\input style
\chapno=4\subchno=2\subsubchno=1\chapnotrue
����������� ���������� � ������� �������� ��� ������ � ������� � ��������� 
������ �������� �� "����������� �������� ��������", ���������������� 
���������� ��������������� ���, �� ��������� � ���������� ���� �������� � 
�������� ����������. ������ ����������� ���� ����� ��.~R.~H.~Stark,
D.~�.~McMillan, {\sl Math.~Comp.,\/} {\bf 5} (1951), 86--92, ��� 
������� ��������� ��� ���������� �� ��������-��������� ����������;
D.~McCracken, Digital Computer Programming, New York, Wiley, 1957, 121--131;  
J.~W.~Carr~III, {\sl CACM,\/} {\bf 2} (May, 1959), 10--15;
W.~G.~Wadey, {\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 129--139; D.~E.~Knuth, {\sl JACM,\/} 
{\bf 8} (1961), 119--128; O.~Kesner, {\sl CACM,\/} {\bf 5} (1962), 269--271; 
F.~�.~Brooks, K.~E.~Iverson, Automatic data processing, New York, Wiley, 1963,
184--199. ���������� �������������� �������� � ������� � ��������� ������ 
� ����� ������ ��������-������������ ����� ����� � ������ 
�.~�.~��������� "Floating-point operation" � �������� "Planning a Computer 
System", [ed.~by~W.~Buchholz, New York, McGrow-Hill, 1962,92--121]. 
�������������� ������ �� ���������� �~�.~4.2.2.

\excercises
\ex[10] ��� ����� ��������� ����� �������� � ���������� ������, ���� �� 
����������� � ���� ���������������� ����� � ��������� ������ �� 
���������~$100$ � ��������~$50$? (������ ������ ���� �� ������������� � 
������~\MIX{} (��� �~\eqref[5]), ���� �� ������ ����� ��������~$100$.)

\ex[12] �����������, ��� ����������~$e$ ����� � ���������~$0\le e \le E$; 
������ ���������� � ���������� ������������� ��������, ������� ����� 
���� �������� ��� $p\hbox{-���������}$ ����� � ��������� ������ �� 
���������~$b$ � ��������~$q$? ������ ���������� � ���������� 
������������� ��������, ������� ����� ���� ������������ � ���� 
\emph{���������������} ����� �����?

\ex[20] ��������, ��� ���� �� �������� � ���������������� 
��������� ������� � ��������� ������, �� ���������� ������ ������� 
��������� �������� ��� ���������� ������ ������������ ������: 
$p\hbox{-���������}$ ������� ����� ����� ������������ ��� ������ ����� 
���� $p-1$~�������� ��������� �����, ���� ����-���� ��������� �������� 
�������� ����������. 

\rex[15] �����~$b=10$, $p=8$. ����� ��������� ���� ��������~A ��� 
��������~$(50, +.98765432) \oplus (49, +.33333333)$? 
��� ��������~$(53, -.99987654) \oplus (54, +.10000000)$? 
��� ��������~$(45, -.50000001) \oplus (54, +.10000000)$?

\ex[M23] ��������, ��� ����� ������~A5 �~A6 ���������~A �����, �� ������� 
����������, ��������� ��������� ��������: ����~$f_u$ �~$f_v$ ����� ���������� 
����, �� ��������~$f_v$ ��~$\sign(f_v)b^{-p-2}\floor{b^{p+2}\abs{f_v}}$; 
���� �����~$f_u$ �~$f_v$ ��������������, �� ��������~$f_v$ 
��~$\sign(f_v)b^{-p-2}\ceil{b^{p+2}\abs{f_v}}$. (������ ���� �������� 
������� � "��������"~$f_v$ �� $p+2$~��������, ����� �������������� ����� 
��������, ����������� ��� ���������� �������� � ����~A6.)

\ex[22] ������ �� ���� �������� ������~38--40 ���������~A 
�����-������������ ��������~"|SLC 5|"?

