\input style
CHESKUYU LOGICHESKUYU SHEMU RELEJNOJ SHEMOJ, KOTORAYA ZARABOTALA V 1941~G.

v PERVYH BYSTRODEJSTVUYUSHCHIH VYCHISLITELXNYH MASHINAH, POSTROENNYH V aMERIKE 
V NACHALE SOROKOVYH GODOV, ISPOLXZOVALASX DESYATICHNAYA ARIFMETIKA. nO V 
1946~G.\ V SYGRAVSHEM BOLXSHUYU ROLX OTCHETE a.~u.~b�RKSA, X.~X.~gOLDSTAJNA 
I~dZH.~FON~nEJMANA O PROEKTE PERVOJ VYCHISLITELXNOJ MASHINY S HRANIMOJ V 
PAMYATI PROGRAMMOJ BYLI PODROBNO IZLOZHENY PRICHINY IH RESHENIYA PORVATX S 
TRADICIEJ I PEREJTI K SISTEME SCHISLENIYA PO OSNOVANIYU~$2$ 
[SM.\ John von~Neumann, Collected Works, Vol.~5, 41--65]. s TEH POR DVOICHNYE 
VYCHISLITELXNYE USTROJSTVA POLUCHILI VSEOBSHCHEE RASPROSTRANENIE. pOSLE PERVOJ 
DYUZHINY LET RABOTY S DVOICHNYMI MASHINAMI OBSUZHDENIE SRAVNITELXNYH DOSTOINSTV 
I NEDOSTATKOV DVOICHNOJ SISTEMY BYLO DANO v.~bUHHOLXCEM V STATXE 
"pALXCY ILI KULAKI?"\note{1}%
{aVTOR STATXI OBYGRYVAET VERSIYU ANTROPOLOGICHESKOGO 
PROISHOZHDENIYA DESYATICHNOJ SISTEMY, PODYSKIVAYA ANTROPOLOGICHESKOE OBOSNOVANIE 
I DLYA DVOICHNOJ SISTEMY.---{\sl pRIM. PEREV.\/}}
[{\sl CACM,\/} {\bf 2} (December, 1959), 3--11].

vYCHISLITELXNAYA MASHINA~\MIX, ISPOLXZUEMAYA V |TOJ KNIGE, OPREDELENA TAKIM 
OBRAZOM, CHTO ONA MOZHET BYTX KAK DVOICHNOJ, TAK I DESYATICHNOJ. iNTERESNO 
OTMETITX, CHTO POCHTI VSE \MIX-PROGRAMMY MOZHNO ZAPISATX, NE ZNAYA, KAKAYA 
IMENNO SISTEMA ISPOLXZUETSYA, DVOICHNAYA ILI DESYATICHNAYA,---DAZHE PRI 
PROVEDENII VYCHISLENIJ MNOGOKRATNOJ TOCHNOSTI. iTAK, MY VIDIM, CHTO 
VYBOR OSNOVANIYA SISTEMY SCHISLENIYA NE OKAZYVAET SERXEZNOGO VLIYANIYA NA 
PROGRAMMIROVANIE DLYA evm. (zASLUZHIVAYUSHCHIM UPOMINANIYA ISKLYUCHENIEM IZ |TOGO 
PRAVILA SLUZHAT, ODNAKO, "BULEVY" ALGORITMY, OBSUZHDAEMYE V GL.~7; SM. 
TAKZHE ALGORITM~4.5.2B.)

iMEETSYA NESKOLXKO RAZLICHNYH METODOV PREDSTAVLENIYA \emph{OTRICATELXNYH} 
CHISEL V evm, I VYBOR TOGO ILI INOGO METODA OKAZYVAET VLIYANIE NA SPOSOBY 
REALIZACII ARIFMETICHESKIH DEJSTVIJ. rAZBEREM RAZLICHIE MEZHDU |TIMI 
OBOZNACHENIYAMI. bUDEM SNACHALA SCHITATX MASHINU~\MIX{} DESYATICHNOJ evm; TOGDA 
KAZHDOE SLOVO SODERZHIT 10~CIFR I ZNAK, NAPRIMER:
\EQ[2]{
 -12345\,67890.
}

eTOT SPOSOB PREDSTAVLENIYA NAZYVAETSYA \dfn{PRYAMYM KODOM}. 
tAKOE PREDSTAVLENIE SOOTVETSTVUET OBSHCHEPRINYATYM OBOZNACHENIYAM, I PO|TOMU 
MNOGIE PROGRAMMISTY PREDPOCHITAYUT EGO. vOZMOZHNOE NEUDOBSTVO ZDESX SOSTOIT 
V TOM, CHTO MOGUT POYAVLYATXSYA KAK MINUS NULX, TAK I PLYUS NULX, V TO VREMYA 
KAK OBYCHNO ONI DOLZHNY OBOZNACHATX ODNO I TO ZHE CHISLO; TAKAYA VOZMOZHNOSTX 
TREBUET PRINYATIYA NEKOTORYH MER PREDOSTOROZHNOSTI.

