UCHEBNIKE'' PO ISTORII S POMOSHCHXYU FORMALXNYH MATEMATIKO-STATISTICHESKIH PROCEDUR; 2) FORMALXNOE RASPOZNAVANIE ZAVISIMYH MEzhDU SOBOJ CHASTEJ |TOGO ``UCHEBNIKA''. V nastoyashchej rabote my pochti ne kasaemsya soderzhatel'noj interpretacii poluchaemyh formal'nyh rezul'tatov. Otmetim, chto matematiko-statisticheskie procedury, predlagaemye v dannoj rabote, osnovany na nekotoroj veroyatnostnoj modeli i nashi rezul'taty imeyut smysl lish' v predelah etoj modeli (to est' v predpolozhenii, chto ona sootvetstvuet istoricheskim dannym). Poetomu my obrashchali osoboe vnimanie na to, chtoby model' byla kak mozhno proshche, estestvennee, i ne trebovala by special'nyh predpolozhenij. p3'1'1 Glava 1. PRINCIP ZATUHANIYA CHASTOT 1. FORMULIROVKA PRINCIPA ZATUHANIYA CHASTOT I DUBLIROVANIYA CHASTOT. PRIMERY 1. 1. FORMULIROVKA PRINCIPA V rabotah [1-5] A. T. Fomenko sformuliroval fundamental'nyj PRINCIP ZATUHANIYA CHASTOT, pozvolyayushchij stroit' estestvennye statisticheskie modeli evolyucii vo vremeni sobstvennyh imen istoricheskih personazhej, upominaemyh v hronikah, letopisyah i t. p. |tot princip sostoit v sleduyushchem. Predpolozhim, chto issleduetsya bol'shaya sovokupnost' tekstov (fragmentov), kazhdyj iz kotoryh opisyvaet sobytiya priblizitel'no odnogo pokoleniya. Pust' zadan nekij ih hronologicheskij poryadok, pravil'nost' kotorogo neobhodimo proverit'. Pri pravil'nom hronologicheskom poryadke tekstov, imena personazhej v nih dolzhny postepenno menyat'sya pri posledovatel'nom perehode ot odnogo fragmenta k drugomu. Delo v tom, chto s techeniem vremeni rech' nachinaet idti o vse novyh i novyh lyudyah, prichem imena novyh deyatelej vytesnyayut imena prezhnih. V samom dele, rassmotrim kakoe-nibud' odno opredelennoe pokolenie. Pri opisanii sobytij, predshestvuyushchih etomu pokoleniyu, imena personazhej etogo pokoleniya, kak pravilo, ne upominayutsya, tak kak oni eshche ne rodilis'. Zatem, pri opisanii sobytij samogo etogo pokoleniya, imenno personazhi etogo pokoleniya upominayutsya naibolee chasto, poskol'ku s nimi svyazany opisyvaemye sobytiya. Nakonec, perehodya k opisaniyu sleduyushchih pokolenij, hronisty vse rezhe upominayut o prezhnih personazhah, tak kak opisyvayut uzhe novye sobytiya, personazhi kotoryh smenyayut umershih. |TO OZNACHAET, CHTO PRI PRAVILXNOM HRONOLOGICHESKOM PORYADKE FRAGMENTOV, CHASTOTA UPOTREBLENIYA IMEN PERSONAZHEJ DANNOGO POKOLENIYA DOLZHNA V SREDNEM UMENXSHATXSYA, ``ZATUHATX'', PRI PEREHODE K OPISANIYU VSE BOLEE OTDALENNYH OT NEGO VO VREMENI POKOLENIJ. Takim obrazom, kazhdoe pokolenie rozhdaet svoi, novye istoricheskie personazhi (imena); a pri smene pokolenij eti lica smenyayutsya. Nesmotrya na vneshnyuyu prostotu, etot princip (nuzhdayushchijsya v proverke) okazalsya chrezvychajno polezen pri sozdanii metodov datirovki tekstov. PRINCIP ZATUHANIYA CHASTOT dopuskaet bolee stroguyu pereformulirovku. 1. 2. CHASTOTNYE GRAFIKI IMEN. IDEALXNYJ ZATUHAYUSHCHIJ GRAFIK Predpolozhim, chto analiziruemaya sovokupnost' fragmentov teksta, kazhdyj iz kotoryh opisyvaet sobytiya priblizitel'no odnogo pokoleniya, raspolozhena i zanumerovana v nekotorom hronologicheskom poryadke. |ti fragmenty my v dal'nejshem budem nazyvat' GLAVAMI-POKOLENIYAMI, poskol'ku kazhdyj iz nih predstavlyaet soboj kak by glavu sovokupnogo dlinnogo teksta i opisyvaet v nem lish' odno pokolenie. Rassmotrim gruppu imen, vpervye poyavivshihsya v glave-pokolenii s nomerom T (napomnim, chto glavy zanumerovany v 0 hronologicheskom poryadke). V etu gruppu vhodyat te i tol'ko te imena, kotorye ni v kakih glavah s men'shimi chem T nomerami ne 0 poyavlyalis', no poyavilis' v glave T. 0 Uslovno nazovem imena etoj gruppy T -imenami. Podschitaem 0 zatem, skol'ko raz eti zhe imena upomyanuty v proizvol'noj glave-pokolenii s nekotorym nomerom T. Poluchivsheesya chislo oboznachim cherez K(T, T). Pri etom, esli odno i to zhe imya 0 povtoryaetsya v glave s nomerom T neskol'ko raz (to est' s kratnost'yu), to vse eti upominaniya budem podschityvat' i vklyuchat' v obshchee kolichestvo K(T, T). 0 Postroim grafik, otlozhiv po gorizonatali nomera glav-pokolenij, a po vertikali -- chisla K(T, T). Nomer T schitaem 0 0 pri etom fiksirovannym (takim obrazom, dlya kazhdogo nomera T 0 poluchitsya svoj grafik). Princip zatuhaniya chastot formuliruetsya togda tak: PRI HRONOLOGICHESKI PRAVILXNOJ NUMERACII GLAV-POKOLENIJ GRAFIKI K(T, T) PRI VSEH T DOLZHNY IMETX SLEDUYUSHCHIJ VID (ris. 1): 0 0 SLEVA OT TOCHKI T GRAFIK RAVEN NULYU, V TOCHKE T -- AbSOLYUTNYJ 0 0 MAKSIMUM, A ZATEM GRAFIK POSTEPENNO PADAET, ZATUHAET (MONOTONNO UBYVAET). Bukvoj N na ris. 1 oboznacheno obshchee kolichestvo pokolenij v dannoj sovokupnosti fragmentov teksta. Grafik na ris. 1 nazovem IDEALXNYM (TEORETICHESKIM). Sformulirovannyj princip dolzhen byt' proveren eksperimental'no na dostovernyh dannyh. Esli on veren, to my smozhem pol'zovat'sya sleduyushchim vazhnym sledstviem etogo principa. |KSPERIMENTALXNYE GRAFIKI K(T, T) PRI PRAVILXNOM 0 HRONOLOGICHESKOM PORYADKE GLAV-POKOLENIJ DOLZHNY BYTX (KACHESTVENNO) BLIZKI K IDEALXNOMU. 