\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=1
\rex[15] pEREVEDITE SLEDUYUSHCHIE VOSXMERICHNYE CHISLA V 
SHESTNADCATERICHNYE (ISPOLXZUYA SHESTNADCATERICHNYE CIFRY~|0|, |1|,~\dots, |F|): 
$\oct{12}$; $\oct{5655}$; $\oct{2550276}$; $\oct{76545336}$; $\oct{3726755}$.

\ex[m22] oBOBSHCHITE SOOTNOSHENIE~\eqref[5] NA SLUCHAI SISTEM PO SMESHANNYM OSNOVANIYAM.

\ex[22] iSPOLXZUYA SISTEMU SCHISLENIYA PO OSNOVANIYU~$-2$, DAJTE 
ALGORITM VYCHISLENIYA SUMMY CHISEL~$(a_n\ldots{}a_1a_0)_{-2}$ 
I~$(b_n\ldots{}b_1b_0)_{-2}$,  POLUCHAYUSHCHIJ OTVET~$(c_{n+2}\ldots{}c_1c_0)_{-2}$.

\ex[23] dAJTE ALGORITMY PEREHODA (a)~OT ZAPISI CHISLA V PRYAMOM DVOICHNOM 
KODE~$\pm(a_n\ldots{}a_0)_2$ K EGO NEGA-DVOICHNOJ 
ZAPISI~$(b_{n+1}\ldots{}b_0)_{-2}$;  (b)~OT NEGA-DVOICHNOJ 
ZAPISI~$(b_{n+1}\ldots{}b_0)_{-2}$ K  PREDSTAVLENIYU CHISLA V PRYAMOM 
DVOICHNOM KODE~$\pm(a_{n+1}\ldots{}a_0)_2$.

\rex[m21] sUSHCHESTVUYUT CHISLA, KOTORYE V DESYATICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA 
IMEYUT DVA RAZLICHNYH BESKONECHNYH RAZLOZHENIYA V DESYATICHNUYU DROBX, 
NAPRIMER $2.3599999\ldots=2.3600000\ldots\,$. eDINSTVENNO LI PREDSTAVLENIE 
CHISEL V \emph{NEGA-DESYATICHNOJ} (PO OSNOVANIYU~$-10$) SISTEME SCHISLENIYA ILI 
DLYA |TOGO OSNOVANIYA TAKZHE SUSHCHESTVUYUT VESHCHESTVENNYE CHISLA S DVUMYA RAZLICHNYMI BESKONECHNYMI RAZLOZHENIYAMI?

\ex[14] uMNOZHXTE~$(11321)_{2i}$ NA SEBYA V MNIMO-CHETVERICHNOJ SISTEME, 
ISPOLXZUYA OPISANNYJ V TEKSTE METOD.

\ex[m24] kAK VYGLYADYAT MNOZHESTVA~$S$, ANALOGICHNYE MNOZHESTVU NA RIS.~1, DLYA 
NEGA-DESYATICHNOJ I MNIMO-CHETVERICHNOJ SISTEM? dRUGIMI SLOVAMI, CHTO 
PREDSTAVLYAYUT SOBOJ MNOZHESTVA
\EQ{
 \left\{\, \sum_{k\ge1} a_k(-10)^{-k} \mid 0 \le a_k \le 9, 
 \rem{$a_k$ CELOE DLYA VSEH~$k$}\,\right\}
}
I
\EQ{
 \left\{\, \sum_{k\ge 1} a_k (2i)^{-k} \mid 0\le a_k \le 3, 
 \rem{$a_k$ CELOE DLYA VSEH~$k$}\,\right\}?
}

\ex[m24] pOSTROJTE ALGORITM, PRIBAVLYAYUSHCHIJ~$1$ 
K~$(a_n\ldots{}a_1a_0)_{i-1}$ V SISTEME SCHISLENIYA PO OSNOVANIYU~$i-1$.

\ex[m30] mOZHET POKAZATXSYA STRANNYM, CHTO V KACHESTVE OSNOVANIYA V 
SISTEME SCHISLENIYA BERETSYA CHISLO~$i-1$, A NE ANALOGICHNOE, NO BOLEE PROSTOE 
CHISLO~$i+1$. vSYAKOE LI KOMPLEKSNOE CHISLO~$a+bi$ S CELYMI~$a$ I~$b$ 
PREDSTAVIMO V POZICIONNOJ SISTEME SCHISLENIYA S CIFRAMI~$0$ I~$1$ I OSNOVANIEM~$i+1$?

\ex[vm32] pOKAZHITE, CHTO MNOZHESTVO~$S$ NA RIS.~1 ESTX ZAMKNUTOE MNOZHESTVO,
SODERZHASHCHEE NEKOTORUYU OKRESTNOSTX NACHALA KOORDINAT. (sLEDOVATELXNO, LYUBOE 
KOMPLEKSNOE CHISLO DOPUSKAET "DVOICHNOE" PREDSTAVLENIE PO OSNOVANIYU~$i-1$.)

\ex[vm42] pROVEDITE BOLEE PODROBNOE ISSLEDOVANIE SVOJSTV MNOZHESTVA~$S$ NA 
RIS.~1; NAPRIMER, IZUCHITE EGO GRANICU.

\ex[M22] pOKAZHITE, CHTO LYUBOE VESHCHESTVENNOE CHISLO (POLOZHITELXNOE, OTRICATELXNOE 
ILI NULX) MOZHNO PREDSTAVITX V DESYATICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA PRI POMOSHCHI 
CIFR $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ (\emph{BEZ} CIFRY~$9$). 

\rex[M22] (k.~e.~shENNON.) mOZHNO LI PROIZVOLXNOE VESHCHESTVENNOE 
CHISLO (POLOZHITELXNOE, OTRICATELXNOE ILI NULX) PREDSTAVITX V 
"URAVNOVESHENNOJ DESYATICHNOJ" SISTEME SCHISLENIYA, T.~E.\ PREDSTAVITX V 
VIDE~$\sum_{k\le n} a_k10^k$ DLYA NEKOTOROGO CELOGO~$n$ I NEKOTOROJ 
POSLEDOVATELXNOSTI~$a_n$, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$,~\dots,  GDE KAZHDOE~$a_k$ 
ESTX ODNO IZ DESYATI CHISEL $\set{-4{1\over2}, -3{1\over2}, -2{1\over2}, 
-1{1\over2}, -{1\over2}, {1\over2}, 1{1\over2}, 2{1\over2}, 3{1\over2}, 
4{1\over2}}$?  (oTMETIM, CHTO NULX NE VHODIT V CHISLO "DOZVOLENNYH" CIFR, 
ODNAKO NEYAVNO MY PREDPOLAGAEM, CHTO VSE CIFRY $a_{n+1}$, $a_{n+2}$,~\dots{} 
SUTX NULI.) nAJDITE VSE PREDSTAVLENIYA NULYA V |TOJ SISTEME I VSE 
PREDSTAVLENIYA EDINICY.

