S.E.SHilov. K interpretacii v pragmaticheskih sistemah (Kritika chistoj lingvistiki)

S. E. SHilov

K interpretacii v pragmaticheskih sistemah

(Kritika chistoj lingvistiki)

1. Pragmatika: simvolicheskij metod i istina.

2. Logika i ontologiya.

3. Pragmaticheskaya matematika

Pragmatika: simvolicheskij metod i istina

Pod pragmaticheskoj sistemoj my ponimaem takogo roda sistemu, soderzhanie kotoroj finitno, poskol'ku predstavlyaet iz sebya ne chto inoe, kak vypolnenie logiki dlya materiala, podlezhashchego sistematizacii v dannoj sisteme, to est' materiala opredelennogo vpolne. Podobno tomu, kak rech' finitna posredstvom ponyatij, yazyk, na kotorom zapisyvayutsya predlozheniya pragmaticheskoj sistemy, finiten posredstvom idej. |to tak nazyvaemyj "formal'nyj" yazyk, upotreblenie kotorogo oboznachaetsya nami, kak postroennyj sootvetstvuyushchih emu semantiki, semiotiki, sintaksisa i grammatiki. Kazhdaya iz etih podlezhashchih "formal'nomu" yazyku disciplin, v svoyu ochered' yavlyayutsya pragmaticheskoj sistemoj, predlozheniya kotoroj takzhe zapisyvayutsya na formal'nom yazyke. YAzyk, takim obrazom, predvaritel'no opredelen nami kak pragmaticheskaya sistema rechi. Pragmaticheskaya sistema konstruiruetsya myshleniem, ponyatie myshleniya ili myslyashchie myshlenie, takim obrazom, est' konstruiruyushchee pragmaticheskuyu sistemu, mysli, sledovatel'no, smyslyat ne chto inoe, kak smysl yazyka, na kotorom zapisany predlozheniya pragmaticheskoj sistemy. Iz tavtologij takogo roda sleduet definiciya otnoshenij prisushchnostej (myslimyh i nemyslimyh, nevoobrazimyh) kak sistemy aksiom evklidovoj geometrii, yavlyayushchejsya celikom sistemoj pragmaticheskoj, chto dokazyvaetsya kak sushchestvovaniem sovremennoj sinteticheskoj geometrii, tak i takimi klassicheskimi primerami, kak, v chastnosti, logicheskaya priroda V postulata. Poskol'ku otnoshenie prisushchnosti est' v sobstvennom smysle znachenie logiki, sushchestvuyushchee samostoyatel'no i ne svyazannoe vpolne ni s odnoj iz ee (logiki) interpretacij. Vprochem, imeyushchih, kak pokazalo sovremennoe razvitie paraneprotivorechivyh logik i sobstvennoe, inakovoe po otnosheniyu k matematicheskoj adekvatnosti -- vosproizvedeniyu, znachenie, postol'ku myshlenie myslit konstruiruemuyu im pragmaticheskuyu sintagmu, sushchestvuyushchuyu dlitel'no dlya myshleniya i germetichno, tak, kak esli by ono zaklyuchalos' ponimaniem sinteticheskoj geometrii. "Obrazovanie ponyatiya velichiny, - govorit Riman, vozmozhno lish' v tom sluchae, esli predposlano nekotoroe obshchee ponyatie, svyazannoe s dopushcheniem ryada razlichnyh sostoyanij". Neobhodimo dolzhen byt' designirovan smysl, trebuyushchij obrazovaniya ponyatiya velichiny, prichem takim nepremenno obrazom, chto formirovanie nekotorogo obshcheznachimogo ponyatiya tesno svyazano s osmysleniem effektov Gedelya nepolnoty i dazhe nepopolnimosti ischisleniya formal'nogo yazyka, mysl' o kotorom, o nekotorom ego zakonomernom sushchestvovanii designiruet tem samym etot gipoteticheskij smysl. S tochki zreniya klassicheskoj teorii sillogizma designirovanie smysla vyglyadit sleduyushchim obrazom: pust' sushchestvuyut referenty figur sillogizmov, ih modusov, takovymi, v chastnosti, dlya chetyreh figur sillogizma yavlyayutsya sootvetstvenno srednie terminy M₁, M₂, M₃, M₄, smysly atomarnyh predlozhenij aristotelevskoj sillogistiki. Predshestvuyushchie etim predlozheniyam, to est' sillogizmam, togda znacheniem predlozheniya sillogistiki (S -- P) yavlyaetsya formal'nyj sillogizm, ego figury, modusy, srednim terminom kotoryh yavlyaetsya ob®ekt Q, imenno v etom smysle tozhdestvenen srednij termin raznovidnostej formal'nogo sillogizma. Formal'nyj yazyk aristotelevskoj sillogistiki, takim obrazom, kak pokazali raboty professora Lukasevicha, designiruyut smysl, trebuyushchij ponyatiya ob®ekta v silu razmyshleniya ob effektah nepolnoty etogo ischisleniya.

Kak izvestno, Frege prihodit k neobhodimosti ponyatiya smysla, analiziruya razlichnye suzhdeniya tozhdestva. Smysl tozhdestva (otnoshenie li ono, naprimer, mezhdu ob®ektami ili mezhdu znakami ob®ektov) designiruetsya teoriej ob®ektov v logike. Zadumyvalis' o principial'noj nepolnote ischisleniya etoj teorii, zakodirovannoj v po sushchestvo aristotelevskoj poziciyah Frege, zaklyuchayushchejsya v tom. chto ob®ektivnost' logiki vlechet za soboj ob®ektivnost' logicheskih ob®ektov, Gusserlya ob intencional'nosti logicheskih ob®ektov, my prihodim k vyvodu o tom, chto ob®ektami logiki yavlyayutsya sami formalizovannye yazyki, prichem takim imenno obrazom, chto ih razlichie (etih ob®ektov) zaklyuchaetsya v ih grammatike, a imenno, eto mogut byt' formalizovannye, formalizuemye, formalizovavshie, formalizuyushchie, zaformalizuemye, pereformalizovannye, formalizuyushchie osobo i t. d. i t. p. yazyki, ih zhe (ob®ektov logiki) tozhdestvo zaklyuchaetsya v ih sintaksise, a imenno nashimi dlya kazhdogo iz nih toj pozicii, toj referativnoj tochki, so storony kotoroj na yazyke lezhit pechat' formalizacii, konstruirovaniya ego myshleniem kak pragmaticheskoj sistemy.

"Otnoshenie tozhdestva, - utverzhdaet Frege, dano nastol'ko opredelenno, chto nalichie razlichnyh vidov ego prosto trudno voobrazit'". "Sushchnost' znacheniya, - govorit Gusserl', - usmatrivaetsya nami ne v oznachayushchem vospriyatii, no v ego "materii", nekoem tozhdestvennom intencional'nom edinstve, stoyashchim nad mnozhestvennost'yu vospriyatij, govoryashchim i dumayushchim. "Materiej" vospriyatij, znachenij v etom ideal'nom smysle, voobshche ne to, chto psihologiya podrazumevaet pod materiej, t. e. ne lyubaya real'naya chast' ili storona vospriyatij". My usmatrivaem zdes' fenomenologicheskoe istolkovanie, chistuyu deskripciyu sintaksisa, kakovoj vystupaet dlya logiki v kachestve znacheniya, samostoyatel'nogo, po sebe sushchestvuyushchego. Fenomenologicheski opisaniem grammatiki, simvoliziruyushchej dlya logiki smysl, kak yasno, my vezde imeem zdes' v vidu konstruirovanie myshleniem finitnoj pragmaticheskoj sistemy, predstayushchej dlya myshleniya nezavisimo sinteticheskoj geometriej, yavlyayutsya teorii logicheskih ob®ektov, L. Vitgenshtejna, A. Mejponga, B. Rassela, teorii istinnosti Tarskogo kak konceptual'noe obosnovanie logicheskogo vyvoda, kotorye mogut byt' predstavleny vide programmnogo tezisa L. Vitgenshtejna: "sushchnosti vyrazhayutsya v grammatike", prinimaya vo vnimanie nashe korotkoe zamechanie o tom, kakoj effekt vyzyvaet nepolnota aristotelevskoj sillogistiki, ved' imenno sushchnost', "nazyvaemaya tak v samom osnovnom, pervichnom i bezuslovnom smysle, - eto ta, kotoraya ni govoritsya ni o kakom podlezhashchem i ne soderzhitsya ni v kakom podlezhashchem" (Aristotel') vyrazhaetsya v grammatike -- takova rech', finitnaya posredstvom ponyatij, koncentrirovannoe vyrazhenie platonizma. Kak izvestno, pri rassmotrenii lyuboj sistemy aksiom voznikaet ryad voprosov, kotorye v chastnosti, mogut reshat'sya i s pomoshch'yu interpretacij. Odin iz etih voprosov -- vopros o neprotivorechivosti sistemy aksiom. My vsegda dolzhny byt' uvereny, chto, delaya vsevozmozhnye vyvody iz dannoj sistemy aksiom, ne pridem k protivorechiyu, t. e. ne vyvedem kakie-libo nesovmestimye utverzhdeniya. Poyavlenie protivorechiya oznachalo by, chto rassmatrivaemoj sisteme aksiom ne mozhet udovletvoryat' nikakaya sistema ob®ektov i, takim obrazom, eti aksiomy nichego ne opisyvayut. Neprotivorechivost' sistemy aksiom mozhet byt' dokazana postroeniem kakoj-nibud' tochnoj interpretacii etoj sistemy.

Sleduet zametit', chto v gil'bertovskom aksiomaticheskom metode, istochnikom interpretacij dlya vsevozmozhnyh sistem aksiom yavlyaetsya teoriya mnozhestv. Analogichno obstoit delo i s voprosom o ne zavisimosti aksiom. Kakaya-libo aksioma nazyvaetsya nezavisimoj v dannoj sisteme aksiom, esli ona ne vyvodima iz ostal'nyh aksiom etoj sistemy. Dlya dokazatel'stva nezavisimosti kakoj-libo aksiomy dostatochno najti sistemu ob®ektov, udovletvoryayushchuyu vsem aksiomam, krome issleduemoj i ne udovletvoryayushchuyu etoj poslednej. Sistema aksiom yavlyaetsya polnoj, esli po prisoedineniyu k nej nezavisimoj aksiomy, ona stanovitsya protivorechivoj. Poskol'ku ob®ektom, na kotorom vypolnimy i vypolnyayutsya principial'no vozmozhnye sistemy aksiom, yavlyaetsya ob®ekt logiki, formal'nyj yazyk, ili formalizm, to v etom sluchae sleduet priznat', chto neprotivorechivost', nezavisimost', polnota sistemy aksiom ne yavlyaetsya prisushchej im vnutrenne, no vyrazhaet takuyu storonu ih interpretacii, kak designaciya. Inache govorya, polnota, neprotivorechivost', nezavisimost' sistemy aksiom ne sushchestvuet vne designacii, vne designacii ona spekulyativna, lishena, soglasno finitizmu Gil'berta, interpretacii, polnota, neprotivorechivost' i nezavisimost' sistemy aksiom est' sootvetstvenno referent, denotat i designator ponyatiya designacii, vypolnyaemogo myshleniem, finitnym posredstvom ponyatiya formalizma, ili, govorya v samom neobhodimom i bezuslovnom smysle, myshleniya, myslyashchego smysl nepolnoty i nepopolnyaemosti ischisleniya rassmatrivaemoj sistemy aksiom, poskol'ku ob®ektami kanona takogo myshleniya (logiki) yavlyayutsya formalizmy. S nashej tochki zreniya, teorii mnozhestv ne yavlyaetsya nadezhnym osnovaniem dlya aksiomaticheskogo metoda, i bolee togo, teoriya mnozhestv svoim sobstvennym smyslom imeet edinstvenno tot, kotoryj trebuet ponyatij protivorechivosti, nepolnoty, zavisimosti aksiom, rabota v napravlenii chego i byla prodelana P. Gedelem. Sub®ektami vsyakoj teorii, vypolnimoj na nekotoroj oblasti, yavlyaetsya logicheskij sub®ekt, i potomu, sledovatel'no, ee cel'yu i organizuyushchij zvenom yavlyaetsya ponyatie nekotorogo vpolne opredelennogo formalizma, rezul'tatami konstruiruemoj pragmaticheskoj sistemy, ustraivaemogo v nej i ustraivayushchego ee samoe vsledstvie togo, chto myshlenie stroit ego sintaksis i grammatiku, dvigayas' po kanonu logiki. "To, chto proizvoditsya instrumental'no (elektron, pole, potok i t. d.), - spravedlivo govorit G. Bashlyar, - teper' rassmatrivaetsya teoreticheskim myshleniem kak logicheskij sub®ekt, a vovse ne substancional'no. Esli zhe kakie-to substancial'nye ostatki ostayutsya, to oni dolzhny byt' ustraneny; oni svidetel'stvuyut o naivnom realizme, podlezhashchem iskoreneniyu... Kakie duhovnye predchuvstviya zastavlyayut nas sublimirovat' realisticheskie ponyatiya? ... Nam predstavlyaetsya, chto v prostranstve mezhdu ischeznoveniem nekoego nauchnogo ob®ekta i obrazovaniem novoj real'nosti nahoditsya mesto dlya nerealistskoj mysli, dlya mysli, sozdayushchej oporu svoego dvizheniya". Myshlenie lish' designiruet, proizvodya substanciyu, referenciyu pragmaticheskoj sistemy, stepen' kotoroj harakterizuetsya chislom formalizmov, izvlekaemyh iz nee myshleniem, znayushchimi ee kak yazyk, obladayushchij svoim sintaksisom i grammatikoj, izvlekaemyh s intensivnost'yu i v poryadke preodoleniya nepolnoty sistemy aksiom, o kotoroj povestvuet formal'nyj yazyk, spryatannyj v teorii, zaostryaya vnimanie imenno na ee nepolnote. Teoreticheskoe myshlenie vidit v teorii rech', s ee sintaksisom, grammatikoj, semantikoj, semiotikoj, pragmatikoj, v to vremya kak teoriya sama po sebe est' sushchestvuyushchij formalizm, a imenno znachenie (ob®ekt logiki), znachimoe dlya myshleniya, nachalo i konec konstruirovaniya. Sushchestvovat' -- znachit, imet' znachenie, ili, znachenie znachit sushchestvovanie, substancional'naya logika s ee teoriej sushchestvovaniya, legshaya v osnovu teorii mnozhestv, zamenyaetsya, takim obrazom, teoriej znacheniya, teoriej (chego?) formalizma, podobno tomu, kak teoriya sushchestvovaniya yavlyaetsya teoriej substancii i v koncepcii yazyka Kuajna, v chastnosti, imel v vidu ego nominalisticheskie vzglyady na yazyk i opredeleniya sushchestvovaniya cherez kvantifikaciyu, drugogo smysla, krome "znachenie", sushchestvovanie ne imeet, imenno smysl, nazyvaemyj nami znacheniem, trebuet obrazovaniya ponyatiya sushchestvovaniya. Kogda my govorim "teoreticheskoe myshlenie vidit", my ponimaem sovokupnost' glagol'nyh form "znaet" (uznaet, poznaet i t. d.), chto prezhde znachilos' pod ponyatiem sozercaniya. Kak izvestno, rasshirenie sfery logicheskogo izucheniya sostoyalo v tom, chto v otlichie ot logiki klanov Aristotelya, svodivshej vse otnosheniya mezhdu terminami suzhdeniya k ob®emnym otnosheniyam prinadlezhnosti i neprinadlezhnosti, vklyucheniya i isklyucheniya, sovremennaya logika priznaet sushchestvovanie mnozhestva otnoshenij drugogo tipa. Takovo zhe, na nash vzglyad, razvitie matematiki, podvergnuvshee konstruktivnoj kritike teorii mnozhestv priobretennuyu v nej konceptual'noe znachenie. Otnoshenie prisushchnosti,, vklyucheniya dolzhny byt' oformleny vpolne, chto oni iz sebya predstavlyayut i dolzhny byt' isklyucheny, isklyuchaemy i isklyuchat'sya myshleniem iz oblasti znaniya. |ti otnosheniya neobhodimo dolzhny byt' rassmatrivaemy, kak "osmyslennaya lozh'", nazyvaemye takim obrazom Platonom izderzhki konstruirovaniya myshleniem pragmaticheskoj sistemy, kogda sub®ekt teorii iz logicheskogo stanovitsya substancional'nym, konstruirovanie -- intuiciej, mysli -- simvolom, znacheniya -- formalizmom, a myshleniya -- pragmaticheskoj sistemoj. Otnoshenie, takim obrazom, yavlyaetsya znacheniem ponyatiya ob®ekta, referiruyushchim klassicheskuyu teoriyu sillogizma, ili, inache govorya, esli myshlenie sushchestvuet, to zakon absolyutnogo razlicheniya lzhi i istiny ne imeet dlya nego rovno nikakogo znacheniya, esli vyrazhat' etot smysl v bolee oslablennoj forme, isklyuchaya otnosheniya prisushchnosti i t. d. substancial'noj logiki, to myshlenie designiruet znachenie smysla v otnoshenii k etomu korennomu logicheskomu voprosu, otnoshenie zhe myshleniya k smyslu, konceptual'noe obosnovanie ponyatiya otnosheniya, to, chto myshlenie ego konstruiruet, ispol'zuya rech', logiku, ponyatiya, finitnuyu v rechi, finitnoj posredstvom ponyatiya. Smysl designiruetsya ponyatiem, samostoyatel'noe, nezavisimoe po sebe sushchestvovanie mysli, smysl mysli otnosheniya k myshleniyu kak intellekt, otnosyashchijsya intellekt sushchestvuet po sebe, proizvodit znachenie, referiruya, denotiruya, designiruya, konnotiruya, veroyatno imenno eto imel v vizhu CH. Pirs, podozrevaya, chto "ponyatie ... est' sovokupnost' vseh ego sledstvij". Ponyatie otnosheniya est', takim obrazom, trebovanie, kak i vsyakoe drugoe filosofskoe ponyatie, na nash vzglyad, trebovanie formal'nogo yazyka, vyskazyvanie kotorogo posvyashcheny smyslovoj struktury teorii logicheskih ob®ektov, izlagayut ee imenno kak strukturu i tol'ko, podobnye idei soderzhatsya v koncepcii logiki otnoshenij, predstavlennoj, v chastnosti, u SH. Serryusa v ego "Opyte issledovaniya znacheniya logiki". Logika otnoshenij predstavlyaet iz sebya v etom smysle metayazyka, yazykom-ob®ektom kotorogo yavlyaetsya yazyk logiki predmetov, i obladaet po sravneniyu s nim bolee razvitymi vyrazitel'nymi vozmozhnostyami. Alfavit yazyka logiki predikatov vklyuchaet, kak izvestno, sleduyushchie vidy znakov:

1) a, b, c, ... - simvoly dlya edinichnyh imen predmetov; predmetnye postoyannye;

2) x, y, z, ... - simvoly obshchih imen predmetov; predmetnye peremennye;

3) P¹, Q¹, R¹, ... P², Q², R², ... Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, ... - simvoly dlya predikatov, indeksy kotoryh vyrazhayut ih mestnost'; predikatnye peremennye;

4) p, q, r, ... - propozicional'nye peremennye;

5) ", E -- simvoly dlya kvantorov; ", - kvantor obshchnosti, E -- kvantor sushchestvovaniya;

6) logicheskie svyazki:

^ - kon®yunkciya

v -- diz®yunkciya

→- implikaciya

≡ - ekvivalentnost'

¬ - otricanie

7) tehnicheskie znaki: (;) -- pravaya, levaya skobki.

Alfavit yazyka logiki otnoshenij, yazyka, formalizuyushchego yazyk logiki predikatov, t. e. vyskazyvayushchego o nepolnote yazyka logiki predikatov, budet vyglyadet', sleduya teorii logicheskih ob®ektov-formalizmov, sleduyushchim obrazom:

1) sintaksisy S₁, S₂, S₃ ... - a, b, c;

2) grammatiki Es₁, Es₂, Es₃ -- x, y, z;

3) semiotiki λ₁, λ₂, λ₃, ... (λ -- postoyannaya Karnapa) - P¹, Q¹, R¹, ... P², Q², R², ... Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ (velichina parametra λ vyrazhaet smysl teorii znacheniya, ves, kotoryj issledovatel' pripisyvaet logicheskomu faktoru po sravneniyu s empiricheskim v processe opredeleniya znacheniya reprezentativnoj funkcii Karnapa; harakterizuyushchij aposteriornuyu veroyatnost' singulyarnogo predikatnogo vyvoda; kak vidno, my pol'zuemsya λ takim obrazom, chto ee edinstvennoj interpretaciej yavlyaetsya ne chislo opisanij sostoyaniya, individov, upominaemyh v svidetel'stve, a matematicheskoe ponyatie chisla, t. e. my upominaem zdes' yazyk, formalizuyushchij λ-kontinuum Karnapa, podobno tomu, kak n-mestnye predikaty interpretiruemy v rechi posredstvom ponyatiya);

4) semantiki: α₁, α₂, α₃, (postoyannye Hintikki) -- p, q, r.

"V terminah ob®ektivnogo podhoda α mozhet ponimat'sya kak parametr, vyrazhayushchij kolichestvo besporyadka (ili irregulyarnosti), sushchestvuyushchego, veroyatno, v universume, poskol'ku rassmatrivayutsya obshchie zakony, ili, v terminah sub®ektivistskogo podhoda, kak parametr, predstavlyayushchij ozhidaemuyu issledovatelem velichinu etogo besporyadka. V etom sluchae α sravnim s parametrom λ, kotoryj takzhe mozhet ponimat'sya kak mera besporyadka universuma ili nashej very, chto universumu prisushcha imenno eta mera besporyadka... Raznica mezhdu parametrami ta, chto α otnositsya k induktivnomu obobshcheniyu, a λ -- k singulyarnomu vyvodu" (L. Hintikka).

