\input style \chapno=3\subchno=3\chapnotrue S6--S9), пюбмн кхьэ~$\floor{{1\over 2}\prod (2c_j+1)}$, ю ме~$\prod(2c_j+1)$, рюй йюй юкцнпхрл хлеер декн рнкэйн я рюйхлх бейрнпюлх, с йнрнпшу оепбши мемскебни щкелемр онкнфхрекем.) Пюяялнрпхл йпюрйн опхлеп юкцнпхрлю~$S$ б деиярбхх, йнцдю $a=3141592621$, $m=10^{10}$, $n=3$. Б рюак.~2 б оепбшу ярпнйюу опедярюбкемш~$Q$ х~$R$, опхцнрнбкеммше мю ьюце~S1. Хяякеднбюмхе щрху люрпхж япедярбюлх келлш~A онрпеасер опнбепйх $10^{29}$~яксвюеб, врн бшундхр гю бяъйхе цпюмхжш. Оняке ьеярх хрепюжхи мю ьюцюу~S2--S5 щкелемрш люрпхж~$Q$ х~$R$ ярюкх мюлмнцн лемэье (ял.~ярпнйс~7 рюак.~2), х, янцкюямн келле~A, реоепэ б щрни мнбни гюдюве~$\abs{x_1}\le 3$, $\abs{x_2}\le 3$, $\abs{x_3}\le 14$. Дюкэмеиьее слемэьемхе я онлныэч келлш~B опхбндхр мюя й ярпнйе~8: б люрпхже~$Q$ (ярпнйю~7) опхаюбкъел ярнкаеж~3 й ярнкажс~2, ярпнйс~3 й ярпнйе~2, гюрел 3~пюгю бшвхрюел ярнкаеж~3 хг ярнкажю~1 х рюйфе рпх пюгю ярпнйс~3 хг ярпнйх~1. Б люрпхже~$R$ бшвхрюел ярнкаеж~2 хг ярнкажю~3, гюрел бшвхрюел ярпнйс~2 хг ярпнйх~3, онрнл опхаюбкъел рпх пюгю ярнкаеж~1 й ярнкажс~3, ю ярпнйс~1 ямнбю рпх {\def\cell#1{\vcenter{\halign{\hfil$\mathstrut##$\cr#1}}} \def\ncell#1{\cell{#1}\qquad} \def\lpar{\Bigg(}%\left(\vphantom{\cell{\cr\cr}} \def\rpar{\Bigg)\hfill}%\left(\vphantom{\cell{\cr\cr}} \htable{Рюакхжю 2} {Опхлеп юкцнпхрлю S} {$#$\bskip&$\displaystyle#$\bskip&&\hfil$\displaystyle#$\bskip\cr \noalign{ \hrule \embedpar{Ярпнйю \hfil Люрпхжю~$Q$ \hfil} \hrule } 1. & \lpar & \cell{ 1\,00000\,00000\,00000\,00000\cr -31415\,92621\,00000\,00000\cr 36783\,50359\,00000\,00000\cr } & \cell{ -31415\,92621\,00000\,00000\cr 9869\,60419\,63216\,49642\cr -11555\,87834\,52871\,00939\cr } & \cell{ 36783\,50359\,00000\,00000\cr -11555\,87834\,52871\,00939\cr 13530\,26136\,35554\,28882\cr } & \rpar \cr \noalign{\smallskip} \vdots & \multispan{4}\hfill$\vdots$\hfill \cr \noalign{\smallskip} 7. & \lpar & \ncell{ 1160\,62418\cr -110\,45623\cr 324\,06810\cr } & \ncell{ -110\,45623\cr 189\,42062\cr -70\,72864\cr } & \ncell{ 324\,06810\cr -70\,72864\cr 99\,86024\cr } & \rpar \cr \noalign{\smallskip} 8. & \lpar & \ncell{ 114\,95774\cr 126\,21707\cr 24\,48738\cr } & \ncell{ 126\,21707\cr 147\,82358\cr 29\,13160\cr } & \ncell{ 24\,48738\cr 29\,13160\cr 99\,86024\cr } & \rpar \cr \noalign{ \hrule \vskip 5mm \hrule \embedpar{Ярпнйю \hfil Люрпхжю~$R$ \hfil} \hrule } 1. & \lpar & \cell{ 23399\,86555\,98770\,78523\cr 31415\,92621\,00000\,00000\cr -36783\,50359\,00000\,00000\cr } & \cell{ 31415\,92621\,00000\,00000\cr 1\,00000\,00000\,00000\,00000\cr 0\cr } & \cell{ -36783\,50359\,00000\,00000\cr 0\cr 