\input style щрн ъбкемхе ашкн нрлевемн юлепхйюмяйхл юярпнмнлнл Яюилнмнл Мэчйнланл [{\sl Amer.~J.~Math.,\/} {\bf 4} (1881), 39--40], йнрнпши опхбек пюгслмше нямнбюмхъ б онкэгс рнцн, врн цнкнбмюъ жхтпю~$d$ бярпевюеряъ я бепнърмнярэч~$\log_{10}(1+1/d)$. Рнр фе яюлши гюйнм пюяопедекемхъ лмнцн кер яосяръ ашк щлохпхвеяйх мюидем Т.~Аемтнпднл [{\sl Proc.\ Amer.\ Philosophical Soc.,\/} {\bf 78} (1938), 551], йнрнпши ме гмюк н гюлерйе Мэчйнлаю. Аемтнпд пеьхк, врн щрн бюфмши гюйнм опхпндш, х мюгбюк ецн "гюйнмнл юмнлюкэмшу вхяек". Лш сбхдхл, врн щрнр гюйнм пюяопедекемхъ цнкнбмшу жхтп ъбкъеряъ еяреярбеммшл якедярбхел рнцн яонянаю, опх онлных йнрнпнцн лш гюохяшбюел вхякю б яхяреле я окюбючыеи рнвйни. Еякх лш бнгэлел опнхгбнкэмне онкнфхрекэмне вхякн~$u$, рн ецн цнкнбмюъ жхтпю нопедекъеряъ гмювемхел~$(\log_{10} u) \bmod 1$. Ю хлеммн, цнкнбмюъ жхтпю лемэье~$d$ рнцдю х рнкэйн рнцдю, йнцдю \EQ[1] { (\log_{10} u) \bmod 1 < \log_{10} d, } рюй йюй~$10 f_u = 10^{(\log_{10} u)\bmod 1}$. Дюкее, еякх с мюя еярэ йюйне-кхан "яксвюимне" онкнфхрекэмне вхякн~$U$, бшахпюелне б яннрберярбхх я мейнрнпшл пюгслмшл пюяопедекемхел, рхою реу, врн бярпевючряъ б опхпнде, рн лнфмн нфхдюрэ, врн вхякю~$(\log_{10} U) \bmod 1$ асдср пюбмнлепмн пюяопедекемш лефдс мскел х едхмхжеи хкх он йпюимеи лепе врн щрн асдер нвемэ унпньее опхакхфемхе. (Юмюкнцхвмшл напюгнл лш нфхдюел, врн бекхвхмш~$U \bmod 1$, $U^2 \bmod 1$, $\sqrt{U+\pi}\bmod 1$ х~р.~д.\ рюйфе пюбмнлепмн пюяопедекемш. Лш сбепемш, врн йнкеян пскерйх аеяопхярпюярмн он ясыеярбс он щрни фе яюлни опхвхме.) Якеднбюрекэмн, ббхдс мепюбемярбю~\eqref[1], цнкнбмни жхтпни асдер едхмхжю я бепнърмнярэч, пюбмни~$\log_{10} 2 \approx 30.103\%$, дбнийю я бепнърмнярэч, пюбмни~$\log_{10} 3 - \log_{10} 2 \approx 17.609\%$, х бннаые еякх~$r$---опнхгбнкэмне беыеярбеммне вхякн, гюйкчвеммне лефдс~$1$ х~$10$, рн опхакхгхрекэмн б~$\log_{10} r$ бяеу яксвюеб лш днкфмш хлерэ мепюбемярбн~$10 f_U \le r$. Дпсцни яоняна на╝ъямхрэ щрнр гюйнм---щрн яйюгюрэ, врн яксвюимюъ бекхвхмю~$U$ днкфмю онъбкърэяъ б яксвюимни рнвйе мю кнцюпхтлхвеяйни кхмеийе (р.~е.\ врн бяе онгхжхх мю кнцюпхтлхвеяйни кхмеийе пюбмнбепнърмш). Деиярбхрекэмн, пюяярнъмхе нр кебнцн йнмжю кнцюпхтлхвеяйни кхмеийх дн онгхжхх, хгнапюфючыеи вхякн~$U$, опнонпжхнмюкэмн~$(\log_{10} U) \bmod 1$. Б яксвюе слмнфемхъ х декемхъ хлееряъ реямюъ юмюкнцхъ лефдс бшвхякемхълх, опнбндхлшлх опх онлных кнцюпхтлхвеяйни кхмеийх, х бшвхякемхълх б яхяреле я окюбючыеи рнвйни. Рнр тюйр, врн цнкнбмше жхтпш хлечр ремдемжхч ашрэ меанкэьхлх, якедсер онярнъммн хлерэ б бхдс; хлеммн акюцндюпъ щрнлс тюйрс опняреиьхе лерндш нжемйх "япедмеи ньхайх" цндъряъ %% 272 дкъ бшвхякемхи я окюбючыеи рнвйни. Нрмняхрекэмюъ ньхайю нашвмн нйюгшбюеряъ меяйнкэйн анкэьеи, вел нфхдюеряъ. Пюгслееряъ, лнфмн яопюбедкхбн србепфдюрэ, врн опхбедеммше бшье щбпхярхвеяйхе днбндш ме днйюгшбючр ятнплскхпнбюммнцн гюйнмю. Нмх рнкэйн сйюгшбючр опюбднонднамше опхвхмш рнцн, врн онбедемхе цнкнбмшу жхтп хлеммн рюйнбн, йюйнбн нмн еярэ мю яюлнл деке. Дпсцни ондунд й юмюкхгс цнкнбмшу жхтп ашк опедкнфем П.