\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=1
\rex[15] пЕРЕВЕДИТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ВОСЬМЕРИЧНЫЕ ЧИСЛА В 
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЕ (ИСПОЛЬЗУЯ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЕ ЦИФРЫ~|0|, |1|,~\dots, |F|): 
$\oct{12}$; $\oct{5655}$; $\oct{2550276}$; $\oct{76545336}$; $\oct{3726755}$.

\ex[м22] оБОБЩИТЕ СООТНОШЕНИЕ~\eqref[5] НА СЛУЧАИ СИСТЕМ ПО СМЕШАННЫМ ОСНОВАНИЯМ.

\ex[22] иСПОЛЬЗУЯ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ ПО ОСНОВАНИЮ~$-2$, ДАЙТЕ 
АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СУММЫ ЧИСЕЛ~$(a_n\ldots{}a_1a_0)_{-2}$ 
И~$(b_n\ldots{}b_1b_0)_{-2}$,  ПОЛУЧАЮЩИЙ ОТВЕТ~$(c_{n+2}\ldots{}c_1c_0)_{-2}$.

\ex[23] дАЙТЕ АЛГОРИТМЫ ПЕРЕХОДА (a)~ОТ ЗАПИСИ ЧИСЛА В ПРЯМОМ ДВОИЧНОМ 
КОДЕ~$\pm(a_n\ldots{}a_0)_2$ К ЕГО НЕГА-ДВОИЧНОЙ 
ЗАПИСИ~$(b_{n+1}\ldots{}b_0)_{-2}$;  (b)~ОТ НЕГА-ДВОИЧНОЙ 
ЗАПИСИ~$(b_{n+1}\ldots{}b_0)_{-2}$ К  ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ЧИСЛА В ПРЯМОМ 
ДВОИЧНОМ КОДЕ~$\pm(a_{n+1}\ldots{}a_0)_2$.

\rex[м21] сУЩЕСТВУЮТ ЧИСЛА, КОТОРЫЕ В ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ 
ИМЕЮТ ДВА РАЗЛИЧНЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ ДРОБЬ, 
НАПРИМЕР $2.3599999\ldots=2.3600000\ldots\,$. еДИНСТВЕННО ЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 
ЧИСЕЛ В \emph{НЕГА-ДЕСЯТИЧНОЙ} (ПО ОСНОВАНИЮ~$-10$) СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ ИЛИ 
ДЛЯ ЭТОГО ОСНОВАНИЯ ТАКЖЕ СУЩЕСТВУЮТ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА С ДВУМЯ РАЗЛИЧНЫМИ БЕСКОНЕЧНЫМИ РАЗЛОЖЕНИЯМИ?

\ex[14] уМНОЖЬТЕ~$(11321)_{2i}$ НА СЕБЯ В МНИМО-ЧЕТВЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ, 
ИСПОЛЬЗУЯ ОПИСАННЫЙ В ТЕКСТЕ МЕТОД.

\ex[м24] кАК ВЫГЛЯДЯТ МНОЖЕСТВА~$S$, АНАЛОГИЧНЫЕ МНОЖЕСТВУ НА РИС.~1, ДЛЯ 
НЕГА-ДЕСЯТИЧНОЙ И МНИМО-ЧЕТВЕРИЧНОЙ СИСТЕМ? дРУГИМИ СЛОВАМИ, ЧТО 
ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ МНОЖЕСТВА
\EQ{
 \left\{\, \sum_{k\ge1} a_k(-10)^{-k} \mid 0 \le a_k \le 9, 
 \rem{$a_k$ ЦЕЛОЕ ДЛЯ ВСЕХ~$k$}\,\right\}
}
И
\EQ{
 \left\{\, \sum_{k\ge 1} a_k (2i)^{-k} \mid 0\le a_k \le 3, 
 \rem{$a_k$ ЦЕЛОЕ ДЛЯ ВСЕХ~$k$}\,\right\}?
}

\ex[м24] пОСТРОЙТЕ АЛГОРИТМ, ПРИБАВЛЯЮЩИЙ~$1$ 
К~$(a_n\ldots{}a_1a_0)_{i-1}$ В СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ ПО ОСНОВАНИЮ~$i-1$.

\ex[м30] мОЖЕТ ПОКАЗАТЬСЯ СТРАННЫМ, ЧТО В КАЧЕСТВЕ ОСНОВАНИЯ В 
СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ БЕРЕТСЯ ЧИСЛО~$i-1$, А НЕ АНАЛОГИЧНОЕ, НО БОЛЕЕ ПРОСТОЕ 
ЧИСЛО~$i+1$. вСЯКОЕ ЛИ КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО~$a+bi$ С ЦЕЛЫМИ~$a$ И~$b$ 
ПРЕДСТАВИМО В ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ С ЦИФРАМИ~$0$ И~$1$ И ОСНОВАНИЕМ~$i+1$?

\ex[вм32] пОКАЖИТЕ, ЧТО МНОЖЕСТВО~$S$ НА РИС.~1 ЕСТЬ ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО,
СОДЕРЖАЩЕЕ НЕКОТОРУЮ ОКРЕСТНОСТЬ НАЧАЛА КООРДИНАТ. (сЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЛЮБОЕ 
КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО ДОПУСКАЕТ "ДВОИЧНОЕ" ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО ОСНОВАНИЮ~$i-1$.)

\ex[вм42] пРОВЕДИТЕ БОЛЕЕ ПОДРОБНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ МНОЖЕСТВА~$S$ НА 
РИС.~1; НАПРИМЕР, ИЗУЧИТЕ ЕГО ГРАНИЦУ.

\ex[M22] пОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО (ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ, ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ 
ИЛИ НУЛЬ) МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ 
ЦИФР $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ (\emph{БЕЗ} ЦИФРЫ~$9$). 

\rex[M22] (к.~э.~шЕННОН.) мОЖНО ЛИ ПРОИЗВОЛЬНОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ 
ЧИСЛО (ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ, ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ИЛИ НУЛЬ) ПРЕДСТАВИТЬ В 
"УРАВНОВЕШЕННОЙ ДЕСЯТИЧНОЙ" СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, Т.~Е.\ ПРЕДСТАВИТЬ В 
ВИДЕ~$\sum_{k\le n} a_k10^k$ ДЛЯ НЕКОТОРОГО ЦЕЛОГО~$n$ И НЕКОТОРОЙ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$a_n$, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$,~\dots,  ГДЕ КАЖДОЕ~$a_k$ 
ЕСТЬ ОДНО ИЗ ДЕСЯТИ ЧИСЕЛ $\set{-4{1\over2}, -3{1\over2}, -2{1\over2}, 
-1{1\over2}, -{1\over2}, {1\over2}, 1{1\over2}, 2{1\over2}, 3{1\over2}, 
4{1\over2}}$?  (оТМЕТИМ, ЧТО НУЛЬ НЕ ВХОДИТ В ЧИСЛО "ДОЗВОЛЕННЫХ" ЦИФР, 
ОДНАКО НЕЯВНО МЫ ПРЕДПОЛАГАЕМ, ЧТО ВСЕ ЦИФРЫ $a_{n+1}$, $a_{n+2}$,~\dots{} 
СУТЬ НУЛИ.) нАЙДИТЕ ВСЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НУЛЯ В ЭТОЙ СИСТЕМЕ И ВСЕ 
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЕДИНИЦЫ.

