\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=0
\subchap{pozicionnye sistemy schisleniya} %%4.1
tO, KAKIM OBRAZOM MY VYPOLNYAEM ARIFMETICHESKIE DEJSTVIYA, TESNO SVYAZANO S
TEM, KAKIM OBRAZOM MY PREDSTAVLYAEM CHISLA, S KOTORYMI RABOTAEM; PO|TOMU
NASHE IZUCHENIE ARIFMETIKI ESTESTVENNO NACHATX S OBSUZHDENIYA PRINCIPIALXNYH
SPOSOBOV PREDSTAVLENIYA CHISEL.

pOZICIONNOE PREDSTAVLENIE S \emph{OSNOVANIEM} (ILI \emph{PO OSNOVANIYU})
$b$ OPREDELYAETSYA PRAVILOM
\EQ[1]{
(\ldots{}a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots)_b=\ldots+a_3b^3+a_2b^2+a_1b^1+a_0+a_{-1}b^{-1}+a_{-2}b^{-2}+\ldots;
}
NAPRIMER, $(530.3)_6=5\cdot6^2+2\cdot6^1+0+3\cdot6^{-1}=192{1\over2}$.
nASHA TRADICIONNAYA DESYATICHNAYA SISTEMA SCHISLENIYA---|TO, RAZUMEETSYA,
TOT CHASTNYJ SLUCHAJ, KOGDA $b$~RAVNO DESYATI I KOGDA ZNACHENIYA~$a$
VYBIRAYUTSYA IZ "DESYATICHNYH CIFR"~$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$,
$8$, $9$; V |TOM SLUCHAE INDEKS~$b$ V~\eqref[1] MOZHNO OPUSKATX.

pROSTEJSHEE OBOBSHCHENIE DESYATICHNOJ SISTEMY SCHISLENIYA POLUCHAETSYA, KOGDA V
KACHESTVE~$b$ BERUT LYUBOE CELOE CHISLO, BOLXSHEE EDINICY, I CHISLA~$a$---|TO
CELYE CHISLA IZ INTERVALA~$0\le a_k<b$. tAK POLUCHAYUTSYA STANDARTNYE
DVOICHNAYA~($b=2$), TROICHNAYA~($b=3$), CHETVERICHNAYA~($b=4$),
PYATERICHNAYA~($b=5$),~\dots{} SISTEMY SCHISLENIYA. bOLEE OBSHCHO, V KACHESTVE~$b$
MOZHNO BYLO BY VZYATX PROIZVOLXNOE CHISLO, A CHISLA~$a$ VYBIRATX IZ
PROIZVOLXNOGO ZARANEE ZADANNOGO MNOZHESTVA CHISEL; KAK MY UVIDIM, |TO
PRIVODIT K NEKOTORYM INTERESNYM SITUACIYAM.

tOCHKA, STOYASHCHAYA MEZHDU~$a_0$ I~$a_{-1}$ V~\eqref[1], NAZYVAETSYA
\emph{POZICIONNOJ} (ILI \emph{RAZDELITELXNOJ}) TOCHKOJ. (v SLUCHAE~$b=10$
EE NAZYVAYUT TAKZHE DESYATICHNOJ TOCHKOJ, V SLUCHAE~$b=2$---DVOICHNOJ TOCHKOJ
I~T.~D.) v EVROPEJSKIH STRANAH\note{1}%
{kROME aNGLII.---{\sl pRIM. PEREV.\/}} VMESTO POZICIONNOJ TOCHKI
CHASTO ISPOLXZUYUT ZAPYATUYU\note{2}%
{tOCHKA VMESTO ZAPYATOJ POSTEPENNO VHODIT V UPOTREBLENIE I U NAS V SVYAZI S
RASPROSTRANENIEM ALGORITMICHESKIH YAZYKOV PROGRAMMIROVANIYA
"ANGLOSAKSKOGO PROISHOZHDENIYA" TIPA algol, fortran ILI pl/1.---{\sl pRIM. PEREV.\/}}.

chISLA~$a$ V~\eqref[1] NAZYVAYUT \emph{CIFRAMI} PREDSTAVLENIYA. cIFRU~$a_k$ S
B\'OLXSHIM~$k$ NAZYVAYUT "BOLEE ZNACHIMOJ", CHEM CIFRU~$a_k$  S MENXSHIM~$k$;
SOOTVETSTVENNO SAMUYU LEVUYU (\emph{VEDUSHCHUYU}, ILI \emph{GOLOVNUYU}) CIFRU
NAZYVAYUT \emph{NAIBOLEE ZNACHIMOJ CIFROJ,} A SAMUYU PRAVUYU (\emph{HVOSTOVUYU})---%
%% 202
\emph{NAIMENEE ZNACHIMOJ}. v STANDARTNOJ DVOICHNOJ SISTEME DVOICHNYE
CIFRY CHASTO NAZYVAYUT \emph{BITAMI}. v STANDARTNOJ SHESTNADCATERICHNOJ
SISTEME (S OSNOVANIEM SHESTNADCATX) SHESTNADCATERICHNYE CIFRY OT NULYA DO
PYATNADCATI OBOZNACHAYUT OBYCHNO TAK:
\EQ{
 |0|, |1|, |2|, |3|, |4|, |5|, |6|, |7|, |8|, |9|, |A|, |B|, |C|, |D|, |E|, |F|.
}

iSTORIYA RAZVITIYA SPOSOBOV PREDSTAVLENIYA CHISEL---|TO UVLEKATELXNEJSHAYA POVESTX,
DEJSTVIE KOTOROJ PROISHODIT PARALLELXNO S RAZVITIEM SAMOJ CIVILIZACII.
rASSMATRIVAYA, ODNAKO, |TU ISTORIYU VO VSEH PODROBNOSTYAH, MY NEDOPUSTIMO
DALEKO OTOSHLI BY OT NASHEJ GLAVNOJ TEMY; TEM NE MENEE BUDET POLEZNO DATX
NABROSOK OSNOVNYH EE MOMENTOV.

