\input style
of a Random Sequence" ({\sl BIT,\/} {\bf 5} (1965), 246--250). 
pOSLEDOVATELXNOSTX, POSTROENNAYA V |TOJ STATXE, CELIKOM SOSTOIT IZ 
RACIONALXNYH CHISEL. kAZHDOE CHISLO~$U_n$ IMEET KONECHNOE PREDSTAVLENIE V 
DVOICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA. nESKOLXKO BOLEE SLOZHNYJ YAVNYJ SPOSOB 
POSTROENIYA $\infty\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ POSLEDOVATELXNOSTI MOZHNO POLUCHITX IZ 
PRIVEDENNOJ NIZHE TEOREMY~W.

\qsection{C. eKVIVALENTNY LI PONYATIYA $\infty\hbox{-RASPREDELENNOSTI}$ I 
SLUCHAJNOSTI}?
iZ VSEGO SKAZANNOGO VYSHE PRO $\infty\hbox{-RASPREDELENNYE}$ 
POSLEDOVATELXNOSTI SLEDUET, CHTO PONYATIE $\infty\hbox{-RASPREDELENNOSTI}$ 
VAZHNO SAMO PO SEBE. mOZHNO TAKZHE S DOSTATOCHNYM OSNOVANIEM SCHITATX, CHTO 
SLEDUYUSHCHEE OPREDELENIE HOROSHO OPISYVAET INTUITIVNOE PONYATIE SLUCHAJNOSTI.

\proclaim oPREDELENIE R1. pOSLEDOVATELXNOSTX NA~$[0, 1)$ NAZYVAETSYA 
"SLUCHAJNOJ", ESLI ONA $\infty\hbox{-RASPREDELENA}$.

mY VIDELI, CHTO TAKIE POSLEDOVATELXNOSTI UDOVLETVORYAYUT VSEM TESTAM P.~3.3.2 
I ESHCHE MNOGIM DRUGIM.

pOPROBUEM KRITICHESKI PODOJTI K |TOMU OPREDELENIYU. pREZHDE VSEGO, YAVLYAETSYA 
LI LYUBAYA "ISTINNO SLUCHAJNAYA" POSLEDOVATELXNOSTX 
$\infty\hbox{-RASPREDELENNOJ}$? sUSHCHESTVUET NESCHETNOE KOLICHESTVO 
POSLEDOVATELXNOSTEJ~$U_0$, $U_1$,~\dots{} DEJSTVITELXNYH CHISEL, 
ZAKLYUCHENNYH MEZHDU NULEM I EDINICEJ. eSLI ZNACHENIYA~$U_0$, $U_1$,~\dots{} 
POLUCHAYUTSYA S POMOSHCHXYU DATCHIKA ISTINNO SLUCHAJNYH CHISEL, LYUBUYU IZ 
POSLEDOVATELXNOSTEJ MOZHNO SCHITATX RAVNOCENNOJ. pRI |TOM NEKOTORYE IZ 
|TIH POSLEDOVATELXNOSTEJ (V DEJSTVITELXNOSTI BESKONECHNO BOLXSHOE IH CHISLO) 
NE BUDUT DAZHE RAVNOMERNO RASPREDELENY. s DRUGOJ STORONY, PRI LYUBOM 
RAZUMNOM OPREDELENII VEROYATNOSTI NA |TOM PROSTRANSTVE VSEH VOZMOZHNYH 
POSLEDOVATELXNOSTEJ MY DOLZHNY ZAKLYUCHITX, CHTO SLUCHAJNAYA POSLEDOVATELXNOSTX 
$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$ S \emph{VEROYATNOSTXYU}~$1$. tAKIM OBRAZOM, MY 
PRIHODIM K FORMALIZACII OPREDELENIYA SLUCHAJNOSTI, DANNOGO fR|NKLINOM 
(SM.\ NACHALO PARAGRAFA).

\proclaim oPREDELENIE R2. pOSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ NA~$[0, 1)$ NAZYVAETSYA 
"SLUCHAJNOJ", ESLI DLYA LYUBOGO SVOJSTVA~$P$, TAKOGO, CHTO~$P(\<V_n>)$ 
SPRAVEDLIVO S VEROYATNOSTXYU~1 DLYA POSLEDOVATELXNOSTI~$\<V_n>$ NEZAVISIMYH 
VYBOROK SLUCHAJNYH VELICHIN IZ RAVNOMERNOGO RASPREDELENIYA, SPRAVEDLIVO~$P(\<U_n>)$.

vOZMOZHNO LI, CHTO OPREDELENIE~R1 |KVIVALENTNO OPREDELENIYU~R2? pOPROBUEM 
VYDVINUTX PROTIV OPREDELENIYA~R1 NEKOTORYE VOZRAZHENIYA.

pREZHDE VSEGO OPREDELENIE~R1 IMEET DELO TOLXKO S PREDELXNYMI SVOJSTVAMI 
POSLEDOVATELXNOSTI PRI~$n\to\infty$. sUSHCHESTVUYUT $\infty\hbox{-RASPREDELENNYE}$ 
POSLEDOVATELXNOSTI, NACHINAYUSHCHIESYA OTREZKOM
%% 172
IZ MILLIONA NULEJ. sLEDUET LI SCHITATX TAKUYU POSLEDOVATELXNOSTX SLUCHAJNOJ?

eTO VOZRAZHENIE NE OCHENX SERXEZNO. pUSTX~$\varepsilon$---LYUBOE 
POLOZHITELXNOE CHISLO, TOGDA VPOLNE VOZMOZHNO, CHTO KAZHDYJ IZ 
PERVOGO MILLIONA CHLENOV POSLEDOVATELXNOSTI MENXSHE~$\varepsilon$. kAK MY 
UZHE OTMECHALI RANEE, NET SPOSOBA, POZVOLYAYUSHCHEGO SUDITX O TOM, SLUCHAJNA ILI 
NET KONECHNAYA POSLEDOVATELXNOSTX. iSTINNO SLUCHAJNAYA POSLEDOVATELXNOSTX S 
VEROYATNOSTXYU EDINICA SODERZHIT BESKONECHNO MNOGO OTREZKOV PO MILLIONU 
POSLEDOVATELXNYH CHLENOV, KAZHDYJ IZ KOTORYH MENXSHE~$\varepsilon$. pOCHEMU ZHE 
TAKOJ OTREZOK NE MOZHET OKAZATXSYA V NACHALE POSLEDOVATELXNOSTI?

