\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=0
\subchap{яючшЎшюээ√х ёшёЄхь√ ёўшёыхэш▀} %%4.1
ЄО, КАКИМ ОБРАЗОМ МЫ ВЫПОЛНЯЕМ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ, ТЕСНО СВЯЗАНО С
ТЕМ, КАКИМ ОБРАЗОМ МЫ ПРЕДСТАВЛЯЕМ ЧИСЛА, С КОТОРЫМИ РАБОТАЕМ; ПОЭТОМУ
НАШЕ ИЗУЧЕНИЕ АРИФМЕТИКИ ЕСТЕСТВЕННО НАЧАТЬ С ОБСУЖДЕНИЯ ПРИНЦИПИАЛЬНЫХ
СПОСОБОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ.

яОЗИЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ С \emph{ОСНОВАНИЕМ} (ИЛИ \emph{ПО ОСНОВАНИЮ})
$b$ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПРАВИЛОМ
\EQ[1]{
(\ldots{}a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots)_b=\ldots+a_3b^3+a_2b^2+a_1b^1+a_0+a_{-1}b^{-1}+a_{-2}b^{-2}+\ldots;
}
НАПРИМЕР, $(530.3)_6=5\cdot6^2+2\cdot6^1+0+3\cdot6^{-1}=192{1\over2}$.
эАША ТРАДИЦИОННАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ---ЭТО, РАЗУМЕЕТСЯ,
ТОТ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ, КОГДА $b$~РАВНО ДЕСЯТИ И КОГДА ЗНАЧЕНИЯ~$a$
ВЫБИРАЮТСЯ ИЗ "ДЕСЯТИЧНЫХ ЦИФР"~$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$,
$8$, $9$; В ЭТОМ СЛУЧАЕ ИНДЕКС~$b$ В~\eqref[1] МОЖНО ОПУСКАТЬ.

яРОСТЕЙШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПОЛУЧАЕТСЯ, КОГДА В
КАЧЕСТВЕ~$b$ БЕРУТ ЛЮБОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, БОЛЬШЕЕ ЕДИНИЦЫ, И ЧИСЛА~$a$---ЭТО
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА ИЗ ИНТЕРВАЛА~$0\le a_k<b$. ЄАК ПОЛУЧАЮТСЯ СТАНДАРТНЫЕ
ДВОИЧНАЯ~($b=2$), ТРОИЧНАЯ~($b=3$), ЧЕТВЕРИЧНАЯ~($b=4$),
ПЯТЕРИЧНАЯ~($b=5$),~\dots{} СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. сОЛЕЕ ОБЩО, В КАЧЕСТВЕ~$b$
МОЖНО БЫЛО БЫ ВЗЯТЬ ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО, А ЧИСЛА~$a$ ВЫБИРАТЬ ИЗ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ЗАРАНЕЕ ЗАДАННОГО МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ; КАК МЫ УВИДИМ, ЭТО
ПРИВОДИТ К НЕКОТОРЫМ ИНТЕРЕСНЫМ СИТУАЦИЯМ.

ЄОЧКА, СТОЯЩАЯ МЕЖДУ~$a_0$ И~$a_{-1}$ В~\eqref[1], НАЗЫВАЕТСЯ
\emph{ПОЗИЦИОННОЙ} (ИЛИ \emph{РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ}) ТОЧКОЙ. (т СЛУЧАЕ~$b=10$
ЕЕ НАЗЫВАЮТ ТАКЖЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ТОЧКОЙ, В СЛУЧАЕ~$b=2$---ДВОИЧНОЙ ТОЧКОЙ
И~Т.~Д.) т ЕВРОПЕЙСКИХ СТРАНАХ\note{1}%
{ъРОМЕ рНГЛИИ.---{\sl яРИМ. ПЕРЕВ.\/}} ВМЕСТО ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ
ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЮТ ЗАПЯТУЮ\note{2}%
{ЄОЧКА ВМЕСТО ЗАПЯТОЙ ПОСТЕПЕННО ВХОДИТ В УПОТРЕБЛЕНИЕ И У НАС В СВЯЗИ С
РАСПРОСТРАНЕНИЕМ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ЯЗЫКОВ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
"АНГЛОСАКСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ" ТИПА рыуюы, ЇюЁЄЁрэ ИЛИ яы/1.---{\sl яРИМ. ПЕРЕВ.\/}}.

ўИСЛА~$a$ В~\eqref[1] НАЗЫВАЮТ \emph{ЦИФРАМИ} ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. ЎИФРУ~$a_k$ С
Б\'ОЛЬШИМ~$k$ НАЗЫВАЮТ "БОЛЕЕ ЗНАЧИМОЙ", ЧЕМ ЦИФРУ~$a_k$  С МЕНЬШИМ~$k$;
СООТВЕТСТВЕННО САМУЮ ЛЕВУЮ (\emph{ВЕДУЩУЮ}, ИЛИ \emph{ГОЛОВНУЮ}) ЦИФРУ
НАЗЫВАЮТ \emph{НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМОЙ ЦИФРОЙ,} А САМУЮ ПРАВУЮ (\emph{ХВОСТОВУЮ})---%
%% 202
\emph{НАИМЕНЕЕ ЗНАЧИМОЙ}. т СТАНДАРТНОЙ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДВОИЧНЫЕ
ЦИФРЫ ЧАСТО НАЗЫВАЮТ \emph{БИТАМИ}. т СТАНДАРТНОЙ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ
СИСТЕМЕ (С ОСНОВАНИЕМ ШЕСТНАДЦАТЬ) ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЕ ЦИФРЫ ОТ НУЛЯ ДО
ПЯТНАДЦАТИ ОБОЗНАЧАЮТ ОБЫЧНО ТАК:
\EQ{
 |0|, |1|, |2|, |3|, |4|, |5|, |6|, |7|, |8|, |9|, |A|, |B|, |C|, |D|, |E|, |F|.
}

шСТОРИЯ РАЗВИТИЯ СПОСОБОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ---ЭТО УВЛЕКАТЕЛЬНЕЙШАЯ ПОВЕСТЬ,
ДЕЙСТВИЕ КОТОРОЙ ПРОИСХОДИТ ПАРАЛЛЕЛЬНО С РАЗВИТИЕМ САМОЙ ЦИВИЛИЗАЦИИ.
ЁАССМАТРИВАЯ, ОДНАКО, ЭТУ ИСТОРИЮ ВО ВСЕХ ПОДРОБНОСТЯХ, МЫ НЕДОПУСТИМО
ДАЛЕКО ОТОШЛИ БЫ ОТ НАШЕЙ ГЛАВНОЙ ТЕМЫ; ТЕМ НЕ МЕНЕЕ БУДЕТ ПОЛЕЗНО ДАТЬ
НАБРОСОК ОСНОВНЫХ ЕЕ МОМЕНТОВ.

