\input style

|TO YAVLENIE BYLO OTMECHENO AMERIKANSKIM ASTRONOMOM sAJMONOM nXYUKOMBOM 
[{\sl Amer.~J.~Math.,\/} {\bf 4} (1881), 39--40], KOTORYJ PRIVEL RAZUMNYE 
OSNOVANIYA V POLXZU TOGO, CHTO GOLOVNAYA CIFRA~$d$ VSTRECHAETSYA S 
VEROYATNOSTXYU~$\log_{10}(1+1/d)$. tOT ZHE SAMYJ ZAKON RASPREDELENIYA MNOGO 
LET SPUSTYA BYL |MPIRICHESKI NAJDEN f.~bENFORDOM 
[{\sl Proc.\ Amer.\ Philosophical Soc.,\/} {\bf 78} (1938), 551], 
KOTORYJ NE ZNAL O ZAMETKE nXYUKOMBA. 
bENFORD RESHIL, CHTO |TO VAZHNYJ ZAKON PRIRODY, I NAZVAL EGO 
"ZAKONOM ANOMALXNYH CHISEL". mY UVIDIM, CHTO |TOT ZAKON RASPREDELENIYA 
GOLOVNYH CIFR YAVLYAETSYA ESTESTVENNYM SLEDSTVIEM TOGO SPOSOBA, PRI POMOSHCHI 
KOTOROGO MY ZAPISYVAEM CHISLA V SISTEME S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ.

eSLI MY VOZXMEM PROIZVOLXNOE POLOZHITELXNOE CHISLO~$u$, TO EGO GOLOVNAYA 
CIFRA OPREDELYAETSYA ZNACHENIEM~$(\log_{10} u) \bmod 1$. a IMENNO, GOLOVNAYA 
CIFRA MENXSHE~$d$ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
\EQ[1]
{
 (\log_{10} u) \bmod 1 < \log_{10} d,
}
TAK KAK~$10 f_u = 10^{(\log_{10} u)\bmod 1}$.

dALEE, ESLI U NAS ESTX KAKOE-LIBO "SLUCHAJNOE" POLOZHITELXNOE CHISLO~$U$, 
VYBIRAEMOE V SOOTVETSTVII S NEKOTORYM RAZUMNYM RASPREDELENIEM, TIPA TEH, 
CHTO VSTRECHAYUTSYA V PRIRODE, TO MOZHNO OZHIDATX, CHTO 
CHISLA~$(\log_{10} U) \bmod 1$ BUDUT RAVNOMERNO RASPREDELENY MEZHDU NULEM 
I EDINICEJ ILI PO KRAJNEJ MERE CHTO |TO BUDET OCHENX HOROSHEE PRIBLIZHENIE. 
(aNALOGICHNYM OBRAZOM MY OZHIDAEM, CHTO VELICHINY~$U \bmod 1$, $U^2 \bmod 1$, 
$\sqrt{U+\pi}\bmod 1$ I~T.~D.\ TAKZHE RAVNOMERNO RASPREDELENY. mY UVERENY, 
CHTO KOLESO RULETKI BESPRISTRASTNO PO SUSHCHESTVU PO |TOJ ZHE SAMOJ PRICHINE.) 
sLEDOVATELXNO, VVIDU NERAVENSTVA~\eqref[1], GOLOVNOJ CIFROJ BUDET 
EDINICA S VEROYATNOSTXYU, RAVNOJ~$\log_{10} 2 \approx 30.103\%$, DVOJKA S 
VEROYATNOSTXYU, RAVNOJ~$\log_{10} 3 - \log_{10} 2 \approx 17.609\%$, 
I VOOBSHCHE ESLI~$r$---PROIZVOLXNOE VESHCHESTVENNOE CHISLO, ZAKLYUCHENNOE MEZHDU~$1$ 
I~$10$, TO PRIBLIZITELXNO V~$\log_{10} r$ VSEH SLUCHAEV MY DOLZHNY IMETX 
NERAVENSTVO~$10 f_U \le r$.

dRUGOJ SPOSOB OB�YASNITX |TOT ZAKON---|TO SKAZATX, CHTO SLUCHAJNAYA 
VELICHINA~$U$ DOLZHNA POYAVLYATXSYA V SLUCHAJNOJ TOCHKE NA LOGARIFMICHESKOJ 
LINEJKE (T.~E.\ CHTO VSE POZICII NA LOGARIFMICHESKOJ LINEJKE 
RAVNOVEROYATNY). dEJSTVITELXNO, RASSTOYANIE OT LEVOGO KONCA LOGARIFMICHESKOJ 
LINEJKI DO POZICII, IZOBRAZHAYUSHCHEJ CHISLO~$U$, 
PROPORCIONALXNO~$(\log_{10} U) \bmod 1$. v SLUCHAE UMNOZHENIYA I DELENIYA IMEETSYA 
TESNAYA ANALOGIYA MEZHDU VYCHISLENIYAMI, PROVODIMYMI PRI POMOSHCHI LOGARIFMICHESKOJ 
LINEJKI, I VYCHISLENIYAMI V SISTEME S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ.

tOT FAKT, CHTO GOLOVNYE CIFRY IMEYUT TENDENCIYU BYTX NEBOLXSHIMI, SLEDUET 
POSTOYANNO IMETX V VIDU; IMENNO BLAGODARYA |TOMU FAKTU PROSTEJSHIE METODY 
OCENKI "SREDNEJ OSHIBKI" GODYATSYA
%% 272
DLYA VYCHISLENIJ S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ. oTNOSITELXNAYA OSHIBKA OBYCHNO OKAZYVAETSYA 
NESKOLXKO BOLXSHEJ, CHEM OZHIDAETSYA.

