\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=2\subsubchno=2
{\sl sLUCHAJ~1:\/}~$e_w=e_u$. (sM.~RIS.~4~(i).) zDESX~$U+V=W+R$, GDE
\EQ{
 R\equiv V \pmod{b^d}, \qquad -{1\over 2}b^d \le R < {1 \over 2}b^d.
}
iMEEM~$U'=\round(W-V, p) = \round(U-R, p)$. dALEE VOZMOZHNY DVA PODSLUCHAYA. 
{\sl sLUCHAJ~(1a):\/}~$R=-{1\over 2}b^d$. tOGDA~$U'=U+b^d$,
\ctable{
# & # & # \cr
  \fpalignex(i){u&u&u&u&u&u&u&u&0&0}{&&v&v&v&v&v&v&v&v}{w&w&w&w&w&w&w&w&0&0}
& \fpalignex(ii){u&u&u&u&u&u&u&u&0&0}{&&v&v&v&v&v&v&v&v}{w&w&w&w&w&w&w&0&0&0}
& \fpalignex(iii){u&u&u&u&u&u&u&u&0&0}{&&v&v&v&v&v&v&v&v}{w&w&w&w&w&w&w&w&w&0} \cr
}
\picture{rIS.~4.~ vOZMOZHNYE SLUCHAI VYRAVNIVANIYA POZICIONNOJ TOCHKI PRI SLOZHENII.}

\noindent $V'=V-R$, $U''=U$, $V''=V-R-b^d = V-{1\over2}b^d$. 
{\sl sLUCHAJ~(1b):\/}~$R\ne -{1\over 2}b^d$. tOGDA~$U'=U$, $V'=V-R$, 
$U''=U$, $V''=V-R$.

{\sl sLUCHAJ~2:\/}~$e_w=e_u+1$. (sM.~RIS.~4~(ii).) yaSNO, CHTO~$V>0$ I~$d\le p$. 
iMEEM~$U+V=W+R$, GDE
\EQ{
 R\equiv V+b^d U_0 \pmod{b^{d+1}}, \qquad -{1\over2}\le R < {1\over 2}b^{d+1},
}
a~$U_0$---NAIMENEE ZNACHIMAYA CIFRA~$f_u$. sNOVA RASSMOTRIM PODSLUCHAI. {\sl 
sLUCHAJ~(2a):\/}~$U-R\ge b^{d+p}-{1\over2}b^d$. 
tAK KAK~$U-R \le b^{d+p}-b^d+{1\over 2}b^{d+1}$, DOLZHNO VYPOLNYATXSYA 
RAVENSTVO~$U'=b^{d+p}=U-R+Q$,  GDE~
\EQ{
 Q\equiv V \pmod{b^{d+1}}, \qquad -{1\over2}b^{d+1}<Q\le{1\over2}b^{d+1}.
}
sLEDOVATELXNO, $V''=V-Q$. 
{\sl sLUCHAJ~(2b):\/}~$b^{d+p}-{1\over2}b^d>U-R\ge b^{d+p-1}-{1\over 2}b^{d-1}$. 
tOGDA~$U'=U-R+Q$, GDE
\EQ{
 Q\equiv V \pmod{b^d}, \qquad -{1\over 2}b^d<Q\le {1\over 2} b^d,
}
I~$V''=V-Q$. 
{\sl sLUCHAJ~(2c):\/}~$b^{d+p-1}-{1\over2}b^{d-1}>U-R$. eTOT SLUCHAJ
NEVOZMOZHEN. eTO OCHEVIDNO, KOGDA~$d=0$. a ESLI~$d>0$, TO~$R>0$, TAK 
CHTO~$U+V>W$ I~$U-R\ge W-V-R+1>b^{d+p}-(b^p-1)-{1\over2}b^{d+1}+1\ge b^{d+p-1}$, 
I MY PRIHODIM K PROTIVORECHIYU.
%% 252
chTOBY, NAKONEC, ZAVERSHITX ANALIZ SLUCHAYA~2, MY DOLZHNY 
VYCHISLITX~$V'=\round(V-R, p)$. zDESX $V-R$~SODERZHIT NE BOLEE 
$p+1$~RAZRYADOV, PRICHEM $d$~NAIMENEE ZNACHIMYH CIFR RAVNY NULYU, TAK CHTO 
ESLI~$d\ne 0$, TO~$V'=V-R$, $U''=U$. eSLI ZHE~$d=0$, TO 
OBYAZATELXNO~$V'=V-R$, ZA ISKLYUCHENIEM TOGO SLUCHAYA, KOGDA~$V'=b^{p+d}$, I V 
|TOM POSLEDNEM SLUCHAE IMEET MESTO TA NEOBYCHNAYA SITUACIYA, KOGDA 
$W$~PRINIMAET SVOE MAKSIMALXNOE ZNACHENIE~$2b^{p+d}$; ZDESX~$U''=b^{p+d}$ 
I~$b>3$.

{\sl sLUCHAJ~3:\/}~$e_w<e_u$. (sM.~RIS. 4~(iii).) zDESX~$V<0$. 
{\sl sLUCHAJ~(3a):\/}~$d\le 1$. tOGDA~$U+V=W$, TAK CHTO~$U'=U''=U$, $V'=V''=V$. 
{\sl sLUCHAJ~(3b):\/}~$d>1$. tOGDA~$e_w=e_u-1$ I~$U+V=W+R$, GDE
\EQ{
 R \equiv V \pmod{b^{d-1}}, \quad -{1\over 2}b^{d-1}\le R < {1\over2}b^{d-1}.
}
eTOT SLUCHAJ ANALOGICHEN SLUCHAYU~1, NO PROSHCHE, VVIDU TOGO CHTO INTERVAL 
IZMENENIYA~$R$ MENXSHE. iMEEM~$U'=U$, $V'=V-R$, $U''=U$, $V''=V-R$. \endmark

tEOREMA~A VYYAVLYAET NEKOE SVOJSTVO REGULYARNOSTI OPERACII SLOZHENIYA V SISTEME 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, NO ONA NE PREDSTAVLYAETSYA OSOBENNO POLEZNYM REZULXTATOM.
sLEDUYUSHCHAYA TEOREMA GORAZDO BOLEE SUSHCHESTVENNA.

