\input style \chapter{ēąģå÷ąķčß īį óļšąęķåķčßõ} 󏐀†…ˆŸ, ŽŒ…™…›… ‚ Šˆƒ€• €‘’ŽŸ™…‰ ‘…ˆˆ, …„€‡€—…› Š€Š „‹Ÿ ‘€ŒŽ‘’ŽŸ’…‹œŽ‰ Ž€Ž’Šˆ, ’€Š ˆ „‹Ÿ ‘…Œˆ€‘Šˆ• ‡€Ÿ’ˆ‰. ņ“„Ž, …‘‹ˆ … …‚Ž‡ŒŽ†Ž ˆ‡“—ˆ’œ …„Œ…’, ’Ž‹œŠŽ —ˆ’€Ÿ ’…Žˆž ˆ … ˆŒ…ŸŸ Ž‹“—…“ž ˆ”ŽŒ€–ˆž „‹Ÿ …˜…ˆŸ ‘…–ˆ€‹œ›• ‡€„€— ˆ ’…Œ ‘€Œ›Œ … ‡€‘’€‚‹ŸŸ ‘…Ÿ Ž„“Œ›‚€’œ ’Ž, —’Ž ›‹Ž Ž—ˆ’€Ž. źŽŒ… ’ŽƒŽ, Œ› ‹“—˜… ‚‘…ƒŽ ‡€“—ˆ‚€…Œ ’Ž, —’Ž ‘€Œˆ Ž’Š›‚€…Œ „‹Ÿ ‘…Ÿ. ļŽ’ŽŒ“ “€†…ˆŸ Ž€‡“ž’ ‚€†“ž —€‘’œ „€Ž‰ €Ž’›; ›‹ˆ …„ˆŸ’› Ž…„…‹…›… Ž›’Šˆ, —’Ž› Ž’Ž€’œ “€†…ˆŸ, ‚ ŠŽ’Ž›• › ‘Ž„…†€‹Ž‘œ Š€Š ŒŽ†Ž Ž‹œ˜… ˆ”ŽŒ€–ˆˆ ˆ ŠŽ’Ž›… ›‹Ž › ˆ’……‘Ž …˜€’œ. āŽ ŒŽƒˆ• Šˆƒ€• ‹…ƒŠˆ… “€†…ˆŸ „€ž’‘Ÿ ‚……Œ…˜Š“ ‘ ˆ‘Š‹ž—ˆ’…‹œŽ ’“„›Œˆ. ē€—€‘’“ž ’Ž Ž—…œ …“„ŽŽ, ’€Š Š€Š ……„ ’…Œ, Š€Š ˆ‘’“€’œ Š …˜…ˆž ‡€„€—ˆ, —ˆ’€’…‹œ ŽŸ‡€’…‹œŽ „Ž‹†… …„‘’€‚‹Ÿ’œ ‘……, ‘ŠŽ‹œŠŽ ‚…Œ…ˆ “‰„…’ “ …ƒŽ € ’Ž …˜…ˆ… (ˆ€—… Ž ŒŽ†…’ €‡‚… ’Ž‹œŠŽ Ž‘ŒŽ’…’œ ‚‘… ‡€„€—ˆ). ź‹€‘‘ˆ—…‘ŠˆŒ ˆŒ…ŽŒ ‡„…‘œ Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ Šˆƒ€ šˆ—€„€ į…‹‹Œ€€ "䈍€Œˆ—…‘ŠŽ… Žƒ€ŒŒˆŽ‚€ˆ…"; ’Ž ‚€†€Ÿ ˆŽ…‘Š€Ÿ €Ž’€, ‚ ŠŽ’ŽŽ‰ ‚ ŠŽ–… Š€†„Ž‰ ƒ‹€‚› Ž„ “ˆŠŽ‰ "󏐀†…ˆŸ ˆ ˆ‘‘‹…„Ž‚€’…‹œ‘Šˆ… Ž‹…Œ›" „€…’‘Ÿ –…‹›‰ Ÿ„ ‡€„€—, ƒ„… €Ÿ„“ ‘ ƒ‹“ŽŠˆŒˆ …™… ……˜…›Œˆ Ž‹…Œ€Œˆ ‚‘’…—€ž’‘Ÿ ˆ‘Š‹ž—ˆ’…‹œŽ ’ˆ‚ˆ€‹œ›… ‚ŽŽ‘›. 掂ŽŸ’, —’Ž Ž„€†„› Š’Ž-’Ž ‘Ž‘ˆ‹ „-€ į…‹‹Œ€€, Š€Š Ž’‹ˆ—ˆ’œ “€†…ˆŸ Ž’ ˆ‘‘‹…„Ž‚€’…‹œ‘Šˆ• Ž‹…Œ, ˆ ’Ž’ Ž’‚…’ˆ‹: "呋ˆ ‚› ŒŽ†…’… …˜ˆ’œ ‡€„€—“, ’Ž---“€†…ˆ…; ‚ Ž’ˆ‚ŽŒ ‘‹“—€… ’Ž---Ž‹…Œ€". ģŽ†Ž ˆ‚…‘’ˆ ŒŽƒŽ „Ž‚Ž„Ž‚ ‚ Ž‹œ‡“ ’ŽƒŽ, —’Ž ‚ Šˆƒ… ’ˆ€ ’Ž‰ „Ž‹†› ›’œ Š€Š ˆ‘‘‹…„Ž‚€’…‹œ‘Šˆ… Ž‹…Œ›, ’€Š ˆ Ž—…œ Ž‘’›… “€†…ˆŸ, ˆ „‹Ÿ ’ŽƒŽ —’Ž› —ˆ’€’…‹ž … ˆ•Ž„ˆ‹Ž‘œ ‹ŽŒ€’œ ƒŽ‹Ž‚“ €„ ’…Œ, Š€Š€Ÿ ‡€„€—€ ‹…ƒŠ€Ÿ, € Š€Š€Ÿ ’“„€Ÿ, Œ› ‚‚…‹ˆ "Ž–…Šˆ", ŠŽ’Ž›… “Š€‡›‚€ž’ ‘’……œ ’“„Ž‘’ˆ Š€†„ŽƒŽ “€†…ˆŸ. ż’ˆ Ž–…Šˆ ˆŒ…ž’ ‘‹…„“ž™…… ‡€—…ˆ…: \descrtable{ \bf ī–…Š€ & \bf ī®Ÿ‘…ˆ… \cr 00 & ÷…‡‚›—€‰Ž ‹…ƒŠŽ… “€†…ˆ…, € ŠŽ’ŽŽ… ŒŽ†Ž Ž’‚…’ˆ’œ ‘€‡“ †…, …‘‹ˆ ŽŸ’ Œ€’…ˆ€‹ ’…Š‘’€, ˆ ŠŽ’ŽŽ… Ž—’ˆ ‚‘…ƒ„€ ŒŽ†Ž …˜ˆ’œ "‚ “Œ…".\cr %% 11 10 & ļŽ‘’€Ÿ ‡€„€—€, ŠŽ’Ž€Ÿ ‡€‘’€‚‹Ÿ…’ ‡€„“Œ€’œ‘Ÿ €„ Ž—ˆ’€›Œ Œ€’…ˆ€‹ŽŒ, Ž … …„‘’€‚‹Ÿ…’ ˆŠ€Šˆ• Ž‘Ž›• ’“„Ž‘’…‰. ķ€ …˜…ˆ… ’€ŠŽ‰ ‡€„€—ˆ ’…“…’‘Ÿ … Ž‹œ˜… Ž„Ž‰ Œˆ“’›; ‚ Ž–…‘‘… …˜…ˆŸ ŒŽƒ“’ Ž€„Žˆ’œ‘Ÿ Š€€„€˜ ˆ “Œ€ƒ€. \cr 20 & ē€„€—€ ‘…„…‰ ’“„Ž‘’ˆ, Ž‡‚Ž‹Ÿž™€Ÿ Ž‚…ˆ’œ, €‘ŠŽ‹œŠŽ •ŽŽ˜Ž ŽŸ’ ’…Š‘’. ķ€ ’Ž —’Ž› „€’œ ˆ‘—…›‚€ž™ˆ‰ Ž’‚…’, ’…“…’‘Ÿ ˆŒ…Ž 15--20~Œˆ“’. \cr 30 & ē€„€—€ “Œ……Ž‰ ’“„Ž‘’ˆ ˆ/ˆ‹ˆ ‘‹Ž†Ž‘’ˆ, „‹Ÿ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œŽƒŽ …˜…ˆŸ ŠŽ’ŽŽ‰ ’…“…’‘Ÿ Ž‹œ˜… „‚“• —€‘Ž‚. \cr 40 & ī—…œ ’“„€Ÿ ˆ‹ˆ ’“„Ž…ŒŠ€Ÿ ‡€„€—€, ŠŽ’Ž“ž, ‚…ŽŸ’Ž, ‘‹…„“…’ ‚Š‹ž—ˆ’œ ‚ ‹€ €Š’ˆ—…‘Šˆ• ‡€Ÿ’ˆ‰. ļ…„Ž‹€ƒ€…’‘Ÿ, —’Ž ‘’“„…’ ŒŽ†…’ …˜ˆ’œ ’€Š“ž ‡€„€—“, Ž „‹Ÿ ’ŽƒŽ …Œ“ Ž’…“…’‘Ÿ ‡€—ˆ’…‹œ›‰ Ž’…‡ŽŠ ‚…Œ…ˆ; ‡€„€—€ …˜€…’‘Ÿ …’ˆ‚ˆ€‹œ›Œ Ž€‡ŽŒ. \cr 50 & 葑‹…„Ž‚€’…‹œ‘Š€Ÿ Ž‹…Œ€, ŠŽ’Ž€Ÿ (€‘ŠŽ‹œŠŽ ’Ž ›‹Ž ˆ‡‚…‘’Ž €‚’Ž“ ‚ ŒŽŒ…’ €ˆ‘€ˆŸ) …™… … Ž‹“—ˆ‹€ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œŽƒŽ …˜…ˆŸ. 呋ˆ —ˆ’€’…‹œ €‰„…’ …˜…ˆ… ’Ž‰ ‡€„€—ˆ, …ƒŽ €‘’ŽŸ’…‹œŽ Ž‘Ÿ’ Ž“‹ˆŠŽ‚€’œ …ƒŽ; ŠŽŒ… ’ŽƒŽ, €‚’Ž „€Ž‰ Šˆƒˆ “„…’ Ž—…œ ˆ‡€’…‹…, …‘‹ˆ …Œ“ ‘ŽŽ™€’ …˜…ˆ…, Š€Š ŒŽ†Ž ›‘’…… (ˆ “‘‹Ž‚ˆˆ, —’Ž ŽŽ €‚ˆ‹œŽ). \cr } 荒…Ž‹ˆ“Ÿ Ž ’Ž‰ "‹Žƒ€ˆ”Œˆ—…‘ŠŽ‰" ˜Š€‹…, ŒŽ†Ž ˆŠˆ“’œ, —’Ž Ž‡€—€…’ ‹ž€Ÿ ŽŒ…†“’Ž—€Ÿ Ž–…Š€. ķ€ˆŒ…, Ž–…Š€~17 ƒŽ‚Žˆ’ Ž ’ŽŒ, —’Ž „€Ž… “€†…ˆ… —“’œ ‹…ƒ—…, —…Œ “€†…ˆ… ‘…„…‰ ’“„Ž‘’ˆ. ē€„€—€ ‘ Ž–…ŠŽ‰~50, …‘‹ˆ Ž€ “„…’ …˜…€ Š€ŠˆŒ-‹ˆŽ —ˆ’€’…‹…Œ, ‚ ‘‹…„“ž™ˆ• ˆ‡„€ˆŸ• „€Ž‰ Šˆƒˆ ŒŽ†…’ ˆŒ…’œ “†… Ž–…Š“~45. ą‚’Ž —…‘’Ž ‘’€€‹‘Ÿ „€‚€’œ Ž®…Š’ˆ‚›… Ž–…Šˆ, Ž ’ŽŒ“, Š’Ž ‘Ž‘’€‚‹Ÿ…’ ‡€„€—ˆ, ’“„Ž …„‚ˆ„…’œ, €‘ŠŽ‹œŠŽ ’“„›Œˆ ’ˆ ‡€„€—ˆ ŽŠ€†“’‘Ÿ „‹Ÿ ŠŽƒŽ-’Ž „“ƒŽƒŽ; Š ’ŽŒ“ †… “ Š€†„ŽƒŽ —…‹Ž‚…Š€ ‘“™…‘’‚“…’ Ž…„…‹…›‰ ’ˆ ‡€„€—, ŠŽ’Ž›… Ž …˜€…’ ›‘’……. ķ€„…ž‘œ, —’Ž ‚›‘’€‚‹…›… ŒŽ‰ Ž–…Šˆ „€ž’ €‚ˆ‹œŽ… …„‘’€‚‹…ˆ… Ž ‘’……ˆ ’“„Ž‘’ˆ ‡€„€—, Ž ‚ Ž™…Œ ˆ• “†Ž ‚Ž‘ˆˆŒ€’œ Š€Š Žˆ…’ˆŽ‚Ž—›…, € … €‘Ž‹ž’›…. ż’€ Šˆƒ€ €ˆ‘€€ „‹Ÿ —ˆ’€’…‹…‰ ‘€Œ›• €‡›• ‘’………‰ Œ€’…Œ€’ˆ—…‘ŠŽ‰ Ž„ƒŽ’Ž‚Šˆ ˆ ˆ‘Š“˜…Ž‘’ˆ, Ž’ŽŒ“ …ŠŽ’Ž›… “€†…ˆŸ …„€‡€—…› ’Ž‹œŠŽ „‹Ÿ —ˆ’€’…‹…‰ ‘ Œ€’…Œ€’ˆ—…‘ŠˆŒ “Š‹ŽŽŒ. 呋ˆ ‚ Š€ŠŽŒ-‹ˆŽ “€†…ˆˆ Œ€’…Œ€’ˆ—…‘Šˆ… ŽŸ’ˆŸ ˆ‹ˆ …‡“‹œ’€’› ˆ‘Ž‹œ‡“ž’‘Ÿ Ž‹…… ˜ˆŽŠŽ, —…Œ ’Ž …Ž•Ž„ˆŒŽ „‹Ÿ ’…•, ŠŽƒŽ ‚ …‚“ž Ž—……„œ ˆ’……‘“…’ Žƒ€ŒŒˆŽ‚€ˆ… €‹ƒŽˆ’ŒŽ‚, ’Ž ……„ Ž–…ŠŽ‰ ’€ŠŽƒŽ “€†…ˆŸ ‘’€‚ˆ’‘Ÿ “Š‚€ "\emph{ģ}". 呋ˆ „‹Ÿ …˜…ˆŸ “€†…ˆŸ ’…“…’‘Ÿ ‡€ˆ… ‚›‘˜…‰ Œ€’…Œ€’ˆŠˆ ‚ Ž‹œ˜…Œ Ž®…Œ…, —…Œ ’Ž „€Ž ‚ €‘’ŽŸ™…‰ %% 12 Šˆƒ…, ’Ž ‘’€‚Ÿ’‘Ÿ “Š‚›~"\emph{āģ}". ļŽŒ…’Š€~"\emph{āģ}" Ž’ž„œ … Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‘‚ˆ„…’…‹œ‘’‚ŽŒ ’ŽƒŽ, —’Ž „€Ž… “€†…ˆ… ’“„Ž…. ļ……„ …ŠŽ’Ž›Œˆ “€†…ˆŸŒˆ ‘’Žˆ’ ‘’…‹Š€~"$\btr$"; ’Ž Ž‡€—€…’, —’Ž „€Ž… “€†…ˆ… Ž‘Ž…Ž Ž“—ˆ’…‹œŽ ˆ …ƒŽ …ŠŽŒ…„“…’‘Ÿ ŽŸ‡€’…‹œŽ ‚›Ž‹ˆ’œ. ń€ŒŽ ‘ŽŽ‰ €‡“Œ……’‘Ÿ, ˆŠ’Ž … Ž†ˆ„€…’, —’Ž —ˆ’€’…‹œ (ˆ‹ˆ ‘’“„…’) “„…’ …˜€’œ ‚‘… ‡€„€—ˆ, Ž’ŽŒ“-’Ž €ˆŽ‹…… Ž‹…‡›… ˆ‡ ˆ• ˆ ‚›„…‹…›. ż’Ž ‘Ž‚‘…Œ … ‡€—ˆ’, —’Ž „“ƒˆ… ‡€„€—ˆ … ‘’Žˆ’ …˜€’œ! ź€†„›‰ —ˆ’€’…‹œ „Ž‹†… Ž Š€‰…‰ Œ…… Ž›’€’œ‘Ÿ …˜ˆ’œ ‚‘… ‡€„€—ˆ ‘ Ž–…ŠŽ‰~10 ˆ ˆ†…; ‘’…‹Šˆ †… ŽŒŽƒ“’ ‚›€’œ, Š€Šˆ… ‡€„€—ˆ ‘ Ž‹…… ‚›‘ŽŠˆŒˆ Ž–…Š€Œˆ ‘‹…„“…’ …˜ˆ’œ ‚ …‚“ž Ž—……„œ. ź Ž‹œ˜ˆ‘’‚“ “€†…ˆ‰ ˆ‚…„…› Ž’‚…’›; Žˆ ŽŒ…™…› ‚ ‘…–ˆ€‹œŽŒ €‡„…‹… ‚ ŠŽ–… Šˆƒˆ. ļŽ‹œ‡“‰’…‘œ ˆŒˆ Œ“„Ž; ‚ Ž’‚…’ ‘ŒŽ’ˆ’… ’Ž‹œŠŽ Ž‘‹… ’ŽƒŽ, Š€Š ‚› ˆ‹Ž†ˆ‹ˆ „Ž‘’€’Ž—Ž “‘ˆ‹ˆ‰, —’Ž› …˜ˆ’œ ‡€„€—“ ‘€ŒŽ‘’ŽŸ’…‹œŽ, ˆ‹ˆ †… …‘‹ˆ „‹Ÿ …˜…ˆŸ „€Ž‰ ‡€„€—ˆ “ ‚€‘ …’ ‚…Œ…ˆ. 呋ˆ Ž‹“—… ‘Ž‘’‚…›‰ Ž’‚…’, ‹ˆŽ …‘‹ˆ ‚› „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ ›’€‹ˆ‘œ …˜ˆ’œ ‡€„€—“, ’Ž‹œŠŽ ‚ ’ŽŒ ‘‹“—€… Ž’‚…’, ŽŒ…™…›‰ ‚ Šˆƒ…, “„…’ Ž“—ˆ’…‹œ›Œ ˆ Ž‹…‡›Œ. ź€Š €‚ˆ‹Ž, Ž’‚…’› Š ‡€„€—€Œ ˆ‡‹€ƒ€ž’‘Ÿ Ž—…œ Š€’ŠŽ, ‘•…Œ€’ˆ—Ž, ’€Š Š€Š …„Ž‹€ƒ€…’‘Ÿ, —’Ž —ˆ’€’…‹œ “†… —…‘’Ž ›’€‹‘Ÿ …˜ˆ’œ ‡€„€—“ ‘Ž‘’‚…›Œˆ ‘ˆ‹€Œˆ. 荎ƒ„€ ‚ ˆ‚…„…ŽŒ …˜…ˆˆ „€…’‘Ÿ Œ…œ˜… ˆ”ŽŒ€–ˆˆ, —…Œ ‘€˜ˆ‚€‹Ž‘œ, —€™…---€ŽŽŽ’. āŽ‹… ‚Ž‡ŒŽ†Ž, —’Ž Ž‹“—…›‰ ‚€Œˆ Ž’‚…’ ŽŠ€†…’‘Ÿ ‹“—˜… Ž’‚…’€, ŽŒ…™…ŽƒŽ ‚ Šˆƒ…, ˆ‹ˆ ‚› €‰„…’… Ž˜ˆŠ“ ‚ ’ŽŒ Ž’‚…’…; ‚ ’€ŠŽŒ ‘‹“—€… €‚’Ž ›‹ › Ž—…œ ŽŸ‡€, …‘‹ˆ › ‚› Š€Š ŒŽ†Ž ‘ŠŽ…… Ž„ŽŽ ‘ŽŽ™ˆ‹ˆ …Œ“ Ž ’ŽŒ. ā Ž‘‹…„“ž™ˆ• ˆ‡„€ˆŸ• €‘’ŽŸ™…‰ Šˆƒˆ “„…’ ŽŒ…™…Ž “†… ˆ‘€‚‹…Ž… …˜…ˆ… ‚Œ…‘’… ‘ ˆŒ……Œ …ƒŽ €‚’Ž€. \bigskip \centerline{\bf ń‚Ž„Š€ “‘‹Ž‚›• ŽŽ‡€—…ˆ‰} \ctable{ \emph{#}\bskip\hfil&\bskip#\hfil\cr $\btr$ & š…ŠŽŒ…„“…’‘Ÿ \cr ģ & ń Œ€’…Œ€’ˆ—…‘ŠˆŒ “Š‹ŽŽŒ \cr āģ & ņ…“…’ ‡€ˆŸ "‚›‘˜…‰ Œ€’…Œ€’ˆŠˆ" \cr 00 & ņ…“…’ …Œ…„‹…ŽƒŽ Ž’‚…’€ \cr 10 & ļŽ‘’Ž… (€ Ž„“ Œˆ“’“) \cr 20 & ń…„…‰ ’“„Ž‘’ˆ (€ —…’‚…’œ —€‘€) \cr 30 & ļŽ‚›˜…Ž‰ ’“„Ž‘’ˆ \cr 40 & 䋟 "Œ€’€Š’ˆŠ“Œ€" \cr 50 & 葑‹…„Ž‚€’…‹œ‘Š€Ÿ Ž‹…Œ€ \cr } \excercises \ex[00] ÷’Ž Ž‡€—€…’ ŽŒ…’Š€~"\emph{ģ20}"? \ex[10] ź€ŠŽ… ‡€—…ˆ… „‹Ÿ —ˆ’€’…‹Ÿ ˆŒ…ž’ “€†…ˆŸ, ŽŒ…™€…Œ›… ‚ “—…ˆŠ€•? \ex[ģ50] 䎊€†ˆ’…, —’Ž …‘‹ˆ~$n$---–…‹Ž… —ˆ‘‹Ž, $n>2$, ’Ž “€‚…ˆ…~$x^n+y^n=z^n$ …€‡…˜ˆŒŽ ‚ –…‹›• Ž‹Ž†ˆ’…‹œ›• —ˆ‘‹€•~$x$, $y$, $z$. %% 13 \chapno=2\chapnotrue\chapter{ń‹“—€‰›… —ˆ‘‹€} % 3 \epigraph ā‘ŸŠˆ‰, Š’Ž ˆ’€…’ ‘‹€Ž‘’œ Š €ˆ”Œ…’ˆ—…‘ŠˆŒ Œ…’Ž„€Œ Ž‹“—…ˆŸ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, ƒ…˜… ‚… ‚‘ŸŠˆ• ‘ŽŒ…ˆ‰. \signed 䆎 ”Ž ķ…‰Œ€ (1951) \epigraph ź“ƒ‹›… —ˆ‘‹€ ‚‘…ƒ„€ ”€‹œ˜ˆ‚›. \signed ńŒž‹œ 䆎‘Ž (ŽŠŽ‹Ž 1750) \epigraph Lest men suspect your tale untrue, \goodbreak Keep probability in view% \note{1}% {÷’Ž› ‹ž„ˆ Ž‚…ˆ‹ˆ ‚€˜ˆŒ Ž‘‘Š€‡ŸŒ, ŽŒˆ’… Ž ‚…ŽŸ’Ž‘’ˆ.---{\sl ļˆŒ. ……‚.\/} }. \signed 䆎 杉 (1727) \subchap{āāåäåķčå} % 3.1 "ń‹“—€‰Ž ‚›€›…" —ˆ‘‹€ ŽŠ€‡›‚€ž’‘Ÿ Ž‹…‡›Œˆ „‹Ÿ ‘€Œ›• €‡‹ˆ—›• –…‹…‰. āŽ’ …ŠŽ’Ž›… ˆŒ…›: \medskip a)~\emph{ģŽ„…‹ˆŽ‚€ˆ….} źŽƒ„€ ‘ ŽŒŽ™œž ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽ‰ Œ€˜ˆ› ŒŽ„…‹ˆ“ž’‘Ÿ ˆŽ„›… Ÿ‚‹…ˆŸ, ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€ Ž‡‚Ž‹Ÿž’ ˆ‹ˆ‡ˆ’œ ŒŽ„…‹œ Š …€‹œŽ‘’ˆ. ģŽ„…‹ˆŽ‚€ˆ… ˆŒ…Ÿ…’‘Ÿ ‚Ž ŒŽƒˆ• Ž‹€‘’Ÿ•: Ž’ Ÿ„…Ž‰ ”ˆ‡ˆŠˆ (—€‘’ˆ–› ˆ‘›’›‚€ž’ ‘‹“—€‰›… ‘Ž“„€…ˆŸ) „Ž ‘ˆ‘’…ŒŽƒŽ €€‹ˆ‡€ (‘Š€†…Œ, ‹ž„ˆ ‚•Ž„Ÿ’ ‚ €Š —……‡ ‘‹“—€‰›… ˆ’…‚€‹› ‚…Œ…ˆ). b)~\emph{ā›ŽŠ€.} ÷€‘’Ž ›‚€…’, —’Ž Ž‚…Š€ ‚‘…• ‚Ž‡ŒŽ†›• ‚€ˆ€’Ž‚ €Š’ˆ—…‘Šˆ …Ž‘“™…‘’‚ˆŒ€. ņŽƒ„€ € …ŠŽ’Ž›… ‚ŽŽ‘› Ž‡‚Ž‹Ÿ…’ Ž‹“—ˆ’œ Ž’‚…’› ‘‹“—€‰€Ÿ ‚›ŽŠ€. c)~\emph{÷ˆ‘‹…›‰ €€‹ˆ‡.} 䋟 …˜…ˆŸ ‘‹Ž†›• ‡€„€— ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽ‰ Œ€’…Œ€’ˆŠˆ ›‹€ €‡€Ž’€€ Ž‘’Ž“Œ€Ÿ ’…•ˆŠ€, ˆ‘Ž‹œ‡“ž™€Ÿ ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€. ī ’ŽŒ €ˆ‘€ Ÿ„ Šˆƒ. d)~\emph{ļŽƒ€ŒŒˆŽ‚€ˆ… „‹Ÿ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œ›• Œ€˜ˆ.} ń‹“—€‰›… ‡€—…ˆŸ ‘‹“†€’ •ŽŽ˜ˆŒ ˆ‘’Ž—ˆŠŽŒ „€›• ˆ ˆ‘›’€ˆˆ ””…Š’ˆ‚Ž‘’ˆ €‡‹ˆ—›• €‹ƒŽˆ’ŒŽ‚ „‹Ÿ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œ›• Œ€˜ˆ. ā ’Ž‰ Šˆƒ… €‘ “„…’ ‚ Ž‘Ž‚ŽŒ ˆ’……‘Ž‚€’œ ˆŒ…Ž ’€ŠŽ… ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆ… ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹. ļŽ’ŽŒ“ …†„… —…Œ Ž‰„…’ …—œ Ž „“ƒˆ• €‹ƒŽˆ’Œ€•, ‡„…‘œ, ‚ ’…’œ…‰ ƒ‹€‚…, “„“’ €‘‘ŒŽ’…› ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€. e)~\emph{ļˆŸ’ˆ… …˜…ˆ‰.} 掂ŽŸ’, —’Ž ŒŽƒˆ… “ŠŽ‚Ž„ˆ’…‹ˆ ˆˆŒ€ž’ …˜…ˆŸ, Ž‘€Ÿ ŒŽ…’Š“ ˆ‹ˆ ŠŽ‘’ˆ. õŽ„Ÿ’ „€†… %% 14 ‘‹“•ˆ, —’Ž …ŠŽ’Ž›… Ž”…‘‘Ž€ ‚ ŠŽ‹‹…„†€• „Žˆ‚€ž’‘Ÿ “‘…•€ ˆŒ…Ž ’€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ. 荎ƒ„€ ›‚€…’ ‚€†Ž ˆˆŒ€’œ ‘Ž‚…˜…Ž ……„‚‡Ÿ’›… …˜…ˆŸ. ļŽ‹…‡Ž …„“‘ŒŽ’…’œ ’€Š“ž ‚Ž‡ŒŽ†Ž‘’œ „‹Ÿ €‹ƒŽˆ’ŒŽ‚, ˆŒ…Ÿ…Œ›• ‚ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œ›• Œ€˜ˆ€•, €ˆŒ… ‚ ‘‹“—€Ÿ•, ŠŽƒ„€ ˆŸ’ˆ… „…’…ŒˆˆŽ‚€ŽƒŽ …˜…ˆŸ ŒŽ†…’ ˆ‚…‘’ˆ Š ‡€Œ…„‹…ˆž ‘—…’€. ń‹“—€‰Ž‘’œ, ŠŽŒ… ’ŽƒŽ,---‘“™…‘’‚…€Ÿ —€‘’œ Ž’ˆŒ€‹œ›• ‘’€’…ƒˆ‰ ‚ ’…Žˆˆ ˆƒ. f)~\emph{š€‡‚‹…—…ˆŸ.} ģŽƒˆ… Ž‚Ž„Ÿ’ ‚…ŒŸ, ’€‘“Ÿ Š€’›, Ž‘€Ÿ ŠŽ‘’ˆ ˆ‹ˆ €‹ž„€Ÿ ‡€ ŠŽ‹…‘ŽŒ “‹…’Šˆ, ˆ €•Ž„Ÿ’ ‚ ’ŽŒ …ˆ‡®Ÿ‘ˆŒŽ… “„Ž‚Ž‹œ‘’‚ˆ…. ņ€ŠˆŒ ’€„ˆ–ˆŽ›Œ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆ…Œ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ Ž®Ÿ‘Ÿ…’‘Ÿ, Ž—…Œ“ ’…Œˆ "ģŽ’…-ź€‹Ž" ‘‹“†ˆ’ Ž™ˆŒ €ˆŒ…Ž‚€ˆ…Œ „‹Ÿ ‚‘…• €‹ƒŽˆ’ŒŽ‚, ‚ ŠŽ’Ž›• ˆŒ…Ÿž’ ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€. \medskip ń’€‹Ž Ž›—›Œ ‚ ’ŽŒ Œ…‘’… Ž‘‚Ÿ™€’œ …‘ŠŽ‹œŠŽ €‡€–…‚ ”ˆ‹Ž‘Ž”‘ŠŽŒ“ Ž‘“†„…ˆž ’ŽƒŽ, —’Ž †… ’€ŠŽ… "‘‹“—€‰Ž‘’œ". ā …ŠŽ’ŽŽŒ ‘Œ›‘‹… ’€ŠŽƒŽ Ž®…Š’€, Š€Š ‘‹“—€‰Ž… —ˆ‘‹Ž, Ž‘’Ž …’. ńŠ€†…Œ, „‚Ž‰Š€---’Ž ‘‹“—€‰Ž… —ˆ‘‹Ž? ńŠŽ…… Œ› ƒŽ‚ŽˆŒ Ž \emph{Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ …‡€‚ˆ‘ˆŒ›•} ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ ‘ Ž…„…‹…›Œ \emph{‡€ŠŽŽŒ €‘…„…‹…ˆŸ,} ˆ ’Ž Ž‡€—€…’, ƒ“Ž ƒŽ‚ŽŸ, —’Ž Š€†„Ž… —ˆ‘‹Ž ›‹Ž Ž‹“—…Ž ‘€Œ›Œ Žˆ‡‚Ž‹œ›Œ Ž€‡ŽŒ, …‡ ‚‘ŸŠŽ‰ ‘‚Ÿ‡ˆ ‘ „“ƒˆŒˆ —‹…€Œˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ˆ —’Ž “ …ƒŽ …‘’œ Ž…„…‹…€Ÿ ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ŽŠ€‡€’œ‘Ÿ ‚ ‹žŽŒ ‡€„€ŽŒ ˆ’…‚€‹…. \dfn{š€‚ŽŒ…›Œ} €‡›‚€…’‘Ÿ ’€ŠŽ… €‘…„…‹…ˆ…, ˆ ŠŽ’ŽŽŒ Š€†„Ž… ‚Ž‡ŒŽ†Ž… —ˆ‘‹Ž €‚Ž‚…ŽŸ’Ž. ī›—Ž, …‘‹ˆ ‘…–ˆ€‹œŽ … ŽƒŽ‚Ž…Ž —’Ž-‹ˆŽ ˆŽ…, ˆŒ…ž’ ‚ ‚ˆ„“ €‚ŽŒ…›… €‘…„…‹…ˆŸ. ź€†„€Ÿ ˆ‡ „…‘Ÿ’ˆ –ˆ” Ž’~$0$ „Ž~$9$ ‘Ž‘’€‚‹Ÿ…’ ˆŒ…Ž Ž„“ „…‘Ÿ’“ž —€‘’œ ‚‘…• –ˆ” ‚Ž ‚‘ŸŠŽ‰ ‘‹“—€‰Ž‰ (€‚ŽŒ…Ž‰) Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ –ˆ”. ėž€Ÿ ‡€„€€Ÿ €€ „‚“• ‘Ž‘…„ˆ• –ˆ” „Ž‹†€ ‘Ž‘’€‚‹Ÿ’œ ˆŒ…Ž $\frac1/{100}$~—€‘’œ ‚‘…• €, ‚‘’…—€ž™ˆ•‘Ÿ ‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ˆ~’.~„. ņ…Œ … Œ………, …‘‹ˆ Œ› €‘‘ŒŽ’ˆŒ Š€Š“ž-ˆ“„œ ŠŽŠ…’“ž ‘‹“—€‰“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ˆ‡ Œˆ‹‹ˆŽ€ –ˆ”, ‚ …‰ ‘Ž‚‘…Œ … ŽŸ‡€’…‹œŽ ŽŠ€†…’‘Ÿ Ž‚Ž $100\,000$~“‹…‰, $100\,000$~…„ˆˆ– ˆ~’.~„. ā „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ‘’ˆ ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’€ŠŽƒŽ ‘Ž›’ˆŸ Ž—…œ Œ€‹€. ē€ŠŽŽŒ…Ž‘’œ †… ‚›Ž‹Ÿ…’‘Ÿ ‚ ‘…„…Œ „‹Ÿ \emph{Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ} ’€Šˆ• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰. ėž€Ÿ ‡€„€€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‘’Ž‹œ †… ‚…ŽŸ’€, Š€Š ˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, ‘Ž‘’ŽŸ™€Ÿ ˆ‡ Ž„ˆ• \emph{“‹…‰.} įŽ‹…… ’ŽƒŽ, „Ž“‘’ˆŒ, —’Ž Œ› ‚›ˆ€…Œ ‘‹“—€‰›Œ Ž€‡ŽŒ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ˆ‡ Œˆ‹‹ˆŽ€ –ˆ”. ļ“‘’œ ŽŠ€‡€‹Ž‘œ, —’Ž …‚›… $999\,999$ %% 15 ˆ‡ ˆ• €‚› “‹ž. č ‚ ’ŽŒ ‘‹“—€… ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’ŽƒŽ, —’Ž Ž‘‹…„ŸŸ –ˆ”€ “„…’ “‹…Œ, ‚‘… …™… ‚ ’Ž—Ž‘’ˆ €‚€~$\frac 1/{10}$, …‘‹ˆ ‚›ŽŠ€ „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ ‘‹“—€‰€Ÿ. 䋟 ŒŽƒˆ• ’ˆ “’‚…†„…ˆŸ ‡‚“—€’ Š€Š €€„ŽŠ‘, Ž € ‘€ŒŽŒ „…‹… ‚ ˆ• …’ Ž’ˆ‚Ž…—ˆŸ. ń“™…‘’‚“…’ …‘ŠŽ‹œŠŽ ‘Ž‘ŽŽ‚ ‘”ŽŒ“‹ˆŽ‚€’œ •ŽŽ˜…… €‘’€Š’Ž… Ž…„…‹…ˆ… ‘‹“—€‰Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. ģ› …™… ‚……Œ‘Ÿ Š ’ŽŒ“ ˆ’……‘ŽŒ“ ‚ŽŽ‘“ ‚~\S~3.5. ļŽŠ€ †… „Ž‘’€’Ž—Ž ˆ’“ˆ’ˆ‚Ž ŽŸ’œ ˆ„…ž. š€œ˜… “—…›…, “†„€‚˜ˆ…‘Ÿ „‹Ÿ ‘‚Ž…‰ €Ž’› ‚ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘‹€•, €‘Š‹€„›‚€‹ˆ Š€’›, Ž‘€‹ˆ ŠŽ‘’ˆ ˆ‹ˆ ‚›’€‘Šˆ‚€‹ˆ ˜€› ˆ‡ “›, ŠŽ’Ž“ž …„‚€ˆ’…‹œŽ "Š€Š ‘‹…„“…’ ’Ÿ‘‹ˆ". ā 1927~ƒ.\ ė.~ņˆ…’’ Ž“‹ˆŠŽ‚€‹ ’€‹ˆ–›, ‘Ž„…†€™ˆ… ‘‚›˜… $40\,000$~‘‹“—€‰›• –ˆ”, "Žˆ‡‚Ž‹œŽ ‚‡Ÿ’›• ˆ‡ Ž’—…’Ž‚ Ž ……ˆ‘ˆ". ļŽ‡†… ›‹ˆ ‘ŠŽ‘’“ˆŽ‚€› ‘…–ˆ€‹œ›… Œ€˜ˆ›, Œ…•€ˆ—…‘Šˆ ‚›€€’›‚€ž™ˆ… ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€. ļ…‚“ž ’€Š“ž Œ€˜ˆ“ ‚ 1939~ƒ.\ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€‹ˆ ģ.~ä†.~ź…„€‹‹ ˆ~į.~įˆƒ’Ž-ńŒˆ’ ˆ ‘Ž‡„€ˆˆ ’€‹ˆ–, ‚Š‹ž—€ž™ˆ• 100~’›‘Ÿ— ‘‹“—€‰›• –ˆ”. ā 1955~ƒ.\ ŠŽŒ€ˆŸ RAND Corporation Ž“‹ˆŠŽ‚€‹€ •ŽŽ˜Ž ˆ‡‚…‘’›… ’€‹ˆ–› ‘ Œˆ‹‹ˆŽŽŒ ‘‹“—€‰›• –ˆ”, Ž‹“—…›• „“ƒŽ‰ ’€ŠŽ‰ Œ€˜ˆŽ‰. 臂…‘’€Ÿ Œ€˜ˆ€ ERNIE, ‚›€€’›‚€ž™€Ÿ ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€, Ž…„…‹Ÿ…’ ‚›ˆƒ€‚˜ˆ… ŽŒ…€ ‚ įˆ’€‘ŠŽ‰ ‹Ž’………. [ńŒ.\ ‘’€’œˆ ź…„€‹‹€ ˆ įˆƒ’Ž-ńŒˆ’€ ‚ {\sl Journal of the Royal Statistical Society,\/} Series~A, {\bf 101} (1938), 147--166, ˆ Series~ā, {\bf 6} (1939), 51--61, € ’€Š†… Ž‡Ž ‚~{\sl Math.\ Comp.,\/} {\bf 10} (1956), 39--43.] ā‘ŠŽ… Ž‘‹… ‘Ž‡„€ˆŸ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œ›• Œ€˜ˆ €—€‹ˆ‘œ Žˆ‘Šˆ ””…Š’ˆ‚›• Œ…’Ž„Ž‚ Ž‹“—…ˆŸ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, ˆƒŽ„›• „‹Ÿ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆŸ ‚ Žƒ€ŒŒ€•. ā ˆ–ˆ… ŒŽ†Ž €Ž’€’œ ˆ ‘ ’€‹ˆ–€Œˆ, Ž„€ŠŽ, ’Ž’ Œ…’Ž„ ˆŒ……’ Žƒ€ˆ—…ˆŸ, ‘‚Ÿ‡€›… ‘ ŠŽ…—›Œ Ž®…ŒŽŒ €ŒŸ’ˆ Œ€˜ˆ ˆ ‡€’€’€Œˆ ‚…Œ…ˆ „‹Ÿ ‚‚Ž„€ —ˆ‘…‹ ‚ Œ€˜ˆ“ ‚ ’ŽŒ ‘‹“—€…, ŠŽƒ„€ ’€‹ˆ–€ ŽŠ€‡›‚€…’‘Ÿ ‘‹ˆ˜ŠŽŒ ŠŽŽ’ŠŽ‰. źŽŒ… ’ŽƒŽ, „Ž‚Ž‹œŽ …ˆŸ’Ž ƒŽ’Ž‚ˆ’œ ’€‹ˆ–› ‡€€……, „€ ˆ ‚ŽŽ™… ˆŒ…’œ ‘ ˆŒˆ „…‹Ž. ģŽ†Ž ˆ‘Ž…„ˆˆ’œ Š żāģ Œ€˜ˆ“ ’ˆ€ ERNIE, Ž ˆ ’Ž’ “’œ ŽŠ€‡›‚€…’‘Ÿ …“„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œ›Œ, Ž’ŽŒ“ —’Ž ˆ Ž’‹€„Š… Žƒ€ŒŒ› …‚Ž‡ŒŽ†Ž ‚Ž‘Žˆ‡‚…‘’ˆ ‚’Žˆ—Ž ‚›—ˆ‘‹…ˆŸ, ‘„…‹€›… €……. ķ…‘Ž‚…˜…‘’‚Ž ‚‘…• ’ˆ• Œ…’Ž„Ž‚ Ž“„ˆ‹Ž ˆ’……‘ Š Ž‹“—…ˆž ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ ‘ ŽŒŽ™œž €ˆ”Œ…’ˆ—…‘Šˆ• Ž…€–ˆ‰ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽ‰ Œ€˜ˆ›. ļ…‚›Œ ’€ŠŽ‰ Ž„•Ž„ ‚ 1946~ƒ.\ …„‹Ž†ˆ‹ 䆎 ”Ž ķ…‰Œ€, ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€‚˜ˆ‰ Œ…’Ž„ "‘……„ˆ› Š‚€„€’€". 脅Ÿ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, —’Ž …„›„“™…… ‘‹“—€‰Ž… —ˆ‘‹Ž ‚Ž‡‚Ž„ˆ’‘Ÿ ‚ Š‚€„€’, € ‡€’…Œ ˆ‡ …‡“‹œ’€’€ ˆ‡‚‹…Š€ž’‘Ÿ ‘…„ˆ… –ˆ”›. ļ“‘’œ, €ˆŒ…, Œ› ‚›€€’›‚€…Œ „…‘Ÿ’ˆ‡€—›… —ˆ‘‹€ ˆ „Ž“‘’ˆŒ, —’Ž …„›„“™…… —ˆ‘‹Ž ›‹Ž €‚Ž~$5772156649$; %% 16 ‚Ž‡‚…„Ÿ …ƒŽ ‚ Š‚€„€’, Ž‹“—ˆŒ $$ 33317792380594909201, $$ ˆ Ž’ŽŒ“ ‘‹…„“ž™…… —ˆ‘‹Ž €‚Ž~$7923805949$. ģ…’Ž„ ‚›‡›‚€…’ „Ž‚Ž‹œŽ Ž—…‚ˆ„Ž… ‚Ž‡€†…ˆ…. ź€Š ŒŽ†…’ ›’œ ‘‹“—€‰Ž‰ ‚›€Ž’€€Ÿ ’€ŠˆŒ ‘Ž‘ŽŽŒ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, …‘‹ˆ Š€†„›‰ …… —‹… Ž‹Ž‘’œž Ž…„…‹… ‘‚ŽˆŒ …„˜…‘’‚…ˆŠŽŒ? ī’‚…’ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, —’Ž ’€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ \emph{…} ‘‹“—€‰€ Ž \emph{‚›ƒ‹Ÿ„ˆ’} Š€Š ‘‹“—€‰€Ÿ. ā ’ˆˆ—›• ˆ‹Ž†…ˆŸ• Ž›—Ž … ˆŒ……’ ‡€—…ˆŸ, Š€Š ‘‚Ÿ‡€› „“ƒ ‘ „“ƒŽŒ „‚€ Ž‘‹…„“ž™ˆ• —ˆ‘‹€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ; ’€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, …‘‹“—€‰›‰ •€€Š’… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ … Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ …†…‹€’…‹œ›Œ. 荒“ˆ’ˆ‚Ž Œ…’Ž„ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€ „Ž‹†… „Ž‚Ž‹œŽ •ŽŽ˜Ž "……Œ…˜ˆ‚€’œ" …„›„“™…… —ˆ‘‹Ž. ā €“—Ž-’…•ˆ—…‘ŠŽ‰ ‹ˆ’…€’“… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ‚›€€’›‚€…Œ›… „…’…Œˆˆ‘’‘ŠˆŒˆ ‘Ž‘Ž€Œˆ, €‡›‚€ž’‘Ÿ \emph{‘…‚„Ž‘‹“—€‰›Œˆ} ˆ‹ˆ \emph{Š‚€‡ˆ‘‹“—€‰›Œˆ.