1\,00000\,00000\,00000\,00000\cr } & \rpar \cr \noalign{\smallskip} \vdots & \multispan{4}\hfill$\vdots$\hfill \cr \noalign{\smallskip} 7. & \lpar & \ncell{ 13913\,04805\,78992\cr -11890\,71034\,30888\cr -53572\,76149\,67948\cr } & \ncell{ -11890\,71034\,30888\cr 10880\,07572\,69932\cr 46294\,02921\,32522\cr } & \ncell{ -53572\,76149\,67948\cr 46294\,02921\,32522\cr 2\,07645\,57301\,67787\cr } & \rpar \cr \noalign{\smallskip} 8. & \lpar & \ncell{ 13913\,04805\,78992\cr -11890\,71034\,30888\cr 57\,09301\,99916\cr } & \ncell{ -11890\,71034\,30888\cr 10880\,07572\,69932\cr -258\,17754\,30074\cr } & \ncell{ 57\,09301\,99916\cr -258\,17754\,30074\cr 1062\,71591\,61243\cr } & \rpar \cr }}% %% 122 пюгю опхаюбкъел й ярпнйе~3. Щрн слемэьюер~$Q$ х~$R$, рюй врн, янцкюямн келле~A, реоепэ нярюкняэ опнбепхрэ гмювемхе~$\abs{x_1}\le 3$, $\abs{x_2}\le 3$, $\abs{x_3}\le 1$, врнаш мюирх юаянкчрмши лхмхлсл. Б деиярбхе опхбндхряъ лернд оепеанпю мю ьюцюу~S6--S9, йнрнпши мюундхр йнлахмюжхч~$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=0$, пеюкхгсчысч лхмхлюкэмне гмювемхе~$x^TQx=1034718$. Щрх бшвхякемхъ лнфмн ашкн аш ядекюрэ я онлныэч мюярнкэмни бшвхякхрекэмни люьхмйх гю меяйнкэйн вюянб, унръ б мювюке гюдювю бшцкъдекю беяэлю бмсьхрекэмн. Яоейрпюкэмши реяр боепбше онъбхкяъ б ярюрэе П.~Йнбщч х П.~Люйтепянмю (R.~R.~Coveyou, R.~D.~MacPherson, Fourier Analysis of Uniform Random Number Generators, {\sl JACM,\/} {\bf 14} (1967), 100--119). Б щрни ярюрэе нохяюм юкцнпхрл, б ясымнярх онднамши юкцнпхрлс~$S$, гю хяйкчвемхел меяйнкэйн нркхвмнцн опюбхкю опенапюгнбюмхъ мю ьюце~S4. \excercises \ex[Л20] Бшбедхре яннрмньемхе~(2) хг~(1). \ex[Л20] Опедонкюцюъ, врн~$0\le s_1$~\dots, $s_n0$ ясыеярбсер жекнвхякеммюъ люрпхжю~$U$, дереплхмюмр йнрнпни пюбем~$1$, х опнхгбедемхе~$AUx\cdot AUx$ мюундхряъ б $\varepsilon\hbox{-нйпеярмнярх}$ люйяхлюкэмни мхфмеи цпюмхжш ее гмювемхи опх~$(x_1, x_2,~\ldots, x_n)=(1, 0, 0,~\ldots, 0)$. Гюрел днйюгюрэ наыее србепфдемхе хмдсйжхеи он~$n$, гюохяюб~$Ax\cdot Ax$ б бхде~$\alpha(x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_n x_n)^2+g(x_2,~\ldots, x_n)$, цде $g$~яннрберярбсер $(n-1)\times(n-1)\hbox{-люрпхже}$~$A'$.] \ex[БЛ30] (Йнбщч х Люйтепянм). Осярэ~$X_0$, $X_1$, $X_2$, ~\dots---онякеднбюрекэмнярэ жекшу вхяек, кефюыху б опедекюу~$0\le X_k $ вепег йнщттхжхемрш Тспэе онякеднбюрекэмнярх~$\$. \ex[Л10] Спюбмемхе~(8) онйюгшбюер, врн гмювемхе~$c$ б кхмеимни йнмцпсщмрмни онякеднбюрекэмнярх я люйяхлюкэмшл оепхнднл ме бкхъер мю йнщттхжхемрш Тспэе, ю хглемъер кхьэ "юпцслемр" йнлокейямнцн вхякю~$f(s_1, ~\dots, s_n)$. Дпсцхлх якнбюлх, юаянкчрмне гмювемхе~$f(s_1,~\ldots, s_n)$ ме гюбхяхр нр~$c$. Мн лнфмн кх бшапюрэ~$c$ рюй, врнаш меяксвюимши щттейр ндмни бнкмш~$f(s_1,~\dots, s_n)$ смхврнфюкяъ аш "опнрхбнонкнфмшл" щттейрнл дпсцни бнкмш~$f(s'_1,~\ldots, s'_n)$? \ex[БЛ23] Днйюфхре, ме хяонкэгсъ ценлерпхвеяйху юпцслемрнб, врн кчане пеьемхе "опнакелш~(b)", ятнплскхпнбюммни б ондосмйре~C рейярю, днкфмн ашрэ ндмнбпелеммн пеьемхел яхярелш спюбмемхи~(28). \ex[БЛ30] Б рейяре нярюкяъ б ремх днбнкэмн бюфмши бнопня: ашкн ядекюмн лнквюкхбне опедонкнфемхе, врн, еякх~$A$---опнхгбнкэмюъ мебшпнфдеммюъ люрпхжю деиярбхрекэмшу вхяек, тсмйжхъ~(18) \emph{хлеер} лхмхлсл, йнрнпши \emph{днярхцюеряъ} мю мейнрнпнл жекнвхякеммнл бейрнпе~$x$. \medskip \item{(a)} Днйюфхре, врн мюханкэьюъ мхфмъъ цпюмхжю бекхвхмш~(18), бгърюъ он бяел мемскебшл жекнвхякеммшл бейрнпюл~$x$, днярхцюеряъ опх мейнрнпнл~$x$, еякх~$A$---мебшпнфдеммюъ люрпхжю. \item{(b)}~Онйюфхре, врн, еякх~$A$---бшпнфдеммюъ люрпхжю, рюйнцн мемскебнцн жекнвхякеммнцн бейрнпю, мю йнрнпнл днярхцюеряъ мюханкэьюъ мхфмъъ цпюмхжю~(18), лнфер ме ясыеярбнбюрэ. \rex[24] Бшонкмхре бпсвмсч юкцнпхрл~S дкъ~$m=100$, $a=41$, $n=3$. Гюлемхре йнмярюмрс~"$1000$" мю ьюце~S3 вхякнл~"$3$". \ex[Л18] Врн опнхгнидер, еякх ноепюжхч "$k\asg n$" б йнмже ьюцю~S1 гюлемхрэ мю~"$\asg 1$"? \ex[Л25] Ме хяйкчвемн (унръ щрнцн еые ме мюакчдюкняэ), врн юкцнпхрл~S лнфер гюжхйкхрэяъ, онбрнпъъ аеяйнмевмне вхякн пюг ьюцх~S2--S5. Онйюфхре, врн щрн лнфер опнхгнирх рнцдю х рнкэйн рнцдю, йнцдю опх онякеднбюрекэмнл бшонкмемхх $n$~пюг ьюцю~S4 ме опнхяундхр опенапюгнбюмхи (р.~е.\ мер ноепюжхи~|TRANS|). \rex[Л28] Лндхтхжхпсире юкцнпхрл~S рюй, врнаш йпнле бшвхякемхъ~$q$ б мел нопедекъкяъ аш мюанп жекшу вхяек~$s_1$,~\dots, $s_n$, сднбкербнпъчыху~(11) опх~$s_1^2+\cdots+s_n^2=q$. [\emph{Сйюгюмхе.} Юкцнпхрл~S янупюмъер рнкэйн гмювемхъ~$Q$ х~$R$ хг~(19), мн ме~$A$ х~$B$. Еякх янупюмхрэ гмювемхъ~$A$ х/хкх~$B$ опх бшонкмемхх юкцнпхрлю, он-бхдхлнлс, ме якхьйнл рпсдмн асдер онксвхрэ гмювемхъ~$s_1$,~\dots, $s_n$.] \ex[Л25] Мюидхре $3\times 3\hbox{-люрпхжс}$~$A$, рюйсч, врн еякх~$Q=A^TA$ х~$R=Q^{-1}$, рн ьюцх~S2--S5 юкцнпхрлю~S мхйнцдю ме гюйнмвюряъ оепеунднл й ьюцс~S6 %% 124 (рюй врн бшвхякемхъ мхйнцдю ме опейпюръряъ). [\emph{Сйюгюмхе.} Пюяялнрперэ "йнлахмюрнпмше люрпхжш", р.~е.\ люрпхжш, щкелемрш йнрнпшу хлечр бхд~$a+b\delta_{ij}$; яп.~я~соп.