rAZUMEETSYA, MOZHNO SPRAVEDLIVO UTVERZHDATX, CHTO PRIVEDENNYE VYSHE 
|VRISTICHESKIE DOVODY NE DOKAZYVAYUT SFORMULIROVANNOGO ZAKONA. oNI TOLXKO 
UKAZYVAYUT PRAVDOPODOBNYE PRICHINY TOGO, CHTO POVEDENIE GOLOVNYH CIFR IMENNO 
TAKOVO, KAKOVO ONO ESTX NA SAMOM DELE. dRUGOJ PODHOD K ANALIZU GOLOVNYH 
CIFR BYL PREDLOZHEN r.~s.~pINK|MOM I~r.~h|MMINGOM 
[{\sl Ann Math. Stat.,\/} {\bf 32} (1961), 1223--1230]. 
pUSTX~$p(r)$---VEROYATNOSTX TOGO, CHTO~$10 f_U \le r$,  GDE~$1\le r \le 10$, 
I~$f_U$---NORMALIZOVANNAYA DROBNAYA CHASTX SLUCHAJNYM OBRAZOM VYBRANNOGO 
NORMALIZOVANNOGO CHISLA~$U$ S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ. eSLI GOVORITX O SLUCHAJNYH 
VELICHINAH V REALXNOM MIRE, TO MY 
ZAMECHAEM, CHTO ONI IZMERYAYUTSYA V PROIZVOLXNYH EDINICAH, I ESLI BY MY 
IZMENILI, SKAZHEM, OPREDELENIE METRA ILI GRAMMA, TO MNOGIE BY IZ 
FUNDAMENTALXNYH FIZICHESKIH POSTOYANNYH IMELI BY DRUGOE ZNACHENIE. 
pREDPOLOZHIM PO|TOMU, CHTO VSE-VSE CHISLA VO VSELENNOJ VNEZAPNO 
OKAZALISX UMNOZHENNYMI NA NEKOTORYJ POSTOYANNYJ MNOZHITELX~$c$; NASHA 
VSELENNAYA SLUCHAJNYH VELICHIN S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ DOLZHNA POSLE |TOGO 
PREOBRAZOVANIYA OSTATXSYA PO SUSHCHESTVU NEIZMENNOJ, TAK CHTO 
VEROYATNOSTI~$p(r)$ NE DOLZHNY IZMENITXSYA.

uMNOZHENIE VSEH CHISEL NA~$c$ PREVRASHCHAET~$(\log_{10} U) \bmod 1$ 
V~$(\log_{10} U + \log_{10} c) \bmod 1$. nASTAL MOMENT VYVESTI FORMULY, 
OPISYVAYUSHCHIE ISKOMOE RASPREDELENIE; MY MOZHEM SCHITATX, CHTO~$1 \le c \le 10$. 
pO OPREDELENIYU
\EQ
{
 p(r) = \hbox{VEROYATNOSTX} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r).
}
sOGLASNO NASHEMU PREDPOLOZHENIYU, IMEEM TAKZHE
\EQ{
\eqalignno{
 p(r) &= \hbox{VEROYATNOSTX} ((\log_{10} U + \log_{10} c ) \bmod 1  \le \log_{10} r) = \cr
      &= \cases
       {
        \hbox{VEROYATNOSTX} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r - \log_{10} c \cr
        \hbox{ILI } (\log_{10} U) \bmod 1 \ge 1 - \log_{10} c) , & ESLI~$c \le r$, \cr
        \hbox{VEROYATNOSTX} (1-\log_{10} c \le (\log_{10} U) \bmod 1 \le  1 + \log_{10} r - \log_{10} c),  & ESLI~$c \ge r$, \cr
       }\cr
      &= \cases 
       {
         p (r/c) + 1 - p(10/c), & ESLI~$c \le r$,\cr
         p(10r/c) - p(10/c),    & ESLI~$c \ge r$.\cr
       } & (2) \cr
 }
}
pRODOLZHIM TEPERX FUNKCIYU~$p(r)$ VOVNE INTERVALA~$1 \le r \le 10$, 
POLOZHIV~$p(10^n r) = p(r)+n$; TOGDA POSLE ZAMENY~$10/c$ NA~$d$ MY MOZHEM 
ZAPISATX SOOTNOSHENIE~\eqref[2] V VIDE
\EQ[3]
{
 p(rd) = p(r) + p(d).
}
eSLI NASHE PREDPOLOZHENIE OB INVARIANTNOSTI RASPREDELENIYA OTNOSITELXNO 
UMNOZHENIYA NA PROIZVOLXNYJ POSTOYANNYJ MNOZHITELX VERNO, TO 
SOOTNOSHENIE~\eqref[3] DOLZHNO VYPOLNYATXSYA DLYA VSEH~$r > 0$
%% 273
I~$1 \le d \le 10$. iZ TOGO CHTO~$p(1)=0$, $p(10)=1$, SLEDUET, CHTO
\EQ{
 \displaylines{
  1 = p(10) = p((\root n \of {10})^n) = p(\root n \of {10}) + p((\root n \of {10})^{n-1})= \cr
    = \ldots = np(\root n \of {10}); \cr 
 }
}
OTSYUDA MY ZAKLYUCHAEM, CHTO DLYA VSEH POLOZHITELXNYH CELYH~$m$ I~$n$ 
SPRAVEDLIVO RAVENSTVO~$p(10^{m/n})=m/n$. eSLI DOPOLNITELXNO POTREBOVATX,
CHTOBY RASPREDELENIE~$p$ BYLO NEPRERYVNYM, TO MY PRIHODIM K 
RAVENSTVU~$p(r)=\log_{10} r$, A |TO I ESTX NUZHNYJ NAM ZAKON.

