\input style
������ ���������� ����� �������� ������, ������� ���������� � 1941~�.

� ������ ����������������� �������������� �������, ����������� � ������� 
� ������ ��������� �����, �������������� ���������� ����������. � � 
1946~�.\ � ��������� ������� ���� ������ �.~�.~Ḑ���, X.~X.~㎋������� 
�~�.~���~텉���� � ������� ������ �������������� ������ � �������� � 
������ ���������� ���� �������� �������� ������� �� ������� ������� � 
��������� � ������� � ������� ��������� �� ���������~$2$ 
[��.\ John von~Neumann, Collected Works, Vol.~5, 41--65]. � ��� ��� �������� 
�������������� ���������� �������� �������� ���������������. �� ������ 
������ ��� ������ � ��������� �������� ���������� ������������� ���������� 
� ����������� �������� ������� ���� ���� �.~ᓕ������� � ������ 
"��� ��� ������?"\note{1}%
{����� ������ ���������� ������ ������������������ 
������������� ���������� �������, ���������� ����������������� ����������� 
� ��� �������� �������.---{\sl �. �����.\/}}
[{\sl CACM,\/} {\bf 2} (December, 1959), 3--11].

⛗����������� ������~\MIX, ������������ � ���� �����, ���������� ����� 
�������, ��� ��� ����� ���� ��� ��������, ��� � ����������. 荒������ 
��������, ��� ����� ��� \MIX-��������� ����� ��������, �� ����, ����� 
������ ������� ������������, �������� ��� ����������,---���� ��� 
���������� ���������� ������������ ��������. 蒀�, �� �����, ��� 
����� ��������� ������� ��������� �� ��������� ���������� ������� �� 
���������������� ��� ���. (瀑���������� ���������� ����������� �� ����� 
������� ������, ������, "������" ���������, ����������� � ��.~7; ��. 
����� ��������~4.5.2B.)

茅���� ��������� ��������� ������� ������������� \emph{�������������} 
����� � ���, � ����� ���� ��� ����� ������ ��������� ������� �� ������� 
���������� �������������� ��������. �������� �������� ����� ����� 
�������������. ᓄ�� ������� ������� ������~\MIX{} ���������� ���; ����� 
������ ����� �������� 10~���� � ����, ��������:
\EQ[2]{
 -12345\,67890.
}

���� ������ ������������� ���������� \dfn{������ �����}. 
򀊎� ������������� ������������� ������������ ������������, � ������� 
������ ������������ ������������ ���. ⎇������ ���������� ����� ������� 
� ���, ��� ����� ���������� ��� ����� ����, ��� � ���� ����, � �� ����� 
��� ������ ��� ������ ���������� ���� � �� �� �����; ����� ����������� 
������� �������� ��������� ��� ����������������.

� ����������� ������������ ������� �����, ����������� �������� ���������� 
����������, ������������ ������ ������� ������,
%% 212
���������� \dfn{�������������� �����}. ⛗��~$1$ ��~$00000\,00000$, 
�� ������� � ���� ������� ������~$99999\,99999$; ������� �������, ����� �� 
������������� ������ �����, � ���������� ���������� \emph{�� ������~$10^{10}$}. 
�����~$-12345\,67890$ � �������������� ���� ����� ��������� ���:
\EQ[3]{
 87654\,32110.
}
� ���� ������� ����������� ������� ������� ������������� ����� �����, 
�������� ����� �������� ����~$5$, $6$, $7$, $8$ ���~$9$, ���� � ����� 
������ ������������ ����������� �������� � ��������� �� ����� �������� 
����� �������������~\eqref[3], ���� ��� ������, ��� �����~$+87654\,32110$. 
 ���������� ��������������� ���� �� ��������� � �������� "����� ����".
㋀���� �������� ����� ������ ����� � �������������� ������� 
����������� � ���, ��� ����� ������ � �������������� ���� �� 
������������ ������� ��~$10$; ��������, �����~$-11=\ldots{}99989$ ����� 
������ ������ ������������ � �����~$\ldots{}99998=-2$ (� �������������,
��� ����� ������ �������������� ����� ��������� � �������� �������~"$9$").
� ����� ������ ����������� ������ �����~$x$, ����������� � 
�������������� ����, �� ���� ����� ������ ����� �����~$\floor{x/10}$ 
���������� �� ����, ������������~$x$ ��� ������������. � �� 
������������� ��������� ������ ��� ������ ��������������� ���� ����������� 
� �� ���������������� ������������ ����; ���������� ������������� �����, 
������������ ����������� $p$~����, $500\ldots{}0$, �� �������� �������� 
���������� �������� $p\hbox{-����������}$ �������������� �����. 򀊈� 
�������, ��������, ��� ��������� ����� (������~$x$ ��~$-x$) �������� 
�������� ������������.