~Я.~Охмйщлнл х~П.~Ущллхмцнл [{\sl Ann Math. Stat.,\/} {\bf 32} (1961), 1223--1230]. Осярэ~$p(r)$---бепнърмнярэ рнцн, врн~$10 f_U \le r$, цде~$1\le r \le 10$, х~$f_U$---мнплюкхгнбюммюъ дпнамюъ вюярэ яксвюимшл напюгнл бшапюммнцн мнплюкхгнбюммнцн вхякю~$U$ я окюбючыеи рнвйни. Еякх цнбнпхрэ н яксвюимшу бекхвхмюу б пеюкэмнл лхпе, рн лш гюлевюел, врн нмх хглепъчряъ б опнхгбнкэмшу едхмхжюу, х еякх аш лш хглемхкх, яйюфел, нопедекемхе лерпю хкх цпюллю, рн лмнцхе аш хг тсмдюлемрюкэмшу тхгхвеяйху онярнъммшу хлекх аш дпсцне гмювемхе. Опедонкнфхл онщрнлс, врн бяе-бяе вхякю бн бяекеммни бмегюомн нйюгюкхяэ слмнфеммшлх мю мейнрнпши онярнъммши лмнфхрекэ~$c$; мюью бяекеммюъ яксвюимшу бекхвхм я окюбючыеи рнвйни днкфмю оняке щрнцн опенапюгнбюмхъ нярюрэяъ он ясыеярбс мехглеммни, рюй врн бепнърмнярх~$p(r)$ ме днкфмш хглемхрэяъ. Слмнфемхе бяеу вхяек мю~$c$ опебпюыюер~$(\log_{10} U) \bmod 1$ б~$(\log_{10} U + \log_{10} c) \bmod 1$. Мюярюк лнлемр бшбеярх тнплскш, нохяшбючыхе хяйнлне пюяопедекемхе; лш лнфел явхрюрэ, врн~$1 \le c \le 10$. Он нопедекемхч \EQ { p(r) = \hbox{бепнърмнярэ} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r). } Янцкюямн мюьелс опедонкнфемхч, хлеел рюйфе \EQ{ \eqalignno{ p(r) &= \hbox{бепнърмнярэ} ((\log_{10} U + \log_{10} c ) \bmod 1 \le \log_{10} r) = \cr &= \cases { \hbox{бепнърмнярэ} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r - \log_{10} c \cr \hbox{хкх } (\log_{10} U) \bmod 1 \ge 1 - \log_{10} c) , & еякх~$c \le r$, \cr \hbox{бепнърмнярэ} (1-\log_{10} c \le (\log_{10} U) \bmod 1 \le 1 + \log_{10} r - \log_{10} c), & еякх~$c \ge r$, \cr }\cr &= \cases { p (r/c) + 1 - p(10/c), & еякх~$c \le r$,\cr p(10r/c) - p(10/c), & еякх~$c \ge r$.\cr } & (2) \cr } } Опнднкфхл реоепэ тсмйжхч~$p(r)$ бнбме хмрепбюкю~$1 \le r \le 10$, онкнфхб~$p(10^n r) = p(r)+n$; рнцдю оняке гюлемш~$10/c$ мю~$d$ лш лнфел гюохяюрэ яннрмньемхе~\eqref[2] б бхде \EQ[3] { p(rd) = p(r) + p(d). } Еякх мюье опедонкнфемхе на хмбюпхюмрмнярх пюяопедекемхъ нрмняхрекэмн слмнфемхъ мю опнхгбнкэмши онярнъммши лмнфхрекэ бепмн, рн яннрмньемхе~\eqref[3] днкфмн бшонкмърэяъ дкъ бяеу~$r > 0$ %% 273 х~$1 \le d \le 10$. Хг рнцн врн~$p(1)=0$, $p(10)=1$, якедсер, врн \EQ{ \displaylines{ 1 = p(10) = p((\root n \of {10})^n) = p(\root n \of {10}) + p((\root n \of {10})^{n-1})= \cr = \ldots = np(\root n \of {10}); \cr } } нрячдю лш гюйкчвюел, врн дкъ бяеу онкнфхрекэмшу жекшу~$m$ х~$n$ яопюбедкхбн пюбемярбн~$p(10^{m/n})=m/n$. Еякх днонкмхрекэмн онрпеанбюрэ, врнаш пюяопедекемхе~$p$ ашкн меопепшбмшл, рн лш опхундхл й пюбемярбс~$p(r)=\log_{10} r$, ю щрн х еярэ мсфмши мюл гюйнм. Унръ щрн пюяясфдемхе, бнглнфмн, х саедхрекэмее опедшдсыху, нмн рнфе б деиярбхрекэмнярх ме бшдепфхбюер ярпнцни опнбепйх. Лш опедонкюцюел, врн ясыеярбсер мейне кефюыее б нямнбе пюяялюрпхбюелнцн ъбкемхъ пюяопедекемхе вхяек~$F(u)$, рюйне, врн бепнърмнярэ рнцн, врн дюммне опнхгбнкэмне вхякн~$U$ ме опебняундхр~$u$, пюбмю~$F(u)$ х врн \EQ[4] { p(r) = \sum_m (F(10^m r) - F(10^m)), } цде ясллхпнбюмхе опнбндхряъ он бяел гмювемхъл~$-\infty < m < \infty$. Хг мюьецн пюяясфдемхъ бшрейюер, врн рнцдю \EQ{ p(r) = \log_{10} r. } Хяонкэгсъ ре фе днбндш, лш лнфел "днйюгюрэ", врн \EQ[5] { \sum_m (F(b^m r) - F(b^m)) = \log_b r } опх~$1 \le r \le b$ дкъ бяъйнцн жекнцн вхякю~$b \ge 2$. Мн тсмйжхх пюяопедекемхъ~$F$, йнрнпюъ сднбкербнпъкю аш щрнлс пюбемярбс дкъ бяеу рюйху~$b$ х~$r$, ме ясыеярбсер! "Йюйюъ-рн б депфюбе дюряйни цмхкэ!" Ндхм хг яонянанб бширх хг щрнцн гюрпсдмемхъ янярнхр б рнл, врнаш пюяялюрпхбюрэ кнцюпхтлхвеяйхи гюйнм~$p(r) = \log_{10} r$ кхьэ йюй нвемэ унпньее \emph{опхакхфемхе} й хярхммнлс пюяопедекемхч. Бнглнфмн, врн щрн хярхммне пюяопедекемхе опх пюяьхпемхх Бяекеммни хглемъеряъ, ярюмнбъяэ я ревемхел бпелемх бяе ксвьхл х ксвьхл опхакхфемхел; х еякх гюлемхрэ нямнбюмхе~$10$ опнхгбнкэмшл нямнбюмхел~$b$, мюье опхакхфемхе рел лемее рнвмн (б кчани дюммши лнлемр бпелемх), вел анкэье~$b$. Дпсцни, днбнкэмн опхбкейюрекэмши яоняна пеьемхъ опнакелш, ябъгюммши я нрйюгнл нр рпюдхжхнммнцн онмърхъ тсмйжхх пюяопедекемхъ, опедкнфем П.~Ю.~Пщилх [{\sl AMM,\/} {\bf 76} (1969), 342--348]. Бхрхебюрше пюяясфдемхъ онякедмецн юагюжю, он-бхдхлнлс, мх б йнеи лепе мекэгъ опхгмюрэ сднбкербнпхрекэмшл на╝ъямемхел, рюй врн якедсер беяэлю онкнфхрекэмн нрмеярхяэ й опнбндхлшл мхфе бшвхякемхъл (цде лш опхдепфхбюеляъ ярпнцнцн люрелюрхвеяйнцн йюмнмю х хгаецюел хмрсхрхбмшу, мн оюпюднйяюкэмшу онмърхх ренпхх бепнърмняреи). Пюяялнрпхл блеярн пюяопедекемхъ мейнецн бннапюфюелнцн лмнфеярбю беыеярбеммшу вхяек пюяопедекемхе %% 274 ярюпьху гмювюыху жхтп \emph{онкнфхрекэмшу жекшу} вхяек. Хяякеднбюмхе щрни релш впегбшвюимн хмрепеямн, х ме рнкэйн онрнлс, врн нмн опнкхбюер мейнрнпши ябер мю пюяопедекемхъ бепнърмняреи дкъ дюммшу, опедярюбкеммшу б тнпле я окюбючыеи рнвйни, мн рюйфе х онрнлс, врн нмн яксфхр беяэлю онсвхрекэмшл опхлепнл рнцн, йюй янверюрэ лерндш дхяйпермни люрелюрхйх я лерндюлх юмюкхгю. Бн бяеу онякедсчыху пюяясфдемхъу~$r$ асдер нангмювюрэ тхйяхпнбюммне беыеярбеммне вхякн, $1 \le r \le 10$; лш оношрюеляъ дюрэ пюгслмне нопедекемхе~$p(r)$ йюй "бепнърмнярх" рнцн, врн опедярюбкемхе~$10^{e_N} \cdot f_N$ "яксвюимнцн" онкнфхрекэмнцн жекнцн вхякю~$N$ сднбкербнпъер мепюбемярбс~$10 f_N < r$. Дкъ мювюкю онопнасел мюирх щрс бепнърмнярэ, хяонкэгсъ опедекэмши оепеунд, юмюкнцхвмн рнлс йюй лш нопедекъкх~"Pr" б~\S~3.5. Сднамши яоняна оепетпюгхпнбюрэ щрн нопедекемхе янярнхр б якедсчыел: \EQ[6]{ P_0(n)=\cases{ 1, & еякх~$n=10^e \cdot f$, цде~$10 f < r$, р.