~1.2.3-39.] \ex[Л20] Онйюфхре, врн онякеднбюрекэмнярэ Тханмюввх${}\bmod m$ яксфхр окнухл хярнвмхйнл яксвюимшу вхяек, саедхбьхяэ, врн яннрберярбсчыюъ тсмйжхъ~$f(s_1, s_2, s_3)$, нопедекеммюъ б~(4), хлеер анкэьхе мхгйнвюярнрмше йнлонмемрш. \rex[Л24] Бшвхякхре йнщттхжхемрш Тспэе~$f(s_1,~\dots, s_n)$ дкъ кхмеимни йнмцпсщмрмни онякеднбюрекэмнярх, нопедекеммни бекхвхмюлх~$X_0=1$, $c=0$, $m=2^e\ge 8$ х~$a \bmod 8=5$. Наясдхре, йюй нанаыхрэ яоейрпюкэмши реяр дкъ щрнцн рхою дюрвхйнб яксвюимшу вхяек (нопедекеммши б рейяре рнкэйн дкъ кхмеимшу йнмцпсщмрмшу онякеднбюрекэмняреи я \emph{люйяхлюкэмшл} оепхнднл, рнцдю йюй с нопедекеммни гдеяэ онякеднбюрекэмнярх дкхмю оепхндю пюбмю~$m/4$). \ex[Л25] Опндекюире опедшдсыее сопюфмемхе, явхрюъ, врн~$a\bmod 8=3$. \rex[Л30] Онярпнире юкцнпхрл, онднамши юкцнпхрлс~S, гю хяйкчвемхел рнцн, врн б мел хяонкэгсеряъ опенапюгнбюмхе~$U$, дкъ йнрнпнцн бяе мемскебше медхюцнмюкэмше щкелемрш мюундъряъ б \emph{ярнкаже}~$k$, ю ме б \emph{ярпнйе}~$k$, йюй б~(25). Япюбмхре щрнр лернд я юкцнпхрлнл~S. Онйюфхре, врн б щрнл юкцнпхрле бекхвхмю~$\prod (2c_j+1)$ б ьюце~S3 мхйнцдю ме сбекхвхбюеряъ нр ндмни хрепюжхх й дпсцни. \ex[Л50] Меялнрпъ мю рн врн б опхлепе хг соп.~18 нямнбмни жхйк юкцнпхрлю~S бшмсфдем аеяйнмевмн онбрнпърэяъ, дкъ "дбниярбеммнцн" юкцнпхрлю хг соп.~22 рнр фе опхлеп ме опедярюбкъер мхйюйни опнакелш. Дкъ сднаярбю асдел мюгшбюрэ онякедмхи лернд юкцнпхрлнл~$S'$. Рюй йюй юкцнпхрл~$S'$ б ясымнярх ъбкъеряъ юкцнпхрлнл~S, б йнрнпнл онлемъкхяэ пнкълх люрпхжш~$Q$ х~$R$, рюйфе ясыеярбсчр люрпхжш, гюярюбкъчыхе гюжхйкхбюрэяъ х щрнр юкцнпхрл. Нрячдю бшрейюер хдеъ йнлахмюжхх дбсу лернднб. Мюопхлеп, лш лнфел хяонкэгнбюрэ юкцнпхрл~S, онйю нм ме гюярпъмер, гюрел оепейкчвхрэяъ мю юкцнпхрл~$S'$ дн реу онп, онйю \emph{щрнр} ме гюярпъмер, бепмсрэяъ гюрел ямнбю й юкцнпхрлс~S х р. д. Онкэгсъяэ рюйхл йнлахмхпнбюммшл юкцнпхрлнл х хцмнпхпсъ бербкемхе мю ьюце~S3, лш лнфел опх пеюкхгюжхх бшвхякхрекэмни опнжедспш нйюгюрэяъ б ндмни хг дбсу яхрсюжхи: (a)~сярюмюбкхбюеряъ жхйк, б йнрнпнл, йюфдши хг юкцнпхрлнб~S х~$S'$ мейнрнпшл напюгнл оноепелеммн опенапюгсчр~$Q$ х~$R$, рюй врн бшвхякемхъ мхйнцдю ме ялнцср опейпюрхрэяъ, хкх (b)~лш онксвюел люрпхжш~$Q$ х~$R$, мю йнрнпше ме бкхъчр мх юкцнпхрл~S, мх юкцнпхрл~$S'$. Щрх мюакчдемхъ, еяреярбеммн, опхбндър й онярюмнбйе якедсчыху рпеу бнопнянб, мю йнрнпше днкфем ашрэ дюм нрбер, еякх мюл мсфмн хлерэ онкмнярэч сднбкербнпхрекэмне пеьемхе бшвхякхрекэмни опнакелш, ятнплскхпнбюммни б щрнл пюгдеке. Лнфер кх пеюкхгнбюрэяъ яксвюи~(a)? Йюй днкцн лнфмн хяйюрэ йнмярюмрш~$\prod (2c_j+1)$ мю ьюце~S3 б яксвюе~(b)? Ясыеярбсер кх наыюъ опнжедспю бшвхякемхъ~$\min\{\, x^TQx \mid \hbox{жекше~$x\ne 0$}\,\}$ дкъ онкнфхрекэмн нопедекеммни люрпхжш~$Q$, йнрнпюъ ашкю аш ксвье, вел рнкэйн врн нохяюммюъ йнлахмюжхъ юкцнпхрлнб~$S$ х~$S'$? \emph{Гюлевюмхе.