} ē„…‘œ †… Œ› “„…Œ €‡›‚€’œ ˆ• Ž‘’Ž ‘‹“—€‰›Œˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ŸŒˆ, ŽˆŒ€Ÿ, —’Ž Žˆ ’Ž‹œŠŽ \emph{Žˆ‡‚Ž„Ÿ’ ‚…—€’‹…ˆ…} ‘‹“—€‰›•. ķ€‚…Ž…, ‚‘…, —’Ž ŒŽ†Ž ‘Š€‡€’œ Ž ‘‹“—€‰Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ’Ž ’Ž, —’Ž Ž€ "Ž ‚…˜…Œ“ ‚ˆ„“ ‘‹“—€‰€Ÿ". ņŽ—›… Œ€’…Œ€’ˆ—…‘Šˆ… Ž…„…‹…ˆŸ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ „€ž’‘Ÿ ‚~\S~3.5. ā›€Ž’€›… „…’…Œˆˆ‘’‘ŠˆŒˆ Œ…’Ž„€Œˆ ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€ ŽŠ€‡€‹ˆ‘œ ˆƒŽ„›Œˆ Ž—’ˆ „‹Ÿ ‚‘…• ˆ‹Ž†…ˆ‰ (•Ž’Ÿ, ŠŽ…—Ž, Žˆ … ŒŽƒ“’ ‡€Œ…ˆ’œ ERNIE ‚ ‹Ž’……Ÿ•). ī„€ŠŽ …‚Ž€—€‹œ›‰ "Œ…’Ž„ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€" ”Ž ķ…‰Œ€€ ŽŠ€‡€‹‘Ÿ ‘€‚ˆ’…‹œŽ ‘Š“„›Œ ˆ‘’Ž—ˆŠŽŒ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹. ķ…„Ž‘’€’ŽŠ …ƒŽ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ˆŒ…ž’ ’…„…–ˆž …‚€™€’œ‘Ÿ ‚ ŠŽŽ’Šˆ… –ˆŠ‹› Ž‚’ŽŸž™ˆ•‘Ÿ ‹…Œ…’Ž‚. ķ€ˆŒ…, …‘‹ˆ Š€ŠŽ‰-ˆ“„œ —‹… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ŽŠ€†…’‘Ÿ €‚›Œ “‹ž, ‚‘… Ž‘‹…„“ž™ˆ… —‹…› ’€Š†… “„“’ “‹ŸŒˆ. ā €—€‹… Ÿ’ˆ„…‘Ÿ’›• ƒŽ„Ž‚ …ŠŽ’Ž›… “—…›… Ž‚Ž„ˆ‹ˆ Š‘…ˆŒ…’› ‘ Œ…’Ž„ŽŒ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€. ä†.~ż.~ōŽ‘€‰’, €Ž’€‚˜ˆ‰ ‘ —…’›…•‡€—›Œˆ (€ … ‘ „…‘Ÿ’ˆ‡€—›Œˆ) —ˆ‘‹€Œˆ, Ž‚…ˆ‹ 16~—ˆ‘…‹ ‚ Š€—…‘’‚… €—€‹œ›• ‡€—…ˆ‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ īŠ€‡€‹Ž‘œ, —’Ž~12 ˆ‡ ˆ• ŽŽ†„€‹ˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ŽŠ€—ˆ‚€ž™ˆ…‘Ÿ –ˆŠ‹ŽŒ~$6100$, $2100$, $4100$, $8100$, $6100$,~\dots, € „‚… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‚›Ž„ˆ‹ˆ‘œ ‚ “‹œ. ī˜ˆ›… Š‘…ˆŒ…’› Ž ˆ‘‘‹…„Ž‚€ˆž Œ…’Ž„€ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€ Ž‚…‹ ķ.~ģ…’ŽŽ‹ˆ‘, Ž…ˆŽ‚€‚˜ˆ‰ ƒ‹€‚›Œ Ž€‡ŽŒ „‚Žˆ—›Œˆ —ˆ‘‹€Œˆ. š€Ž’€Ÿ ‘ 20-€‡Ÿ„›Œˆ —ˆ‘‹€Œˆ, Ž ŽŠ€‡€‹, —’Ž ‘“™…‘’‚“…’ ’ˆ€„–€’œ €‡‹ˆ—›• –ˆŠ‹Ž‚, ‚ ŠŽ’Ž›… ŒŽƒ“’ ‚›Ž„ˆ’œ‘Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ; „‹ˆ€ …ˆŽ„€ ‘€ŒŽƒŽ Ž‹œ˜ŽƒŽ ˆ‡ ˆ• €‚€~$142$. ź€Š ’Ž‹œŠŽ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‚›Ž†„€…’‘Ÿ ‚ “‹œ, „Ž‚Ž‹œŽ ‹…ƒŠŽ €—€’œ ‚›€Ž’Š“ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ ‡€Ž‚Ž. 掐€‡„Ž ’“„…‰ ŽŽ’œ‘Ÿ %% 17 ‘ „‹ˆ›Œˆ –ˆŠ‹€Œˆ. ā‘… †… š.~ō‹Ž‰„ (‘Œ.~“.~7) …„‹Ž†ˆ‹ Ž‘’Ž“Œ›‰ Œ…’Ž„, Ž‡‚Ž‹Ÿž™ˆ‰ ‡€…ƒˆ‘’ˆŽ‚€’œ ‚Ž‡ˆŠŽ‚…ˆ… –ˆŠ‹€ ‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. ģ…’Ž„ ō‹Ž‰„€ ’…“…’ …Ž‹œ˜Ž‰ €ŒŸ’ˆ Œ€˜ˆ›, “‚…‹ˆ—ˆ‚€…’ ‚…ŒŸ ‚›€Ž’Šˆ ‘‹“—€‰ŽƒŽ —ˆ‘‹€ ‚‘…ƒŽ ‚ ’ˆ €‡€ ˆ ‘€‡“ †… ‘ˆƒ€‹ˆ‡ˆ“…’, Š€Š ’Ž‹œŠŽ ‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ŽŸ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‚‘’…—€‚˜……‘Ÿ €…… —ˆ‘‹Ž. ņ…Ž…’ˆ—…‘Šˆ… …„Ž‘’€’Šˆ Œ…’Ž„€ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€ Ž‘“†„€ž’‘Ÿ ‚ “.~9 ˆ~10. ń „“ƒŽ‰ ‘’ŽŽ›, Ž’Œ…’ˆŒ, —’Ž, €Ž’€Ÿ ‘ 38-€‡Ÿ„›Œˆ „‚Žˆ—›Œˆ —ˆ‘‹€Œˆ, ķ.~ģ…’ŽŽ‹ˆ‘ Ž€“†ˆ‹ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, ‘Ž‘’ŽŸ™“ž ˆ‡ $750\,000$~—‹…Ž‚, Ž’‹ˆ—€ž™ˆ•‘Ÿ „“ƒ Ž’ „“ƒ€. ń’€’ˆ‘’ˆ—…‘Šˆ… ’…‘’› Ž„’‚…„ˆ‹ˆ ‘‹“—€‰›‰ •€€Š’… Ž‹“—…Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ˆ‡ $750000 \times 38$~ˆ’Ž‚. ż’Ž Ž„’‚…†„€…’, —’Ž, ˆŒ…ŸŸ Œ…’Ž„ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€, \emph{ŒŽ†Ž} Ž‹“—ˆ’œ Ž‹…‡›… …‡“‹œ’€’›. ņ…Œ … Œ……… …‡ …„‚€ˆ’…‹œ›• ’“„Ž…ŒŠˆ• ‚›—ˆ‘‹…ˆ‰ …Œ“ … ‘’Žˆ’ ˆ‡‹ˆ˜… „Ž‚…Ÿ’œ. ģŽƒˆ… „€’—ˆŠˆ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, Ž“‹Ÿ›… ‘…‰—€‘, …„Ž‘’€’Ž—Ž •ŽŽ˜ˆ. ń…„ˆ Ž‹œ‡Ž‚€’…‹…‰ €Œ…’ˆ‹€‘œ ’…„…–ˆŸ ˆ‡…ƒ€’œ ˆ• ˆ‡“—…ˆŸ. 䎂Ž‹œŽ —€‘’Ž Š€ŠŽ‰-ˆ“„œ ‘’€›‰ ‘€‚ˆ’…‹œŽ …“„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œ›‰ Œ…’Ž„ ……„€…’‘Ÿ Ž’ Ž„ŽƒŽ Žƒ€ŒŒˆ‘’€ Š „“ƒŽŒ“ ‚‘‹…“ž, ˆ ‘…ƒŽ„Ÿ˜ˆ‰ Ž‹œ‡Ž‚€’…‹œ “†… ˆ—…ƒŽ … ‡€…’ Ž …ƒŽ …„Ž‘’€’Š€•. ā ’Ž‰ ƒ‹€‚… Œ› “…„ˆŒ‘Ÿ, —’Ž …’“„Ž ˆ‡“—ˆ’œ ‘€Œ›… ‚€†›… ‘‚Ž‰‘’‚€ „€’—ˆŠŽ‚ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ ˆ €“—ˆ’œ‘Ÿ ˆŒ…Ÿ’œ ’ˆ ‡€ˆŸ. 臎…‘’ˆ Ž‘’Ž‰ „€’—ˆŠ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ … ’€Š ‹…ƒŠŽ. ķ…‘ŠŽ‹œŠŽ ‹…’ €‡€„ ’Ž’ ”€Š’ Žˆ‡‚…‹ € €‚’Ž€ Ž‹œ˜Ž… ‚…—€’‹…ˆ…. ī ’Žƒ„€ ›’€‹‘Ÿ ‘Ž‡„€’œ ”€’€‘’ˆ—…‘Šˆ •ŽŽ˜ˆ‰ „€’—ˆŠ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ € Ž‘Ž‚… ‘‹…„“ž™…ƒŽ ‘‚Ž…Ž€‡ŽƒŽ Œ…’Ž„€. \alg K.(䀒—ˆŠ "‘‚…•‘‹“—€‰›•" —ˆ‘…‹.) ń ŽŒŽ™œž ’ŽƒŽ €‹ƒŽˆ’Œ€ „€Ž… „…‘Ÿ’ˆ‡€—Ž… „…‘Ÿ’ˆ—Ž… —ˆ‘‹Ž~$X$ ŒŽ†Ž …Ž€‡Ž‚€’œ ‚ „“ƒŽ… —ˆ‘‹Ž, ŠŽ’ŽŽ…, Š€Š …„Ž‹€ƒ€…’‘Ÿ, Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‘‹…„“ž™ˆŒ —‹…ŽŒ ‘‹“—€‰Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. ź€‡€‹Ž‘œ ›, €‹ƒŽˆ’Œ Ž‡‚Ž‹Ÿ…’ ‚›€Ž’€’œ „Ž‘’€’Ž—Ž ‘‹“—€‰“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, Ž ‚›Ÿ‘ˆ‹Ž‘œ, —’Ž ’Ž ‘Ž‚‘…Œ … ’€Š. ļˆ—ˆ› …“„€—ˆ €‡ˆ€ž’‘Ÿ ˆ†…. (÷ˆ’€’…‹ž …’ “†„› ‘‹ˆ˜ŠŽŒ ‚ˆŠ€’œ ‚ „…’€‹ˆ. 䎑’€’Ž—Ž “…„ˆ’œ‘Ÿ ‚ Ž‹œ˜Ž‰ ‘‹Ž†Ž‘’ˆ €‹ƒŽˆ’Œ€.) \st[ā›€’œ —ˆ‘‹Ž ˆ’…€–ˆ‰.] 󑒀Ž‚ˆ’œ~$Y\asg\floor{X/10^9}$, ‡€„€‚ …ƒŽ €‚›Œ ‘’€˜…‰ –ˆ”… —ˆ‘‹€~$X$. (ģ› Ž‚’ŽˆŒ $Y+1$~€‡ ˜€ƒˆ ‘~\stp{2} Ž~\stp{13} ‚Š‹ž—ˆ’…‹œŽ. 䐓ƒˆŒˆ ‘‹Ž‚€Œˆ, ‘‹“—€‰Ž… —ˆ‘‹Ž “„…’ ‚›—ˆ‘‹Ÿ’œ‘Ÿ \emph{‘‹“—€‰Ž…} —ˆ‘‹Ž €‡.) \st[ā›€’œ ‘‹“—€‰›‰ ˜€ƒ.] 󑒀Ž‚ˆ’œ~$Z\asg\floor{X/10^8}\bmod 10$, ’.~….~ˆ‘‚Žˆ’œ~$Z$ ‡€—…ˆ…, €‚Ž… ‚’ŽŽ‰ Ž ‘’€˜ˆ‘’‚“ –ˆ”… —ˆ‘‹€~$X$. ļ……‰’ˆ Š ‚›Ž‹…ˆž ˜€ƒ€~\stp{$(3+Z)$}. %% 18 (䐓ƒˆŒˆ ‘‹Ž‚€Œˆ, „€‹…… Œ› ‚›Ž‹Ÿ…Œ \emph{‘‹“—€‰Ž} ‚›€›‰ ˜€ƒ Žƒ€ŒŒ›!) \st[ī…‘…—ˆ’œ~$X\ge 5\cdot 10^9$.] 呋ˆ~$X<5\cdot 10^9$, ’Ž “‘’€Ž‚ˆ’œ~$X\asg X+5\cdot 10^9$. \st[ń……„ˆ€ Š‚€„€’€.] ē€Œ…ˆ’œ~$X$ —ˆ‘‹ŽŒ~$\floor{X^2/10^5}\bmod 10^{10}$, ’.~….\ ‘……„ˆŽ‰ Š‚€„€’€ —ˆ‘‹€~$X$. \st[󌍎†ˆ’œ.] ē€Œ…ˆ’œ~$X$ €~$(1001001001 X) \bmod 10^{10}$. \st[ļ‘…‚„Ž„ŽŽ‹…ˆ….] 呋ˆ~$X<10^8$, ’Ž “‘’€Ž‚ˆ’œ~$X\asg X+9814055677$, ‚ Ž’ˆ‚ŽŒ ‘‹“—€…~$X\asg 10^{10}-X$. \st[ļ……‘’€‚ˆ’œ Ž‹Ž‚ˆŠˆ.] ļŽŒ…Ÿ’œ Œ…‘’€Œˆ $5$~‘’€˜ˆ• ˆ $5$~Œ‹€„˜ˆ• –ˆ”, ’.~….\ “‘’€Ž‚ˆ’œ~$X\asg 10^5 \floor{X \bmod 10^5}+\floor{X/10^5}$, ˆ‹ˆ, Ž-„“ƒŽŒ“, ‚‡Ÿ’œ ‘…„ˆ… $10$~–ˆ” —ˆ‘‹€~$(10^{10}+1)X$. \st[󌍎†ˆ’œ.] (ńŒ.~˜€ƒ~\stp{5}.) \st[󌅍œ˜ˆ’œ –ˆ”›.] 󌅍œ˜ˆ’œ € …„ˆˆ–“ Š€†„“ž Ž’‹ˆ—“ž Ž’ “‹Ÿ –ˆ”“ —ˆ‘‹€~$X$ (‚ „…‘Ÿ’ˆ—ŽŒ …„‘’€‚‹…ˆˆ). \st[ģŽ„ˆ”ˆ–ˆŽ‚€’œ €~$99999$.] 呋ˆ~$X<10^5$, ’Ž “‘’€Ž‚ˆ’œ~$X\asg X^2+99999$, ‚ Ž’ˆ‚ŽŒ ‘‹“—€…~$X\asg X-99999$. \st[ķŽŒ€‹ˆ‡Ž‚€’œ.] (ē„…‘œ~$X$ … ŒŽ†…’ ›’œ €‚›Œ “‹ž.) 呋ˆ~$X<10^9$, ’Ž “‘’€Ž‚ˆ’œ~$X\asg 10X$ ˆ Ž‚’Žˆ’œ ’Ž’ ˜€ƒ. \st[ģŽ„ˆ”ˆ–ˆŽ‚€€Ÿ ‘……„ˆ€ Š‚€„€’€.] ē€Œ…ˆ’œ~$X$ €~$\floor{X(X-1)/10^5}\bmod 10^{10}$, ’.~….\ ‚‡Ÿ’œ ‘…„ˆ… 10~–ˆ” —ˆ‘‹€~$X(X-1)$. \st[ļŽ‚’Žˆ’œ?] 呋ˆ~$Y>0$, ’Ž “Œ…œ˜ˆ’œ~$Y$ €~$1$ ˆ ‚…“’œ‘Ÿ € ˜€ƒ~\stp{2}. 呋ˆ~$Y=0$, €‹ƒŽˆ’Œ ‡€‚…˜…, ˆ—…Œ ’…Š“™…… ‡€—…ˆ…~$X$ ‘—ˆ’€…’‘Ÿ ˆ‘ŠŽŒ›Œ ‘‹“—€‰›Œ —ˆ‘‹ŽŒ. \algend (õŽ’…‹Ž‘œ €ˆ‘€’œ €‘’Ž‹œŠŽ ‘‹Ž†“ž Žƒ€ŒŒ“, …€‹ˆ‡“ž™“ž Žˆ‘€›‰ ‚›˜… €‹ƒŽˆ’Œ, —’Ž› —…‹Ž‚…Š, —ˆ’€ž™ˆ‰ …… ’…Š‘’, … ŒŽƒ › …‡ Ž®Ÿ‘…ˆ‰ „Žƒ€„€’œ‘Ÿ, —’Ž †… ‚ …‰ „…‹€…’‘Ÿ.) 󗈒›‚€Ÿ ‚‘… Œ…› …„Ž‘’ŽŽ†Ž‘’ˆ, ˆŸ’›… ‚ €‹ƒŽˆ’Œ…~K, … Š€†…’‘Ÿ ‹ˆ ‚Ž‹… €‚„ŽŽ„Ž›Œ, —’Ž ‘ …ƒŽ ŽŒŽ™œž ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ …‘ŠŽ…—Ž… ŒŽ†…‘’‚Ž €‘Ž‹ž’Ž ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹? ķ…’! ā „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ‘’ˆ, Š€Š ’Ž‹œŠŽ ’Ž’ €‹ƒŽˆ’Œ ›‹ …€‹ˆ‡Ž‚€ € żāģ, Ž—’ˆ ‘€‡“ †… ˆ’…€–ˆˆ ‘Ž˜‹ˆ‘œ Š —ˆ‘‹“~$6065038420$, ŠŽ’ŽŽ…, ‚ …‡“‹œ’€’… …‚…ŽŸ’ŽƒŽ ‘Ž‚€„…ˆŸ, …Ž€‡“…’‘Ÿ ‘€ŒŽ ‚ ‘…Ÿ (‘Œ.~’€‹.~1). ļˆ „“ƒŽŒ €—€‹œŽŒ ‡€—…ˆˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, €—ˆ€Ÿ ‘ —‹…€ ‘ ŽŒ…ŽŒ~$7401$, Ž‚’ŽŸ…’‘Ÿ ‘ „‹ˆŽ‰ …ˆŽ„€~$3178$. ģŽ€‹œ ’Ž‰ ˆ‘’Žˆˆ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, —’Ž \emph{‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€ …‹œ‡Ÿ ‚›€€’›‚€’œ ‘ ŽŒŽ™œž ‘‹“—€‰Ž ‚›€ŽƒŽ €‹ƒŽˆ’Œ€.} ķ“†€ Š€Š€Ÿ-ˆ“„œ ’…ŽˆŸ. ā ’Ž‰ ƒ‹€‚… Œ› €‘‘ŒŽ’ˆŒ Œ…’Ž„› ‚›€Ž’Šˆ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, …‚Ž‘•Ž„Ÿ™ˆ… Œ…’Ž„ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€ ˆ €‹ƒŽˆ’Œ~K ‚ ’ŽŒ Ž’Ž˜…ˆˆ, —’Ž „‹Ÿ ˆ• ŒŽ†Ž ’…Ž…’ˆ—…‘Šˆ ƒ€€’ˆŽ‚€’œ %% 19 \htable{ņ€‹ˆ–€~1}% {źŽ‹Ž‘‘€‹œŽ… ‘Ž‚€„…ˆ…: —ˆ‘‹Ž 6065038420 …Ž€‡“…’‘Ÿ ‚ ‘…Ÿ ‘ ŽŒŽ™œž €‹ƒŽˆ’Œ€~K}% {\strut #\bskip\hfil&\bskip$#$\hfil\bskip&\bskip$#$\hfil\bskip&\vrule\bskip#\hfil&\bskip$#$\hfil\bskip&\bskip$#$\hfil\bskip\cr ų€ƒ & \hbox{$X$ (‚ ŠŽ–… ˜€ƒ€)} \span & ų€ƒ & \hbox{$X$ (‚ ŠŽ–… ˜€ƒ€)}\span \cr K1 & 6065038420 & & K9 & 1107855700 \cr K3 & 6065038420 & & K10 & 1107755701 \cr K4 & 6910360760 & & K11 & 1107755701 \cr K5 & 8031120760 & & K12 & 1226919902 & Y=3\cr K6 & 1968879240 & & K5 & 0048821902 \cr K7 & 7924019688 & & K6 & 9862877579 \cr K8 & 9631707688 & & K7 & 7757998628 \cr K9 & 8520606577 & & K8 & 2384626628 \cr K10 & 8520506578 & & K9 & 1273515517 \cr K11 & 8520506578 & & K10 & 1273415518 \cr K12 & 0323372207 & Y=6 & K11 & 1273415518 \cr K6 & 9676627793 & & K12 & 5870802097 & Y=2\cr K7 & 2779396766 & & K11 & 5870802097 \cr K8 & 4942162766 & & K12 & 3172562687 & Y=1\cr K9 & 3831051655 & & K4 & 1540029446 \cr K10 & 3830951656 & & K5 & 7015475446 \cr K11 & 3830951656 & & K6 & 2984524554 \cr K12 & 1905867781 & Y=5 & K7 & 2455429845 \cr K12 & 3319967479 & Y=4 & K8 & 2730274845 \cr K & 6680032521 & & K9 & 1620163734 \cr K7 & 3252166800 & & K10 & 1620063735 \cr K8 & 2218966800 & & K11 & 1620063735 \cr & & & K12 & 6065038420 & Y=0 \cr } ‚›Ž‹…ˆ… Ž…„…‹…›• ‘‚Ž‰‘’‚ ‘‹“—€‰Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ˆ Ž’‘“’‘’‚ˆ… ‚›Ž†„…ˆŸ. į“„“’ ˆ‡‹Ž†…› …ŠŽ’Ž›… „…’€‹ˆ, Ž…‘…—ˆ‚€ž™ˆ… ’€ŠŽ… ‘‹“—€‰Ž… Ž‚…„…ˆ…, ˆ “„…‹…Ž ‚ˆŒ€ˆ… ’…•ˆŠ… ˆŒ……ˆŸ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹. ā —€‘’Ž‘’ˆ, €ˆŒ…, “„…’ ŽŠ€‡€Ž, Š€Š ’€‘Ž‚€’œ Š€’› ‘ ŽŒŽ™œž Žƒ€ŒŒ› „‹Ÿ~żāģ. \excercises \rex[20] ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, ‚› •Ž’ˆ’…, … ˆ‘Ž‹œ‡“Ÿ żāģ, Ž‹“—ˆ’œ ‘‹“—€‰“ž „…‘Ÿ’ˆ—“ž –ˆ”“. ź€ŠŽ‰ ˆ‡ ……—ˆ‘‹…›• ˆ†… Œ…’Ž„Ž‚ ‚› …„Ž—’…’…? a)~ī’ŠŽ‰’… ’…‹…”Ž›‰ ‘€‚Ž—ˆŠ ‚ Žˆ‡‚Ž‹œŽŒ Œ…‘’… (’.~….\ ’Šˆ’… €‹œ–…Œ Š“„€ “ƒŽ„Ž) ˆ ‚Ž‡œŒˆ’… Œ‹€„˜“ž –ˆ”“ …‚ŽƒŽ Ž€‚˜…ƒŽ‘Ÿ ŽŒ…€ € ‚›€Ž‰ ‚€Œˆ ‘’€ˆ–…. b)~ń„…‹€‰’… ’Ž †… ‘€ŒŽ…, Ž ‚Ž‘Ž‹œ‡“‰’…‘œ Œ‹€„˜…‰ –ˆ”Ž‰ ŽŒ…€ \emph{‘’€ˆ–›.} %% 20 c)~įŽ‘œ’… ŠŽ‘’œ ‚ ”ŽŒ… €‚ˆ‹œŽƒŽ ˆŠŽ‘€„€, Š€†„€Ÿ ˆ‡ „‚€„–€’ˆ ƒ€…‰ ŠŽ’ŽŽƒŽ ŽŒ…—…€ –ˆ”€Œˆ~$0$, $0$, $1$, $1$,~\dots, $9$, $9$. ē€ˆ˜ˆ’… –ˆ”“, ŠŽ’ŽŽ‰ “„…’ ŽŒ…—…€ ‚…•ŸŸ ƒ€œ Ž‘’€Ž‚ˆ‚˜…‰‘Ÿ ŠŽ‘’ˆ. (䋟 Š‘…ˆŒ…’€ …ŠŽŒ…„“…’‘Ÿ Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ ‘’Ž‹ŽŒ ‘ ’‚…„Ž‰ Žˆ’Ž‰ ‘“ŠŽŒ Ž‚…•Ž‘’œž.) d)~ļŽ‘’€‚œ’… € Œˆ“’“ Ÿ„ŽŒ ‘ ˆ‘’Ž—ˆŠŽŒ €„ˆŽ€Š’ˆ‚ŽƒŽ ˆ‡‹“—…ˆŸ ‘—…’—ˆŠ 慉ƒ…€ (ˆŒˆ’… Œ…› …„Ž‘’ŽŽ†Ž‘’ˆ). āŽ‘Ž‹œ‡“‰’…‘œ Œ‹€„˜…‰ –ˆ”Ž‰ —ˆ‘‹€ Ž’‘—…’Ž‚, ŽŠ€‡€ŽƒŽ ‘—…’—ˆŠŽŒ. (ļ…„Ž‹€ƒ€…’‘Ÿ, —’Ž ƒ…‰ƒ…Ž‚‘Šˆ‰ ‘—…’—ˆŠ ŽŠ€‡›‚€…’ —ˆ‘‹Ž Ž’‘—…’Ž‚ ‚ „…‘Ÿ’ˆ—ŽŒ ‚ˆ„… ˆ ……„ €—€‹ŽŒ Š‘…ˆŒ…’€ Ž ›‹ “‘’€Ž‚‹… € “‹œ.) e)~ā‡ƒ‹Ÿˆ’… € ‘‚Žˆ —€‘› ˆ, …‘‹ˆ ‘…Š“„€Ÿ ‘’…‹Š€ €•Ž„ˆ’‘Ÿ Œ…†„“ —ˆ‘‹€Œˆ~$6n$ ˆ~$6(n+1)$, ‚›…ˆ’… –ˆ”“~$n$. f)~ļŽŽ‘ˆ’… ˆŸ’…‹Ÿ ‡€„“Œ€’œ ‘‹“—€‰“ž –ˆ”“ ˆ “‘’œ Ž ‚€Œ …… €‡Ž‚…’. g)~ļ“‘’œ ’Ž †… ‘€ŒŽ… ‘„…‹€…’ ‚€˜ …„“ƒ. h)~ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž ‚ ‡€…ƒ… “—€‘’‚“…’ $10$~€‘Ž‹ž’Ž …ˆ‡‚…‘’›• ‚€Œ ‹Ž˜€„…‰. ńŽ‚…˜…Ž Žˆ‡‚Ž‹œŽ Ž“Œ…“‰’… ˆ• –ˆ”€Œˆ Ž’~$0$ „Ž~$9$. āŽ‘Ž‹œ‡“‰’…‘œ ŽŒ…ŽŒ Ž…„ˆ’…‹Ÿ ‡€…ƒ€. \ex[ģ22] ź€ŠŽ‚€ ‚…ŽŸ’Ž‘’œ Ž€“†ˆ’œ Ž‚Ž $100\,000$~Š‡…Œ‹ŸŽ‚ ‹žŽ‰ ‡€„€Ž‰ ‡€€…… –ˆ”› ‚ ‘‹“—€‰Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ‘Ž‘’ŽŸ™…‰ ˆ‡ $1\,000\,000$~„…‘Ÿ’ˆ—›• –ˆ”? \ex[10] ź€ŠŽ… —ˆ‘‹Ž Ž‹“—ˆ’‘Ÿ Ž‘‹… ˆŒ……ˆŸ Œ…’Ž„€ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€ Š —ˆ‘‹“~$1010101010$? \ex[10] ļŽ—…Œ“ ˆ ‚›Ž‹…ˆˆ ˜€ƒ€~K11 €‹ƒŽˆ’Œ€~K ‡€—…ˆ…~$X$ … ŒŽ†…’ ›’œ €‚›Œ “‹ž? ÷’Ž Žˆ‡Ž˜‹Ž › ‘ €‹ƒŽˆ’ŒŽŒ, …‘‹ˆ ›~$õ$ ŒŽƒ‹Ž ›’œ “‹…Œ? \ex[15] ī®Ÿ‘ˆ’…, Ž—…Œ“ ‚ ‹žŽŒ ‘‹“—€… …‹œ‡Ÿ Ž†ˆ„€’œ Ž‹“—…ˆŸ "…‘ŠŽ…—ŽƒŽ ŒŽ†…‘’‚€" ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ ‘ ŽŒŽ™œž €‹ƒŽˆ’Œ€~K („€†… …‘‹ˆ › … Žˆ‡Ž˜‹Ž ‘Ž‚€„…ˆŸ, ˆ‚…„…ŽƒŽ ‚ ’€‹.~1), ‘—ˆ’€Ÿ ‡€€…… ˆ‡‚…‘’›Œ ’Ž’ ”€Š’, —’Ž ‹ž€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, ‚›€Ž’€€Ÿ ‘ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆ…Œ ’ŽƒŽ €‹ƒŽˆ’Œ€, ‚ ŠŽ–… ŠŽ–Ž‚ ‘’€…’ …ˆŽ„ˆ—…‘ŠŽ‰? \rex[ģ20] ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž Œ› •Ž’ˆŒ ‚›€Ž’€’œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ –…‹›• —ˆ‘…‹~$X_0$, $X_1$, $X_2$,~\dots{} ‚ ˆ’…‚€‹…~$0\le X_n < m$. ļ“‘’œ~$f(x)$---‹ž€Ÿ ”“Š–ˆŸ, ’€Š€Ÿ, —’Ž …‘‹ˆ~$0 \le x < m$, ’Ž~$0\le f(x)0$, ’€ŠŽ…, —’Ž~$X_n=X_{2n}$; €ˆŒ…œ˜…… ‡€—…ˆ… ’ŽƒŽ~$n$ ‹…†ˆ’ ‚ ˆ’…‚€‹…~$\mu \le n \le \mu+\lambda$. ē€—…ˆ…~$X_n$ Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ …„ˆ‘’‚…›Œ ‚ ’ŽŒ ‘Œ›‘‹…, —’Ž …‘‹ˆ~$X_n=X_{2n}$ ˆ~$X_r=X_{2r}$, ’Ž~$X_r=X_n$ (‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ, $r-n$ Š€’Ž~$\lambda$). \rex[20] ļˆŒ…ˆ’… …‡“‹œ’€’› …„›„“™…ƒŽ “€†…ˆŸ, —’Ž› Ž‘’Žˆ’œ €Š’ˆ—›‰ €‹ƒŽˆ’Œ ‚›€Ž’Šˆ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, „ŽŽ‹Ÿž™ˆ‰ „€’—ˆŠ ’ˆ€~$X_{n+1}=f(X_n)$. ā€˜ €‹ƒŽˆ’Œ „Ž‹†…: a)~Ž‹€„€’œ ‘‚Ž‰‘’‚ŽŒ ˆŽ‘’€€‚‹ˆ‚€’œ ‚›€Ž’Š“ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, Š€Š ’Ž‹œŠŽ Ž‚’ŽŸ…’‘Ÿ €…… ‚‘’…—€‚˜……‘Ÿ —ˆ‘‹Ž, b)~‚›€Ž’€’œ Ž Œ…œ˜…‰ Œ……~$\lambda$ ‹…Œ…’Ž‚ ……„ Ž‘’€Ž‚ŠŽ‰, •Ž’Ÿ ‡€—…ˆ…~$\lambda$ ‡€€…… …ˆ‡‚…‘’Ž, ˆ~c)~ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ …Ž‹œ˜“ž €ŒŸƒœ (’.~….\ … €‡…˜€…’‘Ÿ. Ž‘’Ž ‡€ŽŒˆ€’œ ‚‘… ‚›—ˆ‘‹…›… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œ›… ‡€—…ˆŸ). \ex[28] ļŽ‹Ž‘’œž Ž‚…œ’… Œ…’Ž„ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€ „‹Ÿ ‘‹“—€Ÿ „‚“‡€—›• —ˆ‘…‹. a)~ģ› ŒŽ†…Œ €—€’œ ‘ ‹žŽƒŽ ˆ‡ 100~‚Ž‡ŒŽ†›• ‡€—…ˆ‰~$00$, $01$,~\dots, $99$. ā ‘ŠŽ‹œŠˆ• ‘‹“—€Ÿ• Œ› ‚ ŠŽ–… ŠŽ–Ž‚ ˆ„…Œ Š Ž‚’Ž…ˆž –ˆŠ‹€~$00$, $00$,~\dots? [\emph{ļˆŒ….} ķ€—€‚ ‘~$43$, Œ› Ž‹“—ˆŒ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ~$43$, $84$, $05$, $02$, $00$, $00$, $00$,~$\ldots\,$.] b)~ńŠŽ‹œŠŽ ŒŽ†…’ Ž‹“—ˆ’œ‘Ÿ €‡‹ˆ—›• –ˆŠ‹Ž‚? ź€ŠŽ‚€ „‹ˆ€ …ˆŽ„€ ‘€ŒŽƒŽ „‹ˆŽƒŽ –ˆŠ‹€? c)~ź€ŠŽ… €—€‹œŽ… ‡€—…ˆ… %% 21 Ž‡‚Ž‹Ÿ…’ Ž‹“—ˆ’œ ‘€Œ“ž „‹ˆ“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ …Ž‚’ŽŸž™ˆ•‘Ÿ ‹…Œ…’Ž‚? \ex[ģ14] 䎊€†ˆ’…, —’Ž Œ…’Ž„ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€, ˆ‘Ž‹œ‡“ž™ˆ‰ $2n\hbox{-‡€—›…}$ —ˆ‘‹€ ‘ Ž‘Ž‚€ˆ…Œ~$b$, ˆŒ……’ ‘‹…„“ž™ˆ‰ …„Ž‘’€’ŽŠ: €—ˆ€Ÿ ‘ —ˆ‘‹€~$X$, “ ŠŽ’ŽŽƒŽ ‘’€˜ˆ… $n$~–ˆ” €‚› “‹ž, ‚‘… Ž‘‹…„“ž™ˆ… ‹…Œ…’› Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘’€Ž‚Ÿ’‘Ÿ ‚‘… Œ…œ˜… ˆ Œ…œ˜…, ŽŠ€ … Ž€’Ÿ’‘Ÿ ‚ “‹œ. \ex[ģ16] ńŽ•€ˆ‚ …„Ž‹Ž†…ˆŸ …„›„“™…ƒŽ “€†…ˆŸ, —’Ž ŒŽ†Ž ‘Š€‡€’œ Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‹…Œ…’Ž‚, ‘‹…„“ž™ˆ• ‡€ —ˆ‘‹ŽŒ~$X$, “ ŠŽ’ŽŽƒŽ \emph{‘€Œ›… Œ‹€„˜ˆ…} $n$~–ˆ” €‚› “‹ž? ÷’Ž, …‘‹ˆ Œ‹€„˜ˆ… $(n+1)$~–ˆ” €‚› “‹ž? \rex[ģ26] š€‘‘ŒŽ’ˆŒ ‘‹“—€‰›… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ‚›€€’›‚€…Œ›… „€’—ˆŠ€Œˆ ’ˆ€ Žˆ‘€ŽƒŽ ‚ “.~6. 呋ˆ Œ› ‚›ˆ€…Œ~$f(x)$ ˆ~$X_0$ ‘‹“—€‰Ž ˆ …„Ž‹€ƒ€…Œ, —’Ž ‹ž›… ˆ‡ $m^m$~‚Ž‡ŒŽ†›• ”“Š–ˆ‰~$f(x)$ ˆ $m$~€—€‹œ›• ‡€—…ˆ‰~$X_0$ €‚Ž‚…ŽŸ’›, ’Ž Š€ŠŽ‚€ ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’ŽƒŽ, —’Ž ‚ ŠŽ–… ŠŽ–Ž‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‚›Ž„ˆ’‘Ÿ, Ž€‡“Ÿ –ˆŠ‹ ‘ „‹ˆŽ‰ …ˆŽ„€~$\lambda=1$? [\emph{ē€Œ…—€ˆ….} ļ…„Ž‹Ž†…ˆŸ, ˆŸ’›… ‚ ’Ž‰ ‡€„€—…, „€ž’ ‚Ž‡ŒŽ†Ž‘’œ ‚Ž‹… …‘’…‘’‚…›Œ Ž€‡ŽŒ ‡€„“Œ€’œ‘Ÿ Ž "‘‹“—€‰ŽŒ" „€’—ˆŠ… ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ Ž„ŽŽƒŽ ’ˆ€. ģŽ†Ž Ž†ˆ„€’œ, —’Ž Œ…’Ž„, Ž„Ž›‰ €‹ƒŽˆ’Œ“~K, „Ž‹†… ›’œ Ž•Ž†ˆŒ € ‘…„ˆ‰ „€’—ˆŠ, €‘‘ŒŽ’…›‰ ‡„…‘œ. š…˜…ˆ… ‡€„€—ˆ „€…’ Œ…“ ’ŽƒŽ, €‘ŠŽ‹œŠŽ "ŠŽ‹Ž‘‘€‹œŽ" € ‘€ŒŽŒ „…‹… ‘Ž‚€„…ˆ…, ˆ‚…„…Ž… ‚ ’€‹.~1.] \rex[ģ31] 葏Ž‹œ‡“Ÿ …„Ž‹Ž†…ˆŸ …„›„“™…ƒŽ “€†…ˆŸ, €‰„ˆ’… ‘…„žž „‹ˆ“ –ˆŠ‹€, ŠŽ’Ž›‰ Ž€‡“…’‘Ÿ ‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’Ÿ•. ź€ŠŽ‰ ‘…„…‰ „‹ˆ› „Ž‘’ˆƒ€…’ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, …†„… —…Œ €—€’œ –ˆŠ‹ˆ’œ‘Ÿ? (ā ŽŽ‡€—…ˆŸ• “.~6 Œ› •Ž’ˆŒ Ž…„…‹ˆ’œ ‘…„ˆ… ‡€—…ˆŸ~$\lambda$ ˆ~$\mu+\lambda$.) \ex[ģ42] 呋ˆ~$f(x)$ ‚›ˆ€…’‘Ÿ ‘‹“—€‰Ž ‚ ‘Œ›‘‹… “.~11, Š€ŠŽ‚€ ‘…„ŸŸ „‹ˆ€ \emph{‘€ŒŽƒŽ „‹ˆŽƒŽ} –ˆŠ‹€, Ž‹“—…ŽƒŽ ‚ …‡“‹œ’€’… ˆ‡Œ……ˆŸ €—€‹œŽƒŽ ‡€—…ˆŸ~$X_0$? [\emph{ē€Œ…—€ˆ….} ī’‚…’ ˆ‡‚…‘’… „‹Ÿ ‘…–ˆ€‹œŽƒŽ ‘‹“—€Ÿ, ŠŽƒ„€ ‚ Š€—…‘’‚… ”“Š–ˆˆ~$f(x)$ €‘‘Œ€’ˆ‚€…’‘Ÿ ……‘’€Ž‚Š€; ‘Œ. “.~1.3.3-23.] \ex[ģ38] 呋ˆ~$f(x)$ ‚›ˆ€…’‘Ÿ ‘‹“—€‰Ž ‚ ‘Œ›‘‹… “.~11, Š€ŠŽ‚Ž ‘…„…… —ˆ‘‹Ž €‡‹ˆ—›• –ˆŠ‹Ž‚, Ž‹“—€…Œ›• ‚ …‡“‹œ’€’… ˆ‡Œ……ˆŸ €—€‹œŽƒŽ ‡€—…ˆŸ? (ń.~‘~“.~8(b).) \ex[ģ15] 呋ˆ~$f(x)$ ‚›ˆ€…’‘Ÿ ‘‹“—€‰Ž ‚ ‘Œ›‘‹… “.