v BOLXSHINSTVE MEHANICHESKIH SCHETNYH MASHIN, VYPOLNYAYUSHCHIH DEJSTVIYA DESYATICHNOJ 
ARIFMETIKI, ISPOLXZUETSYA DRUGAYA SISTEMA ZAPISI,
%% 212
NAZYVAEMAYA \dfn{DOPOLNITELXNYM KODOM}. vYCHTYA~$1$ IZ~$00000\,00000$, 
MY POLUCHIM V |TOJ SISTEME ZAPISI~$99999\,99999$; DRUGIMI SLOVAMI, CHISLU NE 
PRIPISYVAETSYA YAVNOGO ZNAKA, A VYCHISLENIYA PROVODYATSYA \emph{PO MODULYU~$10^{10}$}. 
chISLO~$-12345\,67890$ V DOPOLNITELXNOM KODE BUDET VYGLYADETX TAK:
\EQ[3]{
 87654\,32110.
}
v |TOJ SISTEME OBOZNACHENIJ PRINYATO SCHITATX OTRICATELXNYM LYUBOE CHISLO, 
GOLOVNAYA CIFRA KOTOROGO ESTX~$5$, $6$, $7$, $8$ ILI~$9$, HOTYA S TOCHKI 
ZRENIYA PRAVILXNOSTI REZULXTATOV SLOZHENIYA I VYCHITANIYA NE BUDET NIKAKOGO 
GREHA RASSMATRIVATX~\eqref[3], ESLI |TO UDOBNO, KAK CHISLO~$+87654\,32110$. 
pRI PRIMENENII DOPOLNITELXNOGO KODA NE VOZNIKAET I PROBLEMY "MINUS NULYA".
gLAVNOE RAZLICHIE MEZHDU PRYAMYM KODOM I DOPOLNITELXNYM SOSTOIT 
PRAKTICHESKI V TOM, CHTO SDVIG VPRAVO V DOPOLNITELXNOM KODE NE 
|KVIVALENTEN DELENIYU NA~$10$; NAPRIMER, CHISLO~$-11=\ldots{}99989$ POSLE 
SDVIGA VPRAVO PREVRASHCHAETSYA V CHISLO~$\ldots{}99998=-2$ (V PREDPOLOZHENII,
CHTO SDVIG VPRAVO OTRICATELXNOGO CHISLA POROZHDAET V GOLOVNOM RAZRYADE~"$9$").
v OBSHCHEM SLUCHAE REZULXTATOM SDVIGA CHISLA~$x$, ZAPISANNOGO V 
DOPOLNITELXNOM KODE, NA ODNU CIFRU VPRAVO BUDET CHISLO~$\floor{x/10}$ 
NEZAVISIMO OT TOGO, POLOZHITELXNO~$x$ ILI OTRICATELXNO. oDNO IZ 
POTENCIALXNYH NEUDOBSTV ZAPISI PRI POMOSHCHI DOPOLNITELXNOGO KODA ZAKLYUCHAETSYA 
V EE NESIMMETRICHNOSTI OTNOSITELXNO NULYA; NAIBOLXSHEE OTRICATELXNOE CHISLO, 
PREDSTAVIMOE POSREDSTVOM $p$~CIFR, $500\ldots{}0$, NE YAVLYAETSYA ZNAKOVYM 
OBRASHCHENIEM NIKAKOGO $p\hbox{-RAZRYADNOGO}$ POLOZHITELXNOGO CHISLA. tAKIM 
OBRAZOM, VOZMOZHNO, CHTO IZMENENIE ZNAKA (ZAMENA~$x$ NA~$-x$) POSLUZHIT 
PRICHINOJ PEREPOLNENIYA.

eSHCHE ODNA SISTEMA OBOZNACHENIJ, PRINYATAYA S SAMYH PERVYH DNEJ |RY 
BYSTRODEJSTVUYUSHCHIH VYCHISLITELXNYH MASHIN,---|TO PREDSTAVLENIE V 
\emph{OBRATNOM KODE}. v |TOM SLUCHAE CHISLO~$-12345\,67890$ ZAPISYVAETSYA V VIDE
\EQ[4]{
  87654\,32109.
}
kAZHDAYA CIFRA OTRICATELXNOGO CHISLA~$-x$ RAVNA RAZNOSTI MEZHDU~$9$ I 
SOOTVETSTVUYUSHCHEJ CIFROJ~$x$. nETRUDNO VIDETX, CHTO DLYA OTRICATELXNOGO 
CHISLA EGO OBRATNYJ KOD VSEGDA NA EDINICU MENXSHE DOPOLNITELXNOGO; SLOZHENIE 
I VYCHITANIE PROIZVODYATSYA PO MODULYU~$10^{10}-1$, A |TO OZNACHAET, CHTO 
PERENOS IZ KRAJNEJ LEVOJ POZICII DOBAVLYAETSYA K KRAJNEJ PRAVOJ 
(SM.~P.~3.2.1.1). sNOVA VOZNIKAYUT TRUDNOSTI S MINUS NULEM, TAK KAK 
ZAPISI~$99999\,99999$ I~$00000\,00000$ OBOZNACHAYUT ODNO I TO ZHE.

tOLXKO CHTO IZLOZHENNYE IDEI, OTNOSYASHCHIESYA K ARIFMETIKE PO OSNOVANIYU~$10$, 
ANALOGICHNYM OBRAZOM PRIMENIMY K ARIFMETIKE PO OSNOVANIYU~$2$, I MY POLUCHAEM 
\emph{DVOICHNYE PRYAMOJ}, \emph{DOPOLNITELXNYJ} I \emph{OBRATNYJ KODY}. v 
PRIMERAH |TOJ GLAVY MASHINA~\MIX{}
%% 213
ISPOLXZUETSYA TOLXKO DLYA RABOTY S PREDSTAVLENIEM V PRYAMOM, KODE; 
SOOTVETSTVUYUSHCHIE PROCEDURY DLYA DOPOLNITELXNOGO I OBRATNOGO KODOV 
OBSUZHDAYUTSYA, ESLI |TO OKAZYVAETSYA VAZHNYM, V SOPROVODITELXNOM TEKSTE.

