\input style
\chapnotrue\chapno=3\subchno=3\subsubchno=1
��� \dfn{������������ ������� �������������~$F_n(x)$:}
$$
F_n(x)={\hbox{����� ����� $X_1$, $X_2$,~\dots, $X_n$, �������~$\le x$} \over n}.
\eqno(10)
$$
�� ���.~4 �������� ��� ������������ ������� ������������� (������������ 
�����, ������ ������, �� �������� ������ �������~$F_n(x)$). ��� �� 
���������� � �������� ������� �������������~$F(x)$. ��� ����������~$n$ 
�������~$F_n(x)$ ������ ��� ����� ����� ����������������~$F(x)$.

�������� �����������---�������� (��-��������) ����� ������������ � ��� 
�������, ����� �������~$F(x)$ �� ����� �������. �� ������� �� 
\emph{�������� �����~$F(x)$ �~$F_n(x)$.} ������ ������ ��������� ����� 
����� ������ ������������ ������� �������������, ����� 
����������������~$F(x)$. �� ���.~4,~b �������� ������, ����� 
��������~$X_i$ ������� ������, ��� ��� ������ ������������ ������� 
������������� �������� ������� �����. �� ���.~4,~c ����������� ��� ������ 
������; ����, ��� ����� ������� ����������� �����~$F_n(x)$ �~$F(x)$ ������ 
������������; ��-�������� ������ �������, ��������� ��� ������������.

��� ����� ����������� ��������� ����������:
$$
\eqalign{
 K_n^+&=\sqrt{n}\max_{-\infty<x<+\infty}(F_n(x)-F(x));\cr
 K_n^-&=\sqrt{n}\max_{-\infty<x<+\infty}(F(x)-F_n(x)).\cr
}
\eqno(11)
$$
����� $K_n^+$~����������, ������ ������������ ���������� ��� 
������~$F_n>F$, �~$K_n^-$---������ ������������ ���������� ��� 
������~$F_n<F$. � ��������, ���������� �� ���.~4, �������� ���� 
��������� ���������:
$$
\matrix{
          & a     & b     & c     \cr
 K_{20}^+ & 0.492 & 0.134 & 0.313 \cr
 K_{20}^- & 0.536 & 1.027 & 2.101 \cr
}
\eqno(12)
$$

[\emph{���������.} ������� ���������~$\sqrt{n}$ � �������~(11) ����� 
���������� ��������. �������� ���.~6, ��� �������������~$x$ ����������� 
����������~$F_n(x)$ ��~$F(x)$ ���������������~$1/\sqrt{n}$; �������������, 
���������~$\sqrt{n}$ ��������� ����������~$K_n^+$ �~$K_n^-$ ����� �������, 
����� ����������� ���������� �� �������� ��~$n$.]

������ �����, ��� � � ������ ��������~$\chi^2$, ����� ��������~$K_n^+$ 
�~$K_n^-$ � "�������������" �������, ����� ����������, ����� �� ��� 
������� ��� ������ ����������. � ���� ����� ��� ����� �������~$K_n^+$ 
�~$K_n^-$ ����� ��������������� ����.~2. ��������, ����������� ����, ��� 
$K_{30}^-$ ������ ���~$0.8036$, �����~25\%. � ������� �� ������� ��� 
��������~$\chi^2$, ������� ����� ������������ ������ ��� �������~$n$, � 
���� ������� ���������� ������ ��������
%% 62
\picture{���.~4. ������� ������������ �������������.}
%% 63

\htable{�������~2}%
{��������� ������ ��� ������������� �������~$K_n^+$ �~$K_n^-$}%
{$#$\hfil\bskip&&\bskip\hfil$#$\hfil\bskip\cr
 \noalign{
  \embedpar{\noindent(���~$n>30$ ��������� ������������ �� ������������ 
   ���������������� �������, ������ ������ ���~$n=\infty$)}
 }
     & p=99\%  & p=95\%  & p=75\% & p=50\% & p=25\% & p=5\% & p=1\%\cr
n=1  & 0.01000 & 0.05000 & 0.2500 & 0.5000 & 0.7500 & 0.9500 & 0.9900\cr
n=2  & 0.01400 & 0.06749 & 0.2929 & 0.5176 & 0.7071 & 1.0980 & 1.2728\cr
n=3  & 0.01699 & 0.07919 & 0.3112 & 0.5147 & 0.7539 & 1.1017 & 1.3589\cr
n=4  & 0.01943 & 0.08789 & 0.3202 & 0.5110 & 0.7642 & 1.1304 & 1.3777\cr
n=5  & 0.02152 & 0.09471 & 0.3249 & 0.5245 & 0.7674 & 1.1392 & 1.4024\cr
n=6  & 0.02336 & 0.1002  & 0.3272 & 0.5319 & 0.7703 & 1.1463 & 1.4144\cr
n=7  & 0.02501 & 0.1048  & 0.3280 & 0.5364 & 0.7755 & 1.1537 & 1.4246\cr
n=8  & 0.02650 & 0.1086  & 0.3280 & 0.5392 & 0.7797 & 1.1586 & 1.4327\cr
n=9  & 0.02786 & 0.1119  & 0.3274 & 0.5411 & 0.7825 & 1.1624 & 1.4388\cr
n=10 & 0.02912 & 0.1147  & 0.3297 & 0.5426 & 0.7845 & 1.1658 & 1.4440\cr
n=11 & 0.03028 & 0.1172  & 0.3330 & 0.5439 & 0.7863 & 1.1688 & 1.4484\cr
n=12 & 0.03137 & 0.1193  & 0.3357 & 0.5453 & 0.7880 & 1.1714 & 1.4521\cr
n=15 & 0.03424 & 0.1244  & 0.3412 & 0.5500 & 0.7926 & 1.1773 & 1.4606\cr
n=20 & 0.03807 & 0.1298  & 0.3461 & 0.5547 & 0.7975 & 1.1839 & 1.4698\cr
n=30 & 0.04354 & 0.1351  & 0.3509 & 0.5605 & 0.8036 & 1.1916 & 1.4801\cr
     & 0.07089 & 0.1601  &  0.3793 & 0.5887 & 0.8326 & 1.2239 & 1.5174 \cr
n>30 & -{0.15\over \sqrt n} & -{0.14\over \sqrt n} & -{0.15\over \sqrt n} 
     & -{0.15\over \sqrt n} & -{0.16\over \sqrt n} & -{0.17\over \sqrt n} & -{0.20\over \sqrt n}\cr
}
��� ����~$n$, ��� ��� ��-�������� ����� ��������� ��� �����~$n$.

�������~(11) �� ������� ��� �������� ��������, ��� ��� ��������� �������� 
������������ ����� ������������ ��������� �����! ������ ��� ����, 
���~$F(x)$---����������� �������, a $F_n(x)$~����� �������� ����� �������, 
��������� ���������� ����������~$K_n^+$ �~$K_n^-$ � ������� ���������� 
�������� ���������:

{\sl ���~1.\/} ������������ ���������� ��������~$X_1$, $X_2$,~\dots, $X_n$.

{\sl ���~2.\/} ��������~$X_i$ ������������� � ������� ����������� ���, 
�����~$X_1\le X_2 \le \ldots \le X_n$. (����������� ���������, 
���������� ����� ����������� � ��.~5.)

%% 64
{\sl ���~3.\/}~������ ��� ���������� ����������� ������ �� ��������
$$
\eqalign{
 K_n^+&=\sqrt{n}\max_{1\le j \le n}\left({j\over n}-F(X_j)\right),\cr
 K_n^-&=\sqrt{n}\max_{1\le j \le n}\left(F(X_j)-{j-1\over n}\right).\cr
}
\eqno(13)
$$

������� ���������� ����� ����� ���������~$n$ � ������ ������ ��������� 
�����, ��� ��� ������ � ���������~$\chi^2$, ���� ��������� ��������� 
�����������. ���� �������� ������������� ��������� �������~$X_j$ �� 
�������� �������~$F(x)$, � ����������� �����-�� ������ ��������~$G(x)$, 
����������� ������������ ����� ���������, ����� ��������������, 
���~$G(x)\ne F(x)$; $n$~������ ���� ��������� �������, ����� ����� 
�������� �������� �����~$G_n(x)$ �~$F_n(x)$. � ������ �������, ��� 
�������~$n$ ������� ��������� � ���������� ��������� ���������� �� 
���������� ���������. ����� ���������� �������� ������������ � 
����������� ���������� ��������� ����� ��� ������ �� 
�������������� �������. � ���� ����� ������ ���� �� ������� 
\emph{���������}~$n$. ��� ���� ��� ��� $n$~����������� ��������� ���� 
���������, ����� ����� ����������� � ������� �����������, ����� 
�������� ��� � ����� ���������~$n$. � �������� �������������� 
������� ����� �����~$n$ ������, ������, $1000$ � ��������� 
���������� ����� ��������~$K_{1000}^+$ � �������������� ������ ������ ��������� ������������������:
$$
 K_{1000}^+(1), \quad K_{1000}^+(2), \quad \ldots, \quad K_{1000}^+(r).
 \eqno(14)
$$
� \emph{����} ������ ����� \emph{�����} ��������� ��-��������. ������ ��� 
$F(x)$---������� ������������� ���~$K_{1000}^+$, ������ ��� ������������ 
������������ �������� �������������~$F_r(x)$, ����������� �� ��������� 
���������~(14). � �������, ������� �������������~$F(x)$ ����� ������: ��� 
������� ���������~$n$, �������� $n=1000$, ������������� ���~$K_n^+$ ������ 
���������������� ��������
$$
F_{\infty}(x)=1-e^{-2x^2}, \rem{$x \ge 0$}.
\eqno(15)
$$
��� ��������� ��������� � �~$K_n^-$, ��� ���~$K_n^+$ �~$K_n^-$ ����� ���� 
���������. \emph{����� ������, ����� ������� �������� ����������� 
����������� ��� ������������ ���������~$n$, � ����� ��� ���������� 
�������������, ����� ���� ��-��������  ����������� ��������, ��������� 
������� ��� ���������, ��� � ���������� ���������� �� ��������� ������ 
�������������.}

������ ����������� (���� ������� �������� ������) ��� �������� ������� � 
���� ������ ��� ��������� ������. ���� "���������� ��~5", ��������� � 
��������� �������, ���������� �~$1000$ ���������� �������������� ��������� 
�����. ����������
%% 65
200~����� $X_1$, $X_2$,~\dots, $X_{200}$, ������������ ������� 
��������������, ��� ��� ������������ � ������������ � ��������~$F(x)=x^5$ 
($0\le x \le 1$). ��� ���������� ���� ��������� �� 20~����� �� 10~�����, � 
��� ������ ������ ����������� ����������~$K_{10}^+$. �� ���������� ����� 
������� 20~���������~$K_{10}^+$ ���� ��������� ������������ �������������, 
������������ �� ���.~4; ������� ������ ������������� �������������� 
������� ������������� ��� ����������~$K_{10}^+$. �� ���.~4,~a 
������������ ������������ ������������� ���~$K_{10}^+$, ��������������� 
������������������ ��������� �����
$$
\eqalign{
 Y_{n+1}&=(3141592653Y_n+2718281829) \bmod 2^{35},\cr
     U_n&=Y_n/2^{35}.\cr
}
$$
��� ������������������ ����� �������� ������������������. ���.~4,~b 
������������� ������������������, ���������� ������� ���������; ����� 
����������� ���������� \emph{�����������} ���������, �.~�.\ ����� ��������,
��� ��������~$X_n$ ��� ����� "���������� ��~5" �� ����������� 
�������������~$F(x)=x^5$. �� ���.~4,~c ��������� ���������� �������� 
������������������, ������������ ������ ������� ���������:
$$
 Y_{n+1}=((2^{18}+1)Y_n+1)\bmod 2^{35}, \quad U_n=Y_n/2^{35}.
$$

���������� ���������� ��-�������� � ���� ������ ���� ��� ��������� �~(12). 
��������� � ����.~2 �~$n=20$, ��������, ��� ��������~$K_{20}^+$ 
�~$K_{20}^-$ � ������~(b) ������ ������������� (��� �������� ����� 
��~$95\hbox{-}$ �~$12\%\hbox{-���}$ ������), �� �� ��������� �����, ����� 
����� ���� � ������������ ��������� ��� ������������������. 
��������~$K_{20}^-$ ��� ������~(c), ����������, ������ �� �������, ��� ��� 
���� "���������� ��~5" ����������� ���������� ������������� ����� ������� 
��������� �����.

� ��������� ������������ ��-�������� ������ �������� ���������� ���������� 
�� ���������� ��������� ����, ��� ���������, ��� ��� ������ ������ 
�������� ����� �� 10~���������. ���� �� ���� ����� 20~����� �� 
1000~���������, ���������� � ������~(b) ���� �� ����� ������������. ��� 
����������� ����� ��-�������� ��� �������� \emph{�����} �� ���� ������, �� 
������� ��������� ������� �� ���.~4. ��� ���� ���������� ��������� ����������:
$$
\matrix{
           & a     & b     & c \cr
 K_{200}^+ & 0.477 & 1.537 & 2.819 \cr
 K_{200}^- & 0.817 & 0.194 & 0.058 \cr
}
\eqno(16)
$$
������ ��� �� ���� ��������������� ��������� ���������� ���������� �� 
��������� ������ �������������, ������� ���� ����� ���������. ��������� 
���������� � ������~(c) ����������� ������ ��~$n=1\,000\,000$, ��� ��� 
���~$n=200$ �������� � ���������� ����������� �� ����������.

%%   66
�������� �����������---�������� �����������, ����� �������, � ���������. � 
������� $n$~\emph{����������� ���������} ���������� ��������~$X_1$,~\dots, 
$X_n$ ��������� �������� � \emph{�����������} �������� 
�������������~$F(x)$. ($F(x)$~������ ���� ���� �������, ������������ �� 
���.~3,~b �~3,~c, �.~�.\ ��� ������� ��� �� ���.~3,~a.) ����� � ������� 
���������, ��������� ����� ��������~(13), ����������� ����������~$K_n^+$ 
�~$K_n^-$. ��� ���������� ������ ���� ������������ � ������������ � ����.~2.

������ ����� �������� �������� �����������---�������� �~$\chi^2$. ������ 
����� ������� ��������, ��� ��-��������� ����� ������������ \emph{� 
��������� �} ���������~$\chi^2$, ����� �������� ������ ���������, ��� 
����� ad hoc, ���������� ��� ���������� �������� ��������~$\chi^2$. (��� 
������, ��� ���������� ����� ����������� ������, ������ ���������� ���� 
��������, ����� ��������, ��� ����� ����������� �������� 
"���������������".) �����������, ��� � ������� ��������~$\chi^2$ ���� 
���������� ����������, ������, 10~������ �������� ��������� 
������������������, � ���������� ���� ���� �������� ��������~$V_1$, $V_2$,~\dots, 
$V_{10}$. ������� ������� ���������� ������������� ������� ��� 
����� ��������~$V$---�� ������ ������ ������� (���� � ������������� ������� 
�� ����� ��������, � \emph{�����} ������� ��� \emph{�����} ����� �������� 
����� ������� ��������� �� ��, ��� ������ ������������������ 
�������� ������� ����� ��������� ����������). ����������� ����� 
��������� �� ���� 10~��������� ������������ ������� ������������� � 
�������� �� � ������������� �������� �������������, ������� ����� �������� 
� ������� ����.~1. ����� ����������� ���������~$K_{10}^+$ �~$K_{10}^-$ 
����������� ������������� �������� �� ������ �������� ������������������ � 
������� ��������~$\chi^2$. ���~10 ��� ���� 100~��������� ��� ��� ����� 
����� ������� �������, ��������� ����������� ������; ��� ������� ����� 
��������~$V$ ����������� ������������ ��� ��������� ������� 
�������������~$\chi^2$. �������, ��� \emph{��� 20~����� �� ���.~4,~c 
�������� � �������� ����� $5\hbox{-}$ �~$95\%\hbox{-����}$ ��������,} ��� 
��� \emph{������} �� ��� � ����������� �� ����� ��������������� ��� 
��������������; ������ ��������� ������������ ������������� ���� �� 
��������� � �������������.

