\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=0
\subchap{����������� ������� ���������} %%4.1
�, ����� ������� �� ��������� �������������� ��������, ����� ������� �
���, ����� ������� �� ������������ �����, � �������� ��������; �������
���� �������� ���������� ����������� ������ � ���������� ��������������
�������� ������������� �����.

�������� ������������� � \emph{����������} (��� \emph{�� ���������})
$b$ ������������ ��������
\EQ[1]{
(\ldots{}a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots)_b=\ldots+a_3b^3+a_2b^2+a_1b^1+a_0+a_{-1}b^{-1}+a_{-2}b^{-2}+\ldots;
}
��������, $(530.3)_6=5\cdot6^2+2\cdot6^1+0+3\cdot6^{-1}=192{1\over2}$.
퀘� ������������ ���������� ������� ���������---���, ����������,
��� ������� ������, ����� $b$~����� ������ � ����� ��������~$a$
���������� �� "���������� ����"~$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$,
$8$, $9$; � ���� ������ ������~$b$ �~\eqref[1] ����� ��������.

������� ��������� ���������� ������� ��������� ����������, ����� �
��������~$b$ ����� ����� ����� �����, ������� �������, � �����~$a$---���
����� ����� �� ���������~$0\le a_k<b$. � ���������� �����������
��������~($b=2$), ��������~($b=3$), �����������~($b=4$),
����������~($b=5$),~\dots{} ������� ���������. ᎋ�� ����, � ��������~$b$
����� ���� �� ����� ������������ �����, � �����~$a$ �������� ��
������������� ������� ��������� ��������� �����; ��� �� ������, ���
�������� � ��������� ���������� ���������.

򎗊�, ������� �����~$a_0$ �~$a_{-1}$ �~\eqref[1], ����������
\emph{�����������} (��� \emph{��������������}) ������. (� ������~$b=10$
�� �������� ����� ���������� ������, � ������~$b=2$---�������� ������
�~�.~�.) � ����������� �������\note{1}%
{ꐎ�� ������.---{\sl �. �����.\/}} ������ ����������� �����
����� ���������� �������\note{2}%
{򎗊� ������ ������� ���������� ������ � ������������ � � ��� � ����� �
���������������� ��������������� ������ ����������������
"������������� �������������" ���� �����, ������� ��� ��/1.---{\sl �. �����.\/}}.

�����~$a$ �~\eqref[1] �������� \emph{�������} �������������. �����~$a_k$ �
�\'������~$k$ �������� "����� ��������", ��� �����~$a_k$  � �������~$k$;
�������������� ����� ����� (\emph{�������}, ��� \emph{��������}) �����
�������� \emph{�������� �������� ������,} � ����� ������ (\emph{���������})---%
%% 202
\emph{�������� ��������}. � ����������� �������� ������� ��������
����� ����� �������� \emph{������}. � ����������� �����������������
������� (� ���������� �����������) ����������������� ����� �� ���� ��
���������� ���������� ������ ���:
\EQ{
 |0|, |1|, |2|, |3|, |4|, |5|, |6|, |7|, |8|, |9|, |A|, |B|, |C|, |D|, |E|, |F|.
}

葒���� �������� �������� ������������� �����---��� ���������������� �������,
�������� ������� ���������� ����������� � ��������� ����� �����������.
������������, ������, ��� ������� �� ���� ������������, �� �����������
������ ������ �� �� ����� ������� ����; ��� �� ����� ����� ������� ����
�������� �������� �� ��������.

퀈����� ������ ������� ������������� �����, ������� �� ��� ��� �����
��������� � ����������� ������������, �������� �� ������������� �����
������� ��� ����� ������ �~�.~�., ������ � ��������������� ������������
������������ ������ ��������� ������� ����� ��� ������, ������ �� ���� ���
������ ��������, ����� �������� ������������ ���� ��� ������������� �
����������� �����. ����� ������� ����������� �������� � �������� ������
�������� ������������� ����� � ���������� �����, �����, ��� ����������,
�����������, ���������\note{1}%
{� ��������� �������� ������� �������� � ���������������
�������� �����������, ���������������� ������� ������� � ���������������
�����.---{\sl �. �����.\/}},
��������� � ������� �����, �� ��� ����������� ����������� �������� ���
���������� �������������� ��������, �� ����������� ���������� �������.