噅 ���� ������� �����������, �������� � ����� ������ ���� ��� 
����������������� �������������� �����,---��� ������������� � 
\emph{�������� ����}. � ���� ������ �����~$-12345\,67890$ ������������ � ����
\EQ[4]{
  87654\,32109.
}
ꀆ��� ����� �������������� �����~$-x$ ����� �������� �����~$9$ � 
��������������� ������~$x$. 텒����� ������, ��� ��� �������������� 
����� ��� �������� ��� ������ �� ������� ������ ���������������; �������� 
� ��������� ������������ �� ������~$10^{10}-1$, � ��� ��������, ��� 
������� �� ������� ����� ������� ����������� � ������� ������ 
(��.~�.~3.2.1.1). 񍎂� ��������� ��������� � ����� �����, ��� ��� 
������~$99999\,99999$ �~$00000\,00000$ ���������� ���� � �� ��.

򎋜�� ��� ���������� ����, ����������� � ���������� �� ���������~$10$, 
����������� ������� ��������� � ���������� �� ���������~$2$, � �� �������� 
\emph{�������� ������}, \emph{��������������} � \emph{�������� ����}. � 
�������� ���� ����� ������~\MIX{}
%% 213
������������ ������ ��� ������ � �������������� � ������, ����; 
��������������� ��������� ��� ��������������� � ��������� ����� 
�����������, ���� ��� ����������� ������, � ���������������� ������.

ᎋ�������� ���������� �� �������������� ������� ��������, ��� �������� 
������ �����������, ����� ����������� ����� ������������� � ������������� 
������� ������ ������� ��������� �����. ��� ��������� ����� ������ ������������;
������� ����� ������� �������, ���������� ����, ��� �������� ����������� 
����� � ���������� ���������� �������, ���� ������������, ��� �� �� 
���������� ��� ����������� �� �����-�� ������������ �����. 퀏�����, � 
������ ������~\MIX{} �� ����� �� ������������� ���� �������� ���� ��� 
����� ����� � ����������� ������ � ������� ������ ���������, ���� ��� 
���������� ����� � ����������� ������ � ������� ����� ���������, ���� 
��� ��������� ������������� ����� ����� ����� �������� ����������; ������� 
����������� ����������� ����� � ������ ���������� ���������� ���������������.

녃�� ������, ��� ���������� ������� ����� ����� ������� ����� � �������� 
��������� �� ����������~$b$ �~$b^k$:
\EQ[5]{
 (\ldots a_3 a_2 a_1 a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots)_b=
   (\ldots A_3 A_2 A_1 A_0.A_{-1} A_{-2}\ldots)_{b^k},
}
���
\EQ{
A_j=(a_{kj+k-1}\ldots a_{kj+1}a_{kj})_b;
}
��.~���.~8. 򀊈� �������, �� �������� ������� ������ ���������� "� 
������ �������" ��, ������, �������� � ������������ ������� � �������.

茅���� ����� ���������� ��������� ����������� ������ ���������, ������ 
����������� $b\hbox{-�����}$ ������, ������������� �� ��� ���. 퀏�����, 
�� ����� �� ������������� ����� �� ���������~$(-10)$, ��� ���
\EQ{
\eqalign{
 (\ldots a_3 a_2 a_1 a_0 . a_{-1} a_{-2} \ldots)_{-10}&=\cr
&=\ldots+a_3(-10)^3+a_2(-10)^2+a_1(-10)^1+a_0+\ldots=\cr
&=\ldots-1000a_3+100a_2-10a_1+a_0-{1\over 10}a_{-1}+{1\over 100}a_{-2}-\ldots\,.\cr
}
}
焅��, ��� � � ������� ���������� �������, �����~$a_k$ ������������� 
������������~$0\le a_k \le 9$. �����~$12345\,67890$ ��������� �  ����� 
"����-����������" ������� � ����
\EQ[6]{
 (1\,93755\,73910)_{-10},
}
��� ��� ��� ����� ��� ���~$10305070900-9070503010$. 荒������ ��������, 
��� ��� �������� ���������, ������������� �����~$-12345\,67890$, 
������������ � ����
\EQ[7]{
 (28466\,48290)_{-10},
}
%% 214
� � ���������������� \emph{����� ������������ �����, ������������� ��� 
�������������, ����� ���� ������������ � ������� �� ���������~$-10$ ��� �����.}