������ �������� ����� ���������� �����������---�������� �~$\chi^2$ 
����������� � ���, ��� ������ �� ��� ����������� � ��������������, �� 
������� �������, � �� ����� ��� ������---� ������� ���������� �������������� 
(��� ��� ��� ���������� ������� �� $k$~���������). ����� �������, ������� 
���������� ���� ��������� ��������. ������, ��������~$\chi^2$ ����� 
��������� � ��� ����������� �������������, ���� ��������� ��� 
������� �����������~$F(x)$ �� $k$~������ � ���������� ���������� � 
�������� ������� ���������. ����, ��������, �� ����� ��������,
������������ �� ��������~$U_1$, $U_2$,~\dots, $U_n$ ���������� �����
%% 67
����� � ��������, �.~�.\ ������������� �� �� ������������� 
�������~$F(x)=x$ ���~$0\le x \le 1$, ����� ����������� ��������� 
��-��������. �� ����� ����� ��������� �������� ��~$0$ ��~$1$ ��~$k=100$ 
������ ������, ����������, ������� � ������ �� ��� �������� ��������~$U$, 
����� ���� ������������ ��������~$\chi^2$ � 99~��������� �������. � 
��������� ����� �� ���������� ���������� ������������ ������������� 
�����������, ����������� ���������� ������������� ���� ���� ���������. 
����� ��������� �������, � ������� ��-�������� ������� ���������� �� 
����������� ����� ���������, ��� ��������~$\chi^2$, � ����� � ������� 
���������������� ���������. ����, ��������, ���������, �� ������� 
����������� ����������~$(0, 1)$, ������������� ��~$0$ ��~$99$ � 
���������� �� ������� �������� ������������ � ����������~$0$--$49$ � 
������������ � ����������~$50$--$99$, �� ������������ 
������� ������������� ����� ����������� ������ ��~$F(x)$, ��� ����� ���� 
�� ������������ �� ��������~$\chi^2$. �� ���� ���������� ������������ � 
����������~$0$, $2$,~\dots, $98$ � ������������ � ����������~$1$, $3$,~\dots, 
$99$, �� ������������ ������� ������������� ����� ������� ����� 
�~$F(x)$. ������ �����, ��� �������� �������������� ���������� ��������� 
��������. ��� $200$~�����, �� ������� ��������� ������� �� ���.~4, 
��������~$\chi^2$ �~$k=10$ ���� ��������~$V$, ������~$9.4$, $17.7$ 
�~$39.3$; � ���� ���������� ������ ���������� �������� ������ �������� � 
����, ������� ���� ��-�������� (��.~(16)). ��� ����������� ������������� 
��-�������� �������� ������������� ��������������, ��� ��� 
��������~$\chi^2$ �� ����������� ����� ������������ �������� � 
������� ������������ ������� ��������~$n$.

��������� ����� ����������, ��� ��������� ���������� �������� ����� 
������ �������� ��������� �����, ����������� �� ���.~2, ���� ������ 
��������~$\chi^2$ ������������ ��-��������. ��� ���������� ���� �������� 
���~$n=200$ � ������� �������� "���������� ��~$t$" ���~$1\le t \le 5$; 
����������~$(0, 1)$ ���������� ��~$10$~������ ������. �� ��� ����� 
��������� ����������~$K_{200}^+$  �~$K_{200}^-$ � ���������� ���������� 
����������� � ��� �� ����, ��� �� ���.~2 (�������, ����� �������� ������� 
�� �������~$99\%$ �~�.~�.). ��� ������� �� ���.~5. �������, ��� ������~D 
(����� ������), ���� �� ���.~5, ������ ����, � �� ����� ��� ���������� 
��������� \emph{��� �� ����� ������} �� ��������~$\chi^2$ �� ���������� 
������� ����������. ������~E (����� ���������), ��������, �� ���.~5 
�������� ��������� �����. ������� �������~A �~B ������������� ���� 
���������. ������� ����������� ����� ���.~2 �~5 ����������� � ������ 
������� � ���, ��� (a)~����� ���������~$200$ �� ����� ���� ������������ 
������; (b)~���������� ����������� �� "��������", "��������������" � 
"������ ��������������" ���� �� ���� �������� �������������.

(���� �� ����������������� �������� ������ � ���, ��� ��
%% 68
����������� � 1948~�.\ "������" ������ ��������� �����, ������ ��� � 
������ ���������� ������ ��� ���� ������ �������. ������ ENIAC �������� 
� ������������ ������ � ����������������� ����������� �������������� 
������. ����� ��������� ����� �����, ��� ������� ���������� ������ �� ����������
\picture{���.~5. ���������� ���������� ��-�������� � ��� �� ������, ��� � �� ���.~2.}
��������� ���������� ��~$23$ �� ������~$10^8+1$; ���������� ��������� 
���������� ������ ��������� �����������. ���������~$23$ ������� ���, ����� 
����� ������������������ ����� ���� ������� ���������: ���������� ����� 
���������� ��������������� ���� �� ������ ������� ��� ����� ��������� 
������� ������. �� ���������� ������� ����� ����������� � ���������,
����������� ��������� �����, ��� ������������ ����� �, ����� ����, ��� 
����� �������. ��� ��� ���������� ��������� ��� �����~$23^k$, 
���~$k$---�������, ������������ �����!)

\section {C. �������, ������������ � ������}. ��������~$\chi^2$ ��� 
��������� ������ �������� � 1900~�. ({\sl Philosophical Magazine,\/} 
Series~5, {\bf 50}, 157--175). ��� ������ ������� ��������� ����� �� 
���������������� � ����������� ����������, ��� ��� �� ��� 
�������� ����������������� ����������� ������������ ������ �� ����, 
��� ��� �������� �� �������. � ����� ������ ������ �������� ��������� 
���������� �������� ������������� ������������� ����������.
%% 68
�� ������� �����, ��� � ��������� ������� ������� (�� ������� �� 
����������������� � �����-����� � ������� ���� ������ � 1892~�.) ������ 
����������, ��������� ������� �� ������� ��������, ��� ��� ���������� 
���������� ������� ��� ����� �� ������������� �� ����, ��� ���� ��� 
��~$10^{29}$. ����� ���������� ��������~$\chi^2$ � �������� ������������ 
���������� � �������� ������ �.~������� (W.~G.~Cochran, {\sl Annals of 
Mathematical Statistics,\/} {\bf 23} (1952), 315--345).

������� � ����������� ���� ������, ������� � ������ ��������~$\chi^2$. 
������ ����������� ����, ���~$Y_1=y_1$,~\dots, $Y_k=y_k$ �����, ��� ����� 
������,
$$
{n! \over y_1! \ldots y_k!} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}.
\eqno(17)
$$
���� ������������, ��� $Y_s$~����� ������������� �������� � ����������
$$
{e^{-np_s} (np_s)^{y_s} \over y_s!}
$$
� ��������� ��������~$Y_s$ ����������, �� ����������� ������������� 
��������~$(y_1,~\ldots, y_k)$ �����
$$
\prod_{1\le s \le k} {e^{-np_s} (np_s)^{y_s} \over y_s!},
$$
� �����~$Y_1+\cdots+Y_k$ ����� �����~$n$ � ������������
$$
\sum_{
\scriptstyle y_1+\cdots+y_k=n \atop
\scriptstyle y_1, \ldots, y_k \ge 0
}\prod_{1\le s \le k} {e^{-np_s}(np_s)^{y_s}\over y_s!}={e^{-n}n^n\over n!}.
$$
���� ����������� ���������� �������~$Y_1+\cdots+Y_k=n$, � � 
\emph{���������} ������� ��������� �������� ������������, �� ����������� 
����, ���~$(Y_1,~\ldots, Y_k)=(y_1,~\ldots, y_k)$, ����� �����
$$
 \left(\prod_{1\le s\le k} {e^{np_s}(np_s)^{y_s}\over y_s!}\right)
 \bigg/ \left({e^{-n}n^n\over n!}\right),
$$
��� ��������� �~(17). \emph{�����, �������������, �������, ��� ��������� 
��������~$Y$ ����� ������������� �������� � ����������,  � ������������ 
������������, ��� �� ����� �����������.}

���������
$$
Z_s={Y_s-np_s \over \sqrt{np_s}},\quad
V=Z_1^2+\cdots+Z_k^2.
\eqno(18)
$$
�������~$Y_1+\cdots+Y_k=n$ ����� �������� � ����
$$
\sqrt{p_1}Z_1+\cdots+\sqrt{p_k}Z_k=0.
\eqno(19)
$$
%% 70
���������� $(k-1)\hbox{-������}$ ������������~$S$ ��������~$(Z_1,~\ldots,  Z_k)$, 
��� ������� ����������� �������~(19). ��� ������� 
���������~$n$ ��������� ��������~$Z_s$ �������������� ��������� 
(��.~���.~1.2.10-16), ��� ��� ����������� ������ �����, 
������������� ������������� ������~$dZ_2~\ldots{} dZ_k$ �~$S$ 
\emph{�����������} ���������������~$\exp(-(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2)$. 
(������ ���� ������ � ������ �������� � ����, ��� ��������~$\chi^2$ 
�������� ���� ��������������, ������������ ��� �������~$n$.) ������ 
����������� ����, ���~$V\le v$, �����
$$
{\displaystyle\int_{\scriptstyle (Z_1,\ldots, Z_k)\hbox{ � } S\atop\scriptstyle\hbox{ � } Z_1^2+\cdots+Z_k^2\le v} \exp(-(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2)\,dz_2\ldots dz_k 
\over
\displaystyle\int_{(Z_1,\ldots, Z_k)\hbox{ � } S} \exp(-(Z_1^2+\cdots+Z_k^2)/2) \,dz_2\ldots dz_k
}.
\eqno(20)
$$
��� ��� ���������~(19) �������� ����� ������ ��������� � $k\hbox{-������}$ 
������������, �������������� � ����������� ���������� �� ������ ����� � 
$(k-1)\hbox{-������}$ ������������ � ������� � ������ ���������. 
��������������� � ���������� �������� ����������� � ��������~$\chi$ � 
������~$\omega_1$,~\dots, $\omega_{k-2}$ �������~(20) ���������� � ����
$$
{\displaystyle\int_{\chi^2 \le v} e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2} f(\omega_1,~\ldots, \omega_{k-2}) \, d\chi\, d\omega_1\ldots d\omega_{k-2}
 \over
 \displaystyle\int e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2} f(\omega_1, \ldots, \omega_{k-2})\, d\chi\, d\omega_1\ldots d\omega_{k-2}
};
$$
�������~$f$ ���������� � ���.~15. ��� �������������� �� �����~$\omega_1$,~\dots,
$\omega_{k-2}$ � ��������� � ����������� ���������� ���������, �� 
������� ����� ���������. � ����� ������ ���������� �������
$$
{\displaystyle\int_0^{\sqrt{v}} e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2}\, d\chi
\over
\displaystyle\int_0^\infty e^{-\chi^2/2}\chi^{k-2}\,d\chi
},
\eqno(21)
$$
����������� �������������� ����������� ����, ���~$V\le v$.

� ���� ������ ������ ��������� �����~$\chi$, ��� � ������������ ������ 
�������; ������ ��������~$\chi^2$ � ������� ���� ��������. 
����������~$t=\chi^2/2$, ����� �������� ��������� ����� �������� 
�����-�������, ������� ��� �������������� � �.~1.2.11.3:
$$
\lim_{n\to\infty} P\{V\le v\}=\gamma\left({k-1\over 2}, 
{v\over2}\right)\bigg/\Gamma\left({k-1\over 2}\right).
\eqno(22)
$$
������ ����������� �������������~$\chi^2$ � $(k-1)$~��������� �������.

%% 71

�������� ������ � ��-��������. � 1933~�.\ �.~�.~���������� ��������� 
��������, ���������� �� ����������
$$
K_n=\sqrt{n}\max_{-\infty<x<+\infty}\abs{F_n(x)-F(x)}=\max(K_n^+, K_n^-).
\eqno(23)
$$
����� ���� ����������� ����� ��������, ��������� � 1939~�.\ 
�.~�.~���������, ���� � ��, ������� ������������ � ���� ����� � ��������� 
�� ���������� ����������~$K_n^+$ �~$K_n^-$. ���������� �������� 
��������� �������������� ����� ��������, �� �� �� ���, ������� 
����������~$K_n^+$ �~$K_n^-$, �������� ������ ��� �������� ��������. 
������������� ����� ���������� �� ��-�������� � ��� ����������, ������� 
�������� ������ ����������, ���������� � ������ �������� 
({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 28} (1957), 823--838). 
������ ����.\ �������� ������������� ������� ������� ��� ������������ � 
������ �������.

������ ��� ������ �������� �������������~$K_n^+$ �~$K_n^-$, ������������ 
��������� ��������������� �����������. \dfn{����~$X$---��������� �������� � 
����������� �������� �������������~$F(x)$, ��~$F(X)$---��������� �����, 
���������� �������������� �����~$0$ �~$1$.} ��� �������������� ����� 
���������� ���������, ��� ���~$0\le y \le 1$ �����������~$F(X)\le y$ 
����������� � ������������~$y$. �� �������������~$F(x)$ �������, 
���~$F(x_0)=y$ ��� ������-��~$x_0$. ������� ����������� ����, 
���~$F(X)\le y$, ���� ����������� ���������� �����������~$X\le x_0$. 
�� ����������� ��� ����������� ����~$F(x_0)$, �.~�.\ �����~$y$.

�����~$Y_j=n F(X_j)$ ���~$1\le j \le n$. ����� ��������~$Y_j$ 
������������ ���������� �����~$0$ �~$n$; ��� ����������, �� 
����������� ����, ���~$Y_1\le Y_2 \le \ldots \le Y_n$ (��� ������������ 
����������~$X_1\le X_2\le\ldots\le X_n$, ������� ����������� ��� �������� 
�� �������~(13)). �������~(13) ����� ���������� ������ ��������� �������:
$$
K_n^+={1\over \sqrt{n}}\max(1-Y_1, 2-Y_2, \ldots, n-Y_n).
$$
����~$0\le t \le n$, �� ����������� �����������~$K_n^+\le t/\sqrt{n}$ ���� 
����������� ����, ���~$Y_j\ge j-t$ ���~$1\le j \le n$. ��� 
����������� �������� �������� � ���� $n\hbox{-��������}$ ���������
$$
{\displaystyle
 \int_{\alpha_n}^n\,dY_n \int_{\alpha_{n-1}}^{Y_n}\,dY_{n-1}\ldots \int_{\alpha_1}^{Y_2}\,dY_1 
\over
 \displaystyle
 \int_0^n\,dY_n \int_0^{Y_n}\,dY_{n-1}\ldots \int_0^{Y_2}\,dY_1
}, \rem{��� $\alpha_j=\max(j-t, 0)$.}
\eqno(24)
$$
����������� ����� ��������� �����~$n^n/n!$. �������������, ���,
����������� �� ��������~$(Y_1, Y_2,~\ldots,  Y_n)$ �~$0\le Y_j<n$, �����
%% 72
�����~$n^n$; ��� ���� ��������� �� $n!$~������ ������, ��������������� 
���� ��������� �������������~$Y_j$. �������� � ��������� ��������� �������,
�� ��� ����� ����� ��������, ��������� � ���.~17; � ���������� ���������� 
����� �������
$$
P\left\{ K_n^+\le {t\over \sqrt{n}}\right\}={t\over n^n}\sum_{0\le k \le t}\perm{n}{k}(k-t)^k(t+n-k)^{n-k-1}.
\eqno(25)
$$
�������������~$K_n^-$ ����� ����� ��. �������~(25) ���� ������� �������� 
���������� � �����; �� ����� ������������ � �������, ������� �� �������� � 
����.~2.

