vom, chto nesovmestimo s rabotoj sil i dvizhenij v klassicheskoj mehanike. V kvantovoj fizike net neobhodimosti v preryvnom izmenenii -- dazhe nesmotrya na to, chto vse izmerimye velichiny diskretny. |to proishodit sleduyushchim obrazom. Dlya nachala davajte predstavim neskol'ko parallel'nyh vselennyh, slozhennyh podobno kolode kart, prichem vsya koloda predstavlyaet soboj sovokupnost' vselennyh. (Takaya model', v kotoroj vselennye raspolagayutsya posledovatel'no, ves'ma preumen'shaet slozhnost' mul'tiversa, no ona vpolne dostatochna, chtoby proillyustrirovat' to, o chem ya govoryu). Teper' davajte izmenim etu model', chtoby uchest' tot fakt, chto mul'tivers -- eto ne diskretnyj nabor vselennyh, a kontinuum, i to, chto ne vse vselennye razlichny. V dejstvitel'nosti, dlya kazhdoj vselennoj, kotoraya tam prisutstvuet, takzhe sushchestvuet kontinuum identichnyh vselennyh, soderzhashchij opredelennuyu kroshechnuyu, no otlichnuyu ot nulya dolyu mul'tiversa. V nashej modeli etu dolyu mozhno predstavit' cherez tolshchinu karty, prichem kazhdaya karta teper' predstavlyaet vse vselennye dannogo tipa. Odnako, v otlichie ot tolshchiny karty, dolya kazhdogo tipa vselennyh izmenyaetsya so vremenem po kvantovo-mehanicheskim zakonam dvizheniya. Sledovatel'no, dolya vselennyh, obladayushchih dannym svojstvom, tozhe izmenyaetsya i izmenyaetsya nepreryvno. V sluchae s diskretnoj peremennoj, kotoraya izmenyaetsya ot 0 do 1, dopustim, chto eta peremennaya prinimaet znachenie 0 vo vseh vselennyh do nachala izmeneniya, a posle izmeneniya ona prinimaet znachenie 1 vo vseh vselennyh. Vo vremya izmeneniya dolya vselennyh, v kotoryh znachenie ravno 0, ravnomerno umen'shaetsya ot 100% do nulya, a dolya vselennyh, v kotoryh eto znachenie ravno 1, sootvetstvenno rastet ot nulya do 100%. Na risunke 9.4 pokazana tochka zreniya mul'tiversa na podobnoe izmenenie. Ris. 9.4. Perspektiva mul'tiversa na nepriryvnoe izmenenie bita ot 0 do 1 Iz risunka 9.4 mozhet pokazat'sya, chto hotya perehod ot 0 k 1 ob®ektivno nepreryven s perspektivy mul'tiversa, on ostaetsya sub®ektivno preryvnym s perspektivy lyuboj otdel'noj vselennoj -- predstavlennoj, skazhem, gorizontal'noj liniej, dohodyashchej do serediny risunka 9.4. Odnako eto vsego lish' ogranichenie diagrammy, a ne real'naya harakteristika togo, chto proishodit na samom dele. Hotya diagramma vyglyadit tak, slovno v kazhdoe mgnovenie sushchestvuet konkretnaya vselennaya, kotoraya "tol'ko chto izmenilas'" ot 0 do 1, potomu chto ona tol'ko chto "peresekla granicu", na samom dele eto ne tak. Tak byt' ne mozhet, potomu chto takaya vselennaya strogo identichna lyuboj drugoj vselennoj, v kotoroj bit v dannyj moment imeet znachenie 1. Poetomu, esli by zhiteli odnoj iz nih ispytyvali preryvnoe izmenenie, To zhiteli vseh drugih ispytyvali by to zhe samoe. Znachit, ni odna iz nih ne mozhet imet' takoj opyt. Obratite takzhe vnimanie, chto, kak ya ob®yasnyu v glave 11, ideya o chem-to, chto dvizhetsya cherez diagrammu, podobnuyu risunku 9.4, na kotoroj uzhe predstavleno vremya, prosto oshibochna. V kazhdoe mgnovenie bit imeet znachenie 1 v opredelennoj dole vselennyh i 0 -- v drugoj. Vse eti vselennye v kazhdyj moment vremeni uzhe pokazany na risunke 9.4. Oni nikuda ne dvizhutsya! Eshche odin pokazatel' neyavnogo prisutstviya kvantovoj fiziki v klassicheskom vychislenii -- eto zavisimost' vseh variantov prakticheskoj realizacii komp'yuterov tipa mashiny T'yuringa ot takih veshchej kak tverdaya materiya ili namagnichennye materialy, kotorye ne mogli by sushchestvovat' v otsutstvie kvantovo-mehanicheskih effektov. Naprimer, lyuboe tverdoe telo sostoit iz sovokupnosti atomov, sostoyashchih iz elektricheski zaryazhennyh chastic (elektrony i protony v yadre). No iz-za klassicheskogo haosa ni odna sovokupnost' zaryazhennyh chastic ne mogla by ostavat'sya ustojchivoj pri klassicheskih zakonah dvizheniya. Polozhitel'no i otricatel'no zaryazhennye chasticy prosto vyletali by so svoego mesta, stalkivayas' drug s drugom, i konstrukciya raspalas' by. Tol'ko sil'naya kvantovaya interferenciya mezhdu razlichnymi traektoriyami dvizheniya zaryazhennyh chastic v parallel'nyh vselennyh predotvrashchaet takie katastrofy i delaet vozmozhnym sushchestvovanie tverdoj materii. Sozdanie universal'nogo kvantovogo komp'yutera dejstvitel'no vyhodit za ramki sovremennoj tehnologii. Kak ya uzhe skazal, chtoby obnaruzhit' yavlenie interferencii, nuzhno vyzvat' sootvetstvuyushchee vzaimodejstvie vseh peremennyh, kotorye byli otlichnymi vo vselennyh, vstupivshih v interferenciyu. CHem bol'she vzaimodejstvuyushchih chastic, tem slozhnee sprovocirovat' vzaimodejstvie, kotoroe prodemonstrirovalo by interferenciyu, to est' rezul'tat vychisleniya. Sredi mnozhestva tehnicheskih slozhnostej raboty na urovne odnogo atoma ili elektrona odna iz vazhnejshih sostoit v ograzhdenii sredy ot vozdejstviya razlichnyh interferiruyushchih subvychislenij. Poskol'ku, kogda gruppa atomov podvergaetsya yavleniyu interferencii, prichem eti atomy differencirovanno vozdejstvuyut na drugie atomy etoj sredy, to interferenciyu uzhe nevozmozhno obnaruzhit' s pomoshch'yu