ovmestimost' trebuemyh svojstv. (|to, po sushchestvu,
sovremennoe mnenie, vyrabotannoe vseobshchimi usiliyami, matematik Dzhon Horton
Konuej grubo nazval "Dvizheniem Osvobozhdeniya "Matematikov"). Odnako
obshcheizvestno, chto nikto ne dokazal i to, chto obychnaya arifmetika natural'nyh
chisel yavlyaetsya samosoglasovannoj.
Podobnym raznoglasiyam podverglas' i obosnovannost' ispol'zovaniya
beskonechnyh chisel, a takzhe mnozhestv, soderzhashchih beskonechno mnogo elementov,
i beskonechno malyh velichin, ispol'zuemyh pri ischislenii. Devid Gil'bert,
velikij nemeckij matematik, predostavivshij bol'shuyu chast' infrastruktury kak
obshchej teorii otnositel'nosti, tak i kvantovoj teorii, zametil, chto
"matematicheskaya literatura perepolnena bessmyslicami i nelepostyami,
proistekayushchimi iz beskonechnosti". Nekotorye matematiki, kak my uvidim, vovse
otricali obosnovannost' rassuzhdeniya o beskonechnyh kategoriyah. Legkij dostup
k chistoj matematike v devyatnadcatom veke malo chto sdelal dlya razresheniya etih
raznoglasij. Naprotiv, on tol'ko usugubil ih i porodil novye. Po mere svoego
uslozhneniya matematicheskoe rassuzhdenie neizbezhno udalyalos' ot povsednevnoj
intuicii, chto vozymelo dva vazhnyh protivopolozhnyh sledstviya. Vo-pervyh,
matematiki stali bolee pedantichnymi v otnoshenii dokazatel'stv, kotorye,
prezhde chem byt' prinyatymi, podvergalis' vse bolee surovym proverkam na
sootvetstvie normam tochnosti. No vo-vtoryh, izobreli bolee moshchnye metody
dokazatel'stva, kotorye ne vsegda mozhno bylo obosnovat' s pomoshch'yu
sushchestvuyushchih metodov. I iz-za etogo chasto voznikali somneniya, byl li
kakoj-to chastnyj metod dokazatel'stva, nesmotrya na svoyu samoochevidnost',
absolyutno bezoshibochnym.
Takim obrazom, k 1900 godu nastupil krizis osnov matematiki, kotoryj
zaklyuchalsya v tom, chto etih osnov ne bylo. No chto zhe proizoshlo s zakonami
chistoj logiki? Ih perestali schitat' sposobnymi razreshit' vse matematicheskie
spory? Udivitelen tot fakt, chto teper' matematicheskie spory v sushchnosti i
velis' o "zakonah chistoj logiki". Pervym eti zakony privel v sistemu
Aristotel' eshche v 4 veke do n.e., tem samym zalozhiv to, chto segodnya nazyvayut
teoriej dokazatel'stva. On dopustil, chto dokazatel'stvo dolzhno sostoyat' iz
posledovatel'nosti utverzhdenij, kotoraya nachinaetsya s kakih-libo posylok i
opredelenij, a zakanchivaetsya zhelaemym vyvodom. CHtoby posledovatel'nost'
utverzhdenij byla obosnovannym dokazatel'stvom, kazhdoe utverzhdenie, krome
nachal'nyh posylok, dolzhno sledovat' iz predydushchih v sootvetstvii s odnim iz
postoyannogo nabora zakonov, nazyvaemyh sillogizmami. Tipichnym byl sleduyushchij
sillogizm
Vse lyudi smertny.
Sokrat -- chelovek.
[Sledovatel'no] Sokrat smerten.
Drugimi slovami, eto pravilo glasilo, chto esli v dokazatel'stve
poyavlyaetsya utverzhdenie vida "vse A imeyut svojstvo V" (kak v dannom sluchae
"vse lyudi smertny") i drugoe utverzhdenie vida "individuum H est' A" (kak v
dannom sluchae "Sokrat -- chelovek"), to vposledstvii v dokazatel'stve
obosnovanno poyavlenie utverzhdeniya "X imeet svojstvo V" ("Sokrat smerten"), i
eto utverzhdenie, v chastnosti, yavlyaetsya obosnovannym vyvodom. Sillogizmy
vyrazhayut to, chto my nazvali by pravilami vyvoda, to est' pravilami,
opredelyayushchimi etapy, kotorye dopustimy pri dokazatel'stve, takimi, chto
istina posylok perehodit k vyvodam. Krome togo, eti pravila mozhno primenit',
chtoby opredelit', obosnovano li dannoe dokazatel'stvo.
Aristotel' zayavil, chto vse obosnovannye dokazatel'stva mozhno vyrazit' v
vide sillogizmov. No on ne dokazal eto! A problema teorii Dokazatel'stva
zaklyuchalas' v tom, chto ochen' nebol'shoe kolichestvo sovremennyh matematicheskih
dokazatel'stv vyrazhalis' v vide chistoj posledovatel'nosti sillogizmov; bolee
togo, bol'shinstvo iz nih nevozmozhno bylo privesti k takomu vidu. Tem ne
menee, bol'shinstvo Matematikov ne mogli zastavit' sebya sledovat' bukve
zakona Aristotelya, tak kak nekotorye novye dokazatel'stva kazalis' tak zhe
samoochevidno obosnovannymi, kak i rassuzhdenie Aristotelya. Matematiki pereshli
na novyj etap razvitiya. Novye instrumenty, takie, kak simvolicheskaya logika i
teoriya mnozhestv, pozvolili matematikam ustanovit' novuyu svyaz' mezhdu
matematicheskimi strukturami. Blagodarya etomu poyavilis' novye samoochevidnye
istiny, nezavisimye ot klassicheskih pravil vyvoda, i, takim obrazom,
klassicheskie pravila okazalis' samoochevidno neadekvatnymi. No kakie zhe iz
novyh metodov dokazatel'stva byli dejstvitel'no bezoshibochnymi? Kak nuzhno
bylo izmenit' pravila vyvoda, chtoby oni obreli zakonchennost', na kotoruyu
oshibochno pretendoval Aristotel'? Kak mozhno bylo vernut' absolyutnyj avtoritet
staryh pravil, esli matematiki ne mogli prijti k soglasheniyu otnositel'no
togo, chto yavlyaetsya samoochevidnym, a chto bessmyslennym?