nAIBOLEE RANNIE SPOSOBY PREDSTAVLENIJ CHISEL, KOTORYE DO SIH POR MOZHNO
NABLYUDATX V PRIMITIVNYH CIVILIZACIYAH, OSNOVANY NA ISPOLXZOVANII GRUPP
PALXCEV ILI KUCHEK KAMNEJ I~T.~P., OBYCHNO S DOPOLNITELXNYMI SOGLASHENIYAMI
OTNOSITELXNO ZAMENY NEKOTOROJ BOLXSHOJ KUCHKI ILI GRUPPY, SKAZHEM IZ PYATI ILI
DESYATI OB®EKTOV, ODNIM OB®EKTOM SPECIALXNOGO VIDA ILI RASPOLOZHENNYM V
SPECIALXNOM MESTE. pODOBNYE SISTEMY ESTESTVENNO PRIVODYAT K NAIBOLEE RANNIM
SPOSOBAM PREDSTAVLENIYA CHISEL V PISXMENNOJ FORME, TAKIM, KAK EGIPETSKIE,
VAVILONSKIE, GRECHESKIE\note{1}%
{k GRECHESKOJ CHISLOVOJ SISTEME VOSHODYAT I STAROSLAVYANSKIE
CHISLOVYE OBOZNACHENIYA, ISPOLXZOVAVSHIESYA GLAVNYM OBRAZOM V HRONOLOGICHESKIH
CELYAH.---{\sl pRIM. PEREV.\/}},
KITAJSKIE I RIMSKIE CHISLA, NO |TI OBOZNACHENIYA CHREZVYCHAJNO NEUDOBNY DLYA
VYPOLNENIYA ARIFMETICHESKIH DEJSTVIJ, ZA ISKLYUCHENIEM PROSTEJSHIH SLUCHAEV.

pROVODIVSHIESYA ISTORIKAMI MATEMATIKI V DVADCATOM STOLETII SHIROKIE
ISSLEDOVANIYA DREVNIH KLINOPISNYH TABLICHEK, NAJDENNYH ARHEOLOGAMI NA
bLIZHNEM vOSTOKE, POKAZALI, CHTO VAVILONYANE PRIMENYALI V DEJSTVITELXNOSTI DVE
RAZLICHNYE SISTEMY PREDSTAVLENIYA CHISEL. chISLA, ISPOLXZOVAVSHIESYA DLYA
POVSEDNEVNYH DELOVYH ZAMETOK, ZAPISYVALISX PRI POMOSHCHI OBOZNACHENIJ
OSNOVANNYH NA GRUPPIROVANII PO DESYATKAM, SOTNYAM I~T.~D., UNASLEDOVANNYH OT
BOLEE RANNIH CIVILIZACIJ mESOPOTAMII; BOLXSHIE CHISLA TREBOVALISX ZDESX
REDKO. kOGDA ZHE VAVILONSKIM MATEMATIKAM PRIHODILOSX RASSMATRIVATX BOLEE
TRUDNYE MATEMATICHESKIE ZADACHI, ONI SHIROKO PRIMENYALI SHESTIDESYATERICHNUYU
POZICIONNUYU SISTEMU SCHISLENIYA (PO OSNOVANIYU SHESTXDESYAT), KOTORAYA BYLA
HOROSHO RAZVITA UZHE KO VREMENI NE POZDNEE 1750~G.\ DO~N.~|. eTA CHISLOVAYA
SISTEMA BYLA UNIKALXNOJ V TOM OTNOSHENII, CHTO ONA BYLA FAKTICHESKI FORMOJ
PREDSTAVLENIYA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ S OPUSHCHENNYM POKAZATELEM; NUZHNYJ
MASSHTABNYJ MNOZHITELX, T.~E.\ STEPENX SHESTIDESYATI, SLEDOVALO OPREDELYATX
IZ KONTEKSTA TAK CHTO NAPRIMER, VSE CHISLA IZ SPISKA $2$, $120$, $7200$,
$1/30$ I~T.~D.\ ZAPISYVALISX
%% 203
ODINAKOVYM OBRAZOM. eTA SISTEMA BYLA V OSOBENNOSTI UDOBNA DLYA
VYPOLNENIYA UMNOZHENIYA I DELENIYA PRI POMOSHCHI VSPOMOGATELXNYH TABLIC, TAK
KAK VYRAVNIVANIE PORYADKOV NIKAK NE VLIYALO NA OTVET; TA ZHE IDEYA REALIZOVANA
NYNE V LOGARIFMICHESKOJ LINEJKE. pRIMERAMI |TOJ VAVILONSKOJ SISTEMY
ZAPISI MOGUT SLUZHITX SLEDUYUSHCHIE IZVLECHENIYA IZ DREVNIH TABLIC:
KVADRAT~$30$ ESTX~$15$ (CHTO MOZHNO PROCHITATX TAKZHE KAK "KVADRAT~$1/2$ RAVEN~$1/4$");
CHISLO, OBRATNOE K~$81=(1\ 21)_{60}$, RAVNO~$(44\ 26\ 40)_{60}$; KVADRAT
|TOGO POSLEDNEGO CHISLA RAVEN~$(32\ 55\ 18\ 31\ 6\ 40)_{60}$. u VAVILONYAN
BYL OSOBYJ SIMVOL DLYA NULYA, NO IZ-ZA IH IDEOLOGII PLAVAYUSHCHEJ TOCHKI NULX
ISPOLXZOVALSYA TOLXKO VNUTRI CHISEL I NIKOGDA V KRAJNEJ PRAVOJ POZICII DLYA
OBOZNACHENIYA MASSHTABA. oB INTERESNOJ ISTORII RAZVITIYA RANNEJ VAVILONSKOJ
MATEMATIKI MOZHNO PROCHITATX U o.~nOJGEBAU|RA [The exact sciences in
antiquity, Princeton University Press, 1952] I b.~l.~vAN~DER~vARDENA
[pROBUZHDAYUSHCHAYASYA NAUKA, fIZMATGIZ, 1959].

pOZICIONNOE PREDSTAVLENIE CHISEL S FIKSIROVANNOJ TOCHKOJ, VO-VIDNMOMU,
VPERVYE BYLO RAZVITO INDEJCAMI PLEMENI MAJYA V cENTRALXNOJ aMERIKE OKOLO
2000~LET TOMU NAZAD; IH SISTEMA SCHISLENIYA S OSNOVANIEM~$20$ BYLA
DOSTATOCHNO VYSOKORAZVITA, OSOBENNO V OTNOSHENII ZAPISI ASTRONOMICHESKIH
FAKTOV I KALENDARNYH DAT. oDNAKO ISPANSKIE ZAVOEVATELI UNICHTOZHILI POCHTI
VSE ISTORICHESKIE I NAUCHNYE TEKSTY MAJYA, PO|TOMU MY NE ZNAEM, NASKOLXKO
DALEKO PRODVINULISX ONI V ARIFMETIKE; NAJDENY NEKOTORYE TABLICY
UMNOZHENIYA SPECIALXNOGO NAZNACHENIYA, NO NEIZVESTNO NIKAKIH PRIMEROV DELENIYA
[SM.\ J.~Eric~S.~Thompson, {\sl Contributions to Amer. Antropology and History,\/}
Carnegie Inst.\ of Washington, {\bf 7}  (1942), 37--62].