izmerenij tol'ko ishodnoj gruppy, i eta gruppa uzhe ne vypolnyaet kakoe by to ni bylo poleznoe kvantovoe vychislenie. |to nazyvaetsya dekogerentnost'yu. Sleduet dobavit', chto etu problemu chasto predstavlyayut v lozhnom svete: nam govoryat, chto "kvantovaya interferenciya -- ochen' chuvstvitel'nyj process, i ego sleduet ograzhdat' ot lyubyh vneshnih vozdejstvij". No eto ne tak. Vneshnie vozdejstviya sposobny vyzvat' malejshie nesovershenstva, no imenno effekt kvantovogo vychisleniya vneshnego mira vyzyvaet dekogerentnost'. Takim obrazom, stavka delaetsya na sozdanie submikroskopicheskih sistem, v kotoryh peremennye, nesushchie informaciyu, vzaimodejstvuyut drug s drugom, no okazyvayut na svoyu sredu vozmozhno men'shee vliyanie. Drugoe novoe uproshchenie, unikal'noe dlya kvantovoj teorii vychisleniya, chastichno kompensiruet slozhnosti, vyzyvaemye dekogerentnost'yu. Okazyvaetsya, chto v otlichie ot klassicheskogo vychisleniya, gde neobhodimo razrabatyvat' tochno opredelennye klassicheskie logicheskie elementy, kak-to I, ili i NE, pri kvantovom vychislenii tochnaya forma vzaimodejstvij vryad li imeet znachenie. V sushchnosti, lyubuyu sistemu vzaimodejstvuyushchih bitov atomnogo masshtaba, esli ona ne dekogeriruet, mozhno prisposobit' dlya vypolneniya poleznyh kvantovyh vychislenij. Izvestny interferencionnye yavleniya, vklyuchayushchie ogromnye kolichestva chastic, naprimer, superprovodimost' ili supertekuchest', no kazhetsya, chto ni odno iz nih nevozmozhno ispol'zovat' dlya vypolneniya hot' skol'-nibud' interesnyh vychislenij. Vo vremya napisaniya knigi v laboratorii mozhno bylo bez truda vypolnit' tol'ko odnobitovye kvantovye vychisleniya. Odnako, eksperimentatory uvereny, chto v techenie neskol'kih posleduyushchih let budut sozdany dvuh- i bolee bitovye kvantovye logicheskie elementy (kvantovye ekvivalenty klassicheskih logicheskih elementov). |to osnovnye sostavlyayushchie kvantovyh komp'yuterov. Nekotorye fiziki, osobenno Rol'f Landauer iz Issledovatel'skogo Centra IBM, nastroeny pessimistichno otnositel'no perspektiv budushchih dostizhenij. Oni polagayut, chto dekogerentnost' nikogda ne budet svedena do togo urovnya, gde mozhno budet vypolnit' bol'she, chem neskol'ko posledovatel'nyh etapov kvantovogo vychisleniya. Bol'shinstvo issledovatelej iz etoj oblasti nastroeny gorazdo bolee optimistichno (hotya vozmozhno, eto svyazano s tem, chto nad kvantovym vychisleniem reshayutsya rabotat' tol'ko ochen' bol'shie optimisty!). Uzhe byli postroeny nekotorye specializirovannye kvantovye komp'yutery (smotri nizhe), i lichno ya dumayu, chto poyavlenie bolee slozhnyh kvantovyh komp'yuterov -- skoree delo neskol'kih let, chem desyatiletij. CHto kasaetsya universal'nogo kvantovogo komp'yutera, to ya schitayu, chto ego sozdanie -- eto tozhe tol'ko delo vremeni, hotya mne ne hotelos' by predskazyvat', skol'ko vremeni na eto ujdet: desyatiletiya ili veka. Tot fakt, chto repertuar universal'nogo kvantovogo komp'yutera soderzhit sredy, peredacha kotoryh yavlyaetsya trudnoobrabatyvaemoj dlya klassicheskogo vychisleniya, govorit o tom, chto novye klassy chisto matematicheskih vychislenij tozhe dolzhny stat' legkoobrabatyvaemymi na etom komp'yutere. Kak skazal Galileo, zakony fiziki vyrazhayutsya na yazyke matematiki, a peredacha sredy ekvivalentna ocenke opredelennyh matematicheskih funkcij. Dejstvitel'no, v nastoyashchee vremya obnaruzheno mnozhestvo matematicheskih zadach, kotorye mozhno bylo by effektivno reshit' s pomoshch'yu kvantovogo vychisleniya, tak kak dlya vseh izvestnyh klassicheskih metodov oni yavlyayutsya trudnoobrabatyvaemymi. Naibolee effektnoj iz etih zadach yavlyaetsya zadacha razlozheniya na mnozhiteli bol'shih chisel. V 1994 godu Piter SHor, rabotayushchij v Bell Laboratories, otkryl metod, izvestnyj kak algoritm SHora. (Poka eta kniga korrektirovalas', byli otkryty drugie effektnye kvantovye algoritmy, vklyuchaya algoritm Grovera dlya ochen' bystrogo poiska dlinnyh spiskov). Algoritm SHora chrezvychajno prost i dovol'stvuetsya gorazdo bolee skromnym apparatnym obespecheniem, chem to, kotoroe ponadobilos' by dlya universal'nogo kvantovogo komp'yutera. A potomu veroyatno, chto kvantovoe ustrojstvo dlya razlozheniya na mnozhiteli budet postroeno zadolgo do togo, kak ves' diapazon kvantovyh vychislenij stanet tehnologicheski osushchestvimym. |ta perspektiva imeet grandioznoe znachenie dlya kriptografii (nauki, kotoraya zanimaetsya sekretnoj peredachej informacii i ustanovleniem ee podlinnosti). Real'nye seti svyazi mogut byt' global'nymi i imet' ogromnye, postoyanno izmenyayushchiesya nabory uchastnikov s nepredskazuemymi shemami svyazi. Nepraktichno trebovat', chtoby kazhdaya para uchastnikov zaranee fizicheski obmenivalas' sekretnymi shifroval'nymi klyuchami, kotorye pozvolili by im pozdnee obshchat'sya, ne boyas', chto ih podslushayut. Kriptografiya s otkrytym klyuchom -- eto lyuboj metod otpravki sekretnoj informacii, pri kotorom ni otpravitel', ni poluchatel' ne delyatsya sekretnoj informaciej. Samyj nadezhnyj iz izvestnyh metodov kriptografii s otkrytym klyuchom osnovan na trudnosti obrabotki zadachi