\input style |TO YAVLENIE BYLO OTMECHENO AMERIKANSKIM ASTRONOMOM sAJMONOM nXYUKOMBOM [{\sl Amer.~J.~Math.,\/} {\bf 4} (1881), 39--40], KOTORYJ PRIVEL RAZUMNYE OSNOVANIYA V POLXZU TOGO, CHTO GOLOVNAYA CIFRA~$d$ VSTRECHAETSYA S VEROYATNOSTXYU~$\log_{10}(1+1/d)$. tOT ZHE SAMYJ ZAKON RASPREDELENIYA MNOGO LET SPUSTYA BYL |MPIRICHESKI NAJDEN f.~bENFORDOM [{\sl Proc.\ Amer.\ Philosophical Soc.,\/} {\bf 78} (1938), 551], KOTORYJ NE ZNAL O ZAMETKE nXYUKOMBA. bENFORD RESHIL, CHTO |TO VAZHNYJ ZAKON PRIRODY, I NAZVAL EGO "ZAKONOM ANOMALXNYH CHISEL". mY UVIDIM, CHTO |TOT ZAKON RASPREDELENIYA GOLOVNYH CIFR YAVLYAETSYA ESTESTVENNYM SLEDSTVIEM TOGO SPOSOBA, PRI POMOSHCHI KOTOROGO MY ZAPISYVAEM CHISLA V SISTEME S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ. eSLI MY VOZXMEM PROIZVOLXNOE POLOZHITELXNOE CHISLO~$u$, TO EGO GOLOVNAYA CIFRA OPREDELYAETSYA ZNACHENIEM~$(\log_{10} u) \bmod 1$. a IMENNO, GOLOVNAYA CIFRA MENXSHE~$d$ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA \EQ[1] { (\log_{10} u) \bmod 1 < \log_{10} d, } TAK KAK~$10 f_u = 10^{(\log_{10} u)\bmod 1}$. dALEE, ESLI U NAS ESTX KAKOE-LIBO "SLUCHAJNOE" POLOZHITELXNOE CHISLO~$U$, VYBIRAEMOE V SOOTVETSTVII S NEKOTORYM RAZUMNYM RASPREDELENIEM, TIPA TEH, CHTO VSTRECHAYUTSYA V PRIRODE, TO MOZHNO OZHIDATX, CHTO CHISLA~$(\log_{10} U) \bmod 1$ BUDUT RAVNOMERNO RASPREDELENY MEZHDU NULEM I EDINICEJ ILI PO KRAJNEJ MERE CHTO |TO BUDET OCHENX HOROSHEE PRIBLIZHENIE. (aNALOGICHNYM OBRAZOM MY OZHIDAEM, CHTO VELICHINY~$U \bmod 1$, $U^2 \bmod 1$, $\sqrt{U+\pi}\bmod 1$ I~T.~D.\ TAKZHE RAVNOMERNO RASPREDELENY. mY UVERENY, CHTO KOLESO RULETKI BESPRISTRASTNO PO SUSHCHESTVU PO |TOJ ZHE SAMOJ PRICHINE.) sLEDOVATELXNO, VVIDU NERAVENSTVA~\eqref[1], GOLOVNOJ CIFROJ BUDET EDINICA S VEROYATNOSTXYU, RAVNOJ~$\log_{10} 2 \approx 30.103\%$, DVOJKA S VEROYATNOSTXYU, RAVNOJ~$\log_{10} 3 - \log_{10} 2 \approx 17.609\%$, I VOOBSHCHE ESLI~$r$---PROIZVOLXNOE VESHCHESTVENNOE CHISLO, ZAKLYUCHENNOE MEZHDU~$1$ I~$10$, TO PRIBLIZITELXNO V~$\log_{10} r$ VSEH SLUCHAEV MY DOLZHNY IMETX NERAVENSTVO~$10 f_U \le r$. dRUGOJ SPOSOB OB®YASNITX |TOT ZAKON---|TO SKAZATX, CHTO SLUCHAJNAYA VELICHINA~$U$ DOLZHNA POYAVLYATXSYA V SLUCHAJNOJ TOCHKE NA LOGARIFMICHESKOJ LINEJKE (T.~E.\ CHTO VSE POZICII NA LOGARIFMICHESKOJ LINEJKE RAVNOVEROYATNY). dEJSTVITELXNO, RASSTOYANIE OT LEVOGO KONCA LOGARIFMICHESKOJ LINEJKI DO POZICII, IZOBRAZHAYUSHCHEJ CHISLO~$U$, PROPORCIONALXNO~$(\log_{10} U) \bmod 1$. v SLUCHAE UMNOZHENIYA I DELENIYA IMEETSYA TESNAYA ANALOGIYA MEZHDU VYCHISLENIYAMI, PROVODIMYMI PRI POMOSHCHI LOGARIFMICHESKOJ LINEJKI, I VYCHISLENIYAMI V SISTEME S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ. tOT FAKT, CHTO GOLOVNYE CIFRY IMEYUT TENDENCIYU BYTX NEBOLXSHIMI, SLEDUET POSTOYANNO IMETX V VIDU; IMENNO BLAGODARYA |TOMU FAKTU PROSTEJSHIE METODY OCENKI "SREDNEJ OSHIBKI" GODYATSYA %% 272 DLYA VYCHISLENIJ S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ. oTNOSITELXNAYA OSHIBKA OBYCHNO OKAZYVAETSYA NESKOLXKO BOLXSHEJ, CHEM OZHIDAETSYA. rAZUMEETSYA, MOZHNO SPRAVEDLIVO UTVERZHDATX, CHTO PRIVEDENNYE VYSHE |VRISTICHESKIE DOVODY NE DOKAZYVAYUT SFORMULIROVANNOGO ZAKONA. oNI TOLXKO UKAZYVAYUT PRAVDOPODOBNYE PRICHINY TOGO, CHTO POVEDENIE GOLOVNYH CIFR IMENNO TAKOVO, KAKOVO ONO ESTX NA SAMOM DELE. dRUGOJ PODHOD K ANALIZU GOLOVNYH CIFR BYL PREDLOZHEN r.~s.~pINK|MOM I~r.~h|MMINGOM [{\sl Ann Math. Stat.,\/} {\bf 32} (1961), 1223--1230]. pUSTX~$p(r)$---VEROYATNOSTX TOGO, CHTO~$10 f_U \le r$, GDE~$1\le r \le 10$, I~$f_U$---NORMALIZOVANNAYA DROBNAYA CHASTX SLUCHAJNYM OBRAZOM VYBRANNOGO NORMALIZOVANNOGO CHISLA~$U$ S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ. eSLI GOVORITX O SLUCHAJNYH VELICHINAH V REALXNOM MIRE, TO MY ZAMECHAEM, CHTO ONI IZMERYAYUTSYA V PROIZVOLXNYH EDINICAH, I ESLI BY MY IZMENILI, SKAZHEM, OPREDELENIE METRA ILI GRAMMA, TO MNOGIE BY IZ FUNDAMENTALXNYH FIZICHESKIH POSTOYANNYH IMELI BY DRUGOE ZNACHENIE. pREDPOLOZHIM PO|TOMU, CHTO VSE-VSE CHISLA VO VSELENNOJ VNEZAPNO OKAZALISX UMNOZHENNYMI NA NEKOTORYJ POSTOYANNYJ MNOZHITELX~$c$; NASHA VSELENNAYA SLUCHAJNYH VELICHIN S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ DOLZHNA POSLE |TOGO PREOBRAZOVANIYA OSTATXSYA PO SUSHCHESTVU NEIZMENNOJ, TAK CHTO VEROYATNOSTI~$p(r)$ NE DOLZHNY IZMENITXSYA. uMNOZHENIE VSEH CHISEL NA~$c$ PREVRASHCHAET~$(\log_{10} U) \bmod 1$ V~$(\log_{10} U + \log_{10} c) \bmod 1$. nASTAL MOMENT VYVESTI FORMULY, OPISYVAYUSHCHIE ISKOMOE RASPREDELENIE; MY MOZHEM SCHITATX, CHTO~$1 \le c \le 10$. pO OPREDELENIYU \EQ { p(r) = \hbox{VEROYATNOSTX} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r). } sOGLASNO NASHEMU PREDPOLOZHENIYU, IMEEM TAKZHE \EQ{ \eqalignno{ p(r) &= \hbox{VEROYATNOSTX} ((\log_{10} U + \log_{10} c ) \bmod 1 \le \log_{10} r) = \cr &= \cases { \hbox{VEROYATNOSTX} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r - \log_{10} c \cr \hbox{ILI } (\log_{10} U) \bmod 1 \ge 1 - \log_{10} c) , & ESLI~$c \le r$, \cr \hbox{VEROYATNOSTX} (1-\log_{10} c \le (\log_{10} U) \bmod 1 \le 1 + \log_{10} r - \log_{10} c), & ESLI~$c \ge r$, \cr }\cr &= \cases { p (r/c) + 1 - p(10/c), & ESLI~$c \le r$,\cr p(10r/c) - p(10/c), & ESLI~$c \ge r$.\cr } & (2) \cr } } pRODOLZHIM TEPERX FUNKCIYU~$p(r)$ VOVNE INTERVALA~$1 \le r \le 10$, POLOZHIV~$p(10^n r) = p(r)+n$; TOGDA POSLE ZAMENY~$10/c$ NA~$d$ MY MOZHEM ZAPISATX SOOTNOSHENIE~\eqref[2] V VIDE \EQ[3] { p(rd) = p(r) + p(d). } eSLI NASHE PREDPOLOZHENIE OB INVARIANTNOSTI RASPREDELENIYA OTNOSITELXNO UMNOZHENIYA NA PROIZVOLXNYJ POSTOYANNYJ MNOZHITELX VERNO, TO SOOTNOSHENIE~\eqref[3] DOLZHNO VYPOLNYATXSYA DLYA VSEH~$r > 0$ %% 273 I~$1 \le d \le 10$. iZ TOGO CHTO~$p(1)=0$, $p(10)=1$, SLEDUET, CHTO \EQ{ \displaylines{ 1 = p(10) = p((\root n \of {10})^n) = p(\root n \of {10}) + p((\root n \of {10})^{n-1})= \cr = \ldots = np(\root n \of {10}); \cr } } OTSYUDA MY ZAKLYUCHAEM, CHTO DLYA VSEH POLOZHITELXNYH CELYH~$m$ I~$n$ SPRAVEDLIVO RAVENSTVO~$p(10^{m/n})=m/n$. eSLI DOPOLNITELXNO POTREBOVATX, CHTOBY RASPREDELENIE~$p$ BYLO NEPRERYVNYM, TO MY PRIHODIM K RAVENSTVU~$p(r)=\log_{10} r$, A |TO I ESTX NUZHNYJ NAM ZAKON. hOTYA |TO RASSUZHDENIE, VOZMOZHNO, I UBEDITELXNEE PREDYDUSHCHIH, ONO TOZHE V DEJSTVITELXNOSTI NE VYDERZHIVAET STROGOJ PROVERKI. mY PREDPOLAGAEM, CHTO SUSHCHESTVUET NEKOE LEZHASHCHEE V OSNOVE RASSMATRIVAEMOGO YAVLENIYA RASPREDELENIE CHISEL~$F(u)$, TAKOE, CHTO VEROYATNOSTX TOGO, CHTO DANNOE PROIZVOLXNOE CHISLO~$U$ NE PREVOSHODIT~$u$, RAVNA~$F(u)$ I CHTO \EQ[4] { p(r) = \sum_m (F(10^m r) - F(10^m)), } GDE SUMMIROVANIE PROVODITSYA PO VSEM ZNACHENIYAM~$-\infty < m < \infty$. iZ NASHEGO RASSUZHDENIYA VYTEKAET, CHTO TOGDA \EQ{ p(r) = \log_{10} r. } iSPOLXZUYA TE ZHE DOVODY, MY MOZHEM "DOKAZATX", CHTO \EQ[5] { \sum_m (F(b^m r) - F(b^m)) = \log_b r } PRI~$1 \le r \le b$ DLYA VSYAKOGO CELOGO CHISLA~$b \ge 2$. nO FUNKCII RASPREDELENIYA~$F$, KOTORAYA UDOVLETVORYALA BY |TOMU RAVENSTVU DLYA VSEH TAKIH~$b$ I~$r$, NE SUSHCHESTVUET! "kAKAYA-TO V DERZHAVE DATSKOJ GNILX!" oDIN IZ SPOSOBOV VYJTI IZ |TOGO ZATRUDNENIYA SOSTOIT V TOM, CHTOBY RASSMATRIVATX LOGARIFMICHESKIJ ZAKON~$p(r) = \log_{10} r$ LISHX KAK OCHENX HOROSHEE \emph{PRIBLIZHENIE} K ISTINNOMU RASPREDELENIYU. vOZMOZHNO, CHTO |TO ISTINNOE RASPREDELENIE PRI RASSHIRENII vSELENNOJ IZMENYAETSYA, STANOVYASX S TECHENIEM VREMENI VSE LUCHSHIM I LUCHSHIM PRIBLIZHENIEM; I ESLI ZAMENITX OSNOVANIE~$10$ PROIZVOLXNYM OSNOVANIEM~$b$, NASHE PRIBLIZHENIE TEM MENEE TOCHNO (V LYUBOJ DANNYJ MOMENT VREMENI), CHEM BOLXSHE~$b$. dRUGOJ, DOVOLXNO PRIVLEKATELXNYJ SPOSOB RESHENIYA PROBLEMY, SVYAZANNYJ S OTKAZOM OT TRADICIONNOGO PONYATIYA FUNKCII RASPREDELENIYA, PREDLOZHEN r.~a.~r|JMI [{\sl AMM,\/} {\bf 76} (1969), 342--348]. vITIEVATYE RASSUZHDENIYA POSLEDNEGO ABZACA, PO-VIDIMOMU, NI V KOEJ MERE NELXZYA PRIZNATX UDOVLETVORITELXNYM OB®YASNENIEM, TAK CHTO SLEDUET VESXMA POLOZHITELXNO OTNESTISX K PROVODIMYM NIZHE VYCHISLENIYAM (GDE MY PRIDERZHIVAEMSYA STROGOGO MATEMATICHESKOGO KANONA I IZBEGAEM INTUITIVNYH, NO PARADOKSALXNYH PONYATII TEORII VEROYATNOSTEJ). rASSMOTRIM VMESTO RASPREDELENIYA NEKOEGO VOOBRAZHAEMOGO MNOZHESTVA VESHCHESTVENNYH CHISEL RASPREDELENIE %% 274 STARSHIH ZNACHASHCHIH CIFR \emph{POLOZHITELXNYH CELYH} CHISEL. iSSLEDOVANIE |TOJ TEMY CHREZVYCHAJNO INTERESNO, I NE TOLXKO POTOMU, CHTO ONO PROLIVAET NEKOTORYJ SVET NA RASPREDELENIYA VEROYATNOSTEJ DLYA DANNYH, PREDSTAVLENNYH V FORME S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, NO TAKZHE I POTOMU, CHTO ONO SLUZHIT VESXMA POUCHITELXNYM PRIMEROM TOGO, KAK SOCHETATX METODY DISKRETNOJ MATEMATIKI S METODAMI ANALIZA. vO VSEH POSLEDUYUSHCHIH RASSUZHDENIYAH~$r$ BUDET OBOZNACHATX FIKSIROVANNOE VESHCHESTVENNOE CHISLO, $1 \le r \le 10$; MY POPYTAEMSYA DATX RAZUMNOE OPREDELENIE~$p(r)$ KAK "VEROYATNOSTI" TOGO, CHTO PREDSTAVLENIE~$10^{e_N} \cdot f_N$ "SLUCHAJNOGO" POLOZHITELXNOGO CELOGO CHISLA~$N$ UDOVLETVORYAET NERAVENSTVU~$10 f_N < r$. dLYA NACHALA POPROBUEM NAJTI |TU VEROYATNOSTX, ISPOLXZUYA PREDELXNYJ PEREHOD, ANALOGICHNO TOMU KAK MY OPREDELYALI~"Pr" V~\S~3.5. uDOBNYJ SPOSOB PEREFRAZIROVATX |TO OPREDELENIE SOSTOIT V SLEDUYUSHCHEM: \EQ[6]{ P_0(n)=\cases{ 1, & ESLI~$n=10^e \cdot f$, GDE~$10 f < r$, T.~E.\ ESLI~$(\log_{10} n) \bmod 1 < \log_{10} r$;\cr 0 & V PROTIVNOM SLUCHAE.\cr } } iTAK, POSLEDOVATELXNOSTX $P_0(1)$, $P_0(2)$,~\dots{} ESTX BESKONECHNAYA POSLEDOVATELXNOSTX NULEJ I EDINIC, PRICHEM EDINICY SOOTVETSTVUYUT SLUCHAYAM, VNOSYASHCHIM VKLAD V ZNACHENIE VEROYATNOSTI. mY MOZHEM POPYTATXSYA "USREDNITX" |TU POSLEDOVATELXNOSTX, POLOZHIV \EQ[7] { P_1(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_0(k). } eSTESTVENNO PRINYATX~$\lim_{n\to\infty} P_1(n)$ V KACHESTVE ISKOMOJ "VEROYATNOSTI"~$p(r)$; IMENNO TAK MY I SDELALI V~\S~3.5. nO V DANNOM SLUCHAE |TOT PREDEL NE SUSHCHESTVUET. rASSMOTRIM, NAPRIMER, PODPOSLEDOVATELXNOSTX \EQ{ P_1(s),\; P_1(10s),\; P_1(100s),\; \ldots,\; P_1(10^n s),\; \ldots, } GDE~$s$---NEKOTOROE VESHCHESTVENNOE CHISLO, $1 \le s \le 10$. eSLI~$s \le r$, TO MY IMEEM \EQ { \eqalignno{ P_1(10^n s) &= {1 \over 10^n s} ( \ceil{r} -1 + \ceil{10 r} - 10 + \cdots + \ceil{10^{n-1} r} - 10^{n-1} + \floor{10^n s} + 1 - 10^n) = \cr &= {1 \over 10^n s} (r(1+10+\cdots+10^{n-1})+O(n)+\floor{10^n s} - 1 - 10 - \cdots - 10^n) = \cr %% DOBAVLENA PRAVAYA SKOBKA: "\right)", MESTO VSTAVKI SKOBKI VYBRANO BEZ DOKAZATELXSTVA &= {1 \over 10^n s} \left({1\over 9} (10^n r - 10^{n+1}) + \floor{10^n s}\right)+O(n), & (8) \cr } } %% 275 GDE V DESYATICHNOJ ZAPISI~$r=r_0.r_1r_2\ldots\,$. pRI~$n\to\infty$ FUNKCIYA~$P_1(10^n s)$ STREMITSYA, TAKIM OBRAZOM, K PREDELXNOMU ZNACHENIYU~$1+(r-10)/9s$. vYCHISLENIE, PROVEDENNOE VYSHE DLYA SLUCHAYA~$s \le r$, MOZHNO MODIFICIROVATX TAKIM OBRAZOM, CHTOBY ONO SOHRANILO SMYSL I PRI~$s > r$; PRI |TOM $\floor{10^n s}+1$~ZAMENITSYA NA~$\ceil{10^n r}$, TAK CHTO DLYA~$s \ge r$ MY POLUCHIM PREDELXNOE ZNACHENIE, RAVNOE~$10(r-1)/9s$. [sM.\ J.\ Franel Naturforschende Gesellschaft, Vierteljahrsschrift, {\bf 62} (Z\"urich, 1917), 286--295.] iTAK, POSLEDOVATELXNOSTX~$P_1(n)$ SODERZHIT PODPOSLEDOVATELXNOSTX, PREDEL KOTOROJ PRI VOZRASTANII~$s$ OT~$1$ DO~$r$, A ZATEM OT~$r$ DO~$10$ SNACHALA VOZRASTAET OT~$(r-1)/9$ DO~$10(r-1)/9r$, A ZATEM UBYVAET SNOVA DO~$(r-1)/9$. oTSYUDA VIDNO, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX~$P_1(n)$ NE IMEET PREDELA I CHTO~$P_1(n)$ NE SLISHKOM HOROSHEE PRIBLIZHENIE K NASHEMU PREDPOLAGAEMOMU OTVETU~$\log_{10} r$! tAK KAK~$P_1(n)$ NI K CHEMU NE STREMITSYA, MOZHNO POPYTATXSYA ESHCHE RAZ ISPOLXZOVATX TU ZHE IDEYU, CHTO I V~\eqref[7], CHTOBY "USREDNENIEM" USTRANITX |TU