\proclaim tEOREMA~B. v PREDPOLOZHENIYAH TEOREMY~A I PRI 
USLOVII~\eqref[43] SPRAVEDLIVO TOZHDESTVO
\EQ[48]{
 u+v = (u\oplus v) + ((u\ominus u') \oplus (v\ominus v'')).
}

\proof rASSMATRIVAYA KAZHDYJ IZ SLUCHAEV, VOZNIKSHIH PRI DOKAZATELXSTVE 
TEOREMY~A, MY NEIZMENNO OBNARUZHIVAEM, CHTO
\EQ{
 \eqalign{
                     u\ominus u' = u-u', & \quad v\ominus v' = v-v',\cr
                   u\ominus u'' = u-u'', & \quad v\ominus v'' = v-v'',\cr
  ((u\ominus u') \oplus (v \ominus v'')) &= ((u-u')+(v-v''))=\cr
                                         &= ((u-u'')+(v-v'))=\cr
                                         &= ((u\ominus u'')\oplus (v\ominus v')),\cr
 }
}
POSKOLXKU KAZHDUYU IZ |TIH VELICHIN MOZHNO TOCHNO VYRAZITX 
KAK $p\hbox{-RAZRYADNOE}$ CHISLO S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, BEZ VSYAKOGO 
OKRUGLENIYA. nAPRIMER, V SLUCHAE~2 IMEEM~$U-U'=R-Q \equiv O \pmod{b^d}$, 
I VO VSYAKOM SLUCHAE~$\abs{R}<b^p$. kOMBINIRUYA TEPERX VYSHEPRIVEDENNYE 
TOZHDESTVA S TEOREMOJ~A, POLUCHAEM DOKAZYVAEMOE UTVERZHDENIE.
\proofend

tEOREMA~B DAET NAM \emph{YAVNUYU FORMULU DLYA RAZNOSTI} MEZHDU~$u+v$ 
I~$u\oplus v$ V TERMINAH VELICHIN, KOTORYE DOPUSKAYUT PRYAMOE VYCHISLENIE 
PRI POMOSHCHI OPERACIJ ODNOKRATNOJ TOCHNOSTI NAD VELICHINAMI S PLAVAYUSHCHEJ 
TOCHKOJ. pO|TOMU CHASTO MOZHNO UVELICHITX
%% 253
TOCHNOSTX VYCHISLENIYA ODNOKRATNOJ TOCHNOSTI V SISTEME S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, 
NAKAPLIVAYA POPRAVOCHNYE CHLENY~$(u\ominus u')\oplus(v\ominus v'')$.  
chITATELX, KOTORYJ STARATELXNO PROSLEDIL ZA VSEMI DETALYAMI DOKAZATELXSTVA 
TEOREM~A I~B, POJMET, SKOLX ZNACHITELXNYE UPROSHCHENIYA DALO PROSTOE PRAVILO
\EQ{
 u\oplus v = \round (u+v, p).
}
eSLI BY NASHA PROGRAMMA SLOZHENIYA CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ NE OBESPECHIVALA 
|TOGO REZULXTATA VSEGDA, TO, SKOLX BY REDKI  NI BYLI ISKLYUCHENIYA, VSE 
DOKAZATELXSTVO STALO BY NESRAVNENNO BOLEE SLOZHNYM, A VOZMOZHNO, I PROSTO NE 
PROHODILO BY.

tEOREMA~B BYLA BY NEVERNA, ESLI BY MY ISPOLXZOVALI ARIFMETIKU S 
UREZANIEM CHISLA VMESTO OKRUGLENIYA, T.~E.~ESLI BY V 
SOOTNOSHENIYAH~\eqref[11]--\eqref[15] MY PODSTAVILI\note{1}%
{nIZHE~$\trunc$---OT ANGLIJSKOGO truncation (UREZANIE).---{\sl pRIM.\ RED.}}%
~$\trunc(x, p)$ VMESTO~$\round(x, R)$; FUNKCIYA~$\trunc(x, p)$ POHOZHA NA 
FUNKCIYU~$\round(x, p)$ PRI~$x>0$ S TEM LISHX OTLICHIEM, CHTO 
VELICHINA~$1\over2$, FIGURIRUYUSHCHAYA V~\eqref[9], ZAMENYAETSYA NULEM.

tEOREMOJ~B NE OHVATYVALISX BY TOGDA SLUCHAI TIPA, NAPRIMER,
\EQ{
 (20, +.10000001)\oplus (10, -.10000001)=(20, +.10000000),
}
KOGDA RAZNOSTX MEZHDU~$u+v$ I~$u\oplus v$ NELXZYA BYLO BY TOCHNO VYRAZITX KAK 
CHISLO S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ. eSLI BY UREZANIE PROIZVODILOSX KAKIM-LIBO INYM 
SPOSOBOM, TO PRI ISPOLXZOVANII TAKOGO UREZANIYA V SREDNEJ CHASTI 
ALGORITMA~4.2.1A BEZ OGRANICHENIJ NEZAVISIMO OT ZNAKA CHISEL MOGLO BY 
SLUCHITXSYA, CHTO TEOREMY~A I~B OSTALISX VERNYMI, NO POLUCHAYUSHCHAYASYA PRI |TOM 
OPERACIYA~$\oplus$ OKAZALASX BY MNOGO MENEE DOSTUPNOJ DLYA 
MATEMATICHESKOGO ANALIZA.

mNOGIE DUMAYUT, CHTO, POSKOLXKU "PLAVAYUSHCHAYA ARIFMETIKA" NETOCHNA PO SAMOJ 
SVOEJ PRIRODE, NE BUDET NIKAKOJ BEDY V TOM, CHTOBY V NEKOTORYH DOVOLXNO 
REDKIH SLUCHAYAH VYPOLNYATX EE OPERACII CHUTX MENEE TOCHNO, ESLI |TO OKAZHETSYA 
UDOBNYM. tAKAYA POLITIKA SBEREGAET NESKOLXKO CENTOV PRI PROEKTIROVANII 
evm ILI NEBOLXSHOJ PROCENT OBSHCHEGO VREMENI RABOTY PODPROGRAMMY. oDNAKO 
PROVEDENNOE NAMI VYSHE ISSLEDOVANIE POKAZYVAET, CHTO TAKOJ PODHOD OSHIBOCHEN. 
dAZHE PRI USLOVII, CHTO SKOROSTX PODPROGRAMMY~|FADD| PROGRAMMY~4.2.1A, 
ESLI BY MY DOPUSTILI VOZMOZHNOSTX NEVERNOGO OKRUGLENIYA V NEBOLXSHOM CHISLE 
SLUCHAEV, VOZROSLA BY, SKAZHEM, NA PYATX PROCENTOV, VSE RAVNO GORAZDO LUCHSHE 
OSTAVITX EE TAKOJ, KAK ONA ESTX. i DELO ZDESX NE V "POGONE ZA BITAMI" I 
NE V TOM, CHTOBY V SREDNEJ PROGRAMME POLUCHATX FANTASTICHESKI HOROSHIE 
REZULXTATY; NA KARTU POSTAVLENO NECHTO BOLEE VAZHNOE I FUNDAMENTALXNOE: 
\emph{CHISLOVYE PODPROGRAMMY
%% 254
DOLZHNY DAVATX REZULXTATY, KOTORYE, NASKOLXKO |TO VOZMOZHNO UDOVLETVORYAYUT 
PROSTYM POLEZNYM MATEMATICHESKIM ZAKONAM.} 
kLYUCHEVAYA FORMULA~$u\oplus v = \round(u+v, p)$, NAPRIMER, VYRAZHAET NEKOE 
SVOJSTVO "REGULYARNOSTI", I |TIM RESHAETSYA VOPROS, STOIT PROVODITX 
MATEMATICHESKIJ ANALIZ VYCHISLITELXNYH ALGORITMOV ILI NE STOIT. nE RASPOLAGAYA 
KAKIMI-LIBO LEZHASHCHIMI V OSNOVE SVOJSTVAMI SIMMETRII, DOKAZYVATX INTERESNYE 
REZULXTATY BYLO BY KRAJNE NEUDOBNO. bYTX DOVOLXNYM INSTRUMENTOM, KOTORYM 
RABOTAESHX,---|TO, KONECHNO, SUSHCHESTVENNOE USLOVIE USPESHNOJ RABOTY.