� ������������ ������ �������� ��������, ���
$$
\lim_{n\to\infty} P\{K_n^+\le s\}=1-e^{-2s^2} \rem{���~$s \ge 0$.}
\eqno (26)
$$
� ��������� � ��������~(25) ��� ����
$$
\lim_{n\to\infty}{s\over\sqrt{n}}
\sum_{\sqrt{ns}<k\le n}\perm{n}{k}\left({k\over n}-{s\over\sqrt{n}}\right)^k \left({s\over\sqrt{n}}+1-{k\over n}\right)^{n-k-1}=e^{-2s^2}, 
 \rem{$s\ge 0$.}
\eqno(27)
$$
�� �������� ��� ���������� ����������� ����� ������. �������� 
������������ �������������� ����������� ������ 
({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 32} (1961), 499--505). 
��� �������� �� ��������� ������. � ���������� ���������� ���������� � 
����������~$\alpha$ �~(24) �������� ����������� ������� 
���������������� ����������, ��� ������� ����������� ����������� �����, 
� ����� ������������, ��� ��� �������, ��� � ������ ������� ��������� 
�~$e^{-2s^2}$.

\excercises
\ex[00] ����� ������ �� ������� �������������~$\chi^2$ ���� ������������ 
��� ���������, �� ������� �� ������ ��������~$V=7{7\over 48}$ �~(5)?

\ex[20] ���������� �����������~$p_s$ ��������� �����~$s$ ���~$2\le s \le 12$ 
��� �������� ���� ������, ���������� ��������� �������: � ����� �� 
���~$1$, � � ������~$6$ �������� ����� ����� ����, ��� ����� ������ ��������.

\rex[23] �����, ��������� � ���������� ����������, ��������� 
144~����. ���� �������� ��������� ����������:
\ctable{
 $#$\hfil\bskip&&\bskip\hfil$#$\bskip\cr
   s & 2 & 3 &  4 &  5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 & 11& 12\cr
 Y_s & 2 & 6 & 10 & 16 & 18 & 32 & 20 & 13 & 16 & 9 &  2\cr
}

��������� � \emph{����} ��������� ��������~$\chi^2$, ��������� 
�������������~(1), �.~�.\ �����������, ��� ����� ����������. �������� �� � 
����� ������ ��������~$\chi^2$ ����������, ��� ����� ������������? ���� 
���, �� ��������� ������.

\rex[23] �� ����� ���� ����� ������� ����������~(9) � ������������~1,
�������� �����, ���� �� ������� ����������, � �� ������ �������� 
������~$1$ ���~$6$ � ������� �������������. ��������� ��� ����� ������ 
�����������, ������� �������~(1), � � ������� ��������~$\chi^2$ ����������,
������������� �� ���������� ������������ ������ ���������� ������.

%% 73

\ex[22] �����~$F(x)$---����������� �������������, ������������ �� ���.~3,b. 
���������~$K^+_{20}$ �~$K^-_{20}$ ��� ���������~20 ����������������� ��������:
$$
\matrix{
 0.414, & 0.732, & 0.236, & 0.162, & 0.259, & 0.442, & 0.189, & 0.693, & 0.098, & 0,302, \cr
 0.442, & 0.434, & 0.141, & 0.017, & 0.318, & 0.869, & 0.772, & 0.678, & 0.354, & 0.718. \cr
}
$$
���������� � ������� ������� �� ���� ���� ���������, ������������� 
�� ����������������� ������ ������������ �������������.

\ex[�20] ���������� �������~$F_n(x)$, ������������ ��������~(10), 
��� �������������~$x$. ������ �����������, ���~$F_n(x)=s/n$ ��� ��������� 
������~$s$? ������ ������� ��������~$F_n(x)$? ������ ������������������ ����������?

\ex[�15] ��������, ���~$K^+_n$ �~$K^-_n$ �� ����� ���� ��������������. ������
���������� ��������� ��������~$K^+_n$?

\ex[00] � ������ ��� ������ �����������, � ������� � ���������� 
��������� ������������������ ��������� ����� ���� �������� 20~�������� 
����������~$K^+_{10}$. ��� ������, ������������ �� ���.~4, ���� 
����������� � ������� ��-��������. ������ ��� ���� �������������� 
��������� �������� ���~$n=20$, � �� ���~$n=10$?

\rex[20] � ��������� � ������ ������������ �� ������ ���������� 
20~��������~$K^+_{10}$, ����������� � ������� ����� "���������� ��~5", 
������� ���������� � ������ ������ ��������� ������������������. ����� 
���� �� ��������� ����� ��������������� 20~��������~$K^-_{10}$; ��� ��� 
������������� ���������~$K^+_{10}$ �~$K^-_{10}$ ���������, ����� ���� �� 
���������� ��� 40~�������� (20~��������~$K^+_{10}$ � 
20~��������~$K^-_{10}$ � ��������� � ��� ��-��������, ��������~$K^+_{40}$ 
�~$K^-_{40}$. �������� ����������� ���� ����.

\rex[20] �����������, ��� ���������� $n$~��������� ���������� � 
������� ��������~$\chi^2$ � �������� ��������~$V$. ����� �� �� 
$n$~����������� �������������� ��� ��� (����������, �����������, �� �� 
�����), ����� ���� ������ ����� ������ ������������ � ��������������� ��� 
������ ���� � ������ ���������~$2n$ (��� ���� ���������� ���������� 
������������� ���������). ����� ����� ������� ����� ������ � ������ ���������~$V$?

\ex[20] ������ ���.~10, ������� ��������~$\chi^2$ �� �������� ��.

\ex[M26] ����� ��� ���������� ��������~$\chi^2$ � ����������� 
$n$~��������� ��������������, ��� $p_s$---����������� ��������� � 
���������~$s$. ��������, ��� � ���������������� ����������� ��������� � 
���������~$s$ �����~$q_s\ne p_s$ (��.~���.~3). �������, ����������, ����� 
��������~$\chi^2$ �������� ����������, ��� �������������� ������������� 
���� ��������. ��������, ��� ��� ���������� �������~$n$ ��� 
������������� ����� ����������. �������� ����� ����������� ��������� ��� ��-��������.

\ex[�24] ��������, ��� �������~(13) ������������ �������~(11).

\rex[��26] ����� ��������~$Z_s$ ������ ����������~(18). �������� 
��������������� � ������� ������� ���������, ��� ����������� 
��������� ��������� ��� ��������������� �������������:
$$
n'p_1^{Y_1}\ldots p_k^{Y_k}/Y_1!\ldots Y_k! = 
e^{-V/2}/\sqrt{(2n\pi)^{k-1}p_1\ldots p_k}+O(n^{-k/2}),
$$
���� $Z_1$, $Z_2$,~\dots, $Z_k$ ���������� ���~$n\to\infty$. (����� ������ 
��������� ���������� ��������~$\chi^2$, ������ �������� �� ����������� � 
������� ������ ��������, ��� ��� �������, �������������� � ������.)

\ex[��24] ������ �������� ���������� � ��������� ������������ �������� 
�����������~$x=r\cos\theta$ �~$y=r\sin\theta$. ��� �������������� 
������������ ���������~$dx\,dy=r\,dr\,d\theta$. � ����� ������ ��� 
$n\hbox{-�������}$ ������������ ����� ��������
$$
\eqalign{
 x_k &=r\sin\theta_1\ldots\sin\theta_{k-1}\cos\theta_k,\rem{$1\le k <n$,}\cr
 x_n &=r\sin\theta_1\ldots\sin\theta_{n-1}.\cr
}
$$
%% 74
��������, ��� � ���� ������
$$
 dx_1\,dx_2\,\ldots\,dx_n=\abs{r^{n-1}\sin^{n-2}\theta_1 \ldots \sin\theta_{n-2}\, dr \,d\theta_1\, \ldots \,d\theta_{n-1}}.
$$

\ex[��35] �������� �������~1.2.11.3A ���, ����� ���������� ��������
$$
\gamma(x+1, x+z\sqrt{2x}+y)/\Gamma(x+1)
$$
��� �������~$x$ � �������������~$y$, $z$. �������� �����~$O(1/x)$. � 
������� ����������� ���������� ������� ������������ �������~$t$ ���������
$$
\gamma\left({\nu\over 2}, {t\over 2}\right) \bigg/ \Gamma\left({\nu\over 2}\right)=p
$$
��� �������~$\nu$ � �������������~$p$; ����� ������� ����� ������� 
���������� ��������������� ������, ����������� � ����.~1. 
(\emph{��������:} ��.~���.~1.2.11.3-8.)

\ex[��26] �����~$t$---��������� �������������� �����, � ����� ���~$0\le k \le n$
$$
P_{nk}(x)=\int_{n-t}^x\,dx_n \int_{n-1-t}^{x_n}\, dx_{n-1} \ldots 
 \int_{k+1-t}^{x_{k+2}}\,dx_{k+1} \int_0^{x_k+1}\, dx_k \ldots 
 \int_0^{x_2}\, dx_1,
$$
�~$P_{00}(x)=1$. �������� ��������� �����������:
{\medskip\narrower
\item{a)}$\displaystyle 
 P_{nk}(x)=\int_n^{x+t}\, dx_n \int_{n-1}^{x_n}\, dx_{n-1} \ldots 
 \int_{k+1}^{x_{k+2}}\,dx_{k+1} \int_t^{x_k+1}\,dx_k \ldots \int_x^{x_2}\,dx_1;
$
 \hiddenpar
\item{b)}$\displaystyle 
 P_{n0}(x)=(x+t)^n/n!-(x+t)^{n-1}/(n-1)!;
$
 \hiddenpar
\item{c)}$\displaystyle 
 P_{nk}(x)-P_{n(k-1)}(x)={(k-t)^k\over k!}P_{(n-k)0}(x-k) \rem{��� $1\le k \le n$;}
$
 \hiddenpar
\item{d)}�������� ����� ������� ���~$P_{nk}(x)$ � ����������� �� ��� ������ �������~(24).
\medskip}

\ex[M20] ����� "�������" ����������, ������ ������������� �������~$K^+_n$ 
�~$K^-_n$ ���������.

\ex[��48] ������������ ��������, �������� �������� �����������-��������, 
��� ����������� �������������~$F(x_1,~\ldots, x_r)=P\{X_1\le x_1,~\ldots, X_r\le x_r\}$. (��� ����� ������������, ��������, � ����� � ������  
�������� �����, ������������� � ��������� ������.)

\ex[��50] �������� ���������� ���������� �� ��������������� �������� 
�������� � ����� ����� ���������~(27) ��� �������~$n$. [\emph{���������.} 
������������ ������ ����������, ��� ��� �������� ������~$e^{-2s^2}$ ��� 
�����~$n$, �� ����� ��� ����������. �������� ������ ������, ��� ������ 
���������� ���-�� �����~$\exp(-2s^2-(2s+s^3)/\sqrt{n})$ 
�~$\exp(-2s^2+3.83 s^3/\sqrt{n})$. ���������, ����������� � ����.~2 ��� 
�������~$n$, �������� ����������� �� ������ ������������� ������ ������; 
���� �� ������� �������� ������������ ����� �������� ������.]

\ex[�40] ����, ��� ���� ������� � ������, �������� �����������- �������� 
����������� � ��� �������, ����� ������� �������������~$F(x)$ ����������,
�����, �������, ����������� ���������~$K^+_n$ �~$K^-_n$ ��� 
���������� �������������. ��������������� ������������� ���������~$K^+_n$ 
�~$K^-_n$ ��� ������ ����� ���������� �������������~$F(x)$. �������� 
������������� ������ ����� � ��������~$\chi^2$  � ���������� �������.

\ex[��42] �������� ������������� "��������� ����������� �������������" � 
�������� ������������ ��������~$\chi^2$ ��� �������� �������� ��������� 
�����; ��������� ������������, �������� ��� ��� ���� ���������.

%% 75

\subsubchap{������������ �����} %3.3.2
� ���� ������ ����� ������� ������ ����� ������������������ ������, 
������� ����������� ��� �������� ����������� �������� �������������������. 
�������� ������� ����� ������� �� ���� ������: (a)~������� ���������� �� 
���������� ����� � (b)~��������� ������, ������� � ������ �����. 
(�������� � ������������� �������������� ����������� ����� ��� 
������� ���������� ������������� �����������. ��������, �������� 
�� ����������� � ���������� ����� �������������� ���� �� 
���� ������������� ������, ����������� �����, ���� ���� �� �� ���������� 
���������� ��������� �������� ��������� �����.)

������ ���� ����������� � ������������������ ��������� �����
$$
\<U_n>=U_0, U_1, U_2, \ldots\,,
\eqno(1)
$$
������� ������ ���� ������������ ���������� ����� ��˸� � ��������. 
��������� ����� ������������� � ������ ������� ��� �������� ������������� 
�������������������, � �� ������������������� �������������� ����� 
����~(1). � ���� ������ �������� ������������ ��������������� ������������������
$$
\<Y_n>=Y_0, Y_1, Y_2, \ldots\,,
\eqno(2)
$$
������� ������������ ��������� �������:
$$
Y_n=\floor{d U_n}.
\eqno(3)
$$
�������� � ��� ������������������ ����� ����� ������������ ���������� 
�����~$0$ �~$d-1$, ���� �����~(1) ������������ ���������� �����~$0$ 
�~$1$. ��������~$d$ ����� ���� �����; ��������, �� ������, ���������� � 
�������� �������, ����� �������~$d=64=2^6$; �����~$Y_n$ ����� ������������ 
������ �������� ��������� ��������� � �������� �������������~$U_n$. 
����� ���� ��� ����������������, ��������~$d$ ������ ���� ���������� 
�������, �� �� �������, ����� ��� ���������� ����� �� ������ �� 
��������� �����������.

��������� ����� �����������~$U_n$, $Y_n$ �~$d$ ����� �������������� � 
������ ������� ������������. ��������~$d$ ����� ���� ������ � ������ ������.

\section{A.~�������� ������������� (�������� ������)}. ������ ����������, 
���Į�������� � ������������������~(1), ����������� � ���, ����� 
�����~$U_n$ ���� ������������� ���������� ������������ ����� ����� � 
��������. ��������� ������������� ����� ����� ���������: (a)~�~������� 
�������� �����������---��������, ����~$F(x)=x$ ���~$0\le x \le 1$; 
(b)~������� �����-������ ������� ��������~$d$, ��������~$100$, �� ������,
���������� � ����������
%% 76
�������, ����~$64$ �~$128$ �� ������, ���������� � �������� �������, 
����� ���� ������������ ������������������~(2) ������~(1). ����� ��� 
������� ������~$r$, $0\le r < d$, ���������� ����� ��������~$Y_j=r$ 
���~$0 \le j < n$ � ��������� ��������~$\chi^2$ �~$k=d$ � �������������~$p_s=1/d$.

����������� ����� �������� ����� ����� � ���������� �������.