%% 222

\ex[вм25] пУСТЬ~$\alpha=-\sum_{m\ge1} 10^{-m^2}$. дОКАЖИТЕ, ЧТО ДЛЯ ЛЮБОГО 
ДАННОГО~$\varepsilon>0$ И ЛЮБОГО ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА~$x$ СУЩЕСТВУЕТ 
ТАКОЕ "ДЕСЯТИЧНОЕ" ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭТОГО ЧИСЛА, 
ЧТО~$0<\abs{x-\sum_{0\le k \le n} a_k10^k}<\varepsilon$, ГДЕ КАЖДОЕ ИЗ 
ЧИСЕЛ~$a_k$ МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ ТОЛЬКО ТРИ ЗНАЧЕНИЯ: $0$, $1$ ИЛИ~$\alpha$. 
(оТМЕТИМ, ЧТО В ЭТОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ~$10$ НЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ!)

\ex[вм30] нАЙДИТЕ ВСЕ МНОЖЕСТВА~$D$, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ДЕСЯТИ ИЛИ 
МЕНЬШЕГО ЧИСЛА НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ, ТАКИЕ, ЧТО (a)~$0\in D$ 
И (b)~ВСЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ДОПУСКАЮТ "ДЕСЯТИЧНОЕ" 
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ~$\sum_{k\le n} a_k10^k$, ГДЕ КАЖДОЕ~$a_k \in D$.

\ex[вм50] нАЙДИТЕ ВСЕ МНОЖЕСТВА~$D$, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ДЕСЯТИ ИЛИ 
МЕНЬШЕГО ЧИСЛА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ, ТАКИЕ, ЧТО \emph{ЛЮБОЕ} НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ
ЧИСЛО МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО В ВИДЕ~$\sum_{k\le n} a_k10^k$ ДЛЯ 
НЕКОТОРОГО~$n$, ГДЕ ВСЕ~$a_k \in D$. (сР.~С~УПР.~20--23.)

\ex[вм25] (с.~а.~кУК.) пУСТЬ $b$, $u$ И~$v$---ЦЕЛЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА,
ПРИЧЕМ $b\ge 2$ И~$0<v<b^m$. пОКАЖИТЕ, ЧТО ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА~$u/v$ ПО 
ОСНОВАНИЮ~$b$ НЕ СОДЕРЖИТ НИГДЕ СПРАВА ОТ ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИЗ $m$~ЦИФР, РАВНЫХ~$b-1$. (сОГЛАСНО ОБЩЕПРИНЯТОМУ 
СОГЛАШЕНИЮ, В СТАНДАРТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПО ОСНОВАНИЮ~$b$ НЕ ДОПУСКАЮТСЯ 
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦИФР~"$b-1$".)

\rex[вм30] (н.~с.~мЕНДЕЛЬСОН.) .пУСТЬ~$\<\beta_n>$---ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ, ОПРЕДЕЛЕННАЯ ДЛЯ ВСЕХ ЦЕЛЫХ~$n$, $-\infty<n<+\infty$,
ТАКАЯ, ЧТО
\EQ{
 \beta_n<\beta_{n+1}, \quad \lim_{n\to\infty}\beta_n=\infty, \quad 
 \lim_{n\to-\infty}\beta_n=0,
}
И ПУСТЬ~$\<c_n>$---ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ,
ТАКЖЕ ОПРЕДЕЛЕННАЯ ДЛЯ ВСЕХ ЦЕЛЫХ~$n$, $-\infty<n<+\infty$. уСЛОВИМСЯ 
ГОВОРИТЬ, ЧТО ЧИСЛО~$x$ ДОПУСКАЕТ "ОБОБЩЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ", ЕСЛИ 
СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЕ ЦЕЛОЕ~$n$ И ТАКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ $a_n$, 
$a_{n-1}$, $a_{n-2}$,~\dots, ЧТО~$x=\sum_{k\le n} a_k\beta_k$, 
ГДЕ~$a_n\ne0$, $0\le a_k\le c_k$ И~$a_k<c_k$ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНО МНОГИХ~$k$.

пОКАЖИТЕ, ЧТО КАЖДОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО~$x$ ДОПУСКАЕТ РОВНО 
ОДНО ОБОБЩЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ТОМ И ТОЛЬКО В ТОМ СЛУЧАЕ, 
ЕСЛИ~$\beta_{n+1}=\sum_{k\le n} c_k\beta_k$ ДЛЯ ВСЕХ~$n$. (сЛЕДОВАТЕЛЬНО, 
СИСТЕМЫ ПО СМЕШАННЫМ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ ОСНОВАНИЯМ ОБЛАДАЮТ ЭТИМ СВОЙСТВОМ; 
НАИБОЛЕЕ ОБЩИМИ СИСТЕМАМИ ТАКОГО ТИПА ЯВЛЯЮТСЯ СИСТЕМЫ ПО СМЕШАННЫМ 
ОСНОВАНИЯМ, У КОТОРЫХ $\beta_1=(c_0+1)\beta_0$, 
$\beta_2=(c_1+1)(c_0+1)\beta_0$, \dots, 
$\beta_{-1}=\beta_0/(c_{-1}+1)$,~$\ldots\,$.

\ex[M21] ПОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБОЕ НЕНУЛЕВОЕ ЧИСЛО ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ 
"ЗНАКОПЕРЕМЕННОЕ ДВОИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ"~$2^{e_0}-2^{e_1}+\cdots+(-1)^k2^{e_k}$,
ГДЕ~$e_0<e_1<\ldots<e_k$.

\rex[M24] пОКАЖИТЕ, ЧТО КАЖДОЕ НЕНУЛЕВОЕ КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО ВИДА~$a+bi$, 
ГДЕ ЧИСЛА~$a$ И~$b$ ЦЕЛЫЕ, ОБЛАДАЕТ ЕДИНСТВЕННЫМ "ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ДВОИЧНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ"
\EQ{
 (1+i)^{e_0}+i(1+i)^{e_1}-(1+i)^{e_2}-i(1+i)^{e_3}+\cdots+i^k(1+i)^{e_k},
}
ГДЕ~$e_0<e_1<\ldots<e_k$. (сР.~С~УПР.~27.)