bOLXSHINSTVO RUKOVODSTV PO VYCHISLITELXNYM MASHINAM SOOBSHCHAYUT, CHTO MASHINNOJ 
SHEMOJ DOPUSKAETSYA, CHTOBY POZICIONNAYA TOCHKA RASPOLAGALASX V FIKSIROVANNOJ 
POZICII VNUTRI KAZHDOGO MASHINNOGO SLOVA. eTO IZVESHCHENIE STOIT OBYCHNO IGNORIROVATX;
GORAZDO LUCHSHE VYUCHITX PRAVILA, KASAYUSHCHIESYA TOGO, GDE POYAVITSYA POZICIONNAYA 
TOCHKA V REZULXTATE VYPOLNENIYA KOMANDY, ESLI PREDPOLOZHITX, CHTO DO EE 
VYPOLNENIYA ONA RASPOLOZHENA NA KAKOM-TO OPREDELENNOM MESTE. nAPRIMER, V 
SLUCHAE MASHINY~\MIX{} MY MOGLI BY RASSMATRIVATX NASHI OPERANDY LIBO KAK 
CELYE CHISLA S POZICIONNOJ TOCHKOJ V KRAJNEM PRAVOM POLOZHENII, LIBO KAK 
PRAVILXNYE DROBI S POZICIONNOJ TOCHKOJ V KRAJNEM LEVOM POLOZHENII, LIBO 
KAK NEKOTORYE PROMEZHUTOCHNYE MEZHDU |TIMI DVUMYA KRAJNIMI VARIANTAMI; PRAVILA 
RASSTANOVKI POZICIONNOJ TOCHKI V KAZHDOM REZULXTATE POLUCHAYUTSYA NEPOSREDSTVENNO.

lEGKO VIDETX, CHTO SUSHCHESTVUET PROSTAYA SVYAZX MEZHDU ZAPISXYU CHISEL V SISTEMAH 
SCHISLENIYA PO OSNOVANIYAM~$b$ I~$b^k$:
\EQ[5]{
 (\ldots a_3 a_2 a_1 a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots)_b=
   (\ldots A_3 A_2 A_1 A_0.A_{-1} A_{-2}\ldots)_{b^k},
}
GDE
\EQ{
A_j=(a_{kj+k-1}\ldots a_{kj+1}a_{kj})_b;
}
SM.~UPR.~8. tAKIM OBRAZOM, MY POLUCHAEM PROSTOJ SPOSOB PEREHODITX "S 
ODNOGO VZGLYADA" OT, SKAZHEM, DVOICHNOJ K VOSXMERICHNOJ SISTEME I OBRATNO.

iMEETSYA MNOGO INTERESNYH VARIANTOV POZICIONNYH SISTEM SCHISLENIYA, POMIMO 
STANDARTNYH $b\hbox{-ARNYH}$ SISTEM, OBSUZHDAVSHIHSYA DO SIH POR. nAPRIMER, 
MY MOGLI BY RASSMATRIVATX CHISLA PO OSNOVANIYU~$(-10)$, TAK CHTO
\EQ{
\eqalign{
 (\ldots a_3 a_2 a_1 a_0 . a_{-1} a_{-2} \ldots)_{-10}&=\cr
&=\ldots+a_3(-10)^3+a_2(-10)^2+a_1(-10)^1+a_0+\ldots=\cr
&=\ldots-1000a_3+100a_2-10a_1+a_0-{1\over 10}a_{-1}+{1\over 100}a_{-2}-\ldots\,.\cr
}
}
zDESX, KAK I V OBYCHNOJ DESYATICHNOJ SISTEME, CIFRY~$a_k$ UDOVLETVORYAYUT 
NERAVENSTVAM~$0\le a_k \le 9$. chISLO~$12345\,67890$ ZAPISHETSYA V  TAKOJ 
"NEGA-DESYATICHNOJ" SISTEME V VIDE
\EQ[6]{
 (1\,93755\,73910)_{-10},
}
TAK KAK ONO RAVNO KAK RAZ~$10305070900-9070503010$. iNTERESNO OTMETITX, 
CHTO EGO ZNAKOVOE OBRASHCHENIE, OTRICATELXNOE CHISLO~$-12345\,67890$, 
ZAPISYVAETSYA V VIDE
\EQ[7]{
 (28466\,48290)_{-10},
}
%% 214
I V DEJSTVITELXNOSTI \emph{LYUBOE VESHCHESTVENNOE CHISLO, POLOZHITELXNOE ILI 
OTRICATELXNOE, MOZHET BYTX PREDSTAVLENO V SISTEME PO OSNOVANIYU~$-10$ BEZ ZNAKA.}

sISTEMY PO OTRICATELXNOMU OSNOVANIYU BYLI UPOMYANUTY V LITERATURE VPERVYE, 
PO-VIDIMOMU, z.~pAVLYAKOM I~a.~vAKULICHEM [{\sl Bulletin de l'Academie 
Polonaise des Sciences,\/} Classe~III, {\bf 5} (1957), 233--236; S\'erie 
des sciences techniques, {\bf 7} (1959), 713--721] I l.~u|JDELOM [{\sl IRE 
Transactions,\/} {\bf EC-6} (1957), 123]. dALXNEJSHIE LITERATURNYE SSYLKI 
MOZHNO NAJTI V ZHURNALAH {\sl IEEE Transactions\/} [{\bf EC-12} (1963), 274--276]
%% fixed: (May, (1967) ---> (May, 1967)
I {\sl Computer Design\/} [{\bf 6} (May, 1967), 52--63]. 
(iMEYUTSYA SVIDETELXSTVA TOGO, CHTO IDEYA OTRICATELXNOGO OSNOVANIYA VOZNIKLA 
NEZAVISIMO SRAZU U CELOGO RYADA LIC PO PRICHINE RASTUSHCHEGO INTERESA K 
PROEKTIROVANIYU evm.)