~е.\ еякх~$(\log_{10} n) \bmod 1 < \log_{10} r$;\cr 0 & б опнрхбмнл яксвюе.\cr } } Хрюй, онякеднбюрекэмнярэ $P_0(1)$, $P_0(2)$,~\dots{} еярэ аеяйнмевмюъ онякеднбюрекэмнярэ мскеи х едхмхж, опхвел едхмхжш яннрберярбсчр яксвюъл, бмняъыхл бйкюд б гмювемхе бепнърмнярх. Лш лнфел оношрюрэяъ "сяпедмхрэ" щрс онякеднбюрекэмнярэ, онкнфхб \EQ[7] { P_1(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_0(k). } Еяреярбеммн опхмърэ~$\lim_{n\to\infty} P_1(n)$ б йювеярбе хяйнлни "бепнърмнярх"~$p(r)$; хлеммн рюй лш х ядекюкх б~\S~3.5. Мн б дюммнл яксвюе щрнр опедек ме ясыеярбсер. Пюяялнрпхл, мюопхлеп, ондонякеднбюрекэмнярэ \EQ{ P_1(s),\; P_1(10s),\; P_1(100s),\; \ldots,\; P_1(10^n s),\; \ldots, } цде~$s$---мейнрнпне беыеярбеммне вхякн, $1 \le s \le 10$. Еякх~$s \le r$, рн лш хлеел \EQ { \eqalignno{ P_1(10^n s) &= {1 \over 10^n s} ( \ceil{r} -1 + \ceil{10 r} - 10 + \cdots + \ceil{10^{n-1} r} - 10^{n-1} + \floor{10^n s} + 1 - 10^n) = \cr &= {1 \over 10^n s} (r(1+10+\cdots+10^{n-1})+O(n)+\floor{10^n s} - 1 - 10 - \cdots - 10^n) = \cr %% днаюбкемю опюбюъ яйнайю: "\right)", леярн бярюбйх яйнайх бшапюмн аег днйюгюрекэярбю &= {1 \over 10^n s} \left({1\over 9} (10^n r - 10^{n+1}) + \floor{10^n s}\right)+O(n), & (8) \cr } } %% 275 цде б деяърхвмни гюохях~$r=r_0.r_1r_2\ldots\,$. Опх~$n\to\infty$ тсмйжхъ~$P_1(10^n s)$ ярпелхряъ, рюйхл напюгнл, й опедекэмнлс гмювемхч~$1+(r-10)/9s$. Бшвхякемхе, опнбедеммне бшье дкъ яксвюъ~$s \le r$, лнфмн лндхтхжхпнбюрэ рюйхл напюгнл, врнаш нмн янупюмхкн ялшяк х опх~$s > r$; опх щрнл $\floor{10^n s}+1$~гюлемхряъ мю~$\ceil{10^n r}$, рюй врн дкъ~$s \ge r$ лш онксвхл опедекэмне гмювемхе, пюбмне~$10(r-1)/9s$. [Ял.\ J.\ Franel Naturforschende Gesellschaft, Vierteljahrsschrift, {\bf 62} (Z\"urich, 1917), 286--295.] Хрюй, онякеднбюрекэмнярэ~$P_1(n)$ яндепфхр ондонякеднбюрекэмнярэ, опедек йнрнпни опх бнгпюярюмхх~$s$ нр~$1$ дн~$r$, ю гюрел нр~$r$ дн~$10$ ямювюкю бнгпюярюер нр~$(r-1)/9$ дн~$10(r-1)/9r$, ю гюрел сашбюер ямнбю дн~$(r-1)/9$. Нрячдю бхдмн, врн онякеднбюрекэмнярэ~$P_1(n)$ ме хлеер опедекю х врн~$P_1(n)$ ме якхьйнл унпньее опхакхфемхе й мюьелс опедонкюцюелнлс нрберс~$\log_{10} r$! Рюй йюй~$P_1(n)$ мх й велс ме ярпелхряъ, лнфмн оношрюрэяъ еые пюг хяонкэгнбюрэ рс фе хдеч, врн х б~\eqref[7], врнаш "сяпедмемхел" сярпюмхрэ щрс юмнлюкэ б онбедемхх мюьеи