\input style \chapnotrue\chapno=5\subchno=1\subsubchno=3 Янонярюбхл я меи дпсцсч оепеярюмнбйс рнцн фе лскэрхлмнфеярбю: $$ \pmatrix{ 1 & \ldots & 1 & 2 & \ldots & 2 & \ldots & m & \ldots & m \cr x'_{11} & \ldots & x'_{1p} & x'_{m1} & \ldots & x'_{mp} & \ldots & x'_{21} & \ldots & x'_{2p} \cr }, \eqno(33) $$ цде~$x'=m+1-x$. Еякх оепеярюмнбйю~(32) яндепфхр $k$~ярнкажнб бхдю~$y \atop x$, рюйху, врн~$x1$, ю мепюбемярбн~$xa_{i+1}$, пюбмн б рнвмнярх онкнбхме вхякю яксвюеб, йнцдю~$a_i \ne a_{i+1}$, х мерпсдмн бхдерэ, врн~$a_i=a_{i+1}=x_j$ пнбмн б $N n_j(n_j-1)/n(n-1)$~яксвюъу, цде~$N$---наыее вхякн оепеярюмнбнй. Якеднбюрекэмн, $a_i=a_{i+1}$ пнбмн б $$ {N\over n(n-1)}(n_1(n_1-1)+\cdots+n_m(n_m-1))={N\over n(n-1)}(n_1^2+\cdots+n_m^2-n) $$ яксвюъу, a~$a_i>a_{i+1}$ пнбмн б $$ {N\over 2n(n-1)}(n^2-(n_1^2+\cdots+n_m^2)) $$ яксвюъу. Ясллхпсъ он~$i$ х опхаюбкъъ~$N$, онрнлс врн б йюфдни оепеярюмнбйе ндхм нрпегнй йнмвюеряъ щкелемрнл~$a_n$, онксвхл наыее вхякн нрпегйнб бн бяеу~$N$ оепеярюмнбйюу: $$ N\left({n\over2}-{1\over 2n}(n_1^2+\cdots+n_m^2)+1\right). \eqno(34) $$ Ондекхб мю~$N$, онксвхл хяйнлне япедмее вхякн нрпегйнб. %%62 Рюй йюй нрпегйх бюфмш опх хгсвемхх "онпъдйнбшу ярюрхярхй", хлееряъ беяэлю наьхпмюъ кхрепюрспю, онябъыеммюъ хл, б рнл вхяке х мейнрнпшл дпсцхл рхоюл нрпегйнб, ме пюяялнрпеммшл гдеяэ. Днонкмхрекэмсч хмтнплюжхч лнфмн мюирх б ймхце Т.~М.~Дщбхд х~Д.~Щ.~Аюпрнмю Combinatorial Chance (London: Griffin, 1962), цк.~10, х б нагнпмни ярюрэе Д.~Щ.~Аюпрнмю х~Й.~К.~Лщккнсгю [{\sl Annals of Math. Statistics,\/} {\bf 36} (1965), 236--260]. Дюкэмеиьхе ябъгх лефдс вхякюлх Щикепю х оепеярюмнбйюлх пюяялюрпхбючряъ б пюанре Д.~Тнюрш х~Л.~О.~Ьчжемаепфе Th\'eorie G\'eom\'etrique des Polyn\^omes Eul\'eriens (Lecture Notes in Math., 138 (Berlin: Springer, 1970), 94~ярп.). \excercises \ex[Л26] Бшбедхре тнплскс Щикепю~(13). \rex[Л22] (ю)~Оношрюиреяэ дюкэье пюгбхрэ хдеч, хяонкэгнбюммсч б рейяре опх днйюгюрекэярбе рнфдеярбю~(8): пюяялнрпхре онякеднбюрекэмнярх~$a_1\,a_2\, \ldots\,a_n$, яндепфюыхе пнбмн~$q$ пюгкхвмшу щкелемрнб, х днйюфхре, врн $$ \sum_k \eul{n}{k} \perm{k-1}{n-q}=\Stir{n}{q}q!. $$ (b)~Хяонкэгсъ щрн рнфдеярбн, днйюфхре, врн $$ \sum_k \eul{n}{k}\perm{k}{m}=\Stir{n+1}{n+1-m}(n-m)! \rem{опх~$n\ge m$.} $$ \ex[БЛ25] Бшвхякхре ясллс~$\sum_k \eul{n}{k}(-1)^k$. \ex[Л21] Велс пюбмю ясллю $$ \sum_k (-1)^k\Stir{n}{k}k!\perm{n-k}{m}? $$ \ex[Л20] Мюидхре гмювемхе~$\eul{p}{k}\bmod p$, еякх~$p$---опнярне вхякн. \rex[Л21] Лхяреп Рсохжю гюлерхк, врн хг тнплск~(4) х~(13) лнфмн онксвхрэ $$ n!=\sum_{k\ge0} \eul{n}{k}=\sum_{k\ge0}\sum_{j\ge0} (-1)^{k-j}\perm{n+1}{k-j}j^n. $$ Опнхгбедъ ясллхпнбюмхе ямювюкю он~$k$, гюрел он~$j$, нм намюпсфхк, врн~$\sum_{k\ge0} (-1)^{k-j}\perm{n+1}{k-j}=0$ опх бяеу~$j\ge0$, нрячдю~$n!=0$ опх кчанл~$n\ge0$. Ме дносярхк кх нм йюйни-мхасдэ ньхайх? \ex[БЛ40] Ъбкъеряъ кх пюяопедекемхе бепнърмняреи дкъ нрпегйнб, гюдюбюелне тнплскни~(14), юяхлорнрхвеяйх мнплюкэмшл? (Яп.~я~соп.~1.2.10-13.) \ex[Л24] (О.~Ю.~Люй-Люцнм ) Онйюфхре, врн бепнърмнярэ рнцн, врн дкхмю оепбнцн нрпегйю днярюрнвмн дкхммни оепеярюмнбйх еярэ~$l_1$, дкхмю брнпнцн %%63 еярэ~$l_2$,~\dots, ю дкхмю $k\hbox{-цн нрпегйю}\ge l_k$, пюбмю $$ \det\pmatrix{ 1/l_1! & 1/(l_1+l_2)! & 1/(l_1+l_2+l_3)! & \ldots & 1/(l_1+l_2+l_3+\cdots+l_k)!\cr 1 & 1/l_2! & 1/(l_2+l_3)! & \ldots & 1/(l_2+l_3+\cdots+l_k)! \cr 0 & 1 & 1/l_3! & \ldots & 1/(l_3+\cdots+l_k)!\cr \vdots & & & & \vdots\cr 0 & 0 & \ldots & 1 & 1/l_k! \cr }. $$ \ex[M30] Осярэ~$h_k(z)=\sum p_{km} z^m$, цде~$p_{km}$---бепнърмнярэ рнцн, врн наыюъ дкхмю оепбшу $k$~нрпегйнб (аеяйнмевмни) яксвюимни онякеднбюрекэмнярх пюбмю~$m$. Мюидхре "опнярше" бшпюфемхъ дкъ~$h_1(z)$, $h_2(z)$ х дкъ опнхгбндъыху тсмйжхи~$h(z, x)=\sum_k h_k(z) x^k$ нр дбсу оепелеммшу. \ex[BM30] Нопедекхре юяхлорнрхвеяйне онбедемхе япедмецн гмювемхъ х дхяоепяхх пюяопедекемхъ~$h_k(z)$ хг опедшдсыецн сопюфмемхъ опх анкэьху~$k$. \ex[Л40] Осярэ~$H_k(z)=\sum p_{km} z^m$, цде~$p_{km}$---бепнърмнярэ рнцн, врн дкхмю $k\hbox{-цн}$~нрпегйю б яксвюимни (аеяйнмевмни) онякеднбюрекэмнярх пюбмю~$m$. Бшпюгхре~$H_1(z)$, $H_2(z)$ х опнхгбндъысч тсмйжхч~$H(z, x)=\sum_k H_k(z) x^k$ нр дбсу оепелеммшу вепег хгбеярмше тсмйжхх. \ex[M33] (О.Ю.~Люй-Люцнм.) Нанаыхре тнплскс~(13) мю яксвюи оепеярюмнбнй лскэрхлмнфеярбю, днйюгюб, врн вхякн оепеярюмнбнй лскэрхлмнфеярбю~$\set{n_1\cdot 1, n_2\cdot 2,~\ldots, n_m\cdot m}$, хлечыху пнбмн $k$~нрпегйнб, пюбмн $$ \sum_{0\le j \le k} (-1)^i \perm{n+1}{j} \perm{n_1-1+k-j}{n_1} \perm{n_2-1+k-j}{n_2} \cdots \perm{n_m-1+k-j}{n_m}, $$ цде~$n=n_1+n_2+\cdots+n_m$. \ex[05] Йюйхл асдер япедмее вхякн ярнонй б оюяэъмяе Мэчйнлаю, еякх онкэгнбюрэяъ нашвмни йнкндни дкъ апхдфю (хг 52~йюпр), хцмнпхпсъ ярюпьхмярбн йюпр, мн явхрюъ, врн $$ \clubsuit < \diamondsuit < \heartsuit < \spadesuit? $$ \ex[M17] Оепеярюмнбйю~$3\,1\,1\,1\,2\,3\,1\,4\,2\,3\,3\,4\,2\,2\,4\,4$ яндепфхр $5$~нрпегйнб; мюидхре я онлныэч опхбедеммнцн б рейяре онярпнемхъ дкъ сякнбхъ яхллерпхх Люй-Люцнмю яннрберярбсчысч оепеярюмнбйс я $9\hbox{-ч}$~нрпегйюлх. \rex[Л21] \exhead(Оепелефючыхеяъ нрпегйх.) Б йкюяяхвеяйни кхрепюрспе $19\hbox{-цн}$~бейю он йнлахмюрнпмнлс юмюкхгс ме хгсвюкяъ бнопня на нрпегйюу б оепеярюмнбйюу, йнрнпше пюяялюрпхбюел лш, мн ашкн меяйнкэйн ярюреи, онябъыеммшу оноепелеммн бнгпюярючыхл х сашбючыхл "нрпегйюл". Рюй, явхрюкняэ, врн оепеярюмнбйю~$5\,3\,2\,4\,7\,6\,1\,8$ яндепфхр $4$~нрпегйю $$ 5\,3\, 2, \quad 2\,4\,7,\quad 7\,6\,1,\quad 1\,8. $$ (Оепбши нрпегнй асдер бнгпюярючыхл хкх сашбючыхл б гюбхяхлнярх нр рнцн, $a_1a_2$; рюйхл напюгнл, оепеярюмнбйх~$a_1\,a_2\ldots\, a_n$, $a_n\,\ldots\,a_2\,a_1$ х~$(n+1-a_1)\,(n+1-a_2)\ldots (n+1-a_n)$ бяе яндепфюр ндхмюйнбне вхякн оепелефючыхуяъ нрпегйнб.) Люйяхлюкэмне вхякн нрпегйнб щрнцн рхою б оепеярюмнбйе $n$~щкелемрнб пюбмн~$n-1$. Мюидхре япедмее вхякн оепелефючыхуяъ нрпегйнб б яксвюимни оепеярюмнбйе лмнфеярбю~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. [\emph{Сйюгюмхе:} пюгаепхре бшбнд тнплскш~(34).] \ex[M30] Опнднкфхл опедшдсыее сопюфмемхе. Осярэ~$\Eul{n}{k}$---вхякн оепеярюмнбнй %%64 лмнфеярбю~$\set{1, 2,~\ldots, n}$, йнрнпше хлечр пнбмн $k$~оепелефючыхуяъ нрпегйнб. Мюидхре пейсппемрмне яннрмньемхе, я онлныэч йнрнпнцн лнфмн бшвхякхрэ рюакхжс гмювемхи~$\Eul{n}{k}$; мюидхре рюйфе яннрберярбсчыее пейсппемрмне яннрмньемхе дкъ опнхгбндъыеи тсмйжхх~$G_n(z)=\sum_k \Eul{n}{k} z^k \big / n!$. Хяонкэгсъ щрн онякедмее пейсппемрмне яннрмньемхе, мюидхре опнярсч тнплскс дкъ \emph{дхяоепяхх} вхякю оепелефючыхуяъ нрпегйнб б яксвюимни оепеярюмнбйе лмнфеярбю~$\set{1,2, ~\ldots, n}$. \ex[M25] Ясыеярбсер бяецн~$2^n$ онякеднбюрекэмняреи $a_1\,a_2\,a_n$, цде йюфдши щкелемр~$a_j$---кхан~$0$, кхан~$1$. Яйнкэйн япедх мху онякеднбюрекэмняреи, яндепфюыху пнбмн $k$~нрпегйнб (р.~е.~яндепфюыху пнбмн~$k-1$ щкелемрнб~$a_j$, рюйху, врн~$a_j>a_{j+1}$)? \ex[M27] Ясыеярбсер бяецн~$n!$ онякеднбюрекэмняреи~$a_1\,a_2\,\ldots\,a_n$, цде йюфдши щкелемр~$a_j$---жекне вхякн, кефюыее б дхюоюгнме~$0 \le a_j \le n-j$; яйнкэйн япедх мху онякеднбюрекэмняреи, яндепфюыху пнбмн $k$~нрпегйнб (р.~е.~яндепфюыху пнбмн~$k-1$ щкелемрнб~$a_j$, рюйху, врн~$a_j>a_{j+1}$)? \rex[M26] (Дф.~Пхнпдюм.) (ю)~Яйнкэйхлх яонянаюлх лнфмн пюяонкнфхрэ $n$~меюрюйсчыху кюдеи (р.~е.~мхйюйхе дбе ме днкфмш мюундхрэяъ мю ндмни бепрхйюкх \picture{ Пхя.~4. Меюрюйсчыхе кюдэх мю ьюулюрмни дняйе опх гюдюммнл вхяке кюдеи мхфе цкюбмни дхюцнмюкх. } хкх цнпхгнмрюкх) мю ьюулюрмни дняйе пюглепю~$n\times n$ рюй, врнаш пнбмн~$k$ хг мху мюундхкхяэ мю гюдюммни ярнпнме нр цкюбмни дхюцнмюкх? (b)~Яйнкэйхлх яонянаюлх лнфмн пюяонкнфхрэ $k$~меюрюйсчыху кюдеи мю гюдюммни ярнпнме нр цкюбмни дхюцнмюкх ьюулюрмни дняйх пюглепю~$n\times n$? Мюопхлеп, мю пхя.~4 онйюгюм ндхм хг $15619$~яонянанб пюяонкнфхрэ бняелэ меюрюйсчыху кюдеи мю нашвмни ьюулюрмни дняйе я рпелъ кюдэълх мю мегюьрпхунбюммнл свюярйе мхфе цкюбмни дхюцнмюкх, ю рюйфе ндхм хг $1050$~яонянанб пюяонкнфхрэ рпх меюрюйсчыхе кюдэх мю рпесцнкэмни дняйе. \rex[Л21] Цнбнпър, врн оепеярюмнбйю рпеасер $k$~\emph{времхи,} еякх ее мсфмн опнялнрперэ $k$~пюг, якебю мюопюбн, врнаш опнвхрюрэ бяе щкелемрш б месашбючыел онпъдйе. Мюопхлеп, оепеярюмнбйю $$ 4\,9\,1\,8\,2\,5\,3\,6\,7 $$ %%65 рпеасер вершпеу времхи: опх оепбнл времхх онксвюел~$1,2,3$; опх брнпнл---$4, 5, 6, 7$; гюрел~$8$; гюрел~$9$. Мюидхре ябъгэ лефдс нрпегйюлх х времхълх. \ex[M22] Еякх оепеярюмнбйю~$a_1\,a_2\,\ldots\,a_n$ лмнфеярбю~$\set{1, 2, ~\ldots, n}$ яндепфхр $k$~нрпегйнб х рпеасер $j$~времхи б ялшяке соп.~20, рн врн лнфмн яйюгюрэ н оепеярюмнбйе~$a_n\,\ldots\,a_2\,a_1$? \ex[M26] (К.~Йюпкхж, Д.~О.~Пнгекэ х~П.~Ю.~Яйнсбхкк.) Онйюфхре, врн ме ясыеярбсер оепеярюмнбйх лмнфеярбю~$\set{1, 2,~\ldots, n}$ я $n+1-r$~нрпегйюлх, рпеасчыеи $s$~времхи, еякх~$rs1$, рн слемэьхрэ~$t$ мю~$1$ х бепмсрэяъ й ьюцс~\stp{2}. \st[Нопедекхрэ~$x$.] Сярюмнбхрэ~$x\asg x_1$ х гюйнмвхрэ пюанрс юкцнпхрлю. (Реоепэ~$0 < x < \infty$.) \algend Онъямемхъ й юкцнпхрлюл~I х~D, гюйкчвеммше б йпсцкше яйнайх, ме рнкэйн онкегмш дкъ днйюгюрекэярбю рнцн тюйрю, врн щрх юкцнпхрлш янупюмъчр ярпсйрспс рюакн, мн нмх онгбнкъчр саедхрэяъ, врн \emph{юкцнпхрлш~I х~D бгюхлмн напюрмш.} Еякх ямювюкю бшонкмхрэ юкцнпхрл~I я дюммшл рюакн~$P$ х мейнрнпшл жекшл онкнфхрекэмшл вхякнл~$x\notin P$, рн нм бярюбхр~$x$ б~$P$ х нопедекхр жекше онкнфхрекэмше вхякю~$s$, $t$, сднбкербнпъчыхе сякнбхъл~(8). Юкцнпхрл~D, опхлемеммши й онксвеммнлс пегскэрюрс, бняярюмнбхр гмювемхъ~$x$ х оепбнмювюкэмши бхд~$P$. Напюрмн, еякх ямювюкю бшонкмхрэ юкцнпхрл~D я дюммшл рюакн~$P$ х мейнрнпшлх жекшлх онкнфхрекэмшлх вхякюлх~$s$, $t$, сднбкербнпъчыхлх сякнбхъл~(8), рн нм лндхтхжхпсер~$P$, сдюкхб мейнрнпне жекне онкнфхрекэмне вхякн~$x$. Юкцнпхрл~I, опхлемеммши й онксвеммнлс пегскэрюрс, бняярюмнбхр гмювемхъ~$s$, $t$ х оепбнмювюкэмши бхд~$P$. %% 70 Опхвхмю гюйкчвюеряъ б рнл, врн яндепфюмхе онъямемхи й ьюцюл~I3 х~D4 янбоюдюер рюй фе, йюй х й ьюцюл~I4 х~D3; нмх ндмнгмювмн нопедекъчр гмювемхе~$j$. Якеднбюрекэмн, бяонлнцюрекэмше онякеднбюрекэмнярх~(9), (10) ндхмюйнбш, б нанху яксвюъу. Реоепэ лш ондцнрнбкемш й днйюгюрекэярбс нямнбмнцн ябниярбю рюакн. \proclaim Ренпелю~A. Ясыеярбсер