5) S (smysl) -- ", P (znachenie) -- E.

6) svyazki logiki otnoshenij.

Zamechanie: Poskol'ku kvantory formalizuyutsya kak sub®ekt i predikat logicheskih issledovanij, pereformulirovanie svyazok yazyka logiki predikatov v logicheskie svyazki yazyka, vyrazhayushchego ponyatiya otnoshenij, proizvoditsya, referiruya ih oboyudnoe otnoshenie k diz®yunkcii, ponimaemoj konstruktivno. A. A. Markov pishet: "v konstruktivnoj matematike diz®yunkcii ponimaniya kak osushchestvimosti ukazaniya i vernogo chlena, t. e. kak potencial'naya osushchestvimost' konstruktivnogo processa, dayushchego odin iz chlenov diz®yunkcii, kotoryj budet vernym... Analogichno dvuchlennym diz®yunkciyam mogut stroit'sya i ponimat'sya diz®yunkcii trehchlennye, chetyrehchlennye i t. d. ... Kogda v nashem rasporyazhenii imeetsya spisok vseh konstruktivnyh ob®ektov interesuyushchego nas tipa, prichem etot spisok oderzhit bolee odnogo nazvaniya, vyskazyvanie o sushchestvovanii konstruktivnogo ob®ekta, udovletvoryayushchego dannomu trebovaniyu okazyvaetsya ravnoznachnym mnogochlennoj diz®yunkcii, kazhdyj chlen kotoroj utverzhdaet, chto odin iz ob®ektov spiska udovletvoryaet vydvinutomu trebovaniyu, prichem vse ob®ekty spiska figuriruyut v etom smysle v diz®yunkcii". Dlya ischisleniya logiki otnoshenij programma finitizma Gil'berta predstavlyaetsya, takim obrazom, vypolnimoj, v chastnosti, vopros o neprotivorechivosti etoj sistemy mozhet byt' reshen sredstvami, kotorye v nej zhe formalizuyutsya, poskol'ku ona svoej interpretaciej imeet yazyk logiki predikatov. Vyrazhaya yazyk logiki predikatov posredstvom formal'noj sistemy i issleduya vopros o neprotivorechivosti etoj sistemy, my vyyasnyaem granicy prilozheniya koncepcii yazyka logiki predikatov, ukazyvaem predely, v kotoryh navernyaka protivorechij ne voznikaet, ili, inache govorya, konstruiruem smysl, trebuyushchij obrazovaniya ponyatiya logiki predikatov. Svyazki yazyka logiki predikatov okazyvayutsya tem samym designaciyami, formalizmami v rechi, finitnoj tem samym posredstvom ponyatij, svyazok logiki otnoshenij, delegiruyushchih soboj smysl, trebuyushchij obrazovaniya v finitnoj rechi posredstvom ponyatij ponyatiya zhe svyazok yazyka logiki predikatov, znacheniya klassicheskoj formal'noj logiki: material'naya implikaciya (utverzhdaet to zhe, chto i diz®yunkciya, pervyj chlen kotoroj est' otricanie posylki

implikacii, a vtoroj -- ee zaklyuchenie) → - & (kon®yunkciya).

Poskol'ku istinnost' i lozhnost' mnogosostavnyh kon®yunktivnyh suzhdenij opredelyaetsya pravilom: kon®yunkciya istinna v sluchae istinnosti vseh ee chlenov i lozhna pri lozhnosti hotya by odnogo iz ee chlenov, to, sleduya bezrazlichiyu konstruirovaniya zakonu absolyutnogo razlichiya lzhi i istiny, i sleduya teorii o razreshennyh vyskazyvaniyah i ih pryamyh otricaniyah (kon®yunkciya dvuh razreshimyh vyskazyvanij est' pryamoe otricanie ih diz®yunkcii, a takzhe o tom, chto pryamoe otricanie vsyakogo razreshimogo vyskazyvaniya est' razreshimoe vyskazyvanie i vsyakoe razreshimoe vyskazyvanie est' pryamoe otricanie svoego pryamogo otricaniya), my zaklyuchaem o tom, chto smyslami yazyka logiki predikatov, formalizmom, poluchayushchim interpretaciyu v yazyke logiki otnoshenij budet

"material'naya implikaciya" → . _V

Takim obrazom, dalee yasno, chto strogaya implikaciya → -- V (diz®yunkciya).

Kak izvestno, diz®yunkciya pryamyh otricanij dvuh razreshimyh

vyskazyvanij est' razreshimoe vyskazyvanie. Esli v pervom sluchae s → my imeli delo s yazykom, formalizuyushchim princip fal'sificiruemosti Karnapa, to vo vtorom, ochevidno, my stalkivaemsya so smyslom principa fal'sificiruemosti Poppera, polemika po povodu etih principov uzhe sama po sebe dokazyvaet sushchestvovanie yazyka logiki otnoshenij kak takovogo, neprotivorechivost' kotorogo dokazyvaetsya sredstvami, formalizuyushchimisya v ego zhe sisteme.

Dalee:

deduktivnaya implikaciya ├ - (implikaciya) →

Pod deduktivnoj implikaciej ponimaetsya ta, chto "vyrazhaet vyvodimost' svoego zaklyucheniya iz svoej posylki pri dannoj sovokupnosti pravil vyvoda" (A. A. Markov).

CHerez deduktivnuyu implikaciyu opredeleno redukcionnoe otricanie, ee formalizaciej mozhet sluzhit' koncepciya yazyka Kuajna.

Induktivnaya implikaciya → - V (strogaya diz®yunkciya), tak vyrazim smysl razreshimogo vyskazyvaniya. Induktivnaya implikaciya realizuet ideyu stupenchatoj semanticheskoj sistemy. "Imeya formal'nyj yazyk, prigodnyj dlya postroeniya vyskazyvanij opredelennogo roda, my smozhem okazat'sya v sostoyanii vvesti deduktivnye implikacii s posylkami i zaklyucheniyami etogo vida. Odnako sami eti implikacii uzhe ne budut vyrazhat'sya formulami etogo yazyka. Pozhelav rassmatrivat' eti deduktivnye implikacii kak vyskazyvaniya, kotorye mozhno kombinirovat' s pomoshch'yu logicheskih svyazej, neobhodimo postroit' novyj formal'nyj yazyk". Induktivnaya implikaciya, formalizuya smysl strogoj diz®yunkcii, istinnoj, ili inache sushchestvuyushchej takim obrazom, i togda tol'ko, kogda istinen odin i lozhen drugoj ee chlen, vyrazhaet tem samym smysl ponyatiya formuly, eksplikaciya ┤ - (otricanie) ┌

Zdes' umestno vspomnit' koncepcii klassicheskogo i neklassicheskogo otricaniya s toj edinstvenno tochki zreniya, chto kak to, tak i drugoe yavlyayutsya finitizmom designacii ponyatiya smysla i, poetomu,

Substantivaciya, oboznachaetsya slovom-znakom "est'" - (ekvivalenciya). |kvivalenciyu formalizuet slovo "est'", kotoroe my rassmatrivaem kak klyuchevoe v postroenii algorifmom samogo sebya.

"Slovami v alfavite A pokazyvayut konstruktivnye ob®ekty, poluchayushchie v rezul'tate razvertyvanie konstruktivnyh processov, vedushchihsya na osnove sleduyushchih pravil:

a) pustoe slovo ^ my schitaem slovom v alfavite A;

b) esli konstruktivnyj ob®ekt R uzhe okazalsya slovom v alfavite A, to slovom v alfavite A my schitaem takzhe konstruktivnyj ob®ekt PEs, gde Es -- lyubaya bukva alfavita A".

K semu my dobavlyaem tret'e pravilo: ishodnym slovam verbal'nogo algorifma v alfavite A yavlyaetsya slovo "est'", vvedya tem samym ponyatie vypolnimogo algorifma. Formalizm slova "est'" budet sluzhit' v kachestve interpretacii algorifmom samim sebe i dvizhenie ego, sostoyashchem v sobstvennom dostraivanii po zakonam teoretiko-semanticheskoj igrovoj koncepcii Hiptikki, on budet tem samym vosproizvodit' svoj finitizm, t. e. prisoedinyayushchie, sokrashchayushchie, razvetvlyayushchie, udvaivayushchie i obrashchayushchie algorifmy na sleduyushchem shage budut vystupat' dlya sebya slovami, ih dlinoj, nachalami, koncami, proekciej na alfavit i t. d., a vhozhdeniya i sistemy slov budut rassmatrivat'sya im samim kak sochetanie normal'nyh algorifmov (rasprostranenie, zamykanie, kompoziciya, ob®edinenie, razvetvlenie, povtorenie);

7. tehnicheskie znaki ", E -- kvantory yazyka logiki predikatov, vyrazhayushchie sootvetstvenno standartnuyu i podstanovochnuyu interpretacii kvantifikacii.

Tehnicheskie znaki imeyut sleduyushchuyu interpretaciyu, nosyashchuyu konstruktivnyj harakter: kvantor sushchestvovaniya yazyka logiki predikatov na dele vyrazhaet standartnuyu interpretaciyu kvantifikacii, osnovnymi chertami kotoroj yavlyaetsya, "vo-pervyh, to, chto takaya interpretaciya predpolagaet apriorno zadannuyu oblast' ob®ektov, i, vo-vtoryh, chto predpolagaemaya oblast' ob®ektov ne pusta, t. e. soderzhit po krajnej mere odin ob®ekt. Standartnaya interpretaciya predpolagaet takzhe referentativnyj harakter formal'nogo yazyka, proyavlyayushchijsya, v chastnosti, v tom, chto imena formalizovannogo yazyka ukazyvayut na sushchestvuyushchie s tochki zreniya sootvetstvuyushchej teorii ob®ekta. Inymi slovami, standartnaya interpretaciya pervoporyadkovogo kvantornogo yazyka osnovana na ponyatii ob®ekta", kvantor obshchnosti " yazyka logiki predikatov, interpretiruetsya yazykov i v yazyke logiki otnoshenij, kak podstanovochnaya interpretaciya

kvantifikacii.

|tot znak oznachaet takim obrazom, chto peremennaya vvoditsya aksiomoj ili opredeleniem bez ekzistencial'nogo predpolozheniya, ved' v sisteme yazyka logiki otnoshenij proishodi opredelenie ee semanticheskoj kategorii, znacheniya i harakteristik ispol'zovaniya, poskol'ku ona uzhe imeetsya kak konstanta v referiruyushchem yazyk logiki otnoshenij yazyka logiki predikatov. Smyslom podstanovochnoj interpretacii yavlyaetsya takim obrazom:

1) vyyavlenie roli, kotoruyu individnye konstanty igrayut v nekotorom yazyke logiki predikatov;

2) zamena imen yazyka funkciyami individnyh peremennyh soglasno standartnoj interpretacii kvantifikacii;

3) zamena predikatov propozicional'nymi funkciyami, opredelyaemyh samoj podstanovochnoj interpretaciej kvantifikacii na vyyasnennom vpolne v issleduemyh vpolne v silu etogo n-nyh imen yazyka.

4) Pravil'noe upotreblenie tehnicheskogo znaka opredelyaetsya sleduyushchim obrazom:

a) tehnicheskij znak E upotreblen pravil'no, esli oznachaemaya im formula vyvodima sredstvami yazyka logiki predikatov.

b) tehnicheskij znak " upotreblen pravil'no, esli primenen k vyrazheniyu, ne vyvodimomu v yazyke logiki predikatov.

Pokazhem polnotu yazyka logiki otnoshenij, i ego sposobnost' dokazyvat' svoyu protivorechivost', formalizuemymi v nem sredstvami. Tablicy istinnosti yazyka logiki predikatov vyglyadyat sleduyushchim obrazom:

____

___

XvX

XvY

Y→X

X→Y

X~Y

X&Y

X~Y

X→Y

Y→X

XvY

XvX

Formalizaciya yazyka logiki predikatov v yazyke logiki otnoshenij est' takogo roda perevod, kotoryj sleduet deduktivnoj, netrivial'no protivorechivoj teorii, to est' takoj, chto esli v nej est' formula takaya, chto kak ona, tak i ee otricanie yavlyayutsya teoremami v etoj teorii i, kogda est', po krajnej mere, odna formula, ne yavlyayushchayasya teoremoj v etoj teorii. (Kak izvestno, esli logika, lezhashchaya v osnovanii etoj teorii, yavlyaetsya klassicheskoj (ili odnoj iz samyh obychnyh logik), to teoriya yavlyaetsya trivial'noj, esli i tol'ko esli ona yavlyaetsya protivorechivoj. Togda dlya izucheniya netrivial'nyh protivorechivyh logik neobhodimo postroit' novye sistemy logii Arruda, nazvanie paraneprotivorechivosti). Alfavit yazyka paraneprotivorechivyh logik, takim obrazom, soderzhit v sebe (yavlyayas' formalizaciej znacheniya yazyka logiki predikatov):

1) S₁, S₂, S₃ - sub®ekty; 2) P₁, P₂, P₃ -- predikaty; 3) v kachestve logicheskih svyazok -- kvantory; ego peremennye probegayut po predikatnym simvolam i propozicional'nymi funkciyam yazyka logiki predikatov, osnovannym otozhdestvleniya logicheskih svyazok yazyka logiki predikatov i ego zhe kvantorov yavlyaetsya ponyatie shodimosti yazyka logiki predikatov, dofinitnogo smysla, trebuyushchego obrazovaniya ponyatij ob effektah nepolnoty i nepopolnimosti.

Tablicy istinnosti yazyka paraneprotivorechivyh logik, smysla perehoda ot yazyka logiki predikatov k yazyku logiki otnoshenij, vyglyadyat sleduyushchim obrazom (tablicami istinnosti my pokazyvaem ih potomu, chto v nih eta istinnost' realizovyvaetsya formal'nymi sredstvami):

Znacheniya, kotorye prinimayut v nih postoyannye, est' znacheniya peremennye: "neopredelenno", "opredelenno":

____

___

SvS

SvP

P→S

S→P

S~P

S&P

S~P

S→P

P→S

SvP

SvS

Kak vidno, vneshnim simvolicheskim obrazom eti tablicy perepisany protivopolozhno tablicam logiki predikatov tablicy yazyka logiki otnosheniya prevrashcheny takim obrazom (imenno sami tablicy) v pravilo upotrebleniya v nem tehnicheskih znakov:

____

___

SvS

SvEs

Es→S

S→Es

S~Es

S&Es

S~Es

S→Es

Es→S

EsvP

EsvS

Itak, ob®ektami logiki, kanona konstruktivnogo myshleniya, yavlyayutsya formal'nye yazyki, formalizmy. Sledovatel'no, rassmatrivaya sistemu, nas, v pervuyu ochered', budet interesovat' teper' ee morfologiya v silu isklyucheniya logikoj ponyatiya otnoshenij prisushchnosti. Eshche Gete nastaival na takom podhode. Inache govorya, interpretiruemyj formalizm est' morfizm, i poskol'ku, kak uzhe bylo vyyasneno v teorii logicheskogo ob®ekta, formalizm podlinen, esli yavlyaetsya morfizmom, morfizm -- kriterium i vyrazhenie ego sushchestvovaniya, praktiki, to formalizm neobhodimo interpretiruet sebya sam. Ne razlichaya, naprimer, izomorfnye sistemy, my po sushchestvu rassmatrivaem shemy sistem. Kazhdaya shema opredelyaet celyj klass izomorfnyh mezhdu soboj sistem, i kazhdaya sistema etogo klassa mozhet predstavlyat' soboj shemu, esli my budem delat' tol'ko takie vyskazyvaniya, kotorye primenimy k lyuboj sisteme dannogo klassa. Poskol'ku zhe otnosheniya prisushchnosti ne igrayut nikakoj roli v otnoshenii mezhdu sistemami formalizmov i formalizmami, a eti otnosheniya podchineny zakonam morfologii, to shema preobrazuetsya v strukturu, ili, inache govorya, struktura pokazyvaet sebya, issleduet i izuchaet cherez shemu. Dlya kazhdoj shemy mozhno najti predstavitelya, poskol'ku eta shema, vydelyayushchaya svoego predstavitelya, est' struktura, to dlya etogo nuzhno vzyat' ne proizvol'noe mnozhestvo s sootvetstvuyushchim chislom elementov, a model'noe mnozhestvo L. Hintikii, harakterizuemoe temi svojstvami, chto esli A&V vhodit v model'noe mnozhestvo, to A vhodit v nego i V vhodit v nego; esli AvV vhodit v model'noe mnozhestvo, to ili A vhodit v nego, ili V vhodit v nego, eto mnozhestvo yavlyaetsya referenciej morfizma.

Voobshche govorya, nas budut interesovat' te mnozhestva i struktury teorii mnozhestv, kotorye imeyut referentativnyj harakter, t. e. ne ischezayut pri isklyuchenii otnoshenij prisushchnosti.

Poyasnim eto podrobnee. Dlya opredeleniya istinnosti formul postroennogo yazyka vvedem ponyatie interpretacii. Postavim v sootvetstvie formal'nomu yazyku nekotoruyu (vozmozhno pustuyu) oblast' ob®ektov, shemu formalizmov. Peremennye formal'nogo yazyka ne "probegayut" togda po ob®ektam dano oblasti i po imenam yazyka, ili "probegayut", a referiruyut, oznachayut strukturu, "probegaya" po referentnym tochkam, morfizmam. Morfizm vyyavlyaet individnye kontakty, otnoshenie mezhdu shemoj i strukturoj ("sushchestvuyushchie ob®ekty") vydelyayut singulyarnyj termin. Vyyavlyaetsya stepen' kazhdoj predikatnoj bukvy v silu sopostavleniya ej konkretnoj propozicional'noj funkcii, na mesto argumenta kotoroj podstavlyaetsya morfizm (t. e. po opredeleniyu eta funkciya dolzhna pripisyvat' n-nym elementam iz ob®edineniya ob®ektnoj oblasti i sovokupnosti imen yazyka znacheniya istinnosti "i" ili "l"). Mnozhestvo v etom smysle est' designaciya designirovaniya, ono, prezhde vsego, ponyatie.

Podmnozhestvami model'nogo mnozhestva, takim obrazom, budut akcidental'nye mnozhestva, t. e. kotorye udovletvoryayut sleduyushchim usloviyam: A&B vhodit v akcidental'noe mnozhestvo togda i tol'ko togda, kogda A vhodit v nego i V vhodit v nego; AvV vhodit v nego esli i tol'ko esli ili A vhodit v nego ili V vhodit v nego i t. d. Legko zametit', chto morfizmom takogo mnozhestva yavlyaetsya mnozhestvo Lindenbauma - maksimal'noe neprotivorechivoe mnozhestvo formul, metod postroeniya kotorogo yavlyaetsya standartnym metodom dokazatel'stva teoremy polnoty logicheskih ischislenij. Soglasno referentativnomu harakteru analiziruemyh nami (strukturoj v sheme) mnozhestv, i akcidental'noe mnozhestvo vydelyaet iz sebya sootvetstvuyushchie dvuchlennym otnosheniyam mnozhestva, elementami kotoryh yavlyayutsya uporyadochennye pary (S_i, P_i), mnozhestva vypolnimosti formul i lisheniem, smyslom vyvodimosti sostavnyh formul iz prostejshih, vyvodimosti takogo roda soglasno statusu mnozhestv vypolnimosti, chto dokazatel'stvo neprotivorechivosti sistemy dokazyvaetsya sredstvami, formalizuemymi v samoj sisteme. Kak vidno, my kritikuem zdes' ponyatie "sushchnost'". Nasha kritika osnovyvaetsya na tom, chto "... tak kak v polnoj mere i v pervuyu ochered' naimenovanie "sushchee" primenyaetsya po otnosheniyu k substancii i tol'ko potom kak by v opredelennom smysle k akcidenciyam, to i sushchnost' v sobstvennom smysle slova istinnym obrazom est' tol'ko v substanciyah, a v akcidenciyah nekotorym obrazom i v opredelennom smysle" (Foma Akvinskij, "O sushchem i sushchnosti"). Ponyatie znacheniya, na nash vzglyad, prevoshodit, dostoinstvom i silom ponyatiem mnozhestva takim obrazom, chto konstruktivnaya teoriya mnozhestv, predpolagayushchaya te mnozhestva, kotorye imeyut referentativnyj harakter, yavlyayutsya, sledovatel'no, semanticheskimi kategoriyami, znacheniem i harakteristikami ispol'zovaniya konstant v sistemah ischislenij, smyslom tem samym podstanovochnoj interpretacii kvantifikacii, podstanovochnyh konstant na mesta peremennyh, perevodit konstanty odnoj formalizovannoj sistemy v peremennye drugoj, prichem takoj perevod est' perevod yazykovoj, interpretiruemyj v sisteme paraneprotivorechivyh logik, chto i predpolagaet obrazovanie ponyatiya morfizma. Konstruktivnaya teoriya mnozhestv yavlyaetsya tem samym obshchej teoriej kvantifikacii, teoriej smysloobrazovaniya, a ne samogo smysla, interpretaciej formalizma smysla, poskol'ku ona sama interpretiruet sebya, lishennaya otnoshenij prisushchnosti mezhdu mnozhestvami.

Zatem struktura, ischerpyvaya sebya shemoj, obrazuet mnozhestva, elementami kotoryh yavlyayutsya uporyadochennye trojki (S; sintaksis; P), nazovem ih pragmaticheskimi mnozhestvami ili signaturami. Uporyadochennaya trojka å = <S; F; P> nazyvaetsya signaturoj, esli vypolnyayutsya sleduyushchie usloviya: a) mnozhestva S i P est' vypolnimye mnozhestva; b) mnozhestvo F akcidental'noe dlya mnozhestv S i P. Kak vidno, eta shema ischerpyvaet strukturu konstruktivnoj teorii mnozhestv, pokazavshej sebya takim obrazom.

