enij razvivaetsya ideya ravenstva otnoshenij; odna iz nih est' konkretnyj zarodysh tochnoj nauki, drugaya - ee abstraktnyj zarodysh Te, kotorye ne mogut ponyat', kak poznanie podobiya v sushchestvah odnogo i togo zhe vida mozhet imet' kakuyu-nibud' svyaz' s umozaklyucheniem, - preodoleyut eto zatrudnenie, esli vspomnyat, chto yavleniya, mezhdu kotorymi ravenstvo otnoshenij takim obrazom usmotreno, sut' yavleniya togo zhe samogo poryadka i predstavlyayutsya chuvstvam v odno i to zhe vremya; togda kak yavleniya, otnosheniya mezhdu kotorymi usmatrivaet tol'ko razvityj um, ne prinadlezhat, voobshche govorya, k odnomu poryadku i ne predstavlyayutsya v odno vremya. Esli, dalee, oni vspomnyat, kak Kyuv'e i Oven po odnoj chasti zhivotnogo, naprimer po zubu, stroyat celoe zhivotnoe posredstvom processa umozaklyucheniya, osnovannogo na etom ravenstve otnoshenij, to oni uvidyat, chto eti dve veshchi svyazany tesno, skol'ko by ni kazalis' oni dalekimi na pervyj vzglyad. No my zabegaem vpered. Pokuda nam nuzhno tol'ko zametit', chto iz znakomstva s organicheskimi formami edinovremenno voznikayut i ideya prostogo ravenstva i ideya ravenstva otnoshenij. V to zhe vremya i putem teh zhe umstvennyh processov yavlyayutsya pervye yasnye idei chisla. Na samyh rannih stupenyah predstavlenie otdel'nyh shodnyh predmetov proizvodit tol'ko neopredelennoe ponyatie mnozhestvennosti, eto i teper' eshche vidno mezhdu avstralijcami, bushmenami i damarasami, kogda predstavlyaemoe chislo prevyshaet tri ili chetyre. Imeya takie fakty pered soboj, my mozhem bezopasno zaklyuchit', chto pervoe yasnoe chislennoe ponyatie bylo ponyatie dvojstvennosti, kak protivopolozhnoe edinice. I eto ponyatie dvojstvennosti neobhodimo dolzhno bylo vyrasti ryadom s ponyatiyami shodstva i ravenstva, potomu chto nevozmozhno priznat' shodstvo dvuh veshchej, ne usmotrev vmeste s tem, chto ih dve. S samogo nachala ponyatie chisla dolzhno bylo soedinyat'sya, kak ono do sih por soedinyaetsya, so shodstvom i ravenstvom ischislyaemyh veshchej. Analiziruya prostoe schislenie, my najdem, chto ono est' zapisyvanie povtoryavshihsya vpechatlenij kakogo-nibud' roda. CHtoby eti vpechatleniya mogli byt' dostupny schisleniyu, neobhodimo, chtoby oni byli bolee ili menee shodny; i prezhde, chem mozhno dostignut' absolyutno istinnyh chislennyh rezul'tatov, nuzhno, chtoby edinicy byli absolyutno ravny. Edinstvennyj put', kotorym my mozhem ustanovit' kakoe-nibud' chislennoe srodstvo mezhdu veshchami, ne proizvodyashchimi na nas shodnyh vpechatlenij, sostoit v tom, chtoby razdelit' ih na chasti, kotorye proizvodili by na nas shodnye vpechatleniya. Dve neshodnye velichiny prityazheniya, sily, vremeni, vesa ili chego by to ni bylo mogut byt' oceneny v svoih otnositel'nyh itogah tol'ko posredstvom kakoj-libo melkoj edinicy, kotoraya soderzhitsya mnogo raz v obeih velichinah; esli my vyrazhaem bol'shuyu velichinu edinicej i druguyu - drob'yu ee, my opredelyaem v znamenatele drobi chislo chastej, na kotorye edinica dolzhna byt' razdelena, chtoby dopustit' sravnenie s drob'yu. Spravedlivo, bez somneniya, chto posredstvom nekotorogo, ochevidno novogo, processa otvlecheniya my inogda prilagaem chisla k neravnym edinicam, kak, naprimer, k utvari na aukcione ili k razlichnym zhivotnym na ferme, - prilagaem prosto kak ko mnogim otdel'nym veshcham; no cherez schislenie edinic takogo roda nel'zya poluchit' nikakogo istinnogo rezul'tata. I v samom dele, otlichitel'naya osobennost' schisleniya voobshche sostoit v tom, chto ono sovershaetsya pri gipoteze togo bezuslovnogo ravenstva abstraktnyh ego edinic, kakim ne obladayut nikakie real'nye edinicy, i chto tochnost' ego rezul'tatov derzhitsya tol'ko v silu etoj gipotezy. Takim obrazom, pervye idei chisla neobhodimo proizoshli iz shodnyh ili ravnyh velichin, kakie usmatrivayutsya glavnejshim obrazom v organicheskih predmetah; i tak kak podobnye velichiny, chashche vsego nablyudaemye, byli velichiny protyazheniya, to nado zaklyuchit', chto geometriya i arifmetika imeyut odnovremennoe nachalo. Ne tol'ko pervye yasnye idei chisla svyazany s ideyami podobiya i ravenstva, no i pervye usiliya k schisleniyu predstavlyayut to zhe samoe srodstvo. CHitaya rasskazy o razlichnyh dikih plemenah, my nahodim, chto metod scheta posredstvom pal'cev, kotoromu eshche i teper' sleduyut mnogie deti, est' pervobytnyj metod. Pomimo otdel'nyh sluchaev, v kotoryh sposobnost' k schisleniyu ne dostigaet dazhe polnogo chisla pal'cev na odnoj ruke, est' mnogo sluchaev, v kotoryh ona ne prostiraetsya dalee desyati, - predela prostogo oznacheniya posredstvom pal'cev. Fakt, chto v stol' mnogih sluchayah otdalennye i, po-vidimomu, ne soobshchayushchiesya odna s drugoj nacii prinyali desyat' za osnovanie chislennoj sistemy, vmeste s faktom, chto v ostal'nyh sluchayah osnovnoe chislo est' ili pyat' (pal'cy odnoj ruki), ili dvadcat' (pal'cy ruk i nog), sam po sebe pochti dokazyvaet, chto pal'cy byli pervonachal'nymi edinicami schisleniya. Do sih por uderzhavsheesya upotreblenie slova digit, kak obshchego nazvaniya dlya vsyakoj figury v arifmetike, mnogoznamenatel'no, i dazhe govoryat, chto nashe slovo ten (saksonskoe tyn, gollandskoe