эАИБОЛЕЕ РАННИЕ СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧИСЕЛ, КОТОРЫЕ ДО СИХ ПОР МОЖНО
НАБЛЮДАТЬ В ПРИМИТИВНЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЯХ, ОСНОВАНЫ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГРУПП
ПАЛЬЦЕВ ИЛИ КУЧЕК КАМНЕЙ И~Т.~П., ОБЫЧНО С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СОГЛАШЕНИЯМИ
ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАМЕНЫ НЕКОТОРОЙ БОЛЬШОЙ КУЧКИ ИЛИ ГРУППЫ, СКАЖЕМ ИЗ ПЯТИ ИЛИ
ДЕСЯТИ ОБоЕКТОВ, ОДНИМ ОБоЕКТОМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ИЛИ РАСПОЛОЖЕННЫМ В
СПЕЦИАЛЬНОМ МЕСТЕ. яОДОБНЫЕ СИСТЕМЫ ЕСТЕСТВЕННО ПРИВОДЯТ К НАИБОЛЕЕ РАННИМ
СПОСОБАМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ПИСЬМЕННОЙ ФОРМЕ, ТАКИМ, КАК ЕГИПЕТСКИЕ,
ВАВИЛОНСКИЕ, ГРЕЧЕСКИЕ\note{1}%
{ъ ГРЕЧЕСКОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЕ ВОСХОДЯТ И СТАРОСЛАВЯНСКИЕ
ЧИСЛОВЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗОВАВШИЕСЯ ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ В ХРОНОЛОГИЧЕСКИХ
ЦЕЛЯХ.---{\sl яРИМ. ПЕРЕВ.\/}},
КИТАЙСКИЕ И РИМСКИЕ ЧИСЛА, НО ЭТИ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНО НЕУДОБНЫ ДЛЯ
ВЫПОЛНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ПРОСТЕЙШИХ СЛУЧАЕВ.

яРОВОДИВШИЕСЯ ИСТОРИКАМИ МАТЕМАТИКИ В ДВАДЦАТОМ СТОЛЕТИИ ШИРОКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ ДРЕВНИХ КЛИНОПИСНЫХ ТАБЛИЧЕК, НАЙДЕННЫХ АРХЕОЛОГАМИ НА
сЛИЖНЕМ тОСТОКЕ, ПОКАЗАЛИ, ЧТО ВАВИЛОНЯНЕ ПРИМЕНЯЛИ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ДВЕ
РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ. ўИСЛА, ИСПОЛЬЗОВАВШИЕСЯ ДЛЯ
ПОВСЕДНЕВНЫХ ДЕЛОВЫХ ЗАМЕТОК, ЗАПИСЫВАЛИСЬ ПРИ ПОМОЩИ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ОСНОВАННЫХ НА ГРУППИРОВАНИИ ПО ДЕСЯТКАМ, СОТНЯМ И~Т.~Д., УНАСЛЕДОВАННЫХ ОТ
БОЛЕЕ РАННИХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ ьЕСОПОТАМИИ; БОЛЬШИЕ ЧИСЛА ТРЕБОВАЛИСЬ ЗДЕСЬ
РЕДКО. ъОГДА ЖЕ ВАВИЛОНСКИМ МАТЕМАТИКАМ ПРИХОДИЛОСЬ РАССМАТРИВАТЬ БОЛЕЕ
ТРУДНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ОНИ ШИРОКО ПРИМЕНЯЛИ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНУЮ
ПОЗИЦИОННУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ (ПО ОСНОВАНИЮ ШЕСТЬДЕСЯТ), КОТОРАЯ БЫЛА
ХОРОШО РАЗВИТА УЖЕ КО ВРЕМЕНИ НЕ ПОЗДНЕЕ 1750~Г.\ ДО~Н.~Э. ¤ТА ЧИСЛОВАЯ
СИСТЕМА БЫЛА УНИКАЛЬНОЙ В ТОМ ОТНОШЕНИИ, ЧТО ОНА БЫЛА ФАКТИЧЕСКИ ФОРМОЙ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ С ОПУЩЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ; НУЖНЫЙ
МАСШТАБНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ, Т.~Е.\ СТЕПЕНЬ ШЕСТИДЕСЯТИ, СЛЕДОВАЛО ОПРЕДЕЛЯТЬ
ИЗ КОНТЕКСТА ТАК ЧТО НАПРИМЕР, ВСЕ ЧИСЛА ИЗ СПИСКА $2$, $120$, $7200$,
$1/30$ И~Т.~Д.\ ЗАПИСЫВАЛИСЬ
%% 203
ОДИНАКОВЫМ ОБРАЗОМ. ¤ТА СИСТЕМА БЫЛА В ОСОБЕННОСТИ УДОБНА ДЛЯ
ВЫПОЛНЕНИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТАБЛИЦ, ТАК
КАК ВЫРАВНИВАНИЕ ПОРЯДКОВ НИКАК НЕ ВЛИЯЛО НА ОТВЕТ; ТА ЖЕ ИДЕЯ РЕАЛИЗОВАНА
НЫНЕ В ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКЕ. яРИМЕРАМИ ЭТОЙ ВАВИЛОНСКОЙ СИСТЕМЫ
ЗАПИСИ МОГУТ СЛУЖИТЬ СЛЕДУЮЩИЕ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ИЗ ДРЕВНИХ ТАБЛИЦ:
КВАДРАТ~$30$ ЕСТЬ~$15$ (ЧТО МОЖНО ПРОЧИТАТЬ ТАКЖЕ КАК "КВАДРАТ~$1/2$ РАВЕН~$1/4$");
ЧИСЛО, ОБРАТНОЕ К~$81=(1\ 21)_{60}$, РАВНО~$(44\ 26\ 40)_{60}$; КВАДРАТ
ЭТОГО ПОСЛЕДНЕГО ЧИСЛА РАВЕН~$(32\ 55\ 18\ 31\ 6\ 40)_{60}$. є ВАВИЛОНЯН
БЫЛ ОСОБЫЙ СИМВОЛ ДЛЯ НУЛЯ, НО ИЗ-ЗА ИХ ИДЕОЛОГИИ ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКИ НУЛЬ
ИСПОЛЬЗОВАЛСЯ ТОЛЬКО ВНУТРИ ЧИСЕЛ И НИКОГДА В КРАЙНЕЙ ПРАВОЙ ПОЗИЦИИ ДЛЯ
ОБОЗНАЧЕНИЯ МАСШТАБА. юБ ИНТЕРЕСНОЙ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ РАННЕЙ ВАВИЛОНСКОЙ
МАТЕМАТИКИ МОЖНО ПРОЧИТАТЬ У ю.~эОЙГЕБАУЭРА [The exact sciences in
antiquity, Princeton University Press, 1952] И с.~ы.~тАН~ДЕР~тАРДЕНА
[яРОБУЖДАЮЩАЯСЯ НАУКА, ЇИЗМАТГИЗ, 1959].

яОЗИЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ, ВО-ВИДНМОМУ,
ВПЕРВЫЕ БЫЛО РАЗВИТО ИНДЕЙЦАМИ ПЛЕМЕНИ МАЙЯ В ЎЕНТРАЛЬНОЙ рМЕРИКЕ ОКОЛО
2000~ЛЕТ ТОМУ НАЗАД; ИХ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ~$20$ БЫЛА
ДОСТАТОЧНО ВЫСОКОРАЗВИТА, ОСОБЕННО В ОТНОШЕНИИ ЗАПИСИ АСТРОНОМИЧЕСКИХ
ФАКТОВ И КАЛЕНДАРНЫХ ДАТ. юДНАКО ИСПАНСКИЕ ЗАВОЕВАТЕЛИ УНИЧТОЖИЛИ ПОЧТИ
ВСЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ И НАУЧНЫЕ ТЕКСТЫ МАЙЯ, ПОЭТОМУ МЫ НЕ ЗНАЕМ, НАСКОЛЬКО
ДАЛЕКО ПРОДВИНУЛИСЬ ОНИ В АРИФМЕТИКЕ; НАЙДЕНЫ НЕКОТОРЫЕ ТАБЛИЦЫ
УМНОЖЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ, НО НЕИЗВЕСТНО НИКАКИХ ПРИМЕРОВ ДЕЛЕНИЯ
[СМ.\ J.~Eric~S.~Thompson, {\sl Contributions to Amer. Antropology and History,\/}
Carnegie Inst.\ of Washington, {\bf 7}  (1942), 37--62].