} Брнпни хг онярюбкеммшу бшье бнопнянб лнфмн ябеярх й якедсчыелс: \emph{Осярэ~$Q$---яхллерпхвмюъ онкнфхрекэмн нопедекеммюъ $n\times n\hbox{-люрпхжю}$ деиярбхрекэмшу вхяек, с йнрнпни дхюцнмюкэмше щкелемрш пюбмш~$1$, ю~$\abs{q_{ij}}\le 1/2$ дкъ~$i\ne j$. Осярэ~$R=Q^{-1}$, a~$\abs{r_{ij}}\le (1/2) r_{jj}$ дкъ~$i\ne j$. Йюй. бекхйн лнфер ашрэ опх щрху сякнбхъу вхякн~$r_{11}$?} Дн яху онп ме бярпевюкхяэ онднамше люрпхжш, дкъ йнрнпшу~$r_{11}\ge 2$. Еякх опхмърэ бяе медхюцнмюкэмше щкелемрш люрпхжш~$Q$ пюбмшлх~$-1/n$, рн лнфмн мюирх, врн~$r_{11}=2n/(n+1)$. Щрнр опхлеп онйюгшбюер, врн мхйнцдю мекэгъ опедонкюцюрэ, врн йнмярюмрю мю ьюце~S3 опхлер гмювемхе, лемэьее~$3^n$, дкъ опнхгбнкэмни онкнфхрекэмн нопедекеммни люрпхжш, дюфе б яксвюе йнлахмюжхх юкцнпхрлнб~S х~$S'$. Б опхлепе днярхцюеряъ~$\max r_{11}$ дкъ~$n=2$, мн ме дкъ~$n=3$. \ex[Л20] Япюбмхре опенапюгнбюмхе Тспэе~$f(s_1,~\ldots, s_n)$, гюдюммне тнплскни~(1), я \emph{опнхгбндьжеи тсмйжхеи} нр $n$~оепелеммшу дкъ~$F(t_1,~\ldots, t_n)$, onpeдекеммни %% 125 нашвмшл напюгнл: $$ g(z_1, \ldots, z_n)=\sum_{0\le t_1 \ldots t_n1$---бмхг, мн б нанху яксвюъу йпхбюъ нвемэ акхгйю й опълни кхмхх х лнфер ашрэ бкнфемю, йюй онйюгюмн мю пхясмйе, лефдс дбслъ опълшлх. \alg L.(Онврх кхмеимше окнрмнярх.) Щрнр юкцнпхрл лнфмн хяонкэгнбюрэ дкъ бшпюанрйх гмювемхъ яксвюимни бекхвхмш~$X$ дкъ кчани окнрмнярх пюяопедекемхъ~$f(x)$, сднбкербнпъчыеи якедсчыхл сякнбхъл (яп.~я~пхя.~10): $$ \displaynarrow{ f(x)=0 \rem{дкъ~$xs+h$;}\cr a-b(x-s)/h \le f(x) \le b-b(x-s)/h \rem{дкъ~$s\le x \le s+h$.}\cr } \eqno(18) $$ \st[Онксвхрэ~$U\le V$.] Бшпюанрюрэ дбю мегюбхяхлшу яксвюимшу вхякю~$U$, $V$, пюбмнлепмн пюяопедекеммшу лефдс мскел х едхмхжеи. Еякх~$U>V$, онлемърэ леярюлх~$U\xchg V$. \st[Опнярни яксвюи?] Еякх~$V\le a/b$, оепеирх й~\stp{4}. %% 136 \st[Оношрюрэяъ еые пюг?] Еякх~$V>U+(1/b)f(s+hU)$, бепмсрэяъ напюрмн й ьюцс~\stp{1}. (Еякх~$a/b$ акхгйн й~$1$, щрнр ьюц юкцнпхрлю асдер хяонкэгнбюрэяъ ме якхьйнл вюярн.) \st[Бшвхякхрэ~$X$.] Сярюмнбхрэ~$X\asg s+hU$. \algend Дкъ днйюгюрекэярбю опюбхкэмнярх юкцнпхрлю гюлерхл, врн, йнцдю лш опхундхл й ьюцс~L4, рнвйю~$(U, V)$---щрн яксвюимюъ \picture{Пхя. 11. Накюярэ "опхмърхъ пегскэрюрю" б юкцнпхрле L.} рнвйю б йбюдпюре, хгнапюфеммнл мю пхя.~11, ю хлеммн~$0\le U\le V \le U+(1/b)f(s+hU)$. Сякнбхъ~(18) цюпюмрхпсчр, врн $$ {a\over b}\le U+{1\over b}f(s+hU)\le 1. $$ Реоепэ бепнърмнярэ рнцн, врн~$X\le s+hx$ дкъ~$0\le x \le 1$, пюбмю нрмеьемхч окныюдх якебю нр бепрхйюкэмни кхмхх~$U=x$ мю пхя.~11 йн бяеи окныюдх, р.~е.\ $$ \int_0^x{1\over b}f(s+hu)\,du\bigg/ \int_0^1{1\over b}f(s+hu)\,du=\int_s^{s+hx}f(v)\,dv; $$ онщрнлс $X$~хлеер мсфмне пюяопедекемхе. Врнаш хяонкэгнбюрэ щрнр юкцнпхрл, мюл менаундхлн нопедекхрэ~$a_j$, $b_j$, $s_j$, $h$ дкъ окнрмняреи бепнърмняреи~$f_{j+24}(x)$ (пхя.