dZH.~f.~sONGSTER, PO PREDLOZHENIYU dZH.~u.~p|TTERSONA, ISSLEDOVAL SISTEMY NO 
OSNOVANIYU~$-2$ V SVOEJ MAGISTERSKOJ DISSERTACII (pENSILXVANSKIJ 
UNIVERSITET, 1956~G.). sISTEMY S OTRICATELXNYM OSNOVANIEM RASSMATRIVAL 
TAKZHE V 1955~G.\ d.~e.~kNUT V NEBOLXSHOM MASHINOPISNOM TEKSTE, 
PREDNAZNACHENNOM DLYA KONKURSA "pOISK NAUCHNYH TALANTOV" SREDI UCHENIKOV 
STARSHIH KLASSOV; TAM ZHE OBSUZHDALOSX I DALXNEJSHEE OBOBSHCHENIE---DO 
KOMPLEKSNOZNACHNYH OSNOVANIJ. tOT FAKT, CHTO VSE CHISLA MOGUT 
BYTX PREDSTAVLENY PO OTRICATELXNOMU OSNOVANIYU, OTMECHAL V DRUGOM KONTEKSTE 
NESKOLXKIMI GODAMI RANEE n.~g.~DE~bR�JN [{\sl Publ. Math. Debrecen,\/} 
{\bf 1} (1950), 232--242, OSOBENNO SM.~STR.~240], ODNAKO ON NE PRIMENIL 
|TU IDEYU K ARIFMETIKE.

vYBOR OSNOVANIYA~$2i$ PRIVODIT K INTERESNOJ SISTEME SCHISLENIYA, KOTORUYU 
ESTESTVENNO NAZVATX "MNIMO-CHETVERICHNOJ" (PO ANALOGIYA S "CHETVERICHNOJ"\note{1}%
{v ORIGINALE ANALOGIYA "POLNEJ": "quaternary"---"quater-imaginary".---{\sl 
pRIM. RED.\/}}, VVIDU TOGO CHTO \emph{KAZHDOE KOMPLEKSNOE CHISLO MOZHET BYTX 
PREDSTAVLENO V |TOJ SISTEME PRI POMOSHCHI CIFR $0$, $1$, $2$ I~$3$, PRICHEM 
TEH ZHE CIFR, VZYATYH SO ZNAKOM MINUS, NE TREBUETSYA)}. [sM.~{\sl CACM,\/} 
{\bf 3}, (1960), 245--247.] nAPRIMER,
%% !!! ZACHEM ZDESX FORMULA OFORMLENA S VERT. CHERTOJ, NE ZNAYU, 
%% DELAYU PO-CHELOVECHESKI
\EQ{
 (11210.31)_{2i}=1\cdot 16+1\cdot (-8i)+2\cdot (-4)+1\cdot (2i)+3\cdot\left(-{1\over2}i\right)+1\left(-{1\over4}\right)=7{3\over4}-7{1\over2}i.
}
chISLO~$(a_{2n}\ldots{} a_1 a_0.a_{-1}\ldots{} a_{-2k})_{2i}$ RAVNO
\EQ{
 (a_{2n}\ldots a_2 a_0 . a_{-2}\ldots{} a_{-2k})_{-4}+2i(a_{2n-1}\ldots a_3 a_1.a_{-1}\ldots{} a_{-2k+1})_{-4},
}
TAK CHTO PEREVOD CHISLA V MNIMO-CHETVERICHNUYU FORMU I OBRATNO SVODITSYA K 
PEREVODU V "NEGA-CHETVERICHNUYU" FORMU I OBRATNO. iNTERESNOE SVOJSTVO |TOJ 
SISTEMY SOSTOIT V TOM, CHTO ONA DOPUSKAET VYPOLNENIE UMNOZHENIYA I DELENIYA 
KOMPLEKSNYH CHISEL
%% 215
CELOSTNYM OBRAZOM BEZ RAZDELXNOGO RASSMOTRENIYA VESHCHESTVENNYH I MNIMYH 
CHASTEJ. nAPRIMER, PEREMNOZHITX DVA CHISLA MY MOZHEM V |TOJ SISTEME TAK ZHE, 
KAK I PRI LYUBOM DRUGOM OSNOVANII, ISPOLXZUYA TOLXKO NESKOLXKO INOE "PRAVILO 
PERENOSA": V SLUCHAE ESLI CIFRA STANOVITSYA BOLXSHE~$4$, MY VYCHITAEM~$4$ I 
"PERENOSIM"~$-1$ NA DVA STOLBCA VLEVO, A KOGDA POLUCHAETSYA 
OTRICATELXNAYA CIFRA, MY PRIBAVLYAEM K NEJ~$4$ I "PERENOSIM"~$+1$ NA DVA 
STOLBCA VLEVO. rAZBOR NIZHESLEDUYUSHCHEGO PRIMERA POYASNIT, KAK RABOTAET |TO 
SVOEOBRAZNOE PRAVILO PERENOSA:
\ctable{
\strut$#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\cr
  &   &   &   & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & \quad [9-10i]\hfil\cr
  &   &   &   & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & \quad [9-10i]\hfil\cr
\multispan{4} & \multispan{5}\hrulefill\cr
  &   &   &   & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 \cr
1 & 0 & 3 & 2 & 0 & 2 & 1 & 3\cr
  &   & 1 & 3 & 0 & 2 & 2\cr
  & 1 & 3 & 0 & 2 & 2\cr
1 & 2 & 2 & 3 & 1\cr
\multispan{9}\hrulefill\cr
0 & 2 & 1 & 3 & 3 & 3 & 1 & 2 & 1 & \quad [-19-180i]\hfil\cr
}

mOZHNO POSTROITX ANALOGICHNUYU SISTEMU PO OSNOVANIYU~$\sqrt{2}i$,  V KOTOROJ 
ISPOLXZUYUTSYA LISHX CIFRY~$0$ I~$1$, NO V |TOJ SISTEME UZHE DLYA PREDSTAVLENIYA 
SAMOJ MNIMOJ EDINICY~$i$ TREBUETSYA BESKONECHNOE NEPERIODICHESKOE RAZLOZHENIE.