s DRUGOJ STORONY, RASSMOTRIM OPREDELENIE~R2, I PUSTX $P$---SVOJSTVO 
POSLEDOVATELXNOSTI, SOSTOYASHCHEE V TOM, CHTO VSE EE |LEMENTY RAZLICHNY. 
sVOJSTVO~$P$ SPRAVEDLIVO S VEROYATNOSTXYU EDINICA, PO|TOMU LYUBAYA 
POSLEDOVATELXNOSTX S MILLIONOM NULEJ PO \emph{|TOMU} KRITERIYU NE YAVLYAETSYA 
SLUCHAJNOJ.

pUSTX TEPERX SVOJSTVO~$P$ ZAKLYUCHAETSYA V TOM, CHTO \emph{NI ODIN} |LEMENT 
POSLEDOVATELXNOSTI NE RAVEN NULYU. oNO SPRAVEDLIVO S VEROYATNOSTXYU EDINICA, 
PO|TOMU PO OPREDELENIYU~R2 LYUBAYA POSLEDOVATELXNOSTX, U KOTOROJ ESTX 
NULEVOJ |LEMENT, NE YAVLYAETSYA SLUCHAJNOJ. rASSMOTRIM BOLEE OBSHCHIJ SLUCHAJ: 
PUSTX~$x_0$---LYUBOE ZADANNOE CHISLO, ZAKLYUCHENNOE MEZHDU NULEM I EDINICEJ, 
I~$P$---SVOJSTVO, SOSTOYASHCHEE V TOM, CHTO NI ODIN |LEMENT POSLEDOVATELXNOSTI 
NE RAVEN~$x_0$. iZ OPREDELENIYA~R2 SLEDUET, CHTO NIKAKAYA SLUCHAJNAYA 
POSLEDOVATELXNOSTX NE MOZHET SODERZHATX |LEMENT, RAVNYJ~$x_0$! tEPERX MOZHNO 
DOKAZATX, CHTO \emph{NI ODNA POSLEDOVATELXNOSTX NE MOZHET UDOVLETVORYATX 
USLOVIYAM, SFORMULIROVANNYM V OPREDELENII}~R2. (v SAMOM DELE, ESLI~$U_0$, 
$U_1$,~\dots{} ESTX POSLEDOVATELXNOSTX, UDOVLETVORYAYUSHCHAYA |TIM USLOVIYAM, 
TO POLOZHIM~$x_0=U_0$.)

tAKIM OBRAZOM, ESLI~R1---SLISHKOM SLABOE OPREDELENIE, TO R2---SLISHKOM SILXNOE. 
"pRAVILXNOE" OPREDELENIE DOLZHNO BYTX MENEE OGRANICHITELXNYM, CHEM~R2. oDNAKO 
MY, VOOBSHCHE GOVORYA, ESHCHE NE DOKAZALI, CHTO R1 SLISHKOM SLABO, PO|TOMU 
PRODOLZHIM EGO IZUCHENIE. vYSHE GOVORILOSX O TOM, CHTO MOZHNO 
POSTROITX $\infty\hbox{-RASPREDELENNUYU}$ POSLEDOVATELXNOSTX 
\emph{RACIONALXNYH} CHISEL. (rAZUMEETSYA, V |TOM NET NICHEGO OSOBENNO 
UDIVITELXNOGO: SM.\ UPR.~1.8.) pOCHTI VSE DEJSTVITELXNYE CHISLA 
IRRACIONALXNY, PO|TOMU MOZHNO POTREBOVATX, CHTOBY DLYA SLUCHAJNOJ 
POSLEDOVATELXNOSTI IMELO MESTO RAVENSTVO
\EQ{
 \Pr(U_n \hbox{ RACIONALXNO})=0.
}

zAMETIM, CHTO RAVNOMERNAYA RASPREDELENNOSTX, PO OPREDELENIYU OZNACHAET, 
CHTO~$\Pr(u\le U_n<v)=v-u$. iSPOLXZUYA TEORIYU MERY, LEGKO OBOBSHCHITX |TO 
OPREDELENIE: "eSLI MERA MNOZHESTVA~$S\subseteq [0,1)$
%% 173
RAVNA~$\mu$, TO
\EQ[27]{
 \Pr(U_n \in S)=\mu
}
DLYA VSEH SLUCHAJNYH POSLEDOVATELXNOSTEJ~$\<U_n>$". v CHASTNOSTI, ESLI 
MNOZHESTVO~$S$ SOSTAVLENO IZ RACIONALXNYH CHISEL, ONO IMEET MERU NULX, I, 
TAKIM OBRAZOM, NIKAKAYA POSLEDOVATELXNOSTX RACIONALXNYH CHISEL NE YAVLYAETSYA 
RAVNOMERNO RASPREDELENNOJ V |TOM OBOBSHCHENNOM SMYSLE. mOZHNO OZHIDATX, CHTO 
TEOREMA~B OBOBSHCHAETSYA NA SLUCHAJ INTEGRIROVANIYA V SMYSLE lEBEGA, ESLI 
POTREBOVATX VYPOLNENIYA SVOJSTVA~\eqref[27]. oDNAKO MY OPYATX PRIHODIM K 
VYVODU, CHTO OPREDELENIE~\eqref[27] YAVLYAETSYA SLISHKOM ZHESTKIM, POSKOLXKU NI 
ODNA POSLEDOVATELXNOSTX \emph{NE} OBLADAET |TIM SVOJSTVOM! eSLI $U_0$,  
$U_1$,~\dots---NEKOTORAYA POSLEDOVATELXNOSTX, TO MERA 
MNOZHESTVA~$S=\set{U_0, U_1,~\ldots}$ RAVNA NULYU, ODNAKO~$\Pr(U_n\in S)=1$.
tAKIM OBRAZOM, PUTEM TEH ZHE RASSUZHDENIJ, S POMOSHCHXYU KOTORYH MY ISKLYUCHILI IZ 
SLUCHAJNYH POSLEDOVATELXNOSTEJ RACIONALXNYE CHISLA, MOZHNO ISKLYUCHITX VSE 
SLUCHAJNYE POSLEDOVATELXNOSTI.

pOKA VSE ESHCHE NE POKAZANO, CHTO OPREDELENIE~R1 NEPRIGODNO. pROTIV NEGO, 
ODNAKO, SUSHCHESTVUYUT VESKIE VOZRAZHENIYA. eSLI, NAPRIMER, IMEETSYA SLUCHAJNAYA V 
INTUITIVNOM SMYSLE POSLEDOVATELXNOSTX, BESKONECHNAYA EE PODPOSLEDOVATELXNOSTX
\EQ[28]{
 U_0, U_1, U_4, U_9,~\ldots, U_{n^2},~\ldots
}
DOLZHNA TAKZHE BYTX SLUCHAJNOJ. dLYA $\infty\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ 
POSLEDOVATELXNOSTI |TO NE VSEGDA SPRAVEDLIVO. (dEJSTVITELXNO, ESLI VZYATX 
LYUBUYU $\infty\hbox{-RASPREDELENNUYU}$ POSLEDOVATELXNOSTX I 
POLOZHITX~$U_{n^2}\leftarrow 0$ DLYA VSEH~$n$, VELICHINY~$\nu_k(n)$, KOTORYE 
POYAVLYAYUTSYA PRI PROVERKE $k\hbox{-RASPREDELENNOSTI}$, IZMENYATSYA NE BOLXSHE, 
CHEM NA VELICHINU PORYADKA~$\sqrt{n}$, TAK CHTO PREDELY OTNOSHENIJ~$\nu_k(n)/n$ 
NE IZMENYATSYA.) oTSYUDA SLEDUET, CHTO~R1 NE OBLADAET |TIM SVOJSTVOM SLUCHAJNOSTI.

pOPROBUEM USILITX~R1 SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM.

