="100" alt="0x01 graphic" src="gordon-159.png">
65
прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. , т.е. точки К и Кг
принадлежат, обеим плоскостям.
Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух
плоскостей надо найти какие-либо две точки, комедия из которых принадлежит
обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.
Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять
специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей
перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии
пересечения упрощается. Начнем с такого случая.
На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна
(заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к пл. п2. Так как
треуголь-шк,ОЕР проецируется на пл. 2 в виде прямой линии (D"F"), то
фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба
треугольника, представляет собой отрезок К'[К'2 на проекции D"F". Дальнейшее
построение ясно из чертежа.
Рис. 165
Другой пример дан на рис. 165. Горизонтально-проецирующая плоскость
пересекает плоскость треугольника ABC. Горизонтальная проекция линии
пересечения этих плоскостей -- отрезок M'N' -- определяется на следе '.
Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух
плоскостей. Пусть одна из плоскостей, , задана двумя пересекающимися
прямыми, а другая, ,-- двумя параллельными прямыми. Построение показано на
рис. 166. В результате взаимного пересечения плоскостей и получена
прямая К1К2. Выразим это записью: ╥ = 12╥
Для определения положения точек К1 и К2 возьмем две вспомогательные
фронтально-проецирующие плоскости ( 1, и 2), пересекающие каждую из
плоскостей и . При пересечении плоскостей и плоскостью 1 получаем
прямые с проекциями 1"2", 1'2' и 3"4", 3'4'. Эти прямые, расположенные в пл.
1, в своем пересечении определяют первую точку, К1, линии пересечения
плоскостей и .
Введя, далее, пл. 2, получаем в ее пересечении с и прямые с
проекциями 5"б", 5'6' и 7"8", 7'8'. Эти прямые, расположенные в пл. а2, в
своем пересечении определяют вторую точку, К2, общую для и .
Получив проекции К1' и К'2, находим на следах
"1 и "2 проекции К"1 и К "2.
Этим определяются проекции К'1К '2 и К"1К"2
искомой прямой пересечения плоскостей и (проекции проведены
штрихпунктирной линией).
66
При построении можно иметь в виду следующее: так как вспомогательные
секущие плоскости 1 и 2 взаимно параллельны, то, построив проекции
1'2', и 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
точке, хотя бы 5 и 8, так как 5'6' || Г2' и 7'8' % 3'4'.
В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогательных две
фронтально-проецирующие плоскости. Конечно, можно было взять и иные
плоскости, например две горизонтальные или одну горизонтальную, другую
фронтальную и т. д. Сущность построений от этого не меняется. Однако может
встретиться такой случай. Положим, что были взяты в качестве вспомогательных
две горизонтальные плоскости и полученные при пересечении ими
плоскостей и горизонтали оказались взаимно параллельными. Но рис.
167 показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
параллельны. Следовательно, получив взаимно параллельные горизонтальные
проекции горизонталей AB и CD и зная, что плоскости при этом не обязательно
параллельны, а могут пересекаться (по общей для них горизонтали), надо
испытать плоскости и при помощи хотя бы горизонтально-проецирующей
плоскости (см. рис. 167); если прямые, по которым эта вспомогательная
плоскость пересечет и , также оказались бы параллельны одна другой, то
плоскости и не пересекаются, а параллельны одна другой. На рис. 167 эти
прямые пересекаются в точке К, через которую и проходит линия пересечения
плоскостей и параллельно прямым BA и CD.
Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то естественно
искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках
пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 168): прямая, проходящая
через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т. е. их линией
пересечения.
67
Схему построения линии пересечения двух плоскостей (см. рис. 166)
можно, конечно, распространить и на случай задания плоскостей их следами.
Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей исполняют сами плоскости
проекций:
Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии
пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии
пересечения плоскостей (рис. 168) надо: 1) найти точку М' в пересечении
следов h'0 и h'0
Рис. 171
и точку N" в пересечении f"o и f"o, а по ним -- проекции М" и N'; 2)
провести прямые линии M"N" и M'N'.
На рис. 169--171 показаны случаи, когда известно направление линии
пересечения. Поэтому достаточно иметь лишь одну точку от пересечения следов
и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их
следов.
ВОПРОСЫ К ╖╖ 22-24
1. Какое взаимное положение могут занимать две плоскости?
2. Каков признак параллельности двух плоскостей?