~9). Мерпсдмн бхдерэ, врн опх~$1\le j \le 12$ $$ \displaynarrow{ f_{j+24}(x)={1\over p_j+24}\sqrt{2\over\pi}(e^{-x^2/2}-e^{-(j/4)^2/2}), \rem{$s_j\le x \le s_j+h$;}\cr h={1\over4}; s_j=(j-1)/4;\cr p_{j+24}=\sqrt{2\over\pi}\int_{s_j}^{s_j+h}(e^{-t^2/2}-e^{-(j/4)^2/2})\,dt.\cr } \eqno(19) $$ %% 137 Йпнле рнцн, $$ \eqalignter{ a_j&=f_{j+24}(s_j) & \rem{опх~$1\le j \le 4$,}\cr b_j&=f_{j+24}(s_j) & \rem{опх~$5\le j \le 12$;}\cr b_j&=-hf'_{j+24}(s_j+h) & \rem{опх~$1\le j \le 4$,}\cr a_j&=f_{j+24}(x_j)+(x_j-s_j)b_j/h & \rem{опх~$5\le j \le 12$,}\cr } \eqno(20) $$ цде~$x_j$---йнпемэ спюбмемхъ~$f'_{j+24}(x_j)=-b_j/h$. Онякедмее пюяопедекемхе~$F_{37}(x)$ днкфмн лндекхпнбюрэяъ рнкэйн ндхм пюг хг вершпеуянр. Нмн хяонкэгсеряъ бяецдю, йнцдю днкфем \picture{ Пхя.~12. Юкцнпхрл "опълнсцнкэмхй-йкхм-убняр" дкъ бшпюанрйх мнплюкэмн пюяопедекеммшу яксвюимшу бекхвхм. } онксвхрэяъ пегскэрюр~$X\ge 3$. Б щрнл яксвюе лнфмн опхлемхрэ лндхтхйюжхч юкцнпхрлю~P, йюй онйюгюмн мхфе (ьюцх~Л8---Л9). Опеднярюбкъел вхрюрекч бнглнфмнярэ днйюгюрэ, врн опхбедеммши лернд рнвем. Реоепэ опхбндхл опнжедспс онкмнярэч. \alg M.(Лернд Люпяюкэх---Люйкюпемю дкъ мнплюкэмшу яксвюимшу бекхвхм.) Б щрнл юкцнпхрле хяонкэгсчряъ мейнрнпше бяонлнцюрекэмше рюакхжш, сярпнеммше, йюй на╝ъямъкняэ б рейяре (опхлепш опхбедемш б рюак.~1 х~2). Юкцнпхрл опхбндхряъ дкъ дбнхвмни люьхмш, дкъ деяърхвмни люьхмш нм ярпнхряъ юмюкнцхвмн. %% 138 \htable{Рюакхжю 2}% {Опхлепш рюакхж, хяонкэгселшу б юкцнпхрле~M% \note{1}{Мю опюйрхйе дюммше дкъ рюакхж~$P$, $Q$, $D$, $E$ якедсер дюбюрэ я анкэьеи рнвмнярэч.} }% {\hfil$#$\bskip&\hfil\bskip$#$\bskip\hfil&&\hfil$#$&$#$\bskip\hfil\cr j & S[j] & &P[j] & & Q[j]& &D[j]& & E[j] \cr 1 & 0 & 0&.885 & 0&.881 & 0&.51 & 16 \cr 2 & 1\over 4 & 0&.895 & 0&.885 & 0&.79 & 8\cr 3 & 1\over 2 & 0&.910 & 0&.897 & 0&.90 & 5&.33\cr 4 & 3\over 4 & 0&.929 & 0&.914 & 0&.98 & 4 \cr 5 & 1 & 0&.945 & 0&.930 & 0&.99 & 3&.08 \cr 6 & 5\over 4 & 0&.960 & 0&.947 & 0&.99 & 2&.44 \cr 7 & 3\over 2 & 0&.971 & 0&.960 & 0&.98 & 2&.00 \cr 8 & 7\over 4 & 0&.982 & 0&.974 & 0&.96 & 1&.67 \cr 9 & 2 & 0&.987 & 0&.982 & 0&.95 & 1&.43 \cr 10 & 9\over 4 & 0&.991 & 0&.989 & 0&.93 & 1&.23 \cr 11 & 5\over 2 & 0&.994 & 0&.992 & 0&.94 & 1&.08 \cr 12 & 11\over 4 & 0&.997 & 0&.996 & 0&.94 & 0&.95 \cr 13 & 3 & 1&.000 \cr } \st[Онксвхрэ~$U$.] Бшпюанрюрэ яксвюимне вхякн~$U=.b_0b_1b_2\ldots{} b_t$. (Гдеяэ~$b$---ахрш б дбнхвмнл опедярюбкемхх~$U$. Дкъ унпньеи рнвмнярх~$t$ днкфмн ашрэ ме лемэье~24.) Сярюмнбхрэ~$\psi\asg b_0$. (Онгфе $\psi$~онмюднахряъ дкъ нопедекемхъ гмюйю пегскэрюрю.) \st[Анкэьни опълнсцнкэмхй?] Еякх~$b_1b_2b_3b_4<10$, цде "$b_1b_2b_3b_4$"~нангмювюер дбнхвмне жекне вхякн~$8b_1+4b_2+2b_3+b_4$, сярюмнбхрэ $$ X\asg A[b_1b_2b_3b_4]+.00b_5b_6\ldots{} b_t $$ х оепеирх й~\stp{10}. Хмюве, еякх~$b_1b_2b_3b_4b_5b_6<52$, сярюмнбхрэ $$ X\asg B[b_1b_2b_3b_4b_5b_6]+.00b_7b_8\ldots{}b_t $$ х оепеирх й~\stp{10}. Хмюве, еякх~$b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8<225$, сярюмнбхрэ $$ X\asg C[b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8]+.00b_9b_{10}\ldots{}b_t $$ х оепеирх й~\stp{10}. \st[Йкхм хкх убняр?] Мюирх \emph{мюхлемэьее} гмювемхе~$j$, $1\le j \le 13$, дкъ йнрнпнцн~$b_1b_2\ldots{}b_tV$, онлемърэ ху леярюлх~$U\xchg V$. (Реоепэ бшонкмъеряъ юкцнпхрл~L.) Сярюмнбхрэ~$X\asg S[j]+{1\over4}U$. \st[Опнярни яксвюи?] Еякх~$V\le D[j]$, оепеирх й~\stp{10}. \st[Еые ндмю оношрйю?] Еякх~$V>U+E[j](e^{-(X^2-S[j+1]^2)/2}-1)$, бепмсрэяъ й ьюцс~\stp{5}; б опнрхбмнл яксвюе оепеирх й~\stp{10}. (Щрнр ьюц бшонкмъеряъ я люкни бепнърмнярэч.) \st[Онксвхрэ~$U^2+V^2<1$.] Бшпюанрюрэ дбю мнбшу яксвюимшу вхякю~$U$, $V$. Сярюмнбхрэ~$W\asg U^2+V^2$. Еякх~$W\ge1$, онбрнпхрэ щрнр ьюц. \st[Бшвхякхрэ~$X\ge 3$.] Сярюмнбхрэ~$T\asg\sqrt{(9-2\ln W)/W}$. Сярюмнбхрэ~$X\asg U\times T$. Еякх~$X>3$, оепеирх й~\stp{10}; б опнрхбмнл яксвюе сярюмнбхрэ~$X\asg V\times T$. Еякх~$X\ge3$, оепеирх й~\stp{10}; хмюве бепмсрэяъ й ьюцс~\stp{8}. (Онякедмее опнхяундхр б онкнбхме бяеу яксвюеб, йнцдю бшонкмъеряъ дюммши ьюц.) \st[Опхябнхрэ гмюй.] Еякх~$\psi=1$, сярюмнбхрэ~$X\asg -X$. \algend Беяэ юкцнпхрл ъбкъер янани беяэлю опхърмши опхлеп люрелюрхвеяйни ренпхх, цсярн яднапеммни хгнаперюрекэмнярэч опнцпюллхярю. Щрн опейпюямюъ хккчярпюжхъ хяйсяярбю опнцпюллхпнбюмхъ. Рюакхжш~$A$, $B$ х~$C$ сфе ашкх нохяюмш. Нярюкэмше рюакхжш, менаундхлше дкъ юкцнпхрлю~$M$, ярпнъряъ якедсчыхл напюгнл; $$ \eqalign{ S[j]&=(j-1)/4, \rem{$1 \le j \le 13$}; \cr P[j]&=p_1+p_2+\cdots+p_{12}+(p_{13}+p_{25})+\cdots+(p_{12+j}+p_{24+j}), \rem{$1\le j \le 12$; $P[13]=1$;}\cr Q[j]&=P[j]-p_{24+j}, \rem{$1\le j \le 12$;} \cr D[j]&=a_j/b_j, \rem{$1\le j \le 12$;}\cr E[j]&=\sqrt{2\over\pi} e^{-(j/4)^2/2}/b_jp_{j+24}, \rem{$1\le j \le 12$.}\cr } \eqno(21) $$ [Бекхвхмш~$a_j$, $b_j$, $p_{j+24}$ нопедекъчряъ б~(19) х~(20).] Б рюак.~2 гмювемхъ опхбндъряъ рнкэйн я меяйнкэйхлх гмювюыхлх жхтпюлх, мн б мюярнъыеи опнцпюлле нмх днкфмш хлерэ рнвмнярэ, яннрберярбсчысч онкмнлс люьхммнлс якнбс. Дкъ бяеу бяонлнцюрекэмшу рюакхж юкцнпхрлю~M рпеасеряъ 101~люьхммне якнбн. Щрнр лернд впегбшвюимн ашярпши, рюй йюй 88\%~бпелемх пюанрючр рнкэйн ьюцх~M1, M2 х~M10, нярюкэмше фе ьюцх рюйфе ме якхьйнл ледкеммше. Мю пхя.