\input style
\chapno=5
\subchno=1
\subsubchno=1
\chapnotrue
\excercises

%%34

\ex[�23] 臂�����, ��� � ���������� ������������ �������� 
������ ������������ �� ������~$+$, � ��������---�� ������~$-$. 䐓���� 
�������, ��� $n\ge 2$ ������������ � \emph{������} ������ �������� ����� 
������� ��, ������� � \emph{��������}. �����, ��� ������ ��� $n\ge m$ 
���������� ������������ � ������ ��������, ������������ $t \bmod m$, ����� 
$n!/m$, ���������� �� ����, ������ ����� �����~$t$.

\ex[�24] \exhead(�. ��������.) ��������� �����~$n$ �� $k$~��������� 
������--- ��� �������������~$n$ � ���� ����� $n=p_1+p_2+\cdots+p_k$, ��� 
$p_1>p_2>\ldots>p_k>0$. 퀏�����, ��������� �����~7 �� ��������� ����� 
������: $7$, $6+1$, $5+2$,
\picture{���. 2. 񎎒�������� ��������� ����� ����������� �� ��������� �����.}
$4+3$, $4+2+1$. �� $f_k(n)$---����� ��������� $n$ �� $k$~��������� ������.
 䎊�����, ��� $\sum_k (-1)^k f_k(n)=0$, ���� ������ $n$ �� 
�������������� � 
����~$(3j^2\pm j)/2$ ��� ��������� ��������������� �����~$j$; � ���� 
������ ����� ����� $(-1)^j$. 퀏�����, ��� $n=7$ ����� �����~$-1+3-1=1$, 
������ ��� $7=(3\cdot2^2+2)/2$. [\emph{󊀇����.} �������� ��������� � 
���� ������� �����, � $i\hbox{-�}$ ������ �������� ������� $p_i$~�����, 
$1\le i\le k$. 퀉���� ����������~$j$, �����, ��� $p_{j+1}<p_j-1$, � 
�������� ������� ������ ����� ������ $j$~�����. 呋� $j<p_k$, �� ��� 
$j$~����� �����, ��� ������� ������ �� �������, ��������� �� $45^\circ$ � 
��������� � �����, $(k+1)\hbox{-�}$ ������. � ������ �������, ���� $j\ge 
p_k$, �� ������ ����� ������ �� ������� $k\hbox{-�}$ ������ �����, 
��������� �� �� $45^\circ$ � ��������� ������ �� ���������� ����� (���.~2).
 � ���������� ����� �������� � ����������� ������� ��������� � ������ 
������ ����� � ��������� � �������� ������ ����� ������������ � ����, 
����� �������, � ����� ���� ��������� ������ �������� ���������.]

\emph{瀌������.} � �������� ��������� �������� ������� ������
$$
\eqalign{
(1-z)(1-z^2)(1-z^3)\ldots&=1-z-z^2+z^5+z^7-z^{12}-z^{15}+\cdots=\cr
&=\sum_{-\infty<j<\infty} (-1)^j z^{(3j^2+j)/2}.\cr
}
$$
� ��� ������������ ������� ��� ������� ��������� (�� ����������� 
�� ��������� �����) ����� $\sum p(n) z^n=1/(1-z)(1-z^2)(1-z^3)\ldots$, �� 
�������� ����������� ������������ ����������� ��� ����� ���������
$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n+12)+p(n+15)-\cdots$.

\ex[�29] 䎊�����, ��� (16)---������������ ������� ��� ����� ��������� �� 
�� ����� ��� $n$~������, �.~�.~��������, ��� ����������� ��� $z^m$ � 
$1/(1-z)(1-z^2)\ldots(1-z^n)$ ����� ����� �������� �����������~$m$ � ���� 
����� $p_1+p_2+\cdots+p_n$, ��� $p_1\ge p_2\ge\ldots p_n\ge0$. 
[\emph{󊀇����.} 퀐������ �����, ��� � ���.~14, � ��������, ��� 
���������� ������� ����������� ������������ ����� $n\hbox{-����}$ ����� 
$(p_1, p_2,~\ldots, p_n)$, ������, ��� 
$p_1\ge p_2\ge\ldots\ge p_n\ge0$, � �������������������� 
$(P_1, P_2, P_3,\ldots)$, ������, 
��� $n\ge P_1\ge P_2\ge P_3\ge\ldots\ge0$, ���������� 
��� ���������, ��� $p_1+p_2+\cdots+p_n=P_1+P_2+P_3+\cdots$. 荛�� �������, 
���������� �� �� ����� ��� $n$~������ ������������� ��������� �� �����, �� 
�������������~$n$.]