1. 3. CHISLENNYE |KSPERIMENTY NA KONKRETNOM ISTORICHESKOM MATERIALE V hode obshirnogo chislennogo eksperimenta, vypolnennogo A. T. Fomenko na real'nyh dostovernyh istoricheskih dannyh XVI-XX vv., a takzhe na chasti bolee rannih dannyh, princip zatuhaniya chastot polnost'yu podtverdilsya. Privedem zdes' nekotorye primery [6, 8]. 1. 3. 1. PRIMER IZ ANTICHNOJ RIMSKOJ ISTORII PRIMER 1. (A. T. Fomenko). Tit Livij ``Rimskaya istoriya'' M., 1887-1889, tt. 1-6. (Imeetsya sovremennoe izdanie: Tit Livij. ``Istoriya Rima ot osnovaniya goroda. Tt. 1, 2. M. :Nauka, 1989, 1991). |to -- fundamental'nyj tekst po istorii goroda Rima, ohvatyvayushchij period ot osnovaniya goroda (753 g. do n. e.) do II v. do n. e. Ves' tekst ``Istorii'' byl razbit na glavy-pokoleniya. Okazalos', chto vse grafiki K(T, T), otnosyashchiesya k tem chastyam 0 ``Istorii'', kotorye opisyvayut 240-letnij period 750-510 gg. do n. e. i 220-letnij period 510-293 gg. do n. e., PRAKTICHESKI SOVPALI S IDEALXNYM. Sledovatel'no, dannye otrezki istorii opisany Liviem v polnom sootvetstvii s principom zatuhaniya chastot: podavlyayushchee bol'shinstvo imen, vpervye ispol'zovannyh Liviem pri opisanii togo ili inogo pokoleniya, upominalos' zatem naibolee chasto pri opisanii imenno etogo pokoleniya. A v dal'nejshem izlozhenii oni postepenno smenyalis' drugimi, ``zabyvalis'''. 1. 3. 2. PRIMER IZ SREDNEVEKOVOJ KLERIKALXNOJ RIMSKOJ ISTORII PRIMER 2. (A. T. Fomenko). Liber Pontificals. Gestorum Pontificum Romanorum, 1898 (izdanie T. Mommzena). Iz etogo nabora tekstov, opisyvayushchego klerikal'nuyu istoriyu Rima, byli vydeleny kuski, sootvetstvuyushchie periodam: 1) 300-560 gg. n. e. ; 2) 560-900 gg. n. e. ; 3) 900-1250 gg. n. e. Dlya kazhdogo iz etih periodov byli postroeny grafiki K(T, T). 0 VSE ONI OKAZALISX BLIZKI K IDEALXNOMU. Sledovatel'no, i v etom sluchae princip zatuhaniya chastot podtverzhdaetsya dlya istoricheskih opisanij, ohvatyvayushchih neskol'ko stoletij. Iz provedennogo A. T. Fomenko eksperimenta, mezhdu prochim vytekaet, chto na intervalah vremeni v neskol'ko stoletij, kak pravilo, ne bylo ``mody'' na odni i te zhe imena (samo po sebe eto otnyud' ne ochevidno). Konechno, nekotorye drevnie imena (Petr, Mariya) chasto upotreblyayutsya i do sih por. No kak vyyasnilos', dolya etih imen sredi obshchego chisla drevnih imen, voshedshih v upotreblenie odnovremenno s nimi, ochen' mala. Sushchestvovanie takih ``dolgozhivushchih'' imen oznachaet, chto eksperimental'nye grafiki K(T, T) padayut pri dvizhenii sleva napravo ne do nulya, a do 0 nekotorogo nenulevogo urovnya. 1. 3. 3. PRIMER IZ VIZANTIJSKOJ ISTORII PRIMER 3. (A. T. Fomenko). V kachestve teksta X byla vzyata sleduyushchaya posledovatel'nost' pervoistochnikov, opisyvayushchaya istoriyu Vizantii v period 976-1341 gg. n. e. : 1) MIHAIL PSELL ``Hronografiya'' (M., 1978) -- ohvatyvaet period 976-1075 gg. ; 2) ANNA KOMNINA ``Sokrashchennoe skazanie o delah carya Alekseya Komnina'' (Spb., 1879) -- period 1081-1118 gg. ; 3) IOANN KINNAM ``Kratkoe obozrenie carstvovaniya Ioanna i Manuila Kinnama'' (Spb., 1860) -- period 1118-1185 gg. ; 4) NIKITA HONIAT ``Istoriya so vremen carstvovaniya Ioanna Kinnama'', tom 1 (Spb., 1862) -- period 1186-1206 gg. ; 5) GEORGIJ AKROPOLIT ``Letopis''' (Spb., 1863) -- period 1203-1261 gg. ; 6) GEORGIJ PAHIMER ``Istoriya o Mihaile i Adronike Paleologah'' (Spb., 1862) -- period 1285-1282 gg. ; 7) NIKIFOR GRIGORA ``Rimskaya istoriya'' (Spb., 1862) -- period 1204-1341 gg. Perechislennye teksty soderzhit neskol'ko desyatkov tysyach upominanij polnyh imen (s uchetom povtornyh upominanij). OKAZALOSX, CHTO VSE GRAFIKI K(T, T) DLYA PERVOJ CHASTI TEKSTA X 0 OT 976 DO 1206 GG. (hroniki 1-4) PRAKTICHESKI SOVPADAYUT S IDEALXNYM. ANALOGICHNOE UTVERZHDENIE VERNO I DLYA VTOROJ CHASTI TEKSTA H: OT 1206 DO 1341 GG. (hroniki 5-7). Princip zatuhaniya chastot podtverdilsya takzhe i dlya sovremennyh istoricheskih tekstov (uchebnikov). 1. 3. 