񈑒��� �� �������������� ��������� ���� ��������� � ���������� �������, 
��-��������, �.~����� �~�.~ ������ [{\sl Bulletin de l'Academie 
Polonaise des Sciences,\/} Classe~III, {\bf 5} (1957), 233--236; S\'erie 
des sciences techniques, {\bf 7} (1959), 713--721] � �.~󝉄���� [{\sl IRE 
Transactions,\/} {\bf EC-6} (1957), 123]. 䀋������� ������������ ������ 
����� ����� � �������� {\sl IEEE Transactions\/} [{\bf EC-12} (1963), 274--276]
%% fixed: (May, (1967) ---> (May, 1967)
� {\sl Computer Design\/} [{\bf 6} (May, 1967), 52--63]. 
(茅���� ������������� ����, ��� ���� �������������� ��������� �������� 
���������� ����� � ������ ���� ��� �� ������� ��������� �������� � 
�������������� ���.)

�.~�.~񎍃����, �� ����������� �.~�.~�������, ���������� ������� �� 
���������~$-2$ � ����� ������������ ����������� (����������� 
�����������, 1956~�.). 񈑒��� � ������������� ���������� ������������ 
����� � 1955~�.\ �.~�.~ꍓ� � ��������� ������������ ������, 
��������������� ��� �������� "�� ������� ��������" ����� �������� 
������� �������; ��� �� ����������� � ���������� ���������---�� 
����������������� ���������. � ����, ��� ��� ����� ����� 
���� ������������ �� �������������� ���������, ������� � ������ ��������� 
����������� ������ ����� �.~�.~��~ᐸ�� [{\sl Publ. Math. Debrecen,\/} 
{\bf 1} (1950), 232--242, �������� ��.~���.~240], ������ �� �� �������� 
��� ���� � ����������.

⛁�� ���������~$2i$ �������� � ���������� ������� ���������, ������� 
����������� ������� "�����-�����������" (�� �������� � "�����������"\note{1}%
{� ��������� �������� "������": "quaternary"---"quater-imaginary".---{\sl 
�. ���.\/}}, ����� ���� ��� \emph{������ ����������� ����� ����� ���� 
������������ � ���� ������� ��� ������ ���� $0$, $1$, $2$ �~$3$, ������ 
��� �� ����, ������ �� ������ �����, �� ���������)}. [�.~{\sl CACM,\/} 
{\bf 3}, (1960), 245--247.] 퀏�����,
%% !!! ����� ����� ������� ��������� � ����. ������, �� ����, 
%% ����� ��-�����������
\EQ{
 (11210.31)_{2i}=1\cdot 16+1\cdot (-8i)+2\cdot (-4)+1\cdot (2i)+3\cdot\left(-{1\over2}i\right)+1\left(-{1\over4}\right)=7{3\over4}-7{1\over2}i.
}
�����~$(a_{2n}\ldots{} a_1 a_0.a_{-1}\ldots{} a_{-2k})_{2i}$ �����
\EQ{
 (a_{2n}\ldots a_2 a_0 . a_{-2}\ldots{} a_{-2k})_{-4}+2i(a_{2n-1}\ldots a_3 a_1.a_{-1}\ldots{} a_{-2k+1})_{-4},
}
��� ��� ������� ����� � �����-����������� ����� � ������� �������� � 
�������� � "����-�����������" ����� � �������. 荒������� �������� ���� 
������� ������� � ���, ��� ��� ��������� ���������� ��������� � ������� 
����������� �����
%% 215
��������� ������� ��� ����������� ������������ ������������ � ������ 
������. 퀏�����, ����������� ��� ����� �� ����� � ���� ������� ��� ��, 
��� � ��� ����� ������ ���������, ��������� ������ ��������� ���� "������� 
��������": � ������ ���� ����� ���������� ������~$4$, �� ��������~$4$ � 
"���������"~$-1$ �� ��� ������� �����, � ����� ���������� 
������������� �����, �� ���������� � ���~$4$ � "���������"~$+1$ �� ��� 
������� �����. ������ �������������� ������� �������, ��� �������� ��� 
������������ ������� ��������:
\ctable{
\strut$#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\cr
  &   &   &   & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & \quad [9-10i]\hfil\cr
  &   &   &   & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & \quad [9-10i]\hfil\cr
\multispan{4} & \multispan{5}\hrulefill\cr
  &   &   &   & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 \cr
1 & 0 & 3 & 2 & 0 & 2 & 1 & 3\cr
  &   & 1 & 3 & 0 & 2 & 2\cr
  & 1 & 3 & 0 & 2 & 2\cr
1 & 2 & 2 & 3 & 1\cr
\multispan{9}\hrulefill\cr
0 & 2 & 1 & 3 & 3 & 3 & 1 & 2 & 1 & \quad [-19-180i]\hfil\cr
}