\ex[м35] (н.~ДЕ~бР╕ЙН.) пУСТЬ~$S_0$, $S_1$, $S_2$,~\dots---МНОЖЕСТВА 
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ; МЫ СКАЖЕМ, ЧТО СОВОКУПНОСТЬ~$S_0$, $S_1$, 
$S_2$,~\dots{} ОБЛАДАЕТ СВОЙСТВОМ~B, ЕСЛИ ЛЮБОЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЦЕЛОЕ 
ЧИСЛО~$n$ МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО В ВИДЕ
\EQ{
 n=s_0+s_1+s_2+\ldots, \rem{$s_i\in S_j$}
}
РОВНО ОДНИМ СПОСОБОМ. (сВОЙСТВО~B ОЗНАЧАЕТ, В ЧАСТНОСТИ, ЧТО~$0\in S_j$ 
ДЛЯ ВСЕХ~$f$, ИБО~$n=0$ МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО ТОЛЬКО КАК~$0+0+0+\ldots\,$.) 
лЮБАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ СО СМЕШАННЫМИ ОСНОВАНИЯМИ~$b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} 
ДОСТАВЛЯЕТ ПРИМЕР СОВОКУПНОСТИ МНОЖЕСТВ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ СВОЙСТВУ~B, ЕСЛИ 
ПОЛОЖИТЬ~$S_j=\set{0, q_j,\ldots, (b_j-1)q_j}$, ГДЕ~$q_j=b_0b_1\ldots{}b_{j-1}$;
В ЭТОМ СЛУЧАЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ~$n=s_0+s_1+s_2+\ldots$
%% 223
ОЧЕВИДНЫМ ОБРАЗОМ СООТВЕТСТВУЕТ 
ПРЕДСТАВЛЕНИЮ~\eqref[9] ЭТОГО ЧИСЛА ПО СМЕШАННЫМ ОСНОВАНИЯМ. дАЛЕЕ, ЕСЛИ 
СОВОКУПНОСТЬ $S_0$, $S_1$, $S_2$,~\dots{}  ОБЛАДАЕТ СВОЙСТВОМ~B, ТО, 
КАКОВО БЫ НИ БЫЛО РАЗБИЕНИЕ $A_0$, $A_1$, $A_2$,~\dots{} МНОЖЕСТВА 
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 
(Т.~Е.\ $A_0\cup A_1 \cup A_2 \cup \ldots = \set{0, 1, 2,~\ldots}$ 
 И~$A_i\cap A_j=\emptyset$ ПРИ~$i\ne j$; НЕКОТОРЫЕ 
ИЗ МНОЖЕСТВ~$A_j$ МОГУТ БЫТЬ ПУСТЫМИ), ЭТИМ СВОЙСТВОМ ОБЛАДАЕТ И 
ПОЛУЧЕННАЯ ИЗ НЕЕ "СТЯГИВАНИЕМ"\note{1}%
{в ОРИГИНАЛЕ "collapsing".---{\sl пРИМ. РЕД.\/}} 
СОВОКУПНОСТЬ $T_0$, $T_1$, $T_2$,~\dots, ГДЕ МНОЖЕСТВО~$T_j$ СОСТОИТ ИЗ ВСЕХ СУММ 
ВИДА~$\sum_{i\in A_j} S_i$, ВЗЯТЫХ ПО ВСЕВОЗМОЖНЫМ ВЫБОРКАМ 
ЭЛЕМЕНТОВ~$s_i\in S_i$.

дОКАЖИТЕ, ЧТО \emph{ЛЮБАЯ} СОВОКУПНОСТЬ $T_0$, $T_1$, $T_2$,~\dots, 
УДОВЛЕТВОРЯЮЩАЯ СВОЙСТВУ~B, МОЖЕТ БЫТЬ ПОЛУЧЕНА СТЯГИВАНИЕМ НЕКОТОРОЙ 
СОВОКУПНОСТИ $S_0$, $S_1$, $S_2$,~\dots, СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ 
ПО СМЕШАННЫМ ОСНОВАНИЯМ.

\ex[м39] (н.~ДЕ~бР╕ЙН.) пРИМЕР СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПО ОСНОВАНИЮ~$-2$ 
ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО ЛЮБОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО (ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ, ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ИЛИ НУЛЬ) 
ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ
\EQ{
 (-2)^{e_1}+(-2)^{e_2}+\cdots+(-2)^{e_t}, 
 \rem{$e_1>e_2>\ldots>e_t\ge 0, \quad t\ge 0$.}
}
цЕЛЬ ДАННОГО УПРАЖНЕНИЯ СОСТОИТ В ИССЛЕДОВАНИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ ЭТОГО ФЕНОМЕНА.
{\medskip\narrower
\item{a)}пУСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ $b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} 
  ОБЛАДАЕТ ТЕМ СВОЙСТВОМ, ЧТО ЛЮБОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО~$n$ ДОПУСКАЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ 
  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ
  \EQ{
    n=b_{e_1}+b_{e_2}+\cdots+b_{e_t},
    \rem{$e_1>e_2>\ldots> e_t \ge 0, \quad t\ge 0$}
  }
  (ТАКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<b_n>$ НАЗЫВАЕТСЯ "БИНАРНЫМ БАЗИСОМ"). 
  пОКАЖИТЕ, ЧТО НАЙДЕТСЯ ТАКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНДЕКСА~$j$, ЧТО $b_j$~НЕЧЕТНО, А 
  ДЛЯ ВСЕХ~$k\ne j$ ЧИСЛА~$b_k$ ЧЕТНЫ.
  \hiddenpar
\item{b)}дОКАЖИТЕ, ЧТО БИНАРНЫЙ БАЗИС~$\<b_n>$ МОЖЕТ БЫТЬ ВСЕГДА 
  ПЕРЕУПОРЯДОЧЕН В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВИДА $d_0$, $2d_1$, $4d_2$, 
  $\ldots=\<2^n d_n>$, ГДЕ КАЖДОЕ ИЗ ЧИСЕЛ~$d_k$ НЕЧЕТНО.
  \hiddenpar
\item{c)}дОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ КАЖДОЕ ИЗ ЧИСЕЛ $d_0$, $d_1$, $d_2$,~\dots{} 
  ИЗ ПУНКТА~b) РАВНО~$\pm 1$, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<b_n>$ ОБРАЗУЕТ 
  БИНАРНЫЙ БАЗИС ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА СУЩЕСТВУЕТ БЕСКОНЕЧНО 
  МНОГО~$d_j$, РАВНЫХ~$+1$, И БЕСКОНЕЧНО МНОГО~$d_j$, РАВНЫХ~$-1$.
  \hiddenpar
\item{d)}дОКАЖИТЕ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $7$, $-13\cdot 2$, $7\cdot 2^2$, 
  $-13\cdot 2^3$,~\dots, $7\cdot 2^{2k}$, $-13\cdot 2^{2k+1}$,~\dots{} 
  ЯВЛЯЕТСЯ БИНАРНЫМ БАЗИСОМ, И НАЙДИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА~$n=1$.
  \hiddenpar
}

