\input style

���������� �������������� ������������������ �������� 1-��������������.
瀌����, ��� ����~$k>1$, �� $k\hbox{-��������������}$ ������������������
������ $(k-1)\hbox{-������������}$, ��������� � �����������~\eqref[5] �����
��������~$u_k=0$ �~$v_k=1$. � ���������, ����� 4-��������������
������������������ �������� ����� � 3-��������������, 2-�������������� �
���������� ��������������. 䋟 �������� ������������������ ����� ��������
����� ����������~$k$, �����, ��� ������������������
$k\hbox{-������������}$. ��� �������� ��� � ���������� �����������.

\proclaim ��������~C. ��������������� ����������
$\infty\hbox{-��������������}$, ���� ��� $k\hbox{-������������}$, ������
�� �� ���� ������������� �����~$k$.

� ��� ��� �� ������������� "������������������ �� �������������~$[0, 1)$",
�.~�.~������������������ �������������� �����, ������������� �����
����� � ��������. � �� ����������� ��������� � � ������������������ �����
�����. ᓄ�� ��������, ��� ������������������~$\<X_n>=X_0$, $X_1$, $X_2$,~\dots{}
���� "$b\hbox{-�����}$ ������������������", ���� ������ ��~$X_n$
���� ���� �� ����� �����~$0$, $1$,~\dots, $b-1$. 򀊈� �������, 2-�����
(��������) ������������������ ������������ ����� ������������������
����� � ������.

瀌����, ��� "$b\hbox{-�����}$ �����"~$x_1x_2\ldots{}x_k$ ���� ���������
������������� ����� $k$~����� �����, ������~$0\le x_j < b$, ���~$1\le j \le k$.

\proclaim ��������~D. 퀇���� $b\hbox{-�����}$ ������������������
$k\hbox{-��������������}$, ����
\EQ[6]{
\Pr(X_n X_{n+1} \ldots X_{n+k-1}=x_1x_2\ldots x_k)=1/b^k
}
��� ���� $b\hbox{-�����}$ �����~$x_1x_2\ldots{}x_k$.

� ����� ����������� ����, ��� ����~$U_0$, $U_1$,~\dots{} ����
$k\hbox{-��������������}$ ������������������ ��~$[0, 1)$, ��~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} �������� $k\hbox{-��������������}$
$b\hbox{-�����}$ �������������������. (� ����� ����, ����
��������~$u_j=x_j/b$, $v_j=(x_j+1)/b$, $X_n=\floor{bU_n}$, �� �������~\eqref[5]
����������� �~\eqref[6].) ᎋ�� ����, ���� $b\hbox{-�����}$ ������������������
$k\hbox{-������������}$, ��� ����� $(k-1)\hbox{-������������}$: ����
������� ����������� $b\hbox{-�����}$ �����~$x_1\ldots{}x_{k-1}0$,
$x_1\ldots{}x_{k-1}1$,~\dots, $x_1\ldots{}x_{k-1}(b-1)$, ���������
$$
\Pr(X_n \ldots{} X_{n+k-2}=x_1\ldots x_{k-1})=1/b^{k-1}.
$$
(⅐�������� ���������������� ������� ���������, ��.~���.~5.) ����
����� �������� � $\infty\hbox{-��������������}$ $b\hbox{-�����}$
������������������, ��������� �� ���������� �����������~C.

���������� ��������������� �������������� ����� � $b\hbox{-�����}$
������� ��������� ����� ������������� ��� $b\hbox{-�����}$ ������������������.
%% 162
�, ��������, �����~$\pi$ �������������
���������� ������������������~$3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,\ldots\,$.
���������, ��� ��� ������������������ $\infty\hbox{-������������}$, ��
����� ���� �� ���� ��������, ��� ��� ���� �� 1-������������.

