\input style
\chapter{2. ��������� � �� ��������������}

� ������� ������ �������� ������� ���������
������������ �������. 썅 ��������������, ��� �
�������������� �������, ����� ����� ������ ��������
������� ���������� ������� �����, ��� ����������
�������������� ����� ��� ������� �����, �� �������
� ��� �������������� ����������� ���������. �
����������� ����� ����� ��� ����� ����� ��� ��, ���
�� ����� ����� "����, ���, ���, ������ � ���
�����".

��� �������� "�����" � ��� ������, ��� ���
������������ ������������������ "����, ���, ���"
������� ������� �� ������� ��� ������������, ���
��������� ������ ����� "������". �, ������� ��,
������ ��� \emph{�����}. (� ��� ��������, ����� �
������ ����������������� ���� ������� ---
��-����������,--- ��� �������� ������� ����� 
��-��������� � �� ����� �������� ����� ����������
������ ���� "����" � "������" �� ������ ������ ���
����������, ��� ������ ����� "������", �� ������ ��
� ���, ��� ����������� ���.)

�����, ��� ����� ���������������������
������������ ��������� ��� �������� �������������
������ ������ ������������ ���������� ���������
�����. ����� �������� ��������� �����������, ������
���� � �������������� ���� ������ (����� ��� �����)
������������������� ���������� ����������� �����,
� ��������  �����  �  ������������ ������� ��������
�  �����������   �������,   ������� � ������ �����
����������. ꎃ�� ������� ������ ������� �� ������,
��� �� ���������� ��������� �������� ��� ������
���� (� �� ������ �������!); �� ���������������
������������� ���������: ��������� ������, �����
������� ������, ��� ���������� �� ������ ����� �
����������, �������� �� "��������� �������� ������"
� "��������� ��������".

녃����� ��������� � ������� ������ ������� �� ���������
���� ��� ��� ��������������. ㎐���� �������
����������, ���
$$
\eqalign{
\hbox{������ �����} &= \hbox{�����} \cr
\hbox{����������� ���� ����������} &= \hbox{�������� ���}\cr
XLVII+IV&=LI\cr
}
$$
��� ����������, ���
$$
\eqalign{
12\times12&=144 \cr
11+12&=23 \cr
47+4&=51\cr
}
$$
��� ��� ��������� ��� ������ ����� ��������,
�������� ������� ����� ������, �������� �����
����������������� ����� ������������ �������.

 ������������ ������������ ��� �������
������������ ���������� ������� ���������
����������� ������� ����� ���������. � �
������� �������� �� ����������� �������������
�����������, ������������� ����� � ������,
������ �������� ������� ��������� ����� �
������� ���������� �o�o�e�����, ������ ������
������ � ����� ����� ��������� ���������� ����
���������� �����. (򅏅�� ��� ��� �� ��������
��������� �������� "00000019", ��������� 4 �
����� �������� "00000023"; ���� �� ��������� ---
�� ������� ���� ���� ������������ �����
������������� ���������� --- �������� ������
����� "������������" � "�������� ���".)

񓙅�������� �������� ������ ������ ������� � ���, ��� ���
�������� ������� ���������� �����������
�����������. 򅐌������������ ��� ����������
������� ���������. 퀏�����, ������ ����������
"���������� � ������� ����������", � ���� ��
����� ������� ��������, �� ���� ����������� ���
��������: �� 0 �� 9. 焅�� ������ "���������"
������ ��������������� �� "���������"
����������. ꎋ��� ���������� "����������",
������ ���, ���� ��� ��������� � ���������,
������ ����� ����������� � ������ ���������:
"��������" ����� ����������. (� ��������
��������, ��� ���� ������ �������� �� �������
���� � ���� ����������. �-������, ����� ������,
������� (�����) ������ ��������� � ����� ��
����� ������ ��������� �, �������������, (�����)
������ ������������ ����� ��������, ��������
��������, ������ �������� �� ����, ���
���������� �������� "����������", ���������, ���
�������, �������������� ���������� ������ ��
������������
������-���� ����������� ��������. 呋� �� �������, ���
��� ������ ������ ����� $n$ �����������
$n^2\ge0$ �������, �� ����� $n$ ��������
���������� ������ ������� ����.
�-������, � ����� ��������� �� ���������� ������
"����������" ��� ����, ��� ���������� �� �������
� ��� ��������, ���� ��� �� �������, ��������
����������! 򅐌�� "���������� ���������"
������� �� �����, �� �� �� ������ ������� ���, �
����� �������������� ������ ��������������
��������.)