razlozheniya na mnozhiteli bol'shih chisel. |tot metod izvesten kak kriptosistema RSA, kotoraya poluchila svoe nazvanie v chest' Ronal'da Rivesta (Rivest), Adi SHamira (Shamir) i Leonarda Adel'mana (Adelman), kotorye vpervye predlozhili ee v 1978 godu. |tot metod obuslovlen matematicheskoj proceduroj, posredstvom kotoroj soobshchenie mozhno zakodirovat', ispol'zuya v kachestve klyucha ogromnoe (skazhem, 250-znachnoe) chislo. Poluchatel' mozhet svobodno obnarodovat' etot klyuch, potomu chto lyuboe soobshchenie, zashifrovannoe s ego pomoshch'yu, mozhno rasshifrovat', tol'ko znaya mnozhiteli etogo chisla. Takim obrazom, ya mogu vybrat' dva 125-znachnyh prostyh chisla i hranit' ih v sekrete, no peremnozhiv, soobshchit' vsem ih 250-znachnoe proizvedenie. Kto ugodno mozhet poslat' mne soobshchenie, ispol'zovav eto chislo kak kod, no tol'ko ya smogu prochitat' eti soobshcheniya, potomu chto tol'ko mne izvestny sekretnye mnozhiteli. Kak ya uzhe skazal, ne sushchestvuet prakticheskoj vozmozhnosti razlozheniya na mnozhiteli 250-znachnogo chisla s ispol'zovaniem klassicheskih sredstv. No kvantovoe ustrojstvo razlozheniya na mnozhiteli, rabotayushchee po algoritmu SHora, moglo by eto sdelat', vypolniv vsego neskol'ko tysyach arifmeticheskih operacij, chto, vozmozhno, bylo by minutnym delom. Takim obrazom, lyuboj chelovek, imeyushchij dostup k takoj mashine, smog by legko prochitat' lyuboe perehvachennoe soobshchenie, zashifrovannoe s pomoshch'yu kriptosistemy RSA. SHifroval'shchikam ne pomoglo by dazhe ispol'zovanie bol'shih chisel v kachestve klyuchej, potomu chto resursy, neobhodimye dlya raboty algoritma SHora, ochen' medlenno uvelichivayutsya s uvelicheniem raskladyvaemogo na mnozhiteli chisla. V kvantovoj teorii vychisleniya razlozhenie na mnozhiteli -- ochen' legko obrabatyvaemaya zadacha. Schitaetsya, chto pri dannom urovne dekogerentnosti snova poyavitsya prakticheskoe ogranichenie velichiny chisla, kotoroe mozhno razlozhit' na mnozhiteli, no neizvesten nizhnij predel tehnologicheski dostizhimoj stepeni dekogerentnosti. Poetomu, my dolzhny sdelat' vyvod, chto odnazhdy v budushchem, vo vremya, kotoroe sejchas nevozmozhno predskazat', kriptosistema RSA s lyuboj dannoj dlinoj klyucha mozhet stat' nesekretnoj. V opredelennom smysle eto delaet ee nesekretnoj dazhe segodnya. Lyuboj chelovek ili organizaciya, kotorye sejchas zapisyvayut soobshcheniya, zakodirovannye v sisteme RSA, i zhdut togo vremeni, kogda smogut kupit' kvantovoe ustrojstvo razlozheniya na mnozhiteli s dostatochno nizkoj dekogerentnost'yu, smogut rasshifrovat' eti soobshcheniya. Vozmozhno, eto proizojdet tol'ko cherez veka, vozmozhno vsego cherez neskol'ko desyatiletij, a mozhet, i eshche ran'she -- kto znaet? No veroyatnost', chto eto proizojdet eshche ne skoro, -- eto vse, chto teper' ostalos' ot byvshej absolyutnoj sekretnosti sistemy RSA. Kogda kvantovoe ustrojstvo razlozheniya na mnozhiteli raskladyvaet na mnozhiteli 250-znachnoe chislo, kolichestvo interferiruyushchih vselennyh budet poryadka 10500, t.e. desyat' v stepeni 500. |to oshelomlyayushche ogromnoe chislo -- prichina togo, pochemu algoritm SHora delaet razlozhenie na mnozhiteli legkoobrabatyvaemym. YA skazal, chto etot algoritm trebuet vypolneniya vsego neskol'kih tysyach arifmeticheskih operacij. Bezuslovno, ya imel v vidu neskol'ko tysyach operacij v kazhdoj vselennoj, kotoraya vnosit vklad v otvet. Vse eti vychisleniya vypolnyayutsya v razlichnyh parallel'nyh vselennyh i delyatsya svoimi rezul'tatami cherez interferenciyu. Vozmozhno, vam interesno, kak my smozhem ubedit' svoih dvojnikov iz 10000 vselennyh nachat' rabotat' nad nashej zadachej razlozheniya na mnozhiteli. Razve u nih net svoih sobstvennyh zadach, chtoby zadejstvovat' komp'yutery? Nam ne nuzhno ih ubezhdat'. Algoritm SHora iznachal'no dejstvuet tol'ko v nabore vselennyh, identichnyh drug drugu, i vyzyvaet v nih otlichiya tol'ko v predelah ustrojstva razlozheniya na mnozhiteli. Poetomu my, tochno opredelivshie chislo, kotoroe nuzhno razlozhit' na mnozhiteli, i zhdushchie otveta, identichny vo vseh interferiruyushchih vselennyh. Nesomnenno, sushchestvuet mnogo drugih vselennyh, v kotoryh my zaprogrammirovali drugoe chislo ili voobshche ne postroili ustrojstvo razlozheniya na mnozhiteli. No eti vselennye otlichayutsya ot nashej slishkom bol'shim kolichestvom peremennyh -- ili tochnee, peremennymi, kotorye programmirovanie algoritma SHora ne privelo k nuzhnomu vzaimodejstviyu, -- i potomu oni ne interferiruyut s nashej vselennoj. Dokazatel'stvo, privedennoe v glave 2, primenitel'no k lyubomu yavleniyu interferencii, razrushaet klassicheskuyu ideyu sushchestvovaniya tol'ko odnoj vselennoj. Logicheski vozmozhnost' kompleksnyh kvantovyh vychislenij nichego ne daet v tom sluchae, na kotoryj uzhe nel'zya otvetit'. No eta vozmozhnost' okazyvaet psihologicheskoe vliyanie. Algoritm SHora rasshiryaet eto dokazatel'stvo. Dlya teh, kto vse eshche sklonen schitat', chto sushchestvuet tol'ko odna vselennaya, ya predlagayu sleduyushchuyu zadachu: ob®yasnite princip dejstviya algoritma SHora. YA ne imeyu v vidu, predskazhite, chto on budet