\rex[M35] оДНО ОБОБЩЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ДВОИЧНОМ 
КОДЕ, ИЗВЕСТНОЕ ПОД НАЗВАНИЕМ "$2\hbox{-АДИЧЕСКИХ}$~ЧИСЕЛ", БЫЛО ИЗОБРЕТЕНО 
к.~гЕНЗЕЛЕМ ОКОЛО~1900~Г.\ (в ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ гЕНЗЕЛЬ ИЗОБРЕЛ 
\emph{$p\hbox{-АДИЧЕСКИЕ}$~ЧИСЛА} ДЛЯ ЛЮБОГО ПРОСТОГО ЧИСЛА~$p$.) а ИМЕННО 
$2\hbox{-АДИЧЕСКОЕ}$~ЧИСЛО МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК ДВОИЧНОЕ ЧИСЛО
\EQ{
  u=(\ldots u_3 u_2 u_1 u_0.u_{-1}\ldots u_{-n})_2,
}
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОТОРОГО ПРОДОЛЖАЕТСЯ БЕСКОНЕЧНО ДАЛЕКО ВЛЕВО И ЛИШЬ 
НА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ЗНАКОВ ВПРАВО ОТ РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ ТОЧКИ. сЛОЖЕНИЕ, 
ВЫЧИТАНИЕ И УМНОЖЕНИЕ $2\hbox{-АДИЧЕСКИХ}$~ЧИСЕЛ ВЫПОЛНЯЮТСЯ В 
СООТВЕТСТВИИ С ОБЫЧНЫМИ АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ПРОЦЕДУРАМИ, КОТОРЫЕ В ПРИНЦИПЕ 
ДОПУСКАЮТ ВОЗМОЖНОСТЬ НЕОГРАНИЧЕННОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ ВЛЕВО. нАПРИМЕР:
\EQ{
 \twocoleqalign{
    7&=(\ldots 000000000000111)_2,    &  1/7&=(\ldots 110110110110111)_2,\cr
   -7&=(\ldots 111111111111001)_2,    & -1/7&=(\ldots 001001001001001)_2,\cr
  7/4&=(\ldots 000000000000001.11)_2, & 1/10&=(\ldots 110011001100110.1)_2,\cr
  \multispan{4} \hfil $\displaystyle \sqrt{-7}=(\ldots 
  100000010110101)_2\hbox{ ИЛИ } (\ldots 011111101001011)_2$.\hfil\cr
 }
}
%% 224
зДЕСЬ~$7$---ОБЫЧНОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО СЕМЬ В ДВОИЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ, А~$-7$~ЕСТЬ 
ЕГО ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОД (НЕОГРАНИЧЕННО ПРОДОЛЖЕННЫЙ ВЛЕВО); ЛЕГКО ПРОВЕРИТЬ,
ЧТО ОБЫЧНАЯ ПРОЦЕДУРА СЛОЖЕНИЯ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ ДАСТ 
НАМ~$-7+7=(\ldots00000)_2=0$, ЕСЛИ ВЫПОЛНЕНИЕ ЭТОЙ ПРОЦЕДУРЫ ПРОДОЛЖАТЬ 
НЕОГРАНИЧЕННО ДОЛГО. зНАЧЕНИЯ~$1/7$ И~$-1/7$ ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ 
ЕДИНСТВЕННЫЕ $2\hbox{-АДИЧЕСКИЕ}$~ЧИСЛА, КОТОРЫЕ ПОСЛЕ ФОРМАЛЬНОГО 
УМНОЖЕНИЯ НА~$7$ ДАЮТ СООТВЕТСТВЕННО~$+1$ И~$-1$. зНАЧЕНИЯ~$7/4$ И~$1/10$ 
СЛУЖАТ ПРИМЕРАМИ $2\hbox{-АДИЧЕСКИХ}$~ЧИСЕЛ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ 
$2\hbox{-АДИЧЕСКИМИ}$~"ЦЕЛЫМИ", ТАК КАК ОНИ ИМЕЮТ НЕНУЛЕВЫЕ БИТЫ СПРАВА ОТ 
РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ ТОЧКИ. пРИВЕДЕННЫЕ ДВА ЗНАЧЕНИЯ~$\sqrt{-7}$, ПОЛУЧАЮЩИХСЯ 
ОДНО ИЗ ДРУГОГО ПЕРЕМЕНОЙ ЗНАКА, СУТЬ $2\hbox{-АДИЧЕСКИЕ}$~ЧИСЛА, КОТОРЫЕ 
ПОСЛЕ ФОРМАЛЬНОГО ВОЗВЕДЕНИЯ В КВАДРАТ ДАЮТ~$(\ldots 111111111111001)_2$.

{\medskip\narrower
\item{a)}~дОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБОЕ $2\hbox{-АДИЧЕСКОЕ}$~ЧИСЛО~$u$ МОЖНО 
 РАЗДЕЛИТЬ НА ПРОИЗВОЛЬНОЕ НЕНУЛЕВОЕ $2\hbox{-АДИЧЕСКОЕ}$~ЧИСЛО~$v$ В ТОМ 
 СМЫСЛЕ, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ $2\hbox{-АДИЧЕСКОЕ}$~ЧИСЛО~$w$, 
 УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЕ РАВЕНСТВУ~$u=vw$. (сЛЕДОВАТЕЛЬНО, МНОЖЕСТВО 
 $2\hbox{-АДИЧЕСКИХ}$~ЧИСЕЛ ОБРАЗУЕТ ПОЛЕ; СМ.~П.~4.6.1.)

\item{b)}дОКАЖИТЕ, ЧТО $2\hbox{-АДИЧЕСКОЕ}$~ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО 
 ЧИСЛА~$1/(2n+1)$, ГДЕ~$n$---ЦЕЛОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, МОЖНО ПОЛУЧИТЬ 
 СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. сНАЧАЛА НАХОДИМ ОБЫЧНОЕ ДВОИЧНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 
 ЧИСЛА~$1/(2n+1)$, КОТОРОЕ ИМЕЕТ ВИД "ПЕРИОДИЧЕСКОЙ 
 ДРОБИ"~$(0.\alpha\alpha\alpha\ldots)_2$, ГДЕ~$\alpha$---НЕКОТОРАЯ СТРОКА ИЗ 
 НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ. тОГДА $2\hbox{-АДИЧЕСКИМ}$~ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ 
 ЧИСЛА~$-1/(2n+1)$ БУДЕТ~$(\ldots\alpha\alpha\alpha)_2$.

\item{c)}дОКАЖИТЕ, ЧТО $2\hbox{-АДИЧЕСКОЕ}$~ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА~$u$ 
 ПЕРИОДИЧНО (Т.~Е.~$u_{N+\lambda}=u_N$  ДЛЯ ВСЕХ БОЛЬШИХ~$N$ ПРИ 
 НЕКОТОРОМ~$\lambda\ge 1$) ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА $u$~РАЦИОНАЛЬНО 
 (Т.Е.~$u=m/n$ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ~$m$ И~$n$).

\item{d)}дОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$n$---ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, ТО~$\sqrt{n}$ ЯВЛЯЕТСЯ 
 $2\hbox{-АДИЧЕСКИМ}$~ЧИСЛОМ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, 
 КОГДА~$n \bmod 2^{2k+3}=2^{2k}$ ДЛЯ НЕКОТОРОГО НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЦЕЛОГО~$k$. 
 (тАКИМ ОБРАЗОМ, ЛИБО~$n\bmod 8=1$, ЛИБО~$n\bmod 32=4$ И~Т.~Д.)