\proclaim oPREDELENIE~R3. pOSLEDOVATELXNOSTX NA~$[0, 1)$ NAZYVAETSYA 
"SLUCHAJNOJ", ESLI KAZHDAYA EE BESKONECHNAYA PODPOSLEDOVATELXNOSTX 
$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$.

oDNAKO I |TO OPREDELENIE OKAZYVAETSYA SLISHKOM OGRANICHITELXNYM, POSKOLXKU 
IZ LYUBOJ RAVNOMERNO RASPREDELENNOJ POSLEDOVATELXNOSTI~$\<U_n>$ MOZHNO 
VYDELITX MONOTONNUYU PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$U_{s_0}<U_{s_1}<U_{s_2}<\ldots\,$.

sLEDUET TAK OGRANICHITX KLASS RASSMATRIVAEMYH PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ, 
CHTOBY KAZHDYJ CHLEN POSLEDOVATELXNOSTI, ZARANEE NEIZVESTNYJ, MOZHNO BYLO BY 
VYBIRATX PO NEKOTOROMU PRAVILU. tAKIM OBRAZOM, POLUCHAEM

%% 174

\proclaim oPREDELENIE~R4. pOSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ NA~$[0, 1)$ 
NAZYVAETSYA "SLUCHAJNOJ", ESLI KAKOV BY NI BYL |FFEKTIVNYJ ALGORITM, 
S POMOSHCHXYU KOTOROGO POLUCHAETSYA BESKONECHNAYA POSLEDOVATELXNOSTX RAZLICHNYH 
NEOTRICATELXNYH CELYH CHISEL~$s_n$, GDE~$n\ge0$, 
PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$U_{s_0}$, $U_{s_1}$,~\dots,  SOOTVETSTVUYUSHCHAYA 
|TOMU ALGORITMU, YAVLYAETSYA $\infty\hbox{-RASPREDELENNOJ}$.

aLGORITMY, O KOTORYH IDET RECHX,---|TO PROCEDURY, VYCHISLYAYUSHCHIE~$s_n$ PO 
ZADANNOMU~$n$. v |TOM OPREDELENII GOVORITSYA OBO VSEH BESKONECHNYH 
"REKURSIVNO PERECHISLIMYH" PODPOSLEDOVATELXNOSTYAH V SOOTVETSTVII S OBYCHNYM 
OPREDELENIEM REKURSIVNOJ PERECHISLIMOSTI (SM.~GL.~11).

oTNOSITELXNO DANNOGO OPREDELENIYA SLEDUET SDELATX NESKOLXKO ZAMECHANIJ. 
pOSLEDOVATELXNOSTX~$\<\pi^n\bmod 1>$ NAVERNYAKA \emph{NE} BUDET 
UDOVLETVORYATX OPREDELENIYU~R4, POSKOLXKU ILI ONA NE YAVLYAETSYA RAVNOMERNO 
RASPREDELENNOJ, ILI SUSHCHESTVUET |FFEKTIVNYJ ALGORITM, OPREDELYAYUSHCHIJ 
BESKONECHNUYU POSLEDOVATELXNOSTX~$s_n$, TAKUYU, 
CHTO~$(\pi^{s_0}\bmod 1) < (\pi^{s_1}\bmod 1) < \ldots\,$. mOZHNO PO|TOMU 
UTVERZHDATX, CHTO \emph{NI ODNA YAVNYM OBRAZOM OPREDELENNAYA POSLEDOVATELXNOSTX 
NE MOZHET UDOVLETVORYATX OPREDELENIYU}~R4. s |TIM SLEDUET SOGLASITXSYA, ESLI 
SCHITATX, CHTO YAVNYM OBRAZOM OPREDELENNAYA POSLEDOVATELXNOSTX NE MOZHET BYTX 
DEJSTVITELXNO SLUCHAJNOJ. vPOLNE VOZMOZHNO, ODNAKO, CHTO 
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<\theta^n\bmod 1>$ BUDET UDOVLETVORYATX OPREDELENIYU~R4 
DLYA POCHTI VSEH DEJSTVITELXNYH CHISEL~$\theta>1$. zDESX NET PROTIVORECHIYA, 
POSKOLXKU POCHTI VSE~$\theta$ NEVOZMOZHNO VYCHISLITX S POMOSHCHXYU ALGORITMA. 
iZVESTNY, NAPRIMER, SLEDUYUSHCHIE FAKTY. 
(i)~pOSLEDOVATELXNOSTX~$\<\theta^m\bmod 1>$ UDOVLETVORYAET OPREDELENIYU~R4 
DLYA POCHTI VSEH DEJSTVITELXNYH~$\theta>1$, ESLI USLOVIE 
$\infty\hbox{-RASPREDELENNOSTI}$ ZAMENITX NA 
USLOVIE $1\hbox{-RASPREDELENNOSTI}$. eTA TEOREMA BYLA DOKAZANA yu.~kOKSMOJ 
({\sl Compositio Mathematica,\/} {\bf 2} (1935), 250--258). 
(ii)~pOSLEDOVATELXNOSTX~$\<\theta^{s(n)}\bmod 1>$ 
$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$ DLYA POCHTI VSEH DEJSTVITELXNYH~$\theta>1$, 
ESLI~$\<s(n)>$ ESTX POSLEDOVATELXNOSTX CELYH CHISEL, TAKIH, 
CHTO~$s(n+1)-s(n)\to\infty$ PRI~$n\to\infty$. mOZHNO, NAPRIMER, 
POLOZHITX~$s(n)=n^2$, ILI~$s(n)=\floor{n\log n}$.