䐓��� ������ ���������������� �������� ��������
������ ������, ������� (�����) ������ ���������
� ����� �� ������ ��������� ��������� ���
"���������", ������� � ���, ����� ���������
����� ������ � ������������ "������������
��������� �� ������ �����". 焅�� ������
��������� (���������) ����������� � "������", �
�������� ���� ����� ���������� --- �
������������ � �������������� ���������
--- ������������� ���, ����  �� ����� �������
��������, "������������� ���������". ⌅��� ����
����� ��������, ��� ���������� �������� (�����)
������ ����� �� ����� ��������� ��������, ��
����� ������ �������� �� ��, ������, ���
�������, ��������� �� ������������ ����������,
��������� (�����) ������ � ����� �� ����� ������
������������ ���������. ��������� ���������
��������� ������� ������� �������; ������ ��
������ ����������.

������� ������ �� �������� ������� ������ �
������������ ���� �������� �� �������� � �������
������ �������� � ������. ������ ������ ��
���� ����� ��������� � ����� �� ������ ���������
���������, ���� �������, ������������� ���
�����, ��������� � ����� �� 100 000 000
��������� ��������� ���������, ������ �� �������
����������� ���������������� ������ (� ������,
������� �� ������ ����), ������������ � ������.

呋� ������ ��������� ���� �����, �� ���������
�������� � ����� ���������� ����������; �
�������, �� ������ ��������� �������� � �����
���������� ������������ ��������� �������
���������� ������. � ���� ������ �� ������� (�
���������� ����� ���� ��� ����������� ����
������), ��� �������� (��� ������) ������������
��������� �������� � �����, �������� "���������
������������" ����������� ��������� ������
��������� �����. �� ����� ����� � ����
������������ ��������� �������� �������������
����� ����� � ��� ������������� ���������, ��
������� ��� ��������� (������ ������� ���
���������� ���������� \emph{�������������}).

� ����������� �� ����, ��� ��� ���������� � ����
��������, �� ���� ������������� ����� �������
��� ������ ���������� � $10^8$  ����������
���������� ����������, ���� ��� ���������
����������, ������������ �� ������ ���������
����������, ���������� "��������", � �������
����������. 呋� �� ������������ ������
������������� ����������, �� �����, ��-��������,
������������� ������� ��� ��������� �������,
����� ��� �������-����������������, ��������
����� �������� ������ �� ��������� ������,
�����, ������� ������������� ������� ���
��������� ������.

� ��������� ������ ������ ���������� ������������
��������� ��� ��������� ������������ �����
������ ����������� ���������, ����� ���������
�������� 傊���� � ����������, ��� ���������
����� ���-�� �� ����� ����� ���������
���������������� � ������� ���� ���������,
������ �� ������� ��������� ���-�� �� ����� ���,
�. �. � ������� ���������� (� ������,
������������� ����) ���� ��������� "$x$" �
"$y$". (脅� ������������� ��������� ����� ��
��������� ���������� �� ��������� $x$ � $y$ ����
�� 䅊����, ������� ���������� �������������
��������� � � ����� �������� ������� ���������
������������.) 􈘊� �� ����� ���� ������� ���
������������ ���� �����, ��� �������������
�������������� ������� --- �����, ��� ����������
��������� 傊����,--- ����� ������������� ���
�������, ���������� �� ������ ������������
���������. � ������������ � ���� ���������
��������� ��������� ��������� ����� "��������
������".