бгюхлмн ндмнгмювмне яннрберярбхе лефдс лмнфеярбнл бяеу оепеярюмнбнй лмнфеярбю~$\set{1, 2,~\ldots, n}$ х лмнфеярбнл бяеу сонпъднвеммшу оюп рюакн~$(P, Q)$, цде~$P$ х~$Q$---рюакн ндхмюйнбни тнплш хг щкелемрнб~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. (Опхлеп й щрни ренпеле яндепфхряъ б опхбедеммнл мхфе днйюгюрекэярбе.) \proof Сднамее днйюгюрэ меяйнкэйн анкее наыхи пегскэрюр. Он опнхгбнкэмнлс дбсярпнвмнлс люяяхбс $$ \pmatrix{ q_1 & q_2 & \ldots & q_n \cr p_1 & p_2 & \ldots & p_n \cr },\qquad \matrix{q_1 < q_2 < \ldots < q_n,\hfill\cr p_1, p_2, \ldots, p_n \hbox{ бяе пюгмше},\hfill\cr } \eqno (11) $$ онярпнхл яннрберярбсчыхе дбю рюакн~$P$ х~$Q$, цде $P$~янярнхр хг щкелемрнб~$\set{p_1, p_2,~\ldots, p_n}$, ю~$Q$---хг щкелемрнб~$\set{q_1, q_2,~\ldots, q_n}$, опхвел~$P$ х~$Q$ хлечр ндхмюйнбсч тнплс. Осярэ~$P$ х~$Q$ бмювюке осярш. Опх~$i=1$, $2$,~\dots, $n$ (хлеммн б рюйнл онпъдйе) опндекюел якедсчысч ноепюжхч: бярюбхл~$P_i$ б рюакн~$P$ опх онлных юкцнпхрлю~I; гюрел сярюмнбхл~$Q_{st}\asg q_l$, цде~$s$ х~$t$ нопедекъчр бмнбэ гюонкмеммсч онгхжхч б~$P$. Мюопхлеп, еякх гюдюмю оепеярюмнбйю~$ \pmatrix{ 1 & 3 & 5 & 6 & 8 \cr 7 & 2 & 9 & 5 & 3 \cr }$, деиярбсел якедсчыхл напюгнл: {\tdim=\hsize \advance\tdim by -\parindent \divide\tdim by 3 \def\+#1\cr{\line{\indent\vbox{\halign{\hbox to \tdim{##\hfil}&\hbox to \tdim{##\hfil}&\hbox to \tdim{##\hfil}\cr#1\cr}}\hfill}\smallskip} \vskip\abovedisplayskip \+ & $P$ \hfil & $Q$ \hfil \cr \+ Бярюбйю~7: & \tableau{ 7 \cr } & \tableau{ 1 \cr }\cr \+ Бярюбйю~2: & \tableau{ 2 \cr 7 \cr } & \tableau { 1 \cr 3 \cr } \cr \+ Бярюбйю~9: & \tableau{ 2 & 9 \cr 7 \cr } & \tableau{ 1 & 5 \cr 3 \cr } \cr %% 71 \+ Бярюбйю~5: & \tableau{ 2 & 5 \cr 7 & 9 \cr } & \tableau{ 1 & 5 \cr 3 & 6 \cr } \cr \rightline{(12)} \+ Бярюбйю~3: & \tableau{ 2& 3 \cr 5 & 9 \cr 7\cr } & \tableau{ 1 & 5 \cr 3 & 6 \cr 8 \cr } \cr \vskip\belowdisplayskip } Якеднбюрекэмн, оюпю рюакн~$(P, Q)$, яннрберярбсчыюъ оепеярюмнбйе $\pmatrix{ 1 & 3 & 5 & 6 & 8 \cr 7 & 2 & 9 & 5 & 3 \cr }$, рюйнбю: $$ P=\tableau{ 2 & 3 \cr 5 & 9 \cr 7 \cr }\,, \qquad Q=\tableau{ 1 & 5 \cr 3 & 6 \cr 8 \cr }\,. \eqno(13) $$ Хг онярпнемхъ ъямн, врн~$P$ х~$Q$ бяецдю хлечр ндхмюйнбсч тнплс. Йпнле рнцн, оняйнкэйс щкелемрш бяецдю днаюбкъчряъ мю цпюмхжс~$Q$ х б бнгпюярючыел онпъдйе, рн~$Q$---рюакн. Напюрмн, еякх гюдюмш дбю рюакн ндхмюйнбни тнплш, рн яннрберярбсчыхи дбсярпнвмши люяяхб~(11) лнфмн онярпнхрэ рюй. Осярэ $$ q_1 < q_2 < \ldots < q_n $$% ---щкелемрш~$Q$. Осярэ опх~$i=n$,~\dots, $2$, $1$ (хлеммн б рюйнл онпъдйе) $p_i$---щкелемр~$x$, йнрнпши сдюкъеряъ хг~$P$ он юкцнпхрлс~D я хяонкэгнбюмхел гмювемхи~$s$, $t$, рюйху, врн~$Q_{st}=q_i$. Мюопхлеп, еякх опхлемхрэ щрн онярпнемхе й рюакн~(13) х опнхгбндхрэ бшвхякемхъ, напюрмше~(12), дн реу онп, онйю~$P$ ме хявепоюеряъ, рн онксвхряъ люяяхб $\pmatrix{ 1 & 3 & 5 & 6 & 8 \cr 7 & 2 & 9 & 5 & 3 \cr }$. Оняйнкэйс юкцнпхрлш~I х~D бгюхлмн напюрмш, рн бгюхлмн напюрмш х нохяюммше гдеяэ дбю онярпнемхъ; рюйхл напюгнл, рпеаселне бгюхлмн ндмнгмювмне яннрберярбхе сярюмнбкемн. \proofend Яннрберярбхе, нопедекеммне б днйюгюрекэярбе ренпелш~A, накюдюер лмнфеярбнл онпюгхрекэмшу ябниярб, х реоепэ лш опхярсохл й бшбндс мейнрнпшу хг мху. Саедхрекэмюъ опняэаю й вхрюрекч, опефде вел дбхцюрэяъ дюкэье, хяошрюрэ яеаъ мю опхлепюу хг соп.~1, врнаш нябнхрэяъ я щрхлх онярпнемхълх. %%72 Йюй рнкэйн щкелемр бшреямем хг ярпнйх~1 б ярпнйс~2, нм сфе анкэье ме бкхъер мю ярпнйс~1; йпнле рнцн, ярпнйх~2, 3,~\dots{} ярпнъряъ хг онякеднбюрекэмнярх "бшреямеммшу" щкелемрнб рнвмн рюй фе, йюй ярпнйх~1, 2,~\dots{} ярпнъряъ хг хяундмни оепеярюмнбйх. Щрх тюйрш мюбндър мю лшякэ н рнл, врн мю онярпнемхе б ренпеле~A лнфмн бгцкъмсрэ хмюве, напюыюъ бмхлюмхе кхьэ мю оепбше ярпнйх~$P$ х~$Q$. Мюопхлеп, оепеярюмнбйю $\pmatrix{ 1 & 3 & 5 & 6 & 8\cr 7 & 2 & 9 & 5 & 3 \cr }$ бшгшбюер якедсчыхе деиярбхъ мюд ярпнйни~1 [яп.~я~(12)]: $$ \vcenter{\halign{ #\hfil\bskip&\bskip #\hfil\bskip&\bskip$#$\hfil\cr 1: Бярюбхрэ~$7$, & сярюмнбхрэ & Q_{11}\asg 1. \cr 3: Бярюбхрэ~$2$, & бшреямхрэ~$7$. \cr 5: Бярюбхрэ~$9$, & сярюмнбхрэ & Q_{12}\asg 5. \cr 6: Бярюбхрэ~$5$, & бшреямхрэ~$9$. \cr 8: Бярюбхрэ~$3$, & бшреямхрэ~$5$.\cr }} \eqno(14) $$ Рюйхл напюгнл, оепбюъ ярпнйю~$P$---щрн~$2~3$, ю оепбюъ ярпнйю~$Q$---щрн~$1~5$. Йпнле рнцн, нярюкэмше ярпнйх~$P$ х~$Q$ янярюбкъчр рюакн, яннрберярбсчыхе "бшреямеммнлс" дбсярпнвмнлс люяяхбс $$ \pmatrix{ 3 & 6 & 8 \cr 7 & 9 & 5 \cr }, \eqno (15) $$ Врнаш онмърэ, йюй ярпнхряъ ярпнйю~1, лнфмн хгсвхрэ щкелемрш, оноюдючыхе б дюммши ярнкаеж щрни ярпнйх. Асдел цнбнпхрэ, врн оюпю~$(q_i, p_i)$ опхмюдкефхр йкюяяс~$t$ нрмняхрекэмн дбсярпнвмнцн люяяхбю $$ \pmatrix{ q_1 & q_2 & \ldots & q_n \cr p_1 & p_2 & \ldots & p_n \cr }, \qquad\matrix{ q_1p_{i_2}>\ldots>p_{i_k},\cr } \eqno(18) $$ оняйнкэйс опх пюанре юкцнпхрлю бярюбйх онгхжхъ рюакн~$P_{1t}$ опхмхлюер сашбючысч онякеднбюрекэмнярэ гмювемхи~$p_{i_1}$,~\dots, $p_{i_k}$. Б йнмже онярпнемхъ $$ p_{1t}=p_{i_k}, \quad Q_{1t}=q_{i_1}, \eqno(19) $$ ю бшреямеммши дбсярпнвмши люяяхб, йнрнпшл нопедекъчряъ ярпнйх~2, 3,~\dots{} рюакн~$P$ х~$Q$, яндепфхр ярнкажш $$ \pmatrix{ q_{i_2} & q_{i_3} & \ldots & q_{i_k} \cr p_{i_1} & p_{i_2} & \ldots & p_{i_k-1}\cr }, \eqno(20) $$ ю рюйфе дпсцхе ярнкажш, юмюкнцхвмшл напюгнл онксвеммше хг дпсцху йкюяянб. Щрх мюакчдемхъ опхбндър й опнярнлс лерндс бшвхякемхъ~$P$ х~$Q$ бпсвмсч (ял.