Tem vremenem matematiki prodolzhali stroit' svoi abstraktnye nebesnye
zamki. Dlya prakticheskih celej mnogie takie stroeniya kazalis' dostatochno
nadezhnymi. Nekotorye iz nih stali neobhodimy dlya nauki i tehniki, a
bol'shinstvo obrazovalo krasivuyu i plodotvornuyu strukturu. Tem ne menee,
nikto ne mog garantirovat', chto vsya eta struktura, ili kakaya-to sushchestvennaya
ee chast', ne imela v svoej osnove logicheskogo protivorechiya, kotoroe
bukval'no lishilo by ee vsyakogo smysla. V 1902 godu Bertran Rassel dokazal
nesostoyatel'nost' shemy strogogo opredeleniya teorii mnozhestv, kotoruyu tol'ko
chto predlozhil nemeckij logik Gotlob Frege. |to ne znachilo, chto eta shema
nepremenno byla neobosnovannoj dlya ispol'zovaniya mnozhestv v dokazatel'stvah.
Na samom dele sovsem nemnogie matematiki vser'ez schitali, chto hot' kakoj-to
iz obychnyh sposobov ispol'zovaniya mnozhestv, arifmetiki ili drugih klyuchevyh
razdelov matematiki mozhet byt' neobosnovannym. V rezul'tatah Rassela
porazhalo to, chto matematiki verili, chto ih predmet yavlyaetsya par excellence
sredstvom polucheniya absolyutnoj opredelennosti cherez dokazatel'stvo
matematicheskih teorem. Sama vozmozhnost' raznoglasij otnositel'no
obosnovannosti razlichnyh metodov dokazatel'stva podryvala vsyu sut' (kak
schitalos') predmeta.
Poetomu mnogie matematiki chuvstvovali, chto podvedenie pod teoriyu
dokazatel'stva, a tem samym i pod samu matematiku, nadezhnoj osnovy bylo
nasushchnym delom, ne terpyashchim otlagatel'stva. Oni hoteli ob®edinit'sya posle
svoih oprometchivyh vypadov, chtoby raz i navsegda opredelit', kakie vidy
dokazatel'stva yavlyayutsya absolyutno nadezhnymi, a kakie net. Vse, chto okazalos'
vne zony nadezhnosti, mozhno bylo by otbrosit', a vse, chto popadalo v etu
zonu, stalo by edinstvennoj osnovoj vsej budushchej matematiki.
V etoj svyazi gollandskij matematik Lejtzen |gbert YAn Brauer
propagandiroval chrezvychajno konservativnuyu strategiyu teorii dokazatel'stva,
izvestnuyu kak intuicionizm, kotoraya i po sej den' imeet svoih storonnikov.
Intuicionisty pytayutsya tolkovat' "intuiciyu" samym ogranichennym postizhimym
obrazom, ostavlyaya lish' to, chto oni schitayut ee neosporimymi samoochevidnymi
aspektami. Zatem oni podnimayut takim obrazom opredelennuyu matematicheskuyu
intuiciyu na uroven' dazhe bolee vysokij, chem pozvolyal sebe Platon: oni
schitayut ee bolee veskoj, chem dazhe chistaya logika. Takim obrazom, oni schitayut
samu logiku nenadezhnoj, za isklyucheniem teh sluchaev, kogda ee dokazyvaet
pryamaya matematicheskaya intuiciya. Naprimer, intuicionisty otricayut, chto mozhno
imet' pryamuyu intuiciyu kakoj-libo beskonechnoj kategorii. Sledovatel'no, oni
otricayut sushchestvovanie lyubyh beskonechnyh mnozhestv, naprimer, mnozhestva vseh
natural'nyh chisel. Vyskazyvanie o tom, chto "sushchestvuet beskonechno mnogo
natural'nyh chisel", oni sochli by samoochevidno lozhnym. A vyskazyvanie o tom,
chto "sushchestvuet bol'she sred Kantgoutu, chem fizicheski vozmozhnyh sred", --
absolyutno bessmyslennym.
Istoricheski intuicionizm, ravno kak i induktivizm, sygral cennuyu
osvoboditel'nuyu rol'. On osmelilsya podvergnut' somneniyu poluchennye
opredelennosti -- nekotorye iz kotoryh dejstvitel'no okazalis' lozhnymi. No
kak pozitivnaya teoriya o tom, chto yavlyaetsya ili ne yavlyaetsya obosnovannym
matematicheskim dokazatel'stvom, on i grosha lomanogo ne stoit. V
dejstvitel'nosti intuicionizm -- eto tochnoe vyrazhenie solipsizma v
matematike. V oboih sluchayah nablyudaetsya CHrezmernaya reakciya na mysl' o tom,
chto my ne mozhem byt' uvereny v tom, chto nam izvestno o bolee otdalennom
mire. V oboih sluchayah predlozhennoe reshenie sostoit v tom, chtoby ujti vo
vnutrennij mir, kotoryj my, predpolozhitel'no, mozhem poznat' napryamuyu, i
sledovatel'no (?), mozhem byt' uvereny, chto poznali istinu. V oboih sluchayah
reshenie zaklyuchaetsya v otricanii sushchestvovaniya -- ili, po krajnej Mere, v
otkaze ot ob®yasneniya -- togo, chto nahoditsya vovne. I v oboih sluchayah etot
otkaz takzhe delaet nevozmozhnym ob®yasnenie bol'shej CHasti togo, chto nahoditsya
vnutri predpochitaemoj oblasti. Naprimer, esli dejstvitel'no lozhno to (kak
utverzhdayut intuicionisty), chto sushchestvuet beskonechno mnogo natural'nyh
chisel, to mozhno sdelat' vyvod, chto mozhet sushchestvovat' tol'ko konechnoe
mnozhestvo takih chisel. A skol'ko ih mozhet byt'? I potom, skol'ko by ih ne
bylo, pochemu nel'zya sozdat' intuiciyu sleduyushchego natural'nogo chisla,
prevyshayushchego poslednee? Intuicionisty opravdalis' by v etom sluchae, skazav,
chto privedennyj mnoj argument dopuskaet obosnovannost' obychnoj logiki. V
chastnosti, on soderzhit process vyvoda: iz fakta, chto ne sushchestvuet
beskonechno mnogo natural'nyh chisel, delaetsya vyvod, chto dolzhno sushchestvovat'
kakoe-to konkretnoe kolichestvo natural'nyh chisel. Primenyaemoe v dannom
sluchae pravilo vyvoda nazyvaetsya zakonom isklyuchennogo tret'ego. |tot zakon
glasit, chto dlya lyubogo vyskazyvaniya H (naprimer, "sushchestvuet beskonechno
mnogo natural'nyh chisel"), ne sushchestvuet tret'ej vozmozhnosti krome
istinnosti H i istinnosti otricaniya H ("sushchestvuet konechnoe mnozhestvo
natural'nyh chisel"). Intuicionisty hladnokrovno otricayut zakon isklyuchennogo
tret'ego.