rabotat', poskol'ku dlya etogo dostatochno reshit' neskol'ko neprotivorechivyh uravnenij. YA proshu vas dat' ob®yasnenie. Kogda algoritm SHora razlozhil na mnozhiteli chislo, zadejstvovav primerno 10500 vychislitel'nyh resursov, kotorye mozhno uvidet', gde eto chislo raskladyvalos' na mnozhiteli? Vo vsej vidimoj vselennoj sushchestvuet vsego okolo 1080 atomov, chislo nichtozhno maloe po sravneniyu s 10500. Takim obrazom, esli by vidimaya vselennaya byla meroj fizicheskoj real'nosti, fizicheskaya real'nost' dazhe otdalenno ne soderzhala by resursov, dostatochnyh dlya razlozheniya na mnozhiteli takogo bol'shogo chisla. Kto zhe togda razlozhil ego t mnozhiteli? Kak i gde vypolnyalos' vychislenie? YA govoril o tradicionnyh tipah matematicheskih zadach, kotorye kvantovye komp'yutery smogli by vypolnit' bystree sushchestvuyushchih. No dlya kvantovyh komp'yuterov otkryt i dopolnitel'nyj klass novyh zadach, kotorye ne sposoben reshit' ni odin klassicheskij komp'yuter. Po strannomu sovpadeniyu, odnoj iz pervyh takih zadach obnaruzhili zadachu, takzhe svyazannuyu s kriptografiej s otkrytym klyuchom. Na etot raz delo ne v razrushenii sushchestvuyushchej sistemy, a v realizacii novoj absolyutno sekretnoj sistemy kvantovoj kriptografii. V 1989 godu v N'yu-Jorke, v Issledovatel'skom Centre IBM, v ofise teoretika CHarl'za Bennetta byl postroen pervyj rabochij kvantovyj komp'yuter. |to byl specializirovannyj kvantovyj komp'yuter, sostoyashchij iz dvuh kvantovyh kriptograficheskih ustrojstv, sproektirovannyh Bennettom i ZHilem Brassarom iz Monreal'skogo Universiteta. |tot komp'yuter stal pervoj mashinoj, vypolnivshej nebanal'nye vychisleniya, kotorye ne smogla by vypolnit' ni odna mashina T'yuringa. V kvantovoj kriptosisteme Benneta i Brassara poslaniya kodiruyutsya sostoyaniyami otdel'nyh fotonov, ispuskaemyh lazerom. Nesmotrya na to, chto dlya peredachi soobshcheniya neobhodimo mnogo fotonov (odin foton na bit, plyus te fotony, kotorye tratyatsya na vsevozmozhnye neeffektivnosti), takie mashiny mozhno postroit', ispol'zuya sushchestvuyushchuyu tehnologiyu, potomu chto dlya vypolneniya svoih kvantovyh vychislenij im neobhodim odin foton na raz. Sekretnost' sistemy Osnovana ne na trudnosti obrabotki, kak klassicheskoj, tak i kvantovoj, a neposredstvenno na svojstvah kvantovoj interferencii: imenno ona daet etoj sisteme absolyutnuyu sekretnost', kotoruyu nevozmozhno obespechit' s pomoshch'yu klassicheskih metodov. Nikakoj ob®em budushchih vychislenij ni na kakom komp'yutere cherez milliony ili trilliony let ne pomozhet tomu, kto hotel by podslushat' poslaniya, zakodirovannye kvantovym metodom: poskol'ku, esli kto-libo obshchaetsya cherez sredu, demonstriruyushchuyu interferenciyu, to on smozhet obnaruzhit' podslushivayushchih ego lyudej. V sootvetstvii s klassicheskoj fizikoj net nichego, chto mozhet pomeshat' podslushivayushchemu, kotoryj imeet fizicheskij dostup k srede svyazi, naprimer, k telefonnoj linii, putem ustanovki passivnogo podslushivayushchego ustrojstva. No kak ya uzhe ob®yasnil, esli kto-libo osushchestvlyaet kakoe-libo izmerenie kvantovoj sistemy, on izmenyaet ee posleduyushchie interferencionnye svojstva. Ot etogo effekta zavisit protokol svyazi. Svyazyvayushchiesya storony effektivno stavyat povtoryayushchiesya eksperimenty po interferencii, soglasuya ih cherez obshchestvennyj kanal svyazi. Tol'ko kogda interferenciya projdet proverku na otsutstvie podslushivayushchih, oni perehodyat k sleduyushchej stadii protokola, sostoyashchej v tom, chtoby ispol'zovat' nekotoruyu chast' peredannoj informacii v kachestve kriptograficheskogo klyucha. V hudshem sluchae upornyj podslushivayushchij mozhet pomeshat' svyazi sostoyat'sya (hotya, bezuslovno, etogo proshche dostich', pererezav telefonnuyu liniyu). No chto kasaetsya chteniya soobshcheniya, eto mozhet sdelat' tol'ko poluchatel', dlya kotorogo ono prednaznacheno, eto garantiruyut zakony fiziki. Poskol'ku kvantovaya kriptografiya zavisit ot manipulirovaniya otdel'nymi fotonami, ona stradaet ot znachitel'nogo ogranicheniya. Kazhdyj foton, perenosyashchij odin bit informacii i poluchaemyj posledovatel'no, dolzhen byt' kakim-to obrazom peredan nevredimym ot otpravitelya poluchatelyu. No lyuboj metod peredachi soderzhit poteri, i esli oni slishkom bol'shie, poslanie nikogda ne dostignet svoego adresata. Ustanovka retranslyacionnyh stancij (mera dlya ustraneniya etoj problemy v sushchestvuyushchih sistemah svyazi) podvergla by risku sekretnost', potomu chto podslushivayushchij mog by nablyudat' za tem, chto proishodit vnutri retranslyacionnoj stancii, ne buduchi obnaruzhennym. Luchshie iz sushchestvuyushchih kvantovo-kriptograficheskih sistem ispol'zuyut voloknoopticheskie kabeli i imeyut diapazon okolo desyati kilometrov. |togo bylo by dostatochno, chtoby obespechit', skazhem, ekonomicheskij rajon goroda absolyutno sekretnoj vnutrennej svyaz'yu. Vozmozhno, ne daleki i rynochnye sistemy, no chtoby reshit' zadachu kriptografii s otkrytym klyuchom v obshchem sluchae -- skazhem, dlya global'noj svyazi -- neobhodimo dal'nejshee razvitie kvantovoj kriptografii. |ksperimental'nye i