%% 222

\ex[vm25] pUSTX~$\alpha=-\sum_{m\ge1} 10^{-m^2}$. dOKAZHITE, CHTO DLYA LYUBOGO 
DANNOGO~$\varepsilon>0$ I LYUBOGO VESHCHESTVENNOGO CHISLA~$x$ SUSHCHESTVUET 
TAKOE "DESYATICHNOE" PREDSTAVLENIE |TOGO CHISLA, 
CHTO~$0<\abs{x-\sum_{0\le k \le n} a_k10^k}<\varepsilon$, GDE KAZHDOE IZ 
CHISEL~$a_k$ MOZHET PRINIMATX TOLXKO TRI ZNACHENIYA: $0$, $1$ ILI~$\alpha$. 
(oTMETIM, CHTO V |TOM PREDSTAVLENII OTRICATELXNYE STEPENI~$10$ NE ISPOLXZUYUTSYA!)

\ex[vm30] nAJDITE VSE MNOZHESTVA~$D$, SOSTOYASHCHIE IZ DESYATI ILI 
MENXSHEGO CHISLA NEOTRICATELXNYH VESHCHESTVENNYH CHISEL, TAKIE, CHTO (a)~$0\in D$ 
I (b)~VSE POLOZHITELXNYE VESHCHESTVENNYE CHISLA DOPUSKAYUT "DESYATICHNOE" 
PREDSTAVLENIE~$\sum_{k\le n} a_k10^k$, GDE KAZHDOE~$a_k \in D$.

\ex[vm50] nAJDITE VSE MNOZHESTVA~$D$, SOSTOYASHCHIE IZ DESYATI ILI 
MENXSHEGO CHISLA VESHCHESTVENNYH CHISEL, TAKIE, CHTO \emph{LYUBOE} NEOTRICATELXNOE VESHCHESTVENNOE
CHISLO MOZHET BYTX PREDSTAVLENO V VIDE~$\sum_{k\le n} a_k10^k$ DLYA 
NEKOTOROGO~$n$, GDE VSE~$a_k \in D$. (sR.~S~UPR.~20--23.)

\ex[vm25] (s.~a.~kUK.) pUSTX $b$, $u$ I~$v$---CELYE POLOZHITELXNYE CHISLA,
PRICHEM $b\ge 2$ I~$0<v<b^m$. pOKAZHITE, CHTO PREDSTAVLENIE CHISLA~$u/v$ PO 
OSNOVANIYU~$b$ NE SODERZHIT NIGDE SPRAVA OT POZICIONNOJ TOCHKI 
POSLEDOVATELXNOSTI IZ $m$~CIFR, RAVNYH~$b-1$. (sOGLASNO OBSHCHEPRINYATOMU 
SOGLASHENIYU, V STANDARTNOM PREDSTAVLENII PO OSNOVANIYU~$b$ NE DOPUSKAYUTSYA 
BESKONECHNYE POSLEDOVATELXNOSTI CIFR~"$b-1$".)

\rex[vm30] (n.~s.~mENDELXSON.) .pUSTX~$\<\beta_n>$---POSLEDOVATELXNOSTX 
VESHCHESTVENNYH CHISEL, OPREDELENNAYA DLYA VSEH CELYH~$n$, $-\infty<n<+\infty$,
TAKAYA, CHTO
\EQ{
 \beta_n<\beta_{n+1}, \quad \lim_{n\to\infty}\beta_n=\infty, \quad 
 \lim_{n\to-\infty}\beta_n=0,
}
I PUSTX~$\<c_n>$---PROIZVOLXNAYA POSLEDOVATELXNOSTX POLOZHITELXNYH CELYH CHISEL,
TAKZHE OPREDELENNAYA DLYA VSEH CELYH~$n$, $-\infty<n<+\infty$. uSLOVIMSYA 
GOVORITX, CHTO CHISLO~$x$ DOPUSKAET "OBOBSHCHENNOE PREDSTAVLENIE", ESLI 
SUSHCHESTVUET TAKOE CELOE~$n$ I TAKAYA POSLEDOVATELXNOSTX CELYH CHISEL $a_n$, 
$a_{n-1}$, $a_{n-2}$,~\dots, CHTO~$x=\sum_{k\le n} a_k\beta_k$, 
GDE~$a_n\ne0$, $0\le a_k\le c_k$ I~$a_k<c_k$ DLYA BESKONECHNO MNOGIH~$k$.

pOKAZHITE, CHTO KAZHDOE POLOZHITELXNOE VESHCHESTVENNOE CHISLO~$x$ DOPUSKAET ROVNO 
ODNO OBOBSHCHENNOE PREDSTAVLENIE V TOM I TOLXKO V TOM SLUCHAE, 
ESLI~$\beta_{n+1}=\sum_{k\le n} c_k\beta_k$ DLYA VSEH~$n$. (sLEDOVATELXNO, 
SISTEMY PO SMESHANNYM CELOCHISLENNYM OSNOVANIYAM OBLADAYUT |TIM SVOJSTVOM; 
NAIBOLEE OBSHCHIMI SISTEMAMI TAKOGO TIPA YAVLYAYUTSYA SISTEMY PO SMESHANNYM 
OSNOVANIYAM, U KOTORYH $\beta_1=(c_0+1)\beta_0$, 
$\beta_2=(c_1+1)(c_0+1)\beta_0$, \dots, 
$\beta_{-1}=\beta_0/(c_{-1}+1)$,~$\ldots\,$.

\ex[M21] POKAZHITE, CHTO LYUBOE NENULEVOE CHISLO IMEET EDINSTVENNOE 
"ZNAKOPEREMENNOE DVOICHNOE PREDSTAVLENIE"~$2^{e_0}-2^{e_1}+\cdots+(-1)^k2^{e_k}$,
GDE~$e_0<e_1<\ldots<e_k$.

\rex[M24] pOKAZHITE, CHTO KAZHDOE NENULEVOE KOMPLEKSNOE CHISLO VIDA~$a+bi$, 
GDE CHISLA~$a$ I~$b$ CELYE, OBLADAET EDINSTVENNYM "VRASHCHATELXNYM DVOICHNYM PREDSTAVLENIEM"
\EQ{
 (1+i)^{e_0}+i(1+i)^{e_1}-(1+i)^{e_2}-i(1+i)^{e_3}+\cdots+i^k(1+i)^{e_k},
}
GDE~$e_0<e_1<\ldots<e_k$. (sR.~S~UPR.~27.)