~11, Š€ŠŽ‚€ ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’ŽƒŽ, —’Ž ˆ Ž„ˆ ˆ‡ –ˆŠ‹Ž‚ … ˆŒ……’ „‹ˆ›~$1$, …‡Ž’Ž‘ˆ’…‹œŽ Š ‚›Ž“~$X_0$? \ex[15] ļŽ‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, ‚›€€’›‚€…Œ€Ÿ ‘ ŽŒŽ™œž Œ…’Ž„€, Žˆ‘€ŽƒŽ ‚ “.~6, „Ž‹†€ €—€’œ Ž‚’ŽŸ’œ‘Ÿ ‘€ŒŽ… Ž‡„…… Ž‘‹… ‚›€Ž’Šˆ $m$~‡€—…ˆ‰. ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž Œ› ŽŽ™ˆ‹ˆ Œ…’Ž„ ’€Š, —’Ž $X_{n+1}$~’……œ ‡€‚ˆ‘ˆ’ … ’Ž‹œŠŽ Ž’~$X_n$, Ž ˆ Ž’~$X_{n-1}$. ōŽŒ€‹œŽ “‘’œ~$f(x, y)$ “„…’ ’€Š€Ÿ ”“Š–ˆŸ, —’Ž …‘‹ˆ~$0\le x$, $y0$.} $$ ź€Š“ž Œ€Š‘ˆŒ€‹œ“ž „‹ˆ“ …ˆŽ„€ ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ ‚ ’ŽŒ ‘‹“—€…? \ex[10] īŽ™ˆ’… ˆ„…ž …„›„“™…ƒŽ “€†…ˆŸ ’€Š, —’Ž› $X_{n+1}$~‡€‚ˆ‘…‹Ž Ž’ $k$~…„›„“™ˆ• ‡€—…ˆ‰ ‹…Œ…’Ž‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. \ex[ģ22] ļˆ„“Œ€‰’… Œ…’Ž„, €€‹Žƒˆ—›‰ …„‹Ž†…ŽŒ“ ‚ “.~7, „‹Ÿ Ž€“†…ˆŸ –ˆŠ‹€ „€’—ˆŠ€ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ Ž™…ƒŽ ‚ˆ„€, €‘‘ŒŽ’…ŽƒŽ ‚ …„›„“™…Œ “€†…ˆˆ. \ex[ģ50] š…˜ˆ’… ‡€„€—ˆ, Ž‘’€‚‹…›… ‚ “.~11--15, „‹Ÿ Ž‹…… Ž™…ƒŽ ‘‹“—€Ÿ, ŠŽƒ„€ $X_{n+1}$~‡€‚ˆ‘ˆ’ Ž’ …„›„“™ˆ• $k$~‹…Œ…’Ž‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. ź€†„€Ÿ ˆ‡~$m^{m^k}$ ”“Š–ˆ‰~$f(x_1, x_2,~\ldots, x_k)$ „Ž‹†€ €‘‘Œ€’ˆ‚€’œ‘Ÿ Š€Š €‚Ž‚…ŽŸ’€Ÿ. [\emph{ē€Œ…—€ˆ….} źŽ‹ˆ—…‘’‚Ž ”“Š–ˆ‰, „€ž™ˆ• \emph{Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›‰} …ˆŽ„, ˆ‚Ž„ˆ’‘Ÿ ‚ “.~2.3.4.2-23.] %% 22 \subchap{āūšąįīņźą šąāķīģåšķī šąńļšåäåėåķķūõ ńėó÷ąéķūõ ÷čńåė} % 3.2 ā ’ŽŒ €€ƒ€”… Œ› €‘‘ŒŽ’ˆŒ Œ…’Ž„› Ž‹“—…ˆŸ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘‹“—€‰›• „Ž…‰, ’.~….\ ‘‹“—€‰›• \emph{„…‰‘’‚ˆ’…‹œ›• —ˆ‘…‹~$U_n$, €‚ŽŒ…Ž €‘…„…‹…›• Œ…†„“ “‹…Œ ˆ …„ˆˆ–…‰.} ņ€Š Š€Š ‚ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽ‰ Œ€˜ˆ… „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ… —ˆ‘‹Ž ‚‘…ƒ„€ …„‘’€‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‘ Žƒ€ˆ—…Ž‰ ’Ž—Ž‘’œž, ”€Š’ˆ—…‘Šˆ Œ› “„…Œ ƒ……ˆŽ‚€’œ –…‹›… —ˆ‘‹€~$X_n$ ‚ ˆ’…‚€‹… Ž’~$0$ „Ž …ŠŽ’ŽŽƒŽ~$m$. ņŽƒ„€ „Žœ $$ U_n=X_n/m \eqno(1) $$ Ž€„…’ ‚ ˆ’…‚€‹ Ž’ “‹Ÿ „Ž …„ˆˆ–›. ī›—Ž~$m$ € …„ˆˆ–“ Ž‹œ˜… Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽƒŽ —ˆ‘‹€, ŠŽ’ŽŽ… ŒŽ†Ž ‡€ˆ‘€’œ ‚ Œ€˜ˆŽŒ ‘‹Ž‚… [($m$ €‚Ž \emph{€‡Œ…“ ‘‹Ž‚€} (word size)]. ļŽ’ŽŒ“~$X_n$ ŒŽ†Ž ˆ’……’ˆŽ‚€’œ (ŠŽ‘…‚€’ˆ‚Ž) Š€Š –…‹Ž… ‘Ž„…†ˆŒŽ… Œ€˜ˆŽƒŽ ‘‹Ž‚€ ‘ „…‘Ÿ’ˆ—Ž‰ ‡€Ÿ’Ž‰, €‘Ž‹Ž†…Ž‰ ‘€‚€, €~$U_n$ ŒŽ†Ž ‘—ˆ’€’œ (‹ˆ…€‹œŽ) „Žœž, ‘Ž„…†€™…‰‘Ÿ ‚ ’ŽŒ †… ‘‹Ž‚…, ‘ ‡€Ÿ’Ž‰ ‚ Š€‰…‰ ‹…‚Ž‰ Ž‡ˆ–ˆˆ. \subsubchap{ėˆ…‰›‰ ŠŽƒ“’›‰ Œ…’Ž„} % 3.2.1 ķ€ˆ‹“—˜ˆ… ˆ‡ ˆ‡‚…‘’›• ‘…ƒŽ„Ÿ „€’—ˆŠŽ‚ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ …„‘’€‚‹Ÿž’ ‘ŽŽ‰ —€‘’›… ‘‹“—€ˆ ‘‹…„“ž™…‰ ‘•…Œ›, …„‹Ž†…Ž‰ ä.~X.~ė…Œ…ŽŒ ‚~1948~ƒ.\ [ńŒ. Proc. 2nd Symposium on Large-Scale Digital Computing Machinery (Cambridge: Harvard University Press, 1951), 141--146.] ā›ˆ€…Œ —…’›… "Œ€ƒˆ—…‘Šˆ• —ˆ‘‹€": $$ \vcenter{\halign{ $#$\hfil\bskip&#\bskip\hfil&\bskip\hfil$#$&${}#$\hfil\cr X_0, & €—€‹œŽ… ‡€—…ˆ…; & X_0&\ge 0; \cr a, & ŒŽ†ˆ’…‹œ; & a&\ge 0; \cr c, & ˆ€™…ˆ…; & c&\ge 0; \cr m, & ŒŽ„“‹œ; & m&> X_0, m>a, m>c.\cr }} \eqno(1) $$ ņŽƒ„€ ˆ‘ŠŽŒ€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹~$\$ Ž‹“—€…’‘Ÿ ˆ‡ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ $$ X_{n+1}=(aX_n+c) \bmod m, \rem{$n\ge 0$.} \eqno (2) $$ ī€ €‡›‚€…’‘Ÿ \dfn{‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œž.} %% 23 ķ€ˆŒ…, ˆ~$X_0=a=c=7$, $m=10$ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‚›ƒ‹Ÿ„ˆ’ ’€Š: $$ 7,\; 6,\; 9,\; 0,\; 7,\; 6,\; 9,\; 0,\;~\ldots \eqno (3) $$ ź€Š ‚ˆ„Ž ˆ‡ ˆ‚…„…ŽƒŽ ˆŒ…€, Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ … ‚‘…ƒ„€ ŽŠ€‡›‚€…’‘Ÿ "‘‹“—€‰Ž‰", …‘‹ˆ ‚›ˆ€’œ~$X_0$, $a$, $c$, $m$ Žˆ‡‚Ž‹œŽ. ā Ž‘‹…„“ž™ˆ• €‡„…‹€• ’Ž‰ ƒ‹€‚› “„“’ Ž„ŽŽ ˆ‘‘‹…„Ž‚€› ˆ–ˆ› ‚›Ž€ ’ˆ• ‡€—…ˆ‰. ļˆŒ…~(3) ˆ‹‹ž‘’ˆ“…’ ’Ž’ ”€Š’, —’Ž ŠŽƒ“’›… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‚‘…ƒ„€ "‡€–ˆŠ‹ˆ‚€ž’‘Ÿ", ’.~….\ ‚ ŠŽ–… ŠŽ–Ž‚ —ˆ‘‹€ Ž€‡“ž’ –ˆŠ‹, ŠŽ’Ž›‰ Ž‚’ŽŸ…’‘Ÿ …‘ŠŽ…—Ž… —ˆ‘‹Ž €‡. ż’Ž ‘‚Ž‰‘’‚Ž ˆ‘“™… ‚‘…Œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ŸŒ, ˆŒ…ž™ˆŒ Ž™ˆ‰ ‚ˆ„~$X_{n+1}=f(X_n)$; ‘Œ.~“.~3.1-6. ļŽ‚’ŽŸž™ˆ‰‘Ÿ –ˆŠ‹ €‡›‚€…’‘Ÿ \dfn{…ˆŽ„ŽŒ.} 䋈€ …ˆŽ„€ “ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~(3) €‚€~$4$. š…€‹œ›… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ŠŽ’Ž›Œˆ Ž‹œ‡“ž’‘Ÿ, ˆŒ…ž’, ŠŽ…—Ž, ‘€‚ˆ’…‹œŽ Ž‹œ˜Ž‰ …ˆŽ„. ń…–ˆ€‹œŽƒŽ “ŽŒˆ€ˆŸ ‡€‘‹“†ˆ‚€…’ —€‘’›‰ ‘‹“—€‰~$c=0$, ŠŽƒ„€ Ž–…‘‘ ‚›€Ž’Šˆ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ Žˆ‘•Ž„ˆ’ …‘ŠŽ‹œŠŽ ›‘’……. ļŽ‡†… Œ› “‚ˆ„ˆŒ, —’Ž Žƒ€ˆ—…ˆ…~$c=0$ “Œ…œ˜€…’ „‹ˆ“ …ˆŽ„€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, Ž ˆ ’ŽŒ ‚‘… …™… ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ Ž’Ž‘ˆ’…‹œŽ Ž‹œ˜Ž‰ …ˆŽ„. ā …‚Ž€—€‹œŽŒ Œ…’Ž„… ė…Œ…€ ›‹Ž ˆŸ’Ž~$c=0$, •Ž’Ÿ €‚’Ž ˆ “ŽŒŸ“‹ ‚Ž‡ŒŽ†Ž‘’œ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆŸ~$c\ne 0$. 脅Ÿ Ž‹“—…ˆŸ Ž‹…… „‹ˆ›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ‡€ ‘—…’ ŽŽ™…ˆŸ~$c\ne 0$ ˆ€„‹…†ˆ’ ņŽŒ‘Ž“ [{\sl Comp. J.,\/} {\bf 1} (1958), 83, 86] ˆ …‡€‚ˆ‘ˆŒŽ šŽ’……ƒ“ [{\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 75--77]. ģŽƒˆŒˆ €‚’Ž€Œˆ ’…Œˆ› \dfn{Œ“‹œ’ˆ‹ˆŠ€’ˆ‚›‰ ŠŽƒ“’›‰ Œ…’Ž„} ˆ \dfn{‘Œ…˜€›‰ ŠŽƒ“’›‰ Œ…’Ž„} ˆŒ…Ÿž’‘Ÿ „‹Ÿ ŽŽ‡€—…ˆŸ ‹ˆ…‰›• ŠŽƒ“’›• Œ…’Ž„Ž‚ ‘~$c=0$ ˆ~$c\ne0$ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚…Ž. āŽ ‚‘…‰ ’Ž‰ ƒ‹€‚… “Š‚›~$a$, $c$, $m$, $X_0$ “„“’ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ ‚ ’ŽŒ ‘Œ›‘‹…, Š€Š ’Ž ˆŸ’Ž ‚›˜…. įŽ‹…… ’ŽƒŽ, —’Ž› “Ž‘’ˆ’œ ŒŽƒˆ… €˜ˆ ”ŽŒ“‹›, ŽŠ€‡›‚€…’‘Ÿ Ž‹…‡›Œ Ž…„…‹ˆ’œ $$ b=a-1. \eqno(4) $$ ģŽ†Ž ‘€‡“ †… Ž’Ž‘ˆ’œ ‘‹“—€‰~$a=1$, ’€Š Š€Š ˆ ’ŽŒ $X_n=(X_0+nc) \bmod m$, ˆ Ž—…‚ˆ„Ž, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ … ‘‹“—€‰€Ÿ. ā€ˆ€’~$a=0$ …™… •“†…. ń‹…„Ž‚€’…‹œŽ, „‹Ÿ €Š’ˆ—…‘Šˆ• –…‹…‰ Œ› ŒŽ†…Œ …„Ž‹Ž†ˆ’œ, —’Ž $$ a\ge 2, \qquad b \ge 1. \eqno (5) $$ ņ……œ ŒŽ†Ž ŽŽ™ˆ’œ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…~(2), $$ X_{n+k}=(a^k X_n+(a^k-1)c/b) \bmod m, \rem{$k\ge 0$, $n\ge 0$}, \eqno (6) $$ ‚›€‡ˆ‚ $(n+k)\hbox{-‰}$~—‹… ŸŒŽ —……‡~$n\hbox{-‰}$. (ń‹…„“…’ Ž€’ˆ’œ ‚ˆŒ€ˆ… € —€‘’›‰ ‘‹“—€‰~$n=0$.) ļŽ‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, ‘Ž‘’€‚‹…€Ÿ %% 24 ˆ‡ Š€†„ŽƒŽ $k\hbox{-ƒŽ}$~—‹…€ €˜…‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ Ž€‡“…’ „“ƒ“ž ‹ˆ…‰“ž ŠŽƒ“’“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‘ ŒŽ†ˆ’…‹…Œ~$a^k$ ˆ ˆ€™…ˆ…Œ~$((a^k-1)c/b)$. \excercises \ex[10] ā ˆŒ……~(3) ˆ‹‹ž‘’ˆ“…’‘Ÿ ‘ˆ’“€–ˆŸ, ŠŽƒ„€~$X_4=X_0$, ’€Š —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ŽŸ’œ €—ˆ€…’‘Ÿ ‘€—€‹€. ķ€‰„ˆ’… ˆŒ… ’€ŠŽ‰ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘~$m=10$, ‚ ŠŽ’ŽŽ‰ $X_0$~‚‘’…—€…’‘Ÿ ’Ž‹œŠŽ Ž„ˆ €‡. \rex[ģ20] ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž, …‘‹ˆ~$a$ ˆ~$m$ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›…, —ˆ‘‹Ž~$X_0$ “„…’ …ˆŽ„ˆ—…‘Šˆ Ž‚’ŽŸ’œ‘Ÿ. \ex[ģ10] ī®Ÿ‘ˆ’…, Ž—…Œ“, …‘‹ˆ~$a$ ˆ~$m$ … Ÿ‚‹Ÿž’‘Ÿ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›Œˆ, Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‚ Š€ŠŽŒ-’Ž ‘Œ›‘‹… …“„€—€Ÿ ˆ, ‚…ŽŸ’Ž, … ‘‹ˆ˜ŠŽŒ ‘‹“—€‰€Ÿ. ļŽ’ŽŒ“, ‚ŽŽ™… ƒŽ‚ŽŸ, Œ› “„…Œ ‘’€€’œ‘Ÿ ‚›ˆ€’œ~$a$ ˆ~$m$ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›Œˆ. \ex[11] 䎊€†ˆ’… ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…~(6). \ex[ģ20] ńŽŽ’Ž˜…ˆ…~(6) ‚›Ž‹Ÿ…’‘Ÿ „‹Ÿ~$k\ge 0$. 呋ˆ ’Ž ‚Ž‡ŒŽ†Ž, Ž‹“—ˆ’… ”ŽŒ“‹“, ‚›€†€ž™“ž~$X_{n+k}$ —……‡~$X_n$ ˆ „‹Ÿ \emph{Ž’ˆ–€’…‹œ›•} ‡€—…ˆ‰~$k$. \subsubsubchap{ā›Ž ŒŽ„“‹Ÿ}%3.2.1.1 ń€—€‹€ Ž‘“„ˆŒ, Š€Š €‚ˆ‹œŽ ‚›ˆ€’œ —ˆ‘‹Ž~$m$. ģ› •Ž’ˆŒ, —’Ž› ‡€—…ˆ…~$m$ ›‹Ž „Ž‘’€’Ž—Ž Ž‹œ˜ˆŒ, ’€Š Š€Š „‹ˆ€ …ˆŽ„€ … ŒŽ†…’ ›’œ Ž‹œ˜…~$m$. (䀆… …‘‹ˆ ’…“ž’‘Ÿ ’Ž‹œŠŽ ‘‹“—€‰›… “‹ˆ ˆ …„ˆˆ–›, … ‘‹…„“…’ €’œ~$m=2$, ’€Š Š€Š ˆ ’ŽŒ ‚ ‹“—˜…Œ ‘‹“—€… Ž‹“—ˆ’‘Ÿ €Ž $$ \ldots, 0, 1, 0, 1, 0, 1,\ldots\,! $$ ģ…’Ž„› ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆŸ €‚ŽŒ…Ž €‘…„…‹…›• ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ „‹Ÿ Ž‹“—…ˆŸ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ “‹…‰ ˆ …„ˆˆ– Ž‘“†„€ž’‘Ÿ ‚~\S~3.4.) 䐓ƒŽ‰ ”€Š’Ž, ‚‹ˆŸž™ˆ‰ € ‚›Ž~$m$---’Ž ‘ŠŽŽ‘’œ ‚›€Ž’Šˆ —ˆ‘…‹: Œ› •Ž’ˆŒ Ž„Ž€’œ ’€ŠŽ… ‡€—…ˆ…, —’Ž› ›‘’…… ‚›—ˆ‘‹Ÿ’œ~$(aX_n+c)\bmod m$. š€‘‘ŒŽ’ˆŒ ‚ Š€—…‘’‚… ˆŒ…€ Œ€˜ˆ“~\MIX. ģ› ŒŽ†…Œ ‚›—ˆ‘‹Ÿ’œ~$y \bmod m$, ŽŒ…™€Ÿ~$y$ ‚ …ƒˆ‘’›~|A| ˆ~|X|, Ž‘‹…„“ž™ˆŒ „…‹…ˆ…Œ €~$m$. ļ…„Ž‹Ž†ˆ‚, —’Ž~$y$ ˆ~$m$---Ž‹Ž†ˆ’…‹œ›… —ˆ‘‹€, ŒŽ†Ž “…„ˆ’œ‘Ÿ, —’Ž ‚ …‡“‹œ’€’… ‚ …ƒˆ‘’…~|X| ŽŠ€†…’‘Ÿ~$y\bmod m$. ķŽ ’€Š Š€Š „…‹…ˆ…---‘€‚ˆ’…‹œŽ Œ…„‹…€Ÿ Ž…€–ˆŸ, …… ŒŽ†Ž ˆ‡…†€’œ ‡€ ‘—…’ Ž‘ŽŽ “„ŽŽƒŽ ‚›Ž€~$m$, ˆŸ‚ …ƒŽ €‚›Œ \emph{€‡Œ…“ ‘‹Ž‚€} (’.~….~€ …„ˆˆ–“ Ž‹œ˜… Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽƒŽ –…‹ŽƒŽ —ˆ‘‹€, €‡Œ…™€ž™…ƒŽ‘Ÿ ‚ ‘‹Ž‚… ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽ‰ Œ€˜ˆ›). ļ“‘’œ~$w$---’€ŠŽ… Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽ… –…‹Ž… —ˆ‘‹Ž. ņŽƒ„€ Ž…€–ˆŸ ‘‹Ž†…ˆŸ Žˆ‡‚Ž„ˆ’‘Ÿ Ž ŒŽ„“‹ž~$w$, € “ŒŽ†…ˆ… Ž ŒŽ„“‹ž~$w$ ’€Š†… ‘€‚ˆ’…‹œŽ Ž‘’Ž, ’€Š Š€Š “†›‰ …‡“‹œ’€’ Ž‹“—€…’‘Ÿ ‚ Œ‹€„˜ˆ• €‡Ÿ„€• Žˆ‡‚…„…ˆŸ. ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, ‘‹…„“ž™€Ÿ %% 25 Žƒ€ŒŒ€ ””…Š’ˆ‚Ž ‚›—ˆ‘‹Ÿ…’~$(aX+c)\bmod w$: $$ \vcenter{ \mixcode LDA & A MUL & X SLAX & 5 ADD & C \endmixcode } \eqno(1) $$ š…‡“‹œ’€’ Ž‹“—€…’‘Ÿ ‚ …ƒˆ‘’…~|A|. ā ŠŽ–… ‚›Ž‹…ˆŸ ’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ŠŽŒ€„ ŒŽ†…’ Žˆ‡Ž‰’ˆ ……Ž‹…ˆ…, ‘ˆƒ€‹ ŠŽ’ŽŽƒŽ ŒŽ†Ž ‚›Š‹ž—ˆ’œ, €ˆ‘€‚ ‚‘‹…„ ‡€ Ž‘‹…„…‰ ŠŽŒ€„Ž‰~"|JOV *+1|". ģ……… ˜ˆŽŠŽ ˆ‡‚…‘’“ž ’ŽŠ“ž ’…•ˆŠ“ ŒŽ†Ž ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ „‹Ÿ ‚›—ˆ‘‹…ˆ‰ Ž ŒŽ„“‹ž~$(w+1)$. ļŽ ˆ—ˆ€Œ, Ž ŠŽ’Ž›• “„…’ ‘Š€‡€Ž ˆ†…, ˆ~$m=w+1$ Œ› Ž›—Ž Ž‹€ƒ€…Œ~$c=0$. ļŽ’ŽŒ“ €Œ “†Ž ‚›—ˆ‘‹Ÿ’œ Ž‘’Ž~$(aX)\bmod(w+1)$. ż’Ž „…‹€…’ ‘‹…„“ž™€Ÿ Žƒ€ŒŒ€: $$ \vcenter{ \mixcode LDAN & X MUL & A STX & TEMP SUB & TEMP JANN & *+3 INCA & 2 ADD & =W-1= \endmixcode } \eqno(2) $$ ā …ƒˆ‘’…~|A| ’……œ ‘Ž„…†ˆ’‘Ÿ ‡€—…ˆ…~$(aX)\bmod (w+1)$. źŽ…—Ž, ŽŽ ŒŽ†…’ ›’œ ‹ž›Œ ‚ ˆ’…‚€‹… Œ…†„“~$0$ ˆ~$w$. ļŽ’ŽŒ“ —ˆ’€’…‹œ ‚Ž‹… ‡€ŠŽŽ ŒŽ†…’ ‘Ž‘ˆ’œ, Š€Š ŒŽ†Ž ‡€ˆ‘€’œ ’€Š ŒŽƒŽ ‡€—…ˆ‰ ‘ ŽŒŽ™œž |A|-…ƒˆ‘’€! (ī—…‚ˆ„Ž, —’Ž ‚ …ƒˆ‘’… … ŒŽƒ“’ ŽŒ…™€’œ‘Ÿ —ˆ‘‹€, Ž‹œ˜ˆ…, —…Œ~$w-1$.) ī’‚…’ ‘Ž‘’Žˆ’ ‚ ’ŽŒ, —’Ž ……Ž‹…ˆ… Žˆ‡Ž‰„…’ ’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€, ŠŽƒ„€ …‡“‹œ’€’ €‚…~$w$ (‚ …„Ž‹Ž†…ˆˆ, —’Ž ‘ˆƒ€‹ ……Ž‹…ˆŸ ›‹ €…… ‚›Š‹ž—…). 䋟 „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚€ ’ŽƒŽ, —’Ž Žƒ€ŒŒ€~(2), ‚ ‘€ŒŽŒ „…‹…, ‚›—ˆ‘‹Ÿ…’~$(aX)\bmod (w+1)$, ‡€Œ…’ˆŒ, —’Ž ‚ ‘’ŽŠ…~04 Œ› ‚›—ˆ’€…Œ Œ‹€„˜“ž Ž‹Ž‚ˆ“ Žˆ‡‚…„…ˆŸ ˆ‡ ‘’€˜…‰. ļ……Ž‹…ˆŸ ˆ ’ŽŒ Žˆ‡Ž‰’ˆ … ŒŽ†…’, ˆ, …‘‹ˆ~$aX=qw+r$, ƒ„…~$0\le r < w$, ‚ …ƒˆ‘’…~|A| Ž‘‹… ‚›Ž‹…ˆŸ ‘’ŽŠˆ~04 ŽŠ€†…’‘Ÿ ‡€—…ˆ…~$r-q$. ē€Œ…’ˆŒ, —’Ž $$ aX=q(w+1)+(r-q), $$ € ’€Š Š€Š~$q2$. 呋ˆ $$ x\equiv 1 \pmod{p^e}, \quad x \not\equiv 1 \pmod{p^{e+1}}, \eqno(1) $$ ’Ž $$ x^p \equiv 1 \pmod{p^{e+1}}, \quad x^p \not\equiv 1 \pmod{p^{e+2}}. \eqno(2) $$ \proof ģ› ˆŒ……Œ~$x=1+qp^e$, ƒ„…~$q$---…ŠŽ’ŽŽ… –…‹Ž…, … Š€’Ž…~$p$. %% 30 ļŽ ”ŽŒ“‹… ˆŽŒ€ ‡€ˆ˜…Œ $$ \eqalign{ x^p&=1+\perm{p}{1}qp^e+\cdots+\perm{p}{p-1}q^{p-1}p^{(p-1)e}+q^pp^{pe}=\cr &=1+qp^{e+1}\left(1+{1\over p}\perm{p}{2}qp^e+{1\over p}\perm{p}{3}q^2p^{2e}+ \cdots+{1\over p}\perm{p}{p}q^{p-1}p^{(p-1)e}\right).\cr } $$ ā›€†…ˆ… ‚ ‘ŠŽŠ€•---–…‹Ž… —ˆ‘‹Ž, ˆ—…Œ Š€†„Ž… ‘‹€ƒ€…ŒŽ… Š€’Ž~$p$, ‡€ ˆ‘Š‹ž—…ˆ…Œ …‚ŽƒŽ —‹…€. ā ‘€ŒŽŒ „…‹…, …‘‹ˆ~$11$ ˆ~$p^e>2$. ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, $x^p=1+q'p^{e+1}$, ƒ„…~$q'$---–…‹Ž… —ˆ‘‹Ž, ŠŽ’ŽŽ… … „…‹ˆ’‘Ÿ €~$p$. ņ…Œ ‘€Œ›Œ „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž ‡€‚…˜…Ž. (\emph{ē€Œ…—€ˆ…:} ŽŽ™…ˆ… ’ŽƒŽ …‡“‹œ’€’€ ‘Ž„…†ˆ’‘Ÿ ‚ “.~3.2.2-11~(a).) \proofend \proclaim ė…ŒŒ€~Q. {ļ“‘’œ €‡‹Ž†…ˆ…~$m$ € Ž‘’›… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ ˆŒ……’ ‚ˆ„ $$ m=p_1^{e_1}\ldots p_t^{e_t}. \eqno(3) $$ \hiddenpar 䋈€~$\lambda$ …ˆŽ„€ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, Ž…„…‹Ÿ…ŒŽ‰~$(X_0, a, c, m)$, €‚€ €ˆŒ…œ˜…Œ“ Ž™…Œ“ Š€’ŽŒ“ „‹ˆ~$\lambda_j$ …ˆŽ„Ž‚ ‹ˆ…‰›• ŠŽƒ“’›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ $$ (X_0 \bmod p_j^{e_j}, a p_j^{e_j}, c p_j^{e_j}, p_j^{e_j}), \rem{$1\le j \le t$.} $$ } \proof 荄“Š–ˆ…‰ Ž~$t$ „Ž‘’€’Ž—Ž „ŽŠ€‡€’œ, —’Ž, …‘‹ˆ~$r$ ˆ~$s$---‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›… —ˆ‘‹€, „‹ˆ€~$\lambda$ …ˆŽ„€ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, Ž…„…‹Ÿ…ŒŽ‰~$(X_0, a, c, rs)$, €‚€ €ˆŒ…œ˜…Œ“ Ž™…Œ“ Š€’ŽŒ“ „‹ˆ~$\lambda_1$ ˆ~$\lambda_2$ …ˆŽ„Ž‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰~$(X_0 \bmod r, a \bmod r, c \bmod r, r)$ ˆ~$(X_0 \bmod s, a \bmod s, c \bmod s, s)$. ā …„›„“™…Œ €‡„…‹… (‘Œ.~”ŽŒ“‹“~(5)) Œ› ‚ˆ„…‹ˆ, —’Ž …‘‹ˆ ŽŽ‡€—ˆ’œ ‹…Œ…’› ’ˆ• ’…• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚…Ž~$X_n$, $Y_n$, $Z_n$, ’Ž ‚›Ž‹Ÿž’‘Ÿ ‘‹…„“ž™ˆ… ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ: $$ Y_n=X_n \bmod r \hbox{ ˆ } Z_n=X_n \bmod s \rem{„‹Ÿ ‚‘…•~$n\ge 0$.} $$ %% 31 ļŽ’ŽŒ“ ˆ‡ ‘‚Ž‰‘’‚€~D .~1.2.4 €•Ž„ˆŒ, —’Ž $$ X_n=X_k \rem{’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€, ŠŽƒ„€~$Y_n=Y_k$ ˆ~$Z_n=Z_k$.} \eqno (4) $$ ļ“‘’œ~$\lambda'$---€ˆŒ…œ˜…… Ž™…… Š€’Ž… „‹ˆ~$\lambda_1$ ˆ~$\lambda_2$; „ŽŠ€†…Œ, —’Ž~$\lambda'=\lambda$. ņ€Š Š€Š~$X_n=X_{n+\lambda}$ „‹Ÿ ‚‘…• „Ž‘’€’Ž—Ž Ž‹œ˜ˆ•~$n$, ˆŒ……Œ~$Y_n=Y_{n+\lambda}$ (‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ, $\lambda$ Š€’Ž~$\lambda_1$) ˆ~$Z_n=Z_{n+\lambda}$ (‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ, $\lambda$ Š€’Ž~$\lambda_2$), ˆ Ž’ŽŒ“~$\lambda\ge\lambda'$. ń „“ƒŽ‰ ‘’ŽŽ›, Œ› ‡€…Œ, —’Ž~$Y_n=Y_{n+\lambda'}$ ˆ~$Z_n=Z_{n+\lambda'}$ „‹Ÿ ‚‘…• „Ž‘’€’Ž—Ž Ž‹œ˜ˆ•~$n$. ļŽ’ŽŒ“ € Ž‘Ž‚€ˆˆ~(4) ˆŒ……Œ~$X_n=X_{n+\lambda'}$, ˆ‡ —…ƒŽ Ž‹“—€…Œ~$\lambda\le\lambda'$, ’€Š —’Ž~$\lambda=\lambda'$. \proofend ņ……œ Œ› ƒŽ’Ž‚› „ŽŠ€‡€’œ ’…Ž…Œ“~A. 茅Ÿ ‚ ‚ˆ„“ ‹…ŒŒ“~Q, „Ž‘’€’Ž—Ž „ŽŠ€‡€’œ ’…Ž…Œ“ „‹Ÿ ‘‹“—€Ÿ, ŠŽƒ„€ $m$~…‘’œ ‘’……œ Ž‘’ŽƒŽ —ˆ‘‹€. ā ‘€ŒŽŒ „…‹…, …€‚…‘’‚Ž $$ p_1^{e_1} \ldots p_t^{e_t}=\lambda=\ŽŠ(\lambda_1,~\ldots, \lambda_t) \le \lambda_1 \ldots \lambda_t \le p_1^{e_1}\ldots p_t^{e_t} $$ ŒŽ†…’ ›’œ ‘€‚…„‹ˆ‚Ž ‚ ’ŽŒ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’ŽŒ ‘‹“—€…, …‘‹ˆ~$\lambda_j=p_j^{e_j}$ „‹Ÿ~$1\le j \le t$. ļŽ’ŽŒ“ …„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž~$m=p^e$, ƒ„…~$p$---Ž‘’Ž…, €~$e$---Ž‹Ž†ˆ’…‹œŽ… –…‹Ž… —ˆ‘‹Ž. ī—…‚ˆ„Ž, —’Ž ˆ~$a=1$ ’…Ž…Œ€ ‘€‚…„‹ˆ‚€, Ž’ŽŒ“ ŒŽ†Ž ‘—ˆ’€’œ~$a>1$. 䋈€ …ˆŽ„€ €‚€~$m$ ’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€, ŠŽƒ„€ Š€†„Ž… –…‹Ž… —ˆ‘‹Ž~$x$, ’€ŠŽ…, —’Ž~$0 \le x < m$, ‚‘’…—€…’‘Ÿ ‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ € Ž’Ÿ†…ˆˆ …ˆŽ„€ (Ž‘ŠŽ‹œŠ“ ˆ Ž„Ž ˆ‡ ‡€—…ˆ‰ … ŒŽ†…’ ‚‘’…’ˆ’œ‘Ÿ ‡€ …ˆŽ„ Ž‹…… Ž„ŽƒŽ €‡€). ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, …ˆŽ„ ˆŒ……’ „‹ˆ“~$m$ ‚ ’ŽŒ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’ŽŒ ‘‹“—€…, …‘‹ˆ „‹ˆ€ …ˆŽ„€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘~$X_0=0$ €‚€~$m$, —’Ž Ž€‚„›‚€…’ …„Ž‹Ž†…ˆ…~$X_0=0$. č‡. ”ŽŒ“‹›~3.2.1-(6) ˆŒ……Œ $$ X_n=\left({a^n-1 \over a-1}\right) c \bmod m. \eqno (5) $$ 呋ˆ —ˆ‘‹€~$c$ ˆ~$m$ … Ÿ‚‹Ÿž’‘Ÿ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›Œˆ, $X_n$ ˆŠŽƒ„€ … ŒŽ†…’ ›’œ €‚Ž~$1$. ļŽ’ŽŒ“ “‘‹Ž‚ˆ…~(i) ŽŠ€‡›‚€…’‘Ÿ …Ž•Ž„ˆŒ›Œ. ļ…ˆŽ„ ˆŒ……’ „‹ˆ“~$m$ ’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€, ŠŽƒ„€ €ˆŒ…œ˜…… Ž‹Ž†ˆ’…‹œŽ… ‡€—…ˆ…~$n$, „‹Ÿ ŠŽ’ŽŽƒŽ~$X_n=X_0=0$, ’€ŠŽ‚Ž, —’Ž~$n=m$. ņ……œ ‚ ‘ˆ‹“~(5) ˆ “‘‹Ž‚ˆŸ~(i) €˜€ ’…Ž…Œ€ ‘‚Ž„ˆ’‘Ÿ Š „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚“ ‘‹…„“ž™…ƒŽ “’‚…†„…ˆŸ. \proclaim ė…ŒŒ€~R. ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž~$12$,\cr a\equiv 1 \pmod{4} & ˆ $p=2$. } $$ %% 32 \proof ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž~$\lambda=p^e$. 呋ˆ~$a\not\equiv 1 \pmod{p}$, ’Ž~$(a^n-1)/(a-1)\equiv 0 \pmod{p^e}$ ‚ ’ŽŒ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’ŽŒ ‘‹“—€…, ŠŽƒ„€~$a^n-1\equiv 0 \pmod{p^e}$. 