\ex[M21] ����� ��������� ���������� ���������� � ���������~A, ����� �� 
����������� ������ ��������� ������������ ���������������� ����������,
���� ���� ������� ������ �� �������������? (����� "��������� �����������" 
��������, ��� ��������� ����� ���������� ��������� �������� � $p$~�������� 
� �������������, ��� ������� ������~$u$ �~$v$ � �������� 
�����~$f_u\times b^{e_u-q}$
%% 242
�~$f_v\times b^{e_v-q}$ ��������������, ����, ���� �����, � �� 
�������������. � ���������, $u$ ���~$v$ ����� ����� ������� ������� ����� 
� ����� ������� �����������, � ����� ������� � ��������� ������� 
���������� ������������� �� ��� ������ ����.)

\ex[25] ��������� ������� ������� ��������, ��� ������� 
������������~|FADD|  � ���������~A �� ������������ ��������� "��������� 
������������ ���������������� ������" � ������ ���.~7.

\ex[�24] (�.~�����.) �����������, ��� ������������ ���������� �������� � 
���������� ���������� �������� ���� ��� ������-���� �������� �� ������. 
��������� ��������������� ���������� ����� � ��������� ������ � �������� 
���� � �����������~$e$  � ���������~$-50\le e < 50$, ������� ����� 
������������� ��������~$a$, $b$, $c$, $d$ �~$y$, ��� ������� ����������� 
�����������~\eqref[11].

\ex[M15] ��������� ������ ��������������� ��������������� ���������� ����� 
� ��������� ������~$u$ �~$v$, � �������� �������� ������� ���������� 
������������ ��� ����������.

\rex[M20] ����� ������ ��������������� ��������������� ����������  ����� � 
��������� ������~$u$ �~$v$, � �������� ��������� ������� ���������� 
������������ ��� ����������.

\ex[M25] ��������, ��� ������������ ��� ���������� �� ����� ����������� � 
���� ���������� ���� ������������ ��� ������� ����� � ��������� ������.

\rex[�23] ������ ����˸��� ��������� ������� ������������� �����, 
���������� �~\eqref[13] � ���, ����� ����������� \emph{��������} 
������������� �����~$u$ � ��������� ������ �� ����� �����~$\floor{u}$ � 
������������� ������ � �������������, ���~$0<u<b^3$:
\EQ{
  |FSUB~ONEHALF;|\quad |FADD~FUDGE|;\quad |SUB~FUDGE.|
}
(����� |ONEHALF|---�������������~$1/2$ � ���� ����� � ��������� 
������.) ��� ���� ������������ �� ��� ����������, ��� $u-1/2$ ����������� 
��~$\floor{u}$. ������ ����� �� ���������, ��� ��� ���� �������� �� ������.
� ��� ���� ������? ��� �� ������� ������, ������� �� �� ��� ���������������?

\ex[23] �������� \MIX-������������, �������, ������ ��������� � 
������������� ����� � ��������� ������, �������������� � ��������~|A| � �� 
����������� ����������������, �������������� ��� � ��������� ����� �����, 
�������������� � ����� � ������������� ������ (��� �������������, ��� ��� 
����� ������� ������ �� ���������� ��������, ����� ����� �������������� 
���� ��������).

\rex[28] �������� \MIX-������������, ������� ����� ���� �� ������������ � 
��������� � ������� �������������� ����� ��������� ��� 
����������~$u\fmod{1}$, �.~�.~��� �����������~$u-\floor{u}$,  � ������ 
����� �����~$u$ ������ � ����� � ��������� ������. �����, ����� ��������� 
��������� ����������� ��������� (� ������ ���.~7); �������������, 
����~$u$---����� ����� ������������� �����, �� $u\fmod{1}$~����� ��������� 
����� �������, ��� ��������� �������� ������~$1$ (���� �� �����������~$u\fmod{1}$ 
���� ������������ �����, ������ \emph{�������} �������).

\ex[��21] (������ �.~����.) ������������ �������� ���������� ������������ 
� ������ ������ ������������ �����~$(a+bi)/(c+di)$ �� �������� � ����� � 
��������� ������ ������������ ���������~$a$, $b$, $c$ �~$d$. ���������� 
��� ����������~$c^2+d^2$, ��� ��� ��� ���� ����� ���������� ������������, 
����~$\abs{c}$ ���~$\abs{d}$ �������� ����� ����������� ����� �� 
������������� ����������� � ����� � ��������� ������ ��������.