\section{v.~aRIFMETICHESKIE DEJSTVIYA NAD NENORMALIZOVANNYMI CHISLAMI S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ}. k STRATEGII NORMALIZACII VSEH CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ 
MOZHNO OTNOSITXSYA DVOYAKO: LIBO BLAGOSKLONNO VOSPRINIMATX EE KAK POPYTKU 
POLUCHITX MINIMALXNYE POGRESHNOSTI, DOSTIZHIMYE DLYA DANNOJ STEPENI TOCHNOSTI,
LIBO RASSMATRIVATX EE KAK POTENCIALXNO OPASNUYU LINIYU POVEDENIYA V 
TOM SMYSLE, CHTO PRI |TOM IMEETSYA TENDENCIYA VYDAVATX REZULXTATY ZA BOLEE 
TOCHNYE, CHEM ONI ESTX NA SAMOM DELE. kOGDA MY, NORMALIZUYA REZULXTAT 
OPERACII~$(1,+.31428571)\ominus (1,+.31415927)$,  POLUCHAEM~$(-2, +.12644000)$, 
MY TERYAEM INFORMACIYU O MAKSIMALXNOJ STEPENI NETOCHNOSTI 
POSLEDNEJ VELICHINY. tAKAYA INFORMACIYA SOHRANILASX BY, ESLI BY MY OSTAVILI 
OTVET V VIDE~$(1, +.00012644)$.

vHODNYE DANNYE K ZADACHE CHASTO NEIZVESTNY S TOJ TOCHNOSTXYU KAKAYA MOZHET 
DOPUSKATXSYA PREDSTAVLENIEM S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ nAPRIMER, ZNACHENIYA CHISLA 
aVOGADRO I POSTOYANNOJ pLANKA S VOSEMXYU ZNACHASHCHIMI CIFRAMI NEIZVESTNY, I 
BYLO BY BOLEE UDOBNO OBOZNACHATX IH
\EQ{
 (27, +.00060225)\hbox{ I }(-23,+.00010545)
}
SOOTVETSTVENNO, A NE~$(24,+.60225000)$ I~$(-26,+.10545000)$. bYLO BY 
VESXMA PRIYATNO, ESLI BY MY MOGLI ZADAVATX NASHI VHODNYE DANNYE DLYA KAZHDOJ 
ZADACHI V NENORMALIZOVANNOJ FORME, KOTORAYA BY OTRAZHALA STEPENX PRINYATOJ 
TOCHNOSTI, I ESLI BY V VYHODNYH DANNYH IMELASX INFORMACIYA O TOM, KAKOVA 
TOCHNOSTX OTVETA. k NESCHASTXYU, |TO UZHASNO TRUDNAYA PROBLEMA, HOTYA 
ISPOLXZOVANIE NENORMALIZOVANNOJ ARIFMETIKI I MOZHET POMOCHX NAM POLUCHITX 
NEKOTORYE UKAZANIYA TAKOGO RODA. nAPRIMER, MY MOZHEM SKAZATX S BOLXSHOJ 
STEPENXYU UVERENNOSTI, CHTO PROIZVEDENIE CHISLA aVOGADRO NA POSTOYANNUYU pLANKA 
RAVNO~$(0, +.00063507)$, A IH SUMMA RAVNA~$(27,+.00060225)$. (nAZNACHENIE 
|TOGO PRIMERA NE V TOM, CHTOBY NAVESTI NA MYSLX, CHTO MOZHNO PRIPISATX 
KAKOJ-LIBO VAZHNYJ FIZICHESKIJ SMYSL SUMME ILI PROIZVEDENIYU 
|TIH FUNDAMENTALXNYH POSTOYANNYH; SUTX V TOM, CHTO MOZHNO SOHRANITX NEMNOGO 
INFORMACII O TOCHNOSTI REZULXTATA VYCHISLENIJ NAD NETOCHNYMI
%% 255
VELICHINAMI, KOGDA ISHODNYE OPERANDY NE ZAVISYAT ODIN
OT DRUGOGO.)

pRAVILA NENORMALIZOVANNOJ ARIFMETIKI PROSTY I SOSTOYAT V SLEDUYUSHCHEM: 
PUSTX~$l_u$---KOLICHESTVO NULEJ, STOYASHCHIH V NACHALE DROBNOJ CHASTI 
VELICHINY~$u=(e_u, f_u)$, TAK CHTO $l_u$~ESTX NAIBOLXSHEE CELOE CHISLO~$\le p$, 
DLYA KOTOROGO~$\abs{f_u}<b^{-l_u}$. tOGDA SLOZHENIE I VYCHITANIE 
VYPOLNYAYUTSYA V TOCHNOSTI TAK ZHE, KAK I V ALGORITME~4.2.1A, ZA TEM 
ISKLYUCHENIEM, CHTO VSE SDVIGI OPUSKAYUTSYA. uMNOZHENIE I DELENIE VYPOLNYAYUTSYA V 
TOCHNOSTI TAK ZHE, KAK V ALGORITME~4.2.1M, ZA TEM ISKLYUCHENIEM, CHTO OTVET 
SDVINUT VPRAVO ILI VLEVO, TAK CHTO DROBNAYA CHASTX OTVETA BUDET NACHINATXSYA 
V TOCHNOSTI S~$\max(l_u, l_v)$~NULEJ. pO SUSHCHESTVU TE ZHE PRAVILA 
ISPOLXZOVALISX I DLYA TRADICIONNYH VYCHISLENIJ VRUCHNUYU.