4. PRIMER IZ SREDNEVEKOVOJ RIMSKOJ ISTORII PRIMER 4. (A. T. Fomenko). Ferdinand Gregorovius ``Istoriya goroda Rima v srednie veka'', toma 1-6 (Spb., 1902-1912) -- odin iz samyh obshirnyh i informativnyh sovremennyh tekstov po istorii Rima. Iz nego byli vydeleny i razbity na glavy-pokoleniya kuski, opisyvayushchie periody: 1) 300-560 gg., 2) 560-900 gg., 3) 900-1250 gg., 4) 1250-1500 gg. Obshchee kolichestvo upominanij imen -- neskol'ko desyatkov tysyach. OKAZALOSX, CHTO PRINCIP ZATUHANIYA CHASTOT VEREN V KAZHDOM IZ UKAZANNYH KUSKOV TEKSTA PO OTDELXNOSTI. Otmetim, chto oni opisyvayut sobytiya na protyazhenii neskol'kih stoletij kazhdyj i ih velichina vpolne dostatochna, dlya togo, chtoby sobrat' predstavitel'nuyu statistiku. Poetomu mozhno bylo by ozhidat', chto statisticheskij princip (kakim yavlyaetsya princip zatuhaniya chastot), podtverdivshijsya na kazhdom iz takih ob®emnyh kuskov teksta, budet veren i dlya vsego teksta Gregoroviusa. ODNAKO OKAZYVAETSYA, CHTO |TO NE TAK. DLYA VSEGO TEKSTA GREGOROVIUSA PRINCIP ZATUHANIYA CHASTOT UZHE NE VYPOLNYAETSYA. |to -- otrazhenie togo obstoyatel'stva, chto istoriya Rima soderzhit statisticheskie dublikaty (sm. nizhe). Analogichnoe utverzhdenie spravedlivo i dlya monografii Kol'rausha ``Istoriya Germanii'', toma 1-2 (M., 1860), v kotoroj bylo vydeleny kuski opisyvayushchie sleduyushchie periody vremeni: 1) 600-1000 gg. n. e. ; 2) 1000-1273 gg. n. e. ; 3) 1273-1700 gg. n. e. Vsego A. T. Fomenko bylo obrabotano neskol'ko desyatkov istoricheskih tekstov i vo vseh sluchayah princip zatuhaniya chastot podtverdilsya. Na ego osnove v rabote [5] byl predlozhen metod hronologicheski pravil'nogo uporyadochivaniya glav-pokolenij v hronike (ili nabore hronik), gde etot poryadok narushen ili neizvesten. 1. 4. KAK MOZHNO DATIROVATX NEIZVESTNYE ILI SOMNITELXNYE HRONIKI 1. 4. 1. CHASTOTNAYA MATRICA IMEN I METOD DATIROVANIYA METODIKA DATIROVANIYA (A. T. Fomenko [6]). Rassmotrim sovokupnost' glav-pokolenij hroniki X (pust' ih budet N shtuk) i zanumeruem ih v kakom-libo, proizvol'nom poryadke. Posle etogo dlya kazhdoj glavy-pokoleniya H(T ) podschitaem grafik K(T, T), kotoryj, 0 0 estestvenno, zavisit ot vybrannoj numeracii glav. Ves' nabor znachenij K(T, T) pri razlichnyh T i T raspolozhim v vide 0 0 kvadratnoj matricy razmera NxN. Imenno, na peresechenii i-j storoki i j-go stolbca etoj matricy postavim chislo K(i, j). Oboznachim poluchennuyu matricu {K} i budem nazyvat' ee kvadratnoj matricej chastot hroniki (teksta) H. V sluchae, kogda kazhdyj iz grafikov K(T, T) sovpadaet s 0 ideal'nym, matrica {K} budet imet' vid, pokazannyj na ris. 2: a) nizhe glavnoj diagonali -- nuli, b) na samoj glavnoj diagonali -- absolyutnye maksimumy v kazhdoj stroke, v) pri dvizhenii po lyuboj stroke vpravo ot glavnoj diagonali znacheniya monotonno umen'shayutsya. Konechno, eksperimental'nye grafiki dolzhny lish' kachestvenno sovpadat' s teoreticheskim (ideal'nym). V real'nyh hronikah imena personazhej mogut vpervye vstrechat'sya neskol'ko ran'she opisaniya osnovnyh svyazannyh s nimi sobytij, zatem chastota upotrebleniya etih imen budet narastat', dostigaya maksimuma pri opisanii sobytij, v kotoryh oni v naibol'shej mere uchastvovali, i lish' zatem monotonno ubyvat' -- ris. 3. Drugimi slovami v real'nyh grafikah K(T, T) rost ot nulya do 0 maksimuma ne obyazatel'no dolzhen proishodit' mgnovenno. Esli v hronike H menyaetsya numeraciya glav-pokolenij, to sootvetstvenno izmenyatsya i vse grafiki K(T, T), a, sledovatel'no, 0 i matrica {K}. V samom dele, pri izmenenii numeracii glav, v hronike proishodit slozhnoe pereraspredelenie ``vpervye poyavivshihsya imen'', chto vliyaet na znacheniya K(T, T). 0 Menyaya poryadok glav s pomoshch'yu razlichnyh perestanovok i vychislyaya kazhdyj raz novuyu matricu {K}, budem iskat' takoj poryadok glav-pokolenij, pri kotorom matrica budet imet' vid, naibolee blizkij k ideal'nomu. Tot poryadok glav, pri kotorom otklonenie eksperimental'noj matricy {K} ot teoreticheskoj (ideal'noj) budet naimen'shim, i sleduet priznat' HRONOLOGICHESKI PRAVILXNYM (v ramkah dannoj modeli). |tot metod pozvolyaet datirovat' sobytiya, naprimer, v sleduyushchej situacii. Pust' dana hronika Y, o kotoroj izvestno, chto ona opisyvaet kakie-to sobytiya priblizitel'no odnogo pokoleniya iz prodolzhitel'noj epohi (A, V) -- ot goda A do goda V. No bolee tochnaya datirovka etih sobytij neizvestna. Predpolozhim, chto epoha (A, V) celikom opisana v nekotoroj drugoj hronike H, razbitoj na glavy-pokoleniya, prichem poryadok glav v tekste H hronologicheski pravilen. Trebuetsya ukazat' ``mesto'' teksta Y sredi glav-pokolenij teksta H. Drugimi slovami, trebuetsya tochno (s tochnost'yu do odnogo pokoleniya) datirovat' sobytiya teksta Y v predpolozhenii, chto hronologiya teksta H verna. Dlya resheniya etoj zadachi prisoedinim hroniku Y k hronike H v kachestve novoj glavy i menyaya ee mesto sredi glav teksta H budem kazhdyj raz vychislyat' matricu {K}. Sravnivaya eksperimental'nyj vid matricy {K} s teoreticheskim (ideal'nym) najdem takoe polozhenie teksta Y v tekste H, pri kotorom soglasovanie budet nailuchshim. Tem samym my opredelim mesto sobytij hroniki Y sredi sobytij hroniki H. Datirovka sobytij iz H nam, po predpolozheniyu, izvestna. TEM SAMYM, MY DATIRUEM SOBYTIYA, OPISANNYE V Y. Metod byl proveren na tekstah s zaranee izvestnoj datirovkoj [5-8]. 