овместимость   требуемых  свойств.  (ќто,   по  существу,
современное мнение, выработанное всеобщими усилиЯми,  математик  „жон •ортон
Љонуэй  грубо  назвал   "„вижением   ЋсвобождениЯ   "Њатематиков").   Ћднако
общеизвестно, что никто не  <i>доказал</i> и то, что обычнаЯ арифметика натуральных
чисел ЯвлЯетсЯ самосогласованной.
     Џодобным  разногласиЯм   подверглась  и  обоснованность   использованиЯ
бесконечных чисел, а  также множеств, содержащих бесконечно много элементов,
и бесконечно малых  величин, используемых при  исчислении.  „эвид  ѓильберт,
великий немецкий математик, предоставивший большую  часть инфраструктуры как
общей  теории  относительности,   так   и  квантовой  теории,  заметил,  что
"математическаЯ   литература   переполнена   бессмыслицами   и  нелепостЯми,
проистекающими из бесконечности". Ќекоторые математики, как мы увидим, вовсе
отрицали обоснованность рассуждениЯ  о бесконечных категориЯх. ‹егкий доступ
к чистой математике в девЯтнадцатом веке мало что сделал длЯ разрешениЯ этих
разногласий. Ќапротив, он только усугубил их и породил новые. Џо мере своего
усложнениЯ математическое рассуждение  неизбежно  удалЯлось  от повседневной
интуиции, что  возымело  два  важных противоположных  следствиЯ.  ‚о-первых,
математики стали более  педантичными  в  отношении  доказательств,  которые,
прежде чем  быть принЯтыми, подвергались  все  более  суровым  проверкам  на
соответствие нормам  точности. Ќо  во-вторых,  изобрели  более мощные <i>методы</i>
доказательства,   которые  не  всегда  можно  было   обосновать   с  помощью
существующих  методов.  €  из-за  этого  часто  возникали  сомнениЯ,  был ли
какой-то  частный метод доказательства, несмотрЯ  на  свою  самоочевидность,
абсолютно безошибочным.
     ’аким  образом, к 1900  году  наступил кризис основ математики, который
заключалсЯ  в том, что этих основ  не было. Ќо  что же произошло  с законами
чистой логики? €х перестали считать способными разрешить все  математические
споры?  “дивителен тот факт,  что теперь математические споры  в сущности  и
велись  о  "законах  чистой логики".  Џервым  эти законы  привел  в  систему
Ђристотель еще в 4 веке до н.э., тем самым  заложив то, что сегоднЯ называют
<i>теорией доказательства.</i> Ћн допустил,  что доказательство  должно состоЯть из
последовательности  утверждений,  котораЯ начинаетсЯ с каких-либо  посылок и
определений,  а  заканчиваетсЯ  желаемым  выводом. —тобы  последовательность
утверждений была  обоснованным  доказательством,  каждое  утверждение, кроме
начальных посылок, должно следовать  из предыдущих в соответствии с одним из
постоЯнного набора  законов, называемых <i>силлогизмами.</i> ’ипичным был следующий
силлогизм
     <i>‚се люди смертны.</i>
     <i>‘ократ -- человек.</i>
     [‘ледовательно] <i>‘ократ смертен.</i>
     „ругими  словами,  это  правило  гласило,  что  если  в  доказательстве
поЯвлЯетсЯ  утверждение  вида "все  Ђ имеют свойство ‚" (как в данном случае
"все люди  смертны") и другое утверждение вида "индивидуум • есть Ђ" (как  в
данном  случае  "‘ократ  --  человек"),  то  впоследствии  в  доказательстве
обоснованно поЯвление утверждениЯ "X имеет свойство ‚" ("‘ократ смертен"), и
это  утверждение, в частности,  ЯвлЯетсЯ  обоснованным  выводом.  ‘иллогизмы
выражают  то, что  мы  назвали  бы  <i>правилами  вывода,</i>  то  есть  правилами,
определЯющими  этапы,  которые  допустимы  при  доказательстве, такими,  что
истина посылок переходит к выводам. Љроме того, эти правила можно применить,
чтобы определить, обосновано ли данное доказательство.
     Ђристотель заЯвил, что все обоснованные доказательства можно выразить в
виде силлогизмов.  Ќо он не доказал это!  Ђ  проблема теории  „оказательства
заключалась в том, что очень небольшое количество современных математических
доказательств выражались в виде чистой последовательности силлогизмов; более
того, большинство  из них  невозможно было привести к  такому  виду. ’ем  не
менее, большинство  Њатематиков  не могли  заставить  себЯ  следовать  букве
закона ЂристотелЯ, так как  некоторые новые  доказательства казались так  же
самоочевидно обоснованными, как и рассуждение ЂристотелЯ. Њатематики перешли
на новый этап развитиЯ. Ќовые инструменты, такие, как символическаЯ логика и
теориЯ   множеств,  позволили  математикам  установить   новую  свЯзь  между
математическими структурами.  ЃлагодарЯ этому поЯвились  новые самоочевидные
истины,  независимые  от  классических  правил  вывода,  и,  таким  образом,
классические правила оказались  самоочевидно неадекватными.  Ќо какие же  из
новых методов доказательства  были  действительно  безошибочными?  Љак нужно
было  изменить  правила вывода, чтобы они  обрели законченность,  на которую
ошибочно претендовал Ђристотель? Љак можно было вернуть абсолютный авторитет
старых правил,  если математики  не  могли прийти  к соглашению относительно
того, что ЯвлЯетсЯ самоочевидным, а что бессмысленным?
