Sleduyushchij razdel: Opyty podtverzhdayushchie obshchuyu teoriyu otnositel'nosti Vyshe po kontekstu: Obshchaya Teoriya Otnositel'nosti Predydushchij razdel: Obshchaya Teoriya Otnositel'nosti

Razdely

Obshchaya teoriya otnositel'nosti (Teoriya tyagoteniya)

Vopros: V chem zaklyuchaetsya uslozhnennyj variant teorii otnositel'nosti?

Pod uslozhnennym variantom, po vidimomu, podrazumevaetsya obshchaya teoriya otnositel'nosti (OTO). |jnshtejn (A. Einstein), kak izvestno, pytalsya postroit' obshchuyu teoriyu iz kotoroj by sledovali vse vzaimodejstviya, no ne preuspel. Nazvanie "Obshchaya teoriya otnositel'nosti" prinadlezhit |jnshtejnu. |to nazvanie yavlyaetsya neadekvatnym i postepenno ischezaet iz literatury, zamenyayas' na "teoriyu tyagoteniya" [1].

Osnovnye idei

Iz shkol'nogo kursa izvestny postulaty teorii tyagoteniya N'yutona. Teoriya N'yutona predpolagaet mgnovennoe rasprostranenie tyagoteniya i uzhe po etomu ne mozhet byt' soglasovana so special'noj teoriej otnositel'nosti, utverzhdayushchej chto nikakoe vzaimodejstvie ne mozhet rasprostranyat'sya so skorost'yu, prevyshayushchej skorost' sveta v vakuume. Poetomu trebovalas' bolee obshchaya teoriya tyagoteniya (eyu i stala OTO). V linejnom priblizhenii (na otnositel'no bol'shih rasstoyaniyah i dlya otnositel'no malyh mass -- gravitacionnyj potencial mal \(\vert\phi\vert\ll c^{2}\)) OTO perehodit v teoriyu tyagoteniya N'yutona.

Postroenie OTO |jnshtejn nachal v 1907 godu i zakonchil vmeste H.D. Gil'bertom (H.D Hilbert) v 1915. Bol'shoj vklad v razvitie matematicheskogo apparata teorii vnes v 1908-10 godah G. Minkovskij (H. Minkowski).

V osnove OTO lezhit eksperimental'nyj fakt ravenstva inertnoj massy (vhodyashchej vo 2-oj zakona N'yutona) i gravitacionnoj massy (vhodyashchej v zakon tyagoteniya) dlya lyubogo tela. |to ravenstvo proyavlyaetsya v tom, chto dvizhenie tela v pole tyagoteniya ne zavisit ot ego massy. Sledstviem etogo yavlyaetsya otsutstvie gravitacionno nejtral'nyh tel.

V rabote, sdelannoj v 1907 g., |jnshtejn predlozhil myslennyj eksperiment [2]: predstavim sebe gigantskij neboskreb vysotoj 1000 km i fizika, nahodyashchegosya vnutri svobodno padayushchego lifta v etom neboskrebe. Fizik vypuskaet iz ruk platok i chasy i ubezhdaetsya, chto oni ne padayut na pol lifta. Esli on soobshchaet etim veshcham tolchok, to oni dvizhutsya ravnomerno i pryamolinejno, poka ne stolknutsya so stenkami lifta. Fizik prihodit k vyvodu: ya nahozhus' v ogranichennoj galileevoj sisteme. Uslovie ogranichennosti neobhodimo dlya togo, chtoby mozhno bylo schitat', chto vse tela ispytyvayut odinakovoe uskorenie. No fizik, nablyudayushchij izvne za padeniem lifta, budet sudit' o veshchah sovershenno inache. On vidit, chto lift i vse nahodyashcheesya v nem dvizhutsya uskorenno v sootvetstvii s zakonom tyagoteniya N'yutona.

|tot primer pokazyvaet, chto mozhno perejti ot galileevoj sistemy k uskorennoj, esli uchest' gravitacionnoe pole. Inymi slovami gravitacionnoe pole (v kotorom proyavlyaetsya gravitacionnaya massa) ekvivalentno uskorennomu dvizheniyu (v kotorom proyavlyaetsya inertnaya massa). Gravitacionnaya massa i inertnaya massa harakterizuyut odno i to zhe svojstvo materii, rassmatrivaemoe po-raznomu (raznost' massy sovremennymi eksperimental'nymi metodami ne obnaruzhena). Takim obrazom, |jnshtejn prishel k principu ekvivalentnosti, kotoryj on tak sformuliroval v svoej avtobiografii:

V pole tyagoteniya (maloj prostranstvennoj protyazhennosti) vse proishodit tak, kak v prostranstve bez tyagoteniya, esli v nem vmesto "inercial'noj" sistemy otscheta vvesti sistemu, uskorennuyu otnositel'no nee.

