\input style

rAVNOMERNO RASPREDELENNAYA POSLEDOVATELXNOSTX YAVLYAETSYA 1-RASPREDELENNOJ.
zAMETIM, CHTO ESLI~$k>1$, TO $k\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX
VSEGDA $(k-1)\hbox{-RASPREDELENA}$, POSKOLXKU V SOOTNOSHENII~\eqref[5] MOZHNO
POLOZHITX~$u_k=0$ I~$v_k=1$. v CHASTNOSTI, LYUBAYA 4-RASPREDELENNAYA
POSLEDOVATELXNOSTX YAVLYAETSYA TAKZHE I 3-RASPREDELENNOJ, 2-RASPREDELENNOJ I
RAVNOMERNO RASPREDELENNOJ. dLYA ZADANNOJ POSLEDOVATELXNOSTI MOZHNO PYTATXSYA
NAJTI NAIBOLXSHEE~$k$, TAKOE, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX
$k\hbox{-RASPREDELENA}$. eTO PRIVODIT NAS K SLEDUYUSHCHEMU OPREDELENIYU.

\proclaim oPREDELENIE~C. pOSLEDOVATELXNOSTX NAZYVAETSYA
$\infty\hbox{-RASPREDELENNOJ}$, ESLI ONA $k\hbox{-RASPREDELENA}$, KAKOVO
BY NI BYLO POLOZHITELXNOE CELOE~$k$.

dO SIH POR MY RASSMATRIVALI "POSLEDOVATELXNOSTI NA POLUINTERVALE~$[0, 1)$",
T.~E.~POSLEDOVATELXNOSTI DEJSTVITELXNYH CHISEL, RASPOLOZHENNYH MEZHDU
NULEM I EDINICEJ. tE ZHE RASSUZHDENIYA PRILOZHIMY I K POSLEDOVATELXNOSTI CELYH
CHISEL. bUDEM GOVORITX, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX~$\<X_n>=X_0$, $X_1$, $X_2$,~\dots{}
ESTX "$b\hbox{-ICHNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX", ESLI KAZHDOE IZ~$X_n$
ESTX ODNO IZ CELYH CHISEL~$0$, $1$,~\dots, $b-1$. tAKIM OBRAZOM, 2-ICHNAYA
(DVOICHNAYA) POSLEDOVATELXNOSTX PREDSTAVLYAET SOBOJ POSLEDOVATELXNOSTX
NULEJ I EDINIC.

zAMETIM, CHTO "$b\hbox{-ICHNOE}$ CHISLO"~$x_1x_2\ldots{}x_k$ ESTX NEKOTORYJ
UPORYADOCHENNYJ NABOR $k$~CELYH CHISEL, PRICHEM~$0\le x_j < b$, GDE~$1\le j \le k$.

\proclaim oPREDELENIE~D. nAZOVEM $b\hbox{-ICHNUYU}$ POSLEDOVATELXNOSTX
$k\hbox{-RASPREDELENNOJ}$, ESLI
\EQ[6]{
\Pr(X_n X_{n+1} \ldots X_{n+k-1}=x_1x_2\ldots x_k)=1/b^k
}
DLYA VSEH $b\hbox{-ICHNYH}$ CHISEL~$x_1x_2\ldots{}x_k$.

iZ |TOGO OPREDELENIYA YASNO, CHTO ESLI~$U_0$, $U_1$,~\dots{} ESTX
$k\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX NA~$[0, 1)$, TO~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} YAVLYAETSYA $k\hbox{-RASPREDELENNOJ}$
$b\hbox{-ICHNOJ}$ POSLEDOVATELXNOSTXYU. (v SAMOM DELE, ESLI
POLOZHITX~$u_j=x_j/b$, $v_j=(x_j+1)/b$, $X_n=\floor{bU_n}$, TO FORMULA~\eqref[5]
PREVRATITSYA V~\eqref[6].) bOLEE TOGO, ESLI $b\hbox{-ICHNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX
$k\hbox{-RASPREDELENA}$, ONA TAKZHE $(k-1)\hbox{-RASPREDELENA}$: ESLI
SLOZHITX VEROYATNOSTI $b\hbox{-ICHNYH}$ CHISEL~$x_1\ldots{}x_{k-1}0$,
$x_1\ldots{}x_{k-1}1$,~\dots, $x_1\ldots{}x_{k-1}(b-1)$, POLUCHITSYA
$$
\Pr(X_n \ldots{} X_{n+k-2}=x_1\ldots x_{k-1})=1/b^{k-1}.
$$
(vEROYATNOSTI NEPERESEKAYUSHCHIHSYA SOBYTIJ ADDITIVNY, SM.~UPR.~5.) pO|TOMU
MOZHNO GOVORITX O $\infty\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ $b\hbox{-ICHNOJ}$
POSLEDOVATELXNOSTI, OPREDELIV EE ANALOGICHNO OPREDELENIYU~C.

pREDSTAVLENIE DEJSTVITELXNOGO POLOZHITELXNOGO CHISLA V $b\hbox{-ICHNOJ}$
SISTEME SCHISLENIYA MOZHNO RASSMATRIVATX KAK $b\hbox{-ICHNUYU}$ POSLEDOVATELXNOSTX.
%% 162
tAK, NAPRIMER, CHISLO~$\pi$ SOOTVETSTVUET
DESYATICHNOJ POSLEDOVATELXNOSTI~$3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,\ldots\,$.
pREDPOLAGAYUT, CHTO |TA POSLEDOVATELXNOSTX $\infty\hbox{-RASPREDELENA}$, NO
NIKTO POKA NE SMOG DOKAZATX, CHTO ONA HOTYA BY 1-RASPREDELENA.