     ’ем временем  математики  продолжали строить свои  абстрактные небесные
замки.  „лЯ  практических целей  многие  такие строениЯ казались  достаточно
надежными.  Ќекоторые  из  них стали  необходимы  длЯ  науки  и  техники,  а
большинство  образовало  красивую и плодотворную  структуру.  ’ем  не менее,
никто не мог гарантировать, что всЯ эта структура, или какаЯ-то существеннаЯ
ее  часть,  не  имела  в  своей  основе  логического  противоречиЯ,  которое
буквально лишило бы  ее всЯкого смысла. ‚ 1902 году Ѓертран  ђассел  доказал
несостоЯтельность схемы строгого определениЯ теории множеств, которую только
что предложил немецкий  логик  ѓотлоб ”реге. ќто не значило,  что  эта схема
непременно была необоснованной длЯ использованиЯ множеств в доказательствах.
Ќа самом деле совсем немногие  математики всерьез считали, что хоть какой-то
из обычных  способов использованиЯ  множеств, арифметики или других ключевых
разделов  математики  может  быть  необоснованным.   ‚  результатах  ђассела
поражало то, что  математики верили, что их предмет ЯвлЯетсЯ <i>par  excellence</i>
средством   получениЯ   абсолютной   определенности   через   доказательство
математических    теорем.    ‘ама   возможность   разногласий   относительно
обоснованности различных  методов  доказательства подрывала  всю  суть  (как
считалось) предмета.
     Џоэтому  многие  математики  чувствовали,  что  подведение  под  теорию
доказательства, а тем самым и  под  саму  математику,  надежной основы  было
насущным делом, не терпЯщим  отлагательства.  Ћни  хотели объединитьсЯ после
своих опрометчивых выпадов,  чтобы  раз  и  навсегда определить, какие  виды
доказательства ЯвлЯютсЯ абсолютно надежными, а какие нет. ‚се, что оказалось
вне  зоны надежности,  можно было бы отбросить,  а все, что  попадало в  эту
зону, стало бы единственной основой всей будущей математики.
     ‚  этой   свЯзи   голландский   математик  ‹ейтзен  ќгберт   џн  Ѓрауэр
пропагандировал чрезвычайно консервативную  стратегию теории доказательства,
известную как  <i>интуиционизм,</i> котораЯ и по сей день  имеет своих сторонников.
€нтуиционисты пытаютсЯ толковать  "интуицию"  самым ограниченным  постижимым
образом,  оставлЯЯ лишь  то, что они считают ее  неоспоримыми самоочевидными
аспектами.  ‡атем они поднимают  таким  образом определенную  математическую
интуицию  на  уровень даже  более  высокий,  чем позволЯл себе  Џлатон:  они
считают ее более веской, чем даже чистаЯ логика. ’аким  образом, они считают
саму  логику  ненадежной,  за исключением  тех  случаев, когда ее доказывает
прЯмаЯ математическаЯ  интуициЯ. Ќапример, интуиционисты отрицают, что можно
иметь прЯмую  интуицию какой-либо бесконечной категории.  ‘ледовательно, они
отрицают существование любых бесконечных множеств, например,  множества всех
натуральных  чисел.  ‚ысказывание  о том,  что "существует  бесконечно много
натуральных чисел", они сочли бы самоочевидно  ложным. Ђ высказывание о том,
что  "существует больше сред  Љантгоуту, чем физически  возможных  сред", --
абсолютно бессмысленным.
     €сторически  интуиционизм,  равно  как  и  индуктивизм,  сыграл  ценную
освободительную   роль.  Ћн  осмелилсЯ   подвергнуть   сомнению   полученные
определенности  -- некоторые из  которых действительно оказались ложными. Ќо
как  позитивнаЯ теориЯ  о том,  что ЯвлЯетсЯ  или не  ЯвлЯетсЯ  обоснованным
математическим   доказательством,  он   и   гроша   ломаного  не  стоит.   ‚
действительности  интуиционизм   --  это  точное   выражение   солипсизма  в
математике. ‚  обоих случаЯх наблюдаетсЯ —резмернаЯ реакциЯ на мысль о  том,
что  мы не можем быть  <i>уверены</i> в том, что нам  известно  о более  отдаленном
мире.  ‚ обоих  случаЯх предложенное решение состоит  в  том,  чтобы уйти во
внутренний мир,  который  мы, предположительно, можем  познать  напрЯмую,  и
следовательно (?), можем быть уверены,  что познали истину.  ‚ обоих случаЯх
решение заключаетсЯ в отрицании существованиЯ  -- или,  по  крайней Њере,  в
отказе от объЯснениЯ -- того, что  находитсЯ вовне. € в  обоих случаЯх  этот
отказ также делает невозможным  объЯснение большей —асти того, что находитсЯ
внутри  предпочитаемой области.  Ќапример, если действительно  ложно то (как
утверждают  интуиционисты),  что  существует  бесконечно  много  натуральных
чисел,  то  можно сделать  вывод,  что  может существовать  только  конечное
множество  таких чисел. Ђ сколько их может быть? €  потом, сколько бы  их не
было,   почему  нельзЯ   создать  интуицию  следующего  натурального  числа,
превышающего последнее? €нтуиционисты оправдались бы в  этом случае, сказав,
что  приведенный  мной аргумент  допускает обоснованность  обычной логики. ‚
частности,  он  содержит  процесс  вывода:  из   факта,  что  не  существует
бесконечно  много натуральных чисел, делаетсЯ вывод, что должно существовать
какое-то  конкретное  количество  натуральных чисел.  ЏрименЯемое  в  данном
случае  правило вывода называетсЯ <i>законом исключенного третьего.</i> ќтот  закон
гласит,  что  длЯ  любого высказываниЯ •  (например,  "существует бесконечно
много  натуральных  чисел"),  не   существует  третьей   возможности   кроме
истинности  •  и  истинности  отрицаниЯ  • ("существует  конечное  множество
натуральных чисел").  €нтуиционисты хладнокровно отрицают закон исключенного
третьего.