%% 35

\ex[�25](�. �����.) 䎊����� ��������� ���������, 
������������� ��� ����� ����������� � �������� ���������:

$$
\eqalign{
\prod_{k\ge0} {1\over (1-q^kz)} &= {1\over (1-z)(1-qz)(1-q^2z)\ldots}=\cr
&=1+{z\over 1-q}+{z^2\over (1-q)(1-q^2)}+\cdots=\sum_{n\ge0}z^n/
\prod_{1\le k\le n} (1-q^k).\cr
\prod_{k\ge0}(1+q^kz)&=(1+z)(1+qz)(1+q^2z)\ldots=\cr
&=1+{z\over 1-q}+{z^2q\over (1-q)(1-q^2)}+\cdots=\cr
&=\sum_{n\ge 0} z^nq^{n(n-1)/2}/\prod_{1\le k\le n} (1-q^k).\cr
}
$$

\ex[20] ꀊ��� 24 �������� $(q_1, q_2, q_3, q_4)$, ��� ������� � 
������������ 쀊-쀃���, ������������ � ����� ����� ������,  $(p_1, p_2,  
p_3, p_4)=(0,0, 0, 0)$?

\ex[�30] (�.~�������, {\sl CACM\/}, {\bf 6} (1963), 210.) �� $n>0$, � 
�����������, ��� ������������������  $n\hbox{-�������}$ ����� ����� 
$X_0$,~\dots, $X_{2^n-1}$   �����~$2^n$ �������� ��������� �������, ������ 
������ ��� ������� ����� ���������� ��������� ��������~1 � 
������������~$p$. ���������� ������������������ $X_0\oplus0$, $X_1\oplus1$,
~\dots, $X_{2^n-1}\oplus(2^n-1)$, ��� $\oplus$---�������� "����������� ���"
��� ��������� ���������������. �, ���� $p=0$, �� ������������������ 
����� $0$, $1$,~\dots,  $2^n-1$, � ���� $p= 1$, �� ��� ����� $2^n- 1$,
~\dots, $1$, $0$; ���� �� $p={1\over2}$,
�� ������ ������� ������������������---��������� ����� �����~$0$ 
�~$2^n-1$. ⎎��� �� ��� ������~$p$ ��� ������� ������ ��������� 
������������������ ��������� ����� ����� �� ��������� ������ ��������, � 
�� ����� ��� ������������� ��������� ������������������, ��������������� 
��� ������ �����, ����������.

������� ������� ����� �������� � ����� ������������������ ��� ������� 
�� �����������~$p$.

\ex [M36]  (�. 􎀒�.) 䀉�� ������ �������������� ������� 쀊-쀃��� �� 
��������: ������� ������ ������� ����������� ������������, ������� 
��������� ������������ $n$~���������, ������� ������~$k$, � ������������,
 ������� $k$~�������� � ��� �� ����� ������� ������ �������.

\ex[M43] 񋅄����� ���������� ���������, ������������� ߊ��� 
[Fundamenta Nova Theori\ae{} Functionum Ellipticorum (1829), \S~64], ����� 
� ������ ������ ������������� �����������, ���������� ������������� �������:
$$
\eqalign{
\prod_{k\ge1}(1-u^kv^{k-1})&(1-u^{k-1}v^k)(1-u^kv^k)=\cr
&=(1-u)(1-v)(1-uv)(1-u^2v)(1-uv^2)(1-u^2v^2)\ldots=\cr
&=1-(u+v)+(u^3v+uv^3)-(u^6v^3+u^3v^6)+\cdots=\cr
&=1+\sum_{n\ge1}(-1)^n(u^{(n+1)n/2}v^{(n-1)n/2}+u^{(n-1)n/2}v^{(n+1)n/2}).\cr
}
$$
呋�, ��������, �������� $u=z$, $v=z^2$, �� ��������� ������� ������ 
�� ���.~14. 呋� �������� $z=\sqrt{u/v}$, $q=\sqrt{uv}$, �� �������
$$
\prod_{k\ge1}(1-q^{2k-1}z)(1-q^{2k-1}z^{-1}(1-q^{2k})=\sum_{-\infty<n<\infty} (-1)^nz^nq^{n^2}.
$$