tAKIM OBRAZOM, DLYA NENORMALIZOVANNYH VYCHISLENIJ MY IMEEM
\EQ{
\eqalignno{
 e_{u\oplus v}, e_{u\ominus v}&=\max(e_u, e_v)+(0\hbox{ ILI }1),                   &(49)\cr
                e_{u\otimes v}&=e_u+e_v-q-\min(l_u, l_v)-(0\hbox{ ILI }1),         &(50)\cr
                e_{u\oslash v}&=e_u-e_v+q-l_u+l_v+\max(l_u, l_v)+(0\hbox{ ILI }1). &(51)\cr
}
}
kOGDA ITOGOM VYCHISLENIJ YAVLYAETSYA NULX, TO V KACHESTVE REZULXTATA VYDAETSYA 
NENORMALIZOVANNYJ NULX (CHASTO NAZYVAEMYJ "VELICHINOJ PORYADKA NULX"); |TO 
OZNACHAET, CHTO V DEJSTVITELXNOSTI REZULXTAT MOZHET BYTX I NE RAVEN NULYU, NO 
MY PROSTO NE ZNAEM NI ODNOJ EGO ZNACHASHCHEJ CIFRY!

pRI ISPOLXZOVANII ARIFMETICHESKIH OPERACIJ NAD NENORMALIZOVANNYMI CHISLAMI 
S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ FORMULY~\eqref[18]--\eqref[21], ISPOLXZOVAVSHIESYA NAMI 
DLYA ANALIZA OSHIBOK, PERESTAYUT BYTX VERNYMI. vVEDEM TEPERX NOVUYU VELICHINU
\EQ[52]{
 \delta_u={1\over2} b^{e_u-q-p} \rem{DLYA~$u=(e_u, f_u)$.}
}
eTA VELICHINA ZAVISIT OT PREDSTAVLENIYA CHISLA~$u$, A NE OT 
EGO ZNACHENIYA~$b^{e_u-q}f_u$. tOGDA VMESTO~\eqref[18]--\eqref[21] MY IMEEM 
NERAVENSTVA
\EQ{
 \eqalignno{
         \abs{u\oplus v -(u+v)}&\le \delta_{u\oplus v},  &(53)\cr
        \abs{u\ominus v -(u-v)}&\le \delta_{u\ominus v}, &(54)\cr
  \abs{u\otimes v -(u\times v)}&\le \delta_{u\otimes v}, &(55)\cr
        \abs{u\oslash v -(u/v)}&\le \delta_{u\oslash v}. &(56)\cr
 }
}
eTI NERAVENSTVA YAVLYAYUTSYA PROSTYM SLEDSTVIEM PRAVILA OKRUGLENIYA, I ONI 
PRIMENIMY KAK K NORMALIZOVANNYM, TAK I K NENORMALIZOVANNYM VELICHINAM; 
OSNOVNOE RAZLICHIE MEZHDU DVUMYA TIPAMI ANALIZA OSHIBOK SOSTOIT V OPREDELENII 
POKAZATELYA REZULXTATA KAZHDOJ OPERACII (SOOTNOSHENIYA~\eqref[49]--\eqref[51]).

oTNOSHENIYA~$\prec$, $\sim$, $\succ$ I~$\approx$, OPREDELENNYE NAMI VYSHE 
V~\eqref[24]--\eqref[27], SOHRANYAYUT SMYSL I DLYA NENORMALIZOVANNYH CHISEL. 
v KACHESTVE
%% 256
PRIMERA ISPOLXZOVANIYA |TIH OTNOSHENIJ DOKAZHEM PRIBLIZHENNYJ ZAKON 
ASSOCIATIVNOSTI DLYA SLOZHENIYA NENORMALIZOVANNYH VELICHIE (ANALOGICHNYJ 
ZAKONU~\eqref[41]): DLYA PODHODYASHCHIM OBRAZOM VYBRANNOGO~$\varepsilon$
\EQ[57]{
 (u\oplus v)\oplus w \approx u \oplus (v\oplus w)\,(\varepsilon).
}
iMEEM
\EQ{
 \eqalign{
  \abs{(u\oplus v)\oplus w - (u+v+w)} &\le \abs{(u\oplus v)\oplus w - ((u\oplus v)+w)}+\abs{u\oplus v - (u+v)}\le\cr
                                      &\le \delta_{(u\oplus v)\oplus w}+\delta_{u\oplus v} \le \cr
                                      &\le 2\delta_{(u\oplus v)\oplus w}.\cr
 }
}
aNALOGICHNAYA FORMULA SPRAVEDLIVA I DLYA~$\abs{u\oplus (v\oplus w) - (u+v+w)}$. 
nO POSKOLXKU~$e_{(u\oplus v)\oplus w}=\max(e_u, e_v, e_w)+(0,1 \hbox{ ILI }2)$, 
TO~$\delta_{(u\oplus v)\oplus w}\le b^2\delta_{u\oplus(v\oplus w)}$. 
sLEDOVATELXNO, \eqref[57] VERNO PRI~$\varepsilon \ge 2b^{2-p}$;  S TOCHKI ZRENIYA 
ZAKONA ASSOCIATIVNOSTI SLOZHENIE NENORMALIZOVANNYH VELICHIN NE STOLX OSHIBOCHNO, 
KAK SLOZHENIE NORMALIZOVANNYH.

sLEDUET PODCHERKNUTX, CHTO ARIFMETIKA NENORMALIZOVANNYH VELICHIN NI V KOEJ 
MERE NE MOZHET SLUZHITX PANACEEJ; IMEYUTSYA PRIMERY, GDE UKAZYVAEMAYA TAKOJ 
ARIFMETIKOJ TOCHNOSTX BOLXSHE DEJSTVITELXNOJ (NAPRIMER, SLOZHENIE BOLXSHOGO 
CHISLA MALYH PRIBLIZITELXNO ODINAKOVYH VELICHIN ILI NAHOZHDENIE 
$n\hbox{-J}$~STEPENI CHISLA DLYA BOLXSHOGO~$n$), I SUSHCHESTVUET ESHCHE BOLXSHE 
PRIMEROV, KOGDA V |TOJ ARIFMETIKE DAETSYA NEVYSOKAYA TOCHNOSTX, V TO VREMYA 
KAK V ARIFMETIKE NAD NORMALIZOVANNYMI VELICHINAMI V DEJSTVITELXNOSTI POLUCHALISX 
BY GORAZDO BOLEE TOCHNYE REZULXTATY.