tien, nemeckoe zehri) oznachalo v pervonachal'noj svoej forme dve ruki. Tak chto v pervobytnoe vremya skazat', desyat' veshchej - bylo to zhe samoe, chto skazat': dve ruki veshchej Iz vseh etih svidetel'stv dostatochno yasno, chto samyj rannij sposob soobshcheniya idei kakogo-nibud' chisla veshchej sostoyal v podnyatii stol'kih pal'cev, skol'ko bylo veshchej, t. e. v upotreblenii simvola, kotoryj byl raven, v otnoshenii mnozhestvennosti, oznachaemoj gruppe. Bez somneniya, sil'nym podtverzhdeniem dlya etogo vyvoda sluzhit novejshij fakt, chto nashi soldaty samobytno usvoili sebe etot priem v snosheniyah s turkami vo vremya Krymskoj vojny. Nado zametit', chto v etom novom sochetanii ponyatiya ravenstva s ponyatiem mnozhestvennosti, posredstvom kotorogo delayutsya pervye shagi v schislenii, my mozhem videt' odno iz samyh rannih soprikosnovenij mezhdu rashodyashchimisya otraslyami nauki, - soprikosnovenij, kotorye vposledstvii postoyanno vstrechayutsya. No, prezhde chem prosledim sposob, kotorym tochnaya nauka voznikaet iz priblizitel'nyh suzhdenij chuvstv, i prezhde chem pokazhem nelinejnost' razvitiya otdelov nauki, polezno budet zametit' nelinejnyj harakter teh predvaritel'nyh processov, prodolzhenie kotoryh sostavlyaet vse posleduyushchee razvitie. Vsyakij, kto rassmotrit eti processy, uvidit, chto oni sut' ne tol'ko rashodyashchiesya otrostki ot obshchego kornya, ne tol'ko odnovremenny v svoem razvitii, no chto oni vzaimno pomogayut drug drugu i chto ni odin iz nih ne mozhet idti vpered bez ostal'nyh. Polnota klassifikacii, dlya kotoroj prokladyvaet put' razvitie vospriyatij, nevozmozhna bez sootvetstvuyushchego progressa v yazyke, posredstvom kotorogo bol'shee raznoobrazie predmetov stanovitsya myslimo i vyrazimo. S odnoj storony, nevozmozhno vesti klassifikaciyu bez nazvanij, kotorymi by oboznachalis' klassy, a s drugoj - nevozmozhno sozdat' yazyk prezhde, nezheli klassificiruyutsya veshchi. Dalee, samoe umnozhenie klassov i sleduyushchee otsyuda stesnenie kazhdogo klassa predpolagayut uzhe bol'shee shodstvo mezhdu veshchami, soedinennymi v odin klass; a priblizhenie k ponyatiyu sovershennogo shodstva samo sposobstvuet tomu, chtoby klassifikaciya byla dovedena do bolee vysokoj stepeni. Sverh togo, klassifikaciya neobhodimo idet vpered pari passu s racional'nost'yu, t e. klassifikaciya veshchej s klassifikaciej otnoshenij: potomu chto veshchi, prinadlezhashchie k odnomu i tomu zhe klassu, predstavlyayut, samo soboyu razumeetsya, veshchi, svojstva kotoryh i usloviya polozheniya - sosushchestvovaniya i posledovatel'nosti - sut' bolee ili menee te zhe samye; a poznanie etogo tozhdestva sosushchestvovaniya i posledovatel'nosti est' umozaklyuchenie. Otsyuda sleduet, chto uspeh klassifikacii neobhodimo proporcionalen uspehu obobshchenij. No dalee, iz ponyatiya shodstva kak v veshchah, tak i v otnosheniyah odnovremenno razvivayutsya idei ravenstva veshchej i ravenstva otnoshenij, kotorye sut' osnovaniya tochnogo konkretnogo i tochnogo abstraktnogo umozaklyucheniya - matematiki i logiki. Krome togo, eta ideya ravenstva, v samom processe svoego obrazovaniya, daet nachalo dvum ryadam otnoshenij - otnosheniyam velichiny i otnosheniyam chisla, iz kotoryh voznikli geometriya i schislenie. Takim obrazom, ves' process est' process postoyannogo podrazdeleniya i postoyannogo vzaimnogo soobshcheniya otdelov. S samogo nachala sushchestvovala ta svyaz' razlichnyh rodov poznaniya, kotoraya sootvetstvuet svyazi umstvennyh sposobnostej i kotoraya, kak uzhe skazano, dolzhna sushchestvovat' mezhdu naukami. Perejdem teper' k nablyudeniyu togo, kak iz ponyatij ravenstva i chisla, obrazovavshihsya ukazannym sposobom, voznikayut postepenno elementy kolichestvennogo predvideniya. Ravenstvo, raz opredelenno ponyatoe, totchas zhe nachalo primenyat'sya i k drugim yavleniyam, pomimo yavlenij velichiny. Tak kak ono okazalos' prilozhimym ko vsem veshcham, proizvodyashchim odinakovye vpechatleniya, to estestvenno voznikli idei o ravenstve vesov, zvukov, cvetov i t. d. Edva li mozhno somnevat'sya, chto opyty nad ravnymi vesami, zvukami i cvetami imeli svoyu dolyu uchastiya v razvitii otvlechennogo ponyatiya o ravenstve, t. e. chto idei ravenstva v razmerah, otnosheniyah, silah, soprotivleniyah i chuvstvitel'nyh svojstvah voobshche razvivalis' v prodolzhenie togo zhe samogo perioda. Kak by to ni bylo, no yasno, chto kak skoro ponyatie ravenstva priobrelo opredelennost', tak nizshij rod kolichestvennogo predvideniya, kotorogo dostigayut bez pomoshchi kakih by to ni bylo priborov, sdelalsya vozmozhen. Sposobnost' ocenit', kak by ni bylo grubo, velichinu predvidimogo rezul'tata podrazumevaet ponyatie togo, chto eta velichina budet ravna izvestnomu voobrazhaemomu kolichestvu; i pravil'nost' ocenki, ochevidno, budet zaviset' ot tochnosti, do kotoroj dostigli vospriyatiya chuvstvuemogo ravenstva. Dikar' s kuskom kamnya v ruke, imeya pered soboj drugoj kusok bol'shej velichiny, no togo zhe samogo vida (zaklyuchenie o vide on vyvodit iz ravenstva oboih kamnej po cvetu i stroeniyu), znaet priblizitel'no, kakoe usilie on dolzhen upotrebit', chtoby podnyat' etot drugoj kusok; i tochnost' ego