���������� ���������� ���������� � ��������� �������� �������
������������ ������� ����������� ��������, ��������� ����������� ��
ወ���� ⎑����, ��������, ��� ���������� ��������� � ���������������� ���
��������� ������� ������������� �����. �����, ���������������� ���
������������ ������� �������, ������������ ��� ������ �����������
���������� �� ������������� �� ��������, ������ �~�.~�., �������������� ��
����� ������ ����������� 셑��������; ������� ����� ����������� �����
�����. ꎃ�� �� ����������� ����������� ����������� ������������� �����
������� �������������� ������, ��� ������ ��������� �����������������
����������� ������� ��������� (�� ��������� ����������), ������� ����
������ ������� ��� �� ������� �� ������� 1750~�.\ ��~�.~�. ��� ��������
������� ���� ���������� � ��� ���������, ��� ��� ���� ���������� ������
������������� � ��������� ������ � ��������� �����������; ������
���������� ���������, �.~�.\ ������� �����������, ��������� ����������
�� ��������� ��� ��� ��������, ��� ����� �� ������ $2$, $120$, $7200$,
$1/30$ �~�.~�.\ ������������
%% 203
���������� �������. ��� ������� ���� � ����������� ������ ���
���������� ��������� � ������� ��� ������ ��������������� ������, ���
��� ������������ �������� ����� �� ������ �� �����; �� �� ���� �����������
���� � ��������������� �������. ������ ���� ����������� �������
������ ����� ������� ��������� ���������� �� ������� ������:
�������~$30$ ����~$15$ (��� ����� ��������� ����� ��� "�������~$1/2$ �����~$1/4$");
�����, �������� �~$81=(1\ 21)_{60}$, �����~$(44\ 26\ 40)_{60}$; �������
����� ���������� ����� �����~$(32\ 55\ 18\ 31\ 6\ 40)_{60}$. � ���������
��� ������ ������ ��� ����, �� ��-�� �� ��������� ��������� ����� ����
������������� ������ ������ ����� � ������� � ������� ������ ������� ���
����������� ��������. � ���������� ������� �������� ������ �����������
���������� ����� ��������� � �.~펉�������� [The exact sciences in
antiquity, Princeton University Press, 1952] � �.~�.~‍~���~‐����
[����������� �����, 􈇌�����, 1959].

�������� ������������� ����� � ������������� ������, ��-��������,
������� ���� ������� ��������� ������� ���� � ����������� ������� �����
2000~��� ���� �����; �� ������� ��������� � ����������~$20$ ����
���������� �������������, �������� � ��������� ������ ���������������
������ � ����������� ���. ��� ��������� ����������� ���������� �����
��� ������������ � ������� ������ ����, ������� �� �� �����, ���������
������ ������������ ��� � ����������; ������� ��������� �������
��������� ������������ ����������, �� ���������� ������� �������� �������
[��.\ J.~Eric~S.~Thompson, {\sl Contributions to Amer. Antropology and History,\/}
Carnegie Inst.\ of Washington, {\bf 7}  (1942), 37--62].

� ��������� ����� �� ����� ��� ����� ��������� ��� ����� ��������������
���������� ������ ������������� �����, � ������� �������������� �����
�/��� ������ �� �����, ������� ���� ��� �������, ������������ �������
����������������� ����� ���������� �������. 퀌, ��������, ���������
������������, ��� ��� �� ����� ����������� ������� �� ��� �������� ��� ���
������ �����---���� �� ��� �������� ��������� ������� � ���������� �������
��� ������ ��������� � ������; �� ������� �������� ���������� �� �����
(������ ����� ����� �� ���, �, ����� ����, ���������� �� ����� ������
�������� ����������� ������ �������� � ���������) �������, ��������,
������ � ���������, ��� ������ ���� ������������, ��� ���������� �����
������� ���������, "������� �� ������". � �� �� ����� ��������� ���������
������������ ��� ������ ������ ����������������� ����������� �������
���������, ���� ��� ��������� � ���������.

퀘� ���������� �������, ������������ �� ����� ������� ���� � ������
������� �������� ����������� ����� ������
%% 204
� �������� ���� ��� ����������� ������ �������, ������� ��������� �
�������. 򎗍�� ���� ������������� ���� ������� ����������; ����
��������� ������������, ��� ��� ��������� �������� � 6~�.~�.~�.
荄������ ����� ���� �������, �������� ����������, ���������� ������
������� �������. � �������� ������ �� �������� �� ��� ��������� ���������,
�������������� ��� ������� ���������, ����� ������������ � ��������
������� (� �������� �������� ������ ������), �� ������ ����� ��������
����������� �������� �������� ����� �����.

