\input style \chapno=4\subchno=2\subsubchno=1\chapnotrue Анкэьхмярбн осакхйюжхи н дерюкъу опнцпюлл дкъ пюанрш б яхяреле я окюбючыеи рнвйни пюяяеъмш он "реумхвеяйхл оюлърмшл гюохяйюл", пюяопнярпюмъелшл пюгкхвмшлх опнхгбндхрекълх ЩБЛ, мн яксвюкхяэ х осакхйюжхх щрху опнцпюлл б нрйпшрни кхрепюрспе. Онлхлн опхбедеммшу бшье пюанр ял.~R.~H.~Stark, D.~Б.~McMillan, {\sl Math.~Comp.,\/} {\bf 5} (1951), 86--92, цде нохяюмю опнцпюллю дкъ пеюкхгюжхх мю оюмекэмн-ьрейепмнл сярпниярбе; D.~McCracken, Digital Computer Programming, New York, Wiley, 1957, 121--131; J.~W.~Carr~III, {\sl CACM,\/} {\bf 2} (May, 1959), 10--15; W.~G.~Wadey, {\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 129--139; D.~E.~Knuth, {\sl JACM,\/} {\bf 8} (1961), 119--128; O.~Kesner, {\sl CACM,\/} {\bf 5} (1962), 269--271; F.~П.~Brooks, K.~E.~Iverson, Automatic data processing, New York, Wiley, 1963, 184--199. Наясфдемхе юпхтлерхвеяйху ноепюжхи б яхяреле я окюбючыеи рнвйни я рнвйх гпемхъ хмфемепю-щкейрпнмыхйю лнфмн мюирх б ярюрэе Я.~Ц.~Йщлоаеккю "Floating-point operation" б яанпмхйе "Planning a Computer System", [ed.~by~W.~Buchholz, New York, McGrow-Hill, 1962,92--121]. Днонкмхрекэмше яяшкйх мю кхрепюрспс б~о.~4.2.2. \excercises \ex[10] Йюй асдср бшцкъдерэ вхякн Юбнцюдпн х онярнъммюъ Окюмйю, еякх ху опедярюбхрэ б бхде вершпеупюгпъдмшу вхяек я окюбючыеи рнвйни он нямнбюмхч~$100$ я хгашрйнл~$50$? (Хлеммн рюйнбн ашкн аш опедярюбкемхе б люьхме~\MIX{} (йюй б~\eqref[5]), еякх аш пюглеп аюирю пюбмъкяъ~$100$.) \ex[12] Опедонкнфхл, врн онйюгюрекэ~$e$ кефхр б хмрепбюке~$0\le e \le E$; йюйнбш мюханкэьее х мюхлемэьее онкнфхрекэмше гмювемхъ, йнрнпше лнцср ашрэ гюохяюмш йюй $p\hbox{-пюгпъдмше}$ вхякю я окюбючыеи рнвйни он нямнбюмхч~$b$ я хгашрйнл~$q$? Йюйнбш мюханкэьее х мюхлемэьее онкнфхрекэмше гмювемхъ, йнрнпше лнцср ашрэ опедярюбкемш б бхде \emph{мнплюкхгнбюммшу} рюйху вхяек? \ex[20] Онйюфхре, врн еякх лш пюанрюел я мнплюкхгнбюммшлх дбнхвмшлх вхякюлх я окюбючыеи рнвйни, рн ясыеярбсер яоняна мелмнцн сбекхвхрэ рнвмнярэ аег сбекхвемхъ на╝елю хяонкэгселни оюлърх: $p\hbox{-пюгпъдмсч}$ дпнамсч вюярэ лнфмн опедярюбкърэ опх онлных бяецн кхьэ $p-1$~пюгпъднб люьхммнцн якнбю, еякх всрэ-всрэ слемэьхрэ хмрепбюк гмювемхи онйюгюрекъ. \rex[15] Осярэ~$b=10$, $p=8$. Йюйни пегскэрюр дюяр юкцнпхрл~A дкъ ноепюжхх~$(50, +.98765432) \oplus (49, +.33333333)$? Дкъ ноепюжхх~$(53, -.99987654) \oplus (54, +.10000000)$? Дкъ ноепюжхх~$(45, -.50000001) \oplus (54, +.10000000)$? \ex[M23] Днйюфхре, врн