suzhdeniya proporcional'na tochnosti, s kotoroj on usmotrel, chto odin kusok vdvoe, vtroe ili vchetvero bol'she drugogo, t. e. proporcional'na tochnosti ego idej o ravenstve i chisle. I zametim zdes', chto dazhe v etih naibolee neopredelennyh iz kolichestvennyh predvidenij zaklyuchaetsya takzhe ponyatie ravenstva otnoshenij: ibo dazhe samoe gruboe priblizhenie mozhet byt' dostignuto tol'ko v silu nekotorogo neopredelennogo usmotreniya, chto otnoshenie mezhdu ob®emom i vesom v odnom kamne ravno otnosheniyu mezhdu ob®emom i vesom v drugom. No kakim obrazom sovershaetsya perehod ot etih neopredelennyh usmotrenij ravenstva, kotorye dayutsya nevooruzhennymi chuvstvami, k tem opredelennym usmotreniyam, s kotorymi imeet delo nauka? On sovershaetsya posredstvom sopostavleniya sravnivaemyh veshchej. Tak kak ravenstvo utverzhdaetsya o teh veshchah, kotorye proizvodyat na nas neotlichimye odno ot drugogo vpechatleniya, i tak kak tochnoe sravnenie vpechatlenij nevozmozhno, esli oni ne sleduyut neposredstvenno odno za drugim, to otsyuda vytekaet, chto vozmozhnost' ustanovit' tochnost' ravenstva nahoditsya v pryamom otnoshenii k blizosti sravnivaemyh predmetov. Vsledstvie etogo, kogda my hotim sudit' o dvuh ottenkah cveta, my pomeshchaem ih ryadom; vsledstvie etogo my ne mozhem s kakoj-libo tochnost'yu skazat', kotoryj iz dvuh soedinennyh zvukov gromche ili vyshe v diapazone, esli tol'ko zvuki ne sledovali odin za drugim neposredstvenno; vsledstvie etogo, zhelaya ocenit' otnoshenie gruzov, my berem po odnomu v kazhduyu ruku, chtoby mozhno bylo sravnit' ih davleniya, bystro perehodya v mysli ot odnogo gruza k drugomu; vsledstvie etogo, igraya muzykal'nuyu p'esu, my mozhem sdelat' odinakovyj takt vsled za predydushchim, ne mozhem byt' uvereny, chto razmer takta budet tot zhe pri povtorenii p'esy; vsledstvie etogo, nakonec, yavlyaetsya fakt, chto iz vseh velichin velichiny linejnogo protyazheniya sut' takie, ravenstvo kotoryh dostupno naibolee tochnoj poverke i na kotorye vsledstvie etogo svodyatsya vse drugie. Osobennost' linejnogo protyazheniya sostoit v tom, chto ono odno dozvolyaet absolyutno sovmestit' velichiny ili, luchshe, postavit' ih v sovpadayushchee polozhenie; ono odno mozhet proverit' ravenstvo dvuh velichin posredstvom nablyudeniya, sovpadut li oni, kak sovpadayut dve ravnye matematicheskie linii, provedennye mezhdu temi zhe samymi tochkami, ono odno mozhet proverit' ravenstvo posredstvom ispytaniya togo, stanet li ono tozhdestvom. Otsyuda vytekaet fakt, chto vsyakaya tochnaya nauka v okonchatel'nom analize mozhet byt' svedena na rezul'taty, izmeryaemye ravnymi edinicami linejnogo protyazheniya. Ostaetsya eshche zametit', kakim obrazom voznikaet eto opredelenie ravenstva posredstvom sravneniya linejnyh velichin. My mozhem tut eshche raz ubedit'sya, kak okruzhayushchie estestvennye predmety sluzhat k tomu poleznym rukovodstvom. S samogo nachala dolzhen byl sushchestvovat' postoyannyj opyt nad shodnymi veshchami, raspolozhennymi ryadom, kak, naprimer, nad lyud'mi, stoyashchimi i gulyayushchimi vmeste, nad zhivotnymi odnogo i togo zhe stada, nad rybami na odnoj i toj zhe otmeli. Besprestannoe povtorenie etih opytov ne moglo ne privesti k nablyudeniyu, chto, chem blizhe nahodyatsya kakie-nibud' predmety drug k drugu, tem vidnee stanovitsya vsyakoe neravenstvo mezhdu nimi. Otsyuda ponyatnaya privychka prikladyvat' drug k drugu te veshchi, otnositel'nye velichiny kotoryh zhelayut uznat'. Otsyuda zhe poyavilas' ideya mery. My tut neozhidanno prihodim k gruppe faktov, kotorye dostavlyayut tverdoe osnovanie dlya osnovnogo rassuzhdeniya; oni zhe dayut sil'noe dokazatel'stvo i v podtverzhdenie predydushchih umozrenij. Lyudi, kotorye smotryat skepticheski na popytku vosstanovit' samye rannie epohi umstvennogo razvitiya, i osobenno te, kotorye dumayut, chto otnosit' massu pervichnyh ponyatij k organicheskim formam est' veshch' dovol'no natyanutaya, uvidyat, byt' mozhet, bol'she veroyatnosti v razlichnyh gipotezah, na kotorye my zdes' otvazhilis', esli ubedyatsya, chto vse mery protyazheniya i sily proizoshli iz dolgot i vesov organicheskih tel; a vse mery vremeni - iz periodicheskih yavlenij kak v organicheskih, tak i v neorganicheskih telah. Takim obrazom, iz linejnyh mer evrejskij lokot' predstavlyal dlinu perednej chasti ruki ot loktya do konca srednego pal'ca; a men'shie biblejskie mery vyrazhayutsya v ladonyah i pyadyah. Egipetskij lokot', proisshedshij podobnym zhe obrazom, byl razdelen na edinicy, predstavlyavshie shirinu pal'ca; a shirina pal'ca vyrazhalas' bolee opredelenno i prinimalas' ravnoj tolshchine chetyreh yachmennyh zeren. Drugie drevnie mery byli obhvat, shag i ladon'. Upotreblenie etih natural'nyh edinic dliny tak ukorenilos' na Vostoke, chto dazhe i teper' nekotorye iz arabov meryayut sukno peredneyu chast'yu ruki. To zhe samoe bylo i s evropejskimi merami. So vremen rimlyan fut predstavlyaet preobladayushchee izmerenie vo vsej Evrope; dlina ego v razlichnyh mestah raznoobrazitsya nemnogim bolee, nezheli dlina stupni razlichnyh lyudej. Vysota loshadej eshche i teper' vyrazhaetsya ladonyami. Dyujm est' dlina pervogo sustava bol'shogo pal'ca, kak