чА НЕСКОЛЬКО ВЕКОВ ДО НОВОЙ ЭРЫ ГРЕКИ ПРИМЕНЯЛИ ДЛЯ СВОИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ РАННЮЮ РАЗНОВИДНОСТЬ АБАКИ, В КОТОРОЙ ИСПОЛЬЗОВАЛИСЬ ПЕСОК
И/ИЛИ ГАЛЬКА НА ДОСКЕ, ИМЕВШЕЙ РЯДЫ ИЛИ СТОЛБЦЫ, ЕСТЕСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ
СООТВЕТСТВОВАВШИЕ НАШЕЙ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ. эАМ, ВОЗМОЖНО, ПОКАЖЕТСЯ
УДИВИТЕЛЬНЫМ, ЧТО ТОТ ЖЕ САМЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ ПРИНЦИП НЕ БЫЛ ПРИМЕНЕН ИМИ ДЛЯ
ЗАПИСИ ЧИСЕЛ---ВЕДЬ МЫ ТАК ПРИВЫКЛИ ПРОВОДИТЬ РАСЧЕТЫ В ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ
ПРИ ПОМОЩИ КАРАНДАША И БУМАГИ; НО БОЛЬШАЯ ЛЕГКОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА АБАКЕ
(ПИСАТЬ ТОГДА УМЕЛИ НЕ ВСЕ, И, КРОМЕ ТОГО, ВЫЧИСЛЕНИЯ НА АБАКЕ ДЕЛАЛИ
НЕНУЖНЫМ ЗАПОМИНАНИЕ ТАБЛИЦ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ) ПРИВЕЛА, ВЕРОЯТНО,
ГРЕКОВ К УБЕЖДЕНИЮ, ЧТО НЕЛЕПО ДАЖЕ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО ВЫЧИСЛЕНИЯ МОЖНО
УДОБНЕЕ ПРОВОДИТЬ, "ЦАРАПАЯ НА БУМАГЕ". т ТО ЖЕ ВРЕМЯ ГРЕЧЕСКИЕ АСТРОНОМЫ
ИСПОЛЬЗОВАЛИ ДЛЯ ЗАПИСИ ДРОБЕЙ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНУЮ ПОЗИЦИОННУЮ СИСТЕМУ
СЧИСЛЕНИЯ, ЧЕМУ ОНИ НАУЧИЛИСЬ У ВАВИЛОНЯН.

эАША ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА, ОТЛИЧАЮЩАЯСЯ ОТ БОЛЕЕ ДРЕВНИХ ФОРМ В ПЕРВУЮ
ОЧЕРЕДЬ НАЛИЧИЕМ ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ ВМЕСТЕ
%% 204
С СИМВОЛОМ НУЛЬ ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ПУСТОЙ ПОЗИЦИИ, ВПЕРВЫЕ ПОЯВИЛАСЬ У
ИНДУСОВ. ЄОЧНАЯ ДАТА ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЭТОЙ СИСТЕМЫ НЕИЗВЕСТНА; ЕСТЬ
ОСНОВАНИЯ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО ЭТО ПРОИЗОШЛО ПРИМЕРНО В 6~В.~Н.~Э.
шНДИЙСКАЯ НАУКА ТОГО ВРЕМЕНИ, ОСОБЕННО АСТРОНОМИЯ, ОТЛИЧАЛАСЬ ВЕСЬМА
ВЫСОКИМ УРОВНЕМ. т НАИБОЛЕЕ РАННИХ ИЗ ДОШЕДШИХ ДО НАС ИНДИЙСКИХ РУКОПИСЕЙ,
ИСПОЛЬЗОВАВШИХ ЭТУ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ, ЧИСЛА ЗАПИСЫВАЮТСЯ В ОБРАТНОМ
ПОРЯДКЕ (С НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМОЙ ЦИФРОЙ СПРАВА), НО ВСКОРЕ СТАЛО ПРАВИЛОМ
РАСПОЛАГАТЬ НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМУЮ ЦИФРУ СЛЕВА.

юКОЛО 750~Г.~Н.~Э.\ ИНДУССКИЕ ПРИНЦИПЫ ДЕСЯТИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ
РАСПРОСТРАНИЛИСЬ В яЕРСИИ, КОГДА НА АРАБСКИЙ ЯЗЫК БЫЛО ПЕРЕВЕДЕНО
НЕСКОЛЬКО ВАЖНЫХ РАБОТ; ЯРКАЯ КАРТИНА ЭТОГО ПЕРИОДА ДАНА В ОДНОЙ
ДРЕВНЕЕВРЕЙСКОЙ РУКОПИСИ, ПЕРЕВОД КОТОРОЙ НА АНГЛИЙСКИЙ ОПУБЛИКОВАН В
ЖУРНАЛЕ {\sl AMM\/} [{\bf 15}, (1918), 99--108]. тСКОРЕ ПОСЛЕ ЭТОГО
АЛЬ-їОРЕЗМИ НАПИСАЛ НА АРАБСКОМ СВОЕ РУКОВОДСТВО ПО ЭТОМУ ПРЕДМЕТУ. (ъАК
ОТМЕЧАЛОСЬ В ГЛ.~1, ОТ ЕГО ИМЕНИ ПРОИЗОШЛО НАШЕ СЛОВО "АЛГОРИТМ".) ъНИГА
АЛЬ-їОРЕЗМИ БЫЛА ПЕРЕВЕДЕНА НА ЛАТЫНЬ И ОКАЗАЛА СИЛЬНОЕ ВЛИЯНИЕ НА
ыЕОНАРДО яИЗАНСКОГО (ЇИБОНАЧЧИ), ЧЬЯ КНИГА ПО АРИФМЕТИКЕ (1202~Г.) В
СВОЮ ОЧЕРЕДЬ СЫГРАЛА РЕШАЮЩУЮ РОЛЬ В РАСПРОСТРАНЕНИИ ИНДО-АРАБСКИХ ЧИСЕЛ В
хВРОПЕ. шНТЕРЕСНО ОТМЕТИТЬ, ЧТО В РЕЗУЛЬТАТЕ ЭТИХ ДВУХ ПЕРЕВОДОВ---С
САНСКРИТА НА АРАБСКИЙ И С АРАБСКОГО НА ЛАТЫНЬ---ПОРЯДОК НАПИСАНИЯ ЧИСЕЛ
(СЛЕВА НАПРАВО) НЕ ИЗМЕНИЛСЯ, ХОТЯ АРАБЫ ПИШУТ СПРАВА НАЛЕВО, А ИНДУСЫ И
ЕВРОПЕЙЦЫ СЛЕВА НАПРАВО. яОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОЦЕССА
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И АРИФМЕТИКИ ПО ВСЕЙ хВРОПЕ В
ПЕРИОД С~1200 ПО~1600~Г.\ ДАНО В КНИГЕ [David Eugene Smith, History of
mathematics, {\bf 1}, Boston, Gihn and Co., 1923], ГЛ.~6 И~8.

фЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ПРИМЕНЯЛАСЬ ВНАЧАЛЕ ТОЛЬКО К ЦЕЛЫМ ЧИСЛАМ, А
ДЛЯ ДРОБЕЙ НЕ ИСПОЛЬЗОВАЛАСЬ. рРАБСКИЕ АСТРОНОМЫ, КОТОРЫМ ПРИХОДИЛОСЬ
РАБОТАТЬ С ДРОБЯМИ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ КАРТ ЗВЕЗДНОГО НЕБА И ДРУГИХ ТАБЛИЦ,
ПРОДОЛЖАЛИ ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ОБОЗНАЧЕНИЯМИ яТОЛЕМЕЯ (ЗНАМЕНИТОГО ГРЕЧЕСКОГО
АСТРОНОМА), ОСНОВАННЫМИ НА ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНЫХ ДРОБЯХ. ¤ТА СИСТЕМА ДОЖИЛА
ДО НАШИХ ДНЕЙ В НАШИХ ЕДИНИЦАХ УГЛОВ ("ГРАДУСЫ, МИНУТЫ И СЕКУНДЫ"), А
ТАКЖЕ В ЕДИНИЦАХ ВРЕМЕНИ---РУДИМЕНТАХ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНОЙ
СИСТЕМЫ ВАВИЛОНЯН. яЕРВЫЕ ЕВРОПЕЙСКИЕ МАТЕМАТИКИ, КОГДА ИМ ПРИХОДИЛОСЬ
ИМЕТЬ ДЕЛО С НЕЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ, ТАКЖЕ ПОЛЬЗОВАЛИСЬ
ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНЫМИ ДРОБЯМИ; ЇИБОНАЧЧИ, НАПРИМЕР, ПРИВОДИЛ В КАЧЕСТВЕ
ПРИБЛИЖЕННОГО КОРНЯ УРАВНЕНИЯ~$x^3+2x^2+10x=20$ ЗНАЧЕНИЕ
\EQ{
 1^{\circ}\, 22'\, 7''\, 42'''\, 33^{IV}\, 4^V\, 40^{VI}.
}

шСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ДЕСЯТЫХ, СОТЫХ И~Т.~Д.\ КАЖЕТСЯ
СРАВНИТЕЛЬНО НЕБОЛЬШИМ ПРОДВИЖЕНИЕМ, НО, КОНЕЧНО, РАЗРЫВ С ТРАДИЦИЕЙ
ВСЕГДА ТРУДЕН, А КРОМЕ ТОГО, ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНЫЕ
%% 205
ДРОБИ ИМЕЮТ ПРЕИМУЩЕСТВО ПЕРЕД ДЕСЯТИЧНЫМИ В ТОМ, ЧТО ТАКИЕ
ЧИСЛА, КАК~$1/3$, ДОПУСКАЮТ ТОЧНУЮ ЗАПИСЬ В ПРОСТОМ ВИДЕ.

яЕРВЫМИ, КТО СТАЛ РАБОТАТЬ С ВЕЛИЧИНАМИ, ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМ ДРОБЯМ,
БЫЛИ КИТАЙСКИЕ МАТЕМАТИКИ (КОТОРЫЕ НИКОГДА НЕ ПОЛЬЗОВАЛИСЬ
ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНОЙ СИСТЕМОЙ), ХОТЯ ИХ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА (БЕЗ НУЛЯ) И НЕ БЫЛА
ПЕРВОНАЧАЛЬНО ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМОЙ В СТРОГОМ СМЫСЛЕ СЛОВА. ъИТАЙСКИЕ
ЕДИНИЦЫ ВЕСОВ И МЕР БЫЛИ ДЕСЯТИЧНЫМИ, ТАК ЧТО ЎЗУ ўУН-ЧЖИ (УМЕР ОКОЛО 500~Г.)
СМОГ ВЫРАЗИТЬ ПРИБЛИЖЕНИЕ ЧИСЛА~$\pi$ КАК "$3$~ЧАНА, $1$~ЧЖИ,
$5$~ЦУНЯ, $1$~ФЭН, $5$~ЛИ, $9$~ХАО, $2$~МЯО, $7$~ХУ". чДЕСЬ ЧАН,~\dots,
ХУ---ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ; $1$~ХУ (ДИАМЕТР ШЕЛКОВОЙ НИТИ) РАВЕН $1/10$~МЯО
И~Т.~Д. шСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАКИХ ПОХОЖИХ НА ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБЕЙ ПОЛУЧИЛО ДОВОЛЬНО
ШИРОКОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ В ъИТАЕ НАЧИНАЯ ПРИМЕРНО С 1250~Г. т ИСТИННО
ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ ВПЕРВЫЕ ПОЯВЛЯЮТСЯ В ТРАКТАТЕ ПО
АРИФМЕТИКЕ, НАПИСАННОМ В фАМАСКЕ НЕИЗВЕСТНЫМ МАТЕМАТИКОМ, ПОДПИСАВШИМСЯ
"АЛЬ-єКЛИДИСИ" ("хВКЛИДОВ"). юН ВВЕЛ СИМВОЛ~${}'$ ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ДЕСЯТИЧНОЙ ТОЧКИ И УКАЗАЛ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДРОБЕЙ И
ПРИБЛИЖЕННЫХ КВАДРАТНЫХ И КУБИЧЕСКИХ КОРНЕЙ; НО ОН НЕ ПОНЯЛ, ЧТО ЦЕЛУЮ И
ДРОБНУЮ ЧАСТИ ЧИСЕЛ МОЖНО УМНОЖАТЬ ОДНОВРЕМЕННО. хГО РАБОТА НЕ СТАЛА
ОБЩЕИЗВЕСТНОЙ, И ЧЕРЕЗ ПЯТЬ ВЕКОВ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ БЫЛИ ЗАНОВО ОТКРЫТЫ
ПЕРСИДСКИМ МАТЕМАТИКОМ АЛЬ-ъАШИ, УМЕРШИМ ОКОЛО 1436~Г. рЛЬ-ъАШИ БЫЛ ВЫСОКО
ИСКУСНЫМ ВЫЧИСЛИТЕЛЕМ, КОТОРЫЙ ДАЛ СЛЕДУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ~$2\pi$,
СОДЕРЖАЩЕЕ 16~ПРАВИЛЬНЫХ, ДЕСЯТИЧНЫХ ЗНАКОВ:
\btable{
 \strut\hfil$#$\bskip\hfil&&\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil\cr
 \omit ЎЕЛАЯ & \omit ЧАСТЬ \hfil& \multispan{16}\vrule\bskip \hfil фРОБНАЯ ЧАСТЬ\hfil\cr
 \noalign{\hrule}
 0 & 6 & 2 & 8 & 3 & 1 & 8 & 5 & 3 & 0 & 7 & 1 & 7 & 9 & 5 & 8 & 6 & 5 \cr
}
¤ТО БЫЛО НАИЛУЧШИМ ПРИБЛИЖЕНИЕМ ДЛЯ ЧИСЛА~$\pi$ ДО ТЕХ ПОР, ПОКА ыУДОЛЬФ
ВАН ЎЕЙЛЕН ПОСЛЕ МНОГИХ ТРУДОВ В ПЕРИОД С~1596 ПО~1610~Г.\ НЕ ВЫЧИСЛИЛ
35~ДЕСЯТИЧНЫХ ЗНАКОВ. ёАМЫЕ РАННИЕ ИЗ ИЗВЕСТНЫХ ПРИМЕРОВ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
В хВРОПЕ ОБНАРУЖЕНЫ В ОДНОМ ТЕКСТЕ~15~В., ГДЕ, НАПРИМЕР,
$153.5$~УМНОЖАЕТСЯ НА~$16.25$ И В ОТВЕТЕ ПОЛУЧАЕТСЯ~$2494.375$; ЭТО
НАЗВАНО ТАМ "ТУРЕЦКИМ МЕТОДОМ". т 1525~Г.\ ъРИСТОФ ЁУДОЛЬФ ИЗ уЕРМАНИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНО ОТКРЫЛ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ; ЕГО РАБОТА ТАКЖЕ ОСТАЛАСЬ
НЕИЗВЕСТНОЙ. ЇРАНСУА тЬЕТ ПРЕДЛАГАЕТ ТУ ЖЕ ИДЕЮ СНОВА В 1579~Г.
эАКОНЕЦ, ТРАКТАТ ПО АРИФМЕТИКЕ, НАПИСАННЫЙ ёИМОНОМ ёТЕВИНОМ ИЗ
эИДЕРЛАНДОВ, В СВОЮ ОЧЕРЕДЬ НЕЗАВИСИМО В 1585~Г.\ ПРИШЕДШИМ К ИДЕЕ
ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ, ПРИОБРЕТАЕТ ШИРОКУЮ ПОПУЛЯРНОСТЬ.