Poskol'ku v razume bol'shinstva lyudej sam zakon isklyuchennogo tret'ego
podkreplen moshchnoj intuiciej, ego otricanie estestvenno vyzyvaet u
neintuicionistov somnenie v tom, tak li uzh samoochevidna nadezhnost' intuicii
intuicionistov. Ili, esli my sochtem, chto zakon isklyuchennogo tret'ego ishodit
iz logicheskoj intuicii, on privodit nas k peresmotru voprosa o tom,
dejstvitel'no li matematicheskaya intuiciya prevoshodit logiku. V lyubom sluchae
mozhet li eto prevoshodstvo byt' samoochevidnym?
No vse eto napravleno na kritiku intuicionizma izvne. |to ne
oproverzhenie: intuicionizm nevozmozhno oprovergnut' voobshche. Esli kto-libo
nastaivaet, chto dlya nego ochevidno samosoglasovannoe vyskazyvanie, kak esli
by on nastaival na tom, chto sushchestvuet tol'ko on odin, dokazat' ego
nepravotu nevozmozhno. Odnako, kak i v sluchae s solipsizmom, voistinu rokovaya
oshibka intuicionizma otkryvaetsya ne togda, kogda na nego napadayut, a togda,
kogda ego vser'ez prinimayut, na ego zhe sobstvennoj osnove, v kachestve
ob®yasneniya svoego sobstvennogo, proizvol'no usechennogo mira. Intuicionisty
veryat v real'nost' konechnogo mnozhestva natural'nyh chisel 1, 2, 3. ... , i
dazhe 10949769651859. No intuitivnyj argument, chto poskol'ku za kazhdym iz
etih chisel sleduet eshche odno, znachit, oni obrazuyut beskonechnuyu
posledovatel'nost', Intuicionisty schitayut ne bolee chem samoobmanom ili
iskusstvennost'yu i bukval'no nesostoyatel'nym. No usilivaya svyaz' mezhdu svoej
versiej abstraktnyh "natural'nyh chisel" i intuiciej, chto pervonachal'no eti
chisla dolzhny byli byt' formalizovany, intuicionisty takzhe sami otricayut
obychnuyu ob®yasnitel'nuyu strukturu, cherez kotoruyu ponimayut natural'nye chisla.
|to vyzyvaet problemu dlya kazhdogo, kto predpochitaet ob®yasneniya neob®yasnennym
uslozhneniyam. Vmesto togo chtoby reshit' etu problemu, predostaviv dlya
natural'nyh chisel al'ternativnuyu ili bolee glubokuyu ob®yasnitel'nuyu
strukturu, intuicionizm delaet to zhe samoe, chto delala Inkviziciya i chto
delali solipsisty: on eshche dal'she uhodit ot ob®yasnenij. On vvodit dal'nejshie
neob®yasnennye uslozhneniya (v dannom sluchae otricanie zakona isklyuchennogo
tret'ego), edinstvennaya cel' kotoryh sostoit v tom, chtoby pozvolit'
intuicionistam vesti sebya tak, kak esli by ob®yasneniya ih protivnikov byli
istinnymi, no ne delaya iz etogo nikakih vyvodov otnositel'no real'nosti.
Tochno tak zhe kak solipsizm nachinaetsya s motivacii uproshcheniya pugayushche
raznoobraznogo i neopredelennogo mira, no pri ser'eznom k nemu otnoshenii
okazyvaetsya realizmom v sochetanii s neskol'kimi nenuzhnymi uslozhneniyami, tak
i intuicionizm okanchivaetsya tem, chto stanovitsya odnoj iz samyh
kontrintuitivnyh doktrin, kotorye kogda-libo vser'ez propagandirovali.
Devid Gil'bert predlozhil gorazdo bolee razumnyj -- hotya, v konechnom
schete, i obrechennyj -- plan "raz i navsegda vvesti ubezhdennost' v
matematicheskih metodah". Plan Gil'berta osnovyvalsya na idee soglasovannosti.
On nadeyalsya sostavit' polnyj nabor sovremennyh pravil vyvoda matematicheskih
dokazatel'stv s opredelennymi svojstvami. Kolichestvo takih pravil dolzhno
bylo byt' konechnym. Oni Dolzhny byli byt' primenimy napryamuyu, tak chtoby
opredelit', udovletvoryaet li im kakoe-to predlozhennoe dokazatel'stvo, ne
sostavlyalo by truda i ne vyzyvalo protivorechij. ZHelatel'no, chtoby eti
pravila byli intuitivno samoochevidnymi, no eto ne bylo pervostepennym
trebovaniem dlya pragmatichnogo Gil'berta. On byl by udovletvoren, esli by
pravila lish' umerenno sootvetstvovali intuicii pri uslovii, chto on mog by
byt' uveren v ih samosoglasovannosti. To est', esli pravila opredelili
dannoe dokazatel'stvo kak obosnovannoe, on hotel byt' uveren, chto oni
nikogda ne opredelyat kak obosnovannoe lyuboe drugoe dokazatel'stvo s
protivopolozhnym vyvodom. Kak on mog byt' Uveren v etom? Na etot raz
soglasovannost' dolzhna byla byt' dokazana s pomoshch'yu metoda dokazatel'stva,
kotoryj sam priderzhivalsya teh zhe pravil vyvoda. Takim obrazom, Gil'bert
nadeyalsya vosstanovit' zavershennost' i opredelennost' Aristotelya. On takzhe
nadeyalsya, chto s pomoshch'yu etih pravil budet, v principe, dokazuemo lyuboe
istinnoe matematicheskoe utverzhdenie i ne budet dokazuemo lyuboe lozhnoe
utverzhdenie. V 1900 godu v oznamenovanie nachala veka Gil'bert opublikoval
spisok zadach, kotorye, kak on nadeyalsya, matematiki smogut reshit' v dvadcatom
veke. Desyataya zadacha zaklyuchalas' v nahozhdenii nabora pravil vyvoda s
vysheukazannymi svojstvami i dokazatel'stve ih sostoyatel'nosti v sootvetstvii
s ih sobstvennymi normami.