�� 750~�.~�.~�.\ ��������� �������� ���������� ����������
���������������� � ���, ����� �� �������� ���� ���� ����������
��������� ������ �����; ����� ������� ����� ������� ���� � �����
��������������� ��������, ������� ������� �� ���������� ����������� �
������� {\sl AMM\/} [{\bf 15}, (1918), 99--108]. ⑊��� ����� �����
���-������� ������� �� �������� ���� ����������� �� ����� ��������. (ꀊ
���������� � ��.~1, �� ��� ����� ��������� ���� ����� "��������".) ꍈ��
���-������� ���� ���������� �� ������ � ������� ������� ������� ��
녎����� ������� (􈁎�����), ��� ����� �� ���������� (1202~�.) �
���� ������� ������� �������� ���� � ��������������� ����-�������� ����� �
傐���. 荒������ ��������, ��� � ���������� ���� ���� ���������---�
��������� �� �������� � � ��������� �� ������---������� ��������� �����
(����� �������) �� ���������, ���� ����� ����� ������ ������, � ������ �
��������� ����� �������. ������ �������� ������������ ��������
��������������� ���������� ����������� � ���������� �� ���� 傐��� �
������ �~1200 ��~1600~�.\ ���� � ����� [David Eugene Smith, History of
mathematics, {\bf 1}, Boston, Gihn and Co., 1923], ��.~6 �~8.

䅑������� ������� ��������� ����������� ������� ������ � ����� ������, �
��� ������ �� ��������������. �������� ���������, ������� �����������
�������� � ������� ��� ����������� ���� ��������� ���� � ������ ������,
���������� ������������ ������������� ����� (����������� ����������
���������), ����������� �� ����������������� ������. ��� ������� ������
�� ����� ���� � ����� �������� ����� ("�������, ������ � �������"), �
����� � �������� �������---���������� �������������� �����������������
������� ���������. ��� ����������� ����������, ����� �� �����������
����� ���� � �������� �������, ����� ������������
������������������ �������; 􈁎�����, ��������, �������� � ��������
������������� ����� ���������~$x^3+2x^2+10x=20$ ��������
\EQ{
 1^{\circ}\, 22'\, 7''\, 42'''\, 33^{IV}\, 4^V\, 40^{VI}.
}

葏���������� ���������� ����������� ��� �������, ����� �~�.~�.\ �������
������������ ��������� ������������, ��, �������, ������ � ���������
������ ������, � ����� ����, �����������������
%% 205
����� ����� ������������ ����� ����������� � ���, ��� �����
�����, ���~$1/3$, ��������� ������ ������ � ������� ����.