쎆�� ��������� ����������� ������� �� ���������~$\sqrt{2}i$,  � ������� 
������������ ���� �����~$0$ �~$1$, �� � ���� ������� ��� ��� ������������� 
����� ������ �������~$i$ ��������� ����������� ��������������� ����������.

"ል�����" ����������� ������� ��������� ����� ����� ��������, ��������� 
���������~$i-1$, ������������ �.~�� [{\sl JACM,\/} {\bf 12} (1965), 247--248]:
\EQ{
 (\ldots{}a_4a_3a_2a_1a_0.a_{-1}\ldots)_{i-1}
  =\ldots-4a_4+(2+2i)a_3-2ia_2+(i-1)a_1+a_0-{1\over 2}(i+1)a_{-1}+\ldots\,.
}
� ���� ������� ������������ ������ �����~$0$ �~$1$. � �� �������� 
��������, ��� ������ ����������� ����� ��������� ����� �������������, 
������� � ������������ ����������� ���������~$S$, ������������� �� ���.~1\note{1}%
{� ����������~$S$ � ��� ����� � �������� ��������� �� 
���������~$i-1$ ����� ������� "������ �������", ������������ � ��������� 
��� ������������ ������� �.~�������. 瀌���������� �������� ���� ������ 
���������� ����� ��������� ����� 䎍���� ꍓ� (��., ��������, ������ 
�.~�.~‑������ � �.~�.~㓒�������� �� 2-� ������ ������� "ꂀ��" 
��~1970~�., 36--46).---{\sl �. �����.\/}};
��� ��������� ������� �� ����������� �� ���� ����� ����������� 
���������, ������� ��������� ������ � ����~$\sum_{k\ge 1}a_k(i-1)^{-k}$ 
��� ��������� ����������� ������������������ $a_1$, $a_2$, $a_3$,~\dots{} 
����� � ������. � ������� ��������, ��� ����� ������� ���������~$S$ �� 
256~������, ������������~$(1/16)S$;
%% 216
�������, ��� ���� ���������~$S$ ��������� �� ������� ������� 
��~$135^\circ$, �� �� ������, ��� ��� ����������� �� ��� ����������� 
���� � ����� ���������, 
������������~$(1/\sqrt{2})S$ (���������~$(i-1)S=S\cup (S+1)$). � ������ 
������� ��������������
\picture{���.~1. 썎������~$S$.}
����, ��� $S$~�������� ��� ����������� ����� ���������� ������ ������, 
��.~���.~18. (� ���������������� �������~$S$ �������� ����� ������ "������"; 
��� ����� �� ���.~1 ��������.)