Gil'bertu bylo prednachertano perezhit' razocharovanie. Tridcat' odin god
spustya Kurt Gedel' sozdal revolyucionnuyu teoriyu dokazatel'stva s korennym
oproverzheniem, kotoraya do sih por yavlyaetsya otpravnoj tochkoj dlya
matematicheskogo i fizicheskogo mirov: on dokazal, chto desyataya zadacha
Gil'berta ne imeet resheniya. Vo-pervyh, Gedel' dokazal, chto lyuboj nabor
pravil vyvoda, sposobnyj pravil'no obosnovat' dazhe dokazatel'stva obychnoj
arifmetiki, nikogda ne smozhet obosnovat' dokazatel'stvo svoej sobstvennoj
soglasovannosti. Sledovatel'no, nechego i nadeyat'sya najti dokazuemo
soglasovannyj nabor pravil, kotoryj predvidel Gil'bert. Vo-vtoryh, Gedel'
dokazal, chto esli kakoj-to nabor pravil vyvoda v nekotoroj (dostatochno
obshirnoj) oblasti matematiki yavlyaetsya soglasovannym (nevazhno, dokazuemo eto
ili net), to v predelah etoj oblasti dolzhny sushchestvovat' obosnovannye metody
dokazatel'stva, kotorye eti pravila ne mogut opredelit' kak obosnovannye.
|to nazyvaetsya teoremoj Gedelya o nepolnote. Dlya dokazatel'stva svoih teorem
Gedel' pol'zovalsya zamechatel'nym rasshireniem "diagonal'nogo dokazatel'stva"
Kantora, o kotorom ya upominal v glave 6. On nachal s rassmotreniya lyubogo
soglasovannogo nabora pravil vyvoda. Zatem on pokazal, kak sostavit'
utverzhdenie, kotoroe nevozmozhno ni dokazat', ni oprovergnut' s pomoshch'yu etih
pravil. Zatem on dokazal, chto eto vyskazyvanie istinno.
Esli by programma Gil'berta rabotala, eto bylo by plohoj novost'yu dlya
koncepcii real'nosti, vydvigaemoj mnoj v etoj knige, poskol'ku eto ustranilo
by neobhodimost' ponimaniya pri kritike matematicheskih idej. Kto ugodno --
ili kakaya ugodno nerazumnaya mashina, -- sposobnyj vyuchit' naizust' pravila
vyvoda, na kotorye tak nadeyalsya Gil'bert, smog by tak zhe horosho ocenivat'
matematicheskie vyskazyvaniya, kak i samyj sposobnyj matematik, ne nuzhdayas' v
matematicheskom ponimanii ili dazhe ne imeya samogo otdalennogo ponyatiya o
smysle etogo vyskazyvaniya. V principe, bylo by vozmozhno delat' novye
matematicheskie otkrytiya, ne znaya matematiki voobshche, a znaya tol'ko pravila
Gil'berta. Mozhno bylo by prosto proveryat' vse vozmozhnye stroki bukv i
matematicheskih simvolov v alfavitnom poryadke, poka odna iz nih ne
udovletvorila by proverke na to, yavlyaetsya li ona dokazatel'stvom kakoj-libo
znamenitoj nedokazannoj gipotezy ili net. V principe, tak mozhno bylo by
uladit' lyuboe raznoglasie v matematike, dazhe ne ponimaya ego smysla -- dazhe
ne znaya znacheniya simvolov, ne govorya uzh o ponimanii principa dejstviya
dokazatel'stva ili togo, chto ono dokazyvaet, ili v chem zaklyuchaetsya metod
dokazatel'stva, ili pochemu ono nadezhno.
Mozhet pokazat'sya, chto dostizhenie edinyh norm dokazatel'stva v
matematike moglo by, po krajnej mere, pomoch' nam vo vseobshchem stremlenii k
ob®edineniyu -- to est' "uglubleniyu" nashego znaniya, na kotoroe ya ssylalsya v
glave 1. Odnako proishodit obratnoe. Podobno predskazatel'noj "teorii vsego"
v fizike, pravila Gil'berta pochti nichego ne skazali by nam o strukture
real'nosti. Oni realizovali by, v predelah matematiki, predel'noe videnie
redukcionistov, predskazyvayushchee vse (v principe), no nichego ne ob®yasnyayushchee.
Bolee togo, esli by matematika byla redukcionistskoj naukoj, to vse
nezhelaemye cherty, kotorye, kak ya dokazal v glave 1, otsutstvuyut v strukture
chelovecheskogo znaniya, prisutstvovali by v matematike: matematicheskie idei
sozdali by ierarhiyu, v osnove kotoroj lezhali by pravila Gilberta.
Matematicheskie istiny, proverka kotoryh, ishodya iz etih pravil, okazalas' by
ochen' slozhna, stali by ob®ektivno menee fundamental'nymi, chem te, kotorye
mozhno bylo by nemedlenno proverit' s pomoshch'yu etih pravil. Poskol'ku mog
sushchestvovat' tol'ko konechnyj nabor takih fundamental'nyh istin, so vremenem
matematike prishlos' by zanimat'sya dazhe menee fundamental'nymi zadachami.
Matematika vpolne mogla ischerpat' sebya pri etoj zloveshchej gipoteze. Esli by
etogo ne proizoshlo, ona neizbezhno raspalas' by na dazhe bolee zagadochnye
specializacii, po mere uvelicheniya slozhnosti "ishodyashchih" voprosov, kotorye
matematiki byli by vynuzhdeny reshat', i po mere eshche bol'shego otdaleniya etih
voprosov ot osnov samogo predmeta.
Blagodarya Gedelyu my znaem, chto nikogda ne budet neprelozhnogo metoda
opredeleniya istinnosti matematicheskogo vyskazyvaniya, kak ne sushchestvuet i
neprelozhnogo metoda opredeleniya istinnosti nauchnoj teorii. Kak nikogda ne
budet i neprelozhnogo metoda sozdaniya novogo matematicheskogo znaniya.
Sledovatel'no, matematicheskij progress vsegda budet zaviset' ot
ispol'zovaniya tvorchestva. Izobretenie novyh vidov dokazatel'stva vsegda
budet vozmozhno i neobhodimo dlya matematikov. Oni budut obosnovyvat' ih s
pomoshch'yu novyh argumentov i novyh sposobov ob®yasneniya, zavisyashchih ot ih
nepreryvno uvelichivayushchegosya ponimaniya abstraktnyh kategorij, svyazannyh s
etim dokazatel'stvom. Primerom sluzhat teoremy samogo Gedelya: chtoby dokazat'
ih, emu prishlos' izobresti novyj metod dokazatel'stva. YA skazal, chto etot
metod byl osnovan na "diagonal'nom dokazatel'stve", odnako Gedel' po-novomu
rasshiril eto dokazatel'stvo. Do nego tak nichego ne dokazyvali; nikakie
pravila vyvoda, sostavlennye kem-libo, kto nikogda ne videl metoda Gedelya,
ne mogli by opredelit' ego kak obosnovannyj. Odnako on yavlyaetsya samoochevidno
obosnovannym. Otkuda ishodit eta samoochevidnost'? Ona ishodit iz ponimaniya
Gedelem prirody dokazatel'stva. Dokazatel'stva Gedelya tak zhe neosporimy, kak
i lyubye drugie matematicheskie dokazatel'stva, no tol'ko dlya togo, kto prezhde
pojmet soprovozhdayushchee ih ob®yasnenie.