Raz®yasnim eto podrobnee, postroiv alfavit yazyka morfologii, formalizuyushchego yazyk logiki otnoshenij. Metaforicheskoe izlozhenie yazyka morfologii my imeem, v chastnosti, v stat'e Gete "Priroda".

1) E_s₁, E_s₂, E_s₃ (peremennaya velichina) -- sintaksisy;

2) C₁, C₂, C₃ (postoyannaya velichina) -- grammatika;

3) B₁, B₁, B₃ (morfizmy) --semiotiki;

4) m₁, m₂, m₃ (model'nye mnozhestva) -- semantiki;

5) izomorfizm -- material'naya implikaciya,

samomorfizm -- strogaya implikaciya,

avtomorfizm -- deduktivnaya implikaciya,

endomorfizm -- induktivnaya implikaciya

signatura -- substantivaciya

6) P (indeks) -- S, T (topologiya) -- P

Ukazhem na podobnye kontroverzy u CH. Pirsa ("gorizontal'naya regressiya beskonechnosti v otlichie ot vertikal'noj", teorema Pirsa v topologii)

7) tehnicheskie znaki "i, l" - " , E

umestno zdes' vspomnit' zamechaniya A. |jnshtejna, N. Bora, Gejdenberga o "prostote" formul. Tablicy zdes' -- pravila upotrebleniya kvazikvantorov n, T.

Dobavim takzhe, chto dokazatel'stvo sobstvennoj neprotivorechivosti v morfologii dostigaetsya formalizuemymi v nej zhe sredstvami, poskol'ku eto dokazatel'stvo, buduchi formalizmom, interpretiruetsya adekvatno v interpretiruemom yazykom morfologii yazyke logiki otnoshenij, snimayushchih v svoyu ochered' obvinenie v nepolnote, interpretiruya yazyki logiki predikatov, pustoj formalizacii po otnosheniyu k nemu, kak logiki ponyatiya. Sdelaem takzhe zamechanie o tom, chto polnota sistemy dokazyvaetsya toj sistemoj, kotoruyu ona formalizuet, ee zhe neprotivorechivost' dokazyvaetsya sistemoj, kotoraya formalizuet ee samoe. Sistema morfologii v etom smysle sistema kon®yunktivnaya, podobno tomu, kak sistema logiki otnoshenij implikativna, t. e. yavlyaetsya logikoj ponyatiya, interpretiruyushchego implikativnuyu konstruktivnuyu teorii mnozhestv, ee formal'nyj yazyk po otnosheniyu k nej, kak k rechi. V sobstvennom smysle, sushchestvuyut ne razlichnye logiki, matematiki, fiziki, ne razlichnye nauki so storony ih tochnosti i gumanitarnosti, a razlichnye, razlichnyh izmerenij teorii mnozhestv, chto vprochem, ne slishkom uslozhnyaet i v otnoshenii nih (etih teorem delo), poskol'ku mnozhestvo prezhde vsego yavlyaetsya ponyatiem i, sledovatel'no lish' ego interpretiruyushchij, t. e. interpretacij interpretacij, konechno, kak my pokazhem dalee, pokazav korreliruemost' etih izmerenij (pri etom sleduet pomnit', chto, ob®ektivistski vyrazhayas', substantivaciya mnozhestva est' nichto; bezuslovno, zdes' sleduet upomyanut' russkogo filosofa Solov'eva, ego "Kritiku otvlechennyh nachal") mnozhestvo v etom smysle est' vspomogatel'noe sredstvo, formalizuyushcheesya v sisteme i dokazyvayushchee ee neprotivorechivost' referenciej interpretacii, eksplikacii, eksplikatom kotorogo yavlyaetsya ponyatie. Rassmotrim karnapovskuyu teoriyu funkcii S, razrabotannuyu im v "Logicheskih osnovaniyah veroyatnostej", i p-sistemu, predlozhennuyu Karnapom pozdnee v "Kontinuume induktivnyh metodov" v zavisimosti ot togo, sushchestvuet ili ne sushchestvuet nepreryvnyj perehod ot odnogo opisaniya sostoyaniya k drugomu, imeem my delo s nepreryvnym ili preryvnym mnogoobraziem, otdel'nye opisaniya sostoyaniya nazyvayutsya v pervom sluchae indeksami, ili gedelevymi nomerami, vo vtorom -- referencial'nymi tochkami, obshchim ponyatiem, predposlannym topologami, izuchayushchej svojstva geometricheskih ob®ektov, sohranyayushchihsya pri nepreryvnyh preobrazovaniyah.

Kak izvestno, konechnoe chislo nezavisimyh odnochlennyh predikatov i chislo nezavisimyh individnyh konstant imeet yazyk logiki Karnapa. Opredelim ih sootvetstvenno cherez referencial'nye tochki i gedelevskie nomera. Obrazuemye iz ishodnyh predikatov Q-predikaty

Q_i (x) = (±) P₁(x) & (±) P₂ (x)& .... & (±) P_R (x),

gde (±) P_j (x) oznachaet P_j (x) ili ~ P_j (x), rassmatrivayutsya nami kak summa topologij ili nekotoraya teoriya mnozhestv opredelennogo izmereniya n (gedelevskogo nomera, to est' referentativnyj harakter mnozhestv, dannyh odnovremenno i zadannogo tipa.

Kon®yunkcii iz Q-predikatov, nazyvayutsya togda konstruktivnoj teoriej mnozhestv, teoriej opredelennogo referentativnogo tipa, t. e. izmeritel'nyj harakter mnozhestv. Nazovem ih poetomu summoj teologij.

S = Q_ji (α₁) & Q_j₂ (α₂) & ... & Q_in (α_n)

Oblast'yu racional'nosti uravneniya Q_i (x) budet sovokupnost' racional'nyh funkcij koefficientov R (p₁, p₂, p₃).

Dlya uravnenij Q_i (x)=0 v toj zhe oblasti racional'nosti mozhno najti uravnenie S = 0 takoe, chto korni dannyh uravnenij budut vyrazhat'sya drug cherez druga racional'nost'yu. Uravnenie S (α) v etom sluchae nazyvaetsya normal'nym. Podstanovki kornej normal'nogo uravneniya obrazuyut sovershennuyu gruppu s prostym delitelem p, imeya v vidu ierarhiyu tipov chisel, snimaemuyu takim obrazom.

Vsyakoe racional'noe sootnoshenie mezhdu kornyami uravneniya i elementami polya R invariantno otnositel'no podstanovok gruppy.

Neobhodimoe i dostatochnoe uslovie razreshimosti uravneniya v radikalah sostoit v razreshimosti etoj gruppy, uslovie razreshimosti budet sootvetstvovat' uravneniyu.

Takova sushchnost' programmy transfinitizma, pragmatiki v kachestve teoreticheskoj discipliny, krajnej tochkoj zreniya kotoroj yavlyaetsya kantianstvo, edinstvenno predpolagayushchee sushchestvovanie formalizmov v rechi. Kak yasno, u programmy transfinitizima sushchestvuet lish' odna krajnyaya tochka zreniya, i poetomu ona mozhet byt' vyrazhena takzhe koncepciej ponimaniya v fizike, sformulirovannoj A. |jnshtejnom v vide tezisa o real'nosti obshchih ponyatij, principa dopolnitel'nosti N. Bora.

Sovershennaya gruppa s prostym delitelem izbiraetsya eshche i potomu, chto podstanovki kornej normal'nogo uravneniya S (α) = 0 ne ischerpyvayut G_p i obrazuyut, tochnee. Ej obrazuetsya takzhe podstanovki kornej uravneniya dlya vseh logicheskih svyazok yazyka logiki predikatov i formalizuyushchih ego yazykov, v chem i sostoit neobhodimoe i dostatochnoe uslovie formalizacii G_p vyrazhaet, takim obrazom, substantivaciyu svyazki "est'" i sluzhit ishodnym slovom v algorifme.

Transfinitizm vyrazhaet tot fakt, chto ob®ektom v podlinnom smysle lyuboj nauki lyuboj specializaciej, yavlyaetsya ne opyt, ne eksperiment, ne uravnenie, a matematicheskie ponyatiya gruppy.

Na vopros "chto issleduetsya, chto izuchaetsya?" sleduet, takim obrazom, otvechat' "ponyatie gruppy", transfinitizm est' finitizm logiki ponyatiya. Matematicheskie suzhdeniya, vyskazyvaemye v etoj glave poluchat demonstrativnoe dokazatel'stvo (tak skazat', "vokal'nyj zhest" (Mid), iduktivnogo dokazatel'stva) v sleduyushchej glave, zdes' zhe oni prinimayutsya v vidu dopushcheniya ponyatijnoj struktury, predshestvuyushchej obrazovaniyu ponyatiya "velichiny", trebuyushchej imya velichiny. Pragmatiki -- eto lovcy dush uchenyh, oni vsesil'ny tam, gde bessilen uchenyj i indifferentny tam, gde vsesilen uchenyj. Sobstvenno govorya, eta glava posvyashchena sheme i shematizirovaniyu, ponyatiyu shemy, kotoroe bylo podvergnuto i nezasluzhenno podvergaetsya i ponyne samoj rezkoj kritike, kak v oblasti filosofii, tak i v oblasti nauki, a mezhdu tem, smysl, trebuyushchij obrazovaniya ponyatiya shemy ves'ma glubok i lezhit u istokov chistogo teoreticheskogo myshleniya, i sostoit on, na nash vzglyad, v tom, chto vyrazhaet i nachinaet pragmatiku myshleniya, buduchi ee netematiziruemym osnovaniem, inache govorya, plan dlya samogo myshleniya vyglyadit konstruirovanie myshleniem pragmaticheskoj sisteme, v kazhdoj ego designiruemoj situacii, faze, etape, obraze, designiruemoj teper' uzhe posredstvom samogo ponyatiya, ego sobstvennoj finitnosti. Takim ponimaniem shematizma my obyazany, po-vidimomu, SHellingu. Ono daet nam pravo vmesto termina "shema sistem" upotreblyat' termin "konfiguraciya". Znacheniem termina "konfiguraciya" togda budet vystupat' finitizm ponyatiya arifmeticheskoj formuly, poskol'ku transfinitivno arifmeticheskaya formula predstavlyaet iz sebya lyubuyu kombinaciyu simvolov.

+, -, h, :, (,), =, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Ponyatno, chto my pristupaem zdes' k izlozheniyu transfinitivnoj logiki, poskol'ku yasno, chto takih formul beskonechno mnogo, no mnozhestvo ih schetno: sushchestvuet sootvetstvie mezhdu nimi i mnozhestvom n natural'nyh chisel.

CHtoby ustanovit' eto sootvetstvie, nachnem s togo, chto "zakodiruem" simvoly:

+ - h : ( ) = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

(pod kazhdym simvolom stoit ego kod). Dalee, chtoby zakodirova' cepochku simvolov, naprimer

4+7=11

obrazuem chislo

2¹² · 3¹ · 5¹⁵ · 7⁷ · 11⁹ · 13⁹,

gde 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... - posledovatel'nost' prostyh chisel, a pokazateli stepeni 12, 1, 15, 7, 9, 9 -- kody simvolov 4, +, 7, =, 1, 1, obrazuyushchih nashu cepochku. Takim sposobom mozhno postavit' kazhdoj cepochke v sootvetstvie ee kod, kotoryj yavlyaetsya natural'nym chislom. Poskol'ku kazhdoe chislo edinstvennym obrazom razlagaetsya na prostye mnozhiteli, cepochku mozhno vosstanovit' po ee kodu. Dopustim, naprimer, chto kodom yavlyaetsya chislo 720. Razlozhim ego na mnozhiteli: 720 = 2⁴ · 3² · 5¹

CHisla 4, 2, 1 yavlyayutsya kodami simvolov: -, +.

Znachit, 720 est' kod cepochki: -, +.

Takie kody nazyvayut gedelevskimi nomerami.

Nashej zadachej, takim obrazom, yavlyaetsya postroenie takoj cepochki simvolov i kodiruyushchejsya takim obrazom, chtoby kazhdyj kod cepochki daval osmyslennoe vyrazhenie, vypolnimuyu cepochku simvolov. Takova istina logiki formal'nogo yazyka, transfinitivnoj logiki yazyka, imeyushchego samostoyatel'noe, nezavisimoe sushchestvovanie.

Pervyj otsyuda vyvod -- eto tot, chto gedelevskij nomer est' nekotoraya formula. Formula gedelevskogo nomera est' dokazatel'stvo, ustanavlivayushchee sushchestvovanie proizvol'no bol'shih prostyh chisel, prostoj i izyashchnyj rezul'tat Evklida:

n = p! + 1

Gedelevskij nomer, kod, ne delitsya ni na kakoe prostoe chislo, vplot' do p. Poetomu libo mezhdu p i n dolzhno byt' kakoe-nibud' prostoe chislo, libo prostym yavlyaetsya samo n. I to i drugoe protivorechit predpolozheniyu, chto p - naibol'shee prostoe chislo.

Takim obrazom, konstruirovanie chisla konstruktivnoj teoriej mnozhestv operaciya proektirovaniya konstruktivnoj teorii mnozhestv, est' indeksaciya (indeksirovanie). Gedelev nomer, ili indeks, imeet takim obrazom, sleduyushchuyu definiciyu: indeks tem vyshe, chem vyshe poryadok mnozhestva i tem nizhe, chem vyshe moshchnost' mnozhestva i opredelyaetsya po formule (t. e. konstruiruetsya)

_Ord

n = ----

^Card

YAsno, chto n -- celoe chislo, takim obrazom, opredeleny stepeni svobody, shema konstruirovaniya mnozhestva s zadannoj strukturoj. V konstruktivnoj teorii mnozhestv rassmatrivayutsya, sledovatel'no, tol'ko mnozhestva takoj struktury. Fundamental'noj teoremoj KTM yavlyaetsya teorema ob odnoporyadkovosti mnozhestva takoj struktury kvadratu, analogu teoremy o ravnomoshchnosti beskonechnogo mnozhestva svoemu kvadratu i v etom smysle pravilom vyvoda formal'noj sistemy arifmetiki, polnoj i neprotivorechivoj, dokazatel'stvom teoremy Ferma v kachestve dokazatel'stva neprotivorechivosti sistemy formalizuemymi v nej sredstvami.

Teorema ob odnoporyadkovosti mnozhestva tonkoj struktury svoemu kvadratu est' teoriya substantivnogo algorifma, t. k. yavlyaetsya pravilom postroeniya chisla, svobodnym ot sootneseniya s samim soboj, v osnove teorii substantivnogo algorifma, izmerenie i ravenstvo mnozhestva s samim soboj, a ne graficheskoe tozhdestvo i podobie. Teoremu ob odnoporyadkovosti mnozhestva tonkoj struktury svoemu kvadratu my mozhem nazvat' inache teoremoj ob abstraktnosti inercii, ili teoremoj ob otvlechennostyah. Dokazhem etu teoremu.

Pust' {x_α : d º A} -- proizvol'noe semejstvo mnozhestv x_α i π₂{x_α : α º A} -- ego dekartovo proizvedenie. Podmnozhestvo P < x nazovem tonkim, esli pri kazhdom α º A, α s koordinaty x'_α i x"_α lyubyh dvuh razlichnyh elementov x', x" mnozhestva P razlichny x'_α ≠ x"_α . Inymi slovami mnozhestvo P < x yavlyaetsya tonkim v tom i tol'ko v tom sluchae, esli dlya kazhdogo α º A suzhenie π₂/ P : P → x_α otobrazheniya proektirovaniya π₂ h → x_α na mnozhestvo x_α in®ektivno, t. e. perevodit razlichnye teorii mnozhestva P v razlichnye tochki mnozhestva x_α.

Pust' takzhe A, < - proizvol'noe ordinarnoe vpolne uporyadochennoe mnozhestvo. CHerez P (A; <) uslovimsya oboznachat' plan vseh vpolne uporyadochennyh mnozhestv iz M, podobnyh A, <. Mnozhestvo P (A; <), gde A º M i < - vpolne uporyadochennye na A, nazyvayutsya ordinalami, pri etom govoryat, chto ordinal P (A; <) yavlyaetsya poryadkovym tipom vpolne uporyadochennogo mnozhestva A, <. Klan vseh ordinalov oboznachaetsya cherez Ord:

Ord = {P (A, <) : A º M i < - vpolne uporyadochenie na A}

Trebuetsya, takim obrazom, dokazat', chto

P² P

Poskol'ku slova v alfavitah yavlyayutsya konstruktivnymi ob®ektami obshchego vida, to, sravnivaya mezhdu soboj slova v kakom-libo fiksirovannom alfavite, my mozhem vstretit'sya s dvumya slovami, sostavlennymi iz odinakovyh bukv i odinakovym obrazom raspolozhennyh, graficheski ravnopravnymi (). Vazhnuyu rol' v dokazatel'stve budet igrat' operaciya soedineniya slov. Ee primenenie k slovam R i H v alfavite A budet sostoyat' v pripisyvanii sprava k slovu, graficheski ravnomu R, slova, graficheski ravnogo H, v rezul'tate chego poluchaetsya slovo, nazyvaemoe soedineniem slov R i H, [R, H]_A. V svoih "Arifmeticheskih issledovaniyah" K. Gaus nachinaet vvodnyj razdel sleduyushchim opredeleniem: "Esli nekotoroe chislo a delit raznost' chisel b i c, budem nazyvat' b i c sravnitel'nymi otnositel'no a. CHislo a budem nazyvat' modulem". "Esli nekotoroe proizvol'no vzyatoe prostoe chislo, kotoroe na edinicu prevoshodit kratnoe 4, ne sostavlyaetsya iz dvuh kvadratov, to budet sushchestvovat' prostoe chislo toj zhe prirody, men'shee dannogo, a zatem tret'e, men'shee i t. d., spuskayas' do beskonechnosti, poka ne dojdem do chisla 5, kotoroe yavlyaetsya samym malen'kim iz chisla etoj prirody, kotoroe, sledovatel'no, ne dolzhno sostavlyat'sya iz dvuh kvadratov, chto odnako imeet mesto. Otsyuda sleduet zaklyuchit', chto vse chisla etoj prirody sostavlyayutsya iz dvuh kvadratov".

Poskol'ku vozvedenie v stepen' chisla po modulyu mod p (prostoe chislo) okazyvaetsya takim obrazom, vypolneniem kvadrata tonkogo mnozhestva, a imenno, x^p^-1 ≡ 1 (mod p),

x² ≡ 1 (mod p), t. k. x ≡ 1/x (mod p)

Perevedem etot fakt na yazyk formal'noj arifmetiki, na yazyk arifmetiki, sobstvenno govorya.

Soglasno teoreme Vil'sona aksiomy, pravilo vyvoda dlya tozhdestvenno-istinnoj formuly pravilo vyvoda Gamil'ton obshcheznachimaya tozhdestvennaya matematicheskaya formula cⁿ = aⁿ + bⁿ.

(p - 1) ! ≡ - 1 (mod p), togda √x² ≡ √-1 (mod p),

Oboznachim √-1 cherez i.

(Imeem izvlechenie kornya, smysl etoj operacii otkryvaetsya pri ego konstruirovanii v arifmetike po modulyu p. Operaciya izvlecheniya kornya v arifmetike po modulyu p ne opredelena osobym obrazom, t. k. eta arifmetika -- rezul'tat neopredelennogo izvlecheniya kornya, imeyushchaya v arifmetike izvlechenie kornya po modulyu p est' gruppa podstanovok (celyh chisel) teoremy Ferma, a samo izvlechenie est' kol'co modulya p so storony struktury yazyka ono -- cirkuliruyushchij organizovannyj graf.)

Togda vypolnenie zakonov umnozheniya Gamil'tona

1 · i = i · 1, 1 · j = j · 1 = j, 1 · k = k · 1 = R,

i² = -1, j² = -1, R² = -1

ij = k; jk = i, Ri = j, ji = - R, Rj = - I, ik = -j,

ili zakonov edinichnosti, otnoshenie predela i bespredel'nogo, po Proklu, chto dokazyvaet, takim obrazom, teoremu Ferma, yazyk perevoda formal'noj teorii mnozhestv na yazyk arifmetiki, t. e. konstruirovaniya.

Poskol'ku n = p! + 1,

to cⁿ = aⁿ + bⁿ⁽^mod¹⁾ imeet reshenie v celyh chislah pri n < 2 ili p² p.

V osnovanii arifmetiki ordinalov takim obrazom lezhit definiciya ego znacheniya, referent znacheniya ponyatiya chisla Ord² = ord, togda summoj ordinalov yavlyaetsya radikal, raznost'yu -- graf ordinala, znachenie grafa proizvedeniem -- logarifm ordinala, znachenie logarifma -- chastnym tangens.

Aksiomatizaciej arifmetiki ordinalov yavlyaetsya, takim obrazom, normal'nyj algorifm A. A. Martynova, stepeni ego semantiki sistem chisla klassov.

Transfinitizm otlichaetsya ot finitizma, kak venecianskogo zerkalo ot prostogo, svecha, podnesennaya k prostomu zerkalu daet odin strogij abris, v venecianskom zhe mnozhestvo otrazhenij. Arifmetika ordinalov yavlyaetsya tem samym sistemoj aksiom stupenchatogo ischisleniya predikatov (usilennogo ischisleniya predikatov) Gil'berta, takoe preobrazovanie "formal'nogo operirovaniya s peremennymi znakami vyskazyvanij i funkcii, chtoby somnitel'nye obrazovaniya sovokupnostej vyskazyvanij ili funkcii byli isklyucheny" soobrazno vyyasneniyu nami roli v obosnovanii matematicheski sovershennoj gruppy s prostym delitelem p, interpretaciej kotoroj yavlyaetsya dokazatel'stvo teoremy Ferma.