     Џоскольку в разуме большинства людей  сам  закон  исключенного третьего
подкреплен   мощной  интуицией,   его   отрицание  естественно  вызывает   у
неинтуиционистов сомнение в том, так  ли уж самоочевидна надежность интуиции
интуиционистов. €ли, если мы сочтем, что закон исключенного третьего исходит
из  <i>логической</i>  интуиции,  он  приводит  нас к  пересмотру  вопроса  о  том,
действительно  ли математическаЯ интуициЯ превосходит логику. ‚ любом случае
может ли это превосходство быть <i>самоочевидным?</i>
     Ќо   все  это  направлено   на  критику  интуиционизма  извне.  ќто  не
опровержение:  интуиционизм невозможно  опровергнуть вообще.  …сли  кто-либо
настаивает, что длЯ  него  очевидно самосогласованное высказывание, как если
бы  он настаивал  на  том,  что  существует  только  он  один,  доказать его
неправоту невозможно. Ћднако, как и в случае с солипсизмом, воистину роковаЯ
ошибка интуиционизма открываетсЯ  не тогда, когда на него нападают, а тогда,
когда его  всерьез  принимают, на  его  же  собственной  основе,  в качестве
объЯснениЯ  своего собственного, произвольно  усеченного мира. €нтуиционисты
верЯт в  реальность конечного множества натуральных чисел 1, 2,  3. ...  , и
даже  10949769651859. Ќо интуитивный аргумент, что поскольку  за  каждым  из
этих   чисел   следует   еще   одно,   значит,   они   образуют  бесконечную
последовательность,  €нтуиционисты  считают  не  более чем  самообманом  или
искусственностью  и буквально несостоЯтельным. Ќо усиливаЯ свЯзь между своей
версией абстрактных  "натуральных чисел" и интуицией,  что первоначально эти
числа должны  были  быть  формализованы,  интуиционисты также сами  отрицают
обычную  объЯснительную структуру, через которую понимают натуральные числа.
ќто вызывает проблему длЯ каждого, кто предпочитает объЯснениЯ необъЯсненным
усложнениЯм.  ‚место  того   чтобы  решить  эту  проблему,  предоставив  длЯ
натуральных   чисел   альтернативную  или   более   глубокую  объЯснительную
структуру, интуиционизм  делает  то же самое, что  делала €нквизициЯ  и  что
делали солипсисты: он  еще дальше уходит от объЯснений. Ћн вводит дальнейшие
необъЯсненные усложнениЯ  (в  данном  случае отрицание  закона  исключенного
третьего),  единственнаЯ  цель  которых  состоит  в  том,   чтобы  позволить
интуиционистам вести  себЯ  так, как если  бы объЯснениЯ их противников были
истинными, но не делаЯ из этого никаких выводов относительно реальности.
     ’очно  так же  как  солипсизм начинаетсЯ с мотивации упрощениЯ  пугающе
разнообразного  и неопределенного  мира,  но  при серьезном к нему отношении
оказываетсЯ реализмом в <i>сочетании</i> с  несколькими ненужными усложнениЯми, так
и   интуиционизм   оканчиваетсЯ  тем,   что   становитсЯ   одной  из   самых
контринтуитивных доктрин, которые когда-либо всерьез пропагандировали.
     „эвид  ѓильберт предложил гораздо более разумный  --  хотЯ, в  конечном
счете,  и  обреченный   --  план  "раз  и  навсегда  ввести  убежденность  в
математических методах". Џлан ѓильберта основывалсЯ на идее согласованности.
Ћн надеЯлсЯ составить полный набор  современных правил вывода математических
доказательств  с  определенными  свойствами.  Љоличество таких правил должно
было быть  конечным. Ћни  „олжны  были  быть  применимы напрЯмую,  так чтобы
определить,  удовлетворЯет  ли им какое-то  предложенное  доказательство, не
составлЯло  бы труда  и  не  вызывало противоречий.  †елательно,  чтобы  эти
правила  были  интуитивно  самоочевидными, но  это  не  было  первостепенным
требованием  длЯ  прагматичного ѓильберта.  Ћн был бы удовлетворен,  если бы
правила лишь умеренно соответствовали интуиции  при условии, что  он мог  бы
быть  уверен  в их самосогласованности.  ’о есть,  если  правила  определили
данное  доказательство как  обоснованное,  он  хотел  быть уверен,  что  они
никогда  не  определЯт   как  обоснованное  любое  другое  доказательство  с
противоположным  выводом.  Љак он  мог  быть  “верен  в этом?  Ќа  этот  раз
согласованность  должна была быть <i>доказана с</i> помощью  метода доказательства,
который сам  придерживалсЯ  тех  же правил вывода.  ’аким  образом, ѓильберт
надеЯлсЯ  восстановить завершенность  и определенность  ЂристотелЯ. Ћн также
надеЯлсЯ,  что  с помощью  этих правил будет,  в  принципе,  доказуемо любое
истинное  математическое  утверждение  и  не  будет  доказуемо  любое ложное
утверждение.  ‚ 1900 году в  ознаменование начала века ѓильберт  опубликовал
список задач, которые, как он надеЯлсЯ, математики смогут решить в двадцатом
веке.  „есЯтаЯ  задача  заключалась  в  нахождении набора  правил  вывода  с
вышеуказанными свойствами и доказательстве их состоЯтельности в соответствии
с их собственными нормами.