eSTX VAZHNAYA PRICHINA, PO KOTOROJ NI ODIN PRYAMOJ METOD ANALIZA OSHIBOK 
"PO OPERACII ZARAZ" NE NADEZHEN, A IMENNO TOT FAKT, CHTO OPERANDY OBYCHNO NE 
YAVLYAYUTSYA NEZAVISIMYMI. eTO OZNACHAET, CHTO OSHIBKI IMEYUT TENDENCIYU 
KOMPENSIROVATX ILI USILIVATX DRUG DRUGA NEOBYCHNYM OBRAZOM. pREDPOLOZHIM, 
NAPRIMER, CHTO $x$~PRIBLIZITELXNO RAVNO~$1/2$, I PREDPOLOZHIM, CHTO U |TOGO 
ZNACHENIYA ESTX PRIBLIZHENIE~$y=x+\delta$ S ABSOLYUTNOJ OSHIBKOJ~$\delta$. eSLI 
MY HOTIM VYCHISLITX PROIZVEDENIE~$x(1-x)$, TO MY MOZHEM NAJTI~$y(1-y)$; 
ESLI~$x={1\over2}+\varepsilon$, TO MY 
POLUCHIM~$y(1-y)=x(1-x)-2\varepsilon\delta-\delta^2$. bLAGODARYA
MNOZHITELYU~$2\varepsilon$ OSHIBKA UMENXSHILASX! eTO TOLXKO ODIN IZ SLUCHAEV,
KOGDA UMNOZHENIE PRIBLIZHENNYH ZNACHENIJ MOZHET PRIVESTI K VESXMA TOCHNOMU 
REZULXTATU, ESLI OPERANDY NE YAVLYAYUTSYA NEZAVISIMYMI. bOLEE OCHEVIDNYJ 
PRIMER---|TO VYCHISLENIE~$x\ominus x$, KOTOROE MOZHET BYTX VYPOLNENO S 
ABSOLYUTNOJ TOCHNOSTXYU NEZAVISIMO OT TOGO, NASKOLXKO PLOHIM BYLO 
PRIBLIZHENIE~$x$, S KOTOROGO NACHINALI.
dOPOLNITELXNAYA INFORMACIYA, KOTORUYU DAET NAM ARIFMETIKA NENORMALIZOVANNYH 
VELICHIN, CHASTO MOZHET BYTX BOLEE VAZHNA, NEZHELI
%% 257
TA INFORMACIYA, KOTORAYA TERYAETSYA PRI PROVEDENII OBSHIRNYH VYCHISLENIJ V 
TAKOJ ARIFMETIKE, NO (KAK OBYCHNO) NEOBHODIMO SOBLYUDATX OSTOROZHNOSTX PRI 
EE ISPOLXZOVANII. pRIMERY PRAVILXNOGO ISPOLXZOVANIYA ARIFMETIKI 
NENORMALIZOVANNYH VELICHIN OBSUZHDALISX r.~eSHENH�RSTOM I n.~mETROPOLISOM V 
SBORNIKE "Computers And Computing" [AMM Slaught Memorial Papers, 10 
(February, 1965), 47--59] I r.~eSHENH�RSTOM V SBORNIKE "Error in digital 
computation" [vol.~II. ed.~by~L.~B.~Rall, New York, Wiley, 1965, 3--37]. 
nADLEZHASHCHIE METODY VYCHISLENIYA STANDARTNYH MATEMATICHESKIH FUNKCIJ S 
PREDSTAVLENIEM KAK VHODNYH, TAK I VYHODNYH DANNYH V NENORMALIZOVANNOJ 
FORME BYLI DANY r.~eSHENH�RSTOM V {\sl JACM\/} [{\bf 11} (1964), 168--187].

dRUGOJ PODHOD K PROBLEME OCENKI POGRESHNOSTI SVYAZAN S TAK NAZYVAEMYM 
"INTERVALXNYM" METODOM, V KOTOROM VYCHISLENIYA PROVODYATSYA S UCHETOM VERHNEJ 
I NIZHNEJ OCENOK DLYA KAZHDOGO CHISLA. tAK, NAPRIMER, ESLI IZVESTNO, 
CHTO~$u_0\le u \le u_1$ I~$v_0\le v\le v_1$, TO~$u_0+v_0\le u+v \le u_1+v_1$, 
$u_0-v_1\le u-v \le u_1-v_0$ I  (V PREDPOLOZHENII, CHTO $u_0$, $v_0$ POLOZHITELXNY) 
$u_0v_0 \le uv \le u_1v_1$, $u_0/v_1\le u/v \le u_1/v_0$. aNALOGICHNYE PRAVILA 
DLYA DRUGIH SLUCHAEV POLUCHAYUTSYA NEPOSREDSTVENNO; RAZUMEETSYA, VOZNIKAYUT TRUDNOSTI, 
KOGDA~$v_0<0<v_1$, A MY PYTAEMSYA DELITX NA~$v$. vYCHISLENIYA NAD~$u_0$, $u_1$, 
$v_0$ I~$v_1$ PROVODYATSYA S SOOTVETSTVUYUSHCHIM OKRUGLENIEM (VNIZ DLYA NIZHNIH GRANIC 
I VVERH DLYA VERHNIH). tAKIE VYCHISLENIYA LISHX VDVOE BOLXSHE PO OB�EMU, CHEM TE 
ZHE VYCHISLENIYA V OBYCHNOJ ARIFMETIKE, I TAK KAK ONI OBESPECHIVAYUT TOCHNUYU 
OCENKU OSHIBKI, ONI MOGUT OKAZATXSYA VESXMA CENNYMI. oDNAKO VVIDU 
ZAVISIMOSTI PROMEZHUTOCHNYH ZNACHENIJ DRUG OT DRUGA OKONCHATELXNYE OCENKI 
%% !!! SKOREE VSEGO, PESSIMISTICHNY: -> PESSIMISTICHNY;
CHASTO SLISHKOM PESSIMISTICHNY; IMEYUTSYA TAKZHE NEKOTORYE PROBLEMY, SVYAZANNYE 
S PRIMENENIEM ITERACIONNYH CHISLENNYH METODOV. pO POVODU OBSUZHDENIYA 
INTERVALXNOGO METODA I NEKOTORYH EGO MODIFIKACIJ SM. STATXI e.~gIBBA 
[{\sl CACM,\/} {\bf 4} (1961), 319--320] 
I b.~shARTRA [{\sl JACM,\/} {\bf 13} (1966), 386--403], 
A TAKZHE KNIGU r.~mURA "Interval analysis" 
[Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1966].

\section{C.~iSTORIYA I BIBLIOGRAFIYA}. pERVOE ISSLEDOVANIE 
PLAVAYUSHCHEJ ARIFMETIKI BYLO VYPOLNENO f.~l.~bAU|ROM 
I~k.~zAMELXZONOM [Optimale Rechengenauigkeit bei Rechenanlagen mit 
gleitendem Komma, {\sl Zeitschrift f\"ur angewandte Math.\ und Physik,\/} 
{\bf 4} (1953), 312--316]. sLEDUYUSHCHAYA PUBLIKACIYA POYAVILASX LISHX PYATXYU 
GODAMI POZZHE [J.~W.~Carr~III, Error analysis in floating-point arithmetic, 
{\sl CACM,\/} {\bf 2} (May, 1959), 10--15]. sM.~TAKZHE [P.~C.~Fischer, 
Proc.\ ACM 13th Nat.\ Meeting, Urbana, Illinois, 1958, paper~39]. v 
KNIGE dZH.~X.~uILKINSONA "Rounding errors in algebraic processes" 
[Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1963] POKAZANO, KAK PRIMENYATX 
METODY ANALIZA OSHIBOK INDIVIDUALXNYH ARIFMETICHESKIH OPERACIJ K ANALIZU 
OSHIBOK V ZADACHAH S BOLXSHIM CHISLOM OPERACIJ; SM. TAKZHE EGO
%% 258
MONOGRAFIYU "The algebraic eigenvalue problem" [Oxford, Clarendon Press, 1965].