teoreticheskie issledovaniya v oblasti kvantovogo vychisleniya nabirayut temp vo vsem mire. Predlagayut dazhe bolee obeshchayushchie novye tehnologii realizacii kvantovyh komp'yuterov i postoyanno otkryvayut i analiziruyut novye tipy kvantovogo vychisleniya s razlichnymi preimushchestvami pered klassicheskim vychisleniem. YA nahozhu vse eti razrabotki ves'ma zahvatyvayushchimi i schitayu, chto nekotorye iz nih prinesut tehnologicheskie plody. No dlya etoj knigi dannyj vopros nesushchestvenen. S fundamental'noj tochki zreniya ne imeet znacheniya, naskol'ko poleznym okazyvaetsya kvantovoe vychislenie, kak ne imeet znacheniya i to, postroim li my pervyj universal'nyj kvantovyj komp'yuter na sleduyushchej nedele, cherez veka ili ne postroim ego nikogda. V lyubom sluchae, kvantovaya teoriya vychisleniya dolzhna byt' neot®emlemoj chast'yu mirovozzreniya lyubogo cheloveka, ishchushchego fundamental'nogo ponimaniya real'nosti. To, chto kvantovye komp'yutery govoryat nam o svyazi zakonov fiziki, universal'nosti i, na pervyj vzglyad, nesvyazannyh napravlenij ob®yasneniya v strukture real'nosti, my mozhem obnaruzhit' -- i uzhe obnaruzhivaem, -- izuchaya ih teoreticheski. TERMINOLOGIYA Kvantovoe vychislenie -- vychislenie, kotoroe trebuet kvantovo-mehanicheskih processov, osobenno interferencii. Drugimi slovami, vychislenie, kotoroe osushchestvlyayut v sotrudnichestve s parallel'nymi vselennymi. |ksponencial'noe vychislenie -- vychislenie, trebovaniya k resursam kotorogo (naprimer, neobhodimomu vremeni) uvelichivayutsya primerno s postoyannym mnozhitelem pri uvelichenii vvodimogo chisla na kazhdyj posleduyushchij razryad. Legko/trudnoobrabatyvaemyj (Pravilo bystryh priblizhennyh raschetov) -- vychislitel'naya zadacha schitaetsya legkoobrabatyvaemoj, esli resursy, neobhodimye dlya ee vypolneniya, ne uvelichivayutsya eksponencial'no s rostom kolichestva razryadov vvodimogo chisla. Haos -- neustojchivost' dvizheniya bol'shinstva klassicheskih sistem. Nebol'shaya raznica mezhdu dvumya nachal'nymi sostoyaniyami porozhdaet eksponencial'no rastushchie otkloneniya dvuh rezul'tiruyushchih traektorij. Odnako real'nost' podchinyaetsya ne klassicheskoj, a kvantovoj fizike. Nepredskazuemost', vyzvannaya haosom, v obshchem sluchae perekryvaetsya kvantovoj neopredelennost'yu, vyzvannoj tem, chto identichnye vselennye stanovyatsya razlichnymi. Universal'nyj kvantovyj komp'yuter -- komp'yuter, sposobnyj vypolnit' lyuboe vychislenie, kotoroe sposoben vypolnit' lyuboj drugoj kvantovyj komp'yuter, i peredat' lyubuyu konechnuyu fizicheski vozmozhnuyu sredu v virtual'noj real'nosti. Kvantovaya kriptografiya -- lyubaya forma kriptografii, kotoruyu mozhno realizovat' na kvantovyh komp'yuterah, no nevozmozhno na klassicheskih. Specializirovannyj kvantovyj komp'yuter -- kvantovyj komp'yuter, naprimer, kvantovoe kriptograficheskoe ustrojstvo ili kvantovoe ustrojstvo razlozheniya na mnozhiteli, kotoryj ne yavlyaetsya universal'nym kvantovym komp'yuterom. Dekogerentnost' -- kogda razlichnye otrasli kvantovogo vychisleniya v razlichnyh vselennyh po-raznomu vozdejstvuyut na okruzhayushchuyu sredu, interferenciya umen'shaetsya, a vychislenie mozhet ne poluchit'sya. Dekogerentnost' -- eto glavnoe prepyatstvie prakticheskoj realizacii bolee moshchnyh kvantovyh komp'yuterov. REZYUME Zakony fiziki dopuskayut sushchestvovanie komp'yuterov, sposobnyh peredat' lyubuyu fizicheski vozmozhnuyu sredu, ne ispol'zuya nepraktichno bol'shih resursov. Takim obrazom, universal'noe vychislenie ne prosto vozmozhno, kak etogo treboval princip T'yuringa, ono takzhe yavlyaetsya legkoobrabatyvaemym. Kvantovye yavleniya mogut vklyuchat' ogromnoe mnozhestvo parallel'nyh vselennyh, a potomu, mogut ne poddat'sya effektivnomu modelirovaniyu v predelah odnoj vselennoj. Tem ne menee, eta zhiznestojkaya forma universal'nosti po-prezhnemu ostaetsya v sile, potomu chto kvantovye komp'yutery mogut effektivno peredat' lyubuyu fizicheski vozmozhnuyu kvantovuyu sredu, dazhe pri vzaimodejstvii ogromnogo mnozhestva vselennyh. Kvantovye komp'yutery takzhe mogut effektivno reshat' opredelennye matematicheskie zadachi, naprimer, razlozhenie na mnozhiteli, kotorye s klassicheskih pozicij yavlyayutsya trudnoobrabatyvaemymi, a takzhe osushchestvlyat' klassicheski nevozmozhnye raznovidnosti kriptografii. Kvantovoe vychislenie -- eto kachestvenno novyj sposob ispol'zovaniya prirody. Sleduyushchaya glava, veroyatno, privedet v yarost' mnogih matematikov. S etim nichego ne podelaesh'. Matematika -- eto ne to, chem oni ee schitayut. (CHitateli, ne znakomye s tradicionnymi dopushcheniyami otnositel'no opredelennosti matematicheskogo znaniya, mogut poschitat' glavnyj vyvod etoj glavy takovym, chto nashe znanie matematicheskoj istiny zavisit ot nashego znaniya fizicheskogo mira, i ne bolee nadezhno, chem eto znanie yavlyaetsya ochevidnym. Vozmozhno, eti chitateli predpochtut tol'ko prosmotret' etu glavu i srazu zhe perejti k obsuzhdeniyu vremeni v glave 11). Glava 10. Priroda matematiki "Struktura real'nosti", kotoruyu ya opisyval do sih por, byla strukturoj fizicheskoj real'nosti. Tem ne menee, ya svobodno