CHtoby otobrazit' razlichie stupenej, my snabzhaem vyskazyvaniya i funkcii chislovymi indeksami takim obrazom, chto eto budut chisla klassov, znacheniya tozhdestvenno-istinnyh suzhdenij arifmetiki ordinalov.

|to oboznachenie nado ponimat' v tom smysle, chto oblast' znachenij znaka vyskazyvanij x_n ili znaka funkcii F_n ogranichena takimi vyskazyvaniyami ili funkciyami, kotorye soderzhatsya v teorii n-j stupeni. Kazhdoe vyrazhenie, esli ono predstavlyaet vyskazyvanie ili opredelennuyu funkciyu, esli ko vsyakomu vstrechayushchemusya v nem znaku vyskazyvanij i znak funkcii poluchaet indeks (my imeem zdes' v vidu sposob postroeniya, konstruirovaniya chisla). Otnosheniya mezhdu indeksom znaka funkcii i indeksom argumenta est' vypolnenie teoremy Ferma dlya ordinalov.

Sovershennaya gruppa s prostym delitelem p, vyrazhennaya v teoreme Ferma dlya ordinalov est' reshenie problemy razreshimosti, nominal'nym opredeleniyami kotoroj yavlyaetsya problema obshcheznachimosti, real'nym -- problema vypolnimosti, "postulirovanie obshcheznachimosti (sootvetstvenno vypolnimosti) nekotoroj logicheskoj formuly yavlyaetsya ekvivalentnym vyskazyvaniyu o chisle individuumov". Cel'yu vyskazyvanij yavlyaetsya znachenie, inache govorya, ekvivalentnost' vyskazyvaniya oznacheniya vyskazyvaniya, opredelennogo tem bolee, poskol'ku v sobstvennom smysle kazhdoe vyskazyvanie yavlyaetsya vyskazyvaniem o znachenii vyskazyvaniya, inache govorya, my imeem v vidu vyskazyvanie o sobstvennom znachenii byt' vyskazyvaniem o znachenii drugogo vyskazyvaniya, t. e. vyskazyvanie o ponyatii, o znachenii.

Takim obrazom, yazyk konstruirovaniya ob®ekta, yavlyayushchegosya ob®ektom logiki, yazyk, formalizuyushchij znacheniya, mozhet byt' predstavlen svoim alfavitom sleduyushchim obrazom:

1) α radikaly, formalizuyushchie peremennuyu velichinu i yavlyayushchiesya. Sledovatel'no, podstanovochnoj interpretaciej sintaksisa;

2) β prostye chisla, dokazyvayushchie neprotivorechivost' postoyannoj velichiny, sredstvami, formalizuyushchimi v yazyke morfologii; i yavlyayushchiesya, sledovatel'no, standartnoj interpretaciej grammatiki;

3) z sovershennye chisla s prostym delitelem p, formalizuyushchie morfizmy i yavlyayushchiesya, sledovatel'no, vypolneniem (interpretaciej) podstanovochnoj interpretacii semiotik.

4) Tavtologii matematiki p² (kvadrat tonkogo mnozhestva), interpretiruyushchie semantik i "standartnye interpretacii model'nyh mnozhestv".

5) Normal'nyj algorifm, formalizuyushchij izomorfizm, podnimaya tem samym material'nuyu implikaciyu do urovnya znacheniya implikacii (logicheskoj implikacii, predposylki yazyka logiki i otnoshenij, funkcii v pragmatike), chto vyrazhaetsya principom normalizacii algorifma. Vsyakij normal'nyj algorifm budet zadavat'sya ukazaniem sleduyushchih treh ob®ektov: nekotorogo alfavita, v dannom sluchae alfavita yazyka znachenij, v kotorom on vystupaet v kachestve logicheskoj svyazki nekotorogo trehbukvennogo alfavita αβγ, ne imeyushchih bukv, obshchih s alfavitom A, to est' vyskazyvanie, podlezhashchee rassmotreniyu yazykom dannogo alfavita i nekotoroj γ-shemoj z v alfavite Aαβ. Formulami podstanovok alfavita yavlyayutsya sovershennye gruppy s prostym delitelem p. Vsyakij verbal'nyj algorifm v alfavite A vpolne ekvivalenten otnositel'no A nekotoromu normal'nomu algorifmu nad A. Vsyakij verbal'nyj algorifm normalizuet v yazyke znachenie (tezis A. CHercha). Logika mozhet primenyat'sya dlya resheniya zadach, no ona ne podskazhet nam kakie zadachi stoit reshit', lish' formalizovav znachenie, my, nahodyas' v neobhodimosti normalizovat' izvestnym obrazom (podobnym logicheskim svyazkam, ih ierarhii, teorii tipov i subordinacii) algorifm resheniya kakoj-libo zadachi, verbal'nyj po otnosheniyu k yazyku znacheniya soglasno principu transfinitizma, usmatrivaem znachenie zadachi, ved' algorifm, normalizuyushchijsya samostoyatel'no, svodimyj logicheskim obrazom k normal'nomu, i est' prostoe vyskazyvanie yazyka znacheniya, prinyatoe za ob®ekt, lingvisticheskij podhod Vitgenshtejna, "znachenie znacheniya", lish' demonstrativnoe umozaklyuchenie o "znachenii znacheniya", prinyatoe za induktivnoe, inache govorya, ono ne konstruktivno, otsutstvuet deskripciya formalizma, eto "govoryashchij cherez nas" formalizm, prisoedinyayushchij algorifm, vtoraya stupen' implikacii, vypolnyayushchej ideyu stupenchatoj semanticheskoj sistemy v pragmatike, razlichayutsya, takim obrazom, levyj prisoedineniyu dnej i pravyj prisoedinyayushchij allomorfy: sokrashchayushchij algorifm; formalizuyushchij avtomorfizm.

Formula podstanovki sokrashchayushchaya, esli dlina ee pravoj chasti men'she dliny ee levoj chasti. Normal'nyj algorifm, sokrashchayushchij ili kak ego formuly podstanovok sokrashchayushchie, chto bylo pokazano dlya nashej gruppy P² P, razvetvlyayushchij algorifm, formalizuyushchij endomorfizm, vypolnyaya induktivnuyu implikaciyu, pryamym ee otricaniem pokazyvaya znachenie, udvaivayushchee algorifm, formalizuyushchij otricanie, formalizaciej kotorogo yavlyaetsya yazyk morfologii, nakonec obrashchayushchij algorifm, formalizuyushchij signaturu -- logicheskuyu svyazku yazyka morfologii. |kvivalentnost' verbal'nogo" algorifma normal'nomu est' reshenie zadachi po algorifmu, formalizuyushchemu po kanonu teorii algorifmaov yazyk znacheniya, opredelennyj yazyk. My obrashchaemsya zdes' myslenno k drevnim, gde dokazatel'stvo analitichno, esli i tol'ko esli ono ne vvodit v rassmotrenie novyh simvolov, i sintetichno, esli i tol'ko esli ono vvodit v rassmotrenie novye simvoly (imeetsya v vidu razlozhenie zadachi na podzadachi)

6. ordinal - indeks -- topologiya -- kardinal (kvantory) Tehnicheskie znaki -- graficheskoe ravenstvo, = - ravenstvo (substantivnaya ekvivalenciya). Tablicami istinnosti yazyka znacheniya yavlyayutsya matricy, opredelitelyami kotoryh sluzhat ordinaly, teoriya vypolneniya teoremy Ferma est' konstruktivnaya tehnika yazyka znacheniya. Teoriya znacheniya, okazavshayasya chistoj deskripciej ponyatiya yazyka znacheniya, to est' takogo ponyatiya, kotoroe, krome togo, chto yavlyaetsya samim soboj, finitno posredstvom imenno ponyatiya yazyka (formal'nogo) znaniya est' deskripciya transcendiruyushchej sposobnosti myshleniya, meroj otvlechennosti i otvlekaemosti myshleniem, slozhnoj uzhe v silu togo, chto yavlyaetsya smyslom, trebuyushchim obrazovanie ponyatiya mery. Transcendirovanie myshleniya est' ego vypolnenie mysl'yu i ispolnenie v mysli, transcendirovanie myshleniem ili transcendiruyushchee myshlenie est', takim obrazom, znachenie, smysl, trebuyushchij obrazovanie ponyatiya znacheniya, samo znachenie. Transcendirovanie est', sledovatel'no, znachenie logiki, trebuyushchee obrazovaniya samoj logiki. Transfinitizm takim obrazom est' otnoshenie mezhdu ponyatiyami v konechnom schete otnoshenie mezhdu ob®ektami (= formal'nymi yazykami), v voprose o schetnosti, chisle individov dlya problemy razreshimosti finitizma. Transfinitizm est' eksplikat ponyatiya myshleniya, transcendentalizm ego eksplienduum, takova istina znacheniya, trebuyushchaya smysl, obrazuyushchij vposledstvii ponyatie logiki. Ponyatie myshleniya, to, chto oznachaet myshlenie, est' poetomu myshlenie, kotoroe transcendiruet, poskol'ku rech' finitna i, sledovatel'no, sushchestvuet posredstvom ponyatij. Konstruirovanie est' poetomu vsegda transcendirovanie myshleniya, vstuplenie mysli v takoe i izvestnym obrazom protivorechie (logicheskoe) s myshleniem radi etogo, osparivaemogo u nego znacheniya, normalizuemogo v nem algorifmicheskim obrazom.

Znachenie, takim obrazom, est' eksplikat i ekspliciruet ponyatie chisla, eksplikat v kachestve smysla, trebuyushchego ponyatie chisla i eksplienduum v kachestve znacheniya, denotata ponyatiya chisla. Znachenie mozhet byt' predstavleno v vide sverhtonkogo mnozhestva simvolov, udovletvoryayushchego sleduyushchemu usloviyu: lyubye dva proizvol'no vzyatye simvola etogo mnozhestva takovy, chto ih kon®yunkciya, diz®yunkciya i t. d. -- tozhdestvennno-istinnye formuly. Mnozhestva i sami dolzhny i mogut byt' interpretiruemy. Nazovem eto mnozhestvo vremennym, sut' etogo nazvaniya sostoit v tom, chto smysl, trebuyushchij obrazovaniya ponyatiya vremeni opoznan nami kak logicheskij znak tozhdestva, ego formal'noe narushenie radi znacheniya, tak nazyvaemoe absolyutnoe, ili razlichayushchee tozhdestvo nemeckoj klassiki, deskripcii ponyatiya suzhdeniya.

Vsyakoe mnozhestvo (matematicheskoe ponyatie mnozhestva) est', sledovatel'no, model'noe mnozhestvo vremennogo mnozhestva, ili oblast' racional'nosti, osmyslennogo otricaniya simvolov vremennogo mnozhestva i cel'yu eksplikacii uslovij vhozhdeniya v nego kon®yunkcij, diz®yunkcij i t. d., prevrashcheniya ih v formuly podstanovok, maksimal'no neprotivorechivoe mnozhestvo znachimyh formul. Kak vidno, model'noe mnozhestvo, yavlyayas' znacheniem zakona protivorechiya v logike, est' smysl, trebuyushchij obrazovaniya prostranstva, ili, inache govorya, nezavisimo sushchestvuyushchee model'noe mnozhestvo est' prostranstvennoe mnozhestvo, i nakonec mnozhestvo znachimyh neprotivorechivyh formul est' tavtologicheskoe mnozhestvo, edinstvennyj smysl logicheskogo zakona isklyuchennogo tret'ego po otnosheniyu k ponyatiyam prostranstva i vremeni. Vremennoe mnozhestvo est', takim obrazom, model' matematicheskogo ponyatiya mnozhestva, prostranstvennoe mnozhestvo -- ego struktura, tavtologicheskoe mnozhestvo ego shema, i kazhdoe ponyatie imeet takim obrazom model', strukturu, shemu po kanonu konstruktivnoj teorii mnozhestv. Otnoshenie mezhdu dvumya triadami mnozhestv trebuet obrazovaniya ponyatiya approksimacii, vypolnyaemoj algorifmicheskimi logicheskimi svyazkami yazyka znacheniya, obshchim resheniem problemy razreshimosti dlya formul, podstanovkami v kotorye yavlyayutsya formal'nye yazyki. Mnozhestva pervoj triady interpretiruyu finitizm, yavlyayas' ego znacheniem, mnozhestva vtoroj triady demonstriruyut transfinitizm. Takim obrazom, my mozhem postroit' alfavit yazyka, formalizaciyu ponyatiya, transcendental'nogo yazyka. Sut' approksimacii ponyatiem zaklyuchaetsya v tom, chto simvol, imeya smysl i znachenie, yavlyaetsya eksplikatom i eksplikanduumom, kak bylo predstavleno vyshe, vtoraya priroda, rassmotrennaya v kachestve triady matematicheskoe ponyatie mnozhestva est' pervaya ukazannaya triada, deskripciya problemy vypolnimosti formul podstanovok.

1) referenty -- radikaly;

2) denotaty -- prostye chisla;

3) designatory -- sovershennye gruppy s prostymi delitelyami r;

4) signifikatory -- kvadraty tonkogo mnozhestva.

5) αx -- ordinaly, ∫ xαx (neopredelennyj integral) -- kardinaly (kvantory v yazyke logiki predikatov, formal'nogo yazyka po otnosheniyu k rechi predlagaemogo yazyka.)

6) signifikaciya -- algorifmirovanie po normal'nomu algorifmu; konnotaciya -- algorifmirovanie po prisoedinyayushchemu alroifmu;

denotaciya -- algorifmirovanie po sokrashchayushchemu algorifmu;

referenciya -- algorifmirovanie po razvetvlyayushchemu algorifmu;

definirovanie -- algorifmirovanie po udvaivayushchemu algorifmu;

designaciya -- algorifmirovanie po obrashchaemomu algorifu.

7) tehnicheskie znaki:

8) algorifm pobukvennogo kodirovaniya, algorifm dvojnogo proektirovaniya (Platon "Fileb", "G...")

Tablicami yazyka ponyatiya yavlyaetsya arifmetika transfinitivnyh chisel, kotoraya budet izlozhena v sleduyushchej glave. Konfiguraciya, esli shema sistem soderzhit, takim obrazom, n ponyatij, i mezhdu nimi otmecheno edinstvennoe otnoshenie, vyrazhaemoe terminom "x predshestvuet y". Usloviya ili aksiomy, opredelyayushchie eto sootnoshenie, nazyvayutsya simvolami, tak kak poskol'ku sama sushchestvuyushchaya konfiguraciya est' sushchestvovanie ponyatiya, to lish' simvol yavlyaetsya odnovremenno eksplikatom i eksplikanduumom ponyatiya, imeet edinstvennoe znachenie, vyrazhaemoe terminom "esli h otlichno ot u, to ili "h predshestvuet u", ili "u predshestvuet h"". YAsno, chto predstavitelem takoj konfiguracii yavlyaetsya tekst

x¹, h², ... xⁿ

v kotorom otnoshenie "h predshestvuet u" oznachaet: "h i u takim obrazom podchineny designacii smysla". Dalee opredelyayutsya konstruktivnye plany konfiguracij i konstruktivnye operacii nado konfiguraciyami. Klassy konfiguracij byvayut dvuh vidov, yavlyayas', krome vsego prochego, vyrazhennost'yu, obshchim resheniem zakona protivorechiya: klassy izmerenij, vyrazhaemye v ordinalah, i real'nye klassy referencij, referiruemye v radikalah (tak nazyvayutsya chisla klassov). Konstruktivnymi operaciyami nad klassami yavlyaetsya arifmetika transfinitivnyh chisel. Prinadlezhnost' elementa konstruktivnogo klassa etomu klassu zamenyaetsya terminologiej, yazyk kotoroj yavlyaetsya, sledovatel'no, yazykom KTM. Vpervye, takim obrazom, mozhet byt' udovletvoritel'no predstavleno ponyatie formalizma, on vyrazhaetsya singulyarnym terminom, rassmatrivaemom nami v ego edinstvennom znachenii byt' kriteriem konstruktivnosti teorii (termin, funkciya kotorogo sostoit v ukazanii na odin i tol'ko odin ob®ekt). YAzyk terminologii formalizuet yazyk ponyatiya disput takim obrazom, chto formalizuet uzhe samo znachenie yazyka, no lish' predikatov, finitnost' posredstvom ponyatiya kotorogo rechi byla nami zdes' ispol'zovana i konfiguraciya kotorogo byla posledovatel'no predstavlena v ponyatiyah yazykov morfologii, znacheniya i t. d. v posledovatel'nosti teksta, metodom etogo predstavleniya byl simvolicheskij metod. Terminologiya est' ponyatie, raskryvayushchee sebya takim obrazom i zatem, i potomu dazhe, chtoby skryt', designirovat' designacionnye sistemy, konfiguriruyushchie konfiguracii svoego smysla.

1. singulyarnyj termin -- referent;

2. uporyadochennoe mnozhestvo -- denotat;

3. zhestkost' uporyadochennogo mnozhestva -- designator (Teorema o zhestkosti: Pust' f: x - x -- tochnoe otobrazhenie uporyadochennogo mnozhestva x, < v sebe. Togda f(x) = x dlya vseh x = x, t. e. otobrazhenie f-tozhdestvenno)

4. princip skvoznoj cepi -- signifikaty (Podmnozhestvo Y uporyadochennogo mnozhestva x, < nazyvayut skvoznym (v x, <), esli ne sushchestvuet x º x, dlya kotorogo y < x pri vseh y º Y, t. e. esli Y ne strogo ogranicheno v x, <).

5. fil'try -- ordinaly. Poskol'ku pod mnozhestvom ego a priori my ponimaem mnozhestvo simvolov, to problema kvantifikacii dlya yazyka terminologii imeet reshenie v ponyatii (matematicheskom) centrirovannoj sistemy mnozhestv, t. e. semejstva podmnozhestv mnozhestva, peresechenie lyubogo konechnogo chisla elementov kotorogo nepusto. Maksimal'naya centrirovannaya sistema semejstva podmnozhestv na etom mnozhestve nazyvaetsya ul'trafil'trom v etom semejstve (znachenie kvantora sushchestvovaniya), i fil'trom na dannom mnozhestve (znachenie kvantora obshchnosti).

6. transfinitivnaya indukciya (postroenie ili verifikaciya po transfinitivnoj indukcii) -- signifikaciya transfinitivnaya rekursiya (princip transfinitivnoj rekursii) -- konnotaciya ili fal'sifikaciya. Arifmetika kardinalov -- denotaciya ("princip individualizacii" konfinal'nym harakterom kardinala. F. Akvinskij, L. Hiptikka). Referenciya -- arifmetika ordinalov -- referenciya.

arifmetika transfinitivnyh imen -- definiciya derev'ya (uporyadochennoe mnozhestvo T, < nazyvaetsya derevom, esli dlya kazhdogo x º T mnozhestvo T_x = {y º T; y <x} vseh predshestvuyushchih x v T, < elementov vpolne uporyadochenno otnosheniem <) -- designaciya.

7. tehnicheskie znaki: beskonechnoe mnozhestvo -- predstavlen v vide kvadrata beskonechnogo mnozhestva (on ravnomoshchen svoemu mnozhestvu) i konechnoe mnozhestvo -- v vide aksiomy vybora.

Tablicami yazyka-terminologii yavlyayutsya tablicy mnogoznachnyh logik, ih vypolnimost' po otnosheniyu k tablicam trehznachnoj logiki.

Vyskazyvanie yazyka terminologii takim obrazom imeet to znachenie, chto stroyat alfavity formal'nyh yazykov trebuemoj konfiguracii formalizma. Semantika est' pragmatika postroeniya alfavita, konstruirovanie alfavita yazyka, kotoryj dolzhen vyrazit' znachimoe ponyatie, simvolichnost' metoda semantiki zaklyuchaetsya v KTM, shagi etogo metoda (smysl ponyatiya shaga) byli predstavleny v etoj glave dlya samogo ponyatiya semantiki. Semantika interpretiruet interpretaciyu v pragmaticheskih sistemah, kak postroenie alfavita yazyka, vyskazyvanie kotorogo posvyashcheny interpretacii pragmaticheskoj sistemy. YAzykom semantiki sledovatel'no, yavlyaetsya funkciya yazyka logiki predikatov, znacheniya kotorogo yavlyayutsya znacheniyami alfavita konstruiruemogo yazyka, a argumentami: predmetnymi postoyannymi -- vyskazyvaniya yazyka logiki otnoshenij o ponyatii, formalizuemom v yazyke, alfavit, kotorogo konstruiruetsya; predmetnymi peremennymi - vyskazyvaniya yazyka paraneprotivorechivosti logik predikatnymi peremennymi -- vyskazyvaniya yazyka morfologii (vypolnimoj topologii); propozicional'nymi peremennymi -- vyskazyvaniya yazyka znacheniya; kvantorami -- vyskazyvaniya yazyka ponyatiya; transcendenciyami yazyka logicheskimi svyazkami -- vyskazyvaniya yazyka terminologii.

Tablicami etogo yazyka budet arifmetika s tochki zreniya vysshej matematiki, sovershennaya gruppa s prostym delitelem r; kuriruemaya ee vypolneniem v teoreme Ferma.

Semantiku, designiruemuyu v svoih prepozicional'nyh ustanovkah, kak pragmatiku, nazovem transfinitivnoj estetikoj, ili transcendental'nym shematizirovaniem, pervoj disciplinoj chistogo razuma po Kantu, pod kotoroj my, v chastnosti, ponimaem estetiku slovesnogo tvorchestva M. Bahtina.