󑋎‚ˆ…~$a^{p^e}-1\equiv 0 \pmod{p^e}$ ’Žƒ„€ ’…“…’, —’Ž› ‚›Ž‹Ÿ‹Ž‘œ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…~$a^{p^e}\equiv 1 \pmod{p}$. ķŽ ˆ‡ ’…Ž…Œ›~1.2.4F ‘‹…„“…’, —’Ž~$a^{p^e}\equiv a \pmod{p}$; ’€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ Ž‹“—€…Œ~$a\not\equiv 1 \pmod{p}$, —’Ž ˆ‚Ž„ˆ’ Š Ž’ˆ‚Ž…—ˆž. 呋ˆ †…~$p=2$ ˆ~$a\equiv 3 \pmod{4}$, ’Ž ˆ‡ “.~8 ˆŒ……Œ~$(a^{2^{e-1}}-1)/(a-1)\equiv 0 \pmod{2^e}$. ż’ˆ ‘ŽŽ€†…ˆŸ ŽŽ‘Ž‚›‚€ž’ …Ž•Ž„ˆŒŽ‘’œ €‚…‘’‚€~$a=1+qp^f$, ƒ„…~$p^f>2$, €~$q$ … Š€’Ž~$p$ „‹Ÿ ‹ž›•~$\lambda=p^e$. ī‘’€…’‘Ÿ ŽŠ€‡€’œ, —’Ž ’Ž “‘‹Ž‚ˆ… \emph{„Ž‘’€’Ž—Ž} „‹Ÿ ‚›Ž‹…ˆŸ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ~$\lambda=p^e$. ļŽ‚’ŽŽ ˆ‘Ž‹œ‡“Ÿ ‹…ŒŒ“~P, €•Ž„ˆŒ, —’Ž $$ a^{p^g}\equiv 1 \pmod{p^{f+g}}, \quad a^{p^g}\not\equiv 1 \pmod{p^{f+g+1}}, $$ ˆ Ž’ŽŒ“ $$ \eqalign{ (a^{p^g}-1)/(a-1) &\equiv 0 \pmod{p^g}, \cr (a^{p^g}-1)/(a-1) &\not\equiv 0 \pmod{p^{g+1}}.\cr } \eqno(6) $$ ā —€‘’Ž‘’ˆ, $(a^{p^e}-1)/(a-1)\equiv 0 \pmod{p^e}$. ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, ‚ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$(0, a, 1, p^e)$ ˆŒ……Œ~$X_n=(a^n-1)/(a-1) \bmod p^e$; Ž’ŽŒ“ „‹ˆ€ …… …ˆŽ„€ €‚€~$\lambda$, ’.~….~$X_n=0$ ’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€, ŠŽƒ„€~$n$ Š€’Ž~$\lambda$. ń‹…„Ž‚€’…‹œŽ, $p^e$ Š€’Ž~$\lambda$. ż’Ž ‚Ž‡ŒŽ†Ž ’Ž‹œŠŽ, …‘‹ˆ~$\lambda=p^g$ „‹Ÿ …ŠŽ’ŽŽƒŽ~$g$. č‡ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ~(6) Ž‹“—€…Œ~$\lambda=p^e$, —’Ž ‡€‚…˜€…’ „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž. \proofend ņ……œ ‡€ŠŽ—…Ž ˆ „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚Ž ’…Ž…Œ›~A. \proofend ā ‡€Š‹ž—…ˆ… ’ŽƒŽ €‡„…‹€ €‘‘ŒŽ’ˆŒ ‘…–ˆ€‹œ›‰ ‘‹“—€‰ —ˆ‘’Ž Œ“‹œ’ˆ‹ˆŠ€’ˆ‚›• „€’—ˆŠŽ‚, „‹Ÿ ŠŽ’Ž›•~$c=0$. õŽ’Ÿ ˆ ’ŽŒ ‚›€Ž’Š€ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ Žˆ‘•Ž„ˆ’ …‘ŠŽ‹œŠŽ ›‘’……, ’…Ž…Œ€~A ŽŠ€‡›‚€…’, —’Ž „Žˆ’œ‘Ÿ Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽ‰ „‹ˆ› …ˆŽ„€ …‹œ‡Ÿ. 䅉‘’‚ˆ’…‹œŽ, ’Ž ‚Ž‹… Ž—…‚ˆ„Ž, ’€Š Š€Š —‹…› Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ “„Ž‚‹…’‚ŽŸž’ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆž $$ X_{n+1}=aX_n\bmod m, \eqno(7) $$ ˆ ‡€—…ˆ…~$X_n=0$ ŒŽ†…’ ‚ …‰ ‚‘’…’ˆ’œ‘Ÿ, ’Ž‹œŠŽ …‘‹ˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‚›Ž†„€…’‘Ÿ ‚ “‹œ. āŽŽ™…, …‘‹ˆ~$d$---‹žŽ‰ „…‹ˆ’…‹œ~$m$ ˆ …‘‹ˆ~$X_n$ Š€’Ž~$d$, ‚‘… Ž‘‹…„“ž™ˆ… ‡€—…ˆŸ~$X_{n+1}$, $X_{n+2}$,~\dots{} ’Ž†… Š€’›~$d$. ļŽ’ŽŒ“ ˆ~$c=0$ †…‹€’…‹œŽ, —’Ž› $X_n$~›‹ˆ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’› ‘~$m$ „‹Ÿ ‚‘…•~$n$, € ’Ž Žƒ€ˆ—ˆ‚€…’ „‹ˆ“ …ˆŽ„€. ģŽ†Ž „Žˆ’œ‘Ÿ ˆ…Œ‹…ŒŽ Ž‹œ˜ŽƒŽ …ˆŽ„€, „€†… …‘‹ˆ Œ› €‘’€ˆ‚€…Œ, —’Ž›~$c=0$. ļŽ›’€…Œ‘Ÿ ’……œ €‰’ˆ ’€Šˆ… “‘‹Ž‚ˆŸ, %% 33 Ž…„…‹Ÿž™ˆ… ŒŽ†ˆ’…‹œ, —’Ž› ˆ ‚ ’ŽŒ —€‘’ŽŒ ‘‹“—€… „‹ˆ€ …ˆŽ„€ ›‹€ Œ€Š‘ˆŒ€‹œ€. ā‘‹…„‘’‚ˆ… ‹…ŒŒ›~Q …ˆŽ„ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ Ž‹Ž‘’œž Ž…„…‹Ÿ…’‘Ÿ …ˆŽ„€Œˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ‘~$m=p^e$, ’€Š —’Ž €‘‘ŒŽ’ˆŒ ˆŒ…Ž ’€Š“ž ‘ˆ’“€–ˆž. ģ› ˆŒ……Œ~$X_n=a^n X_0 \bmod p^e$, ˆ Ÿ‘Ž, —’Ž „‹ˆ€ …ˆŽ„€ €‚€~$1$, …‘‹ˆ~$a$ Š€’Ž~$p$\note{1}% {呋ˆ~$a$ Š€’Ž~$p$, ’Ž, ‚ŽŽ™… ƒŽ‚ŽŸ, …ˆŽ„ … …‚Ž‘•Ž„ˆ’~$e$.---{\sl ļˆŒ. …„.\/} }. ļŽ’ŽŒ“ ‚›……Œ~$a$ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›Œ ‘~$p^e$. ņŽƒ„€ …ˆŽ„ €‚… €ˆŒ…œ˜…Œ“ –…‹ŽŒ“~$\lambda$, ’€ŠŽŒ“, —’Ž~$X_0=a^\lambda X_0 \bmod p^e$. 呋ˆ €ˆŽ‹œ˜ˆ‰ Ž™ˆ‰ „…‹ˆ’…‹œ~$X_0$ ˆ~$p^e$ …‘’œ~$p^f$, ’Ž “‘‹Ž‚ˆ… Š‚ˆ‚€‹…’Ž ‘‹…„“ž™…Œ“: $$ a^\lambda \equiv 1 \pmod{p^{e-f}}. \eqno(8) $$ ļŽ ’…Ž…Œ… ż‰‹…€ (“.~1.2.4-28) $$ a^{\varphi(p^{e-f})} \equiv 1 \pmod{p^{e-f}}; $$ ‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ, $\lambda$~…‘’œ „…‹ˆ’…‹œ: $$ \varphi(p^{e-f})=p^{e-f-1}(p-1). $$ 䋟 ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›•~$a$ ˆ~$m$ €ˆŒ…œ˜…… –…‹Ž…~$\lambda$, „‹Ÿ ŠŽ’ŽŽƒŽ~$a^\lambda \equiv 1 \pmod{m}$, Ž›—Ž €‡›‚€ž’ \dfn{ŽŸ„ŠŽŒ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$}. ā…‹ˆ—ˆ€~$a$, ŠŽ’ŽŽ‰ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“…’ \emph{Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽ} ‚Ž‡ŒŽ†›‰ ŽŸ„ŽŠ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$, €‡›‚€…’‘Ÿ \dfn{…‚ŽŽ€‡›Œ ‹…Œ…’ŽŒ} Ž ŒŽ„“‹ž~$m$\note{2}% {ķ… ‘‹…„“…’ “’€’œ …‚ŽŽ€‡›‰ ‹…Œ…’ ‘ …‚ŽŽ€‡›Œ ŠŽ…Œ. ļ…‚ŽŽ€‡›… ŠŽˆ ‘“™…‘’‚“ž’ … „‹Ÿ ‚‘…•~$m$.---{\sl ļˆŒ. …„.\/} }. īŽ‡€—ˆŒ —……‡~$\lambda(m)$ ŽŸ„ŽŠ …‚ŽŽ€‡ŽƒŽ ‹…Œ…’€, ’.~….\ Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽ ‚Ž‡ŒŽ†›‰ ŽŸ„ŽŠ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$. ļ…„›„“™ˆ… ‡€Œ…—€ˆŸ ŽŠ€‡›‚€ž’, —’Ž~$\lambda(p^e)$ …‘’œ „…‹ˆ’…‹œ~$p^{e-1}(p-1)$; … ‘Ž‘’€‚‹Ÿ…’ ’“„€ (‘Œ.~ˆ†… “.~11--16) ˆ‚…‘’ˆ ’Ž—›… ‡€—…ˆŸ~$\lambda(m)$ ‚ ‘‹…„“ž™ˆ• ‘‹“—€Ÿ•: $$ \eqalignrem{ & \lambda(2)=1, \quad \lambda(4)=2, \quad \lambda(2^e)=2^{e-2}, & …‘‹ˆ $e\ge3$,\cr & \lambda(p^e)=p^{e-1}(p-1), & …‘‹ˆ $p>2$, \cr & \lambda(p_1^{e_1}\ldots p_t^{e_t})=\ŽŠ(\lambda(p_1^{e_1},\ldots, \lambda(p_t^{e_t}))).\cr } \eqno(9) $$ ķ€˜ˆ ‡€Œ…—€ˆŸ ŒŽ†Ž ‘“ŒŒˆŽ‚€’œ ‚ ‘‹…„“ž™…‰ ’…Ž…Œ…: \proclaim ņ…Ž…Œ€~B. (š. ź€Œ€‰Š‹) [R. D. Carmichael, {\sl Bull.\ Amer.\ Math.\ Soc.,\/} {\bf 16} (1910), 232--238]. ģ€Š‘ˆŒ€‹œŽ ‚Ž‡ŒŽ†›‰ ˆ~$c=0$ …ˆŽ„ €‚…~$\lambda(m)$, ƒ„…~$\lambda(m)$ Ž…„…‹Ÿ…’‘Ÿ ‚›€†…ˆŸŒˆ~(9). ņ€ŠŽ‰ …ˆŽ„ …€‹ˆ‡“…’‘Ÿ, …‘‹ˆ \medskip \item{i)}~$X_0$ ˆ~$m$---‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›… —ˆ‘‹€; \item{ii)}~$a$---…‚ŽŽ€‡›‰ ‹…Œ…’ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$. \endmark %% 34 ē€Œ…’œ’…, —’Ž …‘‹ˆ~$m$---Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž, ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ „‹ˆ“ …ˆŽ„€~$m-1$, —’Ž ‚‘…ƒŽ ‹ˆ˜œ € …„ˆˆ–“ Œ…œ˜… Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽƒŽ ‡€—…ˆŸ. āŽŽ‘ ’……œ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, Š€Š €•Ž„ˆ’œ …‚ŽŽ€‡›… ‹…Œ…’› Ž ŒŽ„“‹ž~$m$. č‡ “€†…ˆ‰ ‚ ŠŽ–… €€ƒ€”€ ‚›’…Š€…’ \proclaim ņ…Ž…Œ€~C. ÷ˆ‘‹Ž~$a$ …‘’œ …‚ŽŽ€‡›‰ ‹…Œ…’ Ž ŒŽ„“‹ž~$p^e$ ’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€, ŠŽƒ„€ \medskip \item{i)}~$p^e=2$, $a$---…—…’Ž…; ˆ‹ˆ~$p^e=4$, $a \bmod 4=3$; ˆ‹ˆ~$p^e=8$, $a \bmod 8=3, 5, 7$; ˆ‹ˆ~$p=2$, $e \ge 4$, $a \bmod 8=3$ ˆ‹ˆ~$5$; % \hiddenpar\noindent ˆ‹ˆ \item{ii)}~$p$---…—…’Ž…, $e=1$, $a \not\equiv 0 \pmod{p}$ ˆ~$a^{(p-1)q} \not\equiv 1 \pmod{p}$ „‹Ÿ ‹žŽƒŽ Ž‘’ŽƒŽ „…‹ˆ’…‹Ÿ~$q$ —ˆ‘‹€~$p-1$; % \hiddenpar\noindent ˆ‹ˆ \item{iii)}~$p$---…—…’Ž…, $e>1$, $a$~“„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’~(ii) ˆ~$a^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$\note{1}% {ļŽ„€‡“Œ…‚€…’‘Ÿ, —’Ž~$p$--- Ž‘’Ž…; …‘‹ˆ ŒŽ„“‹œ ˆŒ……’ ‚ˆ„~$2$, $2^2$, $p^e$, ƒ„…~$p$---…—…’Ž…, …‚ŽŽ€‡›… ‹…Œ…’› “„“’ ˆ …‚ŽŽ€‡›Œˆ ŠŽŸŒˆ.---{\sl ļˆŒ. …„.\/} }. \endmark 󑋎‚ˆŸ~(ii) ˆ~(iii) ’Ž‰ ’…Ž…Œ› ‹…ƒŠŽ Ž‚…Ÿž’‘Ÿ € ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽ‰ Œ€˜ˆ… „‹Ÿ Ž‹œ˜ˆ• ‡€—…ˆ‰~$p$, …‘‹ˆ „‹Ÿ ‚›—ˆ‘‹…ˆŸ ‘’………‰ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ ””…Š’ˆ‚›… Œ…’Ž„›, Ž‘“†„€…Œ›… ‚ .~4.6.3. ķ€ŠŽ…–, …‘‹ˆ €Œ „€› ‚…‹ˆ—ˆ›~$a_j$, Ÿ‚‹Ÿž™ˆ…‘Ÿ …‚ŽŽ€‡›Œˆ ‹…Œ…’€Œˆ Ž ŒŽ„“‹ž~$p_j^{e_j}$, ŒŽ†Ž €‰’ˆ …„ˆ‘’‚…Ž… ‡€—…ˆ…~$a$, ’€ŠŽ…, —’Ž~$a \equiv a_j \pmod{p_j^{e_j}}$, $1\le j \le t$, ˆŒ…ŸŸ "Šˆ’€‰‘Š“ž ’…Ž…Œ“ Ž Ž‘’€’Š€•", ŠŽ’Ž€Ÿ Ž‘“†„€…’‘Ÿ ‚~.4.3.2. ń‹…„Ž‚€’…‹œŽ, $a$~“„…’ …‚ŽŽ€‡›Œ ‹…Œ…’ŽŒ Ž ŒŽ„“‹ž~$p_1^{e_1}\ldots p_t^{e_t}$. ż’Ž „€…’ €Œ „Ž‚Ž‹œŽ ””…Š’ˆ‚›‰ ‘Ž‘Ž ‚›—ˆ‘‹…ˆŸ ŒŽ†ˆ’…‹…‰, “„Ž‚‹…’‚ŽŸž™ˆ• “‘‹Ž‚ˆž ’…Ž…Œ›~ā, „‹Ÿ ‹žŽƒŽ ‡€—…ˆŸ~$m$. ī„€ŠŽ ‚ Ž™…Œ ‘‹“—€… ‚›—ˆ‘‹…ˆŸ ŽŠ€‡›‚€ž’‘Ÿ …‘ŠŽ‹œŠŽ „‹ˆ›Œˆ. 䋟 ‚€†ŽƒŽ ‘‹“—€Ÿ~$m=2^e$ ˆ~$e\ge 4$ ˆ‚…„…›… ‚›˜… “‘‹Ž‚ˆŸ ‘‚Ž„Ÿ’‘Ÿ Š …„ˆ‘’‚…ŽŒ“ Ž‘’ŽŒ“ ’…Ž‚€ˆž, —’Ž›~$a \equiv 3\hbox{ ˆ‹ˆ } 5 \pmod{8}$. ā ’ŽŒ ‘‹“—€… —…’‚…’€Ÿ —€‘’œ ‚‘…• ‚Ž‡ŒŽ†›• ŒŽ†ˆ’…‹…‰ „€…’ Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›‰ …ˆŽ„. ā’ŽŽ‰ €ˆŽ‹…… €‘Ž‘’€…›‰ ‘‹“—€‰, ’Ž~$m=10^e$. ļŽ‹œ‡“Ÿ‘œ ‹…ŒŒ€Œˆ~š ˆ~Q, …’“„Ž Ž‹“—ˆ’œ …Ž•Ž„ˆŒ›… ˆ „Ž‘’€’Ž—›… “‘‹Ž‚ˆŸ „Ž‘’ˆ†…ˆŸ Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽƒŽ …ˆŽ„€ „‹Ÿ „…‘Ÿ’ˆ—Ž‰ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽ‰ Œ€˜ˆ›. \proclaim ņ…Ž…Œ€~D. 呋ˆ~$m=10^e$, $e\ge 5$, $c=0$ ˆ~$X_0$ … Š€’Ž~$2$ ˆ‹ˆ~$5$, …ˆŽ„ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ €‚…~$5\times10^{e-2}$ ‚ ’ŽŒ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’ŽŒ ‘‹“—€…, ŠŽƒ„€~$a \bmod 200$ ˆˆŒ€…’ Ž„Ž %% 35 ˆ‡ ‘‹…„“ž™ˆ• $32$~‡€—…ˆ‰: $$ \eqalign{ & 3,11,13,19,21,27, 29, 37, 53,59, 61, 67, 69,77, 83,91,109,117,\cr & 123,131,133,139,141,147,163,171,173,179,181,187,189.197.~\endmark\cr } \eqno(10) $$ \excercises \ex[10] ź€ŠŽ‚€ „‹ˆ€ …ˆŽ„€ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘~$X_0=5772156648$, $a=3141592621$, $c=2718281829$, $m=10000000000$? \ex[10] 怐€’ˆ“…’ ‹ˆ ‚›Ž‹…ˆ… ‘‹…„“ž™ˆ• „‚“• “‘‹Ž‚ˆ‰: (i)~$c$~…—…’Ž…, (ii)~$a\bmod 4=1$, Œ€Š‘ˆŒ€‹œ“ž „‹ˆ“ …ˆŽ„€, ŠŽƒ„€~$m=2^e$, ’.~….\ ‘’……œ „‚Ž‰Šˆ? \ex[13] ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž~$m=10^e$, ƒ„…~$e\ge 3$, €~$c$ … Š€’Ž ˆ~$2$, ˆ~$5$. ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž ‹ˆ…‰€Ÿ ŠŽƒ“’€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ “„…’ ˆŒ…’œ Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽ Ž‹œ˜Ž‰ …ˆŽ„ ’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€, ŠŽƒ„€~$a\bmod 20=1$. \ex[20] ÷…Œ“ €‚Ž ‡€—…ˆ…~$X_{2^{e-1}}$, …‘‹ˆ~$a$ ˆ~$c$ “„Ž‚‹…’‚ŽŸž’ “‘‹Ž‚ˆŸŒ ’…Ž…Œ›~A, $m=2^e$, $X_0=0$? \rex[20] ķ€‰„ˆ’… ‚‘… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ~$a$, “„Ž‚‹…’‚ŽŸž™ˆ… “‘‹Ž‚ˆŸŒ ’…Ž…Œ›~A, ŠŽƒ„€~$m=2^{35}+1$ (Ž‘’›… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ —ˆ‘‹€~$m$ ŒŽ†Ž €‰’ˆ ˆ‡ ’€‹.~3.2.1.1-1). \ex[20] ķ€‰„ˆ’… ‚‘… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ~$a$, “„Ž‚‹…’‚ŽŸž™ˆ… “‘‹Ž‚ˆŸŒ ’…Ž…Œ›~A, ˆ~$m=10^6-1$ (‘Œ.~’€‹.~3.2.1.1-1). \rex[ģ24] ļ…ˆŽ„ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ … ŽŸ‡€’…‹œŽ €—ˆ€’œ ‘~$X_0$. ī„€ŠŽ Œ› ‚‘…ƒ„€ ŒŽ†…Œ €‰’ˆ ˆ„…Š‘›~$\mu\ge0$, $\lambda>0$, ’€Šˆ…, —’Ž~$X_{n+\lambda}=X_n$ „‹Ÿ ‹ž›•~$n\ge\mu$, ˆ—…Œ~$\mu$ ˆ~$\lambda$---€ˆŒ…œ˜ˆ… ‡€—…ˆŸ, Ž‹€„€ž™ˆ… ’ˆŒ ‘‚Ž‰‘’‚ŽŒ. (ń.~‘~“.~3.1-6 ˆ~3.2.1-1.) ļ“‘’œ~$\mu_j$, $\lambda_j$ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž’ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$(X_0 \bmod p_j^{e_j}, a \bmod p_j^{e_j}, c \bmod p_j^{e_j}, p_j^{e_j})$ ˆ~$\mu$, $\lambda$ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž’ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$(X_0, a, c, p_1^{e_1}\ldots p_t^{e_t})$; ‹…ŒŒ€~Q “‘’€€‚‹ˆ‚€…’, —’Ž $\lambda$~…‘’œ €ˆŒ…œ˜…… Ž™…… Š€’Ž… „‹Ÿ~$\lambda_1$,~\dots, $\lambda_t$. ÷…Œ“ €‚Ž ‡€—…ˆ…~$\mu$, ‚›€†…Ž… —……‡~$\mu_1$,~\dots, $\mu_t$? ź€ŠŽ… Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽ… ‡€—…ˆ…~$\mu$ ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ, ˆ‡Œ…ŸŸ~$X_0$, $a$ ˆ~$c$ ˆ ”ˆŠ‘ˆŽ‚€ŽŒ~$m=p_1^{e_1}\ldots p_t^{e_t}$? \ex[ģ20] ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž …‘‹ˆ~$a \bmod 4=3$, $e>1$, ’Ž~$(a^{2^{e-1}}-1)/(a-1) \equiv 0 \pmod{2^e}$. (葏Ž‹œ‡“‰’… ‹…ŒŒ“~P.) \rex[ģ22] (ó.~ņŽŒ‘Ž.) 䋟~$c=0$ ˆ~$m=2^e\ge 8$ ’…Ž…Œ›~B ˆ~C “’‚…†„€ž’, —’Ž „‹ˆ€ …ˆŽ„€ €‚€~$2^{e-2}$ ‚ ’ŽŒ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’ŽŒ ‘‹“—€…, ŠŽƒ„€ ŒŽ†ˆ’…‹œ~$a$ “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸŒ~$a\bmod 8=3$ ˆ‹ˆ~$a \bmod 8=5$. ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž Š€†„€Ÿ ’€Š€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‚ ‘“™Ž‘’ˆ Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œž ‘~$m=2^{e-2}$, ˆŒ…ž™…‰ \emph{Ž‹›‰} …ˆŽ„ ‚ ‘‹…„“ž™…Œ ‘Œ›‘‹…: \medskip \item{a)}~…‘‹ˆ~$X_{n+1}=(4c+1) X_n \bmod 2^e$ ˆ~$X_n=4Y_n+1$, ’Ž $$ Y_{n+1}=((4c+1) Y_n+c) \bmod 2^{e-2}; $$ \item{b)}~…‘‹ˆ~$X_{n+1}=(4c-1)X_n \bmod 2^e$ ˆ~$X_n=((-1)^n (4Y_n+1)) \bmod 2^e$, ’Ž $$ Y_{n+1}=((1-4c)Y_n-c)\bmod 2^{e-2}. $$ [\emph{ē€Œ…—€ˆ….} ā ’ˆ• ”ŽŒ“‹€•~$c$---…—…’Ž… –…‹Ž…. ā ‹ˆ’…€’“… ŒŽ†Ž ‚‘’…’ˆ’œ “’‚…†„…ˆŸ Ž ’ŽŒ, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘~$c=0$, “„Ž‚‹…’‚ŽŸž™ˆ… %% 36 “‘‹Ž‚ˆŸŒ ’…Ž…Œ›~B, …‘ŠŽ‹œŠŽ Ž‹…… ‘‹“—€‰›, —…Œ ’…, ŠŽ’Ž›… “„Ž‚‹…’‚ŽŸž’ “‘‹Ž‚ˆŸŒ ’…Ž…Œ› ą, …‘ŒŽ’Ÿ € ’Ž, —’Ž ‚ ‘‹“—€… ’…Ž…Œ›~B …ˆŽ„ ‚ —…’›… €‡€ Œ…œ˜…. ż’Ž “€†…ˆ… ŽŽ‚…ƒ€…’ Ž„Ž›… “’‚…†„…ˆŸ.] \ex[ģ21] 䋟 Š€Šˆ• ‡€—…ˆ‰~$m$ ‘€‚…„‹ˆ‚Ž €‚…‘’‚Ž~$\lambda(m)=\varphi(m)$? \ex[ģ28] ļ“‘’œ~$x$---…—…’Ž… –…‹Ž… —ˆ‘‹Ž, Ž‹œ˜……~$1$. % \hiddenpar (a)~ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž ‘“™…‘’‚“…’ …„ˆ‘’‚…Ž… –…‹Ž…~$f>1$, ’€ŠŽ…, —’Ž $x\equiv 2^f \pm 1 \pmod{2^{f+1}}$. % \hiddenpar (b)~ļˆ “‘‹Ž‚ˆˆ, —’Ž~$11$, ’Ž~$a$---…‚ŽŽ€‡›‰ ‹…Œ…’ Ž ŒŽ„“‹ž~$p^e$ ‚ ’ŽŒ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’ŽŒ ‘‹“—€…, ŠŽƒ„€~$a$---…‚ŽŽ€‡›‰ ‹…Œ…’ Ž ŒŽ„“‹ž~$p$ ˆ~$a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}$. (ļ…„Ž‹Ž†ˆ’…, —’Ž~$\lambda(p^e)=p^{e-1}(p-1)$. ż’Ž „ŽŠ€‡›‚€…’‘Ÿ ˆ†… ‚ “.~14 ˆ~16. \ex[ģ22] ļ“‘’œ~$p$---Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž ˆ~$a$ … Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ …‚ŽŽ€‡›Œ ‹…Œ…’ŽŒ Ž ŒŽ„“‹ž~$p$. ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž ‹ˆŽ~$a$ Š€’Ž~$p$ ‹ˆŽ~$a^{(p-1)/q}\equiv 1 \pmod{p}$ „‹Ÿ …ŠŽ’ŽŽƒŽ Ž‘’ŽƒŽ —ˆ‘‹€~$q$, „…‹Ÿ™…ƒŽ~$p-1$. \ex[ģ18] ļ“‘’œ~$e>1$, $p$---…—…’Ž… Ž‘’Ž… ˆ~$a$---…‚ŽŽ€‡›‰ ‹…Œ…’ Ž ŒŽ„“‹ž~$p$, „ŽŠ€†ˆ’…, —’Ž ’Žƒ„€ ‹ˆŽ~$a$, ‹ˆŽ~$a+p$---…‚ŽŽ€‡›‰ ‹…Œ…’ Ž ŒŽ„“‹ž~$p^e$. [\emph{󊀇€ˆ…:} ‘Œ.~“.~12.] \ex[ģ29] (a)~ļ“‘’œ~$a_1$, $a_2$ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›… ‘~$m$. ļ“‘’œ „‹Ÿ ’ˆ• —ˆ‘…‹ ŽŸ„Šˆ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$ €‚›~$\lambda_1$, $\lambda_2$ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚…Ž. 䎊€†ˆ’… —’Ž …‘‹ˆ~$\lambda$---€ˆŒ…œ˜…… Ž™…… Š€’Ž…~$\lambda_1$ ˆ~$\lambda_2$, ’Ž~$a_1^{\kappa_1}a_2^{\kappa_2}$ ˆŒ……’ ŽŸ„ŽŠ~$\lambda$ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$ „‹Ÿ ‚›€›• €„‹…†€™ˆŒ Ž€‡ŽŒ~$\kappa_1$, $\kappa_2$. [\emph{󊀇€ˆ…}. š€‘‘ŒŽ’ˆ’… ‘€—€‹€ ‘‹“—€‰, ŠŽƒ„€~$\lambda_1$ ˆ~$\lambda_2$---‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›… —ˆ‘‹€.] (b)~ļ“‘’œ~$\lambda(m)$---Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›‰ Ž ‚‘…Œ ‹…Œ…’€Œ ŽŸ„ŽŠ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$. 䎊€†ˆ’…, —’Ž~$\lambda(m)$ Š€’Ž ŽŸ„Š“ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$ „‹Ÿ ‹žŽƒŽ ‹…Œ…’€. 䐓ƒˆŒˆ ‘‹Ž‚€Œˆ, „ŽŠ€†ˆ’…, —’Ž~$a^{\lambda(m)} \equiv 1 \pmod{m}$ „‹Ÿ ‹žŽƒŽ~$a$, ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’ŽƒŽ ‘~$m$. \rex[ģ24] ļ“‘’œ~$p$---Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž. (a)~ļ“‘’œ~$f(x)=x^n+c_1 x^{n-1}+\cdots+c_n$, ƒ„… ‚‘…~$c$---–…‹›… —ˆ‘‹€, ˆ ‡€„€Ž ’€ŠŽ… –…‹Ž…~$a$, —’Ž~$f(a) \equiv 0 \pmod{p}$. ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž ‘“™…‘’‚“…’ Ž‹ˆŽŒ~$q(x)=x^n+q_1x^{n-2}+\cdots+q_{n-1}$ ‘ –…‹›Œˆ ŠŽ””ˆ–ˆ…’€Œˆ, ’€ŠŽ‰, —’Ž~$f(x)\equiv (x-a)q(x) \pmod{p}$ „‹Ÿ ‚‘…• –…‹›•~$x$. (b)~ļ“‘’œ~$f(x)$---Ž‹ˆŽŒ, ’aŠŽ‰ †e, ŠaŠ ˆ ‚~(a). ļoŠ€†ˆ’…, —’Ž~$f(x)$ ˆŒ……’ ‘€ŒŽ… Ž‹œ˜…… $n$~€‡‹ˆ—›• "ŠŽ…‰" Ž ŒŽ„“‹ž~$p$, ’.….\ ‘“™…‘’‚“…’ ‘€ŒŽ… Ž‹œ˜…… $n$~–…‹›• —ˆ‘…‹~$a$, ’€Šˆ•, —’Ž~$f(a)\equiv 0 \pmod{p}$, $0\le a < p$. (c)~ā “.~15(b) “’‚…†„€…’‘Ÿ, —’Ž Ž‹ˆŽŒ~$f(x)=x^{\lambda(p)}-1$ ˆŒ……’ $p-1$~€‡‹ˆ—›• ŠŽ…‰; ‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ, ‘“™…‘’‚“…’ –…‹Ž…~$a$ ‘ ŽŸ„ŠŽŒ~$p-1$. \ex[ģ26] ķ… ‚‘… ‡€—…ˆŸ, ……—ˆ‘‹…›… ‚ ’…Ž…Œ…~D ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ Œ…’Ž„ŽŒ, ˆ‡‹Ž†…›Œ ‚ ’…Š‘’…. ķ€ˆŒ…, —ˆ‘‹Ž~$11$ … Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ …‚ŽŽ€‡›Œ ‹…Œ…’ŽŒ Ž ŒŽ„“‹ž~$5^e$. ź€Š ’Ž ŒŽ†…’ ›’œ …‘‹ˆ~$11$ (‚ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚ˆˆ ‘ ’…Ž…ŒŽ‰~D)---…‚ŽŽ€‡›‰ ‹…Œ…’ Ž ŒŽ„“‹ž~$10^e$? ź€Šˆ… ˆ‡ —ˆ‘…‹, ……—ˆ‘‹…›• ‚ ’…Ž…Œ…~D,---…‚ŽŽ€‡›… ‹…Œ…’› Š€Š Ž ŒŽ„“‹ž~$2^e$, ’€Š ˆ~$5^e$? \ex[ģ25] 䎊€†ˆ’… ’…Ž…Œ“~D. (ń.\ ‘ …„›„“™ˆŒ “€†…ˆ…Œ.) \ex[40] ńŽ‘’€‚œ’… ’€‹ˆ–“ …ŠŽ’Ž›• •ŽŽ˜ˆ• ŒŽ†ˆ’…‹…‰~$a$ „‹Ÿ Š€†„ŽƒŽ ˆ‡ ‡€—…ˆ‰~$m$, ……—ˆ‘‹…›• ‚ ’€‹.