\def\ternary{\bgroup\catcode`\!=\active}
\def\endternary{\egroup}
\catcode`!=\active
\def!{\overline{1}}
\catcode`\!=12


ᛒ� �����, ����� ������� �� ���� �������� \emph{�������������� ��������} 
������� ���������---������� �� ���������~$3$, � ������� ������ ����~$0$, $1$,
 $2$ ������������ "�����"\note{1}%
{� �������� � "������".---{\sl �. ���.\/}} $-1$, $0$, $+1$. 呋�
%% 217
������~$-1$ ������~\ternary$!$\endternary, �� �� ������� ��������� ������� 
�����, ���������� � �������������� �������� ������� ���������:
\ternary\ctable{
\strut\hfil$#$&#&$#$\hfil&\hfil$\quad#$&$#$\hfil\cr
\multispan{3} 󐀂���������� �������� ������� & \multispan{2} 䅑������� �������\cr
\multispan{3} ��������� & \multispan{2} ���������\cr
 10!& &            &   8\cr
11!0&.&!!          &  32& {5\over 9}\cr
!!10&.&11          & -32&{5\over 9}\cr
!!10&.&            & -33\cr
   0&.&11111\ldots &    &{1\over 2}\cr
}\endternary

󐀂���������� �������� ������� ��������� �������� ������� ��������� ����������:
{\medskip\narrower
\item{a)}���� �� ����� � ���������������� �� ����� �������������� 
�������� �������~$1$ ��~\ternary$!$\endternary.

\item{b)}獀� ����� �������� ��� �������� �������� ��������� ������, �, 
����� ����, �� ����� ���������� ����� ��� �����, ��������� 
������������������ ������� ��� ������ ����� �������, ��� � � ���������� �������.

\item{c)}����� ���������� �� ���������� ������ �������� � ������������ 
������� ����� (�.~�.\ ���� ������, ������� ������ �� ����������� �����).
\medskip}

񊋀������ � �������������� �������� ������� ������ ������, ���� 
������������ �������� ��������
\ternary\ctable{
\strut\hfil$#$\bskip&&\bskip\hfil$#$\bskip\cr
! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 
& 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ! 
& ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \cr
! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! 
& 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 \cr
\noalign{\hrule}
!0 & !1 & ! & !1 & ! & 0 & ! & 0 & 1 & !1 & ! & 0 & ! & 0 & 1 & 0 & 1 & 1! 
& ! & 0 & 1 & 0 & 1! & 1 & 1! & 10 \cr
}\endternary
(� ������� �����---��� ����� ���� ����� ��������� � ��� ��������.) 
⛗������ ������� � �������� � �����, ���������������� �� �����, � 
����������� ��������; ��������� ����� �������� � �������� ����� � ��������,
��� � ��������� �������:
\ternary\ctable{
$#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\cr
 & & &1&!&0&!& \quad [17]\cr
 & & &1&!&0&!& \quad [17]\cr
 & & & \multispan{4}\hrulefill\cr
 & & &!&1&0&1\cr
 &!&1&0&1&0\cr
1&!&0&!\cr
\multispan{7}\hrulefill\cr
0&1&1&!&!&0&1& \quad [289]\cr
}\endternary
� ������ ������� ��.~���.~4.3.1-31.

� �� �������� ����� ������������� ����� � �������������� �������� 
������� ������� � ���, ��� ������� ����������
%% 218
��� ����� � �������� �������; ��������,
\EQ{
 208.3=(21\,201.022002200220\ldots)_3.
}
(�� ������� ������ �������� � �������� �������, ��������� ��� 
���������� �������, � ���������� � �������, ������ � ���.~4.4-12.) 䀋�� 
���������� ��� ����� � �������� ������� � ����������� 
������~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$; ��� ������ ������� �� �������
\EQ{
 (\ldots{}11111210012.210121012101\ldots)_3.
}
퀊����, ���������� ��������~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$, �������� 
�� ������� ������ �����; �� �������
\ternary\EQ[8]{
 208.3=(10!!01.10!010!010!0\ldots)_3.
}\endternary
���� �������, ��������, ����� ������� ������ "��������", ���� �������� 
������������� ����������� �����~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$ ��������� 
������ � ��������������� ����������� ������.

���������� ����� � �������������� �������� ������� ������ ������������ 
� ����� ���������� �������������� �����������, ������ ���������� 
"������� ဘ� � �����", ���� ��� ���� �������������� ��� 􈁎����� �� 
������ �������� �� ����, ��� ဘ� ������� ���� �����. [�.\ W.~Ahrens, 
Mathematische Unterhaltungen und Spiele, {\bf 1}, Leipzig, Teubner, 1910, \S~3.4.]