������ ���������������� ��������� ������� ����� �������� � ������,
����� $k$~����� ��������. � 1000000-�������������� ��������
������������������ ����� ���������� �������, ��������� �� �������� �����!
���������� �����, � 1000000-�������������� ��~$[0, 1)$ ������������������
����� ���������� ������� ������ � �������, ��������� �� �����, ������ ��
������� ������ ��������. ���, ����� ������� ����� ���������� � �������
������ � $(1/2)^{1000000}$~���� �������, �� ����� ��, ��� ���
\emph{����������.} ����������, �� �� ����� ����� ���� � � ����� �������
��������� ������������������, ���� ����� � ���� ���� ����������� �������
"������� ����������". 녃�� ���� �����������, ����� ������� �������
����� ����� �� �������� "������� ���������" �����, �������������� �
�������������� ������������; ��������� ������ ��������� ��� ������ ��
������ ��������� �����! � ������ �������, ���� �
������������������ ����� ������� �� ���������� ����� �� ��������~$U$,
������ �� ������� ������~$1/2$, ��� �� �������� � �� ����� ��������
��� ������ ������������ ��������� ����������, � ������� �������� �������
������ ����������� ������� �����~$U$. ��������, ����� �������, ��� �
\emph{������� ��������� ������������������ ������ ��������������
��������� �������������.} 뎊������ ������������� ���������� � �����
�����������, �� ����������� � ������. � ��������� ���������, ���
\emph{�� ���� ������������������ "���������" ����� �� ����� ��������
�����������, ������������� ����� ������������.}

򎗍� ��� �� ������� ��������� ����������, ��� �� �� ����� ������ � ���,
�������� �� \emph{��������} ������������������;
������ �������� ������������������ ����� �� ���� ����� ������. ���
����������� �������� ������� ������������ �� ���� ���������� ���������
����������� �����������, �� ������������ �� ����� ������ ���-���� ��
�������. 쎆�� ���� ����� ����������� ����������� ��� �����������
������������������� �������������� �����, ��� ��������������� ������
(���������� ������� ������������������) ����� ������ ���������� ���
������������ ��� ������� �������� ������������������� ������������
�����, ������� ���������� �� �������������� ������. ᎋ�� ����, � ����
������� ����� ��������, ��� ���������� ��������� ��������� �������
�������� ����������� ����������� �������� �������������������.

\section{B. $\infty\hbox{-��������������}$ ������������������}. 臋���� �
������ ���� ������ $\infty\hbox{-��������������}$ �������������������.
퀌 ��������
%% 163
������������ ���������� ������������ ������ ����������, ��� ��� �����
�������������� ���������� �������� � ���������� ����� ��������������� �������.

�-������, ������� �����������~A, ��������� ������, ������������ � ����
�����������, ���������� �� ��� ���� �������������������. ₅��� �����������
\EQ[7]{
\Prsup(S(n))=\lim_{n\to\infty} \sup (\nu(n)/n),\quad
\Prsub(S(n))=\lim_{n\to\infty}\inf(\nu(n)/n).
}
򅏅�� ��������~$\Pr(S(n))$, ���� ��� ����� �����, �������� �����
��������� �������~$\Prsub(S(n))$ �~$\Prsup(S(n))$.

� ������, ��� �� $k\hbox{-��������������}$ ��~$[0, 1)$
������������������ ����� �������� $k\hbox{-��������������}$
$b\hbox{-�����}$ ������������������, ���� $U$~�������� ��~$\floor{bU}$.
퀘� ������ ������� ����������, ��� �������� ����������� ����� �����������.

\proclaim 򅎐���~A. �� $\<U_n>=U_0$, $U_1$,
$U_2$,~\dots---������������������ ��~$[0, 1)$. 呋�
$$
\<\floor{b_jU_n}>=\floor{b_jU_0}, \floor{b_jU_1}, \floor{b_jU_2},~\ldots
$$
�������� $k\hbox{-��������������}$ $b_j\hbox{-�����}$ �������������������
��� ������ ������~$b_j$, �������������� �����������
������������������~$1<b_1<b_2<b_3<\ldots$, �� $\<U_n>$~����
$k\hbox{-��������������}$ ������������������.

� �������� ������� ���������� ���� ������� �������~$b_j=2^j$.
��������������� $\floor{2^jU_0}$, $\floor{2^jU_1}$,~\dots{} ���� ��
��� ����, ��� ������������������ ������ $j$~����� ���������
�������������~$U_0$, $U_1$,~$\ldots\,$. 呋� ��� �����
������������������ ����� ����� $k\hbox{-������������}$ � ������
�����������~D, �� ������������������ �������������� �����~$U_0$, $U_1$,~\dots{}
������ ���� $k\hbox{-������������}$ � ������ �����������~B.