pOPROBUEM PROANALIZIROVATX VVEDENNYE PONYATIYA BOLEE PODROBNO V SLUCHAE,
KOGDA $k$~RAVNO MILLIONU. v 1000000-RASPREDELENNOJ DVOICHNOJ
POSLEDOVATELXNOSTI BUDUT POPADATXSYA OTREZKI, SOSTOYASHCHIE IZ MILLIONA NULEJ!
aNALOGICHNO |TOMU, V 1000000-RASPREDELENNOJ NA~$[0, 1)$ POSLEDOVATELXNOSTI
BUDUT POPADATXSYA OTREZKI DLINOJ V MILLION, SOSTOYASHCHIE IZ CHISEL, KAZHDOE IZ
KOTORYH MENXSHE POLOVINY. pRAVDA, TAKIE OTREZKI BUDUT POPADATXSYA V SREDNEM
TOLXKO V $(1/2)^{1000000}$~DOLE SLUCHAEV, NO VAZHNO TO, CHTO ONI
\emph{SUSHCHESTVUYUT.} rAZUMEETSYA, TO ZHE SAMOE MOZHET BYTX I V LYUBOJ ISTINNO
SLUCHAJNOJ POSLEDOVATELXNOSTI, ESLI IMETX V VIDU NASHE INTUITIVNOE PONYATIE
"ISTINNO SLUCHAJNOGO". lEGKO SEBE PREDSTAVITX, KAKUYU REAKCIYU VYZOVET
TAKOJ NABOR IZ MILLIONA "ISTINNO SLUCHAJNYH" CHISEL, ISPOLXZOVANNYJ V
VYCHISLITELXNOM |KSPERIMENTE; VOZNIKNUT VESKIE OSNOVANIYA DLYA ZHALOBY NA
DATCHIK SLUCHAJNYH CHISEL! s DRUGOJ STORONY, ESLI V
POSLEDOVATELXNOSTI CHISEL NIKOGDA NE POPADAYUTSYA SERII IZ MILLIONA~$U$,
KAZHDOE IZ KOTORYH MENXSHE~$1/2$, ONA NE SLUCHAJNA I NE BUDET GODITXSYA
DLYA DRUGIH TEORETICHESKI VOZMOZHNYH PRILOZHENIJ, V KOTORYH VHODNYMI DANNYMI
SLUZHAT CHREZVYCHAJNO DLINNYE SERII~$U$. pODYTOZHIVAYA, MOZHNO SKAZATX, CHTO V
\emph{ISTINNO SLUCHAJNOJ POSLEDOVATELXNOSTI DOLZHNA PRISUTSTVOVATX
LOKALXNAYA NESLUCHAJNOSTX.} lOKALXNAYA NESLUCHAJNOSTX NEOBHODIMA V ODNIH
PRILOZHENIYAH, NO NEDOPUSTIMA V DRUGIH. mY VYNUZHDENY ZAKLYUCHITX, CHTO
\emph{NI ODNA POSLEDOVATELXNOSTX "SLUCHAJNYH" CHISEL NE MOZHET OTVECHATX
TREBOVANIYAM, PREDŽYAVLYAEMYM VSEMI PRILOZHENIYAMI.}

tOCHNO TAK ZHE IMEYUTSYA OSNOVANIYA UTVERZHDATX, CHTO MY NE MOZHEM SUDITX O TOM,
SLUCHAJNA LI \emph{KONECHNAYA} POSLEDOVATELXNOSTX;
KAZHDAYA ZADANNAYA POSLEDOVATELXNOSTX NICHEM NE HUZHE LYUBOJ DRUGOJ. eTI
SOOBRAZHENIYA YAVLYAYUTSYA KAMNYAMI PRETKNOVENIYA NA PUTI POSTROENIYA POLEZNOGO
OPREDELENIYA SLUCHAJNOSTI, NO BESPOKOITXSYA PO |TOMU POVODU VSE-TAKI NE
SLEDUET. mOZHNO DATX TAKOE OPREDELENIE SLUCHAJNOSTI DLYA BESKONECHNYH
POSLEDOVATELXNOSTEJ DEJSTVITELXNYH CHISEL, CHTO SOOTVETSTVUYUSHCHAYA TEORIYA
(NADLEZHASHCHIM OBRAZOM INTERPRETIROVANNAYA) BUDET VESXMA |FFEKTIVNA PRI
RASSMOTRENII TEH OBYCHNYH KONECHNYH POSLEDOVATELXNOSTEJ RACIONALXNYH
CHISEL, KOTORYE POLUCHAYUTSYA NA VYCHISLITELXNOJ MASHINE. bOLEE TOGO, V |TOM
RAZDELE BUDET POKAZANO, CHTO SUSHCHESTVUET NESKOLXKO VNUSHAYUSHCHIH DOVERIE
SPOSOBOV OPREDELENIYA SLUCHAJNOSTI KONECHNYH POSLEDOVATELXNOSTEJ.