\section{B.~�������� �����}. ����������� ������������� � ������������� ��� 
��������� ���� �� ������ ��������� �����. ��� ����� ��������������, 
������� ��� ����������� ������ ����~$(Y_{2j}, Y_{2j+1})=(q, r)$ ���~$0 \le j < n$. 
��������~$q$ �~$m$ ����� ��������� ����� �������� ��~$0$ ��~$d$. 
����� ����������� ��������~$\chi^2$ � ������ ���������~$k=d^2$ � ������� 
�������������~$1/d^2$ �� ���� ����������. ��������~$d$ ���������� �� ��� 
�� �����������, ��� � � ���������� �����, �� � ������ ������ ��� ������ 
���� ��������� ������, ��� ��� ��������� ��������~$\chi^2$ ������� ��� 
���������~$n$, ����������� �����������~$k$ (������, �� ������� ���� 
���~$n>5d^2$).

��������, ��� ����� �������� ���� ���� �� ������, �������� �~�.~�.\ 
(��.~���.~2); ������ ��������~$d$ ������ ���� ��� ���� ����� ���������, 
����� ����� ��������� �� ���������� ������� �������. ������� ��� 
����������� ������� � ����� ��������� ������������ ����� ������ �����, 
�����, ��� "���������� ��~$t$" ��� �������� ���������� (��� ����� ������� ����).

�������, ��� � ���� ����� � $n$~���������� ������������ $2n$~����� 
������������������~(2). ���� �� ������� ���������� � ������ ������ 
����~$(Y_0, Y_1)$, $(Y_1, Y_2)$,~\dots, $(Y_{n-1}, Y_n)$; ������� �� 
��������, ������? ��� ���~$(Y_{2j+1}, Y_{2j+2})$ ����� ���� �� ��������� 
����������� ���� � ��������� ������ ������������������ � ������� ����� 
������. � ������ �������, ��� ������� ���, 
({\sl Annals af Mathematical Statistics,\/} {\bf 28}, (1957), 262--264), 
����~$d$---������� �����, ������������ ����~$(Y_0, Y_1)$, $(Y_1, Y_2)$,~\dots, 
$(Y_{n-1}, Y_n)$ � � ������� �������� $\chi^2\hbox{-������}$ ����������� ��� 
����������~$V_2$, ��������������� �������� �����, \emph{��� �} ����������~$V_1$ 
��� �������� �������������~$Y_0$, $Y_1$,~\dots, $Y_{n-1}$ � ����� � ��� �� 
���������~$d$, �� ��� �������~$n$ ��������~$V_2-2V_1$ ����� ����� 
�������������~$\chi^2$ � $(d-1)^2$~��������� �������, ����~$V_2$ � ������ 
������ ����� �������������, \emph{��������} �� �������������~$\chi^2$ � 
$d^2-1$~��������� �������.

\section{C.~�������� ����������}. � ���� ����� ����������� ����� 
���������� ����� ����������� ��������~$U_j$, ������������� ���������� 
��������� �������. ����~$\alpha$ �~$\beta$---��� �������������� �����, 
������~$0\le\alpha<\beta\le 1$, �� �������������� ����� 
�������������������~$U_j$, $U_{j+1}$,~\dots, $U_{j+r}$, � ������� 
������~$U_{j+r}$
%% 77
����� �����~$\alpha$ �~$\beta$. (����� ������������������ �� 
$r+1$~����� ���������� �������� �����~$r$.)

\alg G.(���������� ���� ����������.) ��������� �������� ��������� 
���������� ����� ���������� �����~$0$, $1$,~\dots, $t-1$ � ������ ����� 
���������� ������� �����~($\ge t$) � ������������������~(1). ������ 
������������ �� ��� ���, ���� �� ����� ���������������� ����� $n$~����������.
\picture{
 ���~ 6. ���������� �������� ���������� (�������� ��������� ����������� � ��� 
 ���������� ������ ���������� ������� � �������� �� ������������).
}

\st[��������� ���������.] ����������~$j\asg -1$, $s\asg 0$, � 
�����~$|COUNT|[r]\asg 0$ ���~$0\le r \le t$.

\st[$r=0$.] ����������~$r\asg0$.

\st[$\alpha \le U_j < \beta$?] ���������~$j$ ��~$1$. ����~$U_j\ge\alpha$ 
�~$U_j<\beta$, ������� ��~\stp{5}.

\st[���������~$r$.] ���������~$r$ �� �������, ����� ��������� ��~\stp{3}.

\st[����������� ����� ���������.] (��������� �������� �����~$r$.) 
���~$r\ge t$ ���������~$1$ �~$|COUNT|[t]$, � ��������� ������ 
���������~$1$ �~$|COUNT|[r]$.

\st[���������� $n$~����������?] ���������~$1$ �~$s$. ����~$s<n$, ��������� ��~\stp{2}.
\algend

����� ���������� ����� ��������� $k=t+1$~�������� $|COUNT|[0]$, 
$|COUNT|[1]$,~\dots, $|COUNT|[t]$ �������������� � ������� 
��������~$\chi^2$ � �������������� ��������� �������� ������������:
$$
p_0=p, \quad p_1=p(1-p), \quad p_2=p(1-p)^2, \quad \ldots, \quad p_{t-1}=p(1-p)^{t-1}, \quad p_t=p(1-p)^t. 
\eqno (4)
$$
����� $p=\beta-\alpha$~����� ����������� ����, ���~$\alpha\le U_j<\beta$.  
��������~$n$ �~$t$ ������ ���������� ����� �������, ����� 
������� ��������~$|COUNT|[r]$ ���� �� ������~5.

����� �������� ����~$\alpha=0$, ����~$\beta=1$, ����� ���������
���~G3 ���������� ���������. ������� 
������~$(\alpha, \beta)=\left(0, {1\over 2} \right)$ 
%% 78
���~$\left({1\over 2}, 1\right)$ ������ �������� ��������� ���������� �� 
�������� ���� ��� �����.

�������~(4) ��� ������������ ��������� �����; �� ������������� �������� 
����������� ��������� ��� ��������������.
�������, ��� � ����������� ����� ��������� ����������� ����� ��������� 
����� $n$~\emph{����������}; ������������������ ��� ���� ����� ���������� 
������������ �����. �����, �������� ����������� ����� ����������� 
������������������ (��.~���.~5).

\section{D.~�����-���� (�������� ����������)}. � "������������" 
�����-����� ��������������� $n$~����� �� ���� ��������� ���� �� ������ 
����� �����~$(Y_{5j}, Y_{5j+1}$,~\dots, $Y_{5j+4})$, $0\le j < n$. 
���������� ��������� 7~����� ����������:
\ctable{
 \hfil$#$\bskip&\bskip#\hfil\cr
 abcde & (��� ������),\cr
 aabcd & (���� ����),\cr
 aabbc & (��� ����),\cr
 aaabc & (��� ������ ����),\cr
 aaabb & (������ ����),\cr
 aaaab & (������ ������ ����),\cr
 aaaaa & (���� ������ ����).\cr
}
� ������� ��������~$\chi^2$ �����������, ������������� �� 
������� ���������� ������������.

��� ���������� ���������������� ���������� ��������� ��������� ���� ����. 
������� ������������ ����� ������� ������� ���������� ������������� ����� 
� ������ ������� ����� ��������� ��� ���� ����� ����:
$$
\eqalign{
\hbox{5 ������}&=\hbox{��� ������;}\cr
\hbox{4 ������}&=\hbox{���� ����;}\cr
\hbox{3 ������}&=\hbox{��� ����, ��� ��� ������ ����;}\cr
\hbox{2 ������}&=\hbox{������ ���� ��� ������ ������ ����;}\cr
\hbox{��� ������} &= \hbox{���� ������ ����.}\cr
}
$$
���� ��� ���� ����� �� ����������, � �������� ����������� ����������.

� ����� ������ ����� ����������� $n$~����� ��~$k$ ��������� ������ ����� � 
������������ ����� �����, � ������� ������� $r$~������ �����. ����� 
��������� ��������~$\chi^2$ � �������������
$$
p_r={d(d-1)\ldots(d-r+1) \over d^k} \Stir{k}{r}.
\eqno(5)
$$
(����� ���������~$\Stir{k}{r}$ ���� ���������� � �.~1.2.6; ��� 
�� ��������� �������, �� ������� �� ����� ���������.) ��� ��� ���~$r=1$ 
���~$2$ �����������~$p_r$ ����� ����, ��� ��������� ����� ����������.

%% 79
����������� ���� ������� ���~$p_r$ ���������� ��������� �������. 
�����������, ������� ����� �� $k$~�����, ������ �� ������� ����� ��������� 
�������� ��~$0$ ��~$d-1$, �������� $r$~������ ���������. ����� ���������� 
������� ��~$d^k$---����� ���������� ��������� �����. ��� ��� 
$d(d-1)\ldots(d-r+1)$~���� ����� ���������� �� $d$~��������� ��~$r$, 
�������� ������ ��������, ���~$\Stir{k}{r}$---����� ��������, �������� 
����� ������������
$k$~��������� �� $r$~����������. ������������ �������~(5) ��������� � 
������� ����������� ���.~1.2.6-64.

\section{E.~���� ���������� �������}. ���� ���� � ������ ��� 
��������� ������� ����� ����� �������� ��� ��, ��� ����� �������� 
���������� � �������� ������. ������������ ������������������~$Y_0$, 
$Y_1$,~\dots{} � ������������ ����� ���������~$Y_{j+1}$, $Y_{j+2}$,~\dots, 
$Y_{j+r}$, ����������� ��� ����, ����� ������� "������ �����" ����� ����� 
��~$0$ ��~$d-1$. ��� ����� ������� � ������� ���������� ���������.

\alg C.(���������� ����� ���������� �������.) ��� �������� 
������������������ ����� �����~$Y_0$, $Y_1$,~\dots{} ($0\le Y_j<d$) ���� 
�������� ���������� �����~$n$ ���������������� ��������� �� ������ ��� 
����������������� �������. �� ��������� ������ ��������� �~$|COUNT|[r]$ 
���~$0\le r < t$ ��������� ����� ��������� �����~$r$, � 
�~$|COUNT|[t]$---����� ��������� �����~$\ge t$.

\st[��������� ���������.] ����������~$j\asg -1$, $s\asg 0$, � 
�����~$|COUNT|[r]\asg 0$ ���~$0\le r \le t$. 

\st[$q, r=0$.] ����������~$q\asg r \asg 0$, � �����~$|OCCURS|[k]\asg 0$ 
���~$0\le k < d$. 

\st[��������� ���������.] ���������~$r$ �~$j$ ��~$1$. 
����~$|OCCURS|[Y_j]\ne0$, ��������� ��� ��������.

\st[������ �����?] ����������~$|OCCURS|[Y_j]\asg 1$, $q\asg q+1$.
(�� ������ ������ ���������� $q$~������ ��������. ����~$q=d$, ��� ������, 
��� ������� ������ �����.) ���~$q<d$ ������� ��~\stp{3}.

\st[����������� ����� ��������.] ���~$r\ge t$ ���������~$1$ �~$|COUNT|[t]$,
� ��������� ������ ���������~$1$ �~$|COUNT|[r]$.

\st[���������� $n$~���������?] ���������~$1$ �~$s$. ����~$s<n$, 
��������� ��~\stp{2}.
\algend

������ ������������� ����� ��������� �������� � ���.~7. ����� ����������� 
����, ��� ���� ���� � ��������, ���������� $d$~����� �������. �� ������ 
������ ���������� � ������ �������� � ����� ��� ��������, ������ 
������������ ��� ��������� �������. ������� ��� ���� �� ��� ���, ���� �� 
������� ������ �������� �������.

%% 80

���������� ���������~$|COUNT|[d]$,  $|COUNT|[d+1]$,~\dots, $|COUNT|[t]$ 
�������������� � ������� ��������~$\chi^2$ �~$k=t-d+1$~��������� ������� 
����� ����, ��� ��������~C �������� ������. ��������������� ����������� �����:
$$
p_r={d!\over d^r}\Stir{r-1}{d-1}, 
\qquad d\le r<t, 
\qquad p_t=1-{d!\over d^{t-1}}\Stir{t-1}{d}.
\eqno(6)
$$
��� ������ ���� ������ ���������� ��������, ���, ��������~(5), ����������� 
����, ��� ������� �����~$r$ \emph{��������,} �.~�.\ �������� �� ��� �� 
��������� $d$~��������, �����
$$
q_r=1-{d!\over d^r}\Stir{r}{d}.
$$
����� �������~(6) ���������� ��������������� �� 
�����������~$p_r=q_{r-1}-q_r$, $d\le r < t$ �~$p_t=q_{t-1}$.

�������, ����������� � ����� � ���������� \emph{�����������} ����� �����, 
����������� � ���.~9 �~10, � ����� � ������ �.~���~�������� 
({\sl AMM,\/} {\bf 61} (1954), 306--311).

\section{F.~�������� ������������}. �������� �������� ������������������ 
�� $n$~����� �� $t$~��������� � ������: 
$(U_{jt}$, $U_{jt+1}$,~\dots, $U_{jt+t-1})$, $0\le j < n$. � ������ ������ 
�������� ����� $t!$~��������� �������������� ������������ �����. 
��������������, ������� ��� ����������� ������ ���������� ������������� 
������������, ����� ���� ����������� 
��������~$\chi^2$ �~$k=t!$ � �������������~$1/t!$ ��������, ���~$t=3$ 
����� ��������� ����� �����: $U_{3j}<U_{3j+1}<U_{3j+2}$ 
���~$U_{3j}<U_{3j+2}<U_{3j+1}$ ���~\dots{} ���~$U_{3j+2}<U_{3j+1}<U_{3j}$. 
��� ���� ��������������, ��� ������ ��������� ���� ����� ����������: 
�������������, ����������� ������ ������� ����� ����.

��� ���������� ����� ����� �� ������ ������ ��������������� ��������� 
����������, ������� ��������� � ��� �� ����.

\alg P.(������ ������������.) ������ ������ ������������� 
���������~$(U_1,~\ldots, U_t)$ �������� � ������������ ������������� 
�������~$f(U_1,~\ldots, U_t)$, �����, ���
$$
0\le f(U_1, \ldots, U_t)<t!
$$
�~$f(U_1,~\ldots, U_t)=f(V_1,~\ldots, V_t)$ � ��� � ������ ��� ������,
����� �������� �~$(U_1,~\ldots, U_t)$ �~$(V_1,~\dots, V_t)$ ����������� � 
���������� �������. � ��������� ������������ ��������������� 
�������~$C[1]$,~\dots, $C[t]$.

\st[��������� ���������.] ����������~$r\asg t$. 

\st[���������� ��������.] ���������� ������������ �� 
��������~$\set{U_1,~\ldots, U_r}$. �������� ���~$U_s$. ����� 
����������~$C[r]\asg s-1$.
%% 81
\st[������.] ��������������~$U_r\xchg U_s$.

\st[����������~$r$.] ������� ��~$r$ �������. ����~$r>0$, ��������� ��~\stp{2}.

\st[����������~$f$.] ������� �������� ������� ���������� �� �������
$$
\eqalignno{
f&=C[t]+tC[t-1]+t(t-1)C[t-2]+\cdots+t!C[1]=\cr
 &=(\ldots((C[1]\times2+C[2])\times3+C[3])\times4+\cdots+C[t-1])\times t+C[t]. \endmark & (7)\cr
}
$$
\algend

�������� �������� ����� �������, ���
$$
0\le C[r]<r
\eqno(8)
$$
(��.~���~P2) �, � ���������, $C[1]$ ������ ����� ����. ��� ��� 
$C[r]$~����� ��������� $r$~��������� ��������, ����� 
���������� �������������� �������~$C$ �����~$t!$. �� ������~(7) �~(8) 
����� ������, ���~$0\le f < t!$. � ����� ������ ��������� 
��������~$(U_1,~\ldots, U_t)$ ����� ����������� � ������� �����������.