\ex[40] (���� ����.) ����������� ��������� ���� ���������� ��������� 
��������� ����� � ��������� ������: ������������ ����������� �������������,
��� ������� �������� ������� ����� �����������, ����� �������� ���������� 
����������.

%% 243

\subsubchap{�������� ���������� �������������� �������� � ������� � ��������� ������} % 4.2.2
���������� ��� ������� � ����� � ��������� ������ ������� �� ����� ����� 
�������, � �������� ����� �������� ��������� ��, ����� ����������� 
������ ����� ������� �������� �� "����". ���� �� ������� ������� 
���������� ������� ������� � ����������� ������� �������� ����������� ��� 
��� ���� ��������� �������; ���� ���������� � �������� "������� �������": 
�� �� �����, �� ����� ������� ����� ������ ����������� ���������� �� ���. 
������������-������� ������ ��� ��������, ������� ���������� ��� 
������������� ����������; ��� ������� �������, ��� ��� ����� 
������������� ������ �������� ���������. � ������������� ���, �������� 
�������, ������ ����� ���������������: ��� ��������� ���������, ��� �� 
������ ����� ������������. ������ �� ��������� ����������� �������� 
������ ���������������� ������������������ �������� � ��������� ������, ��,
���������, ��� ������ ������� ������, ������� ���, ��� ��������������� 
��������������� �������������.

������ ������������ ������� ������� ������ �������, ����������, �� ����� 
��������� �����, ������ ��������� �� ������������� ������, ����������� 
��� ����������� � ������� � ��������� ������, �� � ���� ������ ����������. 
���� ����---��������, ��� ��������� �������� � ��������� ������ ����� 
�������, ����� ���������, ��������� ��� ��������, �������� ������ 
�������� ������.

������� (�� ���������� ��������) ������ ���������������� ��������� 
�������� ��������� ���������� ������� �� ������� "�������� ����" ��� 
\dfn{������������� ������.} ���� �� ������������ ������ ������������ 
�����~$x$ � ��� �����������, �����������~$\widehat x=x(1+\varepsilon)$, �� 
��������~$\varepsilon=(\widehat x-x)/x$ ���������� ������������� ������� 
�����������. ����� ������, � ������� � ��������� ������ �������� ��������� 
� ������� �� ������� ����������� ������������� ������, �� ��������� 
����� ������ ������� (� ��������~$u\oplus v$, ���~$u$ ����� �����~$-v$) 
����� ��������� �� �����������. ����, � ��� ���� ����� 
"������������" �������: ������������ ������ �������� ����� ������� �� 
�������� � ��������� ���������� ����, �� �� �� ��������� � �������.

����� �� ��������� � ��������� ������������ �������� � ������� � ��������� 
������ �������� ��������� ������ ���������������:
\EQ[1]{
 (u\oplus v)\oplus w \ne u \oplus (v \oplus w) \rem{��� ���������~$u$, $v$, $w$.}
}
%% 244
��������:
\EQ{
 \eqalign{
   (11111113.\oplus -11111111.)\oplus 7.5111111  & = 2.0000000 \oplus 7.5111111\cr
                                                 & = 9.5111111;\cr
  11111113. \oplus (-11111111. \oplus 7.5111111) & = 11111113. \oplus -11111103.\cr
                                                 & = 10.000000.\cr
 }
}
(��� ������� ����� ������ ���������� � ��������������� ���������� 
��������� ������� � �������������� ����������� ����������� ������� 
�������� ����� ������������ ���������� �����. ��������, ���, ��� � � 
�.~4.2.1, �������~$\oplus$, $\ominus$, $\otimes$, $\oslash$ ������������ 
��� ����������� �������� � ������� � ��������� ������, ��������������� 
������ ���������~$+$, $-$, $\times$, $/$.)

� ����� ��������� ������ ������ ��������������� ����������� � ������ 
���� ����� ��������� ������� �� ��� [������ ��~{\sl Math.~Gazette,\/} {\bf 12} 
(1924), 95], ���� ��� ������� � ���������� � ������� � ��������� 
������, ����� � ���� ������� ���� �������� ������. �������������� 
����������� ����~"$a_1+a_2+a_3$" ���~"$\sum_{1\le k \le n} a_k$" �� ������ 
������ �������� �������� �� ������������� �� ���������������, ��� ��� 
����������� ������ ���� �������� �������� �� ��� ����, �� ������������ �� 
�� ������ �������������� ������ ���������������.