ANOMALX V POVEDENII NASHEJ POSLEDOVATELXNOSTI. vOOBSHCHE POLOZHIM \EQ[9] { P_{m+1}(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_m(k). } tOGDA $P_{m+1}(n)$~BUDET PROYAVLYATX TENDENCIYU K BOLEE PRAVILXNOMU POVEDENIYU, NEZHELI~$P_m(n)$. pOPYTAEMSYA IZUCHITX POVEDENIE~$P_{m+1}(n)$ DLYA BOLXSHIH~$n$. oPYT, PRIOBRETENNYJ NAMI PRI RASSMOTRENII CHASTNOGO SLUCHAYA~$m=0$, PODSKAZYVAET, CHTO STOIT PRIVLECHX K DELU PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$P_{m+1}(10^n s)$. iMENNO NA |TOM PUTI MY I DOKAZHEM SLEDUYUSHCHIJ REZULXTAT. \proclaim lEMMA~Q. dLYA PROIZVOLXNOGO CELOGO CHISLA~$m \ge 1$ I PROIZVOLXNOGO VESHCHESTVENNOGO CHISLA~$\varepsilon > 0$ NAJDUTSYA TAKIE FUNKCII~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ I TAKOE CELOE CHISLO~$N_m(\varepsilon)$, CHTO PRI~$n > N_m(\varepsilon)$ I~$1 \le s \le 10$ VYPOLNYAYUTSYA NERAVENSTVA \EQ[10] { \displaynarrow{ \abs{P_m(10^n s) - Q_m(s)} < \varepsilon, \hbox{ ESLI~$s \le r$,}\cr \abs{P^m(10^n s) - (Q_m(s)+R_m(s))} < \varepsilon, \hbox{ ESLI~$s>r$.}\cr } } dALEE, FUNKCII~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ UDOVLETVORYAYUT SOOTNOSHENIYAM \EQ[11] { \eqalign{ Q_m(s) &= {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt +\int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt + {1\over 9}\int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt\right);\cr R_m(s) &= {1\over s} \int_r^s R_{m-1}(t)\,dt;\cr Q_0(s) &= 1, \quad R_0(s)= -1.\cr } } %% 276 \proof rASSMOTRIM FUNKCII~$Q_m(s)$, $R_m(s)$, OPREDELENNYE FORMULAMI~\eqref[11], I POLOZHIM \EQ[12]{ S_m(t)=\cases{ Q_m(t), & $t \le r$, \cr Q_m(t)+R_m(t), & $t > r$. \cr } } dOKAZHEM LEMMU INDUKCIEJ PO~$m$. pUSTX SNACHALA~$m=1$; TOGDA~$Q_1(s)=(1/s)(1+(s-1)+(r-10)/9)= 1+(r-10)/9s$ I~$R_1(s)=(r-s)/s$. iZ~\eqref[8] NAHODIM, CHTO \EQ{ \abs{P_1(10^n s) - S_1(s)} = O(n)/10^n; } |TO DOKAZYVAET LEMMU PRI~$m=1$. pRI~$m > 1$ IMEEM \EQ{ P_m(10^n s) = {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} \sum_{10^j \le k < 10^{j+1}} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) + \sum_{10^n \le k \le 10^n s} {1\over 10^n} P_{m-1}(k) \right). } mY HOTIM OCENITX |TU VELICHINU. rAZNOSTX \EQ[13]{ \abs{ \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) - \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} S_{m-1} \left({k \over 10^j}\right) } } MENXSHE~$(q-1)\varepsilon$, KOGDA~$1 \le q \le 10$ I~$j > N_{m-1}(\varepsilon)$, A POSKOLXKU FUNKCIYA~$S_{m-1}(t)$ NEPRERYVNA I POTOMU INTEGRIRUEMA PO rIMANU, TO RAZNOSTX \EQ[14] { \abs{ \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1 \over 10^j} S_{m-1} \left({k\over 10^j}\right) -\int_1^q S_{m-1}(t)\,dt } } MENXSHE~$\varepsilon$ DLYA VSEH~$j$, BOLXSHIH NEKOTOROGO CHISLA~$N$, NE ZAVISYASHCHEGO OT~$q$. mY MOZHEM VYBRATX~$N$ BOLXSHIM, CHEM~$N_{m-1}(\varepsilon)$. sLEDOVATELXNO, PRI~$n > N$ RAZNOSTX \EQ[15]{ \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt+\int_1^s S_{m-1}(t)\,dt\right)} } OGRANICHENA VELICHINOJ \EQ{ \sum_{0 \le j \le N} {M \over 10^{n-j}}+\sum_{N$ RAVNOMERNO SHODITSYA K POSTOYANNOJ FUNKCII~$\log_{10} r$. iNTERESNO DOKAZATX |TU GIPOTEZU YAVNYM VYCHISLENIEM~$Q_m(s)$ I~$R_m(s)$ DLYA VSEH~$m$, CHTO I DELAETSYA V DOKAZATELXSTVE SLEDUYUSHCHEJ TEOREMY. %% 278 \proclaim tEOREMA~F. dLYA VSYAKOGO~$\varepsilon>0$ NAJDETSYA TAKOE CHISLO~$N$, CHTO \EQ[17]{ \abs{P_m(n) - \log_{10} r} < \varepsilon } PRI~$m$,~$n>N$. \proof vVIDU LEMMY~Q, |TOT REZULXTAT BUDET DOKAZAN, ESLI MY SMOZHEM POKAZATX, CHTO SUSHCHESTVUET TAKOE CHISLO~$M$, ZAVISYASHCHEE OT~$\varepsilon$, CHTO DLYA VSEH~$s$ IZ INTERVALA~$1 \le s \le 10$ I VSEH~$m > M$ SPRAVEDLIVY NERAVENSTVA \EQ[18] { \abs{Q_m(s) - \log_{10} r} < \varepsilon \hbox{ I } \abs{R_m(s)} < \varepsilon. } zNACHENIE~$R_m$ NETRUDNO OPREDELITX IZ REKURRENTNOJ FORMULY~\eqref[11]. v SAMOM DELE, IMEEM~$R_0(s)=-1$, $R_1(s)=-1+r/s$, $R_2(s) = -1 + (r/s)(1+\ln (s/r))$ I VOOBSHCHE \EQ[19]{ R_m(s) = -1 + {r \over s} \left(1+{1\over 1!}\ln\left({s \over r}\right) + {1\over 2!} \left(\ln \left({s\over r}\right)\right)^2+ \cdots + {1 \over (m-1)!} \left( \ln\left({s\over r}\right)\right)^{m-1}\right). } dLYA ZNACHENIJ~$s$ IZ UKAZANNOGO INTERVALA |TA FUNKCIYA RAVNOMERNO SHODITSYA K \EQ{ -1 + (r/s) \exp (\ln (s/r)) = 0. } rEKURRENTNAYA FORMULA~\eqref[11] DLYA~$Q_m$ PRINIMAET VID \EQ[20]{ Q_m(s) = {1\over s} \left( c_m + 1 + \int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt\right), } GDE \EQ[21]{ c_m = {1\over 9} \left( \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt + \int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt \right) -1. } FORMULA DLYA OBSHCHEGO CHLENA POSLEDOVATELXNOSTI, OPREDELYAEMOJ REKURRENTNOJ FORMULOJ~\eqref[20], TAKZHE NAHODITSYA BEZ TRUDA; NADO VYPISATX SNACHALA VYRAZHENIYA DLYA NESKOLXKIH PERVYH CHLENOV, SOOBRAZITX, KAKOVA OBSHCHAYA FORMULA, I DOKAZATX EE PO INDUKCII; MY POLUCHIM, CHTO \EQ[22]{ Q_m(s) = 1 + {1\over s} \left( c_m + {1\over 1!}c_{m-1}\ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \cdots + {1\over (m-1)!} (\ln s)^{m-1}\right). } nAM OSTAETSYA TOLXKO VYCHISLITX KO|FFICIENTY~$c_m$, KOTORYE V SILU FORMUL~\eqref[19], \eqref[21] I~\eqref[22] UDOVLETVORYAYUT SOOTNOSHENIYAM \EQ[23]{ \displaynarrow{ c_1 = (r-10)/9,\cr c_{m+1} = {1\over 9} \left( c_m \ln 10 + {1\over 2!}c_{m-1}(\ln 10)^2 + \cdots + {1\over m!}c_1(\ln 10)^m + r \left( 1+ {1\over 1!} \ln {10\over r} + \cdots + {1\over m!} \left( \ln {10 \over r} \right)^m \right) - 10 \right).\cr } } %% 279 eTA POSLEDOVATELXNOSTX KAZHETSYA OCHENX SLOZHNOJ, ODNAKO V DEJSTVITELXNOSTI EE MOZHNO BEZ TRUDA ISSLEDOVATX PRI POMOSHCHI PROIZVODYASHCHIH FUNKCIJ. pOLOZHIM \EQ{ C(z) = c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + \ldots \, . } vVIDU RAVENSTVA~$10^z = 1 + z\ln 10 + z^2 (1/2!) (\ln 10)^2 + \ldots\,$, MY ZAKLYUCHAEM, CHTO \EQ{ c_{m+1} = {1\over 10}c_{m+1} + {9\over 10}c_{m+1} = {1\over 10} \left(c_{m+1} + c_m \ln 10 + \cdots + {1\over m!