Semantika ekspliciruet ponyatiya metoda. Sovershennaya gruppa s prostym delitelem, kuriruemaya i vypolnyaemaya teoremoj Ferma, ravna gruppe prostyh chisel.

Logika i ontologiya

Simvolicheskij metod predstavlyaet iz sebya metod ustanovleniya neprotivorechivosti obychnoj matematiki, osnovannyj na takom rassmotrenii yazyka, sredstvami kotorogo formuliruetsya matematika, kotoroe formalizuet ego (etot yazyk) sobstvennymi sredstvami matematiki. |tot yazyk nuzhno formulirovat' tak polno i tak tochno, chtoby matematicheskie suzhdeniya mozhno bylo rassmatrivat' kak vyvody po opredelennym pravilam, pravil'nost' kotoryh mozhno proverit', rassmatrivaya sami simvoly kak "fizicheskie" ob®ekty, bezotnositel'no k tomu znacheniyu, kotoroe oni mogli by ili ne mogli by imet'. Formalizovannye takim obrazom suzhdeniya dolzhny stat' predmetom pragmatiki, v kotoroj my dolzhny stat' predmetom pragmatiki, v kotoroj my dopuskaem tol'ko finitnye, absolyutno opredelennye metody rassuzhdeniya, po otnosheniyu k kotorym metody matematiki transfinity, t. e. ponyatiya obrazuyutsya svobodno, podchinyayas' tol'ko odnomu zakonu ne vpadat' v protivorechie. Eshche Galua podcherkival tot fakt, chto matematiki ne sinteziruyut, a kombiniruyut, ili, dobavim, konstruiruyut. Rol' logiki predstavlyaetsya zdes' takovoj, chto so storony pragmatiki najdena ta tochka zreniya, s kotoroj referiruetsya znachenie logiki kak paradoksa, peremennoj matematicheskoj zadachi po povodu obshchego matematicheskogo resheniya problemy razreshimosti, chto sostavit smysl, trebuyushchij rezul'tatov Gedelya, tak kak teoriya, takim obrazom, yavlyaetsya dlya sebya i cel'yu i sredstvom, tak chto ee neprotivorechivost' mozhet byt' ustanovlena formal'nym yazykom konstruirovaniya etoj teorii, kotoryj s etoj cel'yu dolzhen byt' eksplicirovan sredstvami pragmatiki.

Esli rassmatrivat' razvitie logicheskih idej imenno v etom smysle, to, pozhaluj, ono voobrazimo svitkom, prostertym na tysyacheletiya, na kotorom zapisana chertochkami (vspomnim predstavlenie A. A. Markovym konstruirovaniya kak processa, chistejshuyu teoriyu chisel) zadacha, usloviem kotoroj nachertana logika, tem, chto trebuetsya najti modal'naya logika. Konstruirovanie est' yazyk -- takov, na nash vzglyad otvet etoj zadachi, ee pragmaticheskij algorifm, po otnosheniyu k kotoromu normal'nyj algorifm nenormalizuem, i, sledovatel'no, princip, formalizuyushchij znachenie normalizacii, princip normalizacii.

R. Karnap byl sovershenno prav, utverzhdaya, chto modal'naya logika bez kvantorov neinteresna. Poetomu imeet smysl, na nash vzglyad, interpretirovat' ideyu Pervichnogo, prinadlezhashchuyu Pirsu, "neanaliziruemoe vnimanie, proizvodimoe kazhdym razlichnym, myslimoe ne kak aktual'nyj fakt, no prosto kak kachestvo, kak prostaya vozmozhnost' vidimosti", ili kak by my skazali, denotaciyu, dokazatel'stvo de re, gde neobhodimost' otnositsya k predikacii veshchi nekotorogo svojstva (res).

Ideya Vtorichnogo poluchaet svoe obosnovanie v modal'nosti de dicto, pripisyvayushchij neobhodimost' predlozheniyu, sudeniyu sushchnost'yu Vtorichnosti yavlyaetsya, takim obrazom, referenciya, lishayushchaya Vtorichnost' sushchnosti i prevrashchayushchaya ee v ideyu Vtorichnogo. Ideya Tretichnosti, takim obrazom, mozhet byt' predstavlena v formal'nom yazyke, vyskazyvanie kotorogo reduciruet modal'nost' de dicto k dire, tak nazyvaemaya "real'nost' neopredelennosti" (CH. Pirs). "...v svoej autentichnoj forme Tretichnost' est' triadicheskoe otnoshenie, kotoroe sushchestvuet mezhdu znakom, ego ob®ektom i interpretiruyushchej mysl'yu, yavlyayushchejsya samoj po sebe znakom, rassmotrennoj kak konstituiruyushchee sposob bytiya zakona".

Kak izvestno, v interpretacii sovremennoj modal'noj logiki, bol'shuyu silu obrela koncepciya vozmozhnyh mirov, svyazannaya s redukciej modal'nostej de re k de dicto v ponyatii individualiziruyushchej funkcii L. Hiptikki.

My ponimaem "vozmozhnyj mir" kak "obraz predlozheniya" L. Vitgenshtejna ponyatie nevozmozhnogo mira, okazyvayas', takim obrazom, sovokupnost'yu, ansamblem vozmozhnyh mirov (imeya v vidu "mir kak sovokupnost' predstavlenij" po Vitgenshtejnu), yavlyaetsya ponyatiem interpretacii znaki, ponyatiem sushchestvovaniya interpretacii u znaka, tem samym my podrazumevaem nekotoruyu predustanovlennuyu garmoniyu mezhdu ponyatiem, yavlyayushchimsya v kachestve predustanovlennyh "obrazami predlozhenij".

Polagaya znak autentichnoj formoj Tretichnosti, Pirs zakladyvaet osnovy teorii tverdyh designatorov, designiruya ee kak ob®ekt posredstvom terminov: Pervyj, vtoroj i Tretij korrelyaty, obrazuyushchih konfiguraciyu ponyatiya yazyka terminologii, sozidaya nekotoruyu proanglijskuyu (v smysle anglijskoj matematichnosti, kak kvadriruemosti, osnovy kotoroj zalozheny N'yutonom, Gunom, Barrou) sistemu rafinirovannogo, utonchennogo designirovaniya, kak geometrii differenciruemyh mnogoobrazij (vspomnim izvestnuyu teoremu Pirsa v topologii). Pervyj korrelyat est' reprezentaciya "triadnogo otnosheniya, Vtoroj Korrelyat budem nazyvat' ego Ob®ektom i vozmozhnyj tretij korrelyat -- ego Interpretantoj, v etom triadicheskom otnoshenii vozmozhnaya Interpretanta opredelyaetsya Pervym korrelyatom dannogo triadnogo otnosheniya, k nekotoromu ob®ektu i dlya nekotoroj vozmozhnoj Interpretanty. Znak est' reprezentant, nekotoraya interpretanta kotorogo poznaetsya razumom".

Razrabotannaya Pirsom tipologiya desyati klassov znakov vyvodima iz utverzhdenij o Korrelyatah, podobno vyvodimosti iz topiki Aristotelya ego desyati klassov (vidov) kategorij. Pirs i Lukasevich, kak predstavlyaetsya, apriorizirovali metafizicheskuyu sistemu Aristotelya vpolne udovletvoritel'nym obrazom, adekvatno, predstaviv sushchnost' kak konfiguraciyu ponyatij simvola (standartnoe razlichenie Termina, Propozicii i Argumenta, modificirovannoe Pirsom dlya prilozheniya i znaka voobshche) i znaka (utverzhdenie Lukasevicha o nalichii v logike Aristotelya v svernutom vide vseh osnovnyh sovremennyh emu formal'no-logicheskih koncepcij, prichem vystupaet sovershenno paradoksal'nym vopros o statuse dostatochno bogatoj koncepcii formalizacii samogo Lunasevicha), designiruyushchaya samoe sebya s tochki zreniya nekriticheski lingvisticheskogo podhoda, vobravshego v sebya ves' gruz paradoksal'nosti sub®ekt-ob®ektnyh otnoshenij v netematiziruemom aspekte, ne osmyslivayushchem effekty postoyannogo vosproizvodstva na periferii svoih issledovanij ponyatijnoj struktury, razmyvayushchej tverdye designatory "simvola" i "znaka", prevoshodyashchej ih s tochki zreniya matematicheskogo ponyatiya "zhestkosti" mnozhestva.

Transfinitizm nastaivaet na takogo roda sushchestvovanii znaka pri tom, chto ego referentom yavlyaetsya interpretant, denotatom -- interpretanta (v smysle Morrisa), designatorom -- interpretaciya, referenciej, denotaciej i designaciej yavlyaetsya ponyatie, edinstvenno tol'ko etot znak, pod "sushchestvovaniem takogo roda" my mozhem teper' ponimat' ne chto inoe, kak znachenie. Naivysshaya stepen' sushchestvovaniya, obrazuyushchaya samo ponyatie sushchestvovanie, est', takim obrazom, znachenie. YAsno, chto referentom, denotatom i designatorom zdes' sootvetstvenno okazyvaetsya Pervyj, Vtoroj i Tretij Korrelyaty, a svojstvennym im referenciej, denotaciej i designaciej -- ideya Pervichnosti, Vtorichnosti, Tretichnosti, okazyvayutsya oni potomu takim obrazom, chto yavlyayutsya znakami, ne otlichayushchimisya niskol'ko drug ot druga i v etom smysle odnim i tem zhe znakom, sushchestvuyushchem v raznyh referencial'nyh tochkah prostranstva smysla (reprezentaciya zdes' vozmozhna, kak shag ponimaniya sushchestvovaniya, znachenie, shag algorifma, smysl hoda v igre). Teoriya sovremennoj pragmatiki formalizuetsya takim obrazom kak teoriya kopirovaniya, shema sistem, konfiguraciya kombinatoriki, tehnika kotoroj predstavlena v kombinatornoj teorii mnozhestv, vyyasnenii ego vnutrennej svyazi s topologiej, konstruktivnoj svyazi (analiz Pirsa kak gorizontal'naya regressiya beskonechnosti), zapisyvayushchejsya v kopirovanii, vo vklyuchenii kopirovaniya v matematiku vmesto otnoshenij prisushchnosti i vypolnenii v etom smysle programmy burbakizacii matematiki, kak opredelenie otnoshenij kopirovaniya v pole kompleksnyh chisel, imeyushchih alfavit v sostave topologicheskih prostranstv, pravila vyvoda v vide "sposoba bytiya" teorem cirkulyacij zhidkosti v zamknutom konture i sootvetstvuyushchego myshleniya. Rezyumiruya vysheizlozhennye soobrazheniya, my imeem, na nash vzglyad, pravo trebovat' sleduyushchego reformirovaniya yazyka logiki predikatov: dobavlenie k logicheskim svyazkam v ego alfavite svyazki "eksplikaciya" a ← b (a ekspliciruet b)

a	b	a ← b
I	I	I
I	L	I
L	I	I
L	L	I

Vse drugie svyazki v KYALP imeyut te zhe tablicy i vtoruyu seriyu tablic, gde "lozhno".

Mozhno razlichat' tak zhe stroguyu, material'nuyu, deduktivnuyu, induktivnuyu eksplikacii, tablicy dlya kotoryh budut sostavleny obratno tablicam sootvetstvuyushchih svyazok yazyka logiki predikatov. Sobstvenno govorya, mozhno razlichat' vidy kon®yunkcii i drugih svyazok s tem, chto tablicy ih budut protivopolozhny tablicam vidov implikacii i t. d. ,spuskayas' do beskonechnosti dlya kazhdoj atomarnoj svyazki, chto sootvetstvuet sistemam logik n -- izmerenij takim obrazom, chto gedelevskij nomer vsegda est' formula.

|ksplikaciya delaet yazyk logiki predikatov konstruktivnym, buduchi ryadovoj logicheskoj svyazkoj, t. k. istinnost'yu yazyka logiki predikatov s ee uchastiem budet ego vypolnenie na algebraicheskih sistemah. Svodnoj tablicej istinnosti KYALP (konstruktivnogo yazyka logiki predikatov) budet togda chislovoj koncept teorii veroyatnostej, a imenno kak budet interpretirovat' ne chislo uspeshnyh ishodov ispytanij, lish' priblizitel'no predlagaemoe teoriej veroyatnostej, a funkciya matematicheskogo ozhidaniya ("sluchajnaya real'nost'" Vol'fa), sama vozmozhnost' (modal'nost') funkcii matematicheskogo ozhidaniya otozhdestvlyaetsya zdes' nami so svodnoj tablicej KYALP.

Zakon modal'nosti

De dicto DEs

MEs = ----

de re Hes

(vyvedenie iz teoremy Ferma i zakona bol'shih chisel)

Matematicheskoe ozhidanie tem vyshe, chem vyshe dispersiya sluchajnoj velichiny (designiruemaya postoyannoj λ - mera neuporyadochennosti) i obratno zavisit ot entropii sluchajnoj velichiny (designiruemaya postoyannoj α - mera besporyadka).

Pod matematicheskim ozhidaniem my ponimaem takim obrazom funkciyu upotreblenij simvolov v konstruktivnom yazyke logike predikatov (yazyke logiki predikatov, gde k chislu logicheskih svyazok dobavlena eksplikaciya), vvodya, takim obrazom, vmesto ispytanij v teorii veroyatnostej, chislo kotoryh est' koncept matematicheskogo ponyatiya chisla v teorii veroyatnostej, ponyatie upotreblenij (referenciya kotorogo yavlyaetsya upotreblenie simvolov), chto rezyumiruetsya nami kak predlozhenie konstruktivnoj teorii veroyatnostej, konfiguraciej, shemoj sistem kotoroj, kopiruyushchej operacii konstruktivnym kak chisla, otnosheniya, pokazyvayushchie, pokazateli etih operacij, yavlyaetsya konfiguraciya ponyatiya modal'nost'.

Proizvedem interpretaciyu ponyatiya modal'nosti, konfiguraciya kotorogo (soobrazno nominal'nym i real'nym opredeleniyami sholastov) est' interpretaciya principa designacii, upotreblyaemogo konstruktivnoj teoriej veroyatnostej. Kak izvestno, ponyatiem "chislovogo ryada" ponyatie summy obobshchaetsya na nekotorye sluchai beskonechnogo mnozhestva slagaemyh i izuchaetsya svojstva takih obobshchennyh summ. Analiticheskoe vyrazhenie, imeyushchee formal'no vid summy, soderzhashchej beskonechno mnogo slagaemyh, nazyvaetsya beskonechnym ryadom, ili, prosto, ryadom. V nashem sluchae summiruetsya simvoly, cepochka kotoryh imeet svoim kodom gedelevskij nomer. Nazovem takoj ryad konstruktivnym ili osmyslennym, eto nekotoryj muzej, panteon simvolov. Poskol'ku simvol, buduchi zapisan kak chlen chislovogo ryada, est' znak, imeyushchij nekotoruyu konfiguraciyu, a imenno yavlyaetsya referencial'noj tochkoj v sisteme otscheta, os'yu absciss kotoroj yavlyaetsya os' ordinalov, a os'yu ordinat -- os' kardinalov, to zadaniyami chislovogo ryada, kak vypolneniem operacij transfinitivnoj logiki, opredelyayutsya konstruktivnye plany konfiguracii (sovershennoj gruppy prostyh chisel) i konstruktivnye operacii nad konfiguraciyami, yavlyayushchiesya funkciyami kompleksnogo peremennogo, prichem eti opredeleniya yavlyayutsya sledstviyami podstanovki operatorov, kak elementov konstruktivnogo klassa, prinadlezhnost' kotorogo etomu klassu ustanavlivaetsya posredstvom principial'no osushchestvimoj sovokupnosti dejstvij, kak znakov znacheniya, ili znachenij pokazatelej operacii vychislimosti chislovogo ryada, gde ego vychislimost' yavlyaetsya analiticheskim prodolzheniem v oblast' kompleksnyh chisel, moshchnost' izmeryaetsya v ordinalah, poryadok (schetnost') v kardinalah, obratno kantorovskoj teorii mnozhestv, gde predpolagaemoe mnozhestvo est' operator ryada simvolov, referiruemyj v ordinalah (schetno-vychislimyj), izmeryaemyj v kardinalah (schetno-vychislimyj), opredelim takim obrazom v ramkah transfinitzma kantorovskuyu teoriyu mnozhestv kak teoriyu operirovaniya, gde pokazatelem operacii yavlyaetsya transfinitivnoe chislo.

Pust' zadana posledovatel'nost' kompleksnyh chisel U_n, n = 1, 2, ... . Sostavim novuyu posledovatel'nost' chisel S_n, n = 1, 2, ..., sleduyushchim obrazom:

Ψ₀ = U'₁, Ψ₁ = U'₂, U'₁ = U₁

Ψ₂ = Ψ₀ + Ψ₁U'₂ = U₁ + U₂

Ψ₃= Ψ₁ + Ψ₂U'₃ = U₁ + U₂ + U₃

Ψ₄ = Ψ₂ + Ψ₃U'_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... U_n

Ψ₅ = Ψ₃ + Ψ₄,

gde Ψ - tak nazyvaemye chisla Fibonachchi, beskonechnaya posledovatel'nost' kotoryh opredelyaetsya rekurrentnoj formuloj Ψ_n₊₁ = Ψ_n_-1 + Ψ_n.

Rezul'tat Matiyasevicha v tom, chto lyuboe perechislimoe svojstvo konechnoj posledovatel'nosti chisle yavlyaetsya diofantovym, eshche raz dokazyvaet nam ponyatijnuyu strukturu gedelevskogo nomera, smysla, trebuyushchego obrazovaniya ponyatiya perechislimosti, vyrazimuyu v formule

p! + 1 ego apriorno diofantovuyu harakternost'. Formuloj konstruktivnogo chislovogo ryada yavlyaetsya uravnenie volnovoj funkcii SHredingera, predstavlyayushchej asimptoticheskij harakter vypolneniya teoremy Ferma celymi chislami v konstruktivnom chislovom ryadu Svojstvo Matiyasevicha (svojstvo pary chisle (a, b), gde est' chislo Fibonachchi s nomerom 2a, b = Ψ_2a) nazovem pragmaticheskim kvalitatizmom, ili kreativnost'yu, tozhdestva pustogo mnozhestva i singulyarnogo termina, smysla ponyatiya tozhdestva, matematicheskogo ponyatiya "operator", designiruet operatora v yazyke vseobshchej arifmetiki, finitizmom operatora, transfinitizmom etogo finitizma kotorogo yavlyaetsya operator konstruktivnogo chislovogo ryada. Konstruktivnyj chislovoj ryad est' kol'co nad polem kompleksnyh chisel, telom kol'ca yavlyaetsya arifmeticheskaya operaciya transfinitivnyh chisel, pokazatelem kotoroj yavlyaetsya fizicheskoe ponyatie tverdogo tela. Pust' konstruktivnaya operaciya Ψ² (Ψ₀, Ψ₁, Ψ₂ ...) stavit proizvol'no zadannoj sovokupnosti konfiguraciej Ψ₀, Ψ₁, Ψ₂ ... v sootvetstvie nekotoruyu konfiguraciyu Ψ. Pri etom opredeleniem operacii Ψ² (Ψ₀, Ψ₁, Ψ₂ ..., Ψ_n) yavlyaetsya kreativnost', to est' eto opredelenie daet principial'no osushchestvimyj sposob postroeniya konfiguracii Ψ, kogda konfiguracii Ψ₀, Ψ₁, Ψ₂ ..., Ψ_nzadany. Dlya klassa posledovatel'nostej simvolov opredelim operaciyu S (Ψ_n_-1, Ψ_n), sostoyashchuyu v pripisyvanii, upotreblenii, k simvolu Ψ_n_-1, simvola Ψ_n, ili upotreblenie.

Operatorom konfiguracii S (Ψ_n_-1, Ψ_n) yavlyayutsya vse operatory konfiguracij Ψ_n_-1i Ψ_n, nazovem eto zadachej shodimosti ryada, shodimost' ryada konstruiruetsya, lyuboj chislovoj ryad takim obrazom svoditsya takim obrazom, chto dlya nego vypolnyaetsya neobhodimoe uslovie shodimosti ryada, tak kak dlya lyuboj pary elementov konfiguracii S (Ψ_n_-1, Ψ_n) -- opredeleno otnoshenie poryadka, chislo ordinala. Zadacha svodimosti chislovogo ryada reshaetsya v ordinalah. Tak, naprimer, ryad, chleny kotorogo obrazuyut geometricheskuyu progressiyu 1+ q + q² + q³ +... qⁿ..., pri |q| ≥ 1 rashoditsya, ibo ego obshchij chlen U_n = qⁿne stremitsya k nulyu Resheniem zadachi po svodimosti dannogo chislovogo ryada yavlyaetsya sleduyushchaya gruppa n -- gruppa ordinalov, podstanovok, reshayushchih diofantovye uravneniya 3 stepeni (problema Gil'berta). Ordinaly imeyut biekciyu na mnozhestvo natural'nyh so storony ih moshchnosti kardinaly -- schetnosti, transfinitivnye chisla -- vychislimosti. Kazhdyj operator, prinadlezhashchij konfiguracii Ψ_n_-1, otlichaetsya ot operatora, vhodyashchego v konfiguraciyu Ψ_n, na ordinal. Dlya par (h, u), vhodyashchih v Ψ_n_-1 (Ψ_n) ustanovleno svojstvo kreativnosti Matiyasevicha. Legko videt', chto esli Ψ_n_-1i Ψ, predstavleny sootvetstvenno posledovatel'nosti znachenij x₁ x₂ x₃ ... x_n

u₁ u₂ u₃ ... u_n, to konfiguraciya (Ψ_n_-1; Ψ_n) yavlyaetsya funkciej u = f (h).