\proof[�������~A] 呋� ������������������~$\floor{bU_0}$,
$\floor{bU_1}$,~\dots{} $k\hbox{-������������}$, �� ������������
������������ �������, ��� �����������~\eqref[5] ����������� ��� �������, ���
$u_j$ �~$v_j$ �������� ������������� ������� �� ������������~$b$.
�� ������ $u_j$, $v_j$---����� �������������� �����, a $u'_j$,
$v'_j$---������������ ����� �� ������������~$b$, �����, ���
$$
u'_j\le u_j < u'_j+1/b,\quad v'_j \le v_j < v'_j+1/b.
$$
����� $S(n)$ ��������� ��������� �����������:
$$
u_1 \le U_n < v_1, \ldots, u_k \le U_{n+k-1} < v_k.
$$
%% 164
� �����
$$
\eqalign{
\Prsup(S(n))&\le \Pr\left(u'_1 \le U_n < v'_1+{1\over b},~\ldots, u'_k\le
U_{n+k-1} < v'_k+{1\over b}\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1+{1\over b}\right)\ldots\left(v'_k-u'_k+{1\over b}\right);\cr
\Prsub(S(n))&\ge \Pr\left(u'_1+{1\over b}\le U_n < v'_1, \ldots,
u'_k+{1\over b} \le U_{n+k-1} < v'_k\right)=\cr
&=\left(v'_1-u'_1-{1\over b}\right)\ldots \left(v'_k-u'_k-{1\over b}\right).\cr
}
$$
瀌����, ���~$\abs{(v'_j-u'_j\pm 1/b)-(v_j-u_j)}\le 2/b$. 텐��������
����������� ��� ����~$b=b_j$. ~$j\to\infty$ �����~$b_j\to\infty$ �,
����� �������,
$$
\eqalign{
(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)&\le \Prsub(S(n))\le \cr
 &\le\Prsup(S(n))\le (v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k).\cr
}
$$
\proofend

񋅄����� ������� �������� �������� �������
������������ $k\hbox{-��������������}$ �������������������.

\proclaim 򅎐���~B. �� $\<U_n>$---$k-\hbox{��������������}$ ��~$[0, 1)$
������������������, �~$f(x_1, x_2,~\dots, x_k)$---������������� � ������
������ ������� $k$~����������; �����
\EQ[8]{
\lim_{n\to\infty} {1\over n} \sum_{0\le j < n} f(U_j, U_{j+1},~\dots, U_{j+k-1})
 =\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, x_2,~\dots, x_k)\, dx_1\ldots dx_k.
}

\proof � ����������� $k\hbox{-��������������}$
������������������ �������, ��� ���� ��������� ���������� � �������
������, �����
\EQ[9]{
 f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
  1, & ����~$u_1\le x_1 < v_1$,~\dots, $u_k\le x_k < v_k$,\cr
  0  & � ��������� ������.\cr
 }
}
獀���, �����������~\eqref[8] �����������, ����~$f=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_mf_m$,
��� $f_j$~�������� ��������� ����~\eqref[9]. 䐓���� �������, �����������~\eqref[8]
�����������, ����~$f$---"����������� �������", ���������� ������ ������
����� ���������� $k\hbox{-�������}$ ����, ���������� ���������� ����� ����
�����������, ������������� ������������ ����.

�� ������~$f$---����� ������������� � ������ ������ �������. � ����� (��
����������� ��������������� � ������ ������), ��� ����~$\varepsilon$---�����
������������� �����, �� ���������� ����������� �������~$\fsub$ �~$\fsup$,
�����, ���~$\fsub(x_1,~\ldots, x_k)\le f(x_1,~\ldots, x_k)\le \fsup(x_1,~\ldots, x_k)$,
%% 164
� �������� ����� ����������� ��~$\underline{f}$, $f$ �~$\overline{f}$ �����
������~$\varepsilon$. ������ (8)~����������� ���~$\underline{f}$
�~$\overline{f}$ �
$$
\eqalign{
{1\over n}\sum_{0\le j < n} \underline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n} f(U_j,~\ldots, U_{j+k-1})\le\cr
&\le {1\over n}\sum_{0\le j <n}\overline{f}(U_j,~\ldots, U_{j+k-1}),\cr
}
$$
�� ��������, ��� (8)~����������� ����� � ���~$f$.
\proofend