�������� ������� ��������� � �������������� ������� ���� ���������� 
����� 䆎��� 녑�� [The philosophy of arithmetic, Edinburgh, 1817; 
��.~���.~33--34, 54, 64--65, 117, 150] � ���������� �.~ꎘ� [{\sl Comptes 
Rendus,\/} {\bf 11} (1840), 789--798], ������� �������, ��� ������������� 
����� ��������� �� ������������� ���������� ������� ��������� 
������~$5\times 5$. � "������" ���� �������������� �������� ������� 
��������� ������� ��������� � ������ 녎�� 뀋���� [{\sl Comptes Rendus,\/} 
{\bf 11} (1840), 903--905], ������������ ������������ ��������������� 
���������. � ������� ����������� ��� ��� ����� ������ 뀋���� ��� 
������� ����������� ���� ������������, ���� � ������������������ ��������� 
쓐� � 1945--1946~��.\ �� ����� ������������� ������ ����������� 
�������������� ����������; � ���� ������ ��� �������� ��������������� 
������ � �������� �������� � �������� ��������� ������ ���������� �������. 
񋎆����� �������������� ����������� ���� ��� �������������� �������� 
���������� �� ������� ����, ��� ��� �������� ����������, � ����� 
������ �����, � ��� ��������� ���� $\ln 2/\ln 3\approx 63\%$~�������� 
������� �� ���� ����������, ������� ����� � ������ �������� 
������. ������� �������������� �������� ������� ��.\ � ������� {\sl AMM\/} 
[{\bf 57} (1950), 90--93] � � �������� "High-speed computing devices" 
[Engineering Research Associates, McGraw-Hill, 1950, 287--289]. 
� ��� ��� �������������� �������� ������� ���
%% 219
��� �� ����� ���������� ����������, �� ��������, ��� �� �������������� � 
������� ���������� �������� � ���� ���������� ���� ������ ������������� 
(����� "����-����" ��������� �� "����-����-����"\note{1}%
{Flip---������, flap---������, flop---������ (\emph{����.}); 
flip-flop---�������� � ������������ ���������� �������� ��������.---{\sl �. ���.\/}}).

䐓��� ������ ��������� ������� ����������� �������---��� ����������� 
������� \emph{�� ���������� �����������,} (��� \emph{�� ��������� 
����������}). 呋� ���� ������������������ �����~$\<b_k>$ (��� $k$~����� 
���� � ��������������), �� �� �������� �� �����������
\EQ[9]{
\left[\matrix{
\ldots, & a_3, & a_2, & a_1, & a_0; & a_{-1}, & a_{-2}, & \ldots \cr
\ldots, & b_3, & b_2, & b_1, & b_0; & b_{-1}, & b_{-2}, & \ldots \cr
}
\right]=\ldots+a_3b_2b_1b_0+a_2b_1b_0+a_1b_0+a_0+a_{-1}/b_{-1}+a_{-2}/b_{-1}b_{-2}+\ldots\,.
}
� ���������� �������� �� ���������� ����������� �� �������� ������ � 
������ �������: �� �������� � �������� ����� $b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} 
����� �����, ������� �������, � ������������� ������ ����� �����, ������� 
�� �������� ����������� �����, ������ �����~$a_k$ ������ ������������ 
���������~$0\le a_k < b_k$.

� �� �������� ������ ������ �� ���������� �����������---��� 
\emph{������������� ������� ���������,} ���~$b_k=k+2$. 葏������ ��� 
�������, �� ����� ������������ ������� ����������� ����� ��������������� 
����� ����� � ����
\EQ[10]{
 c_n n!+c_{n-1}(n-1)!+\cdots+c_22!+c_1,
}
���~$0\le c_k \le k$.