\ex[m35] (n.~DE~bR�JN.) pUSTX~$S_0$, $S_1$, $S_2$,~\dots---MNOZHESTVA 
NEOTRICATELXNYH CELYH CHISEL; MY SKAZHEM, CHTO SOVOKUPNOSTX~$S_0$, $S_1$, 
$S_2$,~\dots{} OBLADAET SVOJSTVOM~B, ESLI LYUBOE NEOTRICATELXNOE CELOE 
CHISLO~$n$ MOZHET BYTX PREDSTAVLENO V VIDE
\EQ{
 n=s_0+s_1+s_2+\ldots, \rem{$s_i\in S_j$}
}
ROVNO ODNIM SPOSOBOM. (sVOJSTVO~B OZNACHAET, V CHASTNOSTI, CHTO~$0\in S_j$ 
DLYA VSEH~$f$, IBO~$n=0$ MOZHET BYTX PREDSTAVLENO TOLXKO KAK~$0+0+0+\ldots\,$.) 
lYUBAYA SISTEMA SCHISLENIYA SO SMESHANNYMI OSNOVANIYAMI~$b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} 
DOSTAVLYAET PRIMER SOVOKUPNOSTI MNOZHESTV, UDOVLETVORYAYUSHCHIH SVOJSTVU~B, ESLI 
POLOZHITX~$S_j=\set{0, q_j,\ldots, (b_j-1)q_j}$, GDE~$q_j=b_0b_1\ldots{}b_{j-1}$;
V |TOM SLUCHAE PREDSTAVLENIE~$n=s_0+s_1+s_2+\ldots$
%% 223
OCHEVIDNYM OBRAZOM SOOTVETSTVUET 
PREDSTAVLENIYU~\eqref[9] |TOGO CHISLA PO SMESHANNYM OSNOVANIYAM. dALEE, ESLI 
SOVOKUPNOSTX $S_0$, $S_1$, $S_2$,~\dots{}  OBLADAET SVOJSTVOM~B, TO, 
KAKOVO BY NI BYLO RAZBIENIE $A_0$, $A_1$, $A_2$,~\dots{} MNOZHESTVA 
NEOTRICATELXNYH CELYH CHISEL 
(T.~E.\ $A_0\cup A_1 \cup A_2 \cup \ldots = \set{0, 1, 2,~\ldots}$ 
 I~$A_i\cap A_j=\emptyset$ PRI~$i\ne j$; NEKOTORYE 
IZ MNOZHESTV~$A_j$ MOGUT BYTX PUSTYMI), |TIM SVOJSTVOM OBLADAET I 
POLUCHENNAYA IZ NEE "STYAGIVANIEM"\note{1}%
{v ORIGINALE "collapsing".---{\sl pRIM. RED.\/}} 
SOVOKUPNOSTX $T_0$, $T_1$, $T_2$,~\dots, GDE MNOZHESTVO~$T_j$ SOSTOIT IZ VSEH SUMM 
VIDA~$\sum_{i\in A_j} S_i$, VZYATYH PO VSEVOZMOZHNYM VYBORKAM 
|LEMENTOV~$s_i\in S_i$.

dOKAZHITE, CHTO \emph{LYUBAYA} SOVOKUPNOSTX $T_0$, $T_1$, $T_2$,~\dots, 
UDOVLETVORYAYUSHCHAYA SVOJSTVU~B, MOZHET BYTX POLUCHENA STYAGIVANIEM NEKOTOROJ 
SOVOKUPNOSTI $S_0$, $S_1$, $S_2$,~\dots, SOOTVETSTVUYUSHCHEJ SISTEME SCHISLENIYA 
PO SMESHANNYM OSNOVANIYAM.

\ex[m39] (n.~DE~bR�JN.) pRIMER SISTEMY SCHISLENIYA PO OSNOVANIYU~$-2$ 
POKAZYVAET, CHTO LYUBOE CELOE CHISLO (POLOZHITELXNOE, OTRICATELXNOE ILI NULX) 
IMEET EDINSTVENNOE PREDSTAVLENIE V VIDE
\EQ{
 (-2)^{e_1}+(-2)^{e_2}+\cdots+(-2)^{e_t}, 
 \rem{$e_1>e_2>\ldots>e_t\ge 0, \quad t\ge 0$.}
}
cELX DANNOGO UPRAZHNENIYA SOSTOIT V ISSLEDOVANII NEKOTORYH OBOBSHCHENIJ |TOGO FENOMENA.
{\medskip\narrower
\item{a)}pUSTX POSLEDOVATELXNOSTX CELYH CHISEL $b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} 
  OBLADAET TEM SVOJSTVOM, CHTO LYUBOE CELOE CHISLO~$n$ DOPUSKAET EDINSTVENNOE 
  PREDSTAVLENIE V VIDE
  \EQ{
    n=b_{e_1}+b_{e_2}+\cdots+b_{e_t},
    \rem{$e_1>e_2>\ldots> e_t \ge 0, \quad t\ge 0$}
  }
  (TAKAYA POSLEDOVATELXNOSTX~$\<b_n>$ NAZYVAETSYA "BINARNYM BAZISOM"). 
  pOKAZHITE, CHTO NAJDETSYA TAKOE ZNACHENIE INDEKSA~$j$, CHTO $b_j$~NECHETNO, A 
  DLYA VSEH~$k\ne j$ CHISLA~$b_k$ CHETNY.
  \hiddenpar
\item{b)}dOKAZHITE, CHTO BINARNYJ BAZIS~$\<b_n>$ MOZHET BYTX VSEGDA 
  PEREUPORYADOCHEN V POSLEDOVATELXNOSTX VIDA $d_0$, $2d_1$, $4d_2$, 
  $\ldots=\<2^n d_n>$, GDE KAZHDOE IZ CHISEL~$d_k$ NECHETNO.
  \hiddenpar
\item{c)}dOKAZHITE, CHTO ESLI KAZHDOE IZ CHISEL $d_0$, $d_1$, $d_2$,~\dots{} 
  IZ PUNKTA~b) RAVNO~$\pm 1$, TO POSLEDOVATELXNOSTX~$\<b_n>$ OBRAZUET 
  BINARNYJ BAZIS TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SUSHCHESTVUET BESKONECHNO 
  MNOGO~$d_j$, RAVNYH~$+1$, I BESKONECHNO MNOGO~$d_j$, RAVNYH~$-1$.
  \hiddenpar
\item{d)}dOKAZHITE, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX $7$, $-13\cdot 2$, $7\cdot 2^2$, 
  $-13\cdot 2^3$,~\dots, $7\cdot 2^{2k}$, $-13\cdot 2^{2k+1}$,~\dots{} 
  YAVLYAETSYA BINARNYM BAZISOM, I NAJDITE PREDSTAVLENIE CHISLA~$n=1$.
  \hiddenpar
}