1. 4. 2. PRIMER IZ ISTORII ANTICHNOJ GRECII PRIMER 5. (A. T. Fomenko). Rassmotrim period ot 500 do 200 gg. do n. e. v istorii Grecii. V kachestve teksta H, opisyvayushchego ves' etot period, voz'mem ``Sravnitel'nye zhizneopisaniya'' Plutarha (toma 1-3, M., 1963-1964). Ispol'zovanie opisannogo metoda pokazalo, chto vse glavy-pokoleniya v etom tekste raspolozheny hronologicheski pravil'no (drug otnositel'no druga). |to ne oznachaet, vprochem, chto verna ih ABSOLYUTNAYA datirovka (ona, kak raz, oshibochna). No v etom primere my govorim poka lish' ob OTNOSITELXNOJ hronologii. V kachestve teksta Y, sobytiya kotorogo nado datirovat', voz'mem tekst Plutarha ``Pirr''. Opisyvaemye v nem sobytiya obychno datiruyut 319-272 gg. do n. e. (sm. tom 2 ``Sravnitel'nyh zhizneopisanij'', s. 502-503, kommentarij 5, 89). Razyskivaya dlya ``Pirra'' pravil'noe polozhenie sredi drugih glav-pokolenij, nahodim, chto sleduet pomestit' ``Pirra'' v konec IV -- nachalo III vv. do n. e. |to horosho soglasuetsya s izvestnoj ranee (OTNOSITELXNOJ! ) datirovkoj. (Odnako, ABSOLYUTNAYA datirovka zdes' ne sovpadaet s tradicionnoj [2]). Poluchennyj rezul'tat dostatochno grubyj, tak kak my imeli delo s glavami, opisyvayushchimi celye pokoleniya, a ne otdel'nye gody, no zato my datirovali ``Pirra'' OTNOSITELXNO drugih zhizneopisanij Plutarha ne vnikaya v ego smyslovoe soderzhanie, chisto formal'nym metodom. 1. 4. 3. PRIMER IZ VIZANTIJSKOJ ISTORII PRIMER 6. (A. T. Fomenko). Voz'mem v kachestve ``datiruyushchego'' teksta H posledovatel'nost' vizantijskih hronik, perechislennuyu v primere 3. OTNOSITELXNO |TOJ POSLEDOVATELXNOSTI byli datirovany sleduyushchie hroniki, opisyvayushchie krestovye pohody: 1) Y = ``Gesta Erancorum et aliorum Hierosolymitanorum. - Historie anonime de la premiere croisade. Ed. El. Brehier, Paris, 1924, p. 194-206. 2) Y = ``Zavoevanie Konstantinopolya'' Robera de Klari. (M., 1986). V oboih sluchayah otnositel'naya datirovka, poluchennaya s pomoshch'yu opisannoj metodiki sovpala s tradicionnoj. Vopros zhe ob absolyutnoj datirovke etih tekstov, kak i hronik, perechislennyh vyshe v kachestve ``vizantijskoj shkaly'', - vopros osobyj. Kak my uvidim, eti dokumenty byli, skoree vsego, napisany sushchestvenno pozdnee, chem predpolagaetsya v skaligerovskoj istorii. Takim obrazom effektivnost' metodiki podtverdilas' na srednevekovyh tekstah s zaranee izvestnoj datirovkoj. 1. 5. KAK MOZHNO OBNARUZHITX DUBLIKATY-POVTORY V HRONIKE METODIKA OBNARUZHENIYA DUBLIKATOV (A. T. Fomenko, [6, 18]). Sleduya rabotam [1-8], sformuliruem sledstvie principa dublirovaniya chastot dlya hronik, soderzhashchih povtory (dublikaty). |tot princip pozvolyaet predlozhit' metod vyyavleniya ``skrytyh'' dublikatov, kotorye iz-za sushchestvennyh razlichij v podache materiala ne zametny pri smyslovom vospriyatii teksta. Opisannaya nizhe metodika yavlyaetsya s nekotorom smysle chastnym sluchaem predydushchej, no vvidu ee vazhnosti dlya datirovki, my vydelim ee kak samostoyatel'nyj priem obnaruzheniya dublikatov. Pust' interval vremeni (A, V) -- ot goda A do goda V, -- opisan v hronike H, razbitoj na glavy-pokoleniya, kotorye my oboznachaem H(T), gde T -- nomer pokoleniya. Predpolozhim, chto v celom glavy-pokoleniya H(T) v tekste H zanumerovany hronologicheski verno, za odnim lish' isklyucheniem: sredi nih est' dva dublikata, to est' dve glavy, pomeshchennye v RAZNYH chastyah hroniki H, no govoryashchie OB ODNOM I TOM ZHE POKOLENII, po suti dela povtoryayushchie drug druga. Rassmotrim prostejshij sluchaj, kogda oba dublikata tozhdestvenny, to est' odna i ta zhe glava-pokolenie vstrechaetsya v tekste H dva raza -- odin raz s nomerom T, a vtoroj raz s nomerom 0 S. 0 YAsno, chto grafiki K(T, T) i K(S, T), opredelenie kotoryh 0 0 bylo dano vyshe, imeyut v etom sluchae vid, kachestvenno pokazannyj na ris. 4. V samom dele, vse imena VPERVYE poyavivshiesya v glave s nomerom T (pervoj v pare glav-dublikatov) povtoryayutsya zatem eshche 0 raz v glave s nomerom S (vtoroj glave etoj pary). Poetomu 0 chastota upotrebleniya ``imen glavy T `` v posleduyushchih glavah hroniki 0 H skachkom vozrastet, kogda pri dvizhenii sleva napravo po osi absciss my dojdem do nomera S. 0 Grafik K(T, T) budet imet' v tochke S harakternyj VSPLESK, 0 0 govoryashchij o poyavlenii v tekste dublikata glavy s nomerom T . 