%% 36

񓙅������ �� ������������� �������������� ��������� ߊ���, ����������� 
�������������� ��������� ��� �������� ������ ���.~14? (򀊈� �������,
 ����� ����������� "����������� ���������"
$$
m+ni=(p_1+q_1i)+(p_2+q_2i)+\cdots+(p_k+q_ki),
$$
��� $p_j+q_ji$---��������� ��������� ����������� �����; $p_j$, 
$q_j$---��������������� ����� �����, ������ $\abs{p_j-q_j}\le 1$. 񎃋���� 
��������� ߊ���, ����� ����� ������������� � ������� $k$ ����� ����� 
������������� � ��������� $k$, ���� ������ $m$ �~$n$ �� �������� ��������� 
������������ �������!) ꀊ��� ��� �������������� ���������� �������� 
����������� ���������?

\rex[�25] (�. �. ꍎ��.) �����, ��� ������������ $a_1$ \dots $a_n$ 
����� �������� � ������� ����� � ������ ���. 2.2.1--5 ���~2.3.1--6 ����� � 
������ �����, ����� $C_j\le C_{j+1}+1$  ��� $1\le j<n$ (��. ����������� � ���.~7).

\ex[�28] (�. 셉��.) � �����, ��� ���� $m$ �~$n$---������� ������� �����,
 �� ������������������ $(m \bmod n)$ $(2m \bmod n)$ \dots $((n-1) m\bmod 
n)$ ������������ ����� ������������ ��������� $\{1, 2, \ldots, n-1\}$. 
�����, ��� ����� �������� � ���� ������������ ����� �������� ����� 
����� 䅄������ (��. � �.~3.3.3).

\subsubchap{*��������� ���������������}
� ��� ��� �� ������������� ������������ \emph{���������} ���������; ��� 
������� ������ ������������ \dfn{���������������}. (쓋������������---��� �� 
�� �����, ��� � ���������, �� � ��� ����� ����������� ���������� ��������. 
텊������ �������� �������� �������������� ����������� � �.~4.6.3.)

����������, ��������, ���������������
$$
M=\{a, a, a, b, b, c, d, d, d, d\},
\eqno(1)
$$
� ������� ���������� 3 �������� $a$, 2 �������� $b$, 1 ������� $c$ � 4 
�������� $d$. ������� ��������� ����� ������� � ������ ��������:
$$
M=\{3\cdot a, 2\cdot b, c, 4\cdot d\}.
\eqno(2)
$$
��������� ��������������� --- ��� ��������� ������������ ��� ��������� � 
���, ��������
$$
c\ a\ b\ d\ d\ a\ b\ d\ a\ d.
$$
� ������ �������, ����� ������������������ ����� ������� �������� ����, 
���������� 3 ����� $a$, 2 ����� $b$, 1 ����� $c$ � 4 ����� $d$.

񊎋��� ���������� ������������ ��������������� $M$? 呋� �� �� 
������������� ��� �������� $M$ ��� ���������, ��������� �� $a_1$, $a_2$, 
$a_3$, $b_1$, $b_2$, $c_1$, $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$, �� �������� �� 
$10!=3\ 628\ 800$ ������������, �� ����� ������������ �������� ������ �� 
��� ��������� �� �����������. 􀊒������ ������ ������������ $M$ 
����������� �� ����� $3!2!1!4!=288$ ���, ��������� � ����� ������������ 
$M$ ������� ��� ������ $a$ ����� ���������� 31 ���������,
%% 37
��� $b$ (����������)---2! ���������, ��� $c$---����� ��������, � ��� 
$d$---�������������� 4! ���������. ���� ����� ������������ $M$ �����
$$
{10!\over 3!2!1!4!}=12\ 600.
$$
� ���������� � ������ ������ �� �� ����������� ����������, ��� ����� 
������������ ������ ��������������� ����� ����������������� ������������
$$
\perm{n}{n_1, n_2, \ldots}={n!\over n_1!n_2!\ldots},
$$
��� $n_1$---����� ��������� ������� ����, $n_2$---����� ��������� ������� ���� 
� �. �., � $n=n_1+n_2+\cdots$---����� ����� ���������.