� �������� ������� ���������� ���� ������� ���������� \emph{��������
������������,} ��������� � �.~3.3.2. �� $(p_1, p_2,~\ldots, p_k)$ ����
����� ������������ �����~$1$, $2$,~\dots, $k$. � ����� ��������, ���
\EQ[10]{
\Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\ldots<U_{n+p_k-1})={1\over k!}.
}

䋟 ����� �����������, ��� ������������������~$\<U_k>$
$k\hbox{-������������}$, � �������
$$
f(x_1, \ldots, x_k)=\cases{
 1, & ���� $x_{p_1}\le x_{p_2}\le\cdots\le x_{p_k}$,\cr
 0  & � ��������� ������.\cr
}
$$
茅��
$$
\eqalign{
 \Pr(U_{n+p_1-1}<U_{n+p_2-1}<\cdots<U_{n+p_k-1})&=\cr
  &=\int_0^1\ldots\int_0^1 f(x_1, \ldots, x_k)\,dx_1 \ldots dx_k\cr
  &=\int_0^1\,dx_{p_k} \int_0^{x_{p_k}} \ldots \int_0^{x_{p_3}}\,dx_{p_2}
    \int_0^{x_{p_2}}\,dx_{p_1}={1\over k!}\cr
}
$$

\proclaim 񋅄�����~P. 呋� ������������������ $k\hbox{-������������}$
��~$[0, 1)$, �� ��� ������������� �������� ������������ �������~$k$ �
������ �����������~\eqref[10].\endmark

쎆�� ����� ��������, ��� ��� ������������� \emph{����� ����������������
����������.}

\proclaim 񋅄�����~S. 呋� ������������������ $(k+1)\hbox{-������������}$
��~$[0, 1)$, �� ����������� ���������������� ���������� �����~$U_n$
�~$U_{n+k}$ ��������� � ����:
$$
\lim_{n\to\infty}{{1\over n}\sum U_jU_{j+k}-\left({1\over n}\sum U_j\right)
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)\over \sqrt{\left({1\over n}\sum U_j^2-
 \left({1\over n}\sum U_j\right)^2\right)\left({1\over n}\sum U_{j+k}^2-
 \left({1\over n}\sum U_{j+k}\right)^2\right)}}=0.
$$
(䋟 ���� ������������ �����~$0\le j < n$.)

%% 166

\proof � �������~B �������, ��� ��������
$$
{1\over n}\sum U_jU_{j+k},\quad
{1\over n}\sum U_j^2,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}^2,\quad
{1\over n}\sum U_j,\quad
{1\over n}\sum U_{j+k}
$$
���~$n\to\infty$ ��������� �������������� � ��������~$1/4$, $1/3$, $1/3$,
$1/2$, $1/2$.
\proofend

���������� ������ ��������� ����� ����� �������� �������������������. �
���������� �������� $k\hbox{-����������������}$ ��� ���� ����� ��~$k$
������� ����� ��������� ������������������. 퀏�����, ������������������
�������� $\hbox{2-��������������}$ ����� � ������ �����, ����� �����
$$
(U_0, U_1),\quad
(U_1, U_2),\quad
(U_2, U_3),\quad
(U_3, U_4),\quad
(U_4, U_5),\quad\ldots
$$
���������� ������������ � ��������� ��������. ��� ������ ��������, ���
���� �����, ������ ����� ����, �� ����� ���������� ������������. 
���� ��������� ����� $(U_{2n-1}, U_{2n})$ � ��������� ������� �����
���������������� �������~$(U_{2n}, U_{2n+1})$. ߑ��, ��������, ���
������������� �������� ������������������
\EQ[11]{
\<X_n>=0,0,0,1, \; 0,0,0,1,\; 1,1,0,1,\; 1,1,0,1,\; 0,0,0,1,\;\ldots
}
� ��������, ������~16, \hbox{3-������������}, ������ �
��������������������� ��������� � ������� �������� $\<X_{2n}>=0$, $0$,
$0$, $0$, $1$, $0$, $1$, $0$,~\dots{} � ��� ���� ������ �����, ��� ������,
� �� ����� ��� � ��������������������� ��������� � ���������
�������� $\<X_{2n+1}>=0$, $1$, $0$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$,~\dots{} � ���
���� ������ ������, ��� �����.