0 CHto zhe kasaetsya grafika K(S, T), to yasno, chto vse znacheniya 0 K(S, T) prosto ravny nulyu, tak kak glava H(S ), yavlyayas' tochnym 0 0 povtorom uzhe byvshej glavy H(T ), ne soderzhit ni odnogo novogo 0 imeni (vse ee imena uzhe poyavilis' v H(T )) -- sm. ris. 4. 0 Pervyj grafik na ris. 4 yavno ne udovletvoryaet principu zatuhaniya chastot (tak net monotonnogo ubyvaniya sprava ot T ). 0 Sledovatel'no, dlya vosstanovleniya pravil'nogo hronologicheskogo poryadka glav sleduet perestavit' glavy-pokoleniya v hronike H tak, chtoby dobit'sya sootvetstviya s teoreticheskim grafikom (ris. 1). YAsno, chto nailuchshee sovpadenie s teoreticheskim grafikom poluchitsya, esli my pomestim glavy-dublikaty H(T ) i H(S ) ryadom 0 0 ili prosto otozhdestvim ih. Itak, esli sredi glav-pokolenij nekotoroj hroniki H obnaruzhilis' dve glavy H(T ) i H(S ), dlya kotoryh ih grafiki 0 0 K(T, T) i K(S, T) imeyut vid priblizitel'no kak na ris. 4, to eti 0 0 glavy yavlyayutsya dublikatami (v ramkah rassmatrivaemoj modeli). Skoree vsego, eti glavy govoryat ob odnih i teh zhe sobytiyah i ih sleduet otozhdestvit'. Vse skazannoe perenositsya na sluchaj, kogda v hronike H soderzhitsya tri i bolee dublikatov. 1. 6. PRIMER IZ SREDNEVEKOVOJ ISTORII ITALII Metod byl eksperimental'no proveren na real'nyh istoricheskih dannyh. V kachestve prostogo primera, v chastnosti, byla vzyata kniga ``Istorii Florencii'' N. Mak'yavelli (L., 1973), snabzhennaya razvernutym kommentariem. YAsno, chto kommentarii mozhno rassmatrivat' kak seriyu dopolnitel'nyh glav-pokolenij, DUbLIRUYUSHCHIH osnovnoj tekst (tak kak v nih v osnovnom govoritsya o teh zhe sobytiyah, chto i v osnovnoj hronike). Tekst ``Istorii'' vmeste s kommentariyami byl razbit na glavy-pokoleniya. Dlya poluchivshegosya sovokupnogo teksta (ohvatyvayushchego kak samu ``Istoriyu'', tak i kommentarii k nej) byla postroena matrica {K}, opredelennaya vyshe. Okazalos', chto ona imeet vid, kachestvenno pokazannyj na ris. 5, gde zhirnym otmecheny kletki matricy, zapolnennye maksimumami v ee strokah (to est' maksimumami, vspleskami v grafikah K(T, T)). Kommentarii k osnovnoj hronike yasno vydelyayutsya na ris. 5 0 v vide SPLOSHNOGO ZHIRNOGO OTREZKA, PARALLELXNOGO GLAVNOJ DIAGONALI. V dannom sluchae metodika uspeshno obnaruzhila ZARANEE IZVESTNYE dublikaty -- kommentarii k tekstu Mak'yavelli (pri obrabotke etogo teksta prinimal uchastie A. Makarov). Opisannye metody raspoznavaniya zavisimostej ("statisticheskih dublikatov''), osnovannye na principe zatuhaniya chastot, byli predlozheny A. T. Fomenko v rabotah [5-8]. S ih pomoshch'yu, a takzhe s pomoshch'yu drugih, nezavisimyh metodik, v 1980-1988 gg. A. T. Fomenko i ego kollegami byla prodelana isklyuchitel'no ob®emnaya vychislitel'naya rabota po global'nomu statisticheskomu analizu sovokupnosti tekstov, opisyvayushchih drevnyuyu i srednevekovuyu istoriyu. Rezul'taty etoj raboty summirovany v vide razlozheniya GHK (global'noj hronologicheskoj karty) [6, 7, 18]. p3'1'2 2. HRONOLOGICHESKIE SPISKI IMEN. PRIMERY. 2. 1. PONYATIE SPISKA IMEN. PRAVILXNYE, KRATNYE, PROSTYE SPISKI IMEN V dal'nejshem my budem rassmatrivat' ne sami hroniki (teksty), a SPISKI IMEN, izvlechennye iz nih. |to oznachaet, chto kazhdyj fragment hroniki, opisyvayushchij sobytiya nekotorogo vybrannogo perioda vremeni (odnogo pokoleniya, 10-ti, 20-ti letiya i t. p.) zamenyaetsya na spisok sobstvennyh imen, upominaemyh v dannom fragmente. Pri etom, v kazhdom fragmenta lyuboe imya uchityvaetsya stol'ko raz, skol'ko ono upomyanuto v nem -- to est' uchityvaetsya ``s kratnost'yu''. Predpolozhim, chto obshchee chislo glav v rassmatrivaemoj hronike ravno N. Vystroiv i zanumerovav spiski imen, izvlechennyh iz kazhdogo fragmenta etogo teksta, v tom poryadke, kak oni sledovali v nem, poluchim spisok imen H, yavlyayushchijsya ob®edineniem posledovatel'nosti bolee korotkih spiskov imen H, H,..., H : 1 2 N H = H +H +... +H. 1 2 N Spiski imen H (1\D<\Ai\D<\AN) my v dal'nejshem budem nazyvat' i GLAVAMI-POKOLENIYAMI ili prosto GLAVAMI spiska H. Spisok H yavlyaetsya uporyadochennym spiskom imen i ego mozhno rassmatrivat' takzhe i bez razbieniya na glavy: H = {a, a,..., a }. 