Operaciya R (Ψ_n_-1; f; Ψ_n) (referent operacii podstanovki), smysl kotoroj sostoit v tom, chto v konfiguracii Ψ_n_-1 f vsyudu, gde ona vhodit, zamenyaetsya Ψ_n, poskol'ku f est' chislo kardinala.

Itak, konstruktivnaya operaciya est' konfiguracii. Zamenyaemaya po nekotorym pravilam transfinitivnym chislom, ona, sledovatel'no, imeet operator, zamenyaemyj ordinalom, i pokazatel' ("stepen' uverennosti" Bol'cano), zamenyaemyj kardinal'nym chislom.

Opredelim operaciyu

T (Ψ_n_-1; f; Ψ_n_, n), gde

n -- est' gedelevskij nomer

T (Ψ_n_-1; f; Ψ_n_, 2) sovpadaet s R (Ψ_n_-1; f; Ψ_n)

T (Ψ_n_-1; f; Ψ_n_, n) est' rezul'tat zameny v T (Ψ_n_-1; f; Ψ_n_, 2)

f vezde, gde ona vhodit, simvolom Ψ_n_-1

R [T (Ψ_n_-1; f; Ψ_n, 2) f', Ψ_n]

Dlya opredeleniya (Ψ_n_-1; f; Ψ_n_, n) dlya lyubogo n (< otnosheniya poryadka) mozhno napisat'

T (Ψ_n_-1; f; Ψ_n_, n) = R [T (Ψ_n_-1; f; Ψ_n, p! + 1) f', Ψ_n]

Operaciya v smysle zameny ispytanij teorii veroyatnostej upotrebleniyami est' upotreblenie kvadratichnyh form, kvadr ordinala izmeryaet smysl, trebuyushchij ponyatiya moshchnost', chistyj chislovoj smysl, opredelivshijsya pri sovremennom sostoyanii simvologii kak moshchnost' mnozhestva, kvadrat kardinala izmeryaet schetnost', togda apriornaya ponyatijnaya struktura teoremy Pifagora vyrazitsya formuloj

ord² +card² = -1

ord² +card², yavlyayas' geometriej celyh polozhitel'nyh kvadratichnyh form entropii sluchajnoj velichiny, predstavlyaet zakon semiotiki (oznacheniya) entropiya sluchajnoj velichiny vsegda otricatel'na.

Modal'nost' est' ansambl' operacij, modal'naya logika takim obrazom est' kritichnoe ispol'zovanie ponyatij, ispol'zovanie ponyatij tol'ko kak ego upotreblenie, kvantifikaciya, lezhashchaya v osnove schetnosti vychislimosti, moshchnosti est' chislo znachenij, schet eksplicirovannyh znachenij, znakov pri ohranenii za kvantifikaciej ego designiruyushchej funkcii.

Kvantifikaciya est' operirovanie operatora vypolnyaemoe operaciyu soglasno pokazatelyu etoj operacii, kvantifikaciya, sledovatel'no, est' opredelenie znachenij transfinitivnyh chisle iz znachenij ordinalov i kardinal'nyh chisle, diagonal'nyj metod Kantora kak struktura konstruktivnoj konfiguracii simvola, interpretaciej kotorogo yavlyaetsya operator.

Modal'nost' est', takim obrazom, sposob postroeniya chisla. Matematiki razlichayut konstruktivnyj sposob postroeniya chisla, modal'nost' de dicto, predstavlennyj metodom Liuvillya, i ekzistencial'nyj sposob postroeniya chisla, predstavlennyj metodom Kantora, modal'nost' de re.

Kak izvestno, osnovnaya teorema algebry vyrazhaet to obstoyatel'stvo, chto, kompleksnye chisla, vvedennye tol'ko dlya togo, chtoby stali razreshimymi vse kvadratnye uravneniya s dejstvitel'nymi koefficientami sdelali razreshimymi vse voobshche algebraicheskie uravneniya (dazhe imeyushchie kompleksnye koefficienty).

Osnovnaya teorema algebry formuliruetsya sleduyushchim obrazom: lyuboe uravnenie n-j stepeni

α_n zⁿ + α_n_-1 z ⁿ^-1 + ... α₀ = 0, α_n ≠ 0

s proizvol'nymi kompleksnymi koefficientami imeet n kompleksnyh kornej. Drugimi slovami, sushchestvuet n kompleksnyh chisel z₁, z₂, ... z_n takih, chto

α_n zⁿ + α_n_-1 z ⁿ^-1 + ... α₀ = α_n (z -- z₁) (z -- z₂) ... (z -- z_n)

Takim obrazom, lyuboj mnogochlen s kompleksnymi koefficientami mozhno razlozhit' na linejnye mnozhestva. Teorema Gedelya budet interpretirovana kak razreshimost' uravneniya stepenej n > 3 est', takim obrazom, algorifm, yavlyayushchijsya sposobom postroeniya chisla. Nepolnota aksiomatiziruemoj teoremy T signatury ∑₀, teorii, yavlyayushchejsya rasshireniem A_0, est' nepolnota v bukval'nom smysle, kak neustanovlennost' transfinitivnogo chisla, nepolnotu aksiomatizacii teorii T i signatury ∑₀, yavlyayushchiesya rasshireniem A₀, est' razreshimost' uravnenij n > 5, radikalami kotoroj yavlyayutsya diofantovye uravneniya, designirovanie konfiguracii simvolicheskogo chislovogo ryada, ili postroeniya chisla. Semantika postroeniya chisla (konstruirovanie est' yazyk) ili semanticheskij chislovoj ryad imeet vid:

Ponyatiya T (teorii), kak eto ispol'zuetsya v matematicheskoj logike, oznachaet postroenie chisla kak nekotoroj sposob.

Itak, pust' zadana posledovatel'nost' kompleksnyh chisel U_n, n = 1, 2. Sostavim novuyu posledovatel'nost' chisel sleduyushchim obrazom S_n, n = 1, 2.

S₁ = U₁

S₂ = U₁ + U₂

S₃ = U₁ + U₂ +U₃

S_n = U₁ + U₂ +U₃

Togda semanticheskij chislovoj ryad vyrazitsya posledovatel'nost'yu Y_n.

Ψ₀. = U_n, Ψ_n. = S_n

Ψ₂.= U_n + S_n

Ψ₃.= 2S_n + U_n

Ψ₄.= U_n + S_n + 2S_n + U_n = 3S_n + 2U_n

Ψ₅.= 4S_n + 3U_n

Ψ₆.= 7S_n + 5U_n

Semanticheskij harakter etogo chislovogo ryada dokazyvaet fizicheskij harakter matematiki, a imenno, ne znaya nomera n, my poluchaem dlya S_n i U_n nekotoruyu matematicheskuyu zakonomernost', prichem takogo roda, chto ona ne zavisit ot n, shodimost' takogo ryada est' ne chto inoe, kak ego approksimaciya k konstruktivnomu chislovomu ryadu, kol'cu ploshchadi Pr² nad polem kompleksnyh chisel (P ∙ 2r), semanticheskij ryad togda rezul'tatom approksimacii daet semanticheskie kody postroeniya alfavita konstruktivnogo yazyka logicheskih predikatov, shagami pragmaticheskogo algorifma kotorogo budut chisla Fibonachchi.

Formiruya izvestnyj metod Liuvillya, ispol'zovannyj im pri postroenii transcendentnogo chisla, nosyashchego ego imya, my dokazyvaem, chto esli α-transfinitivnoe chislo, ili, inache govorya izmeryaet razreshimost' diofantovogo uravneniya, to sushchestvuet kardinal, zavisyashchij tol'ko ot transfinitivnogo chisla i takoj, chto dlya vseh celyh p, q (koefficientov neprivodimogo algebraicheskogo ravneniya s celymi koefficientami n ≥ 2)

p Card

| α - -- | > ----

q qⁿ

Pust' f (x) = Ψ₀xⁿ + Ψ₁x^n-1 + ... Ψ_n --

approksimaciya diofantovogo upravleniya. Proizvodnaya f (x) na otrezke [α -- 1, α +1] neogranichenna, t. e. sushchestvuet Ord (ordinal) takoj, chto

| f' (x) | ≤ Ord pri α -- 1 ≤ x ≤ α +1

Dostatochno rassmotret' te racional'nye chisla p/q, kotorye lezhat v intervale α -- 1, α +1

p | Ψ₀ pⁿ + Y₁ pⁿ^-1 q + ... | 1

| f' (--) | = -------------------- ≥ --

q qⁿ qⁿ

poskol'ku f (--) ≠ 0, (mnogochlen neprivodim, t. k. sushchestvuyut kody) i

|Ψ₀ pⁿ + Ψ₁ pⁿ^-1 q + ... | - prostoe chislo.

Ispol'zuya teoremu o srednem iz differencial'nogo ischisleniya, my zaklyuchaem, chto mezhdu α i p/q (i, sledovatel'no, v intervale, α -- 1 do α +1) najdetsya takoe chislo x, chto

f (α )- f (p/q) = (α - p/q) f' (x),

t. e takoe chislo, kotoroe samo budet proizvodnoj, opredeleniem proizvodnoj, otkuda, poskol'ku f (α) = 0

1 p p p 1 p

---- ≤ |f ( -- ) | = | f (α) -- f ( -- ) | = | α - -- | | f' (x)| ≤ ------ | α - -- | ,

qⁿ q q q Card q

(Ord² + Card² = -1)

p Card

ili | α - -- | ≥ ------

q qⁿ

Konstruktivnyj harakter approksimacii zaklyuchaetsya, takim obrazom, v priravnivanii ordinalom, izmereniya toj i drugoj chasti ravenstva v

p Card

ordinalah | α - -- | i ------ , gde p i q svyazany funkciej matematicheskogo

q qⁿ

ozhidaniya (p -- prostoe chislo, q -- celoe, celost' kotorogo kak struktura

Card

vyyavlyaetsya ) ------

qⁿ

Card p

α_ord = ------ + ----

qⁿ q

est' uravnenie approksimacii, gde q -- korni mnogochlena, priravnennogo ordinalu, a p -- ego kod (koren' uravneniya kvadratnoj formy gedelevskogo nomera), Card, kardinalom zhe yavlyaetsya uravnenie SHredengera dlya kvadratnyh form gedelevskogo nomera, on v etom sluchae yavlyaetsya singulyarnym terminom trehznachnoj logiki, prikladnoj v kvantovoj mehanike. Liuvill' osnovyvalsya, kak izvestno na tom, chto esli by α (koren' neprivodimogo mnogochlena) bylo algebraicheskim, to pri nekotorom fiksirovannom n dlya vseh m vypolnyalos' by neravenstvo

p_m γ x 2

| α - -- | > -- => ---- < ----

q_m qⁿ_m qⁿ_m q^m⁺¹_m

a eto nevozmozhno, esli m veliko.

Zakon kvadratichnyh form zanimaetsya v tom, chto esli α irracional'no, to sushchestvuet beskonechno mnogo racional'nyh chisel p/q (p i q vzaimno prosty), takih, chto

p 1

| α - -- | ≤ -- (princip Dirihle)

q q²

Kvadratichnaya forma opredelena nami kak kreativnost', svojstvo Matiyasevicha, o znachenii mnogochlena simvolicheskoe znachenie simvola, bez ucheta kotorogo nevozmozhno pragmaticheskoe znachenie.

Dlya postroeniya simvolicheskogo konstruktivnogo ryada, deskriptivnogo po otnosheniyu k zadannomu posredstvom ponyatij (informacii operatorov) formal'nomu yazyku, dopustim, chto trebuetsya odin simvol s veroyatnost'yu p (ispol'zovaniem), dva simvola s ispol'zovaniem p₂, tri simvola s ispol'zovaniem p₃ i t. d., ispol'zovaniya est' kody mnogochlena, rezul'tata, referenta operirovaniya, approksimiruemogo kardinalom k mnogochlenu, priravnennomu ordinalu.

p₁ + p₂ + ... + p_n = Ord

Sprashivaetsya, skol'ko v srednem potrebuetsya simvolov dlya postroeniya konstruktivnogo simvolicheskogo ryada, otvechayushchego opredeleniem pragmatiki. Dlya otveta na postavlennyj vopros budem rassuzhdat' sleduyushchim obrazom.

Predpolozhim, my mozhem ispol'zovat' simvol lyuboj konfiguracii, lyubuyu gruppu prostyh chisel, interpretiruyushchuyusya kak moduliruyushchuyu kol'ca (budut ih idealami), vypolnenij kvadratnyh form v teoreme Ferma, sushchestvuyushchih kvadratichnyh form. Togda, konkretiziruya teoremu Bernulli, my mozhem utverzhdat', chto otnositel'noe chislo operacii (modal'nost', v kotoryh dlya resheniya problemy potrebovalsya tol'ko odin simvol, ravno p). Tochno takzhe dva simvola potrebovalis' v 100 p²% operacij i t. d. Takim obrazom, v srednem na reshenie odnoj problemy potrebuetsya priblizitel'no 1 ∙ p¹ + 2p² + ... + npⁿ simvolov.

Priblizitel'nost' oznachaet zdes' neobhodimoe reshenie problemy, poskol'ku lyuboj simvol mozhet byt' nami postroen, kol' skoro my ovladeem sposobom postroeniya lyubogo chisla, nulevogo simvola. Raskroem ishodya iz vysheskazannogo ponyatiya matematicheskogo ozhidaniya MEs est' umnozhenie mnogochlena α v opredelenie approksimacii (sm. Ahiezer "Lekcii po teorii approksimacii") MEs est', sledovatel'no, nekotoraya, opredelennaya po kanonu transfinitivnoj estetiki, gruppa. Esli x₁, x₂, ... x_n -- mnogochleny, rezul'taty operirovaniya operatorov, oboznachayutsya vozmozhnymi znacheniyami diskretnoj sluchajnoj velichiny Es, a p₁, p₂, ... p_n -- sootvetstvuyushchie im veroyatnosti, ispol'zovaniya simvolov.

∞

Esli ryad ∑ x_n p_n (n = 1) shoditsya absolyutno, to ego summa nazyvaetsya matematicheskim ozhidaniem special'noj velichiny MEs, izmeryayushchejsya v transfinitivnyh chislah

n (gedelevskij nomer)

Es = --

α (transfinitivnoe chislo)

Poskol'ku Es vsegda nepreryvna, raskryvaya sushchestvovanie zakona bol'shih chisle, sostoyashchee v "ispol'zovanii simvola kvadratnogo umnozheniya", proistekayushchee iz yavleniya approksimacii, to matematicheskoe ozhidanie Es yavlyaetsya integralom

MEs = ∫ xp (x) α x, gde p (x) = 1/Inx

raspredelenie prostyh chisel (ispol'zuemoe, a ne veroyatnostnoe).

Svyaz' MEs s approksimaciej dokazyvaet tot fakt, chto matematicheskoe ozhidanie tem vyshe, gruppa tem znachitel'nej (chisla znachenij v smysle), tem bol'she dispersiya sluchajnoj velichiny, matematicheskoe ozhidanie kvadrata znacheniya Es ot MEs de dicto

DEs = M (Es - MEs)² = ∫ xαF_η(x),

gde cherez F_η (x) oboznachaetsya funkciya raspredeleniya sluchajnoj

x x Ord

velichiny η (Es - ME)² = ---- F_η (x) = ------ = Card

Inx Inx

(modulirovanie prostymi chislami kolec (v kachestve ih idealov) nad polem racional'nyh chisel). |ntropiya Es, ili individualiziruemaya funkciya est' teoriya predelov, mnogoobraziya predelov, kak referencial'nyh tochek pole racional'nyh chisel, yavlyayushchihsya kodom approksimiruemyh mnogochlenov

HEs = -p₁, I_np₁ - ... p_n Jn p_n

p_i =1/n (n -- gedelevskij nomer) H = log n.

My berem sluchaj maksimal'noj neopredelennosti ishoda dlya simvologii

de re

- p₁ In p₁ - ... - p_n Jn p_n = - p₁ log p₁ - ...- p_n log p_n

Referenciya neperovskih logarifmov desyatichnymi, istok i rozhdenie logarifmov, sama ih vozmozhnost' opredelyaetsya HEs, chto interesuet nas dlya sluchaya raspredeleniya prostyh chisel.

Otvet na postavlennyj vopros takim obrazom:

DEs

MEs = ----

HEs

I dejstvitel'no, chto est' chislo neobhodimyh simvolov, kak ne svedenie modal'nosti de dicto k de re.

Esli takim obrazom, pod modal'nost'yu de dicto ponimat' schetnost' mnozhestva, t. e. nechetnost' beskonechnogo mnozhestva budet izmeryat'sya ordinalami, a pod modal'nost'yu de re moshchnost' beskonechnogo mnozhestva, gde razlichiya v moshchnosti izmeryayutsya v kardinalah, to konstruirovanie est' s referencial'noj tochki zreniya dokazatel'stvo schetnosti mnozhestva vseh dejstvitel'nyh chisel, ili metod Kantora. Poskol'ku soglasno entropii (HEs = Ord² +Card² = -1) sluchajnoj velichiny kazhdoe chislo mozhno edinstvennym obrazom predstavit' v vide beskonechnoj desyatichnoj drobi, predpolozhim, chto vse dejstvitel'nye chisla zapisany v posledovatel'nost':

S₁, S₁₁, S₁₂, S₁₃ ...

S₂, S₂₁, S₂₂, S₂₃ ...

S₃, S₃₁, S₃₂, S₃₃ ...

Pust' α₁ -- lyubaya cifra, otlichnaya ot S₁, a α₂ -- lyubaya cifra, otlichnaya ot S₃₂, i t. d.

Togda dejstvitel'noe chislo otlichaetsya ot lyubogo chisla nashej posledovatel'nosti, sledovatel'no, ono kardinal, chisla, odinakovye s s chlenami nashej posledovatel'nosti est' ordinaly, poskol'ku sushchestvuyut kardinaly. Sledovatel'no, mnozhestvo dejstvitel'nyh chisel mozhno rassmatrivat' v posledovatel'nosti, tak kak kazhdoe iz nih, krome togo, chto ono est' ono samo, est' transfinitivnoe chislo. (chislo, kotoroe i ravno chislu posledovatel'nosti i otnosh. transfinitizma)

Umestno dat' interpretaciyu dokazatel'stvu schetnosti mnozhestva dejstvitel'nyh chisel v semioticheskom chislovom ryadu, transfinitivnoj konfiguracii simvolicheskogo ryada, operatorom kotoroj yavlyayutsya transfinitivnye chisla, operirovaniem dannogo operatora ili referenciej -- dispersiya stupenchatoj velichiny, dannym operirovaniem operatora, ili denotaciej, entropiya sluchajnoj velichiny.

Pust' zadana posledovatel'nost' chisel Fibonachchi Ψ_n. Sostavim novuyu posledovatel'nost' S_n, n= 1, 2

S₁ = 1

S₂ = 1 + 2 = 3

S₃ = 1+ 2 + 3 = 6

S₄ = 1 = 2 + 3 + 6 = 12

S_n = Ψ₁ + Ψ₂ + ... Ψ_n

Para posledovatel'nostej Ψ_n i S_n -- chislovoj ryad, S_n -- chastnye summy etogo ryada. Shodimost' etogo ryada est' ryady Fur'e dlya prostyh chisel, v to vremya kak shodimost' semanticheskogo ryada est' ryady Tejlora dlya prostyh chisel. CHislo kak posledovatel'nost' i chislo kak ryad est' sushchnost' principa dopolnitel'nosti, ob®ekty ordinalizacii izmeryayutsya v ordinalah, kardinal est' real'nost', ob®ekt ordinala, i ordinal est' ob®ekt, interpretiruemyj kardinalom.

Teoriya predelov est', takim obrazom, issledovanie otnoshenij mezhdu kardinalami i ordinalami, teoriya organizacii transfinitvnogo chisla, i v etom smysle teoriya kodirovaniya, kodirovaniya programm dlya operatorov, operiruyushchih v obobshchennoj konfiguracii simvola, neobhodimo realizuyushchaya princip Puankare: "nikogda ne rassmatrivajte nikakih ob®ektov, krome teh, kotorye mozhno opredelit' konechnym chislom slov". Inymi slovami, konstruirovanie chego-libo ili sushchnosti, proishodit podobno, vziraya na postroenie chisla.

Postroenie chisla est' ne chto inoe, kak postroenie kvadratury kruga, gde radiusom kruga yavlyaetsya prostoe chislo, a storonami kvadrata p i q etogo chisla, moduliruemogo, idealiziruemogo p (prostym chislom), priravnivaemye drug k drugu cherez vosstanavlivanie iz P sovershennoj, zapolnennoj drobi. Rezyumiruya vysheizlozhennoe, neobhodimo ustanovit' obshchij zakon, soglasno kotoromu dva celyh polozhitel'nyh chisla preobrazuyutsya v kvadrat takogo chisla (v dva novyh ravnyh chisla) chto on raven proizvedeniyu prostogo chisla na nekotoroe zakonchennoe drobnoe otnoshenie, koefficient prostogo chisla (strukturu uravneniya operatorom dvuh celyh chisel takim obrazom, chtoby ono bylo operacional'nym, chtoby byl sled operatora i strogost' chisla). My uzhe ponyali, chto takogo roda zakonomernost' yavlyaetsya ne chem inym, kak zakonom prostyh chisle, ih sobstvenno raspredeleniya. Vot uzh poistine neizvestno, chto proishodit v matematike, kogda v nej net matematika, tam vse prihodit v dvizhenie (zona Tarnovskogo), i stoit lish' poyavit'sya cheloveku, v nej lovushki, nedokazuemost', finitizm, nerazreshimost' 10-j problemy Gil'berta i t. d. Obshchim metodom, sleduya kotoromu v nekotoroe chislo shagov mozhno bylo by uznat', imeet li proizvol'noe diofantovo uravnenie reshenie v celyh chislah, yavlyaetsya opredelenie takogo chisla sochetanij iz n po m, chto n = Ψ_n, m = Ψ_m

Ψ_n! Ψ₀= 2

Cⁿ_m = -------------- Ψ₁ +3

Ψ_n-1! (Ψ_n - Ψ_n-1)!