� ���� ����� �� ����� ��������������� --- � �����
����, ���� ������������� --- ����������
���������, ������������ ��������� ������� �����
� �������� ����� ��������������� ��� �����
��������� ������������. ����������, �� �������
����������� � ���� ��� ������, ����� ��
������������ ���������, ����������� � �������
���������� ������������, �������� ����� �
������������� �������� ���� ����� �������; �
������� ����, ��� ��� �� ���. � �����������
������ ���������, ������ ��� ����������� �����
�������� ������ �������� � � �� �� ����� ������
��� ������� ������ ����� �������������� ���� ��
������ ������ ����������������.

��� ��� ���������� �����������, ������ ����
��������, � ������� ��� �������� �����������.
ꎃ�� �� o������� ������������ ���������, �����
��������� ������������, �� ����� �� �����������,
��� ��� �������� ��������� ��� ��� �����.
򈏈���� �������� ����� �������� ��������������
���� ������� ���� � ������� ���� (�����, ����),
��� "�����" --- ���������� � 12 ���������� (��
"���" �� "���"), � "����" --- ���������� � 31
���������� (�� 1 �� 31). � ���� ������ ��
�������� ������������ ��������� �� 372 �����,
����� ��� ������� ��� �� �������� ����� ��� 366
����. ��� ��� ������, ������, � ����� (���, 31)?
눁� �� ��������� ��, ����� ������� "�����������
���" � ��� ����� �������� � ��������� ������
����������� ���������� ������������ � c������,
���� �� ��������� �� ��� ������ ������� �����
��� ������ �� "��������" ����, ��������,
����������� �� � (���,1). 􅍎���
"�������������� ����� ������������ ���������"
��������� ������ ���, ����� ����� ���������
��������� ��������, ������� �� ������
������������, ����������� ������� ������.

񈑒����������, ������� ������������� ��������,
����� �� ������ ������������ ��������� ���
��������� ������������, ��������� ���
���������������� �������� ������ �����.
퀏�����, � ���� ����������, ��� ��� ����
�������� --- ��� (���, 11). ��� ���������
䅊���� ��� �������� ������ � ������ ������
�������� ����� �����: ��� ���� �������� ���������� 
�� �� ���� (�����, ����), �������
������������� ������� ���������%
\note{焅�� � ����� � �������������� ��������
������������ ��� ����������� ���������� �������� ������� 
{\bf and} (����������), {\bf or} (����������) � {\bf non} 
(���������).--- {\sl �. �����.} }
$$
(\var{�����}=\var{���}) \and (\var{����} = 11)
$$

�������� ���� ��������� ����� ������ ���� ������� �
������� ������������ ����� ��������� �����������
������ �������� ����� ������������� ��� � ����.
��� ������������ ������������� ���������
������� � ���, ��� ��� ��������� ���
���������������� ��������� ���� ��� �������, �
����� ��������� ����� ��������� �����������
������ ��� ���� �����. 򐈂������� ��������
����� ������� ����������� ���������:
$$
(\var{�����}=\var{���}) \and ((\var{����}=25) \or (\var{����}=26))
$$
ᎋ�� �������������� �������� �������� �����������
��������� ���, � ������� ������������� ���
����������� ���������:
$$
(\var{����}=23)
$$
� ����������, ��� ������� ����� ����������
��������, ��� ������������ ���� "(���, 23),
(���, 23), (���, 23)" � �. �.