hOTYA |TO RASSUZHDENIE, VOZMOZHNO, I UBEDITELXNEE PREDYDUSHCHIH, ONO TOZHE V 
DEJSTVITELXNOSTI NE VYDERZHIVAET STROGOJ PROVERKI. mY PREDPOLAGAEM, CHTO 
SUSHCHESTVUET NEKOE LEZHASHCHEE V OSNOVE RASSMATRIVAEMOGO YAVLENIYA RASPREDELENIE 
CHISEL~$F(u)$, TAKOE, CHTO VEROYATNOSTX TOGO, CHTO DANNOE PROIZVOLXNOE 
CHISLO~$U$ NE PREVOSHODIT~$u$, RAVNA~$F(u)$ I CHTO
\EQ[4]
{
 p(r) = \sum_m (F(10^m r) - F(10^m)),
}
GDE SUMMIROVANIE PROVODITSYA PO VSEM ZNACHENIYAM~$-\infty < m < \infty$.  iZ 
NASHEGO RASSUZHDENIYA VYTEKAET, CHTO TOGDA
\EQ{
 p(r) = \log_{10} r.
}
iSPOLXZUYA TE ZHE DOVODY, MY MOZHEM "DOKAZATX", CHTO
\EQ[5]
{
 \sum_m (F(b^m r) - F(b^m)) = \log_b r
}
PRI~$1 \le r \le b$ DLYA VSYAKOGO CELOGO CHISLA~$b \ge 2$. nO FUNKCII 
RASPREDELENIYA~$F$, KOTORAYA UDOVLETVORYALA BY |TOMU RAVENSTVU DLYA 
VSEH TAKIH~$b$ I~$r$, NE SUSHCHESTVUET! "kAKAYA-TO V DERZHAVE DATSKOJ GNILX!"

oDIN IZ SPOSOBOV VYJTI IZ |TOGO ZATRUDNENIYA SOSTOIT V TOM, CHTOBY 
RASSMATRIVATX LOGARIFMICHESKIJ ZAKON~$p(r) = \log_{10} r$ LISHX KAK OCHENX 
HOROSHEE \emph{PRIBLIZHENIE} K ISTINNOMU RASPREDELENIYU. vOZMOZHNO, CHTO |TO 
ISTINNOE RASPREDELENIE PRI RASSHIRENII vSELENNOJ IZMENYAETSYA, STANOVYASX S 
TECHENIEM VREMENI VSE LUCHSHIM I LUCHSHIM PRIBLIZHENIEM; I ESLI ZAMENITX 
OSNOVANIE~$10$ PROIZVOLXNYM OSNOVANIEM~$b$, NASHE PRIBLIZHENIE TEM MENEE 
TOCHNO (V LYUBOJ DANNYJ MOMENT VREMENI), CHEM BOLXSHE~$b$. dRUGOJ, DOVOLXNO 
PRIVLEKATELXNYJ SPOSOB RESHENIYA PROBLEMY, SVYAZANNYJ S OTKAZOM OT 
TRADICIONNOGO PONYATIYA FUNKCII RASPREDELENIYA, PREDLOZHEN r.~a.~r|JMI 
[{\sl AMM,\/}  {\bf 76} (1969), 342--348].

vITIEVATYE RASSUZHDENIYA POSLEDNEGO ABZACA, PO-VIDIMOMU, NI V KOEJ MERE 
NELXZYA PRIZNATX UDOVLETVORITELXNYM OB�YASNENIEM, TAK CHTO SLEDUET VESXMA 
POLOZHITELXNO OTNESTISX K PROVODIMYM NIZHE VYCHISLENIYAM (GDE MY 
PRIDERZHIVAEMSYA STROGOGO MATEMATICHESKOGO KANONA I IZBEGAEM INTUITIVNYH, 
NO PARADOKSALXNYH PONYATII TEORII VEROYATNOSTEJ). rASSMOTRIM VMESTO 
RASPREDELENIYA NEKOEGO VOOBRAZHAEMOGO MNOZHESTVA VESHCHESTVENNYH CHISEL RASPREDELENIE
%% 274
STARSHIH ZNACHASHCHIH CIFR \emph{POLOZHITELXNYH CELYH} CHISEL. iSSLEDOVANIE 
|TOJ TEMY CHREZVYCHAJNO INTERESNO, I NE TOLXKO POTOMU,  CHTO ONO PROLIVAET 
NEKOTORYJ SVET NA RASPREDELENIYA VEROYATNOSTEJ DLYA DANNYH, PREDSTAVLENNYH V 
FORME S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, NO  TAKZHE I POTOMU, CHTO ONO SLUZHIT VESXMA 
POUCHITELXNYM PRIMEROM  TOGO, KAK SOCHETATX METODY DISKRETNOJ MATEMATIKI S 
METODAMI ANALIZA.

vO VSEH POSLEDUYUSHCHIH RASSUZHDENIYAH~$r$ BUDET OBOZNACHATX FIKSIROVANNOE 
VESHCHESTVENNOE CHISLO, $1 \le r \le 10$; MY POPYTAEMSYA DATX RAZUMNOE 
OPREDELENIE~$p(r)$ KAK "VEROYATNOSTI" TOGO, CHTO 
PREDSTAVLENIE~$10^{e_N} \cdot f_N$ "SLUCHAJNOGO" POLOZHITELXNOGO CELOGO 
CHISLA~$N$ UDOVLETVORYAET NERAVENSTVU~$10 f_N < r$.