"bINARNUYU" KOMPLEKSNUYU SISTEMU SCHISLENIYA MOZHNO TAKZHE POLUCHITX, ISPOLXZUYA 
OSNOVANIE~$i-1$, PREDLOZHENNOE u.~pENNI [{\sl JACM,\/} {\bf 12} (1965), 247--248]:
\EQ{
 (\ldots{}a_4a_3a_2a_1a_0.a_{-1}\ldots)_{i-1}
  =\ldots-4a_4+(2+2i)a_3-2ia_2+(i-1)a_1+a_0-{1\over 2}(i+1)a_{-1}+\ldots\,.
}
v |TOJ SISTEME ISPOLXZUYUTSYA TOLXKO CIFRY~$0$ I~$1$. oDIN IZ SPOSOBOV 
DOKAZATX, CHTO KAZHDOE KOMPLEKSNOE CHISLO DOPUSKAET TAKOE PREDSTAVLENIE, 
SOSTOIT V RASSMOTRENII INTERESNOGO MNOZHESTVA~$S$, IZOBRAZHENNOGO NA RIS.~1\note{1}%
{s MNOZHESTVOM~$S$ I TEM SAMYM S SISTEMOJ SCHISLENIYA PO 
OSNOVANIYU~$i-1$ TESNO SVYAZANY "KRIVYE DRAKONA", IZOBRETENNYE I NAZVANNYE 
TAK AMERIKANSKIM FIZIKOM dZH.~hEJVEEM. zAMECHATELXNYE SVOJSTVA |TIH KRIVYH 
ISSLEDOVAL AVTOR NASTOYASHCHEJ KNIGI dONALXD kNUT (SM., NAPRIMER, STATXYU 
n.~b.~vASILXEVA I v.~l.~gUTENMAHERA VO 2-M NOMERE ZHURNALA "kVANT" 
ZA~1970~G., 36--46).---{\sl pRIM. PEREV.\/}};
|TO MNOZHESTVO SOSTOYAT PO OPREDELENIYU IZ VSEH TOCHEK KOMPLEKSNOJ 
PLOSKOSTI, KOTORYE DOPUSKAYUT ZAPISX V VIDE~$\sum_{k\ge 1}a_k(i-1)^{-k}$ 
DLYA NEKOTOROJ BESKONECHNOJ POSLEDOVATELXNOSTI $a_1$, $a_2$, $a_3$,~\dots{} 
NULEJ I EDINIC. nA RISUNKE POKAZANO, KAK MOZHNO RAZBITX MNOZHESTVO~$S$ NA 
256~CHASTEJ, KONGRU|NTNYH~$(1/16)S$;
%% 216
ZAMETIM, CHTO ESLI MNOZHESTVO~$S$ POVERNUTX PO CHASOVOJ STRELKE 
NA~$135^\circ$, TO MY UVIDIM, CHTO ONO RASPADAETSYA NA DVA PRIMYKAYUSHCHIH 
DRUG K DRUGU MNOZHESTVA, 
KONGRU|NTNYH~$(1/\sqrt{2})S$ (POSKOLXKU~$(i-1)S=S\cup (S+1)$). pO POVODU 
DETALEJ DOKAZATELXSTVA
\picture{rIS.~1. mNOZHESTVO~$S$.}
TOGO, CHTO $S$~SODERZHIT VSE KOMPLEKSNYE CHISLA DOSTATOCHNO MALOGO MODULYA, 
SM.~UPR.~18. (v DEJSTVITELXNOSTI GRANICA~$S$ SODERZHIT MNOGO MELKIH "ZUBCOV"; 
|TI ZUBCY NA RIS.~1 SGLAZHENY.)

\def\ternary{\bgroup\catcode`\!=\active}
\def\endternary{\egroup}
\catcode`!=\active
\def!{\overline{1}}
\catcode`\!=12


bYTX MOZHET, SAMOJ IZYASHCHNOJ IZ VSEH YAVLYAETSYA \emph{URAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA} 
SISTEMA SCHISLENIYA---SISTEMA PO OSNOVANIYU~$3$, V KOTOROJ VMESTO CIFR~$0$, $1$,
 $2$ ISPOLXZUYUTSYA "TRITY"\note{1}%
{pO ANALOGII S "BITAMI".---{\sl pRIM. RED.\/}} $-1$, $0$, $+1$. eSLI
%% 217
VMESTO~$-1$ PISATX~\ternary$!$\endternary, TO MY POLUCHIM SLEDUYUSHCHIE PRIMERY 
CHISEL, ZAPISANNYH V URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA:
\ternary\ctable{
\strut\hfil$#$&#&$#$\hfil&\hfil$\quad#$&$#$\hfil\cr
\multispan{3} uRAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA SISTEMA & \multispan{2} dESYATICHNAYA SISTEMA\cr
\multispan{3} SCHISLENIYA & \multispan{2} SCHISLENIYA\cr
 10!& &            &   8\cr
11!0&.&!!          &  32& {5\over 9}\cr
!!10&.&11          & -32&{5\over 9}\cr
!!10&.&            & -33\cr
   0&.&11111\ldots &    &{1\over 2}\cr
}\endternary

uRAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA SISTEMA SCHISLENIYA OBLADAET MNOGIMI PRIYATNYMI SVOJSTVAMI:
{\medskip\narrower
\item{a)}pEREHOD OT CHISLA K PROTIVOPOLOZHNOMU PO ZNAKU OSUSHCHESTVLYAETSYA 
VZAIMNOJ ZAMENOJ~$1$ NA~\ternary$!$\endternary.

\item{b)}zNAK CHISLA ZADAETSYA EGO NAIBOLEE ZNACHIMYM NENULEVYM TRITOM, I, 
BOLEE OBSHCHO, MY MOZHEM SRAVNIVATX LYUBYE DVA CHISLA, ISPOLXZUYA 
LEKSIKOGRAFICHESKIJ PORYADOK PRI CHTENII SLEVA NAPRAVO, KAK I V DESYATICHNOJ SISTEME.