}

\subchap{арифметика чисел с плавающей точкой} %% 4.2.
\subsubchap{вЫЧИСЛЕНИЯ С ОДНОКРАТНОЙ ТОЧНОСТЬЮ}
в ЭТОМ ПАРАГРАФЕ МЫ РАССМОТРИМ ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ 
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НАД ЧИСЛАМИ С "ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ" И 
ПРОАНАЛИЗИРУЕМ ВНУТРЕННИЙ МЕХАНИЗМ ТАКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ. вЕРОЯТНО, У МНОГИХ 
ЧИТАТЕЛЕЙ ЭТОТ ПРЕДМЕТ НЕ ВЫЗОВЕТ СЛИШКОМ БОЛЬШОГО ИНТЕРЕСА ЛИБО ПО ТОЙ 
ПРИЧИНЕ, ЧТО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ, НА КОТОРЫХ ОНИ РАБОТАЮТ, ИМЕЮТ 
ВСТРОЕННЫЕ КОМАНДЫ ОПЕРАЦИЙ НАД ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, ЛИБО ПОТОМУ, 
ЧТО ПРОИЗВОДИТЕЛЬ СНАБДИЛ ИХ эвм НУЖНЫМИ ПОДПРОГРАММАМИ. нО 
В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ МАТЕРИАЛ ЭТОГО ПАРАГРАФА НЕ СЛЕДУЕТ СЧИТАТЬ ОТНОСЯЩИМСЯ 
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО К КОМПЕТЕНЦИИ ИНЖЕНЕРОВ-КОНСТРУКТОРОВ эвм ИЛИ УЗКОГО КРУГА 
ЛИЦ, КОТОРЫЕ ПИШУТ БИБЛИОТЕЧНЫЕ ПОДПРОГРАММЫ ДЛЯ НОВЫХ МАШИН; 
\emph{КАЖДЫЙ} ХОРОШИЙ ПРОГРАММИСТ ДОЛЖЕН ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ТОМ, ЧТО 
ПРОИСХОДИТ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ШАГОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ НАД 
ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ. пРЕДМЕТ ЭТОТ СОВСЕМ НЕ ТАК ТРИВИАЛЕН, 
КАК ПРИНЯТО СЧИТАТЬ; В НЕМ УДИВИТЕЛЬНО МНОГО ИНТЕРЕСНОГО.

\section {а. оБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ}. в~\S~4.1 МЫ 
ОБСУДИЛИ ОБОЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ЧИСЕЛ С "ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ"; В ЭТОМ 
СЛУЧАЕ ПРОГРАММИСТ ЗНАЕТ, ГДЕ ПОЛОЖЕНО НАХОДИТЬСЯ РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ ТОЧКЕ В 
ТЕХ ЧИСЛАХ, С КОТОРЫМИ ОН РАБОТАЕТ. дЛЯ МНОГИХ ЦЕЛЕЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ 
ПРОГРАММЫ ЗНАЧИТЕЛЬНО БОЛЕЕ УДОБНО СДЕЛАТЬ ПОЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ ТОЧКИ 
ДИНАМИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ---ИНЫМИ СЛОВАМИ, СДЕЛАТЬ ЕЕ "ПЛАВАЮЩЕЙ"---И СВЯЗАТЬ С 
КАЖДЫМ ЧИСЛОМ УКАЗАНИЕ О ПОЛОЖЕНИИ СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ ТОЧКИ. 
эТА ИДЕЯ УЖЕ ДАВНО ИСПОЛЬЗОВАЛАСЬ В НАУЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ, В ОСОБЕННОСТИ ДЛЯ 
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТИПА ЧИСЛА аВОГАДРО~$N=6.02250\times10^{23}$ 
ИЛИ ОЧЕНЬ МАЛЫХ ЧИСЕЛ ТИПА ПОСТОЯННОЙ 
пЛАНКА~$\hbar=1.0545\times10{-27}~\hbox{ЭРГ}\cdot\hbox{С}$.

в ЭТОМ ПУНКТЕ МЫ БУДЕМ ИМЕТЬ ДЕЛО С \dfn{$p\hbox{-РАЗРЯДНЫМИ}$ ЧИСЛАМИ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ПО ОСНОВАНИЮ~$b$ С ИЗБЫТКОМ~$q$.} тАКОЕ 
ЧИСЛО ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ КАК ПАРА ВЕЛИЧИН~$(e, f)$, КОТОРОЙ ОТВЕЧАЕТ ЗНАЧЕНИЕ
\EQ[1]{
 (e, f)=f \times b^{e-q}.
}
зДЕСЬ~$e$---ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, ИЗМЕНЯЮЩЕЕСЯ В СООТВЕТСТВУЮЩЕМ ИНТЕРВАЛЕ ЗНАЧЕНИЙ,
 И~$f$---ДРОБНОЕ ЧИСЛО СО ЗНАКОМ. уСЛОВИМСЯ, ЧТО
\EQ{
  \abs{f}<1,
}
%% 226
ИНЫМИ СЛОВАМИ, РАЗДЕЛИТЕЛЬНАЯ ТОЧКА В ПОЗИЦИОННОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ~$f$ 
НАХОДИТСЯ В КРАЙНЕМ ЛЕВОМ ПОЛОЖЕНИИ. бОЛЕЕ ТОЧНО, СОГЛАШЕНИЕ О ТОМ, ЧТО МЫ 
ИМЕЕМ ДЕЛО С $p\hbox{-РАЗРЯДНЫМИ}$~ЧИСЛАМИ, ОЗНАЧАЕТ, ЧТО~$b^pf$---ЦЕЛОЕ 
ЧИСЛО И
\EQ[2]{
  -b^p < b^pf < b^p.
}
тЕРМИН "ДВОИЧНЫЙ" БУДЕТ ОЗНАЧАТЬ, КАК ВСЕГДА, ЧТО~$b=2$, 
"ДЕСЯТИЧНЫЙ"---ЧТО~$b=10$ И~Т.~Д. иСПОЛЬЗУЯ 8-РАЗРЯДНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ЧИСЛА С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ С ИЗБЫТКОМ~$50$, МЫ МОЖЕМ, НАПРИМЕР, НАПИСАТЬ:
\EQ[3]{
\eqalign{
        \hbox{ЧИСЛО аВОГАДРО }N&=(74, +.60225000);\cr
\hbox{ПОСТОЯННАЯ пЛАНКА } \hbar&=(24, +.10545000)\note{1}%
{у ПОСТОЯННОЙ пЛАНКА ШЕСТАЯ ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА НЕИЗВЕСТНА, ПОЭТОМУ. НАЗЫВАТЬ 
ЭТО ЧИСЛО ПОСТОЯННОЙ пЛАНКА НЕСКОЛЬКО РИСКОВАННО.---{\sl пРИМ. РЕД.\/}}.\cr
}
}

дВЕ КОМПОНЕНТЫ~$e$ И~$f$ ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ НАЗЫВАЮТСЯ ЕГО 
\emph{ПОКАЗАТЕЛЕМ} И~\emph{ДРОБНОЙ ЧАСТЬЮ} СООТВЕТСТВЕННО. (иНОГДА ДЛЯ 
ЭТОЙ ЦЕЛИ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ И ДРУГИЕ НАЗВАНИЯ, В ОСОБЕННОСТИ "ХАРАКТЕРИСТИКА" 
И "МАНТИССА"; ОДНАКО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СЛОВА "МАНТИССА" ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ 
ДРОБНОЙ ЧАСТИ ПРИВОДИТ К ПУТАНИЦЕ В ТЕРМИНОЛОГИИ, ТАК КАК ЭТОТ ТЕРМИН 
УПОТРЕБЛЯЕТСЯ СОВСЕМ В ДРУГОМ СМЫСЛЕ В ТЕОРИИ ЛОГАРИФМОВ, А КРОМЕ ТОГО, 
АНГЛИЙСКОЕ СЛОВО mantissa\note{2}%
{в ВЫШЕДШЕМ ИЗ УПОТРЕБЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИИ.---{\sl пРИМ. РЕД.\/}} 
ОЗНАЧАЕТ "МАЛО ДАЮЩЕЕ ДОБАВЛЕНИЕ".)