��� �������������� ����, ��� ���������~$f$, ���������� � ������� 
���������~P, ������������� ������������ ������� ������� ���������� ����� 
� �������� ������������������~$(U_1,~\ldots, U_t)$, �������, ��� ���� 
�������� ����� ������������ ��� ������� �������� ������. ����� ������ 
��������� ��������~$f$ �~$t$ ���������~$(U_1,~\ldots, U_t)$, 
������~$0\le f<t!$ �~$U_1<U_2<\ldots<U_t$. ���������~$C[t]\asg f \bmod t$, 
$C[t-1]\asg \floor{f/t}\bmod(t-1)$, $C[t-2]\asg \floor{\floor{f/t}/(t-1)}\bmod (t-2)$ 
�~�.~�., ��������, ����� �������, ���~P5 � �������� �������. ����� 
���������� ������~$U_1\xchg U_{C[1]+1}$, $U_2\xchg U_{C[2]+1}$,~\dots, 
$U_t\xchg U_{C[f]+1}$ � ��������� �������. ����� ������, ��� ��� ���� 
������������� ����������� ���������� ����� P1--P4. ��� ����, ��� 
��������~$f$ ��������� ������������ �������� ������� ������������������, 
���������� ������������ ���������~P.

\section{G. �������� �� ������������}. ���� ���� �������� "����������" � 
"�������������", �.~�.\ ������������� ����� \emph{����������} 
���������������������� ����� � �������� ������������������.

� �������� ������� ���������� ������������������ �� 
10~���� "$1298536704$"; ������� ������������� ������� ������ � 
����� ������������������, � ����� ��� �����, ���~$X_j>X_{j+1}$, �������
$$
\vert 1\, 2\, 9 \vert 8 \vert 5 \vert 3\, 6\, 7 \vert 0\, 4 \vert.
\eqno (9)
$$
����� �������� ��� ����������� ���������������������: ������ �����~3, 
����� ��� ��~1, ��� ���� �����~3 � �����~2. �������� � ���.~12 ����������, 
��� ������������ ����� ����� ��������.
%% 82
� ������� �� ����� ���������� ������� ��� �������� ���������� (������� 
�� ������ ���������� ������ �� ���� ����) � ������ ������ \emph{�� ������� 
��������� ��������~$\chi^2$ ��� ������� ���������� ������,} ��� ��� ��� 
\emph{�� ��������} ������������. ����� �������� ������� ���� ���������� 
�������� � ��������. ��-�� ���������� ������������� ������ ���������� 
��������~$\chi^2$ ���������� ����������. ������ �����, ����� ����������� 
���� �������� � ������� ���������, ���������� � ���.~12, ����������� ����������
$$
V={1\over n}\sum_{1\le i, j \le 6} 
(|COUNT|[i]-nb_i)(|COUNT|[j]-nb_j)a_{ij},
\eqno(10)
$$
��� ������������~$a_{ij}$ �~$b_i$ ������:
$$
\eqalign{
\pmatrix{
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16}\cr
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26}\cr
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36}\cr
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & a_{46}\cr
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & a_{56}\cr
a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66}\cr
}&=
\pmatrix{
 4529.4 & 9044.9 & 13568 &  18091 &  22615 &  27892\cr
 9044.9 &  18097 & 27139 &  36187 &  45234 &  55789\cr
  13568 &  27139 & 40721 &  54281 &  67852 &  83685\cr
  18091 &  36187 & 54281 &  72414 &  90470 &  11580\cr
  22615 &  45234 & 67852 &  90470 & 113262 & 139476\cr
  27892 &  55789 & 83685 & 111580 & 139476 & 172860\cr
},\cr
\pmatrix{
 b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & b_5 & b_6 \cr
} &=
\pmatrix{
 1\over 6 & 5\over 24 & 11\over 120 & 19 \over 720 & 29 \over 5040 & 1\over 840}.\cr
}
\eqno(11)
$$
(����� ��������� ������������ �������� �������������; ������ �������� 
����� ��������� �� ����������� ���� ��������.) \emph{����������~$V$ �~(10) 
������ ����� ��� �������~$n$ �������������~$\chi^2$ � ������ {\rm (� �� 
�����)} ��������� �������.} ��������~$n$ ������ ���� �����, ������, $4000$ 
��� ������. ����������� ���� ����������� ��� �������������� ��������.

�������� ������� � ����� ���������� ������ �������� �� ������������ 
�������� � ���.~14, �� �� ����� �������������� ����������� �������� ����� 
��������� ���� ������ ������� ����.

��������� � ������ ������ ��� ����. ����� ��� ������ ������������ �� 
$n$~��������� $Z_{pi}=1$, ���� � �������~$i$ ���������� ������������ 
������� � ������ �� �����~$p$, �~$Z_{pi}=0$ � ��������� ������. � 
�������� ������� ���������� ������������������~(9) �~$n=10$. � ������ ������
$$
Z_{11}=Z_{21}=Z_{31}=Z_{14}=Z_{15}=Z_{16}=Z_{26}=Z_{36}=Z_{19}=Z_{29}=1,
$$
� ��� ���������~$Z$ �����~$0$. �����
$$
R'_p=Z_{p1}+Z_{p2}+\cdots+Z_{pn}
\eqno(12
$$
%% 83
���� ����� �������� ����� �� �����~$p$, �
$$
R_p=R'_p-R'_{p+1}
\eqno(13)
$$
���� ����� ��������, ����� ������� � �������� �����~$p$. ��� ����� 
��������� ������� ��������~$R_p$, � ����� \dfn{����������}%
\note{1}{�� ��������� ����������� ������ ��� ��������, ���������� � �.~�.,
 ������ �������� 1-�� ���� (��.~�.~1.2.10).---{\sl ����. �����.\/}}
$$
\covar (R_p, R_q)=\mean ((R_p-\mean (R_p)) (R_q-\mean (R_q))),
$$
������� ������ ����� �����������������~$R_p$ �~$R_q$. ���������� ���� 
��������� �� ���� ��������� $n!$~�������������.

�������~(12) �~(13) ����������, ��� ������� �������� ����� �������� ����� 
������� ��������~$Z_{pi}$ �~$Z_{pi}Z_{qj}$, ������� � �������� ������� 
���� ������� ��������� ����������� (� �������������, ���~$i<j$):
$$
\eqalign{
{1\over n!}\sum Z_{pi}&=\cases{
  (p+\delta_{i1})/(p+1)! & ���~$i\le n-p+1$;\cr
                       0 & � ��������� ������;\cr
 }\cr
{1\over n!}\sum Z_{pi}Z_{qj}&=\cases{
                       (p+\delta_{i1})q/(p+1)!(q+1)! & ��� $i+p<j\le n-q+1$;\cr
 (p+\delta_{i1})/(p+1)!q!-(p+q+\delta_{i1})/(p+q+1)! & ���~$i+p=j\le n-q+1$;\cr 
                                                   0 & � ��������� ������.\cr
 }
}
\eqno(14)
$$
������������ ���������� ����� �� ���� ��������� �������������. ����� 
��������, ��� ��������� ��� �������, ���������� ����� ������� ������, 
�����~$i+p=j\le n-q+1$ �~$i>1$. �������, ���~$Z_{pi}Z_{qj}$ ����� 
����~$0$, ����~$1$, ��� ��� ������������ �������� � ����, ����� 
����������� ��� ������������~$U_1$, $U_2$,~\dots, $U_n$, � 
�������~$Z_{pi}=Z_{qj}=0$, � ������
$$
U_{i-1}>U_i<\ldots<U_{i+p-1}>U_{i+p}<\ldots<U_{i+p+q-1}.
\eqno(15)
$$
����� ����� ������������ ����� ���������� � ������� ��������� 
�����������: ���������� $\perm{n}{p+1+q}$~�������� ������ ��������� 
������������������, ��������� �~(15); �������
$$
(p+q+1)\perm{p+q}{p}-\perm{p+q+1}{p+1}-\perm{p+q+1}{1}+1
\eqno(16)
$$
%% 84
�������� ������������ �� � �������, ��������� �~(15), (��.~���.~13) 
�~$(n-p-q-1)!$~�������� ������������ ���������
���������. ����� �������, ���� ��������~(16) 
��~$\perm{n}{p+q+1}\times(n-p-q-1)!$ � ����� ������� ��~$n!$ ���������� 
������� ���������.

�� �����������~(14) � ���������� �������� ���������� �������������� 
����� ��������
$$
\eqalignno{
\mean (R'_p)&=\mean (Z_{p1}+\cdots+Z_{pn})=\cr 
&=(n+1)p/(p+1)!-(p-1)/p!, \rem{$1\le p\le n$;} & (17)\cr
}
$$
$$
\eqalignno{
\covar(R'_pR_q) &=\mean(R'_pR'_q)-\mean (R'_p)\mean (R'_q)=\cr
&=\sum_{1\le i, j \le n} {1\over n!} \sum Z_{pi} Z_{pj}-\mean(R'_p)\mean(R'_q)=\cr
&=\cases{
\mean(R'_t)+f(p, q, n) & ��� $p+q\le n$;\cr
\mean(R'_t)-\mean(R'_p)\mean(R'_q) & ��� $p+q>n$;\cr
} & (18) \cr
}
$$
��� $t=\max(p,q)$, $s=p+q$ �
$$
\eqalignno{
f(p, q, n) &= (n+1)\left({s(1-pq)+pq\over (p+1)!(q+1)!}-{2s\over (s+1)!}\right)+\cr
           &+2\left({s-1\over s!}\right)+{(s^2-s-2)pq-s^2-p^2q^2+1\over (p+1)!(q+1)!}. &(19)\cr
}
$$
�������, ������������ ����� ������� ���������� ��� ���������� ����� 
��������, �� ������� ������ ���. � ������� ���� ������ ����� ���������
$$
\eqalign{
\mean(R_p)&=\mean(R'_p)-\mean(R'_{p+1}),\cr
\covar (R_p, R'_q)&=\covar(R'_p, R'_q)-\covar(R'_{p+1}, R'_q),\cr 
\covar(R_p, R_q)&=\covar(R_p, R'_q)-\covar(R_p, R'_{q+1}).\cr
}
\eqno(20)
$$
� ������ ��.~���������� ({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 15} 
(1944), 163--165) ��������, ��� ���~$n\to\infty$ 
������������� �������~$R_1$, $R_2$,~\dots, $R_{t-1}$, $R'_t$ ��������� � 
����������� �� ������� ��������� � �����������, ������������ ����. ������ 
�������, ��� ����� ������������ ����� ������. ��� ������ 
������������������ �� $n$~��������� ����� 
�����������~$R_p$---����� ���������� �������� �����~$p$, ���~$1\le p < t$, 
� �����~$R'_t$---����� �������� �����~$\ge t$. ������ �����������
$$
\eqalign{
Q_1&=R_1-\mean(R_1), \ldots, Q_{t-1}=R_{t-1}-\mean(R_{t-1}),\cr
Q_t&=R'_t-\mean(R'_t).\cr
}
\eqno(21)
$$
%% 85
�������� ������� ����������~$C$, ���������, ��������, $C_{13}=\covar(R_1, R_3)$, 
����� ���~$C_{1t}=\covar(R_1, R'_t)$. ���~$t=6$ �������
$$
\eqalign{
C&= nC_1+C_2=\cr
 &= n\pmatrix{
   23 \over    180 &     -7 \over     360 &     -5 \over      336 &    -433 \over     60480 &      -13 \over        5670 &     -121 \over      181440 \cr
   -7 \over    360 &   2843 \over   20160 &   -989 \over    20160 &   -7159 \over    362880 &   -10019 \over     1814400 &    -1303 \over      907200 \cr
   -5 \over    336 &   -989 \over   20160 &  54563 \over   907200 &  -21311 \over   1814400 &   -62369 \over    19958400 &    -7783 \over     9979200 \cr
 -433 \over  60480 &  -7159 \over  362880 & -21311 \over  1814400 &  886657 \over  39916800 &  -257699 \over   239500800 &   -62611 \over   239500800 \cr
  -13 \over   5670 & -10019 \over 1814400 & -62369 \over 19958400 & -257699 \over 239500800 & 29874811 \over  5448643200 & -1407179 \over 21794572800 \cr
 -121 \over 181440 &  -1303 \over  907200 &  -7783 \over  9979200 &  -62611 \over 239500800 & -1407179 \over 21794572800 &  2134697 \over  1816214400 \cr
}+\cr
&+\pmatrix{
  83 \over 180   &   -29 \over    180 &    -11 \over      210 &     -41 \over     12096 &         91 \over       25920 &         41 \over       18144 \cr
 -29 \over 180   &  -305 \over   4032 &    319 \over    20160 &    2557 \over     72576 &      10177 \over      604800 &        413 \over       64800 \cr
 -11 \over 210   &   319 \over  20160 & -58747 \over   907200 &   19703 \over    604800 &     239471 \over    19958400 &      39517 \over     9979200 \cr
 -41 \over 12096 &  2557 \over  72576 &  19703 \over   604800 & -220837 \over   4435200 &    1196401 \over   239599800 &     360989 \over   239500800 \cr
  91 \over 25920 & 10177 \over 604800 & 239471 \over 19958400 & 1196401 \over 239500800 & -139126639 \over  7264857600 &    4577641 \over 10897286400 \cr
  41 \over 18144 &   413 \over  64800 &  39517 \over  9979200 &  360989 \over 239500800 &    4577641 \over 10897286400 & -122953057 \over 21794572800 \cr
}.\cr
}
\eqno(22)
$$
���~$n\ge 14$. ����� ������ �������~$A=(a_{ij})$, �������� �������~$C$,
� ��������~$\sum_{1\le i,j \le t} Q_i Q_j a_{ij}$. ��� �������~$n$ 
��������� ����� �������������~$\chi^2$ �~$t$~��������� �������.

����������� ����� �������~(11)---��������� ��������� �������~$C_1$, 
�������������� � ����� ��������� �������. ��� �������~$n$ �������~$A$ 
����� ����������� �����~$(1/n)C_1^{-1}$. �������� ������� �������� 
�������� �������, �������� �~$C_1$ ��� ������������ �����, �� ��� 
��������� � ������� ������� ��������� ��� ���~$t=4$. � ������� ������ 
���~$n=1000$ �������� �������~(11) ��������� �������� ��~1\% ���� ������ 
��������, ���������� � ���������� ��������� �������~(22). ����������� 
����� ��������� ������ ������ � �.~2.2.6, ���.~18.

%%86

\section{H.~���� "���������� ��~$t$"}. 
�����~$V_j=\max(U_{tj}, U_{tj+1},~\ldots, U_{tj+t-1})$ ���~$0\le j < n$. 
�������� �������� �����������-�������� � 
������������������~$V_0$, $V_1$,~\dots, $V_{n-1}$, 
�������� � �������� ������������� ������� �������������~$F(x)=x^t$, 
($0\le x \le 1$). ����� ������ ����� ��������� �� ������������� 
������������������~$V_0^t$, $V_1^t$,~\dots, $V_{n-1}^t$.

��� ����������� ����� ����� ���������� ��������, ��� $V_j$~������������ 
� ������������ �~$F(x)=x^t$. ����������� ����, 
���~$\max(U_1, U_2,~\ldots, U_t)\le x$, ����� ����������� ����, 
���~$U_1\le x$ \emph{�}~$U_2\le x$ \emph{�}~\dots{} \emph{�}~$U_t\le x$; 
�������������, ��� ����� ������������ �������������� 
������������~$x\cdot x \cdot \ldots \cdot x = x^t$.