\section{�.~��������������� ������}. ���� ����� ��������������� � �� �����,
����� ���������������
\EQ[2]{
 u \oplus v = v \oplus u
}
������ �����������, � ���� ����� ����� ������� ��������� �������������� 
���������� ��� ���������������� � ��� ������� ��������. ��� ����������� 
������������ ���, ��� ������� ������ �������� ������������ ������, ������� 
������������� ��������~$\oplus$, $\ominus$, $\otimes$ �~$\oslash$; �����, 
�� ����� ������������ ����� ������������: \emph{��������� �������������� 
�������� � ������� � ��������� ������ ������� ���������� ����� �������, 
����� ����������� ����������� ��������� ����� ����������� ��������������
�������.}

���������� ������ ��������� �� ������ �������� �������, ������� 
����������� ��� ��������������� �������� � ��������� ������, ��������� � 
���������� ������. ������ ����� �� �����
\EQ{
 \displaylinesno{
    u \ominus v = u \oplus - v ; & (3) \cr
  -(u \oplus v) = - u \oplus -v; & (4) \cr
     u \oplus v = 0 \hbox{~����� � ������ �����, �����~$v=-u$;}&(5)\cr
     u \oplus 0 = u. & (6) \cr
 }
}
%% 245
�� ���� ������� ����� �������� � ���������� ���������; ��������,
\EQ[7]{
 u \ominus v = - (v \ominus u)
}
(��.~���.~1). ��� ������ \emph{��} ����������� ��, ���� �� � ������� � 
��������� ������ ��� ������� ������ ��������� ������ ������� ���� 
������������� �������������� ���; ��.~���.~11. � ���� ����� ������ ������ 
��� ��� ������������� ����� � ��������� ������ ����� ��������� 
������������� ������������.

���������~\eqref[2]--\eqref[6] ������� ��������������� �� 
���������� �.~4.2.1. ��������� ������� ���� ����� ��������:
\EQ[8]{
 \hbox{����~$u \le v$, ��~$u \oplus w \le v \oplus w$.}
}
����� �������� ���, ������� �� �����������~$\round(x, p)={}$"$x$,  
����������� �� $p$~��������"${}={}$
\EQ[9]{
 \cases{
  b^{e-p}\floor{b^{p-e}x+{1\over2}}, & ����~$b^{e-1}\le x < b^e$,\cr
                                  0, & ����~$x=0$, \cr
   b^{e-p}\ceil{b^{p-e}x-{1\over2}}, & ����~$b^{e-1}\le -x < b^e$, \cr
 }
}
���~$x$---������������ �����, �~$p$---����� �������������. 
(��.~�~����������~4.2.1N, ���~N5.) �������, ��� ����������� ���������
\EQ[10]{
 \round (-x, p) = - \round (x, p);\qquad \round(bx, p)=b \round (x, p);
}
�, �����, � ���� �����������~�.~4.2.1, ����� ����� ������ �����������
\EQ{
 \eqalignno{
   u \oplus  v &= \round(u+v, p),       & (11)\cr
   u \ominus v &= \round(u-v, p),       & (12)\cr
   u \otimes v &= \round(u\times v, p), & (13)\cr
   u \oslash v &= \round(u/v, p)        & (14)\cr
 }
}
\emph{��� �������,} ��� �� ���������� ������������ ��� ������������ 
�����������, �.~�.~��� �������, ��� �����~$u+v$, $u-v$, $u \times v$ 
�~$u/v$ ����� � ���������� ����������. ��������� ���� �����������, 
����� ���� ������� �������������� ���� ������������� ���� ��������,
������� � ���������~\eqref[8], ���������� ���������� ���� �����, 
��� �������~$\round(x, p)$ �� ������� ��� �����������~$x$.