zA NESKOLXKO VEKOV DO NOVOJ |RY GREKI PRIMENYALI DLYA SVOIH ARIFMETICHESKIH
VYCHISLENIJ RANNYUYU RAZNOVIDNOSTX ABAKI, V KOTOROJ ISPOLXZOVALISX PESOK
I/ILI GALXKA NA DOSKE, IMEVSHEJ RYADY ILI STOLBCY, ESTESTVENNYM OBRAZOM
SOOTVETSTVOVAVSHIE NASHEJ DESYATICHNOJ SISTEME. nAM, VOZMOZHNO, POKAZHETSYA
UDIVITELXNYM, CHTO TOT ZHE SAMYJ POZICIONNYJ PRINCIP NE BYL PRIMENEN IMI DLYA
ZAPISI CHISEL---VEDX MY TAK PRIVYKLI PROVODITX RASCHETY V DESYATICHNOJ SISTEME
PRI POMOSHCHI KARANDASHA I BUMAGI; NO BOLXSHAYA LEGKOSTX VYCHISLENIJ NA ABAKE
(PISATX TOGDA UMELI NE VSE, I, KROME TOGO, VYCHISLENIYA NA ABAKE DELALI
NENUZHNYM ZAPOMINANIE TABLIC SLOZHENIYA I UMNOZHENIYA) PRIVELA, VEROYATNO,
GREKOV K UBEZHDENIYU, CHTO NELEPO DAZHE PREDPOLAGATX, CHTO VYCHISLENIYA MOZHNO
UDOBNEE PROVODITX, "CARAPAYA NA BUMAGE". v TO ZHE VREMYA GRECHESKIE ASTRONOMY
ISPOLXZOVALI DLYA ZAPISI DROBEJ SHESTIDESYATERICHNUYU POZICIONNUYU SISTEMU
SCHISLENIYA, CHEMU ONI NAUCHILISX U VAVILONYAN.

nASHA DESYATICHNAYA SISTEMA, OTLICHAYUSHCHAYASYA OT BOLEE DREVNIH FORM V PERVUYU
OCHEREDX NALICHIEM POZICIONNOJ TOCHKI VMESTE
%% 204
S SIMVOLOM NULX DLYA OBOZNACHENIYA PUSTOJ POZICII, VPERVYE POYAVILASX U
INDUSOV. tOCHNAYA DATA VOZNIKNOVENIYA |TOJ SISTEMY NEIZVESTNA; ESTX
OSNOVANIYA PREDPOLAGATX, CHTO |TO PROIZOSHLO PRIMERNO V 6~V.~N.~|.
iNDIJSKAYA NAUKA TOGO VREMENI, OSOBENNO ASTRONOMIYA, OTLICHALASX VESXMA
VYSOKIM UROVNEM. v NAIBOLEE RANNIH IZ DOSHEDSHIH DO NAS INDIJSKIH RUKOPISEJ,
ISPOLXZOVAVSHIH |TU SISTEMU SCHISLENIYA, CHISLA ZAPISYVAYUTSYA V OBRATNOM
PORYADKE (S NAIBOLEE ZNACHIMOJ CIFROJ SPRAVA), NO VSKORE STALO PRAVILOM
RASPOLAGATX NAIBOLEE ZNACHIMUYU CIFRU SLEVA.

oKOLO 750~G.~N.~|.\ INDUSSKIE PRINCIPY DESYATICHNOJ ARIFMETIKI
RASPROSTRANILISX V pERSII, KOGDA NA ARABSKIJ YAZYK BYLO PEREVEDENO
NESKOLXKO VAZHNYH RABOT; YARKAYA KARTINA |TOGO PERIODA DANA V ODNOJ
DREVNEEVREJSKOJ RUKOPISI, PEREVOD KOTOROJ NA ANGLIJSKIJ OPUBLIKOVAN V
ZHURNALE {\sl AMM\/} [{\bf 15}, (1918), 99--108]. vSKORE POSLE |TOGO
ALX-hOREZMI NAPISAL NA ARABSKOM SVOE RUKOVODSTVO PO |TOMU PREDMETU. (kAK
OTMECHALOSX V GL.~1, OT EGO IMENI PROIZOSHLO NASHE SLOVO "ALGORITM".) kNIGA
ALX-hOREZMI BYLA PEREVEDENA NA LATYNX I OKAZALA SILXNOE VLIYANIE NA
lEONARDO pIZANSKOGO (fIBONACHCHI), CHXYA KNIGA PO ARIFMETIKE (1202~G.) V
SVOYU OCHEREDX SYGRALA RESHAYUSHCHUYU ROLX V RASPROSTRANENII INDO-ARABSKIH CHISEL V
eVROPE. iNTERESNO OTMETITX, CHTO V REZULXTATE |TIH DVUH PEREVODOV---S
SANSKRITA NA ARABSKIJ I S ARABSKOGO NA LATYNX---PORYADOK NAPISANIYA CHISEL
(SLEVA NAPRAVO) NE IZMENILSYA, HOTYA ARABY PISHUT SPRAVA NALEVO, A INDUSY I
EVROPEJCY SLEVA NAPRAVO. pODROBNOE OPISANIE POSLEDUYUSHCHEGO PROCESSA
RASPROSTRANENIYA DESYATICHNYH OBOZNACHENIJ I ARIFMETIKI PO VSEJ eVROPE V
PERIOD S~1200 PO~1600~G.\ DANO V KNIGE [David Eugene Smith, History of
mathematics, {\bf 1}, Boston, Gihn and Co., 1923], GL.~6 I~8.

dESYATICHNAYA SISTEMA SCHISLENIYA PRIMENYALASX VNACHALE TOLXKO K CELYM CHISLAM, A
DLYA DROBEJ NE ISPOLXZOVALASX. aRABSKIE ASTRONOMY, KOTORYM PRIHODILOSX
RABOTATX S DROBYAMI PRI SOSTAVLENII KART ZVEZDNOGO NEBA I DRUGIH TABLIC,
PRODOLZHALI POLXZOVATXSYA OBOZNACHENIYAMI pTOLEMEYA (ZNAMENITOGO GRECHESKOGO
ASTRONOMA), OSNOVANNYMI NA SHESTIDESYATERICHNYH DROBYAH. eTA SISTEMA DOZHILA
DO NASHIH DNEJ V NASHIH EDINICAH UGLOV ("GRADUSY, MINUTY I SEKUNDY"), A
TAKZHE V EDINICAH VREMENI---RUDIMENTAH PERVONACHALXNOJ SHESTIDESYATERICHNOJ
SISTEMY VAVILONYAN. pERVYE EVROPEJSKIE MATEMATIKI, KOGDA IM PRIHODILOSX
IMETX DELO S NECELYMI CHISLAMI, TAKZHE POLXZOVALISX
SHESTIDESYATERICHNYMI DROBYAMI; fIBONACHCHI, NAPRIMER, PRIVODIL V KACHESTVE
PRIBLIZHENNOGO KORNYA URAVNENIYA~$x^3+2x^2+10x=20$ ZNACHENIE
\EQ{
 1^{\circ}\, 22'\, 7''\, 42'''\, 33^{IV}\, 4^V\, 40^{VI}.
}

iSPOLXZOVANIE DESYATICHNYH OBOZNACHENIJ DLYA DESYATYH, SOTYH I~T.~D.\ KAZHETSYA
SRAVNITELXNO NEBOLXSHIM PRODVIZHENIEM, NO, KONECHNO, RAZRYV S TRADICIEJ
VSEGDA TRUDEN, A KROME TOGO, SHESTIDESYATERICHNYE
%% 205
DROBI IMEYUT PREIMUSHCHESTVO PERED DESYATICHNYMI V TOM, CHTO TAKIE
CHISLA, KAK~$1/3$, DOPUSKAYUT TOCHNUYU ZAPISX V PROSTOM VIDE.

pERVYMI, KTO STAL RABOTATX S VELICHINAMI, |KVIVALENTNYMI DESYATICHNYM DROBYAM,
BYLI KITAJSKIE MATEMATIKI (KOTORYE NIKOGDA NE POLXZOVALISX
SHESTIDESYATERICHNOJ SISTEMOJ), HOTYA IH CHISLOVAYA SISTEMA (BEZ NULYA) I NE BYLA
PERVONACHALXNO POZICIONNOJ SISTEMOJ V STROGOM SMYSLE SLOVA. kITAJSKIE
EDINICY VESOV I MER BYLI DESYATICHNYMI, TAK CHTO cZU chUN-CHZHI (UMER OKOLO 500~G.)
SMOG VYRAZITX PRIBLIZHENIE CHISLA~$\pi$ KAK "$3$~CHANA, $1$~CHZHI,
$5$~CUNYA, $1$~F|N, $5$~LI, $9$~HAO, $2$~MYAO, $7$~HU". zDESX CHAN,~\dots,
HU---EDINICY DLINY; $1$~HU (DIAMETR SHELKOVOJ NITI) RAVEN $1/10$~MYAO
I~T.~D. iSPOLXZOVANIE TAKIH POHOZHIH NA DESYATICHNYE DROBEJ POLUCHILO DOVOLXNO
SHIROKOE RASPROSTRANENIE V kITAE NACHINAYA PRIMERNO S 1250~G. v ISTINNO
POZICIONNOJ SISTEME DESYATICHNYE DROBI VPERVYE POYAVLYAYUTSYA V TRAKTATE PO
ARIFMETIKE, NAPISANNOM V dAMASKE NEIZVESTNYM MATEMATIKOM, PODPISAVSHIMSYA
"ALX-uKLIDISI" ("eVKLIDOV"). oN VVEL SIMVOL~${}'$ DLYA OBOZNACHENIYA
DESYATICHNOJ TOCHKI I UKAZAL VYRAZHENIYA DLYA NEKOTORYH DROBEJ I
PRIBLIZHENNYH KVADRATNYH I KUBICHESKIH KORNEJ; NO ON NE PONYAL, CHTO CELUYU I
DROBNUYU CHASTI CHISEL MOZHNO UMNOZHATX ODNOVREMENNO. eGO RABOTA NE STALA
OBSHCHEIZVESTNOJ, I CHEREZ PYATX VEKOV DESYATICHNYE DROBI BYLI ZANOVO OTKRYTY
PERSIDSKIM MATEMATIKOM ALX-kASHI, UMERSHIM OKOLO 1436~G. aLX-kASHI BYL VYSOKO
ISKUSNYM VYCHISLITELEM, KOTORYJ DAL SLEDUYUSHCHEE ZNACHENIE DLYA~$2\pi$,
SODERZHASHCHEE 16~PRAVILXNYH, DESYATICHNYH ZNAKOV:
\btable{
 \strut\hfil$#$\bskip\hfil&&\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil\cr
 \omit cELAYA & \omit CHASTX \hfil& \multispan{16}\vrule\bskip \hfil dROBNAYA CHASTX\hfil\cr
 \noalign{\hrule}
 0 & 6 & 2 & 8 & 3 & 1 & 8 & 5 & 3 & 0 & 7 & 1 & 7 & 9 & 5 & 8 & 6 & 5 \cr
}
eTO BYLO NAILUCHSHIM PRIBLIZHENIEM DLYA CHISLA~$\pi$ DO TEH POR, POKA lUDOLXF
VAN cEJLEN POSLE MNOGIH TRUDOV V PERIOD S~1596 PO~1610~G.\ NE VYCHISLIL
35~DESYATICHNYH ZNAKOV. sAMYE RANNIE IZ IZVESTNYH PRIMEROV DESYATICHNYH DROBEJ
V eVROPE OBNARUZHENY V ODNOM TEKSTE~15~V., GDE, NAPRIMER,
$153.5$~UMNOZHAETSYA NA~$16.25$ I V OTVETE POLUCHAETSYA~$2494.375$; |TO
NAZVANO TAM "TURECKIM METODOM". v 1525~G.\ kRISTOF rUDOLXF IZ gERMANII
SAMOSTOYATELXNO OTKRYL DESYATICHNYE DROBI; EGO RABOTA TAKZHE OSTALASX
NEIZVESTNOJ. fRANSUA vXET PREDLAGAET TU ZHE IDEYU SNOVA V 1579~G.
nAKONEC, TRAKTAT PO ARIFMETIKE, NAPISANNYJ sIMONOM sTEVINOM IZ
nIDERLANDOV, V SVOYU OCHEREDX NEZAVISIMO V 1585~G.\ PRISHEDSHIM K IDEE
DESYATICHNYH DROBEJ, PRIOBRETAET SHIROKUYU POPULYARNOSTX.