лефдс ьюцюлх~A5 х~A6 юкцнпхрлю~A лнфмн, ме хглемъъ пегскэрюрю, онлеярхрэ якедсчысч ноепюжхч: еякх~$f_u$ х~$f_v$ хлечр ндхмюйнбши гмюй, рн гюлемхрэ~$f_v$ мю~$\sign(f_v)b^{-p-2}\floor{b^{p+2}\abs{f_v}}$; еякх гмюйх~$f_u$ х~$f_v$ опнрхбнонкнфмш, рн гюлемхрэ~$f_v$ мю~$\sign(f_v)b^{-p-2}\ceil{b^{p+2}\abs{f_v}}$. (Щттейр щрни ноепюжхх янярнхр б "спегюмхх"~$f_v$ дн $p+2$~пюгпъднб, врнаш лхмхлхгхпнбюрэ дкхмс пецхярпю, менаундхлсч дкъ бшонкмемхъ якнфемхъ б ьюце~A6.) \ex[22] Сдювмю кх хдеъ гюлемхрэ ярпнйх~38--40 опнцпюллш~A ндмни-едхмярбеммни йнлюмдни~"|SLC 5|"? \ex[M21] Йюйхе хглемемхъ менаундхлн опнхгбеярх б юкцнпхрле~A, врнаш нм наеяоевхбюк бшдювс опюбхкэмн нйпсцкеммнцн мнплюкхгнбюммнцн пегскэрюрю, дюфе еякх бундмше дюммше ме мнплюкхгнбюмш? (Якнбю "опюбхкэмн нйпсцкеммши" нгмювючр, врн пегскэрюр хлеер мюханкэьсч бнглнфмсч рнвмнярэ б $p$~пюгпъдюу б опедонкнфемхх, врн бундмше дюммше~$u$ х~$v$ б рнвмнярх пюбмш~$f_u\times b^{e_u-q}$ %% 242 х~$f_v\times b^{e_v-q}$ яннрберярбеммн, унръ, ашрэ лнфер, х ме мнплюкхгнбюмш. Б вюярмнярх, $u$ хкх~$v$ лнцср хлерэ мскебсч дпнамсч вюярэ я нвемэ анкэьхл онйюгюрекел, х рюйни ноепюмд б йнмрейяре дюммнцн сопюфмемхъ бняопхмхлюкяъ аш йюй пюбмши мскч.) \ex[25] Опхбедхре опхлепш бундмшу гмювемхи, дкъ йнрнпшу ондопнцпюллю~|FADD| б опнцпюлле~A ме наеяоевхбюер онксвемхъ "опюбхкэмн нйпсцкеммнцн мнплюкхгнбюммнцн нрберю" б ялшяке соп.~7. \ex[Л24] (С.~Йюуюм.) Опедонкнфхл, врн хявегмнбемхе онйюгюрекъ опхбндхр й опхябнемхч пегскэрюрс гмювемхъ мскэ аег йюйнцн-кхан сйюгюмхъ на ньхайе. Хяонкэгсъ бняэлхпюгпъдмше деяърхвмше вхякю я окюбючыеи рнвйни я хгашрйнл мскэ х онйюгюрекел~$e$ б хмрепбюке~$-50\le e < 50$, мюидхре рюйхе онкнфхрекэмше гмювемхъ~$a$, $b$, $c$, $d$ х~$y$, дкъ йнрнпшу бшонкмъчряъ яннрмньемхъ~\eqref[11]. \ex[M15] Опхбедхре опхлеп мнплюкхгнбюммшу бняэлхпюгпъдмшу деяърхвмшу вхяек я окюбючыеи рнвйни~$u$ х~$v$, б опнжеяяе якнфемхъ йнрнпшу опнхяундхр оепеонкмемхе опх нйпсцкемхх. \rex[M20] Дюире опхлеп мнплюкхгнбюммшу бняэлхпюгпъдмшу деяърхвмшу вхяек я окюбючыеи рнвйни~$u$ х~$v$, б опнжеяяе слмнфемхъ йнрнпшу опнхяундхр оепеонкмемхе опх нйпсцкемхх. \ex[M25] Днйюфхре, врн оепеонкмемхе опх нйпсцкемхх ме лнфер опнхяундхрэ б унде бшонкмемхъ тюгш мнплюкхгюжхх опх декемхх вхяек я окюбючыеи рнвйни. \rex[Л23] Лхяреп Ялшьк╦мши якедсчыхл напюгнл лндхтхжхпнбюк опхел, опхбндъыхи й~\eqref[13] я рел, врнаш опнхгбндхрэ \emph{спегюмхе} онкнфхрекэмшу вхяек~$u$ я окюбючыеи рнвйни дн жекшу вхяек~$\floor{u}$ я тхйяхпнбюммни рнвйни б опедонкнфемхх, врн~$00$, рн~$u \otimes w \le v \otimes w$, $u \oslash w \le v \oslash w$, $w \oslash u \ge w \oslash v$.