Dannyj princip pozvolyaet traktovat' tyagotenie kak iskrivlenie prostranstva-vremeni.

Uravnenie dvizheniya v gravitacionnom pole

Tela v gravitacionnom pole dvizhutsya po geodezicheskim liniyam, esli na nih ne dejstvuyut drugie (negravitacionnye) sily. Uravnenie geodezicheskoj linii v iskrivlennom prostranstve-vremeni zapisyvaetsya v vide
\begin{displaymath} \frac{d^{2}x^{\mu}}{ds^{2}}+\Gamma ^{\mu}_{\nu \rho} \frac{dx^{\nu}}{ds}\frac{dx^{\rho}}{ds}=0, \end{displaymath} (1)

gde \(ds\) -- koordinata, izmeryaemaya vdol' geodezicheskoj linii, velichiny \(\Gamma ^{\mu}_{\nu \rho}\) nazyvayutsya simvolami Kristofelya (\(\mu\), \(\nu\), \(\rho\) menyayutsya ot 0 do 3); \(x^{\mu}\), \(x^{\nu}\), \(x^{\rho}\) -- komponenty chetyrehmernogo vektora prostranstva-vremeni \( (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}) \), gde \((x^{1},x^{2},x^{3})=\vec{r}\) -- obychnyj trehmernyj prostranstvennyj vektor, a \(x^{0}=ct\) ($c$ -- skorost' sveta, $t$ -- vremya).

Iskrivlenie prostranstva-vremeni harakterizuetsya simvolami Kristofelya. Esli vse simvoly Kristofelya ravny 0, chto sootvetstvuet otsutstviyu gravitacionnogo polya, to uravnenie geodezicheskoj perehodit v uravnenie pryamoj \(\vec{a}=0\), gde \(\vec{a}=\frac{d^{2}\vec{x}}{ds^{2}}\) -- uskorenie tela, to est' my poluchaem pervyj zakon N'yutona. V priblizhenii N'yutona geodezicheskimi liniyami yavlyayutsya pryamye.

Podrobno matematicheskij apparat i vyvody sledstvij obshchej teorii otnositel'nosti opisany v [4].

CHernye dyry

Odnim iz interesnyh sledstvij obshchej teorii otnositel'nosti yavlyaetsya sushchestvovanie chernyh dyr. Reshenie uravnenij |jnshtejna (1), v pustote, v sluchae izolirovannogo sfericheski-simmetrichnogo istochnika polya massy $M$ nazyvaetsya resheniem SHvarcshil'da. V etom sluchae uskorenie svobodnogo padeniya $g$ imeet vid:


\begin{displaymath} g=\frac{GM}{r^{2}\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}}, \end{displaymath} (2)

gde $G$ -- gravitacionnaya postoyannaya, $c$ -- skorost' sveta, $r$ -- rasstoyanie do istochnika.

|to vyrazhenie otlichaetsya ot N'yutonovskogo vyrazheniya dlya uskoreniya kornem v znamenatele. Velichina $g$ stremitsya k beskonechnosti, kogda $r$ stremitsya k

\begin{displaymath} r_{g}=\frac{2MG}{c^{2}}, \end{displaymath} (3)

velichina \(r_{g}\) nazyvaetsya gravitacionnym radiusom (gravitacionnyj radius Solnca \(r_{g\odot}\simeq 3\)km, gravitacionnyj radius Zemli \(r_{g\oplus}\simeq 0.9\)sm). Sfera radiusa $r_{g}$ nazyvaetsya sferoj SHvarcshil'da. Vtoraya kosmicheskaya skorost' v teorii N'yutona daetsya vyrazheniem
\begin{displaymath} V_{2}=\sqrt{\frac{2MG}{r}}. \end{displaymath} (4)

Sledovatel'no, pri $r=r_{g}$ velichina $V_2$ stanovitsya ravnoj skorosti sveta. Esli sfericheskoe telo massoj $m$ sozhmetsya do razmerov, men'shih $r_g$, to svet ne smozhet vyjti iz pod sfery SHvarcshil'da. Takie ob®ekty poluchili nazvaniya chernyh dyr (termin "chernaya dyra" byl vveden v 1968 g. Dzh. Uilerom (J.A. Wheeler)).

Teoreticheskaya astrofizika predskazyvaet vozniknovenie chernyh dyr v konce evolyucii massivnyh zvezd; vozmozhno sushchestvovanie chernyh dyr i drugogo proishozhdeniya (reliktovye chernye dyry -- ostatki posle "bol'shogo vzryva"). Na dannyj moment astronomy nablyudayut ob®ekty, kotorye predstavlyayut iz sebya dvojnye zvezdnye sistemy, v sostav kotoryh (kak predpolagaetsya) vhodyat chernye dyry.


baldin@inp.nsk.su
1999-05-25