3. Как взаимно располагаются фронтальные следы двух параллельных между
собой фронтально-проецирующих плоскостей?
68
4. Как взаимно располагаются горизонтальные следы двух параллельных
между собой горизонтально-проецирующих плоскостей?
5. Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между
собой плоскостей?
6. Служит ли признаком взаимного пересечения двух плоскостей
пересечение хотя бы одной пары их одноименных следов?
7. Как установить взаимное положение прямой и плоскости?
8. Как строится точка пересечения прямой линии ч плоскостью,
перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций?
9. Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к а) пл.
, б) пл. bj считается видимой соответственно на , на 2?
10. Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых хотя бы
одна перпендикулярна К ПЛ. 1 ИЛИ К ПЛ. 2?
В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух
плоскостей?
╖ 25. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПЛОСКОСТЬЮ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения
надо выполнить следующее (рис. 158):
1) через данную прямую (АВ) провести некоторую вспомогательную
плоскость (ос),
2) построить прямую () пересечения плоскости данной () и
вспомогательной (ос),
3) определить положение точки (К) пересечения прямых -- данной (АВ) и
построенной ().
На рис. 172 показано построение точки пересечения прямой FK с
плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми АВ и CD,
Рис. 172 Рис. 173
Через прямую FK проведена вспомогательная фронтально-проецирующая
плоскость . Выбор фронтально-проецирующей плоскости объясняется удобством
построения точек пересечения ее фронтального следа с проекциями А"В" и
С"D". По точкам М" и " найдены горизонтальные проекции М' и ' и
тем самым определена прямая , по которой вспомогательная пл. пересекает
данную пл. . Затем найдена точка К', в которой горизонтальная проекция
прямой непосредственно или
69
при своем продолжении пересекает проекцию M'N'. После этого остается
найти фронтальную проекцию точки пересечения -- точку К".
На рис. 173 показано построение точки пересечения прямой MN с
плоскостью, заданной треугольником ABC. Ход построения не отличается от
рассмотренного на рис. 172. Но вспомогательная (на этот раз
горизонтально-проецирующая) плоскость в данном .случае указана только одним
следом ', проходящим через проекцию M'N'. Пл. пересекает ABC no прямой
DE. Но можно обойтись и без ': мысленно представляя себе
вспомогательную.горизонтально-проецирующую плоскость, проходящую через ,
выражаем проекциями E'D' и E"D" отрезок ED, по которому проведенная через MN
горизонтально-проецирующая плоскость пересекает треугольник.
Считая, что в пространстве заданы прямая и непрозрачный треугольник,
определим видимые и невидимые части прямой MN относительно плоскостей 1 и
2.
В точке на пл. 1 совмещаются горизонтальные проекции двух точек, из
которых одна принадлежит прямой MN (фронтальная проекция E"1), а другая --
стороне треугольника А С (фронтальная проекция E").
Из расположения фронтальных проекций Е'1 и Е" следует, что на участке
КМ прямая находится над треугольником и, следовательно, на горизонтальной
проекции отрезок М'К' -- весь видимый, а отрезок K'D' -- невидимый.
На фронтальной проекции в точке F" совмещаются фронтальные проекции
двух точек, из которых одна принадлежит прямой MN, а другая -- стороне
треугольника АВ. По расположению горизонтальных проекций F' и F( заключаем,
что прямая MN на участке К находится за треугольником и, следовательно, на
фронтальной проекции отрезок F"K" -- невидимый, а отрезок K"N" -- видимый.
На рис. 174-- 176 даны примеры построения точки пересечения прямой с
плоскостью общего положения, выраженной следами. В первом примере через
прямую AB проведена горизонтально-проецирующая пл. , а во втором (рис. 175)
-- горизонтальная плоскость, что оказалось 'возможным сделать, так как в
этом примере прямая AB -- горизонтальная.
Рис. 176
Изображенная на рис. 176 прямая перпендикулярна к пл. ,.
Горизонтальные проекции всех точек этой прямой сливаются в одну точку.
Следовательно, положение проекции К' искомой точки пересечения прямой AB с
пл. известно. Положение проекции К" определено при помощи горизонтали.
╖ 26. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПО ТОЧКАМ
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ С ПЛОСКОСТЬЮ
В ╖ 24 был изложен общий способ построения линии, пересечения двух
плоскостей, а именно применение вспомогательных секущих плоскостей (см. рис.