eto osobenno yasno vidno vo Francii, gde pouce oznachaet i bol'shoj palec, i dyujm. Tochno takim obrazom dyujm razdelyaetsya u nas na tri yachmennyh zerna (barley corns). |ti organicheskie mery sluzhili substratami vsyakogo izmereniya, i tol'ko posredstvom ih my mozhem sostavit' kakuyu-nibud' ocenku nekotoryh iz drevnih rasstoyanij. Naprimer, dlina gradusa zemnoj poverhnosti, kak ona byla opredelena arabskimi astronomami vskore posle smerti Garun al'-Rashida, ravnyalas' pyatidesyati shesti milyam. Ob ih mile my ne znaem nichego, krome togo, chto ona ravnyalas' 4000 loktej; ostaetsya somnitel'nym, byli li eto svyashchennye lokti ili obyknovennye, no dlina loktya dana v dvadcat' sem' dyujmov, a kazhdyj dyujm opredelyalsya tolshchinoj shesti yachmennyh zeren. Takim obrazom, odno iz samyh drevnih izmerenij gradusa doshlo do nas v yachmennyh zernah. No dlina organicheskih tel sostavlyala ne tol'ko te priblizitel'nye mery, kotorye udovletvoryali chelovecheskim nuzhdam v bolee grubye veka, - ona dostavlyala takzhe obrazec mer, trebovavshihsya vo vremena pozdnejshie. Odin primer vstrechaetsya, mezhdu prochim, i v nashej istorii. Genrih I, chtoby ispravit' gospodstvovavshie besporyadki, prikazal, chtoby ulna (lokot'), ili drevnij ell, kotoryj sootvetstvuet nyneshnemu yardu, ravnyalas' dline ego sobstvennoj ruki. Mery vesa imeyut podobnoe zhe proishozhdenie. Zerna, kazhetsya, postoyanno dostavlyali edinicu. Original karata, upotreblyaemogo dlya vzveshivaniya v Indii, est' melkij bob. Nashi sobstvennye sistemy, kak aptekarskaya, tak i torgovaya, osnovany na zernah pshenicy. Nash samyj melkij ves, gran, est' zerno (grain) pshenicy. |to ne umozrenie, a istoricheski zapisannyj fakt. Genrih III postanovil zakonom, chtoby unciya byla vesom v 640 suhih zeren pshenicy iz serediny kolosa. Tak kak vse drugie vesa byli kratnymi po otnosheniyu k etomu, to ochevidno, chto zerno pshenicy sostavlyaet osnovanie nashego vesa. Pol'zovat'sya organicheskimi telami kak edinicami vesa, prezhde chem ustanovilis' iskusstvennye edinicy vesa, tak estestvenno, chto v nekotoryh otdalennyh chastyah Irlandii narod, govoryat, imeet obyknovenie, dazhe i teper', stavit' na vesy cheloveka, chtoby on sluzhil meroj dlya tyazhelyh tovarov. To zhe samoe nuzhno skazat' i ob izmerenii vremeni. Astronomicheskaya periodichnost' i periodichnost' zhivotnoj i rastitel'noj zhizni odnovremenno upotreblyalis' na pervyh stupenyah progressa dlya opredeleniya vremeni. Prostejshuyu edinicu vremeni, den', priroda daet nam gotovoj. Sleduyushchij prostejshij period, mesyac, takzhe sam soboyu predstavlyaetsya vnimaniyu lyudej posredstvom vidimyh izmenenij, sostavlyayushchih lunnyj period. Dlya delenij bolee obshirnyh drevnejshie i necivilizovannye narody pol'zovalis' yavleniyami vremen goda i nekotorymi glavnymi sobytiyami, sluchayushchimisya posle izvestnyh promezhutkov vremeni. Takoe znachenie u egiptyan imelo vozvyshenie Nila. Novozelandcy nachinali svoj god s poyavleniya pleyad nad morem. Odna iz poleznyh storon, kakie drevnie greki videli v pticah, sostoyala v tom, chto pereseleniyami svoimi pticy ukazyvayut vremena goda. Barrou rasskazyvaet, chto gottentoty oznachayut periody chislom mesyacev do ili posle sozrevaniya odnogo iz glavnyh elementov ih pishchi. Dalee, on utverzhdaet, chto u kafrov hronologiya vedetsya po lune i zapisyvaetsya posredstvom zarubok na palkah, prichem smert' lyubimogo vozhdya ili oderzhanie pobedy sluzhat novoj eroj. Poslednij fakt napominaet vmeste s tem, chto v pervye epohi istorii sobytiya obyknovenno zapisyvayutsya kak sluchivshiesya v izvestnye carstvovaniya i v izvestnye gody izvestnyh carstvovanij, vsledstvie chego carstvovanie gosudarya prakticheski delaetsya meroj vremeni. Kak dal'nejshij primer sklonnosti delit' vremya pri posredstve estestvennyh yavlenij i estestvennyh sobytij mozhno privesti tot fakt, chto dazhe nashi poselyane malo upotreblyayut opredelennye deleniya mesyacev i godov i v svoih razgovorah obyknovenno ssylayutsya na sobytiya, kak, naprimer: "do strizhki ovec", "posle zhatvy", "okolo togo vremeni, kogda skonchalsya skvajr" i pr. Takim obrazom, ochevidno, chto bolee ili menee ravnye periody, usmotrennye v prirode, dali pervye edinicy mery dlya vremeni; tochno tak zhe kak bolee ili menee ravnye protyazheniya i vesa v prirode dali pervye edinicy mery dlya prostranstva i sily. Ostalos' tol'ko ukazat' (kak na dal'nejshij primer podobnogo zhe razvitiya kolichestvennyh idej), chto mery cennosti proizoshli podobnym zhe obrazom. Mena, v toj ili drugoj forme, sushchestvovala mezhdu vsemi chelovecheskimi rasami, krome samyh nizshih. Ona, ochevidno, osnovana na ponyatii ravenstva cennosti. S postepennym perehodom meny v torgovlyu, cherez vvedenie nekotorogo roda hodyachej monety, okazyvaetsya, chto mery cennosti, sostavlyayushchie etu monetu, sut' organicheskie tela; v odnih sluchayah kuari, v drugih kokosovye orehi, v inyh rogatyj skot, v drugih svin'i-, u amerikanskih indejcev shkury ili kozhi, a v Islandii sushenaya ryba. Kogda dostignuty byli ponyatiya tochnogo ravenstva i mery, yavilis' opredelennye idei otnositel'nyh velichin kak kratnyh odna drugoj; a otsyuda - privychka izmeryat' posredstvom pryamogo prilozheniya mery. Opredelenie linejnyh protyazhenij posredstvom etogo processa edva li mozhet byt' nazvano naukoj, hotya ono i sostavlyaet stupen' k nej; no opredelenie prodolzhitel'nosti vremeni posredstvom analogichnogo processa mozhno rassmatrivat' kak odin iz samyh rannih primerov kolichestvennogo predvideniya. Kogda uzhe opredeleno bylo, chto Luna sovershaet cikl svoih izmenenij v period vremeni okolo tridcati dnej, - a etot fakt izvesten samym necivilizovannym iz plemen, kotorye mogut schitat' dalee chisla svoih pal'cev, - togda, ochevidno, stalo vozmozhnym predskazyvat', cherez kakoe chislo dnej vozvratitsya dannaya faza Luny; i ochevidno takzhe, chto eto predvidenie sovershalos' posredstvom sopostavleniya dvuh vremen, po tomu zhe samomu sposobu, kak linejnoe protyazhenie izmeryaetsya posredstvom sopostavleniya dvuh linij. Vyrazit' lunnyj period v dnyah znachit skazat', skol'ko etih edinic mery soderzhitsya v izmeryaemom periode, znachit opredelit' rasstoyanie mezhdu dvumya tochkami vo vremeni posredstvom ryada dnej, tak tochno, kak my opredelyaem rasstoyanie mezhdu dvumya tochkami v prostranstve posredstvom ryada futov ili dyujmov: v tom i v drugom sluchae ryad sovpadaet s izmeryaemoj veshch'yu - v odnom umstvenno, v drugom vidimo. Takim obrazom v etom samom prostom i, mozhet byt', samom rannem sluchae kolichestvennogo predvideniya yavleniya ne tol'ko ezhednevno predstavlyayutsya vnimaniyu lyudej, no priroda kak by povtoryaet vechno tot process izmereniya, cherez nablyudenie kotorogo dostigaetsya predvidenie. Fakt, chto uzhe na samyh rannih stupenyah obshchestvennogo progressa bylo izvestno, chto Luna sovershaet svoi izmeneniya pochti v tridcat' dnej i chto priblizitel'no cherez dvenadcat' lun vozvrashchayutsya vremena goda, t. e. tot fakt, chto hronologicheskaya astronomiya priobretaet nekotorogo roda nauchnyj harakter ran'she, nezheli geometriya, - obyazan svoim sushchestvovaniem chast'yu tomu obstoyatel'stvu, chto astronomicheskie deleniya - den', mesyac i god - dany nam gotovymi v prirode, chast'yu zhe tem dal'nejshim obstoyatel'stvom, chto zemledel'cheskie i drugie zanyatiya v pervoe vremya regulirovalis' astronomicheskimi dannymi i chto, krome togo, vsledstvie predpolagavshejsya bozhestvennosti nebesnyh tel, ih dvizheniya opredelyali periodicheskie religioznye prazdnestva. Odno podtverzhdenie predstavlyaetsya v nablyudenii egiptyan, chto vozvyshenie Nila sootvetstvovalo geliakal'nomu voshozhdeniyu Siriusa, v nastavlenii, kakoe nahodim u Gezioda, kasatel'no zhatvy i vspahivaniya soglasno polozheniyu pleyad i v polozhenii ego, chto "pyatidesyatyj den' posle povorota Solnca est' blagopoluchnoe vremya dlya nachala puteshestviya". Drugogo roda podtverzhdenie predstavlyaetsya v nazvanii dnej po Solncu, Lune i planetam; v rannih popytkah vostochnyh narodov ustanovit' kalendar' tak, chtoby bogi ne byli oskorblyaemy peremeshcheniem ih zhertvoprinoshenij, i v opredelenii velikogo godichnogo prazdnestva peruancev soobrazno polozheniyu Solnca. Vo vseh etih faktah my vidim, chto nauka byla pervonachal'no prostym orudiem religii i promyshlennosti. Posle otkrytij, chto lunnyj period zanimaet pochti tridcat' dnej i chto okolo dvenadcati lunnyh periodov sostavlyayut god, - otkrytij, o kotoryh net istoricheskogo izvestiya, no kotorye mozhno schitat' samymi rannimi, opirayas' na tot fakt, chto nyne sushchestvuyushchie necivilizovannye rasy znakomy s nimi, - my perehodim k pervym izvestnym astronomicheskim zametkam, k zametkam zatmenij. Haldei byli v sostoyanii predskazyvat' ih. "Oni delali eto, - govorit Uevell' v svoej prekrasnoj istorii, iz kotoroj izvlechena bol'shaya chast' materialov, kakimi my pol'zuemsya, - veroyatno, posredstvom ih cikla 223 mesyacev ili priblizitel'no vosemnadcati let; potomu chto v konce etogo vremeni zatmeniya Luny nachinayut vozvrashchat'sya s temi zhe samymi promezhutkami i v tom zhe samom poryadke, kak i vnachale." Itak, etot metod vychisleniya zatmenij posredstvom vozvrashchayushchegosya cikla - Saros, kak oni nazyvali ego, predstavlyaet bolee slozhnyj primer predvideniya posredstvom sovpadeniya mer. Posredstvom kakih nablyudenij haldei otkryli etot cikl? Ochevidno, kak zaklyuchaet Delambr, posredstvom rassmotreniya svoih spiskov; posredstvom sravneniya posledovatel'nyh promezhutkov; posredstvom usmotreniya togo, chto nekotorye iz promezhutkov odinakovy, chto eti ravnye promezhutki imeyut otdel'no po vosemnadcat' let; posredstvom otkrytiya togo, chto vse promezhutki, kotorye imeli otdel'no po vosemnadcat' let, byli ravny; posredstvom poznaniya togo, chto promezhutki sostavlyayut ryad, kotoryj povtoryaetsya, tak chto esli odin cikl nalozhit' na drugoj, to deleniya sovpadut. Kak tol'ko eto usmotreno, tak stanovitsya vozmozhnym upotreblyat' cikl kak edinicu vremeni dlya izmereniya budushchih periodov. Takim obrazom, vidya, chto process predskazaniya zatmenij est', v sushchnosti, takoj zhe, kak i process predskazaniya mesyachnyh izmenenij Luny posredstvom nablyudeniya chisla dnej, posle kotoryh oni povtoryayutsya; vidya, chto oba oni razlichayutsya tol'ko obshirnost'yu i nepravil'nost'yu