ssylalsya na takie kategorii, kotoryh net nigde v fizicheskom mire, -- abstrakcii, takie kak chisla i beskonechnye mnozhestva komp'yuternyh programm. Da i sami zakony fiziki nel'zya otnesti k fizicheskim kategoriyam v tom smysle, v kakom k nim otnosyatsya kamni i planety, Kak ya uzhe skazal, "Kniga Prirody" Galileo -- vsego lish' metafora. I krome togo, sushchestvuet vymysel virtual'noj real'nosti, nesushchestvuyushchie sredy, zakony kotoryh otlichayutsya ot real'nyh fizicheskih zakonov. Za predelami etih sred nahoditsya to, chto ya nazval sredami "Kantgoutu", kotorye nevozmozhno peredat' dazhe v virtual'noj real'nosti. YA skazal, chto sushchestvuet beskonechno mnogo takih sred dlya kazhdoj sredy, kotoruyu mozhno peredat'. No chto znachit skazat', chto takie sredy "sushchestvuyut"? Esli oni ne sushchestvuyut ni v real'nosti, ni dazhe v virtual'noj real'nosti, to gde oni sushchestvuyut? A sushchestvuyut li abstraktnye nefizicheskie kategorii voobshche? YAvlyayutsya li oni chast'yu struktury real'nosti? V dannoj situacii menya ne zanimayut problemy prostogo ispol'zovaniya slov. Ochevidno, chto chisla, fizicheskie zakony i t. d. dejstvitel'no "sushchestvuyut" v nekotorom smysle i ne sushchestvuyut v drugom. Nezavisimo ot etogo voznikaet sleduyushchij vopros: kak my dolzhny ponimat' takie kategorii? Kakie iz nih yavlyayutsya vsego lish' udobnoj formoj slov, kotorye, v konechnom schete, ssylayutsya na obychnuyu fizicheskuyu real'nost'? Kakie iz nih vsego lish' prehodyashchie osobennosti nashej kul'tury? Kakie iz nih proizvol'ny, kak pravila banal'noj igry, kotorye nuzhno tol'ko posmotret' v prilozhenii? A kakie, esli takie voobshche est', mozhno ob®yasnit' tol'ko, esli pripisat' im nezavisimoe sushchestvovanie? Vse, chto otnositsya k poslednemu vidu, dolzhno byt' chast'yu struktury real'nosti, kak ona opredelyaetsya v etoj knige, potomu chto eto neobhodimo ponyat', chtoby ponyat' vse, chto ponyato. |to govorit o tom, chto nam snova sleduet vospol'zovat'sya kriteriem doktora Dzhonsona. Esli my hotim znat', dejstvitel'no li sushchestvuet dannaya abstrakciya, my dolzhny sprosit', "daet li ona otvetnuyu reakciyu" slozhnym, avtonomnym obrazom. Naprimer, matematiki harakterizuyut "natural'nye chisla" 1, 2, 3,... -- prezhde vsego -- tochnym opredeleniem: 1 -- eto natural'noe chislo. Za kazhdym natural'nym chislom sleduet tol'ko odno chislo, kotoroe takzhe yavlyaetsya natural'nym. 1 ne sleduet ni za kakim natural'nym chislom. Podobnye opredeleniya -- eto popytki abstraktnogo vyrazheniya intuitivnogo fizicheskogo ponyatiya posledovatel'nyh znachenij diskretnoj velichiny. (Tochnee, kak ya ob®yasnil v predydushchej glave, v dejstvitel'nosti eto ponyatie yavlyaetsya kvantovo-mehanicheskim). Arifmeticheskie dejstviya, naprimer, umnozhenie i slozhenie, a takzhe posleduyushchie ponyatiya, podobnye ponyatiyu prostogo chisla, v etom sluchae opredelyayut, ssylayas' na "natural'nye chisla". No sozdav abstraktnye "natural'nye chisla" cherez eto opredelenie i ponyav ih cherez etu intuiciyu, my obnaruzhivaem, chto ostalos' gorazdo bol'she togo, chto my vse eshche ne ponimaem o nih. Opredelenie prostogo chisla raz i navsegda ustanavlivaet, kakie chisla yavlyayutsya prostymi, a kakie ne yavlyayutsya. No ponimanie togo, kakie chisla yavlyayutsya prostymi, -- naprimer, prodolzhaetsya li posledovatel'nost' prostyh chisel beskonechno, kak oni sgruppirovany, naskol'ko i pochemu oni "sluchajny", -- vlechet za soboj novoe ponimanie i izobilie novyh ob®yasnenij. V dejstvitel'nosti okazyvaetsya, chto sama teoriya chisel -- eto celyj mir (etot termin ispol'zuyut chasto). Dlya bolee polnogo ponimaniya chisel my dolzhny opredelit' mnozhestvo novyh klassov abstraktnyh kategorij i postulirovat' mnogo novyh struktur i svyazej mezhdu etimi strukturami. My obnaruzhivaem, chto nekotorye podobnye struktury svyazany s intuiciej drugogo roda, kotoroj my uzhe obladaem, no kotoraya vopreki etomu ne imeet nichego obshchego s chislami -- naprimer, simmetriya, vrashchenie, kontinuum, mnozhestva, beskonechnost' i mnogoe drugoe. Takim obrazom, abstraktnye matematicheskie kategorii, s kotorymi, kak nam kazhetsya, my znakomy, tem ne menee, mogut udivit' ili razocharovat' nas. Oni mogut neozhidanno vozniknut' v novyh naryadah ili maskah. Oni mogut byt' neob®yasnimy, a vposledstvii podojti pod novoe ob®yasnenie. Takim obrazom, oni yavlyayutsya slozhnymi i avtonomnymi, i, sledovatel'no, po kriteriyu doktora Dzhonsona, my dolzhny sdelat' vyvod ob ih real'nosti. Poskol'ku my ne mozhem ponyat' ih ni kak chast' sebya, ni kak chast' chego-libo eshche, chto my uzhe ponimaem, no mozhem ponyat' ih kak nezavisimye kategorii, sleduet sdelat' vyvod, chto oni yavlyayutsya real'nymi, nezavisimymi kategoriyami. Tem ne menee, abstraktnye kategorii neosyazaemy. Oni ne dayut otvetnoj fizicheskoj reakcii tak, kak eto delaet kamen', poetomu eksperiment i nablyudenie ne mogut igrat' v matematike takuyu zhe rol', kakuyu oni igrayut v nauke. V matematike takuyu rol' igraet dokazatel'stvo. Kamen' doktora Dzhonsona okazal otvetnoe vozdejstvie tem, chto v ego noge poyavilas' otdacha. Prostye chisla okazyvayut otvetnoe vozdejstvie, kogda my dokazyvaem chto-to neozhidannoe otnositel'no nih, osobenno, esli my mozhem pojti dal'she i ob®yasnit' eto. S tradicionnoj tochki zreniya klyuchevoe razlichie mezhdu dokazatel'stvom i eksperimentom sostoit v tom, chto dokazatel'stvo ne ssylaetsya na fizicheskij mir. My mozhem osushchestvit' dokazatel'stvo v svoem sobstvennom razume ili vnutri generatora virtual'noj real'nosti, kotoryj peredaet sredu s nepravil'noj fizikoj. Edinstvennoe uslovie zaklyuchaetsya v tom, chto my sleduem pravilam matematicheskogo vyvoda, a potomu dolzhny poluchit' tot zhe samyj otvet, chto i kto-libo eshche. II vnov' shiroko rasprostraneno mnenie, chto, ne schitaya vozmozhnosti poyavleniya grubyh oshibok, kogda my dokazali chto-libo, my absolyutno opredelenno znaem, chto eto istina. Matematiki ves'ma gordyatsya etoj absolyutnoj opredelennost'yu, a uchenye sklonny nemnogo etomu zavidovat'. Delo v tom; chto v nauke nevozmozhno byt' opredelennym otnositel'no kakogo-libo vyskazyvaniya. Nevazhno, naskol'ko horosho ch'i-libo teorii ob®yasnyayut sushchestvuyushchie nablyudeniya, v lyuboj moment kto-to mozhet predostavit' novoe, neob®yasnimoe nablyudenie, kotoroe postavit pod somnenie vsyu sushchestvuyushchuyu ob®yasnitel'nuyu strukturu. Huzhe togo, kto-to mozhet dostich' luchshego ponimaniya, kotoroe ob®yasnyaet ne tol'ko vse sushchestvuyushchie nablyudeniya, no i to, pochemu predydushchie ob®yasneniya kazalis' podhodyashchimi, no, nesmotrya na eto, byli ves'ma oshibochnymi. Galileo, naprimer, obnaruzhil novoe ob®yasnenie vekovogo nablyudeniya, chto zemlya pod nashimi nogami nahoditsya v sostoyanii pokoya, ob®yasnenie, kotoroe vleklo za soboj ideyu o tom, chto v dejstvitel'nosti zemlya dvizhetsya. Virtual'naya real'nost' -- kotoraya mozhet sdelat' tak, chto odna sreda budet kazat'sya drugoj -- podcherkivaet tot fakt, chto kogda nablyudenie vystupaet kak vysshij sud'ya teorij, nikogda ne mozhet vozniknut' hot' kakaya-to opredelennost', chto sushchestvuyushchee ob®yasnenie, kakim by ochevidnym ono ni bylo, hotya by otdalenno yavlyaetsya istinoj. No kogda v kachestve sud'i vystupaet dokazatel'stvo, opredelennost' schitaetsya vozmozhnoj. Govoryat, chto pravila logiki vpervye sformulirovali, nadeyas', chto oni obespechat ob®ektivnyj i obosnovannyj metod razresheniya vseh sporov. |tu nadezhdu nevozmozhno opravdat'. Izuchenie samoj logiki otkrylo, chto oblast' dejstviya logicheskoj dedukcii kak sredstva raskrytiya istiny zhestko ogranichena. Pri nalichii sushchestvuyushchih dopushchenij o mire mozhno sdelat' vyvody deduktivno; no eti vyvody nichut' ne bolee obosnovanny, chem dopushcheniya. Edinstvennye vyskazyvaniya, kotorye mozhet dokazat' logika, ne pribegaya k dopushcheniyam, -- eto tavtologii -- takie utverzhdeniya, kak "vse planety -- eto planety", kotorye nichego ne utverzhdayut. V chastnosti, vse real'nye nauchnye voprosy nahodyatsya za predelami toj oblasti, gde mozhno uladit' spory s pomoshch'yu odnoj logiki. Odnako schitaetsya, chto matematika nahoditsya v predelah etoj oblasti. Takim obrazom, matematiki ishchut absolyutnuyu, no abstraktnuyu istinu, v to vremya kak uchenye uteshayut sebya mysl'yu, chto oni mogut obresti real'noe i poleznoe znanie fizicheskogo mira. No oni dolzhny prinyat', chto eto znanie ne imeet garantij. Ono vechno eksperimental'no i vechno podverzheno oshibkam. Ideya o tom, chto nauku harakterizuet "indukciya", metod dokazatel'stva, kotoryj schitaetsya analogom dedukcii, no chut' bolee podverzhennym oshibkam, -- eto popytka izvlech' vse vozmozhnoe iz etogo postizhimogo vtorosortnogo statusa nauchnogo znaniya. Vmesto deduktivno dokazannyh opredelennostej, vozmozhno, my udovol'stvuemsya induktivno dokazannymi "pochti-opredelennostyami". Kak ya uzhe skazal, ne sushchestvuet takogo metoda dokazatel'stva kak "indukciya". Ideya dokazatel'stva kakim-to obrazom dostignutoj "pochti-opredelennosti" v nauke -- mif. Kakim obrazom ya mog by "pochti-opredelenno" dokazat', chto zavtra ne opublikuyut udivitel'nuyu novuyu fizicheskuyu teoriyu, oprovergayushchuyu moi samye neosporimye dopushcheniya otnositel'no real'nosti? Ili to, chto ya ne nahozhus' vnutri generatora virtual'noj real'nosti? No ya govoryu vse eto ne dlya togo, chtoby pokazat', chto nauchnoe znanie dejstvitel'no "vtorosortno". Ibo ideya o tom, chto matematika daet opredelennosti - eto tozhe mif. S drevnih vremen ideya o privilegirovannom statuse matematicheskogo znaniya chasto associirovalas' s ideej o tom, chto nekotorye abstraktnye kategorii, po krajnej mere, ne prosto yavlyayutsya chast'yu struktury real'nosti, no dazhe bolee real'ny, chem fizicheskij mir. Pifagor schital, chto regulyarnosti v prirode est' vyrazhenie matematicheskih otnoshenij mezhdu natural'nymi chislami. "Vse veshchi est' chisla" -- takov byl ego deviz. On ne imel eto v vidu bukval'no, odnako Platon poshel eshche dal'she i otrical real'nost' fizicheskogo mira voobshche. On schital, chto nashi mnimye oshchushcheniya etogo mira nichego ne stoyat i vvodyat v zabluzhdenie, i dokazyval, chto fizicheskie ob®ekty i yavleniya, kotorye my ponimaem, -- vsego