~3.2.1.1-1, ‚ …„Ž‹Ž†…ˆˆ~$c=0$. \ex[ģ24] ź€ŠŽ‚€ „‹ˆ€ …ˆŽ„€ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, „‹Ÿ ŠŽ’ŽŽ‰ (i)~$X_0=0$; (ii)~$a$---…‚ŽŽ€‡›‰ ‹…Œ…’ Ž ŒŽ„“‹ž~$p_j^{e_j}$, $1\le i \le t$; „‹Ÿ ‚‘…• ‘’………‰ Ž‘’›• —ˆ‘…‹ ‚ €‡‹Ž†…ˆˆ~$m=p_1^{e_1}\ldots p_t^{e_t}$ € Ž‘’›… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ; (iii)~$c$ ˆ~$m$ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›? \subsubsubchap{ģŽ™Ž‘’œ\note{1}% {ā Žˆƒˆ€‹… "potency",--- {\sl ļˆŒ. ……‚.\/}}}%3.2.1.3 ā …„›„“™…Œ €‡„…‹… Œ› ŽŠ€‡€‹ˆ, —’Ž Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›‰ …ˆŽ„ ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ ˆ~$b=a-1$, Š€’ŽŒ %% 37 ‚‘…Œ Ž‘’›Œ „…‹ˆ’…‹ŸŒ —ˆ‘‹€~$m$ ($b$ ’€Š†… „Ž‹†Ž ›’œ Š€’Ž~$4$, …‘‹ˆ $m$~„…‹ˆ’‘Ÿ €~$4$). 呋ˆ~$z$---Ž‘Ž‚€ˆ…, ŠŽ’ŽŽ… ˆ‘Ž‹œ‡“…’‘Ÿ ‚ Œ€˜ˆ… (’€Š, $z=2$---„‹Ÿ „‚Žˆ—Ž‰ Œ€˜ˆ› ˆ~$z=10$---„‹Ÿ „…‘Ÿ’ˆ—Ž‰), €~$m$---€‡Œ… ‘‹Ž‚€~$z^e$ Œ€˜ˆ›, ’Ž ŒŽ†ˆ’…‹œ $$ a=z^k+1, \rem{$2\le k < e$,} \eqno(1) $$ “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ ’ˆŒ “‘‹Ž‚ˆŸŒ. č‡ ’…Ž…Œ›~3.2.1.2.A ’€Š†… ‘‹…„“…’, —’Ž ŒŽ†Ž ˆŸ’œ~$c=1$. š…Š“…’Ž… ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ… ’……œ ˆŒ……’ ‚ˆ„ $$ X_{n+1}=((z^k+1)X_n+1) \bmod z^e. \eqno(2) $$ ļˆ ‚›—ˆ‘‹…ˆŸ• ŒŽ†Ž ˆ‡…†€’œ “ŒŽ†…ˆŸ; „Ž‘’€’Ž—Ž Ž‘’ŽƒŽ ‘‹Ž†…ˆŸ ˆ ‘„‚ˆƒ€. ķ€ˆŒ…, …„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž~$a=B^2+1$, ƒ„…~$B$---€‡Œ… €‰’€ \MIX. āŒ…‘’Ž ŠŽŒ€„, ˆ‚…„…›• ‚~.3.2.1.1, ŒŽ†Ž €ˆ‘€’œ ’€Š“ž Žƒ€ŒŒ“: $$ \vcenter{ \mixcode LDA & X SLA & 2 ADD & X INCA & 1 \endmixcode } \eqno(3) $$ ā…ŒŸ …… ‚›Ž‹…ˆŸ “Œ…œ˜€…’‘Ÿ ‘~$16u$ „Ž~$7u$. ā‚ˆ„“ ‘Š€‡€ŽƒŽ ŒŽ†ˆ’…‹ˆ ‚ˆ„€~(1) ˜ˆŽŠŽ Ž‘“†„€‹ˆ‘œ ‚ ‹ˆ’…€’“… ˆ …ŠŽŒ…„Ž‚€‹ˆ‘œ ŒŽƒˆŒˆ €‚’Ž€Œˆ. ī„€ŠŽ Ž—’ˆ Ÿ’ˆ‹…’ˆ… Ž‚…Ž—›… Š‘…ˆŒ…’› ŽŠ€‡›‚€ž’, —’Ž \emph{‘‹…„“…’ ˆ‡…ƒ€’œ ŒŽ†ˆ’…‹…‰, ˆŒ…ž™ˆ• ’€ŠŽ‰ Ž‘’Ž‰ ‚ˆ„, Š€Š~(1)}. ļˆ—ˆ ‡„…‘œ …‘ŠŽ‹œŠŽ. ļ…†„… ‚‘…ƒŽ ‚…ŒŸ ‘—…’€ … “Œ…œ˜€…’‘Ÿ € ‘€ŒŽŒ „…‹… ‚„‚Ž…, Š€Š ’Ž Žˆ‘•Ž„ˆ’ ‚ ˆŒ……~(3). 呋ˆ „Ž€‚ˆ’œ Š Žƒ€ŒŒ… ŠŽŒ€„›~|JMP|, |STJ|, |STA|, |JNOV|, ‘€‚ˆ’…‹œ›… ‚…Œ…€ ‘—…’€ “„“’ €‚›~$22u$ „‹Ÿ Œ“‹œ’ˆ‹ˆŠ€’ˆ‚ŽƒŽ Œ…’Ž„€ ˆ~$13u$ „‹Ÿ Œ…’Ž„€, ˆ‘Ž‹œ‡“ž™…ƒŽ ‘‹Ž†…ˆ… ˆ ‘„‚ˆƒ. źŽŒ… ’ŽƒŽ, …Ž•Ž„ˆŒŽ “—…‘’œ ‚…ŒŸ €Ž’› Ž‘Ž‚Ž‰ Žƒ€ŒŒ›, ˆ‘Ž‹œ‡“ž™…‰ ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€. ÷ˆ‘’€Ÿ ŠŽŽŒˆŸ Œ€˜ˆŽƒŽ ‚…Œ…ˆ ‚ Ž–…’€• Ž—’ˆ ˆ—’Ž†€. ą € ŒŽƒˆ• ‘Ž‚…Œ…›• Œ€˜ˆ€• “ŒŽ†…ˆ… ‚›Ž‹Ÿ…’‘Ÿ \emph{›‘’……,} —…Œ ‘„‚ˆƒ ˆ ‘‹Ž†…ˆ…! ń€Œ›‰ ‚…‘Šˆ‰ €ƒ“Œ…’, …Ÿ’‘’‚“ž™ˆ‰ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆž ŒŽ†ˆ’…‹Ÿ ‚ˆ„€~$z^k+1$, ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, —’Ž Ž ˆ‚Ž„ˆ’ Š …„Ž‘’€’Ž—Ž ‘‹“—€‰›Œ —ˆ‘‹€Œ. ī„€ ˆ‡ ˆ—ˆ ’ŽƒŽ ‘‚Ÿ‡€€ ‘ ŠŽ–…–ˆ…‰ "ŒŽ™Ž‘’ˆ", ŠŽ’Ž“ž Œ› ‘…‰—€‘ Ž‘“„ˆŒ. \dfn{ģŽ™Ž‘’œ} ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘ Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›Œ …ˆŽ„ŽŒ Ž…„…‹Ÿ…’‘Ÿ Š€Š €ˆŒ…œ˜…… –…‹Ž… —ˆ‘‹Ž~$s$, ’€ŠŽ…, —’Ž $$ b^s \equiv 0 \pmod{m}. \eqno(4) $$ %% 38 (ņ€ŠŽ… –…‹Ž…~$s$ ‚‘…ƒ„€ ‘“™…‘’‚“…’, …‘‹ˆ ŒŽ†ˆ’…‹œ “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ “‘‹Ž‚ˆŸŒ ’…Ž…Œ›~3.2.1.2A, ‚ —€‘’Ž‘’ˆ, …‘‹ˆ $b$~Š€’Ž ‹žŽŒ“ Ž‘’ŽŒ“ „…‹ˆ’…‹ž~$m$.) ģ› ŒŽ†…Œ €€‹ˆ‡ˆŽ‚€’œ ‘‹“—€‰Ž‘’œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ˆˆŒ€Ÿ~$X_0=0$, ’€Š Š€Š “‹œ ŽŸ‡€’…‹œŽ ‚‘’…—€…’‘Ÿ € Ž’Ÿ†…ˆˆ …… …ˆŽ„€. ā ’€ŠŽŒ ‘‹“—€… ˆŒ……Œ~$X_n=((a^n-1)c/b)\bmod m$ ˆ, €‡‹Ž†ˆ‚~$a^n-1=(b+1)^n-1$ Ž ”ŽŒ“‹… ˆŽŒ€, €•Ž„ˆŒ $$ X_n=c\left(n+\perm{n}{2}b+\cdots+\perm{n}{s}b^{s-1}\right) \bmod m. \eqno(5) $$ ā‘… —‹…› ‘~$b^s$, $b^{s+1}$ ˆ ’.~„.\ ŒŽ†Ž Ž“‘’ˆ’œ, ’€Š Š€Š Žˆ Š€’›~$m$. 葕Ž„Ÿ ˆ‡ “€‚…ˆŸ~(5), €‘‘ŒŽ’ˆŒ …ŠŽ’Ž›… —€‘’›… ‘‹“—€ˆ. 呋ˆ~$a=1$, ŒŽ™Ž‘’œ €‚€~$1$ ˆ, Š€Š Œ› “†… ‚ˆ„…‹ˆ, $X_n \equiv cn \pmod{m}$, ’€Š —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ Ÿ‚Ž … ‘‹“—€‰€Ÿ. 呋ˆ ŒŽ™Ž‘’œ €‚€~$2$, ˆŒ……Œ~$X_n \equiv cn+cb\perm{n}{2}$, ˆ ‘Ž‚€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ …‹œ‡Ÿ ‘—ˆ’€’œ ‘‹“—€‰Ž‰. 䅉‘’‚ˆ’…‹œŽ, $$ X_{n+1}-X_n \equiv c+cbn, $$ ’€Š —’Ž €‡Ž‘’œ Œ…†„“ ‘Ž‘…„ˆŒˆ ‘‹“—€‰›Œˆ —ˆ‘‹€Œˆ ‚›€†€…’‘Ÿ Ž—…œ Ž‘’Ž‰ ‡€‚ˆ‘ˆŒŽ‘’œž Ž’~$n$. 呋ˆ $$ d=cb \bmod m, $$ ’Ž—Š€~$(X_n, X_{n+1}, X_{n+2})$ ‚‘…ƒ„€ ‹…†ˆ’ € Ž„Ž‰ ˆ‡ —…’›…• ‹Ž‘ŠŽ‘’…‰ ‚ ’…•Œ…ŽŒ Ž‘’€‘’‚…: $$ \eqalign{ x-2y+z &= d+m,\cr x-2y+z &= d,\cr x-2y+z &= d-m,\cr x-2y+z &=d-2m.\cr } $$ 呋ˆ ŒŽ™Ž‘’œ €‚€~$3$, Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‚›ƒ‹Ÿ„ˆ’ …‘ŠŽ‹œŠŽ Ž‹…… ‘‹“—€‰Ž‰. ķŽ~$X_n$, $X_{n+1}$, ˆ~$X_{n+2}$ ‚‘… …™… ‘‚Ÿ‡€› ‘ˆ‹œŽ‰ ‡€‚ˆ‘ˆŒŽ‘’œž. š€‡Ž‘’ˆ~$X_{n+1}-X_n$ Ž€‡“ž’ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‘ ŒŽ™Ž‘’œž~$2$, ˆ ’…‘’› ŽŠ€‡›‚€ž’, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘ ŒŽ™Ž‘’œž~$3$ ‚‘… …™… …„Ž‘’€’Ž—Ž •ŽŽ˜ˆ. ńŽŽ™€‹Ž‘œ, —’Ž ˆ…Œ‹…Œ›… …‡“‹œ’€’› ŒŽƒ“’ ›’œ Ž‹“—…› „‹Ÿ ‡€—…ˆŸ ŒŽ™Ž‘’ˆ, €‚ŽƒŽ~$4$ ˆ ‚›˜…, Ž ’Ž Ž‘€ˆ‚€‹Ž‘œ ŒŽƒˆŒˆ €‚’Ž€Œˆ. āˆ„ˆŒŽ, „‹Ÿ „Ž‘’€’Ž—Ž ‘‹“—€‰›• ‡€—…ˆ‰ ’…“…’‘Ÿ ŒŽ™Ž‘’œ, €‚€Ÿ Ž Œ…œ˜…‰ Œ……~$5$. ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, €ˆŒ…, —’Ž~$m=2$ ˆ~$a=2^k+1$. ņŽƒ„€~$b=2^k$, ’€Š —’Ž ˆ~$k \ge 18$ ‡€—…ˆ…~$b^2=2^{2k}$ Š€’Ž~$m$: ŒŽ™Ž‘’œ €‚€~$2$. 呋ˆ~$k=17$, $16$,~\dots, $12$, ŒŽ™Ž‘’œ €‚€~$3$, € ˆ~$k=11$, $10$, $9$ „Ž‘’ˆƒ€…’‘Ÿ ‡€—…ˆ…~$4$. ļŽ’ŽŒ“ ‘ ’Ž—Šˆ ‡…ˆŸ ŒŽ™Ž‘’ˆ …„ˆ‘’‚…Ž ˆ…Œ‹…Œ› ’€Šˆ… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ, „‹Ÿ ŠŽ’Ž›•~$k\le 8$. %% 39 ż’Ž ‡€—ˆ’, —’Ž~$a\le 257$, € Œ› “‚ˆ„ˆŒ Ž‡†…, —’Ž \emph{…Ž‹œ˜ˆ•} ŒŽ†ˆ’…‹…‰ ’€Š†… ‘‹…„“…’ ˆ‡…ƒ€’œ. 蒀Š, ‚‘… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ ‚ˆ„€~$2^k+1$ ˆ~$m=2^{35}$ ŽŠ€‡›‚€ž’‘Ÿ …ˆ…Œ‹…Œ›Œˆ. ļˆ Ž‹œ˜ˆ• €‡Œ…€• ‘‹Ž‚€ ŒŽ†ˆ’…‹ˆ ‚ˆ„€~$2^k+1$ ˆŸ’œ ŒŽ†Ž. į›‹ ˆ‘›’€ ˆ Žˆ‘€ ‚ ‹ˆ’…€’“… „€’—ˆŠ ‘~$m=2^{47}$, $a=2^9+1$ ˆ ŒŽ™Ž‘’œž, €‚Ž‰~$6$ ({\sl CACM,\/} {\bf 4} (1961), 350--352). ķ…‘ŒŽ’Ÿ € ’Ž, €„Ž ›’œ Ž—…œ Ž‘’ŽŽ†›Œ ‘ ŒŽ†ˆ’…‹ŸŒˆ ’ˆ€~(1), Ž’ŽŒ“ —’Ž Ž—’ˆ ‚‘… ˆ‡‚…‘’›… …€„…†›… „€’—ˆŠˆ ›‹ˆ ˆŒ…Ž ’€ŠŽƒŽ ’ˆ€. ā „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ‘’ˆ „€†… ˆ‚…„…›‰ ˆŒ… … “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ ‘’€’ˆ‘’ˆ—…‘ŠˆŒ ’…‘’€Œ .3.3.4. ļˆ~$m$, €‚ŽŒ~$w\pm1$, ƒ„…~$w$---€‡Œ… ‘‹Ž‚€, $m$, ‚ŽŽ™… ƒŽ‚ŽŸ, … €‡‹€ƒ€…’‘Ÿ € Žˆ‡‚…„…ˆŸ ‚›‘ŽŠˆ• ‘’………‰ Ž‘’›• —ˆ‘…‹, ’€Š —’Ž Ž‹œ˜€Ÿ ŒŽ™Ž‘’œ …‚Ž‡ŒŽ†€ (‘Œ.\ ˆŒ…~6). ļŽ’ŽŒ“ ‚ ’ŽŒ ‘‹“—€… \emph{…} ‘’Žˆ’ Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ Œ…’Ž„ŽŒ Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽƒŽ …ˆŽ„€, € ‘‹…„“…’ ˆŒ…Ÿ’œ Œ…’Ž„ —ˆ‘’ŽƒŽ “ŒŽ†…ˆŸ ‘~$c=0$. ā‘… …™… Ž‘’€…’‘Ÿ ŒŽƒŽ ‘‚ŽŽ„› ‚ ‚›Ž… ŒŽ†ˆ’…‹Ÿ. āŽŽ™… ƒŽ‚ŽŸ, Œ› •Ž’ˆŒ ‘Ž•€ˆ’œ ŒŽ™Ž‘’œ ‚›‘ŽŠŽ‰, ŒŽ†ˆ’…‹œ „Ž‘’€’Ž—Ž Ž‹œ˜ˆŒ ˆ, ŠŽŒ… ’ŽƒŽ, ˆ‡…†€’œ ‘‹ˆ˜ŠŽŒ Ž‘’ŽƒŽ Ž ‚ˆ„“ €Ž€ –ˆ” ‚ ŒŽ†ˆ’…‹…. ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž~$m=2^{35}$, € Ž…€–ˆŸ “ŒŽ†…ˆŸ “‘ŠŽŸ…’‘Ÿ ˆ “Œ…œ˜…ˆˆ ŠŽ‹ˆ—…‘’‚€ "…„ˆˆ—›•" ˆ’Ž‚ ‚ ŒŽ†ˆ’…‹…. ģŽ†Ž …ŠŽŒ…„Ž‚€’œ (Š‘…ˆŒ…’€‹œŽ) ’€ŠŽ‰ ŒŽ†ˆ’…‹œ, Š€Š~$2^{23}+2^{14}+2^2+1$. ÷‹…~$2^{23}$ „…‹€…’ ŒŽ†ˆ’…‹œ „Ž‚Ž‹œŽ Ž‹œ˜ˆŒ. ÷‹…~$2^2$ Ž…‘…—ˆ‚€…’ ‚›‘ŽŠ“ž ŒŽ™Ž‘’œ. 儈ˆ–€ …Ž•Ž„ˆŒ€ „‹Ÿ Ž‹“—…ˆŸ Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽƒŽ …ˆŽ„€, € $2^{14}$~„Ž€‚‹Ÿ…’‘Ÿ, —’Ž› ŒŽ†ˆ’…‹œ … ŽŠ€‡€‹‘Ÿ ‘‹ˆ˜ŠŽŒ Ž‘’›Œ „‹Ÿ ‚›€Ž’Šˆ „Ž‘’€’Ž—Ž ‘‹“—€‰Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ (‘.~“.~8). ÷‹…, Ž„Ž›‰~$2^{34}$, ›‹ › ‡„…‘œ … ‘’Ž‹œ •ŽŽ˜, Š€Š~$2^{23}$, ’€Š Š€Š ‚ Žˆ‡‚…„…ˆˆ~$2^{34}X_n$ ˆ‘Ž‹œ‡“…’‘Ÿ ’Ž‹œŠŽ ‘€Œ›‰ Œ‹€„˜ˆ‰ ˆ’ —ˆ‘‹€~$X_n$ (ŠŽ’Ž›‰ … ‘‹ˆ˜ŠŽŒ ‘‹“—€…). 呋ˆ ‘ŠŽŽ‘’œ “ŒŽ†…ˆŸ … Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‹ˆŒˆ’ˆ“ž™…‰, Ž‹…… "‘‹“—€‰›‰" ŒŽ†ˆ’…‹œ (€ˆŒ…, $a=3141592621$), ‚…ŽŸ’Ž, ŽŠ€†…’‘Ÿ ‡€—ˆ’…‹œŽ Ž‹…… “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œ›Œ. ā „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ‘’ˆ ŠŽ–…–ˆŸ ŒŽ™Ž‘’ˆ „€…’ ’Ž‹œŠŽ Ž„ˆ ˆ‡ Šˆ’…ˆ…‚ ‚›Ž€ ŒŽ†ˆ’…‹Ÿ; Š …Œ“ ŒŽ†Ž „Ž€‚ˆ’œ …Œ€‹Ž „“ƒˆ•. ķˆ†…, ‚ .3.3.4, Ž‘“†„€…’‘Ÿ "‘…Š’€‹œ›‰ ’…‘’" „‹Ÿ ŒŽ†ˆ’…‹…‰ ‹ˆ…‰›• ŠŽƒ“’›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰. ż’Ž---‚€†›‰ Šˆ’…ˆ‰, ‚Š‹ž—€ž™ˆ‰, Š€Š —€‘’›… ‘‹“—€ˆ, ŒŽ™Ž‘’œ ˆ ‚…‹ˆ—ˆ“ ŒŽ†ˆ’…‹Ÿ. ā .3.3.4 Œ›, €ˆŒ…, “‚ˆ„ˆŒ, —’Ž ‚›Ž~$2^{23}+2^{13}+2^2+1$ €ŒŽƒŽ •“†…, —…Œ~$2^{23}+2^{14}+2^2+1$. ėžŽ‰ ŒŽ†ˆ’…‹œ, ŠŽ’Ž›‰ “„…’ ˜ˆŽŠŽ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ, ‘‹…„“…’ Ž‚…ˆ’œ ‘…Š’€‹œ›Œ ’…‘’ŽŒ. \excercises \ex[M10] ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž …‡€‚ˆ‘ˆŒŽ Ž’ ’ŽƒŽ, Š€ŠˆŒ ŽŠ€†…’‘Ÿ €‡Œ… €‰’€~$B$ Œ€˜ˆ› \MIX, Žƒ€ŒŒ€~(3) ‘‹“†ˆ’ „€’—ˆŠŽŒ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ ‘ Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›Œ …ˆŽ„ŽŒ. %% 40 \ex[10] ź€ŠŽ‚€ ŒŽ™Ž‘’œ „€’—ˆŠ€, …€‹ˆ‡Ž‚€ŽƒŽ \MIX-Žƒ€ŒŒŽ‰~(3)? \ex[11] ź€ŠŽ‚€ ŒŽ™Ž‘’œ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ˆ~$m=2^{35}$, $a=3141592621$? ÷…Œ“ €‚€ ŒŽ™Ž‘’œ, …‘‹ˆ ŒŽ†ˆ’…‹œ~$a=2^{23}+2^{13}+2^2+1$? \ex[20] ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž, …‘‹ˆ~$m=2^e\ge 8$, Œ€Š‘ˆŒ€‹œ€Ÿ ŒŽ™Ž‘’œ „Ž‘’ˆƒ€…’‘Ÿ ˆ~$a \bmod 8 = 5$. \ex[M20] 䀍Ž, —’Ž~$m=p_1^{e_1}\ldots p_t^{e_t}$ ˆ~$a=1+kp_1^{f_1}\ldots p_t^{f_t}$, ƒ„…~$a$ “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ “‘‹Ž‚ˆŸŒ ’…Ž…Œ›~3.2.1.2A, €~$k$ ˆ~$m$ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›. ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž ŒŽ™Ž‘’œ €‚€~$\max(\ceil{e_1/f_1},~\ldots, \ceil{e_t/f_t})$. \rex[20] ź€Šˆ… ˆ‡ ‡€—…ˆ‰~$m=w\pm1$ ‚ ’€‹.~3.2.1.1-1 ŒŽƒ“’ „€’œ ŒŽ™Ž‘’œ, €‚“ž Ž Œ…œ˜…‰ Œ……~$4$? (葏Ž‹œ‡“‰’… …‡“‹œ’€’ “.~5.) \ex[ģ20] 呋ˆ —ˆ‘‹Ž~$a$ “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ “‘‹Ž‚ˆŸŒ ’…Ž…Œ›~3.2.1.2A, ŽŽ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’Ž ‘~$m$; ‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ, ‘“™…‘’‚“…’ —ˆ‘‹Ž~$a'$, ’€ŠŽ…, —’Ž~$aa'\equiv 1 \pmod{m}$. ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž~$a'$ ŒŽ†Ž Ž‘’Ž ‚›€‡ˆ’œ ‘ ŽŒŽ™œž~$b$. \rex[ģ26] 䀒—ˆŠ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ ‘~$X_{n+1}=(2^{17}+3)X_n \bmod 2^{35}$ ˆ~$X_0=1$ Ž„‚…ƒ‹ˆ ‘‹…„“ž™…Œ“ ’…‘’“. ļ“‘’œ~$Y_n=\floor{10X_n/2^{35}}$, ’Žƒ„€~$Y_n$ „Ž‹†€ ›’œ ‘‹“—€‰Ž‰ –ˆ”Ž‰ Œ…†„“~$6$ ˆ~$9$, € ’ˆ€„›~$(Y_{3n}, Y_{3n+1}, Y_{3n+2})$ „Ž‹†› ˆˆŒ€’œ ‹žŽ… ˆ‡ $1000$~‚Ž‡ŒŽ†›• ‡€—…ˆ‰ Ž’~$(0, 0, 0)$ „Ž~$(9, 9, 9)$ ‘ €‚Ž‰ ‚…ŽŸ’Ž‘’œž. ķŽ ‚ $30\,000$~Ž‚……›• —ˆ‘…‹ …ŠŽ’Ž›… ’ˆ€„› ‚‘’…—€‹ˆ‘œ Ž—…œ …„ŠŽ, € …ŠŽ’Ž›… ŽŸ‚‹Ÿ‹ˆ‘œ ƒŽ€‡„Ž —€™… „“ƒˆ•. ģŽ†…’… ‹ˆ ‚› Ž®Ÿ‘ˆ’œ ’€ŠŽ‰ ‘’€›‰ …‡“‹œ’€’? \subsubchap{䐓ƒˆ… Œ…’Ž„›} %3.2.2 źŽ…—Ž, ‹ˆ…‰›… ŠŽƒ“’›… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ---… …„ˆ‘’‚…›‰ ˆ‡ …„‹Ž†…›• „‹Ÿ ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œ›• Œ€˜ˆ ˆ‘’Ž—ˆŠŽ‚ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹. ā ’ŽŒ “Š’… Œ› ˆ‚…„…Œ Ž‡Ž „“ƒˆ• €ˆŽ‹…… ‚€†›• Œ…’Ž„Ž‚. ķ…ŠŽ’Ž›… ˆ‡ ˆ• „Ž‘’€’Ž—Ž ‚€†› ’Žƒ„€ Š€Š „“ƒˆ… …„‘’€‚‹Ÿž’ ˆ’……‘ ‹ˆ˜œ Ž‘’Ž‹œŠ“, Ž‘ŠŽ‹œŠ“ ŽŠ€‡›‚€ž’‘Ÿ ‘Ž‚‘…Œ … ’€ŠˆŒˆ •ŽŽ˜ˆŒˆ, Š€Š Š€†“’‘Ÿ € …‚›‰ ‚‡ƒ‹Ÿ„. ī„Ž ˆ‡ Ž™…ˆŸ’›• ‡€‹“†„…ˆ‰, ‘ ŠŽ’Ž›Œˆ ˆ•Ž„ˆ’‘Ÿ ‘’€‹Šˆ‚€’œ‘Ÿ, ŠŽƒ„€ …—œ ˆ„…’ Ž Ž‹“—…ˆˆ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, —’Ž „Ž‘’€’Ž—Ž ‚‡Ÿ’œ •ŽŽ˜ˆ‰ „€’—ˆŠ ˆ ‘‹…ƒŠ€ …ƒŽ ˆ‡Œ…ˆ’œ, —’Ž› ‚›€Ž’€’œ "…™… Ž‹…… ‘‹“—€‰“ž" Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ. 䎂Ž‹œŽ —€‘’Ž ’Ž …‚…Ž. ķ€ˆŒ…, Œ› ‡€…Œ —’Ž Ž ”ŽŒ“‹… $$ X_{n+1}=(aX_n+c) \bmod m \eqno(1) $$ ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ „Ž‚Ž‹œŽ •ŽŽ˜ˆ… ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€ ķ… “„…’ ‹ˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ $$ X_{n+1}=((aX_n) \bmod (m+1)+c) \bmod m \eqno(2) $$ …™… Ž‹…… ‘‹“—€‰Ž‰? ī’‚…’ ’€ŠŽ‚, —’Ž Ž‚€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‘ Ž‹œ˜…‰ ‚…ŽŸ’Ž‘’œž \emph{Œ………} ‘‹“—€‰€. ē€Œ…’ˆŒ, —’Ž –…‹Ž‘’€Ÿ ’…ŽˆŸ „‹Ÿ …… “˜ˆ’‘Ÿ, € ‚ Ž’‘“’‘’‚ˆ… Š€ŠŽ‰-‹ˆŽ ’…Žˆˆ Ž Ž‚…„…ˆŸ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~(2) Œ› Ž€„€…Œ ‚ Ž‹€‘’œ „€’—ˆŠŽ‚. ’ˆ€~$X_{n+1}=f(X_n)$ ‘Ž ‘‹“—€‰Ž ‚›€Ž‰ ”“Š–ˆ…‰~$f$. āŒ…‘’… ‘ ’…Œ “.~3.1-11--3.1-15 ŽŠ€‡›‚€ž’, —’Ž ’ˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ %% 41 ‚…„“’ ‘…Ÿ ‘Ž‚‘…Œ … ’€Š •ŽŽ˜Ž, Š€Š …‘‹ˆ › ”“Š–ˆŸ~(1) ›‹€ —…’ŠŽ Ž…„…‹…€. š€‘‘ŒŽ’ˆŒ „“ƒŽ‰ Ž„•Ž„, ›’€Ÿ‘œ ƒ……ˆŽ‚€’œ "Ž‹…… ‘‹“—€‰›…" —ˆ‘‹€. ėˆ…‰›‰ ŠŽƒ“’›‰ Œ…’Ž„ ŒŽ†Ž ŽŽ™ˆ’œ, …‚€’ˆ‚ …ƒŽ, ‘Š€†…Œ, ‚ Š‚€„€’ˆ—›‰ ŠŽƒ“’›‰ Œ…’Ž„: $$ X_{n+1}=(dX_n^2+aX_n+c) \bmod m. \eqno(3) $$ ā “.~8 ŽŽ™€…’‘Ÿ ’…Ž…Œ€~3.2.1.2A ‘ –…‹œž Ž‹“—ˆ’œ …Ž•Ž„ˆŒ›… ˆ „Ž‘’€’Ž—›… “‘‹Ž‚ˆŸ „‹Ÿ~$a$, $c$ ˆ~$d$, ’€Šˆ…, —’Ž› Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, Ž…„…‹…€Ÿ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…Œ~(3), ˆŒ…‹€ › Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›‰ …ˆŽ„~$m$. īƒ€ˆ—…ˆŸ ŽŠ€‡›‚€ž’‘Ÿ … Ž‹…… †…‘’ŠˆŒˆ, —…Œ ‚ ‹ˆ…‰ŽŒ Œ…’Ž„…. 䋟 ‘‹“—€Ÿ, ŠŽƒ„€ $m$~…„‘’€‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‘’……œž „‚Ž‰Šˆ, ˆ’……‘›‰ Š‚€„€’ˆ—›‰ Œ…’Ž„ …„‹Ž†ˆ‹ š.~źŽ‚ž. ļ“‘’œ $$ X_0 \bmod 4 =2, \quad X_{n+1}=X_n(X_n+1) \bmod 2^e, \rem{$n\ge 0$.} \eqno(4) $$ ż’“ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ŒŽ†Ž ‚›—ˆ‘‹Ÿ’œ Ž—’ˆ ‘ ’Ž‰ †… ””…Š’ˆ‚Ž‘’œž, Š€Š ˆ~(1), … ‡€Ž’Ÿ‘œ Ž ……Ž‹…ˆˆ. ī€ ˆŒ……’ ˆ’……‘“ž ‘‚Ÿ‡œ ‘ …‚Ž€—€‹œ›Œ Œ…’Ž„ŽŒ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€ ”Ž ķ…‰Œ€€. āŽ‡œŒ…Œ~$Y_n$, €‚Ž…~$2^eX_n$, ’€Š —’Ž~$Y_n$---—ˆ‘‹Ž, …„‘’€‚‹…Ž… ‘ „‚Ž‰Ž‰ ’Ž—Ž‘’œž “’…Œ ˆˆ‘›‚€ˆŸ ‘€‚€ $e$~“‹…‰ „‚Žˆ—ŽŒ“ …„‘’€‚‹…ˆž~$X_n$. ņŽƒ„€~$Y_{n+1}$ ‘Ž‘’Žˆ’ ‚ ’Ž—Ž‘’ˆ ˆ‡ $2e$~‘…„ˆ• –ˆ” —ˆ‘‹€~$Y_n^2+2^eY_n$! ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, Œ…’Ž„ źŽ‚ž Ž—’ˆ ˆ„…’ˆ—… Œ…’Ž„“ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€ ‘ „‚Ž‰Ž‰ ’Ž—Ž‘’œž, ‘ ’Ž‰ €‡ˆ–…‰, —’Ž Ž ƒ€€’ˆ“…’ Ž‹œ˜Ž‰ …ˆŽ„. ģŽ†Ž ˆ‚…‘’ˆ ˆ „€‹œ…‰˜ˆ… „ŽŠ€‡€’…‹œ‘’‚€ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ Ž‹“—€…ŒŽ‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ (‘Œ. “. 3.3.4-25). 䐓ƒˆ… ŽŽ™…ˆŸ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ~(1) ’€Š†… „Ž‚Ž‹œŽ Ž—…‚ˆ„›. ķ€ˆŒ…, Œ› ŒŽƒ‹ˆ › Ž›’€’œ‘Ÿ “‚…‹ˆ—ˆ’œ …ˆŽ„ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. ļ…ˆŽ„ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ —…‡‚›—€‰Ž ‚…‹ˆŠ. ī›—Ž, …‘‹ˆ $m$~ˆ‹ˆ†€…’‘Ÿ Š €‡Œ…“ Œ€˜ˆŽƒŽ ‘‹Ž‚€, Œ› ˆŒ……Œ „…‹Ž ‘ …ˆŽ„€Œˆ ŽŸ„Š€~$10^9$ ˆ Ž‹œ˜…, ’€Š —’Ž ‚ ’ˆˆ—›• ‡€„€—€• ˆ‘Ž‹œ‡“…’‘Ÿ ’Ž‹œŠŽ Ž—…œ Œ€‹€Ÿ —€‘’œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. ń „“ƒŽ‰ ‘’ŽŽ›, ‚…‹ˆ—ˆ€ …ˆŽ„€ ‚‹ˆŸ…’ € ‘’……œ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ, ŠŽ’Ž€Ÿ „Ž‘’ˆƒ€…’‘Ÿ ‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ (‘Œ.\ ‡€Œ…—€ˆŸ, ˆ‚…„…›… Ž‘‹… ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ~3.3.4-13). ļŽ’ŽŒ“ Ž›—Ž Œ› ‘’…ŒˆŒ‘Ÿ Ž‹“—€’œ Ž‹œ˜Ž‰ …ˆŽ„, „‹Ÿ —…ƒŽ ˆ ‘“™…‘’‚“…’ Ÿ„ Œ…’Ž„Ž‚. ā Ž„ŽŒ ˆ‡ ˆ• ‚‚Ž„ˆ’‘Ÿ ‡€‚ˆ‘ˆŒŽ‘’œ~$X_{n+1}$ Ž’~$X_n$ ˆ~$X_{n-1}$ ‚Œ…‘’Ž Ž‘’Ž‰ ‡€‚ˆ‘ˆŒŽ‘’ˆ ’Ž‹œŠŽ Ž’~$X_n$. ņŽƒ„€ „‹ˆ“ …ˆŽ„€ ŒŽ†Ž “‚…‹ˆ—ˆ’œ „Ž~$m^2$, ’€Š Š€Š Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ €—…’ Ž‚’ŽŸ’œ‘Ÿ … €œ˜…, —…Œ “„…’ ‚›Ž‹…Ž €‚…‘’‚Ž~$(X_{n+\lambda}, X_{n+\lambda+1})=(X_n, X_{n+1})$. ļŽ‘’…‰˜ˆ‰ ‘‹“—€‰ ‡€‚ˆ‘ˆŒŽ‘’ˆ~$X_{n+1}$ Ž’ Ž‹…… —…Œ Ž„ŽƒŽ ˆ‡ …„›„“™ˆ• ‡€—…ˆ‰ …€‹ˆ‡“…’‘Ÿ ‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ōˆŽ€——ˆ $$ X_{n+1}=(X_n+X_{n-1}) \bmod m. \eqno (5) $$ %% 42 ż’Ž’ „€’—ˆŠ €‘‘Œ€’ˆ‚€‹‘Ÿ ‚ €—€‹… Ÿ’ˆ„…‘Ÿ’›• ƒŽ„Ž‚. ī „€…’ Ž›—Ž „‹ˆ“ …ˆŽ„€, Ž‹œ˜“ž, —…Œ~$m$. ī„€ŠŽ ’…‘’› ‘ Ž…„…‹…Ž‘’œž ŽŠ€‡€‹ˆ, —’Ž —ˆ‘‹€, Ž‹“—€…Œ›… ˆ‡ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸ ōˆŽ€——ˆ~(5), Ÿ‚‹Ÿž’‘Ÿ \emph{…„Ž‘’€’Ž—Ž} ‘‹“—€‰›Œˆ. ļŽ’ŽŒ“ ‚ €‘’ŽŸ™…… ‚…ŒŸ ”ŽŒ“‹€~(5) ˆ’……‘€ ƒ‹€‚›Œ Ž€‡ŽŒ Š€Š …Š€‘›‰ "‹Ž•Ž‰ ˆŒ…". ģŽ†Ž ’€Š†… €‘‘ŒŽ’…’œ „€’—ˆŠˆ ‚ˆ„€ $$ X_{n+1}=(X_n+X_{n-k}) \bmod m, \eqno(6) $$ ƒ„…~$k$---„Ž‘’€’Ž—Ž Ž‹œ˜Ž… —ˆ‘‹Ž, …„‹Ž†…›… 搈ŽŒ, ńŒˆ’ŽŒ ˆ ź‹…ŒŽŒ (Green, Smith, Klem, {\sl JACM,\/} {\bf 6} (1959), 527--537). ļˆ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž™…Œ ‚›Ž…~$X_0$, $X_1$,~\dots, $X_k$ ’€ ”ŽŒ“‹€ Ž…™€…’ ‘’€’œ ˆ‘’Ž—ˆŠŽŒ •ŽŽ˜ˆ• ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹. ķ€ …‚›‰ ‚‡ƒ‹Ÿ„ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…~(6) ‚›ƒ‹Ÿ„ˆ’ … ‘‹ˆ˜ŠŽŒ “„Ž›Œ „‹Ÿ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆŸ ‚ Œ€˜ˆ…, ’…Œ … Œ……… ‘“™…‘’‚“…’ Ž—…œ ””…Š’ˆ‚€Ÿ Ž–…„“€ „‹Ÿ …… …€‹ˆ‡€–ˆˆ. \alg A.