dLYA NACHALA POPROBUEM NAJTI |TU VEROYATNOSTX, ISPOLXZUYA PREDELXNYJ PEREHOD, 
ANALOGICHNO TOMU KAK MY OPREDELYALI~"Pr" V~\S~3.5. uDOBNYJ SPOSOB 
PEREFRAZIROVATX |TO OPREDELENIE SOSTOIT V SLEDUYUSHCHEM:
\EQ[6]{
 P_0(n)=\cases{
  1, & ESLI~$n=10^e \cdot f$, GDE~$10 f < r$, T.~E.\ ESLI~$(\log_{10} n) \bmod 1 < \log_{10} r$;\cr
  0  & V PROTIVNOM SLUCHAE.\cr
 }
}

iTAK, POSLEDOVATELXNOSTX $P_0(1)$, $P_0(2)$,~\dots{} ESTX BESKONECHNAYA  
POSLEDOVATELXNOSTX NULEJ I EDINIC, PRICHEM EDINICY SOOTVETSTVUYUT SLUCHAYAM, 
VNOSYASHCHIM VKLAD V ZNACHENIE VEROYATNOSTI. mY MOZHEM POPYTATXSYA "USREDNITX" |TU 
POSLEDOVATELXNOSTX, POLOZHIV
\EQ[7]
{
 P_1(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_0(k).
}
eSTESTVENNO PRINYATX~$\lim_{n\to\infty} P_1(n)$ V KACHESTVE ISKOMOJ 
"VEROYATNOSTI"~$p(r)$; IMENNO TAK MY I SDELALI V~\S~3.5.

nO V DANNOM SLUCHAE |TOT PREDEL NE SUSHCHESTVUET. rASSMOTRIM,  NAPRIMER, PODPOSLEDOVATELXNOSTX
\EQ{
 P_1(s),\; P_1(10s),\; P_1(100s),\; \ldots,\; P_1(10^n s),\; \ldots,
}
GDE~$s$---NEKOTOROE VESHCHESTVENNOE CHISLO, $1 \le s \le 10$. eSLI~$s \le r$, TO 
MY IMEEM
\EQ
{
 \eqalignno{
  P_1(10^n s) &= {1 \over 10^n s} ( \ceil{r} -1 + \ceil{10 r} - 10 + \cdots 
                 + \ceil{10^{n-1} r} - 10^{n-1} + \floor{10^n s} + 1 - 10^n) = \cr
              &= {1 \over 10^n s} (r(1+10+\cdots+10^{n-1})+O(n)+\floor{10^n s} 
                 - 1 - 10 - \cdots - 10^n) = \cr
%% DOBAVLENA PRAVAYA SKOBKA:  "\right)", MESTO VSTAVKI SKOBKI VYBRANO BEZ DOKAZATELXSTVA
              &= {1 \over 10^n s} \left({1\over 9} (10^n r - 10^{n+1}) 
                 + \floor{10^n s}\right)+O(n), & (8) \cr
 }
}
%% 275
GDE V DESYATICHNOJ ZAPISI~$r=r_0.r_1r_2\ldots\,$. pRI~$n\to\infty$ 
FUNKCIYA~$P_1(10^n s)$ STREMITSYA, TAKIM OBRAZOM, K PREDELXNOMU 
ZNACHENIYU~$1+(r-10)/9s$. vYCHISLENIE, PROVEDENNOE VYSHE DLYA SLUCHAYA~$s \le r$,
MOZHNO MODIFICIROVATX TAKIM OBRAZOM, CHTOBY ONO SOHRANILO SMYSL I PRI~$s > r$; 
PRI |TOM $\floor{10^n s}+1$~ZAMENITSYA NA~$\ceil{10^n r}$, TAK CHTO 
DLYA~$s \ge r$ MY POLUCHIM PREDELXNOE ZNACHENIE, RAVNOE~$10(r-1)/9s$. 
[sM.\ J.\ Franel Naturforschende Gesellschaft, Vierteljahrsschrift, {\bf 62} 
(Z\"urich, 1917), 286--295.]

iTAK, POSLEDOVATELXNOSTX~$P_1(n)$ SODERZHIT PODPOSLEDOVATELXNOSTX, PREDEL 
KOTOROJ PRI VOZRASTANII~$s$ OT~$1$ DO~$r$, A ZATEM OT~$r$ DO~$10$ SNACHALA 
VOZRASTAET OT~$(r-1)/9$ DO~$10(r-1)/9r$, A ZATEM UBYVAET SNOVA 
DO~$(r-1)/9$. oTSYUDA VIDNO, CHTO POSLEDOVATELXNOSTX~$P_1(n)$ NE IMEET 
PREDELA I CHTO~$P_1(n)$ NE SLISHKOM HOROSHEE PRIBLIZHENIE K NASHEMU 
PREDPOLAGAEMOMU OTVETU~$\log_{10} r$!

tAK KAK~$P_1(n)$ NI K CHEMU NE STREMITSYA, MOZHNO POPYTATXSYA ESHCHE RAZ 
ISPOLXZOVATX TU ZHE IDEYU, CHTO I V~\eqref[7], CHTOBY "USREDNENIEM" USTRANITX 
|TU ANOMALX V POVEDENII NASHEJ POSLEDOVATELXNOSTI. vOOBSHCHE POLOZHIM
\EQ[9]
{
 P_{m+1}(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_m(k).
}
tOGDA $P_{m+1}(n)$~BUDET PROYAVLYATX TENDENCIYU K BOLEE PRAVILXNOMU POVEDENIYU,
NEZHELI~$P_m(n)$. pOPYTAEMSYA IZUCHITX POVEDENIE~$P_{m+1}(n)$ DLYA 
BOLXSHIH~$n$. oPYT, PRIOBRETENNYJ NAMI PRI RASSMOTRENII CHASTNOGO 
SLUCHAYA~$m=0$, PODSKAZYVAET, CHTO STOIT PRIVLECHX K 
DELU PODPOSLEDOVATELXNOSTX~$P_{m+1}(10^n s)$. iMENNO NA |TOM PUTI MY 
I DOKAZHEM SLEDUYUSHCHIJ REZULXTAT.