     ѓильберту было предначертано пережить разочарование. ’ридцать  один год
спустЯ  Љурт ѓедель создал  революционную  теорию доказательства  с коренным
опровержением,  котораЯ  до   сих   пор   ЯвлЯетсЯ  отправной   точкой   длЯ
математического  и  физического  миров:  он   доказал,  что  десЯтаЯ  задача
ѓильберта  не имеет  решениЯ.  ‚о-первых, ѓедель  доказал, что  любой  набор
правил вывода,  способный правильно обосновать даже  доказательства  обычной
арифметики,  никогда  не сможет  обосновать доказательство своей собственной
согласованности.   ‘ледовательно,   нечего  и  надеЯтьсЯ   найти   доказуемо
согласованный  набор правил, который предвидел  ѓильберт. ‚о-вторых,  ѓедель
доказал,  что  если  какой-то  набор  правил вывода в  некоторой (достаточно
обширной) области  математики <i>ЯвлЯетсЯ</i> согласованным (неважно, доказуемо это
или нет), то в пределах этой области должны существовать обоснованные методы
доказательства,  которые  эти правила  не могут определить как обоснованные.
ќто называетсЯ <i>теоремой ѓеделЯ о неполноте.</i> „лЯ доказательства своих  теорем
ѓедель пользовалсЯ замечательным  расширением "диагонального доказательства"
Љантора, о котором Я упоминал в главе  6. Ћн  начал  с  рассмотрениЯ  любого
согласованного  набора  правил  вывода.  ‡атем  он  показал,  как  составить
утверждение, которое невозможно ни доказать, ни  опровергнуть с помощью этих
правил. ‡атем он доказал, что это высказывание истинно.
     …сли бы программа ѓильберта работала, это было  бы  плохой новостью длЯ
концепции реальности, выдвигаемой мной в этой книге, поскольку это устранило
бы  необходимость <i>пониманиЯ</i> при  критике математических идей. Љто угодно  --
или какаЯ  угодно  неразумнаЯ машина, -- способный  выучить наизусть правила
вывода,  на которые  так надеЯлсЯ ѓильберт, смог бы так же хорошо  оценивать
математические  высказываниЯ, как и самый способный математик, не нуждаЯсь в
математическом  понимании  или даже  не  имеЯ  самого отдаленного  понЯтиЯ о
смысле  этого высказываниЯ.  ‚  принципе,  было  бы  возможно  делать  новые
математические открытиЯ, не  знаЯ математики вообще,  а знаЯ  только правила
ѓильберта.  Њожно было  бы  просто проверЯть  все  возможные строки  букв  и
математических  символов  в  алфавитном   порЯдке,  пока  одна  из  них   не
удовлетворила бы проверке на то, ЯвлЯетсЯ ли она  доказательством какой-либо
знаменитой  недоказанной гипотезы  или  нет. ‚ принципе,  так можно было  бы
уладить любое разногласие в математике, даже  не понимаЯ его  смысла -- даже
не знаЯ  значениЯ  символов,  не  говорЯ  уж  о понимании  принципа действиЯ
доказательства или того, что  оно доказывает, или  в чем  заключаетсЯ  метод
доказательства, или почему оно надежно.
     Њожет  показатьсЯ,  что   достижение   единых  норм  доказательства   в
математике могло бы,  по  крайней мере, помочь нам во всеобщем стремлении  к
объединению -- то  есть "углублению" нашего знаниЯ, на которое  Я ссылалсЯ в
главе 1. Ћднако происходит обратное. Џодобно предсказательной "теории всего"
в  физике,  правила  ѓильберта  почти ничего не  сказали бы нам  о структуре
реальности. Ћни  реализовали  бы, в пределах  математики, предельное видение
редукционистов, предсказывающее все (в принципе), но ничего не  объЯснЯющее.
Ѓолее  того,  если  бы  математика  была  редукционистской  наукой,  то  все
нежелаемые черты, которые, как Я  доказал в главе 1, отсутствуют в структуре
человеческого знаниЯ,  присутствовали бы в  математике:  математические идеи
создали  бы  иерархию,   в  основе  которой  лежали   бы  правила  ѓилберта.
Њатематические истины, проверка которых, исходЯ из этих правил, оказалась бы
очень  сложна, стали  бы объективно менее фундаментальными,  чем те, которые
можно было бы  немедленно  проверить с  помощью этих  правил.  Џоскольку мог
существовать только конечный набор таких фундаментальных истин,  со временем
математике  пришлось бы  заниматьсЯ даже  менее  фундаментальными  задачами.
Њатематика  вполне могла исчерпать  себЯ при этой зловещей гипотезе. …сли бы
этого не  произошло, она неизбежно  распалась  бы  на  даже более загадочные
специализации,  по мере  увеличениЯ сложности "исходЯщих" вопросов,  которые
математики были бы вынуждены решать,  и по мере еще большего  отдалениЯ этих
вопросов от основ самого предмета.
     ЃлагодарЯ  ѓеделю  мы  знаем, что никогда не  будет непреложного метода
определениЯ  истинности  математического  высказываниЯ, как  не существует и
непреложного метода определениЯ  истинности  научной  теории. Љак никогда не
будет   и  непреложного   метода  созданиЯ  нового  математического  знаниЯ.
‘ледовательно,   математический    прогресс   всегда   будет   зависеть   от
использованиЯ  творчества. €зобретение  новых  видов  доказательства  всегда
будет возможно и необходимо  длЯ математиков. Ћни будут  обосновывать  их  с
помощью  новых аргументов и  новых  способов  объЯснениЯ,  зависЯщих  от  их
непрерывно  увеличивающегосЯ пониманиЯ абстрактных  категорий,  свЯзанных  с
этим доказательством. Џримером служат  теоремы самого ѓеделЯ: чтобы доказать
их, ему пришлось  изобрести новый метод доказательства. џ  сказал,  что этот
метод был основан  на "диагональном доказательстве", однако ѓедель по-новому
расширил  это  доказательство.  „о него  так ничего  не  доказывали; никакие
правила  вывода, составленные кем-либо, кто никогда  не видел метода ѓеделЯ,
не могли бы определить его как обоснованный. Ћднако он <i>ЯвлЯетсЯ</i> самоочевидно
обоснованным.  Ћткуда исходит эта самоочевидность? Ћна исходит из  пониманиЯ
ѓеделем природы доказательства. „оказательства ѓеделЯ так же неоспоримы, как
и любые другие математические доказательства, но только длЯ того, кто прежде
поймет сопровождающее их объЯснение.