Takim obrazom, ob®yasnenie vse-taki igraet tu zhe samuyu pervostepennuyu
rol' v chistoj matematike, kak ono igraet ee v nauke. Ob®yasnenie i ponimanie
mira -- fizicheskogo mira i mira matematicheskih abstrakcij -- v oboih sluchayah
yavlyaetsya cel'yu izucheniya. Dokazatel'stvo i nablyudeniya -- eto vsego lish'
sredstva proverki nashih ob®yasnenij.
Rodzher Penrouz izvlek iz rezul'tatov Gedelya eshche bolee glubokij,
radikal'nyj i dostojnyj Platona urok. Kak i Platona, Penrouza voshishchaet
sposobnost' chelovecheskogo razuma postigat' abstraktnye opredelennosti
matematiki. V otlichie ot Platona Penrouz ne verit v sverh®estestvennoe i
prinimaet kak samo soboj razumeyushcheesya, chto mozg -- chast' estestvennogo mira
i imeet dostup tol'ko k etomu miru. Takim obrazom, zadacha dlya nego vstaet
dazhe bolee ostro, chem dlya Platona: kak mozhet besporyadochnyj, nenadezhnyj mir
davat' matematicheskie opredelennosti takoj besporyadochnoj i nenadezhnoj chasti
sebya, kakoj yavlyaetsya matematik? V chastnosti, Penrouza udivlyaet, kak my mozhem
ponyat' bezoshibochnost' novyh obosnovannyh form dokazatel'stva, kotoryh, kak
uveryaet Gedel', beskonechno mnogo.
Penrouz vse eshche rabotaet nad podrobnym otvetom, no on zayavlyaet, chto
samo sushchestvovanie svobodnoj matematicheskoj intuicii takogo roda
fundamental'no nesovmestimo s sushchestvuyushchej strukturoj fiziki i, v chastnosti,
s principom T'yuringa. Vkratce ego dokazatel'stvo vyglyadit primerno tak. Esli
princip T'yuringa istinnyj, to my mozhem rassmatrivat' mozg (podobno lyubomu
drugomu ob®ektu) kak komp'yuter, obrabatyvayushchij opredelennuyu programmu.
Vzaimodejstviya mozga s okruzhayushchej sredoj sostavlyayut vvodimye i vyvodimye
dannye. Teper' rassmotrim matematika v processe resheniya, obosnovan ili net
nedavno predlozhennyj vid dokazatel'stva. Prinyatie takogo resheniya
ekvivalentno obrabotke komp'yuternoj programmy obosnovaniya dokazatel'stva v
mozge matematika. Takaya programma realizuet nabor pravil vyvoda Gil'berta,
kotorye, v sootvetstvii s teoremoj Gedelya, ne mogut byt' zakonchennymi. Bolee
togo, kak ya uzhe skazal, Gedel' predostavlyaet sposob sozdaniya i
dokazatel'stva istinnogo vyskazyvaniya, kotoroe eti pravila ne sposobny
priznat' dokazannym. Sledovatel'no, matematik, razum kotorogo yavlyaetsya
effektivnym komp'yuterom, primenyayushchim eti pravila, takzhe nikogda ne smozhet
priznat' eto vyskazyvanie dokazannym. Zatem Penrouz predlagaet pokazat'
etomu samomu matematiku eto vyskazyvanie i metod dokazatel'stva ego
istinnosti Gedelem. Matematik ponimaet dokazatel'stvo. Ono vse-taki
samoochevidno obosnovanno, poetomu matematik, veroyatno, smozhet uvidet', chto
ono obosnovanno. No eto by protivorechilo teoreme Gedelya. Sledovatel'no,
gde-to v dokazatel'stve dolzhno byt' lozhnoe dopushchenie, i Penrouz schitaet, chto
etim lozhnym dopushcheniem yavlyaetsya princip T'yuringa.
Bol'shinstvo specialistov po vychislitel'noj tehnike ne soglasny s
Penrouzom, chto princip T'yuringa -- naibolee slaboe zveno v ego
dokazatel'stve. Oni skazali by, chto matematik iz ego dokazatel'stva v samom
dele ne smozhet priznat' vyskazyvanie Gedelya dokazannym. Mozhet pokazat'sya
strannym, pochemu matematik vdrug ne smozhet ponyat' samoochevidnoe
dokazatel'stvo. No vzglyanite na sleduyushchee vyskazyvanie:
Devid Dojch ne mozhet sostavit' posledovatel'noe suzhdenie ob istinnosti
etogo utverzhdeniya.
YA starayus' izo vseh sil, no ne mogu sostavit' posledovatel'noe suzhdenie
o ego istinnosti. Poskol'ku, esli by ya sdelal eto, ya by sostavil suzhdenie o
tom, chto ya ne mogu sostavit' suzhdenie o ego istinnosti, i vstupil by v
protivorechie s samim soboj. Odnako vy vidite, chto ono Istinno, ne tak li?
|to pokazyvaet, chto vyskazyvanie, po krajnej mere, mozhet byt' neob®yasnimym
dlya odnogo cheloveka, no samoochevidno Istinnym dlya vseh ostal'nyh.
V lyubom sluchae Penrouz nadeetsya na novuyu fundamental'nuyu teoriyu fiziki,
kotoraya zamenit kak kvantovuyu teoriyu, tak i obshchuyu teoriyu otnositel'nosti.