����, ��� ���� �������� � ����������, �������������� ���������� ������,
���� ��������� ���������� (������� ������� �� ������������
����������������� ��������), ���� �� �������� ������� (��� ����) � �� ����
������������� ����������� �������� � ������� ������ �����. ꈒ������
������� ����� � ��� ���� �����������, ��� ��� ��� ���-��� (���� ����� 500~�.)
���� �������� ����������� �����~$\pi$ ��� "$3$~����, $1$~���,
$5$~����, $1$~���, $5$~��, $9$~���, $2$~���, $7$~��". 焅�� ���,~\dots,
��---������� �����; $1$~�� (������� �������� ����) ����� $1/10$~���
�~�.~�. 葏���������� ����� ������� �� ���������� ������ �������� ��������
������� ��������������� � ꈒ�� ������� �������� � 1250~�. � �������
����������� ������� ���������� ����� ������� ���������� � �������� ��
����������, ���������� � 䀌���� ����������� �����������, �������������
"���-󊋈����" ("傊�����"). � ���� ������~${}'$ ��� �����������
���������� ����� � ������ ��������� ��� ��������� ������ �
������������ ���������� � ���������� ������; �� �� �� �����, ��� ����� �
������� ����� ����� ����� �������� ������������. 僎 ������ �� �����
�������������, � ����� ���� ����� ���������� ����� ���� ������ �������
���������� ����������� ���-ꀘ�, ������� ����� 1436~�. ���-ꀘ� ��� ������
�������� ������������, ������� ��� ��������� �������� ���~$2\pi$,
���������� 16~����������, ���������� ������:
\btable{
 \strut\hfil$#$\bskip\hfil&&\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil\cr
 \omit ����� & \omit ����� \hfil& \multispan{16}\vrule\bskip \hfil 䐎���� �����\hfil\cr
 \noalign{\hrule}
 0 & 6 & 2 & 8 & 3 & 1 & 8 & 5 & 3 & 0 & 7 & 1 & 7 & 9 & 5 & 8 & 6 & 5 \cr
}
��� ���� ��������� ������������ ��� �����~$\pi$ �� ��� ���, ���� 듄����
��� ������ ����� ������ ������ � ������ �~1596 ��~1610~�.\ �� ��������
35~���������� ������. 񀌛� ������ �� ��������� �������� ���������� ������
� 傐��� ���������� � ����� ������~15~�., ���, ��������,
$153.5$~���������� ��~$16.25$ � � ������ ����������~$2494.375$; ���
������� ��� "�������� �������". � 1525~�.\ ꐈ���� 𓄎��� �� ㅐ�����
�������������� ������ ���������� �����; ��� ������ ����� ��������
�����������. ������� ✅� ���������� �� �� ���� ����� � 1579~�.
퀊����, ������� �� ����������, ���������� 񈌎��� 񒅂���� ��
툄��������, � ���� ������� ���������� � 1585~�.\ ��������� � ����
���������� ������, ����������� ������� ������������.

僎 ������ � ������������� ������ �������� ���������� ������� � ����, ���
� 17~�.\ ���������� ����� ����� ������������� � 傐���. [䀋�������
����������� � ������ �� ����������
%% 206
����� ����� � ������: D.~�.~Smith, History of Mathematics, {\bf 2},
Boston, Ginn and Co., 1925, 228--247, � C.~B.~Boyer, History of
Mathematics, New York, Wiley, 1968\note{1}%
{�. ����� ����� �.~�.~񒐎��� "ꐀ���� ����� ������� ����������", "퀓��",
 �., 1950.---{\sl �. �����.\/}}.]

䂎����� ������� ��������� ����� ���� ����������� ���������� �������.
臂�����, ��� ������ ����������� �������, ������������ � ���� �����,
���������� ��������, ��� "������", ������� ����� (����������� �� �����, �
�� �� �������� ��� ��������), �� ���� �� �������� �������, ��� ���
��������� � ��������� �������� ������� ���������, ��� ��� ��� ��
�������� ����������� ������� �������� ������. 荒������� ����������� �
����������� �������������� �������� ����� ����� � ������ ��������
񀉄������� "The diffusion of counting practices" [{\sl Univ.\ Calif.\
Publ.\ in Math.,\/} {\bf 3} (1960), 215--300]. 䐓��� "�����������" ������
����������� �������� �������---��� ������������ ����������� ���
������������ ��� � ������.

� �������� �����\note{2}%
{퀇��� �� ����� ��� ���������---����������� ���������� ����� (�.~�.~Rhind).
������� ������������ ��������� ����� �������� ����������� �������
"쀒������� � ����������� ����" ("숐", �., 1967).--- {\sl �. ���.\/}}
(僈���, ����� 1650~�.~��~�.~�.), ����� �� ������ ��������� �������������
�������������� ����������, ����������� ��������� ��������������� �����
������������� �����, �� � ��� �� ��������, ��� ��������� ��������
��������� � ������� ���������������� �������� � ��������. ��� ���������
�� �������� ������ �������� �� �������� ������������� �����, ����
�������� ������� ��������� ���������� � �� ���������.