хГО РАБОТА И ПОСЛЕДОВАВШЕЕ ВСКОРЕ ОТКРЫТИЕ ЛОГАРИФМОВ ПРИВЕЛИ К ТОМУ, ЧТО
В 17~В.\ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ СТАЛИ ОБЩЕПРИНЯТЫМИ В хВРОПЕ. [фАЛЬНЕЙШИЕ
ПОДРОБНОСТИ И ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
%% 206
МОЖНО НАЙТИ В КНИГАХ: D.~х.~Smith, History of Mathematics, {\bf 2},
Boston, Ginn and Co., 1925, 228--247, И C.~B.~Boyer, History of
Mathematics, New York, Wiley, 1968\note{1}%
{ёМ. ТАКЖЕ КНИГУ ф.~▀.~ёТРОЙКА "ъРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ", "эАУКА",
 ь., 1950.---{\sl яРИМ. ПЕРЕВ.\/}}.]

фВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ИМЕЕТ СВОЮ СОБСТВЕННУЮ ИНТЕРЕСНУЮ ИСТОРИЮ.
шЗВЕСТНО, ЧТО МНОГИЕ ПРИМИТИВНЫЕ ПЛЕМЕНА, СУЩЕСТВУЮЩИЕ В НАШЕ ВРЕМЯ,
ИСПОЛЬЗУЮТ ДВОИЧНУЮ, ИЛИ "ПАРНУЮ", СИСТЕМУ СЧЕТА (ГРУППИРОВКА ПО ПАРАМ, А
НЕ ПО ПЯТЕРКАМ ИЛИ ДЕСЯТКАМ), НО БЫЛО БЫ НЕВЕРНЫМ СКАЗАТЬ, ЧТО ОНИ
ВЫЧИСЛЯЮТ В НАСТОЯЩЕЙ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, ТАК КАК ОНИ НЕ
ВЫДЕЛЯЮТ СПЕЦИАЛЬНЫМ ОБРАЗОМ СТЕПЕНЕЙ ДВОЙКИ. шНТЕРЕСНЫЕ ПОДРОБНОСТИ О
ПРИМИТИВНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ МОЖНО НАЙТИ В СТАТЬЕ рБРАХАМА
ёАЙДЕНБЕРГА "The diffusion of counting practices" [{\sl Univ.\ Calif.\
Publ.\ in Math.,\/} {\bf 3} (1960), 215--300]. фРУГОЙ "ПРИМИТИВНЫЙ" ПРИМЕР
СУЩЕСТВЕННО ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ---ЭТО ТРАДИЦИОННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ
ДЛИТЕЛЬНОСТИ НОТ В МУЗЫКЕ.

т ПАПИРУСЕ ЁИНДА\note{2}%
{эАЗВАН ПО ИМЕНИ ЕГО ВЛАДЕЛЬЦА---АНГЛИЙСКОГО ЕГИПТОЛОГА ЁИНДА (р.~э.~Rhind).
їОРОШЕЙ РЕПРОДУКЦИЕЙ ФРАГМЕНТА ЭТОГО ПАПИРУСА ОТКРЫВАЕТСЯ СБОРНИК
"ьАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ" ("ьИР", ь., 1967).--- {\sl яРИМ. РЕД.\/}}
(хГИПЕТ, ОКОЛО 1650~Г.~ДО~Н.~Э.), ОДНОМ ИЗ ПЕРВЫХ ИЗВЕСТНЫХ НЕТРИВИАЛЬНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДОКУМЕНТОВ, ПРИМЕНЯЕТСЯ ДЕСЯТИЧНО ОРИЕНТИРОВАННАЯ СХЕМА
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ, НО В НЕМ ЖЕ ПОКАЗАНО, КАК ВЫПОЛНЯТЬ ОПЕРАЦИЮ
УМНОЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УДВОЕНИЙ И СЛОЖЕНИЙ. ¤ТА ПРОЦЕДУРА
ПО СУЩЕСТВУ СВОЕМУ ОСНОВАНА НА ДВОИЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ, ХОТЯ
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНО И НЕ ВВОДИЛАСЬ.

т 17~В.\ НЕДЕСЯТИЧНЫЕ СЧИСЛЕНИЯ СТАНОВЯТСЯ ПРЕДМЕТОМ РАССМОТРЕНИЯ В
хВРОПЕ. т ТЕЧЕНИЕ МНОГИХ ЛЕТ АСТРОНОМЫ ОТ СЛУЧАЯ К СЛУЧАЮ ИСПОЛЬЗОВАЛИ
ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНУЮ АРИФМЕТИКУ КАК ДЛЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, ТАК И ДЛЯ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ,
ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УМНОЖЕНИЯ; СМ. КНИГУ фЖОНА тАЛЛИСА
"Treatise of algebra" [Oxford, 1685], 18--22, 30. ЄОТ ФАКТ, ЧТО
\emph{ЛЮБОЕ} ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО МОЖЕТ СЛУЖИТЬ ОСНОВАНИЕМ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ, БЫЛ, ПО-ВИДИМОМУ, ВПЕРВЫЕ ОПУБЛИКОВАН В РАБОТЕ сЛЕЗА
яАСКАЛЯ "De numeris multiplicibus", НАПИСАННОЙ ОКОЛО 1658~Г.\ [СМ.\
т.~Pascal, Euvres Compl\`etes, Paris, \'Editions de Seuil, 1963, 84--89].
яАСКАЛЬ ПИСАЛ: "Denaria enim ex institute hominum, non ex
necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane satis inepte, posita
est", Т.~Е.: "фЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА ПОСТРОЕНА---ДОВОЛЬНО НЕРАЗУМНО, КОНЕЧНО,---В
СООТВЕТСТВИИ С ЛЮДСКИМИ ОБЫЧАЯМИ, А ВОВСЕ НЕ ТРЕБОВАНИЯМИ
ЕСТЕСТВЕННОЙ НЕОБХОДИМОСТИ, КАК СКЛОННО ДУМАТЬ БОЛЬШИНСТВО ЛЮДЕЙ". юН
УТВЕРЖДАЛ, ЧТО БЫЛО БЫ ЖЕЛАТЕЛЬНО ПЕРЕЙТИ К ДВЕНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ, И
ПРЕДЛОЖИЛ ПРАВИЛО ПРОВЕРКИ ДЕЛИМОСТИ
%% 207
ДВЕНАДЦАТЕРИЧНОГО ЧИСЛА НА~$9$. ўЕТВЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ В РЯДЕ
ПУБЛИКАЦИЙ НАЧИНАЯ С 1673~Г.\ ПРЕДЛАГАЛ ¤РХАРД тАЙГЕЛЬ. яОДРОБНОЕ
ОБСУЖДЕНИЕ АРИФМЕТИКИ ПО ОСНОВАНИЮ ДВЕНАДЦАТЬ БЫЛО ПРОВЕДЕНО фЖОШУА
фЖОРДЭЙНОМ [Duodecimal arithmetick, London, 1687].