\section{B. $\infty\hbox{-RASPREDELENNYE}$ POSLEDOVATELXNOSTI}. iZLOZHIM V
SZHATOM VIDE TEORIYU $\infty\hbox{-RASPREDELENNYH}$ POSLEDOVATELXNOSTEJ.
nAM PRIDETSYA
%% 163
POLXZOVATXSYA NEKOTORYMI REZULXTATAMI VYSSHEJ MATEMATIKI, TAK CHTO DALEE
PREDPOLAGAETSYA ZNAKOMSTVO CHITATELYA S MATERIALOM KURSA MATEMATICHESKOGO ANALIZA.

vO-PERVYH, OBOBSHCHIM OPREDELENIE~A, POSKOLXKU PREDEL, FIGURIRUYUSHCHIJ V |TOM
OPREDELENII, SUSHCHESTVUET NE DLYA VSEH POSLEDOVATELXNOSTEJ. vVEDEM OPREDELENIYA
\EQ[7]{
\Prsup(S(n))=\lim_{n\to\infty} \sup (\nu(n)/n),\quad
\Prsub(S(n))=\lim_{n\to\infty}\inf(\nu(n)/n).
}
tEPERX VELICHINA~$\Pr(S(n))$, ESLI ONA IMEET SMYSL, YAVLYAETSYA OBSHCHIM
ZNACHENIEM VELICHIN~$\Prsub(S(n))$ I~$\Prsup(S(n))$.

mY VIDELI, CHTO IZ $k\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ NA~$[0, 1)$
POSLEDOVATELXNOSTI MOZHNO POLUCHITX $k\hbox{-RASPREDELENNUYU}$
$b\hbox{-ICHNUYU}$ POSLEDOVATELXNOSTX, ESLI $U$~ZAMENITX NA~$\floor{bU}$.
nASHA PERVAYA TEOREMA POKAZYVAET, CHTO OBRATNOE UTVERZHDENIE TAKZHE SPRAVEDLIVO.

\proclaim tEOREMA~A. pUSTX $\<U_n>=U_0$, $U_1$,
$U_2$,~\dots---POSLEDOVATELXNOSTX NA~$[0, 1)$. eSLI
$$
\<\floor{b_jU_n}>=\floor{b_jU_0}, \floor{b_jU_1}, \floor{b_jU_2},~\ldots
$$
YAVLYAETSYA $k\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ $b_j\hbox{-ICHNOJ}$ POSLEDOVATELXNOSTXYU
DLYA LYUBOGO CELOGO~$b_j$, PRINADLEZHASHCHEGO BESKONECHNOJ
POSLEDOVATELXNOSTI~$1<b_1<b_2<b_3<\ldots$, TO $\<U_n>$~ESTX
$k\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX.

v KACHESTVE PRIMERA PRIMENENIYA |TOJ TEOREMY POLOZHIM~$b_j=2^j$.
pOSLEDOVATELXNOSTX $\floor{2^jU_0}$, $\floor{2^jU_1}$,~\dots{} ESTX NE
CHTO INOE, KAK POSLEDOVATELXNOSTX PERVYH $j$~BITOV DVOICHNOGO
PREDSTAVLENIYA~$U_0$, $U_1$,~$\ldots\,$. eSLI VSE TAKIE
POSLEDOVATELXNOSTI CELYH CHISEL $k\hbox{-RASPREDELENY}$ V SMYSLE
OPREDELENIYA~D, TO POSLEDOVATELXNOSTX DEJSTVITELXNYH CHISEL~$U_0$, $U_1$,~\dots{}
DOLZHNA BYTX $k\hbox{-RASPREDELENA}$ V SMYSLE OPREDELENIYA~B.

\proof[TEOREMY~A] eSLI POSLEDOVATELXNOSTX~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} $k\hbox{-RASPREDELENA}$, IZ ADDITIVNOSTI
VEROYATNOSTEJ SLEDUET, CHTO SOOTNOSHENIE~\eqref[5] SPRAVEDLIVO PRI USLOVII, CHTO
$u_j$ I~$v_j$ YAVLYAYUTSYA RACIONALXNYMI CHISLAMI SO ZNAMENATELEM~$b$.
pUSTX TEPERX $u_j$, $v_j$---LYUBYE DEJSTVITELXNYE CHISLA, a $u'_j$,
$v'_j$---RACIONALXNYE CHISLA SO ZNAMENATELEM~$b$, TAKIE, CHTO
$$
u'_j\le u_j < u'_j+1/b,\quad v'_j \le v_j < v'_j+1/b.
$$
chEREZ $S(n)$ OBOZNACHIM SLEDUYUSHCHEE UTVERZHDENIE:
$$
u_1 \le U_n < v_1, \ldots, u_k \le U_{n+k-1} < v_k.
$$
%% 164
mY IMEEM
$$
\eqalign{
\Prsup(S(n))&\le \Pr\left(u'_1 \le U_n < v'_1+{1\over b},~\ldots, u'_k\le
U_{n+k-1} < v'_k+{1\over b}\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1+{1\over b}\right)\ldots\left(v'_k-u'_k+{1\over b}\right);\cr
\Prsub(S(n))&\ge \Pr\left(u'_1+{1\over b}\le U_n < v'_1, \ldots,
u'_k+{1\over b} \le U_{n+k-1} < v'_k\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1-{1\over b}\right)\ldots \left(v'_k-u'_k-{1\over b}\right).\cr
}
$$
zAMETIM, CHTO~$\abs{(v'_j-u'_j\pm 1/b)-(v_j-u_j)}\le 2/b$. nERAVENSTVA
SPRAVEDLIVY DLYA VSEH~$b=b_j$. pRI~$j\to\infty$ IMEEM~$b_j\to\infty$ I,
TAKIM OBRAZOM,
$$
\eqalign{
(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)&\le \Prsub(S(n))\le \cr
 &\le\Prsup(S(n))\le (v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k).\cr
}
$$
\proofend

sLEDUYUSHCHAYA TEOREMA POSLUZHIT OSNOVNYM ORUDIEM
ISSLEDOVANIYA $k\hbox{-RASPREDELENNYH}$ POSLEDOVATELXNOSTEJ.