� 17~�.\ ������������ ��������� ���������� ��������� ������������ �
傐���. � ������� ������ ��� ��������� �� ������ � ������ ������������
����������������� ���������� ��� ��� ����� �����, ��� � ��� ������� ������,
������� ������� ��� ���������� ���������; ��. ����� 䆎�� ​����
"Treatise of algebra" [Oxford, 1685], 18--22, 30. � ����, ���
\emph{�����} ������������� ����� ����� ������� ���������� �������
���������, ���, ��-��������, ������� ����������� � ������ ዅ��
���� "De numeris multiplicibus", ���������� ����� 1658~�.\ [��.\
�.~Pascal, Euvres Compl\`etes, Paris, \'Editions de Seuil, 1963, 84--89].
���� �����: "Denaria enim ex institute hominum, non ex
necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane satis inepte, posita
est", �.~�.: "䅑������� ������� ���������---�������� ���������, �������,---�
������������ � �������� ��������, � ����� �� ������������
������������ �������������, ��� ������� ������ ����������� �����". �
���������, ��� ���� �� ���������� ������� � ���������������� �������, �
��������� ������� �������� ���������
%% 207
����������������� ����� ��~$9$. ����������� ������� ��������� � ����
���������� ������� � 1673~�.\ ��������� ������  ����. ������
���������� ���������� �� ��������� ���������� ���� ��������� 䆎���
䆎������� [Duodecimal arithmetick, London, 1687].

���� �� ���������� ���� ���� ����� � ���������� ����������� �����
������������� ���������� �������, ������� ��� � ����� ����� �����, ����
������ �����-����, ��������� �� ������ ������� ������, � ������ �������
�������� ��������� �������� �������� � �������� ������� ���� ������,
��������� � ������. 蒀�, ���������� ����� ������� ��������� ����� �
�������� �������, ���������� � ������������� �������� ��������
��� �������� ��� � �����, � ��� ���������� ���� ���������� �
������������ ������� ���������. ���� �������� �����������, �
���������, ���������������� � ������ ������� ��������� ���������,
�������������� ��� � 13~�.\ ��� ���� ������:
\ctable{
\hfil #&${}={}$#\hfil\cr
2 ������ & 1 ��������,\cr
2 ��������� & 1 �����,\cr
2 ����� & 1 ������,\cr
2 ������ & 1 ����,\cr
2 ����� & 1 ������,\cr
2 ������� & 1 ���,\cr
2 ���� & 1 ����������,\cr
2 ���������� & 1 ������, ��� ������,\cr
2 ������� & 1 ���������,\cr
2 ���������� & 1 �������,\cr
2 ������� & 1 �������,\cr
2 �������� & 1 ����,\cr
2 ����� & 1 ���.\cr
}
��� ��������, ���������� � ��������, ������, �������, ������ �~�.~�.\note{1}%
{���������� �������� ���� ��� ������ �������� ���������: firkin,
��������, �������� "��������� �������"; tan---"������� �����".---{\sl �.\ �����.\/}},
������������ �� �������� � �������� �������. ᛒ� �����, ����������
�������������� �������� ���������� ���� ���������� ������������!

퀑������ ������ ��������, ������� �������� ������� ��������� ����������
����� 1605~�.\ � ���� ���������������� ��������� 򎌀�� ��������
(1560--1621). �������---������ ���������� ��������---������ � ������� �
�������� ������������� ���� 󎋒��� 𝉋�. � ������� (����� �������
�������) ������������ ���� ����������� ��� ��������� "������" � "������";
�� �� ��������� ������������ �� ��������� �� ����������� ������ �� �����
��������. 臂������� �� ��� ������� �� ��������
%% 208
���������� ���� �������������� 䆎��� �.~����� � {\sl Amer.\  J.\ Physics\/}
[{\bf 19} (1951), 452--454].

��� �������������� ���������� �������� ������� ��������� �����������
���������� ���������� ����� ꀐ������ 뎁������; ��� ������������
������������� ������ [{\sl Mathesis Bicepts,\/} Campani\ae, {\bf 1} (1670), 45--48].
ꀐ������ �������� �������� ���������� ������������� ����� �
�������� �� ���������� $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $12$
�~$60$, �� �� ������ ������� �������� �������������� �������� �
������������ �������� (�� ����������� ����������� �������� ����������� �������).

퀊����, ���� ������ �.~�.~녉����� [{\sl Memoires de l'Academic Royale
des Sciences,\/} Paris, (1703), 110--116], � ������� ���������� ��������
�������� ��������, ���������, ��������� � �������, �������������
��������� � �������� ������� �������� ��������, � ������ �� ��� ������
������ ���������, ������ � �������� ���������� �� ���������~$2$. 녉���� �
����� ����� ����� ��������� � �������� ������� ��������� [��.~W.~Ahrens,
Mathematische Unterhaltungen und Spiele, {\bf 1}, Leipzig, Teubner, 1910,
27--28]. � �� ������������ �� ��� ������������ ����������, ��
����������� �� �������� � ���������-�������� �������������, ��� ���
�������������� ��������� �������� ������������������� ����� �������
����� ��������� � �������� ������, ������ � ����������; �� ����� �����
����� ����������� ����� � ��� �����, ��� ��� �� ����� �������� � �������
����� � ������. [�.\ Laplace, Th\'eorie analytique des Probabilit\'es,
$3^{\rm me}$~\'ed., Paris, 1820, cix].