ꎋ������� ������������ ��������� ���� �������� ��� � ������� �������. � 
��������������� 
ꍈ�� 򂎐���� (����� 100 �. �. �.)%
\note{1}{ꍈ�� 򂎐���� (鎖���)---���� �� ���������������� ���� 
������������.--- {\sl �. �����.\/}}, �������� ������ ������������ 
������������ ���������� ������������ ����������, ���� ������ �������� 
������ ���� �����������, ����� ���� ���������: "������ � �������� �����,
 ������� ���� �� ����� ����������, � ��� �� ����� ����������." [Sefer 
Yezirah, ed. by R. Mordecai Atia (Jerusalem:
Sh. Monson, 1962), ���� 52 (���. 107--108); ��. ����� � Solomon Gandz, 
Studies in Hebrew Astronomy and Mathematics (New York:
Ktav, 1970), 494--496. ꍈ�� 򂎐���� ���� �������� �� ����������� ������� 
���������� ����� ����� ���������, ����� ���������� ������� � ������� 
�������������, ����� ����������� � ������ �������� � ����� ����� 
���������� ����.] ��� ������ ��������� � ������� ������� ����� 
������������. ⒎��� ����������� � ��������� ������������ ������������ 
������������-����� (����� 500~�.~�.~�.), ������� 97, ��� 
���������� ������� ����� ������������ ����� ���������, ������� �� 
����������� �� � ������������, �� � ��������� �������:
$$
6\times5\times4\times3\times2\times1-2.
$$
[�. G. Chakravarti, {\sl Bull. Calcutta Math. Soc.\/}, {\bf 24} (1932), 
79--88. ������������-�����---���� �� ���� ������� ���������, ����������� 
�����, ���������������� � 荄��.]

񎎒����������� ������� ��� �������������� �������, ��- ��������, 
����������� � ����� 눋�����, ���������� ᕀ������ ������� (��. 1150~�.), 
����.~270--271. � ᕀ����� ��� ������� �������������� ������ ����� � 
����������������� ���� ����� �������� ��������� $\{2, 2, 1, 1\}$ �~$\{4, 8,
 5, 5, 5\}$. � ���������� � ���������� �������� ��� ������� �� ��������������
%% 38
���������, �������, ������� ��������� �������� ������������ ����, ������� 
�� ��� ᕀ�����, � ��� �� �������. ⑋�� �� ���� �������� ᕀ����� 
�������� ���������� �������
$$
(4+8+5+5+5)\times 120\times 11111 \over 5\times 6
$$
��� ����� 20 ����� $48\ 555 + 45 855 + \cdots$.

⅐��� ������� ��� ���������� ����� ������������ � ������, ����� ������ 
���� ������� ����� �����������, ������� ���������� �������� ������ 
�������� ����������� ꈐ����� � ��� ����������� ����� � ������ Musurgia 
Universalis (Rome, 1650), ���~2, ���.~5--7. ꈐ���� ����������� ������ � 
���������� �������, ������� ����� ������� �� ������� ������ ���;
��� ����� �� �������� ��, ��� ������� "��������������". � ���. 18--21 
������ ����� �� ���� ������ �������� ����� ������������ ��������������� 
$\{m\cdot C, n\cdot D\}$ ��� ���������� ��������� $m$ � $n$, ���� ������ 
�� ���� ����� ���������� ���� ��� ������ $n= 1$.