їОТЯ НА ПРОТЯЖЕНИИ ВСЕЙ ЭТОЙ ЭПОХИ В АРИФМЕТИКЕ ПРИМЕНЯЛАСЬ ПОЧТИ
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА, СИСТЕМЫ МЕР И ВЕСОВ РЕДКО КОГДА, ЕСЛИ
ВООБЩЕ КОГДА-ЛИБО, СТРОИЛИСЬ НА ОСНОВЕ КРАТНЫХ ДЕСЯТИ, И МНОГИЕ ДЕЛОВЫЕ
ОПЕРАЦИИ ТРЕБОВАЛИ ИЗРЯДНОЙ ЛОВКОСТИ В СЛОЖЕНИИ ВЕЛИЧИН ТИПА ФУНТОВ,
ШИЛЛИНГОВ И ПЕНСОВ. шТАК, СТОЛЕТИЯМИ КУПЦЫ УЧИЛИСЬ ВЫЧИСЛЯТЬ СУММЫ И
РАЗНОСТИ ВЕЛИЧИН, ВЫРАЖЕННЫХ В СПЕЦИФИЧЕСКИХ ДЕНЕЖНЫХ ЕДИНИЦАХ
ИЛИ ЕДИНИЦАХ МЕР И ВЕСОВ, А ЭТО ФАКТИЧЕСКИ БЫЛА АРИФМЕТИКА В
НЕДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ. юСОБОГО ВНИМАНИЯ ЗАСЛУЖИВАЮТ, В
ЧАСТНОСТИ, РАСПРОСТРАНЕННЫЕ В рНГЛИИ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ,
УСТАНОВИВШИЕСЯ ЕЩЕ В 13~В.\ ИЛИ ДАЖЕ РАНЬШЕ:
\ctable{
\hfil #&${}={}$#\hfil\cr
2 ДЖИЛЛА & 1 ПОЛУШТОФ,\cr
2 ПОЛУШТОФА & 1 ПИНТА,\cr
2 ПИНТЫ & 1 КВАРТА,\cr
2 КВАРТЫ & 1 ПОТЛ,\cr
2 ПОТЛА & 1 ГАЛЛОН,\cr
2 ГАЛЛОНА & 1 ПЕК,\cr
2 ПЕКА & 1 ПОЛУБУШЕЛЬ,\cr
2 ПОЛУБУШЕЛЯ & 1 БУШЕЛЬ, ИЛИ ФИРКИН,\cr
2 ФИРКИНА & 1 КИЛДЕРКИН,\cr
2 КИЛДЕРКИНА & 1 БАРРЕЛЬ,\cr
2 БАРРЕЛЯ & 1 ХОГЗХЕД,\cr
2 ХОГЗХЕДА & 1 ПАЙП,\cr
2 ПАЙПА & 1 ТАН.\cr
}
юБоЕМЫ ЖИДКОСТИ, ВЫРАЖЕННЫЕ В ГАЛЛОНАХ, ПОТЛАХ, КВАРТАХ, ПИНТАХ И~Т.~Д.\note{1}%
{яРОИСХОЖДЕНИЕ НАЗВАНИЙ ЭТИХ МЕР ОБоЕМА ДОВОЛЬНО ПРОЗРАЧНО: firkin,
НАПРИМЕР, ОЗНАЧАЕТ "МАЛЕНЬКИЙ БОЧОНОК"; tan---"БОЛЬШАЯ БОЧКА".---{\sl яРИМ.\ ПЕРЕВ.\/}},
ЗАПИСЫВАЛИСЬ ПО СУЩЕСТВУ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ. сЫТЬ МОЖЕТ, ПОДЛИННЫМИ
ИЗОБРЕТАТЕЛЯМИ ДВОИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ БЫЛИ АНГЛИЙСКИЕ ВИНОТОРГОВЦЫ!

эАСКОЛЬКО СЕЙЧАС ИЗВЕСТНО, ВПЕРВЫЕ ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ПОЯВЛЯЕТСЯ
ОКОЛО 1605~Г.\ В РЯДЕ НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЕЙ ЄОМАСА їЭРРИОТА
(1560--1621). їЭРРИОТ---ВЕСЬМА ТВОРЧЕСКАЯ ЛИЧНОСТЬ---ПРИБЫЛ В рМЕРИКУ В
КАЧЕСТВЕ ПРЕДСТАВИТЕЛЯ СЭРА єОЛТЕРА ЁЭЙЛИ. юН ИЗОБРЕЛ (СРЕДИ МНОГОГО
ДРУГОГО) ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ НЫНЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ОТНОШЕНИЙ "МЕНЬШЕ" И "БОЛЬШЕ";
НО ПО НЕКОТОРЫМ СООБРАЖЕНИЯМ ОН ПРЕДПОЧЕЛ НЕ ПУБЛИКОВАТЬ МНОГИЕ ИЗ СВОИХ
ОТКРЫТИЙ. шЗВЛЕЧЕНИЯ ИЗ ЕГО ЗАМЕТОК ПО ДВОИЧНОЙ
%% 208
АРИФМЕТИКЕ БЫЛИ ВОСПРОИЗВЕДЕНЫ фЖОНОМ є.~°ЭРЛИ В {\sl Amer.\  J.\ Physics\/}
[{\bf 19} (1951), 452--454].

яЕРВОЕ ОПУБЛИКОВАННОЕ ОБСУЖДЕНИЕ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРИНАДЛЕЖИТ
ИСПАНСКОМУ СВЯЩЕННИКУ їУАНУ ъАРАМЮЭЛЮ ыОБКОВИЦУ; ЭТО СРАВНИТЕЛЬНО
МАЛОИЗВЕСТНАЯ РАБОТА [{\sl Mathesis Bicepts,\/} Campani\ae, {\bf 1} (1670), 45--48].
ъАРАМЮЭЛЬ ДОВОЛЬНО ПОДРОБНО РАССМОТРЕЛ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В
СИСТЕМАХ ПО ОСНОВАНИЯМ $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $12$
И~$60$, НО НЕ ПРИВЕЛ НИКАКИХ ПРИМЕРОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В
НЕДЕСЯТИЧНЫХ СИСТЕМАХ (ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТРИВИАЛЬНОЙ ОПЕРАЦИИ ПРИБАВЛЕНИЯ ЕДИНИЦЫ).

эАКОНЕЦ, ОДНА СТАТЬЯ у.~т.~ыЕЙБНИЦА [{\sl Memoires de l'Academic Royale
des Sciences,\/} Paris, (1703), 110--116], В КОТОРОЙ ПОЯСНЯЛИСЬ ДВОИЧНЫЕ
ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ, ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО
ПРИВЛЕКЛА К ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ ВСЕОБЩЕЕ ВНИМАНИЕ, И ИМЕННО НА ЭТУ СТАТЬЮ
ОБЫЧНО ССЫЛАЮТСЯ, ГОВОРЯ О РОЖДЕНИИ АРИФМЕТИКИ ПО ОСНОВАНИЮ~$2$. ыЕЙБНИЦ И
ДАЛЕЕ ОЧЕНЬ ЧАСТО ОБРАЩАЛСЯ К ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ [СМ.~W.~Ahrens,
Mathematische Unterhaltungen und Spiele, {\bf 1}, Leipzig, Teubner, 1910,
27--28]. юН НЕ РЕКОМЕНДОВАЛ ЕЕ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ, НО
ПОДЧЕРКИВАЛ ЕЕ ВАЖНОСТЬ В ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ, ТАК КАК
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЧАСТО ГОРАЗДО
ЛЕГЧЕ УСМОТРЕТЬ В ДВОИЧНОЙ ЗАПИСИ, НЕЖЕЛИ В ДЕСЯТИЧНОЙ; ОН ВИДЕЛ ТАКЖЕ
НЕКИЙ МИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ В ТОМ ФАКТЕ, ЧТО ВС╕ НА СВЕТЕ ВЫРАЗИМО С ПОМОЩЬЮ
НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ. [ёМ.\ Laplace, Th\'eorie analytique des Probabilit\'es,
$3^{\rm me}$~\'ed., Paris, 1820, cix].