     ’аким образом, объЯснение  все-таки  играет ту  же самую первостепенную
роль  в чистой математике, как оно играет ее в науке. ЋбъЯснение и понимание
мира -- физического мира и мира математических абстракций -- в обоих случаЯх
ЯвлЯетсЯ целью  изучениЯ.  „оказательство  и наблюдениЯ  -- это  всего  лишь
средства проверки наших объЯснений.
     ђоджер  Џенроуз  извлек  из  результатов  ѓеделЯ  еще  более  глубокий,
радикальный  и  достойный Џлатона  урок.  Љак и  Џлатона, Џенроуза восхищает
способность   человеческого  разума  постигать  абстрактные   определенности
математики.  ‚ отличие от  Џлатона Џенроуз не  верит  в сверхъестественное и
принимает как само собой разумеющеесЯ,  что мозг -- часть естественного мира
и имеет доступ только к этому миру. ’аким образом,  задача  длЯ  него встает
даже более остро, чем длЯ Џлатона:  как  может беспорЯдочный, ненадежный мир
давать математические определенности такой беспорЯдочной и ненадежной  части
себЯ, какой ЯвлЯетсЯ математик? ‚ частности, Џенроуза удивлЯет, как мы можем
понЯть безошибочность новых обоснованных  <i>форм</i> доказательства, которых,  как
уверЯет ѓедель, бесконечно много.
     Џенроуз все  еще  работает над подробным  ответом,  но он заЯвлЯет, что
само   существование   свободной   математической   интуиции   такого   рода
фундаментально несовместимо с существующей структурой физики и, в частности,
с принципом ’ьюринга. ‚кратце его доказательство выглЯдит примерно так. …сли
принцип ’ьюринга истинный, то мы  можем рассматривать мозг  (подобно  любому
другому  объекту)  как  компьютер,  обрабатывающий  определенную  программу.
‚заимодействиЯ  мозга  с окружающей средой составлЯют  вводимые и  выводимые
данные. ’еперь  рассмотрим математика в процессе решениЯ,  обоснован или нет
недавно   предложенный   вид   доказательства.   ЏринЯтие   такого   решениЯ
эквивалентно обработке  компьютерной программы обоснованиЯ доказательства  в
мозге математика.  ’акаЯ  программа реализует набор правил вывода ѓильберта,
которые, в соответствии с теоремой ѓеделЯ, не могут быть законченными. Ѓолее
того,   как  Я   уже   сказал,  ѓедель   предоставлЯет   способ  созданиЯ  и
доказательства  истинного  высказываниЯ, которое  эти  правила  не  способны
признать  доказанным.  ‘ледовательно,  математик,  разум  которого  ЯвлЯетсЯ
эффективным  компьютером,  применЯющим эти правила, также никогда не  сможет
признать  это высказывание  доказанным.  ‡атем  Џенроуз предлагает  показать
этому   самому  математику  это  высказывание  и  метод  доказательства  его
истинности  ѓеделем.   Њатематик  понимает  доказательство.   Ћно   все-таки
самоочевидно  обоснованно, поэтому математик, вероЯтно, сможет  увидеть, что
оно  обоснованно. Ќо  это бы  противоречило  теореме  ѓеделЯ. ‘ледовательно,
где-то в доказательстве должно быть ложное допущение, и Џенроуз считает, что
этим ложным допущением ЯвлЯетсЯ принцип ’ьюринга.
     Ѓольшинство  специалистов  по  вычислительной  технике  не  согласны  с
Џенроузом,   что   принцип   ’ьюринга  --  наиболее  слабое   звено   в  его
доказательстве. Ћни сказали бы,  что математик из его доказательства в самом
деле не  сможет  признать высказывание ѓеделЯ доказанным.  Њожет  показатьсЯ
странным,   почему   математик   вдруг   не   сможет  понЯть   самоочевидное
доказательство. Ќо взглЯните на следующее высказывание:
     <i>„эвид „ойч не может составить последовательное  суждение  об истинности
этого утверждениЯ.</i>
     џ стараюсь изо всех сил, но не могу составить последовательное суждение
о его истинности. Џоскольку, если бы Я сделал  это, Я бы составил суждение о
том, что Я не  <i>могу</i>  составить суждение о  его  истинности,  и вступил  бы в
противоречие  с самим собой. Ћднако <i>вы</i> видите,  что оно €стинно, не так  ли?
ќто показывает, что высказывание, по  крайней  мере, может быть необъЯснимым
длЯ одного человека, но самоочевидно €стинным длЯ всех остальных.
     ‚ любом случае Џенроуз надеетсЯ на новую фундаментальную теорию физики,
котораЯ заменит как  квантовую теорию, так  и общую  теорию относительности.