\proclaim lEMMA~Q. dLYA PROIZVOLXNOGO CELOGO CHISLA~$m \ge 1$ I 
PROIZVOLXNOGO VESHCHESTVENNOGO CHISLA~$\varepsilon > 0$ NAJDUTSYA TAKIE 
FUNKCII~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ I TAKOE CELOE CHISLO~$N_m(\varepsilon)$, CHTO 
PRI~$n > N_m(\varepsilon)$ I~$1 \le s \le 10$ VYPOLNYAYUTSYA NERAVENSTVA
\EQ[10]
{
 \displaynarrow{
  \abs{P_m(10^n s) - Q_m(s)} < \varepsilon, \hbox{ ESLI~$s \le r$,}\cr
  \abs{P^m(10^n s) - (Q_m(s)+R_m(s))} < \varepsilon, \hbox{ ESLI~$s>r$.}\cr
 }
}
dALEE, FUNKCII~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ UDOVLETVORYAYUT SOOTNOSHENIYAM
\EQ[11]
{
 \eqalign{
  Q_m(s) &= {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt
            +\int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt + {1\over 9}\int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt\right);\cr
  R_m(s) &= {1\over s} \int_r^s R_{m-1}(t)\,dt;\cr
  Q_0(s) &= 1, \quad R_0(s)= -1.\cr
 }
}
%% 276

\proof rASSMOTRIM FUNKCII~$Q_m(s)$, $R_m(s)$, OPREDELENNYE 
FORMULAMI~\eqref[11], I POLOZHIM 
\EQ[12]{
 S_m(t)=\cases{
         Q_m(t), & $t \le r$, \cr
  Q_m(t)+R_m(t), & $t > r$.   \cr
 }
}
dOKAZHEM LEMMU INDUKCIEJ PO~$m$.

pUSTX SNACHALA~$m=1$; TOGDA~$Q_1(s)=(1/s)(1+(s-1)+(r-10)/9)= 1+(r-10)/9s$ 
I~$R_1(s)=(r-s)/s$. iZ~\eqref[8] NAHODIM, CHTO
\EQ{
 \abs{P_1(10^n s) - S_1(s)} = O(n)/10^n;
}
|TO DOKAZYVAET LEMMU PRI~$m=1$.

pRI~$m > 1$ IMEEM
\EQ{
P_m(10^n s) = 
 {1\over s} \left( 
   \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} 
   \sum_{10^j \le k < 10^{j+1}} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) 
   + \sum_{10^n \le k \le 10^n s} {1\over 10^n} P_{m-1}(k) 
 \right).
}
mY HOTIM OCENITX |TU VELICHINU. rAZNOSTX
\EQ[13]{
 \abs{
  \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) 
  - \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} S_{m-1} 
      \left({k \over 10^j}\right)
 }
}
MENXSHE~$(q-1)\varepsilon$, KOGDA~$1 \le q \le 10$ 
I~$j > N_{m-1}(\varepsilon)$,  A POSKOLXKU FUNKCIYA~$S_{m-1}(t)$ NEPRERYVNA I 
POTOMU INTEGRIRUEMA PO rIMANU, TO RAZNOSTX
\EQ[14]
{
 \abs{ 
  \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1 \over 10^j} S_{m-1} 
    \left({k\over 10^j}\right) -\int_1^q S_{m-1}(t)\,dt
 }
}
MENXSHE~$\varepsilon$ DLYA VSEH~$j$, BOLXSHIH NEKOTOROGO CHISLA~$N$, NE 
ZAVISYASHCHEGO OT~$q$. mY MOZHEM VYBRATX~$N$ BOLXSHIM, 
CHEM~$N_{m-1}(\varepsilon)$. sLEDOVATELXNO, PRI~$n > N$ RAZNOSTX
\EQ[15]{
 \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} 
 \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt+\int_1^s S_{m-1}(t)\,dt\right)}
}
OGRANICHENA VELICHINOJ
\EQ{
 \sum_{0 \le j \le N} {M \over 10^{n-j}}+\sum_{N<j<n} {10 \varepsilon \over 10^{n-j}} + 10 \varepsilon,
}
ESLI~$M$ PRI VSEH~$j$ SLUZHIT VERHNEJ GRANICEJ DLYA SUMMY~$\hbox{\eqref[13]}+\hbox{\eqref[14]}$.
nAKONEC, SUMMA~$\sum_{0\le j < n} (1/10^{n-j})$, FIGURIRUYUSHCHAYA V~\eqref[15],
RAVNA~%
%% 277
$(1-1/10^n)/9$. pO|TOMU RAZNOSTX
\EQ{
 \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt + \int_1^s S_{m-1}(t)\,dt \right) }
}
STANOVITSYA MENXSHE~$(10/9) (10\varepsilon)$ PRI DOSTATOCHNO BOLXSHIH~$n$. 
sOPOSTAVLYAYA |TO S~\eqref[10] I~\eqref[11], VIDIM, CHTO VSE DOKAZANO.
\proofend

sUTX LEMMY~Q---UTVERZHDENIE O SUSHCHESTVOVANII PREDELA
\EQ[16]
{
 \lim_{n\to\infty} P_m(10^n s) = S_m(s).
}
oDNAKO VVIDU TOGO CHTO FUNKCIYA~$S_m(s)$ NE OSTAETSYA POSTOYANNOJ PRI 
IZMENENII~$s$, PREDEL
\EQ{
 \lim_{n\to\infty} P_m(n),
}
KOTORYJ MOG BY BYTX NASHEJ ZHELANNOJ "VEROYATNOSTXYU", NE SUSHCHESTVUET NI DLYA 
KAKOGO~$m$. o SOZDAVSHEJSYA SITUACII DAET PREDSTAVLENIE
\picture{rIS.~5.   vEROYATNOSTX TOGO, CHTO STARSHAYA ZNACHASHCHAYA CIFRA RAVNA 1.}
RIS.~5, IZOBRAZHAYUSHCHIJ ZNACHENIYA~$S_m(s)$ DLYA MALYH~$m$ I~$r=2$.