oPREDELENIE~R4 NAMNOGO SILXNEE OPREDELENIYA~R1, ODNAKO I ONO VSE ESHCHE 
SLISHKOM SLABO. pUSTX, NAPRIMER, IMEETSYA ISTINNO SLUCHAJNAYA 
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$. oPREDELIM 
PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_{s_n}>$ SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: $s_0=0$, I 
DLYA~$n>0$ CHISLO~$s_n$---NAIMENXSHEE POLOZHITELXNOE CELOE, TAKOE, CHTO VSE 
CHISLA~$U_{s_n-1}$, $U_{s_n-2}$,~\dots, $U_{s_n-n}$ MENXSHE POLOVINY. tEM 
SAMYM MY RASSMATRIVAEM PODPOSLEDOVATELXNOSTX VELICHIN, SLEDUYUSHCHIH SRAZU ZHE 
ZA SERIEJ IZ $n$~CHLENOV, KAZHDYJ IZ KOTORYH MENXSHE~$1/2$. pREDPOLOZHIM, 
CHTO "$U_n<1/2$" SOOTVETSTVUET VYPADENIYU "RESHETKI" PRI BROSANII MONETY. 
iGROKI OBYCHNO SCHITAYUT, CHTO ESLI MONETA BROSAETSYA CHESTNO, TO DLINNAYA 
SERIYA VYPADENIYA "RESHETOK" UVELICHIVAET
%% 175
VEROYATNOSTX POSLEDUYUSHCHEGO VYPADENIYA "ORLA", I OPREDELENNAYA NAMI 
PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_{s_n}>$ SOOTVETSTVUET STRATEGII IGROKA, PRI 
KOTOROJ ON DELAET $n\hbox{-YU}$~STAVKU PRI BROSANII MONETY, SLEDUYUSHCHEM 
VSLED ZA PERVYM POSLEDOVATELXNYM VYPADENIEM $n$~"RESHETOK". iGROK MOZHET 
SCHITATX, CHTO~$\Pr(U_{s_n}\ge 1/2)$ PREVOSHODIT POLOVINU, NO, RAZUMEETSYA, V 
ISTINNO SLUCHAJNOJ POSLEDOVATELXNOSTI ZNACHENIYA~$\<U_{s_n}>$ BUDUT 
SOVERSHENNO SLUCHAJNYMI. nET TAKOJ STRATEGII, KOTORAYA OBESPECHIVALA BY 
PREIMUSHCHESTVO V IGRE. v OPREDELENII~R4 NICHEGO NE GOVORITSYA O 
PODPOSLEDOVATELXNOSTYAH, SOSTAVLENNYH SOGLASNO TAKOJ STRATEGII, PO|TOMU 
NUZHNO PREDLOZHITX NECHTO BOLXSHEE.

oPREDELIM "PRAVILO POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTI"~$\cR$ KAK BESKONECHNUYU 
POSLEDOVATELXNOSTX FUNKCIJ~$\<f_n(x_1,~\ldots, x_n)>$, GDE~$n\ge0$, 
$f_n$---FUNKCIYA $n$~PEREMENNYH, I~$f_n(x_1,~\ldots, x_n)$ MOZHET PRINIMATX 
ZNACHENIE~$0$ ILI~$1$. zDESX $x_1$,~\dots, $x_n$ YAVLYAYUTSYA |LEMENTAMI 
NEKOTOROGO MNOZHESTVA~$S$. (tAKIM OBRAZOM, $f_0$~ESTX POSTOYANNAYA FUNKCIYA, 
RAVNAYA~$0$ ILI~$1$.) pRAVILO~$\cR$ POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTI 
OPREDELYAET PODPOSLEDOVATELXNOSTX LYUBOJ BESKONECHNOJ 
POSLEDOVATELXNOSTI~$\<X_n>$ |LEMENTOV~$S$ SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: 
\dfn{$n\hbox{-J}$ CHLEN~$X_n$ SODERZHITSYA V 
PODPOSLEDOVATELXNOSTI~$\<X_n>\cR$ V TOM I TOLXKO TOM SLUCHAE, 
KOGDA~$f_n(X_0, X_1,~\dots, X_{n-1})=1$.} zAMETIM, CHTO OPREDELENNAYA TAKIM 
OBRAZOM PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$\<X_n>\cR$ NE OBYAZATELXNO YAVLYAETSYA 
BESKONECHNOJ I MOZHET DAZHE BYTX PUSTOJ.

"pODPOSLEDOVATELXNOSTX IGROKA", OPISANNAYA VYSHE, SOOTVETSTVUET SLEDUYUSHCHEMU 
PRAVILU POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTI: "$f_0=1$; 
$f_n(x_1,~\ldots, x_n)=1$ PRI~$n>0$ V TOM I TOLXKO TOM SLUCHAE, 
KOGDA SUSHCHESTVUET NEKOTOROE~$k$, $0<k\le n$,  TAKOE,   CHTO~$x_m<1/2$, 
$x_{m-1}<1/2$,~\dots, $x_{m-k+1}<1/2$,~\dots, $x_{m-k+1}<1/2$ PRI~$m=n$, 
NO NE V SLUCHAE, KOGDA~$k\le m < n$".

pRAVILO POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTI~$\cR$ 
NAZYVAETSYA \emph{"VYCHISLIMYM",} ESLI SUSHCHESTVUET |FFEKTIVNYJ ALGORITM, 
POZVOLYAYUSHCHIJ OPREDELITX ZNACHENIE~$f_n(x_1,~\ldots, x_n)$ PO VHODNYM 
DANNYM~$n$, $x_1$,~\dots, $x_n$. sTREMYASX OPREDELITX PONYATIE SLUCHAJNOSTI, 
NUZHNO OGRANICHIVATXSYA VYCHISLIMYMI PRAVILAMI POSTROENIYA 
PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ, V PROTIVNOM SLUCHAE MY POLUCHIM SLISHKOM 
SILXNOE OPREDELENIE, PODOBNOE~R3. pROIZVOLXNYE DEJSTVITELXNYE CHISLA NE 
MOGUT SLUZHITX VHODNYMI DANNYMI |FFEKTIVNYH ALGORITMOV, POTOMU CHTO ESLI, 
NAPRIMER, DEJSTVITELXNOE CHISLO~$x$ V DESYATICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA 
OPREDELYAETSYA BESKONECHNOJ POSLEDOVATELXNOSTXYU CIFR, TO NE SUSHCHESTVUET 
ALGORITMA, PO KOTOROMU MOZHNO BYLO BY OPREDELITX, SPRAVEDLIVO LI 
NERAVENSTVO~$x<1/3$, POSKOLXKU PRISHLOSX BY ISSLEDOVATX VSE ZNAKI 
CHISLA~$0,333\ldots\,$. v SVYAZI S |TIM VYCHISLIMYE PRAVILA POSTROENIYA 
PODPOSLEDOVATELXNOSTI NE PRILOZHIMY KO VSEM POSLEDOVATELXNOSTYAM "NA~$[0, 1)$", 
I SLEDUYUSHCHEE
%% 176
OPREDELENIE BUDET UDOBNO OSNOVYVATX NA $b\hbox{-ICHNYH}$ POSLEDOVATELXNOSTYAH.