\proclaim tEOREMA~B. pUSTX $\<U_n>$---$k-\hbox{RASPREDELENNAYA}$ NA~$[0, 1)$
POSLEDOVATELXNOSTX, I~$f(x_1, x_2,~\dots, x_k)$---INTEGRIRUEMAYA V SMYSLE
rIMANA FUNKCIYA $k$~PEREMENNYH; TOGDA
\EQ[8]{
\lim_{n\to\infty} {1\over n} \sum_{0\le j < n} f(U_j, U_{j+1},~\dots, U_{j+k-1})
 =\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, x_2,~\dots, x_k)\, dx_1\ldots dx_k.
}

\proof iZ OPREDELENIYA $k\hbox{-RASPREDELENNOJ}$
POSLEDOVATELXNOSTI SLEDUET, CHTO |TOT REZULXTAT SPRAVEDLIV V CHASTNOM
SLUCHAE, KOGDA
\EQ[9]{
 f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
  1, & ESLI~$u_1\le x_1 < v_1$,~\dots, $u_k\le x_k < v_k$,\cr
  0  & V PROTIVNOM SLUCHAE.\cr
 }
}
zNACHIT, SOOTNOSHENIE~\eqref[8] SPRAVEDLIVO, ESLI~$f=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_mf_m$,
GDE $f_j$~YAVLYAYUTSYA FUNKCIYAMI VIDA~\eqref[9]. dRUGIMI SLOVAMI, SOOTNOSHENIE~\eqref[8]
SPRAVEDLIVO, ESLI~$f$---"STUPENCHATAYA FUNKCIYA", POSTOYANNAYA VNUTRI KAZHDOJ
CHASTI EDINICHNOGO $k\hbox{-MERNOGO}$ KUBA, POLUCHENNOJ RAZBIENIEM |TOGO KUBA
PLOSKOSTYAMI, PARALLELXNYMI KOORDINATNYM OSYAM.

pUSTX TEPERX~$f$---LYUBAYA INTEGRIRUEMAYA V SMYSLE rIMANA FUNKCIYA. mY ZNAEM (IZ
OPREDELENIYA INTEGRIRUEMOSTI V SMYSLE rIMANA), CHTO ESLI~$\varepsilon$---LYUBOE
POLOZHITELXNOE CHISLO, TO SUSHCHESTVUYUT STUPENCHATYE FUNKCII~$\fsub$ I~$\fsup$,
TAKIE, CHTO~$\fsub(x_1,~\ldots, x_k)\le f(x_1,~\ldots, x_k)\le \fsup(x_1,~\ldots, x_k)$,
%% 164
I RAZNOSTI MEZHDU INTEGRALAMI OT~$\underline{f}$, $f$ I~$\overline{f}$ BUDUT
MENXSHE~$\varepsilon$. pOSKOLXKU (8)~SPRAVEDLIVO DLYA~$\underline{f}$
I~$\overline{f}$ I
$$
\eqalign{
{1\over n}\sum_{0\le j < n} \underline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n} f(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})\le\cr
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n}\overline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1}),\cr
}
$$
MY POLUCHAEM, CHTO (8)~SPRAVEDLIVO TAKZHE I DLYA~$f$.
\proofend

v KACHESTVE PERVOGO PRILOZHENIYA |TOJ TEOREMY RASSMOTRIM \emph{PROVERKU
PERESTANOVOK,} OPISANNUYU V P.~3.3.2. pUSTX $(p_1, p_2,~\ldots, p_k)$ ESTX
LYUBAYA PERESTANOVKA CHISEL~$1$, $2$,~\dots, $k$. mY HOTIM POKAZATX, CHTO
\EQ[10]{
\Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\ldots<U_{n+p_k-1})={1\over k!}.
}

dLYA |TOGO PREDPOLOZHIM, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_k>$
$k\hbox{-RASPREDELENA}$, I POLOZHIM
$$
f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
 1, & ESLI $x_{p_1}\le x_{p_2}\le\cdots\le x_{p_k}$,\cr
 0  & V PROTIVNOM SLUCHAE.\cr
}
$$
iMEEM
$$
\eqalign{
 \Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\cdots<U_{n+p_k-1})&=\cr
  &=\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, \ldots, x_k)\,dx_1 \ldots dx_k\cr
  &=\int_0^1\,dx_{p_k} \int_0^{x_{p_k}} \ldots \int_0^{x_{p_3}}\,dx_{p_2}
    \int_0^{x_{p_2}}\,dx_{p_1}={1\over k!}\cr
}
$$

\proclaim sLEDSTVIE~P. eSLI POSLEDOVATELXNOSTX $k\hbox{-RASPREDELENA}$
NA~$[0, 1)$, TO ONA UDOVLETVORYAET PROVERKE PERESTANOVOK PORYADKA~$k$ V
SMYSLE SOOTNOSHENIYA~\eqref[10].\endmark

mOZHNO TAKZHE POKAZATX, CHTO ONA UDOVLETVORYAET \emph{TESTU POSLEDOVATELXNOJ
KORRELYACII.}

\proclaim sLEDSTVIE~S. eSLI POSLEDOVATELXNOSTX $(k+1)\hbox{-RASPREDELENA}$
NA~$[0, 1)$, TO KO|FFICIENT POSLEDOVATELXNOJ KORRELYACII MEZHDU~$U_n$
I~$U_{n+k}$ STREMITSYA K NULYU:
$$
\lim_{n\to\infty}{{1\over n}\sum U_jU_{j+k}-\left({1\over n}\sum U_j\right)
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)\over \sqrt{\left({1\over n}\sum U_j^2-
 \left({1\over n}\sum U_j\right)^2\right)\left({1\over n}\sum U_{j+k}^2-
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)^2\right)}}=0.
$$
(dLYA VSEH SUMMIROVANIJ ZDESX~$0\le j < n$.)