} c_1 (\ln 10)^m\right) + {r\over 10} \left(1+\cdots+{1\over m!}\left(\ln {10\over r}\right)^m\right) - 1 } ESTX KO|FFICIENT PRI~$z^{m+1}$ V RAZLOZHENII FUNKCII \EQ[24]{ {1\over 10} C(z) 10^z + {rz \over 10} \left({10\over r}\right)^z \left({1\over 1-z}\right) - {1\over 1-z}. } eTO USLOVIE VYPOLNYAETSYA DLYA VSEH ZNACHENIJ~$m$, TAK CHTO~\eqref[24] DOLZHNO RAVNYATXSYA~$C(z)$, I MY POLUCHAEM YAVNUYU FORMULU \EQ[25]{ C(z) = { -z \over 1-z} \left( {(10/r)^{z-1} -1 \over 10^{z-1}-1}\right). } chTOBY ZAVERSHITX NASH ANALIZ, NAM NADO IZUCHITX ASIMPTOTICHESKIE SVOJSTVA KO|FFICIENTOV~$C(z)$. dROBX V SKOBKAH V RAVENSTVE~\eqref[25] STREMITSYA PRI~$z \to 1$ K~$\ln (10/r) / \ln 10 = 1 - \log_{10} r$, OTKUDA SLEDUET, CHTO \EQ[26]{ C(z) + {1 - \log_{10} r \over 1 - r} = R(z) } ESTX ANALITICHESKAYA FUNKCIYA KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ~$z$ V KRUGE \EQ{ \abs{z} < \abs{1+{2 \pi i \over \ln 10}}. } v CHASTNOSTI, RAZLOZHENIE FUNKCII~$R(z)$ SHODITSYA PRI~$z=1$, TAK CHTO EE KO|FFICIENTY STREMYATSYA K NULYU. eTO POKAZYVAET, CHTO KO|FFICIENTY FUNKCII~$C(z)$ VEDUT SEBYA KAK KO|FFICIENTY FUNKCII~$(\log_{10} r - 1)/(1-z)$, TAK CHTO \EQ{ \lim_{m \to \infty} c_m = \log_{10} r -1. } nAKONEC, SOPOSTAVLYAYA |TOT REZULXTAT S FORMULOJ~\eqref[22], POLUCHAEM, CHTO $Q_m(s)$~STREMITSYA K \EQ{ 1 + { \log_{10} r -1 \over s} \left( 1+ \ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \ldots \right) = \log_{10} r } RAVNOMERNO NA OTREZKE~$1 \le s \le 10$. \proofend iTAK, MY DOKAZALI PRYAMYM VYCHISLENIEM NASH LOGARIFMICHESKIJ ZAKON DLYA CELYH CHISEL, PRICHEM ODNOVREMENNO OBNARUZHILI, CHTO, HOTYA ON SLUZHIT OCHENX HOROSHIM PRIBLIZHENIEM DLYA OPISANIYA %% 280 USREDNENNOGO POVEDENIYA, V TOCHNOSTI ON NIKOGDA NE DOSTIGAETSYA. aNALOGICHNYE REZULXTATY DLYA DRUGIH: RASPREDELENIJ BYLI OPUBLIKOVANY u.~fARRI I X.~gURVICEM [Nature, {\bf 155} (Jan.~13, 1945), 52--53]. dOKAZATELXSTVA LEMMY~Q I TEOREMY~F, KOTORYE BYLI ZDESX PRIVEDENY, PREDSTAVLYAYUT SOBOJ UPROSHCHENNYJ I OBOBSHCHENNYJ VARIANT RASSUZHDENII, PRINADLEZHASHCHIH bETTI dZHIN fLEHINGER [{\sl AMM,\/} {\bf 73} (1966), 1056--1061]. dRUGOJ INTERESNYJ PODHOD K RASPREDELENIYAM, SVYAZANNYM S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, BYL PREDLOZHEN eLANOM~g.~kONHEJMOM [{\sl Math. Comp.,\/} {\bf 19} (1965), 143--144]. \excercises \ex[13] eSLI~$u$ I~$v$---DESYATICHNYE CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, IMEYUSHCHIE ODIN I TOT ZHE ZNAK, TO KAKOVO, SOGLASNO TABLICAM sUINI, PRIBLIZHENNOE ZNACHENIE VEROYATNOSTI TOGO, CHTO PRI VYCHISLENII ZNACHENIYA~$u \oplus v$ PROIZOJDET PEREPOLNENIE DROBNOJ CHASTI? \ex[40] pROVEDITE DALXNEJSHIE |KSPERIMENTY SO SLOZHENIEM I VYCHITANIEM CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ DLYA UTOCHNENIYA TABLIC sUINI. \ex[15] nAJDITE, ISHODYA IZ LOGARIFMICHESKOGO ZAKONA, VEROYATNOSTX TOGO, CHTO DVE NACHALXNYE CIFRY DESYATICHNOGO CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ SUTX~"$23$". \ex[18] v TEKSTE OTMECHENO, CHTO NACHALXNYE STRANICY INTENSIVNO ISPOLXZUEMYH TABLIC LOGARIFMOV POTREPANY V BOLXSHEJ STEPENI, CHEM POSLEDNIE STRANICY. a ESLI BY MY RABOTALI VMESTO |TOGO S TABLICEJ \emph{ANTILOGARIFMOV,} T.~E.~TABLICEJ, KOTORAYA DLYA DANNOGO ZNACHENIYA~$\log_{10} x$ UKAZYVAET ZNACHENIE~$x$, KAKIE STRANICY BYLI BY TOGDA SAMYMI POTREPANNYMI? \rex[m20] pREDPOLOZHIM, CHTO VESHCHESTVENNOE CHISLO~$U$ RAVNOMERNO RASPREDELENO V INTERVALE~$0 < U < 1$. kAKOVO RASPREDELENIE NAIBOLEE ZNACHIMOJ CIFRY~$U$? \ex[22] eSLI BY ODNO SLOVO DVOICHNOJ evm SODERZHALO $n+1$~BITOV, TO MY MOGLI BY ISPOLXZOVATX $p$~BITOV DLYA PREDSTAVLENIYA DROBNOJ CHASTI DVOICHNYH CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, ODIN BIT DLYA ZNAKA I $n-p$~BITOV DLYA POKAZATELYA. eTO OZNACHAET, CHTO INTERVAL IZMENENIYA PREDSTAVIMYH ZNACHENIJ, T.~E.\ OTNOSHENIE NAIBOLXSHEGO POLOZHITELXNOGO NORMALIZOVANNOGO ZNACHENIYA K NAIMENXSHEMU, PO SUSHCHESTVU RAVEN~$2^{2^{n-p}}$. To ZHE MASHINNOE SLOVO MOZHNO BYLO BY ISPOLXZOVATX I DLYA PREDSTAVLENIYA \emph{SHESTNADCATERICHNYH} CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, VYDELIV $p+2$~BITOV DLYA DROBNOJ CHASTI ($(p+2)/4$~SHESTNADCATERICHNYH CIFR) I $n-p-2$~BITOV DLYA POKAZATELYA; TOGDA INTERVAL IZMENENIYA ZNACHENIJ BYL BY~$16^{2^{n-p-2}}=2^{2^{n-p}}$, T.~E.\ TOT ZHE, CHTO I RANXSHE, PRICHEM S BOLXSHIM CHISLOM BITOV V DROBNOJ CHASTI. mOZHET VOZNIKNUTX VPECHATLENIE, CHTO MY POLUCHILI CHTO-TO IZ NICHEGO, ODNAKO USLOVIE NORMALIZACII V SLUCHAE OSNOVANIYA~$16$ SLABEE V TOM SMYSLE, CHTO DROBNAYA CHASTX MOZHET SODERZHATX NULI V TREH NAIBOLEE ZNACHIMYH BITAH; TAKIM OBRAZOM, NE VSE IZ $p+2$~BITOV "ZNACHASHCHIE". \hiddenpar iSHODYA IZ LOGARIFMICHESKOGO ZAKONA, VYYASNITE, KAKOVA VEROYATNOSTX TOGO, CHTO DROBNAYA CHASTX POLOZHITELXNOGO NORMALIZOVANNOGO SHESTNADCATERICHNOGO CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ IMEET V TOCHNOSTI $0$, $1$, $2$ I~$3$~NULEVYH NAIBOLEE ZNACHIMYH BITA? oSNOVYVAYASX NA MATERIALE, IZLOZHENNOM V |TOM PUNKTE, OBSUDITE VOPROS O DOSTOINSTVAH SHESTNADCATERICHNOJ SISTEMY V SRAVNENII S DVOICHNOJ. \ex[vm28] dOKAZHITE, CHTO NE SUSHCHESTVUET FUNKCII RASPREDELENIYA~$F(u)$, UDOVLETVORYAYUSHCHEJ SOOTNOSHENIYU~\eqref[5] DLYA KAZHDOGO CELOGO CHISLA~$b\ge 2$ I DLYA VSEH VESHCHESTVENNYH ZNACHENIJ~$r$ IZ INTERVALA~$1 \le r \le b$. \ex[m23] vYPOLNYAETSYA LI SOOTNOSHENIE~\eqref[10] PRI~$m=0$ DLYA SOOTVETSTVUYUSHCHIM OBRAZOM VYBRANNOGO~$N_0(\varepsilon)$? \ex[vm24] pUSTX~$\$---OGRANICHENNAYA POSLEDOVATELXNOSTX VESHCHESTVENNYH CHISEL, TAKAYA, CHTO PREDEL~$\lim_{n\to \infty} x_{\floor{10^n s}} = q(s)$ SUSHCHESTVUET DLYA VSEH~$s$ IZ INTER- %% 281 \bye