шНТЕРЕСНО ОТМЕТИТЬ, ЧТО ВАЖНАЯ КОНЦЕПЦИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ СПРАВА ОТ
ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ НЕ БЫЛА ЕЩЕ В ТЕ ВРЕМЕНА ПО-НАСТОЯЩЕМУ ОСОЗНАНА. ыЕЙБНИЦ
ПРОСИЛ ▀КОВА сЕРНУЛЛИ ВЫЧИСЛИТЬ~$\pi$ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, И
сЕРНУЛЛИ "РЕШИЛ" ЗАДАЧУ, ВЗЯВ 35-ЗНАЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К~$\pi$, УМНОЖИВ
ЕГО НА~$10^{35}$, А ЗАТЕМ ВЫРАЗИВ ПОЛУЧЕННОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО В ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЕ; ЭТО И БЫЛ ЕГО ОТВЕТ! фЛЯ МЕНЬШЕГО МАСШТАБНОГО МНОЖИТЕЛЯ ЭТО
РАССУЖДЕНИЕ ВЫГЛЯДЕЛО БЫ ТАК: $\pi\approx 3.14$,
А~$(314)_{10}=(100111010)_2$, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, $\pi$ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ
СЧИСЛЕНИЯ ЕСТЬ~$100111010$!\note{1}%
{¤ТО ЗАПИСЬ НЕ~$\pi$, А~$10^2\pi$! тОТ ПЕРВЫЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА~$\pi$ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ:
$11.0010010000111111011\ldots\,$.---{\sl яРИМ. РЕД.\/}}. (ёМ.\ Leibniz,
Math.\ Schriften (ed.\ Gehrhardt), {\bf 3} [Halle, 1855], 97; ИЗ-ЗА ОШИБОК
В ВЫЧИСЛЕНИЯХ ДВА ИЗ 118~БИТОВ В ОТВЕТЕ НЕВЕРНЫ.) ЎЕЛЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ сЕРНУЛЛИ
СОСТОЯЛА, ПО-ВИДИМОМУ, В ТОМ, ЧТОБЫ ВЫЯСНИТЬ, МОЖНО ЛИ ОБНАРУЖИТЬ В ЭТОМ
ПРЕДСТАВЛЕНИИ~$\pi$ КАКИЕ-НИБУДЬ ПРОСТЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ.

°ВЕДСКИЙ КОРОЛЬ ъАРЛ~XII, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТАЛАНТ КОТОРОГО, ЕСЛИ ЕГО
СРАВНИВАТЬ С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ТАЛАНТАМИ ПРОЧИХ КОРОЛЕЙ, ПО-ВИДИМОМУ, НЕ
ИМЕЛ СЕБЕ РАВНЫХ ВО ВСЕЙ МИРОВОЙ ИСТОРИИ,
%% 209
ОКОЛО 1717~Г.\ УВЛЕКСЯ ИДЕЕЙ ВОСЬМЕРИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ. ёКОРЕЙ ВСЕГО ЭТО
БЫЛО ЕГО СОБСТВЕННОЕ ИЗОБРЕТЕНИЕ, ХОТЯ ОН И ВСТРЕЧАЛСЯ С ыЕЙБНИЦЕМ В
1707~Г.\ ъАРЛ ЧУВСТВОВАЛ, ЧТО ОСНОВАНИЕ~$8$ ИЛИ~$64$ БЫЛО БЫ БОЛЕЕ УДОБНЫМ
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ, ЧЕМ~$10$, И ПОДУМЫВАЛ О ВВЕДЕНИИ В °ВЕЦИИ ВОСЬМЕРИЧНОЙ
АРИФМЕТИКИ; ОДНАКО ОН ПОГИБ В БИТВЕ, ТАК И НЕ УСПЕВ ПРОВЕСТИ ЭТУ РЕФОРМУ.
(ёМ.\ СОЧИНЕНИЯ тОЛЬТЕРА, {\bf 21} [Paris, E.~R.~DuMont, 1901], 49;
х.~Swedenborg, {\sl Gentleman's Magazine,\/} {\bf 24} (1754), 423--424.)

яРИМЕРНО 140~ЛЕТ СПУСТЯ ВЫДАЮЩИЙСЯ АМЕРИКАНСКИЙ ГРАЖДАНСКИЙ ИНЖЕНЕР,
ШВЕД ПО НАЦИОНАЛЬНОСТИ фЖОН эИСТРОМ РЕШИЛ СДЕЛАТЬ ЕЩЕ ОДИН ШАГ В РАЗВИТИЕ
ПЛАНОВ ъАРЛА~XII И ПРЕДЛОЖИЛ ПОЛНУЮ СИСТЕМУ НУМЕРАЦИИ, МЕР И ВЕСОВ,
ОСНОВАННУЮ НА ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ АРИФМЕТИКЕ. юН ПИСАЛ: "▀ НЕ БОЮСЬ И
НИЧУТЬ НЕ КОЛЕБЛЮСЬ ВЫСТУПИТЬ В ЗАЩИТУ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В АРИФМЕТИКЕ И
МЕТРОЛОГИИ. ▀ ЗНАЮ, НА МОЕЙ СТОРОНЕ ПРИРОДА; ЕСЛИ МНЕ
%% !! ПРОВЕРИТЬ ОРФОГРАФИЮ
НЕ УДАСТЬСЯ УБЕДИТЬ ВАС В ЕЕ ПОЛЕЗНОСТИ И ЧРЕЗВЫЧАЙНОЙ ВАЖНОСТИ ДЛЯ
ЧЕЛОВЕЧЕСТВА, ЭТО НЕ СДЕЛАЕТ ЧЕСТИ НАШЕМУ ПОКОЛЕНИЮ, НАШИМ УЧЕНЫМ И
ФИЛОСОФАМ". эИСТРОМ РАЗРАБОТАЛ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА ПРОИЗНЕСЕНИЯ
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ; НАПРИМЕР, ЧИСЛО~$(|C0160|)_{16}$ СЛЕДОВАЛО ЧИТАТЬ
"vybong, bysanton". яОЛНОСТЬЮ ЭТА СИСТЕМА, НАЗВАННАЯ ИМ "ТОНАЛЬНОЙ
СИСТЕМОЙ", БЫЛА ОПИСАНА В~J.~Franklin Inst.\ [{\bf 46} (1863), 263--275,
337--348, 402--407]. рНАЛОГИЧНАЯ СИСТЕМА, НО ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ ОСНОВАНИЕ~$8$,
БЫЛА ПРЕДЛОЖЕНА ПРИМЕРНО В ТО ЖЕ ВРЕМЯ ¤ЛФРЕДОМ с.~ЄЭЙЛОРОМ
[{\sl Proc.\ Amer.\  Pharmaceutical Assoc.,\/} {\bf 8} (1859), 115--216;
{\sl Proc.\ Amer.\  Philosophical Soc.,\/} {\bf 24} (1887), 296--366].

тСЕ БОЛЕЕ ШИРОКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФРАНЦУЗСКОЙ (МЕТРИЧЕСКОЙ) СИСТЕМЫ МЕР И ВЕСОВ
ВЫЗВАЛО В ТУ ЭПОХУ МНОГОЧИСЛЕННЫЕ ДЕБАТЫ О ДОСТОИНСТВАХ ДЕСЯТИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ.

ёО ВРЕМЕНИ ыЕЙБНИЦА ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ СТАНОВИТСЯ ХОРОШО ИЗВЕСТНОЙ
ДИКОВИНКОЙ, И Ё.~ъ.~рРЧИБАЛД СОБРАЛ ОКОЛО 20 РАННИХ РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ ЕЙ
[{\sl AMM,\/} {\bf 25} (1918), 139--142]. юНА ПРИМЕНЯЛАСЬ ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ СТЕПЕНЕЙ, КАК БУДЕТ ОБоЯСНЕНО В~П.~4.6.3, И ПРИ АНАЛИЗЕ
НЕКОТОРЫХ ИГР И ГОЛОВОЛОМОК. фЖ.~яЕАНО [{\sl Atti della R.\ Accademia
delle Scienze  di Torino,\/} {\bf 34} (1898), 47--55] ИСПОЛЬЗОВАЛ ДВОИЧНУЮ
СИСТЕМУ КАК ОСНОВУ ДЛЯ "ЛОГИЧЕСКОГО" АЛФАВИТА ИЗ 256~СИМВОЛОВ.
фЖОЗЕФ сОУДЕН [Special topics in theoretical arithmetic. Garden City, 1936, 49]
ПРЕДЛОЖИЛ СИСТЕМУ ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ.