1 2 n Zdes' cherez a oboznacheno i-toe po poryadku imya v spiske H. i My budem priderzhivat'sya sleduyushchih oboznachenij dlya harakteristik spiskov imen: n -- obshchee chislo imen v spiske H (s uchetom kratnosti ih vhozhdeniya v spisok); m -- chislo RAZLICHNYH imen spiska H; N -- chislo glav spiska H (esli ispol'zuetsya razbienie spiska imen na glavy). Itak, osnovnoj ob®ekt nashego issledovaniya -- spisok imen H, razbityj na sleduyushchie odna za drugoj v hronologicheskom poryadke glavy H, H,..., H. Takie spiski my budem nazyvat' 1 2 N HRONOLOGICHESKIMI SPISKAMI IMEN. Hronologicheskie spiski imen, udovletvoryayushchie principu zatuhaniya chastot, yavlyayutsya (v ramkah nashej modeli) spiskami s PRAVILXNOJ hronologiej. V dal'nejshem my budem nazyvat' takie spiski imen PRAVILXNYMI SPISKAMI. Dopustim, chto v spiske imen narushen princip zatuhaniya chastot (ili sledstviya etogo principa). Pust' eto narushenie dostatochno yarko vyrazheno i pozvolyaet vydelit' v spiske imen sistemu ``statisticheskih dublikatov'' (posle otozhdestvleniya kotoryh spravedlivost' principa zatuhaniya chastot vosstanavlivaetsya). Togda nazovem takie hronologicheskie spiski imen -- SPISKAMI S DUBLIKATAMI. Hronologicheskij spisok imen nazovem PROSTYM, esli imya (imena) kazhdogo istoricheskogo deyatelya vhodit v kazhduyu glavu spiska ne bolee, chem odin raz. V teh sluchayah, kogda v glavah spiska soderzhatsya po neskol'ku raz imena odnogo i togo zhe lica, my budem nazyvat' ego KRATNYM spiskom. Takim obrazom, PROSTYE SPISKI -- eto prosto perechislenie imen (skazhem, nekotoroj dinastii pravitelej) v hronologicheskom poryadke. KRATNYE SPISKI imen poluchayutsya, kak pravilo, pri vypisyvanii vseh imen iz istoricheskogo istochnika, razbitogo na fragmenty (glavy-pokoleniya). Pri etom, v kazhdom fragmente imya (imena) odnogo i togo zhe personazha obychno povtoryayutsya NESKOLXKO RAZ. 2. 2. PRIMERY SPISKOV IMEN My izuchim sleduyushchie hronologicheskie spiski imen, kotorye dlya udobstva ssylok snabdim sokrashchennymi oboznacheniyami dannymi v skobkah. 2. 2. 1. IMENA RIMSKIH IMPERATOROV 1. (RI) -- spisok IMEN IMPERATOROV RIMA, nachinaya s Romula (753 g. do n. e.) i konchaya imperatorom Leopol'dom Gabsburgom (1705 g. n. e.). V etot spisok posledovatel'no vklyucheny vse izvestnye imena vseh imperatorov i fakticheskih pravitelej carskogo Rima (po Titu Liviyu), Rimskoj imperii I v. do n. e. -- IV v. n. e. vklyuchaya dinastiyu gotov, imperii karolingov, Svyashchennoj rimskoj imperii germanskoj nacii X-XIII vv., imperii Gabsburgov XIII-XVII vv. Spisok byl sostavlen A. T. Fomenko. Spisok imen rimskih imperatorov byl razbit na glavy po 10 let kazhdaya. Pri etom, v kazhduyu glavu spiska popali imena teh imperatorov, vremya pravleniya kotoryh peresekalos' s sootvetstvuyushchim 10-letnim promezhutkom. Tak, v pervuyu glavu voshli imena imperatorov, vremya pravleniya kotoryh perekryvalos' s otrezkom vremeni 760-750 gg. do n. e., vo vtoruyu -- s otrezkom 750-740 gg. do n. e. i t. d. Pri etom vpisyvalis' vse izvestnye imena kazhdogo imperatora. V sluchae, esli vremya pravleniya imperatora perekryvalos' srazu s neskol'kimi desyatiletiyami, ego imena vhodili vo vse sootvetstvuyushchie etim desyatiletiyam glavy. Poskol'ku istoriya imperatorskogo Rima soderzhit dve lakuny -- dve rimskih respubliki (antichnaya i srednevekovaya), to v spiske imen rimskih imperatorov est' dve serii pustyh glav (imen imperatorov v sootvetstvuyushchih desyatiletiyah net). Obshchee chislo glav etogo spiska imen: N = 246, obshchee chislo imen n = 555, chislo razlichnyh imen m = 193. Spisok prostoj. Rassmatrivalis' takzhe razbieniya spiska imen rimskih imperatorov na bolee krupnye glavy -- po 20, 30 i 40 let. 2. 2. 2. IMENA RIMSKIH PAP 2. (P1) -- spisok IMEN RIMSKIH PAP do 1950 g. V etot spisok vklyucheny imena vseh pap i antipap Rima nachinaya s apostola Petra. Spisok imen rimskih pap razbit na glavy po 10 let. Spisok sostavlen A. Makarovym po [14]. Obshchee chislo glav etogo spiska imen: N = 190, obshchee chislo imen n = 293, chislo razlichnyh imen m = 89. Spisok prostoj. 2. 2. 3. NACIONALXNOSTI RIMSKIH PAP 3. (P2) -- spisok NACIONALXNOSTEJ RIMSKIH PAP do 1950 g. |tot spisok sostavlen tak zhe, kak i spisok imen rimskih pap, no tol'ko vmesto imen vzyaty dannye o proishozhdenii (naprimer, ``rimlyanin'', ``francuz'', ``genuezec'' i t. p.). Takim obrazom, v kachestve ``imeni'' v spiske P2 vystupaet nacional'nost' (proishozhdenie) togo ili inogo papy. Spisok nacional'nostej rimskih pap sostavlen A. Makarovym po [14]. Obshchee chislo glav spiska: N = 246, obshchee chislo ``imen'' n = 293, chislo razlichnyh ``imen'' m = 51. Spisok prostoj. 2. 2. 