vVEDENNYE V |TOM PUNKTE OTNOSHENIYA~$\prec$, $\sim$, $\succ$, $\approx$  
SORODSTVEINY IDEYAM, PROVOZGLASHENNYM a.~VAN~vEJNGAARDENOM [Numerical 
analysis as an independent science, {\sl BIT,\/} {\bf 6} (1966), 66--81]. 
pRIVEDENNYE VYSHE TEOREMY~A I~B NAVEYANY NEKOTORYMI BLIZKIMI REZULXTATAMI 
uLE m�LLERA [{\sl BIT,\/} {\bf 5} (1965), 37--50, 251--255]. sM.\ TAKZHE 
[W.~Kahan, {\sl CACM,\/} {\bf 8} (1965), 40].

v POLXZU ARIFMETIKI NENORMALIZOVANNYH CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ VYSTUPILI 
f.~l.~bAU|R I k.~zAMELXZON V UPOMYANUTOJ VYSHE STATXE, I NEZAVISIMO EE 
ISPOLXZOVAL dZH.~v.~kARROM IZ mICHIGANSKOGO UNIVERSITETA (1953~G.). 
nESKOLXKIMI GODAMI POZZHE BYLA  SPROEKTIROVANA MASHINA MANIAC~III SO SHEMNOJ 
REALIZACIEJ ARIFMETIKI OBOIH TIPOV, SM.~R.~L.~Ashenhurst, N.~Metropolis,
{\sl JACM,\/} {\bf 6} (1959), 415--428; 
{\sl IEEE Transactions on Electronic Computers,\/} {\bf EC-12} (1963), 896--901; 
R.~L.~Ashenhurst, Proc.\ Spring Joint Computer Conf., {\bf 21} (1962), 195--202. 
pO POVODU DRUGIH RANNIH  OBSUZHDENIJ NENORMALIZOVANNOJ ARIFMETIKI SM.\ TAKZHE 
H.~L.~Gray, 
C.~Harrison, Jr., Proc.\ Eastern Joint Computer Conf., {\bf 16} (1959), 244--248, 
I W.~G.~Wadey, {\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 129--139.

\excercises
(v |TIH ZADACHAH PREDPOLAGAETSYA, ESLI NE OGOVORENO PROTIVNOE, CHTO DEJSTVIYA 
 VYPOLNYAYUTSYA NAD NORMALIZOVANNYMI CHISLAMI S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ.)

\ex[M18] dOKAZHITE, CHTO TOZHDESTVO~\eqref[7] SLEDUET IZ 
SOOTNOSHENIJ~\eqref[2]--\eqref[6].

\ex[M20] iSPOLXZUYA TOZHDESTVA~\eqref[2]--\eqref[8], DOKAZHITE, 
CHTO~$(u\oplus x)\oplus (v\oplus y) \ge u \oplus v$, KAKOVY BY NI 
BYLI~$x\ge 0$ I~$y\ge 0$.

\ex[M20] nAJDITE VOSXMIRAZRYADNYE DESYATICHNYE CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ $u$, 
$v$ I~$w$, DLYA KOTORYH
\EQ{
 u \otimes (v \otimes w) \ne (u \otimes v) \otimes w,
}
PRICHEM NI PRI ODNOM IZ |TIH VYCHISLENIJ NE PROISHODIT NI PEREPOLNENIYA, 
NI ISCHEZNOVENIYA POKAZATELYA.

\ex[10] mOZHNO LI NAJTI CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ~$u$, $v$ I~$w$, DLYA 
KOTORYH PRI VYCHISLENII~$u \times (v \times w)$ PROISHODILO BY ISCHEZNOVENIE 
POKAZATELYA, A PRI VYCHISLENII~$(u \otimes v) \otimes w$ NE PROISHODILO?

\ex[m20] vYPOLNYAETSYA LI RAVENSTVO~$u \oslash v = u \otimes (1 \oslash v)$ 
DLYA VSEH CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ~$u$ I~$v\ne 0$, DLYA KOTORYH NE VOZNIKAET 
NI PEREPOLNENIYA, NI ISCHEZNOVENIYA POKAZATELYA?

\ex[m22] dLYA KAZHDOGO IZ SLEDUYUSHCHIH DVUH SOOTNOSHENIJ VYYASNITE, VYPOLNYAETSYA  
LI ONO TOZHDESTVENNO DLYA VSEH CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ~$u$. 
(a)~$0\ominus (0 \ominus u) =  u$;  (b)~$1\oslash (1\oslash u) = u$.

\ex[M20] dOKAZHITE, CHTO DLYA~$\delta_p(x)$, OPREDELENNOGO 
SOOTNOSHENIEM~\eqref[16],  SPRAVEDLIVO NERAVENSTVO~\eqref[17].

\rex[20] pUSTX~$\varepsilon=0.0001$; KAKOE IZ SOOTNOSHENIJ~$u\prec 
v(\varepsilon)$, $u\sim v(\varepsilon)$, $u\succ v(\varepsilon)$, 
$u\approx v(\varepsilon)$  VYPOLNYAETSYA DLYA SLEDUYUSHCHIH PAR VOSXMIRAZRYADNYH 
DESYATICHNYH CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ S IZBYTKOM~$0$?
{
\medskip\narrower
\item{a)}$u=(1,+.31415927)$, $v=(1,+.31416000)$;
\item{b)}$u=(0, +.99997000)$, $v=(1,+.10000039)$;
\item{c)}$u=(24, +.60225200)$, $v=(27, +.00060225)$;
\item{d)}$u=(24, +.60225200)$, $v=(31, +.00000006)$;
\item{e)}$u=(24, +.60225200)$, $v=(32, +.00000000)$.
\medskip
}

%% 259
\ex[M22] dOKAZHITE UTVERZHDENIE~\eqref[36] I OB�YASNITE, POCHEMU 
ZAKLYUCHENIE NELXZYA USILITX DO~$u\approx w(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$.

