$.
퀊����, �����~$\sum_{0\le j < n} (1/10^{n-j})$, ������������ �~\eqref[15],
�����~%
%% 277
$(1-1/10^n)/9$. ���� ��������
\EQ{
 \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt + \int_1^s S_{m-1}(t)\,dt \right) }
}
���������� ������~$(10/9) (10\varepsilon)$ ��� ���������� �������~$n$. 
񎏎������� ��� �~\eqref[10] �~\eqref[11], �����, ��� ��� ��������.
\proofend

񓒜 �����~Q---����������� � ������������� �������
\EQ[16]
{
 \lim_{n\to\infty} P_m(10^n s) = S_m(s).
}
��� ����� ���� ��� �������~$S_m(s)$ �� �������� ���������� ��� 
���������~$s$, ������
\EQ{
 \lim_{n\to\infty} P_m(n),
}
������� ��� �� ���� ����� �������� "������������", �� ���������� �� ��� 
������~$m$. � ����������� �������� ���� �������������
\picture{���.~5.   ⅐�������� ����, ��� ������� �������� ����� ����� 1.}
���.~5, ������������ ��������~$S_m(s)$ ��� �����~$m$ �~$r=2$.

���� �������~$S_m(s)$ � �� ���������, ��� ��� �~$P_m(n)$ �� ���������� 
�������, �� ����� �� ���.~5, ��� ��� ���~$m=3$  ��������~$S_m(s)$ �������� 
��� ����� ����� ������� �~$\log_{10} 2 = 0.30103\ldots\,$. 񋅄���������, 
� ��� ���� ��������� ��������� ������������, ��� �������~$S_m(s)$ ����� 
������ �~$\log_{10} r$ ��� �������~$m$ � ���� ��� ������������������ 
�������~$\<S_m(s)>$  ���������� �������� � ���������� �������~$\log_{10} r$.

荒������ �������� ��� �������� ����� �����������~$Q_m(s)$  �~$R_m(s)$ ��� 
����~$m$, ��� � �������� � �������������� ��������� �������.

%% 278

\proclaim 򅎐���~F. 䋟 �������~$\varepsilon>0$ �������� ����� �����~$N$, ���
\EQ[17]{
 \abs{P_m(n) - \log_{10} r} < \varepsilon
}
���~$m$,~$n>N$.

\proof ₈�� �����~Q, ���� ��������� ����� �������, ���� �� ������ 
��������, ��� ���������� ����� �����~$M$, ��������� ��~$\varepsilon$, 
��� ��� ����~$s$ �� ���������~$1 \le s \le 10$ � ����~$m > M$ ����������� 
�����������
\EQ[18]
{
 \abs{Q_m(s) - \log_{10} r} < \varepsilon \hbox{ � } \abs{R_m(s)} < \varepsilon.
}

獀�����~$R_m$ �������� ���������� �� ������������ �������~\eqref[11]. � 
����� ����, �����~$R_0(s)=-1$, $R_1(s)=-1+r/s$, 
$R_2(s) = -1 + (r/s)(1+\ln (s/r))$ � ������
\EQ[19]{
 R_m(s) = -1 + {r \over s} \left(1+{1\over 1!}\ln\left({s \over r}\right) + 
 {1\over 2!} \left(\ln \left({s\over r}\right)\right)^2+ \cdots + {1 \over (m-1)!} 
  \left( \ln\left({s\over r}\right)\right)^{m-1}\right).
}
䋟 ��������~$s$ �� ���������� ��������� ��� ������� ���������� �������� �
\EQ{
 -1 + (r/s) \exp (\ln (s/r)) = 0.
}

������������ �������~\eqref[11] ���~$Q_m$ ��������� ���
\EQ[20]{
 Q_m(s) = {1\over s} \left( c_m + 1 + \int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt\right),
}
���
\EQ[21]{
 c_m = {1\over 9} \left( \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt + \int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt \right) -1.
}
������� ��� ������ ����� ������������������, ������������ ������������ 
��������~\eqref[20], ����� ��������� ��� �����; ���� �������� ������� 
��������� ��� ���������� ������ ������, ����������, ������ ����� �������, 
� �������� �� �� ��������;
�� �������, ���
\EQ[22]{
 Q_m(s) = 1 + {1\over s} \left( c_m + {1\over 1!}c_{m-1}\ln s 
            + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \cdots + {1\over (m-1)!} (\ln s)^{m-1}\right).
}