\section{I.~���������������� ����������}. �������� ����������
$$
C={n(U_0U_1+\cdots+U_{n-2}U_{n-1}+U_{n-1}U_0)-(U_0+\cdots+U_{n-1})^2
\over n(U_0^2+\cdots+U_{n-1}^2)-(U_0+\cdots+U_{n-1})^2}.
\eqno(23)
$$
��� "����������� ���������������� ����������", ������� ������ ����� 
�����������~$U_{j+1}$ ��~$U_j$. ��� ����� �������~$n$ ���������� �����, 
����������� ����� ��������� �����, ������� �������� �� ������~$C$ 
(L.~P.~Schmid, {\sl CACM,\/} {\bf 8} (1965), 115).

������������ ���������� ����� ������������� � ����������. ���� ������� ��� 
������ �������~$U_0$, $U_1$,~\dots, $U_{n-1}$ �~$V_0$, $V_1$,~\dots, 
$V_{n-1}$, �� ����������� ���������� ����� ���� ������������ ��������� �������:
$$
C={n\sum(U_j V_j)-(\sum U_j)(\sum V_j) \over
\sqrt{(n\sum U_j^2 - (\sum U_j)^2) (n\sum V_j^2 - (\sum V_j)^2)}}.
\eqno(24)
$$
������������ � ���� ������� ���������� �� ����~$j$ � ���������~$0\le j < n$. 
�������~(23) ���������� � ������� ������~$V_j=U_{(j+1)\bmod n}$. 
[\emph{���������.} ����������� ���������~(24) ����� ���� 
���~$U_0=U_1=\cdots=U_{n-1}$ ���~$V_0=V_1=\cdots=V_{n-1}$; �� ��������� 
���� ������ �� ������������.)

����������� ���������� ������ ����� �����~$-1$ �~$+1$. ����� �� ����� ���� 
��� ����� ���, ��� ������ ��������� �� ������������� �������~$U_j$ �~$V_j$,
� ����� �� �����~$\pm 1$, ��� �������� ������� ���� � ������ �������� 
������������, �.~�.\ ��� ������~$j$ ����������� ���������~$V_j=m \pm aU_j$ 
��� ��������� ����������~$a$ �~$m$ (��.~���.~17).

����� �������, ����������, ����� ��������~$C$, ������������ ��������~(23), 
���� ������ � ����. � ����������������, ��-�� ����, ���~$U_0U_1$ 
�~$U_1U_2$, �������, �� �������� ������������, ����������� 
���������������� ���������� �� ������ ���� � \emph{��������} ����� ���� 
(��.~���.~18). "�������" ����� ������� ��������~$C$, ������� 
�����~$\mu_n-2\sigma_n$ �~$\mu_n+2\sigma_n$, ���
$$
\mu_n={-1\over (n-1)}, \quad 
\sigma_n={1\over n-1}\sqrt{n(n-3)\over n+1}, \rem{$n>2$.}
\eqno(25)
$$
%% 87
��������~$C$ ������ ���������� � ���� �������� � 95\% ���� �������.

�������~(25) ���� ����� ����������������� ��������, ��� ��� ������ 
�������������~$C$ � ��� ������, ����� $U$~������������ ����������, 
����������. ������ ����������� ������������� �������~$U$ ���������� � 
������ �.~������� ({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 15} 
(1944), 119--144). ���� ����������, ��� ������������� ������ ��� 
��������������� �������� � ������������������� ����������, 
��������������� ����������� �������������, �.~�.~������~(25), �� 
�������� � ������� ������. ��������, 
���~$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\sigma_n=1$; ��.~����� ������ ��������� � 
������ ({\sl Annals of Mathematical Statistics,\/} {\bf 35} (1964), 1296--1303), 
� ������� �������� ����� ����� ���������� � ���������������� 
���������� � \emph{���������} �������������������.

\section{J.~�������� ����������������������}. ������� ������� ��������� 
�������� ���, ��� �� ��������� ������ ��� ��������� ������������ 
���������� ��������� �����. ��������, ���� � ��������� ���� ��� ��������� 
��������~$X$, $Y$ �~$Z$, ��� ����������� �� �������� ������ ��� ����� 
����� ������������ ��� ��������� �����. ��� ����� ���������� �����, ����� 
��������� ���� ����� ������������������, ���������� � ���������� 
������ ������� \emph{��������} ����� �������� ������������������. 
���� ��������� ����������� ������ ��� $q$~�����, �� � ������� ������, 
��������� ����, ����� ��������� �� �������� ������������������~$U_0$, 
$U_1$, $U_2$,~\dots, � � ����������� ������ �� ����������������������
$$
U_0, U_q, U_{2q}, \ldots; \quad 
U_1, U_{q+1}, U_{2q+1}, \ldots; \quad 
\ldots; \quad 
U_{q-1}, U_{2q-1},\ldots\,.
\eqno(26)
$$

���� ����������, ��� ��� ������������� ��������� ������������� ������ 
�������������� ����� ���������������������� ����������� ������� �� ������ 
����, ��� � �������� ������������������, ����� �������, �����~$q$ � 
�����, ������������ � �������� ������, �������� ���������� ������� ����� 
���������. ���, �� ������� � �������� ����������� ��� ������������� 
��������~$m$, ������ ������� �����, �� ����~$q<16$ ����� ������ ���������� 
���������� ���~$q=8$; �� ������� � ���������� ����������� ����� ������� 
�������������������� ����������� ���~$q=10$. (��� ����� ��������� 
�������, ������ �� ������� �������� ������������������, ��� ��� ����� 
��������~$q$ �����, ������ ������, �������� �� ��������.)

\section{K.~��������� ������������� ��������� � ���������� ����������}.
�������������� �������� ��������� ������������ ������� � ��������
%% 88
������� ������, ����� ���������� ������������� "�������" ��� 
"����������" �����-���� ��������, ���������� ����������������� ������. 
������� ����� �����, ����������� �������� �� ����������� ������������� 
������������������� �����, �������� ��� ������ �.~�������� 
�~�.~���������-����� [{\sl Journal of the Royal Statistical Society,\/} 
{\bf 101} (1938), 147--166, � ���������� � ����� �������, {\bf 6} (1939), 51--61]. 
� ���� ������� ������� �������� ��������� ���� ��~$0$ ��~$9$, 
� �� �������������� ��������� �����; ��� ���� ���� ���������� �������� 
������, �����, ����������, � ����� �����-���� (���� �������� 
����� ������������ �������). ������� � ���������-���� ������������ ����� 
������������� ����� ���������� �������, �� � ��� ����, ������� ������ � 
������ �����, ���� ���� ��� ��������� ��������� � 1955~�.

���� �������� ������������ ����� �������� ���������� �������. 
������������� � ��� ���������������� ������������ ����� �������� ��� � 
�������������, ��� � ���������� ������� (��� ������� ����������). ������� 
��������, ��� ���� ����, ��� �� ��� �������� ������������, �� �������, 
����� ��������~$U$ ���� ������������ ����������; ��������� ������, ����� 
����������� ����, ���~$U_i=U_j$, ��������� ���� ���~$i\ne j$, ��� ��� 
��� ����� ����� ��������� � ������ ����� ��������� �������������������. 
� ����������� ����� ���� ���� ������� ��� ��������� � ������ 
[J.~Bienaynie, {\sl Comptes Rendus,\/} {\bf 81} (Paris: Acad.\  Sciences, 1875), 417--423]. 
����� 60~��� ������ ������ � ���-������� �������� ��� 
������� ������, ����������� ����� ������� [{\sl Proc.\ Royal Society 
Edinburgh,\/} {\bf 57} (1937), 228--240, 332--376]. � �������� ������� � 
��� �������� � ������� �������� �� ������������, ��� ��������� ���������� 
������� � ��������� � ������ �~1785~�.\ ��~1930~�.\ ������ 
��������� �������� (���� ��� ����������� ������ ������� � 
����������� ���������� �������� ������������). � ��� ��� ���� ���� 
������������ ������������� �� ��������, �� ������ �~1944~�.\ 
���� ��������, ��� ��������� ��� � ��������� � ���������~$\chi^2$ 
������. � ������ ������ � ���������� [{\sl Annals of Mathematical 
Statistics,\/} {\bf 15} (1944), 58--69] ���� ��������� ���������� 
������������ ����� (� ������������� ��������� ����������� � ��������) 
� ������� ����������� ��� �������������� ������������. ������� �����, 
���������� � ������ �����, ����� ������������� ����� �������� ��� ������ � 
������������, ��� ������ � ���������, �������� ������ ��� ���������� �� 
�������������� ������, ������� ������� ��� ������ ��������� �� 
���������� (��.~����� Barton~D.~E., Mallows~�.~L., {\sl Annals of Math.\ 
Statistics,\/} {\bf 36}  (1965), 236--260].

�� ���� ��������� ����� ������ �������� ������ � �������� ���������������� 
����������---����� ������, � ��� ������, ���
%% 89
��� ��������� � ������� ���� ������ ����� ��� ������� ��������� ����� 
���� ������������������ ����������. ������� ������������� ����������� 
����� ����� ���� �~\S~3.5 (��.~���.~3.5-26). � ������������ ������� ������ 
��������� �������� �� ������������: ���������� ���.~3.3.3-23, 24 
����������, ��� ��� ������������ ������� ���������~$m$ ������������������,
���������� � ������� ��������� ������������� ������, ����� ���������� 
����� �������� ������������, ��� ��� ���� ���� ����������� �������.

��������, � �������� ��������� ������: \emph{"����� ��� ����� ������?".} 
����� ��������� �����������, ��� �� ��������� �������� ��������� ����� 
�������� ������ ��������� "�������, ��� �� ��������� ��������� ����� � 
�������� ������� ���������� �����! ��� �������, ���� ������ ����������� 
��������� ���������� ��������.

������������� ���������� �������������� ������ ������ ����������� 
���������� � ����������. � ���������, �����������, ��� ������������������, 
���������� � ������� ��������� �������������� ������ �������� ��������, 
������ �������� �������� ������, ����������, ����������, �� ����������� 
���������� ��������� ��� �������� �����. ��������, ��� �������, 
���������� �� �������� ������������ ������, ������������� ��� 
����� ���������~$m$ ������ ������, �� �� ������������� �������� 
�� ������������, ��� ��� ���� ������� ���� �������� ��������� �����. ���� 
"���������� ��~$t$" ����� ��������� ������� ������ �������, ������� �� 
���� ������ ����� ������ ����� ���� ������ ���������.

��������, �������� �������, �� ������� ���������� ������������ �������� 
��������, ����������� � ���������. ���� ���-�� ���������� ����� �������� 
��������� �����, �� ��� ����� ������������� �� ����� ������ ���� ������, � 
�� ���� ���������. �����, ����� ����� ������� ��� \emph{��������,} ��� 
��������� ����� ������������� ���� �����������. � ������ �������, ���� 
�� ������ ������ ��� ����, � �� ��� ������ �����������, ����� �� ������� 
��� �� ��� ��������; �� ������ ������, ���� �� ������ ����� �����-���� �� 
����������, ��������������� � ���� �����, � ������� ������������ ���� 
������ ����� ������ ������������������.

\excercises

\ex[10] ������ ��� �������� ����� (��.~�.~�) ������� ������������ 
����~$(Y_0, Y_1)$ $(Y_2, Y_3)$,~\dots, $(Y_{2n-2}, Y_{2n-1})$, � ��~$(Y_0, Y_1)$, 
$(Y_1, Y_2)$,~\dots, $(Y_{n-1}, Y_n)$? 

\ex[10] ��������, ��� �������� �������� ����� � ��� �� ������, �������� �~�.~�.

\rex[�20] ������� � ������� ����������� ��������� ��������~$U$ ��� 
�������� ���������� (��������~G), ������ ��� ����� ���������� $n$~����������,
%% 90
� �������������, ��� ������������������ ������������� ���������? ������ 
����������� ���������� ���� ��������?

\ex[12] ��������, ��� ��� �������� ���������� ������� ������������ �������������~(4).

\ex[M23] ��� "������������" �������� ����������,  ��������� ��������� � 
���������-������, $N$~��������~$U$, ���������� ��������, ������������ ��� 
���������� ����������� ������������������, � ������� $U_{N+j}$~���������  
�~$U_j$. ���� $n$~����� ��~$U_0$,~\dots, $U_{N-1}$ �������� � 
��������~$\alpha\le U_j < \beta$, �� � ����������� ������������������ 
������� $n$~����������. �����~$Z_r$---����� ���������� �����~$r$, 
����~$0\le r<t$, �~$Z_t$---����� ���������� �����~$\ge t$. ��������, ��� 
��������~$V=\sum_{0\le r\le t} (Z_r-np_r)^2 \Big/ np_r$ ������ ����� 
���~$N\to\infty$ �������������~$\chi^2$ � $t$~��������� �������, ��� 
$p_r$~���������� ����������~(4).

\ex[40](X.~��������) ������ ������ ��������� ��������� ���� � ���������� 
������������� �����~$e=2.71828\ldots$ ���� ��� ������ 2000~���� 
��������~$\chi^2=1.06$. ��� ��������� �� ��, ��� ������� ����� ����������� 
����� � ������� ���������, ������~$200$, ��� ����� ���� �� ������� ��� 
���������  ������������� (����������� ��������~$\chi^2\ge 1.15$ 
�����~$99.9\%$). ���� ��������� ��� �� ���� � ������ $10\,000$~������, 
���������� �������� ��������~$\chi^2=8.61$; �� ���� ����� ����������� 
������������� ������ 2000~���� �������� ������������. ���������� �� �� �� 
����� ��� �������������~$e$ � ������� ��������� � ������ ����������? 
(��.~{\sl AMM,\/} {\bf 72} (1965), 483--500.)

\ex[08] ����������������� ����� ���������� ������� (��������~C) ���~$d=3$ 
�~$n=7$ ��������� ������������������: $1101221022120202001212201010201121$.
 ������ ����� ���� ����������������������?

% ex. 8
\rex[M22] ������� � ������� ���� ��������� ��������~$U$  � ����� 
���������� ������� (��������~C) ��� ��������� $n$~������ �������, ���� 
������������������ ���������?  ���������� ����� ����������� ���������� 
���� ��������. (\emph{��������:} ��.\  �������~1.2.9-28.)

% ex. 9
\ex[M21] �������� ���� ���������� ������� ���, ����� ���������� ����� 
����������� ����� ����, ��� ������� $w$~��������� ��������, ���~$w\le 
d$---������������� ����� �����. ����� ����������� ���� ������������ � ���� 
������ ������~(6).

\ex[M23] ��������� ���.~8 ��� ����������� ����� ���������� �������, 

\ex[00] � �������������~(9) ��� ���������� ������������������ �������� 
������������ �������; ������ ��������� ������� ��� ��� �� ������������������?

\ex[22] ������ $n$~��������� �����~$U_0$, $U_1$,~\dots, $U_{n-1}$. 
�������� ��������, ������� ���������� ����� ���� �������� ����������� � 
���� ������������������. � ���������� ������ ��������� �~$|COUNT|[r]$ 
���~$1\le r \le 5$  ������ ���������� ����� �������� �����~$r$, � 
�~$|COUNT|[6]$---����� �������� �����~$6$ ��� �����.

\ex[M23] ��������, ���~(16) ���� ����� ������������ ����~(15) 
��~$p+q+1$~��������� ���������.