\rex[m25] (u.~kAHAN.) nA NEKOTOROJ evm VYPOLNENIE ARIFMETICHESKIH DEJSTVIJ 
NAD CHISLAMI S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ PROVODITSYA BEZ TOCHNOGO OKRUGLENIYA, I 
FAKTICHESKI PROGRAMMA UMNOZHENIYA DLYA |TOJ evm IGNORIRUET POSLEDNIE 
$p$~RAZRYADOV $2p\hbox{-RAZRYADNOGO}$ PROIZVEDENIYA~$f_u f_v$. (tAKIM 
OBRAZOM; ESLI~$f_u f_v < 1/b$, TO IZ-ZA POSLEDUYUSHCHEJ NORMALIZACII NAIMENEE 
ZNACHIMAYA CIFRA VSEGDA OKAZYVAETSYA NULEM.) pOKAZHITE, CHTO |TO PRIVODIT K 
UTRATE MONOTONNOSTI UMNOZHENIYA, T.~E.\ CHTO SUSHCHESTVUYUT TAKIE POLOZHITELXNYE 
NORMALIZOVANNYE CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ $u$, $v$, $w$, CHTO~$u<v$, NO~$u 
\otimes w > v \otimes w$.

\rex[m28]{vMESTO TOGO CHTOBY ISPOLXZOVATX DLYA DROBNYH CHASTEJ CHISEL 
S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ PRYAMOJ KOD, MY MOGLI BY SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM 
VOSPOLXZOVATXSYA DOPOLNITELXNYM KODOM (SM.\ \S~4.1). dROBNAYA CHASTX~$f$ 
POLOZHITELXNOGO CHISLA NAHODITSYA, KAK I RANXSHE, V 
INTERVALE~$(0.100\ldots 0)_2 = 1/2\le f \le 1-2^{-p}=(0.111\ldots 1)_2$, 
NO DROBNAYA CHASTX~$f$ \emph{OTRICATELXNOGO} CHISLA LEZHIT V 
INTERVALE~$(1.000\ldots 0)_2 = -1 \le f \le -1/2 -2^{-p}=(1.011\ldots 1)_2$.
sLOZHENIE I VYCHITANIE MOZHNO VYPOLNYATX PRI POMOSHCHI TAKOGO NEPOSREDSTVENNOGO 
OBOBSHCHENIYA ALGORITMA~4.2.1A: OBESPECHIVAYA DOSTATOCHNUYU TOCHNOSTX VYCHISLENIJ, 
MY POLUCHAEM VERNOE ZNACHENIE SUMMY ILI RAZNOSTI, POTOM NORMALIZUEM DROBX, 
TAK CHTOBY EE PERVYE $p$~RAZRYADOV IMELI NADLEZHASHCHIJ VID, A POSLE |TOGO 
"OKRUGLYAEM" REZULXTAT, DOBAVLYAYA EDINICU V $(p+1)\hbox{-J}$~RAZRYAD, I ZATEM 
OTBRASYVAEM VSE RAZRYADY, KROME PERVYH $p$~BITOV, PROIZVODYA V SLUCHAE 
PEREPOLNENIYA PRI OKRUGLENII DENORMALIZACIYU REZULXTATA. 
nAPRIMER, RAZNOSTX~$(2,0.11111111)\ominus (6,0.10000000)$ BYLA BY VYCHISLENA 
SNACHALA V VIDE~$(6, 1.100011111111)$, NORMALIZOVANA K VIDU~$(5, 1.00011111111)$ 
I ZATEM OKRUGLENA DO~$(5,1.00100000)$. vZYAV TE ZHE CHISLA V PROTIVOPOLOZHNOM 
PORYADKE, MY POLUCHILI BY
\EQ{
 (6,0.10000000) \ominus  (2,0.11111111) =(5,0.111000000);
}
|TO PREDYDUSHCHIJ OTVET, VZYATYJ S PROTIVOPOLOZHNYM ZNAKOM, TAK CHTO 
SOOTNOSHENIE~\eqref[7] VYPOLNYAETSYA DLYA DANNOGO SLUCHAYA.
\hiddenpar
nAJDITE DVA CHISLA~$u$ I~$v$, PREDSTAVLENNYE V DOPOLNITELXNOM DVOICHNOM KODE,
DLYA KOTORYH RAVENSTVO~\eqref[7] \emph{NE} VYPOLNYAETSYA I DLYA KOTORYH V 
HODE VYCHISLENIJ NE PROISHODIT NI PEREPOLNENIYA, NI ISCHEZNOVENIYA POKAZATELYA.
}

\ex[m15] pOCHEMU~\eqref[45] SLEDUET IZ~\eqref[44]?

\rex[m25]{nEKOTORYE YAZYKI PROGRAMMIROVANIYA (I DAZHE NEKOTORYE KOMPXYUTERY) 
ISPOLXZUYUT TOLXKO ARIFMETIKU NAD VELICHINAMI S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ I NE IMEYUT 
SREDSTV DLYA TOCHNYH VYCHISLENIJ S CELYMI CHISLAMI. eSLI TREBUETSYA VYPOLNYATX 
OPERACII NAD CELYMI CHISLAMI, MY MOZHEM, KONECHNO, PREDSTAVITX IH V VIDE 
CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, I ESLI OPERACII ARIFMETIKI NAD CHISLAMI  S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ UDOVLETVORYAYUT OSNOVNYM 
OPREDELENIYAM~\eqref[11]--\eqref[14] |TOGO PUNKTA, TO, KAK MY ZNAEM, 
\emph{VSE} |TI OPERACII OKAZYVAYUTSYA TOCHNYMI, PRI USLOVII CHTO OPERANDY I 
OTVET DOPUSKAYUT TOCHNOE PREDSTAVLENIE V $p\hbox{-RAZRYADNOJ}$ SETKE. 
sLEDOVATELXNO, POKA MY UVERENY, CHTO CHISLA NE SLISHKOM VELIKI, MY MOZHEM 
SKLADYVATX, VYCHITATX ILI UMNOZHATX CELYE CHISLA, NE OPASAYASX NETOCHNOSTI,
SVYAZANNOJ S OSHIBKAMI OKRUGLENIYA.
\hiddenpar
nO PREDPOLOZHIM, CHTO PROGRAMMIST HOCHET OPREDELITX, YAVLYAETSYA LI $m$~TOCHNYM 
KRATNYM~$n$, GDE~$m$ I~$n\ne 0$---CELYE CHISLA. pREDPOLOZHIM DALEE, CHTO V 
NASHEM RASPORYAZHENII, KAK I V UPR.~4.2.1-15, ESTX PODPROGRAMMA, KOTORAYA 
VYCHISLYAET~$\round (u \bmod 1, p) = u \ellmod 1$ DLYA LYUBOGO CHISLA~$u$ S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ. oDIN IZ HOROSHIH SPOSOBOV OPREDELITX, YAVLYAETSYA LI~$m$ 
KRATNYM~$n$, MOG BY SOSTOYATX V TOM, CHTOBY PROVERITX PRI POMOSHCHI UPOMYANUTOJ 
PODPROGRAMMY, VERNO LI RAVENSTVO~$((m\oslash ) \ellmod 1)=0$. nE ISKLYUCHENO,
ODNAKO, CHTO OSHIBKI OKRUGLENIYA V VYCHISLENIYAH NAD VELICHINAMI S PLAVAYUSHCHEJ 
TOCHKOJ SDELAYUT |TU PROVERKU NEDOSTOVERNOJ.
\hiddenpar
nAJDITE SOOTVETSTVUYUSHCHIE OGRANICHENIYA NA INTERVAL IZMENENIYA CELYH 
CHISEL~$n\ne 0$ I~$m$, PRI KOTORYH $m$~BUDET KRATNYM~$n$ V TOM I TOLXKO TOM 
SLUCHAE,                                                      
%% 260
KOGDA~$(m\oslash n) \ellmod 1=0$. dRUGIMI SLOVAMI, POKAZHITE, CHTO ESLI~$m$ 
I~$n$ NE SLISHKOM VELIKI, TO NASHA PROVERKA PRIGODNA.
}