荒������ ��������, ��� ������ ��������� ������������� �������� ������ ��
����������� ����� �� ���� ��� � �� ������� ��-���������� ��������. 녉����
������ ߊ��� ᅐ����� ���������~$\pi$ � �������� ������� ���������, �
ᅐ����� "�����" ������, ���� 35-������� ����������� �~$\pi$, �������
��� ��~$10^{35}$, � ����� ������� ���������� ����� ����� � ��������
�������; ��� � ��� ��� �����! 䋟 �������� ����������� ��������� ���
����������� ��������� �� ���: $\pi\approx 3.14$,
�~$(314)_{10}=(100111010)_2$, �������������, $\pi$ � �������� �������
��������� ����~$100111010$!\note{1}%
{��� ������ ��~$\pi$, �~$10^2\pi$! ⎒ ������ ����� �����~$\pi$ � �������� �������:
$11.0010010000111111011\ldots\,$.---{\sl �. ���.\/}}. (�.\ Leibniz,
Math.\ Schriften (ed.\ Gehrhardt), {\bf 3} [Halle, 1855], 97; ��-�� ������
� ����������� ��� �� 118~����� � ������ �������.) ���� ���������� ᅐ�����
��������, ��-��������, � ���, ����� ��������, ����� �� ���������� � ����
�������������~$\pi$ �����-������ ������� ��������������.

�������� ������ ꀐ�~XII, �������������� ������ ��������, ���� ���
���������� � ��������������� ��������� ������ �������, ��-��������, ��
���� ���� ������ �� ���� ������� �������,
%% 209
����� 1717~�.\ ������� ����� ������������ ����������. 񊎐�� ����� ���
���� ��� ����������� �����������, ���� �� � ���������� � 녉������ �
1707~�.\ ꀐ� ����������, ��� ���������~$8$ ���~$64$ ���� �� ����� �������
��� ����������, ���~$10$, � ��������� � �������� � ������ ������������
����������; ������ �� ����� � �����, ��� � �� ����� �������� ��� �������.
(�.\ ��������� ⎋�����, {\bf 21} [Paris, E.~R.~DuMont, 1901], 49;
�.~Swedenborg, {\sl Gentleman's Magazine,\/} {\bf 24} (1754), 423--424.)

����� 140~��� ������ ���������� ������������ ����������� �������,
���� �� �������������� 䆎� 툑���� ����� ������� ��� ���� ��� � ��������
������ ꀐ��~XII � ��������� ������ ������� ���������, ��� � �����,
���������� �� ����������������� ����������. � �����: "� �� ����� �
������ �� ��������� ��������� � ������ �������� ������� � ���������� �
����������. � ����, �� ���� ������� �������; ���� ���
%% !! ��������� ����������
�� �������� ������� ��� � �� ���������� � ������������ �������� ���
������������, ��� �� ������� ����� ������ ���������, ����� ������ �
���������". 툑���� ���������� ����������� ������� ������������
����������������� �����; ��������, �����~$(|C0160|)_{16}$ ��������� ������
"vybong, bysanton". ������ ��� �������, ��������� �� "���������
��������", ���� ������� �~J.~Franklin Inst.\ [{\bf 46} (1863), 263--275,
337--348, 402--407]. ����������� �������, �� ������������ ���������~$8$,
���� ���������� �������� � �� �� ����� �������� �.~򝉋����
[{\sl Proc.\ Amer.\  Pharmaceutical Assoc.,\/} {\bf 8} (1859), 115--216;
{\sl Proc.\ Amer.\  Philosophical Soc.,\/} {\bf 24} (1887), 296--366].

⑅ ����� ������� ���������� ����������� (�����������) ������� ��� � �����
������� � �� ����� �������������� ������ � ������������ ���������� ����������.