166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
общего положения. Этот способ заключается том, что находят точки
пересечения двух
70
прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью.
Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с
плоскостью общего положения, что изложено в ╖ 25.
На рис. 177 показано пересечение треугольника ABC плоскостью, заданной
двумя параллельными прямыми (DE \\ FG). Построение свелось к построению
точек ki и К2, в которых прямые DE и F G пересекают плоскость треугольника,
и к проведению через эти точки отрезка прямой линии. Представляя себе, что
через DE и FG проведены фронтально-проецирующие плоскости, находим
параллельные прямые, по которым эти плоскости пересекают треугольник. Одна
из них выражена проекциями 1' 2' и 1" 2"; для другой показана одна точка 3",
3', через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
проекции 1 2'. Определив положение проекций и К'2, находим проекции К'[ и
К2 и проекции отр. К1К2.
Конечно, и в рассмотренном случае применим общий способ (см. рис. 166),
но пришлось бы провести больше линий, чем это сделано на рис. 177.
На рис. 178 дано построение линии пересечения двух треугольников ABC и
DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников.
Прямая KiK2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника
ABC с плоскостью треугольника DEF. Вспомогательная фронтально-проецирующая
плоскость, проведенная через А С (на чфтеже эта плоскость особо не
обозначена), пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1"2" и 1'2';
в пересечении проекций А'С' и 1'2' получена горизонтальная проекция точки Kt
пересечения прямой АС и треугольника DEF, затем построена фронтальная
проекция К"1. Так же .найдена и точка К2,
В примерах на рис. 177 и 178 мы встретились с вопросом о разделении
плоских фигур на части, видимые и невидимые для зрителя, так как плоскости
считаются
с
( -.╥-
Рис.178 Рис.179
непрозрачными. На чертежах это показано при помощи штриховки
соответствующих частей треугольников ABC. Видимость определена на основании
таких же рассуждений, какие имели место в примере, рассмотренном на рис.
173.
На рис. 179 приведен еще один пример построения линии пересечения двух
треугольников. В данном случае с одинаковым основанием можно считать, что
треугольник ABC проходит в прорезь в треугольнике DEF или треугольник DEF
проходит в прорезь в треугольнике ABC: надо лишь условиться, в каком из
треугольников считать эту прорезь по прямой КгК2. Между тем в случае,
приведенном на рис. 178, прорезь только в треугольнике DEF и треугольник ABC
проходит через нее.
Самое построение на рис. 179 сводится к нахождению точки К, и точки N 2
при помощи фронтально-проецирующих плоскостей 1, и 2.
Следует еще раз обратить внимание на то, что применение штриховых линий
вместо сплошных, например на рис. 159, 161, 164, 165, 173--179, подсказано
желанием сделать изображения более наглядными. Если исходить из понятия о
проекции как геометрическом образе, то вопрос о "прозрачности" или
"непрозрачности", о "видимости" и "невидимости" отпал бы: все надо было бы
изображать сплошными линиями. Но для придания чертежам наглядности введены
некоторые условности, в том числе штриховые линии.
ВОПРОСЫ К ╖╖ 25-26
1. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения
прямой с, плоскостью?
2. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для
построения этой точки (см. вопрос 1)?
3. Как определить "видимость" при пересечении прямой с плоскостью?
4. Как можно построить прямую пересечения двух плоскостей, если не
применять общего способа, описанного в ╖ 24?
5. Как определить "видимость" в случае взаимного пересечения двух
плоскостей?
6. Чем отличаются случаи, рассмотренные на рис. 178 и 179?
╖ 27. ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ МЕЖДУ СОБОЙ
Построение прямой, параллельной заданной плоскости, основано на
следующем положении, известном из геометрии: прямая параллельна плоскости,
если эта прямая параллельна любой прямой в плоскости.
Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное
множество прямых линий, параллельных заданной плоскости: Для получения
единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие.
Например, через точку (рис. 180) требуется провести прямую,
параллельную плоскости, заданной треугольником ABC, и плоскости проекций !
(дополнительное условие).
Очевидно, искомая прямая должна быть параллельна линии пересечения
обеих плоскостей, т.е. должна быть параллельна горизонтальному следу
плоскости, заданной треугольником ABC. Для определения направления этого
следа можно воспользоваться горизонталью плоскости, заданной треугольником
ABC. На рис. 180 проведена горизонталь DC и затем через точку M проведена
прямая, параллельная этой горизонтали.