%% 166

\proof iZ TEOREMY~B SLEDUET, CHTO VELICHINY
$$
{1\over n}\sum U_jU_{j+k},\quad
{1\over n}\sum U_j^2,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}^2,\quad
{1\over n}\sum U_j,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}
$$
PRI~$n\to\infty$ STREMYATSYA SOOTVETSTVENNO K PREDELAM~$1/4$, $1/3$, $1/3$,
$1/2$, $1/2$.
\proofend

rASSMOTRIM TEPERX NEKOTORYE BOLEE OBSHCHIE SVOJSTVA POSLEDOVATELXNOSTEJ. mY
OPREDELILI SVOJSTVO $k\hbox{-RASPREDELENNOSTI}$ DLYA VSEH GRUPP IZ~$k$
STOYASHCHIH RYADOM |LEMENTOV POSLEDOVATELXNOSTI. nAPRIMER, POSLEDOVATELXNOSTX
YAVLYAETSYA $\hbox{2-RASPREDELENNOJ}$ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA TOCHKI
$$
(U_0, U_1),\quad
(U_1, U_2),\quad
(U_2, U_3),\quad
(U_3, U_4),\quad
(U_4, U_5),\quad\ldots
$$
RAVNOMERNO RASPREDELENY V EDINICHNOM KVADRATE. oDNAKO VPOLNE VOZMOZHNO, CHTO
PARY TOCHEK, VZYATYE CHEREZ ODNU, NE BUDUT RAVNOMERNO RASPREDELENY. pRI
|TOM NEDOSTACHA TOCHEK $(U_{2n-1}, U_{2n})$ V NEKOTOROJ OBLASTI MOZHET
KOMPENSIROVATXSYA TOCHKAMI~$(U_{2n}, U_{2n+1})$. yaSNO, NAPRIMER, CHTO
PERIODICHESKAYA DVOICHNAYA POSLEDOVATELXNOSTX
\EQ[11]{
\<X_n>=0,0,0,1, \; 0,0,0,1,\; 1,1,0,1,\; 1,1,0,1,\; 0,0,0,1,\;\ldots
}
S PERIODOM, RAVNYM~16, \hbox{3-RASPREDELENA}, ODNAKO V
PODPOSLEDOVATELXNOSTI |LEMENTOV S CHETNYMI NOMERAMI $\<X_{2n}>=0$, $0$,
$0$, $0$, $1$, $0$, $1$, $0$,~\dots{} V TRI RAZA BOLXSHE NULEJ, CHEM EDINIC,
V TO VREMYA KAK V PODPOSLEDOVATELXNOSTI |LEMENTOV S NECHETNYMI
NOMERAMI $\<X_{2n+1}>=0$, $1$, $0$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$,~\dots{} V TRI
RAZA BOLXSHE EDINIC, CHEM NULEJ.

iZ PRIVEDENNOGO VYSHE PRIMERA SLEDUET, CHTO ESLI
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ $\infty\hbox{-RASPREDELENA}$, TO SOVSEM NE
OCHEVIDNO, CHTO PODPOSLEDOVATELXNOSTX $\<U_{2n}>=U_0$, $U_2$, $U_4$, $U_6$,~\dots{}
$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$ ILI DAZHE 1-RASPREDELENA. mY UVIDIM,
ODNAKO, CHTO~$\<U_{2n}>$ DEJSTVITELXNO $\infty\hbox{-RASPREDELENA}$ I CHTO
SPRAVEDLIVO DAZHE BOLEE SILXNOE UTVERZHDENIE.

\proclaim oPREDELENIE~E. gOVORYAT, CHTO
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ $(m, k)\hbox{-pacPREDELENA}$ NA~$[0, 1)$, ESLI
$$
\Pr(u_1\le U_{mn+j}<v1, u_2\le U_{mn+j+1}<v_2, \ldots, u_k\le U_{mn+j+k-1}<v_k)=(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)
$$
PRI LYUBOM VYBORE DEJSTVITELXNYH CHISEL~$u_r$, $v_r$, TAKIH, CHTO~$0\le
u_r<v_r\le 1$, PRI~$1\le r \le k$ I DLYA VSEH CELYH~$j$, TAKIH, CHTO~$0\le j < m$.

v CHASTNOM SLUCHAE~$m=1$ IZ OPREDELENIYA~E SLEDUET,
CHTO~$\<U_n>$---$k\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX; KOGDA~$m=2$,
|TO ZNACHIT, CHTO GRUPPY IZ $k$~|LEMENTOV, NACHINAYUSHCHIESYA S |LEMENTA S CHETNYM
NOMEROM, DOLZHNY IMETX TAKUYU ZHE PLOTNOSTX, KAK I NACHINAYUSHCHIESYA S NECHETNOGO
NOMERA, I T.~D.