\rex[M35] oDNO OBOBSHCHENIE PREDSTAVLENIYA CHISEL V DOPOLNITELXNOM DVOICHNOM 
KODE, IZVESTNOE POD NAZVANIEM "$2\hbox{-ADICHESKIH}$~CHISEL", BYLO IZOBRETENO 
k.~gENZELEM OKOLO~1900~G.\ (v DEJSTVITELXNOSTI gENZELX IZOBREL 
\emph{$p\hbox{-ADICHESKIE}$~CHISLA} DLYA LYUBOGO PROSTOGO CHISLA~$p$.) a IMENNO 
$2\hbox{-ADICHESKOE}$~CHISLO MOZHNO RASSMATRIVATX KAK DVOICHNOE CHISLO
\EQ{
  u=(\ldots u_3 u_2 u_1 u_0.u_{-1}\ldots u_{-n})_2,
}
PREDSTAVLENIE KOTOROGO PRODOLZHAETSYA BESKONECHNO DALEKO VLEVO I LISHX 
NA KONECHNOE CHISLO ZNAKOV VPRAVO OT RAZDELITELXNOJ TOCHKI. sLOZHENIE, 
VYCHITANIE I UMNOZHENIE $2\hbox{-ADICHESKIH}$~CHISEL VYPOLNYAYUTSYA V 
SOOTVETSTVII S OBYCHNYMI ARIFMETICHESKIMI PROCEDURAMI, KOTORYE V PRINCIPE 
DOPUSKAYUT VOZMOZHNOSTX NEOGRANICHENNOGO PRODOLZHENIYA VLEVO. nAPRIMER:
\EQ{
 \twocoleqalign{
    7&=(\ldots 000000000000111)_2,    &  1/7&=(\ldots 110110110110111)_2,\cr
   -7&=(\ldots 111111111111001)_2,    & -1/7&=(\ldots 001001001001001)_2,\cr
  7/4&=(\ldots 000000000000001.11)_2, & 1/10&=(\ldots 110011001100110.1)_2,\cr
  \multispan{4} \hfil $\displaystyle \sqrt{-7}=(\ldots 
  100000010110101)_2\hbox{ ILI } (\ldots 011111101001011)_2$.\hfil\cr
 }
}
%% 224
zDESX~$7$---OBYCHNOE CELOE CHISLO SEMX V DVOICHNOM PREDSTAVLENII, A~$-7$~ESTX 
EGO DOPOLNITELXNYJ KOD (NEOGRANICHENNO PRODOLZHENNYJ VLEVO); LEGKO PROVERITX,
CHTO OBYCHNAYA PROCEDURA SLOZHENIYA DVOICHNYH CHISEL DAST 
NAM~$-7+7=(\ldots00000)_2=0$, ESLI VYPOLNENIE |TOJ PROCEDURY PRODOLZHATX 
NEOGRANICHENNO DOLGO. zNACHENIYA~$1/7$ I~$-1/7$ PREDSTAVLYAYUT SOBOJ 
EDINSTVENNYE $2\hbox{-ADICHESKIE}$~CHISLA, KOTORYE POSLE FORMALXNOGO 
UMNOZHENIYA NA~$7$ DAYUT SOOTVETSTVENNO~$+1$ I~$-1$. zNACHENIYA~$7/4$ I~$1/10$ 
SLUZHAT PRIMERAMI $2\hbox{-ADICHESKIH}$~CHISEL, NE YAVLYAYUSHCHIHSYA 
$2\hbox{-ADICHESKIMI}$~"CELYMI", TAK KAK ONI IMEYUT NENULEVYE BITY SPRAVA OT 
RAZDELITELXNOJ TOCHKI. pRIVEDENNYE DVA ZNACHENIYA~$\sqrt{-7}$, POLUCHAYUSHCHIHSYA 
ODNO IZ DRUGOGO PEREMENOJ ZNAKA, SUTX $2\hbox{-ADICHESKIE}$~CHISLA, KOTORYE 
POSLE FORMALXNOGO VOZVEDENIYA V KVADRAT DAYUT~$(\ldots 111111111111001)_2$.

{\medskip\narrower
\item{a)}~dOKAZHITE, CHTO LYUBOE $2\hbox{-ADICHESKOE}$~CHISLO~$u$ MOZHNO 
 RAZDELITX NA PROIZVOLXNOE NENULEVOE $2\hbox{-ADICHESKOE}$~CHISLO~$v$ V TOM 
 SMYSLE, CHTO SUSHCHESTVUET EDINSTVENNOE $2\hbox{-ADICHESKOE}$~CHISLO~$w$, 
 UDOVLETVORYAYUSHCHEE RAVENSTVU~$u=vw$. (sLEDOVATELXNO, MNOZHESTVO 
 $2\hbox{-ADICHESKIH}$~CHISEL OBRAZUET POLE; SM.~P.~4.6.1.)

\item{b)}dOKAZHITE, CHTO $2\hbox{-ADICHESKOE}$~PREDSTAVLENIE RACIONALXNOGO 
 CHISLA~$1/(2n+1)$, GDE~$n$---CELOE POLOZHITELXNOE CHISLO, MOZHNO POLUCHITX 
 SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM. sNACHALA NAHODIM OBYCHNOE DVOICHNOE RAZLOZHENIE 
 CHISLA~$1/(2n+1)$, KOTOROE IMEET VID "PERIODICHESKOJ 
 DROBI"~$(0.\alpha\alpha\alpha\ldots)_2$, GDE~$\alpha$---NEKOTORAYA STROKA IZ 
 NULEJ I EDINIC. tOGDA $2\hbox{-ADICHESKIM}$~PREDSTAVLENIEM 
 CHISLA~$-1/(2n+1)$ BUDET~$(\ldots\alpha\alpha\alpha)_2$.

\item{c)}dOKAZHITE, CHTO $2\hbox{-ADICHESKOE}$~PREDSTAVLENIE CHISLA~$u$ 
 PERIODICHNO (T.~E.~$u_{N+\lambda}=u_N$  DLYA VSEH BOLXSHIH~$N$ PRI 
 NEKOTOROM~$\lambda\ge 1$) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA $u$~RACIONALXNO 
 (T.E.~$u=m/n$ DLYA NEKOTORYH CELYH CHISEL~$m$ I~$n$).