eGO RABOTA I POSLEDOVAVSHEE VSKORE OTKRYTIE LOGARIFMOV PRIVELI K TOMU, CHTO
V 17~V.\ DESYATICHNYE DROBI STALI OBSHCHEPRINYATYMI V eVROPE. [dALXNEJSHIE
PODROBNOSTI I SSYLKI NA LITERATURU
%% 206
MOZHNO NAJTI V KNIGAH: D.~e.~Smith, History of Mathematics, {\bf 2},
Boston, Ginn and Co., 1925, 228--247, I C.~B.~Boyer, History of
Mathematics, New York, Wiley, 1968\note{1}%
{sM. TAKZHE KNIGU d.~ya.~sTROJKA "kRATKIJ OCHERK ISTORII MATEMATIKI", "nAUKA",
 m., 1950.---{\sl pRIM. PEREV.\/}}.]

dVOICHNAYA SISTEMA SCHISLENIYA IMEET SVOYU SOBSTVENNUYU INTERESNUYU ISTORIYU.
iZVESTNO, CHTO MNOGIE PRIMITIVNYE PLEMENA, SUSHCHESTVUYUSHCHIE V NASHE VREMYA,
ISPOLXZUYUT DVOICHNUYU, ILI "PARNUYU", SISTEMU SCHETA (GRUPPIROVKA PO PARAM, A
NE PO PYATERKAM ILI DESYATKAM), NO BYLO BY NEVERNYM SKAZATX, CHTO ONI
VYCHISLYAYUT V NASTOYASHCHEJ DVOICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA, TAK KAK ONI NE
VYDELYAYUT SPECIALXNYM OBRAZOM STEPENEJ DVOJKI. iNTERESNYE PODROBNOSTI O
PRIMITIVNYH VYCHISLITELXNYH SISTEMAH MOZHNO NAJTI V STATXE aBRAHAMA
sAJDENBERGA "The diffusion of counting practices" [{\sl Univ.\ Calif.\
Publ.\ in Math.,\/} {\bf 3} (1960), 215--300]. dRUGOJ "PRIMITIVNYJ" PRIMER
SUSHCHESTVENNO DVOICHNOJ SISTEMY---|TO TRADICIONNYE OBOZNACHENIYA DLYA
DLITELXNOSTI NOT V MUZYKE.

v PAPIRUSE rINDA\note{2}%
{nAZVAN PO IMENI EGO VLADELXCA---ANGLIJSKOGO EGIPTOLOGA rINDA (a.~n.~Rhind).
hOROSHEJ REPRODUKCIEJ FRAGMENTA |TOGO PAPIRUSA OTKRYVAETSYA SBORNIK
"mATEMATIKA V SOVREMENNOM MIRE" ("mIR", m., 1967).--- {\sl pRIM. RED.\/}}
(eGIPET, OKOLO 1650~G.~DO~N.~|.), ODNOM IZ PERVYH IZVESTNYH NETRIVIALXNYH
MATEMATICHESKIH DOKUMENTOV, PRIMENYAETSYA DESYATICHNO ORIENTIROVANNAYA SHEMA
PREDSTAVLENIYA CHISEL, NO V NEM ZHE POKAZANO, KAK VYPOLNYATX OPERACIYU
UMNOZHENIYA S POMOSHCHXYU POSLEDOVATELXNYH UDVOENIJ I SLOZHENIJ. eTA PROCEDURA
PO SUSHCHESTVU SVOEMU OSNOVANA NA DVOICHNOM PREDSTAVLENII CHISEL, HOTYA
DVOICHNAYA SISTEMA SCHISLENIYA SPECIALXNO I NE VVODILASX.

v 17~V.\ NEDESYATICHNYE SCHISLENIYA STANOVYATSYA PREDMETOM RASSMOTRENIYA V
eVROPE. v TECHENIE MNOGIH LET ASTRONOMY OT SLUCHAYA K SLUCHAYU ISPOLXZOVALI
SHESTIDESYATERICHNUYU ARIFMETIKU KAK DLYA CELYH CHISEL, TAK I DLYA DROBNYH CHASTEJ,
GLAVNYM OBRAZOM PRI VYPOLNENII UMNOZHENIYA; SM. KNIGU dZHONA vALLISA
"Treatise of algebra" [Oxford, 1685], 18--22, 30. tOT FAKT, CHTO
\emph{LYUBOE} POLOZHITELXNOE CHISLO MOZHET SLUZHITX OSNOVANIEM SISTEMY
SCHISLENIYA, BYL, PO-VIDIMOMU, VPERVYE OPUBLIKOVAN V RABOTE bLEZA
pASKALYA "De numeris multiplicibus", NAPISANNOJ OKOLO 1658~G.\ [SM.\
v.~Pascal, Euvres Compl\`etes, Paris, \'Editions de Seuil, 1963, 84--89].
pASKALX PISAL: "Denaria enim ex institute hominum, non ex
necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane satis inepte, posita
est", T.~E.: "dESYATICHNAYA SISTEMA POSTROENA---DOVOLXNO NERAZUMNO, KONECHNO,---V
SOOTVETSTVII S LYUDSKIMI OBYCHAYAMI, A VOVSE NE TREBOVANIYAMI
ESTESTVENNOJ NEOBHODIMOSTI, KAK SKLONNO DUMATX BOLXSHINSTVO LYUDEJ". oN
UTVERZHDAL, CHTO BYLO BY ZHELATELXNO PEREJTI K DVENADCATERICHNOJ SISTEME, I
PREDLOZHIL PRAVILO PROVERKI DELIMOSTI
%% 207
DVENADCATERICHNOGO CHISLA NA~$9$. chETVERICHNUYU SISTEMU SCHISLENIYA V RYADE
PUBLIKACIJ NACHINAYA S 1673~G.\ PREDLAGAL eRHARD vAJGELX. pODROBNOE
OBSUZHDENIE ARIFMETIKI PO OSNOVANIYU DVENADCATX BYLO PROVEDENO dZHOSHUA
dZHORD|JNOM [Duodecimal arithmetick, London, 1687].