в ЭТОМ ПУНКТЕ МЫ ПОЧТИ ЦЕЛИКОМ СОСРЕДОТОЧИМ СВОЕ ВНИМАНИЕ НА ПРЕДСТАВЛЕНИИ 
ДРОБНОЙ ЧАСТИ~$f$ В ПРЯМОМ КОДЕ, ТАК КАК ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ НЕ ОБЛАДАЕТ МНОГИМИ ЖЕЛАТЕЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ (СМ.~П.~4.2.2).

чИСЛО~$(e, f)$ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ НАЗЫВАЕТСЯ \emph{НОРМАЛИЗОВАННЫМ,} ЕСЛИ 
НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМАЯ ЦИФРА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ~$f$ ОТЛИЧНА ОТ НУЛЯ, ТАК ЧТО
\EQ[4]{
  1/b \le \abs{f} < 1,
}
ЛИБО ЕСЛИ~$f=0$, А~$e$~ПРИНИМАЕТ НАИМЕНЬШЕЕ ВОЗМОЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ. чТОБЫ 
УСТАНОВИТЬ, КАКОЕ ИЗ ДВУХ НОРМАЛИЗОВАННЫХ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ИМЕЕТ 
БОЛЬШУЮ ВЕЛИЧИНУ, ДОСТАТОЧНО СРАВНИТЬ ИХ ПОКАЗАТЕЛИ, И ТОЛЬКО ЕСЛИ ЭТИ 
ПОКАЗАТЕЛИ РАВНЫ, НУЖНО ПРИВЛЕЧЬ К РАССМОТРЕНИЮ И ДРОБНЫЕ ЧАСТИ.

в НАШЕЙ МАШИНЕ~\MIX{} ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ИМЕЮТ ВИД
\EQ{
 \vcenter{\halign{
 \strut\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil&&\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil\vrule\cr
 \noalign{\hrule}
 \pm & e & f & f & f & f \cr
 \noalign{\hrule}
 }}
}
эТО---ПРЕДСТАВЛЕНИЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ПО ОСНОВАНИЮ~$b$ С ИЗБЫТКОМ~$q$, С 
ЧЕТЫРЬМЯ ЗНАЧАЩИМИ "ЦИФРАМИ", ГДЕ~$b$~ЕСТЬ РАЗМЕР БАЙТА
%% 227
(НАПРИМЕР, $b=64$ ИЛИ~$b=100$) И~$q$~РАВНЯЕТСЯ~$\entier{{1\over2}b}$. 
дРОБНАЯ ЧАСТЬ РАВНА~$\pm ffff$, А ПОКАЗАТЕЛЬ~$e$ ЗАКЛЮЧЕН В 
ИНТЕРВАЛЕ~$0\le e < b$. эТО ВНУТРЕННЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ---ТИПИЧНЫЙ ОБРАЗЕЦ ТЕХ 
СОГЛАШЕНИЙ, КОТОРЫЕ ПРИНЯТЫ В БОЛЬШИНСТВЕ СУЩЕСТВУЮЩИХ эвм, ХОТЯ 
ОСНОВАНИЕ~$b$ ЗДЕСЬ ГОРАЗДО БОЛЬШЕ, ЧЕМ ОБЫЧНО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ.

\section {B.~нОРМАЛИЗОВАННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ}. бОЛЬШИНСТВО НЫНЕ ПРИМЕНЯЕМЫХ 
СТАНДАРТНЫХ ПРОГРАММ РАБОТАЮТ ПОЧТИ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО С НОРМАЛИЗОВАННЫМИ 
ЧИСЛАМИ: ВХОДНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПОДПРОГРАММ ПРЕДПОЛАГАЮТСЯ 
НОРМАЛИЗОВАННЫМИ И ЗНАЧЕНИЯ НА ВЫХОДЕ ВСЕГДА НОРМАЛИЗУЮТСЯ.

рАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИЯ НАД ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ 
ПОДРОБНЕЕ. оДНОВРЕМЕННО МЫ СМОЖЕМ ИЗУЧАТЬ СТРУКТУРУ ПОДПРОГРАММ, 
РЕАЛИЗУЮЩИХ ЭТИ ОПЕРАЦИИ (В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО В НАШЕМ РАСПОРЯЖЕНИИ 
ИМЕЕТСЯ эвм БЕЗ СХЕМНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ДЕЙСТВИЙ НАД ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ).

сТАНДАРТНЫЕ ПОДПРОГРАММЫ ДЛЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НАД ЧИСЛАМИ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, КОГДА ИХ ПИШУТ НА МАШИННОМ ЯЗЫКЕ, В ОЧЕНЬ БОЛЬШОЙ 
СТЕПЕНИ ЗАВИСЯТ ОТ КОНКРЕТНОЙ МАШИНЫ И ИСПОЛЬЗУЮТ МНОГИЕ КРАЙНЕ 
СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЭТОЙ МАШИНЫ. иМЕННО ПОЭТОМУ ТАК МАЛО СХОДСТВА 
МЕЖДУ ДВУМЯ ПОДПРОГРАММАМИ, СКАЖЕМ, СЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ,
НАПИСАННЫМИ ДЛЯ РАЗНЫХ МАШИН. вСЕ ЖЕ ВНИМАТЕЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ БОЛЬШОГО 
ЧИСЛА ПОДПРОГРАММ КАК ДЛЯ ДВОИЧНЫХ, ТАМ И ДЛЯ ДЕСЯТИЧНЫХ МАШИН ПОКАЗЫВАЕТ, 
ЧТО В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ЭТИ ПРОГРАММЫ ИМЕЮТ МНОГО ОБЩЕГО, И ВПОЛНЕ 
ВОЗМОЖНО ОБСУЖДЕНИЕ ЭТОЙ ТЕМЫ НА МАШИННО-НЕЗАВИСИМОМ УРОВНЕ.

пЕРВЫЙ (И НАИБОЛЕЕ ТРУДНЫЙ!) ИЗ АЛГОРИТМОВ, ОБСУЖДАЕМЫХ В ЭТОМ ПУНКТЕ,---ЭТО 
ПРОЦЕДУРА СЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ:
\EQ[6]{
  (e_u, f_u) \oplus (e_v, f_v)=(e_w, f_w).
}

\emph{зАМЕЧАНИЕ. вВИДУ ТОГО ЧТО АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ЧИСЛАМИ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ЯВЛЯЮТСЯ ПО САМОМУ СУЩЕСТВУ ДЕЛА ПРИБЛИЖЕННЫМИ, А НЕ 
ТОЧНЫМИ, ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ СЛОЖЕНИЯ, ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ И 
ДЕЛЕНИЯ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ СИМВОЛЫ
\EQ{
 \oplus, \quad \ominus, \quad \otimes, \quad \oslash,
}
С ТЕМ ЧТОБЫ ОТЛИЧАТЬ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ ОТ ТОЧНЫХ.} 
иДЕЯ, ЛЕЖАЩАЯ В ОСНОВЕ СЛОЖЕНИЯ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, ДОВОЛЬНА ПРОСТА: В 
ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО~$e_u\ge e_v$, МЫ БЕРЕМ~$e_w=e_u$, 
$f_w=f_u+f_v/b^{e_u-e_v}$ (ТАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ВЫРАВНИВАЕМ 
ПОЛОЖЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ТОЧЕК, ЧТОБЫ СЛОЖЕНИЕ ИМЕЛО СМЫСЛ), А ЗАТЕМ НОРМАЛИЗУЕМ
%% 228
РЕЗУЛЬТАТ. мОЖЕТ ВОЗНИКНУТЬ НЕСКОЛЬКО СИТУАЦИЙ, КОТОРЫЕ ДЕЛАЮТ 
ВЫПОЛНЕНИЕ ЭТОГО ПРОЦЕССА НЕТРИВИАЛЬНЫМ; БОЛЕЕ ТОЧНОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА 
ДАЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ АЛГОРИТМОМ.