4. IMENA VIZANTIJSKIH IMPERATOROV 4. (VI) -- spisok IMEN IMPERATOROV VOSTOCHNOJ RIMSKOJ IMPERII (VIZANTII). Spisok nachinaetsya s imperatora Konstantina Velikogo (306 g. n. e.) i konchaetsya imperatorom Konstantinom XI Paleologom, pogibshim pri vzyatii Konstantinopolya turkami v 1453g. Spisok imen imperatorov Vizantii sostavlen A. T. Fomenko i razbit na glavy po 10 let. Rassmatrivalis' takzhe i bolee krupnye razbieniya -- po 20 i 40 let. Obshchee chislo glav spiska: N = 116, obshchee chislo imen n = 151, chislo razlichnyh imen m = 63. Spisok prostoj. 2. 2. 5. IMENA KONSTANTINOPOLXSKIH PATRIARHOV 5. (VP) -- spisok IMEN KONSTANTINOPOLXSKIH PATRIARHOV do nachala XIX v. Spisok nachinaetsya s patriarha Aleksandra (317 g.) i konchaetsya patriarhom Neofitom VII (1809 g.). Spisok sostavlen G. V. Nosovskim po [19] i razbit na glavy po 10 let. V nego vklyucheny takzhe nazvaniya cerkovnyh soborov. Obshchee chislo glav spiska: N = 150, obshchee chislo imen n = 310, chislo razlichnyh imen m = 129. Spisok prostoj. 2. 2. 6. IMENA V BIBLII 6. (B1) -- spisok VSEH SOBSTVENNYH IMEN, UPOMINAEMYH V BIBLII. Pri razbienii etogo spiska na glavy ispol'zovano razbienie teksta Biblii na glavy-pokoleniya, vypolnennoe A. T. Fomenko [6, 7]). Kazhdaya iz etih glav govorit o sobytiyah priblizitel'no odnogo pokoleniya lyudej. V glavu 1 spiska imen Biblii byli vklyucheny vse sobstvennye imena iz pervoj glavy-pokoleniya Biblii, v glavu 2 -- iz vtoroj i t. d. Spisok sostavlen V. P. Fomenko i T. G. Fomenko. Obshchee chislo glav spiska: N = 218, obshchee chislo imen n primerno ravno 15500, chislo razlichnyh imen m primerno ravno 5000. Spisok kratnyj. 2. 2. 7. PARALLELXNYE STIHI V BIBLII 7. (B2) -- spisok PARALLELXNYH MEST (POVTOROV) V BIBLII. V XVIII-XIX vv. kommentatory Biblii prodelali obshirnuyu rabotu po vyyavleniyu povtoryayushchih drug druga po smyslu stihov biblejskogo teksta. |ti povtory ukazany v sovremennyh izdaniyah Biblii v vide tak nazyvaemogo apparata parallel'nyh mest. A imenno, dlya kazhdogo stiha ukazano, kakie imenno stihi Biblii yavlyayutsya ``povtorami'' dannogo stiha, blizki emu po smyslu (esli takie povtory est'). Pri postroenii spiska povtorov v Biblii v kachestve ``imen'' vzyata vsya sovokupnost' stihov Biblii i te stihi, kotorye yavlyayutsya povtorami drug druga (soglasno apparatu parallel'nyh mest v sinodal'nom izdanii) byli formal'no otozhdestvleny. Poluchilas' posledovatel'nost' ``imen'', sredi kotoroj est' odinakovye, povtoryayushchiesya. |tot spisok ``imen'' razbit na glavy tak zhe, kak i spisok B1 imen Biblii -- v sootvetstvii s razbieniem teksta Biblii na glavy-pokoleniya. Vsya ogromnaya rabota po sostavleniyu spiska B2 i podschetu grafikov K(T, T) dlya nego (sm. o nih vyshe) prodelana 0 V. P. Fomenko i T. G. Fomenko. Obshchee chislo glav spiska: N = 218, obshchee chislo ``imen'' n primerno ravno 22000, chislo razlichnyh ``imen'' m primerno ravno 5200. Spisok kratnyj. 2. 2. 8. IMENA ARMYANSKIH KATOLIKOSOV 8. (AK) -- spisok IMEN KATOLIKOSOV ARMENII ot 50 g. n. e. do nachala XX v. Spisok razbit na glavy po 10 let. Obshchee chislo glav spiska: N = 175, obshchee chislo imen n = 391, chislo razlichnyh imen m = 215. Spisok prostoj. 2. 3. TABLICA OSNOVNYH ISTORICHESKIH SPISKOV IMEN Dlya udobstva chitatelya my svedem perechislennye spiski imen s ih oboznacheniyami i osnovnymi harakteristikami v tablice 1. Tablica 1. -------------------------------------------------------------- Uslov- Kratkoe Promezhutok Razmer CHislo Obshchee CHislo noe opisanie vremeni, glavy glav chislo raz- obozna- spiska ohvatyva- v imen lichnyh chenie emyj spis- spis- imen kom ke -------------------------------------------------------------- RI Imena -753 g. 10 let 246 555 193 imperatorov ... Spisok prostoj. Rima 1705 g. P1 Imena 50 g. 10 let 190 293 89 rimskih ... Spisok prostoj. pap 1950 g. P2 Nacional'- 50 g. 10 let 190 293 51 nosti ... Spisok prostoj. rimskih 1950 g. pap VI Imena 306 g. 10 let 116 151 215 imperatorov ... Spisok prostoj. Vizantii 1453 g. VP Imena 317 g. 10 let 150 310 129 konstantino- ... Spisok prostoj. pol'skih 1809 g. patriarhov B1 Sobstvennye -5500 g. ``pokole- 218 15500 5000 imena upo- ili nie'' minaemye -4000 g. (po Spisok kratnyj. v Biblii ... [6]) II v. do n. e. B2 Stihi Biblii -5500 g. ``pokole- 218 22000 5200 s otozhdest- ili nie'' vleniem pa- -4000 g. (po Spisok kratnyj. rallel'nyh ... [6]) mest II v. do n. e. AK Imena 50 g. 10 let 175 391 215 katolikosov ... Spisok prostoj. Armenii 1800 g. p3'1'3 3. SREDNIJ VOZRAST IMENI V HRONOLOGICHESKOM SPISKE 3. 