(ą„„ˆ’ˆ‚›‰ „€’—ˆŠ —ˆ‘…‹.) ń€—€‹€ ‚ Ÿ—…‰Šˆ~$Z$, $Y[0]$, $Y[1]$,~\dots, $Y[k]$ ‡€Ž‘Ÿ’‘Ÿ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚…Ž ‡€—…ˆŸ~$X_k$, $X_k$, $X_{k-1}$,~\dots, $X_0$, € $j$~ˆˆŒ€…’‘Ÿ €‚›Œ~$k$. ļŽ‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ… ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆ… €‹ƒŽˆ’Œ€ ˆ‚Ž„ˆ’ Š Ž‹“—…ˆž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$X_{k+1}$, $X_{k+2}$, $\ldots\,$. \st[$j<0$?] 呋ˆ~$j<0$, “‘’€Ž‚ˆ’œ~$j\asg k$. \st[ļˆ€‚ˆ’œ, ‡€Œ…ˆ’œ.] 󑒀Ž‚ˆ’œ~$Z\asg Y[j] \asg (Z+Y[j]) \bmod m$. \st[󌅍œ˜ˆ’œ~$j$.] 󌅍œ˜ˆ’œ~$j$ €~$1$, ‚›„€’œ~$Z$. \algend ż’Ž’ €‹ƒŽˆ’Œ € Ÿ‡›Š…~\MIX{} ‚›ƒ‹Ÿ„ˆ’ ’€Š (ˆ “‘‹Ž‚ˆˆ, —’Ž ˆ„…Š‘›‰ …ƒˆ‘’~6 … ˆ‘Ž‹œ‡“…’‘Ÿ ‚ Ž‘Ž‚Ž‰ Žƒ€ŒŒ…): $$ \vcenter{ \mixcode J6NN & *+2 & A1. $j<0$? ENT6 & K & 󑒀Ž‚ˆ’œ~$j\asg k$. LDA & Z & A2. ļˆ€‚ˆ’œ, ‡€Œ…ˆ’œ. ADD & Y, 6 & $Z+Y[j]$ (‚Ž‡ŒŽ†Ž ……Ž‹…ˆ…) STA & Y, 6 & $\rasg Y[j]$. STA & Z & $\rasg Z$. DEC6 & 1 & A3. 󌅍œ˜ˆ’œ~$j$. \endmixcode } \eqno(7) $$ ż’Ž’ „€’—ˆŠ €Ž’€…’ Ž›—Ž ›‘’……, —…Œ „€’—ˆŠˆ, …€‹ˆ‡“ž™ˆ… …„›„“™ˆ… Œ…’Ž„›, ’€Š Š€Š ‡„…‘œ … ’…“…’‘Ÿ ˆŠ€ŠŽƒŽ “ŒŽ†…ˆŸ. ń…‰—€‘ Ž ’€ŠŽŒ €„„ˆ’ˆ‚ŽŒ „€’—ˆŠ… ˆ‡‚…‘’Ž …ŒŽƒŽ. ļ…†„… —…Œ …ƒŽ ŒŽ†Ž “„…’ …ŠŽŒ…„Ž‚€’œ, ‘‹…„“…’ €‡‚ˆ’œ ’…Žˆž, Ž‡‚Ž‹Ÿž™“ž “‘’€Ž‚ˆ’œ …Ž•Ž„ˆŒ›… ŽŠ€‡€’…‹ˆ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ ‚›€€’›‚€…Œ›• —ˆ‘…‹, ˆ Ž‚…‘’ˆ ˜ˆŽŠˆ… ˆ‘›’€ˆŸ „‹Ÿ Ž’„…‹œ›• ‡€—…ˆ‰~$k$ ˆ~$X_0$, $X_1$,~\dots, $X_k$. 䋈€ …ˆŽ„€ Ž‘“†„€…’‘Ÿ ‚ “.~11; ‚ŽŽ™… ƒŽ‚ŽŸ, Ž€ … €ŒŽƒŽ Ž‹œ˜…~$m$. ā ‘’€’œ… %% 43 搈€, ńŒˆ’€ ˆ ź‹…Œ€ ƒŽ‚Žˆ’‘Ÿ, —’Ž ˆ~$k\le 15$ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ … “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ ’…‘’“ "Ž‚…Š€ ˆ’…‚€‹Ž‚", Žˆ‘€ŽŒ“ ‚ .~3.3.2, •Ž’Ÿ ˆ~$k=16$ ’…‘’ Ž•Ž„ˆ’ ŽŒ€‹œŽ. ń“™…‘’‚“…’ Ž•Ž†ˆ‰, Ž ƒŽ€‡„Ž Ž‹…… ””…Š’ˆ‚›‰ ‘Ž‘Ž “‹“—˜…ˆŸ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ ‹ˆ…‰›• ŠŽƒ“’›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰, …‘‹ˆ~\emph{$m$---Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž.} ķ€ˆŒ…, $m$~ŒŽ†Ž ‚›€’œ Š€Š ‘€ŒŽ… Ž‹œ˜Ž… Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž, ŠŽ’ŽŽ… ŒŽ†Ž ‡€ˆ‘€’œ ‚ Œ€˜ˆŽŒ ‘‹Ž‚…. ņ€ŠŽ… —ˆ‘‹Ž ŒŽ†Ž ‚›—ˆ‘‹ˆ’œ ‡€ ˆ…Œ‹…ŒŽ… ‚…ŒŸ, ˆŒ…ŸŸ ’…•ˆŠ“ .~4.5.4. źŽƒ„€~$m=p$---Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž, ˆ‡ ’…Žˆˆ ŠŽ…—›• Ž‹…‰ ‘‹…„“…’, —’Ž ‘“™…‘’‚“ž’ ’€Šˆ… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ~$a_1$,~\dots, $a_k$, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, Ž…„…‹…€Ÿ ”ŽŒ“‹Ž‰ $$ X_n=(a_1X_{n-1}+\cdots+a_kX_{n-k}) \bmod p, \eqno(8) $$ ˆŒ……’ …ˆŽ„ „‹ˆ›~$p^k-1$. ē„…‘œ~$X_0$,~\dots, $X_{k-1}$ ŒŽƒ“’ ›’œ ‚›€› Žˆ‡‚Ž‹œŽ, Ž … „Ž‹†› ›’œ ‚‘… €‚› “‹ž. (÷€‘’›‰ ‘‹“—€‰~$k=1$ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“…’ Œ“‹œ’ˆ‹ˆŠ€’ˆ‚Ž‰ ŠŽƒ“’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ Ž Ž‘’ŽŒ“ ŒŽ„“‹ž, ‘ ŠŽ’ŽŽ‰ Œ› “†… ‡€ŠŽŒ›.) ā›Ž Ž‘’ŽŸ›•~$a_1$,~\dots, $a_k$ ‚~(8) ’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€ „€…’ †…‹€…Œ›‰ …‡“‹œ’€’, ŠŽƒ„€ Ž‹ˆŽŒ $$ f(x)=x^k-a_1x^{k-1}-\cdots-a_k \eqno(9) $$ Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ \dfn{"ˆŒˆ’ˆ‚›Œ ŒŽƒŽ—‹…ŽŒ Ž ŒŽ„“‹ž~$p$",} ’.~….\ ˆŒ……’ ŠŽ…œ, Ÿ‚‹Ÿž™ˆ‰‘Ÿ \emph{…‚ŽŽ€‡›Œ ‹…Œ…’ŽŒ Ž‹Ÿ ˆ‡~$p^k$} ‹…Œ…’Ž‚\note{1}% {ż’Ž’ ‹…Œ…’---Ž€‡“ž™€Ÿ Œ“‹œ’ˆ‹ˆŠ€’ˆ‚Ž‰ ƒ“› Ž‹Ÿ 怋“€, ŠŽ’Ž€Ÿ, Š€Š ˆ‡‚…‘’Ž, –ˆŠ‹ˆ—€.--- {\sl ļˆŒ. …„.\/}} (‘Œ. “. 4.6.2-16). źŽ…—Ž, Ž‘’Ž‰ ”€Š’ \emph{‘“™…‘’‚Ž‚€ˆŸ} Ž„•Ž„Ÿ™ˆ• ŠŽ‘’€’~$a_1$,~\dots, $a_k$, Ž…‘…—ˆ‚€ž™ˆ• „‹ˆ“ …ˆŽ„€~$p^k-1$, …„Ž‘’€’Ž—… „‹Ÿ €Š’ˆ—…‘Šˆ• –…‹…‰. ģ› „Ž‹†› “Œ…’œ \emph{€•Ž„ˆ’œ} ˆ•, … ……ˆ€Ÿ ‚‘… $p^k$~‚€ˆ€’Ž‚, ’€Š Š€Š $p$~ˆŒ……’ ŽŸ„ŽŠ €‡Œ…€ Œ€˜ˆŽƒŽ ‘‹Ž‚€. ź ‘—€‘’œž, ‘“™…‘’‚“…’ ‚ ’Ž—Ž‘’ˆ~$\varphi(p^k-1)/k$ Ž„•Ž„Ÿ™ˆ• ŠŽŒˆ€–ˆ‰~$(a_1,~\ldots, a_k)$, ’€Š —’Ž ˆŒ……’‘Ÿ „Ž‚Ž‹œŽ Ž‹œ˜Ž‰ ˜€‘ Ž€“†ˆ’œ Ž„“ ˆ‡ ˆ• Ž‘‹… …‘ŠŽ‹œŠˆ• ‘‹“—€‰›• Ž›’ŽŠ. ķŽ, ŠŽŒ… ‚‘…ƒŽ Ž—…ƒŽ, €Œ “†Ž “Œ…’œ ›‘’Ž Ž…„…‹ˆ’œ, Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‹ˆ~(9) ˆŒˆ’ˆ‚›Œ ŒŽƒŽ—‹…ŽŒ Ž ŒŽ„“‹ž~$p$. ńŽ‚…˜…Ž …Œ›‘‹ˆŒŽ ‚›€€’›‚€’œ $p^k-1$~‹…Œ…’Ž‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‚ Ž†ˆ„€ˆˆ Ž‚’Ž…ˆŸ! ģ…’Ž„› Ž‚…Šˆ ’ŽƒŽ, Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‹ˆ ŒŽƒŽ—‹… ˆŒˆ’ˆ‚›Œ Ž ŒŽ„“‹ž~$p$, Ž‘“†„€‹ˆ‘œ ż‹€…ŽŒ ˆ ź“’ŽŒ (Alanen, Knuth, {\sl Sankhy\=a\/}, Ser.~A, {\bf 26} (1964), 305--328). ģŽ†Ž ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ ‘‹…„“ž™ˆ‰ Šˆ’…ˆ‰. ļ“‘’œ~$r=(p^k-1)/(p-1)$. \medskip \item{i)}~ā…‹ˆ—ˆ€~$(-1)^{k+1}a_k$ „Ž‹†€ ›’œ …‚ŽŽ€‡›Œ ŠŽ…Œ Ž ŒŽ„“‹ž~$p$ (‘.~.~3.2.1.2). \item{ii)}~ļŽ‹ˆŽŒ~$x^r$ „Ž‹†… ›’œ ‘€‚ˆŒ ‘~$(-1)^{k+1}a_k$ Ž ŒŽ„“‹ž~$f(x)$ ˆ~$p$. %% 44 \item{iii)}~ń’……œ~$x^{r/q} \bmod f(x)$, ƒ„… Ž„€‡“Œ…‚€…’‘Ÿ Ž‹ˆŽŒˆ€‹œ€Ÿ €ˆ”Œ…’ˆŠ€ Ž ŒŽ„“‹ž~$p$, „Ž‹†€ ›’œ Ž‹Ž†ˆ’…‹œŽ‰ „‹Ÿ ‚‘ŸŠŽƒŽ Ž‘’ŽƒŽ „…‹ˆ’…‹Ÿ~$q$ —ˆ‘‹€~$r$. \medskip \noindent ż””…Š’ˆ‚›… Œ…’Ž„› ‚›—ˆ‘‹…ˆŸ~$x^n \bmod f(x)$, ˆ‘Ž‹œ‡“ž™ˆ… Ž‹ˆŽŒˆ€‹œ“ž €ˆ”Œ…’ˆŠ“ Ž ŒŽ„“‹ž Ž‘’ŽƒŽ~$p$, Ž‘“†„€ž’‘Ÿ ‚~.~4.6.2. ÷’Ž› ‘„…‹€’œ ’€Š“ž Ž‚…Š“, €Œ “†Ž ‡€’œ ”€Š’Žˆ‡€–ˆž~$r=(p^k-1)/(p-1)$ ‘ ŽŒŽ™œž Ž‘’›• —ˆ‘…‹. ż’Ž Žƒ€ˆ—ˆ‚€…’ ‚Ž‡ŒŽ†Ž‘’ˆ ‚›—ˆ‘‹…ˆ‰. ē€ ˆ…Œ‹…ŒŽ… ‚…ŒŸ ŒŽ†Ž ”€Š’Žˆ‡Ž‚€’œ~$r$ ˆ~$k=2$, $3$ ˆ, ŒŽ†…’ ›’œ, $4$, Ž ‘ Ž‹œ˜ˆŒˆ ‡€—…ˆŸŒˆ~$k$, …‘‹ˆ $p$~‚…‹ˆŠŽ, ’“„Ž ˆŒ…’œ „…‹Ž. 䀆… ˆ~$k=2$ —ˆ‘‹Ž "‡€—ˆŒ›• ‘‹“—€‰›• –ˆ”" “„‚€ˆ‚€…’‘Ÿ Ž ‘€‚…ˆž ‘~$k=1$. ļŽ’ŽŒ“ Ž‹œ˜ˆ… ‡€—…ˆŸ~$k$ …„ŠŽ …Ž•Ž„ˆŒ›. 䋟 Ž–…Šˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ —ˆ‘…‹, Ž‹“—€…Œ›• ‘ ŽŒŽ™œž~(8), ŒŽ†Ž ‚Ž‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ ‚€ˆ€’ŽŒ ‘…Š’€‹œŽƒŽ ’…‘’€, Žˆ‘€›Œ ‚ .~3.3.4 (‘Œ.~“.~3.3.4-26). č‡ ˆ‡‹Ž†…ŽƒŽ ‚ ’ŽŒ “Š’… ‘‹…„“…’, —’Ž \emph{…–…‹…‘ŽŽ€‡Ž} Žƒ€ˆ—ˆ‚€’œ‘Ÿ Ž—…‚ˆ„›Œˆ ‡€—…ˆŸŒˆ~$a_1=+1$ ˆ‹ˆ~$a_1=-1$, „€†… …‘‹ˆ ’Ž ‚Ž‡ŒŽ†Ž. ė“—˜… ‚‡Ÿ’œ Ž‹œ˜ˆ…, ‘“™…‘’‚…Ž "‘‹“—€‰›…" —ˆ‘‹€~$a_1$,~\dots, $a_k$, “„Ž‚‹…’‚ŽŸž™ˆ… “‘‹Ž‚ˆŸŒ, € ‡€’…Œ Ž‚…ˆ’œ ‚›Ž ‘ ŽŒŽ™œž ‘…Š’€‹œŽƒŽ ’…‘’€. 䋟 Ž…„…‹…ˆŸ~$a_1$,~\dots, $a_k$, ’…“…’‘Ÿ Ž‚…‘’ˆ ŒŽƒŽ ‚›—ˆ‘‹…ˆ‰, Ž …‘’œ ‚‘… Ž‘Ž‚€ˆŸ ‘—ˆ’€’œ, —’Ž ‚ …‡“‹œ’€’… Œ› Ž‹“—ˆŒ ‚…‘œŒ€ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œ›‰ ˆ‘’Ž—ˆŠ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹. ī‘Ž›‰ ˆ’……‘ …„‘’€‚‹Ÿ…’ ‡€—…ˆ…~$p=2$. 荎ƒ„€ ›‚€…’ “†… „€’—ˆŠ, ŽŽ†„€ž™ˆ‰ ‘‹“—€‰“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ \emph{ˆ’Ž‚}---“‹…‰ ˆ …„ˆˆ– (‚ Ž’‹ˆ—ˆ… Ž’ „Ž…‰, ˆˆŒ€ž™ˆ• ‡€—…ˆŸ Ž’ “‹Ÿ „Ž …„ˆˆ–›). ń“™…‘’‚“…’ Ž‘’Ž‰ ‘Ž‘Ž ‚›€€’›‚€’œ € „‚Žˆ—Ž‰ Œ€˜ˆ… ‘ $k\hbox{-€‡Ÿ„›Œˆ}$ ‘‹Ž‚€Œˆ ‚…‘œŒ€ ‘‹“—€‰“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ˆ’Ž‚. ķ€—ˆ€…Œ ‘ Žˆ‡‚Ž‹œŽƒŽ „‚Žˆ—ŽƒŽ ‘‹Ž‚€~$|Y|=(Y_1 Y_2 \ldots Y_k)_2$, Ž’‹ˆ—ŽƒŽ Ž’ “‹Ÿ. ÷’Ž› Ž‹“—ˆ’œ Ž—……„Ž‰ ‘‹“—€‰›‰ ˆ’ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, Ž„…‹€…Œ ‘‹…„“ž™ˆ… Ž…€–ˆˆ, ‡€ˆ‘€›… € Ÿ‡›Š…~\MIX: $$ \vcenter{ \mixcode LDA & Y & (ļ…„Ž‹€ƒ€…Œ, —’Ž ‘ˆƒ€‹ ……Ž‹…ˆŸ ‚›Š‹ž—….) ADD & Y & ń„‚ˆƒ ‚‹…‚Ž € Ž„ˆ €‡Ÿ„. JNOV & *+2 & ļ……•Ž„, …‘‹ˆ ‚ ‘’€˜…Œ €‡Ÿ„… ‚€—€‹… ›‹ “‹œ. XOR & C & ā Ž’ˆ‚ŽŒ ‘‹“—€… ŠŽ…Š’ˆ“…Œ —ˆ‘‹Ž Ž…€–ˆ…‰ "ˆ‘Š‹ž—€ž™…… ˆ‹ˆ". STA & Y \endmixcode } \eqno(10) $$ ÷…’‚…’€Ÿ Ž ŽŸ„Š“ Ž…€–ˆŸ, "ˆ‘Š‹ž—€ž™…… ˆ‹ˆ", ˆŒ……’‘Ÿ Ž—’ˆ € ‚‘…• „‚Žˆ—›• Œ€˜ˆ€• (‘.~“.~2.5-28). ī€ ˆ‡Œ…Ÿ…’ ‡€—…ˆ… Š€†„ŽƒŽ €‡Ÿ„€, ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž™…ƒŽ ’ŽŒ“, ƒ„… |C|~‘Ž„…†ˆ’ …„ˆˆ–“, € Ž€’Ž…. ā Ÿ—…‰Š…~|C| €•Ž„ˆ’‘Ÿ „‚Žˆ—€Ÿ %% 45 ŠŽ‘’€’€~$(a_1\ldots{}a_k)_2$, Ž…„…‹Ÿž™€Ÿ ˆŒˆ’ˆ‚›‰ ŒŽƒŽ—‹… Ž ŒŽ„“‹ž~$2$: $x^k-a_1x^{k-1}-\cdots-a_k$. ļŽ‘‹… ‚›Ž‹…ˆŸ Žƒ€ŒŒ›~(10) ‚ Œ‹€„˜…Œ €‡Ÿ„…~|Y| ‘Ž„…†ˆ’‘Ÿ ‘‹…„“ž™ˆ‰ ˆ’ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ (…‘‹ˆ ’Ž Ž‹…… “„ŽŽ, ŒŽ†Ž, €ŽŽŽ’, ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ ‘’€˜ˆ‰ €‡Ÿ„~|Y|). š€‘‘ŒŽ’ˆŒ ‚ Š€—…‘’‚… ˆŒ…€ ˆ‘.~1, ˆ‹‹ž‘’ˆ“ž™ˆ‰ $$\matrix{ 1011\cr 0101\cr 1010\cr 0111\cr 1110\cr 1111\cr 1101\cr 1001\cr 0001\cr 0010\cr 0100\cr 1000\cr 0011\cr 0110\cr 1100\cr 1011\cr } $$ %% ż’€ Œ€’ˆ–€ ˆ …‘’œ Š€’ˆŠ€. \picture{ šˆ‘.~1. ļŽ‘‹…„Ž‚€’…‹œ›… ‘Ž‘’ŽŸˆŸ Œ€˜ˆŽƒŽ ‘‹Ž‚€~|Y| ˆ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆˆ „‚Žˆ—ŽƒŽ Œ…’Ž„€ „‹Ÿ~$k=4$ ˆ $c=|CONTENTS|(|C|)= (0011)_2$. } Ž‹“—…ˆ… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ˆ~$k=4$, $c=(0011)_2$ (’Ž, ŠŽ…—Ž, …‘’€„€’Ž Œ€‹Ž… ‡€—…ˆ…~$k$). ļ€‚›‰ ‘’Ž‹…– ’€‹ˆ–› …„‘’€‚‹Ÿ…’ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ˆ’Ž‚, ŠŽ’Ž€Ÿ Ž‚’ŽŸ…’‘Ÿ ‘ …ˆŽ„ŽŒ~$2^k-1=15$: $1101011110001001\ldots\,$. ļŽ‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ „Ž‘’€’Ž—Ž ‘‹“—€‰€Ÿ, …‘‹ˆ “—…‘’œ, —’Ž Ž€ Ž‹“—…€ ‘ ŽŒŽ™œž —…’›…• €‡Ÿ„Ž‚ €ŒŸ’ˆ. ÷’Ž› “…„ˆ’œ‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, €‘‘ŒŽ’ˆŒ ‘Ž‘…„ˆ… —…’‚…Šˆ ˆ’Ž‚, ŽŸ‚‹Ÿž™ˆ…‘Ÿ € Ž’Ÿ†…ˆˆ …ˆŽ„€, € ˆŒ…Ž: $1101$, $1010$, $0101$, $1011$, $0111$, $1111$, $1110$, $1100$, $1000$, $0001$, $0010$, $0100$, $1001$, $0011$, $0110$. āŽŽ™… ƒŽ‚ŽŸ, ’€Š Š€Š „‹ˆ€ …ˆŽ„€ €‚€~$2^k-1$, Š€†„€Ÿ ‚Ž‡ŒŽ†€Ÿ ŠŽŒˆ€–ˆŸ $k$~ˆ’Ž‚ ‚‘’…—€…’‘Ÿ ‡€ …ˆŽ„ ’Ž—Ž Ž„ˆ €‡, ‡€ ˆ‘Š‹ž—…ˆ…Œ €Ž€ ˆ‡ ‚‘…• “‹…‰. ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, ‘Ž‘…„ˆ… €Ž› ˆ‡ $k$~ˆ’Ž‚ ‘“™…‘’‚…Ž …‡€‚ˆ‘ˆŒ›. ā \S~3.5 Œ› “‚ˆ„ˆŒ, —’Ž ‘“™…‘’‚“…’ Ž—…œ ŒŽ™›‰ Šˆ’…ˆ‰ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ „‹Ÿ~$k$, €‚ŽƒŽ, ‘Š€†…Œ, $30$ ˆ‹ˆ Ž‹œ˜…. ņ…Ž…’ˆ—…‘Šˆ… …‡“‹œ’€’›, ˆ‹‹ž‘’ˆ“ž™ˆ… ‘‹“—€‰Ž‘’œ ’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ˆ‚Ž„Ÿ’‘Ÿ ‚ ‘’€’œ… š.~ņ€“‘‚Ž’€ (R.~ń.~Tausworthe, {\sl Math. Comp.,\/} {\bf 19} (1965), 201--209). ļˆŒˆ’ˆ‚›… ŒŽƒŽ—‹…› ‘’……ˆ~$\le 100$ Ž ŒŽ„“‹ž~$2$ ›‹ˆ Ž’€“‹ˆŽ‚€› ż.~󎒑ŽŽŒ (å.~J.~Watson, {\sl Math. Comp.,\/} {\bf 16} (1962), 368--369). ļˆ~$k=35$ ŒŽ†Ž ˆŸ’œ $$ c = (00000000000000000000000000000000101)_2, $$ %% 46 € „‹Ÿ~$k=30$ ŒŽ†Ž ‚‡Ÿ’œ $$ c=(000000000000000000000001010011)_2. $$ ā‘… †…, Š€Š ‘‹…„“…’ ˆ‡ “.~18 ˆ~3.3.4-26, „‹Ÿ Ž…„…‹…ˆŸ ˆŒˆ’ˆ‚›• ŒŽƒŽ—‹…Ž‚ Ž ŒŽ„“‹ž~$2$ ‹“—˜… €•Ž„ˆ’œ ‘“™…‘’‚…Ž "‘‹“—€‰›…" ŠŽ‘’€’›~$c$. \emph{ļ…„“…†„…ˆ…:} ķ…ŠŽ’Ž›… Ž€„€‹ˆ‘œ ‚ ‹Ž‚“˜Š“, ›’€Ÿ‘œ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ Œ…’Ž„ ‚›€Ž’Šˆ ‘‹“—€‰›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ˆ’Ž‚ „‹Ÿ Ž‹“—…ˆŸ ‘‹“—€‰›• „Ž…‰, ‡€ˆŒ€ž™ˆ• –…‹Ž… ‘‹Ž‚Ž~$(.Y_0Y_1\ldots{}Y_{k-1})_2$, $(.Y_kY_{k+1}\ldots{}Y_{2k-1})_2$,~$\ldots\,$. ķ€ ‘€ŒŽŒ „…‹… ’Ž „Ž‚Ž‹œŽ ‹Ž•Ž‰ ‘Ž‘Ž, •Ž’Ÿ Ž’„…‹œ›… ˆ’› Š€†„Ž‰ „Žˆ ‚Ž‹… ‘‹“—€‰› (‘Œ.~“.~18)! ģ› “†… ‚ˆ„…‹ˆ, —’Ž, ŠŽƒ„€~$X_n$ Ž…„…‹Ÿ…’‘Ÿ Ž„•Ž„Ÿ™…‰ ”“Š–ˆ…‰ Ž’~$X_{n-1}$,~\dots, $X_{n-k}$, ŒŽ†Ž €‰’ˆ ’€Šˆ… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‘~$0\le X_n < m$ ˆ …ˆŽ„ŽŒ~$m^k-1$, ƒ„…~$m$---Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž. ķ€ˆŽ‹œ˜ˆ‰ …ˆŽ„, ŠŽ’Ž›‰ ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ „‹Ÿ \emph{Žˆ‡‚Ž‹œŽ‰} Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, Ž…„…‹…Ž‰ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…Œ $$ X_n=f(X_{n-1}, \ldots, X_{n-k}), \rem{$0\le X_n < m$,} \eqno(11) $$ Š€Š ŒŽ†Ž ‚ˆ„…’œ, €‚…~$m^k$. ģ.~ģ€’ˆ (ģ.~H.~Martin {\sl Bull. Amer. Math. Soc.,\/} {\bf 40} (1934), 859--864) …‚›‰ ŽŠ€‡€‹, —’Ž ‘“™…‘’‚“ž’ ”“Š–ˆˆ, Ž‡‚Ž‹Ÿž™ˆ… „Ž‘’ˆ—œ ’ŽƒŽ Œ€Š‘ˆŒ“Œ€ „‹Ÿ ‹ž›•~$m$ ˆ~$k$. 僎 Œ…’Ž„ ‹…ƒŠŽ ŽŽ‘Ž‚€’œ, Ž, Š ‘Ž†€‹…ˆž, Ž …“„Ž… „‹Ÿ Žƒ€ŒŒˆŽ‚€ˆŸ (‘Œ.~“.~17). č‡ ˆ‡‚…‘’›• ”“Š–ˆ‰~$f$, „€ž™ˆ• Œ€Š‘ˆŒ€‹œ›‰ …ˆŽ„~$m^k$, ‘€ŒŽ‰ Ž‘’Ž‰ Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ Žˆ‘€€Ÿ ‚ “.~21. ńŽŽ’‚…’‘’‚“ž™ˆ… Žƒ€ŒŒ›, ‚ŽŽ™… ƒŽ‚ŽŸ, … ’€Š ””…Š’ˆ‚› „‹Ÿ ‚›€Ž’Šˆ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, Š€Š ˆ …€‹ˆ‡€–ˆˆ „“ƒˆ• €…… Žˆ‘€›• Œ…’Ž„Ž‚. ā‘… †… Žˆ Ž‡‚Ž‹Ÿž’ Ž„…ŒŽ‘’ˆŽ‚€’œ Ÿ‚“ž ‘‹“—€‰Ž‘’œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ (ŠŽƒ„€ …—œ ˆ„…’ Ž …ˆŽ„… ‚ –…‹ŽŒ). 䐓ƒŽ‰ ‚€†›‰ Š‹€‘‘ Œ…’Ž„Ž‚ ‘‚Ž„ˆ’‘Ÿ Š \emph{ŠŽŒˆ€–ˆˆ} „€’—ˆŠŽ‚ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ „‹Ÿ Ž‹“—…ˆŸ "…™… Ž‹…… ‘‹“—€‰›•" Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰. ā‘…ƒ„€ €‰„“’‘Ÿ ‘Š…’ˆŠˆ, Ž‹€ƒ€ž™ˆ…, —’Ž ‹ˆ…‰›… ŠŽƒ“’›… Œ…’Ž„›, €„„ˆ’ˆ‚›… Œ…’Ž„› ˆ ’.~„.\ ‘‹ˆ˜ŠŽŒ Ž‘’› „‹Ÿ ‚›€Ž’Šˆ „Ž‘’€’Ž—Ž ‘‹“—€‰›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰. ą ’€Š Š€Š …‚Ž‡ŒŽ†Ž \emph{„ŽŠ€‡€’œ,} —’Ž ˆ• ‘Š…’ˆ–ˆ‡Œ …Ž€‚„€ (•Ž’Ÿ Œ› ˆ ‚…ˆŒ, —’Ž ’Ž ’€Š), „Ž‚Ž‹œŽ …‘Ž‹…‡Ž Ž‘€ˆ‚€’œ Ž„ŽŽ… Œ…ˆ…. ń“™…‘’‚“ž’ ‚Ž‹… ””…Š’ˆ‚›… Œ…’Ž„› „‹Ÿ ’ŽƒŽ, —’Ž› Ž‹“—€’œ ˆ‡ „‚“• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ €‘’Ž‹œŠŽ ‘‹“—€‰“ž ’…’œž, —’Ž ’Ž‹œŠŽ ‘€Œ›Œ Ž’®Ÿ‚‹…›Œ ‘Š…’ˆŠ€Œ Ž€ ŒŽ†…’ … Ž€‚ˆ’œ‘Ÿ. ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž Œ› ˆŒ……Œ „‚… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$X_0$, $X_1$,~\dots, ˆ~$Y_0$, $Y_1$,~\dots, ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, €‘Ž‹Ž†…›• Œ…†„“ “‹…Œ ˆ~$m-1$, Ž‹“—…›… „‚“ŒŸ …‡€‚ˆ‘ˆŒ›Œˆ ‘Ž‘Ž€Œˆ. ī„Ž ˆ‡ …„‹Ž†…ˆ‰ ‘‚Ž„ˆ’‘Ÿ Š ’ŽŒ“, —’Ž› ‘Š‹€„›‚€’œ —ˆ‘‹€ Ž€Ž Ž %% 47 ŒŽ„“‹ž~$m$, Ž‹“—€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ~$Z_n=(X_n+Y_n)\bmod m$. ā ’ŽŒ ‘‹“—€… †…‹€’…‹œŽ, —’Ž› „‹ˆ› …ˆŽ„Ž‚~$\$ ˆ~$\$ ›‹ˆ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›Œˆ —ˆ‘‹€Œˆ (‘Œ.~“.~13). ģ…’Ž„, …„‹Ž†…›‰ ģ€Š‹€…ŽŒ ˆ ģ€‘€‹œ…‰ ‡€—ˆ’…‹œŽ ‹“—˜… ˆ “„ˆ‚ˆ’…‹œŽ “„Ž… „‹Ÿ Žƒ€ŒŒˆŽ‚€ˆŸ. \alg M.(āŽ‹… ‘‹“—€‰€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ.) ļˆ ‡€„€›• Œ…’Ž„€• ‚›€Ž’Šˆ „‚“• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰~$\$ ˆ~$\$ ’Ž’ Œ…’Ž„ Ž‡‚Ž‹Ÿ…’ ƒ……ˆŽ‚€’œ —‹…› "‡€—ˆ’…‹œŽ Ž‹…… ‘‹“—€‰Ž‰" Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. ģ› ˆ‘Ž‹œ‡“…Œ ‚‘ŽŒŽƒ€’…‹œ“ž ’€‹ˆ–“~$V[0]$, $V[1]$,~\dots, $V[k-1]$, ƒ„…~$k$---…ŠŽ’ŽŽ… —ˆ‘‹Ž, ‚›ˆ€…ŒŽ… Ž›—Ž „‹Ÿ “„Ž‘’‚€ €‚›Œ ˆŒ…Ž~$100$. ń€—€‹€ $V\hbox{-’€‹ˆ–€}$ ‡€Ž‹Ÿ…’‘Ÿ …‚›Œˆ $k$~‡€—…ˆŸŒˆ $X\hbox{-Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ}$. \st[ā›€Ž’€’œ~$X$, $Y$.] 󑒀Ž‚ˆ’œ ‚~$X$ ˆ~$Y$ ‡€—…ˆŸ Ž—……„›• —‹…Ž‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰~$\$ ˆ~$\$ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚…Ž. \st[ā›—ˆ‘‹ˆ’œ~$j$.] 󑒀Ž‚ˆ’œ~$j\asg \floor{kY/m}$, ƒ„…~$m$---ŒŽ„“‹œ, ˆ‘Ž‹œ‡“ž™ˆ‰‘Ÿ ‚ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$\$. ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, $j$~ˆˆŒ€…’ ‘‹“—€‰Ž… ‡€—…ˆ…, Ž…„…‹Ÿ…ŒŽ… ‘ ŽŒŽ™œž~$Y$; $0 \le j $ ˆ~$\$ ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›…. č „€†… …‘‹ˆ „‹ˆ€ …ˆŽ„€ … Ž—…œ ‘“™…‘’‚…€, ‘Ž‘…„ˆ… —‹…› Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ Ž—’ˆ … ŠŽ…‹ˆ“ž’ „“ƒ ‘ „“ƒŽŒ. ļˆ—ˆŽ‰ ’ŽƒŽ, —’Ž ’Ž’ Œ…’Ž„ €ŒŽƒŽ …‚Ž‘•Ž„ˆ’ Œ…’Ž„ ‘……„ˆ› Š‚€„€’€ ˆ‹ˆ Œ…’Ž„, Ž‘Ž‚€›‰ € ‘ŽŽ’Ž˜…ˆˆ~(2), Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ „Ž‘’€’Ž—€Ÿ ‘‹“—€‰Ž‘’œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰~$X_n$ ˆ~$Y_n$, ŠŽ’Ž›… … ŒŽƒ“’ ‚›Ž†„€’œ‘Ÿ. ÷ˆ’€’…‹ž …ŠŽŒ…„“…’‘Ÿ €‡Ž€’œ “.~3, —’Ž› “‚ˆ„…’œ, Š€Š Œ…’Ž„ €Ž’€…’ ‚ —€‘’ŽŒ ‘‹“—€…. ķ€ Œ€˜ˆ…~\MIX{} ŒŽ†Ž …€‹ˆ‡Ž‚€’œ €‹ƒŽˆ’Œ~M, ˆˆŒ€Ÿ~$k$ € …„ˆˆ–“ Ž‹œ˜ˆŒ Œ€Š‘ˆŒ€‹œŽƒŽ ‡€—…ˆŸ, €‡Œ…™€ž™…ƒŽ‘Ÿ ‚ Ž„ŽŒ €‰’… (€‚›Œ €‡Œ…“ €‰’€). ų€ƒˆ~M2 ˆ~M3 ‹…ƒŠŽ Žƒ€ŒŒˆ“ž’‘Ÿ ‘‹…„“ž™ˆŒ Ž€‡ŽŒ: $$ \vcenter{ \mixcode LD6 & Y(l:l) & $j\asg \hbox{‘’€˜ˆ‰ €‰’ } Y$. LDA & V, 6 & $|rA|\asg \hbox{‘‹…„“ž™ˆ‰ ‹…Œ…’ Ž‚Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ.}$ LDX & õ STX & V,6 & $V[j]\asg X$. \endmixcode } \eqno(12) $$ 䋟 ˆŒ…€ …„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž €‹ƒŽˆ’Œ~M ˆŒ…Ÿ…’‘Ÿ Š ’€ŠˆŒ „‚“Œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ŸŒ ‘~$k=64$: $$ \matrix{ X_0=5772156649, & X_{n+1}=(3141592653 X_n + 2718281829) \bmod 2^{35};\cr Y_0=1781072418, & Y_{n+1}=(2718281829 Y_n + 3141592653) \bmod 2^{35}.\cr } $$ %% 48 ģ› “’‚…†„€…Œ, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, Ž‹“—…€Ÿ ‘ ŽŒŽ™œž €‹ƒŽˆ’Œ€~M, “„…’ “„Ž‚‹…’‚ŽŸ’œ ”€Š’ˆ—…‘Šˆ \emph{‹žŽŒ“} Šˆ’…ˆž ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ „‹Ÿ ƒ……ˆ“…Œ›• ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽ‰ Œ€˜ˆŽ‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰. įŽ‹…… ’ŽƒŽ, ‚…ŒŸ ‚›€Ž’Šˆ —“’œ Ž‹œ˜… —…Œ ‚„‚Ž… …‚›˜€…’ ‚…ŒŸ Ž‹“—…ˆŸ Ž„Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$$. ō.~慁•€„’ ŽŠ€‡€‹ [F.