\item{c)}oPERACIYA OKRUGLENIYA DO BLIZHAJSHEGO CELOGO SVODITSYA K OTBRASYVANIYU 
DROBNOJ CHASTI (T.~E.\ VSEH TRITOV, STOYASHCHIH SPRAVA OT POZICIONNOJ TOCHKI).
\medskip}

sKLADYVATX V URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ SISTEME SOVSEM PROSTO, ESLI 
POLXZOVATXSYA TABLICEJ SLOZHENIYA
\ternary\ctable{
\strut\hfil$#$\bskip&&\bskip\hfil$#$\bskip\cr
! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 
& 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ! 
& ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \cr
! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! 
& 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 \cr
\noalign{\hrule}
!0 & !1 & ! & !1 & ! & 0 & ! & 0 & 1 & !1 & ! & 0 & ! & 0 & 1 & 0 & 1 & 1! 
& ! & 0 & 1 & 0 & 1! & 1 & 1! & 10 \cr
}\endternary
(tRI VHODNYH TRITA---|TO TRITY DVUH NASHIH SLAGAEMYH I TRYU PERENOSA.) 
vYCHITANIE SOSTOIT V PEREHODE K CHISLU, PROTIVOPOLOZHNOMU PO ZNAKU, I 
POSLEDUYUSHCHEM SLOZHENII; UMNOZHENIE TAKZHE SVODITSYA K PEREMENE ZNAKA I SLOZHENIYU,
KAK V SLEDUYUSHCHEM PRIMERE:
\ternary\ctable{
$#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\cr
 & & &1&!&0&!& \quad [17]\cr
 & & &1&!&0&!& \quad [17]\cr
 & & & \multispan{4}\hrulefill\cr
 & & &!&1&0&1\cr
 &!&1&0&1&0\cr
1&!&0&!\cr
\multispan{7}\hrulefill\cr
0&1&1&!&!&0&1& \quad [289]\cr
}\endternary
pO POVODU DELENIYA SM.~UPR.~4.3.1-31.

oDIN IZ SPOSOBOV NAJTI PREDSTAVLENIE CHISLA V URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ 
SISTEME SOSTOIT V TOM, CHTO SNACHALA ZAPISYVAYUT
%% 218
|TO CHISLO V TROICHNOJ SISTEME; NAPRIMER,
\EQ{
 208.3=(21\,201.022002200220\ldots)_3.
}
(oCHENX PROSTOJ SPOSOB PEREHODA K TROICHNOJ SISTEME, PRIGODNYJ DLYA 
VYCHISLENIYA VRUCHNUYU, S KARANDASHOM I BUMAGOJ, OPISAN V UPR.~4.4-12.) dALEE 
SKLADYVAEM |TO CHISLO V TROICHNOJ SISTEME S BESKONECHNYM 
CHISLOM~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$; DLYA NASHEGO PRIMERA MY POLUCHIM
\EQ{
 (\ldots{}11111210012.210121012101\ldots)_3.
}
nAKONEC, PORAZRYADNO VYCHITAEM~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$, UMENXSHAYA 
NA EDINICU KAZHDUYU CIFRU; MY POLUCHIM
\ternary\EQ[8]{
 208.3=(10!!01.10!010!010!0\ldots)_3.
}\endternary
eTOT PROCESS, OCHEVIDNO, MOZHNO SDELATX VPOLNE "ZAKONNYM", ESLI ZAMENITX 
ISKUSSTVENNOE BESKONECHNOE CHISLO~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$ NEKOTORYM 
CHISLOM S SOOTVETSTVUYUSHCHIM KOLICHESTVOM EDINIC.

pREDSTAVLENIE CHISEL V URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ SISTEME NEYAVNO PRISUTSTVUET 
V ODNOJ ZNAMENITOJ MATEMATICHESKOJ GOLOVOLOMKE, OBYCHNO NAZYVAEMOJ 
"ZADACHEJ bASH| O VESAH", HOTYA ONA BYLA SFORMULIROVANA ESHCHE fIBONACHCHI ZA 
CHETYRE STOLETIYA DO TOGO, KAK bASH| NAPISAL SVOYU KNIGU. [sM.\ W.~Ahrens, 
Mathematische Unterhaltungen und Spiele, {\bf 1}, Leipzig, Teubner, 1910, \S~3.4.]