hOTYA FUNKCII~$S_m(s)$ I NE POSTOYANNY, TAK CHTO U~$P_m(n)$ NE SUSHCHESTVUET 
PREDELA, MY VIDIM IZ RIS.~5, CHTO UZHE DLYA~$m=3$  ZNACHENIE~$S_m(s)$ OSTAETSYA 
VSE VREMYA OCHENX BLIZKIM K~$\log_{10} 2 = 0.30103\ldots\,$. sLEDOVATELXNO, 
U NAS ESTX SERXEZNYE OSNOVANIYA PREDPOLAGATX, CHTO FUNKCIYA~$S_m(s)$ OCHENX 
BLIZKA K~$\log_{10} r$ DLYA BOLXSHIH~$m$ I DAZHE CHTO POSLEDOVATELXNOSTX 
FUNKCIJ~$\<S_m(s)>$  RAVNOMERNO SHODITSYA K POSTOYANNOJ FUNKCII~$\log_{10} r$.

iNTERESNO DOKAZATX |TU GIPOTEZU YAVNYM VYCHISLENIEM~$Q_m(s)$  I~$R_m(s)$ DLYA 
VSEH~$m$, CHTO I DELAETSYA V DOKAZATELXSTVE SLEDUYUSHCHEJ TEOREMY.

%% 278

\proclaim tEOREMA~F. dLYA VSYAKOGO~$\varepsilon>0$ NAJDETSYA TAKOE CHISLO~$N$, CHTO
\EQ[17]{
 \abs{P_m(n) - \log_{10} r} < \varepsilon
}
PRI~$m$,~$n>N$.

\proof vVIDU LEMMY~Q, |TOT REZULXTAT BUDET DOKAZAN, ESLI MY SMOZHEM 
POKAZATX, CHTO SUSHCHESTVUET TAKOE CHISLO~$M$, ZAVISYASHCHEE OT~$\varepsilon$, 
CHTO DLYA VSEH~$s$ IZ INTERVALA~$1 \le s \le 10$ I VSEH~$m > M$ SPRAVEDLIVY 
NERAVENSTVA
\EQ[18]
{
 \abs{Q_m(s) - \log_{10} r} < \varepsilon \hbox{ I } \abs{R_m(s)} < \varepsilon.
}

zNACHENIE~$R_m$ NETRUDNO OPREDELITX IZ REKURRENTNOJ FORMULY~\eqref[11]. v 
SAMOM DELE, IMEEM~$R_0(s)=-1$, $R_1(s)=-1+r/s$, 
$R_2(s) = -1 + (r/s)(1+\ln (s/r))$ I VOOBSHCHE
\EQ[19]{
 R_m(s) = -1 + {r \over s} \left(1+{1\over 1!}\ln\left({s \over r}\right) + 
 {1\over 2!} \left(\ln \left({s\over r}\right)\right)^2+ \cdots + {1 \over (m-1)!} 
  \left( \ln\left({s\over r}\right)\right)^{m-1}\right).
}
dLYA ZNACHENIJ~$s$ IZ UKAZANNOGO INTERVALA |TA FUNKCIYA RAVNOMERNO SHODITSYA K
\EQ{
 -1 + (r/s) \exp (\ln (s/r)) = 0.
}

rEKURRENTNAYA FORMULA~\eqref[11] DLYA~$Q_m$ PRINIMAET VID
\EQ[20]{
 Q_m(s) = {1\over s} \left( c_m + 1 + \int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt\right),
}
GDE
\EQ[21]{
 c_m = {1\over 9} \left( \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt + \int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt \right) -1.
}
FORMULA DLYA OBSHCHEGO CHLENA POSLEDOVATELXNOSTI, OPREDELYAEMOJ REKURRENTNOJ 
FORMULOJ~\eqref[20], TAKZHE NAHODITSYA BEZ TRUDA; NADO VYPISATX SNACHALA 
VYRAZHENIYA DLYA NESKOLXKIH PERVYH CHLENOV, SOOBRAZITX, KAKOVA OBSHCHAYA FORMULA, 
I DOKAZATX EE PO INDUKCII;
MY POLUCHIM, CHTO
\EQ[22]{
 Q_m(s) = 1 + {1\over s} \left( c_m + {1\over 1!}c_{m-1}\ln s 
            + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \cdots + {1\over (m-1)!} (\ln s)^{m-1}\right).
}