� ������� 녉����� �������� ������� ��������� ���������� ������ ���������
����������, � �.~�.~�������� ������ ����� 20 ������ �����, ����������� ��
[{\sl AMM,\/} {\bf 25} (1918), 139--142].  ����������� ������� �������
��� ���������� ��������, ��� ����� ��������� �~�.~4.6.3, � ��� �������
��������� ��� � �����������. �.~�� [{\sl Atti della R.\ Accademia
delle Scienze  di Torino,\/} {\bf 34} (1898), 47--55] ����������� ��������
������� ��� ������ ��� "�����������" �������� �� 256~��������.
䆎��� ᎓��� [Special topics in theoretical arithmetic. Garden City, 1936, 49]
��������� ������� ����������� ��� ����������������� �����.

⎇��������� ������� � ������������ ����������� ��� ����������
�������������� ��������, � ����������� ���������, ������ ���
�������������� � �������� �������� ������� � ���� ����� ������. �������
����� �� ���� ������������� ��� � ������ "䂎����� ����������"
�.~�.~􈋋���� [{\sl J.\ of the Institute of Actuaries,\/} {\bf 67}
(1936), 187--221]; ��� �� �������� ������
%% 210
���������, ������������ ����� ����������� �� �� ��� ���� ������. 􈋋���
�������� �������: "ꎍ����� ���� [���� ������] ������� � ���, �����
������� ���� �������������� ��� ���������� �� ���������� ��������� �
�������� �� ������������\note{1}%
{� ��������� octonal, ��� � ������ 􈋋����, � �� octal, ��� ������� �
����������� ���������� �����. � ��������� ������ ���� ���� � ���������
����������� ���������.---{\sl �. ���.\/}}}".

񎂐������� �������� ������ 􈋋���� �����, ��������, ��������, ���������,
��� ������� ��������� �� ���������~$8$ ���������� � �� ����� �
������������ �� ����� ��������� ����������� ����� octonary ��� octonal,
����� ��� �� ��� ������� �� ���������~$10$ ���������� ������ denary ���
decimal; ����� octal ���������� � �������� ����������� ����� ������ �
1961~�., ������ �������������, ��-��������, ��� ������ ��� �������� ����
��������� ����������� ���� ������������� ������. 񋎂� hexadecimal\note{2}%
{�����������������.---{\sl �. �����.\/}},
���������� � ��� ���� ��� �����, ������������ ����� ����� ���������� �
���������� ������\note{3}%
{⎒ ��� �����: $\tilde\varepsilon\xi$---�����, decimus---�������. {\sl
�. ���.\/}};
 ����� ����������������� ��������� ���� �� senidenary\note{4}%
{Seni deni---����������� (\emph{���.}).---{\sl � ���.\/}}
��� sedecimal ��� ���� sexadecimal\note{5}%
{Sex---����� (\emph{���.}).---{\sl �. ���.\/}},
�� ���������, �������, ������ �� ������� ���������� ��� �������������.

⛑��������� �.~X.~󝉋��, ����������� � �������� ������ �� ��������� �
���� �����, ��������� ��� ��� �� ������ ���������, ���������� ������ ��
������� 􈋋����. 䐓��� ��������� ���� ������ ������ �� ����������
������������ ������� ���
������� �����: "$5\%$~������������ �~$3.1463 \hbox{ per } 64$\note{6}%
{������ \% ������� ��-��������� per cent (�� ���������� per centum), �
cent ($100$) ���������� ��~$64$.---{\sl �. ���.\/}},
��� ������ ������".

� �������������� �����, ���������� �� �������� ������� ��� ������ �
������ ��������� ����� ������ �������� �� �������; ��.\ �������
�.~ꓔ������� �~�.~​��� � {\sl Comptes Rendus\/} [{\bf 197} (1933), 877;
{\bf 202} (1936), 1745--1747, 1970--1972].

��� �������������� ����� �� ����������� ������ ������������� �
1937~�.\ 䆎�~�.~��������, � ������ �������� �������������� �����
���������� � � ��� �� ����---䆎���~�.~������.  ��� � ����� ��������
������������ �������� ������� ���������, ���� ������ ������ ����� �����
���������� � �������� ��� "����-3" ��� ���������� ����. ����� � �� ��
����� ����� � ㅐ����� ꎍ��� ���� �������� ������������ ��������������
������, ���������� �� �������� ������������� ����� � ��������� ������;
������������ (1941~�.) �� ������� ������-
%% 211
\bye