~соп.~3), ю рюйфе опеднярюбкъчр япедярбю дкъ днйюгюрекэярбю ндмнцн беяэлю менфхдюммнцн пегскэрюрю. \proclaim Ренпелю~B. Еякх б онярпнемхх хг ренпелш~A оепеярюмнбйю $$ \pmatrix{ 1 & 2 & \ldots & n \cr a_1 & a_2 & \ldots & a_n \cr } $$ яннрберярбсер рюакн~$(P, Q)$, рн напюрмюъ еи оепеярюмнбйю яннрберярбсер рюакн~$(Q, P)$. Щрн днбнкэмн сдхбхрекэмши тюйр, онрнлс врн б ренпеле~A рюакн~$P$ х~$Q$ тнплхпсчряъ янбепьеммн пюгмшлх яонянаюлх, х напюрмюъ оепеярюмнбйю онксвюеряъ б пегскэрюре беяэлю опхвсдкхбни оеперюянбйх ярнкажнб дбсярпнвмнцн люяяхбю. %% 74 \proof Опедонкнфхл, с мюя еярэ дбсярпнвмши люяяхб~(16); онлемъб леярюлх ецн ярпнйх х нрянпрхпнбюб ярнкажш рюй, врнаш щкелемрш мнбни бепумеи ярпнйх пюяонкнфхкхяэ б месашбючыел онпъдйе, онксвхл "напюрмши" люяяхб $$ \eqalign{ \pmatrix{ q_1 & q_2 & \ldots & q_n \cr p_1 & p_2 & \ldots & p_n \cr }^{-1}&= \pmatrix{ p_1 & p_2 & \ldots & p_n \cr q_1 & q_2 & \ldots & q_n \cr }=\cr &=\pmatrix{ p'_1 & p'_2 & \ldots & p'_n \cr q'_1 & q'_2 & \ldots & q'_n \cr },\qquad \matrix{ p'_1 < p'_2 < \ldots < p'_n; \hfill\cr q'_1, q'_2, \ldots, q'_n \hbox{ бяе пюгмше.}\hfill\cr }\cr } \eqno(21) $$ Онйюфел, врн щрю ноепюжхъ яннрберярбсер гюлеме~$(P, Q)$ мю~$(Q, P)$ б онярпнемхх хг ренпелш~A. Б соп.~2 мюьх гюлевюмхъ на нопедекемхх йкюяянб оепетнплскхпнбюмш рюйхл напюгнл, врн йкюяя, й йнрнпнлс нрмняхряъ оюпю~$(q_i, p_i)$, ме гюбхяхр нр рнцн тюйрю, врн щкелемрш~$q_1$, $q_2$,~\dots, $q_n$ пюяонкнфемш б бнгпюярючыел онпъдйе. Оняйнкэйс пегскэрхпсчыхе сякнбхъ яхллерпхвмш нрмняхрекэмн~$p$ х~$q$, рн ноепюжхъ~(21) ме мюпсьюер ярпсйрспс йкюяянб; еякх~$(q, p)$ опхмюдкефхр йкюяяс~$t$ нрмняхрекэмн~(16), рн~$(p, q)$ опхмюдкефхр йкюяяс~$t$ нрмняхрекэмн~(21). Онщрнлс, еякх пюглеярхрэ щкелемрш щрнцн онякедмецн йкюяяю~$t$ рюй, врнаш $$ \eqalign{ p_{i_k}<\ldots< p_{i_2} < p_{i_1}, \cr q_{i_k}>\ldots> q_{i_2} > q_{i_1}, \cr } \eqno(22) $$ [яп.~я~(18)], рн онксвхл $$ P_{1t}=q_{i_1}, Q_{1t}=p_{i_k}, \eqno (23) $$ йюй б~(19), ю ярнкажш $$ \pmatrix{ p_{i_{k-1}} & \ldots & p_{i_2} & p_{i_1} \cr q_{i_k} & \ldots & q_{i_3} & q_{i_2} \cr } \eqno(24) $$ бнидср б бшреямеммши люяяхб, йюй б~(20). Якеднбюрекэмн, оепбше ярпнйх~$P$ х~$Q$ лемъчряъ леярюлх. Йпнле рнцн, бшреямеммши дбсярпнвмши люяяхб дкъ~(21) ъбкъеряъ напюрмшл он нрмньемхч й бшреямеммнлс дбсярпнвмнлс люяяхбс дкъ~(16), рюй врн днйюгюрекэярбн гюбепьюеряъ опхлемемхел хмдсйжхх он вхякс ярпнй б рюакн. \proofend \proclaim Якедярбхе. Йнкхвеярбн рюакн, йнрнпше лнфмн ятнплхпнбюрэ хг щкелемрнб~$\set{1, 2,~\ldots, n}$, пюбмн йнкхвеярбс хмбнкчжхи лмнфеярбю~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. \proof Еякх~$\pi$---хмбнкчжхъ, яннрберярбсчыюъ оюпе рюакн~$(P, Q)$, рн~$\pi=\pi^{-1}$ яннрберярбсер оюпе~$(Q, P)$. Якеднбюрекэмн, %% 75 $P=Q$. Напюрмн, еякх~$\pi$---йюйюъ-кхан оепеярюмнбйю, яннрберярбсчыюъ оюпе~$(P, P)$, рн~$\pi^{-1}$ рнфе яннрберярбсер оюпе~$(P,P)$; нрячдю~$\pi=\pi^{-1}$. Рюйхл напюгнл, ясыеярбсер бгюхлмн ндмнгмювмне яннрберярбхе лефдс хмбнкчжхълх~$\pi$ х рюакн~$P$. \proofend Ъямн, врн щкелемр б кебнл бепумел сцкс рюакн бяецдю мюхлемэьхи. Щрн мюбндхр мю лшякэ н бнглнфмнл яонянае янпрхпнбйх лмнфеярбю вхяек. Ямювюкю лнфмн янярюбхрэ хг мху рюакн, лмнцнйпюрмн опхлемъъ юкцнпхрл~I, б пегскэрюре мюхлемэьхи щкелемр нйюферяъ б сцкс. Гюрел щрнр мюхлемэьхи щкелемр сдюкъеряъ, ю нярюкэмше щкелемрш оепепюглеыючряъ рюй, врнаш напюгнбюкняэ дпсцне рюакн; онрнл сдюкъеряъ мнбши лхмхлюкэмши щкелемр х р.д. Онщрнлс дюбюире онялнрпхл, врн опнхяундхр, йнцдю лш сдюкъел сцкнбни щкелемр хг рюакн $$ \tableau{ 1 & 3 & 5 & 8 & 12 & 16\cr 2 & 6 & 9 & 15\cr 4 & 10 & 14 \cr 11 & 13 \cr 17\cr } \eqno (25) $$ Оняке сдюкемхъ~$1$ мю нябнандхбьееяъ леярн менаундхлн онярюбхрэ~$2$. Гюрел лнфмн ондмърэ~$4$ мю леярн дбнийх, ндмюйн~$11$ мекэгъ ондмърэ мю леярн~$4$, мн мю щрн леярн лнфмн ондбхмсрэ~$10$, ю онрнл~$13$ мю леярн~$10$. Б наыел яксвюе опхундхл й якедсчыеи опнжедспе. \alg S.(Сдюкемхе сцкнбнцн щкелемрю.) Щрнр юкцнпхрл сдюкъер щкелемр хг кебнцн бепумецн сцкю рюакн~$P$ х оепелеыюер нярюкэмше щкелемрш рюй, врнаш янупюмхкхяэ ябниярбю рюакн. Хяонкэгсчряъ ре фе нангмювемхъ, врн х б юкцнпхрлюу~I х~D. \st[Мювюкэмюъ сярюмнбйю.] Сярюмнбхрэ~$r\asg 1$, $s\asg 1$. \st[Йнмеж?] Еякх~$P_{rs}=\infty$, рн опнжеяя гюбепьем. \st[Япюбмхрэ.] Еякх~$P_{(r+1)s}\simlt P_{r(s+1)}$, рн оепеирх й ьюцс~\stp{5}. (Япюбмхбюел щкелемрш яопюбю х ямхгс нр ябнандмнцн леярю х оепедбхцюел лемэьхи хг мху.) \st[Ондбхмсрэ бкебн.] Сярюмнбхрэ~$P_{rs}\asg P_{r(s+1)}$, $s\asg s+1$ х бепмсрэяъ й~\stp{3}. \st[Ондбхмсрэ ббепу.] Сярюмнбхрэ~$P_{rs}\asg P_{(r+1)s}$, $r\asg r+1$ х бепмсрэяъ й~\stp{2}. \algend Кецйн днйюгюрэ, врн оняке сдюкемхъ сцкнбнцн щкелемрю я онлныэч юкцнпхрлю~S, $P$---он-опефмелс рюакн (ял.~соп.~10). Рюйхл %%76 напюгнл, опхлемъъ юкцнпхрл~S дн реу онп, онйю~$P$ ме хявепоюеряъ, лнфмн опнвхрюрэ ецн щкелемрш б бнгпюярючыел онпъдйе. Й янфюкемхч, щрнр юкцнпхрл янпрхпнбйх нйюгшбюеряъ ме ярнкэ щттейрхбмшл, йюй дпсцхе юкцнпхрлш, йнрнпше мюл еые опедярнхр пюяялнрперэ. Лхмхлюкэмне бпелъ ецн пюанрш опнонпжхнмюкэмн~$n^{1.5}$; юмюкнцхвмше юкцнпхрлш, хяонкэгсчыхе блеярн рюакн депебэъ, гюрпювхбючр бпелъ онпъдйю~$n\log n$. Юкцнпхрл~S, унръ х ме опхбндхр й нянаеммн щттейрхбмнлс юкцнпхрлс янпрхпнбйх, накюдюер мейнрнпшлх нвемэ хмрепеямшлх ябниярбюлх. \proclaim Ренпелю~C. (Л.~О.~Ьчжемаепфе.) Еякх~$P$---рюакн, онярпнеммне, йюй б ренпеле~A, хг оепеярюмнбйх~$a_1\,a_2,\ldots\,a_n$, х~$a_i=\min\set{a_1, a_2, \ldots, a_n}$, рн юкцнпхрл~S опенапюгсер~$P$ б рюакн, яннрберярбсчыее оепеярюмнбйе~$a_1\,\ldots\,a_{i-1}\,a_{i+1}\,\ldots\,a_n$. \proof Ял. соп. 13. \proofend Дюбюире оняке опхлемемхъ юкцнпхрлю~S онлеярхл мю бмнбэ нябнандхбьееяъ леярн сдюкеммши щкелемр б яйнайюу, сйюгюб рюйхл напюгнл, врн мю яюлнл деке нм ме ъбкъеряъ вюярэч рюакн. Опхлемхб, мюопхлеп, щрс опнжедспс й рюакн~(25), лш онксвхкх аш $$ \tableau{ 2 & 3 & 5 & 8 & 12 & 16\cr 4 & 6 & 9 & 15\cr 10 & 13 & 14 \cr 11 & (1) \cr 17 \cr } $$ ю еые дбю опхлемемхъ опхбндър й $$ \tableau{ 4 & 5 & 8 & 12 & 16 & (2)\cr 6 & 9 & 14 &15\cr 10 & 13 & (3) \cr 11 & (1) \cr 17\cr } $$ %% 77 Опнднкфюъ дн реу онп, онйю бяе щкелемрш ме нйюфсряъ б яйнайюу, х сапюб яйнайх, онксвхл йнмтхцспюжхч $$ \tableau{ 17 & 15 & 14 & 13 & 11 & 2 \cr 16 & 10 & 6 & 4 \cr 12 & 5 & 3 \cr 9 & 1 \cr 8 \cr } \eqno(26) $$ хлечысч рс фе тнплс, врн х хяундмне рюакн~(25). Щрс йнмтхцспюжхч лнфмн мюгбюрэ \dfn{дбниярбеммшл рюакн,} онрнлс врн нмю онунфю мю рюакн я рни кхьэ пюгмхжеи, врн опхлемъеряъ "дбниярбеммне нрмньемхе онпъдйю" ($<$ х~$>$ онлемъкхяэ пнкълх). Нангмювхл дбниярбеммне рюакн, онксвеммне хг~$P$ рюйхл яонянанл, вепег~$P^S$. Рюакн~$P$ нопедекъеряъ хг~$P^S$ едхмярбеммшл напюгнл. Б яюлнл деке, хяундмне рюакн лнфмн онксвхрэ хг~$P^S$ опх онлных рнцн фе яюлнцн юкцнпхрлю (я напюрмшл нрмньемхел онпъдйю, оняйнкэйс $P^S$---дбниярбеммне рюакн). Мюопхлеп, опхлемемхе й~(26) дбсу ьюцнб щрнцн юкцнпхрлю дюер $$ \tableau{ 15 & 14 & 13 & 11 & 2 & (16)\cr 12 & 10 & 6 & 4\cr 9 & 5 & 3 \cr 8 & 1 \cr (17)\cr } $$ х б йнмже йнмжнб ноърэ онксвюеряъ рюакн~(25). Щрнр гюлевюрекэмши пегскэрюр---ндмн хг якедярбхи мюьеи якедсчыеи ренпелш. {\let\newpar=\par \proclaim Ренпелю D. (Й.~Ьемяред, Л.~О.~Ьчжемаепфе.) Осярэ $$ \pmatrix{ q_1 & q_2 & \ldots & q_n \cr p_1 & p_2 & \ldots & p_n \cr } \eqno(27) $$ ---дбсярпнвмши люяяхб, яннрберярбсчыхи оюпе рюакн~$(P, Q)$. %% 78 {\medskip\narrower \item{a)}Еякх онкэгнбюрэяъ дбниярбеммшл (напюрмшл) нрмньемхел онпъдйю дкъ~$q$, мн ме дкъ~$p$, рн дбсярпнвмши люяяхб $$ \pmatrix{ q_n & \ldots & q_2 & q_1 \cr p_n & \ldots & p_2 & p_1 \cr } \eqno(28) $$ яннрберярбсер оюпе~$(P^T, (Q^S)^T)$. \newpar {\noindent \rm (Йюй нашвмн, вепег~$T$ нангмювемю ноепюжхъ рпюмяонмхпнбюмхъ; $P^T$---рюакн, a~$(Q^S)^T$---дбниярбеммне рюакн, оняйнкэйс щкелемрш~$q$ пюяонкнфемш б напюрмнл онпъдйе.)} \newpar \item{b)}Еякх онкэгнбюрэяъ дбниярбеммшл нрмньемхел онпъдйю дкъ~$p$, мн ме дкъ~$q$, рн дбсярпнвмши люяяхб~(37) яннрберярбсер оюпе~$((P^S)^T, Q^T)$. \newpar \item{c)}Еякх онкэгнбюрэяъ дбниярбеммшл нрмньемхел онпъдйю йюй дкъ~$p$, рюй х дкъ~$q$, рн дбсярпнвмши люяяхб~(28) яннрберярбсер оюпе~$(P^S, Q^S)$. \newpar} \par } \proof Ме хгбеярмн опнярнцн днйюгюрекэярбю щрни ренпелш. Рн, врн яксвюи~(a) яннрберярбсер оюпе~$(P^T, X)$, цде~$X$---мейнрнпне дбниярбеммне рюакн, днйюгюмн б соп.~6; якеднбюрекэмн, он ренпеле~B, яксвюи~(b) яннрберярбсер оюпе~$(Y, Q^T)$, цде~$Y$---мейнрнпне дбниярбеммне рюакн рни фе тнплш, врн х~$P^T$. Осярэ~$p_i=\min\set{p_1,~\ldots, p_n}$; рюй йюй~$p_i$---"мюханкэьхи" щкелемр опх дбниярбеммнл нрмньемхх онпъдйю, рн нм нйюферяъ мю цпюмхже~$Y$ х ме бшреямъер мхйюйху щкелемрнб опх онярпнемхх хг ренпелш~A. Рюйхл напюгнл, еякх онякеднбюрекэмн бярюбкърэ щкелемрш~$p_1$,~\dots, $p_{i-1}$, $p_{i+1}$,~\dots, $p_n$, опхлемъъ дбниярбеммне нрмньемхе онпъдйю, рн онксвхряъ~$Y-\set{p_i}$, р.е.~$Y$, хг йнрнпнцн сдюкем щкелемр~$p_i$. Он ренпеле~C, еякх онякеднбюрекэмн бярюбкърэ щкелемрш~$p_1$,~\dots, $p_{i-1}$, $p_{i+1}$,~\dots, $p_n$, опхлемъъ нашвмне нрмньемхе онпъдйю, онярпнхл рюакн~$d(P)$, йнрнпне онксвюеряъ осрел опхлемемхъ й~$P$ юкцнпхрлю~S. Хмдсйжхъ он~$n$ дюер~$Y-\set{p_i}=(d(P)^S)^T$. Мн оняйнкэйс $$ (P^S)^T-\set{p_i}=(d(P)^S)^T \eqno (29) $$ он нопедекемхч ноепюжхх~$S$, ю $Y$~хлеер рс фе тнплс, врн х~$(P^S)^T$, рн днкфмн хлерэ леярн пюбемярбн~$Y=(P^S)^T$. Рел яюлшл днйюгюмн србепфдемхе~(b); (a)~онксвюеряъ опхлемемхел ренпелш~B. Онякеднбюрекэмне опхлемемхе~(a) х~(b) онйюгшбюер, врн яксвюи~(c) яннрберярбсер оюпе~$(((P^T)^S)^T, ((Q^S)^T)^T)$, a щрн пюбмн~$(P^S, Q^S)$, рюй йюй~$(P^S)^T=(P^T)^S$ бякедярбхе яхллерпхх ноепюжхх~$S$ он нрмньемхч й ярпнйюл х ярнкажюл. \proofend Щрю ренпелю, б вюярмнярх, сярюмюбкхбюер дбю сдхбхрекэмшу тюйрю, йюяючыхуяъ юкцнпхрлю бярюбйх б рюакн. Еякх б пегскэрюре онякеднбюрекэмни бярюбйх пюгкхвмшу щкелемрнб~$p_1$,~\dots, $p_n$ %% 79 б осярне рюакн онксвюеряъ рюакн~$P$, рн б пегскэрюре бярюбйх щрху щкелемрнб б напюрмнл онпъдйе---$p_n$,~\dots, $p_1$, онксвхряъ \dfn{рпюмяонмхпнбюммне} рюакн~$P^T$. Еякх фе лш ме рнкэйн ярюмел бярюбкърэ щкелемрш б онпъдйе~$p_n$,~\dots, $p_1$, мн х онлемъел пнкълх~$<$ х~$>$, ю рюйфе~$0$ х~$\infty$, рн онксвхл дбниярбеммне рюакн~$P^S$. Мюярнърекэмн пейнлемдсел вхрюрекч хяошрюрэ щрх опнжеяяш мю меяйнкэйху опняршу опхлепюу. Менашвмюъ опхпндю щрху янбоюдемхи лнфер бшгбюрэ онднгпемхе н блеьюрекэярбе йюйху-рн йнкднбяйху яхк. Дн яху онп ме хгбеярмн йюйнцн-кхан опнярнцн на╝ъямемхъ онднамшу ъбкемхи; йюферяъ, ме ясыеярбсер опнярнцн яонянаю днйюгюрэ дюфе рн, врн яксвюи~(c) яннрберярбсер рюакн рни фе \emph{тнплш,} врн~$P$ х~$Q$. Яннрберярбхе, сярюмюбкхбюелне ренпелни~A, мюидемн Ф.~Пнахмянмнл [{\sl American J.\ Math.,\/} {\bf 60} (1938), 745--760, Sec.~5] б меяйнкэйн хмни х днбнкэмн рслюммни тнпле йюй вюярэ пеьемхъ беяэлю якнфмни гюдювх хг ренпхх цпсоо. Мерпсдмн опнбепхрэ, врн ецн онярпнемхе б ясымнярх хдемрхвмн опхбедеммнлс гдеяэ. Нм ятнплскхпнбюк ренпелс~B аег днйюгюрекэярбю. Лмнцн кер яосяръ Й.~Ьемяред мегюбхяхлн гюмнбн нрйпшк щрн яннрберярбхе, йнрнпне нм ятнплскхпнбюк он ясыеярбс б рни фе тнпле, йюйсч хяонкэгнбюкх лш [{\sl Canadian J.\ Math.,\/} {\bf 13} (1961), 179--191]. Нм рюйфе днйюгюк "$P$"-вюярэ ренпелш~D~(a). Л.~О.~Ьчжемаепфе [{\sl Math. Scand.,\/} {\bf 12} (1963), 117--128] днйюгюк ренпелс~B х "$Q$"-вюярэ ренпелш~D~(a), хг йнрнпни якедсчр~(b) х~(c). Щрн яннрберярбхе лнфмн пюяопнярпюмхрэ х мю оепеярюмнбйх лскэрхлмнфеярб; яксвюи, йнцдю~$p_1$,~\dots, $p_n$ ме наъгюрекэмн пюгкхвмш, пюяялнрпек Ьемяред, ю "люйяхлюкэмне" нанаыемхе мю яксвюи, йнцдю х~$p$, х~$q$ лнцср яндепфюрэ онбрнпъчыхеяъ щкелемрш, хяякеднбюмн Ймсрнл [{\sl Pacific J.\ Math.,\/} {\bf 34} (1970), 709--727]. Напюрхляъ реоепэ й пндярбеммнлс бнопняс: \emph{яйнкэйн рюакн, янярюбкеммшу хг щкелемрнб~$\set{1, 2,~\ldots, n}$, хлечр дюммсч тнплс~$(n_1, n_2,~\ldots, n_m)$, цде~$n_1+n_2+\cdots+n_m=n$?} Нангмювхл щрн вхякн вепег~$f(n_1, n_2,~\ldots, n_m)$; нмн днкфмн сднбкербнпърэ яннрмньемхъл $$ \displaylines{ f(n_1, n_2, \ldots, n_m)=0, \rem{еякх ме бшонкмемн сякнбхе~$n_1\ge n_2\ge \ldots\ge n_m\ge 0$;} \hfill \llap{(30)}\cr f(n_1, n_2, \ldots, n_m, 0)=f(n_1, n_2, \ldots, n_m); \hfill\llap{(31)}\cr f(n_1, n_2, \ldots, n_m)=f(n_1-1, n_2, \ldots, n_m) +f(n_1, n_2-1, \ldots, n_m)+\cdots+f(n_1, n_2, \ldots, n_m-1),\hfill\cr \hfill \rem{еякх $n_1\ge n_2 \ge \ldots \ge n_m \ge 1$.}\quad (32)\cr } $$ Онякедмее пейсппемрмне яннрмньемхе бшрейюер хг рнцн тюйрю, врн опх сдюкемхх мюханкэьецн щкелемрю рюакн бяецдю ямнбю онксвюеряъ рюакн; мюопхлеп, йнкхвеярбн рюакн тнплш~$(6, 4, 4, 1)$ пюбмн~$f(5, 4, 4, 1)+f(6, 3, 4, 1)+f(6, 4, 3, 1) + f(6, 4, 4, 0)=f(5, 4, 4, 1) %%80 +f(6, 4, 3, 1)+f(6, 4, 4)$, онрнлс врн бяъйне рюакн тнплш~$(6, 4, 4, 1)$ хг щкелемрнб~$\set{1, 2,~\ldots, 15}$ онксвюеряъ б пегскэрюре бярюбйх щкелемрю~$15$ б ондундъыее леярн б рюакн тнплш~$(5, 4, 4, 1)$, $(6, 4, 3, 1)$ хкх~$(6, 4, 4)$. Хгнапюгхл щрн мю яуеле \picture{p. 80, (33)} Тсмйжхъ~$f(n_1, n_2,~\ldots, n_m)$, сднбкербнпъчыюъ рюйхл яннрмньемхъл, хлеер днбнкэмн опнярни бхд: $$ f(n_1, n_2,~\ldots, n_m)= {\Delta(n_1+m-1, n_2+m-2, \ldots, n_m) n! \over (n_1+m-1)! (n_2+m-2)! \ldots n_m!} \rem{опх~$n_1+m-1\ge n_2+m-2 \ge \ldots \ge n_m,$} \eqno (34) $$ цде вепег~$\Delta$ нангмювем дереплхмюмр $$ \Delta(x_1, x_2, \ldots, x_m)=\det\pmatrix{ x_1^{m-1} & x_2^{m-1} & \ldots & x_m^{m-1}\cr \vdots & & & \vdots \cr x_1^2 & x_2^2 & & x_m^2 \cr x_1 & x_2 & & x_m \cr 1 & 1 & \ldots & 1 \cr }=\prod_{1\le i < j \le m} (x_i-x_j) \eqno(35) $$ Тнплскс~(34) бшбек Т.~Тпнаемхся [Sitzungsberichte Preuss. Akad.\ der Wissenchaften (Berlin, 1900), 516--534, Sec.~3], хгсвюъ щйбхбюкемрмсч гюдювс ренпхх цпсоо; нм хяонкэгнбюк днбнкэмн цксанйсч юпцслемрюжхч, нохпючысчяъ мю ренпхч цпсоо. Йнлахмюрнпмне днйюгюрекэярбн мегюбхяхлн мюьек Люй-Люцнм [{\sl Philosophical Trans.,\/} {\bf A-209} (London, 1909), 153--175]. Щрс тнплскс лнфмн днйюгюрэ он хмдсйжхх, рюй йюй~(30) х~(31) днйюгшбючряъ аег рпсдю, ю тнплскю~(32) онксвюеряъ, еякх онкнфхрэ~$y=-1$ б рнфдеярбе соп.~17. Хг ренпелш~A б ябъгх я щрни тнплскни дкъ вхякю рюакн бшрейюер гюлевюрекэмне рнфдеярбн. Бгъб ясллс он бяебнглнфмшл %%81 тнплюл рюакн, онксвхл $$ \eqalign{ n! &= \sum_{\scriptstyle k_1\ge \ldots \ge k_n \ge 0 \atop \scriptstyle k_1+\cdots+k_n=n} f(k_1, \ldots, k_n)^2=\cr &= n!^2 \sum_{\scriptstyle k_1\ge \ldots \ge k_n \ge 0 \atop \scriptstyle k_1+\cdots+k_n=n} {\Delta(k_1+n-1, \ldots, k_n)^2 \over (k_1+n-1)!^2\ldots k_n!^2}=\cr &= n!^2 \sum_{\scriptstyle q_1>q_2>\ldots>q_n\ge 0 \atop \scriptstyle q_1+\cdots+q_n=(n+1)n/2} {\Delta(q_1, \ldots, q_n)^2 \over q_1!^2\ldots q_n!^2};\cr } $$ нрячдю $$ \sum_{\scriptstyle q_1+\cdots+q_n=(n+1)n/2 \atop \scriptstyle q_1 \ldots q_n \ge 0} {\Delta(q_1,\ldots, q_n)^2\over q_1!^2 \ldots q_n!^2} = 1. \eqno(36) $$ Б онякедмеи яслле нрясрярбсчр мепюбемярбю~$q_1>q_2>\ldots>q_n$, онрнлс врн якюцюелше---яхллерпхвмше нрмняхрекэмн~$q$ тсмйжхх, напюыючыхеяъ б~$0$ опх~$q_i=q_j$. Юмюкнцхвмне рнфдеярбн онъбкъеряъ б соп.~24. Тнплскс вхякю рюакн лнфмн бшпюгхрэ меяйнкэйн анкее хмрепеямшл яонянанл, еякх ббеярх онмърхе "сцнкйнб". Б \dfn{сцнкнй,} яннрберярбсчыхи \picture{Пхя~5. Сцнкйх х дкхмш сцнкйнб.} йкерйе рюакн, бундхр яюлю щрю йкерйю окчя бяе йкерйх, кефюыхе ямхгс х яопюбю нр мее. Мюопхлеп, гюьрпхунбюммши свюярнй мю пхя.~5---сцнкнй, яннрберярбсчыхи йкерйе~$(2, 3)$ ярпнйх~2 х ярнкажю~3; нм янярнхр хг ьеярх йкернй. Б йюфдни йкерйе мю пхя.~5 гюохяюмю дкхмю яннрберярбсчыецн еи сцнкйю. Еякх рюакн хлеер тнплс~$(n_1, n_2,~\ldots, n_m)$, цде~$n_m\ge 1$, рн дкхмю яюлнцн дкхммнцн сцнкйю пюбмю~$n_1+m-1$. Дюкэмеиьее хяякеднбюмхе дкхм сцнкйнб онйюгшбюер, врн ярпнйю~1 яндепфхр бяе дкхмш~$n_1+m-1$, $n_1+m-2$,~\dots, $1$, \emph{йпнле $(n_1+m-1)-(n_m)$, $(n_1+m-1)- %%82 -(n_{m-1}+1)$,~\dots, $(n_1+m-1)-(n_2+m-2)$.} Мюопхлеп, мю пхя.~5 дкхмш сцнкйнб б $1\hbox{-и}$ ярпнйе ясрэ~$12$, $11$, $10$,~\dots, $1$, гю хяйкчвемхел~$10$, $9$, $6$, $3$, $2$; щрх хяйкчвемхъ яннрберярбсчр оърх меясыеярбсчыхл сцнкйюл, мювхмючыхляъ б меясыеярбсчыху йкерйюу~$(6, 3)$, $(5, 3)$, $(4, 5)$, $(3, 7)$, $(2, 7)$ х гюйюмвхбючыхляъ б йкерйе~$(1, 7)$. Юмюкнцхвмн $j\hbox{-ъ}$~ярпнйю яндепфхр бяе дкхмш сцнкйнб~$n_j+m-j$,~\dots, $1$, йпнле~$(n_j+m-j)-(n_m)$,~\dots, $(n_j-m-j)-(n_{j+1}-m-j-1)$. Нрячдю якедсер, врн опнхгбедемхе дкхм бяеу сцнкйнб пюбмн $$ (n_1+m-1)!\ldots{}(n_m)!/\Delta(n_1+m-1,~\ldots, n_m). $$ Щрн бшпюфемхе бундхр б тнплскс~(34); нрячдю якедсер \proclaim Ренпелю~H. (Дф.~Я.~Тпщил, Ф.~Пнахмянм, П.~Л.~Рпнкк.) Йнкхвеярбн рюакн дюммни тнплш, янярюбкеммшу хг щкелемрнб~$\set{1, 2,~\ldots, n}$, пюбмн~$n!$, декеммнлс мю опнхгбедемхе дкхм сцнкйнб. \endmark Рюйни опнярни пегскэрюр гюяксфхбюер х опнярнцн днйюгюрекэярбю; ндмюйн (йюй х дкъ анкэьхмярбю дпсцху тюйрнб, йюяючыхуяъ рюакн) анкее опълнцн днйюгюрекэярбю ме хгбеярмн. Йюфдши щкелемр рюакн---лхмхлюкэмши б ябнел сцнкйе; еякх гюонкмхрэ йкерйх рюакн яксвюимшл напюгнл, рн бепнърмнярэ рнцн, врн б йкерйе~$(i, j)$ нйюферяъ лхмхлюкэмши щкелемр яннрберярбсчыецн сцнкйю, еярэ бекхвхмю, напюрмюъ дкхме сцнкйю. Оепелмнфемхе щрху бепнърмняреи он бяел~$i$, $j$ дюер ренпелс~H. Ндмюйн рюйне пюяясфдемхе ньханвмн, оняйнкэйс щрх бепнърмнярх нрмчдэ ме ъбкъчряъ мегюбхяхлшлх. Бяе хгбеярмше днйюгюрекэярбю ренпелш~H нямнбюмш мю ндмнл месаедхрекэмнл хмдсйрхбмнл пюяясфдемхх, йнрнпне мю яюлнл деке ме на╝ъямъер, онвелс фе ренпелю бепмю (рюй йюй б мел янбепьеммн ме хяонкэгсчряъ ябниярбю сцнкйнб). Ясыеярбсер хмрепеямюъ ябъгэ лефдс ренпелни~H х оепевхякемхел депебэеб, йнрнпне пюяялюрпхбюкняэ б цк.~2. Лш бхдекх, врн ахмюпмшл депебэъл я $n$~сгкюлх яннрберярбсчр оепеярюмнбйх, йнрнпше лнфмн онксвхрэ я онлныэч ярейю, х врн рюйхл оепеярюмнбйюл яннрберярбсчр онякеднбюрекэмнярх~$a_1\,a_2\,\ldots\,a_{2n}$ кхреп~$S$ х~$X$, рюйхе, врн йнкхвеярбн кхреп~$S$ мхйнцдю ме ашбюер лемэье йнкхвеярбю кхреп~$X$, еякх вхрюрэ онякеднбюрекэмнярэ якебю мюопюбн. (Ял.~соп.~2.3.1-6 х~2.2.1-3.) Рюйхл онякеднбюрекэмняръл еяреярбеммшл напюгнл янонярюбкъчряъ рюакн тнплш~$(n, n)$; б 1-ч ярпнйс онлеыючряъ хмдейяш~$i$, рюйхе, врн~$a_i=S$, ю бн 2-ч ярпнйс---хмдейяш, опх йнрнпшу~$a_i=X$. Мюопхлеп, онякеднбюрекэмнярх $$ S\; S\; S\; X\; X\; S\; S\; X\; X\; S\; X\; X $$ яннрберярбсер рюакн $$ \tableau{ 1 & 2 & 3 & 6 & 7 & 10 \cr 4 & 5 & 8 & 9 & 11 & 12 \cr } \eqno(37) $$ %%83 Сякнбхе, мюкюцюелне мю ярнкажш, сднбкербнпъеряъ б рюйнл рюакн б рнл х рнкэйн рнл яксвюе, йнцдю опх времхх якебю мюопюбн вхякн кхреп~X мхйнцдю ме опебшьюер вхякю кхреп~$S$. Он ренпеле~H йнкхвеярбн бяебнглнфмшу рюакн тнплш~$(n, n)$ пюбмн $$ (2n)!/(n+1)!n!; $$ якеднбюрекэмн, рюйнбн фе х вхякн ахмюпмшу депебэеб я $n$~сгкюлх (врн янцкюясеряъ я тнплскни~(2.3.4.4-13)). Анкее рнцн, еякх бняонкэгнбюрэяъ рюакн тнплш~$(n, m)$ опх~$n\ge m$, рн опх онлных щрнцн пюяясфдемхъ лнфмн пеьхрэ х анкее наысч "гюдювс н аюккнрхпнбйе", пюяялнрпеммсч б нрбере й соп.~2.2.1-4. Рюйхл напюгнл, ренпелю~H б йювеярбе опняршу вюярмшу яксвюеб бйкчвюер б яеаъ мейнрнпше беяэлю якнфмше гюдювх н оепевхякемхх. Бяъйнлс рюакн~$A$ тнплш~$(n, n)$ хг щкелемрнб~$\set{1, 2,~\ldots, 2n}$ яннрберярбсчр дбю рюакн~$(P, Q)$ ндхмюйнбни тнплш. Якедсчыхи яоняна онярпнемхъ рюйнцн яннрберярбхъ опедкнфем Люй-Люцнмнл [Combinatory Analysis, {\bf 1} (1915), 130--131]. Осярэ~$P$ янярнхр хг щкелемрнб~$\set{1,~\ldots, n}$, пюяонкнфеммшу, йюй б~$A$, ю~$Q$ онксвюеряъ, еякх бгърэ нярюкэмше щкелемрш~$A$, онбепмсрэ бяч йнмтхцспюжхч мю~$180^\circ$ х гюлемхрэ~$n+1$, $n+2$,~\dots, $2n$ мю яннрберярбеммн~$n$, $n-1$,~\dots, $1$. Мюопхлеп, рюакн~(37) пюяоюдюеряъ мю $$ \tableau{ 1 & 2 & 3 & 6 \cr 4 & 5 \cr } \hbox{ х } \revtableau{ \omit &\omit \hfil\vrule& 7 & 10 \cr 8 & 9 & 11 & 12\cr }\,; $$ оняке онбнпнрю х оепемслепюжхх хлеел $$ P=\tableau{ 1 & 2 & 3 & 6 \cr 4 & 5 \cr },\quad Q=\tableau{ 1 & 2 & 4 & 5 \cr 3 & 6 \cr }. \eqno(38) $$ Мюнанпнр, йюфдни оюпе рюакн ндхмюйнбни тнплш, янярнъыху хю $n$~щкелемрнб х хг ме анкее дбсу ярпнй, яннрберярбсер рюакн тнплш~$(n, n)$. Якеднбюрекэмн (хг~соп.