퀌 �������� ������ ��������� ������������~$c_m$, ������� � ���� 
������~\eqref[19], \eqref[21] �~\eqref[22] ������������� ������������
\EQ[23]{
 \displaynarrow{
      c_1 = (r-10)/9,\cr
  c_{m+1} = {1\over 9} 
            \left( 
                c_m \ln 10 + {1\over 2!}c_{m-1}(\ln 10)^2
                + \cdots + {1\over m!}c_1(\ln 10)^m 
                + r \left( 
                        1+ {1\over 1!} \ln {10\over r} 
                        + \cdots + {1\over m!} 
                           \left( \ln {10 \over r} \right)^m 
                    \right) 
                - 10 
            \right).\cr
 }
}
%% 279
��� ������������������ ������� ����� �������, ������ � ���������������� 
�� ����� ��� ����� ����������� ��� ������ ������������ �������. ����
\EQ{
 C(z) = c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + \ldots \, .
}
₈�� ���������~$10^z = 1 + z\ln 10 + z^2 (1/2!) (\ln 10)^2 + \ldots\,$, 
�� ���������, ���
\EQ{
c_{m+1} = {1\over 10}c_{m+1} + {9\over 10}c_{m+1} 
        = {1\over 10} \left(c_{m+1} + c_m \ln 10 + \cdots 
          + {1\over m!} c_1 (\ln 10)^m\right) + {r\over 10} 
            \left(1+\cdots+{1\over m!}\left(\ln {10\over r}\right)^m\right) - 1
}
���� ����������� ���~$z^{m+1}$ � ���������� �������
\EQ[24]{
 {1\over 10} C(z) 10^z + {rz \over 10} \left({10\over r}\right)^z 
  \left({1\over 1-z}\right) - {1\over 1-z}.
}
��� ������� ����������� ��� ���� ��������~$m$, ��� ���~\eqref[24]  ������ 
���������~$C(z)$, � �� �������� ����� �������
\EQ[25]{
 C(z) = { -z \over 1-z} \left( {(10/r)^{z-1} -1 \over 10^{z-1}-1}\right).
}

����� ��������� ��� ������, ��� ���� ������� ��������������� �������� 
�������������~$C(z)$. 䐎�� � ������� � ���������~\eqref[25] ��������� 
���~$z \to 1$ �~$\ln (10/r) / \ln 10 = 1 - \log_{10} r$,  ������ �������, ���
\EQ[26]{
 C(z) + {1 - \log_{10} r \over 1 - r} = R(z)
}
���� ������������� ������� ����������� ����������~$z$ � �����
\EQ{
 \abs{z} < \abs{1+{2 \pi i \over \ln 10}}.
}
� ���������, ���������� �������~$R(z)$ �������� ���~$z=1$, ��� ��� �� 
������������ ��������� � ����. ��� ����������, ��� ������������ 
�������~$C(z)$ ����� ���� ��� ������������ �������~$(\log_{10} r - 1)/(1-z)$, 
��� ���
\EQ{
 \lim_{m \to \infty} c_m = \log_{10} r -1.
}

퀊����, ����������� ���� ��������� � ��������~\eqref[22], ��������, ��� 
$Q_m(s)$~��������� �
\EQ{
 1 + { \log_{10} r -1 \over s} \left( 1+ \ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \ldots \right) 
 = \log_{10} r
}
���������� �� �������~$1 \le s \le 10$. 
\proofend

蒀�, �� �������� ������ ����������� ��� ��������������� ����� ��� ����� 
�����, ������ ������������ ����������, ���, ���� �� ������ ����� ������� 
������������ ��� ��������
%% 280
������������ ���������, � �������� �� ������� �� �����������. ����������� 
���������� ��� ������: ������������� ���� ������������ �.~􀐐� � 
X.~㓐����� [Nature, {\bf 155} (Jan.~13, 1945), 52--53]. 䎊����������� 
�����~Q � �������~F, ������� ���� ����� ���������, ������������ ����� 
���������� � ���������� ������� �����������, ������������� ᅒ�� 䆈� 
􋅕����� [{\sl AMM,\/} {\bf 73} (1966), 1056--1061]. 䐓��� ���������� 
������ � ��������������, ��������� � ��������� ������, ��� 
��������� ������~�.~ꎍ������ [{\sl Math. Comp.,\/} {\bf 19} (1965), 143--144].