Ћна  давала  бы  новые  предсказаниЯ,  которые  можно  проверить,  хотЯ она,
безусловно,   не   противоречила  бы  ни   квантовой   теории,   ни   теории
относительности во всех существующих наблюдениЯх.  (Ќе существует  известных
экспериментальных примеров, опровергающих такие теории). Ћднако мир Џенроуза
по своей сути весьма отличен от того, что описывает существующаЯ физика. …го
основной  структурой  реальности   ЯвлЯетсЯ   то,  что  <i>мы</i>   называем  миром
математических  абстракций.  ‚ этом  отношении  Џенроуз, реальность которого
включает  все  математические  абстракции, но,  вероЯтно, не <i>все</i>  абстракции
(подобные  чести  и  справедливости),  находитсЯ  где-то  между  Џлатоном  и
Џифагором. ’о, что мы называем  физическим миром,  ЯвлЯетсЯ  длЯ него вполне
реальным  (еще одно отличие  от Џлатона), но каким-то  образом  это ЯвлЯетсЯ
частью самой математики,  или  вытекает из  нее.  Ѓолее  того, в его мире не
существует  универсальности;  в частности, не  существует  машины, способной
передать  все возможные мыслительные процессы людей. Ћднако мир  (конечно, в
особенности  его   математическое  основание),  тем   не   менее,   остаетсЯ
постижимым. …го постижимость гарантирована не универсальностью вычислений, а
Явлением,   достаточно   новым  длЯ   физики  (хотЯ   и  не  длЯ   Џлатона):
<i>математические  категории  напрЯмую  взаимодействуют  с  человеческим мозгом</i>
через физические  процессы, которые еще  предстоит открыть.  ’аким  образом,
мозг, по Џенроузу, занимаетсЯ математикой, ссылаЯсь не только на то,  что мы
сейчас  называем физическим  миром. Ћн  имеет  прЯмой  доступ  к  реальности
математических  ”орм Џлатона и  может постичь там математические  истины (за
исключением грубых ошибок) с абсолютной определенностью.
     —асто предполагают, что мозг может быть квантовым компьютером и что его
интуициЯ, сознание и способности к решению задач могут зависеть от квантовых
вычислений.  <i>‚озможно,</i>  это  и  так,  но  Я  не  знаю  ни  свидетельств,  ни
убедительных аргументов в пользу этого. џ ставлю на то, что  мозг,  если его
рассматривать  как  компьютер,  ЯвлЯетсЯ  классическим  компьютером. Ќо этот
вопрос  не имеет никакого отношениЯ к идеЯм Џенроуза. Џенроуз не доказывает,
что мозг -- это новый вид универсального  компьютера,  который отличаетсЯ от
универсального  квантового  компьютера  тем,  что  имеет  больший  репертуар
вычислений,  которые  стали возможны только при новой пост-квантовой физике.
Ћн доказывает новую  физику, котораЯ не  будет поддерживать  универсальность
вычислений, так что при  его  новой теории вообще невозможно будет объЯснЯть
некоторые действиЯ мозга как вычислениЯ.
     „олжен  признать,  что   длЯ  менЯ  такаЯ  теориЯ  непостижима.  Ћднако
фундаментальные открытиЯ всегда  трудно  понЯть до того, как они произойдут.
…стественно,  трудно оценить теорию Џенроуза, прежде чем он сформулирует  ее
полностью.  …сли  теориЯ со  свойствами,  на  которые  он надеетсЯ,  в конце
концов,  вытеснит квантовую теорию, или теорию общей  относительности, или и
ту, и другую через экспериментальные проверки или предоставив более глубокий
уровень объЯснений,  то каждый разумный  человек захочет ее принЯть. € тогда
мы  отправимсЯ в путешествие  постижениЯ нового  мировоззрениЯ,  к  принЯтию
которого будет вынуждать нас объЯснительнаЯ структура этой теории. ‚ероЯтно,
это  мировоззрение  будет  весьма  отличным от  представленного  мной в этой
книге.  Ћднако, даже если  все это пришло, чтобы уйти, Я  все равно  не могу
понЯть, каким образом можно удовлетворить первоначальную  мотивацию  теории,
котораЯ   объЯснЯет   нашу   способность   понимать   новые   математические
доказательства.  ‚се равно  останетсЯ  тот факт,  что сейчас, да  и  во всей
истории  великие  математики  обладали  различной  противоречивой  интуицией
относительно обоснованности различных методов доказательства. Џоэтому,  даже
если  истинно то, что абсолютнаЯ физико-математическаЯ реальность поставлЯет
свои  истины  прЯмо  в  наш  мозг  длЯ   созданиЯ  математической  интуиции,
математики  не всегда способны  отличить  эту интуицию от другой,  ошибочной
интуиции  и  от  других, ошибочных идей. Љ сожалению, нет  ни  колокольчика,
который  звонит,  ни  фонарика,  который   вспыхивает,  когда   мы  понимаем
действительно  обоснованное доказательство.  Џорой  мы можем  ощутить  такую
вспышку,  в момент "эврики", -- и, тем не менее,  ошибитьсЯ.  € даже если бы
теориЯ предсказала,  что  <i>существует</i> некий, не  замеченный ранее  физический
индикатор, сопровождающий истинную  интуицию (сейчас это становитсЯ в высшей
степени невозможным), мы бы определенно нашли его полезным, но это все равно
не  было  бы  равносильно доказательству того, что этот  индикатор работает.
Ќичто  не способно  доказать, что однажды  еще лучшаЯ  физическаЯ ’еориЯ  не
вытеснит  теорию Џенроуза и не откроет, что  предложенный индикатор все-таки
не был надежным и что существует лучший индикатор. ’аким образом, даже  если
мы сделаем все возможные скидки предложению Џенроуза, если мы вообразим, что
оно истинно, и взглЯнем на мир с его  позиций, это все равно  не поможет нам
объЯснить  подозрительную  определенность  знаниЯ, которое  мы  приобретаем,
занимаЯсь математикой.
     џ отразил  лишь  общий  смысл аргументов  Џенроуза  и  его  оппонентов.