~Gebhardt, {\sl Math. Comp.,\/} {\bf 21} (1967),708--709], —’Ž €‹ƒŽˆ’Œ~M Ž‡‚Ž‹Ÿ…’ Ž‹“—€’œ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œ›… …‡“‹œ’€’›, „€†… …‘‹ˆ …ƒŽ ˆŒ…Ÿ’œ Š ’€ŠˆŒ …‘‹“—€‰›Œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ŸŒ, Š€Š Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ōˆŽ€——ˆ ‘~$X_n=F_2 \bmod m$ ˆ~$Y_n=F_{2n+1} \bmod m$. 䐓ƒŽ‰ ‘Ž‘Ž ŠŽŒˆˆŽ‚€’œ „‚… Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ Ž‘Ž‚€ € –ˆŠ‹ˆ—…‘ŠŽŒ ‘„‚ˆƒ… ˆ "ˆ‘Š‹ž—€ž™…Œ ˆ‹ˆ" ‚ „‚Žˆ—Ž‰ Œ€˜ˆ…. 僎 …„‹Ž†ˆ‹ ó.~󝑒‹‰Š (W.~J.~Westlake, {\sl JACM,\/} {\bf 14} (1967), 337--340). \excercises \rex[12] ļ€Š’ˆ—…‘Šˆ Œ› Ž‹“—€…Œ ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€, Ž‹œ‡“Ÿ‘œ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…Œ~$X_{n+1}=(aX_n+c) \bmod m$, ƒ„…~$X_n$---\emph{–…‹›….} ļŽ‘‹… —…ƒŽ Œ› Ž€™€…Œ‘Ÿ ‘ ˆŒˆ, Š€Š ‘ \emph{„ŽŸŒˆ:} $U_n=X_n/m$. š…Š“…’€Ÿ ”ŽŒ“‹€ „‹Ÿ~$U_n$ ‚ „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ‘’ˆ ’€ŠŽ‚€: $$ U_{n+1}=(aU_n+c/m) \bmod 1. $$ ī„“Œ€‰’… \emph{ŸŒŽ…} ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆ… ’Ž‰ ”ŽŒ“‹› „‹Ÿ ‚›€Ž’Šˆ ‘‹“—€‰›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ‘ ŽŒŽ™œž Ž…€–ˆ‰ ‘ ‹€‚€ž™…‰ ’Ž—ŠŽ‰, ˆŒ…ž™ˆ•‘Ÿ ‚ Œ€˜ˆ…. \rex[ģ20] 䋟 •ŽŽ˜…ƒŽ ˆ‘’Ž—ˆŠ€ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…~$X_{n-1}$ ˆ~$\$ … ‘‹ˆ˜ŠŽŒ ‘‹“—€‰›.) \ex[00] ļŽ—…Œ“ ‚ …‚Ž‰ ŠŽŒ€„… Žƒ€ŒŒ›~(12) ˆ‘Ž‹œ‡“…’‘Ÿ ˆŒ…Ž ‘’€˜ˆ‰ €‰’, € … Š€ŠŽ‰-ˆ“„œ „“ƒŽ‰? \rex[20] š€‘‘ŒŽ’ˆ’… ‚Ž‡ŒŽ†Ž‘’œ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆŸ “‘‹Ž‚ˆŸ~$X_n=Y_n$ „‹Ÿ “‘ŠŽ…ˆŸ €Ž’› €‹ƒŽˆ’Œ€~M. \ex[10] ā ’…Š‘’… ˆ ˆ‘‘‹…„Ž‚€ˆˆ „‚Žˆ—ŽƒŽ Œ…’Ž„€~(10) “’‚…†„€…’‘Ÿ, —’Ž Œ‹€„˜ˆ‰ ˆ’ ‘‹Ž‚€~$X$ ‘‹“—€…, …‘‹ˆ ŒŽƒŽŠ€’Ž ˆŒ…Ÿ’œ ’Ž’ Œ…’Ž„. ļŽ—…Œ“ … ‘‹“—€‰Ž ‚‘… \emph{‘‹Ž‚Ž}~$X$? \ex[20] ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ Ž‹“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ „‹ˆ›~$2^e$ (’.~….\ Š€†„›‰ ˆ‡ $2^e$~‚Ž‡ŒŽ†›• ‚€ˆ€’Ž‚ ‘Ž‘…„ˆ• $e$~ˆ’Ž‚, ŠŽ’Ž›‰ …€‹ˆ‡“…’‘Ÿ ’Ž‹œŠŽ Ž„ˆ €‡ € Ž’Ÿ†…ˆˆ …ˆŽ„€), …‘‹ˆ ˆ‡Œ…ˆ’œ Žƒ€ŒŒ“~(10) ‘‹…„“ž™ˆŒ Ž€‡ŽŒ: %% !!! ķ…ˆŸ’€Ÿ ˜’“Š€: ’€Š Š€Š ‹ŽŠ \mixcode ‚•Ž„ˆ’ ‚ €ƒ“Œ…’ Œ€ŠŽ‘€ \ex, %% …ƒŽ ’ŽŠ…› Ž‹“—€ž’ Š€’…ƒŽˆž, „Ž ’ŽƒŽ, Š€Š ‚ \mixcode Žˆ‡Ž‰„…’ %% ‚›Ž‹…ˆ… \obeylines. ā ˆ’Žƒ… ŠŽ–› ‘’ŽŠ … ‘—ˆ’€ž’‘Ÿ \cr ? ź€Š ’Ž ‘„…‹€’œ? $$ \vcenter{ \mixcode LDA & õ \cr JANZ & *+2 \cr LDA & C \cr ADD & X \cr JNOV & *+3 \cr JAZ & *+2 \cr XOR & C \cr STA & X \cr \endmixcode } $$ %% 49 \ex[M39] 䎊€†ˆ’…, —’Ž Š‚€„€’ˆ—€Ÿ ŠŽƒ“’€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ~$(3)$ ˆŒ……’ …ˆŽ„ „‹ˆ›~$m$ ’Žƒ„€ ˆ ’Ž‹œŠŽ ’Žƒ„€, ŠŽƒ„€ ‚›Ž‹Ÿž’‘Ÿ ‘‹…„“ž™ˆ… “‘‹Ž‚ˆŸ: \medskip \item{i)}~$c$ ˆ~$m$---‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›… —ˆ‘‹€; \item{ii)}~$d$ ˆ~$a-1$ Š€’›~$p$---‚‘…Œ …—…’›Œ Ž‘’›Œ „…‹ˆ’…‹ŸŒ~$m$; \item{iii)}~$d$---—…’Ž… ˆ~$d\equiv a-1\pmod{4}$, …‘‹ˆ~$m$ Š€’Ž~$4$, $d\equiv a-1 \pmod{2}$, …‘‹ˆ~$m$ Š€’Ž~$2$; \item{iv)}~ˆ‹ˆ~$d=0$, ˆ‹ˆ~$a\equiv 1$ ˆ~$cd\equiv 6\pmod{9}$, …‘‹ˆ~$m$ Š€’Ž~$9$. [\emph{󊀇€ˆ….} ļŽ‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, Ž…„…‹…€Ÿ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆŸŒˆ~$X_0=0$, $X_{n+1}=dX_n^2+aX_n+c$, ˆŒ……’ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$ …ˆŽ„ „‹ˆ›~$m$, …‘‹ˆ ’Ž‹œŠŽ ’€ „‹ˆ€ …ˆŽ„€ €‚€~$d$ Ž ŒŽ„“‹ž~$d$, ƒ„…~$d$---Žˆ‡‚Ž‹œ›‰ „…‹ˆ’…‹œ~$m$.] \rex[ģ24] (š.~źŽ‚ž.) 葏Ž‹œ‡“‰’… …‡“‹œ’€’ “.~8, —’Ž› „ŽŠ€‡€’œ, —’Ž ‚ ŒŽ„ˆ”ˆ–ˆŽ‚€ŽŒ Œ…’Ž„… ‘……„ˆ› Š‚€„€’€~(4) „‹ˆ€ …ˆŽ„€ €‚€~$2^{e-2}$. \ex[ģ29] ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž …‘‹ˆ~$X_0$ ˆ~$X_1$ … Ÿ‚‹Ÿž’‘Ÿ Ž€ —…’›Œˆ ˆ~$m=2^e$, ’Ž …ˆŽ„ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ōˆŽ€——ˆ~(5) €‚…~$3\cdot 2^{e-1}$. \ex[ģ36] ē€„€—€ ’ŽƒŽ “€†…ˆŸ ‘Ž‘’Žˆ’ ‚ ’ŽŒ, —’Ž› Ž€€‹ˆ‡ˆŽ‚€’œ Ž…„…‹…›… ‘‚Ž‰‘’‚€ –…‹Ž—ˆ‘‹…›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰, “„Ž‚‹…’‚ŽŸž™ˆ• …Š“…’ŽŒ“ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆž $$ X_n=a_1X_{n-1}+\cdots+a_kX_{n-k}, \rem{$n\ge k$.} $$ 呋ˆ Œ› ŒŽ†…Œ ‚›—ˆ‘‹ˆ’œ „‹ˆ“ …ˆŽ„€ ’Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ Ž ŒŽ„“‹ž~$m=p^e$, ƒ„…~$p$---Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž, ’Ž „‹ˆ€ …ˆŽ„€ Ž’Ž‘ˆ’…‹œŽ Žˆ‡‚Ž‹œŽƒŽ ŒŽ„“‹Ÿ~$m$ €‚€ €ˆŒ…œ˜…Œ“ Ž™…Œ“ Š€’ŽŒ“ „‹ˆ …ˆŽ„Ž‚, ‚›—ˆ‘‹…›• Ž’Ž‘ˆ’…‹œŽ ‘’………‰ Ž‘’›• ‘ŽŒŽ†ˆ’…‹…‰~$m$. \medskip % \item{a)}~ļ“‘’œ~$f(z)$, $a(z)$, $b(z)$)---Ž‹ˆŽŒ› ‘ –…‹Ž—ˆ‘‹…›Œˆ ŠŽ””ˆ–ˆ…’€Œˆ; “„…Œ ˆ‘€’œ~$a(z)\equiv b(z) \pmod{f(z)\hbox{ ˆ } m}$, …‘‹ˆ~$a(z)=b(z)+f(z)u(z)+mv(z)$ „‹Ÿ …ŠŽ’Ž›• Ž‹ˆŽŒŽ‚~$u(z)$, $v(z)$ ‘ –…‹Ž—ˆ‘‹…›Œˆ ŠŽ””ˆ–ˆ…’€Œˆ. 䎊€†ˆ’…, —’Ž ˆ~$f(0)=1$ ˆ~$p^e>2$ ‘€‚…„‹ˆ‚Ž ‘‹…„“ž™……: "…‘‹ˆ~$z^\lambda\equiv 1 \pmod{f(z)\hbox{ ˆ }p^e}$, $z^\lambda\not\equiv 1\pmod{f(z)\hbox{ ˆ }p^{e+1}}$, ’Žƒ„€~$z^{p\lambda}\equiv 1 \pmod{f(z)\hbox{ ˆ }p^{e+1}}$, $z^{p\lambda}\not\equiv 1 \pmod{f(z)\hbox{ ˆ } p^{e+2}}$". % \item{b)}~ļ“‘’œ $$ \eqalign{ f(z)&=1-a_1z-\cdots-a_kz^k,\cr G(z)&=1/f(z)=A_0+A_1z+A_2z^2+\ldots\,.\cr } $$ īŽ‡€—ˆŒ ‘ˆŒ‚Ž‹ŽŒ~$\lambda(m)$ „‹ˆ“ …ˆŽ„€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$\$. 䎊€†ˆ’…, —’Ž~$\lambda(m)$---€ˆŒ…œ˜…… Ž‹Ž†ˆ’…‹œŽ… –…‹Ž…~$\lambda$, ’€ŠŽ…, —’Ž~$z^\lambda\equiv 1 \pmod{f(z)\hbox{ ˆ } m}$. % \item{c)}~ļ“‘’œ~$p$---Ž‘’Ž…, $p^e>2$ ˆ~$\lambda(p^e)\ne \lambda(p^{e+1})$. 䎊€†ˆ’…, —’Ž~$\lambda(p^{e+r})=p^r\lambda(p^e)$ „‹Ÿ ‚‘…•~$r\ge0$. (ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, —’Ž› €‰’ˆ „‹ˆ“ …ˆŽ„€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$\$, ŒŽ†Ž ‚›—ˆ‘‹Ÿ’œ~$\lambda(4)$, $\lambda(8)$, $\lambda(16)$,~\dots{} ‚“—“ž „Ž ’…• Ž, ŽŠ€ Œ› … €‰„…Œ €ˆŒ…œ˜……~$r\ge2$, ’€ŠŽ…, —’Ž~$\lambda(2^{r+1})\ne\lambda(4)$. ņŽƒ„€ „‹ˆ€ …ˆŽ„€ Ž…„…‹…€ Ž~$\bmod 2^e$ „‹Ÿ ‚‘…•~$e$.) % \item{d)}~ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž ‹ž€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ –…‹›• —ˆ‘…‹, “„Ž‚‹…’‚ŽŸž™€Ÿ …Š“…’ŽŒ“ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆž, ˆ‚…„…ŽŒ“ ‚ €—€‹… “€†…ˆŸ, ˆŒ……’ Žˆ‡‚Ž„Ÿ™“ž ”“Š–ˆž~$g(z)/f(z)$, ƒ„…~$g(z)$---…ŠŽ’Ž›‰ Ž‹ˆŽŒ ‘ –…‹Ž—ˆ‘‹…›Œˆ ŠŽ””ˆ–ˆ…’€Œˆ. % \item{e)}~ļ“‘’œ Ž‹ˆŽŒ›~$f(z)$ ˆ~$g(z)$ ˆ‡~(d) ‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›… Ž ŒŽ„“‹ž~$p$ (‘.~.~4.6.1). 䎊€†ˆ’…, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ~$\$ ˆŒ……’ „‹ˆ“ …ˆŽ„€ ‚ ’Ž—Ž‘’ˆ ’€Š“ž †…, Š€Š ˆ ‘…–ˆ€‹œ€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ~$\$ ‚~(b). (ķˆŠ€ŠˆŒ ‚›ŽŽŒ~$X_0$,~\dots, $X_{k-1}$ …‹œ‡Ÿ Ž‹“—ˆ’œ Ž‹…… „‹ˆ›‰ …ˆŽ„, ’€Š Š€Š Ž™€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ …„‘’€‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‹ˆ…‰Ž‰ ŠŽŒˆ€–ˆ…‰ "‘„‚ˆƒŽ‚" ‘…–ˆ€‹œŽ‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ.) [\emph{󊀇€ˆ….} ń“™…‘’‚“ž’ Ž‹ˆŽŒ›, ’€Šˆ…, —’Ž~$a(z)f(z)+b(z)g(z)\equiv 1 \pmod{p^e}$. ż’Ž ‘‹…„“…’ ˆ‡ “.~4.6.2-22 (‹…ŒŒ€ 慍‡…‹Ÿ).] \rex[ģ28] ķ€‰„ˆ’… –…‹›… —ˆ‘‹€~$X_0$, $X_1$, $a$, $b$ ˆ~$c$, ’€Šˆ…, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ $$ X_{n+1}=(aX_n+bX_{n-1}+c)\bmod 2^e, \rem{$n\ge 1$,} $$ %% 50 ˆŒ……’ ‘€Œ›‰ Ž‹œ˜Ž‰ …ˆŽ„ ˆ‡ ‚‘…• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ’ŽƒŽ ’ˆ€. [\emph{󊀇€ˆ….} $X_{n+2}=((a+1)X_{n+1}+(b-a)X_n-bX_{n-1})\bmod 2^e$ ńŒ.~“.~11~(c).] \ex[ģ20] ļ“‘’œ~$\$ ˆ~$\$--- Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ –…‹›• —ˆ‘…‹ Ž ŒŽ„“‹ž~$m$ ‘ …ˆŽ„€Œˆ „‹ˆ›~$\lambda_1$ ˆ~$\lambda_2$; Ž€‡“…Œ Ž‚“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ~$Z_n=(X_n+Y_n)\bmod m$. ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž, …‘‹ˆ~$\lambda_1$ ˆ~$\lambda_2$---‚‡€ˆŒŽ Ž‘’›… —ˆ‘‹€, Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ~$\$ ˆŒ……’ „‹ˆ“ …ˆŽ„€~$\lambda_1\lambda_2$. \ex[ģ24] ļ“‘’œ~$X_n$, $Y_n$, $Z_n$, $\lambda_1$, $\lambda_2$, ’€Šˆ… †…, Š€Š ˆ ‚ …„›„“™…Œ “€†…ˆˆ. ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž~$\lambda_1=2^{e_2}3^{e_3}5^{e_5}\ldots$---€‡‹Ž†…ˆ…~$\lambda_1$ € Ž‘’›… ŒŽ†ˆ’…‹ˆ, ˆ €€‹Žƒˆ—Ž~$\lambda_2=2^{f_2}3^{f_3}5^{f_5}\ldots\,$. ļ“‘’œ~$\lambda_0=2^{g_2}3^{g_3}5^{g_5}\ldots$, ƒ„…~$g_p=(\max(e_p, f_p)$, …‘‹ˆ~$e_p\ne f_p$, ˆ~$0$, …‘‹ˆ~$e_p=f_p$). ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž …ˆŽ„~$\lambda'$ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~$Z_n$ Š€’…~$\lambda_0$, Ž Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ „…‹ˆ’…‹…Œ~$\lambda$---€ˆŒ…œ˜…ƒŽ Ž™…ƒŽ Š€’ŽƒŽ~$\lambda_1$, $\lambda_2$. ā —€‘’Ž‘’ˆ, $\lambda'=\lambda$, …‘‹ˆ $(e_p\ne f_p \ror e_p=f_p=0)$ „‹Ÿ ‚‘ŸŠŽƒŽ Ž‘’ŽƒŽ~$p$. \ex[ģ46] ÷’Ž ŒŽ†Ž ‘Š€‡€’œ Ž Ž‚Ž„“ „‹ˆ› …ˆŽ„€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, ‚›€€’›‚€…ŒŽ‰ €‹ƒŽˆ’ŒŽŒ~M? \rex[ģ28] ļ“‘’œ „‚Žˆ—Ž… …„‘’€‚‹…ˆ… ŠŽ‘’€’›~$c$, ”ˆƒ“ˆ“ž™…‰ ‚ Œ…’Ž„…~(10), ˆŒ……’ ‚ˆ„~$(a_1 a_2 \ldots a_k)_2$. ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ˆ’Ž‚~$Y_0$, $Y_1$,~\dots{} “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆž $$ Y_n=(a_1Y_{n-1}+a_2Y_{n-2}+\cdots+a_kY_{n-k}) \bmod 2. $$ [ż’o ŒŽ†Ž €‘‘Œ€’ˆ‚€’œ Š€Š „“ƒŽ‰ ‘Ž‘Ž Ž…„…‹…ˆŸ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. •Ž’Ÿ € …‚›‰ ‚‡ƒ‹Ÿ„ ‘‚Ÿ‡œ Œ…†„“ ’ˆŒ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆ…Œ ˆ ””…Š’ˆ‚Ž‰ Žƒ€ŒŒŽ‰~(10) … Ž—…‚ˆ„€!] \ex[ģ33] (ģ.~ģ€’ˆ, 1934.) ļ“‘’œ~$m, k\ge 1$---–…‹›… —ˆ‘‹€ ˆ~$X_1=X_2=\ldots=X_k=0$. 䋟~$n>0$ Ž‹Ž†ˆŒ~$X_{n+k}$ €‚›Œ €ˆŽ‹œ˜…Œ“ …Ž’ˆ–€’…‹œŽŒ“ ‡€—…ˆž~$y$ … “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ ’…‘’“~3.3.2D ˆ~$d=8$. \ex[M41] ķ€‰„ˆ’… „‹Ÿ Š€†„ŽƒŽ Ž‘’ŽƒŽ~$p$ ˆ‡ …‚ŽƒŽ ‘’Ž‹–€ ’€‹.~1 ‚ .~4.5.4 Ž„•Ž„Ÿ™ˆ… (‚ ‘Œ›‘‹…, “Š€‡€ŽŒ ‚ ’…Š‘’…) ŠŽ‘’€’›~$a_1$, $a_2$, ’€Šˆ…, —’Ž „‹ˆ€ …ˆŽ„€~(8) ˆ~$k=2$ €‚€~$p^2-1$. \ex[ģ40] ā›—ˆ‘‹ˆ’… ŠŽ‘’€’›~$c$, “„Ž›… „‹Ÿ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆŸ ˆ• ‚ Œ…’Ž„…~(10), ˆŒ…ž™ˆ… ˆŒ…Ž Ž„ˆ€ŠŽ‚Ž… —ˆ‘‹Ž “‹…‰ ˆ …„ˆˆ–, „‹Ÿ~$1\le k \le 64$. \ex[ģ35] (ä. šˆ‘.) ā ’…Š‘’… Ž®Ÿ‘Ÿ…’‘Ÿ, Š€Š €•Ž„ˆ’œ ”“Š–ˆˆ~$f$, ’€Šˆ…, —’Ž “ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ~(11) „‹ˆ€ …ˆŽ„€ €‚€~$m^k-1$ ˆ “‘‹Ž‚ˆˆ, —’Ž~$m$---Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž, €~$X_0$,~\dots, $X_{k-1}$ Ž’‹ˆ—› Ž’ “‹Ÿ. ļŽŠ€†ˆ’…, —’Ž ’ˆ ”“Š–ˆˆ ŒŽ†Ž ŒŽ„ˆ”ˆ–ˆŽ‚€’œ, —’Ž› Ž‹“—ˆ’œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‚ˆ„€~(11) %% 51 ‘ „‹ˆŽ‰ …ˆŽ„€~$m^k$ „‹Ÿ \emph{‚‘…•}~$m$. [\emph{󊀇€ˆ….} āŽ‘Ž‹œ‡“‰’…‘œ ‹…ŒŒŽ‰~3.2.1.2Q, ˆ‘Š“‘‘’‚…›Œ ˆ…ŒŽŒ “.~7 ˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ŸŒˆ ‚ˆ„€~$\$.] \rex[ģ24] ā ’…Š‘’… Ž‘“†„…ˆ… ŽŽ™…›• ‹ˆ…‰›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰~(8) Žƒ€ˆ—ˆ‚€…’‘Ÿ ‘‹“—€…Œ, ŠŽƒ„€~$m$---Ž‘’Ž… —ˆ‘‹Ž. 䎊€†ˆ’…, —’Ž „Ž‘’€’Ž—Ž Ž‹œ˜ˆ… …ˆŽ„› ŒŽ†Ž Ž‹“—ˆ’œ, ŠŽƒ„€~$m$ "‘‚ŽŽ„Ž Ž’ Š‚€„€’Ž‚", ’.~….\ …„‘’€‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‚ ‚ˆ„… Žˆ‡‚…„…ˆŸ €‡‹ˆ—›• Ž‘’›• —ˆ‘…‹. (ļŽ‚…Š€ ’€‹.~3.2.1.1-1 ŽŠ€‡›‚€…’, —’Ž~$m=w\pm1$ —€‘’Ž “„Ž‚‹…’‚ŽŸ…’ ’Ž‰ ƒˆŽ’…‡…. ģŽƒˆ… …‡“‹œ’€’›, Ž‹“—…›… ‚ ’…Š‘’…, ŒŽ†Ž Ž’ŽŒ“ ˆŒ…Ÿ’œ ˆ ‚ ’ŽŒ ‘‹“—€…, …‘ŠŽ‹œŠŽ Ž‹…… “„ŽŽŒ „‹Ÿ ‚›—ˆ‘‹…ˆ‰.) %% 52 \subchap{ńņąņčńņč÷åńźčå ņåńņū} % 3.3 ķ€˜€ Ž‘Ž‚€Ÿ ‡€„€—€ ‘Ž‘’Žˆ’ ‚ Ž‹“—…ˆˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰, ŠŽ’Ž›… Ž•Ž†ˆ € ‘‹“—€‰›…. ģ› “†… ‚ˆ„…‹ˆ, Š€Š „Žˆ’œ‘Ÿ ’€ŠŽƒŽ Ž‹œ˜ŽƒŽ …ˆŽ„€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, —’Ž› ‚ €Š’ˆ—…‘Šˆ• ‡€„€—€• ˆ‘Š‹ž—ˆ’œ ‚Ž‡ŒŽ†Ž‘’œ …… Ž‚’Ž…ˆŸ. õŽ’Ÿ ’Ž ˆ ‚€†Ž, Ž Ž‹œ˜Ž‰ …ˆŽ„ …™… ‚Ž‚‘… … Ž‡€—€…’, —’Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ •ŽŽ˜€ „‹Ÿ €Ž’›. ź€Š †… …˜€’œ, „Ž‘’€’Ž—Ž ‹ˆ ‘‹“—€‰€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ? 呋ˆ „€’œ ‹žŽŒ“ —…‹Ž‚…Š“ Š€€„€˜ ˆ “Œ€ƒ“ ˆ ŽŽ‘ˆ’œ …ƒŽ €ˆ‘€’œ 100~‘‹“—€‰›• „…‘Ÿ’ˆ—›• –ˆ”, Ž—…œ Œ€‹Ž ˜€‘Ž‚ € ’Ž, —’Ž Ž „Ž‘’€’Ž—Ž •ŽŽ˜Ž ‘ŒŽ†…’ ‘ ’ˆŒ ‘€‚ˆ’œ‘Ÿ. ėž„ˆ ‘’…ŒŸ’‘Ÿ ˆ‡…ƒ€’œ ŠŽŒˆ€–ˆ‰, Š€†“™ˆ•‘Ÿ ˆŒ …‘‹“—€‰›Œˆ, ’€Šˆ•, Š€Š €› Ž„ˆ€ŠŽ‚›• ‘Ž‘…„ˆ• –ˆ” (•Ž’Ÿ ˆŒ…Ž Š€†„€Ÿ ˆ‡ 10~–ˆ” „Ž‹†€ ‘Ž‚€„€’œ ‘ …„›„“™…‰). ļŽ’ŽŒ“, “‚ˆ„…‚ ’€‹ˆ–“ „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, ‹žŽ‰ —…‹Ž‚…Š ‘ŠŽ…… ‚‘…ƒŽ ‘Š€†…’, —’Ž Žˆ ‘Ž‚‘…Œ … ‘‹“—€‰›…, …ƒŽ ƒ‹€‡ ‘€‡“ †… Ž’Œ…’ˆ’ …ŠŽ’Ž›… ‚ˆ„ˆŒ›… ‡€ŠŽŽŒ…Ž‘’ˆ. ź€Š ‡€Œ…’ˆ‹ „-~ģ€’ˆ–€ (–ˆ’ˆ“…’‘Ÿ Ž €Ž’… ģ.~Gardner, {\sl Scientific American,\/} Ÿ‚€œ, 1965), "Œ€’…Œ€’ˆŠˆ €‘‘Œ€’ˆ‚€ž’ „…‘Ÿ’ˆ—Ž… …„‘’€‚‹…ˆ… —ˆ‘‹€~$\pi$ Š€Š ‘‹“—€‰›‰ Ÿ„, ’Žƒ„€ Š€Š „‹Ÿ ‘Ž‚…Œ…ŽƒŽ ’Ž‹ŠŽ‚€’…‹Ÿ —ˆ‘…‹---’Ž Š‹€„…‡œ ‡€Œ…—€’…‹œ›• ‡€ŠŽŽŒ…Ž‘’…‰". ä-~ģ€’ˆ–€ “Š€‡€‹, €ˆŒ…, —’Ž …‚Ž… Ž‚’ŽŸž™……‘Ÿ „‚“‡€—Ž… —ˆ‘‹Ž ‚ €‡‹Ž†…ˆˆ~$\pi$---’Ž 26, € ‚’ŽŽ… …ƒŽ ŽŸ‚‹…ˆ… ˆ•Ž„ˆ’‘Ÿ ’Ž—Ž Ž‘……„ˆ… Ž„Ž‰ ‹žŽ›’Ž‰ ŠŽ”ˆƒ“€–ˆˆ: \picture{(1) p. 52} ā›ˆ‘€‚ ŽŠŽ‹Ž „ž†ˆ› „“ƒˆ• ‘‚Ž‰‘’‚ ’ˆ• –ˆ”, Ž Ž€“†ˆ‹, —’Ž, “„“—ˆ €‚ˆ‹œŽ ˆ’……’ˆŽ‚€Ž, —ˆ‘‹Ž~$\pi$ Ž’€†€…’ ‚‘ž ˆ‘’Žˆž —…‹Ž‚…—…‘’‚€! ā‘… Œ› ‚›„…‹Ÿ…Œ Ž‘Ž…Ž‘’ˆ ’…‹…”Ž›• ŽŒ…Ž‚, ŽŒ…›• ‡€ŠŽ‚ Œ€˜ˆ ˆ ’.~„., —’Ž› ‹…ƒ—… ˆ• ‡€ŽŒˆ’œ. 拀‚€Ÿ Œ›‘‹œ ‚‘…ƒŽ ‘Š€‡€ŽƒŽ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, —’Ž Œ› … ŒŽ†…Œ „Ž‚…Ÿ’œ ‘…… ‚ Ž–…Š…, ‘‹“—€‰€ ˆ‹ˆ …’ „€€Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ —ˆ‘…‹. ķ…Ž•Ž„ˆŒŽ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ Š€Šˆ…-’Ž ……„‚‡Ÿ’›… Œ…•€ˆ—…‘Šˆ… ’…‘’›. %% 53 ń’€’ˆ‘’ˆ—…‘Š€Ÿ ’…ŽˆŸ „€…’ €Œ …ŠŽ’Ž›… ŠŽ‹ˆ—…‘’‚…›… Šˆ’…ˆˆ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ. āŽ‡ŒŽ†›Œ †… ’…‘’€Œ “Š‚€‹œŽ …’ ŠŽ–€. ģ› Ž‘“„ˆŒ ’Ž‹œŠŽ ’… ˆ‡ ˆ•, ŠŽ’Ž›…, “„“—ˆ €ˆŽ‹…… Ž‹…‡›Œˆ ˆ Ž“—ˆ’…‹œ›Œˆ, Ž„Ž‚…Œ…Ž ‹…ƒŠŽ …€‹ˆ‡“ž’‘Ÿ € ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œ›• Œ€˜ˆ€•. 呋ˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ‚…„…’ ‘…Ÿ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œŽ Ž’Ž‘ˆ’…‹œŽ ’…‘’Ž‚~$T_1$, $T_2$,~\dots{}, $T_n$, Œ› … ŒŽ†…Œ ›’œ \emph{“‚……›} ‚ ’ŽŒ, —’Ž Ž€ ‚›„…†ˆ’, ˆ ‘‹…„“ž™…… ˆ‘›’€ˆ…~$T_{n+1}$. ī„€ŠŽ Š€†„›‰ ’…‘’ „€…’ €Œ ‚‘… Ž‹œ˜… ˆ Ž‹œ˜… “‚……Ž‘’ˆ ‚ ‘‹“—€‰Ž‘’ˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. ī›—Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ Ž‚…Ÿ…’‘Ÿ ‘ ŽŒŽ™œž Ž‹“„ž†ˆ› €‡›• ’…‘’Ž‚. 呋ˆ ˆ• …‡“‹œ’€’› ŽŠ€‡›‚€ž’‘Ÿ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œ›Œˆ, Œ› ‘—ˆ’€…Œ …… ‘‹“—€‰Ž‰ (Ž€ ‘—ˆ’€…’‘Ÿ …‚ˆŽ‚Ž‰ „Ž ’…• Ž, ŽŠ€ … „ŽŠ€‡€€ …… ‚ˆŽ‚Ž‘’œ). ź€†„“ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ, ŠŽ’Ž€Ÿ “„…’ ˆ’…‘ˆ‚Ž ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ, ‘‹…„“…’ ’™€’…‹œŽ Ž‚…ˆ’œ. ļŽ’ŽŒ“ ‚ ‘‹…„“ž™ˆ• €‡„…‹€• Ž®Ÿ‘Ÿ…’‘Ÿ, Š€Š €‚ˆ‹œŽ Ž‚Ž„ˆ’œ ’€Š“ž Ž‚…Š“. š€‡‹ˆ—€ž’‘Ÿ „‚€ ‘Ž’€ ’…‘’Ž‚: \dfn{Œˆˆ—…‘Šˆ… ’…‘’›,} ŠŽƒ„€ Œ€˜ˆ€ Œ€ˆ“‹ˆ“…’ ‘ ƒ“€Œˆ —ˆ‘…‹ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ˆ Žˆ‡‚Ž„ˆ’ Ž–…Š“ ‘ ŽŒŽ™œž Ž…„…‹…›• ‘’€’ˆ‘’ˆ—…‘Šˆ• Šˆ’…ˆ…‚, ˆ \dfn{’…Ž…’ˆ—…‘Šˆ… ’…‘’›,} ŠŽƒ„€ Œ› €•Ž„ˆŒ …ŠŽ’Ž›… •€€Š’…ˆ‘’ˆŠˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ, Ž‹œ‡“Ÿ‘œ Œ…’Ž„€Œˆ ’…Žˆˆ —ˆ‘…‹, €‡ˆ“ž™ˆŒˆ‘Ÿ € …Š“…’ŽŒ ‘ŽŽ’Ž˜…ˆˆ, ‘ ŽŒŽ™œž ŠŽ’ŽŽƒŽ ‚›€€’›‚€…’‘Ÿ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ. ā Šˆƒ… ä.~õ€””€ [D.~Huff, How to Lie With Statistics, (Norton, 1954)] —ˆ’€’…‹œ ŒŽ†…’ €‰’ˆ Ÿ„ „“ƒˆ• …ŠŽŒ…„€–ˆ‰. \subsubchap{󍈂…‘€‹œ›… ’…‘’› „‹Ÿ €€‹ˆ‡€ ‘‹“—€‰›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰} % 3.3.1 \section{A. źˆ’…ˆ‰~$\chi^2$}. źˆ’…ˆ‰~$\chi^2$ ("•ˆ-Š‚€„€’"), ‚…ŽŸ’Ž, ‘€Œ›‰ €‘Ž‘’€…›‰ ˆ‡ ‚‘…• ‘’€’ˆ‘’ˆ—…‘Šˆ• Šˆ’…ˆ…‚. ī ˆ‘Ž‹œ‡“…’‘Ÿ … ’Ž‹œŠŽ ‘€Œ Ž ‘……, Ž ˆ Š€Š ‘Ž‘’€‚€Ÿ —€‘’œ ŒŽƒˆ• „“ƒˆ• ’…‘’Ž‚. ļ…†„… —…Œ ˆ‘’“ˆ’œ Š Ž™…Œ“ Žˆ‘€ˆž Šˆ’…ˆŸ~$\chi^2$, €‘‘ŒŽ’ˆŒ ‘€—€‹€ ‚ Š€—…‘’‚… ˆŒ…€, Š€Š ŒŽ†Ž ›‹Ž › ˆŒ…ˆ’œ ’Ž’ Šˆ’…ˆ‰ „‹Ÿ €€‹ˆ‡€ ˆƒ› ‚ ŠŽ‘’ˆ. ļ“‘’œ Š€†„›‰ €‡ Ž‘€ž’‘Ÿ …‡€‚ˆ‘ˆŒŽ „‚… "€‚ˆ‹œ›…" ŠŽ‘’ˆ, ˆ—…Œ Ž‘€ˆ… Š€†„Ž‰ ˆ‡ ˆ• ˆ‚Ž„ˆ’ ‘ €‚Ž‰ ‚…ŽŸ’Ž‘’œž Š ‚›€„…ˆž Ž„ŽƒŽ ˆ‡ —ˆ‘…‹~$1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ˆ~$6$. ā…ŽŸ’Ž‘’ˆ ‚›€„…ˆŸ ‹žŽ‰ ‘“ŒŒ› s ˆ Ž„ŽŒ Ž‘€ˆˆ …„‘’€‚‹…› ‚ ’€‹ˆ–…: $$ \vcenter{\halign{ #\hfil\bskip&\hfil$#{}$&\hfil$#$\hfil\bskip&&\bskip\hfil$#$\hfil\bskip\cr ń“ŒŒ€ & s=&2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\cr ā…ŽŸ’Ž‘’œ& p_s=&{1\over 36} & 1\over 18 & 1\over 12 & 1\over 9 & 5\over 36 & 1\over 6 & 5 \over 36 & 1\over 9 & 1\over 12 & 1 \over 18 & 1 \over 36 \cr }} \eqno(1) $$(ķ€ˆŒ…, ‘“ŒŒ€ s=4 ŒŽ†…’ ›’œ Ž‹“—…€ ’…ŒŸ ‘Ž‘Ž€Œˆ: %% 54 $1+3$, $2+2$, $3+1$; ˆ $36$~‚Ž‡ŒŽ†›• ˆ‘•Ž„€• ’Ž ‘Ž‘’€‚‹Ÿ…’~$3/36=1/12=p_4$.) 