� ������������ ���� ������� �������, ��� ����
������������������~$\<U_n>$ $\infty\hbox{-������������}$, �� ������ ��
��������, ��� ��������������������� $\<U_{2n}>=U_0$, $U_2$, $U_4$, $U_6$,~\dots{}
$\infty\hbox{-������������}$ ��� ���� 1-������������. � ������,
������, ���~$\<U_{2n}>$ ������������� $\infty\hbox{-������������}$ � ���
����������� ���� ����� ������� �����������.

\proclaim ��������~E. ㎂����, ���
������������������~$\<U_n>$ $(m, k)\hbox{-pac���������}$ ��~$[0, 1)$, ����
$$
\Pr(u_1\le U_{mn+j}<v1, u_2\le U_{mn+j+1}<v_2, \ldots, u_k\le U_{mn+j+k-1}<v_k)=(v_1-u_1)\ldots(v_k-u_k)
$$
��� ����� ������ �������������� �����~$u_r$, $v_r$, �����, ���~$0\le
u_r<v_r\le 1$, ���~$1\le r \le k$ � ��� ���� �����~$j$, �����, ���~$0\le j < m$.

� ������� ������~$m=1$ �� �����������~E �������,
���~$\<U_n>$---$k\hbox{-��������������}$ ������������������; �����~$m=2$,
��� ������, ��� ������ �� $k$~���������, ������������ � �������� � ������
�������, ������ ����� ����� �� ���������, ��� � ������������ � ���������
������, � �.~�.

%% 167

텊������ �������� �������������������, ��������������� �����������~E, ��������:
$$
\eqalignno{
 &(m, k)\hbox{-�������������� ������������������ } (m, \kappa)\hbox{-������������ ��� } 1\le \kappa \le k.  & (12)\cr
 &(m, k)\hbox{-�������������� ������������������ }(d, k)\hbox{-������������ ��� ���� ���������~$d$ �����~$m$.} & (13)\cr
}
$$

���������� ����, ��� ��� ������� ���� (�����������~D), ����� ����������
������� $(m, k)\hbox{-��������������}$ $b\hbox{-�����}$ ������������������.
䎊����������� �������~A ��� ���� �������� � ���� � ��� $(m, k)\hbox{-��������������}$
�������������������.

� ��������� �������, �� ������ ���������� ������������, ��������, ���
�������� $\infty\hbox{-����������������}$ �������� ������� ����� �������,
��� �� ����� ������������, ����� ��� �����������.

\proclaim 򅎐���~C. (�. 툂�� � X. ��������.)
$\infty\hbox{-��������������}$ ������������������ ��������
$(m, k)\hbox{-��������������}$ ��� ����� ������������� �����~$m$ �~$k$.

\proof 䎑������� �������� ������� ��� $b\hbox{-�����}$
�������������������, � ������� ������ ��� ����������� ��������� �������~A.
ᎋ�� ����, ����� �������, ��� $m=k$, ���������, ����������
�����������~\eqref[12] �~\eqref[13], ������������������ ��������
$(m, k)\hbox{-��������������}$, ���� ��� $(mk, mk)\hbox{-������������}$.

򀊈� �������, �� �������, ��� \emph{����� $\infty\hbox{-��������������}$
$b\hbox{-�����}$ ������������������ $X_0$, $X_1$,~\dots{}
$(m, m)\hbox{-������������}$ ��� ���� ����� �������������~$m$.} �����
���������� ������� ��������������, ��������������� 툂���� � ����������
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 1} (1951), 103--109).

䎊����������� ������� �������� �� ������ ����, ������������ �� ������
�������������� ������������: "呋� �������� ����� $m$~������� � ����� ��
��������� �� ������������ �������� � ���, ��� ��� $m$~������� �����, ��
��� �������� �����". 񈋜��� ����� ����� �������� ����

\proclaim 녌��~E. �� ������ $m$~������������������� �����
$\<y_{jn}>=y_{j0}$, $y_{j1}$, $y_{j2}$,~\dots, ���~$1\le j \le m$.
��������, ���
\EQ[14]{
 \eqalign{
  \lim_{n\to\infty} (y_{1n}+y_{2n}+\cdots+y_{mn}) &= m\alpha,\cr
  \lim_{n\to\infty} \sup (y_{1n}^2+y_{2n}^2+\cdots+y_{mn}^2)&\le m\alpha^2.\cr
 }
}
򎃄� ��� �������~$j$ ����������~$\lim_{n\to\infty} y_{jn}$, � �� �����~$\alpha$.