\alg A.(сЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ). дЛЯ ЗАДАННЫХ 
$p\hbox{-РАЗРЯДНЫХ}$ НОРМАЛИЗОВАННЫХ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ~$u=(e_u, f_u)$ И~$v=(e_v, f_v)$ ПО ОСНОВАНИЮ~$b$ С ИЗБЫТКОМ~$q$ СТРОИТСЯ 
СУММА~$w=u\oplus v$. эТОТ ЖЕ САМЫЙ АЛГОРИТМ МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДЛЯ 
ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, ЕСЛИ $v$~ЗАМЕНИТЬ НА~$-v$. 
оСНОВАНИЕ~$b$ ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ ЧЕТНЫМ.

\st[рАСПАКОВАТЬ.] вЫДЕЛИТЬ ПОКАЗАТЕЛЬ И ДРОБНУЮ ЧАСТЬ В ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ 
ДЛЯ~$u$ И~$v$.

\st[оБЕСПЕЧИТЬ СПРАВЕДЛИВОСТЬ ДОПУЩЕНИЯ~$e_u\ge e_v$.] еСЛИ~$e_u<e_v$, 
ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ~$u$ И~$v$. (вО МНОГИХ СЛУЧАЯХ УДОБНЕЕ СОВМЕСТИТЬ 
ШАГ~\stp{2} С ШАГОМ~\stp{1} ИЛИ С КАКИМ-НИБУДЬ ИЗ ПОСЛЕДУЮЩИХ ШАГОВ.)

\st[пРИСВОИТЬ ЗНАЧЕНИЕ~$e_w$.] уСТАНОВИТЬ~$e_w\asg e_u$.

\st[пРОВЕРИТЬ~$e_u-e_v$.] еСЛИ~$e_u-e_v\ge p+2$ (БОЛЬШАЯ РАЗНИЦА 
В ПОКАЗАТЕЛЯХ), УСТАНОВИТЬ~$f_w\asg f_u$ И ПЕРЕЙТИ В ШАГ~\stp{7}. (тАК КАК 
МЫ ПРЕДПОЛАГАЕМ, ЧТО $u$~НОРМАЛИЗОВАНО, ТО МОЖНО БЫЛО БЫ ЗДЕСЬ И ЗАКОНЧИТЬ 
ВЫПОЛНЕНИЕ АЛГОРИТМА, НО ЧАСТО ОКАЗЫВАЕТСЯ ПОЛЕЗНЫМ ИМЕТЬ В РАСПОРЯЖЕНИИ 
ВОЗМОЖНОСТЬ НОРМАЛИЗОВАТЬ КАКОЕ-ЛИБО, ВОЗМОЖНО НЕНОРМАЛИЗОВАННОЕ, ЧИСЛО,
СЛОЖИВ ЕГО С НУЛЕМ.)

\st[сДВИНУТЬ ШКАЛУ ВПРАВО.] сДВИНУТЬ~$f_v$ ВПРАВО НА~$e_u-e_v$ ПОЗИЦИЙ, 
Т.~Е.\ РАЗДЕЛИТЬ~$f_v$ НА~$b^{e_u-e_v}$. \emph{зАМЕЧАНИЕ.} вЕЛИЧИНА СДВИГА 
МОЖЕТ ДОХОДИТЬ ДО~$p+1$~РАЗРЯДОВ, ТАК ЧТО СЛЕДУЮЩИЙ ШАГ (СЛОЖЕНИЕ ДРОБНЫХ 
ЧАСТЕЙ~$f_u$ И~$f_v$) ПОТРЕБУЕТ ТЕМ САМЫМ НАЛИЧИЯ АККУМУЛЯТОРА, СПОСОБНОГО 
ХРАНИТЬ $2p+1$~ЦИФР ПО ОСНОВАНИЮ~$b$ СПРАВА ОТ ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ. еСЛИ ТАКОГО
\picture{рИС.~2. сЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ.}
%% 229
ВМЕСТИТЕЛЬНОГО АККУМУЛЯТОРА НЕТ, МОЖНО ПОТРЕБОВАТЬ 
СДВИГА ДО~$p+2$~РАЗРЯДОВ, НО С СООТВЕТСТВУЮЩИМИ ПРЕДОСТОРОЖНОСТЯМИ; 
ПОДРОБНОСТИ ОБСУЖДАЮТСЯ В УПР.~5.

\st[сЛОЖИТЬ.] уСТАНОВИТЬ~$f_w\asg f_u+f_v$.

\st[нОРМАЛИЗОВАТЬ.] (в ЭТОТ МОМЕНТ $(e_w, f_w)$~ПРЕДСТАВЛЯЕТ СУММУ~$u$ 
И~$v$, НО $f_w$~МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ БОЛЕЕ ЧЕМ $p$~ЦИФР И МОЖЕТ БЫТЬ БОЛЬШЕ 
ЕДИНИЦЫ ИЛИ МЕНЬШЕ~$1/b$). вЫПОЛНИТЬ ОПИСЫВАЕМЫЙ НИЖЕ АЛГОРИТМ~N, 
КОТОРЫЙ НОРМАЛИЗУЕТ И ОКРУГЛИТ~$(e_w, f_w)$ ДО ОКОНЧАТЕЛЬНОГО ОТВЕТА.
\algend

\alg N.(нОРМАЛИЗАЦИЯ) "сЫРОЙ" ПОКАЗАТЕЛЬ~$e$ И "СЫРАЯ" ДРОБНАЯ ЧАСТЬ~$f$ 
ПРИВОДЯТСЯ К НОРМАЛИЗОВАННОМУ ВИДУ, С ОКРУГЛЕНИЕМ, ЕСЛИ НУЖНО, 
ДО~$p$~РАЗРЯДОВ. в ЭТОМ АЛГОРИТМЕ ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО~$\abs{f}<b$ И ЧТО 
ЧИСЛО~$b$ ЧЕТНО.

\st[пРОВЕРИТЬ~$f$.] еСЛИ~$\abs{f}\ge 1$ ("ПЕРЕПОЛНЕНИЕ ДРОБНОЙ ЧАСТИ"),
ПЕРЕЙТИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ШАГА~\stp{4}. еСЛИ~$f=0$, УСТАНОВИТЬ~$e_w$ РАВНЫМ ЕГО 
НАИМЕНЬШЕМУ ЗНАЧЕНИЮ И ПЕРЕЙТИ В ШАГ~\stp{7}. 

\st[$f$~НОРМАЛИЗОВАНО?] еСЛИ~$\abs{f}\ge 1/b$, ПЕРЕЙТИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ШАГА~\stp{5}.