�� ������� (3) ��������� ����� � ����� 怍� ��� El\'emens de 
Math\'ematiques (Paris, 1675), ���. 351--352, ������� �������� ���� �� 
������ ��������� ������������� ����������, ���������� � �������� 傐���. 
��� ����� ������������� ������� ��� ������ ������������� 
���������������, �� ���������������� ��� ���� ������� �������� $\{a, a, 
b, b, c, c\}$. � ����� �������, ��� ������� �� \emph{�����} �����������, 
������� �� ������ ������������ ���������� ������� ꈐ����, ���� �� �������.
 텑������ ��� ������ 䆎� ​��� � ����� ����� Treatise of Algebra 
(Oxford, 1685), ��� 2, ���. 117--118, ������� ��� ������� ��������� ����� ��������.

� 1965~�. 䎌���� 􎀒� ���� ���� ���������� �������, ��� ���������� 
"�������������� ������������"%
\note{1}{� ���������---"intercalation product".---{\sl �. �����.\/}}, 
������� ��������� �������������� ������ ��������� ����������, ���������� 
������� ������������, �� ����� ������ ������������ ���������������. 
[�. Publ. Inst. Statistique, Univ. Paris, {\bf 14} (1965), 81--241. � 
����� Lecture Notes in Math., {\bf 85} (Springer, 1969).] ��������, ��� 
�������� ��������������� �����-�� �������� ������� �����������, ����� 
����������� \dfn{����������� �����������}, ��������
$$
\pmatrix{
 a & a & a & b & b & c & d & d & d & d\cr
 c & a & b & d & d & a & b & d & a & d\cr
}.
$$
焅�� ������� ������ �������� �������� $M$ � ����������� �������, � 
������---��� ���� ������������. \dfn{񎅄����������
%%39
������������} $\alpha\T\beta$  ���� ������������ �������������� $\alpha$  
� $\beta$---��� ������������, ������� ����������, ���� (a) ����� 
����������� ����������� ��� $\alpha$ �~$\beta$, (b) �������� 
��������������� ������ � ���� � (c) ������������� ������� ���, ����� 
�������� ������� ������ ������������� � ����������� �������. 
񎐒������ ������ ���� ���������� � ��� ������, ��� �������� 
������������ ��������� ������ ������ �����������, ���� ��������������� 
�������� ������� ������ �����. 퀏�����, 
$c\ a\ d\ a\ b \T b\ d\ d\ a\ d=c\ a\ b \ d\ d\ a\ b\ d\ a\ d$, ��� ���
$$
\pmatrix{
a & a & b & c & d \cr
c & a & d & a & b\cr
}\T
\pmatrix{
a & b & d & d & d \cr
b & d & d & a & d\cr
}=
\pmatrix{
a & a & a & b & b & c & d & d & d & d\cr
c & a & b & d & d & a & b & d & a & d\cr
}.
\eqno(5)
$$

텒����� ������, ��� �������� ��������������� ������������ ������������, 
�.~�.
$$
\alpha\T\beta\T\gamma=\alpha\T(\beta\T\gamma),
\eqno(6)
$$
� ��� ��� ����������� ������� ����������
$$
\eqalign{
&\hbox{���� $\pi\T\alpha=\pi\T\beta$, �� $\alpha=\beta$,}\cr
&\hbox{���� $\alpha\T\pi=\beta\T\pi$, �� $\alpha=\beta$.}\cr
}
$$
񓙅������ "��������� �������"
$$
\alpha\T\varepsilon=\varepsilon\T\alpha=\alpha,
\eqno(8)
$$
��� $\varepsilon$---������ ������������, "������������ � ���" 
��������� ������� ���������. 瀊�� ���������������, ������ ������, 
�� ����������� (��. ���.~2), ��� �� �����
$$
\alpha\T\beta=\beta\T\alpha,
\rem{���� $\alpha$ �~$\beta$ �� �������� ����� ����.}
\eqno (9)
$$