%% !!! chTO |TO ZA SHTUKA: w) [... ZDESX PROPUSHCHEN ZNAK?...] (\varepsilon)
\ex[m27] nAJDITE PODHODYASHCHEE ZNACHENIE~$\varepsilon$, PRI 
KOTOROM~$(u\otimes v) \otimes w \approx u \otimes (v \otimes w) \; (\varepsilon)$ 
V SLUCHAE, KOGDA ISPOLXZUETSYA \emph{NENORMALIZOVANNOE} 
UMNOZHENIE. (eTO---OBOBSHCHENIE SOOTNOSHENIYA~\eqref[41], POSKOLXKU 
NENORMALIZOVANNOE UMNOZHENIE NICHEM NE OTLICHAETSYA OT NORMALIZOVANNOGO, ESLI 
VHODNYE DANNYE~$u$, $v$ I~$w$ NORMALIZOVANY.)

\ex[m24] (X.~bX�RK.) vSEGDA LI VYCHISLENNAYA SREDNYAYA TOCHKA INTERVALA  LEZHIT 
MEZHDU EGO KONCEVYMI TOCHKAMI? (iNYMI SLOVAMI, SLEDUET LI IZ 
NERAVENSTVA~$u\le v$ NERAVENSTVO~$u \le (u \oplus v) \otimes 2 \le v$?)

\ex[vm23] pREDPOLOZHIM, CHTO~$u$ I~$v$---VESHCHESTVENNYE CHISLA, NEZAVISIMO I 
RAVNOMERNO RASPREDELENNYE V INTERVALAH~$0 < u_0 - \delta  \le u < u_0 + \delta$ 
I~$0 < v_0 - \varepsilon \le v \le v_0 + \varepsilon$. (a)~kAKOVO SREDNEE 
ZNACHENIE PROIZVEDENIYA~$uv$? (b)~kAKOVO SREDNEE ZNACHENIE CHASTNOGO~$u/v$? 
[eTI VOPROSY IMEYUT OTNOSHENIE K VOPROSU O VYBORE PRAVILXNOGO SPOSOBA 
OKRUGLYATX REZULXTATY OPERACIJ UMNOZHENIYA I DELENIYA.]

\ex[28] nAPISHITE \MIX-PODPROGRAMMU~|FCMP|, KOTORAYA SRAVNIVAET MEZHDU  SOBOJ 
CHISLA~$u$ I~$v$ V FORME S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, NAHODYASHCHIESYA SOOTVETSTVENNO  V 
POLE~|ACC| I V REGISTRE~|A|, I USTANAVLIVAET INDIKATOR SRAVNENIYA V 
SOSTOYANIYA "MENXSHE", "RAVNO" ILI "BOLXSHE" V SOOTVETSTVII S TEM, BUDET 
LI~$u \prec v$, $u \sim v$ ILI~$u \succ v(\varepsilon)$; PRI |TOM 
$\varepsilon$~HRANITSYA V POLE~|EPSILON| KAK NEOTRICATELXNAYA VELICHINA V 
FORME S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, PRICHEM PREDPOLAGAETSYA, CHTO TOCHKA RASPOLOZHENA 
SLEVA OT SLOVA.

\ex[m40]. sUSHCHESTVUET LI V ARIFMETIKE NENORMALIZOVANNYH VELICHIN 
PODHODYASHCHEE CHISLO~$\varepsilon$, TAKOE, CHTO
\EQ{
 u \otimes (v\otimes w) \approx (u \otimes v) \otimes (u \otimes w)\; (\varepsilon)?
}

\subsubchap{*vYCHISLENIYA S DVOJNOJ TOCHNOSTXYU} %% 4.2.3
dO SIH POR MY GOVORILI OB ARIFMETIKE CHISEL S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ "ODNOKRATNOJ 
TOCHNOSTI", CHTO PO SUSHCHESTVU OZNACHAET, CHTO  PREDSTAVLENNYE V FORME S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ VELICHINY, S KOTORYMI MY RABOTALI, MOGLI HRANITXSYA V 
ODNOM MASHINNOM SLOVE. eSLI ARIFMETIKA ODNOKRATNOJ TOCHNOSTI NE OBESPECHIVAET 
DOSTATOCHNOJ DLYA NASHIH POTREBNOSTEJ TOCHNOSTI, TO TOCHNOSTX MOZHNO UVELICHITX 
PRI POMOSHCHI SREDSTV PROGRAMMISTSKOGO HARAKTERA, ISPOLXZUYA DLYA 
PREDSTAVLENIYA KAZHDOGO CHISLA DVA ILI BOLXSHE SLOV PAMYATI. hOTYA OBSHCHUYU 
PROBLEMU VYCHISLENIJ POVYSHENNOJ TOCHNOSTI MY OBSUZHDAEM V~\S~4.3, IMEET SMYSL 
OTDELXNO OBSUDITX ZDESX VOPROS O VYCHISLENIYAH DVOJNOJ TOCHNOSTI; K 
VYCHISLENIYAM DVOJNOJ TOCHNOSTI PRIMENIMY SPECIALXNYE METODY, PRAKTICHESKI 
NEPRIGODNYE DLYA SLUCHAYA BOLXSHEJ TOCHNOSTI; KROME TOGO, VYCHISLENIYA S DVOJNOJ 
TOCHNOSTXYU RAZUMNO SCHITATX TEMOJ, IMEYUSHCHEJ SAMOSTOYATELXNOE ZNACHENIE, TAK 
KAK |TO PERVYJ SHAG ZA PREDELY ODNOKRATNOJ TOCHNOSTI, POZVOLYAYUSHCHIJ 
UDOVLETVORITELXNO RESHATX MNOGIE ZADACHI, NE TREBUYUSHCHIE NEPOMERNO VYSOKOJ TOCHNOSTI.

dLYA VYPOLNENIYA ARIFMETICHESKIH DEJSTVIJ NAD CHISLAMI S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ 
DVOJNAYA TOCHNOSTX NEOBHODIMA POCHTI VSEGDA V OT-
%% 261
\bye