텎������� ������� �������������� ���� ����� ���� � ���.~9.\endmark
%% 168

򅏅�� ��������� �������������� �������~C. �� $x=x_1x_2\ldots{}x_m$
���� $b\hbox{-�����}$ �����. ᓄ�� ��������, ��� $x$~\emph{����������} ��
$p\hbox{-�}$~����� ������������������,
����~$X_{p-m+1}X_{p-m+2}\ldots{}X_p=x$. �� $\nu_j(n)$~���������� �����
���������~$x$ �� $p\hbox{-�}$~����� ��� �������, ���~$p<n$ �~$p\bmod m=j$.
��~$y_{jn}=\nu_j(n)/n$. � ����� ��������, ���
\EQ[15]{
 \lim_{n\to\infty} y_{jn} = 1/mb^m.
}

��� ����� �������, ���
\EQ[16]{
\lim_{n\to\infty}(y_{0n}+y_{1n}+\cdots+y_{(m-1)n})=1/b^m,
}
��������� ������������������ $m\hbox{-������������}$. 葏������ �����~E �
�����������~\eqref[16], �� ������� �������, ���� ������ ��������, ���
\EQ[17]{
 \lim_{n\to\infty} \sup (y_{0n}^2+y_{1n}^2+\cdots+y_{(m-1)n}^2)\le 1/mb^{2m}.
}

��� ����������� �� ��������, �, ����� �������� ��� ��������������,
���������� �������� �������� ������ ��������������. ��~$q$ ������~$m$;
���������� ���������
\EQ[18]{
 C(n)=\sum_{0\le j < m} \perm{\nu_j(n)-\nu_j(n-q)}{2}.
}
��� ����� ��� ���������~$x$ �� ������~$p_1$, $p_2$ ��� �������~$n-q\le p_1 < p_2 < n$
�~$p_2-p_1$, �������~$m$. 򅏅�� ���������� �����
\EQ[19]{
 S_N=\sum_{1\le n \le N+q} C(n)
}
 ����������~$S_N$ ������ ���� ���������~$x$ �� ������~$p_1$, $p_2$ ���
�������~$p_1<p_2<p_1+q$ �~$p_2-p_1$, �������~$m$, � �~$p_1\le N$
�����������~$p_1+q-p_2$ ��� (������, �����~$p_2<n\le p_1+q$), � ���� �����
��������� �~$N<p_1<p_2<N+q$ ��������� $N+q-p_2$~���.

��~$d_t(n)$ ���� ����� ��� ���������~$x$ �� ������~$p_1$, $p_2$
��� �������~$p_1+t=p_2<n$. � �����������, ����������� ����, �����
\EQ[20]{
 \sum_{0<t<q/m} (q-mt)d_{mt}(N+q)\ge S_n \ge \sum_{0<t<q/m}(q-mt)d_{mt}(N).
}
����������� ������������������ $q\hbox{-������������}$, �������������,
\EQ[21]{
 \lim_{N\to\infty}{1\over N}d_{mt}(N)=1/b^{2m}
}
%% 169
��� ����~$0<t<q/m$, � ������� ��~\eqref[20] ��������
\EQ[22]{
 \lim_{N\to\infty}{S_N\over N}=\sum_{0<t<q/m}(q-mt)/b^{2m}=q(q-m)/2mb^{2m}.
}
���, ����� ��������� ��������������, �������� � �������������� �������.

� �����������
$$
2S_N=\sum_{1\le n \le N+q}\sum_{0\le j <m} ((\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2-(\nu_j(n)-\nu_j(n-q))),
$$
� ���� �� �������� �����, �� ����������� � �������, ��, ���������~\eqref[16],
�������
\EQ[23]{
 \lim_{N\to\infty}{T_N\over N}=q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m,
}
���
$$
T_N=\sum_{1\le n \le N+q} \sum_{0\le j <m} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))^2.
$$

� �����������
$$
{1\over r}\left(\sum_{1\le j \le r} a_j\right)^2\le \sum_{1\le j \le r} a_j^2
$$
(��. � ���.~1.2.3-30) ��������, ���
\EQ[24]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m}{1\over N(N+q)}
 \left(\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\right)^2\le q(q-m)/mb^{2m}+q/b^m.
}
茅�� �����
$$
q\nu_j(N)\le \sum_{N<n\le N+q} \nu_j(n)=\sum_{1\le n \le N+q} (\nu_j(n)-\nu_j(n-q))\le q\nu_j(N+q)
$$
�, ���������� ��� �~\eqref[24], ��������
\EQ[25]{
 \lim_{N\to\infty} \sup \sum_{0\le j <m} (\nu_j(N)/N)^2 \le (q-m)/qmb^{2m}+1/qb^m.
}
� �������� �������������� ���� ������� ��� ������~$q$, ��������~$m$, �
���� ������ ���������~$q\to\infty$, �������~\eqref[17], ��� ����� ��������
��������������.