%% 167

nEKOTORYE SVOJSTVA POSLEDOVATELXNOSTEJ, UDOVLETVORYAYUSHCHIH OPREDELENIYU~E, OCHEVIDNY:
$$
\eqalignno{
 &(m, k)\hbox{-RASPREDELENNAYA POSLEDOVATELXNOSTX } (m, \kappa)\hbox{-RASPREDELENA PRI } 1\le \kappa \le k.  & (12)\cr
 &(m, k)\hbox{-RASPREDELENNAYA POSLEDOVATELXNOSTX }(d, k)\hbox{-RASPREDELENA DLYA VSEH DELITELEJ~$d$ CHISLA~$m$.} & (13)\cr
}
$$

aNALOGICHNO TOMU, KAK |TO SDELANO VYSHE (OPREDELENIE~D), MOZHNO OPREDELITX
PONYATIE $(m, k)\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ $b\hbox{-ICHNOJ}$ POSLEDOVATELXNOSTI.
dOKAZATELXSTVO TEOREMY~A PRI |TOM OSTAETSYA V SILE I DLYA $(m, k)\hbox{-RASPREDELENNYH}$
POSLEDOVATELXNOSTEJ.

iZ SLEDUYUSHCHEJ TEOREMY, VO MNOGIH OTNOSHENIYAH UDIVITELXNOJ, VYTEKAET, CHTO
SVOJSTVO $\infty\hbox{-RASPREDELENNOSTI}$ YAVLYAETSYA GORAZDO BOLEE SILXNYM,
CHEM MY MOGLI PREDPOLAGATX, VVODYA |TO OPREDELENIE.

\proclaim tEOREMA~C. (a. nIVEN I X. cUKERMAN.)
$\infty\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX YAVLYAETSYA
$(m, k)\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ DLYA LYUBYH POLOZHITELXNYH CELYH~$m$ I~$k$.

\proof dOSTATOCHNO DOKAZATX TEOREMU DLYA $b\hbox{-ICHNYH}$
POSLEDOVATELXNOSTEJ, S POMOSHCHXYU TOLXKO CHTO UPOMYANUTOGO OBOBSHCHENIYA TEOREMY~A.
bOLEE TOGO, MOZHNO SCHITATX, CHTO $m=k$, POSKOLXKU, VSLEDSTVIE
UTVERZHDENIJ~\eqref[12] I~\eqref[13], POSLEDOVATELXNOSTX YAVLYAETSYA
$(m, k)\hbox{-RASPREDELENNOJ}$, ESLI ONA $(mk, mk)\hbox{-RASPREDELENA}$.

tAKIM OBRAZOM, MY DOKAZHEM, CHTO \emph{LYUBAYA $\infty\hbox{-RASPREDELENNAYA}$
$b\hbox{-ICHNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX $X_0$, $X_1$,~\dots{}
$(m, m)\hbox{-RASPREDELENA}$ DLYA VSEH CELYH POLOZHITELXNYH~$m$.} pRIVEDEM
UPROSHCHENNYJ VARIANT DOKAZATELXSTVA, OPUBLIKOVANNOGO nIVENOM I cUKERMANOM
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 1} (1951), 103--109).

dOKAZATELXSTVO TEOREMY OSNOVANO NA VAZHNOJ IDEE, ISPOLXZUEMOJ VO MNOGIH
MATEMATICHESKIH RASSUZHDENIYAH: "eSLI ZNACHENIYA SUMMY $m$~VELICHIN I SUMMY IH
KVADRATOV NE PROTIVORECHAT GIPOTEZE O TOM, CHTO |TI $m$~VELICHIN RAVNY, TO
|TA GIPOTEZA VERNA". sILXNUYU FORMU |TOGO PRINCIPA DAET

\proclaim lEMMA~E. pUSTX ZADANY $m$~POSLEDOVATELXNOSTEJ CHISEL
$\<y_{jn}>=y_{j0}$, $y_{j1}$, $y_{j2}$,~\dots, GDE~$1\le j \le m$.
pREDPOLOZHIM, CHTO
\EQ[14]{
 \eqalign{
  \lim_{n\to\infty} (y_{1n}+y_{2n}+\cdots+y_{mn}) &= m\alpha,\cr
  \lim_{n\to\infty} \sup (y_{1n}^2+y_{2n}^2+\cdots+y_{mn}^2)&\le m\alpha^2.\cr
 }
}
tOGDA DLYA KAZHDOGO~$j$ SUSHCHESTVUET~$\lim_{n\to\infty} y_{jn}$, I ON RAVEN~$\alpha$.

nEOBYCHAJNO PROSTOE DOKAZATELXSTVO |TOJ LEMMY DANO V UPR.~9.\endmark
%% 168

tEPERX PRODOLZHIM DOKAZATELXSTVO TEOREMY~C. pUSTX $x=x_1x_2\ldots{}x_m$
ESTX $b\hbox{-ICHNOE}$ CHISLO. bUDEM GOVORITX, CHTO $x$~\emph{POYAVLYAETSYA} NA
$p\hbox{-M}$~MESTE POSLEDOVATELXNOSTI,
ESLI~$X_{p-m+1}X_{p-m+2}\ldots{}X_p=x$. pUSTX $\nu_j(n)$~OBOZNACHAET CHISLO
POYAVLENIJ~$x$ NA $p\hbox{-M}$~MESTE PRI USLOVII, CHTO~$p<n$ I~$p\bmod m=j$.
pUSTX~$y_{jn}=\nu_j(n)/n$. mY HOTIM POKAZATX, CHTO
\EQ[15]{
 \lim_{n\to\infty} y_{jn} = 1/mb^m.
}