—итатель поймет, что, в сущности, Я на стороне  его оппонентов. Ћднако  даже
если признать,  что геделианское доказательство Џенроуза  не доказывает  то,
что намереваетсЯ доказать, и кажетсЯ  невероЯтным, что предложеннаЯ им новаЯ
физическаЯ теориЯ объЯснЯет то, что намереваетсЯ объЯснить, Џенроуз,  тем не
менее,  прав, что любое  мировоззрение, основанное на существующей концепции
научного  рационализма, создает задачу  длЯ принЯтых основ математики  (или,
как выразил  бы  это  Џенроуз, наоборот). ќто древнЯЯ задача, которую поднЯл
Џлатон, задача, котораЯ,  как  показывает Џенроуз,  обострЯетсЯ в  свете как
теоремы ѓеделЯ, так и принципа ’ьюринга. ќта задача заключаетсЯ в следующем:
откуда исходит  математическаЯ определенность  в  реальности,  состоЯщей  из
физики  и понимаемой с помощью научных методов?  ‚ то  времЯ как большинство
математиков   и   специалистов    по   вычислительной    технике   принимают
определенность математической интуиции как нечто,  само собой  разумеющеесЯ,
они не воспринимают проблему примирениЯ этого факта с научным мировоззрением
всерьез. Џенроуз  серьезно относитсЯ к этой проблеме и  предлагает  решение.
…го  предложение   представлЯет  постижимый  мир  в   определенном  аспекте,
отвергает сверхъестественное, признает  важность  творчества длЯ математики,
приписывает объективную реальность как  физическому  миру, так и абстрактным
категориЯм и  включает  объединение основ математики и  физики. ‚о всех этих
отношениЯх Я на его стороне.
     Џоскольку попытки Ѓрауэра,  ѓильберта, Џенроуза и всех остальных решить
сложную задачу Џлатона, видимо, потерпели неудачу, стоит  снова взглЯнуть на
мнимое ниспровержение  Џлатоном идеи о том, что математическую  истину можно
получить с помощью научных методов.
     Џрежде всего, Џлатон говорит нам, что, поскольку мы имеем доступ только
(скажем)  к несовершенным кругам, значит, через  них  мы не сможем  получить
знание о совершенных кругах.  Ђ  почему  нет?  ’очно так же  можно  было  бы
сказать,  что  мы не можем  открыть законы движениЯ планет, потому что у нас
нет  доступа к реальным планетам, а есть  доступ  только к их  изображениЯм.
(€нквизициЯ это и говорила, и Я объЯснил, почему она ошибалась). ’акже можно
было  бы сказать, что невозможно построить точные  станки, потому что первый
такой станок  пришлось бы строить с  помощью  неточных станков.  ЋглЯнувшись
назад, можно увидеть,  что такаЯ критика вызвана очень  грубым  изображением
принципа  действиЯ  науки  (подобным  индуктивизму),  который врЯд ли  можно
считать удивительным, поскольку Џлатон жил до того, что мы могли бы признать
как науку. …сли, скажем,  единственный способ  узнать  что-либо  о кругах из
опыта  заключаетсЯ  в  том,  чтобы  исследовать тысЯчи физических  кругов, а
потом,  из  собранных  данных,  попытатьсЯ  сделать  какой-то  вывод  об  их
абстрактных евклидовых двойниках, то Џлатон уловил суть. Ќо если мы создадим
гипотезу,  что  реальные   круги  точно  определенным   образом   похожи  на
абстрактные, и окажемсЯ  правы, то  мы определенно можем узнать что-либо  об
абстрактных кругах, глЯдЯ на реальные. ‚  геометрии …вклида часто используют
рисунки  длЯ  точного определениЯ  геометрической  задачи или  ее решениЯ. ‚
таком  методе описаниЯ  существует возможность  ошибки,  если несовершенство
кругов на рисунке оставит впечатление, вводЯщее в заблуждение,  -- например,
если кажетсЯ, что два круга касаютсЯ друг друга, хотЯ на самом деле этого не
происходит.  Ќо, понЯв  отношение между  реальными и  совершенными  кругами,
можно аккуратно исключить все подобные ошибки. Ђ не понимаЯ этого отношениЯ,
практически невозможно понЯть геометрию …вклида.
     Ќадежность  знаниЯ о  <i>совершенном</i>  круге,  которое  можно  получить  из
<i>изображениЯ</i> круга, полностью зависит от  точности гипотезы  о том,  что  эти
круги похожи должным образом. ’акаЯ гипотеза в отношении физического объекта
(рисунка) эквивалентна физической теории, и ее невозможно знать определенно.
Ќо этот факт (как утверждал Џлатон) не мешает изучению совершенных кругов из
опыта;  он делает  невозможной  определенность. Ћн  не  должен  расстраивать
никого, кто ищет не определенность, а объЯснениЯ.
     ѓеометрию …вклида можно  абстрактно  сформулировать  без  рисунков.  Ќо
использование  цифр,  букв   и  математических   символов  в   символическом
доказательстве  способно  породить  ничуть  не  большую  определенность, чем
рисунок по  той же самой причине. ‘имволы -- это тоже физические объекты, --
скажем,  чернильные  пЯтна  на бумаге,  --  которые  обозначают  абстрактные
объекты. €  опЯть  мы  полностью  полагаемсЯ  на  гипотезу,  что  физическое
поведение  символов  соответствует  поведению обозначаемых  ими  абстракций.
‘ледовательно, надежность того, что мы узнаем,  манипулируЯ этими символами,
полностью  зависит от точности наших теорий  об их физическом поведении  и о
поведении наших рук, глаз и т.д., с  помощью  которых  мы манипулируем этими
символами и  наблюдаем за ними. Ћбманчивые чернила,  из-за которых случайный
символ изменил  свой внешний вид, когда мы не видели этого, -- возможно, под
дистанционным  управлением   какого-то   шутника,  обладающего  практической
реализацией  высоких   технологий,   --  вскоре  введут  нас  в  заблуждение
относительно того, что мы "определенно" знаем.