\item{d)}dOKAZHITE, CHTO ESLI~$n$---CELOE CHISLO, TO~$\sqrt{n}$ YAVLYAETSYA 
 $2\hbox{-ADICHESKIM}$~CHISLOM V TOM I TOLXKO TOM SLUCHAE, 
 KOGDA~$n \bmod 2^{2k+3}=2^{2k}$ DLYA NEKOTOROGO NEOTRICATELXNOGO CELOGO~$k$. 
 (tAKIM OBRAZOM, LIBO~$n\bmod 8=1$, LIBO~$n\bmod 32=4$ I~T.~D.)

}

\subchap{arifmetika chisel s plavayushchej tochkoj} %% 4.2.
\subsubchap{vYCHISLENIYA S ODNOKRATNOJ TOCHNOSTXYU}
v |TOM PARAGRAFE MY RASSMOTRIM OSNOVNYE PRINCIPY VYPOLNENIYA 
ARIFMETICHESKIH DEJSTVIJ NAD CHISLAMI S "PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ" I 
PROANALIZIRUEM VNUTRENNIJ MEHANIZM TAKIH VYCHISLENIJ. vEROYATNO, U MNOGIH 
CHITATELEJ |TOT PREDMET NE VYZOVET SLISHKOM BOLXSHOGO INTERESA LIBO PO TOJ 
PRICHINE, CHTO VYCHISLITELXNYE MASHINY, NA KOTORYH ONI RABOTAYUT, IMEYUT 
VSTROENNYE KOMANDY OPERACIJ NAD CHISLAMI S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, LIBO POTOMU, 
CHTO PROIZVODITELX SNABDIL IH evm NUZHNYMI PODPROGRAMMAMI. nO 
V DEJSTVITELXNOSTI MATERIAL |TOGO PARAGRAFA NE SLEDUET SCHITATX OTNOSYASHCHIMSYA 
ISKLYUCHITELXNO K KOMPETENCII INZHENEROV-KONSTRUKTOROV evm ILI UZKOGO KRUGA 
LIC, KOTORYE PISHUT BIBLIOTECHNYE PODPROGRAMMY DLYA NOVYH MASHIN; 
\emph{KAZHDYJ} HOROSHIJ PROGRAMMIST DOLZHEN IMETX PREDSTAVLENIE O TOM, CHTO 
PROISHODIT PRI VYPOLNENII |LEMENTARNYH SHAGOV ARIFMETICHESKIH OPERACIJ NAD 
CHISLAMI S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ. pREDMET |TOT SOVSEM NE TAK TRIVIALEN, 
KAK PRINYATO SCHITATX; V NEM UDIVITELXNO MNOGO INTERESNOGO.

\section {a. oBOZNACHENIE CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ}. v~\S~4.1 MY 
OBSUDILI OBOZNACHENIYA DLYA CHISEL S "FIKSIROVANNOJ TOCHKOJ"; V |TOM 
SLUCHAE PROGRAMMIST ZNAET, GDE POLOZHENO NAHODITXSYA RAZDELITELXNOJ TOCHKE V 
TEH CHISLAH, S KOTORYMI ON RABOTAET. dLYA MNOGIH CELEJ PRI VYPOLNENII 
PROGRAMMY ZNACHITELXNO BOLEE UDOBNO SDELATX POLOZHENIE RAZDELITELXNOJ TOCHKI 
DINAMICHESKOJ PEREMENNOJ---INYMI SLOVAMI, SDELATX EE "PLAVAYUSHCHEJ"---I SVYAZATX S 
KAZHDYM CHISLOM UKAZANIE O POLOZHENII SOOTVETSTVUYUSHCHEJ RAZDELITELXNOJ TOCHKI. 
eTA IDEYA UZHE DAVNO ISPOLXZOVALASX V NAUCHNYH VYCHISLENIYAH, V OSOBENNOSTI DLYA 
PREDSTAVLENIYA OCHENX BOLXSHIH CHISEL TIPA CHISLA aVOGADRO~$N=6.02250\times10^{23}$ 
ILI OCHENX MALYH CHISEL TIPA POSTOYANNOJ 
pLANKA~$\hbar=1.0545\times10{-27}~\hbox{|RG}\cdot\hbox{S}$.

v |TOM PUNKTE MY BUDEM IMETX DELO S \dfn{$p\hbox{-RAZRYADNYMI}$ CHISLAMI S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ PO OSNOVANIYU~$b$ S IZBYTKOM~$q$.} tAKOE 
CHISLO PREDSTAVLYAETSYA KAK PARA VELICHIN~$(e, f)$, KOTOROJ OTVECHAET ZNACHENIE
\EQ[1]{
 (e, f)=f \times b^{e-q}.
}
zDESX~$e$---CELOE CHISLO, IZMENYAYUSHCHEESYA V SOOTVETSTVUYUSHCHEM INTERVALE ZNACHENIJ,
 I~$f$---DROBNOE CHISLO SO ZNAKOM. uSLOVIMSYA, CHTO
\EQ{
  \abs{f}<1,
}
%% 226
INYMI SLOVAMI, RAZDELITELXNAYA TOCHKA V POZICIONNOM PREDSTAVLENII~$f$ 
NAHODITSYA V KRAJNEM LEVOM POLOZHENII. bOLEE TOCHNO, SOGLASHENIE O TOM, CHTO MY 
IMEEM DELO S $p\hbox{-RAZRYADNYMI}$~CHISLAMI, OZNACHAET, CHTO~$b^pf$---CELOE 
CHISLO I
\EQ[2]{
  -b^p < b^pf < b^p.
}
tERMIN "DVOICHNYJ" BUDET OZNACHATX, KAK VSEGDA, CHTO~$b=2$, 
"DESYATICHNYJ"---CHTO~$b=10$ I~T.~D. iSPOLXZUYA 8-RAZRYADNYE DESYATICHNYE CHISLA S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ S IZBYTKOM~$50$, MY MOZHEM, NAPRIMER, NAPISATX:
\EQ[3]{
\eqalign{
        \hbox{CHISLO aVOGADRO }N&=(74, +.60225000);\cr
\hbox{POSTOYANNAYA pLANKA } \hbar&=(24, +.10545000)\note{1}%
{u POSTOYANNOJ pLANKA SHESTAYA ZNACHASHCHAYA CIFRA NEIZVESTNA, PO|TOMU. NAZYVATX 
|TO CHISLO POSTOYANNOJ pLANKA NESKOLXKO RISKOVANNO.---{\sl pRIM. RED.\/}}.\cr
}
}