hOTYA NA PROTYAZHENII VSEJ |TOJ |POHI V ARIFMETIKE PRIMENYALASX POCHTI
ISKLYUCHITELXNO DESYATICHNAYA SISTEMA, SISTEMY MER I VESOV REDKO KOGDA, ESLI
VOOBSHCHE KOGDA-LIBO, STROILISX NA OSNOVE KRATNYH DESYATI, I MNOGIE DELOVYE
OPERACII TREBOVALI IZRYADNOJ LOVKOSTI V SLOZHENII VELICHIN TIPA FUNTOV,
SHILLINGOV I PENSOV. iTAK, STOLETIYAMI KUPCY UCHILISX VYCHISLYATX SUMMY I
RAZNOSTI VELICHIN, VYRAZHENNYH V SPECIFICHESKIH DENEZHNYH EDINICAH
ILI EDINICAH MER I VESOV, A |TO FAKTICHESKI BYLA ARIFMETIKA V
NEDESYATICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA. oSOBOGO VNIMANIYA ZASLUZHIVAYUT, V
CHASTNOSTI, RASPROSTRANENNYE V aNGLII EDINICY IZMERENIYA ZHIDKOSTEJ,
USTANOVIVSHIESYA ESHCHE V 13~V.\ ILI DAZHE RANXSHE:
\ctable{
\hfil #&${}={}$#\hfil\cr
2 DZHILLA & 1 POLUSHTOF,\cr
2 POLUSHTOFA & 1 PINTA,\cr
2 PINTY & 1 KVARTA,\cr
2 KVARTY & 1 POTL,\cr
2 POTLA & 1 GALLON,\cr
2 GALLONA & 1 PEK,\cr
2 PEKA & 1 POLUBUSHELX,\cr
2 POLUBUSHELYA & 1 BUSHELX, ILI FIRKIN,\cr
2 FIRKINA & 1 KILDERKIN,\cr
2 KILDERKINA & 1 BARRELX,\cr
2 BARRELYA & 1 HOGZHED,\cr
2 HOGZHEDA & 1 PAJP,\cr
2 PAJPA & 1 TAN.\cr
}
oB®EMY ZHIDKOSTI, VYRAZHENNYE V GALLONAH, POTLAH, KVARTAH, PINTAH I~T.~D.\note{1}%
{pROISHOZHDENIE NAZVANIJ |TIH MER OB®EMA DOVOLXNO PROZRACHNO: firkin,
NAPRIMER, OZNACHAET "MALENXKIJ BOCHONOK"; tan---"BOLXSHAYA BOCHKA".---{\sl pRIM.\ PEREV.\/}},
ZAPISYVALISX PO SUSHCHESTVU V DVOICHNOJ SISTEME. bYTX MOZHET, PODLINNYMI
IZOBRETATELYAMI DVOICHNOJ ARIFMETIKI BYLI ANGLIJSKIE VINOTORGOVCY!

nASKOLXKO SEJCHAS IZVESTNO, VPERVYE DVOICHNAYA SISTEMA SCHISLENIYA POYAVLYAETSYA
OKOLO 1605~G.\ V RYADE NEOPUBLIKOVANNYH RUKOPISEJ tOMASA h|RRIOTA
(1560--1621). h|RRIOT---VESXMA TVORCHESKAYA LICHNOSTX---PRIBYL V aMERIKU V
KACHESTVE PREDSTAVITELYA S|RA uOLTERA r|JLI. oN IZOBREL (SREDI MNOGOGO
DRUGOGO) ISPOLXZUEMYE NYNE OBOZNACHENIYA DLYA OTNOSHENIJ "MENXSHE" I "BOLXSHE";
NO PO NEKOTORYM SOOBRAZHENIYAM ON PREDPOCHEL NE PUBLIKOVATX MNOGIE IZ SVOIH
OTKRYTIJ. iZVLECHENIYA IZ EGO ZAMETOK PO DVOICHNOJ
%% 208
ARIFMETIKE BYLI VOSPROIZVEDENY dZHONOM u.~sh|RLI V {\sl Amer.\  J.\ Physics\/}
[{\bf 19} (1951), 452--454].

pERVOE OPUBLIKOVANNOE OBSUZHDENIE DVOICHNOJ SISTEMY SCHISLENIYA PRINADLEZHIT
ISPANSKOMU SVYASHCHENNIKU hUANU kARAMYU|LYU lOBKOVICU; |TO SRAVNITELXNO
MALOIZVESTNAYA RABOTA [{\sl Mathesis Bicepts,\/} Campani\ae, {\bf 1} (1670), 45--48].
kARAMYU|LX DOVOLXNO PODROBNO RASSMOTREL PREDSTAVLENIE CHISEL V
SISTEMAH PO OSNOVANIYAM $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $12$
I~$60$, NO NE PRIVEL NIKAKIH PRIMEROV ARIFMETICHESKIH OPERACIJ V
NEDESYATICHNYH SISTEMAH (ZA ISKLYUCHENIEM TRIVIALXNOJ OPERACII PRIBAVLENIYA EDINICY).

nAKONEC, ODNA STATXYA g.~v.~lEJBNICA [{\sl Memoires de l'Academic Royale
des Sciences,\/} Paris, (1703), 110--116], V KOTOROJ POYASNYALISX DVOICHNYE
OPERACII SLOZHENIYA, VYCHITANIYA, UMNOZHENIYA I DELENIYA, DEJSTVITELXNO
PRIVLEKLA K DVOICHNOJ SISTEME VSEOBSHCHEE VNIMANIE, I IMENNO NA |TU STATXYU
OBYCHNO SSYLAYUTSYA, GOVORYA O ROZHDENII ARIFMETIKI PO OSNOVANIYU~$2$. lEJBNIC I
DALEE OCHENX CHASTO OBRASHCHALSYA K DVOICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA [SM.~W.~Ahrens,
Mathematische Unterhaltungen und Spiele, {\bf 1}, Leipzig, Teubner, 1910,
27--28]. oN NE REKOMENDOVAL EE DLYA PRAKTICHESKIH VYCHISLENIJ, NO
PODCHERKIVAL EE VAZHNOSTX V TEORETIKO-CHISLOVYH ISSLEDOVANIYAH, TAK KAK
ZAKONOMERNOSTI POVEDENIYA CHISLOVYH POSLEDOVATELXNOSTEJ CHASTO GORAZDO
LEGCHE USMOTRETX V DVOICHNOJ ZAPISI, NEZHELI V DESYATICHNOJ; ON VIDEL TAKZHE
NEKIJ MISTICHESKIJ SMYSL V TOM FAKTE, CHTO VS¸ NA SVETE VYRAZIMO S POMOSHCHXYU
NULEJ I EDINIC. [sM.\ Laplace, Th\'eorie analytique des Probabilit\'es,
$3^{\rm me}$~\'ed., Paris, 1820, cix].