nAM OSTAETSYA TOLXKO VYCHISLITX KO|FFICIENTY~$c_m$, KOTORYE V SILU 
FORMUL~\eqref[19], \eqref[21] I~\eqref[22] UDOVLETVORYAYUT SOOTNOSHENIYAM
\EQ[23]{
 \displaynarrow{
      c_1 = (r-10)/9,\cr
  c_{m+1} = {1\over 9} 
            \left( 
                c_m \ln 10 + {1\over 2!}c_{m-1}(\ln 10)^2
                + \cdots + {1\over m!}c_1(\ln 10)^m 
                + r \left( 
                        1+ {1\over 1!} \ln {10\over r} 
                        + \cdots + {1\over m!} 
                           \left( \ln {10 \over r} \right)^m 
                    \right) 
                - 10 
            \right).\cr
 }
}
%% 279
eTA POSLEDOVATELXNOSTX KAZHETSYA OCHENX SLOZHNOJ, ODNAKO V DEJSTVITELXNOSTI 
EE MOZHNO BEZ TRUDA ISSLEDOVATX PRI POMOSHCHI PROIZVODYASHCHIH FUNKCIJ. pOLOZHIM
\EQ{
 C(z) = c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + \ldots \, .
}
vVIDU RAVENSTVA~$10^z = 1 + z\ln 10 + z^2 (1/2!) (\ln 10)^2 + \ldots\,$, 
MY ZAKLYUCHAEM, CHTO
\EQ{
c_{m+1} = {1\over 10}c_{m+1} + {9\over 10}c_{m+1} 
        = {1\over 10} \left(c_{m+1} + c_m \ln 10 + \cdots 
          + {1\over m!} c_1 (\ln 10)^m\right) + {r\over 10} 
            \left(1+\cdots+{1\over m!}\left(\ln {10\over r}\right)^m\right) - 1
}
ESTX KO|FFICIENT PRI~$z^{m+1}$ V RAZLOZHENII FUNKCII
\EQ[24]{
 {1\over 10} C(z) 10^z + {rz \over 10} \left({10\over r}\right)^z 
  \left({1\over 1-z}\right) - {1\over 1-z}.
}
eTO USLOVIE VYPOLNYAETSYA DLYA VSEH ZNACHENIJ~$m$, TAK CHTO~\eqref[24]  DOLZHNO 
RAVNYATXSYA~$C(z)$, I MY POLUCHAEM YAVNUYU FORMULU
\EQ[25]{
 C(z) = { -z \over 1-z} \left( {(10/r)^{z-1} -1 \over 10^{z-1}-1}\right).
}

chTOBY ZAVERSHITX NASH ANALIZ, NAM NADO IZUCHITX ASIMPTOTICHESKIE SVOJSTVA 
KO|FFICIENTOV~$C(z)$. dROBX V SKOBKAH V RAVENSTVE~\eqref[25] STREMITSYA 
PRI~$z \to 1$ K~$\ln (10/r) / \ln 10 = 1 - \log_{10} r$,  OTKUDA SLEDUET, CHTO
\EQ[26]{
 C(z) + {1 - \log_{10} r \over 1 - r} = R(z)
}
ESTX ANALITICHESKAYA FUNKCIYA KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ~$z$ V KRUGE
\EQ{
 \abs{z} < \abs{1+{2 \pi i \over \ln 10}}.
}
v CHASTNOSTI, RAZLOZHENIE FUNKCII~$R(z)$ SHODITSYA PRI~$z=1$, TAK CHTO EE 
KO|FFICIENTY STREMYATSYA K NULYU. eTO POKAZYVAET, CHTO KO|FFICIENTY 
FUNKCII~$C(z)$ VEDUT SEBYA KAK KO|FFICIENTY FUNKCII~$(\log_{10} r - 1)/(1-z)$, 
TAK CHTO
\EQ{
 \lim_{m \to \infty} c_m = \log_{10} r -1.
}

nAKONEC, SOPOSTAVLYAYA |TOT REZULXTAT S FORMULOJ~\eqref[22], POLUCHAEM, CHTO 
$Q_m(s)$~STREMITSYA K
\EQ{
 1 + { \log_{10} r -1 \over s} \left( 1+ \ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \ldots \right) 
 = \log_{10} r
}
RAVNOMERNO NA OTREZKE~$1 \le s \le 10$. 
\proofend

iTAK, MY DOKAZALI PRYAMYM VYCHISLENIEM NASH LOGARIFMICHESKIJ ZAKON DLYA CELYH 
CHISEL, PRICHEM ODNOVREMENNO OBNARUZHILI, CHTO, HOTYA ON SLUZHIT OCHENX HOROSHIM 
PRIBLIZHENIEM DLYA OPISANIYA
%% 280
USREDNENNOGO POVEDENIYA, V TOCHNOSTI ON NIKOGDA NE DOSTIGAETSYA. aNALOGICHNYE 
REZULXTATY DLYA DRUGIH: RASPREDELENIJ BYLI OPUBLIKOVANY u.~fARRI I 
X.~gURVICEM [Nature, {\bf 155} (Jan.~13, 1945), 52--53]. dOKAZATELXSTVA 
LEMMY~Q I TEOREMY~F, KOTORYE BYLI ZDESX PRIVEDENY, PREDSTAVLYAYUT SOBOJ 
UPROSHCHENNYJ I OBOBSHCHENNYJ VARIANT RASSUZHDENII, PRINADLEZHASHCHIH bETTI dZHIN 
fLEHINGER [{\sl AMM,\/} {\bf 73} (1966), 1056--1061]. dRUGOJ INTERESNYJ 
PODHOD K RASPREDELENIYAM, SVYAZANNYM S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, BYL 
PREDLOZHEN eLANOM~g.~kONHEJMOM [{\sl Math. Comp.,\/} {\bf 19} (1965), 143--144].

\excercises
\ex[13] eSLI~$u$ I~$v$---DESYATICHNYE CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, IMEYUSHCHIE ODIN I 
TOT ZHE ZNAK, TO KAKOVO, SOGLASNO TABLICAM sUINI, PRIBLIZHENNOE ZNACHENIE 
VEROYATNOSTI TOGO, CHTO PRI VYCHISLENII ZNACHENIYA~$u \oplus v$ PROIZOJDET 
PEREPOLNENIE DROBNOJ CHASTI?