�� ����� ������ �������� ��� ��������� ��������, ���������� �� ��������� 
���� �����������:
\EQ{
 \displaylines{
   u \otimes v = v \otimes u, (-u)\otimes v  = -(u\otimes v), 1\otimes v = v;\cr
   u \otimes v = 0 \hbox{ ����� � ������ �����, �����~$u=0$ ���~$v=0$;}\cr
 (-u)\oslash v = u \oslash (-v) = -(u \oslash v),  0 \oslash v =0,\cr
   u \oslash 1 = u, u \oslash u =1;\cr
 \hbox{����~$u\le v$, $w>0$, ��~$u \otimes w \le v \otimes w$, $u \oslash w  \le v \oslash w$, $w \oslash u \ge w \oslash v$.}\cr
 }
}
%% 246
����, ���� �������� � ������� � ��������� ������ ����������� � 
������������ � ������������� ���������, ��, �������� �� ���������� ����� 
��������, ����������� ������� ������������.

� ����������� ���� ��������� ��������, ����������, ��� �� ��������� � 
����� ���������� ���������� ��������� ������� �������; ����� 
��������������� ��� ��������� � ������� � ��������� ������ ����������� �� 
������ �����, ��� ��� ����� ����� �� ���.~3, ��� �� �������� ������ 
����������������, ������������ ��������~$\otimes$ �~$\oplus$), �� �� ����� 
����������, � ��� ���� �������� �����������. �����, ��������, 
$u=20000.000$, $v=-6.0000000$ �~$w=6.0000003$, �����
\EQ{
 \eqalign{
  (u\otimes v) \oplus (u\otimes w) &= 120000.00 \oplus 120000.01 =.010000000,\cr
             u \otimes (v\oplus w) &= 20000.000 \otimes .00000030000000 = .0060000000,\cr
 }
}
��� ���
\EQ[15]{
 u\otimes (v\oplus w) \ne (u\otimes v) \oplus (u \otimes w).
}

����������, �������� ������� �������, �����~$2(u^2\oplus v^2)<(u\oplus v)^2$; 
������������������� ���������� �������� ������������� ���������� 
��� ���� ���������� �� �������
\EQ{
 \sigma =  {1\over n}\sqrt{n \sum_{1\le k \le n} x_k^2-\left(\sum_{1\le k \le n} x_k\right)^2}
}
����� �������� � ���������� ����������� ����� �� �������������� �����!

���� ���� �������������� ������ ����������� �� ������ ������, �� ����� 
������������ ���� ������ ��� ����������� ����, � ����� �������� �������� 
����������� �����. �� �����������~$\round(x, p)$ �������, ���
\EQ[16]{
 \round(x, p)=x(1+\sigma_p(x)),
}
���
\EQ[17]{
 \abs{\sigma_p(x)}\le {1\over 2}b^{1-p}.
}
�������������, �� ������ ����� ��������
\EQ{
 \eqalignno{
   a\oplus b &= (a+b)(1+\delta_p(a+b)),              & (18)\cr
  a\ominus b &=(a-b)(1+\delta_p(a-b)),               & (19)\cr
  a\otimes b &= (a\times a) (1+\delta_p(a\times b)), & (20)\cr
  a\oslash b &=(a/b)(1+\delta_p(a/b)).               & (21)\cr
 }
}
����� �������� ������� �������� ����� ������� ������������� ������ 
��������������� ���������� � ������� � ��������� ������. 
�������~\eqref[18]--\eqref[21] ������ ������� ������������ ��� ������ 
������ � ���������� ��������������� ����� � ��������� ������.

%% 247

� �������� ������� �������� ��������� ������ ������ ���������� ����� 
��������������� ���������. ��� ���������� ���.~3, $(u\times v)\otimes w$, 
������ ������, �� �����~$u\otimes (v\otimes w)$; �� �������� � ������ 
������ ������� �����, ��� � ������ ������ ��������������� 
��������~\eqref[1] � ������ ����������������~\eqref[15]. � ����� ����, 
�����~\eqref[17] �~\eqref[20] �����
\EQ{
 \eqalignter{
   (u\otimes v)\otimes w &= ((uv)(1+\delta_1))\otimes w &= uvw(1+\delta_1)(1+\delta_2),\cr
    u\otimes(v\otimes w) &= u\otimes((vw)(1+\delta_3))  &= uvw(1+\delta_3)(1+\delta_4)\cr
 }
}
��� ���������~$\delta_1$, $\delta_2$, $\delta_3$, $\delta_4$ ��� �������, 
��� �� ���������� ������������ ��� ������������ ����������, 
������~$\abs{\delta_j}\le {1\over2}b^{1-p}$ ��� �������~$j$.