pOZICIONNYE SISTEMY SCHISLENIYA S OTRICATELXNYMI CIFRAMI BYLI IZOBRETENY 
S|ROM dZHONOM lESLI [The philosophy of arithmetic, Edinburgh, 1817; 
SM.~STR.~33--34, 54, 64--65, 117, 150] I NEZAVISIMO o.~kOSHI [{\sl Comptes 
Rendus,\/} {\bf 11} (1840), 789--798], KOTORYJ OTMECHAL, CHTO OTRICATELXNYE 
CIFRY IZBAVLYAYUT OT NEOBHODIMOSTI ZAPOMINATX TABLICU UMNOZHENIYA 
DALXSHE~$5\times 5$. v "CHISTOM" VIDE URAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA SISTEMA 
SCHISLENIYA VPERVYE POYAVILASX V STATXE lEONA lALANNA [{\sl Comptes Rendus,\/} 
{\bf 11} (1840), 903--905], IZOBRETATELYA MEHANICHESKIH VYCHISLISTELXNYH 
USTROJSTV. v TECHENIE POSLEDUYUSHCHIH STA LET POSLE RABOTY lALANNA |TA 
SISTEMA UPOMINALASX LISHX |PIZODICHESKI, POKA V eLEKTROTEHNICHESKOM INSTITUTE 
mURA V 1945--1946~GG.\ NE STALI RAZRABATYVATX PERVYE |LEKTRONNYE 
VYCHISLITELXNYE USTROJSTVA; V |TOT PERIOD ONA SERXEZNO RASSMATRIVALASX 
NARYADU S DVOICHNOJ SISTEMOJ V KACHESTVE VOZMOZHNOJ ZAMENY DESYATICHNOJ SISTEMY. 
sLOZHNOSTX ARIFMETICHESKIH |LEKTRONNYH SHEM DLYA URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ 
ARIFMETIKI NE NAMNOGO VYSHE, CHEM DLYA DVOICHNOJ ARIFMETIKI, A CHTOBY 
ZADATX CHISLO, V NEJ TREBUETSYA LISHX $\ln 2/\ln 3\approx 63\%$~CIFROVYH 
POZICIJ OT TOGO KOLICHESTVA, KOTOROE NUZHNO V SLUCHAE DVOICHNOJ 
ZAPISI. oBSUZHDENIE URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ SISTEMY SM.\ V ZHURNALE {\sl AMM\/} 
[{\bf 57} (1950), 90--93] I V SBORNIKE "High-speed computing devices" 
[Engineering Research Associates, McGraw-Hill, 1950, 287--289]. 
dO SIH POR URAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA SISTEMA VSE
%% 219
ESHCHE NE NASHLA SERXEZNOGO PRIMENENIYA, NO VOZMOZHNO, CHTO EE SIMMETRICHNOSTX I 
PROSTAYA ARIFMETIKA OKAZHUTSYA V ODIN PREKRASNYJ DENX VESXMA SUSHCHESTVENNYMI 
(KOGDA "FLIP-FLOP" ZAMENITSYA NA "FLIP-FL|P-FLOP"\note{1}%
{Flip---SHCHELCHOK, flap---HLOPOK, flop---SHLEPOK (\emph{ANGL.}); 
flip-flop---PRINYATOE V ANGLOYAZYCHNOJ LITERATURE NAZVANIE TRIGGERA.---{\sl pRIM. RED.\/}}).

dRUGOE VAZHNOE OBOBSHCHENIE PROSTOJ POZICIONNOJ SISTEMY---|TO POZICIONNAYA 
SISTEMA \emph{SO SMESHANNYMI OSNOVANIYAMI,} (ILI \emph{PO SMESHANNYM 
OSNOVANIYAM}). eSLI DANA POSLEDOVATELXNOSTX CHISEL~$\<b_k>$ (GDE $k$~MOGUT 
BYTX I OTRICATELXNYMI), TO MY POLAGAEM PO OPREDELENIYU
\EQ[9]{
\left[\matrix{
\ldots, & a_3, & a_2, & a_1, & a_0; & a_{-1}, & a_{-2}, & \ldots \cr
\ldots, & b_3, & b_2, & b_1, & b_0; & b_{-1}, & b_{-2}, & \ldots \cr
}
\right]=\ldots+a_3b_2b_1b_0+a_2b_1b_0+a_1b_0+a_0+a_{-1}/b_{-1}+a_{-2}/b_{-1}b_{-2}+\ldots\,.
}
v PROSTEJSHIH SISTEMAH SO SMESHANNYMI OSNOVANIYAMI MY RABOTAEM TOLXKO S 
CELYMI CHISLAMI: MY VYBIRAEM V KACHESTVE CHISEL $b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} 
CELYE CHISLA, BOLXSHIE EDINICY, I RASSMATRIVAEM TOLXKO TAKIE CHISLA, KOTORYE 
NE SODERZHAT POZICIONNOJ TOCHKI, PRICHEM CHISLO~$a_k$ DOLZHNO PRINADLEZHATX 
INTERVALU~$0\le a_k < b_k$.

oDNA IZ NAIBOLEE VAZHNYH SISTEM SO SMESHANNYMI OSNOVANIYAMI---|TO 
\emph{FAKTORIALXNAYA SISTEMA SCHISLENIYA,} GDE~$b_k=k+2$. iSPOLXZUYA |TU 
SISTEMU, MY MOZHEM EDINSTVENNYM OBRAZOM PREDSTAVITX LYUBOE NEOTRICATELXNOE 
CELOE CHISLO V VIDE
\EQ[10]{
 c_n n!+c_{n-1}(n-1)!+\cdots+c_22!+c_1,
}
GDE~$0\le c_k \le k$.

sISTEMY SO SMESHANNYMI OSNOVANIYAMI ZNAKOMY VSEM IZ POVSEDNEVNOJ ZHIZNI; RECHX 
IDET O EDINICAH MER. nAPRIMER, VELICHINA "TRI NEDELI, 2 DNYA, 9 CHASOV, 22 
MINUTY, 57 SEKUND I 492 MILLISEKUNDY" RAVNA
\EQ{
\left[\matrix{
 3, & 2, & 9, & 22, & 57; & 492\cr
    & 7, & 24, & 60, & 60; & 1000\cr
 }\right]\hbox{ SEKUND.}
}
v aNGLII DO PEREHODA K DESYATICHNOJ DENEZHNOJ SISTEME VELICHINA "10 FUNTOV, 6 
SHILLINGOV, TRI S POLOVINOJ PENSA" SOSTAVLYALA
\EQ{
\left[\matrix{
 10, &  6, &  3; & 1\cr
     & 20, & 12; & 2\cr
 }\right]\hbox{ PENSOV.}
}

chISLA PO SMESHANNYM OSNOVANIYAM MOZHNO SKLADYVATX I VYCHITATX, ISPOLXZUYA 
NEPOSREDSTVENNOE OBOBSHCHENIE OBYCHNYH ALGORITMOV SLOZHENIYA I VYCHITANIYA, PRI 
USLOVII, KONECHNO, CHTO DLYA OBOIH OPERANDOV ISPOLXZUETSYA ODNA I TA ZHE 
SISTEMA (SM.~UPR.~4.3.1-9). pODOBNYM ZHE OBRAZOM LEGKO UMNOZHATX ILI DELITX 
CHISLA PO SMESHANNYM
%% 220
OSNOVANIYAM NA MALYE CELYE CHISLA, ISPOLXZUYA PROSTYE OBOBSHCHENIYA 
OBSHCHEIZVESTNYH PRIEMOV SCHETA PRI POMOSHCHI KARANDASHA I BUMAGI.