\proclaim oPREDELENIE~R5. {$b\hbox{-ICHNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX NAZYVAETSYA 
"SLUCHAJNOJ", ESLI KAZHDAYA EE BESKONECHNAYA PODPOSLEDOVATELXNOSTX, 
OPREDELENNAYA S POMOSHCHXYU VYCHISLIMOGO PRAVILA POSTROENIYA 
PODPOSLEDOVATELXNOSTI, 1-RASPREDELENA.
 \hiddenpar
pOSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ NA~$[0, 1)$ NAZYVAETSYA "SLUCHAJNOJ", ESLI 
$b\hbox{-ICHNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX~$\<\floor{bU_n}>$ "SLUCHAJNA" DLYA 
VSEH CELYH CHISEL~$b\ge2$.
}

zAMETIM, CHTO V OPREDELENII~R5 PODPOSLEDOVATELXNOSTX 
"$1\hbox{-RASPREDELENA}$", A NE "$\infty\hbox{-RASPREDELENA}$". iNTERESNO 
ZAMETITX, CHTO OBSHCHNOSTX PRI |TOM NE TERYAETSYA. v SAMOM DELE, DLYA 
LYUBOGO $b\hbox{-ICHNOGO}$ CHISLA~$a_1\ldots a_k$ MOZHNO TAK OPREDELITX 
OCHEVIDNYM OBRAZOM VYCHISLIMOE PRAVILO~$\cR(a_1{}\ldots{}a_k)$ POSTROENIYA 
PODPOSLEDOVATELXNOSTI. pOLOZHIM~$f_n(x_1,~\dots, x_n)=1$ V TOM I TOLXKO TOM 
SLUCHAE KOGDA~$n\ge k-1$ I~$x_{n-k+1}=a_1$,~\dots, $x_{n-1}=a_{k-1}$,  
$x_n=a_k$. eSLI $\<X_n>$ YAVLYAETSYA $k\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ 
$b\hbox{-ICHNOJ}$ POSLEDOVATELXNOSTXYU, TO UPOMYANUTOE 
PRAVILO~$\cR(a_1\ldots{}a_k)$, KOTOROE OTBIRAET PODPOSLEDOVATELXNOSTX, 
SOSTOYASHCHUYU IZ CHLENOV, SLEDUYUSHCHIH SRAZU ZA POYAVLENIEM~$a_1{}\ldots{}a_k$,  
OPREDELYAET BESKONECHNUYU PODPOSLEDOVATELXNOSTX, I ESLI |TA 
PODPOSLEDOVATELXNOSTX $1\hbox{-RASPREDELENA}$, TO KAZHDYJ IZ NABOROV, 
SOSTOYASHCHIH IZ $k+1$~|LEMENTOV $a_1\ldots{}a_k{}a_{k+1}$, PRI USLOVII, 
CHTO~$0\le a_{k+1}<b$, POYAVLYAETSYA V~$\<X_n>$ S VEROYATNOSTXYU~$1/b^{k+1}$. 
tAKIM OBRAZOM, INDUKCIEJ PO~$k$ MOZHNO DOKAZATX, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX, 
UDOVLETVORYAYUSHCHAYA OPREDELENIYU~R5, $k\hbox{-pacPREDELENA}$ DLYA VSEH~$k$. 
aNALOGICHNYM OBRAZOM, RASSMATRIVAYA "KOMPOZICIYU" PRAVIL POSTROENIYA 
PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ (ESLI $\cR_1$~OPREDELYAET BESKONECHNUYU 
PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$\<X_n>\cR_1$, MOZHNO OPREDELITX~$\cR_1\cR_2$ KAK 
PRAVILO POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTI, TAKOE, 
CHTO~$\<X_n>\cR_1\cR_2=((\<X_n>\cR_1) \cR_2)$, MY PRIHODIM K VYVODU, CHTO 
VSE PODPOSLEDOVATELXNOSTI, OPISANNYE V OPREDELENII~R5, 
$\infty\hbox{-RASPREDELENY}$ (SM.\ UPR.~32).

pOSKOLXKU $\infty\hbox{-RASPREDELENNOSTX}$ SLEDUET IZ OPREDELENIYA~R5 KAK 
OCHENX CHASTNYJ SLUCHAJ, MOZHNO NADEYATXSYA NA TO, CHTO MY, NAKONEC, 
SFORMULIROVALI ISKOMOE OPREDELENIE SLUCHAJNOSTI. nO, UVY, OSTAETSYA ESHCHE ODNA 
PROBLEMA! vOVSE NE OCHEVIDNO, CHTO POSLEDOVATELXNOSTI, UDOVLETVORYAYUSHCHIE 
OPREDELENIYU~R4, DOLZHNY TAKZHE UDOVLETVORYATX OPREDELENIYU~R5. "vYCHISLIMYE 
PRAVILA POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ", KOTORYE MY VVELI, 
VSEGDA PERECHISLYAYUT PODPOSLEDOVATELXNOSTI~$\<X_{s_n}>$, DLYA 
KOTORYH~$s_0<s_1<\ldots\,$, I |TO PRIVODIT K TAK NAZYVAEMYM 
"REKURSIVNYM POSLEDOVATELXNOSTYAM". oNI NE VKLYUCHAYUT V SEBYA VSE 
REKURSIVNO PERECHISLIMYE POSLEDOVATELXNOSTI, DOPUSKAEMYE OPREDELENIEM~R4,
%% 177
GDE POSLEDOVATELXNOSTX~$\<s_n>$ NE OBYAZANA BYTX MONOTONNOJ; DOLZHNO LISHX 
SOBLYUDATXSYA USLOVIE~$s_n\ne s_m$, PRI~$n=m$.

sTOLKNUVSHISX S TAKIM PREPYATSTVIEM, MY PRIHODIM K KOMBINACII 
OPREDELENIJ~R4 I~R5.