Udvoenie kuba (postroenie cirkulem i linejkoj chisla ³Ö2) est' ordinal, takova interpretaciya ordinala. Togda kardinal est' razbienie kuba na konechnoe chislo men'shih i neravnyh drug drugu kubov. Transfinitivnoe zhe chislo est' postroenie, vypolnennoe odnoj linejkoj, konechnaya posledovatel'nost' shagov, na kazhdom iz kotoryh my libo provodim tochku peresecheniya dvuh pryamyh ili pryamoj i zadannoj okruzhnosti. |ta posledovatel'nost' dolzhna privesti v konce koncov k nekotoroj tochke otnositel'no kotoroj mozhno dokazat', chto ona -- centr nashego kruga. Rezul'taty i itogi shagov est' kardinaly i ordinaly, t. k. postroeniya pri pomoshchi odnoj linejki proektivno invariantny.

(vybor iz n -- m iz card -- ord = (zadachi kuba) transf. chisla)

Togda C_n^m est' diofantovo uravnenie 3-j stepeni, gde korni i koefficienty -- razlozhenie na p mnozhiteli rezul'tata formuly prevrashchennoj formuly binominal'nyh koefficientov, gde diofantovu uravneniyu n -- izmerenii pridaetsya gedelev nomer, tak chto posleduyushchie n--ki prostyh chisel est' moduli kol'ca. Dinamika idei stupenchatoj semanticheskoj sistemy, zaklyuchayushchejsya v sistemnom postroenii (operacional'nom) kvadratury kruga, vyrazhaetsya teoriej vlozhennyh otrezkov

(modificirovannyj algorifm Evklida)

a = nb + b

b = nb₁ + b₂

b1 = n₂b₂ + b₃

.....................

b_R-2 = n_R-1b_R-1 + b_k

b_R_-1 = n_Rb_k

Esli n = Ψ_n, a b -- prostoe chislo, to b_R₊₁ (ostatok deleniya ) = l^ix

b_R+1= l^ix

a/b = cos x

b_R_-2/b_R_-1 = i sin x

tak chto e^ix = cos x + i sin x -- uravneniya konstruirovaniya teorii chisel, gde x kod sposoba konstruirovaniya matematicheskogo ravenstva (e^nx = - 1), x --peremennaya velichina, verbal'noe opredelenie peremennoj velichiny imeet matematicheskoj tehnikoj teoriyu vozmozhnyh otrezkov (otnoshenie kardinalov i ordinalov zdes' takovo), deskripciej elementarnoj matematiki s tochki zreniya vysshej sluzhit tangens, znachenie kotorogo (abstraktnoe) konkretiziruetsya gruppoj preobrazovanij, smyslom proektivnoj invariantnosti. Gruppa preobrazovanij est' tangencial'naya gruppa ili gruppa tangensov nereshennoj velichiny, opredelyaemoj cherez uravneniya konstruirovaniya elementarnoj matematiki vysshej matematikoj burbanizaciya matematiki, nastaivayushchaya na real'nom sushchestvovanii tol'ko matematicheskih ob®ektov, ili, poskol'ku my vyyasnili ponyatie ob®ekta, sredstv konstruirovaniya, vystupayushchih pri sohranyayushchejsya tochke zreniya ob®ekta ego rezul'tatami, tehnika kodirovaniya, kotoroe so storony tehniki, yuyuboj svoej stadii, lyubogo svoego etapa i sostoyaniya, chislo i harakter kotoryh opredelyayutsya pragmaticheskim interesom operirovaniya, est' kopirovanie, rezul'tiruyushchaya teoriya predelov, v smysle opredeleniya predela chislom, kotoroe i est' kod, inache govorya, kopirovanie est' dvizhenie podvizhnoj ploskosti po nepodvizhnoj i orientaciya, togda teoriya predelov opisyvaetsya i vypolnyaetsya kinematicheskoj tochki, v sluchae, kogda edinstvennyj vektor e^ix.

Poskol'ku my opredelili chistoe mnozhestvo kantorovskoj teorii mnozhestv kak operator, operiruyushchij, vypolnyaya operacii s izvestnym pokazatelem v konfiguracii simvolov, to my neobhodimo dolzhny zamenit' oblast' opredeleniya i oblast' znacheniya nekotorogo otobrazheniya f mnozhestva X na mnozhestvo Y na oblast' referencii i oblast' denotacii funkcii f, v smysle sootvetstvenno semantiki i semiotiki ischisleniya predikatov yazyka, formuloj ponyatiya kotorogo, posredstvo kotorogo etot yazyk finiten, yavlyaetsya funkciya, govorya o formule ponyatiya, my imeem v vidu oboznachenie nekotoroj funkcii sredstvami matematiki takim obrazom, chtoby rezul'tatom etogo obosnovaniya, implikacii funkcii v ontologiyu matematiki, designiruyushchuyu ishodya iz protivopolozhnosti prostogo chisla i teoremy Ferma, bylo nekotoroe ponyatie togo, kak eta implikaciya byla vypolnena i, sledovatel'no, ponyatie vozmozhnosti vypolneniya etoj implikacii, harakterizuyushchaya samoe ontologiyu s tem, chtoby raskrylos' germenevticheskoe ponyatie etogo processa, vosstanavlivayushchego ponyatie iz matematicheskih struktur, kotorye sami designiruyut nachalo ponyatiya, pristavlennogo izvestnym obrazom simvolicheskimi formami.

V takom raze, obraz tochki (mnozhestva) est' parallel'nyj perenos na vektor, izmeryaemyj v ordinalah, proobraz tochki (mnozhestva) -- povorot na ugol v n kardinalov, a pervoobraz (tochki) mnozhestva, ili paradoksal'noe mnozhestvo, yavlyayushcheesya chlenom sebya samogo, sushchestvovanie kotorogo pozvolyaet schitat' vse mnozhestva zadannymi odnovremenno (vspomnim V. Solov'eva, interpretaciyu A. F. Losevym dialoga "Parmenid") i takim obrazom, mnozhestvo vseh mnozhestv, ne soderzhashchih sebya v kachestve chlena, poskol'ku ego substantivaciya est' ono samo v kachestve kantorovskoj teorii mnozhestv, t. e. vremennoe mnozhestvo, ili znachenie, est', sledovatel'no. osevaya simmetriya otnositel'no osi-pryamoj, izmeryaemoj v transfinitivnyh chislah. Dekartovo proizvedenie indeksirovannogo proizvedeniya mnozhestv okazyvaetsya takim obrazom operaciej, pokazatelem kotoroj yavlyaetsya ordinal, to est' finitnoj posredstvom transfinitvnoj indukcii i yavlyaetsya dvizheniem podvizhnoj ploskosti po nepodvizhnoj, interpretaciya, gde ploskost' est' pole linij designacii parallel'nyh perenosov, osevyh simmetrij i povorotov, a nepodvizhnaya ploskost' est' mnozhestvo kardinalov, ordinalov, transfinitivnyh chisel, prodolzhayushchih posledovatel'nost' dejstvitel'nyh chisel, a rezul'tatom etogo proizvedeniya mnozhestv simvolov yavlyaetsya kinematika tochki, designatora tverdogo tela, ili operacii proektirovaniya, finitnaya posredstvom transfinitivnoj rekursii, pokazatelem kotoroj yavlyaetsya kardinal. Kak izvestno, geometricheskie "ploskie zadachi" kinematiki "tverdogo tela" svodyatsya k rassmotreniyu semejstva figur F_t, zavisyashchih ot parametra t tak, chto

F_t = F_t (F₀)F_t , gde F_t -- zavisyashchie ot t peremeshcheniya.

F_t est' ne chto inoe kak konfiguracii, a F_t -- kodirovaniya, ili znacheniya funkcij kopirovaniya, s etoj tochki zreniya dokazuemo i V postulat Evklida, nedokazuemost' kotorogo svyazana s nevnimaniem k designiuyushchej storone funkcii, podobno tomu, kak paradoksy teorii mnozhestv ne yavlyayutsya paradoksami vpolne, ispol'zuya zakon bol'shih chisel, neverno polagaya ego v sushchestvo matematiki, v to vremya, kak on yavlyaetsya, v luchshem sluchae, ee formoj, predstavleniem v dispute. Pod dvizheniem referencial'noj tochki ploskosti, v pole linij designacii my ponimaem opisanie ego pri pomoshchi vektora funkcii, radius- vektorom kotoroj yavlyaetsya radius kruga, kvadratury kruga, designaciej v smysle Burbani postroeniya chisla (r = p -- prostoe chislo) i pri pomoshchi dvuh chislovyh funkcij ordinala i kardinala, proizvodnoj vektor funkcii yavlyaetsya transfinitivnoe chislo, postroenie kvadratury kruga, poskol'ku vektor funkcii etogo roda daet sebe prirashchenie sama v ordinalah, ej pridetsya prirashchenie v kardinalah. Tak chto ona opredelyaet svoj predel, operezhaet kak ili na transfinitivnoe chislo, i vsledstvie transfinitivnogo chisla. Vse vysheskazannoe v etoj glave predstavlyaet otvet na vopros: chto takoe ponyatie?

I my vidim neobhodimyj smysl v tom, chto definiciya ponyatiya vyrazhalas' v matematicheskih strukturah takim obrazom, chtoby ona izobrazhala matematiku kak strukturu ponyatijnuyu strukturu,

Peremennaya velichina est' aukcion, stavki na kotorom delayut kardinaly i ordinaly, a aukcionerom yavlyaetsya transfinitivnoe chislo. Sleduya Puankare v tom, chtoby ne rassmatrivat' "nikakih ob®ektov, krome teh, kotorye mozhno opredelit' konechnym chislom slov", opredeliv ob®ekt kak formal'nyj yazyk, nahodyashchijsya v operacional'noj situacii (stepen' i harakter, aspekty formalizacii), pokazatelem kotoroj sluzhit semiotika, operatorom ego semantika, my oboznachim ob®ektom matematiki ob®ektom modal'noj logiki, kotorym v etom sluchae yavlyaetsya kvant, pod kotorym my ponimaem moshchnost' gruppy, pod kvantifikaciej, sledovatel'no, ponimaetsya ee schetnost'. Razlichayut, takim obrazom, kvanty absolyutnye (gruppa prostyh chisel, ordinalov, kardinalov, transfinitivnyh chisel) i otnositel'nye (gruppy iz drobnyh, celyh. Racional'nyh, transcendental'nyh chisel). Kvant est' referent smysla, pered licom ego sushchestvovanie -- ponyatie bessmyslennoe i trebuet osmysleniya, kvantifikaciya est', sledovatel'no, designator smysla. No i samo ponyatie kvanta nel'zya ostavlyat' bez osmysleniya, kak vsyakoe ponyatie, ono est' pole konfiguracij, tochkami kotorogo yavlyayutsya ordinaly, pryamymi kardinaly, ploskostyami -- transfinitivnye chisla (vspomnim drevnij princip, dvizhushchayasya pryamaya est' ploskost', a samo dvizhenie est' nichto, "Parmenid"), no imenno kak vsyakoe ponyatie, on est' edinaya teoriya etogo polya, linii designacii, sledami kotoryh yavlyayutsya linii napryazhennosti polya, matematicheskij smysl kotoryh (linij designacii; vspomnim znamenitoe: funkciya est' krivaya, provedennaya ot ruki) dokazatel'stvo teoremy Ferma v pole ili polem schetnogo mnozhestva dejstvitel'nyh chisel, schetnost' kotorogo podderzhivaetsya kolichestvennoj storonoj ordinalov, kardinalov, transfinitivnyh chisel (princip Ferma v optike i princip Fihte "chertyashchej linii refleksii" dopolnitel'ny v etom smysle i, voobshche govorya, dopolnitel'nost' vypolnyaetsya lish' v otnoshenii principov). Kvant, takim obrazom, est' gruppa znachenij ordinalov, kardinalov i transfinitivnyh chisel, vychislyaemaya, buduchi gruppoj podstanovok v singulyarnye integral'nye uravneniya, kotorye predstavlyayut iz sebya interpretaciyu samoj matematicheskoj differencial'nogo i integral'nogo ischisleniya v ego kanonicheskoj forme, pri spravedlivom polaganii estestvennoj burbanizaciej matematiki geometriyu differenciruemyh mnogoobrazij, a imenno

F(b) -- F(a) = _a∫^b f(x) d x,

gde b = Ψ_n, a = Ψ_n_-1, dx = Ord, f(x) -- mera, t. e. Neotricatel'naya, additivnaya i monotonnaya funkciya, zadannaya na nekotorom klasse ee mnozhestv, f (Ψ_n) -- funkciya, ∫ x d x -- kardinal. I, sledovatel'no, peremennoj a, b formuly N'yutona-Lejbnica yavlyaetsya ob®ekt logiki, singulyarnyj termin.

f (Ψ_n) = ζ (λ) ∫ f (Ψ_n) Ord

_∞ 1

ζ (∫)^def = ∑ -- , n > 1

^{p = 1} pⁿ

∫ x Ord = d Card

∫ x Card = d Ord

dinamika shodimosti ryada.

Poskol'ku logika yavlyaetsya paradoksom pragmatiki i, sledovatel'no, opredeleniem ponyatiya paradoksa yavlyaetsya znachenie logiki, to est' tochka zreniya s kotoroj semantika yavlyaetsya simvolicheskim metodom. To est' sama vozmozhnost' postroeniya alfavita formal'nogo ispol'zuemogo yazyka, vozmozhnost' pravil, pravila pravil, ili pravila konstruirovaniya pravil, eto semiotika, konstruiruyushchaya, sledovatel'no, pravila vyvoda v ischislenii formal'nogo yazyka, poskol'ku takogo roda pravila neobhodimo dolzhny konstruirovat'sya, inache formal'nyj yazyk budet finiten posredstvom sobstvennogo alfavita i bessmyslenen, samodostatochen.

Transfinitivnaya analitika, esli pod sovremennym sostoyaniem matematiki v ee otnoshenii k nerazreshimosti problemy Gil'berta. V chem, po-vidimomu, shodyatsya storonniki razlichnyh vzglyadov na prirodu matematiki, transcendentnuyu (transcendentnye chisla) analitiku.

Alfavit predstavlyaet iz sebya cepochku, poluchennuyu raskodirovaniem koda, kodirovanie kotorogo est' matematika, podobie absolyutnomu kodirovaniyu (= kopirovaniyu) gruppoj prostyh chisel ravenstva Cⁿ = aⁿ + bⁿ, n = 2, kak obez'yany kopiruyut lyudej, ili kak lyudi kopiruyut obshchestvennye instituty. Poetomu terminy, ili kvantificiruemye predmety peremennye i postoyannye est' razlichnye ordinaly, formuly, kvantificiruyushchie predikatnye i propozicional'nye peremennye, est' razlichnye kardinaly, i, nakonec, bessmyslennye terminy, kvantificiruyushchie logicheskie svyazki pravilom Lopitalya, razreshaya otnosheniya konechnogo i beskonechnogo, est' razlichnye transfinitivnye chisla, mnozhestva ih schetno v smysle Peano, ego teorii opredelenij, termy est' referenty, bessmyslennye termy -- designatory, kvantifikacii est', sootvetstvenno, referenciya, denotaciya i konnotaciya, v sluchae esli referiruyutsya, designiruyutsya i konnotiruyutsya kvanty. Izvestny, takim obrazom, pravilo podstanovki, ili arifmetika ordinalov, priobretayushchaya konstruktivnyj harakter tem, chto podstanavlivaemoe i mesto podstanovki, yavlyayas' znakami, sravnimy po modulyu ordinala, pravilo zaklyucheniya, gde antecedent i konsekvent sravnimy po modulyu kardinala i nakonec, pravilo znacheniya (pravilo pravil, proizvodnym ot kotorogo yavlyaetsya zolotoe pravilo mehaniki, sleduya teorii vlozhennyh otrezkov), sut' kotorogo sostoit v tom, chto oznachaemoe i oboznachayushchee (eksplikat i eksplikanduum) sravnimy po modulyu transfinitivnogo chisla, smysl bolee slozhnyh pravil sostoit v arifmetike transfinitivnyh chisel. CHto predstavlyayut iz sebya eti pravila, kak operacii, kak pravila vyvoda, pokazatelem kotoryh yavlyayutsya transfinitivnye chisla, a operatorami -- prostye? Divergenciej, rotaciej, konvergenciej vektor funkcii s vektorom - prostym chislom, opisyvayushchih strukturu arifmetiki transfinitivnyh chisel, operaciej kotoroj yavlyaetsya postroenie chisla, vyrazimoe v kvadrature kruga, takova istina transfinitizma, naibolee sil'nyj variant tezisa kotorogo sostoit v approksimiruemosti vsego principial'no sozdannogo v matematike, teorii matematiki, v matematike transfinitivnyh chisle, postavlennoj kak problema approksimacii v transcendental'noj analitike, sovremennoj matematike, funkciej, gruppoj podstanovok kotoroj yavlyaetsya gruppa chisel Fibonachchi.

Smysl burbakizacii sostoit, kak simvolicheskogo metoda, sostoit v opredelenii razdela matematiki yasnoj teorii kak gruppy podstanovok funkcii, takova logika etogo razdela. Kogda Geraklit govoril: "Vse techet, vse menyaetsya", on govori o podvizhnosti ponyatiya (Lenin "Filosofskie tetradi"). Potok vektor-funkcii i cirkulyaciya ego po zadannomu konturu pozvolyayut sudit' o haraktere polya. Polya kompleksnyh chisel i tem samym polno i neprotivorechivo opisyvayut sistemu arifmetiki transfinitivnyh chisel, referenciyu i denotat ponyatiya sistemy, legshego v osnovu obshchej teorii sistem. Protivopolozhnost' prostogo chisla i kvadratnogo samorazlichayushchegosya tozhdestva Ferma, ili ravenstva interpretiruema lish' sistemoj arifmetiki transfinitivnyh chisel takim obrazom, chto sootvetstvuyushchie im potok vektor-funkcii i cirkulyaciya vektor-funkcii dayut srednyuyu harakteristiku polya kompleksnyh chisel v predelah ob®ema, izmeryaemogo v ordinalah, ohvatyvaemogo poverhnost'yu, cherez kotoruyu opredelyaetsya potok, izmeryaemuyu v kardinalah, ili v okrestnosti kontura, po kotoromu beretsya cirkulyaciya, izmeryaemaya v transfinitivnyh chislah, poskol'ku imenno eta okrestnost' est' okrestnost', postuliruemaya teoriej predelov. Srednyaya harakteristika polya kompleksnyh chisel est' ispol'zovanie -- veroyatnost' teorii veroyatnostej, sleduya zakonu matematicheskogo ozhidaniya, umen'shaya razmery poverhnosti ili kontura (styagivaya ih v tochku, t. e. uvelichivaya dispersiyu sluchajnoj velichiny, kvadratichnoe otklonenie pri postoyannom matematicheskom ozhidanii, my povyshaem entropiyu sluchajnoj velichiny, prihodim k velichinam, kotorye budut harakterizovat' gipervariantnost' v dannoj tochke).

Pust' dano polya kvarterionov, analogom kotorogo yavlyaetsya pole vektora skorosti neszhizhaemoj nerazryvnoj zhidkosti. Potok kvarteriona cherez nekotoruyu poverhnost' daet chislo ordinalov, poskol'ku analogom slozheniya kvarterionov yavlyaetsya potok vektora skorosti cherez nekotoruyu poverhnost', dayushchij ob®em zhidkosti, protekayushchej cherez etu poverhnost' v edinicu vremeni. Voz'mem v okrestnosti transfinitivnyh chisel voobrazhaemuyu zamknutuyu poverhnost', gruppu. Esli v ob®eme, izmeryaemom v ordinalah, ogranichennom etoj poverhnost'yu, ponyatie ne voznikaet i ne ischezaet, to potok kvarteriona, pod kotorym my ponimaem modul' (ili normu) kvarteriona q = a + bi + cj + dR (kvadratnyj koren' iz summy kvadratov chisel a, b, c, d), budet raven 0, |q| = 0.

I dejstvitel'no, iz togo, chto my znaem o prostyh chislah, sleduet. CHto vektor funkcii prostogo chisla budet individualiziruyushchej funkciej polya kompleksnyh chisel, znacheniyami kotoroj budut invariantnye formy, invarianty, referenty, proizvedeniya, deleniya, vozvedeniya v stepen' kompleksnyh chisel, kvarterionov, logikoj kotoryh yavlyaetsya invariantnost' teh zhe dejstvij nad kompleksnymi chislami, kak sama vozmozhnost' dejstvij s kompleksnymi chislami, modal'nost', ob®ektom kotoroj yavlyaetsya kvant, ponyatie kotorogo i est' uslovie ravenstva nulyu potoka kvarterionov. Otlichie potoka kvarterionov ot nulya budet oznachat' kvantifikaciyu, ukazyvat' na to, chto poverhnost', izmeryaemaya v kardinalah, izmeryaetsya imi takim obrazom i takimi kardinalami, chto operatorom ego konfiguracii yavlyaetsya prostoe chislo. Sleduya Falesu, my mozhem predstavit', chto otlichiya potoka vektora ot nulya ukazyvaet na to, chto vnutri poverhnosti imeyutsya istochniki ili stoki zhidkosti, t. e. tochki, v kotoryh zhidkost' postupaet v ob®em (istochniki), libo udalyaetsya iz ob®ema (stoki), gde pod moshchnost'yu istochnika (stoka) ponimaetsya ob®em zhidkosti, vydelyaemyj (pogloshchaemyj) v edinicu vremeni, a stok -- istochnik otricatel'noj moshchnosti. Pri preobladanii istochnikov nad stokami velichina potoka budet polozhitel'noj, chto demonstriruet znachenie kvanta, pri preobladanii stokov -- otricatel'noj, chto demonstriruet smysl kvanta, kvantifikaciya zhe est' schetnost' algebraicheskoj moshchnosti istochnikov i stokov (izvestnaya kartina, gde voda techet vverh, v obratnom napravlenii po drevnemu vodoprovodnomu sooruzheniyu) est' sushchestvovanie transfinitivnogo chisla, vytekayushchego, podschityvayushchego kardinalami ordinaly, i ordinalami kardinaly.