dVE KOMPONENTY~$e$ I~$f$ CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ NAZYVAYUTSYA EGO 
\emph{POKAZATELEM} I~\emph{DROBNOJ CHASTXYU} SOOTVETSTVENNO. (iNOGDA DLYA 
|TOJ CELI ISPOLXZUYUTSYA I DRUGIE NAZVANIYA, V OSOBENNOSTI "HARAKTERISTIKA" 
I "MANTISSA"; ODNAKO ISPOLXZOVANIE SLOVA "MANTISSA" DLYA OBOZNACHENIYA 
DROBNOJ CHASTI PRIVODIT K PUTANICE V TERMINOLOGII, TAK KAK |TOT TERMIN 
UPOTREBLYAETSYA SOVSEM V DRUGOM SMYSLE V TEORII LOGARIFMOV, A KROME TOGO, 
ANGLIJSKOE SLOVO mantissa\note{2}%
{v VYSHEDSHEM IZ UPOTREBLENIYA ZNACHENII.---{\sl pRIM. RED.\/}} 
OZNACHAET "MALO DAYUSHCHEE DOBAVLENIE".)

v |TOM PUNKTE MY POCHTI CELIKOM SOSREDOTOCHIM SVOE VNIMANIE NA PREDSTAVLENII 
DROBNOJ CHASTI~$f$ V PRYAMOM KODE, TAK KAK PREDSTAVLENIE CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ 
TOCHKOJ V DOPOLNITELXNOM KODE NE OBLADAET MNOGIMI ZHELATELXNYMI SVOJSTVAMI (SM.~P.~4.2.2).

chISLO~$(e, f)$ S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ NAZYVAETSYA \emph{NORMALIZOVANNYM,} ESLI 
NAIBOLEE ZNACHIMAYA CIFRA V PREDSTAVLENII~$f$ OTLICHNA OT NULYA, TAK CHTO
\EQ[4]{
  1/b \le \abs{f} < 1,
}
LIBO ESLI~$f=0$, A~$e$~PRINIMAET NAIMENXSHEE VOZMOZHNOE ZNACHENIE. chTOBY 
USTANOVITX, KAKOE IZ DVUH NORMALIZOVANNYH CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ IMEET 
BOLXSHUYU VELICHINU, DOSTATOCHNO SRAVNITX IH POKAZATELI, I TOLXKO ESLI |TI 
POKAZATELI RAVNY, NUZHNO PRIVLECHX K RASSMOTRENIYU I DROBNYE CHASTI.

v NASHEJ MASHINE~\MIX{} CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ IMEYUT VID
\EQ{
 \vcenter{\halign{
 \strut\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil&&\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil\vrule\cr
 \noalign{\hrule}
 \pm & e & f & f & f & f \cr
 \noalign{\hrule}
 }}
}
eTO---PREDSTAVLENIE S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ PO OSNOVANIYU~$b$ S IZBYTKOM~$q$, S 
CHETYRXMYA ZNACHASHCHIMI "CIFRAMI", GDE~$b$~ESTX RAZMER BAJTA
%% 227
(NAPRIMER, $b=64$ ILI~$b=100$) I~$q$~RAVNYAETSYA~$\entier{{1\over2}b}$. 
dROBNAYA CHASTX RAVNA~$\pm ffff$, A POKAZATELX~$e$ ZAKLYUCHEN V 
INTERVALE~$0\le e < b$. eTO VNUTRENNEE PREDSTAVLENIE---TIPICHNYJ OBRAZEC TEH 
SOGLASHENIJ, KOTORYE PRINYATY V BOLXSHINSTVE SUSHCHESTVUYUSHCHIH evm, HOTYA 
OSNOVANIE~$b$ ZDESX GORAZDO BOLXSHE, CHEM OBYCHNO ISPOLXZUEMYE.

\section {B.~nORMALIZOVANNYE VYCHISLENIYA}. bOLXSHINSTVO NYNE PRIMENYAEMYH 
STANDARTNYH PROGRAMM RABOTAYUT POCHTI ISKLYUCHITELXNO S NORMALIZOVANNYMI 
CHISLAMI: VHODNYE ZNACHENIYA DLYA PODPROGRAMM PREDPOLAGAYUTSYA 
NORMALIZOVANNYMI I ZNACHENIYA NA VYHODE VSEGDA NORMALIZUYUTSYA.

rASSMOTRIM TEPERX ARIFMETICHESKIE OPERACIYA NAD CHISLAMI S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ 
PODROBNEE. oDNOVREMENNO MY SMOZHEM IZUCHATX STRUKTURU PODPROGRAMM, 
REALIZUYUSHCHIH |TI OPERACII (V PREDPOLOZHENII, CHTO V NASHEM RASPORYAZHENII 
IMEETSYA evm BEZ SHEMNOJ REALIZACII DEJSTVIJ NAD CHISLAMI S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ).

sTANDARTNYE PODPROGRAMMY DLYA ARIFMETICHESKIH DEJSTVIJ NAD CHISLAMI S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, KOGDA IH PISHUT NA MASHINNOM YAZYKE, V OCHENX BOLXSHOJ 
STEPENI ZAVISYAT OT KONKRETNOJ MASHINY I ISPOLXZUYUT MNOGIE KRAJNE 
SPECIFICHESKIE OSOBENNOSTI |TOJ MASHINY. iMENNO PO|TOMU TAK MALO SHODSTVA 
MEZHDU DVUMYA PODPROGRAMMAMI, SKAZHEM, SLOZHENIYA CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ,
NAPISANNYMI DLYA RAZNYH MASHIN. vSE ZHE VNIMATELXNOE RASSMOTRENIE BOLXSHOGO 
CHISLA PODPROGRAMM KAK DLYA DVOICHNYH, TAM I DLYA DESYATICHNYH MASHIN POKAZYVAET, 
CHTO V DEJSTVITELXNOSTI |TI PROGRAMMY IMEYUT MNOGO OBSHCHEGO, I VPOLNE 
VOZMOZHNO OBSUZHDENIE |TOJ TEMY NA MASHINNO-NEZAVISIMOM UROVNE.

pERVYJ (I NAIBOLEE TRUDNYJ!) IZ ALGORITMOV, OBSUZHDAEMYH V |TOM PUNKTE,---|TO 
PROCEDURA SLOZHENIYA CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ:
\EQ[6]{
  (e_u, f_u) \oplus (e_v, f_v)=(e_w, f_w).
}