񈑒��� �� ���������� ����������� ������� ���� �� ������������ �����; ���� 
���� � �������� ���. 퀏�����, �������� "��� ������, 2 ���, 9 �����, 22 
������, 57 ������ � 492 ������������" �����
\EQ{
\left[\matrix{
 3, & 2, & 9, & 22, & 57; & 492\cr
    & 7, & 24, & 60, & 60; & 1000\cr
 }\right]\hbox{ ������.}
}
� ������ �� �������� � ���������� �������� ������� �������� "10 ������, 6 
���������, ��� � ��������� �����" ����������
\EQ{
\left[\matrix{
 10, &  6, &  3; & 1\cr
     & 20, & 12; & 2\cr
 }\right]\hbox{ ������.}
}

����� �� ��������� ���������� ����� ���������� � ��������, ��������� 
���������������� ��������� ������� ���������� �������� � ���������, ��� 
�������, �������, ��� ��� ����� ��������� ������������ ���� � �� �� 
������� (��.~���.~4.3.1-9). ����� �� ������� ����� �������� ��� ������ 
����� �� ���������
%% 220
���������� �� ����� ����� �����, ��������� ������� ��������� 
������������� ������� ����� ��� ������ ��������� � ������.

� ����� ���� ������� �� ��������� ���������� ������� ����������� ㅎ���� 
ꀍ����� [{\sl Zeitschrift f\"ur Mathematik und Physik,\/} {\bf 14} (1869), 121--128). 
䎏����������� ���������� � ����� �������� ���������� � ���.~26 �~29.

��� ������ ���������, ��������� � ���� ���������, ���������� 
��������� ������ �������� ������������� �����, ������� ����������� � 
��������� �������� ���� ����� ����: ������������ ������� (���.~1.2.8-35),
������� 􈁎����� (���.~1.2.8-34); ��-������� (���.~1.28-35), ���������� 
������������� (�.~ 4.3.2), ��� 㐝� (�.~7.2.1) � ��������� ����� (\S~9.1).

텊������ �������, ����������� � \emph{��������������} ����������, ���� 
����������� �.~�� 
[{\sl Acta Mathematica,\/} Acad. Sci. Hung., {\bf 11} (1960), 401--416].

\excercises
\ex[15] ⛐����� ����� $-10$, $-9$, $-8$,~\dots, $8$, $9$, $10$ � ������� 
��������� �� ���������~$-2$.

\rex[24] ����������� ��������� ������ ������� ���������: (a)~�������� 
(������ ���); (b)~����-�������� (���������~$-2$); (c)~�������������� ��������;
(d)~�� ���������~$b=1/10$. 葏�������� ������ �� ���� ������ ��� 
������������� ����� ���� �����: (i)~$-49$, (ii)~$-3{1\over7}$ (������� 
������); (iii)~$\pi$ (��������� �������� ����).

\ex[20] ⛐�����~$-49+i$ � �����-����������� �������.

\ex[15] ��������, ��� � \MIX-��������� ������ ������~|A| �������� �����,
����������� ����� �������� ��������� ����� 3-� � 4-� �������, � ������ 
������~|B|---�����, ����������� ����� �������� ����������� �����  2-� � 3-� 
�������. (񀌛� ����� ���� ����� �����~1.) ㄅ ����� 
������������� ����������� ����� � ���������~|A| �~|X| ����� ���������� ������

$$ 
\hbox{a)~\mixcode 
LDA & A 
MUL & B?
\endmixcode
}
\hbox{b)~\mixcode
LDA  & A
SRAX & 5
DIV  & B?
\endmixcode
}
$$

\ex[00] ������, ������ ������������� �������������� ������ ����� � 
�������� ���������� ���� ������ �� ������� ������ ������������� � 
�������������� ����, ���� ������������� ��� ������������� ��� ������������� �����.

\ex[16] ꀊ��� ���������� � ���������� $p\hbox{-���������}$ ����� �����, 
������� ����� ���� ������������ � �������� ������� ����������� 
(a)~������� ����, (b)~��������������� ����, (c)~��������� ����?

\ex[�20] � ������ ������������� � �������������� ���������� ���� 
���������� ������ ��� ����� �����, ���������� � ����� �������� �����. 
񓙅������ �� ������ ���������� ���������� ������������� � 
�������������� ���������� ���� \emph{��� ���� ������������ �����,} 
������� "����������� ��������"? 񓙅������ �� �������� ������ ���������� 
������������� � �������� ���������� ���� ��� ���� ������������ �����?

\ex[�10] 䎊����� �����������~\eqref[5].

%% 221

\bye