1. OPREDELENIE VOZRASTA Razbienie hronologicheskogo spiska imen na glavy pozvolyaet opredelit' dlya kazhdogo imeni chislovuyu harakteristiku, kotoruyu my nazovem VOZRASTOM dannogo imeni (kak elementa hronologicheskogo spiska). |ta harakteristika okazyvaetsya ochen' poleznoj na pervonachal'nom etape issledovaniya ``vnutrennej'' hronologii spiska imen. OPREDELENIE. VOZRASTOM IMENI v hronologicheskom spiske H nazyvaetsya raznost' nomera glavy, kuda vhodit dannoe imya i nomera glavy, v kotoroj takoe zhe imya vstretilos' v spiske v pervyj raz ("rodilos'''). Vozrast unikal'nogo imeni v spiske po opredeleniyu polagaetsya ravnym nulyu. Takim obrazom, VOZRAST IMENI -- eto celoe neotricatel'noe chislo, ne prevoshodyashchee nomera glavy, kuda vhodit dannoe imya, umen'shennogo na edinicu (poskol'ku samye ``starye'' imena eto te, kotorye rodilis' v pervoj glave). Znachenie vozrasta pokazyvet, skol'ko glav-pokolenij proshlo s momenta pervogo poyavleniya takogo zhe imeni v spiske. OPREDELENIE. Imya v hronologicheskom spiske budem nazyvat' STARYM IMENEM, esli ego vozrast bol'she nulya. STARYE IMENA (elementy spiska) -- eto takie imena, kotorye UZHE VSTRECHALISX v kakih-to predydushchih glavah spiska. OPREDELENIE. SREDNIM VOZRASTOM IMENI v i-toj glave H spiska H nazovem i summu vozrastov vseh imen dannoj glavy, delennuyu na obshchee kolichestvo imen v glave (s uchetom povtornyh vhozhdenij). Analogichno, SREDNIM VOZRASTOM STAROGO IMENI v glave H nazovem i summu vozrastov vseh staryh imen glavy H, delennuyu na kolichestvo i etih imen. Esli dannaya glava ne soderzhit imen (staryh imen), to srednij vozrast imeni (starogo imeni) v nej po opredeleniyu polozhim ravnym nulyu. Znacheniya SREDNEGO VOZRASTA IMEN (ili STARYH IMEN) spiska H udobno izobrazhat' v vide grafika, gde po osi absciss otlozheny nomera glav, a po osi ordinat -- znacheniya srednego vozrasta dlya nih. Izuchenie hronologii spiska imen s pomoshch'yu grafikov srednego vozrasta osnovano na sleduyushchih prostyh soobrazheniyah. 3. 2. PRINCIP ZATUHANIYA CHASTOT I VOZRAST IMENI Predpolozhim snachala, chto rassmatrivaemyj spisok imen H - PRAVILXNYJ, i v nem, SOGLASNO PRINCIPU ZATUHANIYA CHASTOT proishodit estestvennaya smena imen -- novye imena voznikayut, a starye postepenno zabyvayutsya. Krome togo, kak pravilo, v hronologicheskih spiskah prisutstvuet nebol'shaya dolya imen, kotorye upotreblyayutsya na protyazhenii vsego spiska ili v znachitel'nyh ego chastyah. Takie (ispol'zuemye global'no) imena nazovem ``VECHNYMI'' v otlichie ot ``OBYCHNYH'' (lokal'no ispol'zuemyh) imen. Konechno, v real'nyh hronikah soderzhatsya i imena, zanimayushchie promezhutochnoe polozhenie mezhdu ``obychnymi'' i ``vechnymi'', no sejchas, dlya prostoty rassuzhdenij, my ne budem o nih govorit'. Iz principa zatuhaniya chastot sleduet, chto VOZRAST ``OBYCHNYH'' IMEN SPISKA DOLZHEN SOHRANYATX PRIBLIZITELXNO POSTOYANNOE ZNACHENIE (so sluchajnym razbrosom okolo nego) vo vseh glavah, krome samyh pervyh glav spiska. VOZRAST ZHE ``VECHNYH'' IMEN POSTOYANNO RASTET SO VREMENEM (PO LINEJNOMU ZAKONU). Summiruya eti zamechaniya, mozhno vyskazat' sleduyushchuyu gipotezu: PROCESS |VOLYUCII VOZRASTA IMEN V PRAVILXNOM HRONOLOGICHESKOM SPISKE DOLZHEN BYTX STACIONARNYM, VOZMOZHNO, POSLE VYCHITANIYA NEKOTOROJ LINEJNOJ FUNKCII. DLYA TAKOGO PROCESSA DOLZHNA HOROSHO RABOTATX MODELX LINEJNOJ REGRESSII. 3. 3. |KSPERIMENTALXNAYA PROVERKA GIPOTEZY Gipoteza trebuet eksperimental'noj proverki na real'nom dostovernom materiale. Ona byla proverena avtorami na istoricheskom materiale XIV-XX vv. GIPOTEZA PODTVERDILASX. OKAZALOSX, CHTO VOZRAST IMEN V PRAVILXNYH HRONOLOGICHESKIH SPISKAH DEJSTVITELXNO VEDET SEBYA V SOOTVETSTVII S TEORETICHESKOJ MODELXYU. Harakternyj koefficient naklona linii regresii dlya pravil'nyh spiskov, ohvatyvayushchih promezhutok vremeni 300-400 let sostavlyaet 0, 2 -- 0, 3. Takim obrazom, okolo chetverti imen v nih -- dolgozhivushchie i okolo treh chetvertej -- korotkozhivushchie. 3. 4. METOD PROVERKI PRAVILXNOSTI HRONOLOGICHESKOGO SPISKA IMEN Skazannoe pozvolyaet predlozhit' sleduyushchuyu formal'nuyu metodiku proverki pravil'nosti hronologicheskih spiskov imen. 1) Po dannomu spisku stroitsya realizaciya processa vozrasta imen. 2) Dlya etoj realizacii proveryaetsya gipoteza o stacionarnosti processa (otsutstvii razladok). Esli eta gipoteza v rezul'tate primeneniya matematiko-statisticheskoj procedury OTVERGAETSYA, dannyj spisok, po vsej vidimosti, NE YAVLYAETSYA PRAVILXNYM. Predpolozhim teper', chto spisok imen H soderzhit tol'ko odnu, ``ideal'nuyu'' seriyu dublikatov -- dve v tochnosti povtoryayushchie drug druga posledovatel'nosti glav (ris. 6). Togda srednij vozrast imen vo vtoroj iz etih posledovatell'nostej budet raven rasstoyaniyu mezhdu etimi posledovatel'nostyami v spiske (ris. 7). Na grafike srednego vozrasta imen voznikaet v etom sluchae harakternaya ``polka'', vysota kot