\excercises
\ex[13] 呋�~$u$ �~$v$---���������� ����� � ��������� ������, ������� ���� � 
��� �� ����, �� ������, �������� �������� 񓈍�, ������������ �������� 
����������� ����, ��� ��� ���������� ��������~$u \oplus v$ ���������� 
������������ ������� �����?

\ex[40] ������ ���������� ������������ �� ��������� � ���������� ����� 
� ��������� ������ ��� ��������� ������ 񓈍�.

\ex[15] 퀉����, ������ �� ���������������� ������, ����������� ����, ��� 
��� ��������� ����� ����������� ����� � ��������� ������ ����~"$23$".

\ex[18] � ������ ��������, ��� ��������� �������� ���������� 
������������ ������ ���������� ��������� � ������� �������, ��� 
��������� ��������. � ���� �� �� �������� ������ ����� � �������� 
\emph{��������������,} �.~�.~��������, ������� ��� ������� 
��������~$\log_{10} x$ ��������� ��������~$x$, ����� �������� ���� �� 
����� ������ ������������?

\rex[�20] ��������, ��� ������������ �����~$U$ ���������� 
������������ � ���������~$0 < U < 1$. ꀊ��� ������������� �������� 
�������� �����~$U$?

\ex[22] 呋� �� ���� ����� �������� ��� ��������� $n+1$~�����, �� �� ����� 
�� ������������ $p$~����� ��� ������������� ������� ����� �������� ����� � 
��������� ������, ���� ��� ��� ����� � $n-p$~����� ��� ����������.  ��� 
��������, ��� �������� ��������� ������������ ��������, �.~�.\ ��������� 
����������� �������������� ���������������� �������� � �����������, �� 
�������� �����~$2^{2^{n-p}}$. To �� �������� ����� ����� ���� �� 
������������ � ��� ������������� \emph{�����������������} ����� � 
��������� ������, ������� $p+2$~����� ��� ������� ����� 
($(p+2)/4$~����������������� ����) � $n-p-2$~����� ��� ����������; ����� 
�������� ��������� �������� ��� ��~$16^{2^{n-p-2}}=2^{2^{n-p}}$, �.~�.\ ��� ��, 
��� � ������, ������ � ������� ������ ����� � ������� �����. 쎆�� 
���������� �����������, ��� �� �������� ���-�� �� ������, ������ ������� 
������������ � ������ ���������~$16$ ������ � ��� ������, ��� ������� 
����� ����� ��������� ���� � ���� �������� �������� �����; ����� �������, 
�� ��� �� $p+2$~����� "��������".
 \hiddenpar
葕��� �� ���������������� ������, ��������, ������ ����������� ����, ��� 
������� ����� �������������� ���������������� ������������������ ����� � 
��������� ������ ����� � �������� $0$, $1$, $2$ �~$3$~������� 
�������� �������� ����? �������� �� ���������, ���������� � ���� ������,
�������� ������ � ������������ ����������������� ������� � ��������� � ��������.

\ex[��28] 䎊�����, ��� �� ���������� ������� �������������~$F(u)$, 
��������������� �����������~\eqref[5] ��� ������� ������ �����~$b\ge 2$ � 
��� ���� ������������ ��������~$r$ �� ���������~$1 \le r \le b$.

\ex[�23] ⛏�������� �� �����������~\eqref[10] ���~$m=0$ ��� 
��������������� ������� ����������~$N_0(\varepsilon)$?

\ex[��24] ��~$\<x_n>$---������������ ������������������ 
������������ �����, �����, ��� 
������~$\lim_{n\to \infty} x_{\floor{10^n s}} = q(s)$ 
���������� ��� ����~$s$ �� �����-
%% 281

\bye