promezhutkov, - ne trudno ponyat', kak mozhno bylo stol' rano dostich' podobnoj summy znaniya. Eshche menee budem my udivlyat'sya, esli vspomnim, chto v etih predvideniyah nichego ne zaklyuchaetsya, krome vremeni i chisla, i chto vremya bylo nekotorym obrazom samoschislyaemo. Odnako sposobnost' predskazyvat' sobytiya, sluchayushchiesya tol'ko posle stol' dolgogo perioda, kak vosemnadcat' let, podrazumevaet znachitel'nyj uspeh v civilizacii, znachitel'noe razvitie obshchego znaniya; i teper' my razberem, kakoj progress v drugih naukah soprovozhdal eti astronomicheskie predvideniya i byl neobhodim dlya nih. Vo-pervyh, yasno, chto dolzhna byla sushchestvovat' dovol'no udovletvoritel'naya sistema schisleniya. Odnogo perechisleniya po pal'cam ili po golovam, dazhe s pomoshch'yu pravil'nogo desyatichnogo oznacheniya, bylo by nedostatochno dlya schisleniya dnej v odnom godu, a tem bolee dlya vychisleniya godov, mesyacev i dnej mezhdu zatmeniyami. Sledovatel'no, dolzhen byl sushchestvovat' sposob zapisyvaniya chisel, veroyatno dazhe, chto sushchestvovala sistema chislennyh znakov. Samye rannie chislennye zametki, naskol'ko my mozhem sudit' po obychayam nyne sushchestvuyushchih necivilizovannyh ras, byli sohranyaemy, veroyatno, posredstvom zarubok na palkah ili chert, oznachennyh na stenah, kak sohranyayutsya i teper' eshche mnogie schety v gostinicah. Kazhetsya, est' osnovanie predpolagat', chto vpervye upotreblennye chislennye znaki byli prosto gruppy pryamyh chert, kak nekotorye iz rimskih, donyne eshche sushchestvuyushchih. |to daet nam povod podozrevat', chto eti gruppy chert byli upotreblyaemy, chtoby predstavit' gruppy pal'cev, tochno tak, kak gruppy pal'cev upotreblyalis' dlya predstavleniya grupp predmetov, - predpolozhenie, sovershenno soglasnoe s pervobytnoj sistemoj kartinnogo pis'ma. Kak by to ni bylo, vo vsyakom sluchae, ochevidno, chto, prezhde chem haldei otkryli svoj Saros, oni dolzhny byli imet' kak ryad pis'mennyh znakov, sluzhashchih dlya obshirnogo schisleniya, tak i znakomstvo s prostejshimi pravilami arifmetiki. Ne odna abstraktnaya matematika dolzhna byla sdelat' nekotoryj uspeh, no i konkretnaya. Edva li vozmozhno, chtoby zdaniya, otnosyashchiesya k etoj epohe, byli vystroeny bez vsyakogo znaniya geometrii. Vo vsyakom sluchae, dolzhna byla sushchestvovat' ta elementarnaya geometriya, kotoraya imeet delo s pryamym izmereniem, t. e. s prilozheniem linij. Kazhetsya, tol'ko posle otkrytiya teh prostyh postroenij, posredstvom kotoryh chertyatsya pryamye ugly i opredelyayutsya otnositel'nye polozheniya, mogli yavit'sya takie pravil'nye postrojki. CHto kasaetsya drugogo otdela konkretnoj matematiki - mehaniki, to my imeem opredelennye dokazatel'stva ee progressa. My znaem, chto rychag i naklonnaya ploskost' upotreblyalis' uzhe v to vremya, a eto ukazyvaet na sushchestvovanie kachestvennogo, esli ne kolichestvennogo, predvideniya ih dejstvij Malo togo. My vstrechaem raznovesy v samyh rannih pamyatnikah i nahodim ih v razvalinah samoj glubokoj drevnosti Raznovesy predpolagayut vesy, na kotorye my takzhe nahodim ukazanie. Vesy zhe zaklyuchayut v sebe osnovnuyu teoremu mehaniki v ee naimenee slozhnoj forme, - zaklyuchayut ne tol'ko kachestvennoe, no i kolichestvennoe predvidenie mehanicheskih dejstvij Zdes' mozhno zametit', kak mehanika, vmeste s drugimi tochnymi naukami, beret svoe nachalo ot samogo prostogo prilozheniya idei ravenstva. Mehanicheskoe predlozhenie, zaklyuchayushcheesya v vesah, sostoit v tom, chto esli na rychag s ravnymi plechami povesheny ravnye raznovesy, to raznovesy budut ostavat'sya travnyh vysotah. Mozhno zametit' dalee, kak na etoj pervoj stupeni racional'noj mehaniki predstavlyaetsya poyasnenie toj istiny, na kotoruyu my nedavno ukazali, a imenno chto tak kak tol'ko odni velichiny linejnogo protyazheniya dopuskayut tochnoe opredelenie, to posredstvom ih opredelyalis', vnachale ravenstva vseh drugih velichin, ibo esli ravenstvo raznovesov, uravnoveshivayushchih drug druga na vesah, vpolne zavisit ot ravenstva plech, to my mozhem znat', chto gruzy ravny, tol'ko dokazav ravenstvo plech. A kogda my podobnym putem ustanovili sistemu vesov, izvestnyj ryad ravnyh edinic sily, togda sdelalas' vozmozhnoj nauka mehaniki. Otsyuda neobhodimo sleduet, chto racional'naya mehanika ne mogla imet' kakoj-libo drugoj ishodnoj tochki, krome vesov. Dalee, vspomnim, chto v techenie togo zhe samogo perioda sushchestvovalo uzhe nekotoroe znanie himii. Mnogie remesla, proizvodivshiesya togda, byli by nevozmozhny bez obobshchennogo opyta o tom, kakim obrazom dejstvuyut izvestnye tela drug na druga pri dannyh usloviyah. Osobenno mnogo primerov predstavlyaet v etom otnoshenii metallurgiya, kotoroj togda zanimalis' v obshirnyh razmerah. My imeem dokazatel'stva, chto sushchestvovalo dazhe v izvestnom smysle kolichestvennoe znanie. Tak, analiz pokazyvaet, chto tverdyj splav, iz kotorogo egiptyane delali svoi ostrye orudiya, sostavlen byl iz medi i olova v opredelennyh proporciyah; sledovatel'no, dolzhno bylo sushchestvovat' nekotoroe ustanovivsheesya predvidenie, chto takoj splav mog byt' poluchen tol'ko cherez smeshenie metallov imenno v etih