Ona davala by novye predskazaniya, kotorye mozhno proverit', hotya ona,
bezuslovno, ne protivorechila by ni kvantovoj teorii, ni teorii
otnositel'nosti vo vseh sushchestvuyushchih nablyudeniyah. (Ne sushchestvuet izvestnyh
eksperimental'nyh primerov, oprovergayushchih takie teorii). Odnako mir Penrouza
po svoej suti ves'ma otlichen ot togo, chto opisyvaet sushchestvuyushchaya fizika. Ego
osnovnoj strukturoj real'nosti yavlyaetsya to, chto my nazyvaem mirom
matematicheskih abstrakcij. V etom otnoshenii Penrouz, real'nost' kotorogo
vklyuchaet vse matematicheskie abstrakcii, no, veroyatno, ne vse abstrakcii
(podobnye chesti i spravedlivosti), nahoditsya gde-to mezhdu Platonom i
Pifagorom. To, chto my nazyvaem fizicheskim mirom, yavlyaetsya dlya nego vpolne
real'nym (eshche odno otlichie ot Platona), no kakim-to obrazom eto yavlyaetsya
chast'yu samoj matematiki, ili vytekaet iz nee. Bolee togo, v ego mire ne
sushchestvuet universal'nosti; v chastnosti, ne sushchestvuet mashiny, sposobnoj
peredat' vse vozmozhnye myslitel'nye processy lyudej. Odnako mir (konechno, v
osobennosti ego matematicheskoe osnovanie), tem ne menee, ostaetsya
postizhimym. Ego postizhimost' garantirovana ne universal'nost'yu vychislenij, a
yavleniem, dostatochno novym dlya fiziki (hotya i ne dlya Platona):
matematicheskie kategorii napryamuyu vzaimodejstvuyut s chelovecheskim mozgom
cherez fizicheskie processy, kotorye eshche predstoit otkryt'. Takim obrazom,
mozg, po Penrouzu, zanimaetsya matematikoj, ssylayas' ne tol'ko na to, chto my
sejchas nazyvaem fizicheskim mirom. On imeet pryamoj dostup k real'nosti
matematicheskih Form Platona i mozhet postich' tam matematicheskie istiny (za
isklyucheniem grubyh oshibok) s absolyutnoj opredelennost'yu.
CHasto predpolagayut, chto mozg mozhet byt' kvantovym komp'yuterom i chto ego
intuiciya, soznanie i sposobnosti k resheniyu zadach mogut zaviset' ot kvantovyh
vychislenij. Vozmozhno, eto i tak, no ya ne znayu ni svidetel'stv, ni
ubeditel'nyh argumentov v pol'zu etogo. YA stavlyu na to, chto mozg, esli ego
rassmatrivat' kak komp'yuter, yavlyaetsya klassicheskim komp'yuterom. No etot
vopros ne imeet nikakogo otnosheniya k ideyam Penrouza. Penrouz ne dokazyvaet,
chto mozg -- eto novyj vid universal'nogo komp'yutera, kotoryj otlichaetsya ot
universal'nogo kvantovogo komp'yutera tem, chto imeet bol'shij repertuar
vychislenij, kotorye stali vozmozhny tol'ko pri novoj post-kvantovoj fizike.
On dokazyvaet novuyu fiziku, kotoraya ne budet podderzhivat' universal'nost'
vychislenij, tak chto pri ego novoj teorii voobshche nevozmozhno budet ob®yasnyat'
nekotorye dejstviya mozga kak vychisleniya.
Dolzhen priznat', chto dlya menya takaya teoriya nepostizhima. Odnako
fundamental'nye otkrytiya vsegda trudno ponyat' do togo, kak oni proizojdut.
Estestvenno, trudno ocenit' teoriyu Penrouza, prezhde chem on sformuliruet ee
polnost'yu. Esli teoriya so svojstvami, na kotorye on nadeetsya, v konce
koncov, vytesnit kvantovuyu teoriyu, ili teoriyu obshchej otnositel'nosti, ili i
tu, i druguyu cherez eksperimental'nye proverki ili predostaviv bolee glubokij
uroven' ob®yasnenij, to kazhdyj razumnyj chelovek zahochet ee prinyat'. I togda
my otpravimsya v puteshestvie postizheniya novogo mirovozzreniya, k prinyatiyu
kotorogo budet vynuzhdat' nas ob®yasnitel'naya struktura etoj teorii. Veroyatno,
eto mirovozzrenie budet ves'ma otlichnym ot predstavlennogo mnoj v etoj
knige. Odnako, dazhe esli vse eto prishlo, chtoby ujti, ya vse ravno ne mogu
ponyat', kakim obrazom mozhno udovletvorit' pervonachal'nuyu motivaciyu teorii,
kotoraya ob®yasnyaet nashu sposobnost' ponimat' novye matematicheskie
dokazatel'stva. Vse ravno ostanetsya tot fakt, chto sejchas, da i vo vsej
istorii velikie matematiki obladali razlichnoj protivorechivoj intuiciej
otnositel'no obosnovannosti razlichnyh metodov dokazatel'stva. Poetomu, dazhe
esli istinno to, chto absolyutnaya fiziko-matematicheskaya real'nost' postavlyaet
svoi istiny pryamo v nash mozg dlya sozdaniya matematicheskoj intuicii,
matematiki ne vsegda sposobny otlichit' etu intuiciyu ot drugoj, oshibochnoj
intuicii i ot drugih, oshibochnyh idej. K sozhaleniyu, net ni kolokol'chika,
kotoryj zvonit, ni fonarika, kotoryj vspyhivaet, kogda my ponimaem
dejstvitel'no obosnovannoe dokazatel'stvo. Poroj my mozhem oshchutit' takuyu
vspyshku, v moment "evriki", -- i, tem ne menee, oshibit'sya. I dazhe esli by
teoriya predskazala, chto sushchestvuet nekij, ne zamechennyj ranee fizicheskij
indikator, soprovozhdayushchij istinnuyu intuiciyu (sejchas eto stanovitsya v vysshej
stepeni nevozmozhnym), my by opredelenno nashli ego poleznym, no eto vse ravno
ne bylo by ravnosil'no dokazatel'stvu togo, chto etot indikator rabotaet.
Nichto ne sposobno dokazat', chto odnazhdy eshche luchshaya fizicheskaya Teoriya ne
vytesnit teoriyu Penrouza i ne otkroet, chto predlozhennyj indikator vse-taki
ne byl nadezhnym i chto sushchestvuet luchshij indikator. Takim obrazom, dazhe esli
my sdelaem vse vozmozhnye skidki predlozheniyu Penrouza, esli my voobrazim, chto
ono istinno, i vzglyanem na mir s ego pozicij, eto vse ravno ne pomozhet nam
ob®yasnit' podozritel'nuyu opredelennost' znaniya, kotoroe my priobretaem,
zanimayas' matematikoj.
YA otrazil lish' obshchij smysl argumentov Penrouza i ego opponentov.
CHitatel' pojmet, chto, v sushchnosti, ya na storone ego opponentov. Odnako dazhe
esli priznat', chto gedelianskoe dokazatel'stvo Penrouza ne dokazyvaet to,
chto namerevaetsya dokazat', i kazhetsya neveroyatnym, chto predlozhennaya im novaya
fizicheskaya teoriya ob®yasnyaet to, chto namerevaetsya ob®yasnit', Penrouz, tem ne
menee, prav, chto lyuboe mirovozzrenie, osnovannoe na sushchestvuyushchej koncepcii
nauchnogo racionalizma, sozdaet zadachu dlya prinyatyh osnov matematiki (ili,
kak vyrazil by eto Penrouz, naoborot). |to drevnyaya zadacha, kotoruyu podnyal
Platon, zadacha, kotoraya, kak pokazyvaet Penrouz, obostryaetsya v svete kak
teoremy Gedelya, tak i principa T'yuringa. |ta zadacha zaklyuchaetsya v sleduyushchem:
otkuda ishodit matematicheskaya opredelennost' v real'nosti, sostoyashchej iz
fiziki i ponimaemoj s pomoshch'yu nauchnyh metodov? V to vremya kak bol'shinstvo
matematikov i specialistov po vychislitel'noj tehnike prinimayut
opredelennost' matematicheskoj intuicii kak nechto, samo soboj razumeyushcheesya,
oni ne vosprinimayut problemu primireniya etogo fakta s nauchnym mirovozzreniem
vser'ez. Penrouz ser'ezno otnositsya k etoj probleme i predlagaet reshenie.