iNTERESNO OTMETITX, CHTO VAZHNAYA KONCEPCIYA OTRICATELXNYH STEPENEJ SPRAVA OT
POZICIONNOJ TOCHKI NE BYLA ESHCHE V TE VREMENA PO-NASTOYASHCHEMU OSOZNANA. lEJBNIC
PROSIL yaKOVA bERNULLI VYCHISLITX~$\pi$ V DVOICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA, I
bERNULLI "RESHIL" ZADACHU, VZYAV 35-ZNACHNOE PRIBLIZHENIE K~$\pi$, UMNOZHIV
EGO NA~$10^{35}$, A ZATEM VYRAZIV POLUCHENNOE CELOE CHISLO V DVOICHNOJ
SISTEME; |TO I BYL EGO OTVET! dLYA MENXSHEGO MASSHTABNOGO MNOZHITELYA |TO
RASSUZHDENIE VYGLYADELO BY TAK: $\pi\approx 3.14$,
A~$(314)_{10}=(100111010)_2$, SLEDOVATELXNO, $\pi$ V DVOICHNOJ SISTEME
SCHISLENIYA ESTX~$100111010$!\note{1}%
{eTO ZAPISX NE~$\pi$, A~$10^2\pi$! vOT PERVYE CIFRY CHISLA~$\pi$ V DVOICHNOJ SISTEME:
$11.0010010000111111011\ldots\,$.---{\sl pRIM. RED.\/}}. (sM.\ Leibniz,
Math.\ Schriften (ed.\ Gehrhardt), {\bf 3} [Halle, 1855], 97; IZ-ZA OSHIBOK
V VYCHISLENIYAH DVA IZ 118~BITOV V OTVETE NEVERNY.) cELX VYCHISLENIJ bERNULLI
SOSTOYALA, PO-VIDIMOMU, V TOM, CHTOBY VYYASNITX, MOZHNO LI OBNARUZHITX V |TOM
PREDSTAVLENII~$\pi$ KAKIE-NIBUDX PROSTYE ZAKONOMERNOSTI.

shVEDSKIJ KOROLX kARL~XII, MATEMATICHESKIJ TALANT KOTOROGO, ESLI EGO
SRAVNIVATX S MATEMATICHESKIMI TALANTAMI PROCHIH KOROLEJ, PO-VIDIMOMU, NE
IMEL SEBE RAVNYH VO VSEJ MIROVOJ ISTORII,
%% 209
OKOLO 1717~G.\ UVLEKSYA IDEEJ VOSXMERICHNOJ ARIFMETIKI. sKOREJ VSEGO |TO
BYLO EGO SOBSTVENNOE IZOBRETENIE, HOTYA ON I VSTRECHALSYA S lEJBNICEM V
1707~G.\ kARL CHUVSTVOVAL, CHTO OSNOVANIE~$8$ ILI~$64$ BYLO BY BOLEE UDOBNYM
DLYA VYCHISLENIJ, CHEM~$10$, I PODUMYVAL O VVEDENII V shVECII VOSXMERICHNOJ
ARIFMETIKI; ODNAKO ON POGIB V BITVE, TAK I NE USPEV PROVESTI |TU REFORMU.
(sM.\ SOCHINENIYA vOLXTERA, {\bf 21} [Paris, E.~R.~DuMont, 1901], 49;
e.~Swedenborg, {\sl Gentleman's Magazine,\/} {\bf 24} (1754), 423--424.)

pRIMERNO 140~LET SPUSTYA VYDAYUSHCHIJSYA AMERIKANSKIJ GRAZHDANSKIJ INZHENER,
SHVED PO NACIONALXNOSTI dZHON nISTROM RESHIL SDELATX ESHCHE ODIN SHAG V RAZVITIE
PLANOV kARLA~XII I PREDLOZHIL POLNUYU SISTEMU NUMERACII, MER I VESOV,
OSNOVANNUYU NA SHESTNADCATERICHNOJ ARIFMETIKE. oN PISAL: "ya NE BOYUSX I
NICHUTX NE KOLEBLYUSX VYSTUPITX V ZASHCHITU DVOICHNOJ SISTEMY V ARIFMETIKE I
METROLOGII. ya ZNAYU, NA MOEJ STORONE PRIRODA; ESLI MNE
%% !! PROVERITX ORFOGRAFIYU
NE UDASTXSYA UBEDITX VAS V EE POLEZNOSTI I CHREZVYCHAJNOJ VAZHNOSTI DLYA
CHELOVECHESTVA, |TO NE SDELAET CHESTI NASHEMU POKOLENIYU, NASHIM UCHENYM I
FILOSOFAM". nISTROM RAZRABOTAL SPECIALXNYE PRAVILA PROIZNESENIYA
SHESTNADCATERICHNYH CHISEL; NAPRIMER, CHISLO~$(|C0160|)_{16}$ SLEDOVALO CHITATX
"vybong, bysanton". pOLNOSTXYU |TA SISTEMA, NAZVANNAYA IM "TONALXNOJ
SISTEMOJ", BYLA OPISANA V~J.~Franklin Inst.\ [{\bf 46} (1863), 263--275,
337--348, 402--407]. aNALOGICHNAYA SISTEMA, NO ISPOLXZUYUSHCHAYA OSNOVANIE~$8$,
BYLA PREDLOZHENA PRIMERNO V TO ZHE VREMYA eLFREDOM b.~t|JLOROM
[{\sl Proc.\ Amer.\  Pharmaceutical Assoc.,\/} {\bf 8} (1859), 115--216;
{\sl Proc.\ Amer.\  Philosophical Soc.,\/} {\bf 24} (1887), 296--366].

vSE BOLEE SHIROKOE PRIMENENIE FRANCUZSKOJ (METRICHESKOJ) SISTEMY MER I VESOV
VYZVALO V TU |POHU MNOGOCHISLENNYE DEBATY O DOSTOINSTVAH DESYATICHNOJ ARIFMETIKI.

sO VREMENI lEJBNICA DVOICHNAYA SISTEMA SCHISLENIYA STANOVITSYA HOROSHO IZVESTNOJ
DIKOVINKOJ, I r.~k.~aRCHIBALD SOBRAL OKOLO 20 RANNIH RABOT, POSVYASHCHENNYH EJ
[{\sl AMM,\/} {\bf 25} (1918), 139--142]. oNA PRIMENYALASX GLAVNYM OBRAZOM
PRI VYCHISLENII STEPENEJ, KAK BUDET OB®YASNENO V~P.~4.6.3, I PRI ANALIZE
NEKOTORYH IGR I GOLOVOLOMOK. dZH.~pEANO [{\sl Atti della R.\ Accademia
delle Scienze  di Torino,\/} {\bf 34} (1898), 47--55] ISPOLXZOVAL DVOICHNUYU
SISTEMU KAK OSNOVU DLYA "LOGICHESKOGO" ALFAVITA IZ 256~SIMVOLOV.
dZHOZEF bOUDEN [Special topics in theoretical arithmetic. Garden City, 1936, 49]
PREDLOZHIL SISTEMU OBOZNACHENIJ DLYA SHESTNADCATERICHNYH CHISEL.