Поставим обратную задачу: через заданную точку провести плоскость,
параллельную заданной прямой линии. Плоскости, проходящие через некоторую
точку А параллельно некоторой прямой ВС, образуют пучок плоскостей, осью
которого является прямая, проходящая через точку А параллельно прямой ВС.
Для получения единственного решения требуется какое-либо дополнительное
условие.
72
Например, надо провести плоскость, параллельную прямой CD, не через
точку, а через прямую АВ (рис. 181). Прямые АВ и CD - скрещивающиеся. Если
через одну из двух скрещивающихся прямых требуется провести плоскость,
параллель-
Рис. 180 Рис. 181
ную другой, то задача имеет единственное решение. Через точку В
проведена прямая, параллельная прямой CD; прямые АВ и BE определяют
плоскость, параллельную прямой CD.
Как установить, параллельна ли данная прямая данной плоскости?
Можно попытаться провести в этой плоскости некоторую прямую параллельно
данной прямой. Если такую прямую в плоскости не удается построить, то
заданные прямая и плоскость не параллельны между собой.
Можно попытаться найти также точку пересечения данной прямой с данной
плоскостью. Если такая точка не может быть найдена,, то заданные прямая и
плоскость взаимно параллельны.
╖ 28. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Пусть дается точка К, через которую надо провести плоскость,
параллельную некоторой плоскости, заданной пересекающимися прямыми AF и BF
(рис. 182).
Очевидно, если через точку К провести прямые СК и DK, соответственно
параллельные прямым AF и BF, то плоскость, определяемая прямыми СК и DK,
окажется параллельной заданной плоскости.
Другой пример построения дан на рис. 183 справа. Через точку A
проведена пл. параллельно пл. а. Сначала через точку А проведена прямая,
заведомо параллельная пл. . Это горизонталь с проекциями "" и '',
причем A'N'\\ h'o. Таk
Рис. 182 Рис. 183
как точка N является фронтальным следом горизонтали AN, то через эту
точку пройдет след f"o% f"o,, а через Х - след h'o || h'o. Плоскости
и взаимно параллельны, так как их одноименные пересекающиеся следы взаимно
параллельны.
73
На рис. 184 изображены две параллельные между собой плоскости -- одна
га них задана треугольником ЛВС, другая -- параллельными прямыми DE и FG.
Чем же устанавливается параллельность этих плоскостей? Тем, что в плоскости,
заданной прямыми DE и FG, оказалось возможным провести две пересекающиеся
Рис. 184
прямые KN и КМ, соответственно параллельные пересекающимся прямым АС и
ВС другой плоскости.
Конечно, можно было бы попытаться найти точку пересечения хотя бы
прямой DE с плоскостью треугольника ABC. Неудача подтвердила бы
параллельность плоскостей.
ВОПРОСЫ К ╖╖ 27-28
1. На чем основано построение прямой линии, которая должна быть
параллельна некоторой плоскости?
2. Как провести плоскость через прямую параллельно заданной прямой?
3. Чем определяется взаимная параллельность двух плоскостей?
4. Как провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости?
5. Как проверить на чертеже, параллельны ли одна другой заданные
плоскости?
╖ 29. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим
случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства
проекций такой прямой.
На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися
прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, a AM -- фронталью этой
плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к AN и
к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.
Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в
этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего
положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо
прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или
профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к
плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и
фронталь, как это показано на рис. 185).
Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция
перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция
перпендику-
74
лярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция
перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.
Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы
получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то
горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу
плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу
плоскости.
Итак, если в системе ,, 2 горизонтальная проекция прямой
перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой
перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей
общего положения (рис. 186), а также горизонталъно-и фронтально-проецирующих
прямая перпендикулярна к плоскости. Но для профильно-проецирующей плоскости
может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя
проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и
фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецирующей
плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции
прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить,
будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость.
Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости
сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости
через основание перпендикуляра.
На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. (А"С" % f"o, AC
% h'o и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает
пл. . Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. ,
проведенной через перпендикуляр АЕ.
На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости,
определяемой треугольником ABC. Перпендикуляр'проведен через точку А.
Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть
перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его
горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции
горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями
A'D' и A"D" и горизонталь А"Е", А'Е'. Конечно, эти прямые не обязательно
проводить именно через точку А.
Далее проведены проекции перпендикуляра: M"N"% A"D", M'N'% A'E'. Почему
проекции на рис. 188 на участках A"N" и А'М' показаны штриховыми линиями?
Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником ABC, а
не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед
плоскостью, частично за ней.
75
На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку
А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами.
Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости:
так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В'С, то
и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В'С.
Поэтому A'N'% В'С'. Проекция A"N" \\ оси х, как это должно быть у
горизонтали. Затем проведен через точку " (" - фронтальная проекция
фронтального следа горюонтали AN) след f"o% В"С", получена точка X, и
проведен след h'o" II-4'-V' (h^LB'C).
На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти
прямые перпендикулярны к ВС (А"М"% В"С", A'N' %
В'С); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС.
Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой,
проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость
перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения
перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно,
можно наметить следующий план построения проекций искомой прямой:
1) через точку А провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
ВС;
2) определить точку К пересечения прямой ВС с ил. ;
соединить точки А и К отрезком прямой линии.
Прямые АК и ВС взаимно перпендикулярны.
Пример построения дан на рис. 191. Через точку А проведена плоскость
(), перпендикулярная к ВС. Это сделано при помощи фронтали, фронтальная
проекция
76
A"F" которой проведена перпендикулярно к фронтальной проекции В"С", и
горизонтали, горизонтальная проекция которой перпендикулярна к В'С.
Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. . Для этого
через прямую ВС проведена горизонтально-проецирующая плоскость (на чертеже
она задана только горизонтальным следом 1). Пл. пересекает пл.
по прямой с проекциями 1'2' и 1 "2". В пересечении этой прямой с прямой ВС
получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС.
Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. ,
перпендикулярной к прямой ВС', следовательно, AKLBC.
В ╖ 15 было показано (рис. 92), как можно провести перпендикуляр из
точки на прямую. Но там это было выполнено при помощи введения в систему
1,2 дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
в которой пл. 3 проводится параллельно заданной прямой. Рекомендуем
сравнить построения, данные на рис. 92 и 191,
На рис. 192 изображены плоскость общего положения о, проходящая через
точку A, и перпендикуляр AM к этой плоскости, продолженный до пересечения с
пл. , в точке В'.
Угол 1 между пл. и пл. nt и угол между прямой AM и пл. являются
острыми углами прямоугольного треугольника В'AM', и, следовательно, 1 + =
90╟. Аналогично, если пл. составляет с пл. 2 угол ?, а прямая AM,
перпендикулярная к о, составляет с пл. 2 угол , 2 + = 90╟. Из этого,
прежде всего, следует, что плоскость общего положения, которая должна
составлять с пл. угол ,, а с пл. 2 угол 2, может быть построена, лишь
если 180╟ >1 +2>90╟.
Действительно, складывая почленно + = 90╟ и 2 + = 90╟, получим
1 + 2 + + = 180╟, . е. + 2 < 180╟, а так как + < 90╟
(см. с. 33), 1 + 2 > 90╟. Если взять :1 + 2 = 90╟, то получится
профильно-проецирующая плоскость, а если взять , + 2 = 180╟, то получится
профильная плоскость, т. е. в обоих этих случаях плоскость не общего
положения, а частного.
╖ 30. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Построение плоскости , перпендикулярной к плоскости о, может быть
произведено двумя путями: 1) пл. проводится через прямую, перпендикулярную
к пл. а; 2) пл. проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл. ос или
параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются
дополнительные условия.
На рис. 193 показано построение плоскости, перпендикулярной к
плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит
то, что искомая плоскость должна проходить через прямую АВ. Следовательно,
искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости
треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к пл. CDE в ней взяты
фрон-
Рис. 193 Рис. 194
таль CN и горизонталь СМ: если B"F" % С"" и В'F'%С'М', то BF%пл. CDE.
Образованная пересекающимися прямыми А В и ВF плоскость перпендикулярна
к пл. CDE, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. На рис.