F_t semejstvo figur, zavisyashchih ot parametra t tak, chto F_t = F_t (F₀), togda

F_t

∫ DEsdEs = ------

chislo ordinalov Ord

(chastnoe ot deleniya potoka F zhidkosti na velichinu ob®ema, iz kotorogo potok vytekaet -- srednyaya udel'naya moshchnost' istochnikov, zaklyuchennyh v ob®eme)

HEs₂ -- HEs₁ = ^Es2∫_Es1 DEs dEs

→

dus r = lim Ft = lim 1 g q d Card

_DEs ^Ord _DEs ^Ord ^Card

-- →1 -- →1

^{HEs HEs}

i → p i → p

^kompleksnoe

^chislo

Divergenciya opredelyaetsya povedeniem individualiziruyushchej funkcii v okrestnosti transfinitivnyh chisel referencial'noj tochki, t. e. tem, kakov harakter izmeneniya vektora p ili ego komponent p_ord, p_card, p_transf pri perehode ot odnogo kvanta k drugomu (referencial'noj tochki).

Divergenciya est' smysl pravila podstanovki, konstruktivnaya operaciya, pokazatelem kotoroj yavlyaetsya podstanovka, a operatorom -- term. Obshchee opredelenie divergencii glasit, chto ona est' skalyarnaya funkciya koordinat, opredelyayushchih polozhenie tochek v prostranstve. Najdem vyrazhenie dlya divergencii v dekartovoj sisteme koordinat.

Rassmotrim zadachu udvoeniya kuba. Pust' osi koordinat izmereny v ordinalah, kardinalah i transfinitivnyh chislah. Rassmotrim v okrestnosti tochki p (card, ord, transf) kub s rebrami, parallel'nymi koordinatnym osyam. Esli rebro zadannogo kuba (ob®em kotorogo dostatochno mal i opredelen okrestnost'yu tochki p) ravno b³ = 2a³, t. e. esli sushchestvuet primitivnaya gruppa, to est' vvidu malosti ob®ema znacheniya a_ord, a_card, a_transf v predelah kazhdoj iz shesti granej kuba mozhno schitat' neizmennymi, eto kody, predely teorii predelov, togda potok cherez vsyu zamknutuyu poverhnost' obrazuyushchimsya iz potokov, tekushchih cherez kazhduyu iz shesti granej v otdel'nosti raven ³√2 , t. k. b = ³√2 a.

Pragmaticheskaya matematika

Rukovodyashchej ideej pragmaticheskoj matematiki yavlyaetsya ideya otbrasyvaniya ponyatij prostranstva i vremeni dlya fizicheskogo znaniya, presleduya cel' predstavleniya ego matematicheskim znaniem inoj, neskol'ko neobychnoj dlya matematiki forme, kotoruyu i predstoit raskryt' sushchestvom etoj idei. Sleduyushchej ideej, zaklyuchayushchej v sebe proekt pragmaticheskoj matematiki predstavlyaetsya nam ideya polaganiya v matematike, po ryadu s teoriyami mnozhestv, grupp, poyasu, matrichnym analizom, teorii ponyatiya, significiruyushchej, na nash vzglyad, princip konstruirovaniya v matematike, obretayushchij imenno v nej svoe simvolicheskoe znachenie. Matematicheskoe ponyatie est', sledovatel'no, mnozhestvo vseh mnozhestv, ne soderzhashchih sebya v kachestve chlena, ono, sledovatel'no, oboznachaet sushchestvo ponyatiya, sushchestvovanie v matematike i predstavlyaet iz sebya razreshenie paradoksov teorii mnozhestv. Matematicheskaya teoriya ponyatiya est', v samom bezuslovnom i neobhodimom smysle, gruppa, kol'co, operator v otnoshenii teorii mnozhestv, predstavlyayushchej iz sebya v etoj situacii problemu operacional'nosti v matematike, sobstvenno binarnuyu operaciyu, kak operaciyu mezhdu mnozhestvami, a imenno sravnenie mnozhestv po moshchnosti. Sootvetstvenno gruppy, kol'ca, operatory yavlyayutsya oblast'yu znachenij pragmaticheskoj matematiki, tonkimi mnozhestvami teorii mnozhestv. Mnozhestvo P < x yavlyaetsya tonkim v tom i tol'ko v tom sluchae, esli dlya kazhdogo α º A suzhdeniya π_α | P : P → X_α otobrazhenie proektirovaniya π_α : X→ X_α na mnozhestvo X_α in®ektivno, to est' perevodit razlichnye tochki mnozhestva P v razlichnye tochki mnozhestva X_α. Tonkie mnozhestva predstavlyayut soboj oblast' opredeleniya pragmaticheskoj matematiki.

2. Operacional'nyj smysl teorii ponyatiya.

Operacional'nyj smysl teorii ponyatiya matematicheskogo zaklyuchaetsya v predstavlenii matematicheskoj operacii, a my imeem zdes' v vidu stohasticheskie zadachi issledovaniya operacii, yavlyaet sebya v preobrazovanii pragmaticheskoj matematicheskoj fiziki v matematiku, preobrazovanij, konnotaciyami kotoryh yavlyayutsya po sushchestvu preobrazovaniya Lorenca, chto my i postaraemsya pokazat' dalee.

G. Vejl' v rabote "Gravitaciya i elektrichestvo" pishet: "Soglasno Rimanu, geometriya osnovyvaetsya na sleduyushchih dvuh polozhenih:

1. Prostranstvo est' trehmernyj kontinuum, mnogoobrazie tochek kotorogo vsyudu dopuskaet predstavlenie posredstvom nabora x₁, x₂, x₃.

2. Teorema Pifagora. Kvadrat dS² rasstoyaniya mezhdu dvumya beskonechno blizkimi tochkami P (X₁, X₂, X₃) i P^l = (x₁ + dx₁; x₂ + dx₂; x₃ + dx₃) est' (v proizvol'nyh koordinatah) kvadratichnaya forma raznostej koordinat dx_i

dS² = ∑ g_ik dx_i d_xR (g_Ri < g_iR)... "

^iR

Prervem zdes' citatu i vspomnim klassicheskuyu zadachu kvadratury kruga, predstavlyayushchuyu iz sebya izvestnym obrazom princip dopolnitel'nosti k teoreme Pifagora, issledovannyj i vydvinutyj kak takovoj, eshche drevnimi matematikami i geometrami. |tot klassicheskij obrazec pozvolit nam predstavit' osnovopolozhenie sovremennoj fiziki kak sovershenno operacional'nye v smysle matematicheskoj teoremy veroyatnostej i ponyatiya sluchajnoj velichiny. Kak pishet Klejp, kvadratura

_x dx

kruga legko svoditsya k integralu ∫ ------ = arcsin x , chto yavlyaetsya v

⁰ √1 -- x²

pragmaticheskoj matematike referenciej preobrazovanij Lorenca.

Dlya kazhdogo beskonechnogo mnozhestva X kvadrat etogo mnozhestva XXX ravnomoshchen emu samomu. Teorema Pifagora i kvadratura kruga, kotoruyu skoree neobhodimo polozhit' v osnovanie sovremennoj sinteticheskoj geometrii, podobno tomu, kak pyatyj postulat polozhen v osnovanie "Nachal" Evklida, yavlyayutsya, sootvetstvenno, nominal'nym i real'nym opredeleniyami ravnomoshchnosti kvadrata beskonechnogo mnozhestva emu samomu v matematicheskoj teorii ponyatiya, a imenno ponyatiem proizvodnoj v sluchae teoremy Pifagora, poskol'ku matematicheskoe ponyatie teoremy Pifagora kak otpravnoj tochki v silu ee nebespredposylochnosti dlya kvadratury kruga est' konechnyj predel lim ( É x | É y) pri É x → 0, gde É y = f (x + É x) -- f (x₀) est' prirashchenie rassmatrivaemoj funkcii y = f (x) v tochke x = x₀, a Éx -- prirashchenie argumenta, to est' ponyatiyu proizvodnoj, i ponyatiem neopredelennogo integrala, v silu kvadratury kruga kak problemy, berushchej svoe nachalo, baziruyushchejsya na teoreme Pifagora. Takim obrazom, predstavlenie celyh polozhitel'nyh chisel kvadratichnymi formami i geometriya celyh polozhitel'nyh kvadratichnyh form, s odnoj storony i teoriya mery, predel integral'nyh summ Lebega dlya zadannoj funkcii i do dannogo promezhutka pri neogranichennom izmel'chenii razbieniya i yavlyayutsya podlinnymi nominal'nymi i real'nymi opredeleniyami tenzora. Tenzor togda yavlyaetsya sootvetstviem matric, ih operaciej, ne formal'noj (proizvedenie, slozhenie, transponirovanie), a real'noj, tonkoe mnozhestvo matric als mnozhestv. Kak takovoj, v pragmaticheskoj matematike on est' singulyarnogo integrala znachenie. Matrica tenzora -- eto vyrozhdennaya matrica (opredelitel' kotoroj raven nulyu).

Takim obrazom, tipologiya operacij v pragmaticheskoj matematike (analogichnaya slozheniyu, vychitaniyu, proizvedeniyu, deleniyu v elementarnoj matematike) sostavlyaetsya vidami, momentami tenzora, a imenno: affinnyj, indeksy kotorogo razbivayutsya na dve gruppy, kotorye igrayut raznuyu rol' pri preobrazovanii koordinat; kovariantnyj (affinnyj tenzor, vse indeksy kotorogo yavlyayutsya kovariantnymi); pri preobrazovanii sistemy koordinat s matricej A komponenty kovariantnogo tenzora podvergayutsya linejnomu preobrazovaniyu s matricej Ah...hA, ravnoj kronekerovu proizvedeniyu r matric A, gde r -- valentnost' tenzora; kontravariantnyj (affinnyj tenzor, vse indeksy kotorogo yavlyayutsya kontravariantnymi); pri preobrazovanii sistemy koordinat s matricej A komponenty kontravariantnogo tenzora podvergayutsya linejnomu preobrazovaniyu s matricej Bx...xB, ravnoj kronekerovu proizvedeniyu r matric B = (A^T^-1), gde r - valentnost' tenzora; kososimmetricheskij, komponenty kotorogo menyayut znak pri perestanovke dvuh indeksov, ortogonal'nyj, tenzor v pryamougol'nyh proizvol'nyh koordinatah, u kotorogo pri preobrazovanii koordinat vse indeksy igrayut odinakovuyu rol', simmetricheskij tenzor, komponenty kotorogo ne izmenyayutsya pri perestanovke dvuh indeksov, i nakonec, tenzor tipa (p, q), sootvetstvuyushchij samoj znachitel'noj operacii deleniya, affinnyj tenzor s p kontravaktnymi i q kovariantnymi indeksami, ego komponenty pri preobrazovanii sistemy koordinat s matricej A podvergayutsya linejnomu preobrazovaniyu s matricej Bx...xBxAx...xA, ravnoj kronekerovu proizvedeniyu p matric B = (A^T^-1) i q matric A. Takovy referencii operacii v pragmaticheskoj matematike, takov konechnyj perechen' momentov zavershennoj beskonechnosti, takovy vozmozhnye tonkie mnozhestva, oblast'yu opredeleniya i sovpadayushchej s nej oblast'yu znacheniya kotoryh yavlyayutsya sootvetstviya matric, ponyatiya operacij s matricami, teoriya operacij s matricami, opisyvaemyh singulyarnymi integral'nymi uravneniyami.

(takovy operacii v stohasticheskih zadachah)

Takim obrazom, v osnovanii fiziki lezhit ne geometriya s ee teoremoj Pifagora, a ponyatie sluchajnoj velichiny Es nazyvaetsya matematicheskoe ozhidanie kvadrata ukloneniya Es ot MEs

^∞

DEs = M (Es - MEs)² = ₀∫ x d F_η (x),

gde cherez F_η (x) oboznachena funkciya raspredeleniya sluchajnoj velichiny η = (Es - MEs)².

Fundamental'nyj fakt pragmaticheskoj matematiki tot, chto eti ukloneniya est' matricy (vesovaya, kovariantnaya, obratnaya, ortogonal'naya i t. d.) ili, inache govorya, veroyatnosti als matematicheskih uklonenij est' vidy matric, poskol'ku tonkoe mnozhestvo est' ne chto inoe, kak matematicheskoe umnozhenie. Tenzor est' operator matric. Dlya proizvol'noj sluchajnoj velichiny Es s funkciej raspredeleniya F_η (x) matematicheskim ozhidaniem nazyvaetsya integral MEs = ∫ x d F_η (x).

Teoriya veroyatnosti, polozhennaya v osnovu pragmaticheskoj matematiki, vyrazhaetsya sleduyushchim polozheniem

HEs = MEs x DEs,

dlya diskretnoj sluchajnoj velichiny Es, prinimayushchej znachenie Es_i s veroyatnostyami p_i, velichina entropii H(Es)= - p_i log p_i - ... p_n log p_n. |ntropiya maksimal'naya pri maksimal'noj neopredelennosti ishoda (vse p_i = 1/n i H = log n) i ravna nulyu pri polnoj opredelennosti ishoda. |ntropiya est' moshchnost' tonkogo mnozhestva, matematicheskoe ozhidanie kardinal tonkogo mnozhestva. Prostym logarifmom kardinala τ po osnovaniyu λ nazyvaetsya naimen'shij iz vseh kardinalov. Dlya kazhdogo beskonechnogo kardinala logarifm kardinala -- regulyarnyj kardinal. Ravnomoshchnost' tonkogo mnozhestva svoemu kvadratu est' dokazatel'stvo teoremy Ferma (velikoj), poskol'ku kardinalom zdes' yavlyaetsya natural'nyj logarifm, a ordinalom -- tipy kvadratnyh matric.

Postulatom konstruirovaniya matematiki v pragmaticheskoj matematike sluzhit vyrazhenie

eⁱφ = sin φ +Ì cos φ

(eⁱ^P = -1),

referenciya operacij mezhdu kardinalom i ordinalom. Otsyuda uravnenie tochki v pragmaticheskoj matematike est' kompleksnoe chislo.

Zamechatel'nye svojstva kvarterionov, obnaruzhivayushchiesya pri operaciyah umnozheniya, a imenno pri ustanovlenii znacheniya edinic proizvedeniya, est' tak nazyvaemaya trehmernost' prostranstva, a imenno polnoe neprotivorechivoe opredelenie tenzora, zamena ego unitarnoj matricej.

"CHastnaya teoriya otnositel'nosti privela k predstavleniyu o vremeni kak o chetvertoj koordinate (x₀), vystupayushchej na ravnyh pravah s tremya drugimi koordinatami, i, takim obrazom, k ponimaniyu chetyrehmernogo kontinuuma metricheskogo. Pri etom kvadratichnaya forma ne yavlyaetsya polozhitel'no opredelennoj, kak v sluchae geometrii trehmernogo prostranstva, no yavlyaetsya indeksom inercii". Mnimaya chast' kompleksnogo chisla est' koordinata vremeni.

Matrica est' Dfn v matematicheskoj teorii ponyatiya, tenzor est' Dfd v etoj teorii pragmaticheskoj matematiki. Kvadratichnost' matric est' razreshennaya matematicheskaya bipolyarnost'. Tenzor i matrica (matematicheskie ponyatiya) est' nominal'noe i real'no opredelenie polnoj neprotivorechivoj teorii sluchajnoj velichiny.

Prilozhenie

CHto takoe otnoshenie?

Pomimo opredeleniya ponyatiya istinnym obrazom, sushchestvuyut eshche dva vida ego opredelenij. Opredelenie ponyatiya istinnym obrazom est' rech'; nazovem ego definiciej. Rech' est' rech' cheloveka. Sledovatel'no, ona imeet vremya, istinnoe matematicheskoe vremya (ne god, mesyac, nedelya). Raz®yasnim eto podrobnee. Opredelenie ponyatiya istinnym obrazom, opredelenie samo po sebe -- definiciya, est' istinnoe vremya, ponyatie vremeni. Definiciya vsyakogo ponyatiya est' ponyatie vremeni. Vremya est' definiciya. Kak bylo skazano |riugenoj, ponyatiya, a imenno kazhdoe iz nih, ili, kak on govorit, idei sut' "ideae, primordiales, causae, prototypa, exempla" (idei, pervyichnye, prichiny, prototipy, obrazcy) veshchej. Veshch' est' ideya rassudka, razum zhe dlya rassudka, ideya razuma v rassudke -- eto tak nazyvaemoe istinnoe matematicheskoe vremya, ideya razuma v rassudke est', v samom bezuslovnom i neobhodimom smysle, ideya vseh idej rassudka, ideya sama po sebe. (Ideya, bezuslovno. Est' ideya rassudka, krome togo, chto ona est' sama po sebe). Universalii est' lishennost' vremeni, to est' otricanie vremeni, a imenno to samoe otricanie, kogda "protivorechashchee sebe ne perehodit v nul', v abstraktnoe nichto, a po sushchestvu lish' v otricanie svoego osobennogo soderzhaniya, ili, drugimi slovami, takoe otricanie est' ne otricanie vsego, a otricanie opredelennoj veshchi, kotoraya razreshaet samoe sebya, stalo byt', takoe otricanie est' opredelennoe otricanie i, sledovatel'no, rezul'tat soderzhit po sushchestvu to, iz chego on vytekaet. To, chto poluchaetsya v kachestve rezul'tata, est' opredelennoe otricanie, ono imeet nekotoroe soderzhanie. Ono novoe ponyatie, no bolee vysokoe, bolee bogatoe ponyatie, chem predydushchee, ibo ono obogatilos' ego soderzhaniem, ono est' edinstvo ego i ego protivopolozhnosti. Takim putem dolzhna voobshche obrazovyvat'sya sistema ponyatij...". Est' definiciya i universaliya. Kotoryh est' dve, universaliya i definiciya ili (strogaya diz®yunkciya) est' istinnoe matematicheskoe vremya. Krome Vsego, vsegda sushchestvuyushchego, est' definiciya, universaliya i vremya. Rod ponyatiya (genera) est' definiciya etogo ponyatiya, vidy est' universaliya i definiciya, est', sledovatel'no, vysshee rody (genera, generalissima) universalii odnogo vida, srednie -- definicii, chastnye - universalii drugogo roda (ad species, specialissima), poskol'ku rody i vidy est', govorya v bezuslovnom i neobhodimom smysle, rody i vidy ponyatiya. Universaliya odnogo roda, kotoraya est' odno, universaliya samo po sebe est', sledovatel'no, vysshij rod, vid, i takzhe, poskol'ku universaliya, poskol'ku ona est', est' definiciya, est', sledovatel'no, rod ponyatiya, srednij rod, vid, kotoryj est' vidovoe otlichie i takzhe, poskol'ku krome togo, chto ona est', ona est' sama po sebe, ona est' universaliya drugogo roda, drugoe, chastnye rody. Poskol'ku universalii est' definicii, to kazhdaya iz dvuh universalij est' odno iz dvuh razlichnyh opredelenij. Universaliya odnogo roda est' real'noe opredelenie. Universaliya drugogo roda est' nominal'nye opredeleniya. Itak, nominal'nye i real'nye opredeleniya est' universaliya, definiciya, est', sledovatel'no, sama istina.

Nominativnye i real'nye opredeleniya est' otricanie vremeni (istinnogo). Nominativnym, sledovatel'no, opredeleniem, nazyvaem opredelenie termina. Real'nym nazyvaem opredelenie slova. Ponyatie est' termin, Slovo est' ponyatie, definiciya est' opredelenie ponyatiya. CHto takoe otnoshenie? Znachenie est' znachenie ponyatiya. Nominativnoe opredelenie est' znachenie, znachenie est' real'noe opredelenie. Nominativnoe opredelenie ponyatiya est' definiciya ponyatiya. Real'noe opredelenie ponyatiya est' definienduum ponyatiya. Znachenie ponyatiya est' ego smysl. Smysl rechi est' opredelenie. Znachenie ponyatiya "otnoshenie" est' znachenie samo po sebe. Smysl est' smysl otnosheniya samogo po sebe, est', sledovatel'no, otnoshenie, kotorym est' v sebe vsyakoe otnoshenie, zakon definicii vsyakogo otnosheniya. Krome togo, smysl est' smysl istinnogo vremeni (matematicheskogo, to est' imeyushchego ne opredelennye chasti, god, mesyac, a odinakovye chasti) est', sledovatel'no, otnoshenie mezhdu chast'yu i celym. Takovo nominativnoe opredelenie smysla. Ego real'nym opredeleniem yavlyaetsya znachenie. Ego definiciya, sledovatel'no, est' otnoshenie mezhdu chast'yu rechi i rech'yu. Smysl rechi est' otnoshenie mezhdu chast'yu rechi i rech'yu. Smysl rechi est' ponimanie. (Smysl est' odno).


Last-modified: Mon, 06 Feb 2006 10:47:13 GMT
Ocenite etot tekst: