\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=1
\rex[15] ������� ��������� ������������ ����� � 
����������������� (��������� ����������������� �����~|0|, |1|,~\dots, |F|): 
$\oct{12}$; $\oct{5655}$; $\oct{2550276}$; $\oct{76545336}$; $\oct{3726755}$.

\ex[�22] ����� �����������~\eqref[5] �� ������ ������ �� ��������� ����������.

\ex[22] 葏������ ������� ��������� �� ���������~$-2$, ����� 
�������� ���������� ����� �����~$(a_n\ldots{}a_1a_0)_{-2}$ 
�~$(b_n\ldots{}b_1b_0)_{-2}$,  ���������� �����~$(c_{n+2}\ldots{}c_1c_0)_{-2}$.

\ex[23] 䀉�� ��������� �������� (a)~�� ������ ����� � ������ �������� 
����~$\pm(a_n\ldots{}a_0)_2$ � ��� ����-�������� 
������~$(b_{n+1}\ldots{}b_0)_{-2}$;  (b)~�� ����-�������� 
������~$(b_{n+1}\ldots{}b_0)_{-2}$ �  ������������� ����� � ������ 
�������� ����~$\pm(a_{n+1}\ldots{}a_0)_2$.

\rex[�21] 񓙅������ �����, ������� � ���������� ������� ��������� 
����� ��� ��������� ����������� ���������� � ���������� �����, 
�������� $2.3599999\ldots=2.3600000\ldots\,$. 儈�������� �� ������������� 
����� � \emph{����-����������} (�� ���������~$-10$) ������� ��������� ��� 
��� ����� ��������� ����� ���������� ������������ ����� � ����� ���������� ������������ ������������?

\ex[14] 󌍎����~$(11321)_{2i}$ �� ���� � �����-����������� �������, 
��������� ��������� � ������ �����.

\ex[�24] ꀊ �������� ���������~$S$, ����������� ��������� �� ���.~1, ��� 
����-���������� � �����-����������� ������? 䐓���� �������, ��� 
������������ ����� ���������
\EQ{
 \left\{\, \sum_{k\ge1} a_k(-10)^{-k} \mid 0 \le a_k \le 9, 
 \rem{$a_k$ ����� ��� ����~$k$}\,\right\}
}
�
\EQ{
 \left\{\, \sum_{k\ge 1} a_k (2i)^{-k} \mid 0\le a_k \le 3, 
 \rem{$a_k$ ����� ��� ����~$k$}\,\right\}?
}

\ex[�24] ������ ��������, ������������~$1$ 
�~$(a_n\ldots{}a_1a_0)_{i-1}$ � ������� ��������� �� ���������~$i-1$.

\ex[�30] 쎆�� ���������� ��������, ��� � �������� ��������� � 
������� ��������� ������� �����~$i-1$, � �� �����������, �� ����� ������� 
�����~$i+1$. ⑟��� �� ����������� �����~$a+bi$ � ������~$a$ �~$b$ 
����������� � ����������� ������� ��������� � �������~$0$ �~$1$ � ����������~$i+1$?

\ex[��32] �����, ��� ���������~$S$ �� ���.~1 ���� ��������� ���������,
���������� ��������� ����������� ������ ���������. (񋅄���������, ����� 
����������� ����� ��������� "��������" ������������� �� ���������~$i-1$.)

\ex[��42] ������ ����� ��������� ������������ ������� ���������~$S$ �� 
���.~1; ��������, ������� ��� �������.

\ex[M22] �����, ��� ����� ������������ ����� (�������������, ������������� 
��� ����) ����� ����������� � ���������� ������� ��������� ��� ������ 
���� $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ (\emph{���} �����~$9$). 

\rex[M22] (�.~�.~������.) 쎆�� �� ������������ ������������ 
����� (�������������, ������������� ��� ����) ����������� � 
"�������������� ����������" ������� ���������, �.~�.\ ����������� � 
����~$\sum_{k\le n} a_k10^k$ ��� ���������� ������~$n$ � ��������� 
������������������~$a_n$, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$,~\dots,  ��� ������~$a_k$ 
���� ���� �� ������ ����� $\set{-4{1\over2}, -3{1\over2}, -2{1\over2}, 
-1{1\over2}, -{1\over2}, {1\over2}, 1{1\over2}, 2{1\over2}, 3{1\over2}, 
4{1\over2}}$?  (����, ��� ���� �� ������ � ����� "�����������" ����, 
������ ������ �� ������������, ��� ��� ����� $a_{n+1}$, $a_{n+2}$,~\dots{} 
���� ����.) 퀉���� ��� ������������� ���� � ���� ������� � ��� 
������������� �������.

%% 222

\ex[��25] ��~$\alpha=-\sum_{m\ge1} 10^{-m^2}$. 䎊�����, ��� ��� ������ 
�������~$\varepsilon>0$ � ������ ������������� �����~$x$ ���������� 
����� "����������" ������������� ����� �����, 
���~$0<\abs{x-\sum_{0\le k \le n} a_k10^k}<\varepsilon$, ��� ������ �� 
�����~$a_k$ ����� ��������� ������ ��� ��������: $0$, $1$ ���~$\alpha$. 
(����, ��� � ���� ������������� ������������� �������~$10$ �� ������������!)

\ex[��30] 퀉���� ��� ���������~$D$, ��������� �� ������ ��� 
�������� ����� ��������������� ������������ �����, �����, ��� (a)~$0\in D$ 
� (b)~��� ������������� ������������ ����� ��������� "����������" 
�������������~$\sum_{k\le n} a_k10^k$, ��� ������~$a_k \in D$.

\ex[��50] 퀉���� ��� ���������~$D$, ��������� �� ������ ��� 
�������� ����� ������������ �����, �����, ��� \emph{�����} ��������������� ������������
����� ����� ���� ������������ � ����~$\sum_{k\le n} a_k10^k$ ��� 
����������~$n$, ��� ���~$a_k \in D$. (�.~�~���.~20--23.)

\ex[��25] (�.~�.~꓊.) �� $b$, $u$ �~$v$---����� ������������� �����,
������ $b\ge 2$ �~$0<v<b^m$. �����, ��� ������������� �����~$u/v$ �� 
���������~$b$ �� �������� ����� ������ �� ����������� ����� 
������������������ �� $m$~����, ������~$b-1$. (񎃋���� ������������� 
����������, � ����������� ������������� �� ���������~$b$ �� ����������� 
����������� ������������������ ����~"$b-1$".)

\rex[��30] (�.~�.~셍�������.) .��~$\<\beta_n>$---������������������ 
������������ �����, ������������ ��� ���� �����~$n$, $-\infty<n<+\infty$,
�����, ���
\EQ{
 \beta_n<\beta_{n+1}, \quad \lim_{n\to\infty}\beta_n=\infty, \quad 
 \lim_{n\to-\infty}\beta_n=0,
}
� �����~$\<c_n>$---������������ ������������������ ������������� ����� �����,
����� ������������ ��� ���� �����~$n$, $-\infty<n<+\infty$. 󑋎����� 
��������, ��� �����~$x$ ��������� "���������� �������������", ���� 
���������� ����� �����~$n$ � ����� ������������������ ����� ����� $a_n$, 
$a_{n-1}$, $a_{n-2}$,~\dots, ���~$x=\sum_{k\le n} a_k\beta_k$, 
���~$a_n\ne0$, $0\le a_k\le c_k$ �~$a_k<c_k$ ��� ���������� ������~$k$.

�����, ��� ������ ������������� ������������ �����~$x$ ��������� ����� 
���� ���������� ������������� � ��� � ������ � ��� ������, 
����~$\beta_{n+1}=\sum_{k\le n} c_k\beta_k$ ��� ����~$n$. (񋅄���������, 
������� �� ��������� ������������� ���������� �������� ���� ���������; 
�������� ������ ��������� ������ ���� �������� ������� �� ��������� 
����������, � ������� $\beta_1=(c_0+1)\beta_0$, 
$\beta_2=(c_1+1)(c_0+1)\beta_0$, \dots, 
$\beta_{-1}=\beta_0/(c_{-1}+1)$,~$\ldots\,$.

\ex[M21] ��������, ��� ����� ��������� ����� ����� ������������ 
"��������������� �������� �������������"~$2^{e_0}-2^{e_1}+\cdots+(-1)^k2^{e_k}$,
���~$e_0<e_1<\ldots<e_k$.

\rex[M24] �����, ��� ������ ��������� ����������� ����� ����~$a+bi$, 
��� �����~$a$ �~$b$ �����, �������� ������������ "������������ �������� ��������������"
\EQ{
 (1+i)^{e_0}+i(1+i)^{e_1}-(1+i)^{e_2}-i(1+i)^{e_3}+\cdots+i^k(1+i)^{e_k},
}
���~$e_0<e_1<\ldots<e_k$. (�.~�~���.~27.)

\ex[�35] (�.~��~ᐸ��.) ��~$S_0$, $S_1$, $S_2$,~\dots---��������� 
��������������� ����� �����; �� ������, ��� ������������~$S_0$, $S_1$, 
$S_2$,~\dots{} �������� ���������~B, ���� ����� ��������������� ����� 
�����~$n$ ����� ���� ������������ � ����
\EQ{
 n=s_0+s_1+s_2+\ldots, \rem{$s_i\in S_j$}
}
����� ����� ��������. (񂎉����~B ��������, � ���������, ���~$0\in S_j$ 
��� ����~$f$, ���~$n=0$ ����� ���� ������������ ������ ���~$0+0+0+\ldots\,$.) 
랁�� ������� ��������� �� ���������� �����������~$b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} 
���������� ������ ������������ ��������, ��������������� ��������~B, ���� 
��������~$S_j=\set{0, q_j,\ldots, (b_j-1)q_j}$, ���~$q_j=b_0b_1\ldots{}b_{j-1}$;
� ���� ������ �������������~$n=s_0+s_1+s_2+\ldots$
%% 223
��������� ������� ������������� 
�������������~\eqref[9] ����� ����� �� ��������� ����������. 䀋��, ���� 
������������ $S_0$, $S_1$, $S_2$,~\dots{}  �������� ���������~B, ��, 
������ �� �� ���� ��������� $A_0$, $A_1$, $A_2$,~\dots{} ��������� 
��������������� ����� ����� 
(�.~�.\ $A_0\cup A_1 \cup A_2 \cup \ldots = \set{0, 1, 2,~\ldots}$ 
 �~$A_i\cap A_j=\emptyset$ ���~$i\ne j$; ��������� 
�� ��������~$A_j$ ����� ���� �������), ���� ��������� �������� � 
���������� �� ��� "�����������"\note{1}%
{� ��������� "collapsing".---{\sl �. ���.\/}} 
������������ $T_0$, $T_1$, $T_2$,~\dots, ��� ���������~$T_j$ ������� �� ���� ���� 
����~$\sum_{i\in A_j} S_i$, ������ �� ������������ �������� 
���������~$s_i\in S_i$.

䎊�����, ��� \emph{�����} ������������ $T_0$, $T_1$, $T_2$,~\dots, 
��������������� ��������~B, ����� ���� �������� ����������� ��������� 
������������ $S_0$, $S_1$, $S_2$,~\dots, ��������������� ������� ��������� 
�� ��������� ����������.

\ex[�39] (�.~��~ᐸ��.) ��� ������� ��������� �� ���������~$-2$ 
����������, ��� ����� ����� ����� (�������������, ������������� ��� ����) 
����� ������������ ������������� � ����
\EQ{
 (-2)^{e_1}+(-2)^{e_2}+\cdots+(-2)^{e_t}, 
 \rem{$e_1>e_2>\ldots>e_t\ge 0, \quad t\ge 0$.}
}
���� ������� ���������� ������� � ������������ ��������� ��������� ����� ��������.
{\medskip\narrower
\item{a)}�� ������������������ ����� ����� $b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} 
  �������� ��� ���������, ��� ����� ����� �����~$n$ ��������� ������������ 
  ������������� � ����
  \EQ{
    n=b_{e_1}+b_{e_2}+\cdots+b_{e_t},
    \rem{$e_1>e_2>\ldots> e_t \ge 0, \quad t\ge 0$}
  }
  (����� ������������������~$\<b_n>$ ���������� "�������� �������"). 
  �����, ��� �������� ����� �������� �������~$j$, ��� $b_j$~�������, � 
  ��� ����~$k\ne j$ �����~$b_k$ �����.
  \hiddenpar
\item{b)}䎊�����, ��� �������� �����~$\<b_n>$ ����� ���� ������ 
  �������������� � ������������������ ���� $d_0$, $2d_1$, $4d_2$, 
  $\ldots=\<2^n d_n>$, ��� ������ �� �����~$d_k$ �������.
  \hiddenpar
\item{c)}䎊�����, ��� ���� ������ �� ����� $d_0$, $d_1$, $d_2$,~\dots{} 
  �� ������~b) �����~$\pm 1$, �� ������������������~$\<b_n>$ �������� 
  �������� ����� ����� � ������ �����, ����� ���������� ���������� 
  �����~$d_j$, ������~$+1$, � ���������� �����~$d_j$, ������~$-1$.
  \hiddenpar
\item{d)}䎊�����, ��� ������������������ $7$, $-13\cdot 2$, $7\cdot 2^2$, 
  $-13\cdot 2^3$,~\dots, $7\cdot 2^{2k}$, $-13\cdot 2^{2k+1}$,~\dots{} 
  �������� �������� �������, � ������� ������������� �����~$n=1$.
  \hiddenpar
}

\rex[M35] � ��������� ������������� ����� � �������������� �������� 
����, ��������� ��� ��������� "$2\hbox{-���������}$~�����", ���� ���������� 
�.~ㅍ����� �����~1900~�.\ (� ���������������� ㅍ���� ������� 
\emph{$p\hbox{-���������}$~�����} ��� ������ �������� �����~$p$.) � ������ 
$2\hbox{-���������}$~����� ����� ������������� ��� �������� �����
\EQ{
  u=(\ldots u_3 u_2 u_1 u_0.u_{-1}\ldots u_{-n})_2,
}
������������� �������� ������������ ���������� ������ ����� � ���� 
�� �������� ����� ������ ������ �� �������������� �����. 񋎆����, 
��������� � ��������� $2\hbox{-���������}$~����� ����������� � 
������������ � �������� ��������������� �����������, ������� � �������� 
��������� ����������� ��������������� ����������� �����. 퀏�����:
\EQ{
 \twocoleqalign{
    7&=(\ldots 000000000000111)_2,    &  1/7&=(\ldots 110110110110111)_2,\cr
   -7&=(\ldots 111111111111001)_2,    & -1/7&=(\ldots 001001001001001)_2,\cr
  7/4&=(\ldots 000000000000001.11)_2, & 1/10&=(\ldots 110011001100110.1)_2,\cr
  \multispan{4} \hfil $\displaystyle \sqrt{-7}=(\ldots 
  100000010110101)_2\hbox{ ��� } (\ldots 011111101001011)_2$.\hfil\cr
 }
}
%% 224
焅��~$7$---������� ����� ����� ���� � �������� �������������, �~$-7$~���� 
��� �������������� ��� (������������� ������������ �����); ����� ���������,
��� ������� ��������� �������� �������� ����� ���� 
���~$-7+7=(\ldots00000)_2=0$, ���� ���������� ���� ��������� ���������� 
������������� �����. 獀�����~$1/7$ �~$-1/7$ ������������ ����� 
������������ $2\hbox{-���������}$~�����, ������� ����� ����������� 
��������� ��~$7$ ���� ��������������~$+1$ �~$-1$. 獀�����~$7/4$ �~$1/10$ 
������ ��������� $2\hbox{-���������}$~�����, �� ���������� 
$2\hbox{-����������}$~"������", ��� ��� ��� ����� ��������� ���� ������ �� 
�������������� �����. �������� ��� ��������~$\sqrt{-7}$, ������������ 
���� �� ������� ��������� �����, ���� $2\hbox{-���������}$~�����, ������� 
����� ����������� ���������� � ������� ����~$(\ldots 111111111111001)_2$.

{\medskip\narrower
\item{a)}~䎊�����, ��� ����� $2\hbox{-���������}$~�����~$u$ ����� 
 ��������� �� ������������ ��������� $2\hbox{-���������}$~�����~$v$ � ��� 
 ������, ��� ���������� ������������ $2\hbox{-���������}$~�����~$w$, 
 ��������������� ���������~$u=vw$. (񋅄���������, ��������� 
 $2\hbox{-���������}$~����� �������� ����; ��.~�.~4.6.1.)

\item{b)}䎊�����, ��� $2\hbox{-���������}$~������������� ������������� 
 �����~$1/(2n+1)$, ���~$n$---����� ������������� �����, ����� �������� 
 ��������� �������. 񍀗��� ������� ������� �������� ���������� 
 �����~$1/(2n+1)$, ������� ����� ��� "������������� 
 �����"~$(0.\alpha\alpha\alpha\ldots)_2$, ���~$\alpha$---��������� ������ �� 
 ����� � ������. 򎃄� $2\hbox{-���������}$~�������������� 
 �����~$-1/(2n+1)$ �����~$(\ldots\alpha\alpha\alpha)_2$.

\item{c)}䎊�����, ��� $2\hbox{-���������}$~������������� �����~$u$ 
 ���������� (�.~�.~$u_{N+\lambda}=u_N$  ��� ���� �������~$N$ ��� 
 ���������~$\lambda\ge 1$) ����� � ������ �����, ����� $u$~����������� 
 (�.�.~$u=m/n$ ��� ��������� ����� �����~$m$ �~$n$).

\item{d)}䎊�����, ��� ����~$n$---����� �����, ��~$\sqrt{n}$ �������� 
 $2\hbox{-���������}$~������ � ��� � ������ ��� ������, 
 �����~$n \bmod 2^{2k+3}=2^{2k}$ ��� ���������� ���������������� ������~$k$. 
 (򀊈� �������, ����~$n\bmod 8=1$, ����~$n\bmod 32=4$ �~�.~�.)

}

\subchap{���������� ����� � ��������� ������} %% 4.2.
\subsubchap{⛗������� � ����������� ���������}
� ���� ��������� �� ���������� �������� �������� ���������� 
�������������� �������� ��� ������� � "��������� ������" � 
�������������� ���������� �������� ����� ����������. ⅐�����, � ������ 
��������� ���� ������� �� ������� ������� �������� �������� ���� �� ��� 
�������, ��� �������������� ������, �� ������� ��� ��������, ����� 
���������� ������� �������� ��� ������� � ��������� ������, ���� ������, 
��� ������������� ������� �� ��� ������� ��������������. � 
� ���������������� �������� ����� ��������� �� ������� ������� ����������� 
������������� � ����������� ���������-������������� ��� ��� ������ ����� 
���, ������� ����� ������������ ������������ ��� ����� �����; 
\emph{������} ������� ����������� ������ ����� ������������� � ���, ��� 
���������� ��� ���������� ������������ ����� �������������� �������� ��� 
������� � ��������� ������. ���� ���� ������ �� ��� ���������, 
��� ������� �������; � ��� ����������� ����� �����������.

\section {�. �������� ����� � ��������� ������}. �~\S~4.1 �� 
�������� ����������� ��� ����� � "������������� ������"; � ���� 
������ ����������� �����, ��� �������� ���������� �������������� ����� � 
��� ������, � �������� �� ��������. 䋟 ������ ����� ��� ���������� 
��������� ����������� ����� ������ ������� ��������� �������������� ����� 
������������ ����������---����� �������, ������� �� "���������"---� ������� � 
������ ������ �������� � ��������� ��������������� �������������� �����. 
��� ���� ��� ����� �������������� � ������� �����������, � ����������� ��� 
������������� ����� ������� ����� ���� ����� ��������~$N=6.02250\times10^{23}$ 
��� ����� ����� ����� ���� ���������� 
���~$\hbar=1.0545\times10{-27}~\hbox{���}\cdot\hbox{�}$.

� ���� ������ �� ����� ����� ���� � \dfn{$p\hbox{-����������}$ ������� � 
��������� ������ �� ���������~$b$ � ��������~$q$.} 򀊎� 
����� �������������� ��� ���� �������~$(e, f)$, ������� �������� ��������
\EQ[1]{
 (e, f)=f \times b^{e-q}.
}
焅��~$e$---����� �����, ������������ � ��������������� ��������� ��������,
 �~$f$---������� ����� �� ������. 󑋎�����, ���
\EQ{
  \abs{f}<1,
}
%% 226
����� �������, �������������� ����� � ����������� �������������~$f$ 
��������� � ������� ����� ���������. ᎋ�� �����, ���������� � ���, ��� �� 
����� ���� � $p\hbox{-����������}$~�������, ��������, ���~$b^pf$---����� 
����� �
\EQ[2]{
  -b^p < b^pf < b^p.
}
򅐌�� "��������" ����� ��������, ��� ������, ���~$b=2$, 
"����������"---���~$b=10$ �~�.~�. 葏������ 8-��������� ���������� ����� � 
��������� ������ � ��������~$50$, �� �����, ��������, ��������:
\EQ[3]{
\eqalign{
        \hbox{����� �������� }N&=(74, +.60225000);\cr
\hbox{���������� ��� } \hbar&=(24, +.10545000)\note{1}%
{� ���������� ��� ������ �������� ����� ����������, �������. �������� 
��� ����� ���������� ��� ��������� ����������.---{\sl �. ���.\/}}.\cr
}
}

䂅 ����������~$e$ �~$f$ ����� � ��������� ������ ���������� ��� 
\emph{�����������} �~\emph{������� ������} ��������������. (荎��� ��� 
���� ���� ������������ � ������ ��������, � ����������� "��������������" 
� "��������"; ������ ������������� ����� "��������" ��� ����������� 
������� ����� �������� � �������� � ������������, ��� ��� ���� ������ 
������������� ������ � ������ ������ � ������ ����������, � ����� ����, 
���������� ����� mantissa\note{2}%
{� �������� �� ������������ ��������.---{\sl �. ���.\/}} 
�������� "���� ������ ����������".)

� ���� ������ �� ����� ������� ������������ ���� �������� �� ������������� 
������� �����~$f$ � ������ ����, ��� ��� ������������� ����� � ��������� 
������ � �������������� ���� �� �������� ������� ������������ ���������� (��.~�.~4.2.2).

�����~$(e, f)$ � ��������� ������ ���������� \emph{���������������,} ���� 
�������� �������� ����� � �������������~$f$ ������� �� ����, ��� ���
\EQ[4]{
  1/b \le \abs{f} < 1,
}
���� ����~$f=0$, �~$e$~��������� ���������� ��������� ��������. ����� 
����������, ����� �� ���� ��������������� ����� � ��������� ������ ����� 
������� ��������, ���������� �������� �� ����������, � ������ ���� ��� 
���������� �����, ����� �������� � ������������ � ������� �����.

� ����� ������~\MIX{} ����� � ��������� ������ ����� ���
\EQ{
 \vcenter{\halign{
 \strut\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil&&\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil\vrule\cr
 \noalign{\hrule}
 \pm & e & f & f & f & f \cr
 \noalign{\hrule}
 }}
}
���---������������� � ��������� ������ �� ���������~$b$ � ��������~$q$, � 
�������� ��������� "�������", ���~$b$~���� ������ �����
%% 227
(��������, $b=64$ ���~$b=100$) �~$q$~���������~$\entier{{1\over2}b}$. 
䐎���� ����� �����~$\pm ffff$, � ����������~$e$ �������� � 
���������~$0\le e < b$. ��� ���������� �������������---�������� ������� ��� 
����������, ������� ������� � ����������� ������������ ���, ���� 
���������~$b$ ����� ������� ������, ��� ������ ������������.

\section {B.~펐������������ ����������}. ᎋ�������� ���� ����������� 
����������� �������� �������� ����� ������������� � ���������������� 
�������: ������� �������� ��� ����������� �������������� 
���������������� � �������� �� ������ ������ �������������.

���������� ������ �������������� �������� ��� ������� � ��������� ������ 
���������. ��������� �� ������ ������� ��������� �����������, 
����������� ��� �������� (� �������������, ��� � ����� ������������ 
������� ��� ��� ������� ���������� �������� ��� ������� � ��������� ������).

񒀍������� ������������ ��� �������������� �������� ��� ������� � 
��������� ������, ����� �� ����� �� �������� �����, � ����� ������� 
������� ������� �� ���������� ������ � ���������� ������ ������ 
������������� ����������� ���� ������. 茅��� ������� ��� ���� �������� 
����� ����� ��������������, ������, �������� ����� � ��������� ������,
����������� ��� ������ �����. ⑅ �� ������������ ������������ �������� 
����� ����������� ��� ��� ��������, ��� � ��� ���������� ����� ����������, 
��� � ���������������� ��� ��������� ����� ����� ������, � ������ 
�������� ���������� ���� ���� �� �������-����������� ������.

��� (� �������� �������!) �� ����������, ����������� � ���� ������,---��� 
��������� �������� ����� � ��������� ������:
\EQ[6]{
  (e_u, f_u) \oplus (e_v, f_v)=(e_w, f_w).
}

\emph{瀌������. ₈�� ���� ��� �������������� �������� ��� ������� � 
��������� ������ �������� �� ������ �������� ���� �������������, � �� 
�������, ��� ����������� �������� ��������, ���������, ��������� � 
������� � ��������� ������ �� ���������� �������
\EQ{
 \oplus, \quad \ominus, \quad \otimes, \quad \oslash,
}
� ��� ����� �������� ������������ �������� �� ������.} 
脅�, ������� � ������ �������� � ��������� ������, �������� ������: � 
�������������, ���~$e_u\ge e_v$, �� �����~$e_w=e_u$, 
$f_w=f_u+f_v/b^{e_u-e_v}$ (����� �������, �� ����������� 
��������� ����������� �����, ����� �������� ����� �����), � ����� �����������
%% 228
���������. 쎆�� ���������� ��������� ��������, ������� ������ 
���������� ����� �������� �������������; ����� ������ �������� ������ 
������ ��������� ����������.

\alg A.(񋎆���� ����� � ��������� ������). 䋟 �������� 
$p\hbox{-���������}$ ��������������� ����� � ��������� 
������~$u=(e_u, f_u)$ �~$v=(e_v, f_v)$ �� ���������~$b$ � ��������~$q$ �������� 
�����~$w=u\oplus v$. ���� �� ����� �������� ����� ������������ ��� 
��������� ����� � ��������� ������, ���� $v$~�������� ��~$-v$. 
������~$b$ �������������� ������.

\st[�����������.] ⛄����� ���������� � ������� ����� � �������������� 
���~$u$ �~$v$.

\st[������� �������������� ���������~$e_u\ge e_v$.] 呋�~$e_u<e_v$, 
�������� �������~$u$ �~$v$. (� ������ ������� ������� ���������� 
���~\stp{2} � �����~\stp{1} ��� � �����-������ �� ����������� �����.)

\st[������ ��������~$e_w$.] 󑒀������~$e_w\asg e_u$.

\st[������~$e_u-e_v$.] 呋�~$e_u-e_v\ge p+2$ (������� ������� 
� �����������), ����������~$f_w\asg f_u$ � ������� � ���~\stp{7}. (� ��� 
�� ������������, ��� $u$~�������������, �� ����� ���� �� ����� � ��������� 
���������� ���������, �� ����� ����������� �������� ����� � ������������ 
����������� ������������� �����-����, �������� �����������������, �����,
������ ��� � �����.)

\st[񄂈���� ����� ������.] 񄂈����~$f_v$ ������ ��~$e_u-e_v$ �������, 
�.~�.\ ���������~$f_v$ ��~$b^{e_u-e_v}$. \emph{瀌������.} ⅋����� ������ 
����� �������� ��~$p+1$~��������, ��� ��� ��������� ��� (�������� ������� 
������~$f_u$ �~$f_v$) ��������� ��� ����� ������� ������������, ���������� 
������� $2p+1$~���� �� ���������~$b$ ������ �� ����������� �����. 呋� ������
\picture{���.~2. 񋎆���� ����� � ��������� ������.}
%% 229
�������������� ������������ ���, ����� ����������� 
������ ��~$p+2$~��������, �� � ���������������� ������������������; 
����������� ����������� � ���.~5.

\st[񋎆���.] 󑒀������~$f_w\asg f_u+f_v$.

\st[펐����������.] (� ���� ������ $(e_w, f_w)$~������������ �����~$u$ 
�~$v$, �� $f_w$~����� ��������� ����� ��� $p$~���� � ����� ���� ������ 
������� ��� ������~$1/b$). ⛏������ ����������� ���� ��������~N, 
������� ����������� � ��������~$(e_w, f_w)$ �� �������������� ������.
\algend

\alg N.(펐���������) "񛐎�" ����������~$e$ � "�����" ������� �����~$f$ 
���������� � ���������������� ����, � �����������, ���� �����, 
��~$p$~��������. � ���� ��������� ��������������, ���~$\abs{f}<b$ � ��� 
�����~$b$ �����.

\st[������~$f$.] 呋�~$\abs{f}\ge 1$ ("������������ ������� �����"),
������� � ���������� ����~\stp{4}. 呋�~$f=0$, ����������~$e_w$ ������ ��� 
����������� �������� � ������� � ���~\stp{7}. 

\st[$f$~�������������?] 呋�~$\abs{f}\ge 1/b$, ������� � ���������� ����~\stp{5}.

\st[񄂈���� ����� �����.] 񄂈����~$f$ �� ���� ������ ����� 
(�.~�.\ �������� ��~$b$) � ���������~$e$ ��~$1$. ⎇��������� � ���~\stp{2}.

\st[񄂈���� ����� ������.] 񄂈����~$f$ ������ �� ���� ������
(�.~�.\ ��������� ��~$b$) � ���������~$e$ ��~$1$.

\st[������.] ������~$f$ �� $p$~��������. (��� ������� �������� � 
��� ������, ���~$f\asg b^{-p}\floor{b^pf+1/2}$, ����~$f>0$0, 
�~$f\asg b^{-p}\ceil{b^p f-1/2}$, ����~$f<0$; ����� ������������ � ������ 
������� ����������, �� ��� ����� �����������, ��-��������, ����� ������ 
����������� � ����������� ������ � ���� ����� ������.)  �� ��������, ��� 
��� �������� ���������� ����� �������� � ���������~$\abs{f}=1$ 
("������������ ��� ����������"); � ����� ������ ������� ��������� � ���~\stp{4}.

\st[������~$e$.] 呋� ����������~$e$ ������� �����, �.~�.\ ������ ���������� 
�������, �� ��� �������������� ��� ������ � \emph{������������ ����������.} 
呋� $e$~������� ���, �� ��� �������������� ��� ������ �� 
\emph{������������ ����������.} (�.\ ���������� ���������� ������� ����; 
��� �������� ���������������� ������ ��� ������ �� ������ � ��� ������, ��� 
��������� �� ����� ���� ����������� � ���� ���������������� ����� � ��������� 
������ �� ���������� ��������� ��������.)

\st[󏀊�����.] ������� ����������~$e$ � ������� �����~$f$ ��� ������ 
�������� �������������.
\algend

텑������ ������� �������� �������� ����� � ��������� ������ ���� � ���.~4.

%% 230

������� ���� \MIX-������������ ��� �������� � ��������� �����, 
������� �����~\eqref[5], ������ �������� ����, ��� ���������~A �~N ����� 
���� ����������� � ���� �������� ��� ���. ��� ������������ ��������� ���� 
������� ��������~$u$ �� �������������� ������~|ACC|, � ������ ������� 
��������~$v$ 
\picture{���.~3. 펐��������� �����~$(e, f)$.}
����������� �� ��������~|A| ��� ����� � ������������. ���������~$w$ 
���������� ������������ � ��������~|A| � ����~|ACC|. 򀊈� �������, 
������������������ ������
\EQ[7]{
 |LDA~A|; |ADD~�|; |SUB~�|; |STA~D|,
}
���������� � ������� � ������������� ������, ��������������� �� ����� 
������������������ ������, ���������� � ������� � ��������� ������:
\EQ[8]{
 |LDA~A|, |STA~A��|; |LDA~�|, |JMP~FADD|; |LDA~�|, |JMP~FSUB|; |STA~D|.
}

\prog A.(񋎆����, ��������� � ������������). 񋅄����� 
��������� ������������ ����� ������������, ����������� ��������~A, ������ 
��� ��������� ����� �������, ����� ������������� �������� ��� ���� 
����������� ������� ��������������, ������� �������� � ���� ������ � 
����������. ꀊ � ���� ���������, ��� � �� ������ ������ ���������� ���� 
����� �������������~|OFLO| ������� ������������, ������� �������� ��������� � 
���, ��� ��������� ������������ ������~\MIX{} �������� ������ � ��������� 
"��������".
\code
EXP & EQU  & 1:1  && �������� ���� ����������.
FSUB& STA  & TEMP && ��������� ��������� ������� � ��������� ������.
    & LDAN & TEMP && 臌����� ���� ��������.
FADD& STJ  & EXITF&& ��������� �������� ������� � ��������� ������:
    & JOV  & OFLO && 󁅄����� � ���, ��� ������������ �����������.
%% 231
\bye