194 горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку К
перпендикулярно к плоскости, заданной треугольником ABC. Здесь
дополнительным условием явля-
77
лась перпендикулярность искомой плоскости сразу к двум плоскостям: к
пл. ABC и к пл. ,. Поэтому и ответом служит горизонтально-проецирующая
плоскость. А так как она проведена перпендикулярно к горизонтали AD, т. е. к
прямой, принадлежащей пл. ABC, то пл. перпендикулярна к пл. ABC.
Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить
признаком перпендикулярности самих плоскостей?
К очевидным случаям, когда это так, относится взаимная
перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых
горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при
взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих
плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим (рис. 195) горизонтально-проецирующую плоскость ,
перпендикулярную к плоскости общего положения а.
Если пл. перпендикулярна к пл. 1 и к пл. , то % h'o как к линии
пересечения пл. и пл. ,. Отсюда h'o% и, следовательно, h'o % ', как
к одной из прямых в пл. .
Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего
положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной
перпендикулярности этих плоскостей.
Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей
плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной
перпендикулярности этих плоскостей.
Рис. 196
Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно
перпендикулярны, то самые плоскости не перпендикулярны между собой, так как
здесь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этого
параграфа.
В заключение рассмотрим рис. 196. Здесь имеет место случай взаимной
перпендикулярности одноименных следов в обеих их парах и перпендикулярности
самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положения -- профильная
и профильно-проецирующая
╖ 31. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ И МЕЖДУ ДВУМЯ
ПЛОСКОСТЯМИ
Если прямая не перпендикулярна к плоскости, то углом между прямой и
плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на данной
плоскости.
Об углах между прямой и плоскостями проекций см, ╖ 13.
На рис. 197 изображена прямая АВ, пересекающая пл, 0 в точке D; угол
образован отрезком BD данной прямой и проекцией B╟D этого отрезка на пл. 0.
78
Построение проекций угла между прямой АВ и некоторой пл. выполнено на
рис. 198. Пл. задана ее горизонталью (проекции Р"Н" и Р'Н') и фронталью
(проекции P"F" и PF).
Построение выполнено в следующем порядке:
а) найдена точка D пересечения прямой АВ с пл. о, для чего через АВ
проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;
б) из точки А проведен перпендикуляр к пл. а;
в) найдена точка пересечения этого перпендикуляра с пл.' ос, для чего
проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;
г) через точки D" и Е", D' и проведены прямые, чем определяются
проекции прямой АВ на пл. .
Рис. 197 Рис. 198
Угол A"D"E" представляет собой фронтальную проекцию угла между АВ и пл.
, а угол A'D Е' -- горизонтальную проекцию этого угла.
Построение проекции угла между прямой и плоскостью значительно
упрощается, если плоскость не является плоскостью общего положения, так как
в подобных случаях точка пересечения заданной прямой с плоскостью
определяется без дополнительных построений.
Две пересекающиеся между собой плоскости образуют четыре двугранных
угла. Ограничиваясь рассмотрением угла между и , показанного на рис. 199,
построим его линейный угол, для чего пересечем ребро двугранного угла
плоскостью , перпендикулярной к .
Построение проекций линейного угла выполнено на рис. 200. Пл. ос задана
треугольником , пл. -- треугольником .
а) Построена пл. % , проходящая через точку N (пл. задана ее
фронталью NF и горизонталью ).
79
б) Построена линия пересечения плоскостей и (прямая E); так как
пл. проведена через точку N пл. о, то надо найти только точку Е, для чего
взята вспо-
могательная плоскость .
в) Найдена линия пересечения плоскостей и (прямая NG); здесь также
надо было найти только точку G (вспомогательная пл. ).
Точка N является вершиной искомого линейного угла, угол E'N'G'
представляет собой горизонтальную проекцию этого угла, угол E'N"G" -- его
фронтальную проекцию.
На рис. 195 построены проекции линейного угла, измеряющего двугранный
угол, образуемый пл. с плоскостью проекций к,. Так как для получения
линейного угла надо провести плоскость, перпендикулярную к ребру двугранного
угла, то для получения утла наклона пл. к пл. , проведена пл. ,
перпендикулярная к следу h'o. Аналогично, для получения угла между пл. и
пл. 2 надо было бы провести плоскость перпендикулярно к. следу f"o.
На рис. 195 фронтальной проекцией искомого угла является угол ""', а
горизонтальная проекция угла совпадает со следом ". Величина угла может
быть определена построением прямоугольного,треугольника по катетам "' и
''.