⎇�����, ��� ��������������, ����������� � ������ �.~ꀑ�����
({\sl Pacific Journal of Mathematics,\/} {\bf 2} (1952), 555--557), �����.
\proofend

텒������������ ���� ������� ����� �� ���.~29 �~30. � ��� �� ������� ���
����, ���, ��� �������� �~\eqref[25], �����������, ��������� �
$q\hbox{-��������������}$ �������������������, ���������� �� ������������,
��������� � $(m, m)\hbox{-��������������}$, �� �����
%% 170
��� �� �������� �������~$1/\sqrt{q}$. 䋟 ��������������
������� ���������� ������������� ������������� � $\infty\hbox{-����������������}$.

ꀊ ��������� �������~C ����� ��������, ���
$\infty\hbox{-��������������}$ ������������������ ������������� ��������
�����, ����� "���������� ��~$t$" � �������� ����������������������,
���������� � �.~3.3.2. 텒����� ��������, ��� ���������������
����� �������� ����������, �����-���� (�������� ����������) � �������� ��
������������ (��.\ ���.~�~12 ��~14). ������ ���� ���������� �������
�������, ������ �� ����� ��������������� (��.\  ���.~15 �~16).

񋅄����� ������� ����������� ������������� ������������ �������
$\infty\hbox{-��������������}$ �������������������.

\proclaim 򅎐���~F. (�. ��������.) ��������������� $U_0$, $U_1$,~\dots{}
��~$[0, 1)$, ���
\EQ[26]{
 U_n=(\theta^n \bmod 1),
}
$\infty\hbox{-������������}$ ��� ����� ���� ��������������
�����~$\theta>1$. 䐓���� �������, ���������
$$
\{\, \theta \mid \theta>1
\hbox{ � ������������������~\eqref[26] �� $\infty\hbox{-������������}$}
\,\}
$$
����� ���� ����.

䎊����������� ���� ������� � ��������� �� ��������� ��������� �
����������� ���� ������ ���������.\endmark

�������� �������, ��� ��� ����, ����� ������������������~\eqref[26] ����
$\infty\hbox{-������������}$, $\theta$~������ ���� ���������������
������. ���� ��������, ��� ������������������~\eqref[26]
$\infty\hbox{-������������}$ ��� \emph{����� ����} �����~$\theta$, �� ��
����� \emph{�� ������} �����������~$\theta$, ��� �������� ��� �����������.
� ������� ���������� ���������� � ����������� ����������� ��������� ����
�������� �������~$(\pi^n \bmod 1)$ ���~$n\le 10\,000$. 񒀐��� 35~�����
������� �� ���� ����� ���� �������� �� ���� � ������� �������������� ���
�������� ��������� �����. 荒������, ��� ���� �� �������~F �������, ���
����������� ����, ��� ������������������ ��������~$(\pi^n \bmod 1)$
$\infty\hbox{-������������}$, �����~$1$, ������, ��������� ���������
�������������� ����� ��������, �� �� ����� �� ����� ���������, ��� ���
$\infty\hbox{-������������}$. 쎆�� ���� ��������� � ���, ��� � �������
����� ����� ����� �� \emph{�������,} ��� ��� ������������������
\emph{��} �������� $\infty\hbox{-��������������}$, ������, ��������, ���
��� � ���� �� ����� ����. � ����� � ���������� ��������� ������ � ���,
���������� �� $\infty\hbox{-��������������}$ ������������������, �������
����� �������� � \emph{�����} ����; ����� �������, \emph{���������� ��
��������, �� �������� ��� ����~$n\ge 0$ ����� ��������� ��������������
�����~$U_n$, ��� ��� ������������������~$\<U_n>$ �����
$\infty\hbox{-��������������}$?} ��������, ����� �������� ����������,
��� �����, ��������, �� ������ ������ "Construction
%% 171
\bye