� ���������� ���� ��������, ��� ������� ��������,
� ������� �� ���������� ����� ��������� ���
�������������� �������� ���������, ������� ��
����, ��������� ���������, ������� �� �����
����������������, "�������������" ���������
������������ ���������, �. �. "�������������"
��������� ������� ���������. 퀏�����, �
������������� ���� ������� ��������� ���� ��
��������� �������� ���������������� ���������
����, ������� ���������� �� ��� �� ���� ������,
��� � (���, 1). � ������ ������� ������������
���������� ��� ������� ����� �������
������������ ��������� � ����������� ��� ���
����� ��������� ���������; ������ ��������������
���������� ����� ��������� ��� ������� �����
������������ ���������, � ������� ����� ����� ��
����� ��� ������, ��� ����� ��������� ���������
��������, ������� �� ������ ������������.

䐓��� ������ ������������� ��������� ���
�������������� ��������� ��������� ����������
� ����� �������� ��������� ������ ���
���������� $\���(X, Y)$, ���
$$
x=y
$$
������������� ��� ����� ����, ��� �� ������� "������ ������";
��� ��������� �������� ���������, �. �.
���������� ������������ ����� � ������ �����,
����� ���������� �����-������ ���������,
��������������� ��������� $x=y$.

��� ��������� ������������ ���������, �. �.
����������, � �������� �������� �������
���������� ��� ��������������� ��������, ��
��������� � ����� ���������� ��������� (�����,
��� "���" ��� "23"). ꐎ�� ����, �����
������������ ��� ����������� "����������
�����������", ������� ����� ����������� ���� ���
"������������������� ���������". � ��������� ��
���������� ��� ����������� ������ ���������
���������, ������� ����� ����������� ��
���������������� ����� \emph{������ � ���� ��}
��������������� ��������. 퀏�����, �� �����
������� ����������� ���������� ��������� 傊����
� ��������� ������ $(X, Y)$ ��� ���������
$(x,y)$ ����� ������������� �������
$$
\���(x,y)=\���(X, Y) \and 0<x\le X \and 0<y\le Y
$$
焅�� $X$ � $Y$ �� �������� ������ �����������, ���
$x$ � $y$.  ������������ ����� "�� ���������
��������". ��� ��������� � ����� ������
����������� ����������, �� ��� ��
��������������� � ��� ������, ��� �� ����� ��
��������� �������� 傊���� � ����� ������ �����
� �������� ���������� ��������� ����� �����.

� ���������� ��������� �����������������
���������. � ���� �������� ����� ���������
"���������" ��� "�����������". (� ��� ��, �
��������, � ������ �� ��������� ��� �������,
�������������� ������ "��������" ��� �����������
���������, ������������� "�������". 򎃄� ��
����� �� ����������� �������, ��������, ��� ���
������ ��������� "$x=y$" � "$y=x$" ����������
���� � �� �� �������. ���, ���� ����, � ��
������� ��������� � ����� ������ ���������.) �
���� ������� ������������� ����� ���������, ���
"���������, ��� �������� �������� �������",
"���������, ������� ������������� �������",
"���������, � ������� ������� ���������������",
"���������, � ������� ������� �����������" �
�. �. 呋� ������� �������� ��������� ���������,
���������������� ������� $P$, �� �� �����
��������, ��� ������� �������� "���������
���������� $P$".

�����������, ��� ������ �������� ��������� �
������ ����� ���������������� ������������
���������: � ������ ����� ��������� ���������
�������� ���� "������", ���� "����", � ��������
������ ��� �������������� ��������� ���� �����,
��� ������� (��� � �������) ���� ��������
�������.

� ����� �������� ��� ��������� $P$ � $Q$ �������
(��������� "$P=Q$"), ���� ��� ���������� ���� �
�� �� �������, �.� ������������� ���� � �� ��
��������� ���������.

䂀 ��������� ����� ������ ������ ����, � ��
����������� ��� ��� ����� "$T$" � "$F$".

$T$ ---��� ��������, ������� ������� �� ����
������ ���������������� ������������ ���������;
��� ������������� ������ ��������� ���������.

$F$ --- ��������, ������� ����� �� ���� ������
������������ ���������; �� ������������� �������
���������.

\bye
