\input style
%% !! rAZOBRATXSYA, GDE M I  sM?
\ex[vm20] pUSTX~$S$---MNOZHESTVO I~$\cM$---SOVOKUPNOSTX EGO 
PODMNOZHESTV. pREDPOLOZHIM, CHTO~$p$---FUNKCIYA, ZADANNAYA NA MNOZHESTVAH IZ~$\cM$,
 PRINIMAYUSHCHAYA NA NIH DEJSTVITELXNYE ZNACHENIYA, I CHTO $p(M)$~OBOZNACHAET 
VEROYATNOSTX TOGO, CHTO "SLUCHAJNO" VYBRANNYJ |LEMENT IZ~$S$ PRINADLEZHIT~$M$. 
oBOBSHCHITE OPREDELENIYA~v I~D TAK, CHTOBY POLUCHITX HOROSHEE OPREDELENIE PONYATIYA 
$k\hbox{-RASPREDELENNOJ}$ POSLEDOVATELXNOSTI~$\<Z_n>$ |LEMENTOV 
MNOZHESTVA~$S$ PO OTNOSHENIYU K RASPREDELENIYU VEROYATNOSTEJ~$p$.

\rex[vm30] (gERMAN vEJLX.) pOKAZHITE, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ 
$k\hbox{-RASPREDELENA}$ NA~$[0, 1)$ V TOM I TOLXKO TOM SLUCHAE, KOGDA
\EQ{
\lim_{N\to\infty}{1\over N}\sum_{0\le n < N} \exp(2\pi i(c_1U_n+\cdots+c_kU_{n+k-1}))=0
}
DLYA KAZHDOGO MNOZHESTVA CELYH CHISEL~$c_1$, $c_2$,~\dots, $c_k$, GDE NE 
VSE~$c_j$ ODNOVREMENNO RAVNY NULYU.

\ex[m34] pOKAZHITE, CHTO $b\hbox{-ICHNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX~$\<X_n>$ 
$k\hbox{-RASPREDELENA}$ V TOM I TOLXKO TOM SLUCHAE, KOGDA VSE 
POSLEDOVATELXNOSTI~$\<c_1X_n+c_2X_{n+1}+\cdots+c_kX_{n+k-1}>$ 
\emph{RAVNOMERNO RASPREDELENY} PRI USLOVII, CHTO~$c_1$, $c_2$,~\dots, $c_k$ 
YAVLYAYUTSYA CELYMI CHISLAMI S~$\NOD(c_1,~\ldots, c_k)=1$.

\ex[m30] pOKAZHITE, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ $k\hbox{-RASPREDELENA}$ 
NA~$[0,1)$ V TOM I TOLXKO TOM SLUCHAE, KOGDA VSE 
POSLEDOVATELXNOSTI~$\<c_1U_n+c_2U_{n+1}+\cdots+c_kU_{n+k-1}>$ 
\emph{RAVNOMERNO RASPREDELENY} PRI USLOVII, CHTO~$c_1$, $c_2$,~\dots, 
$c_k$---NEKOTORYE CELYE CHISLA, NE RAVNYE NULYU ODNOVREMENNO.

\ex[vm20] pOSLEDOVATELXNOSTX NAZYVAETSYA "BELOJ POSLEDOVATELXNOSTXYU", ESLI 
VSE KO|FFICIENTY POSLEDOVATELXNOJ KORRELYACII RAVNY NULYU, T.~E.\ 
ESLI SOOTNOSHENIE IZ SLEDSTVIYA~S SPRAVEDLIVO PRI \emph{VSEH}~$k\ge1$. (kAK 
VIDNO IZ SLEDSTVIYA~S, $\infty\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX 
YAVLYAETSYA BELOJ.) pOKAZHITE, CHTO ESLI $[0,1)\hbox{-POSLEDOVATELXNOSTX}$ 
RAVNOMERNO RASPREDELENA, TO ONA YAVLYAETSYA BELOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
\EQ{
\lim_{n\to\infty}{1\over n}\sum_{0\le j < n} (U_j-1/2)(U_{j+k}-1/2)=0 
\rem{PRI VSEH~$k\ge 1$.}
}

\ex[vm34] (dZH. fR|NKLIN.) oPREDELENNAYA V PREDYDUSHCHEM UPRAZHNENII BELAYA 
POSLEDOVATELXNOSTX, BEZUSLOVNO, MOZHET NE BYTX SLUCHAJNOJ. pUSTX $U_0$, 
$U_1$,~\dots{} ESTX $\infty\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX. 
oPREDELIM POSLEDOVATELXNOSTX $V_0$, $V_1$,~\dots{} SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM:
\EQ{
\eqalignter{
(V_{2n-1}, V_{2n})&=(U_{2n-1}, U_{2n}), & \rem{ESLI $(U_{2n-1}, U_{2n})\in 
G$,}\cr
(V_{2n-1}, V_{2n})&=(U_{2n}, U_{2n-1}), & \rem{ESLI $(U_{2n-1}, 
U_{2n})\notin G$},\cr
}
}
GDE~$G$---MNOZHESTVO~$\set{(x,y) \mid x-(1/2)\le y \le x \ror  x+(1/2)\le y}$.
 pOKAZHITE, CHTO
(a)~$V_0$, $V_1$,~\dots{} ESTX RAVNOMERNO RASPREDELENNAYA I BELAYA 
POSLEDOVATELXNOSTX,
(b)~$\Pr(V_n>V_{n+1})=5/8$. (oTSYUDA VIDNA SLABOSTX TESTA POSLEDOVATELXNOJ KORRELYACII.)

\ex[vm49] pUSTX~$\<V_n>$---RAVNOMERNO RASPREDELENNAYA BELAYA 
POSLEDOVATELXNOSTX. yaVLYAETSYA LI CHISLO~$5/8$ V PREDYDUSHCHEM UPRAZHNENII 
NAIBOLXSHIM VOZMOZHNYM ZNACHENIEM VELICHINY~$\Pr(V_n>V_{n+1})$?

\rex[m24] iSPOLXZUYA POSLEDOVATELXNOSTX~\eqref[11], POSTROJTE 
$3\hbox{-RASPREDELENNUYU}$ NA~$[0,1)$ POSLEDOVATELXNOSTX, DLYA KOTOROJ~$\Pr(U_{2n}\ge1/2)=3/4$.

\ex[vm34] pUSTX $X_0$, $X_1$, \dots{} ESTX $(2k)\hbox{-RASPREDELENNAYA}$ 
DVOICHNAYA POSLEDOVATELXNOSTX. pOKAZHITE, CHTO
\EQ{
 \Prsup(X_{2n}=0)\le 1/2+\perm{2k-1}{k}\bigg/2^{2k}.
}

%% 192

\rex[m39] pOSTROJTE $(2k)\hbox{-RASPREDELENNUYU}$ DVOICHNUYU 
POSLEDOVATELXNOSTX, DLYA KOTOROJ SPRAVEDLIVO RAVENSTVO
\EQ{
 \Pr(X_{2n}=0)=1/2+\perm{2k-1}{k}\bigg/ 2^{2k}.
}
(oTSYUDA SLEDUET, CHTO NERAVENSTVO V PREDYDUSHCHEM UPRAZHNENII NELXZYA ULUCHSHITX.)

\ex[m30] pOKAZHITE, CHTO SUSHCHESTVUET POSLEDOVATELXNOSTX NA~$[0,1)$ 
UDOVLETVORYAYUSHCHAYA OPREDELENIYU~R5, NO TAKAYA, CHTO~$\nu_n/n\ge 1/2$ DLYA 
VSEH~$n>0$, GDE $\nu_n$~ESTX CHISLO TEH~$j<n$, DLYA KOTORYH~$U_j<1/2$. (eTO 
MOZHNO RASSMATRIVATX KAK NESLUCHAJNOE SVOJSTVO POSLEDOVATELXNOSTI.)

\ex[m24] pUSTX~$\<X_n>$---"SLUCHAJNAYA" $b\hbox{-ICHNAYA}$ POSLEDOVATELXNOSTX V 
SMYSLE OPREDELENIYA~R5 I~$\cR$---VYCHISLIMOE PRAVILO POSTROENIYA 
PODPOSLEDOVATELXNOSTI, KOTOROE OPREDELYAET BESKONECHNUYU 
PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$\<X_n>\cR$. pOKAZHITE, CHTO |TA PODPOSLEDOVATELXNOSTX 
NE TOLXKO $1\hbox{-RASPREDELENA}$, NO I "SLUCHAJNA" V SMYSLE OPREDELENIYA~R5.

\ex[vm24] pUSTX~$\<U_{r_n}>$ I~$\<U_{s_n}>$---BESKONECHNYE, NE IMEYUSHCHIE 
OBSHCHIH |LEMENTOV PODPOSLEDOVATELXNOSTI POSLEDOVATELXNOSTI~$\<U_n>$. (eTO 
ZNACHIT, CHTO $r_0<r_1<r_2<\ldots$ I~$s_0<s_1<s_2<\ldots$---DVE VOZRASTAYUSHCHIE 
POSLEDOVATELXNOSTI CELYH CHISEL I~$r_m\ne s_n$ PRI LYUBYH~$m$, $n$). pUSTX 
$\<U_{t_n}>$~ESTX SOSTAVNAYA PODPOSLEDOVATELXNOSTX, DLYA 
KOTOROJ~$t_0<t_1<t_2<\ldots$ I 
MNOZHESTVO~$\set{t_n}=\set{r_n}\cup\set{s_n}$. pOKAZHITE, CHTO 
ESLI~$\Pr(U_{r_n}\in A)= \Pr(U_{s_n}\in A)=p$, TO~$\Pr(U_{t_n}\in A)=p$.

\rex[m25] oPREDELITE PRAVILA~$\cR_1$, $\cR_2$, $\cR_3$~\dots{} POSTROENIYA 
PODPOSLEDOVATELXNOSTEJ, TAKIE, CHTOBY |TI PRAVILA MOZHNO BYLO BY 
ISPOLXZOVATX S ALGORITMOM~W DLYA POLUCHENIYA |FFEKTIVNOGO ALGORITMA 
POSTROENIYA POSLEDOVATELXNOSTI NA~$[0,1)$, UDOVLETVORYAYUSHCHEJ OPREDELENIYU~R1.

\ex[m50] oBOBSHCHITE, ESLI |TO VOZMOZHNO, ALGORITM~W TAK, CHTOBY POLUCHALISX 
POSLEDOVATELXNOSTI, UDOVLETVORYAYUSHCHIE BOLEE STROGIM USLOVIYAM OPREDELENIYA~R6.

\ex[vm30] pUSTX~$\<X_n>$---DVOICHNAYA POSLEDOVATELXNOSTX, KOTORAYA 
YAVLYAETSYA "SLUCHAJNOJ" V SMYSLE OPREDELENIYA~R6. pOKAZHITE, CHTO 
POSLEDOVATELXNOSTX~$\<U_n>$ NA~$[0,1)$, SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM OPREDELENNAYA V 
DVOICHNOJ ZAPISI:
\EQ{
\eqalign{
U_0&=0.X_0\cr
U_1&=0.X_1X_2\cr
U_2&=0.X_3X_4X_5\cr
U_3&=0.X_6X_7X_8X_9\cr
\ldots\cr
}
}
YAVLYAETSYA SLUCHAJNOJ V SMYSLE OPREDELENIYA~R6.

\ex[m48] sUSHCHESTVUYUT LI POSLEDOVATELXNOSTI, UDOVLETVORYAYUSHCHIE 
OPREDELENIYU~R4, NO NE~R5?

\ex[m50] (a.~n.~kOLMOGOROV.) pUSTX ZADANY~$N$, $n$ I~$\varepsilon$. nAJTI 
NAIMENXSHEE CHISLO ALGORITMOV V MNOZHESTVE~$A$, TAKIH, CHTOBY NE SUSHCHESTVOVALI 
$(n,\varepsilon)\hbox{-SLUCHAJNYE}$ PO OTNOSHENIYU K~$A$ DVOICHNYE 
POSLEDOVATELXNOSTI DLINY~$N$. (eSLI NELXZYA POLUCHITX TOCHNYE FORMULY, MOZHNO 
LI NAJTI ASIMPTOTICHESKIE FORMULY? gLAVNOE V |TOJ ZADACHE---OPREDELITX, 
NASKOLXKO BLIZKA VELICHINA~\eqref[35] K "NAILUCHSHEJ VOZMOZHNOJ".)

\ex[vm45] (k.~rOT.) pUSTX~$\<U_n>$---POSLEDOVATELXNOSTX NA~$[0,1)$ 
I~$\nu_n(u)$---CHISLO NEOTRICATELXNYH CELYH CHISEL~$j<n$, TAKIH, CHTO~$0\le U_j 
<u$.  dOKAZHITE, CHTO SUSHCHESTVUET POLOZHITELXNAYA POSTOYANNAYA~$c$, TAKAYA, CHTO 
DLYA LYUBOGO~$N$ I LYUBOJ POSLEDOVATELXNOSTI~$\<U_n>$ NA~$[0,1)$ IMEET MESTO NERAVENSTVO
\EQ{
\abs{\nu_n(u)-un}>c\sqrt{\log N}
}
DLYA NEKOTORYH~$n$ I~$u$, TAKIH, CHTO~$0\le n < N$, $0\le u < 1$. (dRUGIMI 
SLOVAMI, NIKAKAYA POSLEDOVATELXNOSTX NA~$[0,1)$ NE MOZHET BYTX 
\emph{SLISHKOM} RAVNOMERNO RASPREDELENNOJ.)

%% 193
\subchap{vyvody} % 3.6
v |TOJ GLAVE MY ZATRONULI BOLXSHOJ KRUG VOPROSOV: KAK VYRABATYVATX 
SLUCHAJNYE CHISLA, KAK PROVERYATX IH, KAK IH PREOBRAZOVYVATX I KAK POLUCHATX 
SVYAZANNYE S NIMI TEORETICHESKIE REZULXTATY. oSNOVNOJ VOPROS, KOTORYJ, 
NAVERNOE, VOZNIKNET PO PROCHTENII |TOJ GLAVY U BOLXSHINSTVA CHITATELEJ, MOZHNO 
SFORMULIROVATX SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: "kAKOV ZHE REZULXTAT VSEJ |TOJ TEORII? 
gDE PROSTOJ I KACHESTVENNYJ DATCHIK, KOTORYJ YA MOG BY ISPOLXZOVATX V SVOIH 
PROGRAMMAH KAK NADEZHNYJ ISTOCHNIK SLUCHAJNYH CHISEL?"

iZ VSEGO MATERIALA, IZLOZHENNOGO V |TOJ GLAVE, SLEDUET, CHTO "NAILUCHSHIJ" I 
"PROSTEJSHIJ" DATCHIK SLUCHAJNYH CHISEL POLUCHAETSYA SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM. v 
NACHALE PROGRAMMY USTANOVITE PEREMENNUYU~$X$ RAVNOJ NEKOTOROMU CELOMU 
ZNACHENIYU~$X_0$. eTA PEREMENNAYA~$X$ DOLZHNA ISPOLXZOVATXSYA TOLXKO DLYA 
POROZHDENIYA SLUCHAJNYH CHISEL. kAK TOLXKO DLYA RABOTY PROGRAMMY 
POTREBUETSYA SLEDUYUSHCHEE SLUCHAJNOE CHISLO, NUZHNO USTANOVITX
\EQ[1]{
 X\asg(aX+c) \bmod m
}
I ISPOLXZOVATX NOVOE ZNACHENIE~$X$ V KACHESTVE SLUCHAJNOJ VELICHINY. pRI 
VYBORE $X_0$, $a$, $c$ I~$m$ NEOBHODIMO SOBLYUDATX NEKOTORYE PRAVILA I 
ISPOLXZOVATX SLUCHAJNYE CHISLA OSMYSLENNO, RUKOVODSTVUYASX SLEDUYUSHCHIMI PRINCIPAMI.
{\medskip\narrower
\item{i)}chISLO~$X_0$ MOZHET BYTX PROIZVOLXNYM. eSLI PO PROGRAMME DELAETSYA 
NESKOLXKO PROSCHETOV I KAZHDYJ RAZ ZHELATELEN RAZLICHNYJ ISTOCHNIK SLUCHAJNYH 
CHISEL, PRISVOJTE~$X_0$ POSLEDNEE ZNACHENIE~$X$, POLUCHENNOE VO VREMYA 
PREDYDUSHCHEGO PROSCHETA, ILI (ESLI |TO BOLEE UDOBNO) USTANOVITE~$X_0$ RAVNYM 
TEKUSHCHEMU MOMENTU VREMENI I KALENDARNOJ DATE.

\item{ii)}chISLO~$m$ DOLZHNO BYTX VELIKO. uDOBNO VYBIRATX EGO RAVNYM 
RAZMERU SLOVA VYCHISLITELXNOJ MASHINY, POSKOLXKU PRI |TOM |FFEKTIVNO 
VYCHISLYAETSYA~$(aX+c)\bmod m$. vOPROSY, SVYAZANNYE S VYBOROM~$m$, BOLEE 
PODROBNO RAZBIRAYUTSYA V P.~3.2.1.1. zNACHENIE~$(aX+c)\bmod m$ SLEDUET 
VYCHISLYATX \emph{TOCHNO,} BEZ OSHIBOK OKRUGLENIYA.

\item{iii)}eSLI $m$~PREDSTAVLYAET SOBOJ STEPENX DVOJKI (T.~E.\ 
ESLI ISPOLXZUETSYA MASHINA, RABOTAYUSHCHAYA V DVOICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA), 
VYBERITE~$a$ TAKIM, CHTOBY~$a\bmod8=5$. eSLI $m$~ESTX STEPENX~$10$ 
(T.~E.\ ISPOLXZUETSYA MASHINA, RABOTAYUSHCHAYA V DESYATICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA), 
VYBERITE~$a$ TAKIM, CHTOBY~$a\bmod 200=21$.
%% 194
pRI TAKOM VYBORE VELICHINY~$a$, PRI USLOVII, CHTO $c$~VYBIRAETSYA OPISANNYM 
NIZHE SPOSOBOM, GARANTIRUETSYA, CHTO DATCHIK SLUCHAJNYH CHISEL DAST VSE 
$m$~VOZMOZHNYH RAZLICHNYH ZNACHENIJ~$X$ PREZHDE, CHEM ONI NACHNUT POVTORYATXSYA 
(SM.~P.~3.2.1.2), I, KROME TOGO, GARANTIRUETSYA VYSOKAYA "MOSHCHNOSTX" (SM.~P.~3.2.1.3).

\item{iv)}mNOZHITELX~$a$ DOLZHEN PREVOSHODITX VELICHINU~$\sqrt{m}$, ZHELATELXNO,
 CHTOBY ON BYL BOLXSHE~$m/100$, NO MENXSHE~$m-\sqrt{m}$. pOSLEDOVATELXNOSTX 
RAZRYADOV V DVOICHNOM ILI DESYATICHNOM PREDSTAVLENII~$a$ \emph{NE} DOLZHNA 
IMETX PROSTOGO, REGULYARNOGO VIDA. pO |TOMU POVODU SM., NAPRIMER, 
P.~3.2.1.3 I UPR.~3.2.1.3-8. lUCHSHE VSEGO V KACHESTVE |TOGO MNOZHITELYA 
VYBRATX NAUDACHU NEKOTORUYU POSTOYANNUYU, NAPRIMER,
\EQ[2]{
 a=3141592621.
}
(eTA POSTOYANNAYA UDOVLETVORYAET OBOIM USLOVIYAM IZ~(iii).) vYSKAZANNYH 
SOOBRAZHENIJ OBYCHNO BYVAET DOSTATOCHNO DLYA POLUCHENIYA UDOVLETVORITELXNOGO 
MNOZHITELYA, ODNAKO, ESLI DATCHIK SLUCHAJNYH CHISEL, ISPOLXZUETSYA INTENSIVNO, 
MNOZHITELX~$a$, KROME TOGO, SLEDUET VYBIRATX TAK, CHTOBY UDOVLETVORYALSYA 
"sPEKTRALXNYJ TEST" (P.~3.3.4).

\item{v)}pOSTOYANNAYA~$c$ DOLZHNA BYTX RAVNA NECHETNOMU CHISLU (KOGDA $m$~ESTX 
STEPENX DVOJKI) I KROME TOGO NE DOLZHNA BYTX KRATNOJ~$5$ (KOGDA $m$~ESTX 
STEPENX~$10$). zhELATELXNO VYBIRATX~$c$ TAKIM OBRAZOM, CHTOBY 
OTNOSHENIE~$c/m$ BYLO BY PRIBLIZITELXNO RAVNO VELICHINE, PRIVEDENNOJ V 
P.~3.3.3, SOOTNOSHENIE~\eqref[41].

\item{vi)}mENEE ZNACHIMYE (PRAVYE) RAZRYADY~$X$ NE OCHENX HOROSHI S TOCHKI 
ZRENIYA SLUCHAJNOSTI, PO|TOMU PRI ISPOLXZOVANII CHISLA~$X$ OSNOVNUYU ROLX 
DOLZHNY IGRATX NAIBOLEE ZNACHIMYE RAZRYADY. vOOBSHCHE GOVORYA, LUCHSHE 
RASSMATRIVATX~$X$ KAK SLUCHAJNUYU DROBX~$X/m$ V INTERVALE MEZHDU~$0$ I~$1$, 
T.~E.\ PREDSTAVLYATX~$X$ S DESYATICHNOJ TOCHKOJ SLEVA, CHEM KAK SLUCHAJNOE 
CELOE CHISLO; RASPOLOZHENNOE MEZHDU~$0$ I~$m-1$. dLYA TOGO, CHTOBY POLUCHITX 
SLUCHAJNOE CELOE CHISLO, RASPOLOZHENNOE MEZHDU~$0$ I~$k-1$, SLEDUET 
UMNOZHITX~$X$ NA~$k$ I OTBROSITX LISHNIE RAZRYADY (SM.\ NACHALO P.~3.4.2).
\medskip}

v |TIH SHESTI "PRAVILAH" ZAKLYUCHENO VSE NAIBOLEE VAZHNOE IZ TOGO, CHTO NUZHNO 
ZNATX O SLUCHAJNYH CHISLAH, POLUCHAEMYH NA VYCHISLITELXNOJ MASHINE. k SOZHALENIYU,
V ZNACHITELXNOJ CHASTI MATERIALA, OPUBLIKOVANNOGO K MOMENTU NAPISANIYA |TOJ 
GLAVY, REKOMENDUETSYA ISPOLXZOVATX DATCHIKI, V KOTORYH NASHI 
PRAVILA NARUSHAYUTSYA. vO MNOGIH STATXYAH IMEYUTSYA VAZHNYE 
TEORETICHESKIE REZULXTATY PO VYRABOTKE SLUCHAJNYH CHISEL, ODNAKO 
PREDLAGAEMYE V NIH KONKRETNYE METODY NESOVERSHENNY, CHTO BYLO OBNARUZHENO IH 
AVTORAMI SLISHKOM POZDNO.

vOZMOZHNO, CHTO I REKOMENDUEMYE NAMI DATCHIKI SLUCHAJNYH CHISEL
%% 195
V BUDUSHCHEM BUDUT PRIZNANY NEUDOVLETVORITELXNYMI. mY NADEEMSYA, CHTO |TOGO 
NE PROIZOJDET, ODNAKO PROSHLOE UCHIT NAS OSTOROZHNOSTI. nAIBOLEE 
BLAGORAZUMNO BYLO BY POSTUPATX TAK: PREZHDE CHEM VSERXEZ OTNOSITXSYA K 
REZULXTATAM RASCHETA PO PROGRAMMAM, ISPOLXZUYUSHCHIM METOD mONTE-kARLO, SLEDUET 
SCHITATX PO KRAJNEJ MERE DVAZHDY, ISPOLXZUYA SOVERSHENNO RAZLICHNYE ISTOCHNIKI 
SLUCHAJNYH CHISEL. tAKOJ PODHOD NE TOLXKO GARANTIRUET 
USTOJCHIVOSTX REZULXTATOV, NO I KONTROLIRUET KACHESTVO DATCHIKA. (lYUBOJ 
DATCHIK SLUCHAJNYH CHISEL BUDET DAVATX PLOHIE REZULXTATY PO KRAJNEJ MERE V 
ODNOM KLASSE PRILOZHENIJ.)

hOTYA LINEJNYE KONGRU|NTNYE POSLEDOVATELXNOSTI, ANALOGICHNYE OPISANNYM ZDESX,
 OBYCHNO YAVLYAYUTSYA UDOVLETVORITELXNYM ISTOCHNIKOM SLUCHAJNYH CHISEL, V 
P.~3.3.4 (SM.~(3.3.4-13)) UKAZANO VAZHNOE OGRANICHENIE IH KACHESTVA. iZ 
UPR.~3.3.4-27 SLEDUET, CHTO LINEJNYE KONGRU|NTNYE POSLEDOVATELXNOSTI NE 
GODYATSYA DLYA RASCHETOV PO METODU mONTE-kARLO S "VYSOKIM RAZRESHENIEM". eSLI 
TREBUETSYA BOLXSHAYA NEZAVISIMOSTX SLUCHAJNYH CHISEL, NEOBHODIMO ISPOLXZOVATX 
METODY P.~3.2.2.

pREVOSHODNYJ SPISOK LITERATURY, OPUBLIKOVANNYJ PO |TOMU VOPROSU DO 1962~G.,
 SODERZHITSYA V STATXE t.~hALDA I a.~dOBELLA "Random Number Generators" 
({\sl SIAM Review,\/} {\bf 4} (1962), 230--254). v SVYAZI S |TIM NAM NE 
NUZHNO PRIVODITX SSYLKI NA RANNIE PUBLIKACII, KROME TEH, KOTORYE UZHE 
UPOMYANUTY V |TOJ GLAVE.

sREDI RABOT, POYAVIVSHIHSYA POSLE 1962~G., OSOBENNO SLEDUET OTMETITX STATXYU 
m.~mAKLARENA I dZH.~mARSALXI "Uniform random Generators" ({\sl JACM,\/} 
{\bf 12} (1965), 83--89), POTOMU CHTO V NEJ VPERVYE UKAZANY NEDOSTATKI 
LINEJNYH KONGRU|NTNYH DATCHIKOV S NEPRAVILXNO VYBRANNYMI MNOZHITELYAMI. v 
|TOJ ZHE STATXE BYL PREDLOZHEN ALGORITM~3.2.2m. eTO HOROSHIJ METOD, KOTORYJ 
ZNACHITELXNO ULUCHSHAET KACHESTVO DATCHIKA I TREBUET TOLXKO VDVOE BOLXSHEGO 
VREMENI SCHETA.

mNOGIE ZADACHI, ZATRONUTYE V NASTOYASHCHEJ GLAVE, RASSMATRIVAYUTSYA V KNIGE 
b.~yaNSSONA "Random Number Generators" (Stockholm, Almqvist and Wiksell, 
1966). v KNIGE dZH.~hAMMERSLI I~d.~h|NDSKOMBA "Monte Carlo Methods" (London,
 Methuen, 1964) PODROBNO IZUCHAETSYA PRIMENENIE SLUCHAJNYH CHISEL V 
VYCHISLITELXNYH METODAH. v |TOJ KNIGE POKAZANO, CHTO |FFEKTIVNOSTX 
MNOGIH CHISLENNYH METODOV VOZRASTAET, ESLI ISPOLXZOVATX "KVAZISLUCHAJNYE" 
CHISLA, SPECIALXNO PODOBRANNYE DLYA RESHENIYA OPREDELENNOJ ZADACHI (I NE 
OBYAZATELXNO UDOVLETVORYAYUSHCHIE STATISTICHESKIM TESTAM, O KOTORYH MY PISALI).

v PRIVEDENNYH NIZHE UPRAZHNENIYAH IMEYUTSYA NEKOTORYE INTERESNYE PROEKTY 
PROGRAMM, ISPOLXZUYUSHCHIH SLUCHAJNYE CHISLA. vOZMOZHNO, CHTO ANALOGICHNYE PROEKTY 
PRIDUT V GOLOVU CHITATELYU. pO KRAJNEJ MERE ODIN DATCHIK SLUCHAJNYH CHISEL 
IMEETSYA POCHTI V LYUBOJ HOROSHEJ PROGRAMME.

%%  196

\excercises
\ex[21] nAPISHITE PODPROGRAMMU DLYA MASHINY~\MIX{} SO SLEDUYUSHCHIMI HARAKTERISTIKAMI:
\descrtable{
vYZOV:  & |JMP RANDI|\cr
sOSTOYANIE PRI VHODE:& $|rA|=k$, POLOZHITELXNOE CELOE~$ < 5000$\cr
sOSTOYANIE PRI VYHODE: & $|rA|\asg \hbox{SLUCHAJNOE CELOE} Y$,
$1\le Y \le k$, KAZHDOE CELOE ZNACHENIE RAVNOVEROYATNO, $|rX|=?$; TRIGGER 
PEREPOLNENIYA SBROSHEN.\cr
}
(iSPOLXZUJTE METOD, PREDLOZHENNYJ V |TOM PARAGRAFE, NO VOZXMITE~$c=1$.)

\rex[21] nEKOTORYE OPASALISX, CHTO VYCHISLITELXNYE MASHINY SO VREMENEM BUDUT 
UPRAVLYATX MIROM. iH USPOKAIVAYUT ZAYAVLENIEM, CHTO MASHINA NE MOZHET SDELATX 
NICHEGO DEJSTVITELXNO NOVOGO, POSKOLXKU ONA VSEGO LISHX VYPOLNYAET KOMANDY 
SVOEGO HOZYAINA, PROGRAMMISTA. lEDI lAVLEJS\note{1}%
{sM.\ TOM~1, STR.~25.---{\sl pRIM. PEREV.\/}}
 PISALA V 1844~G.:
"aNALITICHESKAYA MASHINA NE PRITYAZAET NA \emph{IZOBRETENIE} CHEGO-LIBO. oNA 
MOZHET DELATX VSE TO, \emph{CHTO MY SUMEEM EJ PRIKAZATX}". mNOGIE FILOSOFY 
RAZVIVALI |TU MYSLX. oBDUMAJTE |TO UTVERZHDENIE, IMEYA V VIDU DATCHIKI 
SLUCHAJNYH CHISEL.

\ex[32] "iGRA V KOSTI". nAPISHITE PROGRAMMU, KOTORAYA MODELIRUET BROSANIE 
DVUH KOSTEJ, NA KAZHDOJ IZ KOTORYH S RAVNOJ VEROYATNOSTXYU 
VYPADAYUT ZNACHENIYA~$1$, $2$,~\dots{}, $6$. eSLI PRI PERVOM BROSANII OBSHCHAYA 
SUMMA RAVNA~$7$ ILI~$11$, IGRA SCHITAETSYA VYIGRANNOJ, ESLI ONA RAVNA~$2$, 
$3$ ILI~$12$---PROIGRANNOJ. pRI LYUBOJ DRUGOJ SUMME (NAZOVEM |TU SUMMU 
"STRELKOJ") PRODOLZHAJTE BROSANIYA, POKA NE VYPADET~$7$ (PROIGRYSH) ILI 
OPYATX POLUCHITSYA "STRELKA" (VYIGRYSH).

sYGRAJTE DESYATX IGR. rEZULXTATY KAZHDOGO BROSANIYA KOSTEJ SLEDUET 
NAPECHATATX V VIDE~$mn$, GDE~$m$ I~$n$---CIFRY NA DVUH KOSTYAH, SNABDIV 
SOOTVETSTVUYUSHCHIMI KOMMENTARIYAMI VRODE "ZMEINYE GLAZA" I~T.~P.

\ex[40] "sOLITER" (PASXYANS). nEKOTORYE TRATYAT DRAGOCENNOE VREMYA 
NA RASKLADYVANIE PASXYANSA "SOLITER". vOZMOZHNO, CHTO AVTOMATIKA VTORGNETSYA I 
V |TU OBLASTX. nAPISHITE PROGRAMMU, KOTORAYA (a)~TASUET 
SMODELIROVANNUYU KOLODU KART, (b)~RASKLADYVAET KAKOJ-LIBO OBYCHNYJ PASXYANS 
"SOLITER", OSNOVYVAYASX NA POLUCHENNOM PORYADKE KART V KOLODE, (c)~PECHATAET 
REZULXTAT IGRY, OTKUDA BUDET VIDNO, NASKOLXKO PROGRAMMA BYLA BLIZKA K 
USPEHU. sLEDUET SYGRATX NESKOLXKO IGR. mOZHNO SDELATX TAK, CHTOBY PO 
TREBOVANIYU PROGRAMMA NACHINALA "MOSHENNICHATX".

\ex[46] \emph{mODELIROVANIE LITERATURNOGO TVORCHESTVA S POMOSHCHXYU 
VYCHISLITELXNOJ MASHINY.} 26~OKTYABRYA 1960~G.\ PO TELEVIZIONNOJ 
PROGRAMME~CBS POKAZYVALASX PEREDACHA, OZAGLAVLENNAYA "dUMAYUSHCHAYA MASHINA", V 
KOTOROJ, V CHASTNOSTI, ISPOLXZOVALISX DVE NEBOLXSHIE PXESY V STILE VESTERN, 
SOSTAVLENNYE PRI POMOSHCHI PROGRAMMY DLYA evm. nIZHE PRIVODYATSYA DVA |TIH 
SCENARIYA V TOM VIDE, V KOTOROM IH VYDALA MASHINA.

\tvscript sCENARIJ 1. (rEVOLXVER V PRAVOJ RUKE; DENXGI V LEVOJ RUKE; 
STAKAN NA STOLE;
BUTYLKA NA STOLE; KOBURA NA GRABITELE; REVOLXVER SHERIFA V PRAVOJ 
RUKE SHERIFA; KOBURA SHERIFA NA SHERIFE.)
\body
grabitel'& (gRABITELX ZA OKNOM.) iDET K DVERI; OTKRYVAET DVERX; PROHODIT 
V DVERX; ZAKRYVAET DVERX; IDET V UGOL; KLADET DENXGI V UGLU; IDET K STOLU; 
KLADET REVOLXVER NA STOL; SADITSYA I NERVNICHAET; SIDIT ZA STOLOM; BERET 
STAKAN (PUSTOJ) PRAVOJ RUKOJ; STAVIT STAKAN NA STOL; BERET BUTYLKU PRAVOJ RUKOJ;
NALIVAET; STAVIT BUTYLKU NA STOL; BERET STAKAN PRAVOJ RUKOJ;
PXET IZ STAKANA; STAVIT STAKAN NA STOL; BERET BUTYLKU PRAVOJ RUKOJ; SIDYAT 
ZA STOLOM; SIDIT ZA STOLOM; IDET V UGOL; IDET K OKNU; IDET K STOLU; STAVIT 
BUTYLKU NA STOL; SADITSYA I NERVNICHAET; SIDIT ZA STOLOM; SIDIT I 
NERVNICHAET; IDET K OKNU;
IDET K STOLU; BERET STAKAN PRAVOJ RUKOJ.\cr
%% 197
sherif & (shERIF ZA OKNOM.) vIDIT GRABITELYA; (GRABITELX VIDIT SHERIFA);\cr
grabitel'& sTAVIT STAKAN NA STOL; BERET REVOLXVER PRAVOJ RUKOJ; PROVERYAET REVOLXVER.\cr
sherif& zhDET; OTKRYVAET DVERX; VIDIT GRABITELYA; (GRABITELX VIDIT SHERIFA); 
PROHODIT V DVERX.\cr
grabitel'&  iDET K OKNU; CELITSYA; STRELYAET; legko ranit sherifa.\cr
sherif& iDET K OKNU; CELITSYA; STRELYAET; promahivaetsya, IDET K DVERI; IDET K OKNU.\cr
grabitel'& iDET K DVERI; CELITSYA; CELITSYA.\cr
sherif& cELITSYA; STRELYAET; promahivaetsya.\cr
grabitel'& sTRELYAET; legko ranit sherifa.\cr
sherif& iDET K DVERI; CELITSYA; STRELYAET; promahivaetsya; PROHODIT V DVERX; CELITSYA.\cr
grabitel'& cELITSYA; STRELYAET; promahivaetsya; CELITSYA; STRELYAET; promahivaetsya.\cr
sherif& sTRELYAET; promahivaetsya; IDET K OKNU; CELITSYA; STRELYAET; 
promahivaetsya. \cr
grabitel'& cELITSYA; STRELYAET; promahivaetsya; CELITSYA; STRELYAET, 
promahivaetsya; CELITSYA; STRELYAET; legko ranit sherifa.\cr
sherif& cELITSYA; STRELYAET; tochno popadaet v grabitelya.\cr
grabitel'& rONYAET REVOLXVER; GRABITELX UMIRAET.\cr
sherif& kLADET REVOLXVER V KOBURU; IDET K STOLU; BERET STAKAN (PUSTOJ) 
PRAVOJ RUKOJ; BERET LEVOJ RUKOJ STAKAN IZ PRAVOJ RUKI; BERET BUTYLKU 
PRAVOJ RUKOJ; NALIVAET; STAVIT BUTYLKU NA STOL; BERET PRAVOJ RUKOJ STAKAN 
IZ LEVOJ RUKI; PXET IZ STAKANA; BERET LEVOJ RUKOJ STAKAN IZ PRAVOJ RUKI; 
BERET BUTYLKU PRAVOJ RUKOJ; NALIVAET; STAVIT BUTYLKU NA STOL;
BERET PRAVOJ RUKOJ STAKAN IZ LEVOJ RUKI; PXET IZ STAKANA;
STAVIT STAKAN NA STOL; IDET V UGOL; BERET DENXGI PRAVOJ RUKOJ; IDET K 
DVERI, PROHODIT V DVERX; ZAKRYVAET DVERX. zanaves.\cr
\endtvscript

\tvscript sCENARIJ~2. (rEVOLXVER V PRAVOJ RUKE; DENXGI V LEVOJ RUKE; 
STAKAN NA STOLE; BUTYLKA NA STOLE; KOBURA NA GRABITELE; REVOLXVER SHERIFA 
V PRAVOJ RUKE SHERIFA; KOBURA SHERIFA NA SHERIFE.)
%% 197
\body
grabitel'& (gRABITELX ZA OKNOM.) iDET K DVERI; OTKRYVAET DVERX; PROHODIT 
V DVERX; ZAKRYVAET DVERX; IDET V UGOL; KLADET DENXGI V UGLU; IDET K OKNU; 
KLADET REVOLXVER U OKNA; OBLOKACHIVAETSYA I SMOTRIT V OKNO; OBLOKACHIVAETSYA I 
SMOTRIT V OKNO, IDET V UGOL; SCHITAET DENXGI; IDET K STOLU; BERET STAKAN 
(PUSTOJ) PRAVOJ RUKOJ; BERET LEVOJ RUKOJ STAKAN IZ PRAVOJ RUKI;
BERET BUTYLKU PRAVOJ RUKOJ; NALIVAET; STAVIT BUTYLKU NA STOL; BERET PRAVOJ 
RUKOJ STAKAN IZ LEVOJ RUKI; PXET IZ STAKANA; STAVIT STAKAN NA STOL; 
BERET BUTYLKU PRAVOJ RUKOJ;
NALIVAET; IDET V UGOL; STAVIT BUTYLKU V UGLU; IDET K OKNU;
BERET REVOLXVER PRAVOJ RUKOJ; PROVERYAET REVOLXVER; KLADET REVOLXVER V 
KOBURU; IDET K STOLU; BERET STAKAN PRAVOJ RUKOJ; PXET IZ STAKANA; IDET K 
OKNU; STAVIT STAKAN U OKNA.\cr
sherif&     (shERIF ZA OKNOM.) vIDIT GRABITELYA; (GRABITELX VIDIT SHERIFA);
IDET K DVERI.\cr
grabitel'& bERET REVOLXVER IZ KOBURY PRAVOJ RUKOJ; PROVERYAET REVOLXVER, 
IDET K DVERI; PROVERYAET REVOLXVER; KLADET REVOLXVER U DVERI.\cr
sherif& oTKRYVAET DVERX; VIDIT GRABITELYA; (GRABITELX VIDIT SHERIFA); 
PROHODIT V DVERX; IDET K OKNU.\cr
grabitel'& bERET REVOLXVER PRAVOJ RUKOJ.\cr
sherif& iDET K STOLU.\cr
grabitel'& cELITSYA; STRELYAET; promahivaetsya; CELITSYA; STRELYAET;
tochno popadaet v sherifa; PRODUVAET STVOL; KLADET REVOLXVER V KOBURU.\cr
sherif&rONYAET REVOLXVER; SHERIF UMIRAET.\cr
grabitel'& iDET V UGOL; BERET DENXGI PRAVOJ RUKOJ; IDET K DVERI; 
PROHODIT V DVERX; ZAKRYVAET DVERX. zanaves.\cr
\endtvscript

eSLI VNIMATELXNO PROCHITATX SCENARII, MOZHNO ZAMETITX, CHTO ONI POLNY 
NAPRYAZHENNOGO DRAMATIZMA. pROGRAMMA DOSTATOCHNO TOCHNO OPREDELYALA, GDE 
NAHODITSYA KAZHDOE DEJSTVUYUSHCHEE LICO, CHTO ONO DERZHIT V RUKAH I T.~D.\ 
dEJSTVIYA AKTEROV SLUCHAJNY I PODCHINYAYUTSYA OPREDELENNYM VEROYATNOSTYAM, 
VEROYATNOSTX NERAZUMNYH DEJSTVIJ VOZRASTAET V ZAVISIMOSTI OT TOGO, SKOLXKO 
VYPITO VISKI I SKOLXKO RAZ DEJSTVUYUSHCHEE LICO BYLO RANENO. chITATELX MOZHET 
IZUCHITX PRIVEDENNYE SCENARII DLYA TOGO, CHTOBY VYYAVITX DRUGIE  SVOJSTVA PROGRAMMY.

rAZUMEETSYA, DAZHE LUCHSHIE SCENARII PRIHODITSYA PEREDELYVATX, PREZHDE CHEM 
POSTAVITX, I TEM BOLEE |TO NEOBHODIMO SDELATX SO SCENARIEM, NAPISANNYM 
NEOPYTNYM AVTOROM. nIZHE PRIVEDENY SCENARII V TOM VIDE, V KOTOROM IH 
ISPOLXZOVALI V TELEVIZIONNOJ PEREDACHE (kp---KRUPNYJ PLAN, sp-SREDNIJ PLAN, 
dp---DALXNIJ PLAN).

\tvscript sCENARIJ 1. mUZYKA.
\body
sp.& gRABITELX SMOTRIT V OKNO HIZHINY.\cr
kp.& lICO GRABITELYA.\cr
sp.& gRABITELX VHODIT V HIZHINU.\cr
kp.& gRABITELX VIDIT NA STOLE BUTYLKU VISKI.\cr
kp.& shERIF SNARUZHI HIZHINY.\cr
sp.& gRABITELX VIDIT SHERIFA.\cr
dp.& shERIF V DVERNOM PROEME VIDEN NAD PLECHOM GRABITELYA, OBA HVATAYUTSYA ZA KOBURY.\cr
sp.& shERIF VYHVATYVAET REVOLXVER.\cr
dp.& sTRELYAET, POPADAET V GRABITELYA.\cr
sp.& shERIF BERET MESHKI S DENXGAMI.\cr
sp.& gRABITELX SHATAETSYA.\cr
sp.& gRABITELX UMIRAET. pYTAETSYA POSLEDNIJ RAZ VYSTRELITX V SHERIFA, PADAET NA STOL.\cr
sp.& shERIF VYHODIT IZ DVERI S DENXGAMI.\cr
%% 199
sp.& tELO GRABITELYA, NEPODVIZHNO LEZHASHCHEE NA STOLE. kAMERA DVIGAETSYA NAZAD. (sMEH.)\cr
\endtvscript

\tvscript
sCENARIJ 2. mUZYKA.
\body
kp.& oKNO. pOYAVLYAETSYA GRABITELX.\cr
sp.& gRABITELX VHODIT V HIZHINU S DVUMYA MESHKAMI DENEG.\cr
sp.& gRABITELX KLADET MESHKI S DENXGAMI NA BOCHKU.\cr
kp.& gRABITELX VIDIT NA STOLE VISKI.\cr
sp. & gRABITELX NALIVAET SEBE VISKI. nACHINAET SCHITATX DENXGI. sMEETSYA.\cr
sp. & shERIF SNARUZHI HIZHINY.\cr
sp. & vID CHEREZ OKNO.\cr
sp. & gRABITELX VIDIT SHERIFA CHEREZ OKNO.\cr
dp. & shERIF VHODIT V HIZHINU. hVATAETSYA ZA REVOLXVER. vYSTREL.\cr
kp. & shERIF. kORCHITSYA OT BOLI.\cr
sp. & shERIF, SHATAYASX IDET K STOLU, CHTOBY VYPITX, \dots{} PADAET MERTVYJ.\cr
sp. & gRABITELX UHODIT IZ HIZHINY S MESHKAMI DENEG%
% !!! RAZOBRATXSYA, KUDA DEVAYUTSYA SNOSKI IZ VNUTRENNEJ VERTIKALXNOJ MODY
\note{}{\copyright~1962 by Columbia Broadcasting System, Inc. All Rights 
Reserved. Used by permission. dLYA DALXNEJSHIH SPRAVOK SM. J.~E.~Pfeiffer, 
The Thinking Machine (New York: J. B. Lippincott, 1962).}.\cr
\endtvscript

vYSHEIZLOZHENNOE LYUBEZNO SOOBSHCHILI AVTORU t.~vULF, POSTANOVSHCHIK 
TELEVIZIONNOJ PROGRAMMY, PREDLOZHIVSHIJ IDEYU NAPISANIYA NEBOLXSHOJ PXESY S 
POMOSHCHXYU evm, A TAKZHE d.~rOSS I~X.~mORS, KOTORYE NAPISALI I OTLADILI PROGRAMMU.

bEZ SOMNENIYA, U CHITATELYA VOZNIKNUT SVOI SOOBRAZHENIYA O TOM, KAK BY ON MOG 
NAPISATX PROGRAMMU MODELIROVANIYA LITERATURNOGO TVORCHESTVA. eTO I ESTX CELX 
DANNOGO UPRAZHNENIYA.

%% 200

\chapter{aRIFMETIKA} %% 4
\epigraph
vVIDU TOGO CHTO NET NICHEGO BOLEE HLOPOTNOGO V MATEMATICHESKOJ PRAKTIKE (O 
VOZLYUBLENNYE STUDENTY-MATEMATIKI!), NICHEGO TAKOGO, CHTO BOLEE DOSAZHDALO BY 
I MESHALO VYCHISLITELYU, CHEM VYPOLNYAEMYE NAD BOLXSHIMI CHISLAMI UMNOZHENIE, 
DELENIE, IZVLECHENIE KVADRATNYH I KUBICHESKIH KORNEJ, KOTORYE 
SOPRYAZHENY OBYCHNO S MASSOJ TRUDNO OBNARUZHIVAEMYH OSHIBOK, YA STAL RAZMYSHLYATX 
NAD TEM, KAKOE NADEZHNOE I UDOBNOE SREDSTVO MOGLO BY USTRANITX |TI POMEHI.
\signed
dZHON nEPER (1614)

\epigraph
tERPETX NE MOGU SKLADYVATX. nET BOLXSHEJ OSHIBKI, CHEM NAZYVATX ARIFMETIKU 
TOCHNOJ NAUKOJ. sUSHCHESTVUYUT~\dots{} TAJNYE ZAKONY, UPRAVLYAYUSHCHIE CHISLAMI, 
POSTICHX KOTORYE MOZHET LISHX UM TIPA MOEGO. nAPRIMER, ESLI VY NAHODITE 
SUMMU, SKLADYVAYA CHISLA STOLBIKOM SNACHALA SNIZU VVERH, A ZATEM SVERHU VNIZ, 
VY VSEGDA POLUCHAETE RAZNYJ REZULXTAT.
\signed
gOSPOZHA lA tUSH (19~V.)

\epigraph
nE MOGU PREDSTAVITX SEBE, CHTOBY KOMU-NIBUDX POTREBOVALOSX VYPOLNYATX 
UMNOZHENIE SO SKOROSTXYU $40\ 000$ ILI DAZHE $4\ 000$~OPERACIJ V CHAS; TAKOE 
RADIKALXNOE IZMENENIE, KAK PEREHOD K VOSXMERICHNOJ SISTEME, NE SLEDUET 
NAVYAZYVATX VSEMU CHELOVECHESTVU RADI NESKOLXKIH LICHNOSTEJ.
\signed
f.~X.~u|JLS (1936)

oSNOVNAYA CELX |TOJ GLAVY---TSHCHATELXNOE RASSMOTRENIE CHETYREH
%% !!! bugfix  OSNOVYH => OSNOVNYH 
OSNOVNYH DEJSTVIJ ARIFMETIKI: SLOZHENIYA, 
VYCHITANIYA, UMNOZHENIYA I DELENIYA. mNOGIE SCHITAYUT ARIFMETIKU TRIVIALXNOJ 
VESHCHXYU, KOTOROJ OBUCHAYUT DETEJ V SHKOLE I DEJSTVIYA KOTOROJ VYPOLNYAYUT MASHINY, 
NO, KAK MY UVIDIM, ARIFMETIKA---|TO UVLEKATELXNYJ PREDMET, IMEYUSHCHIJ MNOGO 
INTERESNYH ASPEKTOV. aRIFMETIKA LEZHIT V OSNOVE STOLX BOLXSHOGO CHISLA 
MASHINNYH PRILOZHENIJ, CHTO VAZHNO SAMYM DOSKONALXNYM OBRAZOM ISSLEDOVATX 
|FFEKTIVNYE METODY VYCHISLENIJ S CHISLAMI.

aRIFMETIKA---|TO NA SAMOM DELE ZHIVAYA I VSE ESHCHE BYSTRO RAZVIVAYUSHCHAYASYA OBLASTX 
NAUKI, SYGRAVSHAYA VAZHNUYU ROLX V MIROVOJ ISTORII. v |TOJ GLAVE MY 
PROANALIZIRUEM ALGORITMY VYPOLNENIYA ARIFMETICHESKIH OPERACIJ NAD MNOGIMI 
TIPAMI VELICHIN, TAKIMI, KAK CHISLA "S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ", OCHENX BOLXSHIE 
CHISLA, DROBI (RACIONALXNYE CHISLA), MNOGOCHLENY I STEPENNYE RYADY; MY OBSUDIM 
TAKZHE SVYAZANNYE S |TIM VOPROSY, TAKIE, KAK PREOBRAZOVANIE IZ ODNOJ 
SISTEMY SCHISLENIYA V DRUGUYU, RAZLOZHENIE CHISEL NA MNOZHITELI I VYCHISLENIE 
MNOGOCHLENOV.

%% 201
\bye