\proclaim oPREDELENIE~R6. {$b\hbox{-ICHNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX~$\<X_n>$ 
NAZYVAETSYA "SLUCHAJNOJ", ESLI DLYA LYUBOGO |FFEKTIVNOGO ALGORITMA, 
OPREDELYAYUSHCHEGO BESKONECHNUYU POSLEDOVATELXNOSTX RAZLICHNYH NEOTRICATELXNYH 
CELYH CHISEL~$\<s_n>$ KAK FUNKCIYU OT~$n$ I ZNACHENIJ~$X_{s_0}$,~\dots, 
$X_{s_{n-1}}$, SOOTVETSTVUYUSHCHAYA PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$\<X_{s_n}>$ 
"SLUCHAJNA" V SMYSLE OPREDELENIYA~R5.
  \hiddenpar
pOSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ NA~$[0, 1)$ NAZYVAETSYA "SLUCHAJNOJ", ESLI 
$b\hbox{-ICHNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX~$\<\floor{bU_n}>$ "SLUCHAJNA" PRI VSEH 
CELYH CHISLAH~$b\ge 2$.
}

aVTOR UTVERZHDAET, CHTO |TO OPREDELENIE, NESOMNENNO, OTVECHAET VSEM RAZUMNYM 
FILOSOFSKIM TREBOVANIYAM, PRED�YAVLYAEMYM K PONYATIYU SLUCHAJNOSTI, I, TAKIM 
OBRAZOM, DAET OTVET NA GLAVNYJ VOPROS, POSTAVLENNYJ ZDESX.

\section{D.~sUSHCHESTVOVANIE SLUCHAJNYH POSLEDOVATELXNOSTEJ}. mY VIDELI, CHTO 
OPREDELENIE~R3 POTOMU OKAZALOSX SLISHKOM SILXNYM, CHTO NI ODNA 
POSLEDOVATELXNOSTX EMU NE UDOVLETVORYALA, I VVODYA OPREDELENIYA~R4, R5 I~R6, 
MY STARALISX SOHRANITX OSNOVNYE SVOJSTVA OPREDELENIYA~R3. dLYA TOGO CHTOBY 
POKAZATX, CHTO OPREDELENIE~R6 NE YAVLYAETSYA SLISHKOM OGRANICHITELXNYM, 
SLEDUET DOKAZATX FAKT SUSHCHESTVOVANIYA POSLEDOVATELXNOSTEJ, 
UDOVLETVORYAYUSHCHIH SOOTVETSTVUYUSHCHIM TREBOVANIYAM. iSHODYA IZ INTUITIVNYH 
SOOBRAZHENIJ, NIKTO NE SOMNEVAETSYA V IH SUSHCHESTVOVANII, POSKOLXKU KAZHDYJ 
VERIT V TO, CHTO ISTINNO SLUCHAJNYE POSLEDOVATELXNOSTI SUSHCHESTVUYUT I 
UDOVLETVORYAYUT OPREDELENIYU~R6. oDNAKO CHTOBY UBEDITXSYA V SOSTOYATELXNOSTI 
OPREDELENIYA, NEOBHODIMO DOKAZATELXSTVO.

iNTERESNYJ METOD POSTROENIYA POSLEDOVATELXNOSTEJ, UDOVLETVORYAYUSHCHIH 
OPREDELENIYU~R5, PREDLOZHIL a.~vALXD. sNACHALA STROITSYA OCHENX PROSTAYA 
$1\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX.

\proclaim lEMMA~T. pUSTX V DVOICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA OPREDELENA 
POSLEDOVATELXNOSTX DEJSTVITELXNYH CHISEL~$\<V_n>$:
\EQ[29]{
 V_0=0, V_1=.1, V_2=.01, V_3=.11, V_4=.001,~\ldots,
 V_n=.c_r\ldots{}c_1 1, \rem{ESLI~$n=2^r+c_12^{r-1}+\cdots+c_r$.}
}
pUSTX $I_{b_1\ldots{}b_r}$~OBOZNACHAET MNOZHESTVO TAKIH DEJSTVITELXNYH CHISEL 
NA OTREZKE~$[0, 1)$, DVOICHNOE PREDSTAVLENIE KOTORYH 
NACHINAETSYA S~$0.b_1\ldots{}b_r$. tAKIM OBRAZOM,
\EQ[30]{
 I_{b_1\ldots{}b_r}=[0.b_1\ldots{} b_r, 0.b_1\ldots{}b_r+2^{-r}).
}
%%178
tOGDA, ESLI $\nu(n)$~OBOZNACHAET KOLICHESTVO CHISEL~$V_k$, 
SODERZHASHCHIHSYA V~$I_{b_1\ldots{}b_r}$ PRI~$0\le k < n$, IMEET MESTO NERAVENSTVO
\EQ[31]{
 \abs{\nu(n)/n-2^{-r}}\le 1/n.
}

\proof pOSKOLXKU $\nu(n)$~ESTX CHISLO TEH~$k$, DLYA 
KOTORYH~$k\bmod 2^r=b_r\ldots{}b_1$, MY IMEEM~$\nu(n)=t$ ILI~$t+1$, 
KOGDA~$\floor{n/2^r}=t$. tAKIM OBRAZOM, $\abs{\nu(n)-n/2^r}\le 1$.
\proofend

iZ FORMULY~\eqref[31] SLEDUET, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX~$\<\floor{2^rV_n}>$ 
YAVLYAETSYA RAVNOMERNO RASPREDELENNOJ $2^r\hbox{-ICHNOJ}$ 
POSLEDOVATELXNOSTXYU; OTSYUDA I IZ TEOREMY~A ZAKLYUCHAEM, 
CHTO~$\<V_n>$---RAVNOMERNO RASPREDELENNAYA NA~$[0, 1)$ POSLEDOVATELXNOSTX. v 
SAMOM DELE, YASNO, CHTO~$\<V_n>$ NASTOLXKO RAVNOMERNO RASPREDELENA, 
NASKOLXKO MOZHET BYTX RAVNOMERNO RASPREDELENNOJ POSLEDOVATELXNOSTX 
NA~$[0, 1)$! (dALXNEJSHEE OBSUZHDENIE SVOJSTV |TOJ I SVYAZANNYH S NEJ 
POSLEDOVATELXNOSTEJ IMEETSYA V STATXYAH i.~VAN~DER~kORPUTA ({\sl Proc. 
Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen,\/} {\bf 38} (1935), 
813--821, 1058--1066) I dZH.~hOLTONA ({\sl Numerische Mathematik,\/} {\bf 2} 
(1960), 84--90, 196).

pUSTX TEPERX~$\cR_1$, $\cR_2$,~\dots---BESKONECHNOE MNOZHESTVO 
PRAVIL POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ. mY HOTIM NAJTI 
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$, VSE BESKONECHNYE 
PODPOSLEDOVATELXNOSTI~$\<U_n>\cR_j$ KOTOROJ RAVNOMERNO RASPREDELENY.