�������������,
\EQ{
  {(u\otimes v)\otimes w \over u\otimes (v\otimes w)}
  ={(1+\delta_1)(1+\delta_2)\over (1+\delta_3)(1+\delta_4)}
  =1+\delta,
}
���
\EQ[22]{
  \abs{\delta}\le 2b^{1-p}/\left(1-{1\over2}b^{1-p}\right)^2.
}

��� ����� �� ����������, ��� $(u\otimes v)\otimes w$ \emph{�������������� 
�����}~$u\otimes (v\otimes w)$, �� ����������� ��� �������, ����� 
���������� ������������ ��� ������������ ����������. ��� ����������� 
���� "���������������� ���������" ����������� ����� ���������� ��������; 
����� �� �������� ������� ���� ����� ������ ������������ ����� �����������?

�����������, ������������ �������������� �������� � ������� � ��������� 
������, ����� ������� �� ���������� ������� ���������, �� ����������� �� 
���������~$u=v$ (��� �� ������� ���� �� ���� �� �����-������ �������� 
��� �������), ��� ��� ��������� �������� ��������� ������������� 
��������. ��������, ���� ������������ ������������ �����������
\EQ{
  x_{n+1}=f(x_n),
}
� ������� ������, ������ �� �����-�� ������, ����������, 
��� $x_n$~��������� � ���������� ������� ���~$n\to\infty$, ��, ��� �������,
���� �� ������� ���������� ����������, ���� ��� ����������~$n$ �� 
������������ ���������~$x_{n+1}=x_n$, ��� ��� ������������������~$x_n$ 
����� ����� ���������� ������������� ����������� ��������� ������������� � 
������� ��������. ������� ���������� ���������� ���� �� ��� ���, ���� 
��� ���������� ���������� ������� ����������~$\delta$ �� ������ 
����������� �����������~$\abs{x_{n+1}-x_n}<\delta$; �� ��� ��� �� �� 
����� ������� ������� ��������~$x_n$, ��� ����� ��������� ���������� 
��������� �����������
%%248
\EQ[23]{
  \abs{x_{n+1}-x_n}\le \varepsilon\abs{x_n};
}
�����~$\varepsilon$ ������� ����� ������� �������. 
�����������~\eqref[23]---��� ������ ������ ��������� ���� �����, ��� 
�����~$x_{n+1}$ �~$x_n$ �������������� �����; � ���� ���������� ����������,
��� ��� ������������ ���������� ��� ������� � ��������� ������ 
����������� "���������������� ���������" ���� �� ����� �������, ��� 
������������ ����������� ���������, ���� ������ ��� ������� ���������� 
������ ����������� ���������� �������.

������� �������, ��� ����, ��� ������� ��������� ������� � ������� � 
��������� ������ ������ ����� ��������� ����, �������� � ������������� 
������ ����� �������� \emph{��������� ������� � ��������� ������,} 
��������������� ��� ���������� ������ ������������� �������� ���� ����� 
�������. �������������� ���������� ��������� ����������� ��� ����� � 
��������� ������~$u=(e_n, f_n)$ �~$v=(e_v, f_v)$ �� ���������~$b$ � 
��������~$q$:
\EQ{
 \eqalignno{
  u &\prec v(\varepsilon) \hbox{ ����� � ������ �����, �����~$v-u>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;}           &(24)\cr
  u &\sim v(\varepsilon) \hbox{ ����� � ������ �����, �����~$\abs{v-u}\le \varepsilon \max (b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;} &(25)\cr
  u &\succ v(\varepsilon) \hbox{ ����� � ������ �����, �����~$u-v>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;}           &(26)\cr
  u &\approx v(\varepsilon) \hbox{ ����� � ������ �����, �����~$\abs{v-u}\le\varepsilon\min(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$.} &(27)\cr
 }
}
�������� ���� ������������, ��� ����� ������ ���� ��������~$u$,~$v$ ����� 
����������� � �������� ���� �� �����������~$u\prec v$ ("����������� ������"), 
$u\sim v$ ("�������������� �����") ���~$u\succ v$  ("����������� ������"). 
�����������~$u\approx v$---��������� ����� �������, ������~$u\sim v$, � ��� 
����� ������ ���: "$u$ �� �������� �����~$v$". ��� ��� ����������� �������� 
����������� �������������� �����~$\varepsilon$, ����������� ������� 
���������������� �����������.