����������� �������� � ������� \emph{�����} ����� �������������� �� ������,
����� �������� ����� �����������. ᓄ�� ���������� � ����
$$
(x_1\  x_2\ \dots\ x_n) 
\eqno (10)
$$
������������, ����������� ������������� ������� ���������� ����� 
���������� ���������� ��������
$$
\pmatrix{
x_1 & x_2 & \ldots & x_n\cr
x_2 & x_3 & \ldots & x_1\cr
}
\eqno(11)
$$
�� ������� ���������. 퀏�����,
$$
\pmatrix{
d & b & d & d & a & c & a & a & b & d \cr
}=
\pmatrix{
d & b & d & d & a & c & a & a & b & d \cr
b & d & d & a & c & a & a & b & d & d\cr
}=
\pmatrix{
a & a & a & b & b & c & d & d & d & d \cr
c & a & b & d & d & a & b & d & a & d\cr
}
$$
%%40
��� ��� ������������ (4) ���������� �������� ������. � ����� �� ������� 
���� ���� ��������, ������ ���-������ ����� "$d$ ��������� � $b$, 
��������� � $d$, ��������� � $d$, ��������� � \dots ��������� � $d$ � 
������������ �������". 瀌����, ��� ��� ���������� ����� �� �������� 
����� ���������� ������� ������;
$(x_1\ x_2\ \ldots\ x_n)$ �� ����������� �� �� �����, ��� � 
$(x_2\ \ldots\ x_n\ x_1)$ .

� �.~1.3.3 �� ��������, ��� ������ ������������ ��������� ����� 
������������ � ��������� �� ������� ������������ ������� ����������� � 
���� ������������ ���������������� ������, ��� ������������ ������������ 
������������ ������� ����������. 녃�� ������, ��� \dfn{������������ 
���������������� ������---�� �� �����, ��� �� �������������� ������������;} 
��� ������� �� ����� � ���, ��� ����� ����� �������� ���������� ����� 
����������, ���� ����� ������������ (� �����-�� ������) ������������� � 
��� ������������ ������������ ��������������� � ���� ��������������� 
������������ ������. � ���������������� ���������� �� ������� ���� ��� 
������������ ������� ������� ���, � ������ �� ��� ����� ������ ����������.

��������� (5) ���� ���� ������ ������������� 
$c\ a\ b\ d\ d\ a\ b\ d\ a\ \ d$ � ���� ��������������� ������������ ����� 
�������� ������������; 
���������� ����� ������ � ���������� ���� ���������� $\pi=\alpha\T\beta$ 
������ ������������ $\pi$. 䋟 ������������ ����� �������  ������� 
����������� ���������� ������������, ������
$$
\pi=\pmatrix{
a & a & b & b & b & b & b & c & c & c & d & d & d & d &d\cr
d & b & c & b &c & a & c & d & a & d & d & b & b & b & d\cr
},
\eqno(12)
$$

呋� ����� �������� $\pi$ � ���� $\alpha\T\beta$, ��� $\alpha$ �������� �� 
������� ���� ���� ����� $a$, �� ����� ����� $a$ � ������� ������ 
������������ ������������� $\alpha$ ������ ��������� ��� $d$, ������, 
������������ $\alpha$ ������ ��������� �� ������� ���� ���� ����� 
$d$. 呋� ��������� ������ �� ����� ����� $d$ � ������� ������ $\alpha$, 
�� ������ ����� ��� ��, ��� ��� ������ ��������� ��� $d$, ������, � 
$\alpha$ ������ ����������� �� ������� ���� \emph{���} ����� $d$. 
������ �� ������ $d$, �����, ��� $\alpha$ �������� ����� $b$. 
�-������������ ������������� � ���, ��� $\alpha$ ���� ����� ����������� 
$\pi$, ���������� ����� $a$, �������� � ������ �������������� ����������:
$$
\pmatrix{
a &           & b &          & d & d \cr
   &\ldots &    &\ldots&   &  & \ldots\cr
d &           &    &          & d & b \cr
}.
\eqno(13)
$$

������ ���������� ����� ��� �� � �����, ���������, ��� ����� $b$ � 
������� ������ (13) ������ ��������� ��� $c$ � �.~�. � ����� ������ ���� 
������� ����� �������� ��� � ����� $a$, � �� ������, ���� �������, 
������������ �� � ������ ������ $a$. 򎋜�� ��� ����������� �����������, 
�� ��������, ����������,
%% 41
\bye