}\cr } } %% 246 Хрюй, еякх ноепюжхх б яхяреле я окюбючыеи рнвйни сярюмнбкемш б яннрберярбхх я нопедекеммшлх сякнбхълх, рн, меялнрпъ мю мернвмнярэ яюлху ноепюжхи, янупюмъеряъ мелюкюъ пецскъпмнярэ. Б опхбедеммни бшье йнккейжхх рнфдеярб, пюгслееряъ, бяе фе апняюеряъ б цкюгю нрясрярбхе меяйнкэйху хгбеярмшу гюйнмнб юкцеапш; гюйнм юяянжхюрхбмнярх дкъ слмнфемхъ б яхяреле я окюбючыеи рнвйни бшонкмъеряъ ме бонкме рнвмн, йюй щрн асдер бхдмн хг соп.~3, врн фе йюяюеряъ гюйнмю дхярпхасрхбмнярх, ябъгшбючыецн ноепюжхх~$\otimes$ х~$\oplus$), рн нм лнфер мюпсьюрэяъ, х опх щрнл днбнкэмн гмювхрекэмн. Осярэ, мюопхлеп, $u=20000.000$, $v=-6.0000000$ х~$w=6.0000003$, рнцдю \EQ{ \eqalign{ (u\otimes v) \oplus (u\otimes w) &= 120000.00 \oplus 120000.01 =.010000000,\cr u \otimes (v\oplus w) &= 20000.000 \otimes .00000030000000 = .0060000000,\cr } } рюй врн \EQ[15]{ u\otimes (v\oplus w) \ne (u\otimes v) \oplus (u \otimes w). } Юмюкнцхвмн, мерпсдмн сйюгюрэ опхлепш, йнцдю~$2(u^2\oplus v^2)<(u\oplus v)^2$; гюопнцпюллхпнбюммне бшвхякемхе япедмецн йбюдпюрхвмнцн нрйкнмемхъ дкъ пъдю мюакчдемхи он тнплске \EQ{ \sigma = {1\over n}\sqrt{n \sum_{1\le k \le n} x_k^2-\left(\sum_{1\le k \le n} x_k\right)^2} } лнфер опхбеярх й хгбкевемхч йбюдпюрмнцн йнпмъ хг нрпхжюрекэмнцн вхякю! Дюфе еякх юкцеапюхвеяйхе гюйнмш бшонкмъчряъ ме бонкме ярпнцн, лш лнфел хяонкэгнбюрэ мюьх лерндш дкъ нопедекемхъ рнцн, я йюйни яреоемэч рнвмнярх бшонкмъеряъ гюйнм. Хг нопедекемхъ~$\round(x, p)$ якедсер, врн \EQ[16]{ \round(x, p)=x(1+\sigma_p(x)), } цде \EQ[17]{ \abs{\sigma_p(x)}\le {1\over 2}b^{1-p}. } Якеднбюрекэмн, лш бяецдю лнфел гюохяюрэ \EQ{ \eqalignno{ a\oplus b &= (a+b)(1+\delta_p(a+b)), & (18)\cr a\ominus b &=(a-b)(1+\delta_p(a-b)), & (19)\cr a\otimes b &= (a\times a) (1+\delta_p(a\times b)), & (20)\cr a\oslash b &=(a/b)(1+\delta_p(a/b)). & (21)\cr } } Гдеяэ днбнкэмн опняршл яонянанл лнфмн нжемхрэ нрмняхрекэмсч ньхайс мнплюкхгнбюммшу бшвхякемхи б яхяреле я окюбючыеи рнвйни. Тнплскш~\eqref[18]--\eqref[21] яксфюр цкюбмшл хмярпслемрнл дкъ нжемйх ньханй б юпхтлерхйе мнплюкхгнбюммшу вхяек я окюбючыеи рнвйни. %% 247 Б йювеярбе опхлепю рхохвмни опнжедспш нжемйх ньхайх пюяялнрпхл гюйнм юяянжхюрхбмнярх слмнфемхъ. Йюй онйюгшбюер соп.