онякеднбюрекэмнярх. Бннаые онкнфхл \EQ[9] { P_{m+1}(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_m(k). } Рнцдю $P_{m+1}(n)$~асдер опнъбкърэ ремдемжхч й анкее опюбхкэмнлс онбедемхч, мефекх~$P_m(n)$. Оношрюеляъ хгсвхрэ онбедемхе~$P_{m+1}(n)$ дкъ анкэьху~$n$. Ношр, опхнапереммши мюлх опх пюяялнрпемхх вюярмнцн яксвюъ~$m=0$, ондяйюгшбюер, врн ярнхр опхбкевэ й декс ондонякеднбюрекэмнярэ~$P_{m+1}(10^n s)$. Хлеммн мю щрнл осрх лш х днйюфел якедсчыхи пегскэрюр. \proclaim Келлю~Q. Дкъ опнхгбнкэмнцн жекнцн вхякю~$m \ge 1$ х опнхгбнкэмнцн беыеярбеммнцн вхякю~$\varepsilon > 0$ мюидсряъ рюйхе тсмйжхх~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ х рюйне жекне вхякн~$N_m(\varepsilon)$, врн опх~$n > N_m(\varepsilon)$ х~$1 \le s \le 10$ бшонкмъчряъ мепюбемярбю \EQ[10] { \displaynarrow{ \abs{P_m(10^n s) - Q_m(s)} < \varepsilon, \hbox{ еякх~$s \le r$,}\cr \abs{P^m(10^n s) - (Q_m(s)+R_m(s))} < \varepsilon, \hbox{ еякх~$s>r$.}\cr } } Дюкее, тсмйжхх~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ сднбкербнпъчр яннрмньемхъл \EQ[11] { \eqalign{ Q_m(s) &= {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt +\int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt + {1\over 9}\int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt\right);\cr R_m(s) &= {1\over s} \int_r^s R_{m-1}(t)\,dt;\cr Q_0(s) &= 1, \quad R_0(s)= -1.\cr } } %% 276 \proof Пюяялнрпхл тсмйжхх~$Q_m(s)$, $R_m(s)$, нопедекеммше тнплскюлх~\eqref[11], х онкнфхл \EQ[12]{ S_m(t)=\cases{ Q_m(t), & $t \le r$, \cr Q_m(t)+R_m(t), & $t > r$. \cr } } Днйюфел келлс хмдсйжхеи он~$m$. Осярэ ямювюкю~$m=1$; рнцдю~$Q_1(s)=(1/s)(1+(s-1)+(r-10)/9)= 1+(r-10)/9s$ х~$R_1(s)=(r-s)/s$. Хг~\eqref[8] мюундхл, врн \EQ{ \abs{P_1(10^n s) - S_1(s)} = O(n)/10^n; } щрн днйюгшбюер келлс опх~$m=1$. Опх~$m > 1$ хлеел \EQ{ P_m(10^n s) = {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} \sum_{10^j \le k < 10^{j+1}} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) + \sum_{10^n \le k \le 10^n s} {1\over 10^n} P_{m-1}(k) \right). } Лш унрхл нжемхрэ щрс бекхвхмс. Пюгмнярэ \EQ[13]{ \abs{ \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) - \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} S_{m-1} \left({k \over 10^j}\right) } } лемэье~$(q-1)\varepsilon$, йнцдю~$1 \le q \le 10$ х~$j > N_{m-1}(\varepsilon)$, ю оняйнкэйс тсмйжхъ~$S_{m-1}(t)$ меопепшбмю х онрнлс хмрецпхпселю он Пхлюмс, рн пюгмнярэ \EQ[14] { \abs{ \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1 \over 10^j} S_{m-1} \left({k\over 10^j}\right) -\int_1^q S_{m-1}(t)\,dt } } лемэье~$\varepsilon$ дкъ бяеу~$j$, анкэьху мейнрнпнцн вхякю~$N$, ме гюбхяъыецн нр~$q$. Лш лнфел бшапюрэ~$N$ анкэьхл, вел~$N_{m-1}(\varepsilon)$. Якеднбюрекэмн, опх~$n > N$ пюгмнярэ \EQ[15]{ \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt+\int_1^s S_{m-1}(t)\,dt\right)} } нцпюмхвемю бекхвхмни \EQ{ \sum_{0 \le j \le N} {M \over 10^{n-j}}+\sum_{N$ пюбмнлепмн яундхряъ й онярнъммни тсмйжхх~$\log_{10} r$. Хмрепеямн днйюгюрэ щрс цхонрегс ъбмшл бшвхякемхел~$Q_m(s)$ х~$R_m(s)$ дкъ бяеу~$m$, врн х декюеряъ б днйюгюрекэярбе якедсчыеи ренпелш. %% 278 \proclaim Ренпелю~F. Дкъ бяъйнцн~$\varepsilon>0$ мюидеряъ рюйне вхякн~$N$, врн \EQ[17]{ \abs{P_m(n) - \log_{10} r} < \varepsilon } опх~$m$,~$n>N$. \proof Ббхдс келлш~Q, щрнр пегскэрюр асдер днйюгюм, еякх лш ялнфел онйюгюрэ, врн ясыеярбсер рюйне вхякн~$M$, гюбхяъыее нр~$\varepsilon$, врн дкъ бяеу~$s$ хг хмрепбюкю~$1 \le s \le 10$ х бяеу~$m > M$ яопюбедкхбш мепюбемярбю \EQ[18] { \abs{Q_m(s) - \log_{10} r} < \varepsilon \hbox{ х } \abs{R_m(s)} < \varepsilon. } Гмювемхе~$R_m$ мерпсдмн нопедекхрэ хг пейсппемрмни тнплскш~\eqref[11]. Б яюлнл деке, хлеел~$R_0(s)=-1$, $R_1(s)=-1+r/s$, $R_2(s) = -1 + (r/s)(1+\ln (s/r))$ х бннаые \EQ[19]{ R_m(s) = -1 + {r \over s} \left(1+{1\over 1!}\ln\left({s \over r}\right) + {1\over 2!} \left(\ln \left({s\over r}\right)\right)^2+ \cdots + {1 \over (m-1)!} \left( \ln\left({s\over r}\right)\right)^{m-1}\right). } Дкъ гмювемхи~$s$ хг сйюгюммнцн хмрепбюкю щрю тсмйжхъ пюбмнлепмн яундхряъ й \EQ{ -1 + (r/s) \exp (\ln (s/r)) = 0. } Пейсппемрмюъ тнплскю~\eqref[11] дкъ~$Q_m$ опхмхлюер бхд \EQ[20]{ Q_m(s) = {1\over s} \left( c_m + 1 + \int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt\right), } цде \EQ[21]{ c_m = {1\over 9} \left( \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt + \int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt \right) -1. } тнплскю дкъ наыецн вкемю онякеднбюрекэмнярх, нопедекъелни пейсппемрмни тнплскни~\eqref[20], рюйфе мюундхряъ аег рпсдю; мюдн бшохяюрэ ямювюкю бшпюфемхъ дкъ меяйнкэйху оепбшу вкемнб, яннапюгхрэ, йюйнбю наыюъ тнплскю, х днйюгюрэ ее он хмдсйжхх; лш онксвхл, врн \EQ[22]{ Q_m(s) = 1 + {1\over s} \left( c_m + {1\over 1!}c_{m-1}\ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \cdots + {1\over (m-1)!} (\ln s)^{m-1}\right). } Мюл нярюеряъ рнкэйн бшвхякхрэ йнщттхжхемрш~$c_m$, йнрнпше б яхкс тнплск~\eqref[19], \eqref[21] х~\eqref[22] сднбкербнпъчр яннрмньемхъл \EQ[23]{ \displaynarrow{ c_1 = (r-10)/9,\cr c_{m+1} = {1\over 9} \left( c_m \ln 10 + {1\over 2!}c_{m-1}(\ln 10)^2 + \cdots + {1\over m!}c_1(\ln 10)^m + r \left( 1+ {1\over 1!} \ln {10\over r} + \cdots + {1\over m!} \left( \ln {10 \over r} \right)^m \right) - 10 \right).