����� �� �������� ������������ ����������� ����������� ������� � ���, 
����� ������ �����~$u$ � ��������� ������ ��������� � ������������ 
���������~$S(u)\set{x \mid \abs{x-u}\le \varepsilon b^{e_u-q}}$;
���������~$S(u)$ ������������ ����� ������������ ������������ �����, 
������������� ������~$u$, � ���������� ��� ������ ����������~$u$. � 
�������� ���� �������� �����������~$u\prec v$ ����������� ����� � ������ 
�����, �����~$S(u)<v$ �~$u<S(v)$; $u\sim v$ ����� � ������ �����, 
�����~$u\in S(v)$ ���~$v\in S(u)$; $u\succ v$ 
%% 249
����� � ������ �����, �����~$u>S(v)$ �~$S(u)>v$; $u\approx v$ ����� 
� ������ �����, �����~$u\in S(v)$ �~$v\in S(u)$. (����� �� ������������,
��� ��������~$\varepsilon$, ���������� ������� �����������, ����������;
� ����� ��������� ������ ����� ���� �������� � �����������~$S(u)$ ��~$\varepsilon$.)

��� ��������� ��������� �� ����������� �����������:
\EQ{
 \displaylinesno{
  \hbox{����~$u\prec v(\varepsilon)$, ��~$v\succ u(\varepsilon)$;}                                                  & (28)\cr
  \hbox{����~$u\approx v(\varepsilon)$, ��~$u\sim v(\varepsilon)$;}                                                 & (29)\cr
  u\approx u(\varepsilon);                                                                                          & (30)\cr
  \hbox{����~$u\prec v(\varepsilon)$, ��~$u<v$;}                                                                    & (31)\cr
  \hbox{����~$u\prec v(\varepsilon_1)$  �~$\varepsilon_1\ge \varepsilon_2$, ��~$u\prec v(\varepsilon_2)$;}          & (32)\cr
  \hbox{����~$u\sim v(\varepsilon_1)$ �~$\varepsilon_1\le \varepsilon_2$, ��~$u\sim v(\varepsilon_2)$;}             & (33)\cr
  \hbox{����~$u\approx v(\varepsilon_1)$  �~$\varepsilon_1\le \varepsilon_2$, ��~$u\approx v(\varepsilon_2)$;}      & (34)\cr
  \hbox{����~$u\prec v(\varepsilon_1)$ �~$v\prec w(\varepsilon_2)$, ��~$u\prec w(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$;}    & (35)\cr
  \hbox{����~$u\approx v(\varepsilon_1)$ �~$v\approx w(\varepsilon_2)$, ��~$u\sim w(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$.} & (36)\cr
 }
}
�����, ����� ��� ����� ��������, ���
\EQ{
 \displaylinesno{
   \hbox{$\abs{u-v}\le \varepsilon\abs{u}$ �~$\abs{u-v}\le \varepsilon\abs{v}$ ������~$u\approx v(\varepsilon)$,} & (37)\cr
   \hbox{$\abs{u-v}\le\varepsilon\abs{u}$ ���~$\abs{u-v}\le\varepsilon\abs{v}$  ������~$u\sim v(\varepsilon)$}    & (38)\cr
 }
}
�, �������, ��� \emph{���������������} �����~$u$ �~$v$ ���~$\varepsilon<1$ 
\EQ{
 \displaylinesno{
   \hbox{$u\approx v(\varepsilon)$ ������~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{u}$ �~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{v}$;} & (39)\cr
   \hbox{$u\sim v(\varepsilon)$  ������~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{u}$ ���~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{v}$.} & (40)\cr
 }
}