proporciyah. Spravedlivo, chto eto bylo prostoe empiricheskoe obobshchenie, no takovo zhe bylo obobshchenie kasatel'no vozvrashcheniya zatmenij, i takovy pervye obobshcheniya kazhdoj nauki. Otnositel'no odnovremennosti razvitiya nauk v techenie etoj rannej epohi ostaetsya zametit' tol'ko, chto dazhe samaya slozhnaya iz nauk dolzhna byla sdelat' nekotoryj uspeh - mozhet byt', dazhe otnositel'no bol'shij uspeh, nezheli vse ostal'nye nauki, ibo pri kakih usloviyah vozmozhno bylo predshestvovavshee razvitie? Prezhde vsego, nuzhna byla ustanovivshayasya i organizovannaya social'naya sistema. Ryad zapisannyh zatmenij, postrojka dvorcov, upotreblenie vesov, zanyatie metallurgiej - vse eto odinakovo predpolagaet slozhivshuyusya i mnogolyudnuyu naciyu. Sushchestvovanie takoj nacii predpolagaet ne tol'ko zakony i nekotoroe otpravlenie pravosudiya - chto, kak my znaem, imelo mesto, - no predpolagaet dazhe horoshie zakony, zakony, soobraznye v izvestnoj stepeni s usloviyami ustojchivosti obshchestva, zakony, ustanovlennye vsledstvie ochevidnosti, chto dejstviya, imi zapreshchavshiesya, byli opasny dlya gosudarstva. My nikak ne hotim skazat', chtoby vse ili dazhe bol'shaya chast' etih zakonov byli takovy, - my govorim tol'ko ob osnovnyh zakonah. Nel'zya otricat', chto takovy byli zakony, kasavshiesya zhizni i sobstvennosti. Nel'zya otricat', chto, kak by ni byla neznachitel'na ih obyazatel'nost' v otnosheniyah odnogo klassa k drugomu, oni byli v znachitel'noj stepeni obyazatel'ny dlya chlenov odnogo i togo zhe klassa. Edva li mozhno osparivat', chto primenenie etih zakonov v srede chlenov odnogo i togo zhe klassa praviteli pochitali neobhodimym dlya uderzhaniya poddannyh v soglasii. No pomimo vsyakih predpolozhenij yasno, chto obyknovennoe priznanie etih trebovanij v togdashnih zakonah podrazumevaet nekotoroe predvidenie obshchestvennyh yavlenij. Ta zhe samaya ideya ravenstva, kotoraya, kak my videli, sostavlyaet osnovu vseh drugih nauk, sostavlyaet takzhe osnovu etiki i sociologii. Ponyatie pravosudiya, kotoroe est' osnova etiki, i otpravlenie ego, sostavlyayushchee zhiznennoe uslovie social'nogo sushchestvovaniya, nevozmozhny bez priznaniya nekotorogo shodstva v chelovecheskih trebovaniyah v silu obshchej chelovechnosti lyudej. Spravedlivost' (equity) bukval'no znachit rovnost' (equalness); takim obrazom, dopustiv, chto v eti pervobytnye vremena sushchestvovala hotya samaya neopredelennaya ideya spravedlivosti, dolzhno dopustit', chto sushchestvovala nekotorogo roda ocenka ravenstva svobody lyudej na dobyvanie sebe predmetov zhizni, a sledovatel'no, opredelenie sushchestvennogo principa nacional'nogo ravnovesiya. Takim obrazom, uzhe na etoj nachal'noj stupeni polozhitel'nyh nauk, prezhde chem geometriya uspela perejti za neskol'ko empiricheskih pravil, prezhde chem mehanika poshla dalee svoej pervoj teoremy, prezhde chem astronomiya iz chisto hronologicheskogo fazisa pereshla v geometricheskij, - naibolee zaputannaya iz nauk (sociologiya) dostigla izvestnoj stepeni razvitiya, razvitiya, bez kotorogo nevozmozhen byl progress v drugih naukah. Zametim mimohodom, kak uzhe v etot rannij period progress tochnoj nauki shel ne tol'ko k uvelicheniyu chisla predvidenij, no i k predvideniyam bolee tochno-kolichestvennym; kak v astronomii period vozvrashchayushchihsya lunnyh dvizhenij malo-pomalu sveden byl k bolee vernomu kolichestvu vremeni - dvumstam tridcati pyati lunnym periodam, kak dalee Kallip ispravil etot metonicheskij cikl, opustiv odin den' v konce kazhdogo sem'desyat shestogo goda, kak, nakonec, eti posledovatel'nye uspehi predpolagayut bolee prodolzhitel'noe zapisyvanie nablyudenij i soglashenie bolee znachitel'nogo chisla faksov. Ukazav na eto, perejdem k issledovaniyu voprosa o tom, kak poluchila svoe nachalo geometricheskaya astronomiya. Pervym astronomicheskim instrumentom byl gnomon On ne tol'ko rano byl upotreblyaem na Vostoke, no najden byl i u meksikancev; posredstvom ego byli sdelany astronomicheskie nablyudeniya peruancev. Istoriya govorit, chto za 1100 let do R. X. kitajcy nashli, chto na izvestnom meste dlina solnechnoj teni, v letnee solncestoyanie, nahoditsya v takom zhe otnoshenii k vysote gnomona, kak poltora k vos'mi. Zdes' opyat' my vidim ne tol'ko to, chto instrument nahoditsya gotovym, no i to, chto priroda sama postoyanno sovershaet process izmereniya; vsyakij ukreplennyj stoyachij predmet - stolb, suhaya pal'ma, zherd', ugol zdaniya - sluzhit gnomonom; i nuzhno tol'ko zamechat' izmenyayushcheesya polozhenie teni, im brosaemoj, chtoby sdelat' pervyj shag v geometricheskoj astronomii. Kak neznachitelen byl etot pervyj shag, mozhno videt' iz togo, chto vnachale uznany byli tol'ko periody zimnego i letnego solncestoyanij, sootvetstvovavshie samoj men'shej i samoj bol'shej dline poludennoj teni, dlya opredeleniya kotoryh stoilo tol'ko ezhednevno otmechat' tochku, kakoj dostigla ten'. Nel'zya ne zametit', chto v nablyudenii v kakoe vremya v techenie sleduyushchego goda ten' snova dojdet do krajnego predela, i v vyvode, chto Solnce dostiglo togda toj zhe samoj povorotnoj tochki v svoem godovom puti, my imeem odin iz samyh prostyh primerov togo sovokupnogo upotrebleniya ravnyh velichin nravnyh otnoshenij, posredstvom kotorogo dostigaetsya vsyakaya tochnaya nauka, vsyakoe kolichestvennoe predvidenie. Kogda zamecheno bylo otnoshenie mezhdu dlinoj solnechnoj teni i polozheniem Solnca na nebe, yavilsya vyvod, chto esli v sleduyushchij god okonechnost' solnechnoj teni dostigla toj zhe samoj tochki, to i Solnce zanyalo to zhe samoe mesto, t. e. idei, zaklyuchavshiesya zdes', byli: ravenstvo tenej i ravenstvo otnoshenij mezhdu ten'yu i Solncem v techenie neskol'kih godov podryad. I zdes', kak v dele vesov, ustanovivsheesya ravenstvo otnoshenij bylo samogo prostogo poryadka. |to ne to ravenstvo, s kotorym obyknovenno imeyut delo v vysshih rodah nauchnogo rassuzhdeniya i kotoroe sootvetstvuet obshchemu tipu: otnoshenie mezhdu dvumya i tremya ravnyaetsya otnosheniyu mezhdu shest'yu i devyat'yu. Net, eto ravenstvo sleduet tipu, otnoshenie mezhdu dvumya i tremya ravnyaetsya otnosheniyu mezhdu dvumya i tremya, tut delo idet ne prosto o ravnyh otnosheniyah, no ob otnosheniyah sovpadayushchih. I zdes', bez somneniya, my vidim prekrasnoe poyasnenie togo, kak ideya ravnyh otnoshenij voznikaet tem zhe samym putem, kak i ideya ravnyh velichin. Kak pokazano uzhe, ideya ravnyh velichin voznikaet iz nablyudaemogo sovpadeniya dvuh dolgot, sopostavlennyh ryadom; a v dannom sluchae my imeem ne tol'ko dve sovpadayushchie dliny tenej, no i dva sovpadayushchih otnosheniya mezhdu Solncem i tenyami. Iz upotrebleniya gnomona estestvenno vyroslo ponyatie ob uglovyh izmereniyah, i s uspehom geometricheskih koncepcij yavilis' gemisfera Berosa, ravnodenstvennoe kol'co, solncestoyatel'noe kol'co i kvadrant Ptolemeya; vo vseh etih priborah ten' sluzhila ukazatelem polozheniya Solnca, no v soedinenii s uglovymi deleniyami. Sledit' za etimi podrobnostyami progressa, ochevidno, lezhit vne nashej zadachi. Dostatochno budet zametit', chto vo vseh nih my mozhem videt' to ponyatie ravenstva otnoshenij bolee slozhnogo roda, kotoroe luchshe vsego vyyasnilos' v astrolyabii, instrumente, sostoyavshem "iz krugoobraznyh obodov, dvizhushchihsya odin vnutri drugogo ili okolo polyusov, i soderzhashchem krugi, kotorye dolzhny privodit'sya v polozhenie ekliptiki i ploskosti, prohodyashchej cherez Solnce i polyusy ekliptiki", - v instrumente, sledovatel'no, predstavlyavshem kak by v modeli otnositel'nye polozheniya izvestnyh voobrazhaemyh linij i ploskostej na nebe; on dejstvoval posredstvom privedeniya etih predstavlyayushchih linij i ploskostej v parallelizm i sovpadenie s nebesnymi, i v svoem upotreblenii osnovyvalsya na idee, chto otnosheniya mezhdu etimi predstavlyavshimi liniyami i ploskostyami ravny otnosheniyam mezhdu predstavlyaemymi liniyami i ploskostyami. My mogli by ukazat' dalee, chto ponyatie o nebe, kak vrashchayushchejsya poloj sfere, iz®yasnenie faz Luny i vse posleduyushchie shagi predpolagayut v sebe tot zhe samyj umstvennyj process. No my dolzhny udovol'stvovat'sya ukazaniem na teoriyu ekscentrikov i epiciklov, kak na bolee otchetlivoe vyyasnenie etogo. Predlozhennaya i dokazannaya v pervyj raz Gipparhom, s cel'yu dostavit' ob®yasnenie glavnyh nepravil'nostej v nebesnyh dvizheniyah, eta teoriya zaklyuchaet ponyatie, chto progressii, retregressii i variacii skorosti, vidimye v nebesnyh telah, mogut byt' primireny s ih predpolagaemym odnoobraznym dvizheniem v krugah posredstvom predpolozheniya, chto Zemlya nahoditsya ne v centre ih orbit, ili posredstvom predpolozheniya, chto oni obrashchayutsya v krugah, kotoryh centry obrashchayutsya vokrug Zemli, ili posredstvom togo i drugogo predpolozheniya, vmeste vzyatyh. Otkrytie togo, chto tak dolzhny byt' ob®yasnyaemy yavleniya, bylo ne chto inoe, kak otkrytie, chto v nekotoryh geometricheskih figurah otnosheniya byli takovy, chto odnoobraznoe dvizhenie tochki, esli na nego smotret' s izvestnogo polozheniya, budet predstavlyat' analogichnye nepravil'nosti; i vychisleniya Gipparha, takim obrazom, predpolagayut verovanie, chto otnosheniya, sushchestvuyushchie mezhdu etimi geometricheskimi krivymi, ravny otnosheniyam, sushchestvuyushchim mezhdu nebesnymi orbitami. Ostavlyaya zdes' eti podrobnosti astronomicheskogo progressa i filosofiyu ego, zametim, kak otnositel'no konkretnaya nauka geometricheskaya astronomiya, podderzhivaemaya do teh por razvitiem geometrii voobshche, v svoyu ochered' vozdejstvovala na nee i byla takzhe prichinoj ee uspeha - i zatem snova pol'zovalas' ee pomoshch'yu. Gipparh, do sostavleniya svoih solnechnyh i lunnyh tablic, otkryl pravila dlya vychisleniya otnoshenij mezhdu storonami i uglami treugol'nikov, - otkryl trigonometriyu, podklass chistoj matematiki. Dalee, privedenie teorii o share v kolichestvennoj forme, nuzhnoe dlya astronomicheskih predpolozhenij, trebovalo obrazovaniya sfericheskoj trigonometrii, kotoroe bylo takzhe soversheno Gipparhom. Takim obrazom, i pryamolinejnaya i sfericheskaya trigonometriya, chasti ves'ma abstraktnoj i prostoj nauki o protyazhenii, ostavalis' nerazvivshimisya do teh por, poka menee otvlechennaya i bolee slozhnaya nauka nebesnyh dvizhenij ne stala nuzhdat'sya v nih. Fakt, prinimaemyj Kontom, chto so vremen Dekarta progress