\cr } } %% 279 Щрю онякеднбюрекэмнярэ йюферяъ нвемэ якнфмни, ндмюйн б деиярбхрекэмнярх ее лнфмн аег рпсдю хяякеднбюрэ опх онлных опнхгбндъыху тсмйжхи. Онкнфхл \EQ{ C(z) = c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + \ldots \, . } Ббхдс пюбемярбю~$10^z = 1 + z\ln 10 + z^2 (1/2!) (\ln 10)^2 + \ldots\,$, лш гюйкчвюел, врн \EQ{ c_{m+1} = {1\over 10}c_{m+1} + {9\over 10}c_{m+1} = {1\over 10} \left(c_{m+1} + c_m \ln 10 + \cdots + {1\over m!} c_1 (\ln 10)^m\right) + {r\over 10} \left(1+\cdots+{1\over m!}\left(\ln {10\over r}\right)^m\right) - 1 } еярэ йнщттхжхемр опх~$z^{m+1}$ б пюгкнфемхх тсмйжхх \EQ[24]{ {1\over 10} C(z) 10^z + {rz \over 10} \left({10\over r}\right)^z \left({1\over 1-z}\right) - {1\over 1-z}. } Щрн сякнбхе бшонкмъеряъ дкъ бяеу гмювемхи~$m$, рюй врн~\eqref[24] днкфмн пюбмърэяъ~$C(z)$, х лш онксвюел ъбмсч тнплскс \EQ[25]{ C(z) = { -z \over 1-z} \left( {(10/r)^{z-1} -1 \over 10^{z-1}-1}\right). } Врнаш гюбепьхрэ мюь юмюкхг, мюл мюдн хгсвхрэ юяхлорнрхвеяйхе ябниярбю йнщттхжхемрнб~$C(z)$. Дпнаэ б яйнайюу б пюбемярбе~\eqref[25] ярпелхряъ опх~$z \to 1$ й~$\ln (10/r) / \ln 10 = 1 - \log_{10} r$, нрйсдю якедсер, врн \EQ[26]{ C(z) + {1 - \log_{10} r \over 1 - r} = R(z) } еярэ юмюкхрхвеяйюъ тсмйжхъ йнлокейямни оепелеммни~$z$ б йпсце \EQ{ \abs{z} < \abs{1+{2 \pi i \over \ln 10}}. } Б вюярмнярх, пюгкнфемхе тсмйжхх~$R(z)$ яундхряъ опх~$z=1$, рюй врн ее йнщттхжхемрш ярпелъряъ й мскч. Щрн онйюгшбюер, врн йнщттхжхемрш тсмйжхх~$C(z)$ бедср яеаъ йюй йнщттхжхемрш тсмйжхх~$(\log_{10} r - 1)/(1-z)$, рюй врн \EQ{ \lim_{m \to \infty} c_m = \log_{10} r -1. } Мюйнмеж, янонярюбкъъ щрнр пегскэрюр я тнплскни~\eqref[22], онксвюел, врн $Q_m(s)$~ярпелхряъ й \EQ{ 1 + { \log_{10} r -1 \over s} \left( 1+ \ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \ldots \right) = \log_{10} r } пюбмнлепмн мю нрпегйе~$1 \le s \le 10$. \proofend Хрюй, лш днйюгюкх опълшл бшвхякемхел мюь кнцюпхтлхвеяйхи гюйнм дкъ жекшу вхяек, опхвел ндмнбпелеммн намюпсфхкх, врн, унръ нм яксфхр нвемэ унпньхл опхакхфемхел дкъ нохяюмхъ %% 280 сяпедмеммнцн онбедемхъ, б рнвмнярх нм мхйнцдю ме днярхцюеряъ. Юмюкнцхвмше пегскэрюрш дкъ дпсцху: пюяопедекемхи ашкх носакхйнбюмш С.~Тюппх х X.~Цспбхжел [Nature, {\bf 155} (Jan.~13, 1945), 52--53]. Днйюгюрекэярбю келлш~Q х ренпелш~F, йнрнпше ашкх гдеяэ опхбедемш, опедярюбкъчр янани сопныеммши х нанаыеммши бюпхюмр пюяясфдемхх, опхмюдкефюыху Аеррх Дфхм Ткеухмцеп [{\sl AMM,\/} {\bf 73} (1966), 1056--1061]. Дпсцни хмрепеямши ондунд й пюяопедекемхъл, ябъгюммшл я окюбючыеи рнвйни, ашк опедкнфем Щкюмнл~Ц.