~3, $(u\times v)\otimes w$, бннаые цнбнпъ, ме пюбмн~$u\otimes (v\otimes w)$; мн яхрсюжхъ б дюммнл яксвюе мюлмнцн ксвье, вел б яксвюе гюйнмю юяянжхюрхбмнярх якнфемхъ~\eqref[1] х гюйнмю дхярпхасрхбмнярх~\eqref[15]. Б яюлнл деке, ббхдс~\eqref[17] х~\eqref[20] хлеел \EQ{ \eqalignter{ (u\otimes v)\otimes w &= ((uv)(1+\delta_1))\otimes w &= uvw(1+\delta_1)(1+\delta_2),\cr u\otimes(v\otimes w) &= u\otimes((vw)(1+\delta_3)) &= uvw(1+\delta_3)(1+\delta_4)\cr } } дкъ мейнрнпшу~$\delta_1$, $\delta_2$, $\delta_3$, $\delta_4$ опх сякнбхх, врн ме опнхяундхр оепеонкмемхъ хкх хявегмнбемхъ онйюгюрекъ, опхвел~$\abs{\delta_j}\le {1\over2}b^{1-p}$ дкъ йюфднцн~$j$. Якеднбюрекэмн, \EQ{ {(u\otimes v)\otimes w \over u\otimes (v\otimes w)} ={(1+\delta_1)(1+\delta_2)\over (1+\delta_3)(1+\delta_4)} =1+\delta, } цде \EQ[22]{ \abs{\delta}\le 2b^{1-p}/\left(1-{1\over2}b^{1-p}\right)^2. } Рел яюлшл лш сярюмнбхкх, врн $(u\otimes v)\otimes w$ \emph{опхакхгхрекэмн пюбмн}~$u\otimes (v\otimes w)$, гю хяйкчвемхел реу яксвюеб, йнцдю опнхяундхр хявегмнбемхе хкх оепеонкмемхе онйюгюрекъ. Щрю хмрсхрхбмюъ хдеъ "опхакхгхрекэмнцн пюбемярбю" гюяксфхбюер анкее ондпнамнцн хгсвемхъ; лнфмн кх пюгслмшл напюгнл дюрэ анкее рнвмсч тнплскхпнбйс щрнцн србепфдемхъ? Опнцпюллхяр, хяонкэгсчыхи юпхтлерхвеяйхе ноепюжхх б яхяреле я окюбючыеи рнвйни, онврх мхйнцдю ме хяошршбюер фекюмхъ опнбепхрэ, ме бшонкмъеряъ кх пюбемярбн~$u=v$ (хкх он йпюимеи лепе нм едбю кх йнцдю-мхасдэ ошрюеряъ щрн ядекюрэ), рюй йюй пюбемярбн ъбкъеряъ опедекэмн люкнбепнърмшл янашрхел. Мюопхлеп, еякх хяонкэгсеряъ пейсппемрмне яннрмньемхе \EQ{ x_{n+1}=f(x_n), } н йнрнпнл ренпхъ, бгърюъ хг йюйни-рн ймхфйх, србепфдюер, врн $x_n$~ярпелхряъ й мейнрнпнлс опедекс опх~$n\to\infty$, рн, йюй опюбхкн, ашкн аш ньхайни опнднкфюрэ бшвхякемхъ, онйю дкъ мейнрнпнцн~$n$ ме нясыеярбхряъ пюбемярбн~$x_{n+1}=x_n$, рюй йюй онякеднбюрекэмнярэ~$x_n$ лнфер ббхдс нйпсцкемхъ опнлефсрнвмшу пегскэрюрнб нйюгюрэяъ оепхндхвеяйни я анкэьхл оепхнднл. Пюгслмн опнднкфюрэ бшвхякемхъ кхьэ дн реу онп, онйю дкъ мейнрнпнцн ондундъыхл напюгнл бшапюммнцн~$\delta$ ме ярюмер яопюбедкхбн мепюбемярбн~$\abs{x_{n+1}-x_n}<\delta$; мн рюй йюй лш ме гмюел гюпюмее онпъдйю бекхвхмш~$x_n$, еые анкее опюбхкэмн днфхдюрэяъ онъбкемхъ мепюбемярбю %%248 \EQ[23]{ \abs{x_{n+1}-x_n}\le \varepsilon\abs{x_n}; } вхякн~$\varepsilon$ цнпюгдн кецве бшапюрэ гюпюмее. Яннрмньемхе~\eqref[23]---щрн дпсцни яоняна бшпюфемхъ рнцн тюйрю, врн вхякю~$x_{n+1}$ х~$x_n$ опхакхгхрекэмн пюбмш; х мюье наясфдемхе онйюгшбюер, врн опх пюяялнрпемхх бшвхякемхи мюд вхякюлх я окюбючыеи рнвйни яннрмньемхе "опхакхгхрекэмнцн