~7), \emph{вхякн оепеярюмнбнй~$a_1\,a_2\,\ldots\,a_n$ лмнфеярбю~$\set{1, 2,~\ldots, n}$, ме яндепфюыху сашбючыху ондонякеднбюрекэмняреи~$a_i>a_j>a_k$ опх~$ia_k>a_i$ х~$ia_{j_2}>\ldots>a_{j_r}$, цде~$j_1n_2>\ldots>n_m$ нохяшбючр тнплс "ядбхмсрнцн рюакн", б йнрнпнл ярпнйю~$i+1$ мювхмюеряъ мю ндмс онгхжхч, опюбее, вел ярпнйю~$i$; мюопхлеп, ядбхмсрне рюакн тнплш~$(7, 5, 4, 1)$ хгнапюфемн мю дхюцпюлле \picture{3. p.90} Днйюфхре, врн вхякн яонянанб гюонкмхрэ ядбхмсрне рюакн тнплш~$(n_1, n_2,~\ldots, n_m)$ вхякюлх~$1$, $2$,~\dots, $n=n_1+n_2+\cdots n_m$ рюй, врнаш вхякю бн бяеу ярпнйюу х ярнкажюу пюяонкюцюкхяэ б бнгпюярючыел онпъдйе, пюбмн вюярмнлс нр декемхъ~$n!$ мю опнхгбедемхе "дкхм нанаыеммшу сцнкйнб"; мю пхясмйе гюьрпхунбюм нанаыеммши сцнкнй дкхмш~$11$, яннрберярбсчыхи йкерйе ярпнйх~$1$ х ярнкажю~$2$. (Сцнкйх б кебни вюярх люяяхбю, хлечыеи бхд "оепебепмсрни кеярмхжш", хлечр %% 91 тнплс асйбш~U, онбепмсрни мю~$90^\circ$, ю ме асйбш~L.) Хрюй, ясыеярбсер $$ 17! / 12\cdot 11\cdot 8\cdot 7\cdot 5\cdot 4\cdot 1\cdot 9\cdot 6\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 5\cdot 4\cdot 2\cdot 1\cdot 1 $$ яонянанб гюонкмхрэ хгнапюфеммсч бшье тнплс рюй, врнаш щкелемрш бн бяеу ярпнйюу х ярнкажюу пюяонкюцюкхяэ б бнгпюярючыел онпъдйе. \rex[БЛ30] (Д.~Юмдпщ). Велс пюбмн вхякн~$A_n$ яонянанб гюонкмхрэ вхякюлх~$\set{1, 2,~\ldots, n}$ люяяхб хг $n$~ъвеей \picture{p.91} рюй, врнаш бн бяеу ярпнйюу х ярнкажюу нмх пюяонкюцюкхяэ б бнгпюярючыел онпъдйе? Мюидхре опнхгбндъысч тсмйжхч~$g(z)=\sum A_n z^n/n!$ \ex[M39] Яйнкэйхлх яонянаюлх лнфмн гюонкмхрэ люяяхб тнплш~$(n_1, n_2,~\ldots, n_m)$ щкелемрюлх лмнфеярбю~$\set{1, 2,~\ldots, N}$, \emph{еякх дносяйючряъ ндхмюйнбше щкелемрш,} опхвел б ярпнйюу щкелемрш днкфмш пюяонкюцюрэяъ б месашбючыел онпъдйе, ю б ярнкажюу---б ярпнцн бнгпюярючыел? Мюопхлеп, опнярсч тнплс хг $m$~ярпнй $(1, 1,~\ldots, 1)$ лнфмн гюонкмхрэ $\perm{N}{m}$~яонянаюлх; тнплс хг ндмни ярпнйх~$m$ лнфмн гюонкмхрэ $\perm{m+N-1}{m}$~яонянаюлх; тнплс~$(2, 2)$ лнфмн гюонкмхрэ ${1\over3}\perm{N+1}{2}\perm{N}{2}$~яонянаюлх. \ex[Л28] Днйюфхре, врн $$ \displaylines{ \sum_{\scriptstyle q_1+\cdots+q_=t \atop \scriptstyle 0\le q_1,~\ldots, q_n\le m} \perm{m}{q_1}\ldots\perm{m}{q_n}\Delta(q_1,~\ldots, q_n)^2=\hfill\cr \hfill =n!\perm{nm-(n^2-n)}{t-{1\over 2}(n^2-n)} \perm{m}{n-1} \perm{m}{n-2}\ldots \perm{m}{0}\Delta(n-1,~\ldots, 0)^2. \cr } $$ [\emph{Сйюгюмхъ:} днйюфхре, врн~$\Delta(k_1+n-1,~\ldots, k_n)=\Delta(m-k_n+n-1,~\ldots, m-k_1)$; пюгкнфхре рюакн тнплш~$n\times (m-n+1)$ яонянанл, юмюкнцхвмшл~(38), х опенапюгсире ясллс, йюй опх бшбнде рнфдеярбю~(36).] \ex[Л20] Онвелс~(42) ъбкъеряъ опнхгбндъыеи тсмйжхеи дкъ хмбнкчжхи? \ex[БЛ21] Бшвхякхре~$\int_{-\infty}^\infty x^t \exp(-2x^2/ \sqrt{n})\,dx$ опх менрпхжюрекэмнл жекнл~$t$. \ex[Л24] Осярэ~$Q$---рюакн Ъмцю хг щкелемрнб~$\set{1, 2,~\ldots, n}$, х осярэ щкелемр~$t$ мюундхряъ б ярпнйе~$r_i$ х ярнкаже~$c_i$. Лш цнбнпхл, врн~$i$ "бшье"~$j$, еякх~$r_ia_{i+1}$. (Якеднбюрекэмн, лнфмн мюирх вхякн нрпегйнб оепеярюмнбйх, гмюъ рнкэйн~$Q$. Щрнр пегскэрюр онксвем Ьчжемаепфе.) % \item{c)}~Днйюфхре, врн опх~$1\le i < n$ щкелемр~$i$ бшье~$i+1$ б~$Q$ рнцдю х рнкэйн рнцдю, йнцдю~$i+1$ бшье~$i$ б~$Q^S$. \medskip} \ex[Л47] Йюйнбн юяхлорнрхвеяйне онбедемхе япедмеи дкхмш люйяхлюкэмни бнгпюярючыеи онякеднбюрекэмнярх б яксвюимни оепеярюмнбйе лмнфеярбю~$\set{1, 2,~\ldots, n}$? (Щрн япедмъъ дкхмю оепбни ярпнйх б яннрберярбхх хг ренпелш~A. Наьхпмше рюакхжш, бшвхякеммше П.~Л.~Аюепнл х~О.~Апнйнл [{\sl Math. Comp.,\/} {\bf 22} (1968), 385--410], б ябъгх я рел, врн нмх мюгбюкх "еяреярбеммни янпрхпнбйни", онгбнкъчр опедонкнфхрэ, врн япедмее~$l_n$ пюбмн опхлепмн~$2\sqrt{n}$; К.~Ьеоо х~А.~Кнцюм днйюгюкх, врн~$\liminf_{n\to\infty} l_n / \sqrt{n}\ge 2$ (б оевюрх). \ex[Л50] Хяякедсире рпеулепмше люяяхбш, я рел врнаш онмърэ, йюйхе ябниярбю дбслепмшу рюакн лнфмн нанаыхрэ. \ex[Л42] (Л.~О.~Ьчжемаепфе). Онйюфхре, врн ноепюжхъ оепеундю нр~$P$ й~$P^S$---вюярмши яксвюи ноепюжхх, йнрнпсч лнфмн ябъгюрэ я кчашл йнмевмшл вюярхвмн сонпъднвеммшл лмнфеярбнл, ю ме рнкэйн я рюакн. Онлерэре щкелемрш вюярхвмн сонпъднвеммнцн лмнфеярбю жекшлх вхякюлх~$\set{1, 2,~\ldots, n}$ рюй, врнаш щрю яхярелю лернй ашкю янцкюянбюмю я вюярхвмшл сонпъднвемхел. Мюидхре дбниярбеммсч яхярелс лернй, юмюкнцхвмсч~(26), осрел онякеднбюрекэмнцн сдюкемхъ лернй~$1$, $2$,~\dots, оепедбхцюъ опх щрнл дпсцхе лерйх яонянанл, онднамшл юкцнпхрлс~S, х онлеыюъ лерйх~(1), (2),~\dots{} мю нябнандхбьхеяъ леярю. Онйюфхре, врн щрю ноепюжхъ, еякх ее лмнцнйпюрмн опхлемърэ й дбниярбеммни яхяреле лернй я напюрмшл нрмньемхел онпъдйю дкъ вхяек, дюер хяундмсч яхярелс лернй; хяякедсире дпсцхе ябниярбю щрни ноепюжхх \ex[БЛ30] Осярэ~$x_n$---вхякн яонянанб пюглеярхрэ~$n$ бгюхлмн меюрюйсчыху кюдеи мю ьюулюрмни дняйе пюглепю~$n\times n$ рюйхл напюгнл, врн пюяонкнфемхе ме лемъеряъ опх нрпюфемхх дняйх нрмняхрекэмн ндмни хг цкюбмшу дхюцнмюкеи х опх онбнпнре мю~$180^\circ$. Мюидхре юяхлорнрхвеяйне онбедемхе~$x_n$. %% 93 \bye