\ex[40] pROVEDITE DALXNEJSHIE |KSPERIMENTY SO SLOZHENIEM I VYCHITANIEM CHISEL 
S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ DLYA UTOCHNENIYA TABLIC sUINI.

\ex[15] nAJDITE, ISHODYA IZ LOGARIFMICHESKOGO ZAKONA, VEROYATNOSTX TOGO, CHTO 
DVE NACHALXNYE CIFRY DESYATICHNOGO CHISLA S PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ SUTX~"$23$".

\ex[18] v TEKSTE OTMECHENO, CHTO NACHALXNYE STRANICY INTENSIVNO 
ISPOLXZUEMYH TABLIC LOGARIFMOV POTREPANY V BOLXSHEJ STEPENI, CHEM 
POSLEDNIE STRANICY. a ESLI BY MY RABOTALI VMESTO |TOGO S TABLICEJ 
\emph{ANTILOGARIFMOV,} T.~E.~TABLICEJ, KOTORAYA DLYA DANNOGO 
ZNACHENIYA~$\log_{10} x$ UKAZYVAET ZNACHENIE~$x$, KAKIE STRANICY BYLI BY 
TOGDA SAMYMI POTREPANNYMI?

\rex[m20] pREDPOLOZHIM, CHTO VESHCHESTVENNOE CHISLO~$U$ RAVNOMERNO 
RASPREDELENO V INTERVALE~$0 < U < 1$. kAKOVO RASPREDELENIE NAIBOLEE 
ZNACHIMOJ CIFRY~$U$?

\ex[22] eSLI BY ODNO SLOVO DVOICHNOJ evm SODERZHALO $n+1$~BITOV, TO MY MOGLI 
BY ISPOLXZOVATX $p$~BITOV DLYA PREDSTAVLENIYA DROBNOJ CHASTI DVOICHNYH CHISEL S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, ODIN BIT DLYA ZNAKA I $n-p$~BITOV DLYA POKAZATELYA.  eTO 
OZNACHAET, CHTO INTERVAL IZMENENIYA PREDSTAVIMYH ZNACHENIJ, T.~E.\ OTNOSHENIE 
NAIBOLXSHEGO POLOZHITELXNOGO NORMALIZOVANNOGO ZNACHENIYA K NAIMENXSHEMU, PO 
SUSHCHESTVU RAVEN~$2^{2^{n-p}}$. To ZHE MASHINNOE SLOVO MOZHNO BYLO BY 
ISPOLXZOVATX I DLYA PREDSTAVLENIYA \emph{SHESTNADCATERICHNYH} CHISEL S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ, VYDELIV $p+2$~BITOV DLYA DROBNOJ CHASTI 
($(p+2)/4$~SHESTNADCATERICHNYH CIFR) I $n-p-2$~BITOV DLYA POKAZATELYA; TOGDA 
INTERVAL IZMENENIYA ZNACHENIJ BYL BY~$16^{2^{n-p-2}}=2^{2^{n-p}}$, T.~E.\ TOT ZHE, 
CHTO I RANXSHE, PRICHEM S BOLXSHIM CHISLOM BITOV V DROBNOJ CHASTI. mOZHET 
VOZNIKNUTX VPECHATLENIE, CHTO MY POLUCHILI CHTO-TO IZ NICHEGO, ODNAKO USLOVIE 
NORMALIZACII V SLUCHAE OSNOVANIYA~$16$ SLABEE V TOM SMYSLE, CHTO DROBNAYA 
CHASTX MOZHET SODERZHATX NULI V TREH NAIBOLEE ZNACHIMYH BITAH; TAKIM OBRAZOM, 
NE VSE IZ $p+2$~BITOV "ZNACHASHCHIE".
 \hiddenpar
iSHODYA IZ LOGARIFMICHESKOGO ZAKONA, VYYASNITE, KAKOVA VEROYATNOSTX TOGO, CHTO 
DROBNAYA CHASTX POLOZHITELXNOGO NORMALIZOVANNOGO SHESTNADCATERICHNOGO CHISLA S 
PLAVAYUSHCHEJ TOCHKOJ IMEET V TOCHNOSTI $0$, $1$, $2$ I~$3$~NULEVYH 
NAIBOLEE ZNACHIMYH BITA? oSNOVYVAYASX NA MATERIALE, IZLOZHENNOM V |TOM PUNKTE,
OBSUDITE VOPROS O DOSTOINSTVAH SHESTNADCATERICHNOJ SISTEMY V SRAVNENII S DVOICHNOJ.

\ex[vm28] dOKAZHITE, CHTO NE SUSHCHESTVUET FUNKCII RASPREDELENIYA~$F(u)$, 
UDOVLETVORYAYUSHCHEJ SOOTNOSHENIYU~\eqref[5] DLYA KAZHDOGO CELOGO CHISLA~$b\ge 2$ I 
DLYA VSEH VESHCHESTVENNYH ZNACHENIJ~$r$ IZ INTERVALA~$1 \le r \le b$.

\ex[m23] vYPOLNYAETSYA LI SOOTNOSHENIE~\eqref[10] PRI~$m=0$ DLYA 
SOOTVETSTVUYUSHCHIM OBRAZOM VYBRANNOGO~$N_0(\varepsilon)$?

\ex[vm24] pUSTX~$\<x_n>$---OGRANICHENNAYA POSLEDOVATELXNOSTX 
VESHCHESTVENNYH CHISEL, TAKAYA, CHTO 
PREDEL~$\lim_{n\to \infty} x_{\floor{10^n s}} = q(s)$ 
SUSHCHESTVUET DLYA VSEH~$s$ IZ INTER-
%% 281

\bye