~Йнмуеилнл [{\sl Math. Comp.,\/} {\bf 19} (1965), 143--144]. \excercises \ex[13] Еякх~$u$ х~$v$---деяърхвмше вхякю я окюбючыеи рнвйни, хлечыхе ндхм х рнр фе гмюй, рн йюйнбн, янцкюямн рюакхжюл Ясхмх, опхакхфеммне гмювемхе бепнърмнярх рнцн, врн опх бшвхякемхх гмювемхъ~$u \oplus v$ опнхгнидер оепеонкмемхе дпнамни вюярх? \ex[40] Опнбедхре дюкэмеиьхе щйяоепхлемрш ян якнфемхел х бшвхрюмхел вхяек я окюбючыеи рнвйни дкъ срнвмемхъ рюакхж Ясхмх. \ex[15] Мюидхре, хяундъ хг кнцюпхтлхвеяйнцн гюйнмю, бепнърмнярэ рнцн, врн дбе мювюкэмше жхтпш деяърхвмнцн вхякю я окюбючыеи рнвйни ясрэ~"$23$". \ex[18] Б рейяре нрлевемн, врн мювюкэмше ярпюмхжш хмремяхбмн хяонкэгселшу рюакхж кнцюпхтлнб онрпеоюмш б анкэьеи яреоемх, вел онякедмхе ярпюмхжш. Ю еякх аш лш пюанрюкх блеярн щрнцн я рюакхжеи \emph{юмрхкнцюпхтлнб,} р.~е.~рюакхжеи, йнрнпюъ дкъ дюммнцн гмювемхъ~$\log_{10} x$ сйюгшбюер гмювемхе~$x$, йюйхе ярпюмхжш ашкх аш рнцдю яюлшлх онрпеоюммшлх? \rex[Л20] Опедонкнфхл, врн беыеярбеммне вхякн~$U$ пюбмнлепмн пюяопедекемн б хмрепбюке~$0 < U < 1$. Йюйнбн пюяопедекемхе мюханкее гмювхлни жхтпш~$U$? \ex[22] Еякх аш ндмн якнбн дбнхвмни ЩБЛ яндепфюкн $n+1$~ахрнб, рн лш лнцкх аш хяонкэгнбюрэ $p$~ахрнб дкъ опедярюбкемхъ дпнамни вюярх дбнхвмшу вхяек я окюбючыеи рнвйни, ндхм ахр дкъ гмюйю х $n-p$~ахрнб дкъ онйюгюрекъ. Щрн нгмювюер, врн хмрепбюк хглемемхъ опедярюбхлшу гмювемхи, р.~е.\ нрмньемхе мюханкэьецн онкнфхрекэмнцн мнплюкхгнбюммнцн гмювемхъ й мюхлемэьелс, он ясыеярбс пюбем~$2^{2^{n-p}}$. To фе люьхммне якнбн лнфмн ашкн аш хяонкэгнбюрэ х дкъ опедярюбкемхъ \emph{ьеярмюджюрепхвмшу} вхяек я окюбючыеи рнвйни, бшдекхб $p+2$~ахрнб дкъ дпнамни вюярх ($(p+2)/4$~ьеярмюджюрепхвмшу жхтп) х $n-p-2$~ахрнб дкъ онйюгюрекъ; рнцдю хмрепбюк хглемемхъ гмювемхи ашк аш~$16^{2^{n-p-2}}=2^{2^{n-p}}$, р.~е.\ рнр фе, врн х пюмэье, опхвел я анкэьхл вхякнл ахрнб б дпнамни вюярх. Лнфер бнгмхймсрэ боевюркемхе, врн лш онксвхкх врн-рн хг мхвецн, ндмюйн сякнбхе мнплюкхгюжхх б яксвюе нямнбюмхъ~$16$ якюаее б рнл ялшяке, врн дпнамюъ вюярэ лнфер яндепфюрэ мскх б рпеу мюханкее гмювхлшу ахрюу; рюйхл напюгнл, ме бяе хг $p+2$~ахрнб "гмювюыхе". \hiddenpar Хяундъ хг кнцюпхтлхвеяйнцн гюйнмю, бшъямхре, йюйнбю бепнърмнярэ рнцн, врн дпнамюъ вюярэ онкнфхрекэмнцн мнплюкхгнбюммнцн ьеярмюджюрепхвмнцн вхякю я окюбючыеи рнвйни хлеер б рнвмнярх $0$, $1$, $2$ х~$3$~мскебшу мюханкее гмювхлшу ахрю? Нямнбшбюъяэ мю люрепхюке, хгкнфеммнл б щрнл осмйре, наясдхре бнопня н днярнхмярбюу ьеярмюджюрепхвмни яхярелш б япюбмемхх я дбнхвмни. \ex[БЛ28] Днйюфхре, врн ме ясыеярбсер тсмйжхх пюяопедекемхъ~$F(u)$, сднбкербнпъчыеи яннрмньемхч~\eqref[5] дкъ йюфднцн жекнцн вхякю~$b\ge 2$ х дкъ бяеу беыеярбеммшу гмювемхи~$r$ хг хмрепбюкю~$1 \le r \le b$. \ex[Л23] Бшонкмъеряъ кх яннрмньемхе~\eqref[10] опх~$m=0$ дкъ яннрберярбсчыхл напюгнл бшапюммнцн~$N_0(\varepsilon)$? \ex[БЛ24] Осярэ~$\$---нцпюмхвеммюъ онякеднбюрекэмнярэ беыеярбеммшу вхяек, рюйюъ, врн опедек~$\lim_{n\to \infty} x_{\floor{10^n s}} = q(s)$ ясыеярбсер дкъ бяеу~$s$ хг хмреп- %% 281 \bye