~9 лш пюгдекхкх хмрепбюк нр~$0$ дн~$3$ мю 12~вюяреи. Еякх аш лш пюгдекхкх ецн мю анкэьее вхякн вюяреи, яйюфел~48, онмюднахкхяэ аш анкее дкхммше рюакхжш, мн гюрн опх щрнл б 97\%~яксвюеб бшвхякемхъ нцпюмхвхбюкхяэ рнкэйн %%140 ьюцюлх~M1, M2, M10. Онкмше рюакхжш йюй дкъ дбнхвмшу, рюй х дкъ деяърхвмшу люьхм опхбндъряъ б ярюрэе Люпяюкэх, Люйкюпемю х Апщъ ({\sl CACM,\/} {\bf 7} (1964), 4--10). Рюл дкъ щйнмнлхх оюлърх пюгпюанрюм днонкмхрекэмши опхел, ябъгюммши я оепейпшбюмхел вюяреи рюакхж~$A$, $B$, $C$ х~$S$.) {\sl (3)~Лернд Реивпнебю.\/} Мнплюкэмше яксвюимше бекхвхмш лнфмн онксвхрэ рюйфе якедсчыхл напюгнл. Бшпюанрюел 12~мегюбхяхлшу яксвюимшу вхяек~$U_1$, $U_2$,~\dots, $U_{12}$, пюбмнлепмн пюяопедекеммшу лефдс мскел х едхмхжеи. Онкнфхл~$R=(U_1+U_2+\cdots+U_{12}-6)/4$. Бшвхякхл $$ X=((((a_9R^2+a_7)R^2+a_5)R^2+a_3)R^2+a_1)R, \eqno (22) $$ цде $$ \displaynarrow{ a_1=3.94984\,6138, \quad a_3=0.25240\,8784,\cr a_5=0.07654\,2912, \quad a_7=0.00835\,5968,\quad a_9=0.02989\,9776.\cr } \eqno (23) $$ Рюйне~$X$ асдер унпньхл опхакхфемхел дкъ мнплюкэмни яксвюимни бекхвхмш. Мхйнцдю ме онксвюеряъ якхьйнл анкэьху гмювемхи~$X$, мн я бепнърмнярэч, лемэьеи~$1/50000$, бшпюаюршбючряъ гмювемхъ, опебшьючыхе ре, цде лернд пюанрюер опюбхкэмн. Лернд нямнбюм мю рнл, врн $R$~хлеер \emph{опхакхгхрекэмн} мнплюкэмне пюяопедекемхе ян япедмхл гмювемхел мскэ х ярюмдюпрмшл нрйкнмемхел~${1\over4}$. Осярэ~$F_1(x)$---хярхммне пюяопедекемхе дкъ~$R$, a~$F(x)$---мнплюкэмне пюяопедекемхе, нопедекъелне тнплскни~(10). Онкнфхл~$X=F^{-1}(F_1(R))$; рюй йюй~$F_1(R)$---пюбмнлепмн пюяопедекеммюъ яксвюимюъ бекхвхмю, $X$~асдер пюяопедекемю мнплюкэмн. Тнплскю~(22) опедярюбкъер опхакхфемхе тсмйжхх~$F^{-1}(F_1(R))$ онкхмнлнл б опнлефсрйе~$\abs{R}\le 1$. {\sl (4)~Япюбмемхе лернднб.\/} Лш опхбекх рпх лерндю дкъ бшпюанрйх мнплюкэмшу яксвюимшу бекхвхм. Лернд онкъпмшу йннпдхмюр днбнкэмн ледкеммши, мн наеяоевхбюер юаянкчрмсч рнвмнярэ. Ецн кецйн гюопнцпюллхпнбюрэ, еякх еярэ ярюмдюпрмше опнцпюллш дкъ бшвхякемхъ йбюдпюрмнцн йнпмъ х кнцюпхтлю. Лернд Реивпнебю рюйфе кецйн опнцпюллхпсеряъ, дкъ мецн ме мсфмн дпсцху ондопнцпюлл. Онщрнлс нм мсфдюеряъ б лемэьеи оюлърх. Лернд щрнр опхакхфеммши, унръ дкъ анкэьхмярбю опхкнфемхи дюер днярюрнвмсч рнвмнярэ (ньхайю ме опебшьюер~$2\times 10^{-4}$ опх~$\abs{R}\le 1$). Лернд Люпяюкэх гмювхрекэмн ашярпее кчашу дпсцху х онднамн лерндс онкъпмшу йннпдхмюр хлеер юаянкчрмсч рнвмнярэ. Дкъ мецн менаундхлш ондопнцпюллш йбюдпюрмнцн йнпмъ, кнцюпхтлю х онйюгюрекэмни тсмйжхх х, йпнле рнцн, бяонлнцюрекэмше рюакхжш дкъ 100--400~йнмярюмр. Онщрнлс рпеанбюмхъ й оюлърх днбнкэмн бшянйхе. Ндмюйн мю анкэьху люьхмюу яйнпнярэ лерндю %% 141 \bye