Ego predlozhenie predstavlyaet postizhimyj mir v opredelennom aspekte,
otvergaet sverh®estestvennoe, priznaet vazhnost' tvorchestva dlya matematiki,
pripisyvaet ob®ektivnuyu real'nost' kak fizicheskomu miru, tak i abstraktnym
kategoriyam i vklyuchaet ob®edinenie osnov matematiki i fiziki. Vo vseh etih
otnosheniyah ya na ego storone.
Poskol'ku popytki Brauera, Gil'berta, Penrouza i vseh ostal'nyh reshit'
slozhnuyu zadachu Platona, vidimo, poterpeli neudachu, stoit snova vzglyanut' na
mnimoe nisproverzhenie Platonom idei o tom, chto matematicheskuyu istinu mozhno
poluchit' s pomoshch'yu nauchnyh metodov.
Prezhde vsego, Platon govorit nam, chto, poskol'ku my imeem dostup tol'ko
(skazhem) k nesovershennym krugam, znachit, cherez nih my ne smozhem poluchit'
znanie o sovershennyh krugah. A pochemu net? Tochno tak zhe mozhno bylo by
skazat', chto my ne mozhem otkryt' zakony dvizheniya planet, potomu chto u nas
net dostupa k real'nym planetam, a est' dostup tol'ko k ih izobrazheniyam.
(Inkviziciya eto i govorila, i ya ob®yasnil, pochemu ona oshibalas'). Takzhe mozhno
bylo by skazat', chto nevozmozhno postroit' tochnye stanki, potomu chto pervyj
takoj stanok prishlos' by stroit' s pomoshch'yu netochnyh stankov. Oglyanuvshis'
nazad, mozhno uvidet', chto takaya kritika vyzvana ochen' grubym izobrazheniem
principa dejstviya nauki (podobnym induktivizmu), kotoryj vryad li mozhno
schitat' udivitel'nym, poskol'ku Platon zhil do togo, chto my mogli by priznat'
kak nauku. Esli, skazhem, edinstvennyj sposob uznat' chto-libo o krugah iz
opyta zaklyuchaetsya v tom, chtoby issledovat' tysyachi fizicheskih krugov, a
potom, iz sobrannyh dannyh, popytat'sya sdelat' kakoj-to vyvod ob ih
abstraktnyh evklidovyh dvojnikah, to Platon ulovil sut'. No esli my sozdadim
gipotezu, chto real'nye krugi tochno opredelennym obrazom pohozhi na
abstraktnye, i okazhemsya pravy, to my opredelenno mozhem uznat' chto-libo ob
abstraktnyh krugah, glyadya na real'nye. V geometrii Evklida chasto ispol'zuyut
risunki dlya tochnogo opredeleniya geometricheskoj zadachi ili ee resheniya. V
takom metode opisaniya sushchestvuet vozmozhnost' oshibki, esli nesovershenstvo
krugov na risunke ostavit vpechatlenie, vvodyashchee v zabluzhdenie, -- naprimer,
esli kazhetsya, chto dva kruga kasayutsya drug druga, hotya na samom dele etogo ne
proishodit. No, ponyav otnoshenie mezhdu real'nymi i sovershennymi krugami,
mozhno akkuratno isklyuchit' vse podobnye oshibki. A ne ponimaya etogo otnosheniya,
prakticheski nevozmozhno ponyat' geometriyu Evklida.
Nadezhnost' znaniya o sovershennom kruge, kotoroe mozhno poluchit' iz
izobrazheniya kruga, polnost'yu zavisit ot tochnosti gipotezy o tom, chto eti
krugi pohozhi dolzhnym obrazom. Takaya gipoteza v otnoshenii fizicheskogo ob®ekta
(risunka) ekvivalentna fizicheskoj teorii, i ee nevozmozhno znat' opredelenno.
No etot fakt (kak utverzhdal Platon) ne meshaet izucheniyu sovershennyh krugov iz
opyta; on delaet nevozmozhnoj opredelennost'. On ne dolzhen rasstraivat'
nikogo, kto ishchet ne opredelennost', a ob®yasneniya.
Geometriyu Evklida mozhno abstraktno sformulirovat' bez risunkov. No
ispol'zovanie cifr, bukv i matematicheskih simvolov v simvolicheskom
dokazatel'stve sposobno porodit' nichut' ne bol'shuyu opredelennost', chem
risunok po toj zhe samoj prichine. Simvoly -- eto tozhe fizicheskie ob®ekty, --
skazhem, chernil'nye pyatna na bumage, -- kotorye oboznachayut abstraktnye
ob®ekty. I opyat' my polnost'yu polagaemsya na gipotezu, chto fizicheskoe
povedenie simvolov sootvetstvuet povedeniyu oboznachaemyh imi abstrakcij.
Sledovatel'no, nadezhnost' togo, chto my uznaem, manipuliruya etimi simvolami,
polnost'yu zavisit ot tochnosti nashih teorij ob ih fizicheskom povedenii i o
povedenii nashih ruk, glaz i t.d., s pomoshch'yu kotoryh my manipuliruem etimi
simvolami i nablyudaem za nimi. Obmanchivye chernila, iz-za kotoryh sluchajnyj
simvol izmenil svoj vneshnij vid, kogda my ne videli etogo, -- vozmozhno, pod
distancionnym upravleniem kakogo-to shutnika, obladayushchego prakticheskoj
realizaciej vysokih tehnologij, -- vskore vvedut nas v zabluzhdenie
otnositel'no togo, chto my "opredelenno" znaem.