呋ˆ Ž‘€’œ ŠŽ‘’ˆ $n$~€‡, ŒŽ†Ž Ž†ˆ„€’œ, —’Ž ‘“ŒŒ€~$s$ ŽŸ‚ˆ’‘Ÿ ‚ ‘…„…Œ $np_s$~€‡. ķ€ˆŒ…, ˆ 144~Ž‘€ˆŸ• ‡€—…ˆ…~$4$ „Ž‹†Ž ŽŸ‚ˆ’œ‘Ÿ ŽŠŽ‹Ž 12~€‡. ń‹…„“ž™€Ÿ ’€‹ˆ–€ ŽŠ€‡›‚€…’, Š€Šˆ… …‡“‹œ’€’› ›‹ˆ ‚ \emph{„…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ‘’ˆ,} Ž‹“—…› ˆ 144~Ž‘€ˆŸ•. $$ \vcenter{\halign{ #\hfil\bskip&\hfil$#{}$&\hfil$#$\bskip&&\bskip\hfil$#$\hfil\bskip\cr ń“ŒŒ€ & s=& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \cr ō€Š’ˆ—…‘ŠŽ… —ˆ‘‹Ž ‚›€„…ˆ‰& Y_s=& 2 & 4 & 10 & 12 & 22 & 29 & 21 & 15 & 14 & 9 & 6\cr ń…„…… —ˆ‘‹Ž ‚›€„…ˆ‰ & np_s=& 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 20 & 16 & 12 & 8 & 4 \cr }} \eqno(2) $$ ī’Œ…’ˆŒ, —’Ž ”€Š’ˆ—…‘ŠŽ… —ˆ‘‹Ž ‚›€„…ˆ‰ Ž’‹ˆ—€…’‘Ÿ Ž’ ‘…„…ƒŽ ‚Ž ‚‘…• ‘‹“—€Ÿ•. ā ’ŽŒ …’ ˆ—…ƒŽ “„ˆ‚ˆ’…‹œŽƒŽ. 䅋Ž ‚ ’ŽŒ, —’Ž ‚‘…ƒŽ ˆŒ……’‘Ÿ $36{144}$~‚Ž‡ŒŽ†›• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ˆ‘•Ž„Ž‚ „‹Ÿ 144~Ž‘€ˆ‰, ˆ ‚‘… Žˆ €‚Ž‚…ŽŸ’›. ī„€ ˆ‡ ’€Šˆ• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ‘Ž‘’Žˆ’, €ˆŒ…, ’Ž‹œŠŽ ˆ‡ „‚Ž…Š ("‡Œ…ˆ›… ƒ‹€‡€"), ˆ Š€†„›‰, “ ŠŽƒŽ "‡Œ…ˆ›… ƒ‹€‡€" ‚›€„“’ Ž„Ÿ„ 144~€‡€, “„…’ “‚……, —’Ž ŠŽ‘’ˆ Ž„„…‹œ›…. ģ…†„“ ’…Œ ’€ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’œ ’€Š †… ‚…ŽŸ’€, Š€Š ˆ ‹ž€Ÿ „“ƒ€Ÿ. ź€ŠˆŒ †… Ž€‡ŽŒ ‚ ’€ŠŽŒ ‘‹“—€… Œ› ŒŽ†…Œ Ž‚…ˆ’œ, €‚ˆ‹œŽ ‹ˆ ˆ‡ƒŽ’Ž‚‹…€ „€€Ÿ €€ ŠŽ‘’…‰? ī’‚…’ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, —’Ž ‘Š€‡€’œ Ž…„…‹…Ž "„€" ˆ‹ˆ "…’" Œ› … ŒŽ†…Œ, Ž ŒŽ†…Œ „€’œ \emph{‚…ŽŸ’Ž‘’›‰} Ž’‚…’, ’.~….~“Š€‡€’œ, €‘ŠŽ‹œŠŽ ‚…ŽŸ’Ž ˆ‹ˆ …‚…ŽŸ’Ž „€Ž… ‘Ž›’ˆ…. 呒…‘’‚…›‰ “’œ …˜…ˆŸ €˜…‰ ‡€„€—ˆ ‘Ž‘’Žˆ’ ‚ ‘‹…„“ž™…Œ. ā›—ˆ‘‹ˆŒ (ˆ…ƒ“‚ Š ŽŒŽ™ˆ żāģ) ‘“ŒŒ“ Š‚€„€’Ž‚ €‡Ž‘’…‰ ”€Š’ˆ—…‘ŠŽƒŽ —ˆ‘‹€ ‚›€„…ˆ‰~$Y_s$ ˆ ‘…„…ƒŽ —ˆ‘‹€ ‚›€„…ˆ‰~$np_s$ (‘Œ.~(2)): $$ V=(Y_2-np_2)^2+(Y_3-np_3)^2+\cdots+(Y_{12}-np_{12})^2. \eqno(3) $$ 䋟 ‹Ž•ŽƒŽ ŠŽŒ‹…Š’€ ŠŽ‘’…‰ „Ž‹†› Ž‹“—€’œ‘Ÿ Ž’Ž‘ˆ’…‹œŽ ‚›‘ŽŠˆ… ‡€—…ˆŸ~$V$. āŽ‡ˆŠ€…’ ‚ŽŽ‘, €‘ŠŽ‹œŠŽ ‚…ŽŸ’› ’€Šˆ… ‚›‘ŽŠˆ… ‡€—…ˆŸ? 呋ˆ ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ˆ• ŽŸ‚‹…ˆŸ Ž—…œ Œ€‹€, ‘Š€†…Œ €‚€~$1/100$,---’.~….\ Ž’Š‹Ž…ˆ… …‡“‹œ’€’€ Ž’ ‘…„…ƒŽ ‡€—…ˆŸ € ’€Š“ž Ž‹œ˜“ž ‚…‹ˆ—ˆ“ ‚Ž‡ŒŽ†Ž ’Ž‹œŠŽ ‚ Ž„ŽŒ ‘‹“—€… ˆ‡~$100$,---’Ž “ €‘ …‘’œ Ž…„…‹…›… Ž‘Ž‚€ˆŸ „‹Ÿ Ž„Ž‡…ˆ‰. (ķ… ‘‹…„“…’ ‡€›‚€’œ, Ž„€ŠŽ, —’Ž „€†… \emph{•ŽŽ˜ˆ…} ŠŽ‘’ˆ “„“’ „€‚€’œ ’€ŠŽ… ‚›‘ŽŠŽ… ‡€—…ˆ…~$V$ Ž„ˆ €‡ ˆ‡~100, ’€Š —’Ž „‹Ÿ Ž‹œ˜…‰ “‚……Ž‘’ˆ ‘‹…„Ž‚€‹Ž › Ž‚’Žˆ’œ Š‘…ˆŒ…’ ˆ Ž‘ŒŽ’…’œ, Ž‹“—ˆ’‘Ÿ ‹ˆ Ž‚’ŽŽ ‚›‘ŽŠŽ… ‡€—…ˆ…~$V$.) ā ‘’€’ˆ‘’ˆŠ“~$V$ ‚‘… Š‚€„€’› €‡Ž‘’…‰ ‚•Ž„Ÿ’ ‘ €‚›Œ ‚…‘ŽŒ, •Ž’Ÿ~$(Y_7-np_7)^2$, €ˆŒ…, ‚…ŽŸ’Ž, “„…’ €ŒŽƒŽ Ž‹œ˜…, —…Œ~$(Y_2-np_2)^2$, ’€Š Š€Š~$s=7$ ‚‘’…—€…’‘Ÿ ‚ ˜…‘’œ €‡ —€™…, %% 55 —…Œ~$s=2$. īŠ€‡›‚€…’‘Ÿ, —’Ž ‚ "€‚ˆ‹œ“ž" ‘’€’ˆ‘’ˆŠ“, ˆ‹ˆ Ž Š€‰…‰ Œ…… ’€Š“ž, „‹Ÿ ŠŽ’ŽŽ‰ „ŽŠ€‡€Ž, —’Ž Ž€ €ˆŽ‹…… ‡€—ˆŒ€, —‹…~$(Y_7-np_7)^2$ ‚•Ž„ˆ’ ‘ ŒŽ†ˆ’…‹…Œ, ŠŽ’Ž›‰ ‚ ˜…‘’œ €‡ Œ…œ˜… ŒŽ†ˆ’…‹Ÿ ˆ~$(Y_2-np_2)^2$. ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, ‘‹…„“…’ ‡€Œ…ˆ’œ~(3) € ‘‹…„“ž™“ž ”ŽŒ“‹“: $$ V={(Y_2-np_2)^2 \over np_2}+{(Y_3-np_3)^2\over np_3}+\cdots+{(Y_{12}-np_{12})^2\over np_{12}}. \eqno(4) $$ ī…„…‹…“ž ’€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ ‚…‹ˆ—ˆ“~$V$ €‡›‚€ž’ ‘’€’ˆ‘’ˆŠŽ‰~$\chi^2$, ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž™…‰ ‡€—…ˆŸŒ~$Y_2$,~\dots, $Y_{12}$, Ž‹“—…›Œ ‚ Š‘…ˆŒ…’…. ļŽ„‘’€‚‹ŸŸ ‚ ’“ ”ŽŒ“‹“ ‡€—…ˆŸ ˆ‡~(2), Ž‹“—€…Œ $$ V={(2-4)^2\over 4}+{(4-8)^2\over 8}+\cdots+{(9-8)^2\over 8}+{(6-4)^2\over4}=7{7\over 48}. \eqno(5) $$ ņ……œ, …‘’…‘’‚…Ž, ‚Ž‡ˆŠ€…’ ‚ŽŽ‘, Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ‹ˆ ‡€—…ˆ…~$7{7\over48}$ €‘’Ž‹œŠŽ Ž‹œ˜ˆŒ, —’Ž …ƒŽ ‘‹“—€‰Ž… ŽŸ‚‹…ˆ… ŒŽ†Ž ‘—ˆ’€’œ Œ€‹Ž‚…ŽŸ’›Œ. ļ…†„… —…Œ Ž’‚…—€’œ € ’Ž’ ‚ŽŽ‘, ‘”ŽŒ“‹ˆ“…Œ Šˆ’…ˆ‰~$\chi^2$ ‚ Ž‹…… Ž™…Œ ‚ˆ„…. ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž ‚‘… ‚Ž‡ŒŽ†›… …‡“‹œ’€’› ˆ‘›’€ˆ‰ €‡„…‹…› € $k$~Š€’…ƒŽˆ‰. ļŽ‚Ž„ˆ’‘Ÿ $n$~\dfn{…‡€‚ˆ‘ˆŒ›• ˆ‘›’€ˆ‰;} ’Ž Ž‡€—€…’, —’Ž ˆ‘•Ž„ Š€†„ŽƒŽ ˆ‘›’€ˆŸ €‘Ž‹ž’Ž … ‚‹ˆŸ…’ € ˆ‘•Ž„ Ž‘’€‹œ›•. ļ“‘’œ~$p_s$---‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’ŽƒŽ, —’Ž …‡“‹œ’€’ ˆ‘›’€ˆŸ Ž€„…’ ‚ Š€’…ƒŽˆž~$s$, ˆ “‘’œ~$Y_s$---—ˆ‘‹Ž ˆ‘›’€ˆ‰, ŠŽ’Ž›… „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ \emph{Ž€‹ˆ} ‚ Š€’…ƒŽˆž~$s$. ń”ŽŒˆ“…Œ ‘’€’ˆ‘’ˆŠ“ $$ V=\sum_{1\le s\le k} {(Y_s-np_s)^2\over np_s}. \eqno(6) $$ ā …„›„“™…Œ ˆŒ…… ˆŒ…‹Ž‘œ $11$~‚Ž‡ŒŽ†›• ˆ‘•Ž„Ž‚ ˆ Š€†„ŽŒ Ž‘€ˆˆ ŠŽ‘’…‰, ’€Š —’Ž~$k=11$. [ōŽŒ“‹›~(4) ˆ~(6) €‡‹ˆ—€ž’‘Ÿ ’Ž‹œŠŽ “Œ…€–ˆ…‰: ‚ Ž„ŽŒ ‘‹“—€… Ž€ Žˆ‡‚Ž„ˆ’‘Ÿ Ž’~2 „Ž~12, € ‚ „“ƒŽŒ---Ž’~$1$ „Ž~$k$.] 葏Ž‹œ‡“Ÿ ’Ž†„…‘’‚Ž~$(Y_s-np_s)^2=Y_s^2-2np_sY_s+n^2p_s^2$ ˆ €‚…‘’‚€ $$ \eqalign{ Y_1+Y_2+\cdots+Y_k&=n,\cr p_1+p_2+\cdots+p_k&=1,\cr } \eqno(7) $$ ŒŽ†Ž …Ž€‡Ž‚€’œ ”ŽŒ“‹“~(6) Š ‚ˆ„“ $$ V={1\over n}\sum_{1\le s \le k} \left({Y_s^2\over p_s}\right)-n, \eqno(8) $$ ˆ—…Œ ‚ Ž‹œ˜ˆ‘’‚… ‘‹“—€…‚ ’€Š€Ÿ ‡€ˆ‘œ Ž‹…ƒ—€…’ ‚›—ˆ‘‹…ˆŸ. ā……Œ‘Ÿ Š ‚ŽŽ‘“ Ž ’ŽŒ, Š€Šˆ… ‡€—…ˆŸ~$V$ ŒŽ†Ž ‘—ˆ’€’œ €‡“Œ›Œˆ. ī’‚…’ € ’Ž „€…’ ’€‹.~1, ‚ ŠŽ’ŽŽ‰ ˆ‚…„…Ž "€‘…„…‹…ˆ…~$\chi^2$ ‘ $\nu$~‘’……ŸŒˆ ‘‚ŽŽ„›" ˆ €‡›• ‡€—…ˆŸ•~$\nu$. ń‹…„“…’ Ž‹œ‡Ž‚€’œ‘Ÿ ‘’ŽŠŽ‰ ’€‹ˆ–› ‘~$\nu=k-1$; \emph{—ˆ‘‹Ž "‘’………‰ ‘‚ŽŽ„›" €‚Ž~$k-1$, ’.~….\ € …„ˆˆ–“ Œ…œ˜… —ˆ‘‹€ Š€’…ƒŽˆ‰.} %% 56 {\everycr={\noalign{\hrule}} \htable{ņ€‹ˆ–€~1}% {ķ…ŠŽ’Ž›… „€›… „‹Ÿ €‘…„…‹…ˆŸ~$\chi^2$}% {\offinterlineskip \strut\vrule\bskip$#$\bskip\hfil\vrule&&\bskip\hfil$#$\bskip\hfil\vrule\cr \noalign{ \embedpar{ \noindent (įŽ‹…… Ž‹›… ’€‹ˆ–› ‘Œ. ‚ Handbook of Mathematical Functions, ed.\ by M.~Abramowitz and I.~A.~Stegun, U.~S. Government Printing Office, 1964, Table~26.8) } } & p=99\% & p=95\% & p=75\% & p=50\% & p=25\%& p=5\% & p=1\% \cr \nu=1 & 0.00016 & 0.00393 & 0.1015 & 0.4549 & 1.323 & 3.841 & 6.635\cr \nu=2 & 0.00201 & 0.1026 & 0.5753 & 1.386 & 2.773 & 5.991 & 9.210\cr \nu=3 & 0.1148 & 0.3518 & 1.213 & 2.366 & 4.108 & 7.815 & 11,34\cr \nu=4 & 0.2971 & 0.7107 & 1.923 & 3.357 & 5.385 & 9.488 & 13.28\cr \nu=5 & 0.5543 & 1.1455 & 2.675 & 4.351 & 6.626 & 11.07 & 15.09\cr \nu=6 & 0.8720 & 1.635 & 3.455 & 5.348 & 7.841 & 12.59 & 16.81\cr \nu=7 & 1.239 & 2.167 & 4.255 & 6.346 & 9.037 & 14.07 & 18.48\cr \nu=8 & 1.646 & 2.733 & 5.071 & 7.344 & 10.22 & 15.51 & 20.09\cr \nu=9 & 2.088 & 3.325 & 5.899 & 8.343 & 11.39 & 16.92 & 21.67\cr \nu=10 & 2.558 & 3.940 & 6.737 & 9.342 & 12.55 & 18.31 & 23.21\cr \nu=11 & 3.053 & 4.575 & 7.584 & 10.34 & 13.70 & 19.68 & 24.73\cr \nu=12 & 3.571 & 5.226 & 8.438 & 11.34 & 14.84 & 21.03 & 26.22\cr \nu=15 & 5.229 & 7.261 & 11.04 & 14.34 & 18.25 & 25.00 & 30.58\cr \nu=20 & 8.260 & 10.85 & 15.45 & 19.34 & 23.83 & 31.41 & 37.57\cr \nu=30 & 14.95 & 18.49 & 24.48 & 29.34 & 34.80 & 43.77 & 50.89\cr \nu=50 & 29.71 & 34.76 & 42.94 & 49.33 & 56.33 & 67.50 & 76.15\cr \nu>30 & \multispan{7} \hfil\emph{ˆ‹ˆ‡ˆ’…‹œŽ~$\nu+2\sqrt{\nu}x_p+{4\over3}x^2_p-{2\over3}$\hfil}\vrule\cr x_p= & -2.33 & -1.64 & -.675 & 0.00 & 0.675 & 1.64 & 2.33\cr }} (ķ€ ˆ’“ˆ’ˆ‚ŽŒ “Ž‚… ’Ž ŒŽ†Ž ŽŸ‘ˆ’œ ‘‹…„“ž™ˆŒ Ž€‡ŽŒ: ‡€—…ˆŸ~$Y_1$, $Y_2$,~\dots, $Y_k$ … ‘Ž‚‘…Œ …‡€‚ˆ‘ˆŒ›, ’€Š Š€Š~$Y_1$, ‘Žƒ‹€‘Ž~(7), ŒŽ†Ž ‚›—ˆ‘‹ˆ’œ, ‡€Ÿ~$Y_2$,~\dots, $Y_k$. ń‹…„Ž‚€’…‹œŽ, ˆŒ……’‘Ÿ $k-1$~‘’………‰ ‘‚ŽŽ„›. įŽ‹…… ‘’Žƒ€Ÿ €ƒ“Œ…’€–ˆŸ “„…’ ˆ‚…„…€ ˆ†….) 呋ˆ ‚ ’€‹ˆ–… ‚ ‘’ŽŠ…~$\nu$ ˆ ŠŽ‹ŽŠ…~$p$ €•Ž„ˆ’‘Ÿ —ˆ‘‹Ž~$x$, ’Ž ’Ž Ž‡€—€…’, —’Ž ‡€—…ˆ…~$V$, Ž…„…‹Ÿ…ŒŽ… Ž ”ŽŒ“‹…~(8), “„…’ Ž‹œ˜…~$x$ ‘ ‚…ŽŸ’Ž‘’œž~$p$. ķ€ˆŒ…, „‹Ÿ~$p=5$\% ˆ~$\nu=10$ ’€‹ˆ–€ „€…’ ‡€—…ˆ…~$x=18.31$; ’Ž Ž‡€—€…’, —’Ž~$V>18.31$ ’Ž‹œŠŽ ‚~$5$\% ‚‘…• ‘‹“—€…‚. ļ…„Ž‹Ž†ˆŒ, —’Ž Žˆ‘€›‰ Ž–…‘‘ Ž‘€ˆŸ ŠŽ‘’…‰ ŒŽ„…‹ˆ“…’‘Ÿ € żāģ ‘ ŽŒŽ™œž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ —ˆ‘…‹, ŠŽ’Ž›… %% 57 …„Ž‹€ƒ€ž’‘Ÿ ‘‹“—€‰›Œˆ, ˆ —’Ž Ž‹“—…› ‘‹…„“ž™ˆ… …‡“‹œ’€’›: $$ \vcenter{ \halign{#\bskip\hfil&\bskip\hfil$#{}$&$#$\bskip\hfil&&\bskip\hfil$#$\bskip\cr & s=& 2 & 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\cr żŠ‘…ˆŒ…’~1 & Y_s=& 4 & 10& 10& 13& 20& 18& 18& 11& 13& 14& 13\cr żŠ‘…ˆŒ…’~2 & Y_s=& 3 & 7& 11& 15& 19& 24& 21& 17& 13& 9& 5\cr } } \eqno(9) $$ ā›—ˆ‘‹ŸŸ ‘’€’ˆ‘’ˆŠ“ Šˆ’…ˆŸ~$\chi^2$, Ž‹“—€…Œ ‚ …‚ŽŒ ‘‹“—€… $V_1=29{59\over 120}$, € ‚Ž ‚’ŽŽŒ ‘‹“—€…~$V_2=1{17\over 120}$. ņ€‹ˆ—›… ‡€—…ˆŸ, ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž™ˆ… $10$~‘’……ŸŒ ‘‚ŽŽ„›, ŽŠ€‡›‚€ž’, —’Ž~$V_1$ \emph{Ÿ‚Ž ‘‹ˆ˜ŠŽŒ, ‚…‹ˆŠŽ;} $V$~›‚€…’ Ž‹œ˜…, —…Œ~$23.2$, ’Ž‹œŠŽ ‚ Ž„ŽŒ Ž–…’… ‘‹“—€…‚! (įŽ‹…… Ž‹›… ’€‹ˆ–› ŽŠ€‡›‚€ž’, —’Ž ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ŽŸ‚‹…ˆŸ ‘’Ž‹œ Ž‹œ˜ŽƒŽ ‡€—…ˆŸ~$V$ €‚€~$0.1$\%.) ņ€ŠˆŒ Ž€‡ŽŒ, ‚ Š‘…ˆŒ…’…~1 ‡€…ƒˆ‘’ˆŽ‚€Ž ‡€—ˆ’…‹œŽ… Ž’Š‹Ž…ˆ… Ž’ ŽŒ›. ń „“ƒŽ‰ ‘’ŽŽ›, $V_2$ Ž—…œ Œ€‹Ž, Ž’ŽŒ“ —’Ž~$Y_s$ ‚ Š‘…ˆŒ…’…~2 ŽŠ€‡€‹ˆ‘œ Ž—…œ ‹ˆ‡Šˆ Š ‘…„ˆŒ ‡€—…ˆŸŒ~$np_s$ [‘.~‘~(2)]. č‡ ’€‹ˆ–› €‘…„…‹…ˆŸ~$\chi^2$ ‘‹…„“…’, —’Ž ‚~$99$\% ‘‹“—€…‚ $V$~„Ž‹†Ž ›’œ Ž‹œ˜…, —…Œ~$2.56$. ē€—…ˆ…~$V_2$ \emph{Ÿ‚Ž ‘‹ˆ˜ŠŽŒ Œ€‹Ž;} Ž‹“—…›… ‚ Š‘…ˆŒ…’… ‡€—…ˆŸ~$V_3$ %% ?? V_s €‘’Ž‹œŠŽ ‹ˆ‡Šˆ Š ‘…„…Œ ‡€—…ˆŸŒ, —’Ž …‚Ž‡ŒŽ†Ž ‘—ˆ’€’œ ’Ž’ Š‘…ˆŒ…’ ‘‹“—€‰›Œ ˆ‘›’€ˆ…Œ. (ā ‘€ŒŽŒ „…‹…, ˆ‡ Ž‹…… Ž‹›• ’€‹ˆ– ‘‹…„“…’, —’Ž ˆ $10$~‘’……Ÿ• ‘‚ŽŽ„› ’€Šˆ… ˆ‡Šˆ… ‡€—…ˆŸ~$V$ ‚‘’…—€ž’‘Ÿ ’Ž‹œŠŽ ‚ $0.03$\%~‘‹“—€…‚). ķ€ŠŽ…–, ‘ ŽŒŽ™œž ’€‹ˆ–› €‘…„…‹…ˆŸ~$\chi^2$ ŒŽ†Ž Ž‚…ˆ’œ Ž‹“—…Ž… €Œˆ ‚~(5) ‡€—…ˆ…~$V=7{7\over 48}$. īŽ Ž€„€…’ ‚ ˆ’…‚€‹ Œ…†„“~$75$ ˆ~$50$\%, ’€Š —’Ž Œ› … ŒŽ†…Œ ‘—ˆ’€’œ …ƒŽ ‘‹ˆ˜ŠŽŒ ‚›‘ŽŠˆŒ ˆ‹ˆ ‘‹ˆ˜ŠŽŒ ˆ‡ŠˆŒ; „€›…, …„‘’€‚‹…›… ‚~(2), “„Ž‚‹…’‚ŽŸž’ Šˆ’…ˆž~$\chi^2$. įŽ‹œ˜ˆŒ …ˆŒ“™…‘’‚ŽŒ €‘‘Œ€’ˆ‚€…ŒŽƒŽ Œ…’Ž„€ Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ ’Ž, —’Ž Ž„ˆ ˆ ’… †… ’€‹ˆ—›… ‡€—…ˆŸ ˆ‘Ž‹œ‡“ž’‘Ÿ ˆ ‹ž›•~$n$ ˆ ‹ž›• ‚…ŽŸ’Ž‘’Ÿ•~$p_s$. 儈‘’‚…Ž‰ ……Œ…Ž‰ Ÿ‚‹Ÿ…’‘Ÿ~$\nu=k-1$. ķ€ ‘€ŒŽŒ „…‹… ˆ‚…„…›… ‚ ’€‹ˆ–… ‡€—…ˆ… … Ÿ‚‹Ÿž’‘Ÿ €‘Ž‹ž’Ž ’Ž—›Œˆ ‚Ž ‚‘…• ‘‹“—€Ÿ•: \emph{’Ž ˆ‹ˆ†…›… ‡€—…ˆŸ, ‘€‚…„‹ˆ‚›… ‹ˆ˜œ ˆ „Ž‘’€’Ž—Ž Ž‹œ˜ˆ• ‡€—…ˆŸ•~$n$.} ź€Š ‚…‹ˆŠŽ „Ž‹†Ž ›’œ~$n$? 䎑’€’Ž—Ž Ž‹œ˜ˆŒˆ ŒŽ†Ž ‘—ˆ’€’œ ’€Šˆ… ‡€—…ˆŸ~$n$, ˆ ŠŽ’Ž›• ‹žŽ… ˆ‡~$np_s$ … Œ…œ˜…~$5$; Ž„€ŠŽ ‹“—˜… €’œ~$n$ ‡€—ˆ’…‹œŽ Ž‹œ˜ˆŒˆ, —’Ž› Ž‚›‘ˆ’œ €„…†Ž‘’œ Šˆ’…ˆŸ. ē€Œ…’ˆŒ, —’Ž ‚ €‘‘ŒŽ’…›• ˆŒ…€• Œ› €‹ˆ~$n=144$, ˆ $np_2$~€‚Ÿ‹Ž‘œ ‚‘…ƒŽ~$4$, —’Ž Ž’ˆ‚Ž…—ˆ’ ’Ž‹œŠŽ —’Ž ‘”ŽŒ“‹ˆŽ‚€ŽŒ“ €‚ˆ‹“. 儈‘’‚…€Ÿ ˆ—ˆ€ ’ŽƒŽ €“˜…ˆŸ ŠŽ…’‘Ÿ ‚ ’ŽŒ, —’Ž €‚’Ž“ €„Ž…‹Ž Ž‘€’œ ŠŽ‘’ˆ; ‚ …‡“‹œ’€’… —ˆ‘‹€ ˆ‡ ’€‹ˆ–› ŽŠ€‡€‹ˆ‘œ … Ž—…œ Ž„•Ž„Ÿ™ˆŒˆ „‹Ÿ €˜…ƒŽ ‘‹“—€Ÿ. į›‹Ž › ƒŽ€‡„€ ‹“—˜… Ž‚…‘’ˆ ’ˆ Š‘…ˆŒ…’› € Œ€˜ˆ… ˆ~$n=1000$ ˆ‹ˆ~$10\,000$, ˆ‹ˆ „€†…~$100\,000$. %% 58 ķ€ ‘€ŒŽŒ „…‹… ‚ŽŽ‘ Ž ‚›Ž…~$n$ … ’€Š Ž‘’. 呋ˆ › ŠŽ‘’ˆ ›‹ˆ „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽ …€‚ˆ‹œ›…, ’Ž ŽŸ‚‹Ÿ‹Ž‘œ › ˆ ‘ŠŽ‹œ “ƒŽ„Ž Ž‹œ˜ˆ•~$n$ (‘Œ.~“.~12). ķŽ ˆ Ž‹œ˜ˆ• ‡€—…ˆŸ•~$n$ ŒŽƒ“’ ‘ƒ‹€†ˆ‚€’œ‘Ÿ \emph{‹ŽŠ€‹œ›…} Ž’Š‹Ž…ˆŸ, ’€Šˆ…, Š€Š ‘‹…„“ž™ˆ… „“ƒ ‡€ „“ƒŽŒ ‹ŽŠˆ —ˆ‘…‹ ‘ ‘ˆ‹œ›Œ ‘ˆ‘’…Œ€’ˆ—…‘ŠˆŒ ‘Œ…™…ˆ…Œ ‚ Ž’ˆ‚ŽŽ‹Ž†›… ‘’ŽŽ›. ļˆ „…‰‘’‚ˆ’…‹œŽŒ Ž‘€ˆˆ ŠŽ‘’…‰ ’ŽƒŽ ŒŽ†Ž … Ž€‘€’œ‘Ÿ, ’€Š Š€Š ‚‘… ‚…ŒŸ ˆ‘Ž‹œ‡“ž’‘Ÿ Ž„ˆ ˆ ’… †… ŠŽ‘’ˆ, Ž …‘‹ˆ …—œ ˆ„…’ Ž Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ —ˆ‘…‹, Ž‹“—…›• € żāģ, ’Ž ’€ŠŽ‰ ’ˆ Ž’Š‹Ž…ˆŸ Ž’ ‘‹“—€‰ŽƒŽ Ž‚…„…ˆŸ ‚Ž‹… ‚Ž‡ŒŽ†…. ā ‘‚Ÿ‡ˆ \picture{ šˆ‘.~2. š…‡“‹œ’€’› 90~Ž‚…ŽŠ ‘ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆ…Œ Šˆ’…ˆŸ~$\chi^2$ (‘. ‘~ˆ‘.~5). } ‘ ’ˆŒ †…‹€’…‹œŽ Ž‚Ž„ˆ’œ Ž‚…Š“ ‘ ŽŒŽ™œž Šˆ’…ˆŸ~$\chi^2$ ˆ €‡›• ‡€—…ˆŸ•~$n$, Ž ‚ ‹žŽŒ ‘‹“—€… ’ˆ ‡€—…ˆŸ „Ž‹†› ›’œ „Ž‚Ž‹œŽ Ž‹œ˜ˆŒˆ. 蒀Š, Ž‚…Š€ ‘ ŽŒŽ™œž Šˆ’…ˆŸ~$\chi^2$ ‡€Š‹ž—€…’‘Ÿ ‚ ‘‹…„“ž™…Œ. ļŽ‚Ž„ˆ’‘Ÿ $n$~…‡€‚ˆ‘ˆŒ›• ˆ‘›’€ˆ‰, ƒ„…~$n$---„Ž‘’€’Ž—Ž Ž‹œ˜Ž… —ˆ‘‹Ž. (ń‹…„“…’ ˆ‡…ƒ€’œ ˆŒ……ˆŸ Šˆ’…ˆŸ~$\chi^2$ ‚ ‘‹“—€Ÿ•, …‘‹ˆ ˆ‘›’€ˆŸ … …‡€‚ˆ‘ˆŒ›; ‘Œ., €ˆŒ…, “.~10, ƒ„… €‘‘ŒŽ’… ‘‹“—€‰, ŠŽƒ„€ Ž„€ Ž‹Ž‚ˆ€ ‘Ž›’ˆ‰ ‡€‚ˆ‘ˆ’ Ž’ „“ƒŽ‰.) ļŽ„‘—ˆ’›‚€…’‘Ÿ —ˆ‘‹Ž ˆ‘›’€ˆ‰, …‡“‹œ’€’ ŠŽ’Ž›• Ž’Ž‘ˆ’‘Ÿ Š Š€†„Ž‰ ˆ‡ $k$~Š€’…ƒŽˆ‰, ˆ Ž ”ŽŒ“‹€Œ~(6) ˆ‹ˆ~(8) ‚›—ˆ‘‹Ÿ…’‘Ÿ ‡€—…ˆ…~$V$. ē€’…Œ~$V$ ‘€‚ˆ‚€…’‘Ÿ ‘ —ˆ‘‹€Œˆ ˆ‡ ’€‹.~1 ˆ~$\nu=k-1$. 呋ˆ $V$~Œ…œ˜… ‡€—…ˆŸ, ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž™…ƒŽ~$p=99\%$, ˆ‹ˆ Ž‹œ˜… ‡€—…ˆŸ, ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž™…ƒŽ~$p=1\%$, ’Ž …‡“‹œ’€’› €Š“ž’‘Ÿ Š€Š …„Ž‘’€’Ž—Ž ‘‹“—€‰›…. 呋ˆ~$p$ %% 59 ‹…†ˆ’ Œ…†„“~99 ˆ~95\% ˆ‹ˆ Œ…†„“~5 ˆ~1\%, ’Ž …‡“‹œ’€’› ‘—ˆ’€ž’‘Ÿ "Ž„Ž‡ˆ’…‹œ›Œˆ"; ˆ ‡€—…ˆŸ•~$p$, Ž‹“—…›• ˆ’…Ž‹Ÿ–ˆ…‰ Ž ’€‹ˆ–…, ‡€Š‹ž—…›• Œ…†„“~$95$ ˆ~$90$\% ˆ‹ˆ~$10$ ˆ~$5$\%, …‡“‹œ’€’› "‘‹…ƒŠ€ Ž„Ž‡ˆ’…‹œ›". ÷€‘’Ž ‘ ŽŒŽ™œž Šˆ’…ˆŸ~$\chi^2$ Ž‚…Ÿž’ Ž Š€‰…‰ Œ…… ’ˆ €‡€ €‡›… —€‘’ˆ ˆ‘‘‹…„“…ŒŽƒŽ Ÿ„€ —ˆ‘…‹, ˆ, …‘‹ˆ … Œ……… „‚“• €‡ ˆ‡ ’…• …‡“‹œ’€’› ŽŠ€‡›‚€ž’‘Ÿ Ž„Ž‡ˆ’…‹œ›Œˆ, —ˆ‘‹€ Ž’€‘›‚€ž’‘Ÿ Š€Š …„Ž‘’€’Ž—Ž ‘‹“—€‰›…. š€‘‘ŒŽ’ˆŒ ‚ Š€—…‘’‚… ˆŒ…€ ˆ‘.~2, ƒ„… ‘•…Œ€’ˆ—…‘Šˆ …„‘’€‚‹…› …‡“‹œ’€’› Ž‚…Šˆ ‘ ŽŒŽ™œž Šˆ’…ˆŸ~$\chi^2$ ˜…‘’ˆ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’…‰ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹. 䋟 Š€†„Ž‰ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ „…‹€‹Ž‘œ Ÿ’œ €‡›• Ž‚…ŽŠ (Ž‘Ž‚€›• € Šˆ’…ˆˆ~$\chi^2$), Š€†„€Ÿ ˆ‡ ŠŽ’Ž›• Ž‚’ŽŸ‹€‘œ € ’…• €‡›• “—€‘’Š€• Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ. ā „€’—ˆŠ…~A ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ Œ…’Ž„ ģ€Š‹€…€-ģ€‘€‹œˆ (€‹ƒŽˆ’Œ~3.2.2ģ), ‚ „€’—ˆŠ…~E---Œ…’Ž„ ōˆŽ€——ˆ, Ž‘’€‹œ›… „€’—ˆŠˆ ‘ŽŽ’‚…’‘’‚“ž’ ‹ˆ…‰›Œ ŠŽƒ“’›Œ Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ŸŒ ‘Ž ‘‹…„“ž™ˆŒˆ €€Œ…’€Œˆ: \ctable{#\hfil\bskip&\bskip # \hfil\cr 䀒—ˆŠ~ā:& $X_0=0$, $a=3141592653$, $c=2718281829$, $m=2^{35}$.\cr 䀒—ˆŠ~C:& $X_0=0$, $a=2^7+1$, $c=1$, $m=2^{35}$.\cr 䀒—ˆŠ~D:& $X_0=47594118$, $a=23$, $c=0$, $m=10^8+1$.\cr 䀒—ˆŠ~F:& $X_0=314159265$, $a=2^{18}+1$, $c=1$, $m=2^{35}$.\cr } š…‡“‹œ’€’›, ˆ‚…„…›… € ˆ‘.~2, Ž‡‚Ž‹Ÿž’ ‘„…‹€’œ ‘‹…„“ž™ˆ… ‚›‚Ž„›. 䀒—ˆŠˆ~A, B, D Ž˜‹ˆ ˆ‘›’€ˆŸ “„Ž‚‹…’‚Žˆ’…‹œŽ, „€’—ˆŠ~C €•Ž„ˆ’‘Ÿ € ƒ€ˆ ˆ „Ž‹†… ›’œ, Ž-‚ˆ„ˆŒŽŒ“, ‡€€ŠŽ‚€, € „€’—ˆŠˆ~E ˆ~F Ž…„…‹…Ž … Ž˜‹ˆ ˆ‘›’€ˆ‰. 䀒—ˆŠ~F, …‡“‘‹Ž‚Ž, Œ€‹ŽŒŽ™…; „€’—ˆŠˆ~C ˆ~D Ž‘“†„€‹ˆ‘œ ‚ ‹ˆ’…€’“…, Ž “ ˆ• ‘‹ˆ˜ŠŽŒ Œ€‹Ž ‡€—…ˆ…~$a$. ā „€’—ˆŠ…~D …€‹ˆ‡Ž‚€ Œ…’Ž„ ‚›—…’Ž‚ ‚ ’ŽŒ ‚ˆ„…, ‚ Š€ŠŽŒ Ž ›‹ ‚…‚›… …„‹Ž†… ė…Œ…ŽŒ ‚~1948~ƒ., € ‚ „€’—ˆŠ…~C---‹ˆ…‰›‰ ŠŽƒ“’›‰ Œ…’Ž„ ‘~$c\ne 0$ ’€Š†… ‚ …ƒŽ …‚Ž€—€‹œŽŒ ‚ˆ„… (šŽ’……ƒ, 1960). ķ…‘ŠŽ‹œŠŽ „“ƒŽ‰ Ž„•Ž„ Š ‘“†„…ˆž Ž …‡“‹œ’€’€• Ž‚…Šˆ Ž Šˆ’…ˆž~$\chi^2$, …‡ ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€ˆŸ ’€Šˆ• ŽŸ’ˆ‰, Š€Š "Ž„Ž‡ˆ’…‹œ›‰", "‘‹…ƒŠ€ Ž„Ž‡ˆ’…‹œ›‰" ˆ~’.~„., ˆ Œ……… Ž‡‚Ž‹Ÿž™ˆ‰ Ž‹€ƒ€’œ‘Ÿ € Œ…ˆ… ad hoc, Žˆ‘›‚€…’‘Ÿ ˆ†… ‚ ’ŽŒ €‡„…‹…. \section{B. źˆ’…ˆ‰ źŽ‹ŒŽƒŽŽ‚€-ńŒˆŽ‚€ (źń-Šˆ’…ˆ‰)}. ź€Š Œ› ‚ˆ„…‹ˆ, Šˆ’…ˆ‰~$\chi^2$ ˆŒ…Ÿ…’‘Ÿ ‚ ’…• ‘‹“—€Ÿ•, ŠŽƒ„€ …‡“‹œ’€’› ˆ‘›’€ˆ‰ €‘€„€ž’‘Ÿ € ŠŽ…—Ž… —ˆ‘‹Ž $k$~Š€’…ƒŽˆ‰. ī„€ŠŽ ……„ŠŽ ‘‹“—€‰›… ‚…‹ˆ—ˆ› ŒŽƒ“’ ˆˆŒ€’œ …‘ŠŽ…—Ž ŒŽƒŽ ‡€—…ˆ‰. ā —€‘’Ž‘’ˆ, …‘ŠŽ…—Ž ŒŽƒŽ ‡€—…ˆ‰ ˆˆŒ€ž’ ‚…™…‘’‚…›… ‘‹“—€‰›… —ˆ‘‹€ ‚ ˆ’…‚€‹… Œ…†„“~$0$ ˆ~$1$. õŽ’Ÿ ŒŽ†…‘’‚Ž ‡€—…ˆ‰ ‘‹“—€‰›• —ˆ‘…‹, Ž‹“—…›• ‚ %%60 ‚›—ˆ‘‹ˆ’…‹œŽ‰ Œ€˜ˆ…, …ˆ‡…†Ž Žƒ€ˆ—…Ž, •Ž’…‹Ž‘œ ›, —’Ž› ’Ž ˆŠ€Š … ‘Š€‡›‚€‹Ž‘œ € …‡“‹œ’€’€• €‘—…’Ž‚. ā ’…Žˆˆ ‚…ŽŸ’Ž‘’…‰ ˆ ‘’€’ˆ‘’ˆŠ… ˆŸ’Ž ˆ‘Ž‹œ‡Ž‚€’œ Ž„ˆ ˆ ’… †… ŽŽ‡€—…ˆŸ ˆ Žˆ‘€ˆˆ „ˆ‘Š…’›• ˆ ……›‚›• €‘…„…‹…ˆ‰. ļ“‘’œ ’…“…’‘Ÿ Žˆ‘€’œ €‘…„…‹…ˆ… ‡€—…ˆ‰ ‘‹“—€‰Ž‰ ‚…‹ˆ—ˆ›~$X$. ż’Ž „…‹€…’‘Ÿ ‘ ŽŒŽ™œž \dfn{”“Š–ˆˆ €‘…„…‹…ˆŸ~$F(x)$,} ƒ„… $$ F (x) = \hbox{‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’ŽƒŽ, —’Ž~$(X\le x)$.} $$ ķ€ ˆ‘.~3 …„‘’€‚‹…› ’ˆ ˆŒ…€. ļ…‚›‰ ˆ‡ ˆ•---”“Š–ˆŸ €‘…„…‹…ˆŸ \emph{‘‹“—€‰ŽƒŽ ˆ’€,} ’.~….\ ‘‹“—€‰Ž‰ ‚…‹ˆ—ˆ›~$X$, \picture{šˆ‘.~3. ļˆŒ…› ”“Š–ˆ‰ €‘…„…‹…ˆŸ.} ˆˆŒ€ž™…‰ ‡€—…ˆŸ~$0$ ˆ‹ˆ~$1$, Š€†„Ž… ‘ ‚…ŽŸ’Ž‘’œž~$1/2$. ķ€ ˆ‘.~3,~b ŽŠ€‡€€ ”“Š–ˆŸ €‘…„…‹…ˆŸ \emph{‚…™…‘’‚…Ž‰ ‘‹“—€‰Ž‰ ‚…‹ˆ—ˆ›, €‚ŽŒ…Ž €‘…„…‹…Ž‰} Œ…†„“ “‹…Œ ˆ …„ˆˆ–…‰, ’€Š —’Ž ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’ŽƒŽ, —’Ž~$X\le x$, Ž‘’Ž €‚€~$x$, …‘‹ˆ~$0\le x \le 1$. ķ€ˆŒ…, ‚…ŽŸ’Ž‘’œ ’ŽƒŽ, —’Ž~$X\le{2\over3}$, €‚€~$2\over3$. ķ€ ˆ‘.~3,~c ŽŠ€‡€Ž …„…‹œŽ… €‘…„…‹…ˆ… ‡€—…ˆ‰~$V$ ‚ Šˆ’…ˆˆ~$\chi^2$ (ˆ 10~‘’……Ÿ• ‘‚ŽŽ„›); ’Ž †… €‘…„…‹…ˆ…, Ž ‚ „“ƒŽ‰ ”ŽŒ…, ›‹Ž “†… …„‘’€‚‹…Ž ‚ ’€‹.~1. ē€Œ…’ˆŒ, —’Ž~$F(x)$ ‚‘…ƒ„€ ‚Ž‡€‘’€…’ Ž’~$0$ „Ž~$1$ ˆ “‚…‹ˆ—…ˆˆ~$x$ Ž’~$-\infty$ „Ž~$+\infty$. 葏Ž‹œ‡“Ÿ ‡€—…ˆŸ~$X_1$, $X_2$,~\dots, $X_n$ ‘‹“—€‰Ž‰ ‚…‹ˆ—ˆ›~$X$, Ž‹“—…›… ‚ …‡“‹œ’€’… …‡€‚ˆ‘ˆŒ›• ˆ‘›’€ˆ‰, ŒŽ†Ž Ž‘’Ž- %% 61 \bye