\ex[M15] ���� �� ����� "�����������" �������, ��������������� ��������� �� 
�������� ������������, ��� ��� � ������~$X_j>X_{j+1}$ ��������� ������� 
������������ �������� �~$X_{j+2}$, �� ����� ����� �������� ����� 
������������ � ����� ����� ��������������� ������� ���������~$\chi^2$ 
(������ ������ �������� ������, ������������ � ������). ������ ������ ���� 
��������������� ����������� ���� �������� ������������ ��� ����� 
����������� �����?

\ex[M20] ������ ��������~$V_0^t$, $V_1^t$,~\dots, $V_{n-1}^t$ � ����� 
"���������� ��~$t$" ������ ���� ������������ ���������� ����� ����� � ��������?

\rex[15] (a)~����� ��������� ��������� ���������� ��� ����� "���������� 
��~$t$" ��� ������ ���������~$t$. 
���������~$Z_{jt}=\max (U_j, U_{j+1},~\ldots, U_{j+t-1})$. ������� ����˸��� 
��������� ���������� ������ �������� �� ������������������~$Z_{0(t-1)}$,
%% 91
$Z_{1(t-1)}$,~\dots{} � 
������������������~$Z_{0t}$, $Z_{1t}$,~\dots, ��������� ����������� 
����������. ���������� ����� ���� ������.

(b)~�� �� ����� �������� ����� "���������� ��~$t$" ���, 
�����~$V_j=\max(U_j,~\ldots, U_{j+t-1})$; ������� �������, $V_j=Z_{jt}$, 
� 
%% ?? Z_{(t_j)t}
��~$V_j=Z_{(tj)t}$, ��� ������� � ������. ��� ���� �� ��������� ���: 
\emph{���} ������ ����� ���������� �������������, ������� ���� ������ 
����� ������ �������, ���� ������������ ���~$Z_{jt}$, $0\le j <n$, � �� 
���� �� ������ $t$~��������. ������ ��� �������� ������������� 
��������~$V_j^t$ ���������� ������ ������� �������� ����������~$V$, ������ 
��� ����������~$t$ ��� ����������� ��� ������. ��� ��� ����� ����������?

\ex[�25]{(a)~������ ������������ �����~$X_1$,~\dots, $X_n$, $Y_1$,~\dots, 
$Y_n$, ������
$$
\bar x = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} X_k, \qquad
\bar y = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} Y_k.
$$
���������~$X'_k=X_k-\bar x$, $Y'_k=Y_k-\bar y$. ��������, ��� ����������� 
����������~$C$, ����������� �� �������~(24), �����
$$
\sum_{1\le k \le n} X'_k Y'_k \bigg/ \sqrt{\sum_{1\le k \le n} {X'_k}^2} 
\sqrt{\sum_{1\le k \le n}{Y'_k}^2}.
$$
 \hiddenpar
(b)~�����~$C=N/D$, ���~$N$ �~$D$---��������� � ����������� ������ ��� 
������������ ���������. ��������, ���~$N^2\le D^2$, �.~�.~$-1\le C \le +1$; 
�������� ������� ��� ��������~$D^2-N^2$. (\emph{��������:} ��.~���.~1.2.3-30.)
 \hiddenpar
(c)~��������, ��� ���~$C=\pm1$ ���~$1\le k \le n$ ����� ����� ����� 
����������~$a$, $b$, $m$ �� ��� ������ ����, ���~$a X_k+b Y_k=m$.
}

\ex[�20] (a)~��������, ��� ���~$n=2$ ����������� 
���������������� ����������~(23) \emph{������} �����~$-1$ (���� 
����������� �� ����� ����). (b)~��������, ��� ���~$n=3$ ����������� 
���������������� ���������� ������ �����~$-{1\over2}$. (c)~��������, ��� 
����������� �~(23) ����� ���� ����� � ������
�����, �����~$U_0=U_1=\cdots=U_{n-1}$.

\ex[�40] ���� ����� ������� �������� � ����������� ���������� 
������������ ���������������� ����������~(23), �����~$n=4$, � 
��������~$U$ ���������� � ������������ ���������� ����� ����� � ��������?

\ex[�50] ���������� ������������� ������������ ���������������� 
����������~(23) ��� ������������~$n$, �����������, ��� ��������� 
��������~$U_j$ ���������� � ������������ ���������� ����� ����� � ��������.

\ex[19] ����� ��������~$f$ ���� ��������~P ��� 
������������~$(1, 2, 9, 8, 5, 3, 6, 7, 0, 4)$?

\ex[18] ��� ����� ������������ ������ ����� 
�����~$\set{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ��������~P ���� ��������~$f=1024$?

\subsubchap{*������������� �����} %3.3.3
���� ����� ������ ��������� ����� ����� ��������� � ������� �������, 
��������� � ���������� ������, ������� ����� ����� "\dfn{���������} �����",
�.~�.\ ������������� ����������, ������� ��������� ������� �������, 
����� ����� ����� ��������� �������. ������ ���� ������������� ���������� 
��������� ����������� ������ ������ ������� ���������� ��������� �����, 
��� ������������ ������, ���������� ������� "���� � ������". ����� ����� 
����� �������� ������� �������� ������������ ������������������;
%% 92
����, ������ ������ ���� ��������� ����� ���
�� �� ���������, �� ����� ������ ������� ��������� ������� ��������~$a$, 
$m$ �~$c$.

��������� ������ ��������� ������������� ������ ����� ������, ���� 
������������ ������� � ���� ������� ������� �������. ���������� �� ��� 
��� ���������� ��������� ������� ������� � \emph{��������������� ������� 
������������������ �� ������ �������.} � ����� ���������� ������ ����� 
����� �� ��� ���� ������; ��������, ��� �������� ������������� 
������������� �� ���� ������� ����� ���������� ������� ������� 
����������. ������ �������� �����, ����������, ������������ �~�.~�.\ 
����� ������� ��������� � �� ������ �������.

��� ������ ������� ������� \emph{���������} �����������, ���������� 
�������� �������� �������� �������� ������������ ���� ����� ������ ������� 
������� � ���, ��� ���� ������ �������� ������� ���������, �� �������� � 
�������� ������� ����� ����������� �����������~$X_{n+1}<X_n$.

\proclaim �������~P. �����~$X_0$, $a$, $c$ �~$m$ ���������� �������� 
������������ ������������������ � ������������ ��������; �����~$b=a-1$, 
a~$d$---���������� ����� ��������~$m$ �~$b$. ����� ����������� ����, 
���~$X_{n+1}<X_n$, �����~${1\over2}+r$, ���
$$
r=(2(c \bmod d)-d)/2m;
$$
�������������, $\abs{r}<d/2m$.

�������, ������� ������������ ��� �������������� ���� �������, ��������� 
� ���� �� ����. ������ � ����, ��� ������
$$
s(x)=(ax+c)\bmod m.
\eqno(1)
$$
�����~$X_{n+1}=s(X_n)$ � ��������� ���������� ����� ����� �����~$x$,
���~$0\le x < m$ �~$s(x)<x$ (��� ��� ������ ����� ����� �����������, 
���-�� � �������� �������). �� ����� ��������, ��� ��� ����� �����
$$
{1\over2}(m+2(c \bmod d)-d).
\eqno(2)
$$
���~$a=1$ ������� �����������: ����� ������, ��� � ���� ������ $s(x)<x$ 
������ ���~$x+c\ge m$, � ��� ����� ����� $c$~���.

\proclaim �����~A. �����~$\alpha$ u~$\beta$---�������������� �����, 
�~$n$---����� �����. � ���� ������ 
$$
\eqalignno{
 &\alpha < n \le \beta \rem{����� � ������ �����, �����~$\floor{\alpha}<n\le\floor{\beta}$;} & (3)\cr
 &\alpha\le n < \beta  \rem{����� � ������ �����, �����~$\ceil{\alpha}\le n <\ceil{\beta}$.} & (4)\cr
}
$$

��� ������� ������� ��������������� �� ����������� "�������" � "����"; ��.~���.~1.2.4-3.\endmark
%% 93

��� ������ ������~$x$,  $0\le x < m$,  ���������~$k(x)=\floor{(ax+c)/m}$; 
�����~$s(x)=ax+c-k(x)m$ �~$k(x)\le(ax+c)/m$, ������ �������, ��� 
�����������~$s(x)<x$ ������������
$$
(k(x)m-c)/a \le x < (k(x)m-c)/b.
\eqno(5)
$$
�����, ��� ����������� ������������ ������� ����������~$k(x)$, ��������� 
�� ��� �������� �����������
$$
{ax+c\over m}\le k(x) < {bx+c\over m} < {ax+c\over m}+1.
$$

� ������������ � ������~A ����� ����������, ���~$s(x)<x$ �~$0\le x <m$ 
����� � ������ �����, ����� ��������� ���� �� ����������������� �������:
$$
\eqalignno{
 \hbox{(i)~} & \ceil{(km-c)/a}\le x < \ceil{(km-c)/b} \rem{��� ������-����~$k$, $0<k<a$;} & (6) \cr
\hbox{(ii)~} & \ceil{m-c/a} \le x < m. \cr
}
$$

����� ����� �����~$x$ �����
$$
m+\sum_{0<k\le b} \ceil{(km-c)/b}-\sum_{0<k\le a}\ceil{(km-c)/a}.
\eqno(7)
$$
������� ����� ��������, ���� �� �������, ���~(7) �����~(2). ����� � 
���������~(7) ����� ��������� ���, ��� ������� � ���.~1.2.4-37; �� 
������������� ������ �������, ����� ������������������ ��� ���� ������ 
������� ����� ������ ����. 

��������� ������ ����� ��������� �������:
$$
\eqalignno{
 \delta(z)&=\floor{z}+1-\ceil{z}=\cases{
   1, & ���� $z$ �����;    \cr
   0, & ���� $z$ �� �����; \cr
 } & (8) \cr
((z))&=z-\floor{z}-{1\over2}+{1\over2}\delta(z)=z-\ceil{z}+{1\over2}-{1\over2}\delta(z). & (9)\cr
}
$$
��������� ������������ ����� "������������ �������", ������������ � 
������ ����� �����; �� ������ ������� �� ���.~7. ������������ ������ � 
��������~$((z))$ �� ��������� �~$\floor{z}$ ���~$\ceil{z}$ ������������ 
���, ��� ��� �������� ����� ��������
\picture{���.~7. ������������ �������~$((z))$.}
%% 94                      	
�������:
$$
\eqalignno{
\dlp-z\drp &= -\dlp z \drp; & (10) \cr
\dlp z+n \drp &= \dlp z \drp z, \rem{���� $n$ �����;} & (11) \cr
\dlp z \drp + \dlp z+{1\over n}\drp+\cdots+\dlp z+{n-1\over n}\drp&=\dlp nz \drp,
  \rem{����~$n$---������������� ����� �����} & (12)\cr
}
$$
(��.~���.~2). ����� �����������, ����� �������������~(7) ��������� �������:
$$
{1\over 2}\left(m-1+\sum_{0<k\le a}\delta\left({km-c\over a}\right)
-\sum_{0<k\le b}\delta\left({km-c\over b}\right)\right)
+\sum_{0<k\le a}\dlp{km-c\over a}\drp-\sum_{0<k\le b}\dlp{km-c\over b}\drp.
\eqno(13)
$$
�� ��� ��� ������� ���� ���, � ������� �� ��������, �� � ���������������� 
��� �������� � ��� ����� ����� �����������. ��� ���~$m$ �~$a$ ������� 
������, �� �����, ��� $(km-c)\bmod a$ ��������� � ������������ ������� 
������ �� ��������~$0$, $1$,~\dots, $a-1$ ���~$0<k\le a$, ��� ���
$$
\sum_{0<k\le a}\delta\left({km-c\over a}\right)=1,\qquad
\sum_{0<k\le a}\dlp{km-c\over a}\drp=0.
$$
(�������������� ������ ������� �������� �� ��������~(10) �~(11).) �����, 
���� �����~$m$ �~$b$---�� ������� �������, �~$c$ �~$b$---������� �������, 
��~$(km-c)/b$ �� ����� ���� �����, ������� ������ ����� �~(13) ��������. 
�������, ����� ����� ���������
$$
\eqalign{
 \dlp {km-c\over b}\drp &=\dlp{km-d\floor{c/d}-c\bmod d \over b}\drp=\cr
                        &=\dlp{km/d-\floor{c/d}\over b/d}\drp-{c\bmod d \over b}+{1\over 2}\delta\left({km/d-\floor{c/d}\over b/d}\right),\cr
}
$$
��� ���~$0\le (c\bmod d)/b<1/(b/d)$. �����
$$
\sum_{0<k\le b} \dlp{km-c\over b}\drp
$$
�����, �������������, ${1\over 2}d-c\bmod d$, ��� ���~$m/d$ �~$b/d$ 
������� ������. �������~P ��������.
\proofend

�������������� �������~P ������������� ��������� ������ \emph{���������} 
�������� ��������� �����, ������ ��� � �� �� ����� ���������� � �� 
������������. �����, �� ���� ������� ������� ��� ����������� ��� ����� 
������~$a$ �~$c$ �����������~$X_{n+1}<X_n$ ����� ����������� � ������ 
��������, �� ������ ������ �� ���� �������, ����� ��� �������, �����~$d$ 
������. ������� ��������~$d$
%% 95
������������� ����� ��������, ���, ��� �� �����, ������������.

��������� ������� ���� ����� ������ �������� ��� ������~$a$ �~$c$; � ��� 
��������������� \emph{����������� ���������������� ����������} �� ������ 
�������. ���� ����������� ��� ��������� � �.~3.3.2 (��.\ �������~(23)):
$$
C=\left(m\sum_{0\le x < m} x s(x)-\left(\sum_{0\le x < m} x\right)^2\right)
\bigg/\left(m\sum_{0\le x<m}x^2-\left(\sum_{0\le x<m} x\right)^2\right).
\eqno(14)
$$
�����~$x'$---����� �������, ���~$s'(x)=0$. �����
$$
s(x)=m\dlp{ax+c\over m}\drp+{m\over 2},
\rem{����~$x\ne x'$.}
\eqno(15)
$$
��� ��������� ������ ������ ������������� ����� ������ ��������, ������� 
����� ��������� �� ������ �������������� �������:
$$
\sigma(h, k, c)=12\sum_{0\le j < k}\dlp{j\over k}\drp\dlp{hj+c\over k}\drp;
\eqno(16)
$$
��� ���������� \dfn{���������� ������ ���������.}

��� ���
$$
\sum_{0\le x<m} x={m(m-1)\over 2} \quad\hbox{�}\quad
\sum_{0\le x<m} x^2={m(m-1)(2m-1)\over 6},
$$
�� �������~(14) �������� ������ ������������� � ����
$$
C={m\sigma(a, m, c)-3+6(m-x'-c)\over m^2-1}.
\eqno(17)
$$
���������~$m$ ������ ����� ������, ����� ��������� ����� �������~$1/m$ � 
�������� ������������ ���������
$$
C\approx \sigma(a, m, c)/m
\eqno(18)
$$
� �������, �������~$6/m$ �� ���������� ��������.

�������� ���������������� ���������� �������� ��� ���� � ����������� ����� 
���������~$\sigma(a, m, c)$. 
����������~$\sigma(a, m, c)$ ��������������� �� �������~(16) ���� �� ����� 
������� ���������� ������������ ����������, ��, � �������, ���������� 
������� ������ �������� ��������� �������� ���� ���������.