pREZHDE VSEGO ZAMETIM, CHTO
\EQ[16]{
\lim_{n\to\infty}(y_{0n}+y_{1n}+\cdots+y_{(m-1)n})=1/b^m,
}
POSKOLXKU POSLEDOVATELXNOSTX $m\hbox{-RASPREDELENA}$. iSPOLXZUYA LEMMU~E I
SOOTNOSHENIE~\eqref[16], MY DOKAZHEM TEOREMU, ESLI SUMEEM POKAZATX, CHTO
\EQ[17]{
 \lim_{n\to\infty} \sup (y_{0n}^2+y_{1n}^2+\cdots+y_{(m-1)n}^2)\le 1/mb^{2m}.
}

eTO NERAVENSTVO NE OCHEVIDNO, I, CHTOBY DOKAZATX EGO SPRAVEDLIVOSTX,
NEOBHODIMO PROVESTI DOVOLXNO TONKIE PREOBRAZOVANIYA. pUSTX~$q$ KRATNO~$m$;
RASSMOTRIM VYRAZHENIE
\EQ[18]{
 C(n)=\sum_{0\le j < m} \perm{\nu_j(n)-\nu_j(n-q)}{2}.
}
eTO CHISLO PAR POYAVLENIJ~$x$ NA MESTAH~$p_1$, $p_2$ PRI USLOVII~$n-q\le p_1 < p_2 < n$
S~$p_2-p_1$, KRATNYM~$m$. tEPERX RASSMOTRIM SUMMU
\EQ[19]{
 S_N=\sum_{1\le n \le N+q} C(n)
}
pRI VYCHISLENII~$S_N$ KAZHDAYA PARA POYAVLENIJ~$x$ NA MESTAH~$p_1$, $p_2$ PRI
USLOVII~$p_1<p_2<p_1+q$ S~$p_2-p_1$, KRATNYM~$m$, I S~$p_1\le N$
UCHITYVAETSYA~$p_1+q-p_2$ RAZ (IMENNO, KOGDA~$p_2<n\le p_1+q$), I PARY TAKIH
POYAVLENIJ S~$N<p_1<p_2<N+q$ SCHITAYUTSYA $N+q-p_2$~RAZ.

pUSTX~$d_t(n)$ ESTX CHISLO PAR POYAVLENIJ~$x$ NA MESTAH~$p_1$, $p_2$
PRI USLOVII~$p_1+t=p_2<n$. iZ RASSUZHDENII, PRIVEDENNYH VYSHE, IMEEM
\EQ[20]{
 \sum_{0<t<q/m} (q-mt)d_{mt}(N+q)\ge S_n \ge \sum_{0<t<q/m}(q-mt)d_{mt}(N).
}
pERVONACHALXNAYA POSLEDOVATELXNOSTX $q\hbox{-RASPREDELENA}$, SLEDOVATELXNO,
\EQ[21]{
 \lim_{N\to\infty}{1\over N}d_{mt}(N)=1/b^{2m}
}
%% 169
DLYA VSEH~$0<t<q/m$, I PO|TOMU IZ~\eqref[20] VYTEKAET
\EQ[22]{
 \lim_{N\to\infty}{S_N\over N}=\sum_{0<t<q/m}(q-mt)/b^{2m}=q(q-m)/2mb^{2m}.
}
oTSYUDA, POSLE NEKOTORYH PREOBRAZOVANIJ, UBEDIMSYA V SPRAVEDLIVOSTI TEOREMY.

pO OPREDELENIYU
$$
2S_N=\sum_{1\le n \le N+q}\sum_{0\le j <m} ((\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2-(\nu_j(n)-\nu_j(n-q))),
$$
I ESLI MY USTRANIM CHLENY, NE VOZVEDENNYE V KVADRAT, TO, ISPOLXZUYA~\eqref[16],
POLUCHIM
\EQ[23]{
 \lim_{N\to\infty}{T_N\over N}=q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m,
}
GDE
$$
T_N=\sum_{1\le n \le N+q} \sum_{0\le j <m} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2.
$$

pO NERAVENSTVU
$$
{1\over r}\left(\sum_{1\le j \le r} a_j\right)^2\le \sum_{1\le j \le r} a_j^2
$$
(SR. S UPR.~1.2.3-30) POLUCHAEM, CHTO
\EQ[24]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m}{1\over N(N+q)}
 \left(\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\right)^2\le q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m.
}
iMEEM TAKZHE
$$
q\nu_j(N)\le \sum_{N<n\le N+q} \nu_j(n)=\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\le q\nu_j(N+q)
$$
I, PODSTAVLYAYA |TO V~\eqref[24], POLUCHAEM
\EQ[25]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m} (\nu_j(N)/N)^2 \le (q-m)/qmb^{2m}+1/qb^m.
}
mY DOKAZALI SPRAVEDLIVOSTX |TOJ FORMULY DLYA SLUCHAYA~$q$, KRATNOGO~$m$, I
ESLI TEPERX USTREMITX~$q\to\infty$, POLUCHIM~\eqref[17], TEM SAMYM ZAVERSHIV
DOKAZATELXSTVO.