\st[сДВИНУТЬ ШКАЛУ ВЛЕВО.] сДВИНУТЬ~$f$ НА ОДИН РАЗРЯД ВЛЕВО 
(Т.~Е.\ УМНОЖИТЬ НА~$b$) И УМЕНЬШИТЬ~$e$ НА~$1$. вОЗВРАТИТЬСЯ В ШАГ~\stp{2}.

\st[сДВИНУТЬ ШКАЛУ ВПРАВО.] сДВИНУТЬ~$f$ ВПРАВО НА ОДИН РАЗРЯД
(Т.~Е.\ РАЗДЕЛИТЬ НА~$b$) И УВЕЛИЧИТЬ~$e$ НА~$1$.

\st[оКРУГЛИТЬ.] оКРУГЛИТЬ~$f$ ДО $p$~РАЗРЯДОВ. (эТО СЛЕДУЕТ ПОНИМАТЬ В 
ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО~$f\asg b^{-p}\floor{b^pf+1/2}$, ЕСЛИ~$f>0$0, 
И~$f\asg b^{-p}\ceil{b^p f-1/2}$, ЕСЛИ~$f<0$; МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ И ДРУГИЕ 
ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ, НО ЭТО ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ПО-ВИДИМОМУ, БОЛЕЕ УДАЧНО 
ВПИСЫВАЕТСЯ В РАЗВИВАЕМУЮ ДАЛЬШЕ В ЭТОЙ ГЛАВЕ ТЕОРИЮ.) вАЖНО ЗАМЕТИТЬ, ЧТО 
ЭТА ОПЕРАЦИЯ ОКРУГЛЕНИЯ МОЖЕТ ПРИВЕСТИ К РАВЕНСТВУ~$\abs{f}=1$ 
("ПЕРЕПОЛНЕНИЕ ПРИ ОКРУГЛЕНИИ"); В ТАКОМ СЛУЧАЕ СЛЕДУЕТ ВЕРНУТЬСЯ В ШАГ~\stp{4}.

\st[пРОВЕРИТЬ~$e$.] еСЛИ ПОКАЗАТЕЛЬ~$e$ СЛИШКОМ ВЕЛИК, Т.~Е.\ БОЛЬШЕ ДОПУСТИМОЙ 
ГРАНИЦЫ, ТО ЭТО ВОСПРИНИМАЕТСЯ КАК СИГНАЛ О \emph{ПЕРЕПОЛНЕНИИ ПОКАЗАТЕЛЯ.} 
еСЛИ $e$~СЛИШКОМ МАЛ, ТО ЭТО ВОСПРИНИМАЕТСЯ КАК СИГНАЛ ОБ 
\emph{ИСЧЕЗНОВЕНИИ ПОКАЗАТЕЛЯ.} (сМ.\ ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБСУЖДЕНИЕ ВОПРОСА НИЖЕ; 
ЭТИ СИТУАЦИИ ИНТЕРПРЕТИРУЮТСЯ ОБЫЧНО КАК СИГНАЛ ОБ ОШИБКЕ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО 
РЕЗУЛЬТАТ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕН В ВИДЕ НОРМАЛИЗОВАННОГО ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ ИЗ ТРЕБУЕМОГО ИНТЕРВАЛА ЗНАЧЕНИЙ.)

\st[уПАКОВАТЬ.] оБоЕДИНИТЬ ПОКАЗАТЕЛЬ~$e$ И ДРОБНУЮ ЧАСТЬ~$f$ ДЛЯ ВЫДАЧИ 
ИСКОМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
\algend

нЕСКОЛЬКО ПРОСТЫХ ПРИМЕРОВ СЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ДАНО В УПР.~4.

%% 230

пРИВОДИМЫЕ НИЖЕ \MIX-ПОДПРОГРАММЫ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЕЛ, 
ИМЕЮЩИХ ФОРМУ~\eqref[5], СЛУЖАТ ПРИМЕРОМ ТОГО, КАК АЛГОРИТМЫ~A И~N МОГУТ 
БЫТЬ РЕАЛИЗОВАНЫ В ВИДЕ ПРОГРАММ ДЛЯ эвм. эТИ ПОДПРОГРАММЫ ИЗВЛЕКАЮТ ОДНО 
ВХОДНОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$u$ ПО СИМВОЛИЧЕСКОМУ АДРЕСУ~|ACC|, А ДРУГОЕ ВХОДНОЕ 
ЗНАЧЕНИЕ~$v$ 
\picture{рИС.~3. нОРМАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛА~$(e, f)$.}
ИЗВЛЕКАЕТСЯ ИЗ РЕГИСТРА~|A| ПРИ ВХОДЕ В ПОДПРОГРАММУ. рЕЗУЛЬТАТ~$w$ 
ПОЯВЛЯЕТСЯ ОДНОВРЕМЕННО В РЕГИСТРЕ~|A| И ПОЛЕ~|ACC|. тАКИМ ОБРАЗОМ, 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КОМАНД
\EQ[7]{
 |LDA~A|; |ADD~в|; |SUB~с|; |STA~D|,
}
РАБОТАЮЩИХ С ЧИСЛАМИ С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ, СООТВЕТСТВОВАЛА БЫ ТАКОЙ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМАНД, РАБОТАЮЩИХ С ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ:
\EQ[8]{
 |LDA~A|, |STA~Aсс|; |LDA~в|, |JMP~FADD|; |LDA~с|, |JMP~FSUB|; |STA~D|.
}

\prog A.(сЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ И НОРМАЛИЗАЦИЯ). сЛЕДУЮЩАЯ 
ПРОГРАММА ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПОДПРОГРАММУ, РЕАЛИЗУЮЩУЮ АЛГОРИТМ~A, ПРИЧЕМ 
ОНА ПОСТРОЕНА ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ НОРМАЛИЗУЮЩИЙ ФРАГМЕНТ МОГ БЫТЬ 
ИСПОЛЬЗОВАН ДРУГИМИ ПОДПРОГРАММАМИ, КОТОРЫЕ ПОЯВЯТСЯ В ЭТОМ ПУНКТЕ В 
ДАЛЬНЕЙШЕМ. кАК В ЭТОЙ ПРОГРАММЕ, ТАК И ВО МНОГИХ ДРУГИХ ПРОГРАММАХ ЭТОЙ 
ГЛАВЫ ИДЕНТИФИКАТОР~|OFLO| ИМЕНУЕТ ПОДПРОГРАММУ, КОТОРАЯ ПЕЧАТАЕТ СООБЩЕНИЕ О 
ТОМ, ЧТО ИНДИКАТОР ПЕРЕПОЛНЕНИЯ МАШИНЫ~\MIX{} ВНЕЗАПНО ПРИШЕЛ В СОСТОЯНИЕ 
"ВКЛЮЧЕНО".
\code
EXP & EQU  & 1:1  && оПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ.
FSUB& STA  & TEMP && пОДПРОГРАММА ВЫЧИТАНИЯ ВЕЛИЧИН С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ.
    & LDAN & TEMP && иЗМЕНИТЬ ЗНАК ОПЕРАНДА.
FADD& STJ  & EXITF&& пОДПРОГРАММА СЛОЖЕНИЯ ВЕЛИЧИН С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ:
    & JOV  & OFLO && уБЕДИТЬСЯ В ТОМ, ЧТО ПЕРЕПОЛНЕНИЕ ОТСУТСТВУЕТ.
%% 231
\bye