пюбемярбю" ашкн аш анкее онкегмн, вел рпюдхжхнммне яннрмньемхе пюбемярбю, еякх рнкэйн мюл сдюяряъ нопедекхрэ оепбне яннрмньемхе мюдкефюыхл напюгнл. Дпсцхлх якнбюлх, рнр тюйр, врн ярпнцне пюбемярбн бекхвхм б яхяреле я окюбючыеи рнвйни хцпюер нвемэ меанкэьсч пнкэ, опхбндхр й менаундхлнярх ббеярх мнбсч ноепюжхч \emph{япюбмемхъ бекхвхм я окюбючыеи рнвйни,} опедмюгмювеммсч дкъ накецвемхъ нжемнй нрмняхрекэмшу гмювемхи дбсу рюйху бекхвхм. Опедярюбкъчряъ опхцндмшлх якедсчыхе нопедекемхъ дкъ вхяек я окюбючыеи рнвйни~$u=(e_n, f_n)$ х~$v=(e_v, f_v)$ он нямнбюмхч~$b$ я хгашрйнл~$q$: \EQ{ \eqalignno{ u &\prec v(\varepsilon) \hbox{ рнцдю х рнкэйн рнцдю, йнцдю~$v-u>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;} &(24)\cr u &\sim v(\varepsilon) \hbox{ рнцдю х рнкэйн рнцдю, йнцдю~$\abs{v-u}\le \varepsilon \max (b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;} &(25)\cr u &\succ v(\varepsilon) \hbox{ рнцдю х рнкэйн рнцдю, йнцдю~$u-v>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;} &(26)\cr u &\approx v(\varepsilon) \hbox{ рнцдю х рнкэйн рнцдю, йнцдю~$\abs{v-u}\le\varepsilon\min(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$.} &(27)\cr } } Янцкюямн щрхл нопедекемхъл, дкъ кчани дюммни оюпш гмювемхи~$u$,~$v$ лнфер бшонкмърэяъ б рнвмнярх ндмн хг яннрмньемхи~$u\prec v$ ("нопедекеммн лемэье"), $u\sim v$ ("опхакхгхрекэмн пюбмн") хкх~$u\succ v$ ("нопедекеммн анкэье"). Яннрмньемхе~$u\approx v$---меяйнкэйн анкее яхкэмне, мефекх~$u\sim v$, х ецн лнфмн вхрюрэ рюй: "$u$ он ясыеярбс пюбмн~$v$". Бяе щрх яннрмньемхъ гюдючряъ оняпедярбнл онкнфхрекэмнцн вхякю~$\varepsilon$, хглепъчыецн яреоемэ пюяялюрпхбюелнцн опхакхфемхъ. Ндмхл хг яонянанб хярнкйнбюмхъ опхбедеммшу нопедекемхи янярнхр б рнл, врнаш кчанлс вхякс~$u$ я окюбючыеи рнвйни онярюбхрэ б яннрберярбхе лмнфеярбн~$S(u)\set{x \mid \abs{x-u}\le \varepsilon b^{e_u-q}}$; лмнфеярбн~$S(u)$ опедярюбкъер янани янбнйсомнярэ беыеярбеммшу вхяек, пюяонкнфеммшу бакхгх~$u$, х нопедекемн опх онлных онйюгюрекъ~$u$. Б реплхмюу щрху лмнфеярб яннрмньемхе~$u\prec v$ бшонкмъеряъ рнцдю х рнкэйн рнцдю, йнцдю~$S(u)S(v)$ х~$S(u)>v$; $u\approx v$ рнцдю х рнкэйн рнцдю, йнцдю~$u\in S(v)$ х~$v\in S(u)$. (Гдеяэ лш опедонкюцюел, врн оюпюлерп~$\varepsilon$, хглепъчыхи яреоемэ опхакхфемхъ, тхйяхпнбюм; б анкее ондпнамни гюохях лнфмн ашкн нрпюгхрэ х гюбхяхлнярэ~$S(u)$ нр~$\varepsilon$.) Бнр мейнрнпше якедярбхъ хг опхбедеммшу нопедекемхи: \EQ{ \displaylinesno{ \hbox{еякх~$u\prec v(\varepsilon)$, рн~$v\succ u(\varepsilon)$;} & (28)\cr \hbox{еякх~$u\approx v(\varepsilon)$, рн~$u\sim v(\varepsilon)$;} & (29)\cr u\approx u(\varepsilon); & (30)\cr \hbox{еякх~$u\prec v(\varepsilon)$, рн~$u $\sim$, Яннрмньемхъ~$\prec$, $\sim$, $\succ$ х~$\approx$ онкегмш дкъ вхякеммшу юкцнпхрлнб, х онщрнлс пюгслмю хдеъ наеяоевемхъ ЩБЛ опнцпюллюлх япюбмемхъ вхяек я окюбючыеи рнвйни мюпъдс я опнцпюллюлх бшонкмемхъ мюд мхлх юпхтлерхвеяйху деиярбхи. %% 250 Реоепэ бмнбэ оепейкчвхл мюье бмхлюмхе мю бнопня н мюунфдемхх \emph{рнвмшу} яннрмньемхи, йнрнпшл сднбкербнпъчр ноепюжхх мюд бекхвхмюлх я окюбючыеи рнвйни. Хмрепеямн нрлерхрэ, врн якнфемхе х бшвхрюмхе рюйху бекхвхм ме онкмнярэч бшоюдючр хг онкъ гпемхъ юйяхнлюрхйх, рюй йюй нмх сднбкербнпъчр мерпхбхюкэмшл рнфдеярбюл, тнплскхпселшл б ренпелюу~A х~B. \proclaim Ренпелю~A. Осярэ~$u$ х~$v$---мнплюкхгнбюммше вхякю я окюбючыеи рнвйни. Рнцдю \EQ[42]{ ((u\oplus v)\ominus u)+((u\oplus v)\ominus ((u\oplus v)\ominus u))=u\oplus v, } %% опх сякнбхх врн => опх сякнбхх, врн опх сякнбхх, врн ме опнхяундхр оепеонкмемхъ хкх хявегмнбемхъ онйюгюрекъ. \emph{Гюлевюмхе.} Щрн днбнкэмн цпнлнгдйне рнфдеярбн лнфмн оепеохяюрэ б якедсчыел анкее опнярнл бхде. Онкнфхл \EQ[43]{ \twocoleqalign{ u'&=(u\oplus v)\ominus v, & v' &=(u\oplus v)\ominus u ;\cr u''&=(u\oplus v)\ominus v', & v''&=(u\oplus v)\ominus u'.\cr } } Хмрсхрхбмн ъямн, врн $u'$ х~$u''$ днкфмш ашрэ опхакхфемхълх й~$u$, ю~$v'$ х~$v''$---опхакхфемхълх й~$v$. Ренпелю~A србепфдюер, врн \EQ[44]{ u\oplus v = u'+v'' = u''+v'. } Щрн анкее яхкэмне србепфдемхе, мефекх рнфдеярбн \EQ[45]{ u\oplus v = u' \oplus v'' = u'' \oplus v', } ъбкъчыееяъ еые ндмхл якедярбхел ренпелш~A (ял.~соп.~12). \proof Ббхдс яхллерпхвмнярх мюьху опедонкнфемхи днярюрнвмн сярюмнбхрэ яопюбедкхбнярэ пюбемярб~\eqref[44] опх сякнбхх~$u\ge\abs{v}$. Б онякедсчыел днйюгюрекэярбе сднамн асдер хяонкэгнбюрэ янйпюыемхъ \EQ[46]{ d=e_u-e_v\ge 0, \qquad w=u\oplus v \ge 0 } х пюанрюрэ я жекшлх вхякюлх блеярн дпнаеи; еякх люкюъ кюрхмяйюъ асйбю~$x$ нангмювюер мнплюкхгнбюммсч бекхвхмс~$(e_x, f_x)$ я окюбючыеи рнвйни, рн яннрберярбсчыюъ гюцкюбмюъ асйбю~$X$ асдер нангмювюрэ вхякн~$b^{p+e_x-e_v}f_x$. Б вюярмнярх, $U=b^{p+d}f_u$, $V=b^p f_v$; щрх бекхвхмш, пюбмн йюй х~$U'$, $V'$, $U''$, $V''$ х~$W$, ъбкъчряъ жекшлх вхякюлх, деяърхвмше рнвйх йнрнпшу бшпнбмемш рюйхл напюгнл, врн~\eqref[44] щйбхбюкемрмн \EQ[47]{ W=U'+V''=U''+V'. } Реоепэ днйюгюрекэярбн ябндхряъ й днбнкэмн яйсвмнлс пюяялнрпемхч пъдю вюярмшу яксвюеб. %% 251 \bye