     ’еперь давайте повторно исследуем еще одно допущение Џлатона: допущение
о том, что у нас нет доступа  к совершенству физического мира. ‚озможно,  он
прав  в  том, что  мы  не найдем совершенной чести или  справедливости, и он
конечно  прав  в  том, что мы  не  найдем  законы  физики или множество всех
натуральных  чисел.  Ќо  мы  можем  найти  совершенную  руку  в  бридже  или
совершенный ход в данной шахматной  позиции. ќто все равно, что сказать, что
мы можем найти физические объекты или  процессы, которые  полностью обладают
свойствами точно определенных абстракций.  Њы можем научитьсЯ игре в шахматы
как с помощью реальных шахмат, так и с помощью совершенной формы шахмат. ’от
факт,  что конЯ срубили, не делает  мат, который ЯвлЯетсЯ результатом этого,
менее окончательным.
     Џоскольку все это имеет место, совершенный евклидов  круг <i>можно</i> сделать
доступным длЯ наших чувств. Џлатон не осознавал этого, потому что он не знал
о  существовании   виртуальной   реальности.   Ќе  составит   особого  труда
запрограммировать в генераторы виртуальной реальности, о которых Я размышлЯл
в главе  5, правила геометрии …вклида, так  что пользователь сможет получить
впечатление  взаимодействиЯ  с совершенным кругом. Ќе имеЯ толщины, круг был
бы невидимым, пока мы также не модифицировали бы законы оптики, длЯ этого мы
могли бы освещать его, чтобы пользователь знал, где  он находитсЯ. (Џуристы,
возможно, предпочли  бы  обойтись  без этого  декорированиЯ).  Њы  могли  бы
сделать этот круг  твердым и непроницаемым, и пользователь  мог бы проверить
его свойства с помощью твердых, непроницаемых инструментов,  а также средств
измерениЯ. ‚иртуальные штангенциркули имели бы совершенную кромку толщиной с
лезвие  ножа,  так  что   они  могли  бы  точно  измерить  нулевую  толщину.
Џользователю  можно  было  бы позволить "нарисовать" еще  круги  или  другие
геометрические фигуры  в соответствии с правилами геометрии …вклида. ђазмеры
инструментов и  самого пользователЯ  можно было бы регулировать по  желанию,
чтобы  обеспечить  проверку  предсказаний  геометрических  теорем   в  любом
масштабе,  сколь угодно малом.  ‚  каждом  случае  переданный  круг  мог  бы
реагировать точно так же,  как круг, определенный в  аксиомах …вклида. ’аким
образом,  на  основе современной  науки мы  должны сделать вывод, что в этом
отношении Џлатон мыслил наоборот.  Њы <i>можем</i>  воспринЯть  совершенные круги в
физической  реальности  (т.е.  в виртуальной реальности); но  мы никогда  не
воспримем их  в области  ”орм,  поскольку, если и можно сказать,  что  такаЯ
область существует, мы никак ее не воспринимаем.
     €деЯ Џлатона о том, что физическаЯ  реальность состоит из несовершенных
копий абстракций, сегоднЯ случайно кажетсЯ чрезмерно асимметричной позицией.
Љак и  Џлатон, мы все еще изучаем абстракции ради их  самих. Ћднако  в науке
после  ѓалилео  и  в  теории виртуальной реальности  мы также  рассматриваем
абстракции  как  средство пониманиЯ  реальных  или искусственных  <i>физических</i>
категорий, и  в  этом  контексте мы  считаем  само  собой  разумеющимсЯ, что
абстракции почти всегда ЯвлЯютсЯ <i>приближениЯми</i> истинной физической ситуации.
’аким  образом, несмотрЯ на то, что Џлатон считал земные круги, нарисованные
на песке, приближениЯми  истинных математических кругов,  современный  физик
посчитал  бы   математический  круг   плохим  приближением   истинной  формы
планетарных орбит, атомов и других физических объектов.
     Џри условии, что всегда будет существовать возможность выхода  из строЯ
генератора   виртуальной   реальности  или   его  пользователЯ,   можно   ли
действительно говорить о достижении совершенной  передачи евклидова  круга в
виртуальной   реальности    в   соответствии   с    нормами   математической
определенности?  Њожно.  Ќикто  не претендует  на  то,  что сама  математика
свободна  от  неопределенности <i>такого</i> рода.  Њатематики  могут  ошибитьсЯ  в
вычислении,  исказить  аксиомы,   сделать  опечатки   при   изложении  своей
собственной работы  и т.  д. Њы претендуем на то, что, <i>за исключением грубых
ошибок,</i>  их   выводы  безошибочны.   ’очно  так   же  генератор  виртуальной
реальности, работаЯ должным образом  в  соответствии  со своими техническими
характеристиками, в совершенстве передал бы совершенный евклидов круг.
     Џодобным образом мы могли бы возразить, что  мы  никогда не можем точно
сказать, как поведет  себЯ генератор виртуальной  реальности под управлением
данной  программы, потому  что это зависит от  функционированиЯ машины и,  в
конечном  счете,  от  законов  физики.  Џоскольку  нам  не  дано  с   полной
уверенностью  знать  законы  физики,  мы не  можем точно  знать,  что машина
действительно  передает геометрию …вклида. € опЯть, никто  не  отрицает, что
непредвиденные физические ЯвлениЯ  --  станут ли они следствием  неизвестных
законов физики, или просто  заболеваниЯ мозга или обманчивых чернил -- могут
сбить математика  с  правильного  пути.  Ќо если  законы  физики находЯтсЯ в
соответствующих отношениЯх, как мы  и  полагаем,  то  генератор  виртуальной
реальности в  совершенстве может сделать свою работу, даже несмотрЯ  на  то,
что мы не можем определенно знать, что он это делает. ‡десь следует проЯвить
внимательность,  чтобы не  перепутать два  вопроса:  <i>можем ли мы  знать,</i> что
машина виртуальной реальности передает совершенный круг; и  <i>действительно</i> ли
она  передает  его.  Њы  не  можем  точно  знать  это, но это  ни на йоту не
уменьшает совершенство круга, который фактически передает машина. џ  вернусь
к  этому важному  различию  -- межд