\emph{zAMECHANIE. vVIDU TOGO CHTO ARIFMETICHESKIE DEJSTVIYA NAD CHISLAMI S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ YAVLYAYUTSYA PO SAMOMU SUSHCHESTVU DELA PRIBLIZHENNYMI, A NE 
TOCHNYMI, DLYA OBOZNACHENIYA OPERACIJ SLOZHENIYA, VYCHITANIYA, UMNOZHENIYA I 
DELENIYA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ MY ISPOLXZUEM SIMVOLY
\EQ{
 \oplus, \quad \ominus, \quad \otimes, \quad \oslash,
}
S TEM CHTOBY OTLICHATX PRIBLIZHENNYE OPERACII OT TOCHNYH.} 
iDEYA, LEZHASHCHAYA V OSNOVE SLOZHENIYA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, DOVOLXNA PROSTA: V 
PREDPOLOZHENII, CHTO~$e_u\ge e_v$, MY BEREM~$e_w=e_u$, 
$f_w=f_u+f_v/b^{e_u-e_v}$ (TAKIM OBRAZOM, MY VYRAVNIVAEM 
POLOZHENIE POZICIONNYH TOCHEK, CHTOBY SLOZHENIE IMELO SMYSL), A ZATEM NORMALIZUEM
%% 228
REZULXTAT. mOZHET VOZNIKNUTX NESKOLXKO SITUACIJ, KOTORYE DELAYUT 
VYPOLNENIE |TOGO PROCESSA NETRIVIALXNYM; BOLEE TOCHNOE OPISANIE METODA 
DAETSYA SLEDUYUSHCHIM ALGORITMOM.

\alg A.(sLOZHENIE CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ). dLYA ZADANNYH 
$p\hbox{-RAZRYADNYH}$ NORMALIZOVANNYH CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ 
TOCHKOJ~$u=(e_u, f_u)$ I~$v=(e_v, f_v)$ PO OSNOVANIYU~$b$ S IZBYTKOM~$q$ STROITSYA 
SUMMA~$w=u\oplus v$. eTOT ZHE SAMYJ ALGORITM MOZHNO ISPOLXZOVATX DLYA 
VYCHITANIYA CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, ESLI $v$~ZAMENITX NA~$-v$. 
oSNOVANIE~$b$ PREDPOLAGAETSYA CHETNYM.

\st[rASPAKOVATX.] vYDELITX POKAZATELX I DROBNUYU CHASTX V PREDSTAVLENIYAH 
DLYA~$u$ I~$v$.

\st[oBESPECHITX SPRAVEDLIVOSTX DOPUSHCHENIYA~$e_u\ge e_v$.] eSLI~$e_u<e_v$, 
POMENYATX MESTAMI~$u$ I~$v$. (vO MNOGIH SLUCHAYAH UDOBNEE SOVMESTITX 
SHAG~\stp{2} S SHAGOM~\stp{1} ILI S KAKIM-NIBUDX IZ POSLEDUYUSHCHIH SHAGOV.)

\st[pRISVOITX ZNACHENIE~$e_w$.] uSTANOVITX~$e_w\asg e_u$.

\st[pROVERITX~$e_u-e_v$.] eSLI~$e_u-e_v\ge p+2$ (BOLXSHAYA RAZNICA 
V POKAZATELYAH), USTANOVITX~$f_w\asg f_u$ I PEREJTI V SHAG~\stp{7}. (tAK KAK 
MY PREDPOLAGAEM, CHTO $u$~NORMALIZOVANO, TO MOZHNO BYLO BY ZDESX I ZAKONCHITX 
VYPOLNENIE ALGORITMA, NO CHASTO OKAZYVAETSYA POLEZNYM IMETX V RASPORYAZHENII 
VOZMOZHNOSTX NORMALIZOVATX KAKOE-LIBO, VOZMOZHNO NENORMALIZOVANNOE, CHISLO,
SLOZHIV EGO S NULEM.)

\st[sDVINUTX SHKALU VPRAVO.] sDVINUTX~$f_v$ VPRAVO NA~$e_u-e_v$ POZICIJ, 
T.~E.\ RAZDELITX~$f_v$ NA~$b^{e_u-e_v}$. \emph{zAMECHANIE.} vELICHINA SDVIGA 
MOZHET DOHODITX DO~$p+1$~RAZRYADOV, TAK CHTO SLEDUYUSHCHIJ SHAG (SLOZHENIE DROBNYH 
CHASTEJ~$f_u$ I~$f_v$) POTREBUET TEM SAMYM NALICHIYA AKKUMULYATORA, SPOSOBNOGO 
HRANITX $2p+1$~CIFR PO OSNOVANIYU~$b$ SPRAVA OT POZICIONNOJ TOCHKI. eSLI TAKOGO
\picture{rIS.~2. sLOZHENIE CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ.}
%% 229
VMESTITELXNOGO AKKUMULYATORA NET, MOZHNO POTREBOVATX 
SDVIGA DO~$p+2$~RAZRYADOV, NO S SOOTVETSTVUYUSHCHIMI PREDOSTOROZHNOSTYAMI; 
PODROBNOSTI OBSUZHDAYUTSYA V UPR.~5.

\st[sLOZHITX.] uSTANOVITX~$f_w\asg f_u+f_v$.

\st[nORMALIZOVATX.] (v |TOT MOMENT $(e_w, f_w)$~PREDSTAVLYAET SUMMU~$u$ 
I~$v$, NO $f_w$~MOZHET SODERZHATX BOLEE CHEM $p$~CIFR I MOZHET BYTX BOLXSHE 
EDINICY ILI MENXSHE~$1/b$). vYPOLNITX OPISYVAEMYJ NIZHE ALGORITM~N, 
KOTORYJ NORMALIZUET I OKRUGLIT~$(e_w, f_w)$ DO OKONCHATELXNOGO OTVETA.
\algend

\alg N.(nORMALIZACIYA) "sYROJ" POKAZATELX~$e$ I "SYRAYA" DROBNAYA CHASTX~$f$ 
PRIVODYATSYA K NORMALIZOVANNOMU VIDU, S OKRUGLENIEM, ESLI NUZHNO, 
DO~$p$~RAZRYADOV. v |TOM ALGORITME PREDPOLAGAETSYA, CHTO~$\abs{f}<b$ I CHTO 
CHISLO~$b$ CHETNO.

\st[pROVERITX~$f$.] eSLI~$\abs{f}\ge 1$ ("PEREPOLNENIE DROBNOJ CHASTI"),
PEREJTI K VYPOLNENIYU SHAGA~\stp{4}. eSLI~$f=0$, USTANOVITX~$e_w$ RAVNYM EGO 
NAIMENXSHEMU ZNACHENIYU I PEREJTI V SHAG~\stp{7}. 