vOZMOZHNO, CHTO DOKAZATELXSTVO, PRIVEDENNOE V STATXE dZH.~kASSELSA
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 2} (1952), 555--557), PROSHCHE.
\proofend

nETRIVIALXNOSTX |TOJ TEOREMY VIDNA IZ UPR.~29 I~30. iZ NIH ZHE SLEDUET TOT
FAKT, CHTO, KAK POKAZANO V~\eqref[25], VEROYATNOSTI, SVYAZANNYE S
$q\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ POSLEDOVATELXNOSTXYU, OTLICHAYUTSYA OT VEROYATNOSTEJ,
SVYAZANNYH S $(m, m)\hbox{-RASPREDELENNOJ}$, NE BOLEE
%% 170
CHEM NA VELICHINU PORYADKA~$1/\sqrt{q}$. dLYA SPRAVEDLIVOSTI
TEOREMY NEOBHODIMO NEOSLABLENNOE PREDPOLOZHENIE O $\infty\hbox{-RASPREDELENNOSTI}$.

kAK SLEDSTVIE TEOREMY~C MOZHNO DOKAZATX, CHTO
$\infty\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX UDOVLETVORYAET PROVERKE
SERIJ, TESTU "NAIBOLXSHEE IZ~$t$" I PROVERKE PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ,
UPOMYANUTYM V P.~3.3.2. nETRUDNO POKAZATX, CHTO UDOVLETVORYAYUTSYA
TAKZHE PROVERKA INTERVALOV, POKER-TEST (PROVERKA KOMBINACIJ) I PROVERKA NA
MONOTONNOSTX (SM.\ UPR.~S~12 PO~14). pROVERITX TEST SOBIRATELYA KUPONOV
TRUDNEE, ODNAKO ON TAKZHE UDOVLETVORYAETSYA (SM.\  UPR.~15 I~16).

sLEDUYUSHCHAYA TEOREMA GARANTIRUET SUSHCHESTVOVANIE OTNOSITELXNO PROSTYH
$\infty\hbox{-RASPREDELENNYH}$ POSLEDOVATELXNOSTEJ.

\proclaim tEOREMA~F. (dZH. fR|NKLIN.) pOSLEDOVATELXNOSTX $U_0$, $U_1$,~\dots{}
NA~$[0, 1)$, GDE
\EQ[26]{
 U_n=(\theta^n \bmod 1),
}
$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$ DLYA POCHTI VSEH DEJSTVITELXNYH
CHISEL~$\theta>1$. dRUGIMI SLOVAMI, MNOZHESTVO
$$
\{\, \theta \mid \theta>1
\hbox{ I POSLEDOVATELXNOSTX~\eqref[26] NE $\infty\hbox{-RASPREDELENA}$}
\,\}
$$
IMEET MERU NULX.

dOKAZATELXSTVA |TOJ TEOREMY I NEKOTORYH EE OBOBSHCHENIJ PRIVEDENY V
UPOMINAEMOJ NIZHE STATXE fR|NKLINA.\endmark

fR|NKLIN POKAZAL, CHTO DLYA TOGO, CHTOBY POSLEDOVATELXNOSTX~\eqref[26] BYLA
$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$, $\theta$~DOLZHNO BYTX TRANSCENDENTNYM
CHISLOM. hOTYA IZVESTNO, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX~\eqref[26]
$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$ DLYA \emph{POCHTI VSEH} CHISEL~$\theta$, MY NE
ZNAEM \emph{NI ODNOGO} KONKRETNOGO~$\theta$, DLYA KOTOROGO |TO SPRAVEDLIVO.
s POMOSHCHXYU TRUDOEMKIH VYCHISLENIJ S MNOGOKRATNO UVELICHENNOJ TOCHNOSTXYU BYLI
POLUCHENY STEPENI~$(\pi^n \bmod 1)$ PRI~$n\le 10\,000$. sTARSHIE 35~BITOV
KAZHDOGO IZ |TIH CHISEL BYLI ZAPISANY NA DISK I USPESHNO ISPOLXZOVALISX KAK
ISTOCHNIK SLUCHAJNYH CHISEL. iNTERESNO, CHTO HOTYA IZ TEOREMY~F SLEDUET, CHTO
VEROYATNOSTX TOGO, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX STEPENEJ~$(\pi^n \bmod 1)$
$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$, RAVNA~$1$, ODNAKO, POSKOLXKU MNOZHESTVO
DEJSTVITELXNYH CHISEL NESCHETNO, MY NE MOZHEM IZ |TOGO ZAKLYUCHITX, CHTO ONA
$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$. mOZHNO BYTX UVERENNYM V TOM, CHTO V TECHENIE
NASHEJ ZHIZNI NIKTO NE \emph{DOKAZHET,} CHTO |TA POSLEDOVATELXNOSTX
\emph{NE} YAVLYAETSYA $\infty\hbox{-RASPREDELENNOJ}$, ODNAKO, VOZMOZHNO, TAK
ONO I ESTX NA SAMOM DELE. v SVYAZI S IZLOZHENNYM VOZNIKAET VOPROS O TOM,
SUSHCHESTVUET LI $\infty\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX, KOTORUYU
MOZHNO VYPISATX V \emph{YAVNOM} VIDE; INYMI SLOVAMI, \emph{SUSHCHESTVUET LI
ALGORITM, PO KOTOROMU DLYA VSEH~$n\ge 0$ MOZHNO VYCHISLITX DEJSTVITELXNYE
CHISLA~$U_n$, TAK CHTO POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ BUDET
$\infty\hbox{-RASPREDELENNOJ}$?} oKAZYVAETSYA, TAKOJ ALGORITM SUSHCHESTVUET,
CHTO VIDNO, NAPRIMER, IZ STATXI AVTORA "Construction
%% 171
\bye