Teper' davajte povtorno issleduem eshche odno dopushchenie Platona: dopushchenie
o tom, chto u nas net dostupa k sovershenstvu fizicheskogo mira. Vozmozhno, on
prav v tom, chto my ne najdem sovershennoj chesti ili spravedlivosti, i on
konechno prav v tom, chto my ne najdem zakony fiziki ili mnozhestvo vseh
natural'nyh chisel. No my mozhem najti sovershennuyu ruku v bridzhe ili
sovershennyj hod v dannoj shahmatnoj pozicii. |to vse ravno, chto skazat', chto
my mozhem najti fizicheskie ob®ekty ili processy, kotorye polnost'yu obladayut
svojstvami tochno opredelennyh abstrakcij. My mozhem nauchit'sya igre v shahmaty
kak s pomoshch'yu real'nyh shahmat, tak i s pomoshch'yu sovershennoj formy shahmat. Tot
fakt, chto konya srubili, ne delaet mat, kotoryj yavlyaetsya rezul'tatom etogo,
menee okonchatel'nym.
Poskol'ku vse eto imeet mesto, sovershennyj evklidov krug mozhno sdelat'
dostupnym dlya nashih chuvstv. Platon ne osoznaval etogo, potomu chto on ne znal
o sushchestvovanii virtual'noj real'nosti. Ne sostavit osobogo truda
zaprogrammirovat' v generatory virtual'noj real'nosti, o kotoryh ya razmyshlyal
v glave 5, pravila geometrii Evklida, tak chto pol'zovatel' smozhet poluchit'
vpechatlenie vzaimodejstviya s sovershennym krugom. Ne imeya tolshchiny, krug byl
by nevidimym, poka my takzhe ne modificirovali by zakony optiki, dlya etogo my
mogli by osveshchat' ego, chtoby pol'zovatel' znal, gde on nahoditsya. (Puristy,
vozmozhno, predpochli by obojtis' bez etogo dekorirovaniya). My mogli by
sdelat' etot krug tverdym i nepronicaemym, i pol'zovatel' mog by proverit'
ego svojstva s pomoshch'yu tverdyh, nepronicaemyh instrumentov, a takzhe sredstv
izmereniya. Virtual'nye shtangencirkuli imeli by sovershennuyu kromku tolshchinoj s
lezvie nozha, tak chto oni mogli by tochno izmerit' nulevuyu tolshchinu.
Pol'zovatelyu mozhno bylo by pozvolit' "narisovat'" eshche krugi ili drugie
geometricheskie figury v sootvetstvii s pravilami geometrii Evklida. Razmery
instrumentov i samogo pol'zovatelya mozhno bylo by regulirovat' po zhelaniyu,
chtoby obespechit' proverku predskazanij geometricheskih teorem v lyubom
masshtabe, skol' ugodno malom. V kazhdom sluchae peredannyj krug mog by
reagirovat' tochno tak zhe, kak krug, opredelennyj v aksiomah Evklida. Takim
obrazom, na osnove sovremennoj nauki my dolzhny sdelat' vyvod, chto v etom
otnoshenii Platon myslil naoborot. My mozhem vosprinyat' sovershennye krugi v
fizicheskoj real'nosti (t.e. v virtual'noj real'nosti); no my nikogda ne
vosprimem ih v oblasti Form, poskol'ku, esli i mozhno skazat', chto takaya
oblast' sushchestvuet, my nikak ee ne vosprinimaem.
Ideya Platona o tom, chto fizicheskaya real'nost' sostoit iz nesovershennyh
kopij abstrakcij, segodnya sluchajno kazhetsya chrezmerno asimmetrichnoj poziciej.
Kak i Platon, my vse eshche izuchaem abstrakcii radi ih samih. Odnako v nauke
posle Galileo i v teorii virtual'noj real'nosti my takzhe rassmatrivaem
abstrakcii kak sredstvo ponimaniya real'nyh ili iskusstvennyh fizicheskih
kategorij, i v etom kontekste my schitaem samo soboj razumeyushchimsya, chto
abstrakcii pochti vsegda yavlyayutsya priblizheniyami istinnoj fizicheskoj situacii.
Takim obrazom, nesmotrya na to, chto Platon schital zemnye krugi, narisovannye
na peske, priblizheniyami istinnyh matematicheskih krugov, sovremennyj fizik
poschital by matematicheskij krug plohim priblizheniem istinnoj formy
planetarnyh orbit, atomov i drugih fizicheskih ob®ektov.
Pri uslovii, chto vsegda budet sushchestvovat' vozmozhnost' vyhoda iz stroya
generatora virtual'noj real'nosti ili ego pol'zovatelya, mozhno li
dejstvitel'no govorit' o dostizhenii sovershennoj peredachi evklidova kruga v
virtual'noj real'nosti v sootvetstvii s normami matematicheskoj
opredelennosti? Mozhno. Nikto ne pretenduet na to, chto sama matematika
svobodna ot neopredelennosti takogo roda. Matematiki mogut oshibit'sya v
vychislenii, iskazit' aksiomy, sdelat' opechatki pri izlozhenii svoej
sobstvennoj raboty i t. d. My pretenduem na to, chto, za isklyucheniem grubyh
oshibok, ih vyvody bezoshibochny. Tochno tak zhe generator virtual'noj
real'nosti, rabotaya dolzhnym obrazom v sootvetstvii so svoimi tehnicheskimi
harakteristikami, v sovershenstve peredal by sovershennyj evklidov krug.
Podobnym obrazom my mogli by vozrazit', chto my nikogda ne mozhem tochno
skazat', kak povedet sebya generator virtual'noj real'nosti pod upravleniem
dannoj programmy, potomu chto eto zavisit ot funkcionirovaniya mashiny i, v
konechnom schete, ot zakonov fiziki. Poskol'ku nam ne dano s polnoj
uverennost'yu znat' zakony fiziki, my ne mozhem tochno znat', chto mashina
dejstvitel'no peredaet geometriyu Evklida. I opyat', nikto ne otricaet, chto
nepredvidennye fizicheskie yavleniya -- stanut li oni sledstviem neizvestnyh
zakonov fiziki, ili prosto zabolevaniya mozga ili obmanchivyh chernil -- mogut
sbit' matematika s pravil'nogo puti. No esli zakony fiziki nahodyatsya v
sootvetstvuyushchih otnosheniyah, kak my i polagaem, to generator virtual'noj
real'nosti v sovershenstve mozhet sdelat' svoyu rabotu, dazhe nesmotrya na to,
chto my ne mozhem opredelenno znat', chto on eto delaet. Zdes' sleduet proyavit'
vnimatel'nost', chtoby ne pereputat' dva voprosa: mozhem li my znat', chto
mashina virtual'noj real'nosti peredaet sovershennyj krug; i dejstvitel'no li
ona peredaet ego. My ne mozhem tochno znat' eto, no eto ni na jotu ne
umen'shaet sovershenstvo kruga, kotoryj fakticheski peredaet mashina. YA vernus'
k etomu vazhnomu razlichiyu -- mezhd