lish' "teni" nesovershennyh kopij ih istinnyh sushchnostej ("Form" ili "Idej"), sushchestvuyushchih v otdel'noj oblasti, kotoraya i est' istinnaya real'nost'. V etoj oblasti, krome vsego prochego, sushchestvuyut Formy chistyh chisel, takih, kak 1, 2, 3, ... , i Formy matematicheskih dejstvij, takih, kak slozhenie i umnozhenie. My mozhem vosprinyat' nekotorye teni etih Form, kogda kladem na stol odno yabloko, potom eshche odno i vidim, chto na stole dva yabloka. Odnako yabloki vyrazhayut "nalichie odnogo" i "nalichie dvuh" (i, v dannom sluchae, "nalichie yablok") nesovershenno. Oni ne yavlyayutsya sovershenno identichnymi, a potomu, v dejstvitel'nosti na stole nikogda net dvuh primerov chego-libo. Na eto mozhno vozrazit', chto chislo dva mozhno takzhe predstavit', polozhiv na stol dva razlichnyh ob®ekta. No i takoe predstavlenie nesovershenno, potomu chto v etom sluchae my dolzhny dopustit', chto na stole takzhe est' kletki, otpavshie ot yablok, pyl' i vozduh. V otlichie ot Pifagora. Platon zanimalsya ne tol'ko natural'nymi chislami. Ego real'nost' soderzhala Formy vseh ponyatij. Naprimer, ona soderzhala Formu sovershennogo kruga. "Krugi", kotorye my vidim, nikogda ne yavlyayutsya dejstvitel'no krugami. Oni ne sovershenno kruglye, ne sovershenno ploskie; u nih est' konechnaya tolshchina i t.d. Vse oni nesovershenny. Zatem Platon ukazal zadachu. Prinimaya vo vnimanie vse eto Zemnoe nesovershenstvo (i on mog by dobavit', nash nesovershennyj sensornyj dostup dazhe k Zemnym krugam), kak voobshche my mozhem znat' to, chto my znaem o real'nyh, sovershennyh krugah? Ochevidno, chto my obladaem znaniem o nih, no kakim obrazom? Gde Evklid priobrel znanie geometrii, kotoroe vyrazil v svoih znamenityh aksiomah, kogda u nego ne bylo ni istinnyh krugov, ni tochek, ni pryamyh? Otkuda ishodit eta opredelennost' matematicheskogo dokazatel'stva, esli nikto ne sposoben oshchutit' te abstraktnye kategorii, na kotorye ono ssylaetsya? Otvet Platona zaklyuchalsya v tom, chto my poluchaem vse eto znanie ne iz etogo mira tenej i illyuzij. My poluchaem ego neposredstvenno iz samogo mira Form. My obladaem sovershennym vrozhdennym znaniem togo mira, kotoroe, kak on schital, zabyvaetsya pri rozhdenii, a zatem skryvaetsya pod sloyami oshibok, vyzvannyh tem, chto my doveryaem svoim chuvstvam. No real'nost' mozhno vspomnit', userdno primenyaya "razum", vposledstvii dayushchij absolyutnuyu opredelennost', kotoruyu nikogda ne mozhet dat' oshchushchenie. Interesno, kto-nibud' kogda-nibud' veril v etu ves'ma somnitel'nuyu fantaziyu (vklyuchaya samogo Platona, kotoryj vse-taki byl ochen' kompetentnym filosofom, schitavshim, chto publike stoit govorit' blagorodnuyu lozh')? Tem ne menee, postavlennaya im zadacha -- kak my mozhem obladat' znaniem, ne govorya uzh ob opredelennosti, abstraktnyh kategorij -- dostatochno real'na, a nekotorye elementy predlozhennogo im resheniya s teh por stali chast'yu obshcheprinyatoj teorii poznaniya. V chastnosti, fakticheski vse matematiki do segodnyashnego dnya bez kritiki prinimayut osnovnuyu ideyu togo, chto matematicheskoe i nauchnoe znanie proistekayut iz razlichnyh istochnikov i chto "osobyj" istochnik matematicheskogo znaniya daet emu absolyutnuyu opredelennost'. Sejchas etot istochnik matematiki nazyvayut matematicheskoj intuiciej, odnako on igraet tu zhe samuyu rol', chto i "vospominaniya" Platona ob oblasti Form. Matematiki mnogo i muchitel'no sporili o tom, otkrytiya kakih v tochnosti vidov sovershenno nadezhnogo znaniya mozhno ozhidat' ot nashej matematicheskoj intuicii. Drugimi slovami, oni soglasny, chto matematicheskaya intuiciya -- istochnik absolyutnoj opredelennosti, no ne mogut prijti k soglasheniyu otnositel'no togo, chto ona im govorit! Ochevidno, chto eto povod dlya beskonechnyh, nerazreshimyh sporov. Bol'shaya chast' takih sporov neizbezhno kasalas' obosnovannosti ili neobosnovannosti razlichnyh metodov dokazatel'stva. Odno iz raznoglasij bylo svyazano s tak nazyvaemymi "mnimymi" chislami. Novye Teoremy ob obychnyh, "veshchestvennyh" chislah dokazyvali, obrashchayas' na promezhutochnyh etapah dokazatel'stva k svojstvam mnimyh chisel. Naprimer, takim obrazom byli dokazany pervye teoremy o raspredelenii prostyh chisel. Odnako nekotorye matematiki vozrazhali protiv mnimyh chisel na tom osnovanii, chto oni ne real'ny. (Sovremennaya terminologiya vse eshche otrazhaet eto staroe raznoglasie dazhe sejchas, kogda my schitaem, chto mnimye chisla tak zhe real'ny, kak i "veshchestvennye"). YA polagayu, chto uchitelya v shkole govorili etim matematikam, chto nel'zya izvlekat' kvadratnyj koren' iz minus odnogo, i, poetomu oni ne ponimali, pochemu kto-libo drugoj mozhet eto sdelat'. Net somneniya v tom, chto oni nazyvali etot zlostnyj poryv "matematicheskoj intuiciej". Odnako drugie matematiki obladali drugoj intuiciej. Oni ponimali, chto takoe mnimye chisla, i kak oni soglasuyutsya s veshchestvennymi. Pochemu, dumali oni, cheloveku ne sleduet opredelyat' novye abstraktnye kategorii, imeyushchie svojstva, kotorye on predpochitaet? Bezuslovno edinstvennym zakonnym osnovaniem zapretit' eto byla by logicheskaya nes