vOZRASTAYUSHCHIJ INTERES K MEHANICHESKIM USTROJSTVAM DLYA VYPOLNENIYA
ARIFMETICHESKIH OPERACIJ, V OSOBENNOSTI UMNOZHENIJ, PRIVEL RYAD
ISSLEDOVATELEJ K IZUCHENIYU DVOICHNOJ SISTEMY S |TOJ TOCHKI ZRENIYA. pREKRASNYJ
OTCHET OB |TIH ISSLEDOVANIYAH DAN V STATXE "dVOICHNYE VYCHISLENIYA"
e.~u.~fILLIPSA [{\sl J.\ of the Institute of Actuaries,\/} {\bf 67}
(1936), 187--221]; TAM ZHE POMESHCHENA ZAPISX
%% 210
DISKUSSII, SOSTOYAVSHEJSYA POSLE PROCHITANNOJ IM NA |TU TEMU LEKCII. fILLIPS
NACHINAET SLOVAMI: "kONECHNAYA CELX [|TOJ STATXI] SOSTOIT V TOM, CHTOBY
UBEDITX VESX CIVILIZOVANNYJ MIR OTKAZATXSYA OT DESYATICHNOJ NUMERACII I
ZAMENITX EE VOSXMERICHNOJ\note{1}%
{v ORIGINALE octonal, KAK U SAMOGO fILLIPSA, A NE octal, KAK PRINYATO V
SOVREMENNOM ANGLIJSKOM YAZYKE. v SLEDUYUSHCHEM ABZACE RECHX IDET O CHITATELYAH
ANGLIJSKOGO ORIGINALA.---{\sl pRIM. RED.\/}}}".

sOVREMENNYE CHITATELI STATXI fILLIPSA BUDUT, VOZMOZHNO, UDIVLENY, OBNARUZHIV,
CHTO SISTEMA SCHISLENIYA PO OSNOVANIYU~$8$ NAZYVALASX V TO VREMYA V
SOOTVETSTVII SO VSEMI SLOVARYAMI ANGLIJSKOGO YAZYKA octonary ILI octonal,
TOCHNO TAK ZHE KAK SISTEMA PO OSNOVANIYU~$10$ NAZYVAETSYA SEJCHAS denary ILI
decimal; SLOVO octal POYAVLYAETSYA V SLOVARYAH ANGLIJSKOGO YAZYKA TOLXKO S
1961~G., PRICHEM PERVONACHALXNO, PO-VIDIMOMU, KAK TERMIN PRI OPISANII BAZY
VAKUUMNYH |LEKTRONNYH LAMP OPREDELENNOGO KLASSA. sLOVO hexadecimal\note{2}%
{shESTNADCATERICHNYJ.---{\sl pRIM. PEREV.\/}},
VKRAVSHEESYA V NASH YAZYK ESHCHE POZZHE, PREDSTAVLYAET SOBOJ SMESX GRECHESKOGO I
LATINSKOGO KORNEJ\note{3}%
{vOT |TI KORNI: $\tilde\varepsilon\xi$---SHESTX, decimus---DESYATYJ. {\sl
pRIM. RED.\/}};
 BOLEE POSLEDOVATELXNYMI TERMINAMI BYLI BY senidenary\note{4}%
{Seni deni---SHESTNADCATX (\emph{LAT.}).---{\sl pRIM RED.\/}}
ILI sedecimal ILI DAZHE sexadecimal\note{5}%
{Sex---SHESTX (\emph{LAT.}).---{\sl pRIM. RED.\/}},
NO POSLEDNIJ, POZHALUJ, ZVUCHAL BY SLISHKOM RISKOVANNO DLYA PROGRAMMISTOV.

vYSKAZYVANIE f.~X.~u|JLSA, PRIVEDENNOE V KACHESTVE ODNOGO IZ |PIGRAFOV K
|TOJ GLAVE, IZVLECHENO KAK RAZ IZ ZAPISI DISKUSSII, POMESHCHENNOJ VMESTE SO
STATXEJ fILLIPSA. dRUGOJ SLUSHATELX |TOJ LEKCII UKAZAL NA NEUDOBSTVA
VOSXMERICHNOJ SISTEMY DLYA
DELOVYH CELEJ: "$5\%$~PREVRASHCHAYUTSYA V~$3.1463 \hbox{ per } 64$\note{6}%
{pOSKOLXKU \% PISHETSYA PO-ANGLIJSKI per cent (OT LATINSKOGO per centum), A
cent ($100$) ZAMENYAETSYA NA~$64$.---{\sl pRIM. RED.\/}},
CHTO ZVUCHIT UZHASNO".

rYAD VYCHISLITELXNYH MASHIN, OSNOVANNYH NA DVOICHNOJ SISTEME BYL SOZDAN V
NACHALE TRIDCATYH GODOV NASHEGO STOLETIYA VO fRANCII; SM.\ ZAMETKI
l.~kUFFINXYALYA I~r.~vALXTA V {\sl Comptes Rendus\/} [{\bf 197} (1933), 877;
{\bf 202} (1936), 1745--1747, 1970--1972].

pERVYE VYCHISLITELXNYE SHEMY NA |LEKTRONNYH LAMPAH SPROEKTIROVAL V
1937~G.\ dZHON~v.~aTANASOV, A PERVYE RELEJNYE VYCHISLITELXNYE SHEMY
NEZAVISIMO I V TOM ZHE GODU---dZHORDZH~r.~shTIBIC. oBA ONI V SVEIH PROEKTAH
ISPOLXZOVALI DVOICHNUYU SISTEMU SCHISLENIYA, HOTYA shTIBIC VSKORE POSLE |TOGO
RAZRABOTAL I DVOICHNYJ KOD "PLYUS-3" DLYA DESYATICHNYH CIFR. pRIMERNO V TO ZHE
SAMOE VREMYA V gERMANII kONRAD cUZE POSTROIL MEHANICHESKUYU VYCHISLITELXNUYU
MASHINU, OSNOVANNUYU NA DVOICHNOM PREDSTAVLENII CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ;
VPOSLEDSTVII (1941~G.) ON ZAMENIL MEHANI-
%% 211
\bye