\st[$f$~NORMALIZOVANO?] eSLI~$\abs{f}\ge 1/b$, PEREJTI K VYPOLNENIYU SHAGA~\stp{5}.

\st[sDVINUTX SHKALU VLEVO.] sDVINUTX~$f$ NA ODIN RAZRYAD VLEVO 
(T.~E.\ UMNOZHITX NA~$b$) I UMENXSHITX~$e$ NA~$1$. vOZVRATITXSYA V SHAG~\stp{2}.

\st[sDVINUTX SHKALU VPRAVO.] sDVINUTX~$f$ VPRAVO NA ODIN RAZRYAD
(T.~E.\ RAZDELITX NA~$b$) I UVELICHITX~$e$ NA~$1$.

\st[oKRUGLITX.] oKRUGLITX~$f$ DO $p$~RAZRYADOV. (eTO SLEDUET PONIMATX V 
TOM SMYSLE, CHTO~$f\asg b^{-p}\floor{b^pf+1/2}$, ESLI~$f>0$0, 
I~$f\asg b^{-p}\ceil{b^p f-1/2}$, ESLI~$f<0$; MOZHNO ISPOLXZOVATX I DRUGIE 
PRAVILA OKRUGLENIYA, NO |TO OBSHCHEE OPREDELENIE, PO-VIDIMOMU, BOLEE UDACHNO 
VPISYVAETSYA V RAZVIVAEMUYU DALXSHE V |TOJ GLAVE TEORIYU.) vAZHNO ZAMETITX, CHTO 
|TA OPERACIYA OKRUGLENIYA MOZHET PRIVESTI K RAVENSTVU~$\abs{f}=1$ 
("PEREPOLNENIE PRI OKRUGLENII"); V TAKOM SLUCHAE SLEDUET VERNUTXSYA V SHAG~\stp{4}.

\st[pROVERITX~$e$.] eSLI POKAZATELX~$e$ SLISHKOM VELIK, T.~E.\ BOLXSHE DOPUSTIMOJ 
GRANICY, TO |TO VOSPRINIMAETSYA KAK SIGNAL O \emph{PEREPOLNENII POKAZATELYA.} 
eSLI $e$~SLISHKOM MAL, TO |TO VOSPRINIMAETSYA KAK SIGNAL OB 
\emph{ISCHEZNOVENII POKAZATELYA.} (sM.\ DALXNEJSHEE OBSUZHDENIE VOPROSA NIZHE; 
|TI SITUACII INTERPRETIRUYUTSYA OBYCHNO KAK SIGNAL OB OSHIBKE V TOM SMYSLE, CHTO 
REZULXTAT NE MOZHET BYTX PREDSTAVLEN V VIDE NORMALIZOVANNOGO CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ 
TOCHKOJ IZ TREBUEMOGO INTERVALA ZNACHENIJ.)

\st[uPAKOVATX.] oB�EDINITX POKAZATELX~$e$ I DROBNUYU CHASTX~$f$ DLYA VYDACHI 
ISKOMOGO PREDSTAVLENIYA.
\algend

nESKOLXKO PROSTYH PRIMEROV SLOZHENIYA CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ DANO V UPR.~4.

%% 230

pRIVODIMYE NIZHE \MIX-PODPROGRAMMY DLYA SLOZHENIYA I VYCHITANIYA CHISEL, 
IMEYUSHCHIH FORMU~\eqref[5], SLUZHAT PRIMEROM TOGO, KAK ALGORITMY~A I~N MOGUT 
BYTX REALIZOVANY V VIDE PROGRAMM DLYA evm. eTI PODPROGRAMMY IZVLEKAYUT ODNO 
VHODNOE ZNACHENIE~$u$ PO SIMVOLICHESKOMU ADRESU~|ACC|, A DRUGOE VHODNOE 
ZNACHENIE~$v$ 
\picture{rIS.~3. nORMALIZACIYA CHISLA~$(e, f)$.}
IZVLEKAETSYA IZ REGISTRA~|A| PRI VHODE V PODPROGRAMMU. rEZULXTAT~$w$ 
POYAVLYAETSYA ODNOVREMENNO V REGISTRE~|A| I POLE~|ACC|. tAKIM OBRAZOM, 
POSLEDOVATELXNOSTX KOMAND
\EQ[7]{
 |LDA~A|; |ADD~v|; |SUB~s|; |STA~D|,
}
RABOTAYUSHCHIH S CHISLAMI S FIKSIROVANNOJ TOCHKOJ, SOOTVETSTVOVALA BY TAKOJ 
POSLEDOVATELXNOSTI KOMAND, RABOTAYUSHCHIH S CHISLAMI S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ:
\EQ[8]{
 |LDA~A|, |STA~Ass|; |LDA~v|, |JMP~FADD|; |LDA~s|, |JMP~FSUB|; |STA~D|.
}

\prog A.(sLOZHENIE, VYCHITANIE I NORMALIZACIYA). sLEDUYUSHCHAYA 
PROGRAMMA PREDSTAVLYAET SOBOJ PODPROGRAMMU, REALIZUYUSHCHUYU ALGORITM~A, PRICHEM 
ONA POSTROENA TAKIM OBRAZOM, CHTOBY NORMALIZUYUSHCHIJ FRAGMENT MOG BYTX 
ISPOLXZOVAN DRUGIMI PODPROGRAMMAMI, KOTORYE POYAVYATSYA V |TOM PUNKTE V 
DALXNEJSHEM. kAK V |TOJ PROGRAMME, TAK I VO MNOGIH DRUGIH PROGRAMMAH |TOJ 
GLAVY IDENTIFIKATOR~|OFLO| IMENUET PODPROGRAMMU, KOTORAYA PECHATAET SOOBSHCHENIE O 
TOM, CHTO INDIKATOR PEREPOLNENIYA MASHINY~\MIX{} VNEZAPNO PRISHEL V SOSTOYANIE 
"VKLYUCHENO".
\code
EXP & EQU  & 1:1  && oPREDELENIE POLYA POKAZATELYA.
FSUB& STA  & TEMP && pODPROGRAMMA VYCHITANIYA VELICHIN S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ.
    & LDAN & TEMP && iZMENITX ZNAK OPERANDA.
FADD& STJ  & EXITF&& pODPROGRAMMA SLOZHENIYA VELICHIN S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ:
    & JOV  & OFLO && uBEDITXSYA V TOM, CHTO PEREPOLNENIE OTSUTSTVUET.
%% 231
\bye