� �������� ������� ���� ���� ����������� ����� [��� � �~\eqref[22]]
\EQ{
  \eqalign{
%% ���������, ��������� �� ��������� ������ \abs
    \abs{(u\otimes v) \otimes w - u\otimes (v\otimes w)}&=\abs{u\otimes (v\otimes w)}\cdot \abs{{(1+\delta_1)(1+\delta_2)\over (1+\delta_3)(1+\delta_4)}-1}\le \cr
                                                        &\le {2b^{1-p}\over \left(1-{1\over 2}b^{1-p}\right)^2}\abs{u\otimes(v\otimes w)},\cr
  }
}
� �� �� ����� ����������� �����������, ���� �������� 
�������~$(u\otimes v) \otimes w$ �~$u\otimes (v\otimes w)$. �������������, 
�����~\eqref[27], ����������� �����������
\EQ[41]{
%% ��� ����� ���� (\varepsilon)? ���� ��������.
  (u\otimes v) \otimes w \approx u \otimes (v\otimes w) (\varepsilon)
}
���~$\varepsilon\ge 2b^{1-p}/(1-b^{1-p})^2$. ��������, ���~$b=10$ �~$p=8$ 
����� �����~$\varepsilon=0.00000021$. ����� �������, � ��� ������� 
�������� ������� "����� ���������������".

%% $\sim$ => $\sim$,
�����������~$\prec$, $\sim$, $\succ$ �~$\approx$ ������� ��� ��������� 
����������, � ������� ������� ���� ����������� ��� ����������� ��������� 
����� � ��������� ������ ������ � ����������� ���������� ��� ���� 
�������������� ��������.

%% 250

������ ����� ���������� ���� �������� �� ������ � ���������� 
\emph{������} �����������, ������� ������������� �������� ��� ���������� � 
��������� ������. ��������� ��������, ��� �������� � ��������� ����� 
������� �� ��������� �������� �� ���� ������ �����������, ��� ��� ��� 
������������� ������������� ����������, ������������� � ��������~A �~B.

\proclaim �������~A. �����~$u$ �~$v$---��������������� ����� � ��������� ������. 
�����
\EQ[42]{
  ((u\oplus v)\ominus u)+((u\oplus v)\ominus ((u\oplus v)\ominus u))=u\oplus v,
}
%% ��� ������� ��� => ��� �������, ���
��� �������, ��� �� ���������� ������������ ��� ������������ ����������.

\emph{���������.} ��� �������� ���������� ��������� ����� ���������� � 
��������� ����� ������� ����. �������
\EQ[43]{
  \twocoleqalign{
     u'&=(u\oplus v)\ominus v,  & v' &=(u\oplus v)\ominus u ;\cr
    u''&=(u\oplus v)\ominus v', & v''&=(u\oplus v)\ominus u'.\cr
  }
}
���������� ����, ��� $u'$ �~$u''$ ������ ���� ������������� �~$u$, �~$v'$ 
�~$v''$---������������� �~$v$. �������~A ����������, ���
\EQ[44]{
  u\oplus v = u'+v'' = u''+v'.
}
��� ����� ������� �����������, ������ ���������
\EQ[45]{
  u\oplus v = u' \oplus v'' = u'' \oplus v',
}
���������� ��� ����� ���������� �������~A (��.~���.~12).

\proof ����� �������������� ����� ������������� ���������� ���������� 
�������������� ��������~\eqref[44] ��� �������~$u\ge\abs{v}$. � ����������� 
�������������� ������ ����� ������������ ����������
\EQ[46]{
  d=e_u-e_v\ge 0, \qquad w=u\oplus v \ge 0
}
� �������� � ������ ������� ������ ������; ���� ����� ��������� 
�����~$x$ ���������� ��������������� ��������~$(e_x, f_x)$ � ��������� 
������, �� ��������������� ��������� �����~$X$ ����� ���������� 
�����~$b^{p+e_x-e_v}f_x$. � ���������, $U=b^{p+d}f_u$,  $V=b^p f_v$;  ��� 
��������, ����� ��� �~$U'$, $V'$, $U''$, $V''$ �~$W$, �������� ������ 
�������, ���������� ����� ������� ��������� ����� �������, ���~\eqref[44] 
������������
\EQ[47]{
  W=U'+V''=U''+V'.
}
������ �������������� �������� � �������� �������� ������������ ���� 
������� �������.

%% 251

\bye