v OBSHCHEM VIDE SISTEMY PO SMESHANNYM OSNOVANIYAM VPERVYE OBSUZHDALISX gEORGOM 
kANTOROM [{\sl Zeitschrift f\"ur Mathematik und Physik,\/} {\bf 14} (1869), 121--128). 
dOPOLNITELXNAYA INFORMACIYA O TAKIH SISTEMAH SODERZHITSYA V UPR.~26 I~29.

pOMIMO SISTEM SCHISLENIYA, OPISANNYH V |TOM PARAGRAFE, SUSHCHESTVUET 
NESKOLXKO DRUGIH SPOSOBOV PREDSTAVLENIYA CHISEL, KOTORYE UPOMINAYUTSYA V 
RAZLICHNYH RAZDELAH |TOJ SERII KNIG: BINOMIALXNAYA SISTEMA (UPR.~1.2.8-35),
SISTEMA fIBONACHCHI (UPR.~1.2.8-34); FI-SISTEMA (UPR.~1.28-35), MODULYARNOE 
PREDSTAVLENIE (P.~ 4.3.2), KOD gR|YA (P.~7.2.1) I LATINSKIE CHISLA (\S~9.1).

nEKOTORYE VOPROSY, OTNOSYASHCHIESYA K \emph{IRRACIONALXNYM} OSNOVANIYAM, BYLI 
ISSLEDOVANY u.~p|RRI 
[{\sl Acta Mathematica,\/} Acad. Sci. Hung., {\bf 11} (1960), 401--416].

\excercises
\ex[15] vYRAZITE CHISLA $-10$, $-9$, $-8$,~\dots, $8$, $9$, $10$ V SISTEME 
SCHISLENIYA PO OSNOVANIYU~$-2$.

\rex[24] rASSMOTRITE SLEDUYUSHCHIE CHETYRE SISTEMY SCHISLENIYA: (a)~DVOICHNUYU 
(PRYAMOJ KOD); (b)~NEGA-DVOICHNUYU (OSNOVANIE~$-2$); (c)~URAVNOVESHENNUYU TROICHNUYU;
(d)~PO OSNOVANIYU~$b=1/10$. iSPOLXZUJTE KAZHDUYU IZ |TIH SISTEM DLYA 
PREDSTAVLENIYA TAKIH TREH CHISEL: (i)~$-49$, (ii)~$-3{1\over7}$ (UKAZHITE 
PERIOD); (iii)~$\pi$ (NESKOLXKO ZNACHASHCHIH CIFR).

\ex[20] vYRAZITE~$-49+i$ V MNIMO-CHETVERICHNOJ SISTEME.

\ex[15] pREDPOLOZHIM, CHTO V \MIX-PROGRAMME YACHEJKA PAMYATI~|A| SODERZHIT CHISLO,
POZICIONNAYA TOCHKA KOTOROGO NAHODITSYA MEZHDU 3-M I 4-M BAJTAMI, A YACHEJKA 
PAMYATI~|B|---CHISLO, POZICIONNAYA TOCHKA KOTOROGO RASPOLOZHENA MEZHDU  2-M I 3-M 
BAJTAMI. (sAMYJ LEVYJ BAJT IMEET NOMER~1.) gDE BUDET 
RASPOLAGATXSYA POZICIONNAYA TOCHKA V REGISTRAH~|A| I~|X| POSLE VYPOLNENIYA KOMAND

$$ 
\hbox{a)~\mixcode 
LDA & A 
MUL & B?
\endmixcode
}
\hbox{b)~\mixcode
LDA  & A
SRAX & 5
DIV  & B?
\endmixcode
}
$$

\ex[00] oB�YASNITE, POCHEMU PREDSTAVLENIE OTRICATELXNOGO CELOGO CHISLA V 
OBRATNOM DESYATICHNOM KODE VSEGDA NA EDINICU MENXSHE PREDSTAVLENIYA V 
DOPOLNITELXNOM KODE, ESLI RASSMATRIVATX |TI PREDSTAVLENIYA KAK POLOZHITELXNYE CHISLA.

\ex[16] kAKOVY NAIBOLXSHIE I NAIMENXSHIE $p\hbox{-RAZRYADNYE}$ CELYE CHISLA, 
KOTORYE MOGUT BYTX PREDSTAVLENY V DVOICHNOJ SISTEME POSREDSTVOM 
(a)~PRYAMOGO KODA, (b)~DOPOLNITELXNOGO KODA, (c)~OBRATNOGO KODA?

\ex[m20] v TEKSTE PREDSTAVLENIE V DOPOLNITELXNOM DESYATICHNOM KODE 
OPREDELENO TOLXKO DLYA CELYH CHISEL, ZAPISANNYH V ODNOM MASHINNOM SLOVE. 
sUSHCHESTVUET LI SPOSOB ANALOGICHNO OPREDELITX PREDSTAVLENIE V 
DOPOLNITELXNOM DESYATICHNOM KODE \emph{DLYA VSEH VESHCHESTVENNYH CHISEL,} 
IMEYUSHCHEE "BESKONECHNUYU TOCHNOSTX"? sUSHCHESTVUET LI PODOBNYJ SPOSOB OPREDELITX 
PREDSTAVLENIE V OBRATNOM DESYATICHNOM KODE DLYA VSEH VESHCHESTVENNYH CHISEL?

\ex[m10] dOKAZHITE SOOTNOSHENIE~\eqref[5].

%% 221

\bye