ВОПРОСЫ К ╖╖ 29-31
1. Как располагаются проекции перпендикуляра к плоскости?
2. Как взаимно располагаются горизонтальные проекции перпендикуляра к
плоскости в ее линии ската, проведенной через точку пересечения
перпендикуляра с плоскостью?
3. Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой (через
точку на прямой и через точку вне прямой)?
4. Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения (при
помощи плоскости, перпендикулярной к прямой, и при помощи введения в систему
к,, я- дополнительной плоскости проекций)?
5. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?
6. В каких случаях взаимная перпендикулярность одной пары одноименных
следов плоскостей соответствует взаимной перпендикулярности самих
плоскостей?
7. В каком случае в системе 1,2 взаимная перпендикулярность
плоскостей выражается взаимной перпендикулярностью фронтальных следов? В
каком случае в системе ╥, л2 взаимная перпендикулярность плоскостей
выражается взаимной перпендикулярностью горизонтальных следов?
8. Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их
одноименные следы взаимно перпендикулярны?
9. Что называется углом между прямой и плоскостью и какие действия надо
выполнить для построения на чертеже проекций этого угла?
Какие действия надо выполнить для построения на чертеже проекций
линейного угла для данного двугранного?
ГЛАВА V. СПОСОБЫ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ И ВРАЩЕНИЯ
╖ 32. ПРИВЕДЕНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ И ПЛОСКИХ ФИГУР
В ЧАСТНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
Задание прямых линий и плоских фигур в частных положениях относительно
плоскостей проекций (см. ╖╖11, 19) значительно упрощает построения и
решение задач, а подчас позволяет получить ответ или непосредственно по
данному чертежу, или при помощи простейших построений.
Например, определение расстояния точки А до горизонтально-проецирующей
плоскости (рис. 201), заданной треугольником BCD, сводится к проведению
перпендикуляра из проекции А' к проекции, выраженной отрезком B'D'. Искомое
расстояние определяется отрезком А'К'.
Излагаемые в настоящей главе способы дают возможность переходить от
общих положений прямых линий и плоских фигур в системе 1, 2 к частным в
той же системе или в дополнительной.
Достигается это:
1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в
каком-либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ
перемены плоскостей проекций);
2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном
положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ
вращения и частный случай его -- способ совмещения).
Введение дополнительных 'плоскостей проекций в систему 1; 2
рассматривалось в ╖ 8, а примеры построений в дополнительных системах были
приведены в ╖╖ 13 и 15. Теперь рассмотрим это подробнее.
╖ 33. СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1)
Общие сведения. Сущность способа перемены плоскостей
проекций2) заключается в том, что положение точек, линий, плоских
фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система 1, 2
дополняется плоскостями, образующими с 1 или 2, или между собой системы
двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.
Рис. 2011) Мы применяем распространенное название "перемена
плоскостей проекций", но на самом деле плоскости проекций и - остаются и
лишь вводятся дополнительные плоскости проекций. ╥
2) Впервые на русском языке способ перемены плоскостей
проекций был изложен И. И. Сомовым в его книге "Начертательная геометрия",
1862. Затем этот вопрос получил более подробное и углубленное освещение в
трудах Н. И. Макарова и В. И. Курдюмова.
Каждая новая система выбирается так, чтобы получить положение, наиболее
удобное для выполнения требуемого построения. .
В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей
задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, например 3% 1 или
4%2; при этом пл. 3 окажется горизонтально-проецирующей, а пл. 4
-фронтально-проецирующей. Если введение одной плоскости, 3 или 4, не
позволяет разрешить задачу, то прибегают к последовательному дополнению
основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводят плоскость 3%
1, получают первую новую систему -- 3, 1, а затем от этой системы
переходят ко второй новой системе, вводя некоторую пл. 4% 3. При этом пл.
4 оказывается плоскостью общего положения в основной системе 1, 2. Таким
образом, производится последовательный переход от системы 1 2 к системе
3, 4 через промежуточную систему 3, 1.
Если "плоскости 3 и 4 все же не разрешают вопроса полностью, можно
перейти к третьей новой системе, вводя еще одну плоскость, перпендикулярную
к 4.
При построениях в новой системе плоскостей проекций соблюдаются те же
условия относительно положения зрителя, которые были установлены для системы
плоскостей 1 и 2 (см. ╖ 7).
Ось проекций будем отмечать записью в виде дроби, считая,