тОЗРАСТАЮЩИЙ ИНТЕРЕС К МЕХАНИЧЕСКИМ УСТРОЙСТВАМ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ, В ОСОБЕННОСТИ УМНОЖЕНИЙ, ПРИВЕЛ РЯД
ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ К ИЗУЧЕНИЮ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ С ЭТОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ. яРЕКРАСНЫЙ
ОТЧЕТ ОБ ЭТИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ДАН В СТАТЬЕ "фВОИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ"
¤.~є.~ЇИЛЛИПСА [{\sl J.\ of the Institute of Actuaries,\/} {\bf 67}
(1936), 187--221]; ТАМ ЖЕ ПОМЕЩЕНА ЗАПИСЬ
%% 210
ДИСКУССИИ, СОСТОЯВШЕЙСЯ ПОСЛЕ ПРОЧИТАННОЙ ИМ НА ЭТУ ТЕМУ ЛЕКЦИИ. ЇИЛЛИПС
НАЧИНАЕТ СЛОВАМИ: "ъОНЕЧНАЯ ЦЕЛЬ [ЭТОЙ СТАТЬИ] СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ
УБЕДИТЬ ВЕСЬ ЦИВИЛИЗОВАННЫЙ МИР ОТКАЗАТЬСЯ ОТ ДЕСЯТИЧНОЙ НУМЕРАЦИИ И
ЗАМЕНИТЬ ЕЕ ВОСЬМЕРИЧНОЙ\note{1}%
{т ОРИГИНАЛЕ octonal, КАК У САМОГО ЇИЛЛИПСА, А НЕ octal, КАК ПРИНЯТО В
СОВРЕМЕННОМ АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ. т СЛЕДУЮЩЕМ АБЗАЦЕ РЕЧЬ ИДЕТ О ЧИТАТЕЛЯХ
АНГЛИЙСКОГО ОРИГИНАЛА.---{\sl яРИМ. РЕД.\/}}}".

ёОВРЕМЕННЫЕ ЧИТАТЕЛИ СТАТЬИ ЇИЛЛИПСА БУДУТ, ВОЗМОЖНО, УДИВЛЕНЫ, ОБНАРУЖИВ,
ЧТО СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ПО ОСНОВАНИЮ~$8$ НАЗЫВАЛАСЬ В ТО ВРЕМЯ В
СООТВЕТСТВИИ СО ВСЕМИ СЛОВАРЯМИ АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА octonary ИЛИ octonal,
ТОЧНО ТАК ЖЕ КАК СИСТЕМА ПО ОСНОВАНИЮ~$10$ НАЗЫВАЕТСЯ СЕЙЧАС denary ИЛИ
decimal; СЛОВО octal ПОЯВЛЯЕТСЯ В СЛОВАРЯХ АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА ТОЛЬКО С
1961~Г., ПРИЧЕМ ПЕРВОНАЧАЛЬНО, ПО-ВИДИМОМУ, КАК ТЕРМИН ПРИ ОПИСАНИИ БАЗЫ
ВАКУУМНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАМП ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА. ёЛОВО hexadecimal\note{2}%
{°ЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЙ.---{\sl яРИМ. ПЕРЕВ.\/}},
ВКРАВШЕЕСЯ В НАШ ЯЗЫК ЕЩЕ ПОЗЖЕ, ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ СМЕСЬ ГРЕЧЕСКОГО И
ЛАТИНСКОГО КОРНЕЙ\note{3}%
{тОТ ЭТИ КОРНИ: $\tilde\varepsilon\xi$---ШЕСТЬ, decimus---ДЕСЯТЫЙ. {\sl
яРИМ. РЕД.\/}};
 БОЛЕЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ТЕРМИНАМИ БЫЛИ БЫ senidenary\note{4}%
{Seni deni---ШЕСТНАДЦАТЬ (\emph{ЛАТ.}).---{\sl яРИМ РЕД.\/}}
ИЛИ sedecimal ИЛИ ДАЖЕ sexadecimal\note{5}%
{Sex---ШЕСТЬ (\emph{ЛАТ.}).---{\sl яРИМ. РЕД.\/}},
НО ПОСЛЕДНИЙ, ПОЖАЛУЙ, ЗВУЧАЛ БЫ СЛИШКОМ РИСКОВАННО ДЛЯ ПРОГРАММИСТОВ.

тЫСКАЗЫВАНИЕ Ї.~X.~єЭЙЛСА, ПРИВЕДЕННОЕ В КАЧЕСТВЕ ОДНОГО ИЗ ЭПИГРАФОВ К
ЭТОЙ ГЛАВЕ, ИЗВЛЕЧЕНО КАК РАЗ ИЗ ЗАПИСИ ДИСКУССИИ, ПОМЕЩЕННОЙ ВМЕСТЕ СО
СТАТЬЕЙ ЇИЛЛИПСА. фРУГОЙ СЛУШАТЕЛЬ ЭТОЙ ЛЕКЦИИ УКАЗАЛ НА НЕУДОБСТВА
ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ
ДЕЛОВЫХ ЦЕЛЕЙ: "$5\%$~ПРЕВРАЩАЮТСЯ В~$3.1463 \hbox{ per } 64$\note{6}%
{яОСКОЛЬКУ \% ПИШЕТСЯ ПО-АНГЛИЙСКИ per cent (ОТ ЛАТИНСКОГО per centum), А
cent ($100$) ЗАМЕНЯЕТСЯ НА~$64$.---{\sl яРИМ. РЕД.\/}},
ЧТО ЗВУЧИТ УЖАСНО".

ЁЯД ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН, ОСНОВАННЫХ НА ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ БЫЛ СОЗДАН В
НАЧАЛЕ ТРИДЦАТЫХ ГОДОВ НАШЕГО СТОЛЕТИЯ ВО ЇРАНЦИИ; СМ.\ ЗАМЕТКИ
ы.~ъУФФИНЬЯЛЯ И~Ё.~тАЛЬТА В {\sl Comptes Rendus\/} [{\bf 197} (1933), 877;
{\bf 202} (1936), 1745--1747, 1970--1972].

яЕРВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ НА ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАМПАХ СПРОЕКТИРОВАЛ В
1937~Г.\ фЖОН~т.~рТАНАСОВ, А ПЕРВЫЕ РЕЛЕЙНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ
НЕЗАВИСИМО И В ТОМ ЖЕ ГОДУ---фЖОРДЖ~Ё.~°ТИБИЦ. юБА ОНИ В СВЕИХ ПРОЕКТАХ
ИСПОЛЬЗОВАЛИ ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ, ХОТЯ °ТИБИЦ ВСКОРЕ ПОСЛЕ ЭТОГО
РАЗРАБОТАЛ И ДВОИЧНЫЙ КОД "ПЛЮС-3" ДЛЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ЦИФР. яРИМЕРНО В ТО ЖЕ
САМОЕ ВРЕМЯ В уЕРМАНИИ ъОНРАД ЎУЗЕ ПОСТРОИЛ МЕХАНИЧЕСКУЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ
МАШИНУ, ОСНОВАННУЮ НА ДВОИЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ;
ВПОСЛЕДСТВИИ (1941~Г.) ОН ЗАМЕНИЛ МЕХАНИ-
%% 211
\bye