\alg W.(pOSLEDOVATELXNOSTX vALXDA.) eTA PROCEDURA OPREDELYAET 
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ NA~$[0, 1)$, ESLI ZADANO BESKONECHNOE MNOZHESTVO 
PRAVIL POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ~$\cR_1$, $\cR_2$,~\dots, 
OPREDELYAYUSHCHIH PODPOSLEDOVATELXNOSTI POSLEDOVATELXNOSTEJ \emph{RACIONALXNYH} 
CHISEL NA~$[0, 1)$. pRI VYCHISLENII TREBUETSYA BESKONECHNO BOLXSHOE KOLICHESTVO 
VSPOMOGATELXNYH PEREMENNYH~$C[a_1,~\ldots,a_r]$, GDE~$r\ge 1$ I~$a_j=0$ 
ILI~$1$, $1\le j \le r$. v NACHALXNYJ MOMENT VREMENI VSE |TI PEREMENNYE 
RAVNY NULYU.

\st[nACHALXNAYA USTANOVKA~$n$.] uSTANOVITX~$n\asg 0$.

\st[nACHALXNAYA USTANOVKA~$r$.] uSTANOVITX~$r\asg 1$.

\st[pROVERITX~$\cR_r$.] eSLI |LEMENT~$U_n$, DOLZHEN POPASTX V 
PODPOSLEDOVATELXNOSTX, OPREDELYAEMUYU~$\cR_r$, NA OSNOVANII 
ZNACHENIJ~$U_k$, GDE~$0\le k < n$, TO NUZHNO PRISVOITX~$a_r\asg 1$, V 
PROTIVNOM SLUCHAE---PRISVOITX~$a_r\asg 0$. 

\st[$B[a_1,~\ldots, a_r]$ POLNO?] eSLI~$C[a_1,~\ldots, a_r]<3\cdot 4^{r-1}$, 
PEREJTI K~\stp{6}.

\st[uVELICHITX~$r$.] uSTANOVITX~$r\asg r+1$ I VOZVRATITXSYA K~\stp{3}.

\st[uSTANOVITX~$U_n$.] uVELICHITX~$C[a_1,~\ldots, a_r]$ NA~$1$. pUSTX 
$k$~ESTX NOVOE ZNACHENIE~$C[a_1,~\ldots, a_r]$. uSTANOVITX~$U_n\asg V_k$, 
GDE VELICHINA~$V_k$ OPREDELENA VYSHE V LEMME~T.

\st[uVELICHITX~$n$.] uVELICHITX~$n$ NA~$1$ I VOZVRATITXSYA K~\stp{2}.
\algend

%% 179

sTROGO GOVORYA, |TO NE ESTX ALGORITM, POSKOLXKU ON NE KONECHEN. lEGKO, 
ODNAKO, IZMENITX EGO TAK, CHTOBY ON ZAKANCHIVALSYA, KOGDA $n$~DOSTIGAET 
ZADANNOJ VELICHINY. chITATELYU LEGCHE BUDET POCHUVSTVOVATX IDEYU PRIVEDENNOGO 
POSTROENIYA, ESLI ON POPROBUET "PROKRUTITX" EGO VRUCHNUYU, ZAMENIV PRI |TOM 
CHISLO~$3\cdot 4^{r-1}$ NA SHAGE~W4 NA~$2^r$.

aLGORITM~W NE PREDNAZNACHEN DLYA PRIMENENIYA V KACHESTVE DATCHIKA SLUCHAJNYH 
CHISEL, ON SLUZHIT LISHX TEORETICHESKIM CELYAM.

\proclaim tEOREMA~W. pUSTX~$U_n$---POSLEDOVATELXNOSTX RACIONALXNYH CHISEL, 
OPREDELENNAYA S POMOSHCHXYU ALGORITMA~W, I~$k$---POLOZHITELXNOE CELOE CHISLO. eSLI 
PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>\cR_k$ BESKONECHNA, TO ONA $1\hbox{-RASPREDELENA}$.

\proof pUSTX $A[a_1,~\ldots, a_r]$ OBOZNACHAET PODPOSLEDOVATELXNOSTX 
(MOZHET BYTX, PUSTUYU) POSLEDOVATELXNOSTI~$\<U_n>$, SODERZHASHCHUYU TE I TOLXKO 
TE |LEMENTY~$U_n$, KOTORYE DLYA VSEH~$j$, TAKIH, CHTO~$1\le j \le r$, 
PRINADLEZHAT PODPOSLEDOVATELXNOSTI~$\<U_n>\cR_j$, ESLI~$a_j=1$, I NE 
PRINADLEZHAT PODPOSLEDOVATELXNOSTI~$\<U_n>\cR_j$, ESLI~$a_j=0$.

dOSTATOCHNO DOKAZATX, CHTO DLYA VSEH~$r\ge 1$ I VSEH PAR DVOICHNYH 
CHISEL~$a_1\ldots{}a_r$ I~$b_1\ldots{}b_r$ IMEET MESTO 
RAVENSTVO~$\Pr(U_n \in I_{b_1\ldots{}b_r})=2^{-r}$ PO OTNOSHENIYU K 
PODPOSLEDOVATELXNOSTI~$A[a_1\ldots{}a_r]$ V TOM SLUCHAE, KOGDA POSLEDNYAYA 
BESKONECHNA [SM.~\eqref[30]]. v SAMOM DELE, ESLI~$r\ge k$, TO BESKONECHNAYA 
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>\cR_k$ PREDSTAVLYAET SOBOJ KONECHNOE OB�EDINENIE 
NEPERESEKAYUSHCHIHSYA PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ~$A[a_1,~\ldots, a_r]$ 
DLYA~$a_k=1$ I~$a_j=0$ ILI~$1$ PRI~$1\le j \le r$, $j\ne k$; SLEDOVATELXNO, 
$\Pr(U_n\in I_{b_1\ldots{}b_r})=2^{-r}$ PO OTNOSHENIYU K~$\<U_n>\cR_k$ 
(SM.~UPR.~33). dOSTATOCHNO VOSPOLXZOVATXSYA ESHCHE TEOREMOJ~A, CHTOBY POKAZATX, 
CHTO POSLEDOVATELXNOSTX $1\hbox{-RASPREDELENA}$.

pUSTX $B[a_1,~\ldots, a_r]$ OBOZNACHAET PODPOSLEDOVATELXNOSTX 
|LEMENTOV~$\<U_n>$, DLYA KOTORYH~$C[a_1,~\ldots, a_r]$ UVELICHIVAETSYA NA 
EDINICU NA SHAGE~W6 ALGORITMA. kAK VIDNO IZ ALGORITMA, 
$B[a_1,~\ldots, a_r]$---KONECHNAYA POSLEDOVATELXNOSTX, MAKSIMALXNOE CHISLO 
|LEMENTOV KOTOROJ RAVNO~$3\cdot4^{r-1}$. vSE CHLENY~$A[a_1,~\ldots, a_r]$, 
KROME KONECHNOGO IH  CHISLA,  BERUTSYA  IZ  
PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ~$B[a_1,~\ldots, a_r,~\ldots, a_t]$, GDE~$a_j=0$ 
ILI~$1$ PRI~$r<j\le t$.