\proclaim �����~B. ("����� ����������" ��� ���� ���������.) ����~$0\le c < h$, 
$0\le c < k$ � �����~$h$ �~$k$ ������� �������, ��
$$
\sigma(h, k, c)+\sigma(k, h, c)={h\over k}+{k\over h}+{1\over 
hk}+{6c^2\over hk}-3.
\eqno(19)
$$
%% 96
\proof �� ������������� �������� ��������, ��� � ���� �������������� �����������
$$
\sigma(h, k, c)+\sigma(k, h, c)=\sigma(h, k, 0)+\sigma(k, h, 0)+6c^2/hk
\eqno(20)
$$
(��.~���.~6). ������ ���������� ����������� ������ ������~$c=0$.

�������� ������������� �.~������� ��������������, ���������� �� 
������������� ����������� ������ �� �������. ���������� ����� ������� 
��������������, ��������� ������ ������������ ����������� � ������� 
(��.~���.~7); ������ ����������� ���� ������ ����� ����������, ��� ��� � 
��� ������������ �������, ������� ����� ���� ������� � � ������ ������� ������ ����.

��������� ��������~$f(x)$ �~$g(x)$ ��������� �������:
$$
\eqalign{
f(x)&=1+x+\cdots+x^{k-1}=(x^k-1)/(x-1),\cr
g(x)&=x+2x^2+\cdots+(k-1)x^{k-1}=xf'(x)=\cr
&=kx^k/(x-1)-x(x^k-1)/(x-1)^2.\cr
}
\eqno(21)
$$
����~$\omega=e^{2\pi i/k}$---����������� ������ �������~$k$ �� ������� ��, 
��������~(1.2.9-13),
$$
{1\over k}\sum_{0<j\le k} \omega^{jr}g(\omega^jx)=rx^r
\rem{��� $0\le r < k$.} 
\eqno (52)
$$
�������~$x=1$; �����~$g(\omega^j x)=k/(\omega^j-1)$ ���~$j\ne k$ 
�~$k(k-1)/2$ ���~$j=k$. ������ �������, ���
$$
r \bmod k \sum_{0<j<k} {\omega^{-jr}\over \omega^j-1}+{1\over2}(k-1),
\rem{����~$r$---�����.}
\eqno (23)
$$
(��� ���, ��������~(22), ������ ����� �����~$r$ ���~$0 \le r < k$ � ��� 
���������� �~$r$ ��������~$k$ ��� �� ����������.) �������������,
$$
\left(\left({r\over k}\right)\right)=
{1\over k}\sum_{0<j<k}{\omega^{-jr}\over \omega^j-1}-{1\over 2k}+{1\over2} 
\delta\left({r\over k}\right).
\eqno(24)
$$
��� ������ �������, ������� ����������� ��� ����� �����~$r$, ��������� 
������~$((r/k))$ � �����, ���������� ����� �������~$k$ �� �������; ��� 
���� ��������� ����� ��� ����� ������������.
� ���������, ����� ����� ��������� �������:
$$
\sigma(h, k, 0)+{3(k-1)\over k^2}=
{12\over k^2}\sum_{0<r<k}\sum_{0<i<k}\sum_{0<j<k}
{\omega^{-ir}\over\omega^i-1}{\omega^{-jh_r}\over \omega^j-1}.
\eqno(25)
$$
������ ����� ���� ������� ����� ���������, ������� ������������ ��~$r$; 
����~$s\bmod k \ne 0$, ��~$\sum_{0\le r < k} \omega^{rs}=f(\omega^s)=0$. 
�������~(25) �������� �
$$
\sigma(h, k, 0)+{3(k-1)\over k}=
{12\over k}\sum_{0<j<k}{1\over (\omega^{-j^h}-1)(\omega^j-1)}.
\eqno(26)
$$
%% 97
����������� ������� � �������~$\omega$ ��~$\zeta=e^{2\pi i/h}$ ����������� 
���~$\sigma(k, h, 0)$.

������ � ���, ��� ������ ������ � ������ �~(26), �� ��������; ������ 
���������� ���������� ������ ���������� ��������������, ���������� �� 
��� �����, ��� ������ ���� ����� �������� ��������~$\omega^j$, $0<j<k$, � 
�� �������� ����������� ��� ����� �������~$k$ �� �������, �����~$1$. 
�������, ��� ��� ����� ������������� ����������� �����~$x_1$, $x_2$,~\dots,
$x_n$ ����������� ��������� ���������:
$$
\sum_{1<j\le n} {1\over 
(x_j-x_1)\ldots(x_j-x_{j-1})(x-x_j)(x_j-x_{j+1})\ldots (x_j-x_n)}={1\over (x-x_1)\ldots(x-x_n)},
\eqno(27)
$$
������� ������� �� �������� ���������� ������ ����� �� ������������ 
�����. �����, ����~$q(x)=(x-y_1)(x-y_2)\ldots(x-y_m)$, ��
$$
q'(y_j)=(y_j-y_1)\ldots(y_j-y_{j-1})(y_j-y_{j+1})\ldots(y_j-y_m).
\eqno(28)
$$
��� ��������� ����� ������������ ��� ��������� ��������� ������ ����, ��� 
����� �����~(27). ����~$h$ �~$k$ ������� ������, �� ��� ��������~$\omega$, 
$\omega^2$,~\dots, $\omega^{k-1}$, $\zeta$, $\zeta^2$,~\dots, 
$\zeta^{h-1}$ �� ��������� ���� � ������. �������������, ����� 
�������������~(27) ��� ������� ������ 
��������~$(x-\omega)\ldots(x-\omega^{k-1})(x-\zeta)\ldots(x-\zeta^{h-1})=(x^k-1)(x^h-1)/(x-1)^2$, 
������ ������� ���������
$$
{1\over h}\sum_{0<j<h}{\zeta^j(\zeta^j-1)^2\over (\zeta^{ik}-1)(x-\zeta^j)}
+{1\over k}\sum_{0<j<k}{\omega^j(\omega^j-1)^2\over 
(\omega^{jh}-1)(x-\omega^j)}={(x-1)^2\over (x^h-1)(x^k-1)}.
\eqno(29)
$$
�� ����� ��������� �������� ����� ���������� ���������, � ��� �������� � 
������ ���� ����������� ���������� ��� ����, �����, ���~(26). ��������, 
���� �������������������~(29) ������ ��~$x$ � ��������~$x=1$, �� ���������
$$
{2\over h}\sum_{0<j<h}{\zeta^j(\zeta^j-1)^2\over (\zeta^{jk}-1)(1-\zeta^j)^3}
+{2\over k}\sum_{0<j<k}{\omega^j(\omega^j-1)^2\over (\omega^{jk}-1)(1-\omega^j)^3}=
{1\over 6}\left({h\over k}+{k\over h}+{1\over hk}\right)+{1\over2}-{1\over 2h} -{1\over 2k}.
$$
������� � ���� ������~$j$ ��~$h-j$ �~$k-j$, ������� [��.~(26)]
$$
{1\over6}\left(\sigma(k, h, 0)+{3(h-1)\over h}\right)
+{1\over6}\left(\sigma(h, k, 0)+{3(k-1)\over k}\right)
={1\over 6}\left({h\over k}+{k\over h}+{1\over hk}\right)+{1\over2}-{1\over 2h}-{1\over 2k},
$$
��� ������������ ���������� ����������. 
\proofend
%%  98

\proclaim �����~C. ���� �����~$h$ �~$k$ ������� ������� �~$0<c<k$, ��
$$
\sigma(h, k, c)=\sigma(h, k, c \bmod h)+{6r\over k}(c+c\bmod h-k)+d,
\eqno(30)
$$
���~$r=\floor{c/h}$, $d=0$ ���~$c\bmod h \ne 0$ �~$d=3$ ���~$c \bmod h=0$. 

\proof ��� �����~$c$ �����
$$
\eqalignno{
\sigma(h, k, c+h)&=12\sum_{0\le j <k}\dlp{j\over k}\drp\dlp{hj+c+h\over k}\drp=\cr
&=12\sum_{0\le j <k} \dlp{j-1\over k}\drp \dlp{hj+c\over k}\drp=\cr
&=\sigma(h, k, c)+6\dlp{h+c\over k}\drp+6\dlp{c\over k}\drp, & (31)\cr
}
$$
��� ���, ��������~(9),
$$
\dlp{j-1\over k}\drp = \dlp{j\over k}\drp -{1\over k}+{1\over 2}\sigma 
\left({j+1\over k}\right)+{1\over 2}\sigma\left({j\over k}\right).
\eqno(32)
$$
����� ������~$c_0=c\bmod h$, ��� ���~$0<c=c_0+rh<k$. �����
$$
\eqalign{
 \sigma(h, k, c)&=\sigma(h, k, c_0)+12\sum_{0\le j <r}\dlp{c_0+hj\over k}\drp +6\dlp{c\over k}\drp -6\dlp{c_0\over k}\drp=\cr
                &=\sigma(h, k, c_0)+12\sum_{0\le j <r}\left({c_0+hj\over k}-{1\over 2}\right) +6\left({c\over k}-{1\over 2}\right)-6\left({c_0\over k}-{1\over 2}\right)+d.\cr
}
$$
������� ������������ ��������� ��������������.
\proofend

�����~B �~C ��������� �������������� ��������� ����������� ��������� 
����������~$\sigma(h, k, c)$ � ������, �����~$h$ �~$k$ ������� ������.

{\sl ���~1.\/}~��������� (��� ��������) �������~$k$ � (��)~$h$ �~$c$ (���� 
��� ����������), � ��� ����� �������� �� � 
����������~$-{k\over 2}<h\le {k\over 2}$, $-{k\over 2}<c\le {k\over 2}$
(��� � ����������~$0<h \le k$,  $0\le c < k$). ����� �������� �������, 
������ ��� �� �����������
$$
\sigma(h\pm nk, k, c)=\sigma(h, k, c)=\sigma(h, k, c\pm nk).
\eqno(33)
$$

{\sl ���~2.\/}~����~$h$ ���~$c$ ������������, ������� �� ��������������, 
��������� ���������
$$
\eqalign{
\sigma(-h, k, c)&=-\sigma(h, k, c),\cr
\sigma(h, k, -c)&=\sigma(h, k, c).\cr
}
\eqno(34)
$$

{\sl ���~3.\/} ����~$k=1$ ���~$k=2$, ��~$\sigma(h, k, c)=0$ 
(��� ���~$\dlp j/1 \drp=\dlp j/2 \drp =0$). 

%% 99
{\sl ���~4.\/}~����~$c>h$, ��������~$c$ ��~$c\bmod h$ � ������� 
�����������~(30) �����~C.

{\sl ���~5.\/}~������ ��������� ������� �����~B, ��� ��� �����
$$
\sigma(h, k, c)=-3+{h\over k}+{k\over h}+{1+6c^2\over hk}-\sigma(k, h, c). 
\eqno (35)
$$
��� �����������~$\sigma(k, h, c)$ ��������� � ����~1.

����� ����������� �������� ������ ��������; ���������������� 
��������~$h$ �~$k$ ����� ���� ��� ��, ��� ������������������ ��������, 
���������� ��� ����������� � ������� ��������� ������� (��.~�.~4.5.2) 
����������� ������ ��������~$h$ �~$k$. ���������� ��������� ��������.

\proclaim ������~1. ����� ����������� ���������������� ���������� ��� 
������~$m=2^{35}$, $a=2^{34}+1$, $c=1$.

\solution ��������~(17), �����
$$
C=(2^{35}\sigma(2^{34}+1, 2^{35}, 1)-3+6(2^{35}-(2^{34}-1)-1))/(2^{70}-1). 
\eqno (36)
$$
�������� ����~1 �~2, ��������
$$
(\sigma(2^{34}+1, 2^{35}, 1)=-\sigma(2^{34}-1, 2^{35}, 1).
$$
�������� ����~5:
$$
\sigma(2^{34}-1, 2^{35}, 1)=-3+(2^{34}-1)/2^{35}+2^{35}/(2^{34}-1)
+7/2^{35}(2^{34}-1)-\sigma(2^{35}, 2^{34}-1, 1).
$$
�������� ����~1:
$$
\sigma(2^{35}, 2^{34}-1, 1)=\sigma(2, 2^{34}-1, 1).
$$
������ ���~5 ����
$$
\sigma(2, 2^{34}-1, 1)=-3+2/(2^{34}-1)+(2^{34}-1)/2
+7/2(2^{34}-1)-\sigma(2^{34}-1, 2, 1)
$$
�
$$
\sigma(2^{34}-1, 2, 1)=0.
$$
� ���������� ��������, ���
$$
C={1\over 4}+\varepsilon, \rem{$\abs{\varepsilon}<2^{-67}$.}
\eqno(37)
$$
����� ����������, ����������, �����������. �������, ���� ������ �������� 
������� ����� ���������; �� ��� �������� ��� ����� ��� �����������.

\proclaim ������~2. ���������� �������������� ����������� ���������������� 
���������� ���~$m=10^{10}$, $a=10001$, $b=2113248658$.

%% 100

\solution ��� ���~$C\approx \sigma(a, m,c)/m$, ������ ��������� ����������:
\EQ[38]{
 \eqalign{
 \sigma(10001, 10^{10}, 2113248653) &= \sigma(10001, 10^{10}, 7350)-6(211303)(7886743997)/10^{10};\cr
        \sigma(10001, 10^{10}, 7350)&\approx -3+10^{10}/10001-\sigma(10^{10}, 10001, 7350);\cr
        \sigma(10^{10}, 10001, 7350)&=\sigma(100, 10001, 7350)=\cr
                                    &=\sigma(100, 10001, 50)-6(73)(2601)/10001;\cr
              \sigma(100, 10001, 50)&\approx -3+10001/100+100/10001-\sigma(10001, 100, 50);\cr
              \sigma(10001, 100, 50)&=\sigma(1, 100, 50)=-50,02.\cr
                                   C&\approx(-3+999900,01-97,02-50,02+113,91-99895,60)/10^{10}=\cr
                                    &=-0,000000003172.\cr
  }
}

����� ��������~$C$, �������, ������������� ����� �����������. �� �������� 
����� ������� ����� �����~$3$, \emph{��� ���, �������� �� ���������� 
���������������� ����������, ��� ������ ������� ������� ���������� 
��������� �����.} ���������� ����������--- �����������, �� �� ����������� �������!

\proclaim ������~3. ������� ���������������� ���������� ��� �����~$a$, $m$, $c$.

������ ���� ����������� ���� �������� ����� ��������� � ����� ����. 
�����~$c_0=c\bmod a$.
$$
\eqalignno{
 \sigma(a, m, c)&=\sigma(a, m, c_0)+{6(c-c_0)\over am}(c+c_0-m)=\cr
                &=-3+{a\over m}+{m\over a}+{1\over am}+{6c^2\over am}-{6(c-c_0)\over a}-\sigma(m, a, c_0).&(39)\cr
}
$$
�������� ���.~12, $\abs{\sigma(m, a, c_0)}<a$, �������
\EQ[40]{
 C\approx {\sigma(a, m, c)\over m}\approx {1\over a}\left(1-6{c\over m}+6\left({c\over m}\right)^2\right).
}
��� ���� �� ����������� �������
\EQ{
 {3\over m}\left(1-2{c_0\over a}+{a-x'-c\over m}\right)+{1\over m}\sigma(m, a, c_0)+O\left({1\over m^2}\right),
}
��� ��� ����� �������, ��� ����������� ���������~\eqref[40] �� 
���������~$a/m$. ������� ����� � ������ ���� ����~$\sigma(m, a, c_0)/m$. 
���������� ���������� ����� ����������� ��������� �������.

\proclaim �������~S. ����������� ���������������� ���������� ��� �������� 
������������ ������������������ � ������������ �������� ������������ 
������������ ����������~\eqref[40] � �������,
%% 101
\bye