pREDPOLOZHIM TEPERX, CHTO  $A[a_1,~\ldots, a_r]$ BESKONECHNA 
I~$A[a_1,~\ldots, a_r]=\<U_{s_n}>$, GDE~$s_0<s_1<s_2<\ldots{}\,$. 
eSLI~$N$---BOLXSHOE CELOE CHISLO, TAKOE, CHTO~$4^r\le 4^q<N\le 4^{q+1}$, 
KOLICHESTVO ZNACHENIJ~$k<N$, PRI KOTORYH $U_{s_k}$~SODERZHITSYA 
V~$I_{b_1\ldots{}b_r}$, RAVNO (ZA ISKLYUCHENIEM KONECHNOGO CHISLA |LEMENTOV V 
NACHALE PODPOSLEDOVATELXNOSTI)
\EQ{
 \nu(N)=\nu(N_1)+\cdots+\nu(N_m).
}
%% 180
zDESX~$m$---KOLICHESTVO PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ~$B[a_1,~\ldots, a_t]$, 
PERECHISLENNYH VYSHE, V KOTORYH $U_s$~POYAVLYAETSYA PRI NEKOTOROM~$k<N$, 
$N_j$---KOLICHESTVO ZNACHENIJ~$k$, PRI KOTORYH $U_{s_k}$~NAHODITSYA V 
SOOTVETSTVUYUSHCHEJ PODPOSLEDOVATELXNOSTI, I~$\nu(N_j)$---KOLICHESTVO TAKIH 
ZNACHENIJ, KOTORYE TAKZHE NAHODYATSYA V~$I_{b_1\ldots{}b_r}$. tAKIM OBRAZOM, 
IZ LEMMY~T SLEDUET, CHTO
\EQ{
 \eqalign{
  \abs{\nu(N)-2^{-r}N}&=\abs{\nu(N_1)-2^{-r}N_1+\cdots+\nu(N_m)-2^{-r}N_m}\le\cr
  &\le\abs{\nu(N_1)-2^{-r}N_1}+\cdots+\abs{\nu(N_m)-2^{-r}N_m}\le\cr
  &\le m \le 1+2+4+\cdots+2^{q-r+1}<2^{q+1}.\cr
 }
}
nERAVENSTVO OTNOSITELXNO~$m$ SLEDUET IZ TOGO FAKTA, CHTO~$U_{s_N}$ 
PRI NASHEM VYBORE~$N$ NAHODITSYA V~$B[a_1,~\ldots, a_t]$ DLYA 
NEKOTOROGO~$t\le q+1$. 

tAKIM OBRAZOM,
\EQ{
 \abs{\nu(N)/N-2^{-r}}\le 2^{q+1}/N<2/\sqrt{N}.
}
\proofend

dLYA TOGO CHTOBY NAKONEC POKAZATX SUSHCHESTVOVANIE POSLEDOVATELXNOSTEJ, 
UDOVLETVORYAYUSHCHIH OPREDELENIYU~R5, ZAMETIM PREZHDE VSEGO, CHTO 
ESLI~$\<U_n>$---POSLEDOVATELXNOSTX RACIONALXNYH CHISEL NA~$[0, 1)$ I 
ESLI~$\cR$---VYCHISLIMOE PRAVILO POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTI CHLENOV 
$b\hbox{-ICHNOJ}$ POSLEDOVATELXNOSTI, MY MOZHEM PREVRATITX~$\cR$ V 
VYCHISLIMOE PRAVILO~$\cR'$ POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTI 
CHLENOV~$\<U_n>$, POLOZHIV~$f'_n(x_1,~\ldots, x_n)$ V~$\cR'$ 
RAVNYM~$f_n(\floor{bx_1},~\ldots, \floor{bx_n})$ V~$\cR$. eSLI 
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>\cR'$ RAVNOMERNO RASPREDELENA, TO |TIM ZHE 
SVOJSTVOM OBLADAET I~$\<\floor{bU_n}>\cR$. mNOZHESTVO VSEH VYCHISLIMYH 
PRAVIL POSTROENIYA PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ $b\hbox{-ICHNYH}$ 
POSLEDOVATELXNOSTEJ PRI VSEH ZNACHENIYAH~$b$ SCHETNO (POSKOLXKU SUSHCHESTVUET 
LISHX SCHETNOE KOLICHESTVO |FFEKTIVNYH ALGORITMOV), PO|TOMU EGO |LEMENTY 
MOZHNO PERECHISLITX V VIDE NEKOTOROJ POSLEDOVATELXNOSTI~$\cR_1$, 
$\cR_2$,~$\ldots\,$. oTSYUDA SLEDUET, CHTO ALGORITM~W OPREDELYAET 
POSLEDOVATELXNOSTX NA~$[0, 1)$, KOTORAYA YAVLYAETSYA SLUCHAJNOJ V SMYSLE 
OPREDELENIYA~R5.

tEPERX MY OKAZALISX V NESKOLXKO PARADOKSALXNOM POLOZHENII. kAK OTMECHALOSX 
RANXSHE, |FFEKTIVNYJ ALGORITM, KOTORYJ OPREDELYAL BY POSLEDOVATELXNOSTX, 
UDOVLETVORYAYUSHCHUYU OPREDELENIYU~R4, SUSHCHESTVOVATX NE MOZHET, I PO TOJ ZHE 
PRICHINE NE MOZHET SUSHCHESTVOVATX |FFEKTIVNYJ ALGORITM, OPREDELYAYUSHCHIJ 
POSLEDOVATELXNOSTX, UDOVLETVORYAYUSHCHUYU OPREDELENIYU~R5. dOKAZATELXSTVO 
SUSHCHESTVOVANIYA TAKOJ SLUCHAJNOJ POSLEDOVATELXNOSTI PO NEOBHODIMOSTI DOLZHNO 
BYTX NEKONSTRUKTIVNYM. kAKIM ZHE OBRAZOM |TA POSLEDOVATELXNOSTX 
POLUCHAETSYA PO ALGORITMU~W?

pROTIVORECHIYA ZDESX NET. dELO V TOM, CHTO NEVOZMOZHNO S POMOSHCHXYU 
|FFEKTIVNOGO ALGORITMA PRONUMEROVATX MNOZHESTVO VSEH ALGORITMOV. dRUGIMI 
SLOVAMI, |FFEKTIVNYJ ALGORITM, KOTORYJ
%% 181
\bye